) faqat ikkita populyatsiyani solishtirish uchun mo'ljallangan. Biroq, u ko'pincha noto'g'ri deb atalmish sabab guruhlar (Fig. 1) katta sonini juft solishtirish uchun ishlatiladi. bir nechta taqqoslash effekti(inglizcha) bir nechta taqqoslash; Glanz 1999, p. 101-104). Bu ta'sir va u bilan qanday kurashish haqida keyinroq gaplashamiz. Xuddi shu postda men printsiplarni tasvirlab beraman dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish, faqat uchun mo'ljallangan bir vaqtda ikki yoki undan ortiq guruhlarning vositalarini solishtirish. Dispersiyani tahlil qilish tamoyillari a tahlil qilish o f va riance, ANOVA) 1920-yillarda ishlab chiqilgan. Ser Ronald Aylmer Fisher Ronald Aylmer Fisher) - "deyarli bir qo‘li bilan zamonaviy statistikaga asos solgan daho" (Hald 1998).
Savol tug'ilishi mumkin: nima uchun solishtirish uchun ishlatiladigan usul o'rtacha qadriyatlar deb ataladi tarqatuvchi tahlil? Gap shundaki, o'rtacha qiymatlar orasidagi farqni aniqlashda biz tahlil qilinayotgan populyatsiyalarning farqlarini solishtiramiz. Biroq, birinchi narsa birinchi ...
Muammoni shakllantirish
Quyidagi misol kitobdan olingan Maydonald & Braun(2010). 2 oy davomida uch xil eksperimental sharoitda (trt, dan davolash) - suvda (suvda), o'g'it (oziqlantiruvchi) qo'shilgan muhitda, shuningdek o'g'it va gerbitsid 2,4-D (nutrient+24D) qo'shilgan muhitda:
# Ma'lumotlar bilan jadval yarating: pomidor<- data.frame (weight= c (1.5 , 1.9 , 1.3 , 1.5 , 2.4 , 1.5 , # water 1.5 , 1.2 , 1.2 , 2.1 , 2.9 , 1.6 , # nutrient 1.9 , 1.6 , 0.8 , 1.15 , 0.9 , 1.6 ) , # nutrient+24D trt = rep (c ("Water" , "Nutrient" , "Nutrient+24D" ) , c (6 , 6 , 6 ) ) ) # Natijani ko'rib chiqamiz: vazni trt 1 1,50 Suv 2 1,90 Suv 3 1,30 Suv 4 1,50 Suv 5 2,40 Suv 6 1,50 Suv 7 1,50 Oziq moddalar 8 1,20 Oziq moddalar 9 1,20 Oziq moddalar 10 2,10 Oziq moddalar 11,11.11.11 0 Nutrient+24D 14 1,60 Nutrient+24D 15 0,80 Nutrient+24D 16 1,15 Nutrient+24D 17 0,90 Nutrient+24D 18 1,60 Nutrient+24D
Trt o'zgaruvchisi uchta darajali omil. Kelajakda eksperimental sharoitlarni aniqroq taqqoslash uchun biz "suv" darajasini asosiy darajaga aylantiramiz. ma'lumotnoma), ya'ni. R boshqa barcha darajalarni solishtiradigan daraja. Buni relevel() funksiyasi yordamida amalga oshirish mumkin:
Mavjud ma'lumotlarning xususiyatlarini yaxshiroq tushunish uchun, keling, guruhlar o'rtasidagi kuzatilgan farqlardan foydalangan holda tasavvur qilaylik ahamiyatsiz va tasodifiy omillar ta'siridan kelib chiqadi (ya'ni, aslida, barcha olingan o'simlik vazni o'lchovlari bir normal taqsimlangan populyatsiyadan olingan):
Yana bir bor ta'kidlab o'tamizki, ko'rib chiqilayotgan misol holatga mos keladi bir omilli dispersiyani tahlil qilish: bitta omilning ta'siri o'rganiladi - o'sish sharoitlari (uch darajali - Suv, Oziqlantiruvchi va Oziqlantiruvchi + 24D) bizni qiziqtirgan javob o'zgaruvchisiga - o'simlik vazniga.
Afsuski, tadqiqotchi deyarli hech qachon butun aholini o'rganish imkoniyatiga ega emas. Yuqoridagi nol gipoteza faqat namunaviy ma'lumotlar bilan to'g'ri yoki yo'qligini qanday bilamiz? Bu savolni boshqacha shakllantirishimiz mumkin: Oddiy taqsimlangan bitta populyatsiyadan tasodifiy namunalar olish yo'li bilan guruhlar o'rtasidagi kuzatilgan farqlarni olish ehtimoli qanday?? Bu savolga javob berish uchun bizga solishtirilgan guruhlar orasidagi tafovutlarning miqdorini tavsiflovchi statistik mezon kerak.
Dispersiyani tahlil qilish - bu xususiyatlar qiymatlaridagi farqlarni (xilma-xillikni) aniqlashga asoslangan tasodifiy tanlangan turli guruhlardagi omil va samaradorlik xususiyatlari o'rtasidagi munosabatni baholashning statistik usuli. Dispersiyani tahlil qilish o‘rganilayotgan aholining barcha birliklarining o‘rtacha arifmetik qiymatdan chetlanishlarini tahlil qilishga asoslanadi. Og'ishlar o'lchovi sifatida dispersiya (B) olinadi - og'ishlarning o'rtacha kvadrati. Omil atributining (omilining) ta'siridan kelib chiqadigan og'ishlar tasodifiy holatlar tufayli yuzaga kelgan og'ishlarning kattaligi bilan taqqoslanadi. Agar omil xarakteristikasi tufayli yuzaga kelgan og'ishlar tasodifiy og'ishlarga qaraganda muhimroq bo'lsa, u holda omil natijaviy xususiyatga sezilarli ta'sir qiladi deb hisoblanadi.
Dispersiyani hisoblash uchun har bir variantning (atributning har bir ro'yxatga olingan raqamli qiymati) arifmetik o'rtacha qiymatdan chetlanish qiymatlari kvadratga olinadi. Bu salbiy belgilardan xalos bo'ladi. Keyin bu og'ishlar (farqlar) umumlashtiriladi va kuzatishlar soniga bo'linadi, ya'ni. o'rtacha og'ishlar. Shunday qilib, dispersiya qiymatlari olinadi.
Dispersiyani tahlil qilishdan foydalanishning muhim uslubiy ahamiyati tanlovni to'g'ri tanlashdir. Maqsad va vazifalarga qarab, namuna guruhlari bir-biridan mustaqil ravishda tasodifiy shakllantirilishi mumkin (nazorat va eksperimental guruhlar ba'zi bir ko'rsatkichni o'rganish uchun, masalan, yuqori qon bosimining insult rivojlanishiga ta'siri). Bunday namunalar mustaqil deb ataladi.
Ko'pincha omillar ta'sirining natijalari bir xil namunaviy guruhda (masalan, bir xil bemorlarda) ta'sir qilishdan oldin va keyin o'rganiladi (davolash, profilaktika, reabilitatsiya choralari bunday namunalar bog'liq deb ataladi);
Bir omil ta'sirini tekshiradigan dispersiya tahlili bir omilli tahlil (bir o'zgaruvchan tahlil) deb ataladi. Bir nechta omillar ta'sirini o'rganishda multifaktorial usul qo'llaniladi. dispersiya tahlili(ko'p qirrali tahlil).
Omil xarakteristikalar - bu o'rganilayotgan hodisaga ta'sir qiluvchi xususiyatlar.
Samarali xarakteristikalar - bu omil xususiyatlarining ta'siri ostida o'zgaruvchan xususiyatlar.
Variant tahlilidan foydalanish shartlari:
Tadqiqotning maqsadi bitta (3 tagacha) omilning natijaga ta'sirining kuchini aniqlash yoki turli omillarning (jins va yosh, jismoniy faollik va ovqatlanish va boshqalar) birgalikdagi ta'sirining kuchini aniqlashdir.
O'rganilayotgan omillar bir-biridan mustaqil (bog'liq bo'lmagan) bo'lishi kerak. Masalan, ish tajribasi va yoshi, bolalarning bo'yi va vazni va boshqalarning birgalikdagi ta'sirini o'rganish mumkin emas. aholining kasallanishi bo'yicha.
Tadqiqot uchun guruhlarni tanlash tasodifiy (tasodifiy tanlash) amalga oshiriladi. Variantlarni tanlashda tasodifiylik tamoyilini amalga oshirish bilan dispersiya kompleksini tashkil qilish tasodifiy (ingliz tilidan tarjima qilingan - tasodifiy) deb ataladi, ya'ni. tasodifiy tanlangan.
