Yagona taqsimlash.Tasodifiy qiymat X segmentda tasodifiy tanlangan nuqta koordinatalari ma'nosiga ega

[a, b. Bir xil zichlik tasodifiy o'zgaruvchilar taqsimoti X(10.5-rasm, A) quyidagicha belgilash mumkin:

Guruch. 10.5. Tasodifiy o'zgaruvchining yagona taqsimlanishi: A- tarqatish zichligi; b- taqsimlash funktsiyasi

Tasodifiy o'zgaruvchilarni taqsimlash funktsiyasi X shaklga ega:

Yagona taqsimot funksiyasining grafigi rasmda ko'rsatilgan. 10,5, b.

Biz (10.3) yordamida bir xil taqsimotning Laplas konvertatsiyasini hisoblaymiz:

Kutilayotgan qiymat va farq to'g'ridan-to'g'ri mos keladigan ta'riflardan osongina hisoblab chiqiladi:

Matematik kutish va dispersiya uchun shunga o'xshash formulalarni (10.8), (10.9) formulalar yordamida Laplas konvertatsiyasi yordamida ham olish mumkin.

Keling, bir xil taqsimot bilan tavsiflanishi mumkin bo'lgan xizmat ko'rsatish tizimining misolini ko'rib chiqaylik.

Chorrahadagi harakat avtomatik svetofor orqali tartibga solinadi, unda yashil chiroq 1 daqiqa, qizil chiroq 0,5 daqiqa yonadi. Haydovchilar chorrahaga yaqinlashadilar tasodifiy daqiqalar svetoforning ishlashi bilan bog'liq bo'lmagan yagona taqsimot bilan vaqt. Avtomobilning chorrahadan to‘xtamasdan o‘tish ehtimoli topilsin.

Avtomobilning chorrahadan o'tgan momenti 1 + 0,5 = 1,5 daqiqa oralig'ida bir tekis taqsimlanadi. Avtomobil chorrahadan to'xtamasdan o'tadi, agar chorrahadan o'tish momenti vaqt oralig'iga to'g'ri kelsa. Intervalda bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdor uchun intervalga tushish ehtimoli 1/1,5=2/3 ga teng. Kutish vaqti Goj aralash tasodifiy o'zgaruvchidir. 2/3 ehtimollik bilan u nolga teng va 0,5/1,5 ehtimollik bilan u 0 dan 0,5 min gacha bo'lgan istalgan qiymatni oladi. Shuning uchun, chorrahada o'rtacha kutish vaqti va farq

Eksponensial (eksponensial) taqsimot. Eksponensial taqsimot uchun tasodifiy miqdorning taqsimot zichligi quyidagicha yozilishi mumkin:

bu yerda A taqsimot parametri deyiladi.

Eksponensial taqsimotning ehtimollik zichligi grafigi rasmda ko'rsatilgan. 10.6, A.

Eksponensial taqsimotga ega bo'lgan tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasi shaklga ega

Guruch. 10.6. Tasodifiy o'zgaruvchining eksponensial taqsimoti: A- tarqatish zichligi; b - tarqatish funktsiyasi

Eksponensial taqsimot funksiyasining grafigi rasmda ko'rsatilgan. 10.6, 6.

Eksponensial taqsimotning Laplas konvertatsiyasini (10.3) yordamida hisoblaymiz:

Keling, buni tasodifiy o'zgaruvchi uchun ko'rsatamiz X, eksponentsial taqsimotga ega, kutilgan qiymat standart og'ish a ga teng va A parametriga teskari:

Shunday qilib, eksponensial taqsimot uchun bizda: Buni ham ko'rsatish mumkin

bular. eksponensial taqsimot to'liq o'rtacha yoki parametr bilan tavsiflanadi X .

Eksponensial taqsimot raqamga ega foydali xususiyatlar, ular xizmat ko'rsatish tizimlarini modellashtirishda qo'llaniladi. Masalan, uning xotirasi yo'q. Qachon , Bu

Boshqacha qilib aytganda, agar tasodifiy o'zgaruvchi vaqtga to'g'ri keladigan bo'lsa, unda qolgan muddatning taqsimlanishi allaqachon o'tgan vaqtga bog'liq emas. Bu xususiyat rasmda ko'rsatilgan. 10.7.

Guruch. 10.7.

Ishlash parametrlarini eksponensial taqsimot orqali tasvirlash mumkin bo'lgan tizim misolini ko'rib chiqamiz.

Qurilma ishlayotganida, nosozliklar tasodifiy vaqtda sodir bo'ladi. Qurilmaning ishlash vaqti T uni yoqishdan boshlab nosozlik paydo bo'lgunga qadar parametr bilan eksponensial qonunga muvofiq taqsimlanadi. X. Agar nosozlik aniqlansa, qurilma darhol ta'mirlanadi, bu vaqt / 0 davom etadi. Ikki qo'shni yoriqlar orasidagi G vaqt oralig'ining zichligi va taqsimot funksiyasi, matematik kutilma va dispersiya, shuningdek, vaqtning ehtimolini topaylik. T x ko'proq bo'ladi 2t 0.

O'shandan beri

Oddiy taqsimot. Oddiy - zichlik bilan tavsiflangan uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti

(10.48) dan shunday xulosa kelib chiqadi normal taqsimot ikki parametr bilan aniqlanadi - matematik kutish T va dispersiya a 2. Oddiy taqsimotga ega tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi grafigi t= 0 va 2 =1 rasmda ko'rsatilgan. 10.8, A.

Guruch. 10.8. Tasodifiy o'zgaruvchining normal taqsimot qonuni da T= 0, st 2 = 1: A- ehtimollik zichligi; 6 - taqsimlash funktsiyasi

Tarqatish funksiyasi formula bilan tavsiflanadi

Oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti funksiyasining grafigi da T= 0, va 2 = 1 shaklda ko'rsatilgan. 10.8, b.

Buning ehtimolini aniqlaylik X(a, p) intervalga tegishli qiymatni oladi:

Qayerda Laplas funksiyasi va buning ehtimolligi

og'ishning mutlaq qiymati 6 musbat raqamdan kichik ekanligini:

Xususan, qachon t = 0 tenglik to'g'ri:

Ko'rib turganingizdek, normal taqsimotga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi ham ijobiy, ham salbiy qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Shuning uchun momentlarni hisoblash uchun ikki tomonlama Laplas konvertatsiyasidan foydalanish kerak

Biroq, bu integralning mavjudligi shart emas. Agar mavjud bo'lsa, odatda (10.50) o'rniga ifoda ishlatiladi

qaysi deyiladi xarakterli funktsiya yoki momentlarni hosil qiluvchi funksiya.

