Belirsizlik koşulları altında bir çözüm seçme sorunu, işlemi gerçekleştirme koşullarını (doğa durumu) bilmesek de, bunların olasılıklarını bildiğimizde en kolay şekilde çözülür:
Bu durumda maksimize etmeye çalıştığımız verimliliğin göstergesi olarak ortalama değeri almak doğaldır veya matematiksel beklenti olası tüm koşulların olasılıkları dikkate alınarak kazançlar.
Oyuncunun stratejisi için bu ortalama değeri şu şekilde gösterelim:
veya kısaca,
Açıkçası kes ile alınan hattın kazançlarının ağırlıklı ortalamasından başka bir şey yoktur. Optimal strateji olarak değeri maksimuma ulaşan stratejiyi seçmek doğaldır.
Bu tekniği kullanarak belirsizlik koşullarında çözüm seçme problemi, kesinlik koşullarında çözüm seçme problemine dönüşür. karar verildi her bir durumda değil, ortalama olarak optimaldir.
Örnek 1. Daha önce bilinmeyen meteorolojik koşullarda bir operasyon planlanıyor; Bu durumlara yönelik seçenekler: Uzun yıllardır yapılan hava durumu raporlarına göre bu seçeneklerin frekansları (olasılıkları) sırasıyla eşittir:
Operasyonları farklı hava koşullarında organize etmek için olası seçenekler farklı faydalar sağlar. Her bir çözüm için “gelir” değerleri farklı koşullar tabloda verilmektedir. 13.1
Tablo 13.1
Son satır koşulların olasılıklarını verir. Ortalama kazançlar son sütunda gösterilir. Bu, oyuncunun optimal stratejisinin kendi stratejisini vermesi olduğunu gösterir. ortalama kazanç(yıldız işaretiyle işaretlenmiştir).
Bilinmeyen koşullarda ve bilinen olasılıklarda optimal bir strateji seçerken, yalnızca ortalama getiriyi kullanamazsınız.
ama aynı zamanda orta risk
elbette bunun maksimuma değil minimuma dönüştürülmesi gerekiyor.
Ortalama getiriyi maksimuma çıkaran stratejinin, ortalama riski minimuma indiren stratejiyle örtüştüğünü gösterelim. Bu göstergelerin her ikisini de hesaplayalım ve toplayalım:
(13.2)
Belirli bir matris için bu toplam (maksimum sütunun ağırlıklı ortalaması) sabit bir değerdir; Buna C diyelim:
ortalama risk eşittir
Açıkçası, bu değer maksimuma ulaştığında minimuma döner, dolayısıyla minimum ortalama risk koşullarından seçilen strateji, maksimum ortalama kazanç koşullarından seçilen stratejiyle çakışır.
Doğayla ilgili bir oyunu çözerken doğa durumlarının olasılıklarının bilindiği durumda, karma stratejileri kullanmadan her zaman yalnızca saf stratejilerle idare edebileceğinizi unutmayın. Aslında bir tür karma strateji uygularsak
yani olasılıklı bir strateji, olasılıklı bir strateji vb., o zaman hem koşullar (doğa durumları) hem de stratejilerimiz üzerinden ortalaması alınan ortalama kazancımız şöyle olacaktır:
Bu, saf stratejilerimize karşılık gelen kazançların ağırlıklı ortalamasıdır.
Ancak herhangi bir ortalamanın, ortalama değerlerin maksimumunu geçemeyeceği açıktır:
Bu nedenle, herhangi bir olasılıkla karma strateji kullanmak, bir oyuncu için saf strateji kullanmaktan daha karlı olamaz.
Koşulların olasılıkları (doğa durumları), benzer işlemlerin tekrarlanan performansıyla ilişkili istatistiksel verilerden veya yalnızca doğa durumlarının gözlemleriyle belirlenebilir. Örneğin, eğer demiryolu Belirli bir süre boyunca, tam olarak bilinmeyen bir taşıma hacminin tamamlanması gerekir, daha sonra koşulların dağılımına ilişkin veriler geçmiş yılların deneyimlerinden alınabilir. Bir önceki örnekte olduğu gibi operasyonun başarısı hava şartlarına bağlıysa, bunlara ilişkin veriler hava raporu istatistiklerinden alınabilir.
Ancak çoğu zaman bir operasyona başlarken doğa durumlarının olasılıkları hakkında hiçbir fikrimizin olmadığı durumlar vardır; Tüm bilgilerimiz olası durumların bir listesine ulaşır, ancak bunların olasılıklarını tahmin edemeyiz. Örneğin, önemli bir teknik buluşun önümüzdeki k yıl içinde önerilip uygulamaya konulması olasılığını makul bir şekilde tahmin edebilmemiz pek olası değildir.
Elbette bu gibi durumlarda koşulların (doğa durumlarının) olasılıkları subjektif olarak değerlendirilebilir: Bunlardan bazıları bize daha makul görünürken, diğerleri daha az makul görünmektedir. Şu veya bu hipotezin daha fazla veya daha az "makuliyeti" hakkındaki öznel fikirlerimizi sayısal tahminlere dönüştürmek için çeşitli teknik teknikler kullanılabilir. Yani herhangi bir hipotezi tercih edemiyorsak, eğer hepsi bizim için eşitse, o zaman onların olasılıklarını birbirine eşit olarak atamak doğaldır:
Bu, Laplace'ın "yetersiz sebep ilkesi" olarak adlandırılan ilkesidir. Sıklıkla karşılaşılan bir başka durum da, hangi koşulların daha olası ve hangilerinin daha az olası olduğuna dair bir fikrimizin olması, yani mevcut hipotezleri olasılıklarına göre azalan sıraya göre düzenleyebilmemizdir: en makul ilk hipotez (PO, ardından ikinci) en az makul hipotez (). Ancak birinin diğerine göre ne kadar daha muhtemel olduğunu bilmiyoruz. Bu durumda, örneğin hipotezlerin olasılıklarını azalan aritmetik ilerlemenin terimleriyle orantılı olacak şekilde atayabilirsiniz:
veya buna göre
Bazen deneyime ve sağduyuya dayanarak daha fazlasını tahmin etmek mümkündür. ince farklar hipotezlerin olasılık dereceleri arasında.
