Bugün derste bulmayı öğreneceğiz koşullu veya, aynı zamanda adlandırıldıkları gibi, göreceli aşırılıklarçeşitli değişkenlerin fonksiyonları ve her şeyden önce elbette koşullu ekstremumlardan bahsedeceğiz ikinin fonksiyonları Ve üç değişken Tematik problemlerin büyük çoğunluğunda bulunanlar.
Bilmeniz ve yapabilmeniz gerekenler şu anda? Bu makale konunun "etrafında" olmasına rağmen, materyale başarılı bir şekilde hakim olmak için fazla bir şeye gerek yoktur. Bu noktada temel bilgileri bilmeniz gerekir. uzayın yüzeyleri, bulabilmek kısmi türevler (en azından ortalama düzeyde) ve acımasız mantığın gerektirdiği gibi anlamak koşulsuz aşırılıklar. Ama sen bile düşük seviye hazırlık, ayrılmak için acele etmeyin - tüm eksik bilgi/beceriler gerçekten "yol boyunca alınabilir" ve saatlerce işkence görmeden.
Öncelikle kavramın kendisini analiz edelim ve aynı zamanda en yaygın olanı hızlı bir şekilde tekrarlayalım. yüzeyler. Peki nedir bu koşullu aşırı? ...Buradaki mantık da daha az acımasız değil =) Bir fonksiyonun koşullu ekstremumu, kelimenin genel anlamıyla, belirli bir koşul (veya koşullar) karşılandığında elde edilen bir ekstremumdur.
Keyfi bir "eğik" hayal edin uçak V Kartezyen sistem. Hiçbiri ekstremum burada ondan eser yok. Ama bu şimdilik geçerli. düşünelim eliptik silindir basitlik açısından - eksene paralel sonsuz yuvarlak bir "boru". Açıkçası, bu "boru" uçağımızdan "kesilecek" elips Bunun sonucunda üst noktasında maksimum, alt noktasında minimum olacaktır. Başka bir deyişle, düzlemi tanımlayan fonksiyon ekstrema ulaşır buna göre belirli bir dairesel silindir tarafından geçildiğini. Tam olarak "sağlandı"! Bu düzlemi kesen başka bir eliptik silindir neredeyse kesinlikle farklı minimum ve maksimum değerler üretecektir.
Çok net değilse durum gerçekçi bir şekilde simüle edilebilir (gerçi ters sıra) : bir balta alın, dışarı çıkın ve kesin... hayır, Greenpeace sizi daha sonra affetmeyecektir - drenaj borusunu bir öğütücü ile kesmek daha iyidir =). Koşullu minimum ve koşullu maksimum, hangi yükseklikte ve ne altında olduğuna bağlı olacaktır. (yatay olmayan) kesim belli bir açıyla yapılır.
Hesaplamalara matematik kisvesi giydirmenin zamanı geldi. düşünelim eliptik paraboloit, sahip mutlak minimum noktada. Şimdi ekstremumu bulalım buna göre. Bu uçak eksene paraleldir, bu da paraboloitten "kesildiği" anlamına gelir parabol. Bu parabolün tepesi koşullu minimum olacaktır. Üstelik düzlem koordinatların orijininden geçmediğinden nokta önemsiz kalacaktır. Resim sunmadınız mı? Hemen linkleri takip edelim! Çok, çok daha fazla zaman alacak.
Soru: Bu koşullu ekstremum nasıl bulunur? En basit yolçözüm denklemden elde edilen çözümdür (buna - denir) durum veya bağlantı denklemi) örneğin şunu ifade edin: – ve bunu fonksiyonda değiştirin: 
Sonuç, tepe noktası gözleriniz kapalıyken "hesaplanan" bir parabolü tanımlayan bir değişkenin fonksiyonudur. Haydi bulalım kritik noktalar:
– kritik nokta.
Kullanılacak bir sonraki en kolay şey ekstremum için ikinci yeterli koşul:
Özellikle: bu, fonksiyonun noktasında minimuma ulaştığı anlamına gelir. Doğrudan hesaplanabilir: ama biz daha akademik bir yol izleyeceğiz. “Oyun” koordinatını bulalım:
,
koşullu minimum noktayı yazın, gerçekten düzlemde olduğundan emin olun (bağlantı denklemini karşılar):
ve fonksiyonun koşullu minimumunu hesaplayın:
buna göre (“katkı maddesi” gereklidir!!!).
Göz önünde bulundurulan yöntem pratikte hiçbir şüpheye yer bırakmadan kullanılabilir, ancak bir takım dezavantajları vardır. Birincisi, problemin geometrisi her zaman net değildir ve ikincisi, bağlantı denkleminden “x” veya “y”yi ifade etmek çoğu zaman kârsızdır. (eğer herhangi bir şeyi ifade etmenin bir yolu varsa). Şimdi koşullu ekstremumları bulmak için evrensel bir yöntem ele alacağız. Lagrange çarpanı yöntemi:
Örnek 1
Bağımsız değişkenlere ilişkin belirtilen bağlantı denklemiyle fonksiyonun koşullu ekstremumunu bulun.
Yüzeyleri tanıyor musunuz? ;-) ...Mutlu yüzlerinizi gördüğüme sevindim =)
Bu arada, bu problemin formülasyonundan, durumun neden çağrıldığı anlaşılıyor. bağlantı denklemi– fonksiyon argümanları bağlı ek bir koşul, yani bulunan uç noktaların mutlaka dairesel bir silindire ait olması gerekir.
Çözüm: ilk adımda bağlantı denklemini formda sunmanız ve oluşturmanız gerekir Lagrange işlevi:
, burada Lagrange çarpanı denir.
Bizim durumumuzda ve:
Koşullu ekstremum bulma algoritması "sıradan" bulma şemasına çok benzer aşırılıklar. Haydi bulalım kısmi türevler Lagrange fonksiyonları, “lambda” ise sabit olarak ele alınmalıdır:
Hadi oluşturup çözelim aşağıdaki sistem:
Karışıklık standart olarak çözülür:
ifade ettiğimiz ilk denklemden 
;
ifade ettiğimiz ikinci denklemden 
.
Bağlantıları denklemde yerine koyalım ve basitleştirmeler yapalım: 
Sonuç olarak iki sabit nokta elde ederiz. Eğer öyleyse: 
eğer öyleyse: 
Her iki noktanın koordinatlarının denklemi sağladığını görmek kolaydır. 
. Titiz insanlar da tam bir kontrol yapabilir: bunun için değiştirmeniz gerekir 
sistemin birinci ve ikinci denklemlerine yerleştirin ve ardından aynı işlemi setle yapın 
. Her şeyin “bir araya gelmesi” gerekiyor.
Yürütmeyi kontrol edelim yeterli koşul Bulunan sabit noktalar için ekstremum. Bu sorunu çözmeye yönelik üç yaklaşımı tartışacağım:
1) İlk yöntem geometrik gerekçelendirmedir.
Fonksiyonun değerlerini durağan noktalarda hesaplayalım:
Daha sonra, yaklaşık olarak aşağıdaki içeriğe sahip bir cümle yazıyoruz: dairesel bir silindir tarafından bir düzlemin kesiti, üst tepe noktasında maksimuma ve alt tepe noktasında minimuma ulaşılan bir elipstir. Bu nedenle, daha büyük bir değer koşullu maksimum, daha küçük bir değer ise koşullu minimumdur.
Mümkünse bu yöntemi kullanmak daha iyidir - basittir ve bu karar öğretmenler tarafından dikkate alınır. (büyük bir artı anlayış göstermenizdir geometrik anlamı görevler). Ancak, daha önce de belirtildiği gibi, neyin neyle ve nerede kesiştiği her zaman net değildir ve ardından analitik doğrulama kurtarmaya gelir:
2) İkinci yöntem, ikinci dereceden diferansiyel işaretlerin kullanımına dayanmaktadır. Durağan bir noktada ortaya çıkarsa, fonksiyon orada maksimuma ulaşır, ancak ulaşırsa minimuma ulaşır.
