İçerik
Giriiş................................................. ....... ................................................... ................ ........ 2
1. Sorunun açıklaması.................................................. ...................................................................... 3
2. Problemin çözümü için matematiksel ve algoritmik temeller................................. 5
2.1 Matris belirleyicisi.................................................. ....................................... 5
2.2 Sistemleri çözmek için Gauss yöntemi doğrusal denklemler........................ 6
2.3 Determinantın hesaplanması için Gauss yöntemi.................................................. ......... 8
3. Sorunun çözümüne yönelik fonksiyonel modeller ve blok diyagramlar................................................ 9
4. Sorun çözümünün yazılım uygulaması.................................................. ........ .. 11
5. Program yürütme örneği.................................................. ...................................... 16
Çözüm................................................. .................................................. ...... .18
Kullanılan kaynakların ve literatürün listesi.................................................. ........ 19
giriiş
Ekonomik araştırma, planlama ve yönetimde ortaya çıkan birçok problem, matematiksel olarak formüle edildiğinde, bir sistemi çözmenin gerekli olduğu problemleri temsil eder. cebirsel denklemler.
Tarihsel olarak, doğrusal denklem sistemlerini çözmek için ilk ve en yaygın yöntem Gauss yöntemi veya yöntemdir. sıralı eleme bilinmiyor. Bu yöntemin özü, bilinmeyenlerin ardışık olarak ortadan kaldırılmasıdır. bu sistem buna eşdeğer kademeli (özellikle üçgen) bir sisteme dönüşür.
Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini pratik olarak çözerken, denklem sisteminin kendisini değil, bu sistemin genişletilmiş matrisini, satırlarında temel dönüşümler gerçekleştirerek aşamalı bir forma indirgemek daha uygundur. Dönüşüm sırasında elde edilen sıralı matrisler genellikle bir eşdeğerlik işaretiyle bağlanır. Bu yöntem (aynı zamanda bilinmeyenlerin sıralı olarak yok edilmesi yöntemi olarak da bilinir) çeşitli seçenekler 2000 yılı aşkın süredir.
SLAE'nin analitik çözümünün yanı sıra, verilen matrisin tersini bulmak, matrisin rütbesini belirlemek ve determinantı bulmak için Gauss yöntemi de kullanılır.
Bunun amacı ders çalışması Determinantın Gauss eleme yöntemi ile hesaplanmasının uygulanmasıdır.
1. Sorunun beyanı
Bir matrisin determinantının hesaplanması, doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için matris üzerinde Gauss algoritmasının çalıştırılmasını içerir. Algoritmanın uygulanması sonucunda köşegen bir matris elde ederiz, determinantı köşegendeki elemanların çarpımına eşittir.
. ~. . .Gauss yok etme yöntemi A'yı kullanarak matrisin determinantını hesaplayın.
.
Gauss yöntemini kullanarak matrisi köşegen forma indirgeyelim.
~.
O zaman matrisin determinantı, köşegen üzerindeki elemanlarının çarpımına eşittir:
.İşaret, satır değişimlerinin sayısına göre belirlenir, dolayısıyla matrisin determinantı
.2. Problemin çözümü için matematiksel ve algoritmik temeller
2.1 Matris belirleyicisi
Herhangi bir mertebeden kare matrisin determinantının tanımını verelim. Bu tanım tekrarlanacaktır, yani n mertebesinden bir matrisin determinantının ne olduğunu belirlemek için, n-1 mertebesinden bir matrisin determinantının ne olduğunu zaten bilmeniz gerekir. Ayrıca determinantın yalnızca kare matrisler için mevcut olduğunu unutmayın.
Bir kare matris A'nın determinantı şu şekilde gösterilecektir:
veya det A.Tanım. Bir kare matrisin determinantı
ikinci sıra numarası aranır
.
Belirleyici
n dereceli kare matris,
, numarayı aradım
A matrisinden ilk satırın ve k sütun numarasının silinmesiyle elde edilen n-1 mertebesindeki bir matrisin determinantıdır. 2.2 Doğrusal denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemi
NxN boyutunda bir A kare matrisi verilsin. Determinantını hesaplamak gerekir.