Doğanın durumuna ilişkin çeşitli hipotezlerin "olasılık-makullüğünün" bu tür öznel değerlendirme yöntemleri bazen bir çözüm seçiminde yardımcı olabilir. Ancak şunu da unutmamak gerekir ki “sübjektif olasılıklara göre seçilen optimal çözüm de kaçınılmaz olarak subjektif olacaktır. Bir kişi tarafından keyfi olarak belirlenen olasılıklar yerine, birbirinden bağımsız olarak bir grup nitelikli birey (“uzmanlar”) tarafından belirlenen bu tür olasılıkların ortalamasını dahil edersek, kararın öznellik derecesi azaltılabilir. Uzmanlarla görüşme yöntemi genellikle yaygın olarak kullanılmaktadır. modern bilim, belirsiz bir durumu değerlendirmeye gelince (örneğin, gelecek biliminde). Bu tür yöntemleri kullanma deneyimi, çoğu zaman uzmanların (birbirlerinden bağımsız olarak kabul edilen) değerlendirmelerinin, önceden varsayılabileceği kadar çelişkili olmaktan uzak olduğunu ve bunlardan bir sonuç çıkarmak için bazı önkoşullar türetmenin oldukça mümkün olduğunu göstermektedir. makul karar.
Yukarıda, doğa durumlarının nesnel olarak hesaplanan veya öznel olarak atanan olasılıklarına dayalı bir çözüm seçme konusunu vurguladık. Karar teorisindeki bu yaklaşım tek yaklaşım değildir. Buna ek olarak, belirsizlik koşullarında en uygun çözümü seçmeye yönelik birkaç "kriter" veya yaklaşım daha vardır. Bunlardan bazılarına bakalım.
1. Maximin Wald kriteri
Bu kritere göre, A oyuncusunun stratejisi, minimum kazancın maksimum olduğu optimal olarak seçilir; yani, her koşulda maksimumdan daha az olmayan bir getiriyi garanti eden bir strateji:
(13.4)
Bu kritere göre yönlendiriliyorsanız, her zaman en kötü koşullara odaklanmalı ve en kötü koşullarda kazancın maksimum olduğu stratejiyi seçmelisiniz. Doğayla oynanan oyunlarda bu kriteri kullanarak, bu kişisel olmayan ve çıkarsız otoritenin yerine aktif ve kötü niyetli bir düşman koyuyoruz. Açıkçası, böyle bir yaklaşım ancak durumu değerlendirirken aşırı karamsarlıkla belirlenebilir - "her zaman en kötüsüne güvenmelisiniz!" - ancak olası bir yaklaşım olarak dikkate alınmaya değer.
2. Savage'ın minimum maksimum risk kriteri
Bu kriterin özü, karar verirken büyük risklerden her ne şekilde olursa olsun kaçınmaktır.
Savage kriteri, Wald kriteri gibi, aşırı kötümserliğin bir kriteridir, ancak kötümserlik burada farklı anlaşılmaktadır: en kötü ilan edilen minimum kazanç değil, belirli koşullar altında elde edilebilecek olanla karşılaştırıldığında maksimum kazanç kaybıdır ( maksimum risk).
3. Karamsarlık-iyimserliğin Hurwitz kriteri
Bu kriter, belirsizlik koşullarında, bir karar seçerken ne aşırı karamsarlığa (her zaman en kötüsüne güvenin!) ne de aşırı, anlamsız iyimserliğe (her şey en iyi şekilde sonuçlanacaktır!) yönlendirilmemenizi önerir. Hurwitz kriteri şu forma sahiptir:
sıfır ile bir arasında seçilen bir katsayı nerede.
İfadenin (13.6) yapısını analiz edelim. Hurwitz kriteri kötümser Wald kriterine dönüştüğünde ve hangi stratejinin seçileceğini öneren “aşırı iyimserlik” kriterine dönüştüğünde en iyi koşullar kazançlar maksimumdur. Sonuçta aşırı kötümserlik ile aşırı iyimserlik arasında bir şey ortaya çıkıyor (katsayı, adeta araştırmacının “karamsarlık ölçüsünü” ifade ediyor). Bu katsayı subjektif değerlendirmelerden seçilir. daha tehlikeli durum, bu konuda ne kadar “kendimizi güvence altına almak” istersek, birliğe o kadar yakın olmayı seçeriz ve.
Dilerseniz Hurwitz'in iyimserlik-kötümserlik kriterine benzer bir kriteri Savage'ın kriterinde olduğu gibi kazanca değil riske dayalı olarak kurgulayabilirsiniz ama biz bunun üzerinde durmayacağız.
Hurwitz kriterindeki parametre seçimi gibi kriter seçimi de subjektif olsa da duruma bu kriterler açısından bakmak faydalı olabilir. Çeşitli kriterlerden ortaya çıkan öneriler örtüşürse, onların önerdiği çözümü güvenle seçebilirsiniz; Çoğu zaman olduğu gibi öneriler birbiriyle çelişiyorsa, bunu düşünmek ve kabul etmek her zaman mantıklıdır. nihai karar güçlü yönleri göz önüne alındığında ve zayıflıklar. Doğayla oynanan bir oyunun matrisini farklı kriterler perspektifinden analiz etmek, özellikle boyutları büyük olduğunda, matrisin doğrudan dikkate alınmasından ziyade genellikle durum, her çözümün avantajları ve dezavantajları hakkında daha iyi bir fikir verir.
Örnek 2. Doğayla ilgili bir 4X3 oyunu, dört oyuncu stratejisiyle ve koşulların üç çeşidiyle (doğa durumları) ele alınır: Kazanç matrisi tabloda verilmiştir. 13.2.
Tablo 13.2
Wald ve Savage kriterlerini ve Hurwitz kriterini kullanarak en uygun çözümü (stratejiyi) bulun.
Çözüm. 1. Wald kriteri.
Matrisin her satırında en küçük kazancı alıyoruz (Tablo 13.3).
Değerlerden maksimum (yıldız işaretiyle işaretlenmiştir) 0,25'tir, bu nedenle Wald kriterine göre strateji optimaldir
2. Vahşi kriteri.
Bir risk matrisi oluşturuyoruz ve her satırdaki maksimum riski sağdaki ek sütuna yerleştiriyoruz (Tablo 13.4).