Haydi bulalım ikinci dereceden kısmi türevler:
ve bu farkı yaratın:
Bu, fonksiyonun maksimum noktasına şu noktada ulaştığı anlamına gelir;
at , bu, fonksiyonun bu noktada minimuma ulaştığı anlamına gelir 
.
Ele alınan yöntem çok iyidir, ancak bazı durumlarda 2. diferansiyelin işaretini belirlemenin neredeyse imkansız olması dezavantajına sahiptir. (genellikle bu durum ve/veya farklı işaretlerde olması durumunda gerçekleşir). Ve sonra “ağır toplar” kurtarmaya geliyor:
3) Bağlantı denklemini “X” ve “Y” ile ayıralım: 
ve aşağıdakileri oluşturun simetrik matris:
Durağan bir noktadaysa fonksiyon oraya ulaşır ( dikkat!) minimum, eğer – o zaman maksimum.
Değerin matrisini ve karşılık gelen noktayı yazalım: 
Haydi hesaplayalım belirleyici:
dolayısıyla fonksiyonun noktasında bir maksimumu vardır.
Aynı şekilde değer ve puan için: 
Yani fonksiyonun noktasında minimumu vardır.
Cevap: buna göre:
Malzemenin kapsamlı bir analizinden sonra size birkaç öneride bulunmadan edemeyeceğim. tipik görevler kendi kendine test için:
Örnek 2
Bağımsız değişkenleri denklemle ilişkiliyse, fonksiyonun koşullu ekstremumunu bulun
Örnek 3
Koşulu verilen fonksiyonun ekstremumunu bulun
Ve yine, özellikle yeterli koşulun analitik olarak doğrulanmasının bir hediye olmadığı son örnekte, görevlerin geometrik özünü anlamanızı şiddetle tavsiye ediyorum. Neyi hatırla 2. sipariş satırı denklemi kurar ve ne yüzey bu çizgi uzayda oluşur. Silindirin düzlemi hangi eğri boyunca keseceğini ve bu eğrinin neresinde minimum, nerede maksimum olacağını analiz edin.
Dersin sonunda çözümler ve cevaplar.
Söz konusu sorun bulunur geniş uygulamaözellikle çeşitli alanlarda - geometride çok ileri gitmeyeceğiz. Yarım litrelik şişeyle ilgili herkesin en sevdiği problemi çözelim (bkz. makalenin 7. örneğiAşırı Zorluklar ) ikinci yol:
Örnek 4
Silindirik bir teneke kutunun hacmi şuna eşitse, kutuyu yapmak için en az miktarda malzeme kullanılmasını sağlayacak şekilde boyutları ne olmalıdır?
Çözüm: değişken bir taban yarıçapı, değişken bir yükseklik düşünün ve kutunun toplam yüzeyinin alanının bir fonksiyonunu oluşturun: 
(iki kapak alanı + yan yüzey alanı)
- öğretici
Herkes tünaydın. Bu yazıda bunlardan birini göstermek istiyorum grafik yöntemleri yapı matematiksel modeller Dinamik sistemler için buna denir bağ grafiği(“bağ” - bağlantılar, “grafik” - grafik). Rus edebiyatında bu yöntemin açıklamalarını yalnızca Tomsky'nin Ders Kitabında buldum. Politeknik Üniversitesi, A.V. Voronin “MEKATRONİK SİSTEMLERİN MODELLENMESİ” 2008 Ayrıca göster klasik yöntem 2. türden Lagrange denklemi aracılığıyla.
Lagrange yöntemi
Teoriyi anlatmayacağım, hesaplamaların aşamalarını birkaç yorumla göstereceğim. Şahsen benim için örneklerden öğrenmek, teoriyi 10 kez okumaktan daha kolaydır. Bana öyle geldi ki, Rus edebiyatında bu yöntemin ve aslında genel olarak matematik veya fiziğin açıklaması çok zengindir. karmaşık formüller dolayısıyla ciddi bir matematik altyapısı gerektirir. Lagrange yöntemini çalışırken (İtalya Torino Politeknik Üniversitesi'nde okuyorum), hesaplama yöntemlerini karşılaştırmak için Rus edebiyatı okudum ve bu yöntemi çözme sürecini takip etmek benim için zordu. Kharkov Havacılık Enstitüsü'ndeki modelleme derslerini hatırlasak bile, bu tür yöntemlerin türetilmesi oldukça zahmetliydi ve kimse bu konuyu anlamaya çalışma zahmetine girmemişti. Lagrange'a göre matematiksel modeller oluşturmak için bir kılavuz yazmaya karar verdim, çünkü bunun hiç de zor olmadığı ortaya çıktı, zamana ve kısmi türevlere göre türevlerin nasıl hesaplanacağını bilmek yeterli. Daha karmaşık modeller için rotasyon matrisleri de eklenir, ancak bunlarda da karmaşık hiçbir şey yoktur.Modelleme yöntemlerinin özellikleri:
- Newton-Euler: Dinamik dengeye dayalı vektör denklemleri güç Ve anlar
- Lagrange: kinetik ve potansiyel ile ilişkili durum fonksiyonlarına dayalı skaler denklemler enerjiler
- Tahvil Sayısı: akışa dayalı yöntem güç sistem elemanları arasında
Şununla başlayalım: basit örnek. Yaylı ve sönümleyicili kütle. Yer çekimi kuvvetini görmezden geliyoruz.
Şekil 1. Yaylı ve sönümleyicili kütle
Her şeyden önce şunları belirliyoruz:
- başlangıç sistemi koordinatlar(NSK) veya sabit sk R0(i0,j0,k0). Nerede? Parmağınızı gökyüzüne doğrultabilirsiniz, ancak beyindeki nöronların uçlarını hareket ettirerek, NSC'yi M1 gövdesinin hareket çizgisine yerleştirme fikri ortaya çıkar.
- kütleli her cisim için koordinat sistemleri(M1'imiz var R1(i1,j1,k1)), yönelim keyfi olabilir, ancak neden hayatınızı karmaşıklaştırın, onu NSC'den minimum farkla ayarlayın
- genelleştirilmiş koordinatlar q_i(hareketi tanımlayabilecek minimum değişken sayısı), bu örnekte genelleştirilmiş bir koordinat vardır, yalnızca j ekseni boyunca hareket vardır
Şekil 2. Koordinat sistemlerini ve genelleştirilmiş koordinatları yazdık
Şekil 3. M1 gövdesinin konumu ve hızı
Daha sonra aşağıdaki formülleri kullanarak damperin kinetik (C) ve potansiyel (P) enerjilerini ve enerji tüketen fonksiyonunu (D) bulacağız:
Şekil 4. Tam formül kinetik enerji
Örneğimizde döndürme yoktur, ikinci bileşen 0'dır.
Şekil 5. Kinetik, potansiyel enerji ve enerji tüketen fonksiyonun hesaplanması
Lagrange denklemi aşağıdaki forma sahiptir:
Şekil 6. Lagrange Denklemi ve Lagrange Denklemi
Delta W_i Bu, uygulanan kuvvetler ve momentler tarafından yapılan sanal iştir. Onu bulalım:
Şekil 7. Sanal işin hesaplanması
Nerede delta q_1 sanal hareket.
Her şeyi Lagrange denkleminde yerine koyarız:
Şekil 8. Ortaya çıkan yaylı ve sönümleyicili kütle modeli
Lagrange'ın yönteminin sona erdiği yer burasıdır. Gördüğünüz gibi o kadar da karmaşık değil ama yine de oldukça basit bir örnek; bunun için Newton-Euler yönteminin daha da basit olması muhtemeldir. Birbirine göre farklı açılarda döndürülmüş birden fazla gövdenin olacağı daha karmaşık sistemler için Lagrange yöntemi daha kolay olacaktır.
Bağ grafiği yöntemi
Kütle, yay ve sönümleyici örneği için bağ grafiğinde modelin nasıl göründüğünü size hemen göstereceğim:
Şekil 9. Yaylı ve sönümleyicili bağ grafiği kütleleri
Burada küçük bir teori anlatmanız gerekecek, bu da inşa etmek için yeterli olacak basit modeller. İlgilenenler kitabı okuyabilir ( Bond Grafiği Metodolojisi) veya ( Voronin A.V. Mekatronik sistemlerin modellenmesi: eğitim kılavuzu. – Tomsk: Tomsk Politeknik Üniversitesi Yayınevi, 2008).
