ortib boradi\(X\) oralig'ida, agar har qanday \(x_1, x_2\da X\) uchun \(x_1)

Funktsiya chaqiriladi kamaymaydigan

\(\blacktrianglerright\) \(f(x)\) funksiyasi chaqiriladi kamaymoqda\(X\) oralig'ida, agar har qanday \(x_1, x_2\da X\) uchun \(x_1) f(x_2)\) .

Funktsiya chaqiriladi oshmaydigan\(X\) oralig'ida, agar har qanday \(x_1, x_2\da X\) uchun \(x_1)

\(\blacktrianglerright\) O'stiruvchi va kamaytiruvchi funksiyalar deyiladi qat'iy monoton, va ortib ketmaydigan va kamaymaydigan oddiy monoton.

\(\blacktrianglerright\) Asosiy xususiyatlar:

I. Agar \(f(x)\) funksiyasi \(X\) da qat`iy monoton bo'lsa, \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\da X\) ) tengligidan \(f() dan kelib chiqadi. x_1)= f(x_2)\) va aksincha.

Misol: \(f(x)=\sqrt x\) funksiyasi barcha \(x\in \) uchun qat'iy ortib bormoqda, shuning uchun \(x^2=9\) tenglama bu oraliqda ko'pi bilan bitta yechimga ega, yoki aniqrog'i bitta: \(x=-3\) .

\(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) funktsiyasi hamma \(x\in (-1;+\infty)\) uchun qat'iy ortib bormoqda, shuning uchun \(-\dfrac 1) tenglamasi (x +1)=0\) bu oraliqda bittadan ortiq yechimga ega emas, toʻgʻrirogʻi yoʻq, chunki chap tomonning numeratori hech qachon nolga teng bo'lishi mumkin emas.

III. Agar \(f(x)\) funksiyasi \(\) segmentida kamaymaydigan (o'smaydigan) va uzluksiz bo'lsa va segmentning uchlarida \(f(a)= qiymatlarini oladi) A, f(b)=B\) , keyin \(C\in \) (\(C\in \) ) uchun \(f(x)=C\) tenglama har doim kamida bitta yechimga ega.

Misol: \(f(x)=x^3\) funktsiyasi qat'iy ortib bormoqda (ya'ni, qat'iy monoton) va barcha \(x\in\mathbb(R)\) uchun, shuning uchun har qanday \(C\) uchun uzluksiz. ( -\infty;+\infty)\) da \(x^3=C\) tenglamasi aynan bitta yechimga ega: \(x=\sqrt(C)\) .

1-topshiriq №3153

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihonidan osonroq

aniq ikkita ildizga ega.

Tenglamani quyidagicha qayta yozamiz: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\]\(f(t)=t^3+t\) funksiyasini ko'rib chiqing. Keyin tenglama quyidagi ko'rinishda qayta yoziladi: \(f(t)\) funksiyasini o'rganamiz. \ Demak, \(f(t)\) funksiyasi hamma \(t\) uchun ortadi. Bu \(f(t)\) funksiyasining har bir qiymati \(t\) argumentining aynan bitta qiymatiga mos kelishini bildiradi. Shunday qilib, tenglamaning ildizlari bo'lishi uchun quyidagilar zarur: \ Olingan tenglama ikkita ildizga ega bo'lishi uchun uning diskriminanti ijobiy bo'lishi kerak: \

Javob:

\(\chap(-\infty;\dfrac1(12)\o'ng)\)

2-topshiriq №2653

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

Tenglama tuzilgan \(a\) parametrining barcha qiymatlarini toping \

ikkita ildizga ega.

(Abonentlardan topshiriq.)

Keling, almashtirishni amalga oshiramiz: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Keyin tenglama quyidagi shaklni oladi: \ \(f(w)=7^w+\sqrtw\) funksiyasini ko'rib chiqing. Keyin tenglamamiz quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: \

Keling, hosilani topamiz \ E'tibor bering, hamma \(w\ne 0\) uchun hosila \(f"(w)>0\) bo'ladi, chunki \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . \(f(w)\) funksiyaning o'zi hamma \(w\) uchun aniqlangan. Bundan tashqari, \(f(w)\) uzluksiz bo'lganligi sababli, \(f (w)\) degan xulosaga kelishimiz mumkin. umumiy bo'yicha ortadi \(\mathbb(R)\).
Bu shuni anglatadiki, \(f(t)=f(u)\) tengligi faqat \(t=u\) bo'lgandagina mumkin bo'ladi. Keling, asl o'zgaruvchilarga qaytaylik va hosil bo'lgan tenglamani yechamiz:

\ Ushbu tenglama ikkita ildizga ega bo'lishi uchun u kvadrat bo'lishi kerak va uning diskriminanti ijobiy bo'lishi kerak:

\[\begin(holatlar) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(holatlar) \to'rt\chap o'q\to'rt \begin(holatlar)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Javob:

\((-\infty;1)\kupa(1;2)\)

3-topshiriq №3921

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

Tenglama tuzilgan \(a\) parametrining barcha ijobiy qiymatlarini toping

kamida \(2\) yechimga ega.

Tarkibida \(ax\) bo‘lgan barcha atamalarni chapga, tarkibida \(x^2\) bo‘lgan atamalarni o‘ngga siljiymiz va funksiyani ko‘rib chiqamiz.
\

Keyin asl tenglama quyidagi shaklni oladi:
\

Keling, hosilani topamiz:
\

Chunki \((t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0\), keyin har qanday \(t\in \mathbb(R)\) uchun \(f"(t)\geqslant 0\) .

Bundan tashqari, \(f"(t)=0\) bir vaqtning o'zida \((t-2)^2=0\) va \(1+\cos(2t)=0\) bo'lsa, bu to'g'ri emas. har qanday \ (t\) uchun. Shuning uchun, har qanday \(t\in \mathbb(R)\) uchun \(f"(t)> 0\) .

Shunday qilib, \(f(t)\) funktsiyasi barcha \(t\in \mathbb(R)\) uchun qat'iy ortib bormoqda.

Bu \(f(ax)=f(x^2)\) tenglamasi \(ax=x^2\) tenglamasiga ekvivalent ekanligini bildiradi.

\(a=0\) uchun \(x^2-ax=0\) tenglamasi bitta ildizga ega \(x=0\), \(a\ne 0\) uchun esa ikkita turli xil ildizlar\(x_1=0\) va \(x_2=a\) .
Biz tenglama kamida ikkita ildizga ega bo'lgan \(a\) qiymatlarini topishimiz kerak, bundan tashqari \(a>0\) .
Shuning uchun javob: \(a\in (0;+\infty)\) .

Javob:

\((0;+\infty)\) .

4-topshiriq №1232

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

Parametrning barcha qiymatlarini toping \(a\) , ularning har biri uchun tenglama \

o‘ziga xos yechimga ega.