Minimum değer 0,60'tır (yıldız işaretiyle işaretlenmiştir); bu nedenle Savage'ın kriterine göre stratejilerden herhangi biri optimaldir
Tablo 13.3
3. Hurwitz kriteri
Matrisin sağdaki üç sütununa (Tablo 13 5) kazanımın “kötümser” bir değerlendirmesini yazıyoruz: a); ve formül (13.6)'ya göre ağırlıklı ortalamaları:
bunun için elde edildiği
(minimum tümünün üzerinden alınır. Bu minimumu (veya maksimumu) Wald kriterinde olağan yöntemleri kullanarak bulabilirsiniz. doğrusal programlama. Wald, Savage ve Hurwitz kriterlerini kullanan karma stratejilerin kullanımının, yalnızca saf stratejilerin kullanıldığı bir çözüme göre avantaj sağlayacağı durumlar olabilir, ancak bu kriterleri yalnızca saf stratejiler için dikkate alacağız.
Bunun bir nedeni, durum hakkında bilgi eksikliği (koşulların olasılıklarını bilmeme) nedeniyle sonucun olumsuzlanabileceği karmaşık hesaplamalardan kaçınmak istememizdir. Başka, daha fazlası önemli sebep- teorinin ana içeriği bu mu? istatistiksel çözümler(buna bir sonraki paragrafta değineceğiz) almayı ve kullanmayı planlıyor Ek Bilgiler deney yoluyla elde edilebilecek doğa durumu hakkında. Araştırmalar, tipik durumlarda, önemli miktarda ek bilgi elde etme söz konusu olduğunda, durum olasılıklarını kullanmayan kriterlerin (Wald ve diğerleri), durum olasılıklarına dayalı bir kritere neredeyse eşdeğer hale geldiğini göstermektedir. Ancak böyle bir kriteri kullanarak karma stratejilerin kullanılmasının mantıklı olmadığını biliyoruz; bu nedenle, eğer herhangi bir miktarda ek bilgi elde edebilirsek, karma stratejilerin kullanılması anlamını yitirir (çözüm seçimi için hangi kriteri kullanırsak kullanalım). Deneylerle yeni bilgi elde edemezsek örnek 3'te gördüğümüz gibi farklı kriterler birbiriyle çelişen öneriler verebilir.
Bu kriter, Laplace'ın "yetersiz sebep ilkesi"ne dayanmaktadır; buna göre "doğa" Si, i = 1,n'nin tüm durumlarının eşit derecede olası olduğu varsayılmaktadır. Bu prensibe uygun olarak, her Si durumuna aşağıdaki formülle belirlenen bir q i olasılığı verilir:
Bu durumda, beklenen en büyük kazancı sağlayan R j eylemi seçildiğinde, başlangıç problemi risk koşulları altında bir karar verme problemi olarak düşünülebilir. Karar vermek için her Rj eylemi için kazancın aritmetik ortalama değeri hesaplanır:
(26)
Mj(R) arasından, optimal strateji Rj'ye karşılık gelecek maksimum değer seçilir.
Başka bir deyişle, karşılık gelen Rj eylemi
(27)
Eğer orijinal problemde matris olası sonuçlar risk matrisi ||r ji || ile temsil edilirse Laplace kriteri aşağıdaki formu alır:
(28)
Örnek 4. Taşımacılık işletmelerinden biri, taşıma kapasitesinin düzeyini, planlanan dönem için müşteri taşıma hizmetleri talebini karşılayacak şekilde belirlemelidir. Taşımacılık hizmetlerine olan talep bilinmiyor ancak dört değerden birini alması bekleniyor (tahmin ediliyor): 10, 15, 20 veya 25 bin ton Her talep düzeyi için, ülkenin en iyi taşıma kapasitesi seviyesi vardır. ulaştırma işletmesi (olası maliyetler açısından). Bu seviyelerden sapmalar, ya talebin üzerinde taşıma kapasitesi nedeniyle (demiryolu araçlarının boşta kalma süresi nedeniyle) ya da taşıma hizmetlerine yönelik talebin tam olarak karşılanmaması nedeniyle ek maliyetlere yol açmaktadır. Aşağıda ulaşım yeteneklerinin geliştirilmesine yönelik olası öngörülen maliyetleri belirleyen bir tablo bulunmaktadır:
Optimum stratejiyi seçmek gerekir.
Sorunun koşullarına göre, dört “doğa” durumunun varlığına eşdeğer olan ulaştırma hizmetlerine yönelik talep için dört seçenek vardır: S 1, S 2, S 3, S 4. Bir ulaştırma işletmesinin taşıma kapasitesini geliştirmeye yönelik bilinen dört strateji de vardır: R1, R2, R3, R4. Her bir Si ve Rj çifti için taşıma kapasitesi geliştirmenin maliyetleri aşağıdaki matriste verilmektedir (tablo) ):
Laplace ilkesi S 1, S 2, S 3, S 4'ün eşit derecede olası olduğunu varsayar. Dolayısıyla P(S = S i )= 1/n= 1/4 = 0,25, i = 1, 2, 3, 4 ve beklenen maliyetler çeşitli eylemler R1, R2, R3, R4 şunlardır:
Böylece, en iyi strateji Laplace kriterine göre ulaşım yeteneklerinin geliştirilmesi R 2 olacaktır.
2. Wald kriteri(minimax veya maximin kriteri). Bu kriterin uygulanması Si durumlarının olasılıklarının bilinmesini gerektirmez. Bu kriter, en kötü stratejiler Rj'den en iyisinin seçilmesine dayandığından daha fazla dikkatli olma ilkesine dayanır.
Orijinal matriste (problemin koşullarına göre) V ij sonucu karar vericinin kayıplarını temsil ediyorsa, optimal stratejiyi seçerken minimaks kriteri kullanılır. Optimum strateji R j'yi belirlemek için, sonuç matrisinin her satırında en büyük öğe max(V ij )'yi bulmak ve ardından bunların en küçük öğesine karşılık gelecek olan Rj eylemini (satır j) seçmek gerekir. en büyük öğeler, yani sonucu belirleyen eylem, eşit
(29)
Orijinal matriste, problemin koşullarına göre, V ij sonucu karar vericinin kazancını (faydasını) temsil ediyorsa, o zaman optimal stratejiyi seçerken maksimin kriteri kullanılır.
Optimum strateji R j'yi belirlemek için, sonuç matrisinin her satırında en küçük öğe min (Vij) bulunur ve ardından bu en küçük öğelerin en büyük öğelerine karşılık gelecek olan R j eylemi (satır j) seçilir. , yani sonucun eşit olduğunu belirleyen eylem
(30)
Örnek 5. Örnek 4'ü düşünün. Bu örnekte V ij kayıpları (maliyetleri) temsil ettiğinden, minimaks kriterini uyguluyoruz. Gerekli hesaplama sonuçları aşağıdaki tabloda gösterilmektedir:
Bu nedenle, "kötünün iyisi" minimax kriterine uygun olarak taşıma kapasitesini geliştirmek için en iyi strateji üçüncü, yani R3 olacaktır.