Doğrusal denklem sistemlerini çözmek için Gauss yönteminin fikirlerini kullanalım.
Verilen sistem:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn
Aşağıdaki algoritmayı gerçekleştirelim.
İlk adımda, ilk sütunda en büyük modüle sahip elemanı bulacağız, bu elemanla denklemi ilk satıra koyacağız (A matrisinin karşılık gelen iki satırını ve B vektörünün karşılık gelen iki elemanını değiştirerek) ve sonra bu denklemi diğerlerinden çıkaracağız, böylece ilk sütundaki tüm öğeler (birinci hariç) sıfıra dönecek. Örneğin, ikinci satıra ekleme yaparken ilk satırı -a21/a11 ile, üçüncü satıra eklerken -a31/a11 vb. ile çarpacağız.
İkinci adımda, ikinci sütunda ikinci elemandan başlayarak mutlak değeri en büyük olan elemanı bulacağız, bu elemanla olan denklemi ikinci satıra koyacağız ve bu denklemi diğerlerinden (ilk dahil) çıkaracağız. ), böylece ikinci sütundaki tüm öğeler (ikinci hariç) sıfıra döndü. Bu işlemin ilk sütunu hiçbir şekilde değiştirmeyeceği açıktır - sonuçta, her satırdan ikinci satırı belirli bir katsayıyla çarparak çıkaracağız ve ikinci satırda ilk sütunda sıfır var.
Onlar. i-inci adımda i-inci sütunda i-inci elemandan başlayarak mutlak değeri en büyük olan elemanı bulacağız, bu elemanla denklemi i-inci satıra koyacağız ve bu denklemi çıkaracağız diğerlerinden. Bunun önceki tüm sütunları (birinciden (i-1)'inciye kadar) etkilemeyeceği açıktır.
Sonunda sistemi çapraz olarak adlandırılan forma indirgeyeceğiz:
Onlar. Sisteme bir çözüm bulduk.
Açıklama 1. Her yinelemede en az bir sıfır olmayan öğe vardır, aksi takdirde sistemin sıfır determinantı olur ve bu da koşulla çelişir.
Açıklama 2. Her adımda mutlak değeri en büyük olan elemanın seçilmesi gerekliliği, yöntemin sayısal kararlılığı açısından çok önemlidir. Sıfır olmayan rastgele bir öğe seçerseniz, ortaya çıkan çözüm doğru çözümden birkaç kez farklı olduğunda bu durum devasa bir hataya yol açabilir.
2.3 Determinantın hesaplanması için Gauss yöntemi
Yalnızca geçerli çizginin a[i][i] ile bölünmesi hariç olmak üzere, bir doğrusal denklem sistemini çözerken gerçekleştirdiğimiz eylemlerin aynısını gerçekleştireceğiz (daha kesin olarak, bölmenin kendisi gerçekleştirilebilir, ancak sayının çıkarıldığını varsayarak) determinant işaretinin). O zaman matrisle yapacağımız tüm işlemler, işaretin olası istisnası dışında, matrisin determinantının değerini değiştirmeyecektir (yalnızca iki satırı değiştiririz, bu da işareti tersine değiştirir veya bir satır ekleriz) değer belirleyicisini değiştirmeyen bir diğerine).
Ancak Gauss algoritmasını çalıştırdıktan sonra ulaştığımız matris köşegendir ve determinantı köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir. İşaret, daha önce de belirtildiği gibi, hat değişimlerinin sayısına göre belirlenecektir (eğer tek ise, o zaman determinantın işareti tam tersi olarak değiştirilmelidir). Böylece O(N3) matrisinin determinantını hesaplamak için Gauss algoritmasını kullanabiliriz.
Geriye yalnızca, eğer bir noktada mevcut sütunda sıfırdan farklı bir öğe bulamazsak, algoritmanın durup 0 değerini döndürmesi gerektiğini not etmek kalır.
3. Sorunun çözümüne yönelik fonksiyonel modeller ve blok diyagramlar
Sorunun çözümüne yönelik blok diyagram Şekil 1'de sunulmaktadır.