(10.51) formuladan foydalanib, normal taqsimot momentlarining hosil qiluvchi funksiyasini hisoblaymiz:

Subeksponensial ifodaning numeratorini shaklga o'tkazgandan so'ng, biz olamiz

Integral

chunki u parametrlar bilan normal ehtimollik zichligining integralidir t + shuning uchun 2 va 2. Demak,

Farqlash (10.52), biz olamiz

Ushbu iboralardan siz quyidagi fikrlarni topishingiz mumkin:

Oddiy taqsimot amaliyotda keng qo'llaniladi, chunki markaziy chegara teoremasiga ko'ra, agar tasodifiy o'zgaruvchi juda ko'p o'zaro mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi bo'lsa, ularning har birining butun yig'indiga ta'siri ahamiyatsiz bo'lsa, u holda normaga yaqin taqsimotga ega.

Parametrlarini normal taqsimot bilan tavsiflash mumkin bo'lgan tizim misolini ko'rib chiqaylik.

Kompaniya ma'lum hajmdagi bir qismini ishlab chiqaradi. Bir qismning sifati uning o'lchamini o'lchash orqali baholanadi. Tasodifiy o'lchash xatolar standart og'ish bilan oddiy qonunga bo'ysunadi A - Yumkm. O'lchov xatosi 15 mikrondan oshmasligi ehtimoli topilsin.

(10.49) dan topamiz

Ko'rib chiqilgan taqsimotlardan foydalanish qulayligi uchun biz olingan formulalarni jadvalda umumlashtiramiz. 10.1 va 10.2.

10.1-jadval. Uzluksiz taqsimotlarning asosiy xarakteristikalari

10.2-jadval. Uzluksiz taqsimotlarni yaratish funktsiyalari

NAZORAT SAVOLLARI

• 1. Qanday ehtimollik taqsimotlari uzluksiz hisoblanadi?
• 2. Laplas-Stieltjes transformatsiyasi nima? U nima uchun ishlatiladi?
• 3. Laplas-Stieljes konvertatsiyasi yordamida tasodifiy miqdorlarning momentlarini qanday hisoblash mumkin?
• 4. Mustaqil tasodifiy miqdorlar yig‘indisining Laplas konvertatsiyasi nima?
• 5. Signal grafiklari yordamida tizimning bir holatdan ikkinchi holatga o‘tish vaqtining o‘rtacha vaqtini va dispersiyasini qanday hisoblash mumkin?
• 6. Bir xil taqsimlanishning asosiy xarakteristikalarini keltiring. Xizmat vazifalarida foydalanishga misollar keltiring.
• 7. Ko'rsatkichli taqsimotning asosiy xarakteristikalarini keltiring. Xizmat vazifalarida foydalanishga misollar keltiring.
• 8. Normal taqsimotning asosiy xarakteristikalarini keltiring. Xizmat vazifalarida foydalanishga misollar keltiring.

6-bob. Uzluksiz tasodifiy miqdorlar.

§ 1. Uzluksiz tasodifiy miqdorning zichligi va taqsimot funksiyasi.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari to'plami hisoblanmaydi va odatda chekli yoki cheksiz intervalni ifodalaydi.

Ehtimollar fazosida (W, S, P) aniqlangan tasodifiy o'zgaruvchi x(w) deyiladi davomiy(mutlaqo uzluksiz) W, agar manfiy bo'lmagan funksiya mavjud bo'lsa, har qanday x uchun Fx(x) taqsimot funksiyasi integral sifatida ifodalanishi mumkin.

Funksiya funksiya deyiladi ehtimolliklarni taqsimlash zichligi.

Ta'rif taqsimot zichligi funktsiyasining xususiyatlarini nazarda tutadi:

1..gif" eni="97" balandligi="51">

3. Uzluksizlik nuqtalarida taqsimot zichligi taqsimot funksiyasining hosilasiga teng: .

4. Tarqatish zichligi tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini aniqlaydi, chunki u tasodifiy miqdorning intervalga tushish ehtimolini aniqlaydi:

5. Uzluksiz tasodifiy miqdorning o'ziga xos qiymat olish ehtimoli nolga teng: . Shunday qilib, quyidagi tengliklar amal qiladi:

Tarqatish zichligi funksiyasining grafigi deyiladi taqsimot egri chizig'i, va taqsimot egri chizig'i va x o'qi bilan chegaralangan maydon birlikka teng. U holda geometrik jihatdan Fx(x) taqsimot funksiyasining x0 nuqtadagi qiymati taqsimot egri chizig’i va x o’qi bilan chegaralangan va x0 nuqtadan chap tomonda yotgan maydondir.

Vazifa 1. Uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funktsiyasi quyidagi ko'rinishga ega:

S doimiysini aniqlang, Fx(x) taqsimot funksiyasini tuzing va ehtimollikni hisoblang.

Yechim. S doimiysi bizda mavjud bo'lgan shartdan topiladi:

buning uchun C=3/8.

Fx(x) taqsimot funksiyasini qurish uchun oraliq x argumenti qiymatlari diapazonini (raqamli o'q) uch qismga bo'lishini unutmang: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" kengligi="264" balandligi="49">

chunki yarim o'qdagi x zichligi nolga teng. Ikkinchi holatda

Nihoyat, oxirgi holatda, x>2 bo'lganda,

Zichlik yarim o'qda yo'qolganligi sababli. Shunday qilib, taqsimlash funktsiyasi olinadi

Ehtimollik Keling, formuladan foydalanib hisoblaylik. Shunday qilib,

§ 2. Uzluksiz tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari

Kutilgan qiymat uzluksiz taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">, formula bilan aniqlanadi.

agar o'ngdagi integral absolyut yaqinlashsa.

Dispersiya x formula yordamida hisoblanishi mumkin , va shuningdek, diskret holatda bo'lgani kabi, formula bo'yicha https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Diskret tasodifiy miqdorlar uchun 5-bobda berilgan matematik kutish va dispersiyaning barcha xossalari uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun ham amal qiladi.

Muammo 2. 1-masaladagi x tasodifiy o'zgaruvchisi uchun matematik kutilma va dispersiyani hisoblang .

Yechim.

Va bu degani

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Yagona taqsimot zichligi grafigi uchun 2-rasmga qarang. .

6.2-rasm. Tarqatish funksiyasi va tarqatish zichligi. yagona qonun

Bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorning Fx(x) taqsimot funksiyasi ga teng

Fx(x)=

Kutish va tafovutlar; .

Eksponensial (eksponensial) taqsimot. Manfiy bo'lmagan qiymatlarni qabul qiladigan doimiy tasodifiy o'zgaruvchi x, tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik zichligi taqsimoti teng bo'lsa, l>0 parametri bilan eksponensial taqsimotga ega.

rx(x)=

Guruch. 6.3. Eksponensial qonunning taqsimot funksiyasi va taqsimot zichligi.