Wald minimaks kriteri aşırı “karamsarlık” nedeniyle bazen mantıksız sonuçlara varabilmektedir. Bu kriterin “karamsarlığı” Savage'ın kriterini düzeltiyor.
3. Vahşilik kriteri risk matrisini kullanır || r ij ||. Bu matrisin elemanları, aşağıdaki biçimde yeniden yazdığımız formüller (23), (24) kullanılarak belirlenebilir:
(31)
Bu, r ij'nin i sütunundaki en iyi değer ile aynı i için V ji değerleri arasındaki fark olduğu anlamına gelir. V ji'nin gelir (kazanç) ya da kayıp (maliyet) olmasına bakılmaksızın, r ji her iki durumda da karar vericinin zarar miktarını belirler. Bu nedenle r ji'ye yalnızca minimaks kriteri uygulanabilir. Savage kriteri, belirsizlik koşulları altında, risk değerinin alınacağı Rj stratejisinin seçilmesini önerir. en küçük değer en olumsuz durumda (risk en yüksek olduğunda).
Örnek 6. Örnek 4'ü düşünün. Verilen matris kayıpları (maliyetleri) belirler. Formül (31)'i kullanarak risk matrisinin öğelerini hesaplıyoruz || r ij ||:
Savage'ın minimum risk kriterini kullanarak elde edilen hesaplama sonuçlarını aşağıdaki tabloda sunuyoruz:
Risk değerinin rji'nin getirilmesi, en elverişsiz durumda (risk maksimum olduğunda) en az kaybı (maliyeti) sağlayan ilk strateji R1'in seçilmesine yol açmıştır.
Savage kriterinin uygulanması, bir strateji seçerken herhangi bir şekilde büyük bir riskten kaçınmanıza ve dolayısıyla daha büyük bir kayıptan (kayıplardan) kaçınmanıza olanak tanır.
4. Hurwitz kriterişu iki varsayıma dayanmaktadır: “doğa” (1 - α) olasılığıyla en elverişsiz durumda olabilir ve α güven katsayısı olmak üzere α olasılığıyla en avantajlı durumda olabilir. Eğer sonuç V j i kâr, fayda, gelir vb. ise Hurwitz kriteri şu şekilde yazılır:
V ji maliyetleri (kayıpları) temsil ettiğinde, aşağıdaki sonucu veren eylemi seçin:
Eğer α = 0 ise kötümser Wald kriterini elde ederiz.
Eğer α = 1 ise şu sonuca varırız: belirleyici kural max max V ji biçiminde veya sözde "sağlıklı iyimser" stratejiye göre, yani kriter çok iyimser.
Hurwitz kriteri, her iki davranışı da uygun ağırlıklarla (1 - α) ve 0≤α≤1 olan α ile tartarak aşırı kötümserlik ve aşırı iyimserlik durumları arasında bir denge kurar. Karar vericinin karamsarlık ya da iyimserlik eğilimine bağlı olarak α'nın 0'dan 1'e kadar olan değeri belirlenebilir. Belirgin bir eğilimin yokluğunda, α = 0,5 en makul görünmektedir.
Örnek 7. Örnek 4'te Hurwitz kriterini kullanıyoruz. α = 0,5 olarak kabul edelim. Gerekli hesaplamaların sonuçları aşağıda verilmiştir:
En uygun çözüm W'yi seçmektir.
Bu nedenle, örnekte hangisinin seçileceğini seçmeliyiz. olası çözümler tercih edilir:
Laplace kriterine göre - strateji seçimi R 2,
Wald kriterine göre - strateji seçimi R3;
Savage'ın kriterine göre - strateji seçimi R 1;
Hurwitz kriterine göre α = 0,5'te - R1 stratejisinin seçimi ve karar verici kötümserse (α = 0), o zaman R3 stratejisinin seçimi.
Bu, uygun kriterin (Laplace, Wald, Savage veya Hurwitz) seçimiyle belirlenir.
Belirsizlik koşullarında karar verme kriterinin seçimi yöneylem araştırmasının en zor ve kritik aşamasıdır. Ancak genel bir ipucu veya öneri yoktur. Kriter seçimi, karar verici (DM) tarafından, çözülmekte olan problemin spesifik özellikleri dikkate alınarak ve hedeflerine uygun olarak, ayrıca geçmiş deneyimlere ve kendi sezgilerine dayanarak yapılmalıdır.
Özellikle minimal risk bile kabul edilemezse Wald kriteri uygulanmalıdır. Aksine, belirli bir risk oldukça kabul edilebilirse ve karar verici, daha sonra çok az yatırım yaptığından pişmanlık duymayacak kadar belirli bir işletmeye çok fazla para yatırmayı planlıyorsa, o zaman Savage kriteri seçilir.
3. Laplace, Wald, Savage, Hurwitz kriteri
Risk ve belirsizlik koşullarında karar verirken en uygun stratejiyi seçmek için çeşitli kriterler vardır.
Laplace kriteri: Dış koşulların tüm değişkenlerinin eşit derecede muhtemel olduğu varsayılabilirse kullanılır. Her çözüm için var ortalama derecelendirme tüm seçenekler için dış koşullar(ortalama kazanç):
burada N, dış ortamın durumlarının sayısıdır.
burada Z – optimal strateji.
Wald kriteri:(aşırı kötümserlik kriteri, maksimum kriteri): çözüm, en kötü dış koşullara göre seçilir. Doğa durumlarının olasılıkları bilinmemektedir ve bunlar hakkında istatistiksel bilgi elde etmenin bir yolu yoktur. Her çözüm, bu çözümün seçilmesiyle elde edilebilecek minimum kazanç kullanılarak değerlendirilir:
En iyi çözüm, maksimum puanı alan çözümdür.
En iyi çözüm, maksimum puanı alan çözümdür.
Wald kriterine göre, doğanın en kötü durumunda garantili kazanç sağlayan bir strateji seçilir.
Vahşi kriter Wald kriteri gibi aşırı kötümserliğin bir kriteridir, ancak burada yalnızca kötümserlik maksimum kazanç kaybının en aza indirilmesinde kendini gösterir. Kararları değerlendirmek için bir risk matrisi kullanılır. Bu karara karşılık gelen maksimum risk (maksimum kayıp kazanç) değerlendirme olarak kullanılır:
En iyi çözüm minimum puana sahip çözümdür.