Ham miqdoriy, ham sifat (atributiv) xususiyatlardan foydalanish mumkin.
Dispersiyani bir tomonlama tahlil qilishda tavsiya etiladi (foydalanish uchun zaruriy shart):
1. Tahlil qilinadigan guruhlarning taqsimlanishining normalligi yoki namunaviy guruhlarning normal taqsimlangan umumiy populyatsiyalarga mos kelishi.
2. Kuzatishlarni guruhlarga taqsimlashning mustaqilligi (bog'liq emasligi).
3. Kuzatishlar chastotasining (takrorlanishining) mavjudligi.
Birinchidan, nol gipoteza tuziladi, ya'ni o'rganilayotgan omillar natijaviy xarakteristikaning qiymatlariga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi va olingan farqlar tasodifiydir.
Keyin nol gipoteza to'g'ri bo'lsa, kuzatilgan (yoki kuchliroq) farqlarni olish ehtimoli qanday ekanligini aniqlaymiz.
Agar bu ehtimollik kichik bo'lsa, biz nol gipotezani rad qilamiz va tadqiqot natijalari statistik ahamiyatga ega degan xulosaga kelamiz. Bu o'rganilayotgan omillarning ta'siri isbotlangan degani emas (bu savol, birinchi navbatda, tadqiqotni rejalashtirishda), ammo natija tasodif tufayli yuzaga kelishi ehtimoldan yiroq emas.
Agar dispersiyani qo'llash uchun barcha shartlar bajarilsa, umumiy dispersiyaning parchalanishi matematik jihatdan quyidagicha ko'rinadi:
Ext. = Dfact + D dam olish.,
Ext. - kuzatilgan qiymatlarning umumiy dispersiyasi (variant), variantning umumiy o'rtachadan tarqalishi bilan tavsiflanadi. Bu o'zgaruvchanlikni belgilovchi barcha omillar ta'sirida belgining o'zgarishini to'liq o'lchaydi. Umumiy xilma-xillik guruhlararo va guruh ichidagi xilma-xillikdan iborat;
Dfact - omilli (guruhlararo) dispersiya, har bir guruhdagi vositalarning farqi bilan tavsiflanadi va o'rganilayotgan omilning ta'siriga bog'liq bo'lib, har bir guruh farqlanadi. Masalan, pnevmoniyaning klinik kechishining turli etiologik omillari guruhlarida o'tkaziladigan yotoq-kunning o'rtacha darajasi bir xil emas - guruhlararo xilma-xillik kuzatiladi.
D dam olish. - variantning guruhlar ichida tarqalishini tavsiflovchi qoldiq (guruh ichidagi) dispersiya. Tasodifiy o'zgarishlarni aks ettiradi, ya'ni. noaniq omillar ta'sirida yuzaga keladigan va belgiga bog'liq bo'lmagan o'zgaruvchanlikning bir qismi - guruhning asosini tashkil etuvchi omil. O'rganilayotgan belgining o'zgarishi ba'zi bir hisobga olinmagan tasodifiy omillar, ham tashkillashtirilgan (tadqiqotchi tomonidan o'rnatilgan) va tasodifiy (noma'lum) omillar ta'sirining kuchiga bog'liq.
Demak, jami oʻzgaruvchanlik (variatsiya) uyushgan (berilgan) omillar taʼsirida yuzaga kelgan oʻzgarishlardan iborat boʻlib, ular omilli oʻzgaruvchanlik va uyushmagan omillar deb ataladi, yaʼni. qoldiq o'zgarish (tasodifiy, noma'lum).
Namuna o‘lchami n uchun tanlama dispersiyasi tanlamaning o‘rtacha qiymatidan kvadrat og‘ishlar yig‘indisi n-1 ga bo‘lingan (namuna hajmi minus bir) sifatida hisoblanadi. Shunday qilib, qat'iy tanlanma o'lchami n uchun dispersiya kvadratlar yig'indisining (og'ishlarning) funktsiyasi bo'lib, qisqalik uchun SS (inglizcha Sum of Squares dan) bilan belgilanadi. Quyida biz namunaviy dispersiya yoki dispersiyani baholashni ko'rib chiqayotganimizni yaxshi bilgan holda namuna so'zini o'tkazib yuboramiz. Dispersiyani tahlil qilish dispersiyani qismlarga yoki tarkibiy qismlarga bo'lishga asoslangan. Quyidagi ma'lumotlar to'plamini ko'rib chiqing:
Ikki guruhning vositalari sezilarli darajada farq qiladi (mos ravishda 2 va 6). Har bir guruh ichidagi kvadratik og‘ishlar yig‘indisi 2 ga teng. Ularni qo‘shib, 4 ga teng bo‘ladi. Agar hozir bu hisob-kitoblarni guruh a’zoligini hisobga olmagan holda takrorlasak, ya’ni bu ikki namunaning umumiy o‘rtacha qiymatiga qarab SSni hisoblasak, biz 28 qiymatini oling. Boshqacha qilib aytganda, guruh ichidagi o'zgaruvchanlikka asoslangan dispersiya (yig'indi kvadratlari) umumiy o'zgaruvchanlikka (umumiy o'rtachaga nisbatan) qaraganda ancha kichikroq qiymatlarga olib keladi. Buning sababi, shubhasiz, vositalar o'rtasidagi sezilarli farqdir va vositalar orasidagi bu farq kvadratlar yig'indisi orasidagi mavjud farqni tushuntiradi.
| SS | St.St. | XONIM | F | p | |
| Effekt | 24.0 | 24.0 | 24.0 | .008 | |
| Xato | 4.0 | 1.0 |
Jadvaldan ko'rinib turibdiki, umumiy qiymat kvadratlar SS = 28 komponentlarga bo'linadi: guruh ichidagi o'zgaruvchanlik tufayli kvadratlar yig'indisi (2+2=4; jadvalning ikkinchi qatoriga qarang) va guruhlar orasidagi o'rtacha qiymatlar farqi tufayli kvadratlar yig'indisi (28). -(2+2)=24; birinchi jadval qatoriga qarang). E'tibor bering, ushbu jadvaldagi MS SS ga teng o'rtacha kvadrat erkinlik darajalari soniga (d.f.) bo'linadi.
Yuqoridagi oddiy misolda siz mustaqil namunalar t-testini darhol hisoblashingiz mumkin. Olingan natijalar dispersiyani tahlil qilish natijalari bilan tabiiy ravishda mos keladi.
Biroq, ma'lum bir hodisa butunlay bitta o'zgaruvchi tomonidan tasvirlangan holatlar juda kam uchraydi. Misol uchun, agar biz katta pomidorlarni qanday etishtirishni o'rganishga harakat qilsak, o'simlikning genetik tuzilishi, tuproq turi, yorug'lik, harorat va boshqalar bilan bog'liq omillarni hisobga olishimiz kerak. Shunday qilib, odatiy eksperiment o'tkazishda ko'p sonli omillar bilan shug'ullanish kerak. ANOVA dan foydalanishning asosiy sababi, turli omillar darajasidagi ikkita namunani bir qator t testlari yordamida takroriy taqqoslashdan afzalroq bo'lishining asosiy sababi shundaki, ANOVA sezilarli darajada samaraliroq va kichik namunalar uchun ko'proq ma'lumotga ega.
Aytaylik, yuqorida muhokama qilingan ikkita namunali tahlil misolida biz boshqa omilni, masalan, Jinsni qo'shamiz. Keling, har bir guruh 3 erkak va 3 ayoldan iborat bo'lsin. Ushbu tajriba rejasini jadval shaklida taqdim etish mumkin:
Hisob-kitoblarni amalga oshirishdan oldin, ushbu misolda umumiy dispersiya kamida uchta manbaga ega ekanligini ko'rishingiz mumkin:
1) tasodifiy xato (guruh ichidagi dispersiya),
2) eksperimental guruhga mansublik bilan bog'liq o'zgaruvchanlik
3) kuzatish ob'ektlarining jinsiga qarab o'zgaruvchanlik.
E'tibor bering, o'zgaruvchanlikning yana bir manbasi - omillarning o'zaro ta'siri, biz keyinroq muhokama qilamiz). Agar biz jinsni tahlilga omil sifatida kiritmasak va muntazam t-testni hisoblamasak nima bo'ladi? Agar biz jinsni hisobga olmasdan kvadratlar yig'indisini hisoblasak (ya'ni, guruh ichidagi dispersiyani hisoblashda turli jinsdagi ob'ektlarni bir guruhga birlashtirib, har bir guruh uchun SS = 10 ga teng kvadratlar yig'indisini va SS = 10+10 kvadratlarning umumiy yig'indisini olish) = 20), u holda biz jinsi bo'yicha kichik guruhlarga qo'shimcha bo'linish bilan aniqroq tahlil qilishdan ko'ra, biz guruh ichidagi farqning katta qiymatini olamiz (bu holda, guruh ichidagi o'rtacha 2 ga teng bo'ladi va guruh ichidagi jami kvadratlar yig'indisi SS = 2+2+2+2 = 8 ga teng bo'ladi).