Öncelikle şunu belirleyelim karmaşık sistemler birçok alan adından oluşur. Örneğin bir elektrik motoru, elektrikli ve mekanik parçalardan veya alanlardan oluşur.
bağ grafiği bu alanlar, alt sistemler arasındaki güç alışverişine dayanır. Hangi biçimde olursa olsun güç değişiminin her zaman iki değişken tarafından belirlendiğini unutmayın ( değişken güç) yardımıyla dinamik bir sistem içindeki çeşitli alt sistemlerin etkileşimini inceleyebiliriz (tabloya bakınız).
Tablodan da görüleceği üzere iktidarın ifadesi hemen hemen her yerde aynıdır. Özetle, Güç- bu iş " akış - f" ile " çaba - e».
Çaba(İngilizce) çaba) elektriksel alanda bu voltajdır (e), mekanik alanda kuvvet (F) veya torktur (T), hidrolikte ise basınçtır (p).
Akış(İngilizce) akış) elektriksel alanda akımdır (i), mekanik alanda hızdır (v) veya açısal hız(omega), hidrolikte – sıvı akışı veya akış hızı (Q).
Bu gösterimleri alarak güç için bir ifade elde ederiz:
Şekil 10. Güç değişkenleri aracılığıyla güç formülü
Bağ-grafik dilinde, güç alışverişinde bulunan iki alt sistem arasındaki bağlantı bir bağ ile temsil edilir. bağlamak). Bu yüzden bu yönteme denir bağ grafiği veya g raf bağlantıları, bağlantılı grafik. düşünelim blok şeması elektrik motorlu bir modeldeki bağlantılar (bu henüz bir bağ grafiği değil):
Şekil 11. Etki alanları arasındaki güç akışının blok diyagramı
Bir voltaj kaynağımız varsa, buna göre voltaj üretir ve onu sarım için motora aktarır (bu nedenle ok motora doğru yönlendirilir), sarımın direncine bağlı olarak Ohm yasasına göre bir akım ortaya çıkar (yönlendirilmiş). motordan kaynağa). Buna göre değişkenlerden biri alt sisteme girdidir, ikincisi ise çıkış alt sistemden. Burada voltaj ( çaba) – giriş, akım ( akış) - çıkış.
Güncel bir kaynak kullanırsanız diyagram nasıl değişecek? Sağ. Akım motora, voltaj ise kaynağa yönlendirilecektir. Daha sonra akım ( akış) – giriş, voltaj ( çaba) - çıkış.
Mekanikteki bir örneğe bakalım. Bir kütleye etki eden kuvvet.
Şekil 12. Kütleye uygulanan kuvvet
Blok şeması aşağıdaki gibi olacaktır:
Şekil 13. Blok şeması
Bu örnekte, Güç ( çaba) – kütle için giriş değişkeni. (Kütleye uygulanan kuvvet)
Newton'un ikinci yasasına göre:
Kütle hızla yanıt verir:
Bu örnekte, eğer bir değişken ( kuvvet - çaba) giriş mekanik alana, ardından başka bir güç değişkenine ( hız - akış) – otomatik olarak olur çıkış.
Girişin nerede olduğunu ve çıkışın nerede olduğunu ayırt etmek için elemanlar arasındaki okun (bağlantının) ucunda dikey bir çizgi kullanılır, bu çizgiye denir. nedensellik işareti
veya nedensellik
(nedensellik). Görünen o ki: uygulanan kuvvet sebep, hız ise sonuçtur. Bu işaret, bir sistem modelinin doğru oluşturulması için çok önemlidir, çünkü nedensellik bir sonuçtur. fiziksel davranış ve iki alt sistemin güç alışverişi olduğundan, nedensellik işaretinin konumunun seçimi keyfi olamaz.
Şekil 14. Nedenselliğin belirlenmesi
Bu dikey çizgi hangi alt sistemin kuvveti aldığını gösterir ( çaba) ve sonuç olarak bir akış üretir ( akış). Kütleli örnekte şöyle olacaktır:
Şekil 14. Kütleye etki eden kuvvetin nedensel ilişkisi
Oktan kütle girişinin olduğu açıkça görülüyor - kuvvet ve çıktı hız. Bu, diyagramı oklarla karıştırmamak ve modelin yapısını sistematikleştirmemek için yapılır.
Sonraki önemli nokta. Genelleştirilmiş dürtü(hareket miktarı) ve hareketli(enerji değişkenleri).
Farklı alanlardaki güç ve enerji değişkenleri tablosu
Yukarıdaki tabloda bağ-grafik yönteminde kullanılan iki ek fiziksel büyüklük tanıtılmaktadır. Onlar denir genelleştirilmiş dürtü (R) Ve genelleştirilmiş hareket (Q) veya enerji değişkenleri ve güç değişkenlerinin zaman içinde entegre edilmesiyle elde edilebilirler:
Şekil 15. Güç ve enerji değişkenleri arasındaki ilişki
Elektrik alanında :
Faraday yasasına dayanarak, Gerilim iletkenin uçlarındaki bu iletken boyunca manyetik akının türevine eşittir.
A Mevcut güç - fiziksel miktar, belirli bir t süresinden geçen Q yük miktarının oranına eşittir enine kesit iletken, bu sürenin değerine kadar.
Mekanik alan:
Newton'un 2. yasasından, Kuvvet– dürtünün zamana göre türevi
Ve buna göre, hız- yer değiştirmenin zamana göre türevi:
Özetleyelim:
Temel unsurlar
Dinamik sistemlerdeki tüm elemanlar iki kutuplu ve dört kutuplu bileşenlere ayrılabilir.düşünelim iki kutuplu bileşenler:
Kaynaklar
Hem çabanın hem de akışın kaynakları vardır. Elektrik alanındaki analoji: çabanın kaynağı – gerilim kaynağı, akış kaynağı – mevcut kaynak. Kaynaklara ilişkin nedensel işaretler ancak bu şekilde olmalıdır.
Şekil 16. Nedensel bağlantılar ve kaynakların belirlenmesi
Bileşen R
– enerji tüketen eleman 
Bileşen I
– eylemsizlik elemanı 
Bileşen C
– kapasitif eleman 
Şekillerden de görüldüğü gibi aynı şeyin farklı unsurları R,C,I yazın aynı denklemlerle tanımlanır. YALNIZCA elektriksel kapasitans için bir fark vardır, sadece bunu hatırlamanız gerekir!
Dört kutuplu bileşenler:
İki bileşene bakalım: bir transformatör ve bir jiratör.
Bağ-grafik yöntemindeki son önemli bileşenler bağlantılardır. İki tür düğüm vardır:
Bileşenlerde bu kadar.
Bir bağ grafiği oluşturduktan sonra nedensel ilişkiler kurmanın ana adımları:
- Herkese nedensel bağlantılar verin kaynaklar
- Tüm düğümleri gözden geçirin ve nedensel ilişkileri 1. noktadan sonra yazın
- İçin bileşenler ben için bir girdi nedensel ilişkisi atayın (çaba bu bileşene dahildir), C bileşenleriçıktı nedenselliğini atayın (çaba bu bileşenden kaynaklanır)
- 2. noktayı tekrarlayın
- Nedensel bağlantılar ekleyin R bileşenleri
Birkaç örnek çözelim. Bir elektrik devresi ile başlayalım; bağ grafiği oluşturma benzetmesini anlamak daha iyidir.
Örnek 1
Gerilim kaynağıyla bir bağ grafiği oluşturmaya başlayalım. Sadece Se yazın ve bir ok koyun.
Bakın her şey çok basit! Daha ileriye bakalım, R ve L seri olarak bağlanmıştır, bu da güç değişkenleri açısından konuşursak, içlerinde aynı akımın aktığı anlamına gelir - aynı akış. Hangi düğüm aynı akışa sahip? Doğru cevap 1 düğümdür. Kaynağı, direnci (bileşen - R) ve endüktansı (bileşen - I) 1 düğüme bağlarız.