Tenglamaning o'ng va chap tomonlarini \(2^(\sqrt(x+1))\) ga ko'paytiramiz (chunki \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) va tenglamani qayta yozamiz. shaklida: \

Funktsiyani ko'rib chiqing \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\)\(t\geqslant 0\) uchun (\(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) dan beri).

Hosil \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\o'ng)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\o'ng)\).

Chunki \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) hamma uchun \(t\geqslant 0\) , keyin \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

Binobarin, \(t\geqslant 0\) bo'lgani uchun \(y\) funksiya monoton ravishda kamayadi.

Tenglamani \(y(t)=y(z)\) ko'rinishda ko'rib chiqish mumkin, bu erda \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . Funktsiyaning monotonligidan kelib chiqadiki, tenglik faqat \(t=z\) bo'lganda mumkin.

Bu tenglama tenglamaga ekvivalent ekanligini bildiradi: \(ax=\sqrt(x+1)\), bu esa o'z navbatida tizimga ekvivalentdir: \[\begin(holatlar) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(holatlar)\]

Qachonki \(a=0\) tizimda \(ax\geqslant 0\) shartni qondiradigan \(x=-1\) bitta yechim mavjud.

Ishni ko'rib chiqing \(a\ne 0\) . Barcha \(a\) uchun \(D=1+4a^2>0\) sistemaning birinchi tenglamasining diskriminanti. Demak, tenglama har doim ikkita ildizga ega \(x_1\) va \(x_2\) va ular turli belgilarga ega (chunki Vyeta teoremasiga ko'ra) \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\) ).

Bu shuni anglatadiki, \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) shart musbat ildiz bilan qanoatlantiriladi. Shuning uchun tizim har doim o'ziga xos echimga ega.

Shunday qilib, \(a\in \mathbb(R)\) .

Javob:

\(a\in \mathbb(R)\) .

5-topshiriq №1234

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

Parametrning barcha qiymatlarini toping \(a\) , ularning har biri uchun tenglama \

\([-1;0]\) segmentidan kamida bitta ildizga ega.

Funktsiyani ko'rib chiqing \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\) ba'zi bir sobit \(a\) uchun. Keling, uning hosilasini topamiz: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\).

E'tibor bering, \(f"(x)\geqslant 0\) \(x\) va \(a\) ning barcha qiymatlari uchun va faqat \(x=a=1) uchun \(0\) ga teng. \). Lekin \(a=1\) uchun:
\(f"(x)=6(x-1)^2 \O'ng strelka f(x)=2(x-1)^3 \O'ng yo'l\)\(2(x-1)^3=0\) tenglamasi bitta ildizga ega \(x=1\) shartni qanoatlantirmaydi. Shuning uchun \(a\) \(1\) ga teng bo'lishi mumkin emas.

Bu shuni anglatadiki, barcha \(a\ne 1\) uchun \(f(x)\) funksiya qat'iy ortib bormoqda, shuning uchun \(f(x)=0\) tenglama birdan ortiq ildizga ega bo'lishi mumkin emas. Kub funksiyaning xossalarini hisobga olgan holda, ba'zi bir qo'zg'almas \(a\) uchun \(f(x)\) ning grafigi quyidagicha bo'ladi:

Bu shuni anglatadiki, tenglama \([-1;0]\ segmentidan ildizga ega bo'lishi uchun quyidagilar zarur: \[\begin(holatlar) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(holatlar) \Rightarrow \begin(holatlar) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(holatlar) \Rightarrow \begin(holatlar) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(holatlar) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Shunday qilib, \(a\in [-2;0]\) .

Javob:

\(a\da [-2;0]\) .

6-topshiriq №2949

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

Parametrning barcha qiymatlarini toping \(a\) , ularning har biri uchun tenglama \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

ildizlari bor.

(Abonentlardan topshiriq)

ODZ tenglamalari: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). Demak, tenglama ildizga ega bo'lishi uchun tenglamalardan kamida bittasi bo'lishi kerak \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \to'rt (\kichik(\matn(yoki)))\to'rt \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^) 2)=0\] ODZ bo'yicha qarorlari bor edi.

1) Birinchi tenglamani ko'rib chiqing \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \to'rtlik\Chapga o'q\quad \left[\begin(to'plangan)\begin(hizalangan) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(hizalangan) \end(to'plangan)\o'ng. \to'rt\chap o'ng\to'rt \sin x=2a+2\] Bu tenglamaning ildizlari \(\) da bo'lishi kerak. Bir doirani ko'rib chiqing:

Shunday qilib, biz har qanday \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) uchun tenglama bitta yechimga ega bo'lishini, qolgan hamma uchun esa hech qanday yechimga ega bo'lmasligini ko'ramiz. Shuning uchun, qachon \(a\in \chap[-1;-1+\sin 1\o'ng]\) tenglamaning yechimlari bor.

2) Ikkinchi tenglamani ko'rib chiqing \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \to'rtlik\Chapga o'q\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

\(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) funktsiyasini ko'rib chiqing. Keling, uning hosilasini topamiz: \ ODZda lotin bitta nolga ega: \(x=\frac34\) , bu ham \(f(x)\) funksiyaning maksimal nuqtasidir.
E'tibor bering, \(f(0)=f(1)=0\) . Shunday qilib, sxematik ravishda \(f(x)\) grafigi quyidagicha ko'rinadi:

Demak, tenglama yechimlarga ega bo'lishi uchun \(f(x)\) grafigi \(y=-a\) to'g'ri chiziq bilan kesishishi kerak (rasmda mos variantlardan biri ko'rsatilgan). Ya'ni, bu kerak \ . Bular uchun \(x\):

\(y_1=\sqrt(x-1)\) funksiyasi keskin ortib bormoqda. \(y_2=5x^2-9x\) funksiyaning grafigi parabola bo'lib, uning cho'qqisi \(x=\dfrac(9)(10)\) nuqtada joylashgan. Binobarin, hamma \(x\geqslant 1\) uchun \(y_2\) funksiyasi ham qat'iy ortib bormoqda (parabolaning o'ng tarmog'i). Chunki qat'iy ortib boruvchi funksiyalar yig'indisi qat'iy ortib bormoqda, keyin \(f_a(x)\) qat'iy ortib bormoqda (doimiy \(3a+8\) funksiyaning monotonligiga ta'sir qilmaydi).

Barcha \(x\geqslant 1\) uchun \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) funksiyasi giperbolaning o‘ng shoxchasining bir qismini ifodalaydi va qat’iy kamayib bormoqda.

\(f_a(x)=g_a(x)\) tenglamasini yechish \(f\) va \(g\) funksiyalarining kesishish nuqtalarini topishni bildiradi. Ularning qarama-qarshi monotonligidan tenglama ko'pi bilan bitta ildizga ega bo'lishi mumkinligi kelib chiqadi.