Şekil 1 – DETERMINATE fonksiyonu için problem çözme akış şeması
4 Sorun çözümünün yazılım uygulaması
;DETERMİNANTI HESAPLAYAN FONKSİYON
(DEFUN BELİRTİCİSİ (MATRİS BOYUTU)
;DEĞİŞKENLERİN BİLDİRİLMESİ
;BELİRLEYİCİ
(BEYAN EDİN (ÖZEL DET))
;YARDIMCI DİZİLER VE DEĞİŞKENLER
(BEYAN EDİN (ÖZEL PAR))
(BEYAN EDİN (ÖZEL R))
(BEYAN EDİN (ÖZEL T_))
(BEYAN EDİN (ÖZEL I))
(BEYAN EDİN (ÖZEL II))
;*********************
(SETQ R (MAKE-ARRAY BOYUTU:ELEMENT-TYPE "FLOAT:INITIAL-ELEMENT 0))
((>= J (- BOYUT 1)))
;0'A BÖLMEYİ HARİÇ TUT
(EĞER (= (AREF MATRİSİ JJ) 0)
(SETQ II (+ J 1))
;JTH ELEMANININ 0 OLMADIĞI BİR SIRAYI ARAMAK
((VEYA (/= (AREF MATRİSİ II J) 0) (= II (- BOYUT 1))))
(SETQ II (+ II 1))
;BÖYLE BİR DİZİ YOKSA DETERMİNANT 0'DIR
(IF (AND (= (AREF MATRIX II J) 0) (= II (- SIZE 1))) (SETQ T_ 0))
Determinantı Gauss yöntemini kullanarak hesaplayalım.
Yöntemin özü şu şekildedir: Belirleyici, temel dönüşümler kullanılarak üçgen forma indirgenir ve daha sonra ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşit olur.
Yöntemin fikri şu şekildedir: üçüncü dereceden bir determinant verilsin
eleman 
eşit olmalı 
, bunun için ilk satırı ikiye bölüyoruz 
.
Formun bir determinantını elde ediyoruz 
(2)
İlk sütun dışındaki ilk sütundaki öğeleri sıfırlayalım. Bunu yapmak için, ilk satırı ikinci satırdan şununla çarparak çıkarın: 
, sonra üçüncü satırdan birinciyi çıkarırız, ile çarparız 
. Formun bir determinantını elde ediyoruz 
.
Elementlerini c harfiyle gösterelim, o halde
(3)
Şimdi öğeyi sıfırlamamız gerekiyor 
. Öğe 
eşit olmalı 
, bunu yapmak için ikinci satırı ikiye bölün 
. Formun bir determinantını elde ediyoruz 
.
.
Elementlerini t harfiyle gösterelim, o halde
(4)
Şimdi determinantı üçgen forma indirgedik, şimdi eşittir 
.
Şimdi buna belirli bir örnek kullanarak bakalım.
Örnek 4: Hesaplama belirleyicisi 
Gauss yöntemi.
Çözüm: Birinci ve üçüncü satırların yerlerini değiştirin (iki sütunu (satırları) değiştirirken determinantın işareti ters yönde değişir).
Kabul edilmiş 
İkinci satırdan birinciyi 2 ile çarparak çıkarırız, ardından üçüncü satırdan da 3 ile çarpıp birinciyi çıkarırız. 
Kabul edilmiş - 
§2.Matrisler Matris türleri
Tanım 7: Bir matrisin m satırı ve n sütunu varsa matris denir. boyut M 
ve yaz 
.
Tanım 8: Eğer 
, o zaman matrise kare denir.
Tanım 9: Yalnızca bir satırdan (sütun) oluşan bir matrise satır (sütun) matrisi denir.
Tanım 10: Sıfırlardan oluşan bir matrise sıfır matrisi denir.
Tanım 11: Köşegen matris, ana köşegene ait olmayan tüm elemanların sıfıra eşit olduğu bir kare matristir.
Tanım 12: Kimlik matrisi, ana köşegen üzerindeki tüm elemanların bire eşit olduğu köşegen bir matristir.
Tanım 13:Üçgen matris, ana köşegenin bir tarafında bulunan elemanların sıfıra eşit olduğu bir kare matristir.
Matrisler üzerinde işlemler.
Tanım 14:İki matris, aynı sayıda satır ve sütuna ve eşit karşılık gelen öğelere sahipse eşit kabul edilir.