Daha sonra paralel olarak kapasitans ve direncimiz var, bu da aynı gerilime veya kuvvete sahip oldukları anlamına gelir. 0 düğümü başka hiçbir şeye benzemez. Kapasitansı (bileşen C) ve direnci (bileşen R) 0 düğümüne bağlarız.
Ayrıca 1 ve 0 nolu düğümleri birbirine bağlarız. Okların yönü keyfi olarak seçilir; bağlantının yönü yalnızca denklemlerdeki işareti etkiler.
Aşağıdaki bağlantı grafiğini alacaksınız:
Artık nedensel ilişkiler kurmamız gerekiyor. Yerleştirme sırasına ilişkin talimatları izleyerek kaynakla başlayalım.
- Bir voltaj kaynağımız (çaba) var, böyle bir kaynağın yalnızca bir nedensellik seçeneği var - çıktı. Hadi giyelim.
- Sonra bileşen I var, bakalım ne tavsiye edecekler. biz koyduk
- Bunu 1 düğüme indirdik. Yemek yemek
- 0 düğümlü bir giriş ve tüm çıkış nedensel bağlantılarına sahip olmalıdır. Şimdilik bir gün tatilimiz var. C veya I bileşenlerini arıyoruz. Bulduk. biz koyduk
- Geriye kalanları listeleyelim
İşte bu. Bond grafiği oluşturulur. Yaşasın, Yoldaşlar!
Geriye sadece sistemimizi tanımlayan denklemleri yazmak kalıyor. Bunu yapmak için 3 sütunlu bir tablo oluşturun. Birincisi sistemin tüm bileşenlerini içerecek, ikincisi her bir öğe için giriş değişkenini içerecek ve üçüncüsü aynı bileşen için çıkış değişkenini içerecektir. Girdi ve çıktıyı nedensel ilişkilerle zaten tanımladık. Yani herhangi bir sorun olmaması gerekiyor.
Seviyeleri kaydetme kolaylığı için her bağlantıyı numaralandıralım. Her element için denklemleri C, R, I bileşenleri listesinden alıyoruz.
Bir tablo derledikten sonra durum değişkenlerini tanımlıyoruz, bu örnekte bunlardan 2 tane var, p3 ve q5. Daha sonra durum denklemlerini yazmanız gerekir:
İşte bu, model hazır.
Örnek 2. Fotoğrafın kalitesinden dolayı hemen özür dilemek istiyorum, asıl önemli olan okuyabilmeniz
Lagrange yöntemini kullanarak çözdüğümüz mekanik sistem için başka bir örnek çözelim. Yorum yapmadan çözümü göstereceğim. Bu yöntemlerden hangisinin daha basit ve daha kolay olduğunu kontrol edelim.
Matbala'da Lagrange yöntemi ve bağ grafiği ile elde edilen aynı parametrelere sahip her iki matematiksel model de derlendi. Sonuç aşağıdadır: Etiket ekle
Öncelikle iki değişkenli bir fonksiyon durumunu ele alalım. Bir $z=f(x,y)$ fonksiyonunun $M_0(x_0;y_0)$ noktasındaki koşullu ekstremumu, bu fonksiyonun ekstremumu olup, $x$ ve $y$ değişkenlerinin bu noktanın civarında $\ varphi (x,y)=0$ bağlantı denklemi sağlanır.
“Koşullu” ekstremum adı, değişkenlerin tabi olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır. ek koşul$\varphi(x,y)=0$. Eğer bir değişken bağlantı denkleminden bir diğeri aracılığıyla ifade edilebiliyorsa, o zaman koşullu ekstremumu belirleme problemi, bir değişkenli bir fonksiyonun olağan ekstremumunu belirleme problemine indirgenir. Örneğin, bağlantı denklemi $y=\psi(x)$ anlamına geliyorsa, o zaman $y=\psi(x)$ yerine $z=f(x,y)$ koyarsak, tek değişkenli $z fonksiyonu elde ederiz =f\sol (x,\psi(x)\sağ)$. İÇİNDE genel durum Ancak bu yöntem pek kullanışlı olmadığından yeni bir algoritmanın tanıtılması gerekmektedir.
İki değişkenli fonksiyonlar için Lagrange çarpanı yöntemi.
Lagrange çarpanı yöntemi, koşullu bir ekstremum bulmak için bir Lagrange işlevi oluşturmaktan oluşur: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ ($\lambda$ parametresi denir) Lagrange çarpanı). Ekstremum için gerekli koşullar, sabit noktaların belirlendiği bir denklem sistemi tarafından belirlenir:
$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0 \end(hizalanmış) \sağ.
Ekstremun niteliğinin belirlenebileceği yeterli bir koşul, $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) işaretidir. ^("" )dy^2$. Durağan bir $d^2F > 0$ noktasındaysa, o zaman $z=f(x,y)$ fonksiyonunun bu noktada koşullu minimumu vardır, ancak $d^2F ise< 0$, то условный максимум.
Ekstremun doğasını belirlemenin başka bir yolu var. Bağlama denkleminden şunu elde ederiz: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, dolayısıyla herhangi bir durağan noktada elimizde:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \sağ)$$
İkinci faktör (parantez içinde yer alan) şu şekilde gösterilebilir:
Belirleyicinin elemanları $\left| kırmızıyla vurgulanmıştır. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (dizi)\right|$, Lagrange fonksiyonunun Hessian'ıdır. Eğer $H > 0$ ise $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, yani $z=f(x,y)$ fonksiyonunun koşullu minimumuna sahibiz.
$H$ determinantının gösterimine ilişkin bir not. göster\gizle
$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ bitiş(dizi) \sağ| $$
Bu durumda yukarıda formüle edilen kural şu şekilde değişecektir: $H > 0$ ise fonksiyonun koşullu minimumu vardır ve $H ise< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
Koşullu bir ekstremum için iki değişkenli bir fonksiyonun incelenmesine yönelik algoritma
- Lagrange fonksiyonunu oluşturun $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- Sistemi çözün $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0 \end(aligned) \right.$
- Önceki paragrafta bulunan sabit noktaların her birindeki ekstremun doğasını belirleyin. Bunu yapmak için aşağıdaki yöntemlerden herhangi birini kullanın:
- $H$'ın determinantını oluşturun ve işaretini bulun
- Bağlanma denklemini dikkate alarak $d^2F$'nin işaretini hesaplayın
n değişkenli fonksiyonlar için Lagrange çarpanı yöntemi
Diyelim ki $n$ değişkenleri $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ ve $m$ birleştirme denklemlerinden ($n > m$) oluşan bir fonksiyonumuz var:
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
Lagrange çarpanlarını $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ olarak göstererek Lagrange fonksiyonunu oluştururuz:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
Koşullu bir ekstremumun varlığı için gerekli koşullar, sabit noktaların koordinatlarının ve Lagrange çarpanlarının değerlerinin bulunduğu bir denklem sistemi tarafından verilir:
$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$
Daha önce olduğu gibi, $d^2F$ işaretini kullanarak, bir fonksiyonun bulunan noktada koşullu minimuma mı yoksa koşullu maksimuma mı sahip olduğunu öğrenebilirsiniz. Bulunan noktada $d^2F > 0$ ise, fonksiyonun koşullu minimumu vardır, ancak $d^2F ise< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Matrisin determinantı $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\kısmi x_(2)\kısmi x_(3)) &\ldots & \frac(\kısmi^2F)(\kısmi x_(2)\kısmi x_(n))\\ \frac(\kısmi^2F )(\kısmi x_(3) \kısmi x_(1)) & \frac(\kısmi^2F)(\kısmi x_(3)\kısmi x_(2)) & \frac(\kısmi^2F)(\kısmi x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( $L$ matrisinde kırmızıyla vurgulanan \right|$, Lagrange fonksiyonunun Hessian'ıdır. Aşağıdaki kuralı kullanıyoruz:
- Açısal küçüklerin işaretleri ise $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrisleri $L$ $(-1)^m$ işaretiyle çakışırsa, incelenen durağan nokta $ fonksiyonunun koşullu minimum noktasıdır z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
- Açısal küçüklerin işaretleri ise $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ dönüşümlüdür ve küçük $H_(2m+1)$'ın işareti $(-1)^(m+1) sayısının işaretiyle çakışır )$ ise, durağan nokta $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ fonksiyonunun koşullu maksimum noktasıdır.