Bu, karar vermede en ihtiyatlı ve risk bilinci en yüksek yaklaşımdır.
Hurwitz kriteri: karar, hem olumlu hem de olumsuz dış koşulların mümkün olduğu dikkate alınarak verilir. Bu kriteri kullanırken, olumsuz dış koşulların olasılığının öznel (yani hesaplanmayan, ancak bir kişi tarafından gösterilen) değerlendirmesini temsil eden 0 ile 1 arasında bir sayı olan "karamsarlık katsayısını" belirtmek gerekir. . Dış koşulların elverişsiz olacağını varsaymak için bir neden varsa, kötümserlik katsayısı bire yakın olarak atanır. Olumsuz dış koşulların olası olmadığı durumlarda sıfıra yakın bir karamsarlık katsayısı kullanılır. Çözümler aşağıdaki formül kullanılarak tahmin edilir:
burada a kötümserlik katsayısıdır.
En iyi çözüm, maksimum puanı alan çözümdür:
Risk ve belirsizlik koşullarında karar verirken kullanılabilecek optimallik kriterlerinin yanı sıra, belirsizlik koşullarında yönetim faaliyetlerinde kullanılan oyun teorisinin çok iyi bilinen ve yaygın bir yöntemi vardır.
4. Belirsizlik altında karar vermede oyun teorisi yöntemi
Belirsizlik koşullarında karar verirken oyun teorisi yöntemi çok yaygın olarak kullanılmaktadır. Oyun teorisi, çatışma durumlarının matematiksel bir teorisidir. Bu teorinin amacı, çatışmaya katılanlar için rasyonel bir eylem planına yönelik öneriler geliştirmektir. Bu durumda, oyun adı verilen basitleştirilmiş bir çatışma durumu modeli oluşturulur. Bir "oyun", bir dizi eylem veya "dönüşten" oluşan bir etkinliktir. Oyun, çok özel kurallara göre oynanması bakımından gerçek bir çatışma durumundan farklıdır. Çatışmaya dahil olan taraflara oyuncu denir, çatışmanın sonucuna kazanç denir vb.
Bir oyunda iki tarafın çıkarları çatışırsa oyuna ikili denir; daha fazla taraf varsa buna çoklu denir. İki kalıcı koalisyonun olduğu çoklu oyun, oyunu çiftler oyununa dönüştürür. Çiftli oyunların pratik önemi büyüktür. A oyuncusunun m stratejisine ve B oyuncusunun n stratejisine sahip olduğu sonlu bir oyun düşünün. Bu oyuna m x n denir. Buna göre stratejiler şu şekilde gösterilecektir: A 1, A 2, ..., A m - A oyuncusu için; B 1, B 2, ..., B n - B oyuncusu için. Oyun yalnızca kişisel hamlelerden oluşuyorsa, o zaman oyuncuların A i ve B j stratejilerinin seçimi oyunun sonucunu benzersiz bir şekilde belirler - kazancımız a ij Tüm kombinasyon stratejileri için bir ij biliniyorsa, m x n boyutunda bir ödeme matrisi oluştururlar; burada: m, matrisin satır sayısıdır ve n, sütunlarının sayısıdır.
Oyuncuların uygun stratejileri (maksimum ve minimaks) seçmesini gerektiren dikkat ilkesi, oyun teorisinin temel ilkesidir ve minimaks ilkesi olarak adlandırılır. Böyle bir oyunun getiri matrisinde hem satırında minimum hem de sütununda maksimum olan bir öğe vardır. Böyle bir elemana ince eyer denir. Bu durumda v=ą=ş değerine oyunun net fiyatı denir. Bu durumda, oyunun çözümü (oyuncuların optimal stratejileri kümesi) aşağıdaki özelliğe sahiptir: eğer oyunculardan biri kendi optimal stratejisine bağlı kalırsa, diğerinin optimal stratejisinden sapması karlı olamaz. Oyunun üst fiyatı düşük fiyatla örtüşmüyorsa, bu durumda karma stratejiler oynamaktan bahsetmeye değer. Karışık bir S A, p 1 , p 2 ,…, p n olasılığıyla A 1 , A 2 ,…, A n saf stratejilerinin kullanılmasıdır ve karma strateji S B, B 1 , B 2 ,…, saf stratejilerinin kullanılmasıdır. p 1 ,p 2 ,…,p m olasılıkla B n . Oyunun boyutu 2'ye 2 olsun ve getiri matrisi tarafından verilir:
A oyuncusu için en uygun strateji aşağıdaki olasılıklara sahip olacaktır:
;
; oyun fiyatı 
Savage kriteri belirsizlik koşullarında karar verme kriterlerinden biridir. Belirsizlik koşulları, alınan kararların sonuçlarının bilinmediği ve ancak yaklaşık olarak tahmin edilebildiği bir durum olarak kabul edilir. Bir karar vermek için... ... Vikipedi
Kolmogorov uyum iyiliği testi- veya Kolmogorov-Smirnov Uyum İyiliği Testi istatistiksel test, iki ampirik dağılımın aynı yasaya uyup uymadığını veya sonuçta ortaya çıkan dağılımın varsayılan modele uyup uymadığını belirlemek için kullanılır... ... Vikipedi
Wald kriteri-, Wald kriterinin başka bir yazımı için bkz. Maximin... Ekonomik ve matematiksel sözlük
Pearson uyum iyiliği testi- Pearson kriteri veya χ² kriteri (Ki kare), dağılım yasasına ilişkin hipotezi test etmek için en sık kullanılan kriterdir. Pek çok pratik problemde, tam dağıtım yasası bilinmemektedir, yani bu bir hipotezdir ... ... Vikipedi
Kruskal kriteri- Wallis, çeşitli numunelerin medyanlarının eşitliğini test etmek için tasarlanmıştır. Bu kriter Wilcoxon-Mann-Whitney testinin çok boyutlu bir genellemesidir. Kruskal Wallis kriteri bir sıralama kriteridir, dolayısıyla herhangi bir kritere göre değişmez... ... Vikipedi
Cochran kriteri- Aynı büyüklükteki üç veya daha fazla numuneyi karşılaştırırken Cochran testi kullanılır. Varyanslar arasındaki tutarsızlık, seçilen anlamlılık seviyesinde rastgele olarak kabul edilir, eğer: rastgele değişkenin niceliği ve toplananların sayısı nerede... ... Vikipedi