Shunday qilib, qo'shimcha omil kiritilishi bilan: jins, qoldiq dispersiya kamaydi. Buning sababi shundaki, erkaklar uchun o'rtacha ko'rsatkich ayollar uchun o'rtacha ko'rsatkichdan kichikroqdir va bu ko'rsatkichlar farqi jinsi hisobga olinmaganda umumiy guruh ichidagi o'zgaruvchanlikni oshiradi. Xato farqini nazorat qilish testning sezgirligini (kuchini) oshiradi.
Ushbu misol odatdagi ikkita namunali t-testga nisbatan dispersiya tahlilining yana bir afzalligini ko'rsatadi. Dispersiyani tahlil qilish har bir omilni boshqa omillarning qiymatlarini nazorat qilish orqali o'rganishga imkon beradi. Bu, aslida, uning katta statistik kuchining asosiy sababidir (mazmunli natijalarga erishish uchun kichikroq namunalar talab qilinadi). Shu sababli, dispersiyani tahlil qilish, hatto kichik namunalarda ham, oddiy t-testiga qaraganda statistik jihatdan muhimroq natijalar beradi.
Mashq qilish. 1-kurs talabalari bo‘sh vaqtlarini qaysi mashg‘ulotlarga bag‘ishlashlarini aniqlash maqsadida so‘rovnoma o‘tkazildi. Talabalarning og'zaki va og'zaki bo'lmagan afzalliklarining taqsimlanishi farqlanadimi yoki yo'qligini tekshiring.Yechim kalkulyator yordamida amalga oshiriladi.
Guruhning o'rtacha ko'rsatkichlarini topish:
| N | P 1 | P 2 |
| 1 | 12 | 17 |
| 2 | 18 | 19 |
| 3 | 23 | 25 |
| 4 | 10 | 7 |
| 5 | 15 | 17 |
| x o'rtacha | 15.6 | 17 |
p - omilning darajalar sonini belgilaymiz (p=2). Har bir darajadagi o'lchamlar soni bir xil va q=5 ga teng.
Oxirgi qatorda har bir omil darajasi uchun guruh vositalari mavjud.
Umumiy o'rtacha guruh o'rtacha arifmetik o'rtacha sifatida olinishi mumkin:
(1)
Guruhning o'rtacha muvaffaqiyatsizlik darajasining umumiy o'rtacha ko'rsatkichga nisbatan tarqalishiga ko'rib chiqilayotgan omil darajasidagi o'zgarishlar ham, tasodifiy omillar ham ta'sir qiladi.
Bu omilning ta'sirini hisobga olish uchun jami tanlama dispersiyasi ikki qismga bo'linadi, birinchisi S 2 f omil, ikkinchisi esa qoldiq S 2 dam olish deyiladi.
Ushbu komponentlarni hisobga olish uchun birinchi navbatda umumiy o'rtacha qiymatdan kvadratik og'ishlarning umumiy yig'indisi hisoblanadi:
va ushbu omilning ta'sirini tavsiflovchi umumiy o'rtacha qiymatdan guruh o'rtachalarining kvadratik og'ishlarining omillar yig'indisi:
Oxirgi ifoda R ifodasidagi har bir variantni ma'lum omil uchun umumiy guruh o'rtacha qiymatiga almashtirish orqali olinadi.
Kvadrat og'ishlarning qoldiq yig'indisi farq sifatida olinadi:
R dam = R jami - R f
Namunaning umumiy dispersiyasini aniqlash uchun R umumiy miqdorini pq o'lchovlar soniga bo'lish kerak:
va xolis jami tanlama dispersiyasini olish uchun bu ifodani pq/(pq-1) ga ko‘paytirish kerak:
Shunga ko'ra, xolis faktorli tanlov dispersiyasi uchun:
bu yerda p-1 xolis omil tanlama dispersiyasining erkinlik darajalari soni.
Ko'rib chiqilayotgan parametrning o'zgarishiga omil ta'sirini baholash uchun qiymat hisoblanadi:
Ikki tanlama dispersiyalarining nisbati S 2 f va S 2 dam Fisher-Snedecor qonuniga muvofiq taqsimlanganligi sababli, f obs ning natijaviy qiymati taqsimot funktsiyasi qiymati bilan taqqoslanadi.
kritik nuqtada f cr tanlangan muhimlik darajasiga mos keladi a.
Agar f obs >f cr bo'lsa, u holda omil sezilarli ta'sirga ega va hisobga olinishi kerak, aks holda e'tiborsiz qolishi mumkin bo'lgan ahamiyatsiz ta'sirga ega.
Rob va Rf ni hisoblash uchun quyidagi formulalardan ham foydalanish mumkin:
(4)
(5)
Formula (1) yordamida umumiy o'rtachani topamiz:
Formula (4) yordamida Rtotni hisoblash uchun biz 2 kvadratdan iborat jadval tuzamiz: variant:
| N | P 2 1 | P 2 2 |
| 1 | 144 | 289 |
| 2 | 324 | 361 |
| 3 | 529 | 625 |
| 4 | 100 | 49 |
| 5 | 225 | 289 |
| ∑ | 1322 | 1613 |
Umumiy o'rtacha (1) formula bo'yicha hisoblanadi:
Rtot = 1322 + 1613 - 5 2 16,3 2 = 278,1
(5) formuladan foydalanib, R f ni topamiz:
R f = 5(15,6 2 + 17 2) - 2 16,3 2 = 4,9
Biz R dam olamiz: R dam = R jami - R f = 278,1 - 4,9 = 273,2
Faktor va qoldiq farqlarni aniqlaymiz:
Agar o'rtacha qiymatlar bo'lsa tasodifiy o'zgaruvchi, alohida namunalar uchun hisoblangan bir xil bo'lsa, unda omil va qoldiq dispersiyalarning baholari umumiy dispersiyaning xolis baholari bo'lib, ahamiyatsiz farqlanadi.
Keyin Fisher mezonidan foydalangan holda ushbu dispersiyalarni baholashni taqqoslash omil va qoldiq dispersiyalarning tengligi haqidagi nol gipotezani rad etish uchun hech qanday sabab yo'qligini ko'rsatishi kerak.
Faktor dispersiyasini baholash qoldiq dispersiyani baholashdan kamroq, shuning uchun biz tenglikning nol gipotezasini darhol tasdiqlashimiz mumkin. matematik taxminlar qatlamlardan namuna olish orqali.
Boshqacha qilib aytganda, bu misolda F omil tasodifiy miqdorga sezilarli ta'sir ko'rsatmaydi.
N 0 gipotezasini tekshiramiz: x ning o'rtacha qiymatlarining tengligi.
f obs toping.
Muhimlik darajasi a=0,05, erkinlik darajalari 1 va 8 uchun biz Fisher-Snedecor taqsimot jadvalidan fcr ni topamiz.
f cr (0,05; 1; 8) = 5,32
f kuzatilganligi sababli< f кр, нулевую гипотезу о существенном влиянии фактора на результаты экспериментов отклоняем.
Boshqacha qilib aytganda, o'quvchilarning og'zaki va og'zaki bo'lmagan afzalliklarini taqsimlash farqlanadi.
Mashq qilish. Zavodda qoplamali plitkalar ishlab chiqaradigan to'rtta liniya mavjud. Har bir chiziqdan smenada tasodifiy ravishda 10 ta plitka tanlandi va ularning qalinligi (mm) o'lchandi. Nominal kattalikdan og'ishlar jadvalda keltirilgan. A = 0,05 ahamiyatlilik darajasida yuqori sifatli plitkalar ishlab chiqarishning ishlab chiqarish liniyasiga bog'liqligini aniqlash kerak (A omil).
Mashq qilish. A = 0,05 ahamiyatlilik darajasida, bo'yoq rangining qoplamaning xizmat qilish muddatiga ta'sirini o'rganing.
Misol № 1. 13 ta test o'tkazildi, ulardan 4 tasi birinchi omil darajasida, 4 tasi ikkinchi, 3 tasi uchinchi va 2 tasi to'rtinchisi. 0,05 ahamiyatlilik darajasida dispersiyani tahlil qilish usulidan foydalanib, guruh vositalarining tengligi haqidagi nol gipotezani sinab ko'ring. Namunalar bir xil dispersiyaga ega oddiy populyatsiyalardan olingan deb taxmin qilinadi. Sinov natijalari jadvalda ko'rsatilgan.