Qachon \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 . Shunday qilib, tenglama yagona yechimga ega bo'ladi, agar:

\\ chashka

Javob:

\(a\in (-\infty;-1]\kupa , ushbu segmentda cheklangan;

· ortib boruvchi (kamayuvchi) funksiyalar yig‘indisi ortib boruvchi (kamayuvchi) funksiyadir;

· if funktsiyasi f ortadi (kamayadi) va n– toq son, u ham ortadi (kamayadi);

· Agar f"(x)>0 Barcha uchun xO(a,b), keyin funksiya y=f(x) intervalda ortib bormoqda (a,b);

· Agar f"(x)<0 Barcha uchun xO(a,b), keyin funksiya y=f(x) oraliqda kamayib bormoqda (a,b);

· Agar f(x) - to'plamdagi uzluksiz va monoton funksiya X, keyin tenglama f(x)=C, Qayerda BILAN– bu doimiy bo'lishi mumkin X bittadan ko'p bo'lmagan yechim;

· agar tenglamani aniqlash sohasi bo'yicha f(x)=g(x) funktsiyasi f(x) ortadi va funksiya g(x) kamayadi, u holda tenglama bir nechta yechimga ega bo'lishi mumkin emas.

Teorema. (funktsiyaning monotonligi uchun etarli shart). Agar segmentda davom etsa [ a, b] funktsiyasi y = f(X) intervalning har bir nuqtasida ( a, b) musbat (salbiy) hosilaga ega, keyin bu funksiya [ segmentida ortadi (kamayadi) a, b].

Isbot. Hamma uchun >0 bo'lsin xO(a,b). Ikki ixtiyoriy qiymatni ko'rib chiqing x 2 > x 1, ga tegishli [ a, b]. Lagrange formulasiga ko'ra x 1<с < х 2 . (Bilan) > 0 Va x 2 – x 1 > 0, shuning uchun > 0, bundan > , ya'ni f(x) funksiya [ oraliqda ortadi. a, b]. Teoremaning ikkinchi qismi ham xuddi shunday tarzda isbotlangan.

Teorema 3. (funksiya ekstremumining mavjudligining zaruriy belgisi). Agar funktsiya c nuqtada differentsiallansa da=f(X) bu nuqtada ekstremumga ega, keyin .

Isbot. Masalan, funktsiyani olaylik da= f(X) c nuqtada maksimalga ega. Bu shuni anglatadiki, c nuqtaning barcha nuqtalar uchun teshilgan qo'shnisi bor x bu mahalla mamnun f(x) < f (c), ya'ni f(c) bu qo‘shnilikdagi funksiyaning eng katta qiymati. Keyin Ferma teoremasi bo'yicha.

c nuqtadagi minimumning holati ham xuddi shunday tarzda isbotlangan.

Izoh. Funktsiyaning hosilasi mavjud bo'lmagan nuqtada ekstremum bo'lishi mumkin. Masalan, funktsiya x nuqtada minimumga ega = 0, garchi u mavjud emas. Funktsiyaning hosilasi nolga teng bo'lgan yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar funksiyaning kritik nuqtalari deyiladi. Biroq, funktsiya barcha muhim nuqtalarda ekstremumga ega emas. Masalan, funktsiya y = x 3 uning hosilasi bo'lsa-da, ekstremalga ega emas =0.

Teorema 4. (ekstremum mavjudligining etarli belgisi). Agar doimiy funktsiya y = f(x) C kritik nuqtasini o'z ichiga olgan ma'lum oraliqning barcha nuqtalarida hosilaga ega (ehtimol, bu nuqtaning o'zi bundan mustasno) va agar hosila, argument C tanqidiy nuqtasi orqali chapdan o'ngga o'tganda, belgisini plyusdan o'zgartiradi. minusga, u holda C nuqtadagi funktsiya maksimalga ega bo'ladi va belgi minusdan plyusga o'zgarganda minimal bo'ladi.

Isbot. c kritik nuqta bo'lsin va masalan, argument c nuqtadan o'tganda belgisini plyusdan minusga o'zgartirsin. Bu ma'lum bir oraliqda degan ma'noni anglatadi (c-e; c) funksiya ortadi, va intervalda (c; c+e)- kamayadi (da e>0). Shuning uchun c nuqtada funktsiya maksimalga ega. Minimalning holati ham xuddi shunday tarzda isbotlangan.

Izoh. Argument kritik nuqtadan o'tganda hosila belgisini o'zgartirmasa, bu nuqtadagi funktsiya ekstremumga ega bo'lmaydi.

Bir nechta o'zgaruvchili funktsiya uchun chegara va uzluksizlik ta'riflari bir o'zgaruvchining funksiyasi uchun mos keladigan ta'riflar bilan amalda mos kelganligi sababli, bir nechta o'zgaruvchili funktsiyalar uchun chegara va uzluksiz funktsiyalarning barcha xususiyatlari saqlanib qoladi.

©2015-2019 sayti
Barcha huquqlar ularning mualliflariga tegishli. Bu sayt mualliflik da'vo qilmaydi, lekin beradi bepul foydalanish.
Sahifaning yaratilgan sanasi: 2016-02-12

Monoton funksiya chegarasi haqidagi teorema. Teoremaning isboti ikkita usul yordamida beriladi. Qat’iy ortib boruvchi, kamaymaydigan, qat’iy kamayuvchi va o’smaydigan funksiyalarning ta’riflari ham berilgan. Monotonik funktsiyaning ta'rifi.

Ta'riflar

O'suvchi va kamayuvchi funksiyalarning ta'riflari
Funktsiya f bo'lsin (x) X haqiqiy sonlar to'plamida aniqlanadi.
Funktsiya chaqiriladi qat'iy o'sish (qat'iy kamayish), agar hamma uchun x′, x′′ ∈ X shunday x'< x′′ выполняется неравенство:
f (x′)< f(x′′) ( f (x′) > f(x′′) ) .
Funktsiya chaqiriladi kamaymaydigan (o'smaydigan), agar hamma uchun x′, x′′ ∈ X shunday x'< x′′ выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)( f (x′) ≥ f(x′′) ) .

Bundan kelib chiqadiki, qat'iy ortib boruvchi funktsiya ham kamaymaydi. Qattiq kamayuvchi funktsiya ham ortib bormaydi.

Monoton funktsiyaning ta'rifi
Funktsiya chaqiriladi monoton, agar u kamaymaydigan yoki o'smaydigan bo'lsa.

Muayyan X to'plamidagi funktsiyaning monotonligini o'rganish uchun siz ushbu to'plamga tegishli ikkita ixtiyoriy nuqtada uning qiymatlari farqini topishingiz kerak. Agar , u holda funktsiya qat'iy ravishda ortib boradi; bo'lsa, u holda funksiya kamaymaydi; agar , keyin qat'iy ravishda kamayadi; bo'lsa, u ko'paymaydi.