Örnek No.1
$x^2+y^2=10$ koşulu altında $z(x,y)=x+3y$ fonksiyonunun koşullu ekstremumunu bulun.
Bu problemin geometrik yorumu şu şekildedir: En büyük ve en büyük olanı bulmak gerekir. en küçük değer$z=x+3y$ düzleminin $x^2+y^2=10$ silindiriyle kesiştiği noktalara uygulanması.
Bağlama denkleminden bir değişkeni diğeri aracılığıyla ifade etmek ve onu $z(x,y)=x+3y$ fonksiyonuna koymak biraz zordur, bu nedenle Lagrange yöntemini kullanacağız.
$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$'ı göstererek Lagrange fonksiyonunu oluştururuz:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\kısmi x)=1+2\lambda x; \frac(\kısmi F)(\kısmi y)=3+2\lambda y. $$
Lagrange fonksiyonunun durağan noktalarını belirlemek için bir denklem sistemi yazalım:
$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0.\end (hizalanmış)\right.$$
$\lambda=0$ varsayarsak, ilk denklem şu şekilde olur: $1=0$. Ortaya çıkan çelişki $\lambda\neq 0$ olduğunu gösteriyor. $\lambda\neq 0$ koşulu altında, birinci ve ikinci denklemlerden şunu elde ederiz: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Elde edilen değerleri üçüncü denklemde değiştirerek şunu elde ederiz:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$
Yani sistemin iki çözümü var: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ ve $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Her durağan noktadaki ekstremun doğasını bulalım: $M_1(1;3)$ ve $M_2(-1;-3)$. Bunu yapmak için her noktada $H$'ın determinantını hesaplıyoruz.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \sol| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$
$M_1(1;3)$ noktasında şunu elde ederiz: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, yani point $M_1(1;3)$ fonksiyonunun $z(x,y)=x+3y$ koşullu maksimum değeri vardır, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
Benzer şekilde, $M_2(-1,-3)$ noktasında şunu buluruz: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. $H'den beri< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
$H$ determinantının değerini her noktada hesaplamak yerine onu genişletmenin çok daha uygun olduğunu belirtmek isterim. genel görünüm. Metni ayrıntılarla karıştırmamak için bu yöntemi bir notun altına gizleyeceğim.
$H$ determinantının genel formda yazılması. göster\gizle
$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$
Prensip olarak, $H$'ın hangi işarete sahip olduğu zaten açıktır. $M_1$ veya $M_2$ noktalarının hiçbiri orijinle çakışmadığı için $y^2+x^2>0$ olur. Bu nedenle $H$'ın işareti $\lambda$'ın işaretinin tersidir. Hesaplamaları tamamlayabilirsiniz:
$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(hizalanmış) $$
$M_1(1;3)$ ve $M_2(-1;-3)$ sabit noktalarındaki ekstremumun doğası hakkındaki soru, $H$ determinantı kullanılmadan çözülebilir. Her durağan noktada $d^2F$'nin işaretini bulalım:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\sağ) $$
$dx^2$ gösteriminin tam olarak $dx$'in ikinci kuvvetine yükseltildiği anlamına geldiğini belirteyim. $\sol(dx \sağ)^2$. Dolayısıyla şunu elde ederiz: $dx^2+dy^2>0$, dolayısıyla $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ ile $d^2F elde ederiz< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
Cevap: $(-1;-3)$ noktasında fonksiyonun koşullu minimum değeri vardır, $z_(\min)=-10$. $(1;3)$ noktasında fonksiyonun koşullu maksimumu vardır, $z_(\max)=10$
Örnek No.2
$x+y=0$ koşulu altında $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ fonksiyonunun koşullu ekstremumunu bulun.
Birinci yöntem (Lagrange çarpanı yöntemi)
$\varphi(x,y)=x+y$'ı göstererek Lagrange fonksiyonunu oluştururuz: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\kısmi F)(\kısmi x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0 \end(hizalanmış) \sağ.
Sistemi çözdükten sonra şunu elde ederiz: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ ve $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. İki durağan noktamız var: $M_1(0;0)$ ve $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. $H$ determinantını kullanarak her durağan noktadaki ekstremumun doğasını bulalım.
$$H=\sol| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \sol| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$
$M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10 noktasında< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, dolayısıyla bu noktada işlevin koşullu maksimumu vardır: $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
$d^2F$ işaretine dayalı olarak farklı bir yöntem kullanarak her noktadaki ekstremumun doğasını araştırıyoruz:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
$x+y=0$ bağlantı denkleminden şunu elde ederiz: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
$ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$ olduğundan, $M_1(0;0)$ $z(x,y)=3y^3+ fonksiyonunun koşullu minimum noktasıdır 4x^ 2-xy$. Benzer şekilde, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
İkinci yol
$x+y=0$ bağlantı denkleminden şunu elde ederiz: $y=-x$. $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ fonksiyonunda $y=-x$'ı yerine koyarsak, $x$ değişkeninin bazı fonksiyonlarını elde ederiz. Bu fonksiyonu $u(x)$ olarak gösterelim:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
Böylece, iki değişkenli bir fonksiyonun koşullu ekstremumunu bulma problemini, tek değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunu belirleme problemine indirgedik.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9); \; y_2=-x_2=-\frac(10)(9).
$M_1(0;0)$ ve $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ puanlarını elde ettik. Tek değişkenli fonksiyonların diferansiyel hesabı dersinden daha fazla araştırma bilinmektedir. Her durağan noktada $u_(xx)^("")$ işaretini inceleyerek veya bulunan noktalarda $u_(x)^(")$ işaretindeki değişimi kontrol ederek, şu durumdakiyle aynı sonuçları elde ederiz: ilk yöntemle çözüyoruz. Örneğin, $u_(xx)^("")$ işaretini kontrol edeceğiz:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
$u_(xx)^("")(M_1)>0$ olduğundan, $M_1$, $u(x)$ fonksiyonunun minimum noktasıdır ve $u_(\min)=u(0)=0 $ . $u_(xx)^("")(M_2)'den beri<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
Belirli bir bağlantı koşulu için $u(x)$ fonksiyonunun değerleri, $z(x,y)$ fonksiyonunun değerleriyle çakışır, yani. $u(x)$ fonksiyonunun bulunan ekstremumları $z(x,y)$ fonksiyonunun aranan koşullu ekstremumlarıdır.
Cevap: $(0;0)$ noktasında fonksiyonun koşullu minimum değeri vardır, $z_(\min)=0$. $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ noktasında fonksiyonun koşullu maksimumu vardır, $z_(\max)=\frac(500)(243) )$.
$d^2F$'ın işaretini belirleyerek ekstremumun doğasını açıklığa kavuşturacağımız başka bir örneği ele alalım.
Örnek No.3
$x$ ve $y$ değişkenleri pozitifse ve $\frac(x^2)(8)+\frac( bağlaşım denklemini sağlıyorsa, $z=5xy-4$ fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulun. y^2)(2) -1=0$.
Lagrange fonksiyonunu oluşturalım: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Lagrange fonksiyonunun durağan noktalarını bulalım:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(hizalanmış) \sağ.
Diğer tüm dönüşümler $x > 0 dikkate alınarak gerçekleştirilir; \; y > 0$ (bu problem bildiriminde belirtilmiştir). İkinci denklemden $\lambda=-\frac(5x)(y)$ ifadesini ifade ediyoruz ve bulunan değeri ilk denklemde yerine koyuyoruz: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4) )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Üçüncü denklemde $x=2y$ yerine şunu elde ederiz: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.