Yechim:
Guruhning o'rtacha ko'rsatkichlarini topish:
| N | P 1 | P 2 | P 3 | P 4 |
| 1 | 1.38 | 1.41 | 1.32 | 1.31 |
| 2 | 1.38 | 1.42 | 1.33 | 1.33 |
| 3 | 1.42 | 1.44 | 1.34 | - |
| 4 | 1.42 | 1.45 | - | - |
| ∑ | 5.6 | 5.72 | 3.99 | 2.64 |
| x o'rtacha | 1.4 | 1.43 | 1.33 | 1.32 |
p - omilning darajalar sonini belgilaymiz (p=4). Har bir darajadagi o'lchamlar soni: 4,4,3,2
Oxirgi qatorda har bir omil darajasi uchun guruh vositalari mavjud.
Umumiy o'rtacha quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
Formuladan (4) foydalanib, Stotalni hisoblash uchun biz 2 kvadratdan iborat jadval tuzamiz: variant:
| N | P 2 1 | P 2 2 | P 2 3 | P 2 4 |
| 1 | 1.9 | 1.99 | 1.74 | 1.72 |
| 2 | 1.9 | 2.02 | 1.77 | 1.77 |
| 3 | 2.02 | 2.07 | 1.8 | - |
| 4 | 2.02 | 2.1 | - | - |
| ∑ | 7.84 | 8.18 | 5.31 | 3.49 |
Kvadrat og'ishlarning umumiy yig'indisi quyidagi formula yordamida topiladi:
S f ni formuladan foydalanib topamiz:
Biz S dam olamiz: S dam = S jami - S f = 0,0293 - 0,0263 = 0,003
Faktor dispersiyasini aniqlaymiz:
va qoldiq dispersiya:
Agar alohida namunalar uchun hisoblangan tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatlari bir xil bo'lsa, unda omil va qoldiq dispersiyalarning baholari umumiy dispersiyaning xolis bahosi bo'lib, sezilarli darajada farq qilmaydi.
Keyin Fisher mezonidan foydalangan holda ushbu dispersiyalarni baholashni taqqoslash omil va qoldiq dispersiyalarning tengligi haqidagi nol gipotezani rad etish uchun hech qanday sabab yo'qligini ko'rsatishi kerak.
Faktor dispersiyasini baholash qoldiq dispersiyani baholashdan kattaroqdir, shuning uchun biz darhol namuna qatlamlari bo'ylab matematik taxminlarning tengligi haqidagi nol gipoteza to'g'ri emasligini ta'kidlashimiz mumkin.
Boshqacha qilib aytganda, bu misolda F omil tasodifiy miqdorga sezilarli ta'sir ko'rsatadi.
H 0 nol gipotezasini tekshiramiz: x o'rtacha qiymatlarining tengligi.
f obs toping.
Muhimlik darajasi a=0,05, erkinlik darajalari 3 va 12 uchun Fisher-Snedecor taqsimot jadvalidan fcr ni topamiz.
f cr (0,05; 3; 12) = 3,49
f > f cr kuzatilganligi sababli biz omilning tajriba natijalariga sezilarli ta'siri haqidagi nol gipotezani qabul qilamiz (guruh vositalarining tengligi haqidagi nol gipotezani rad etamiz). Boshqacha qilib aytganda, guruh ma'nolari umuman olganda sezilarli darajada farq qiladi.
Misol № 2. Maktabda 5 ta oltinchi sinf mavjud. Psixologga sinflarda vaziyatli tashvishning o'rtacha darajasi bir xil yoki yo'qligini aniqlash vazifasi yuklanadi. Shu maqsadda ular jadvalda keltirilgan. Sinflardagi o'rtacha situatsion tashvish farq qilmaydi degan taxminning ahamiyatlilik darajasini tekshiring a=0,05.
Misol № 3. X qiymatini o'rganish uchun F omilining beshta darajasining har birida 4 ta test o'tkazildi. Sinov natijalari jadvalda ko'rsatilgan. F omilning X qiymatiga ta'siri muhim yoki yo'qligini aniqlang a = 0,05. Namunalar bir xil dispersiyaga ega oddiy populyatsiyalardan olingan deb taxmin qilinadi.
Misol № 4. Faraz qilaylik, pedagogik tajribada har biri 10 nafar talabadan iborat uchta guruh qatnashdi. Guruhlarda qo'llaniladi turli usullar o'qitish: birinchisida - an'anaviy (F 1), ikkinchisida - kompyuter texnologiyasiga asoslangan (F 2), uchinchisida - vazifalarni keng qo'llaydigan usul mustaqil ish(F 3). Bilim o'n balli tizim yordamida baholandi.
Olingan imtihon ma'lumotlarini qayta ishlash va o'qitish usulining ta'siri ahamiyatli yoki ahamiyatli emasligi to'g'risida xulosa qilish kerak, a = 0,05 ahamiyatga ega.
Imtihon natijalari jadvalda keltirilgan, F j faktor x ij darajasi - i-o`quvchining F j usuli yordamida baholanishi.
|
Faktor darajasi |
|||||||||||
Misol № 5. Ekinlarning raqobatbardosh nav sinovi natijalari ko'rsatilgan (hosildorlik gektariga santimetrda). Har bir nav to'rtta uchastkada sinovdan o'tkazildi. Dispersiya tahlilidan foydalanib, navning hosildorlikka ta'sirini o'rganing. Faktor ta'sirining ahamiyatini (guruhlararo o'zgaruvchanlikning umumiy o'zgarishdagi ulushi) va 0,05 ahamiyatga ega bo'lgan tajriba natijalarining ahamiyatini aniqlang.
Nav sinov uchastkalarida mahsuldorlik
| Turli xillik | Replikatsiyalar bo'yicha hosildorlik c. ha dan | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 2 3 |
42,4 52,5 52,3 |
37,4 50,1 53,0 |
40,7 53,8 51,4 |
38,2 50,7 53,6 |
Dispersiyani tahlil qilish
1. Dispersiyani tahlil qilish tushunchasi
Dispersiyani tahlil qilish har qanday boshqariladigan o'zgaruvchan omillar ta'sirida belgining o'zgaruvchanligini tahlil qilish. Xorijiy adabiyotlarda dispersiya tahlili ko‘pincha ANOVA deb ataladi, u o‘zgaruvchanlikni tahlil qilish (Analysis of Variance) deb tarjima qilinadi.
ANOVA muammosi belgining umumiy o'zgaruvchanligidan boshqa turdagi o'zgaruvchanlikni ajratishdan iborat:
a) o'rganilayotgan mustaqil o'zgaruvchilarning har birining ta'siridan kelib chiqadigan o'zgaruvchanlik;
b) o'rganilayotgan mustaqil o'zgaruvchilarning o'zaro ta'siridan kelib chiqadigan o'zgaruvchanlik;
c) boshqa barcha noma'lum o'zgaruvchilar tufayli tasodifiy o'zgaruvchanlik.
O'rganilayotgan o'zgaruvchilarning harakati va ularning o'zaro ta'siri tufayli o'zgaruvchanlik tasodifiy o'zgaruvchanlik bilan bog'liq. Bu munosabatlarning ko'rsatkichi Fisherning F testidir.
F mezonini hisoblash formulasi dispersiyalarni baholashni, ya'ni atributning taqsimot parametrlarini o'z ichiga oladi, shuning uchun F mezon parametrik mezondir.
Belgining o'zgaruvchanligi o'rganilayotgan o'zgaruvchilar (omillar) yoki ularning o'zaro ta'siridan qanchalik ko'p bo'lsa, shunchalik yuqori bo'ladi. empirik mezon qiymatlari.
Nol Dispersiyani tahlil qilishda gipoteza o'rganilayotgan samarali xarakteristikaning o'rtacha qiymatlari barcha gradatsiyalarda bir xil ekanligini bildiradi.
Muqobil gipoteza shuni ko'rsatadiki, o'rganilayotgan omilning turli darajalaridagi natijaviy xarakteristikaning o'rtacha qiymatlari har xil.
Dispersiyani tahlil qilish xarakteristikaning o'zgarishini aytishga imkon beradi, lekin ko'rsatmaydi yo'nalishi bu o'zgarishlar.
Dispersiya tahlilini ko'rib chiqishni eng oddiy holatdan boshlaylik bitta o'zgaruvchan (bir omil).