Agar ma'lum bir to'plamda funktsiya ijobiy bo'lsa: , u holda monotonlikni aniqlash uchun siz uning qiymatlarini ushbu to'plamning ikkita ixtiyoriy nuqtasiga bo'lish qismini o'rganishingiz mumkin. Agar , u holda funktsiya qat'iy ravishda ortib boradi; bo'lsa, u holda funksiya kamaymaydi; agar , keyin qat'iy ravishda kamayadi; bo'lsa, u ko'paymaydi.

Teorema
Funktsiya f bo'lsin (x) oraliqda kamaymaydi (a, b), Qayerda.
Agar u yuqorida M: soni bilan chegaralangan bo'lsa, u holda b: nuqtada chekli chap chegara mavjud. Agar f (x) yuqoridan cheklanmagan, keyin .
Agar f (x) quyida m : soni bilan chegaralangan bo'lsa, u holda a: nuqtada chekli o'ng chegara mavjud. Agar f (x) quyida chegaralanmagan, keyin .

Agar a va b nuqtalar cheksizlikda bo'lsa, u holda ifodalarda chegara belgilari shuni anglatadi.
Bu teoremani yanada ixchamroq shakllantirish mumkin.

Funktsiya f bo'lsin (x) oraliqda kamaymaydi (a, b), Qayerda. Keyin a va b nuqtalarida bir tomonlama chegaralar mavjud:
;
.

O'smaydigan funksiya uchun ham xuddi shunday teorema.

Funktsiya oraliqda ortmasin. Keyin bir tomonlama cheklovlar mavjud:
;
.

Natija
Funktsiya intervalda monoton bo'lsin. Keyin bu oraliqning istalgan nuqtasida funktsiyaning bir tomonlama chekli chegaralari mavjud:
Va .

Teoremaning isboti

Funktsiya pasaymaydi

b - yakuniy raqam

Funktsiya yuqoridan cheklangan

1.1.1. Funksiya yuqoridan M soni bilan chegaralansin: uchun.

.
;
.

Funktsiya kamaymagani uchun, qachon . Keyin
da .
Oxirgi tengsizlikni o'zgartiramiz:
;
;
.
Chunki, keyin. Keyin
da .

da .
"So'nggi nuqtada funktsiyaning bir tomonlama chegaralarining ta'riflari").

Funktsiya yuqoridan cheklanmagan

1. Funksiya intervalda kamaymasin.
1.1. b soni chekli bo'lsin: .
1.1.2. Funksiya yuqorida chegaralanib qolmasin.
Keling, bu holatda chegara borligini isbotlaylik.

.

da .

belgilaylik. Keyin har kim uchun bor, shuning uchun
da .
Bu shuni anglatadiki, b nuqtada chapdagi chegara ("So'nggi nuqtadagi funktsiyaning bir tomonlama cheksiz chegaralarining ta'riflari" ga qarang).

b erta plyus cheksizlik

Funktsiya yuqoridan cheklangan

1. Funksiya intervalda kamaymasin.
1.2.1. Funksiya yuqoridan M soni bilan chegaralansin: uchun.
Keling, bu holatda chegara borligini isbotlaylik.

Funktsiya yuqorida chegaralanganligi sababli, chekli supremum mavjud
.
Yuqori chegaraning aniq ta'rifiga ko'ra, quyidagi shartlar:
;
har qanday ijobiy uchun argument bor
.

Funktsiya kamaymagani uchun, qachon . Keyin da. Yoki
da .

Shunday qilib, biz hamma uchun raqam borligini topdik, shuning uchun
da .
"Cheksizlikda bir tomonlama chegaralarning ta'riflari").

Funktsiya yuqoridan cheklanmagan

1. Funksiya intervalda kamaymasin.
1.2. b soni plyus cheksizlikka teng bo'lsin: .
1.2.2. Funksiya yuqorida chegaralanib qolmasin.
Keling, bu holatda chegara borligini isbotlaylik.

Funktsiya yuqorida chegaralanmaganligi sababli, har qanday M soni uchun argument mavjud
.

Funktsiya kamaymagani uchun, qachon . Keyin da.

Demak, har qanday kishi uchun raqam bor
da .
Bu chegara teng ekanligini anglatadi (qarang: "Bir tomonlama cheksiz chegaralarning cheksizlikdagi ta'riflari").

Funktsiya kuchaymaydi

Endi funktsiya oshmaydigan holatni ko'rib chiqing. Yuqoridagi kabi, har bir variantni alohida ko'rib chiqishingiz mumkin. Ammo biz ularni darhol yopamiz. Buning uchun biz foydalanamiz. Keling, bu holatda chegara borligini isbotlaylik.

Funktsiya qiymatlari to'plamining chekli infimumini ko'rib chiqing:
.
Bu erda B chekli son yoki cheksizlikdagi nuqta bo'lishi mumkin. Aniq pastki chegaraning ta'rifiga ko'ra, quyidagi shartlar qondiriladi:
;
B nuqtasining har qanday qo'shnisi uchun argument mavjud
.
Teorema shartlariga ko'ra, . Shunung uchun .

Funktsiya oshmagani uchun, qachon . O'shandan beri
da .
Yoki
da .
Keyinchalik, tengsizlik b nuqtasining chap teshilgan qo'shnisini aniqlayotganini ta'kidlaymiz.

Shunday qilib, biz nuqtaning har qanday qo'shnisi uchun b nuqtasining teshilgan chap qo'shnisi borligini aniqladik.
da .
Bu shuni anglatadiki, b nuqtada chapdagi chegara:

(Koshi bo'yicha funktsiya chegarasining universal ta'rifiga qarang).

A nuqtasida chegara

Endi biz a nuqtada chegara borligini ko'rsatamiz va uning qiymatini topamiz.

Funktsiyani ko'rib chiqaylik. Teorema shartlariga ko'ra, funktsiya uchun monotonik. Keling, x o'zgaruvchisini - x bilan almashtiramiz (yoki almashtirishni amalga oshiramiz va keyin t o'zgaruvchisini x bilan almashtiramiz). Keyin funksiya uchun monotonik bo'ladi. Tengsizliklarni ko‘paytirish -1 va ularning tartibini o'zgartirib, biz funktsiya uchun monotonik degan xulosaga kelamiz.

Shunga o'xshash tarzda, agar u kamaymasa, u ko'paymasligini ko'rsatish oson. Keyin, yuqorida isbotlangan narsaga ko'ra, chegara bor
.
Agar u ko'paymasa, u kamaymaydi. Bu holatda chegara mavjud
.

Endi shuni ko'rsatish kerakki, agar funktsiyaning chegarasi -da bo'lsa, unda funksiyaning chegarasi -da bo'ladi va bu chegaralar tengdir:
.