Eksponensial taqsimotning taqsimot funksiyasi shaklga ega

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> va uning tarqalish zichligi teng bo'lsa

.

Orqali parametrlari va parametrlari bilan normal qonun bo'yicha taqsimlangan barcha tasodifiy o'zgaruvchilar to'plamini bildiradi.

Oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi ga teng

.

Guruch. 6.4. Tarqatish funksiyasi va normal taqsimot zichligi

Oddiy taqsimotning parametrlari matematik kutish https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

Maxsus holatda qachon https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> normal taqsimot deyiladi. standart, va bunday taqsimotlar sinfi https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49"> bilan belgilanadi,

va tarqatish funktsiyasi

Bunday integralni analitik hisoblash mumkin emas (u "kvadratlar" da olinmaydi) va shuning uchun funktsiya uchun jadvallar tuzilgan. Funktsiya 4-bobda keltirilgan Laplas funktsiyasi bilan bog'liq

,

quyidagi munosabat bilan . Ixtiyoriy parametr qiymatlari holatida https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlash funksiyasi Laplas funksiyasi bilan bog'liq:

.

Shuning uchun, normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining intervalga tushish ehtimoli formuladan foydalanib hisoblanishi mumkin.

.

Manfiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchi x, agar uning h=lnx logarifmi normal qonunga bo'ysunsa, lognormal taqsimlangan deyiladi. Lognormal taqsimlangan tasodifiy miqdorning kutilayotgan qiymati va dispersiyasi Mx= va Dx=.

Vazifa 3. Tasodifiy o'zgaruvchi berilsin https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Yechim. Bu yerda https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Laplas taqsimoti fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> funksiyasi bilan berilgan va kurtoz gx=3.

6.5-rasm. Laplas taqsimot zichligi funksiyasi.

Tasodifiy o'zgaruvchi x taqsimlanadi Veybull qonuni, agar u https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53"> ga teng taqsimlash zichligi funksiyasiga ega bo'lsa

Weibull taqsimoti ko'plab texnik qurilmalarning nosozliksiz ishlash vaqtlarini boshqaradi. Ushbu profilning vazifalarida muhim xususiyat l(t)= munosabati bilan aniqlanadigan t yoshdagi o‘rganilayotgan elementlarning nosozlik darajasi (o‘lim darajasi) l(t). Agar a=1 bo'lsa, Veybull taqsimoti eksponensial taqsimotga, a=2 bo'lsa - taqsimot deb ataladigan taqsimotga aylanadi. Rayleigh.

Veybull taqsimotining matematik kutilishi: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, bu erda G(a) - Eyler. funktsiya..

IN turli vazifalar Amaliy statistikada "kesilgan" taqsimotlar ko'pincha uchraydi. Masalan, soliq organlari yillik daromadi soliq qonunchiligida belgilangan c0 chegarasidan oshadigan jismoniy shaxslarning daromadlarini taqsimlashdan manfaatdor. Ushbu taqsimotlar Pareto taqsimotiga taxminan mos keladi. Pareto taqsimoti funksiyalar orqali beriladi

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> tasodifiy o'zgaruvchi x va monotonik differentsiallanuvchi funksiya ..gif" width="200" height="51">

Bu erda https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Vazifa 4. Tasodifiy o'zgaruvchi segmentda bir xil taqsimlangan. Tasodifiy miqdorning zichligini toping.

Yechim. Muammo shartlaridan kelib chiqadiki

Keyingi, funksiya oraliqda monoton va differentsiallanuvchi funktsiya bo'lib, teskari funktsiyaga ega hosilasi teng bo'lgan , Shuning uchun,

§ 5. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar juftligi

Ikki uzluksiz tasodifiy miqdorlar x va h berilsin. Keyin juftlik (x, h) tekislikdagi "tasodifiy" nuqtani belgilaydi. (x, h) juftlik deyiladi tasodifiy vektor yoki ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi.

Birgalikda taqsimlash funktsiyasi tasodifiy o'zgaruvchilar x va h va funksiya F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> deb nomlanadi. qo'shma zichlik x va h tasodifiy miqdorlarning ehtimollik taqsimoti shunday funksiya deyiladi .

Birgalikda taqsimlanish zichligining ushbu ta'rifining ma'nosi quyidagicha. "Tasodifiy nuqta" (x, h) tekislikdagi mintaqaga tushishi ehtimoli uch o'lchamli figuraning hajmi sifatida hisoblanadi - sirt bilan chegaralangan "egri chiziqli" silindr https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

Ikki tasodifiy miqdorni birgalikda taqsimlashning eng oddiy misoli ikki o'lchovli to'plamda bir xil taqsimlashA. Maydon bilan chegaralangan M to‘plam berilgan bo‘lsin, u (x, h) juftining taqsimlanishi sifatida aniqlanadi, quyidagi bo‘g‘in zichligi bilan aniqlanadi:

Vazifa 5. Ikki o'lchovli tasodifiy vektor (x, h) uchburchak ichida bir xil taqsimlangan bo'lsin. x>h tengsizlik ehtimolini hisoblang.

Yechim. Ko'rsatilgan uchburchakning maydoni teng (Qarang: rasm. №?). Ikki o'lchovli bir xil taqsimotning ta'rifi tufayli x, h tasodifiy o'zgaruvchilarning qo'shma zichligi tengdir.

Voqea to'plamga mos keladi samolyotda, ya'ni yarim tekislikda. Keyin ehtimollik

B yarim tekisligida bo'g'in zichligi https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17"> to'plamdan tashqarida nolga teng. yarim tekislik B ikkita to'plamga bo'linadi va https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> va , va ikkinchi integral tengdir nolga teng, chunki u erda qo'shma zichlik nolga teng. Shunung uchun

Agar juftlik (x, h) uchun qo'shma taqsimlanish zichligi berilgan bo'lsa, u holda har ikkala komponentning x va h zichligi deyiladi. xususiy zichliklar va formulalar yordamida hisoblab chiqiladi:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Zichliklari rx(x), rh(u) bo'lgan uzluksiz taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mustaqillik shuni anglatadiki,

Vazifa 6. Oldingi masala sharoitida tasodifiy vektor x va h ning komponentlari mustaqil ekanligini aniqlang?

Yechim. Keling, qisman zichliklarni hisoblaymiz va . Bizda ... bor:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Shubhasiz, bizning holatlarimizda https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> x va h miqdorlarning qo'shma zichligi va j( x, y) ikkita argumentning funksiyasi, demak

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Vazifa 7. Oldingi masala sharoitida hisoblang.

Yechim. Yuqoridagi formulaga muvofiq bizda:

.