Örnek 5:
A ve B matrisleri eşittir, yani. 
Tanım 15: A ve B matrislerinin toplamı (farkı), her elemanın eşit olduğu bir C matrisidir. 
.
Örnek 6: Matris bul 
, Eğer
Çözüm:
Toplamanın özellikleri
A+B=B+A (değişmeli)
2 0 A+O=A, burada O sıfır matrisidir
3 0 A+(B+C)=(A+B)+C (dağıtımsal)
4 0 A+(-A)=O, burada – A karşıt matristir
(yani elementlerin zıt işaretleri var)
Tanım 16: A matrisinin sayıya göre çarpımı 
belirli bir matrisin tüm elemanlarının bir sayıyla çarpılmasıyla elde edilen bir matristir 
.
Örnek 7:
Matris çarpımı
Bu eylem, eşleşen matrisler olarak adlandırılanlar için geçerlidir.
Tanım 17: A matrisindeki sütun sayısı B matrisindeki satır sayısına eşitse A matrisinin B matrisiyle tutarlı olduğu söylenir.
Örnek 8:
Ve 
- anlaştık
Ve 
- tutarsız
Ve 
tutarsız
Tanım 18:İki A ve B matrisinin çarpımı bir C matrisidir; her elemanı toplamına eşit A matrisinin i satırının elemanları ile B matrisinin j. sütununun karşılık gelen elemanlarının çarpımı.
A matrisinin boyutu varsa 
ve B matrisi 
, O 
.
Örnek 9: Matrisleri çarpma
Yüksek matematikte problemleri çözerken, sıklıkla ihtiyaç ortaya çıkar bir matrisin determinantını hesaplamak. Bir matrisin determinantı doğrusal cebirde, analitik geometride, matematiksel analiz ve yüksek matematiğin diğer dalları. Bu nedenle, belirleyicileri çözme becerisi olmadan bunu yapmak imkansızdır. Ayrıca, kendi kendini test etmek için, determinant hesaplayıcısını ücretsiz olarak indirebilirsiniz; bu size determinantları kendi başına nasıl çözeceğinizi öğretmez, ancak çok kullanışlıdır, çünkü doğru cevabı önceden bilmek her zaman faydalıdır!
Belirleyicinin kesin bir matematiksel tanımını vermeyeceğim ve genel olarak matematiksel terminolojiyi en aza indirmeye çalışacağım; bu, çoğu okuyucu için işi kolaylaştırmayacaktır. Bu makalenin amacı size ikinci, üçüncü ve dördüncü dereceden determinantların nasıl çözüleceğini öğretmektir. Tüm materyaller basit ve erişilebilir bir biçimde sunulmaktadır ve yüksek matematikte dolu (boş) bir çaydanlık bile materyali dikkatlice inceledikten sonra determinantları doğru bir şekilde çözebilecektir.
Uygulamada, çoğunlukla ikinci dereceden bir determinant bulabilirsiniz, örneğin: ve üçüncü dereceden bir determinant, örneğin: 
.
Dördüncü dereceden determinant 
Aynı zamanda antika da değil ve ona dersin sonunda ulaşacağız.
Umarım herkes aşağıdakileri anlar: Determinantın içindeki sayılar kendi başlarına yaşarlar ve herhangi bir çıkarma söz konusu değildir! Sayılar değiştirilemez!
(Özellikle, işaretini değiştirerek determinantın satır veya sütunlarının ikili permütasyonlarını gerçekleştirmek mümkündür, ancak çoğu zaman bu gerekli değildir - sonraki derse bakın Determinantın özellikleri ve mertebesinin azaltılması)
Dolayısıyla herhangi bir determinant verilirse, o zaman İçindeki hiçbir şeye dokunmuyoruz!
Tanımlar: Bir matris verilirse 
ise determinantı gösterilir. Ayrıca sıklıkla determinant belirtilir Latince harf veya Yunanca.
1)Bir determinantı çözmek (bulmak, ortaya çıkarmak) ne anlama gelir? Belirleyiciyi hesaplamak, SAYIYI BULMAK anlamına gelir. Yukarıdaki örneklerdeki soru işaretleri tamamen sıradan sayılardır.