2. Bog'liq bo'lmagan namunalar uchun dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish
2.1. Usulning maqsadi
Dispersiyani bir omilli tahlil qilish usuli omilning o'zgaruvchan sharoitlari yoki gradatsiyalari ta'sirida samarali xarakteristikaning o'zgarishi o'rganilgan hollarda qo'llaniladi. Usulning ushbu versiyasida omilning har bir gradatsiyasining ta'siri boshqacha mavzulardan namunalar. Faktorning kamida uchta gradatsiyasi bo'lishi kerak. (Ikki gradatsiya bo'lishi mumkin, ammo bu holda biz chiziqli bo'lmagan bog'liqliklarni o'rnatolmaymiz va oddiyroqlardan foydalanish oqilonaroq ko'rinadi).
Ushbu turdagi tahlilning parametrik bo'lmagan versiyasi Kruskal-Wallis H testidir.
Gipotezalar
H 0: Faktor darajalari orasidagi farqlar (turli shartlar) har bir guruh ichidagi tasodifiy farqlardan katta emas.
H 1: Faktor darajalari orasidagi farqlar (turli shartlar) har bir guruh ichidagi tasodifiy farqlardan kattaroqdir.
2.2. Bir-biriga bog'liq bo'lmagan namunalar uchun dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish cheklovlari
1. Dispersiyaning bir tomonlama tahlili omilning kamida uchta gradatsiyasini va har bir gradatsiyada kamida ikkita mavzuni talab qiladi.
2. Olingan xarakteristika o'rganilayotgan namunada normal taqsimlanishi kerak.
To'g'ri, biz butun o'rganilayotgan namunada yoki uning dispersiya kompleksini tashkil etuvchi qismida xarakteristikaning tarqalishi haqida gapirayapmizmi, odatda ko'rsatilmaydi.
3. Misol yordamida bog'liq bo'lmagan namunalar uchun dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish usuli yordamida masalani yechish misoli:
Oltita mavzudan iborat uchta turli guruhga o'nta so'zdan iborat ro'yxatlar berildi. Birinchi guruhga so‘zlar past tezlikda – 5 soniyada 1 so‘z, ikkinchi guruhga – o‘rtacha tezlikda – 2 soniyada 1 so‘z, uchinchi guruhga esa yuqori tezlikda – soniyada 1 so‘z taqdim etildi. Reproduksiya samaradorligi so'zlarni taqdim etish tezligiga bog'liq bo'lishi taxmin qilingan. Natijalar jadvalda keltirilgan. 1.
Qayta ishlab chiqarilgan so'zlar soni 1-jadval
|
Mavzu raqami. |
past tezlik |
o'rtacha tezlik | |
|
umumiy qiymat | |||
H 0: So'zlarni ishlab chiqarish oralig'idagi farqlar orasida guruhlar tasodifiy farqlardan ko'ra aniqroq emas ichida har bir guruh.
H1: So'z ishlab chiqarish hajmidagi farqlar orasida guruhlar tasodifiy farqlarga qaraganda aniqroq ichida har bir guruh. Jadvalda keltirilgan eksperimental qiymatlardan foydalanish. 1, biz F mezonini hisoblash uchun zarur bo'lgan ba'zi qiymatlarni o'rnatamiz.
Dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish uchun asosiy miqdorlarni hisoblash jadvalda keltirilgan:
jadval 2
3-jadval
Bir-biriga bog'liq bo'lmagan namunalar uchun dispersiyani bir tomonlama tahlil qilishda operatsiyalar ketma-ketligi
Ko'pincha ushbu va keyingi jadvallarda topilgan SS belgisi "kvadratlar yig'indisi" ning qisqartmasi hisoblanadi. Ushbu qisqartma ko'pincha tarjima manbalarida qo'llaniladi.
SS haqiqat o'rganilayotgan omil ta'siridan kelib chiqadigan xususiyatning o'zgaruvchanligini bildiradi;
SS umuman- belgining umumiy o'zgaruvchanligi;
S C.A.-hisobga olinmagan omillar ta'sirida o'zgaruvchanlik, "tasodifiy" yoki "qoldiq" o'zgaruvchanlik.
XONIM- "o'rtacha kvadrat" yoki kvadratlar yig'indisining matematik taxmini, mos keladigan SS ning o'rtacha qiymati.
df - parametrik bo'lmagan mezonlarni hisobga olgan holda biz yunoncha harf bilan belgilagan erkinlik darajalari soni v.
Xulosa: H 0 rad etiladi. H 1 qabul qilinadi. Guruhlar o'rtasidagi so'zlarni eslab qolishdagi farqlar har bir guruh ichidagi tasodifiy farqlardan ko'proq edi (a = 0,05). Shunday qilib, so'zlarni taqdim etish tezligi ularni ko'paytirish hajmiga ta'sir qiladi.
Excelda muammoni hal qilish misoli quyida keltirilgan:
Dastlabki ma'lumotlar:
Buyruqdan foydalanib: Tools->Ma'lumotlarni tahlil qilish->Bir tomonlama ANOVA, biz quyidagi natijalarga erishamiz:
Ushbu eslatmada statistik ma'lumotlardan foydalanish to'liq misol bilan tasvirlanadi. Aytaylik, siz Perfect Parachute kompaniyasining ishlab chiqarish menejerisiz. Parashyutlar to'rt xil yetkazib beruvchi tomonidan taqdim etilgan sintetik tolalardan tayyorlangan. Parashyutning asosiy xususiyatlaridan biri uning kuchidir. Taqdim etilgan barcha tolalar bir xil kuchga ega ekanligiga ishonch hosil qilishingiz kerak. Bu savolga javob berish uchun sintetik tolalardan to'qilgan parashyutlarning mustahkamligini o'lchash uchun eksperimental dizayn ishlab chiqilishi kerak. turli etkazib beruvchilar. Ushbu tajribadan olingan ma'lumotlar qaysi etkazib beruvchining eng bardoshli parashyutlarni taqdim etishini aniqlaydi.
Ko'pgina ilovalar bir nechta guruhlar yoki bitta omil darajasini hisobga oladigan tajribalarni o'z ichiga oladi. Ba'zi omillar, masalan, keramika pishirish harorati, bir nechta raqamli darajalarga ega bo'lishi mumkin (masalan, 300 °, 350 °, 400 ° va 450 °). Supermarketdagi tovarlarning joylashuvi kabi boshqa omillar kategoriya darajalariga ega bo'lishi mumkin (masalan, birinchi yetkazib beruvchi, ikkinchi yetkazib beruvchi, uchinchi yetkazib beruvchi, to'rtinchi yetkazib beruvchi). Eksperimental birliklar tasodifiy ravishda guruhlarga yoki omil darajalariga tayinlangan bir omilli tajribalar to'liq tasodifiy deb ataladi.
FoydalanishF-bir nechta matematik taxminlar orasidagi farqlarni baholash mezonlari
Guruhlardagi omilning son o'lchovlari uzluksiz va ba'zi bo'lsa qo'shimcha shartlar, bir nechta guruhlarning matematik taxminlarini solishtirish, dispersiyani tahlil qilish (ANOVA - An tahlil qilish o f Va riance). To'liq tasodifiy dizaynlar yordamida dispersiyani tahlil qilish bir tomonlama ANOVA protsedurasi deb ataladi. Qaysidir ma'noda, dispersiyani tahlil qilish atamasi noto'g'ri nomdir, chunki u tafovutlar o'rtasida emas, balki guruhlarning kutilgan qiymatlari orasidagi farqlarni taqqoslaydi. Biroq, matematik taxminlarni taqqoslash ma'lumotlarning o'zgarishini tahlil qilish asosida aniq amalga oshiriladi. ANOVA protsedurasida o'lchov natijalarining umumiy o'zgarishi guruhlar o'rtasida va guruhlar ichida bo'linadi (1-rasm). Guruh ichidagi variatsiya eksperimental xato bilan izohlanadi, guruhlar o'rtasidagi o'zgarish esa eksperimental sharoitlarning ta'siri bilan izohlanadi. Belgi Bilan guruhlar sonini bildiradi.
Guruch. 1. To'liq tasodifiy tajribada bo'linish o'zgarishi
Eslatmani yoki formatda yuklab oling, formatdagi misollar
Keling, shunday da'vo qilaylik Bilan mustaqil guruhlardan olingan umumiy populyatsiyalar, normal taqsimotga va bir xil dispersiyaga ega. Nol gipoteza shundan iboratki, aholining matematik taxminlari bir xil: H 0: m 1 = m 2 = ... = m s. Muqobil gipoteza shuni ko'rsatadiki, barcha matematik taxminlar bir xil emas: H 1: hamma m j bir xil emas j= 1, 2, …, s).