Lilliefors kriteri- Adını George Washington Üniversitesi'nde istatistik profesörü olan Hubert Lilliefors'tan alan ve Kolmogorov-Smirnov testinin bir modifikasyonu olan istatistiksel bir test. Numunenin boş hipotezini test etmek için kullanılır... ... Vikipedi
Wilcoxon testi- Bu makaleyi geliştirmek için şu önerilir: Yazılanları doğrulayan yetkili kaynaklara giden dipnot bağlantılarını bulun ve düzenleyin. Çizimler ekleyin. T Girit ... Vikipedi
Sıralı istatistiksel test- Sıralı istatistiksel test, test etmek için kullanılan sıralı bir istatistiksel prosedürdür. istatistiksel hipotezler V sıralı analiz. İstatistiksel bir deneyde gözlemlenmeye açık olsun rastgele değişken... ... Vikipedi'yle
Wald testi- (English Wald testi) örnek verilere dayanarak tahmin edilen istatistiksel modellerin parametreleri üzerindeki kısıtlamaları test etmek için kullanılan istatistiksel bir test. Kısıtlamaları kontrol etmek için kullanılan üç temel testten biridir ve testle birlikte ... ... Vikipedi
Kitaplar
- Problemlerde olasılık teorisi ve matematiksel istatistik: 360'tan fazla problem ve alıştırma, D. Borzykh. Önerilen kılavuz, farklı karmaşıklık seviyelerinde problemler içermektedir. Ancak asıl vurgu orta karmaşıklıktaki görevleredir. Bu, öğrencileri teşvik etmek için kasıtlı olarak yapıldı... 443 RUR karşılığında satın alın
- Olasılık teorisi ve problemlerde matematiksel istatistik. 360'tan fazla görev ve alıştırma, Borzykh D.A.. Önerilen kılavuz, farklı karmaşıklık seviyelerinde görevler içermektedir. Ancak asıl vurgu orta karmaşıklıktaki görevleredir. Bu, öğrencileri teşvik etmek için kasıtlı olarak yapılır.
Kısa teori
İnsanın herhangi bir ekonomik faaliyeti doğayla oynanan bir oyun olarak düşünülebilir. Geniş anlamda doğayı, alınan kararların etkinliğini etkileyen bir dizi belirsiz faktör olarak anlıyoruz.
Herhangi bir nesne bir diziyi benimseyerek kontrol edilir yönetim kararları. Karar vermek için bilgi gereklidir (kontrol nesnesinin durumu ve çalışma koşulları hakkında bir dizi bilgi). Yeterli olmadığı durumlarda tam bilgi Karar vermede belirsizlik ortaya çıkar. Bunun nedenleri farklı olabilir: kararı tam olarak kanıtlamak için gereken bilgiler prensipte elde edilemiyor (giderilemez belirsizlik); kararın verildiği tarihte bilginin zamanında elde edilememesi; Bilgi edinmenin maliyeti çok yüksektir. Bilgiyi toplama, iletme ve işleme araçları geliştikçe yönetim kararlarının belirsizliği azalacaktır. Bunun için çabalamamız gerekiyor. İndirgenemez belirsizliğin varlığı birçok olgunun rastgele doğasıyla ilişkilidir. Örneğin, ticarette talepteki değişikliklerin rastgele doğası, bunu doğru bir şekilde tahmin etmeyi ve dolayısıyla malların arzı için mükemmel bir şekilde doğru bir düzen oluşturmayı imkansız hale getirir. Bu durumda karar vermek risk içerir. Numune alma esasına göre bir mal partisinin kabulü aynı zamanda belirsizlik koşulları altında karar verme riskiyle de ilişkilidir. Tüm partinin tamamen incelenmesiyle belirsizlik ortadan kaldırılabilir ancak bu çok maliyetli olabilir. Örneğin tarımda, hasat elde etmek için kişi bir takım eylemlerde bulunur (toprağı sürmek, gübre uygulamak, yabani otlarla mücadele etmek vb.). Nihai sonuç (hasat) yalnızca insanların değil aynı zamanda doğanın (yağmur, kuraklık, akşam vb.) eylemlerine de bağlıdır. Yukarıdaki örneklerden ekonomik sistemin yönetimindeki belirsizliği tamamen ortadan kaldırmanın imkansız olduğu açıktır, ancak tekrarlıyoruz, bunun için çabalamamız gerekiyor. Her özel durumda, yönetim kararları alınırken risk derecesi dikkate alınmalı ve hatalı kararlar nedeniyle ortaya çıkabilecek olumsuz sonuçları azaltmak için mümkünse mevcut bilgiler mümkün olduğunca dikkate alınmalıdır.
Oyuna katılan iki taraf Oyuncu I ve Oyuncu II olarak adlandırılacaktır. Her oyuncunun oyun sırasında kullanabileceği sınırlı sayıda eylem (saf strateji) vardır. Oyunun tekrarlayan, döngüsel bir doğası vardır. Her döngüde oyuncular, ödemeyi benzersiz şekilde belirleyen stratejilerinden birini seçerler. Oyuncuların çıkarları zıt. Oyuncu I, ödemelerin mümkün olduğu kadar yüksek olması için oyunu oynamaya çalışır. Oyuncu II için ödemelerin mümkün olduğu kadar küçük olması arzu edilir (işaret dikkate alınarak). Üstelik her döngüde oyunculardan birinin kazancı diğerinin kaybıyla birebir örtüşüyor. Bu tür oyunlara sıfır toplamlı oyunlar denir.
Bir oyunu çözmek, oyuncuların en uygun davranışlarını belirlemek anlamına gelir. Oyun çözmek oyun teorisinin konusudur. Oyuncunun optimal davranışı, kazanç matrisinin tüm öğelerindeki değişikliklere göre belirli bir miktarda değişmez.
İÇİNDE genel durum Oyuncuların optimal davranışını belirlemek, ikili doğrusal programlama problemlerinin çözülmesini içerir. Bazı durumlarda daha basit yöntemler de kullanılabilir. Çoğu zaman, ödeme matrisi, oyuncuların domine edilen stratejilerine karşılık gelen satır ve sütunların çıkarılmasıyla basitleştirilebilir; eğer tüm ödemeler başka bir stratejinin ve en az birinin karşılık gelen ödemelerinden daha iyi değilse, buna baskın strateji denir. ödemeler, baskın strateji adı verilen bu diğer stratejinin karşılık gelen ödemesinden daha kötüdür.