$y=1$ olduğuna göre $x=2$, $\lambda=-10$. $(2;1)$ noktasındaki ekstremumun doğasını $d^2F$ işaretine dayanarak belirleriz.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
$\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$ olduğundan, o zaman:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
Prensip olarak, burada $x=2$, $y=1$ sabit noktasının koordinatlarını ve $\lambda=-10$ parametresini hemen değiştirerek şunu elde edebilirsiniz:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
Bununla birlikte, koşullu bir ekstremumdaki diğer problemlerde birkaç durağan nokta olabilir. Bu gibi durumlarda, $d^2F$'yi genel biçimde temsil etmek ve ardından bulunan sabit noktaların her birinin koordinatlarını sonuçtaki ifadeye koymak daha iyidir:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$
$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ yerine koyarsak şunu elde ederiz:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
$d^2F=-10\cdot dx^2 olduğundan< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
Cevap: $(2;1)$ noktasında fonksiyonun koşullu maksimumu vardır, $z_(\max)=6$.
Bir sonraki bölümde Lagrange yönteminin daha fazla sayıda değişkenli fonksiyonlara uygulanmasını ele alacağız.
Lagrange çarpan yöntemi.
Lagrange çarpanı yöntemi, problemleri çözmeden çözmenizi sağlayan yöntemlerden biridir. doğrusal programlama.
Doğrusal olmayan programlama, doğrusal olmayan bir amaç fonksiyonu ve doğrusal olmayan kısıtlamalarla tanımlanan uygun çözümlerin bir bölgesi ile ekstrem problemleri çözme yöntemlerini inceleyen bir matematiksel programlama dalıdır. Ekonomide bu, sonuçların (verimliliğin), kaynak kullanımı ölçeğindeki (veya aynı anlama gelen üretim ölçeğindeki) değişikliklerle orantısız bir şekilde artması veya azalması gerçeğine karşılık gelir: örneğin, üretim maliyetlerinin üretim ölçeğindeki bölünmesi nedeniyle. işletmeleri değişken ve yarı sabit olarak ikiye ayırıyoruz; mallara olan talebin doygunluğu nedeniyle, sonraki her birimin satışının bir öncekinden daha zor olması vb.
Doğrusal olmayan programlama problemi, belirli bir değerin optimumunu bulma problemi olarak ortaya atılmıştır. amaç fonksiyonu
F(x 1 ,…xn), F (X) → maksimum
koşullar karşılandığında
g j (x 1 ,…x n)≥0, G (X) ≤ B , X ≥ 0
Nerede X-gerekli değişkenlerin vektörü;
F (X) -amaç fonksiyonu;
G (X) - kısıtlama fonksiyonu (sürekli türevlenebilir);
B - kısıtlama sabitlerinin vektörü.
Doğrusal olmayan bir programlama probleminin çözümü (küresel maksimum veya minimum), kabul edilebilir kümenin sınırına veya iç kısmına ait olabilir.
Doğrusal programlama probleminden farklı olarak, doğrusal olmayan programlama probleminde optimumun mutlaka kısıtlamalarla tanımlanan bölgenin sınırında olması gerekmez. Başka bir deyişle görev, belirli bir fonksiyonun maksimum (veya minimum) elde edildiği, eşitsizlikler biçimindeki bir kısıtlama sistemine tabi olan değişkenlerin bu tür negatif olmayan değerlerini seçmektir. Bu durumda ne amaç fonksiyonunun ne de eşitsizliklerin formları belirtilmez. Olabilir farklı durumlar: amaç fonksiyonu doğrusal değildir ve kısıtlamalar doğrusaldır; amaç fonksiyonu doğrusaldır ve kısıtlamalar (bunlardan en az biri) doğrusal değildir; hem amaç fonksiyonu hem de kısıtlamalar doğrusal değildir.
Doğrusal olmayan programlama problemi doğa bilimleri, teknoloji, ekonomi, matematik ve matematik alanlarında bulunur. iş ilişkileri ve hükümet biliminde.
Örneğin doğrusal olmayan programlama temel bir ekonomik sorunla ilgilidir. Dolayısıyla, sınırlı kaynakların tahsisi probleminde, ya verimlilik, ya da eğer tüketici inceleniyorsa, kaynak kıtlığı koşullarını ifade eden kısıtlamaların varlığında tüketim maksimuma çıkarılmaktadır. Böyle genel bir formülasyonda problemin matematiksel formülasyonu imkansız olabilir, ancak özel uygulamalarda tüm fonksiyonların niceliksel formu doğrudan belirlenebilir. Örneğin, sanayi kuruluşu plastik ürünler üretiyor. Üretim verimliliği burada karla ölçülür ve kısıtlamalar nakit olarak yorumlanır. işgücü, üretim alanları, ekipman performansı vb.
Maliyet etkinliği yöntemi aynı zamanda doğrusal olmayan programlama şemasına da uyar. Bu yöntem Hükümette karar almada kullanılmak üzere geliştirildi. Verimliliğin ortak bir işlevi refahtır. Burada doğrusal olmayan iki programlama problemi ortaya çıkıyor: Birincisi sınırlı maliyetlerle etkiyi maksimuma çıkarmak, ikincisi ise etkinin belirli bir minimum seviyenin üzerinde olması koşuluyla maliyetleri minimuma indirmek. Bu problem genellikle doğrusal olmayan programlama kullanılarak iyi bir şekilde modellenir.
Doğrusal olmayan bir programlama problemini çözmenin sonuçları, hükümet kararlarının alınmasında faydalıdır. Ortaya çıkan çözüm elbette tavsiye edilir, dolayısıyla nihai bir karar vermeden önce doğrusal olmayan programlama probleminin varsayımlarını ve doğruluğunu incelemek gerekir.
Doğrusal olmayan problemler karmaşıktır; genellikle doğrusal olanlara yol açarak basitleştirilirler. Bunu yapmak için geleneksel olarak belirli bir alanda amaç fonksiyonunun bağımsız değişkenlerdeki değişimle orantılı olarak arttığı veya azaldığı varsayılır. Bu yaklaşıma parçalı doğrusal yaklaşımlar yöntemi denir ancak yalnızca belirli türdeki doğrusal olmayan problemlere uygulanabilir.
Belirli koşullar altında doğrusal olmayan problemler Lagrange fonksiyonu kullanılarak çözülür: eyer noktası bulunarak problemin çözümü bulunur. Hesaplamalı algoritmalar arasında N. s. harika bir yer işgal etmek degrade yöntemleri. Doğrusal olmayan problemler için evrensel bir yöntem yoktur ve görünüşe göre çok çeşitli oldukları için de olmayabilir. Multiekstremal problemlerin çözümü özellikle zordur.
Doğrusal olmayan bir programlama problemini bir denklem sisteminin çözümüne indirgemenizi sağlayan yöntemlerden biri, belirsiz çarpanların Lagrange yöntemidir.
Lagrange çarpanı yöntemini kullanarak, esasen şunu belirleriz: gerekli koşullar eşitlikler biçimindeki kısıtlamalarla optimizasyon problemlerinde optimal noktaların belirlenmesine olanak tanır. Bu durumda kısıtlamalarla ilgili sorun eşdeğer bir soruna dönüşüyor koşulsuz optimizasyon Lagrange çarpanları adı verilen bazı bilinmeyen parametreleri içerir.
Lagrange çarpan yöntemi, koşullu bir ekstremumdaki problemleri, sözde bir yardımcı fonksiyonun koşulsuz ekstremumundaki problemlere indirgemekten oluşur. Lagrange fonksiyonları.
Bir fonksiyonun ekstremum problemi için F(x 1, x 2,..., x n) koşullar altında (kısıt denklemleri) φ Ben(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, Ben= 1, 2,..., M, Lagrange fonksiyonu şu forma sahiptir:
L(x 1, x 2… x n,λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ ben φ i (x 1, x 2… x n)
Çarpanlar λ 1 , λ 2 , ..., λm isminde Lagrange çarpanları.
Eğer değerler x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λm Lagrange fonksiyonunun durağan noktalarını belirleyen denklemlerin çözümlerinin özü, yani diferansiyellenebilir fonksiyonlar için denklem sisteminin çözümleridir
bu durumda, oldukça genel varsayımlar altında, x 1 , x 2 , ..., x n f fonksiyonunun bir ekstremumunu sağlar.