2) Şimdi anlamaya devam ediyor Bu numarayı NASIL bulabilirim? Bunu yapmak için şimdi tartışılacak olan belirli kuralları, formülleri ve algoritmaları uygulamanız gerekir.
"İki" ve "iki" determinantıyla başlayalım:
En azından bir üniversitede yüksek matematik okurken BUNU HATIRLAMAK GEREKİR.
Hemen bir örneğe bakalım:
Hazır. En önemli şey İŞARETLERDE KARIŞILMAMASIDIR.
Üçe üç matrisin determinantı 2'si basit, 6'sı normal olmak üzere 8 şekilde açılabilir.
İki taneyle başlayalım basit yollar
İkiye iki determinantına benzer şekilde, üçe üç determinantı aşağıdaki formül kullanılarak genişletilebilir:
Formül uzundur ve dikkatsizlikten dolayı hata yapmak kolaydır. Can sıkıcı hatalardan nasıl kaçınılır? Bu amaçla, aslında birincisiyle örtüşen ikinci bir determinant hesaplama yöntemi icat edildi. Buna Sarrus yöntemi veya “paralel şeritler” yöntemi denir.
Sonuç olarak, determinantın sağına birinci ve ikinci sütunları atayın ve bir kalemle dikkatlice çizgiler çizin:
“Kırmızı” köşegenlerde bulunan çarpanlar formüle “artı” işaretiyle dahil edilir.
"Mavi" köşegenlerde bulunan çarpanlar formüle eksi işaretiyle dahil edilir:
Örnek:
İki çözümü karşılaştırın. Bunun AYNI şey olduğunu görmek kolaydır, sadece ikinci durumda formül faktörleri biraz yeniden düzenlenmiştir ve en önemlisi hata yapma olasılığı çok daha azdır.
Şimdi altıya bakalım normal yollar determinantı hesaplamak için
Neden normal? Çünkü çoğu durumda niteleyicilerin bu şekilde açıklanması gerekir.
Fark ettiğiniz gibi, üçe üç determinantın üç sütunu ve üç satırı var.
Determinantını açarak çözebilirsiniz. herhangi bir satıra veya herhangi bir sütuna göre.
Böylece, her durumda kullanılan 6 yöntem vardır. aynı tip algoritma.
Bir matrisin determinantı, bir satırın (sütun) elemanlarının çarpımlarının toplamına karşılık gelen değere eşittir. cebirsel eklemeler. Korkutucu? Her şey çok daha basit; bilimsel olmayan ama anlaşılır, matematikten uzak bir kişinin bile erişebileceği bir yaklaşım kullanacağız.
Bir sonraki örnekte determinantı genişleteceğiz ilk satırda.
Bunun için bir işaret matrisine ihtiyacımız var: . İşaretlerin dama tahtası düzeninde düzenlendiğini fark etmek kolaydır.
Dikkat! İşaret matrisi kendi buluşumdur. Bu kavram bilimsel değildir, ödevlerin son tasarımında kullanılmasına gerek yoktur, yalnızca determinantın hesaplanmasına yönelik algoritmayı anlamanıza yardımcı olur.
İlk önce getireceğim komple çözüm. Deneysel determinantımızı tekrar alıp hesaplamaları yapıyoruz:
VE ana soru: Bunu “üçe üç” determinantından NASIL elde ederiz: 
?
Yani, "üçe üç" determinant, üç küçük determinantın çözülmesine gelir veya bunlara aynı zamanda denildiği gibi, MİNOROV. Özellikle akılda kalıcı olduğu için bu terimi hatırlamanızı öneririm: küçük – küçük.
Determinantın ayrıştırılma yöntemi seçildikten sonra ilk satırda, her şeyin onun etrafında döndüğü açıktır:
Öğeler genellikle soldan sağa (veya bir sütun seçilmişse yukarıdan aşağıya) görüntülenir.
Hadi gidelim, önce çizginin ilk elemanını, yani bir tanesini ele alalım:
1) İşaretler matrisinden karşılık gelen işareti yazıyoruz: 
2) Daha sonra elemanın kendisini yazıyoruz: 
3) İlk öğenin göründüğü satır ve sütunun ZİHİNSEL olarak üzerini çizin: 
Geriye kalan dört sayı “ikiye iki” determinantını oluşturur. KÜÇÜK Belirli bir elemanın (birimin).