Tipik bir strateji oyunu "makul ve düşmanca" rakipleri (karşıt taraflar) içerir. Bu tür oyunlarda her iki taraf da tam olarak kendisine en faydalı ve düşmana daha az faydalı olan eylemleri gerçekleştirir. Bununla birlikte, çoğu zaman belirli bir operasyona eşlik eden belirsizlik, düşmanın bilinçli muhalefetiyle ilişkili değildir, oyuncu I tarafından bilinmeyen bazı nesnel gerçekliğe (doğaya) bağlıdır. Bu tür durumlara genellikle doğayla oynanan oyunlar denir. Oyuncu II - doğa - istatistiksel oyunlar teorisinde makul bir oyuncu değildir, çünkü kendisi için en uygun stratejileri seçmeyen bir tür ilgisiz otorite olarak kabul edilir. Doğanın olası durumları (stratejileri) rastgele gerçekleştirilir. Yöneylem araştırmasında, operasyon ekibine (oyuncu I) genellikle istatistikçi adı verilir ve operasyonların kendisine de genellikle istatistikçi doğası oyunları veya istatistiksel oyunlar denir.
Belirsizlik koşulları altında karar verme probleminin bir oyun formülasyonunu ele alalım. İşletmeci tarafın, varsayımların yapılabileceği koşullar konusunda yeterince bilinmeyen bir ortamda bir işlem yapması gereksin. Bu varsayımları doğanın stratejileri olarak ele alacağız. İşletmeci tarafın elinde olası stratejiler vardır - . Oyuncu I'in her bir strateji çifti için getirilerinin bilindiği ve getiri matrisi tarafından belirlendiği varsayılır.
Görev, uygulandığı takdirde operasyon ekibine en büyük kazancı sağlayacak bir stratejinin (saf veya karma) belirlenmesidir.
Yukarıda, insanın ekonomik faaliyetinin doğayla oynanan bir oyun olarak değerlendirilebileceği söylenmişti. Bir oyuncu olarak doğanın temel özelliği kazanmayla ilgilenmemesidir.
Doğayla oynanan bir oyunun getiri matrisinin analizi, doğayla oynayan kişinin yinelenen ve açıkça kârsız olan stratejilerinin belirlenmesi ve ortadan kaldırılmasıyla başlar. Doğanın stratejilerine gelince, bunların hiçbiri göz ardı edilemez, çünkü doğa durumlarının her biri, Oyuncu I'in eylemlerine bakılmaksızın rastgele meydana gelebilir. Doğa, Oyuncu I'e karşı çıkmadığı için, doğayla oynamak, doğayla oynamaktan daha basit gibi görünebilir. stratejik oyun. Aslında bu doğru değil. Stratejik bir oyundaki oyuncuların çatışan çıkarları, istatistiksel bir oyun için söylenemeyecek olan belirsizliği bir anlamda ortadan kaldırıyor gibi görünüyor. Doğanın olduğu bir oyunda, bilinçli bir rakibe karşı oynanan bir oyundan daha fazla kazanma ihtimalinin yüksek olması anlamında, operasyon yapan taraf için daha kolaydır. Ancak doğayla oynarken durumun belirsizliği onu çok daha fazla etkilediğinden bilinçli bir karar vermesi daha zordur.
Doğası gereği bir oyunun ödeme matrisini basitleştirdikten sonra, yalnızca belirli bir oyun durumu için kazançları tahmin etmek değil, aynı zamanda mümkün olan maksimum kazançlar arasındaki farkı da belirlemek tavsiye edilir. bu durum niteliği ve aynı koşullar altında strateji uygulandığında elde edilecek kazanç. Oyun teorisindeki bu farklılığa risk denir.
Doğa oyunun sonucunu hiç umursamadan kendiliğinden durum değiştirir. Antagonistik oyunda, oyuncuların optimal (yukarıda tanımlandığı anlamda) karma stratejiler kullandıklarını varsaydık. Doğanın muhtemelen optimal stratejiden daha azını kullandığı varsayılabilir. Peki hangisi? Bu sorunun bir cevabı olsaydı, karar vericinin (DM) karar vermesi deterministik bir soruna indirgenirdi.
Doğa durumlarının olasılıkları biliniyorsa, ortalama getiriyi maksimuma çıkaran saf stratejinin optimal olduğu kabul edilen Bayes kriteri kullanılır:
Bayes kriteri, işlemleri gerçekleştirmeye yönelik koşulları (doğa durumlarını) bilmesek de, bunların olasılıklarını bildiğimizi varsayar.
Bu tekniğin yardımıyla, belirsizlik koşulları altında bir çözüm seçme sorunu, kesinlik koşulları altında bir çözüm seçme sorununa dönüşür; yalnızca verilen karar, her bir durumda değil, ortalama olarak optimaldir.
Eğer doğanın tüm durumları oyuncuya eşit derecede makul görünüyorsa, o zaman bazen inanılır ve Laplace'ın "yetersiz sebep ilkesi" dikkate alınarak saf stratejinin optimal olduğu kabul edilir, şu koşullar sağlanır:
Eğer doğanın karma stratejisi bilinmiyorsa, o zaman doğanın davranışı hakkındaki hipoteze bağlı olarak karar vericinin karar seçimini gerekçelendirmek için bir takım yaklaşımlar önerilebilir. Doğanın davranışının doğasına ilişkin değerlendirmemizi, bir oyuncu olarak doğanın aktif “karşı koyma” derecesi ile ilişkilendirilebilecek sayı ile karakterize edeceğiz. Değer, “karar vericinin” anlamında en kötümser tutumuna karşılık gelir. En iyi ekonomik sonuçların elde edilmesinde doğanın yardımı”. Değer, karar vericinin en büyük iyimserliğine karşılık gelir. Bilindiği gibi ekonomik faaliyetlerde bu aşırılıklar tehlikelidir. Büyük olasılıkla, bazı ara değerlerden ilerlemeniz tavsiye edilir. Bu durumda Hurwitz kriteri kullanılır ve buna göre en iyi karar vericinin çözümü şu koşulu karşılayan saf stratejidir:
Hurwitz kriteri (“iyimserlik-kötümserlik” kriteri), belirsizlik koşulları altında riskli bir karar seçerken, “maksimum” ve “maksimum” değerleri arasındaki alanda yer alan bazı ortalama verimlilik sonuçlarıyla yönlendirilmenizi sağlar. maximin” kriterleri (bu değerler arasındaki alan dışbükey doğrusal bir fonksiyonla bağlanır).