Uchburchakni sifatida ifodalash

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Ikki uzluksiz tasodifiy miqdorlar yig'indisining zichligi

X va h zichliklari bo'lgan mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lsin https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Tasodifiy o'zgaruvchining zichligi x + h formula bo'yicha hisoblanadi konvolyutsiya

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Yig'indining zichligini hisoblang.

Yechim. X va h parametr bilan eksponensial qonun bo'yicha taqsimlanganligi sababli ularning zichligi tengdir.

Demak,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Agar x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">salbiy, shuning uchun . Shuning uchun, agar https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Shunday qilib, biz javob oldik:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> odatda 0 va 1 parametrlari bilan taqsimlanadi. X1 va x2 tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil va normalga ega mos ravishda a1 va a2 parametrli taqsimotlar.x1+x2 normal taqsimotga ega ekanligini isbotlang.x1, x2,...xn tasodifiy miqdorlar taqsimlangan va mustaqil va bir xil zichlik funksiyasiga ega.

.

Qiymatlarning taqsimlanish funksiyasi va taqsimlanish zichligini toping:

a) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = maks (x1,x2, ... xn)

X1, x2, ... xn tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil va [a, b] oraliqda bir xil taqsimlangan. Kattaliklar taqsimotining taqsimot funksiyalari va zichlik funksiyalarini toping

x(1) = min (x1,x2, ... xn) va x(2)= max(x1, x2, ...xn).

Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47"> ekanligini isbotlang.

Tasodifiy miqdor Koshi qonuni bo'yicha taqsimlanadi Toping: a) koeffitsient a; b) taqsimlash funktsiyasi; v) intervalga tushish ehtimoli (-1, 1). X ning matematik taxmini mavjud emasligini ko'rsating. Tasodifiy miqdor l (l>0) parametrli Laplas qonuniga bo'ysunadi: a koeffitsientini toping; taqsimot zichligi grafiklari va taqsimot funksiyalarini qurish; Mx va Dx-ni toping; hodisalar ehtimolini toping (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Tarqatish zichligi formulasini yozing, Mx va Dx ni toping.

Hisoblash vazifalari.

A tasodifiy nuqta R radiusli aylanada bir xil taqsimotga ega. Nuqtaning aylana markazigacha bo‘lgan r masofasining matematik kutilishi va dispersiyasini toping. r2 qiymati segmentda bir xil taqsimlanganligini ko'rsating.

Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish zichligi quyidagi shaklga ega:

C doimiysi, taqsimot funksiyasi F(x) va ehtimollikni hisoblang Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish zichligi quyidagi shaklga ega:

C doimiysi, taqsimot funksiyasi F(x) va ehtimollikni hisoblang Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish zichligi quyidagi shaklga ega:
C konstantasini, taqsimot funksiyasi F(x), , dispersiya va ehtimollikni hisoblang.Tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasiga ega.

Tasodifiy o'zgaruvchining zichligini, matematik kutilmani, dispersiyani va ehtimollikni hisoblang. Funktsiya = ekanligini tekshiring.
tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi bo'lishi mumkin. Bu miqdorning son xarakteristikalarini toping: Mx va Dx. Tasodifiy o'zgaruvchi segmentda bir xil taqsimlangan. Tarqatish zichligini yozing. Tarqatish funksiyasini toping. Tasodifiy o‘zgaruvchining segmentga va segmentga tushish ehtimolini toping. Tarqatish zichligi x ga teng

.

c doimiysi, taqsimot zichligi h = va ehtimollikni toping

P (0,25

Kompyuterning ishlamay qolgan vaqti eksponensial qonun bo'yicha l = 0,05 parametri bilan taqsimlanadi (soatdagi nosozliklar), ya'ni u zichlik funktsiyasiga ega.

p(x) = .

Muayyan muammoni hal qilish mashinaning 15 daqiqa davomida muammosiz ishlashini talab qiladi. Muammoni hal qilishda nosozlik yuzaga kelsa, xato faqat yechim tugagandan so'ng aniqlanadi va muammo yana hal qilinadi. Toping: a) masalani yechish vaqtida bironta ham nosozlik yuzaga kelmasligi ehtimoli; b) muammoni hal qilishning o'rtacha vaqti.

24 sm uzunlikdagi novda ikki qismga bo'linadi; Biz tanaffus nuqtasi novdaning butun uzunligi bo'ylab teng ravishda taqsimlangan deb taxmin qilamiz. Tayoqning ko'p qismining o'rtacha uzunligi qancha? 12 sm uzunlikdagi bo'lak tasodifiy ravishda ikki qismga bo'linadi. Kesish nuqtasi segmentning butun uzunligi bo'ylab teng ravishda taqsimlanadi. Segmentning kichik qismining o'rtacha uzunligi qancha? Tasodifiy o'zgaruvchi segmentda bir xil taqsimlangan. Tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligini toping a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 =.

Agar x uzluksiz taqsimot funksiyasiga ega ekanligini ko'rsating

F(x) = P(x

Segmentlar va mos ravishda bir xil taqsimot qonunlari bilan ikkita mustaqil kattalik x va h yig'indisining zichlik funksiyasi va taqsimot funksiyasini toping. X va h tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil va segmentlar bo'yicha bir xil taqsimlangan va mos ravishda. x+h yig‘indisining zichligini hisoblang. X va h tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil va segmentlar bo'yicha bir xil taqsimlangan va mos ravishda. x+h yig‘indisining zichligini hisoblang. X va h tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil va segmentlar bo'yicha bir xil taqsimlangan va mos ravishda. x+h yig‘indisining zichligini hisoblang. Tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil va zichlik bilan eksponensial taqsimotga ega . Ularning yig‘indisining taqsimlanish zichligini toping. X va h mustaqil tasodifiy miqdorlar yig‘indisining taqsimotini toping, bunda x intervalda bir xil taqsimotga ega, h esa l parametrli ko‘rsatkichli taqsimotga ega. P ni toping , agar x ga ega bo'lsa: a) a va s2 parametrlari bilan normal taqsimot; b) l parametrli ko'rsatkichli taqsimot; v) segment bo'yicha bir xil taqsimot [-1;1]. x, h ning birgalikdagi taqsimoti bir xil kvadrat
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Ehtimollikni toping . x va h mustaqilmi? X va h tasodifiy miqdorlar juftligi K= uchburchak ichida bir xil taqsimlangan. x va h zichliklarini hisoblang. Bu tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqilmi? Ehtimollikni toping. X va h tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil va segmentlar va [-1,1] bo'yicha bir xil taqsimlangan. Ehtimollikni toping. Ikki o'lchovli tasodifiy miqdor (x, h) uchlari (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) bo'lgan kvadratda bir xil taqsimlangan. (1, -1) nuqtadagi qo'shma taqsimot funksiyasining qiymatini toping. Tasodifiy vektor (x, h) radiusi 3 bo'lgan aylana ichida bir xil taqsimlangan. Birgalikda taqsimlanish zichligi ifodasini yozing. Ushbu tasodifiy o'zgaruvchilar bog'liq yoki yo'qligini aniqlang. Ehtimollikni hisoblang. X va h tasodifiy o'zgaruvchilar juftligi trapetsiya ichida uchlari (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0) nuqtalarda bir xilda taqsimlangan. Ushbu juft tasodifiy o'zgaruvchilar uchun qo'shma taqsimlanish zichligini va komponentlarning zichligini toping. x va h ga bog'liqmi? Tasodifiy juftlik (x, h) yarim doira ichida bir tekis taqsimlangan. x va h zichliklarini toping, ularning bog'liqligi masalasini tekshirib ko'ring. Ikki tasodifiy o'zgaruvchining qo'shma zichligi x va h ga teng .
x, h zichliklarni toping. X va h larning bog'liqligi haqidagi savolni o'rganing. Tasodifiy juftlik (x, h) to'plamda bir xil taqsimlangan. x va h zichliklarini toping, ularning bog'liqligi masalasini tekshirib ko'ring. M(xh) ni toping. X va h tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil va Find parametri bilan eksponensial qonun bo'yicha taqsimlanadi.