Keling, belgi bilan tanishamiz:
(1) .
f ni g bilan ifodalaymiz:
.
Keling, ixtiyoriy ijobiy sonni olaylik. A nuqtaning epsilon mahallasi bo'lsin. Epsilon qo'shnisi A ning chekli va cheksiz qiymatlari uchun aniqlanadi ("Nuqtaning qo'shniligi" ga qarang). Chegara (1) mavjud bo'lganligi sababli, chegara ta'rifiga ko'ra, har qanday uchun shunday mavjud
da .

a chekli son bo'lsin. Tengsizliklar yordamida -a nuqtaning chap teshilgan qo'shniligini ifodalaymiz:
da .
Keling, x ni -x bilan almashtiramiz va shuni hisobga olamiz:
da .
Oxirgi ikkita tengsizlik a nuqtaning teshilgan o'ng qo'shniligini aniqlaydi. Keyin
da .

a cheksiz son bo'lsin, . Fikrni takrorlaymiz.
da ;
da ;
da ;
da .

Shunday qilib, biz hamma uchun bunday narsa borligini topdik
da .
Bu shuni anglatadiki
.

Teorema isbotlangan.

10-sinfda algebra fanidan "Funksiyani monotonlik uchun tekshirish. Tadqiqot algoritmi" mavzusidagi dars va taqdimot.

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, sharhlaringizni, tilaklaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar virusga qarshi dastur tomonidan tekshirilgan.

1C dan 10-sinf uchun Integral onlayn-do'konidagi qo'llanmalar va simulyatorlar
Parametrlar bilan algebraik masalalar, 9-11 sinflar
"1C: Matematik konstruktor 6.1" dasturiy muhiti

Biz nimani o'rganamiz:
1. Kamaytiruvchi va ortib boruvchi funksiyalar.
2. Funktsiyaning hosilasi va monotonligi o'rtasidagi bog'liqlik.
3. Monotonlik haqidagi ikkita muhim teorema.
4. Misollar.

Bolalar, avval biz ko'p narsalarni ko'rib chiqdik turli funktsiyalar va ularning grafiklarini tuzdilar. Endi biz ko'rib chiqqan va ko'rib chiqishda davom etadigan barcha funktsiyalar uchun ishlaydigan yangi qoidalarni kiritaylik.

Kamaytirish va oshirish funktsiyalari

O'sish va kamayuvchi funktsiyalar tushunchasini ko'rib chiqaylik. Bolalar, funksiya nima?

Funksiya y= f(x) muvofiqligi bo‘lib, unda x ning har bir qiymati y ning bitta qiymati bilan bog‘lanadi.

Keling, ba'zi funktsiyaning grafigini ko'rib chiqaylik:

Bizning grafik ko'rsatadi: x qanchalik katta bo'lsa, y kichikroq. Shunday qilib, kamayuvchi funktsiyani aniqlaymiz. Argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kichikroq qiymatiga mos kelsa, funktsiya kamayuvchi deyiladi.

Agar x2 > x1 bo'lsa, f(x2) Endi bu funksiyaning grafigini ko'rib chiqamiz:
Bu grafik x qanchalik katta bo'lsa, y kattaligini ko'rsatadi. Shunday qilib, ortib borayotgan funktsiyani aniqlaymiz. Argumentning kattaroq qiymati funktsiyaning kattaroq qiymatiga mos kelsa, funktsiya ortib boruvchi deyiladi.
Agar x2 > x1 bo'lsa, f(x2 > f(x1) yoki: x katta bo'lsa, y katta bo'ladi.

Agar funktsiya ma'lum oraliqda ortib yoki kamaysa, u holda deyiladi bu intervalda monotonikdir.

Funktsiyaning hosilasi va monotonligi o'rtasidagi bog'liqlik

Bolalar, keling, funksiya grafiklarini o‘rganishda hosila tushunchasini qanday qo‘llash mumkinligi haqida o‘ylab ko‘raylik. Keling, ortib boruvchi differentsiallanuvchi funktsiyaning grafigini chizamiz va grafigimizga bir nechta tangenslarni chizamiz.

Agar siz tangenslarimizga qarasangiz yoki boshqa tangensni vizual ravishda chizsangiz, x o'qining tangensi va musbat yo'nalishi o'rtasidagi burchak o'tkir bo'lishini sezasiz. Bu tangens musbat qiyalikka ega ekanligini bildiradi. Tangens qiyalik qiymatiga teng teginish nuqtasi abscissasida hosila. Shunday qilib, hosilaning qiymati bizning grafikimizning barcha nuqtalarida ijobiydir. Ortib boruvchi funksiya uchun quyidagi tengsizlik bajariladi: f"(x) ≥ 0, har qanday x nuqta uchun.

Bolalar, endi qandaydir kamayuvchi funksiya grafigini ko‘rib chiqamiz va funksiya grafigiga teginishlar yasaymiz.

Keling, tangenslarni ko'rib chiqamiz va boshqa har qanday tangensni vizual ravishda chizamiz. Biz tangens va x o'qining musbat yo'nalishi orasidagi burchak o'tmas ekanligini ko'ramiz, ya'ni tangens manfiy nishabga ega. Shunday qilib, hosilaning qiymati bizning grafikimizning barcha nuqtalarida manfiydir. Kamayuvchi funksiya uchun quyidagi tengsizlik bajariladi: f"(x) ≤ 0, istalgan x nuqta uchun.

Demak, funktsiyaning monotonligi hosila belgisiga bog'liq:

Agar funktsiya oraliqda ortib borsa va shu oraliqda hosilasi bo'lsa, bu hosila manfiy bo'lmaydi.

Agar funktsiya oraliqda kamaysa va bu oraliqda hosilasi bo'lsa, bu hosila ijobiy bo'lmaydi.

Muhim, shuning uchun biz funktsiyani ko'rib chiqadigan intervallar ochiq!

Monotonlik haqidagi ikkita muhim teorema

Teorema 1. Agar f'(x) ≥ 0 tengsizlik X ochiq oraliqning barcha nuqtalarida o‘rinli bo‘lsa (va hosilaning nolga tengligi yo o‘rinli bo‘lmasa yoki bajariladi, faqat cheklangan nuqtalar to‘plamida), u holda y= f(x) funksiya X oraliqda ortadi.

Teorema 2. Agar f'(x) ≤ 0 tengsizlik X ochiq oraliqning barcha nuqtalarida o‘rinli bo‘lsa (va hosilaning nolga tengligi yo bajarilmaydi yoki bajariladi, faqat cheklangan nuqtalar to‘plamida), u holda y= f(x) funksiya X oraliqda kamayadi.

Teorema 3. Agar ochiq intervalning barcha nuqtalarida X tenglik
f’(x)= 0, u holda y= f(x) funksiya bu oraliqda doimiy bo’ladi.

Monotonlik uchun funktsiyani o'rganishga misollar

1) y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 funksiya butun son qatorida ortib borayotganligini isbotlang.

