Usullari eng keskin pasayish va hatto uchun koordinatalari bo'yicha tushish kvadratik funktsiya talab qiladi cheksiz son iteratsiyalar. Biroq, kvadratik funktsiya uchun shunday tushish yo'nalishlarini qurish mumkin

• (3.12)
• (bu erda r - n o'lchovli vektor) simmetrik musbat aniq A matritsaga ega bo'lsa, pasayish jarayoni cheklangan miqdordagi qadamlarda to'liq minimal darajaga yaqinlashadi.

Ijobiy aniq matritsa vektor normasini quyidagicha kiritishga imkon beradi:

Ta'rif (3.13) ikkita vektorning skalyar ko'paytmasi x va y endi miqdorni bildiradi (x, Au). Ushbu nuqta mahsuloti ma'nosida ortogonal vektorlar

(x, Au) = 0 (3.14)

konjugat deyiladi (ma'lum A matritsaga nisbatan).

Bunga asoslanib katta guruh usullari: konjugat gradientlari, konjugat yo'nalishlari, parallel tangenslar va boshqalar.

Kvadrat funksiya uchun ular teng muvaffaqiyat bilan ishlatiladi. Algoritmning tafsilotlari sinchkovlik bilan tanlangan konjugat yo'nalishi usuli ixtiyoriy funktsiyalarga eng yaxshi umumlashtiriladi.

Keling, birinchi navbatda bu usulning kvadratik shaklga qanday qo'llanilishini ko'rib chiqaylik (3.12). Buning uchun bizga konjugat vektorlarning ba'zi xossalari kerak bo'ladi.

X i juft konjugat vektorlar sistemasi bo'lsin. Ushbu vektorlarning har birini me'yor (3.14) ma'nosida normallashtiramiz, keyin ular orasidagi munosabatlar shaklni oladi.

O'zaro konjugatsiyali vektorlar chiziqli mustaqil ekanligini isbotlaylik. Tenglikdan

matritsaning ijobiy aniqligiga zid keladi. Bu qarama-qarshilik bizning fikrimizni tasdiqlaydi. Bu shuni anglatadiki, n-konjugat vektorlar tizimi n-o'lchovli fazoda asosdir. Berilgan matritsa uchun o'zaro konjugatsiya vektorlaridan tashkil topgan cheksiz miqdordagi asoslar mavjud.

Keling, x i, 1 dyuymli konjugat asosni topamiz. Ixtiyoriy nuqtani tanlaymiz r 0 . Shu nuqtadan boshlab har qanday harakat konjugat asosga kengaytirilishi mumkin

Bu ifodani ga almashtirish o'ng tomoni formula (3.12), biz uni (3.15) asosning konjugatsiyasini hisobga olgan holda quyidagi shaklga aylantiramiz:

Oxirgi yig'indi atamalardan iborat bo'lib, ularning har biri yig'indining faqat bitta komponentiga to'g'ri keladi (3.16). Bu shuni anglatadiki, x i konjugat yo'nalishlaridan biri bo'ylab harakat qolganiga ta'sir qilmasdan, yig'indining faqat bitta a'zosini o'zgartiradi (3.17).

r 0 nuqtadan biz x i konjugat yo'nalishlarining har biri bo'ylab minimal darajaga muqobil tushishlarni amalga oshiramiz. Har bir pasayish o'z muddatini yig'indida (3.17) minimallashtiradi, shuning uchun kvadratik funktsiyaning minimaliga bir tushish siklini bajargandan so'ng, ya'ni cheklangan miqdordagi qadamlarda aniq erishiladi.

Konjugat asosni parallel tangens tekisliklar usuli yordamida qurish mumkin.

Muayyan chiziq x vektoriga parallel bo'lsin va bu chiziqdagi kvadrat funktsiya r 0 nuqtada minimal qiymatiga yetsin. Bu r = r 0 + bx chiziq tenglamasini (3.12) ifodaga almashtiramiz va funksiyaning minimal sharti bajarilishini talab qilamiz.

c(b) = F(r 0) + b 2 + b (x, 2Ar 0 + b),

va qo'ying (dts/db) b-0 = 0. Bu minimal nuqta bilan qanoatlanadigan tenglamani bildiradi:

(x, 2Ar 0 + b) = 0. (3.18)

Birinchisiga parallel bo'lgan boshqa chiziqda funktsiya r 1 nuqtada minimal qiymatni qabul qilsin, keyin xuddi shunday (x, 2Ar 1 + b) = 0 ni topamiz. Bu tenglikni (3.18) ayirib, hosil qilamiz;

(x, A(r 1 r 0)) = 0. (3.19)

Shunday qilib, ikkita parallel to'g'ri chiziqdagi minimal nuqtalarni bog'laydigan yo'nalish bu chiziqlar yo'nalishiga konjugatsiya qiladi.

Shunday qilib, har doim ixtiyoriy berilgan x vektoriga vektor konjugatini qurish mumkin. Buning uchun x ga parallel ikkita chiziq chizish va har bir chiziqda kvadrat shaklning minimalini topish kifoya (3.12). Bu minimalarni birlashtiruvchi r 1 r 0 vektori x ga konjugatdir. E'tibor bering, to'g'ri chiziq daraja chizig'iga ushbu to'g'ri chiziqdagi funktsiya minimal qiymatni qabul qiladigan nuqtada tegadi; Usulning nomi shu bilan bog'liq.