Uning yordamida ko'plab real jarayonlar simulyatsiya qilinadi. Va eng keng tarqalgan misol jamoat transporti jadvalidir. Aytaylik, ma'lum bir avtobus (trolleybus/tramvay) har 10 daqiqada ishlaydi va siz tasodifiy vaqtda to'xtab qolasiz. Avtobusning 1 daqiqada yetib kelish ehtimoli qancha? Shubhasiz 1/10. 4-5 daqiqa kutishingiz ehtimoli qanday? Bir xil . Avtobusni 9 minutdan ortiq kutish ehtimoli qanday? O'ndan biri!

Keling, ba'zilarini ko'rib chiqaylik cheklangan interval, aniqlik uchun segment bo'lsin. Agar tasodifiy qiymat ega doimiy ehtimollik taqsimoti zichligi ma'lum bir segmentda va uning tashqarisida nol zichlikda, keyin ular taqsimlanganligini aytishadi teng ravishda. Bunday holda, zichlik funktsiyasi qat'iy aniqlanadi:

Haqiqatan ham, agar segmentning uzunligi bo'lsa (rasmga qarang) bo'lsa, u holda qiymat muqarrar ravishda teng bo'ladi - shuning uchun to'rtburchakning birlik maydoni olinadi va u kuzatiladi ma'lum mulk:


Keling, buni rasmiy ravishda tekshiramiz:
, va boshqalar. Ehtimollik nuqtai nazaridan, bu tasodifiy o'zgaruvchini anglatadi ishonchli tarzda segmentning qiymatlaridan birini oladi ..., eh, men asta-sekin zerikarli keksa odamga aylanyapman =)

Bir xillikning mohiyati shundaki, har qanday ichki bo'shliq belgilangan uzunlik biz o'ylamaganmiz ("avtobus" daqiqalarini eslang)- tasodifiy o'zgaruvchining ushbu intervaldan qiymat olish ehtimoli bir xil bo'ladi. Chizmada men uchta bunday ehtimollikni soya qildim - yana bir bor ta'kidlayman ular hududlarga qarab belgilanadi, funktsiya qiymatlari emas!

Keling, odatiy vazifani ko'rib chiqaylik:

1-misol

Uzluksiz tasodifiy miqdor uning taqsimlanish zichligi bilan belgilanadi:

Konstantani toping, taqsimlash funksiyasini hisoblang va tuzing. Grafiklarni qurish. Toping

Boshqacha qilib aytganda, siz orzu qilgan hamma narsa :)

Yechim: oraliqda beri (cheklangan interval) , keyin tasodifiy o'zgaruvchi bir xil taqsimotga ega va "ce" qiymatini to'g'ridan-to'g'ri formuladan foydalanib topish mumkin. . Ammo umumiy ma'noda - mulkdan foydalanish yaxshiroqdir:

...nega yaxshiroq? Keraksiz savollar bo'lmasligi uchun;)

Shunday qilib, zichlik funktsiyasi:

Keling, rasm chizamiz. Qiymatlar imkonsiz , shuning uchun quyuq nuqtalar quyida joylashgan:


Tez tekshirish uchun to'rtburchakning maydonini hisoblaymiz:
, va boshqalar.

Keling, topamiz kutilgan qiymat, va siz, ehtimol, nimaga teng ekanligini allaqachon taxmin qilishingiz mumkin. "10 daqiqalik" avtobusni eslang: agar tasodifiy ko'p, ko'p kunlar uchun to'xtashga yaqinlashib, keyin o'rtacha siz uni 5 daqiqa kutishingiz kerak bo'ladi.

Ha, bu to'g'ri - kutish "voqea" oralig'ining o'rtasida bo'lishi kerak:
, kutilganidek.

dan foydalanib dispersiyani hisoblaymiz formula . Va bu erda integralni hisoblashda sizga ko'z va ko'z kerak:

Shunday qilib, dispersiya:

Keling, tuzamiz tarqatish funktsiyasi . Bu erda hech qanday yangilik yo'q:

1) agar , keyin va ;

2) agar , keyin va:

3) va nihoyat, qachon , Shunung uchun:

Natijada:

Keling, rasm chizamiz:


"Jonli" intervalda, tarqatish funktsiyasi o'sib borayotgan chiziqli, va bu bizda bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchiga ega ekanligimizning yana bir belgisidir. Axir, albatta hosila chiziqli funksiya- doimiylik bor.

Kerakli ehtimollikni topilgan taqsimot funksiyasidan foydalangan holda ikki usulda hisoblash mumkin:

yoki zichlikning ma'lum bir integralidan foydalanish:

Kimga yoqsa.

Va bu erda siz ham yozishingiz mumkin javob: ,
, grafiklar yechim bo'ylab qurilgan.

... "mumkin", chunki uning yo'qligi uchun odatda jazo yo'q. Odatda;)

Yagona tasodifiy o'zgaruvchini hisoblash uchun maxsus formulalar mavjud, men ularni o'zingiz olishingizni tavsiya qilaman:

2-misol

Uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik bilan berilgan .

Matematik kutish va dispersiyani hisoblang. Natijalarni iloji boricha soddalashtiring (qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamlashmoq).

Olingan formulalarni tekshirish uchun ishlatish qulay; xususan, "a" va "b" ning aniq qiymatlarini almashtirish orqali siz hal qilgan muammoni tekshiring. Sahifaning pastki qismida qisqacha yechim.