Shaklda. 2-rasmda populyatsiyalar normal taqsimot va bir xil dispersiyaga ega bo'lishi sharti bilan taqqoslangan besh guruhning matematik taxminlari haqidagi haqiqiy nol gipoteza keltirilgan. Beshta umumiy populyatsiyalar bilan bog'liq turli darajalarda omillar bir xil. Binobarin, ular bir xil matematik kutish, o'zgaruvchanlik va shaklga ega bo'lgan holda bir-birining ustiga qo'yilgan.
Guruch. 2. Beshta umumiy populyatsiyalar bir xil matematik taxminlarga ega: m 1 = m 2 = m 3 = m 4 = m 5
Boshqa tomondan, deylik, nol gipoteza noto'g'ri bo'lib, to'rtinchi daraja eng yuqori kutilgan qiymatga ega, birinchi daraja biroz pastroq kutilgan qiymatga ega va qolgan darajalar bir xil va hatto undan pastroq kutilgan qiymatlarga ega ( 3-rasm). E'tibor bering, kutilgan qiymatlar bundan mustasno, barcha beshta populyatsiya bir xil (ya'ni, ular bir xil o'zgaruvchanlik va shaklga ega).
Guruch. 3. Eksperimental sharoitlarning ta'siri kuzatiladi: m 4 > m 1 > m 2 = m 3 = m 5
Bir nechta umumiy populyatsiyalarning matematik taxminlarining tengligi haqidagi gipotezani sinab ko'rishda umumiy o'zgarishlar ikki qismga bo'linadi: guruhlar o'rtasidagi farqlar tufayli guruhlararo o'zgarishlar va bir guruhga tegishli elementlar orasidagi farqlar tufayli guruh ichidagi variatsiya. Umumiy o'zgarish kvadratlarning umumiy yig'indisi bilan ifodalanadi (SST - jami kvadratlar yig'indisi). Chunki nol gipoteza hammaning matematik kutishidir Bilan guruhlar bir-biriga teng, umumiy o'zgarish individual kuzatishlar va barcha namunalar uchun hisoblangan umumiy o'rtacha (o'rtacha ko'rsatkichlar) o'rtasidagi farqlar kvadratlari yig'indisiga teng. To'liq o'zgarish:
Qayerda 
- umumiy o'rtacha, X ij - i-da kuzatuv j-guruh yoki daraja, n j- ichida kuzatuvlar soni j th guruh, n - jami barcha guruhlardagi kuzatuvlar (ya'ni. n = n 1
+ n 2 + … + n c), Bilan- o'rganilgan guruhlar yoki darajalar soni.
Guruhlar o'rtasidagi o'zgaruvchanlik, odatda guruhlar orasidagi kvadratlar yig'indisi (SSA - guruhlar orasidagi kvadratlar yig'indisi) deb ataladi, har bir guruhning o'rtacha tanlanmasi orasidagi farqlar kvadratlari yig'indisiga teng. j va umumiy o'rtacha , mos keladigan guruhning hajmiga ko'paytiriladi n j:
Qayerda Bilan- o'rganilgan guruhlar yoki darajalar soni; n j- ichida kuzatuvlar soni j th guruh, j- o'rtacha qiymati j th guruh, - umumiy o'rtacha.
Guruh ichidagi o'zgaruvchanlik, odatda guruh ichidagi kvadratlar yig'indisi (SSW - sum of squares Withing groups) deb ataladi, har bir guruh elementlari va ushbu guruhning namunaviy o'rtacha qiymati o'rtasidagi farqlar kvadratlari yig'indisiga teng. j:
Qayerda Xij - i th element j th guruh, j- o'rtacha qiymati j th guruh.
Chunki ular solishtiriladi Bilan omil darajalari, kvadratlarning guruhlararo yig'indisi mavjud s - 1 erkinlik darajalari. Har biri Bilan darajalariga ega n j – 1 erkinlik darajasi, shuning uchun kvadratlarning guruh ichidagi yig'indisi bor n- Bilan erkinlik darajalari va
Bundan tashqari, kvadratlarning umumiy yig'indisi mavjud n – 1 Har bir kuzatishdan boshlab erkinlik darajalari Xij hamma bo'yicha hisoblangan umumiy o'rtacha bilan solishtiriladi n kuzatishlar. Agar ushbu yig'indilarning har biri tegishli erkinlik darajalariga bo'linsa, dispersiyaning uch turi paydo bo'ladi: guruhlararo(o'rtacha kvadrat - MSA), guruh ichidagi(o'rtacha kvadrat ichida - MSW) va to'la(o'rtacha kvadrat jami - MST):
Dispersiyani tahlil qilishning asosiy maqsadi matematik taxminlarni solishtirish bo'lishiga qaramay Bilan Eksperimental sharoitlarning ta'sirini aniqlash uchun guruhlar, uning nomi asosiy vosita dispersiyalarni tahlil qilish ekanligi bilan bog'liq. har xil turlari. Agar nol gipoteza to'g'ri bo'lsa va matematik taxminlar o'rtasida Bilan guruhlarda sezilarli farqlar yo'q, har uchala farq - MSA, MSW va MST - dispersiya bahosi s 2 tahlil qilingan ma'lumotlarga xosdir. Shunday qilib, nol gipotezani sinab ko'rish uchun H 0: m 1 = m 2 = ... = m s va muqobil gipoteza H 1: hamma m j bir xil emas j = 1, 2, …, Bilan), statistik ma'lumotlarni hisoblash kerak F-kriteriya, bu ikki dispersiya, MSA va MSW nisbati. Sinov F-dispersiyani bir tomonlama tahlil qilishda statistika
Statistika F- mezonlar bo'yicha F- bilan tarqatish s - 1 numeratordagi erkinlik darajalari M.S.A. Va n - s maxrajdagi erkinlik darajalari M.S.V.. Berilgan ahamiyatlilik darajasi a uchun, agar hisoblangan bo'lsa, nol gipoteza rad etiladi F FU, xos F- bilan tarqatish s - 1 n - s maxrajdagi erkinlik darajalari. Shunday qilib, rasmda ko'rsatilganidek. 4, hal qiluvchi qoida quyidagicha tuzilgan: nol gipoteza H 0 agar rad etilgan F>FU; aks holda rad etilmaydi.
Guruch. 4. Gipotezani tekshirishda dispersiyani tahlil qilishning kritik sohasi H 0
Agar nol gipoteza bo'lsa H 0 rost, hisoblangan F-statistika 1 ga yaqin, chunki uning numeratori va maxraji bir xil miqdorning taxminlari - tahlil qilingan ma'lumotlarga xos bo'lgan dispersiya s 2. Agar nol gipoteza bo'lsa H 0 noto'g'ri (va turli guruhlarning matematik taxminlari o'rtasida sezilarli farq bor), hisoblangan F-statistika bittadan ancha katta bo'ladi, chunki uning numeratori MSA ma'lumotlarning tabiiy o'zgaruvchanligiga qo'shimcha ravishda tajriba sharoitlarining ta'sirini yoki guruhlar orasidagi farqni taxmin qiladi, maxraj MSW esa faqat ma'lumotlarning tabiiy o'zgaruvchanligini taxmin qiladi. . Shunday qilib, ANOVA protsedurasi F-mezon, bunda ma'lum bir ahamiyatlilik a darajasida, agar hisoblangan bo'lsa, nol gipoteza rad etiladi. F-statistik ma'lumotlar yuqori kritik qiymatdan katta FU, xos F- bilan tarqatish s - 1 hisoblagichdagi erkinlik darajalari va n - s Shaklda ko'rsatilganidek, maxrajdagi erkinlik darajalari. 4.
Dispersiyaning bir tomonlama tahlilini ko'rsatish uchun keling, eslatma boshida keltirilgan stsenariyga qaytaylik. Tajribaning maqsadi turli etkazib beruvchilardan olingan sintetik tolalardan to'qilgan parashyutlarning bir xil kuchga ega ekanligini aniqlashdir. Har bir guruhda beshta parashyut bor. Guruhlar bo'linadi yetkazib beruvchilarga - yetkazib beruvchi 1, yetkazib beruvchi 2, yetkazib beruvchi 3 va yetkazib beruvchi 4. Parashyutlarning kuchi matoning har ikki tomondan yirtilishini tekshiradigan maxsus qurilma yordamida o'lchanadi. Parashyutni sindirish uchun zarur bo'lgan kuch maxsus shkalada o'lchanadi. Buzilish kuchi qanchalik baland bo'lsa, parashyut shunchalik kuchli bo'ladi. Excel sizga tahlil qilish imkonini beradi F- bir marta bosish bilan statistika. Menyudan o'ting Ma'lumotlar → Ma'lumotlarni tahlil qilish, va qatorni tanlang Bir tomonlama ANOVA, ochilgan oynani to'ldiring (5-rasm). Eksperimental natijalar (buzilish kuchi), ba'zi tavsiflovchi statistik ma'lumotlar va dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish natijalari rasmda keltirilgan. 6.