Yechish: Funktsiyamizning hosilasini topamiz: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. X nuqtadagi daraja juft bo'lgani uchun u holda quvvat funktsiyasi faqat ijobiy qiymatlarni oladi. Keyin har qanday x uchun y" > 0 bo'ladi, ya'ni 1 teoremaga ko'ra, bizning funktsiyamiz butun son chizig'ida ortadi.

2) Funksiyaning kamayishini isbotlang: y= sin(2x) - 3x.

Funktsiyamizning hosilasi topilsin: y"= 2cos(2x) - 3.
Tengsizlikni yeching:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
Chunki -1 ≤ cos(x) ≤ 1, ya’ni bizning tengsizligimiz istalgan x uchun qanoatlansa, 2-teoremaga ko‘ra y= sin(2x) - 3x funksiya kamayadi.

3) Funksiyaning monotonligini tekshiring: y= x 2 + 3x - 1.

Yechish: Funktsiyamizning hosilasini topamiz: y"= 2x + 3.
Tengsizlikni yeching:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
Keyin funksiyamiz x ≥ -3/2 uchun ortadi va x ≤ -3/2 uchun kamayadi.
Javob: x ≥ -3/2 uchun funksiya ortadi, x ≤ -3/2 uchun funksiya kamayadi.

4) Funksiyaning monotonligini tekshiring: y= $\sqrt(3x - 1)$.

Yechish: Funktsiyamizning hosilasini topamiz: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$.
Tengsizlikni yechamiz: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.

Bizning tengsizligimiz noldan katta yoki teng:
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
Tengsizlikni yeching:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
Lekin bu mumkin emas, chunki Kvadrat ildiz faqat ijobiy ifodalar uchun aniqlanadi, ya'ni bizning funksiyamizda kamayuvchi intervallar yo'q.
Javob: x ≥ 1/3 uchun funksiya ortadi.

Mustaqil ravishda hal qilinadigan muammolar

a) y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 funksiya butun son chizig‘i bo‘ylab ortib borayotganligini isbotlang.
b) Funksiyaning kamayishini isbotlang: y= cos(5x) - 7x.
v) funksiyaning monotonligini tekshiring: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5.
d) Funksiyaning monotonligini tekshiring: y = $\frac(3x-1)(3x+1)$.

Funksiyaning ortishi, kamayishi va ekstremallari

Funksiyaning ortish, kamayish va ekstremal oraliqlarini topish ham mustaqil vazifa, ham boshqa vazifalarning muhim qismidir, xususan, to'liq funktsiyani o'rganish. Funksiyaning ortishi, kamayishi va ekstremalligi haqida dastlabki maʼlumotlar keltirilgan hosila haqidagi nazariy bob, men buni oldindan o'rganish uchun tavsiya qilaman (yoki takrorlash)– shuningdek, quyidagi material juda asoslangan, chunki asosan hosila, ushbu maqolaning uyg'un davomi bo'lish. Garchi vaqt qisqa bo'lsa ham, bugungi darsdan misollarni rasmiy ravishda ishlatish ham mumkin.

Va bugun havoda kamdan-kam yakdillik ruhi bor va men hozir bo'lganlarning barchasi istak bilan yonayotganini bevosita his qilaman. funktsiyani hosilasi yordamida tadqiq qilishni o'rganing. Shuning uchun, oqilona, ​​yaxshi, abadiy atamalar darhol monitor ekranlarida paydo bo'ladi.

Nima uchun? Buning sabablaridan biri eng amaliy: ma'lum bir vazifada sizdan odatda nima talab qilinishi aniq bo'lishi uchun!

Funktsiyaning monotonligi. Funksiyaning ekstremum nuqtalari va ekstremal nuqtalari

Keling, ba'zi funktsiyalarni ko'rib chiqaylik. Oddiy qilib aytganda, biz u deb taxmin qilamiz davomiy butun son qatorida:

Har holda, keling, mumkin bo'lgan illyuziyalardan darhol xalos bo'laylik, ayniqsa yaqinda tanish bo'lgan o'quvchilar uchun. funksiyaning doimiy ishorali intervallari. Endi biz QIZIQTIRMAYDI, funktsiya grafigi o'qga nisbatan qanday joylashganligi (yuqorida, pastda, o'q kesishgan joyda). Ishonchli bo'lish uchun o'qlarni aqliy ravishda o'chiring va bitta grafik qoldiring. Chunki qiziqish shu yerda.

Funktsiya ortadi oraliqda, agar bu oraliqning ixtiyoriy ikkita nuqtasi uchun munosabat bilan bog'langan bo'lsa, tengsizlik to'g'ri bo'ladi. Ya'ni, argumentning kattaroq qiymati funksiyaning katta qiymatiga to'g'ri keladi va uning grafigi "pastdan yuqoriga" ketadi. Namoyish funktsiyasi intervalgacha o'sib boradi.

Xuddi shunday, funktsiya kamayadi oraliqda, agar berilgan oraliqning istalgan ikkita nuqtasi uchun , tengsizlik to'g'ri bo'lsa. Ya'ni, argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kichikroq qiymatiga to'g'ri keladi va uning grafigi "yuqoridan pastga" ketadi. Bizning funktsiyamiz intervalgacha kamayadi .

Agar funktsiya oraliqda ortib yoki kamaysa, u chaqiriladi qat'iy monoton bu oraliqda. Monotoniya nima? Buni tom ma'noda qabul qiling - monotonlik.

Siz ham belgilashingiz mumkin kamaymaydigan funktsiyasi (birinchi ta'rifda bo'shashgan holat) va oshmaydigan funktsiya (2-ta'rifda yumshatilgan holat). Intervaldagi kamaymaydigan yoki ortib bormaydigan funksiya berilgan oraliqdagi monoton funksiya deyiladi. (qattiq monotonlik - maxsus holat"shunchaki" monotonlik).

Nazariya, shuningdek, funktsiyaning o'sishini / kamayishini aniqlashning boshqa yondashuvlarini, shu jumladan yarim oraliqlar, segmentlar bo'yicha ko'rib chiqadi, ammo sizning boshingizga yog'-moy-moyni quymaslik uchun biz kategoriyali ta'riflar bilan ochiq intervallar bilan ishlashga rozi bo'lamiz. - bu aniqroq va ko'plab amaliy muammolarni hal qilish uchun etarli.

Shunday qilib, mening maqolalarimda "funktsiyaning monotonligi" so'zi deyarli har doim yashirin bo'ladi intervallar qattiq monotonlik (qat'iy oshirish yoki qat'iy kamaytiruvchi funktsiya).