Va dars oxirida biz bir nechta "matn" muammolarini ko'rib chiqamiz:

3-misol

O'lchov moslamasining shkala bo'linish qiymati 0,2 ga teng. Asbob ko'rsatkichlari eng yaqin butun bo'linmaga yaxlitlanadi. Yaxlitlash xatolari bir xil taqsimlangan deb faraz qilsak, keyingi o'lchovda u 0,04 dan oshmasligi ehtimolini toping.

Yaxshiroq tushunish uchun yechimlar Tasavvur qilaylik, bu o'qli mexanik qurilma, masalan, bo'linish qiymati 0,2 kg bo'lgan tarozi va biz cho'chqani tortishimiz kerak. Ammo uning semizligini bilish uchun emas - endi strelka ikkita qo'shni bo'linma o'rtasida to'xtagan joyda muhim bo'ladi.

Keling, tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqaylik - masofa dan o'qlar eng yaqin chap bo'linma. Yoki eng yaqinidan o'ngga, bu muhim emas.

Ehtimollik zichligi funksiyasini tuzamiz:

1) Masofa salbiy bo'lishi mumkin emasligi sababli, intervalda. Mantiqiy.

2) Shartdan kelib chiqadiki, tarozi o'qi bilan teng ehtimollik bo'linishlar orasidagi istalgan joyda to'xtashi mumkin * , shu jumladan bo'linmalarning o'zlari va shuning uchun intervalda:

* Bu muhim shart. Shunday qilib, masalan, paxta momig'i yoki bir kilogramm o'ram tuzni tortishda bir xillik ancha torroq vaqt oralig'ida saqlanadi.

3) ENG YAqin chap bo'linmadan masofa 0,2 dan katta bo'lishi mumkin emasligi sababli, at ham nolga teng.

Shunday qilib:

Shuni ta'kidlash kerakki, hech kim bizdan zichlik funktsiyasi haqida so'ramagan va men uning to'liq tuzilishini faqat kognitiv zanjirlarda taqdim etganman. Vazifani tugatayotganda faqat 2-bandni yozish kifoya.

Endi muammoning savoliga javob beraylik. Qachon eng yaqin bo'linmaga yaxlitlashda xatolik 0,04 dan oshmaydi? Bu o'q chap bo'linmadan 0,04 dan uzoqroqda to'xtaganda sodir bo'ladi o'ngda yoki o'ng bo'linmadan 0,04 dan oshmasligi kerak chap. Chizmada men tegishli joylarni soya qildim:

Bu joylarni topish qoladi integrallardan foydalanish. Asosan, ularni "maktab uslubida" hisoblash mumkin (to'rtburchaklar maydonlari kabi), lekin oddiylik har doim ham tushunilmaydi;)

tomonidan mos kelmaydigan hodisalarning ehtimollarini qo'shish teoremasi:

- yaxlitlash xatosi 0,04 dan oshmasligi ehtimoli (bizning misolimiz uchun 40 gramm)

Maksimal yaxlitlash xatosi 0,1 (100 gramm) ekanligini ko'rish oson va shuning uchun yaxlitlash xatosi 0,1 dan oshmasligi ehtimoli birga teng.

Javob: 0,4

Boshqa ma'lumot manbalarida ushbu muammoning muqobil tushuntirishlari/formulalari mavjud va men o'zim uchun eng tushunarli bo'lgan variantni tanladim. Maxsus e'tibor vaziyatda xatolar haqida yaxlitlash emas, balki haqida gapirish mumkinligiga e'tibor berish kerak tasodifiy odatda bo'lgan o'lchov xatolar (lekin har doim emas), taqsimlanadi oddiy qonun. Shunday qilib, Birgina so'z qaroringizni tubdan o'zgartirishi mumkin! Ogoh bo'ling va ma'nosini tushuning.

Va hamma narsa aylana bo'lishi bilanoq, oyoqlarimiz bizni o'sha avtobus bekatiga olib boradi:

4-misol

Muayyan yo'nalish bo'yicha avtobuslar qat'iy jadval bo'yicha va har 7 daqiqada ishlaydi. Tasodifiy o'zgaruvchining zichlik funksiyasini tuzing - bekatga tasodifiy yaqinlashgan yo'lovchining keyingi avtobusni kutish vaqti. Uning avtobusni uch daqiqadan ko'p bo'lmagan kutish ehtimolini toping. Tarqatish funksiyasini toping va uning mazmunini tushuntiring.

Yuqorida aytib o'tilganidek, ehtimollik taqsimotiga misollar uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X quyidagilar:

• uzluksiz tasodifiy miqdorning yagona ehtimollik taqsimoti;
• uzluksiz tasodifiy miqdorning eksponensial ehtimollik taqsimoti;
• normal taqsimot uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimolliklari.

Bir xil va ko'rsatkichli taqsimot qonunlari, ehtimollik formulalari va ko'rib chiqilayotgan funksiyalarning sonli xarakteristikalari tushunchasini beraylik.

Indeks	Yagona taqsimlash qonuni	Eksponensial taqsimot qonuni
Ta'rif	Uniforma deb ataladi zichligi segmentda doimiy bo'lib qoladigan va shaklga ega bo'lgan doimiy X tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti	Eksponensial (eksponensial) deyiladi shaklga ega bo'lgan zichlik bilan tavsiflangan X doimiy tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti
		bu yerda l doimiy musbat qiymat
Tarqatish funksiyasi
Ehtimollik intervalga tushish
Kutilgan qiymat
Dispersiya
Standart og'ish

“Yagona va eksponensial taqsimot qonunlari” mavzusidagi masalalarni yechishga misollar.

Vazifa 1.

Avtobuslar qat'iy jadval bo'yicha ishlaydi. Harakat oralig'i 7 min. Toping: a) to'xtash joyiga kelgan yo'lovchining keyingi avtobusni ikki daqiqadan kamroq kutish ehtimoli; b) to'xtash joyiga kelgan yo'lovchining navbatdagi avtobusni kamida uch daqiqa kutishi ehtimoli; c) X tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va standart og'ishi - yo'lovchi kutish vaqti.

Yechim. 1. Muammoning shartlariga ko'ra, doimiy tasodifiy o'zgaruvchi X = (yo'lovchi kutish vaqti) teng taqsimlangan ikkita avtobus kelishi o'rtasida. X tasodifiy miqdorning tarqalish intervalining uzunligi b-a=7 ga teng, bunda a=0, b=7.

2. Agar X tasodifiy o'zgaruvchisi (5;7) oralig'iga tushsa, kutish vaqti ikki daqiqadan kam bo'ladi. Quyidagi formula yordamida berilgan intervalga tushish ehtimolini topamiz: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P (5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Agar X tasodifiy o'zgaruvchisi (0;4) oralig'iga tushsa, kutish vaqti kamida uch daqiqa (ya'ni, uchdan etti daqiqagacha) bo'ladi. Quyidagi formula yordamida berilgan intervalga tushish ehtimolini topamiz: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Uzluksiz, bir xil taqsimlangan X tasodifiy o‘zgaruvchining matematik kutilishi – yo‘lovchining kutish vaqti – quyidagi formula yordamida topiladi: M(X)=(a+b)/2. M (X) = (0+7)/2 = 7/2 = 3,5.