Eşitlik biçiminde bir kısıtlamaya tabi olan n değişkenli bir fonksiyonu en aza indirme problemini düşünün:
f(x 1, x 2… x n)'yi en aza indirin (1)
h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2) kısıtlamaları altında
Lagrange çarpanı yöntemine göre bu problem aşağıdaki kısıtsız optimizasyon problemine dönüştürülür:
L(x,λ)=f(x)-λ*h(x)'i en aza indir (3)
L(x;λ) Fonksiyonuna Lagrange fonksiyonu denir,
λ, Lagrange çarpanı adı verilen bilinmeyen bir sabittir. λ işareti için herhangi bir gereklilik yoktur.
Belirli bir λ=λ 0 değeri için, L(x,λ) fonksiyonunun x'e göre koşulsuz minimumunun x=x 0 noktasında elde edilmesine ve x 0'ın h 1 (x 0)=0 denklemini sağlamasına izin verin. . Daha sonra, görülmesi kolay olduğu gibi, x 0, (2)'yi hesaba katarak (1)'i en aza indirir, çünkü x'in (2) tatmin edici tüm değerleri için h 1 (x)=0 ve L(x,λ)=min f(x).
Elbette, koşulsuz minimum nokta x 0'ın koordinatının eşitliği (2) sağlaması için λ=λ 0 değerini seçmek gereklidir. Bu, λ'yı bir değişken olarak dikkate alarak, fonksiyonun (3) koşulsuz minimumunu λ fonksiyonu biçiminde bulursanız ve ardından eşitliğin (2) sağlandığı λ değerini seçerseniz yapılabilir. Bunu spesifik bir örnekle açıklayalım.
En aza indirge f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0
h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0 kısıtı altında
Karşılık gelen kısıtsız optimizasyon problemi şu şekilde yazılır:
en aza indirge L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)
Çözüm. L gradyanının iki bileşenini sıfıra eşitleyerek şunu elde ederiz:
→ x 1 0 =λ
→ x 2 0 =λ/2
Sabit x° noktasının minimuma karşılık gelip gelmediğini kontrol etmek için, x'in bir fonksiyonu olarak kabul edilen L(x;u) fonksiyonunun Hessian matrisinin elemanlarını hesaplıyoruz,
bunun pozitif tanımlı olduğu ortaya çıkıyor.
Bu, L(x,u)'nun x'in dışbükey bir fonksiyonu olduğu anlamına gelir. Sonuç olarak, x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 koordinatları global minimum noktayı belirler. Optimum değerλ, x 1 0 ve x 2 0 değerlerinin 2x 1 + x 2 =2 denkleminde değiştirilmesiyle bulunur; buradan 2λ+λ/2=2 veya λ 0 =4/5 olur. Böylece koşullu minimuma x 1 0 =4/5 ve x 2 0 =2/5'te ulaşılır ve min f(x) = 4/5'e eşittir.
Örnekten problemi çözerken, L(x;λ)'yi iki değişken x 1 ve x 2'nin bir fonksiyonu olarak ele aldık ve ayrıca λ parametresinin değerinin kısıtlamanın karşılanacağı şekilde seçildiğini varsaydık. Sistemin çözümü ise
J=1,2,3,…,n
λ açık fonksiyonlar şeklinde elde edilemiyorsa, n+1 bilinmeyenli n+1 denklemden oluşan aşağıdaki sistemin çözülmesiyle x ve λ değerleri bulunur:
J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0
Herkesi bulmak için olası çözümler Bu sistem sayısal arama yöntemlerini (örneğin Newton yöntemi) kullanabilir. Çözümlerin her biri için (), x'in bir fonksiyonu olarak kabul edilen L fonksiyonunun Hessian matrisinin elemanlarını hesaplamalı ve bu matrisin pozitif tanımlı (yerel minimum) veya negatif tanımlı (yerel maksimum) olup olmadığını bulmalıyız. ).
Lagrange çarpanı yöntemi, problemin eşitlikler şeklinde çeşitli kısıtlamalara sahip olduğu duruma genişletilebilir. gerektiren genel bir problem düşünün.
f(x)'i en aza indirin
h k =0, k=1, 2, ..., K kısıtlamaları altında.
Lagrange fonksiyonu aşağıdaki formu alır:
Burada λ 1 , λ 2 , ..., λk-Lagrange çarpanları, yani değerlerinin belirlenmesi gereken bilinmeyen parametreler. L'nin x'e göre kısmi türevlerini sıfıra eşitleyerek, n bilinmeyenli aşağıdaki n denklem sistemini elde ederiz:
Yukarıdaki sisteme λ vektörünün fonksiyonları şeklinde bir çözüm bulmanın zor olduğu ortaya çıkarsa, o zaman eşitlikler biçiminde kısıtlamalar ekleyerek sistemi genişletebilirsiniz.
n + K bilinmeyenli n + K denklemlerinden oluşan genişletilmiş sistemin çözümü, L fonksiyonunun durağan noktasını belirler. Daha sonra, hesaplama temelinde gerçekleştirilen bir minimum veya maksimumun kontrol edilmesi için bir prosedür uygulanır. L fonksiyonunun Hessian matrisinin elemanları, tek kısıtlamalı bir problem durumunda yapıldığına benzer şekilde, x'in bir fonksiyonu olarak kabul edilir. Bazı problemler için, n+K bilinmeyenli, n+K denklemlerden oluşan genişletilmiş bir sistemin çözümü olmayabilir ve Lagrange çarpan yönteminin uygulanamaz olduğu ortaya çıkar. Ancak bu tür görevlerin pratikte oldukça nadir olduğunu belirtmek gerekir.
düşünelim özel durum ortak görev Doğrusal olmayan programlama, kısıtlama sisteminin yalnızca denklemler içerdiğini varsayarsak, değişkenlerin negatif olmama koşulu yoktur ve fonksiyonlar kısmi türevleriyle birlikte süreklidir. Bu nedenle, denklem sistemini (7) çözerek, fonksiyonun (6) uç değerlere sahip olabileceği tüm noktaları elde ederiz.
Lagrange çarpanı yöntemi için algoritma
1. Lagrange fonksiyonunu oluşturun.
2. Lagrange fonksiyonunun x J ,λ i değişkenlerine göre kısmi türevlerini bulun ve bunları sıfıra eşitleyin.
3. Denklem sistemini (7) çözüyoruz, problemin amaç fonksiyonunun ekstremum olabileceği noktaları buluyoruz.
4. Bir ekstremum için şüpheli noktalardan ekstrema ulaşılan noktaları buluyoruz ve bu noktalardaki fonksiyon (6) değerlerini hesaplıyoruz.
Örnek.
İlk veriler:Üretim planına göre firmanın 180 adet ürün üretmesi gerekiyor. Bu ürünler iki teknolojik yöntemle üretilebilmektedir. 1. yöntem kullanılarak x 1 ürün üretilirken maliyetler 4x 1 + x 1 2 ruble, 2. yöntem kullanılarak x 2 ürün üretilirken ise 8x 2 + x 2 2 ruble olur. Üretim maliyetinin minimum düzeyde olması için her yöntemi kullanarak kaç ürün üretilmesi gerektiğini belirleyin.
Belirtilen problemin amaç fonksiyonu şu şekildedir:
® dk. x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0 koşulları altında.
1. Lagrange fonksiyonunu oluşturun
.
2.
Kısmi türevleri x 1, x 2, λ'ya göre hesaplıyoruz ve bunları sıfıra eşitliyoruz: 
3.
Ortaya çıkan denklem sistemini çözerek x 1 =91,x 2 =89'u buluruz
4. Amaç fonksiyonu x 2 =180-x 1'i değiştirerek tek değişkenli bir fonksiyon elde ederiz, yani f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1) ) 2
4x 1 -364=0 hesaplıyoruz,
buradan x 1 * =91, x 2 * =89 elde ederiz.