Bir nuqtaning qo'shnisi. O'quvchilar qo'lidan kelganicha qochib ketishadi va dahshat ichida burchaklarga yashirinib olishadi. ...Garchi postdan keyin Cauchy chegaralari Ehtimol, ular endi yashirishmayapti, lekin bir oz titrayapti =) Xavotir olmang, endi teoremalarning isboti bo'lmaydi. matematik tahlil- Ta'riflarni aniqroq shakllantirish uchun menga atrof-muhit kerak edi ekstremal nuqtalar. Keling, eslaylik:

Bir nuqtaning qo'shnisi o'z ichiga olgan interval deb ataladi bu nuqta, qulaylik uchun interval ko'pincha nosimmetrik deb hisoblanadi. Masalan, nuqta va uning standart qo'shnisi:

Aslida, ta'riflar:

Nuqta deyiladi qat'iy maksimal nuqta, Agar mavjud uning mahallasi, Barcha uchun qiymatlari, nuqtaning o'zidan tashqari, tengsizlik . Bizning aniq misolimizda bu nuqta.

Nuqta deyiladi qat'iy minimal nuqta, Agar mavjud uning mahallasi, Barcha uchun qiymatlari, nuqtaning o'zidan tashqari, tengsizlik . Chizmada "a" nuqtasi mavjud.

Eslatma : mahalla simmetriyasi talabi umuman kerak emas. Bundan tashqari, muhim ahamiyatga ega mavjudligi haqiqati belgilangan shartlarga javob beradigan qo'shni (mayda yoki mikroskopik).

Nuqtalar chaqiriladi qat'iy ekstremal nuqtalar yoki oddiygina ekstremal nuqtalar funktsiyalari. Ya'ni, bu maksimal ball va minimal ball uchun umumlashtirilgan atama.

"Ekstremal" so'zini qanday tushunamiz? Ha, xuddi monotonlik kabi. Rolikli kosterlarning ekstremal nuqtalari.

Monotonlik holatida bo'lgani kabi, bo'sh postulatlar mavjud va ular nazariy jihatdan yanada keng tarqalgan (bu, albatta, ko'rib chiqilgan qat'iy holatlarga tegishli!):

Nuqta deyiladi maksimal nuqta, Agar mavjud uning atrofi shunday Barcha uchun
Nuqta deyiladi minimal nuqta, Agar mavjud uning atrofi shunday Barcha uchun bu mahallaning qadriyatlari, tengsizlik mavjud.

E'tibor bering, oxirgi ikkita ta'rifga ko'ra, doimiy funktsiyaning har qanday nuqtasi (yoki funktsiyaning "tekis qismi") ham maksimal, ham minimal nuqta hisoblanadi! Aytgancha, funktsiya o'smaydigan va kamaymaydigan, ya'ni monotonikdir. Biroq, biz bu mulohazalarni nazariyotchilarga qoldiramiz, chunki amalda biz deyarli har doim an'anaviy "tepaliklar" va "bo'shliqlar" (rasmga qarang) noyob "tepalik shohi" yoki "botqoq malikasi" bilan o'ylaymiz. Turli xil bo'lib, u paydo bo'ladi maslahat, yuqoriga yoki pastga yo'naltirilgan, masalan, nuqtadagi funktsiyaning minimumi.

Oh, va qirollik haqida gapirganda:
– ma’nosi deyiladi maksimal funktsiyalari;
– ma’nosi deyiladi eng kam funktsiyalari.

Umumiy ism – ekstremal funktsiyalari.

Iltimos, so'zlaringiz bilan ehtiyot bo'ling!

Ekstremal nuqtalar- bu "X" qiymatlari.
Ekstremal- "o'yin" ma'nosi.

! Eslatma : ba'zan sanab o'tilgan atamalar to'g'ridan-to'g'ri O'ZI funksiyasining grafigida joylashgan "X-Y" nuqtalariga ishora qiladi.

Funktsiya nechta ekstremalga ega bo'lishi mumkin?

Yo'q, 1, 2, 3, ... va hokazo. cheksizlikka. Masalan, sinus cheksiz ko'p minimal va maksimallarga ega.

MUHIM!"Maksimum funktsiya" atamasi bir xil emas"funktsiyaning maksimal qiymati" atamasi. Qiymat faqat mahalliy mahallada maksimal ekanligini va yuqori chap tomonda "salqinroq o'rtoqlar" borligini payqash oson. Xuddi shunday, "funktsiyaning minimal qiymati" "funktsiyaning minimal qiymati" bilan bir xil emas va chizmada biz qiymat faqat ma'lum bir sohada minimal ekanligini ko'ramiz. Shu munosabat bilan ekstremum nuqtalar ham deyiladi mahalliy ekstremal nuqtalar, va ekstremal - mahalliy ekstremallar . Ular yaqin atrofda yurishadi va sayr qilishadi global birodarlar. Shunday qilib, har qanday parabola o'z cho'qqisiga ega global minimal yoki global maksimal. Bundan tashqari, men ekstremal turlarini ajratmayman va tushuntirish umumiy ta'lim maqsadlarida ko'proq aytiladi - "mahalliy" / "global" qo'shimcha sifatlar sizni ajablantirmasligi kerak.

Keling, nazariyaga qisqa ekskursiyamizni sinovdan o'tkazish bilan sarhisob qilaylik: "funktsiyaning monotonlik intervallari va ekstremum nuqtalarini topish" vazifasi nimani anglatadi?

So'z sizni topishga undaydi:

– ortib boruvchi/kamayuvchi funksiya oraliqlari (kamayuvchi, o‘smaydigan ko‘rinish kamroq bo‘ladi);

- maksimal va/yoki minimal ball (mavjud bo'lsa). Muvaffaqiyatsizlikka yo'l qo'ymaslik uchun minimal/maksimallarni o'zlari topish yaxshidir ;-)

Bularning barchasini qanday aniqlash mumkin? Hosila funksiyasidan foydalanish!

O'sish, pasayish oraliqlarini qanday topish mumkin,
funktsiyaning ekstremum nuqtalari va ekstremallari?

Ko'pgina qoidalar, aslida, allaqachon ma'lum va tushunilgan hosila ma'nosi haqida dars.

Tangens hosilasi funksiyasi ortib borayotgani haqidagi quvnoq yangiliklarni keltiradi ta'rif sohasi.

Kotangent va uning hosilasi bilan vaziyat butunlay teskari.

Arksinus oraliqda ortadi - bu erda hosila ijobiy: .
Funktsiya aniqlanganda, lekin farqlanmaydi. Biroq, kritik nuqtada o'ng qo'l hosilasi va o'ng qo'l tangensi, boshqa chekkasida esa ularning chap qo'ldoshlari mavjud.

O'ylaymanki, yoy kosinusu va uning hosilasi uchun shunga o'xshash fikr yuritish siz uchun unchalik qiyin bo'lmaydi.

Yuqoridagi barcha holatlar, ularning aksariyati jadvalli hosilalar, Men sizga eslatib o'taman, dan to'g'ridan-to'g'ri kuzatib boring hosilaviy ta'riflar.

Nima uchun funktsiyani hosilasi yordamida o'rganish kerak?