5. Uzluksiz, bir xil taqsimlangan X tasodifiy o‘zgaruvchining standart og‘ishi – yo‘lovchining kutish vaqti quyidagi formula yordamida topiladi: s(X)=√D=(b-a)/2√3. s(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02.

Vazifa 2.

Eksponensial taqsimot x ≥ 0 uchun f(x) = 5e – 5x zichligi bilan berilgan. Talab qilinadi: a) taqsimot funksiyasining ifodasini yozing; b) test natijasida X (1;4) oralig'iga tushish ehtimolini toping; v) sinov natijasida X ≥ 2 bo'lish ehtimolini toping; d) M(X), D(X), s(X) ni hisoblang.

Yechim. 1. Shart berilganligi uchun eksponensial taqsimot , keyin X tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimot zichligi formulasidan l = 5 ni olamiz. Shunda taqsimot funksiyasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

2. Sinov natijasida X (1;4) oraliqga tushishi quyidagi formula bo‘yicha topiladi.
P(a< X < b) = e −λa − e −λb .
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Sinov natijasida X ≥ 2 formula bilan topilish ehtimoli: P(a)< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
P(X≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Eksponensial taqsimotni toping:

• M (X) = 1/l = 1/5 = 0,2 formula bo'yicha matematik kutish;
• formula bo'yicha dispersiya D (X) = 1/ l 2 = 1/25 = 0,04;
• s (X) = 1/l = 1/5 = 1,2 formula bo'yicha standart og'ish.

Bu masala uzoq vaqtdan beri batafsil o'rganilgan va eng keng tarqalgan usul 1958 yilda Jorj Box, Mervin Myuller va Jorj Marsaglia tomonidan taklif qilingan qutb koordinatalari usuli hisoblanadi. Bu usul quyidagi matematik kutilma 0 va dispersiya 1 bo'lgan mustaqil normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar juftini olish imkonini beradi:

Bu erda Z 0 va Z 1 kerakli qiymatlar, s = u 2 + v 2 va u va v tasodifiy o'zgaruvchilar (-1, 1) oraliqda bir xil taqsimlangan bo'lib, 0 sharti bajariladigan tarzda tanlangan.< s < 1.
Ko'pchilik bu formulalarni o'ylamasdan ishlatishadi va ko'pchilik ularning mavjudligiga shubha qilmaydi, chunki ular tayyor dasturlardan foydalanadilar. Ammo odamlarda savollar bor: “Bu formula qaerdan paydo bo'ldi? Nega bir vaqtning o'zida bir nechta miqdorni olasiz? ” Keyinchalik bu savollarga aniq javob berishga harakat qilaman.

Boshlash uchun, ehtimollik zichligi, tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot funktsiyasi va teskari funksiya nima ekanligini eslatib o'taman. Faraz qilaylik, ma'lum bir tasodifiy o'zgaruvchi mavjud bo'lib, uning taqsimoti quyidagi ko'rinishga ega bo'lgan f(x) zichlik funktsiyasi bilan belgilanadi:

Bu shuni anglatadiki, berilgan tasodifiy o'zgaruvchining qiymati (A, B) oraliqda bo'lish ehtimoli soyali maydonning maydoniga teng. Natijada, butun soyali maydonning maydoni bittaga teng bo'lishi kerak, chunki har qanday holatda tasodifiy o'zgaruvchining qiymati f funktsiyasini aniqlash sohasiga tushadi.
Tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi zichlik funksiyasining integrali hisoblanadi. Va bu holda, uning taxminiy ko'rinishi quyidagicha bo'ladi:

Bu erda ma'no shundaki, tasodifiy o'zgaruvchining qiymati B ehtimoli bilan A dan kichik bo'ladi. Natijada, funktsiya hech qachon kamaymaydi va uning qiymatlari intervalda yotadi.

Teskari funktsiya, agar asl funktsiyaning qiymati unga o'tkazilsa, asl funktsiyaga argument qaytaradigan funktsiyadir. Masalan, x 2 funksiya uchun teskari ildizni ajratib olish funksiyasi, sin(x) uchun arcsin(x) va hokazo.

Ko'pgina psevdor tasodifiy sonlar generatorlari chiqish sifatida faqat bir xil taqsimotni ishlab chiqarganligi sababli, ko'pincha uni boshqasiga aylantirish zarurati tug'iladi. Bunday holda, normal Gaussga:

Yagona taqsimotni boshqasiga aylantirishning barcha usullarining asosi teskari transformatsiya usulidir. U quyidagicha ishlaydi. Kerakli taqsimot funksiyasiga teskari funksiya topiladi va unga (0, 1) oraliqda bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdor argument sifatida beriladi. Chiqishda biz kerakli taqsimotga ega bo'lgan qiymatni olamiz. Aniqlik uchun men quyidagi rasmni taqdim etaman.

Shunday qilib, bir xil segment go'yo yangi taqsimotga mos ravishda surtiladi va teskari funktsiya orqali boshqa o'qga proyeksiyalanadi. Ammo muammo shundaki, Gauss taqsimotining zichligi integralini hisoblash oson emas, shuning uchun yuqoridagi olimlar aldashlari kerak edi.

X-kvadrat taqsimoti (Pirson taqsimoti) mavjud bo'lib, u k mustaqil normal tasodifiy o'zgaruvchilarning kvadratlari yig'indisining taqsimlanishidir. Va k = 2 bo'lganda, bu taqsimot eksponent hisoblanadi.

Bu shuni anglatadiki, agar to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi nuqta tasodifiy X va Y koordinatalariga normal taqsimlangan bo'lsa, u holda bu koordinatalarni qutb tizimiga (r, th) aylantirgandan so'ng, radiusning kvadrati (bosh nuqtadan nuqtagacha bo'lgan masofa) eksponensial qonun bo'yicha taqsimlanadi, chunki radiusning kvadrati koordinatalar kvadratlarining yig'indisidir (Pifagor qonuniga ko'ra). Samolyotdagi bunday nuqtalarning tarqalish zichligi quyidagicha bo'ladi:

Barcha yo'nalishlarda teng bo'lganligi sababli, th burchagi 0 dan 2p gacha bo'lgan oraliqda bir xil taqsimotga ega bo'ladi. Buning teskarisi ham to'g'ri: agar siz ikkita mustaqil tasodifiy o'zgaruvchidan (bir xil taqsimlangan burchak va eksponent ravishda taqsimlangan radius) foydalanib, qutb koordinatalari tizimidagi nuqtani aniqlasangiz, bu nuqtaning to'rtburchaklar koordinatalari mustaqil normal tasodifiy o'zgaruvchilar bo'ladi. Va bir xil teskari transformatsiya usulidan foydalangan holda bir xildan eksponensial taqsimotni olish ancha oson. Polar Box-Myuller usulining mohiyati shundan iborat.
Endi formulalarni chiqaramiz.