Çizginin ikinci elemanına geçelim.
4) İşaretler matrisinden karşılık gelen işareti yazıyoruz:
5) Daha sonra ikinci elemanı yazın: 
6) İkinci öğenin göründüğü satır ve sütunun ZİHİNSEL olarak üzerini çizin: 
Peki, ilk satırın üçüncü unsuru. Orijinallik yok:
7) İşaretler matrisinden karşılık gelen işareti yazıyoruz: 
8) Üçüncü unsuru yazın: 
9) Üçüncü öğeyi içeren satır ve sütunun ZİHİNSEL olarak üzerini çizin: 
Kalan dört sayıyı küçük bir determinantta yazıyoruz.
Geriye kalan eylemler herhangi bir zorluk yaratmıyor çünkü belirleyicileri ikiye iki olarak nasıl sayacağımızı zaten biliyoruz. İŞARETLERE KARIŞMAYIN!
Benzer şekilde determinant herhangi bir satıra veya herhangi bir sütuna genişletilebilir. Doğal olarak altı durumda da cevap aynıdır.
Dörde dört determinant aynı algoritma kullanılarak hesaplanabilir.
Bu durumda işaret matrisimiz artacaktır:
Aşağıdaki örnekte determinantı genişlettim dördüncü sütuna göre:
Nasıl oldu, kendin çözmeye çalış. Ek Bilgiler daha sonra gelecek. Eğer birisi determinantı sonuna kadar çözmek isterse, doğru cevap şudur: 18. Uygulama için determinantı başka bir sütuna veya başka bir satıra göre çözmek daha iyidir.
Alıştırmak, ortaya çıkarmak, hesaplama yapmak çok güzel ve faydalıdır. Peki büyük elemeye ne kadar zaman harcayacaksınız? Daha hızlı ve daha güvenilir bir yol yok mu? Kendinizi tanımanızı öneririm etkili yöntemler ikinci derste determinantların hesaplanması - Determinantın özellikleri. Determinantın sırasını azaltmak.
DİKKAT OLMAK!
Burada bir doğrusal denklem sistemini ücretsiz çözebilirsiniz Gauss yöntemi çevrimiçi büyük boyutlarçok ayrıntılı bir çözümle karmaşık sayılarda. Hesap makinemiz, sonsuz sayıda çözüme sahip Gauss yöntemini kullanarak hem olağan belirli hem de belirsiz doğrusal denklem sistemlerini çevrimiçi olarak çözebilir. Bu durumda, cevapta bazı değişkenlerin diğer serbest değişkenlere bağımlılığını alacaksınız. Gauss çözümünü kullanarak denklem sisteminin tutarlılığını çevrimiçi olarak da kontrol edebilirsiniz.
Yöntem hakkında
Bir doğrusal denklem sistemini çözerken çevrimiçi yöntem Gauss'ta aşağıdaki adımlar gerçekleştirilir.
- Genişletilmiş matrisi yazıyoruz.
- Aslında çözüm Gauss yönteminin ileri ve geri adımlarına bölünmüştür. Gauss yönteminin doğrudan yaklaşımı, bir matrisin adım adım forma indirgenmesidir. Tersi Gauss yöntemi, bir matrisin özel bir adım adım forma indirgenmesi olarak adlandırılır. Ancak pratikte, söz konusu öğenin hem üstünde hem de altında bulunanları hemen sıfırlamak daha uygundur. Hesap makinemiz tam olarak bu yaklaşımı kullanıyor.
- Gauss yöntemini kullanarak çözerken, matriste sıfır DEĞİL en az bir sıfır satırın varlığının dikkate alınması önemlidir. sağ taraf(ücretsiz üyeler sütunu) sistemin uyumsuzluğunu gösterir. Çözüm doğrusal sistem bu durumda mevcut değildir.
Gauss algoritmasının çevrimiçi olarak nasıl çalıştığını en iyi şekilde anlamak için herhangi bir örnek girin, “çok ayrıntılı çözüm”ü seçin ve çözümünü çevrimiçi olarak görüntüleyin.