Ushbu funktsiyaning grafigi qanday ko'rinishini yaxshiroq tushunish uchun: qayerda "pastdan yuqoriga", "yuqoridan pastga", minimal va maksimallarga (agar u umuman yetib borsa) qayerda boradi. Hamma funksiyalar ham unchalik oddiy emas – aksariyat hollarda bizda ma’lum funksiyaning grafigi haqida umuman tasavvurga ega emasmiz.

Keyinchalik mazmunli misollarga o'tish va ko'rib chiqish vaqti keldi funksiyaning monotonlik va ekstremallik intervallarini topish algoritmi:

1-misol

Funksiyaning ortish/kamayish oraliqlarini va ekstremallarini toping

Yechim:

1) Birinchi qadam - topish funktsiya sohasi, shuningdek, tanaffus nuqtalariga e'tibor bering (agar ular mavjud bo'lsa). IN Ushbu holatda funktsiya butun son chizig'ida uzluksiz bo'lib, bu harakat ma'lum darajada formaldir. Ammo bir qator hollarda, bu erda jiddiy ehtiroslar paydo bo'ladi, shuning uchun paragrafga nafratlanmasdan munosabatda bo'laylik.

2) Algoritmning ikkinchi nuqtasi tufayli

ekstremum uchun zaruriy shart:

Agar nuqtada ekstremum bo'lsa, u holda qiymat mavjud emas.

Oxiridan adashdingizmi? “X moduli” funksiyasining ekstremumi .

Shart zarur, lekin yetarli emas, va buning aksi har doim ham to'g'ri emas. Demak, funktsiya nuqtada maksimal yoki minimal darajaga yetganligi hali tenglikdan kelib chiqmaydi. Yuqorida klassik misol allaqachon ta'kidlangan - bu kubik parabola va uning tanqidiy nuqtasi.

Lekin shunday bo'lsin, zarur shart ekstremum shubhali nuqtalarni topish zarurligini ta'kidlaydi. Buning uchun hosilani toping va tenglamani yeching:

Birinchi maqolaning boshida Funktsiya grafiklari haqida Men sizga misol yordamida parabolani qanday tez qurishni aytdim : “...birinchi hosilani olib, uni nolga tenglashtiramiz: ...Demak, tenglamamizning yechimi: - aynan shu nuqtada parabolaning uchi joylashgan...”. Endi, menimcha, nima uchun parabolaning cho'qqisi aynan shu nuqtada joylashganligini hamma tushunadi =) Umuman olganda, biz bu erda shunga o'xshash misoldan boshlashimiz kerak, lekin bu juda oddiy (hatto choynak uchun ham). Bundan tashqari, darsning oxirida analog mavjud funktsiyaning hosilasi. Shunday qilib, darajani oshiramiz:

2-misol

Funksiyaning monotonlik va ekstremallik intervallarini toping

Bu misol uchun mustaqil qaror. To'liq yechim va dars oxiridagi topshiriqning taxminiy yakuniy namunasi.

Kasr-ratsional funktsiyalar bilan uchrashishning uzoq kutilgan vaqti keldi:

3-misol

Birinchi hosila yordamida funksiyani o‘rganing

Bitta va bir xil vazifani qanday o'zgartirish mumkinligiga e'tibor bering.

Yechim:

1) Funktsiya nuqtalarda cheksiz uzilishlarga duchor bo'ladi.

2) Biz tanqidiy nuqtalarni aniqlaymiz. Birinchi hosilani topamiz va uni nolga tenglashtiramiz:

Keling, tenglamani yechamiz. Kasr, agar uning numeratori nolga teng bo'lsa, u nolga teng:

Shunday qilib, biz uchta muhim nuqtani olamiz:

3) Biz BARCHA aniqlangan nuqtalarni raqamlar chizig'ida chizamiz va interval usuli DORIVATIV belgilarini aniqlaymiz:

Sizga shuni eslatib o'tamanki, siz intervalda biron bir nuqtani olishingiz va undagi lotin qiymatini hisoblashingiz kerak va uning belgisini aniqlang. Hatto hisoblash emas, balki og'zaki "baholash" foydaliroqdir. Masalan, intervalga tegishli nuqtani olaylik va almashtirishni bajaramiz: .

Ikkita "plyus" va bitta "minus" "minus" ni beradi, shuning uchun hosila butun intervalda manfiy ekanligini anglatadi.

Harakat, siz tushunganingizdek, oltita intervalning har biri uchun bajarilishi kerak. Aytgancha, hisob koeffitsienti va maxraj har qanday oraliqdagi har qanday nuqta uchun qat'iy ijobiy ekanligini unutmang, bu vazifani sezilarli darajada osonlashtiradi.

Shunday qilib, hosila bizga FUNKSIYAning O'ZI ga ortishini aytdi va ga kamayadi. Bir xil turdagi intervallarni qo'shilish belgisi bilan ulash qulay.

Ushbu nuqtada funktsiya maksimal darajaga etadi:
Ushbu nuqtada funktsiya minimal darajaga etadi:

Nima uchun ikkinchi qiymatni qayta hisoblashingiz shart emasligini o'ylab ko'ring ;-)

Nuqtadan o'tganda hosila belgisini o'zgartirmaydi, shuning uchun funktsiyada NO EXTREMUM yo'q - u ham kamayadi, ham kamayib boraveradi.

! Keling, takrorlaymiz muhim nuqta : nuqtalar tanqidiy hisoblanmaydi - ular funksiyani o'z ichiga oladi aniqlanmagan. Shunga ko'ra, bu erda Printsipial jihatdan hech qanday ekstremal bo'lishi mumkin emas(hatto hosila belgisini o'zgartirsa ham).

Javob: funksiya bilan ortadi Funksiyaning maksimal qiymatiga erishilganda quyidagiga kamayadi: , va nuqtada - minimal: .

O'rnatilgan monotonlik intervallari va ekstremallarni bilish asimptotlar allaqachon juda yaxshi fikr beradi ko'rinish funktsiya grafikasi. O'rtacha tayyorgarlikka ega odam funktsiya grafigida ikkita vertikal asimptota va qiya asimptota borligini og'zaki aniqlashga qodir. Mana bizning qahramonimiz:

Tadqiqot natijalarini ushbu funktsiya grafigi bilan bog'lashga yana bir bor urinib ko'ring.
Kritik nuqtada ekstremum yo'q, lekin bor grafik burilish(bu, qoida tariqasida, shunga o'xshash holatlarda sodir bo'ladi).

4-misol

Funksiyaning ekstremal qismini toping

5-misol

Funksiyaning monotonlik intervallarini, maksimal va minimallarini toping

…bu deyarli qandaydir “Kubdagi X” bayramiga o‘xshaydi....
Xo'sh, galereyada kim buning uchun ichishni taklif qildi? =)

Har bir topshiriqning o'ziga xos muhim nuanslari va texnik nozikliklari bor, ular dars oxirida sharhlanadi.