Guruch. 5. Oyna Variantlarni tahlil qilish paketining bir tomonlama tahlili Excel
Guruch. 6. Turli etkazib beruvchilardan olingan sintetik tolalardan to'qilgan parashyutlarning mustahkamlik ko'rsatkichlari, tavsiflovchi statistika va dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish natijalari.
6-rasm tahlili shuni ko'rsatadiki, namunaviy o'rtachalar o'rtasida biroz farq bor. Birinchi etkazib beruvchidan olingan tolalarning o'rtacha quvvati 19,52, ikkinchidan - 24,26, uchinchidan - 22,84 va to'rtinchidan - 21,16. Bu farq statistik ahamiyatga egami? Yorilish kuchining taqsimlanishi tarqalish chizmasida ko'rsatilgan (7-rasm). Bu guruhlar o'rtasidagi va guruh ichidagi farqlarni aniq ko'rsatadi. Agar har bir guruh kattaroq bo'lsa, ularni tahlil qilish uchun poya va barg diagrammasi, quti yoki qo'ng'iroq chizig'idan foydalanish mumkin edi.
Guruch. 7. To'rtta etkazib beruvchidan olingan sintetik tolalardan to'qilgan parashyutlar uchun quvvat dispersiyasi diagrammasi.
Nol gipoteza shuni ko'rsatadiki, o'rtacha kuch ballari o'rtasida sezilarli farqlar yo'q: H 0: m 1 = m 2 = m 3 = m 4. Muqobil gipoteza shundan iboratki, o'rtacha tola kuchi boshqalardan farq qiladigan kamida bitta etkazib beruvchi mavjud: H 1: hamma m j bir xil emas ( j = 1, 2, …, Bilan).
Umumiy o'rtacha (6-rasmga qarang) = O'RTA (D12: D15) = 21,945; Buni aniqlash uchun siz barcha 20 ta asl raqamni ham oʻrtacha qilishingiz mumkin: = AVERAGE(A3:D7). Farq qiymatlari hisoblab chiqiladi Tahlil to'plami va plastinkada aks etadi Dispersiyani tahlil qilish(6-rasmga qarang): SSA = 63.286, SSW = 97.504, SST = 160.790 (ustunga qarang). SS jadvallar Dispersiyani tahlil qilish 6-rasm). O'rtacha qiymatlar kvadratlarning bu yig'indisini tegishli erkinlik darajalariga bo'lish yo'li bilan hisoblanadi. Chunki Bilan= 4, a n= 20, biz erkinlik darajalarining quyidagi qiymatlarini olamiz; SSA uchun: s - 1= 3; SSW uchun: n–c= 16; SST uchun: n – 1= 19 (ustunga qarang df). Shunday qilib: MSA = SSA / ( s – 1)= 21.095; MSW = SSW / ( n–c) = 6,094; MST = SST / ( n – 1) = 8.463 (ustunga qarang XONIM). F-statistika = MSA / MSW = 3.462 (ustunga qarang F).
Yuqori kritik qiymat FU, xarakteristikasi F-taqsimlash, =F.OBR(0,95;3;16) = 3,239 formula bilan aniqlanadi. Funksiya parametrlari =F.OBR(): a = 0,05, hisoblagich uch erkinlik darajasiga, maxraj esa 16. Shunday qilib, hisoblangan F-3,462 ga teng statistik yuqori kritik qiymatdan oshib ketadi FU= 3.239, nol gipoteza rad etiladi (8-rasm).
Guruch. 8. 0,05 ahamiyatlilik darajasidagi dispersiyani tahlil qilishning kritik mintaqasi, agar hisoblagich uch erkinlik darajasiga ega bo'lsa va maxraj -16 bo'lsa.
R-qiymat, ya'ni. nol gipoteza to'g'ri bo'lsa, ehtimollik F-statistik ma'lumotlar 3,46 dan kam bo'lmagan, 0,041 yoki 4,1% ga teng (ustunga qarang). p-qiymati jadvallar Dispersiyani tahlil qilish 6-rasm). Bu qiymat a = 5% ahamiyatlilik darajasidan oshmagani uchun nol gipoteza rad etiladi. Bundan tashqari, R-qiymat umumiy populyatsiyalarning matematik taxminlari o'rtasidagi bunday yoki kattaroq farqni aniqlash ehtimoli, agar ular bir xil bo'lsa, 4,1% ga teng ekanligini ko'rsatadi.
Shunday qilib. To'rtta namunaviy vosita o'rtasida farq bor. Nol gipoteza to'rtta populyatsiyaning barcha matematik taxminlari teng ekanligidan iborat edi. Bunday sharoitda, barcha parashyutlar kuchining umumiy o'zgaruvchanligi (ya'ni, umumiy SST o'zgarishi) har bir kuzatuv orasidagi kvadrat farqlarni yig'ish orqali hisoblanadi. X ij va umumiy o'rtacha . Keyin umumiy o'zgarish ikki komponentga ajratildi (1-rasmga qarang). Birinchi komponent SSAdagi guruhlar o'rtasidagi o'zgarish, ikkinchisi esa SSWdagi guruh ichidagi o'zgarish edi.
Ma'lumotlarning o'zgaruvchanligini nima tushuntiradi? Boshqacha qilib aytganda, nima uchun barcha kuzatuvlar bir xil emas? Buning sabablaridan biri shundaki, turli kompaniyalar turli xil kuchli tolalarni etkazib beradi. Bu qisman guruhlarda nima uchun turli xil matematik taxminlarga ega ekanligini tushuntiradi: eksperimental shartlarning ta'siri qanchalik kuchli bo'lsa, guruhlarning matematik kutishlari o'rtasidagi farq shunchalik katta bo'ladi. Ma'lumotlar o'zgaruvchanligining yana bir sababi - har qanday jarayonning tabiiy o'zgaruvchanligi Ushbu holatda- parashyutlar ishlab chiqarish. Agar barcha tolalar bir xil etkazib beruvchidan sotib olingan bo'lsa ham, ularning kuchi bir xil bo'lmaydi, qolgan barcha narsalar teng bo'ladi. Bu ta'sir har bir guruh ichida sodir bo'lganligi sababli, u guruh ichidagi o'zgaruvchanlik deb ataladi.
Namuna vositalari o'rtasidagi farqlar guruhlararo o'zgaruvchan SSA deb ataladi. Guruh ichidagi o'zgarishlarning bir qismi, yuqorida aytib o'tilganidek, ma'lumotlarning tegishliligi bilan izohlanadi. turli guruhlar. Biroq, agar guruhlar aynan bir xil bo'lsa ham (ya'ni, nol gipoteza to'g'ri bo'lsa ham), guruhlar o'rtasidagi o'zgaruvchanlik hali ham mavjud bo'ladi. Buning sababi parashyut ishlab chiqarish jarayonining tabiiy o'zgaruvchanligi. Namunalar har xil bo'lgani uchun ularning namunaviy vositalari bir-biridan farq qiladi. Shuning uchun, agar nol gipoteza to'g'ri bo'lsa, guruh o'rtasidagi va guruh ichidagi o'zgaruvchanlik populyatsiya o'zgaruvchanligini taxmin qiladi. Agar nol gipoteza noto'g'ri bo'lsa, guruhlar o'rtasidagi gipoteza kattaroq bo'ladi. Aynan mana shu faktning asosi yotadi F-bir nechta guruhlarning matematik taxminlari orasidagi farqlarni solishtirish mezonlari.
Bir tomonlama ANOVAni amalga oshirgandan va firmalar o'rtasida sezilarli farqni topgandan so'ng, qaysi yetkazib beruvchi boshqalardan sezilarli darajada farq qilishi noma'lum bo'lib qolmoqda. Biz faqat umumiy aholining matematik kutishlari teng emasligini bilamiz. Boshqacha qilib aytganda, matematik taxminlarning kamida bittasi boshqalardan sezilarli darajada farq qiladi. Qaysi yetkazib beruvchi boshqalardan farq qilishini aniqlash uchun siz foydalanishingiz mumkin Tukey protsedurasi, etkazib beruvchilar o'rtasida juftlik taqqoslashdan foydalanish. Ushbu protsedura Jon Tukey tomonidan ishlab chiqilgan. Keyinchalik, u va K. Kramer ushbu protsedurani namuna o'lchamlari bir-biridan farq qiladigan holatlar uchun mustaqil ravishda o'zgartirdilar.