(1)

r va th ni olish uchun (0, 1) oraliqda bir xil taqsimlangan ikkita tasodifiy miqdorni hosil qilish kerak (ularni u va v deb ataymiz), ulardan birining taqsimlanishi (deylik v) eksponensialga aylantirilishi kerak. radiusni oling. Eksponensial taqsimot funktsiyasi quyidagicha ko'rinadi:

Uning teskari funktsiyasi:

Yagona taqsimot nosimmetrik bo'lganligi sababli, transformatsiya funksiya bilan bir xil ishlaydi

Xi-kvadrat taqsimot formulasidan kelib chiqadiki, l = 0,5. Ushbu funktsiyaga l, v ni almashtiring va radiusning kvadratini, keyin esa radiusning o'zini oling:

Birlik segmentini 2p ga cho'zish orqali burchakni olamiz:

Endi r va th ni formulalar (1) ga almashtiramiz va quyidagilarni olamiz:

(2)

Ushbu formulalar allaqachon foydalanishga tayyor. X va Y mustaqil bo'ladi va dispersiya 1 va matematik kutilma 0 bilan normal taqsimlanadi. Boshqa xususiyatlarga ega taqsimotni olish uchun funktsiya natijasini standart og'ish bilan ko'paytirish va matematik taxminni qo'shish kifoya.
Lekin aylanadagi tasodifiy nuqtaning to‘g‘ri burchakli koordinatalari orqali to‘g‘ridan-to‘g‘ri emas, balki bilvosita burchakni ko‘rsatish orqali trigonometrik funksiyalardan qutulish mumkin. Keyin ushbu koordinatalar orqali radius vektorining uzunligini hisoblash, so'ngra unga mos ravishda x va y ni bo'lish orqali kosinus va sinusni topish mumkin bo'ladi. Bu qanday va nima uchun ishlaydi?
Keling, birlik radiusli aylanada bir xil taqsimlangan nuqtalardan tasodifiy nuqtani tanlaymiz va bu nuqtaning radius vektori uzunligi kvadratini s harfi bilan belgilaymiz:

Tanlash (-1, 1) oraliqda bir xil taqsimlangan tasodifiy to‘rtburchaklar x va y koordinatalarini ko‘rsatish va aylanaga tegishli bo‘lmagan nuqtalarni, shuningdek, radius vektorining burchagi bo‘lgan markaziy nuqtani tashlash orqali amalga oshiriladi. aniqlanmagan. Ya'ni, 0 shart bajarilishi kerak< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

Biz maqolaning boshida bo'lgani kabi formulalarni olamiz. Bu usulning kamchiligi shundaki, u aylanaga kiritilmagan nuqtalarni tashlab yuboradi. Ya'ni, yaratilgan tasodifiy o'zgaruvchilarning faqat 78,5% dan foydalanish. Eski kompyuterlarda trigonometriya funktsiyalarining yo'qligi hali ham katta afzallik edi. Endi, bitta protsessor buyrug'i sinus va kosinusni bir zumda hisoblab chiqsa, menimcha, bu usullar hali ham raqobatlasha oladi.

Shaxsan menda hali ham ikkita savol bor:

• Nima uchun s qiymati teng taqsimlangan?
• Nima uchun ikkita normal tasodifiy o'zgaruvchilarning kvadratlari yig'indisi eksponent ravishda taqsimlanadi?

s radiusning kvadrati bo'lgani uchun (oddiylik uchun radiusni tasodifiy nuqtaning o'rnini ko'rsatadigan radius vektorining uzunligi deb atayman), biz birinchi navbatda radiuslar qanday taqsimlanganligini bilib olamiz. Doira teng ravishda to'ldirilganligi sababli, radiusi r bo'lgan nuqtalar soni r radiusli doira uzunligiga proportsional ekanligi aniq. Va aylananing atrofi radiusga proportsionaldir. Demak, radiuslarning tarqalish zichligi aylana markazidan uning chetlarigacha bir xilda ortadi. Zichlik funksiyasi esa (0, 1) oraliqda f(x) = 2x ko'rinishga ega. Grafik ostidagi rasmning maydoni bittaga teng bo'lishi uchun koeffitsient 2. Bu zichlik kvadratga aylantirilsa, u bir xil bo'ladi. Nazariy jihatdan bu holda zichlik funktsiyasini uning transformatsiya funktsiyasi hosilasiga (ya'ni x 2) bo'lish kerak. Va bu aniq sodir bo'ladi:

Agar oddiy tasodifiy o'zgaruvchi uchun xuddi shunday o'zgartirish amalga oshirilsa, uning kvadratining zichlik funktsiyasi giperbolaga o'xshash bo'ladi. Oddiy tasodifiy o'zgaruvchilarning ikkita kvadratini qo'shish esa qo'sh integratsiya bilan bog'liq bo'lgan ancha murakkab jarayondir. Va natija eksponensial taqsimot bo'lishini shaxsan men faqat amaliy usul yordamida tekshirishim yoki aksioma sifatida qabul qilishim kerak. Qiziqqanlar uchun esa ushbu kitoblardan bilim olib, mavzuni yaqindan ko'rib chiqishingizni maslahat beraman:

• Ventzel E.S. Ehtimollar nazariyasi
• Knut D.E. Dasturlash san'ati, 2-jild

Xulosa qilib aytganda, JavaScript-da oddiy taqsimlangan tasodifiy sonlar generatorini joriy qilish misoli:

Function Gauss() ( var tayyor = false; var second = 0,0; this.next = function(mean, dev) ( mean = mean == aniqlanmagan ? 0,0: mean; dev = dev == aniqlanmagan ? 1,0: dev; agar ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - 1,0; s = u * u + v * v; ) while (s > 1,0 || s == 0,0); var r = Math.sqrt(-2,0 * Math.log(lar) / s); this.second = r * u; this.ready = true; return r * v * dev + mean; ) ); ) g = new Gauss(); // obyekt yaratish a = g.next(); // qiymatlar juftligini yarating va birinchisini oling b = g.next(); // ikkinchisini oling c = g.next(); // yana bir juft qiymat yarating va birinchisini oling
Parametrlar o'rtacha (matematik kutish) va dev (standart og'ish) ixtiyoriydir. Men sizning e'tiboringizni logarifmning tabiiyligiga qarataman.