Cevap: Birinci yöntemle üretilen ürün sayısı x 1 =91, ikinci yöntemle x 2 =89 olup, amaç fonksiyonunun değeri 17.278 rubleye eşittir.
an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)
genel çözümdeki ck keyfi sabitlerinin değiştirilmesinden oluşur
z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...
Cnzn(t)
karşılık gelen homojen denklem
an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0
türevleri doğrusal cebirsel sistemi karşılayan ck(t) yardımcı fonksiyonlarına
Sistem (1)'in determinantı, z1,z2,...,zn fonksiyonlarının Wronskian'ıdır ve bu, onun .'ye göre benzersiz çözülebilirliğini sağlar.
Entegrasyon sabitlerinin sabit değerlerinde alınan antiderivatifler varsa, o zaman fonksiyon
orijinal doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemin bir çözümüdür. Entegrasyon homojen olmayan denklem karşılık gelen homojen denklemin genel bir çözümünün varlığında, bu nedenle karelere indirgenir.
Lagrange yöntemi (keyfi sabitlerin değişimi yöntemi)
Belirli bir çözüm bulmadan homojen bir denklemin genel çözümünü bilerek, homojen olmayan bir denklemin genel çözümünü elde etmeye yönelik bir yöntem.
N'inci dereceden doğrusal homojen bir diferansiyel denklem için
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,
burada y = y(x) bilinmeyen bir fonksiyondur, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) bilinmektedir, sürekli, doğrudur: 1) doğrusal olarak n vardır bağımsız çözüm denklemleri y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) c1, c2, ..., cn sabitlerinin herhangi bir değeri için, y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) fonksiyonu a'dır denklemin çözümü; 3) herhangi bir x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 başlangıç değeri için c*1, c*n, ..., c*n değerleri vardır, öyle ki y çözümü *(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) başlangıç koşullarını sağlar y*(x0)=y0, (y*)"( x0) için x = x0 =y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.
y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) ifadesi çağrılır genel karar n'inci dereceden doğrusal homojen diferansiyel denklem.
n'inci mertebeden y1(x), y2(x), ..., yn(x) doğrusal homojen diferansiyel denkleminin n doğrusal bağımsız çözüm kümesine denklemin temel çözüm sistemi denir.
Doğrusal homojen bir diferansiyel denklem için sabit katsayılar Temel bir çözüm sistemi oluşturmak için basit bir algoritma vardır. Denklemin çözümünü y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) formunda arayacağız. " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, yani l sayısı köktür karakteristik denklem ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. Karakteristik denklemin sol tarafına doğrusal diferansiyel denklemin karakteristik polinomu denir: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Böylece, sabit katsayılarla n'inci dereceden doğrusal homojen bir denklemi çözme sorunu, cebirsel bir denklemin çözümüne indirgenir.
Karakteristik denklemin n farklı gerçek kökü l1№ l2 № ... № ln varsa, bu durumda temel çözüm sistemi y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), , fonksiyonlarından oluşur. .., yn (x) = exp(lnx) ve homojen denklemin genel çözümü şu şekildedir: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx ).
basit gerçek kökler durumu için temel bir çözüm sistemi ve genel bir çözüm.
Karakteristik denklemin gerçek köklerinden herhangi biri r kez tekrarlanırsa (r-çoklu kök), o zaman temel çözüm sisteminde buna karşılık gelen r fonksiyon vardır; eğer lk=lk+1 = ... = lk+r-1 ise, o zaman temel sistem Denklemin çözümleri r fonksiyonlarını içerir: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r- 1(x) =xr-1 exp(lnx).
ÖRNEK 2. Temel çözüm sistemi ve çoklu reel kökler durumu için genel çözüm.
Karakteristik denklemin karmaşık kökleri varsa, temel çözüm sistemindeki her basit (çokluğu 1 olan) karmaşık kök çifti lk,k+1=ak ± ibk, bir yk(x) = exp(akx) fonksiyon çiftine karşılık gelir cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).
ÖRNEK 4. Basit karmaşık kökler durumu için temel çözüm sistemi ve genel çözüm. Hayali kökler.
Karmaşık bir kök çiftinin r sayısı çokluğuna sahipse, bu durumda böyle bir lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk çifti, temel çözüm sisteminde exp(akx)cos( fonksiyonlarına karşılık gelir. bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).
ÖRNEK 5. Temel çözüm sistemi ve çoklu karmaşık kökler durumu için genel çözüm.
Dolayısıyla, sabit katsayılı bir doğrusal homojen diferansiyel denklemin genel çözümünü bulmak için: karakteristik denklemi yazmak; l1, l2, ... , ln karakteristik denkleminin tüm köklerini bulun; y1(x), y2(x), ..., yn(x)'in temel çözüm sistemini yazın; y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) genel çözümünün ifadesini yazın. Cauchy problemini çözmek için, genel çözüm ifadesini başlangıç koşullarına koymanız ve doğrusal sistemin çözümleri olan c1,..., cn sabitlerinin değerlerini belirlemeniz gerekir. cebirsel denklemler c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0 ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1
N'inci dereceden doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklem için
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),
burada y = y(x) bilinmeyen bir fonksiyondur, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) bilinmektedir, sürekli, geçerlidir: 1 ) eğer y1(x) ve y2(x) homojen olmayan bir denklemin iki çözümü ise, o zaman y(x) = y1(x) - y2(x) fonksiyonu karşılık gelen homojen denklemin bir çözümüdür; 2) y1(x) homojen olmayan bir denklemin çözümüyse ve y2(x) karşılık gelen homojen denklemin çözümüyse, o zaman y(x) = y1(x) + y2(x) fonksiyonu aşağıdaki denklemin çözümüdür: homojen olmayan denklem; 3) eğer y1(x), y2(x), ..., yn(x) homojen bir denklemin n tane doğrusal bağımsız çözümü ise ve ych(x) - keyfi karar Homojen olmayan denklemde, herhangi bir x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 başlangıç değeri için c*1, c*n, ..., c*n değerleri vardır, öyle ki çözüm y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) başlangıç koşullarını sağlar y*(x0)=y0 , ( y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.
y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) ifadesine n'inci mertebeden doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemin genel çözümü denir.
Homojen olmayan problemlerin özel çözümlerini bulmak için diferansiyel denklemler formun sağ tarafında sabit katsayılar olan: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), burada Pk(x), Qm(x) polinomlardır derece k ve m Buna göre, belirli bir çözümü oluşturmak için seçim yöntemi adı verilen basit bir algoritma vardır.
Seçim yöntemi veya yöntemi belirsiz katsayılar, aşağıdaki gibidir. Denklemin gerekli çözümü şu biçimde yazılır: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, burada Pr(x), Qr(x) ) derecesi r = max(k, m) olan ve katsayıları bilinmeyen pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0 polinomlarıdır. xs faktörüne rezonans faktörü denir. Rezonans, karakteristik denklemin kökleri arasında s çokluğunun l =a ± ib kökünün olduğu durumlarda ortaya çıkar. Onlar. karşılık gelen homojen denklemin karakteristik denkleminin kökleri arasında, gerçek kısmı üssün üssündeki katsayı ile çakışacak ve hayali kısmı argümandaki katsayı ile çakışacak şekilde bir tane varsa trigonometrik fonksiyon Denklemin sağ tarafında ve bu kökün çokluğu s ise, gerekli kısmi çözüm bir rezonans faktörü xs içerir. Eğer böyle bir tesadüf yoksa (s=0) rezonans faktörü de yoktur.
Belirli bir çözüm için ifadeyi yerine koymak sol taraf Denklemin sağ tarafındaki polinomla aynı formda, katsayıları bilinmeyen genelleştirilmiş bir polinom elde ederiz.
İki genelleştirilmiş polinom ancak ve ancak xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) formundaki aynı t kuvvetlerine sahip faktörlerin katsayılarının eşit olması durumunda eşittir. Bu faktörlerin katsayılarını eşitleyerek 2(r+1) bilinmeyen için 2(r+1) doğrusal cebirsel denklem sistemi elde ederiz. Böyle bir sistemin tutarlı olduğu ve tek bir çözüme sahip olduğu gösterilebilir.