Karar vericinin aşırı kötümser olması durumunda bu kritere Wald kriteri adı verilmektedir. Bu kritere göre maksimin stratejisi en iyi strateji olarak kabul edilir. Bu aşırı karamsarlığın bir kriteridir. Bu kritere dayanarak karar verici, en kötü koşullar altında maksimum kazancı garanti eden stratejiyi seçer:
Bu seçim, karar vericinin doğanın en elverişsiz davranışını üstlendiği ve büyük kayıplardan korktuğu zamandaki en çekingen davranışına karşılık gelir. Büyük kazançlar almayacağı varsayılabilir. Savage'ın kriterine göre, şu koşulu karşılayan bir saf strateji seçilmelidir:
risk nerede?
Savage kriteri ("minimaks" kayıp kriteri), "karar matrisinin" tüm olası seçenekleri arasından, olası çözümlerin her biri için maksimum kayıpların boyutunu en aza indiren alternatifin seçildiğini varsayar. Bu kriter kullanıldığında “karar matrisi”, verimlilik değerleri yerine çeşitli senaryolara göre kayıpların boyutlarının girildiği bir “risk matrisi”ne dönüştürülür.
Wald, Savage ve Hurwitz kriterlerinin dezavantajı subjektif değerlendirme doğanın davranışı. Her ne kadar bu kriterler karar verme konusunda bazı mantıksal çerçeveler sağlasa da şu soruyu sormak yine de mantıklıdır: "Farklı kriterlerle uğraşmak yerine neden hemen subjektif bir karar seçmiyorsunuz?" Şüphesiz çözümün belirlenmesi çeşitli kriterler Karar vericinin, çeşitli pozisyonlardan alınan kararları değerlendirmesine ve iş faaliyetlerinde ciddi hatalardan kaçınmasına yardımcı olur.
Sorun çözümü örneği
Sorun durumu
Birkaç yıl çalıştıktan sonra ekipman üç durumdan birinde kalabilir:
- önleyici bakım gereklidir;
- Bireysel parçaların ve düzeneklerin değiştirilmesi gereklidir;
- büyük onarımlar gerektirir.
Duruma bağlı olarak işletmenin yönetimi aşağıdaki kararları verebilir:
Aşağıdaki varsayımlar dikkate alınarak, maliyet minimizasyonu kriterine göre bu soruna en uygun çözümün bulunması gerekmektedir:
| A | 4 | 6 | 9 | B | 5 | 3 | 7 | C | 20 | 15 | 6 | Q | 0.4 | 0.45 | 0.15 |
Sorun çözümü
Sorunları çözmede zorluk yaşıyorsanız site, öğrencilere testler veya sınavlarla en uygun çözüm yöntemleri konusunda çevrimiçi yardım sağlar.
Çiftler oyunu, istatistiksel. Oyun 2 oyuncuyu içeriyor: işletmenin ve doğanın yönetimi.
Doğanın altında bu durumda bütünlüğü anlamak dış faktörler Ekipmanın durumunu belirleyen.
Yönetim Stratejisi:
Ekipmanı kendiniz onarın
Uzmanlardan oluşan bir ekip çağırın
Ekipmanı yenisiyle değiştirin
Doğanın stratejisi - 3 olası ekipman durumu.
Önleyici bakım gerekli;
Bireysel parçalar ve düzenekler değiştirilmelidir;
Büyük yenileme gerektirir.
Ödeme matrisi ve risk matrisinin hesaplanması
Matrisin elemanları maliyet olduğundan, onları kazanan olarak kabul edeceğiz ancak eksi işaretiyle. Ödeme matrisi:
| -4 | -6 | -9 | -9 | -5 | -3 | -7 | -7 | -20 | -15 | -6 | -20 | 0.4 | 0.45 | 0.15 |
Bir risk matrisi oluşturuyoruz:
| -4-(-20)=16 | -6-(-15)=9 | -9-(-9)=0 | 16 | -5-(-20)=15 | -3-(-15)=12 | -7-(-9)=2 | 15 | -20-(-20)=0 | -15-(-15)=0 | -6-(-9)=3 | 3 |
Bayes kriteri
Ortalama kazancı belirliyoruz:
Bayes kriterine göre en uygun strateji uzmanlardan oluşan bir ekibin çağrılmasıdır.
Laplace kriteri
Ortalama kazancı belirleyelim:
Laplace kriterine göre en uygun strateji, uzmanlardan oluşan bir ekibin çağrılmasıdır.
Wald kriteri
Wald kriterine göre en uygun strateji uzmanlardan oluşan bir ekibin çağrılmasıdır.
Vahşi kriter
Savage'ın kriterine göre en uygun strateji, ekipmanı yenisiyle değiştirmektir.
Hurwitz kriteri
Hurwitz'in kriterine göre en uygun strateji, uzmanlardan oluşan bir ekibin çağrılmasıdır.
Cevap
Savage'ın kriteri dışındaki tüm kriterlere göre en uygun strateji "Uzmanlardan oluşan bir ekip çağırın." Savage'ın riskleri en aza indiren kriterine göre en uygun strateji "Ekipmanı yenisiyle değiştirin".
Hakkında teorik bilgiler içerir. matris oyunu eyer noktası olmadan ve böyle bir problemi doğrusal programlama problemine indirgeyerek çözümünü karma stratejilerde bulmanın bir yolu. Sorunun çözümüne ilişkin bir örnek verilmiştir.
Sınırsız kuyruklu çok kanallı QS
“Çok Kanallı Sistem” konusunda gerekli teorik bilgiler ve problemin örnek çözümü verilmektedir. sıraya girme sınırsız kuyrukla" göstergeleri ayrıntılı olarak ele alınır çok kanallı sistem hizmeti bekleyen kuyruk hizmeti (QS) - bir isteğe hizmet vermek için kullanılan ortalama kanal sayısı, kuyruk uzunluğu, kuyruk oluşma olasılığı, olasılık özgür devlet sistemler, kuyrukta ortalama bekleme süresi.
İş ağı programının kritik yolu, kritik zamanı ve diğer parametreleri
Bir problem çözme örneğini kullanarak, inşa etme sorunları ağ grafikleriçalışır, kritik yolu ve kritik zamanı bulur. Ayrıca, olayların ve çalışmaların parametrelerinin ve rezervlerinin hesaplanması da gösterilmektedir - erken ve geç tarihler, genel (tam) ve özel rezervler.