Bir nechta taqqoslash: Tukey-Kramer protsedurasi
Bizning stsenariyimizda parashyutlarning kuchini solishtirish uchun dispersiyaning bir tomonlama tahlili ishlatilgan. To'rt guruhning matematik taxminlari o'rtasida sezilarli farqlarni topib, qaysi guruhlar bir-biridan farq qilishini aniqlash kerak. Ushbu muammoni hal qilishning bir necha yo'li mavjud bo'lsa-da, biz faqat Tukey-Kramerning bir nechta taqqoslash tartibini tasvirlaymiz. Bu usul post hoc taqqoslash protseduralariga misoldir, chunki tekshirilayotgan gipoteza ma'lumotlar tahlilidan so'ng shakllantiriladi. Tukey-Kramer protsedurasi barcha juftlik guruhlarini bir vaqtning o'zida taqqoslash imkonini beradi. Birinchi bosqichda farqlar hisoblab chiqiladi Xj -Xj ’ , Qayerda j ≠j’ , matematik taxminlar orasida s(s – 1)/2 guruhlar. Kritik doira Tukey-Kramer protsedurasi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
Qayerda Q U- talabalashtirilgan diapazon taqsimotining yuqori kritik qiymati Bilan hisoblagichdagi erkinlik darajalari va n - Bilan maxrajdagi erkinlik darajalari.
Agar namuna o'lchamlari bir xil bo'lmasa, kritik diapazon har bir matematik taxminlar juftligi uchun alohida hisoblanadi. Oxirgi bosqichda har biri s(s – 1)/2 matematik taxminlar juftlari mos keladigan kritik diapazon bilan taqqoslanadi. Juftlik elementlari sezilarli darajada farq qiladi, agar farq moduli | Xj -Xj ’ | ular orasida kritik diapazondan oshib ketadi.
Parashyutlarning mustahkamligi muammosiga Tukey-Kramer protsedurasini qo'llaymiz. Parashyut kompaniyasining to'rtta yetkazib beruvchisi bo'lganligi sababli, tekshirish uchun 4 (4 - 1) / 2 = 6 juft etkazib beruvchilar mavjud (9-rasm).
Guruch. 9. Namuna vositalarini juftlik bilan taqqoslash
Chunki barcha guruhlar bir xil hajmga ega (ya'ni barcha n j = n j ’ ), faqat bitta kritik diapazonni hisoblash kifoya. Buning uchun jadvalga muvofiq ANOVA(6-rasm) MSW = 6.094 qiymatini aniqlaymiz. Keyin qiymatni topamiz Q U a = 0,05 da, Bilan= 4 (hisoblagichdagi erkinlik darajalari soni) va n- Bilan= 20 – 4 = 16 (maxrajdagi erkinlik darajalari soni). Afsuski, men Excelda mos keladigan funktsiyani topa olmadim, shuning uchun men jadvaldan foydalandim (10-rasm).
Guruch. 10. Kritik qiymat talabalar doirasi Q U
Biz olamiz:
Faqat 4,74 > 4,47 (9-rasmning pastki jadvaliga qarang), birinchi va ikkinchi yetkazib beruvchi o'rtasida statistik jihatdan muhim farq mavjud. Boshqa barcha juftliklar ularning farqlari haqida gapirishga imkon bermaydigan namunaviy vositalarga ega. Binobarin, birinchi etkazib beruvchidan sotib olingan tolalardan to'qilgan parashyutlarning o'rtacha kuchi ikkinchisiga qaraganda ancha past.
Dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish uchun zarur shartlar
Parashyutlarning mustahkamligi muammosini hal qilishda biz bir omildan foydalanish mumkin bo'lgan sharoitlar mavjudligini tekshirmadik. F- mezon. Bir omildan foydalanishingiz mumkinligini qanday bilasiz F-aniq eksperimental ma'lumotlarni tahlil qilishda mezon? Yagona omil F-mezon faqat uchta asosiy faraz bajarilgan taqdirdagina qo'llanilishi mumkin: eksperimental ma'lumotlar tasodifiy va mustaqil bo'lishi, normal taqsimotga ega bo'lishi va ularning dispersiyalari teng bo'lishi kerak.
Birinchi taxmin - tasodifiylik va ma'lumotlarning mustaqilligi- har doim bajarilishi kerak, chunki har qanday tajribaning to'g'riligi tanlovning tasodifiyligiga va / yoki tasodifiy jarayonga bog'liq. Natijalarni bir-biriga qarama-qarshi qo'ymaslik uchun ma'lumotlardan olinishi kerak Bilan umumiy populyatsiyalar tasodifiy va bir-biridan mustaqil. Xuddi shunday, ma'lumotlar tasodifiy taqsimlanishi kerak Bilan bizni qiziqtirgan omil darajalari (tajriba guruhlari). Ushbu shartlarning buzilishi dispersiyani tahlil qilish natijalarini jiddiy ravishda buzishi mumkin.
Ikkinchi taxmin - normallik- ma'lumotlar normal taqsimlangan populyatsiyalardan olinganligini bildiradi. kelsak t-mezon, dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish asosida F-mezon bu holatning buzilishiga nisbatan kam sezgir. Agar taqsimot me'yordan juda sezilarli darajada chetga chiqmasa, ahamiyatlilik darajasi F-kriteriya juda oz o'zgaradi, ayniqsa tanlov hajmi etarlicha katta bo'lsa. Agar taqsimotning normalligi sharti jiddiy buzilgan bo'lsa, uni qo'llash kerak.
Uchinchi taxmin - dispersiyaning bir xilligi- har bir populyatsiyaning dispersiyalari bir-biriga teng ekanligini bildiradi (ya'ni s 1 2 = s 2 2 = ... = s j 2). Ushbu taxmin guruh ichidagi tafovutlarni ajratish yoki birlashtirish to'g'risida qaror qabul qilish imkonini beradi. Agar guruh o'lchamlari bir xil bo'lsa, dispersiyaning bir xilligi sharti yordamida olingan xulosalarga kam ta'sir qiladi. F- mezonlar. Biroq, agar tanlama kattaliklari teng bo'lmasa, dispersiyalarning tengligi shartining buzilishi dispersiya tahlili natijalarini jiddiy ravishda buzishi mumkin. Shuning uchun namunalar hajmi teng bo'lishini ta'minlashga harakat qilish kerak. Dispersiyaning bir hilligi haqidagi taxminni tekshirish usullaridan biri bu mezondir. Leven quyida tasvirlangan.
Agar uchta shartdan faqat dispersiyaning bir xillik sharti buzilgan bo'lsa, shunga o'xshash protsedura. t-alohida dispersiyadan foydalangan holda mezon (batafsil ma'lumot uchun qarang). Biroq, haqida taxminlar bo'lsa normal taqsimot va dispersiyaning bir xilligi bir vaqtning o'zida buzilgan bo'lsa, ma'lumotlarni normallashtirish va dispersiyalar orasidagi farqlarni kamaytirish yoki parametrik bo'lmagan protsedurani qo'llash kerak.
Dispersiyaning bir xilligini tekshirish uchun Leven testi
Shunga qaramasdan F-mezon guruhlardagi dispersiyalarning tengligi sharti buzilishiga nisbatan chidamli bo'lsa, bu taxminni qo'pol ravishda buzish mezonning ahamiyati va kuchiga sezilarli darajada ta'sir qiladi; Ehtimol, eng kuchlilaridan biri bu mezondir Leven. Dispersiyalarning tengligini tekshirish Bilan Umumiy populyatsiyalar uchun biz quyidagi gipotezalarni sinab ko'ramiz:
N 0: s 1 2 = s 2 2 = … = sj 2
H 1: hammasi emas s j 2 bir xil ( j = 1, 2, …, Bilan)
O'zgartirilgan Leven testi agar o'zgaruvchanlik guruhlar bo'yicha teng bo'lsa, dispersiya tahlili dispersiyalarning tengligining nol gipotezasini tekshirish uchun ishlatilishi mumkin degan taklifga asoslanadi. mutlaq qiymatlar kuzatishlar va guruh medianalari o'rtasidagi farqlar. Shunday qilib, birinchi navbatda har bir guruhdagi kuzatuvlar va medianlar o'rtasidagi farqlarning mutlaq qiymatlarini hisoblashingiz kerak, so'ngra farqlarning mutlaq qiymatlari bo'yicha bir tomonlama dispersiya tahlilini o'tkazishingiz kerak. Leven mezonini ko'rsatish uchun keling, eslatma boshida keltirilgan stsenariyga qaytaylik. Rasmda keltirilgan ma'lumotlardan foydalanish. 6, biz shunga o'xshash tahlilni o'tkazamiz, lekin har bir namuna uchun alohida dastlabki ma'lumotlar va medianlardagi farqlar modullariga nisbatan (11-rasm).