X i, 1 imn konjugat vektorlar sistemasi tomonidan hosil qilingan ikkita parallel m o'lchamli tekislik bo'lsin. Kvadrat funksiya bu tekisliklarda mos ravishda r 0 va r 1 nuqtalarda minimal qiymatiga yetsin. Shunga o'xshash mulohazalardan foydalanib, minimal nuqtalarni bog'lovchi r 1 r 0 vektorining barcha x i vektorlariga konjugat ekanligini isbotlash mumkin. Binobarin, agar konjugat vektorlarning to'liq bo'lmagan tizimi x i berilgan bo'lsa, u holda bu usul yordamida har doim bu tizimning barcha vektorlariga r 1 r 0 konjugat vektorini qurish mumkin.

Keling, konjugat asosni qurish jarayonining bir tsiklini ko'rib chiqaylik. Oxirgi m vektorlar o'zaro konjugat bo'lgan asos allaqachon qurilgan bo'lsin va birinchi n-m vektorlar oxirgi konjugat emas. Bazisning oxirgi m vektorlari tomonidan hosil qilingan ba'zi m o'lchovli tekislikdagi kvadratik funktsiyaning (3.12) minimalini topamiz. Ushbu vektorlar o'zaro konjugatsiyalanganligi sababli, buning uchun r 0 nuqtasini o'zboshimchalik bilan tanlash va undan ushbu yo'nalishlarning har biri bo'ylab (minimalgacha) navbatma-navbat tushishni amalga oshirish kifoya. Bu tekislikdagi minimal nuqtani r 1 bilan belgilaymiz.

Endi r 1 nuqtadan biz birinchi n - m bazis vektorlari bo'ylab muqobil tushishni amalga oshiramiz. Bu tushish traektoriyani birinchi tekislikdan olib chiqib, uni qandaydir r 2 nuqtasiga olib boradi. r 2 nuqtadan biz yana oxirgi m yo'nalish bo'ylab pastga tushamiz, bu esa r 3 nuqtasiga olib keladi. Bu tushish birinchi tekislikka parallel bo'lgan ikkinchi tekislikdagi minimalni aniq topishni anglatadi. Binobarin, r 3 - r 1 yo'nalishi asosning oxirgi m vektorlari bilan konjugatdir.

Agar asosdagi konjugat bo'lmagan yo'nalishlardan biri r 3 - r 1 yo'nalishi bilan almashtirilsa, yangi asosda allaqachon m + 1 yo'nalish o'zaro konjugatsiyaga ega bo'ladi.

Keling, tsikllarni ixtiyoriy asosdan hisoblashni boshlaylik; u uchun m=1 deb faraz qilishimiz mumkin. Bir siklda tasvirlangan jarayon asosdagi konjugat vektorlar sonini bittaga oshiradi. Bu shuni anglatadiki, n - 1 tsiklda barcha bazis vektorlari konjugatsiyaga aylanadi va keyingi tsikl traektoriyani kvadrat funktsiyaning minimal nuqtasiga olib boradi (3.12).

Konjugat asos tushunchasi faqat kvadratik funktsiya uchun aniqlangan bo'lsa-da, yuqorida tavsiflangan jarayon ixtiyoriy funktsiyaga rasmiy ravishda qo'llanilishi mumkin bo'lgan tarzda tuzilgan. Albatta, bu holda har qanday joyda kvadratik funktsiyaning ma'lum bir turi bilan bog'liq formulalardan foydalanmasdan, parabola usuli yordamida yo'nalish bo'yicha minimalni topish kerak (3.12).

Minimalning kichik qo'shnisida etarli darajada silliq funktsiyaning o'sishi odatda (3.2) turdagi simmetrik musbat aniq kvadrat shaklda ifodalanadi. Agar bu tasvir to'g'ri bo'lsa, u holda konjugat yo'nalishi usuli cheklangan miqdordagi qadamlarda birlashadi. Ammo vakillik taxminiy, shuning uchun qadamlar soni cheksiz bo'ladi; lekin bu usulning minimal yaqin yaqinlashuvi kvadratik bo'ladi.

Kvadrat konvergentsiya tufayli konjugat yo'nalish usuli minimalni yuqori aniqlik bilan topishga imkon beradi. Chiziqli konvergentsiyaga ega usullar odatda ekstremal koordinata qiymatlarini aniqroq aniqlaydi.

Konjugat yo'nalishlari usuli eng ko'p ko'rinadi samarali usul tushish U degenerativ minimal va eruvchan jarliklar bilan yaxshi ishlaydi va rel'efning zaif eğimli qismlari - "platolar" va ko'p sonli o'zgaruvchilar bilan - yigirmatagacha.

Klassik mexanika va elektrodinamika ularni atom hodisalarini tushuntirish uchun qo'llashga harakat qilganda, tajribaga keskin zid bo'lgan natijalarga olib keldi. Bunga eng yorqin misol elektronlar yadro atrofida klassik orbitalarda harakatlanadigan atom modeliga klassik elektrodinamikani qo'llashga urinishdir. Bunday harakatda, tezlanish bilan zaryadlarning har qanday harakatida bo'lgani kabi, elektronlar elektromagnit to'lqinlar shaklida doimiy ravishda energiya chiqarishi kerak va oxir-oqibat muqarrar ravishda musbat zaryadlangan yadroga tushadi. Shunday qilib - klassik elektrodinamika nuqtai nazaridan - atom beqaror. Ko'rib turganimizdek, bu tezis haqiqatga to'g'ri kelmaydi. Nazariya va eksperiment o'rtasidagi bunday chuqur qarama-qarshilik mikroob'ektlarni tavsiflash asosiy klassik tushunchalar va qonunlarni tubdan o'zgartirishni talab qilishini ko'rsatadi.

Bir qator eksperimental ma'lumotlardan (masalan, elektron difraksiyasi) atom hodisalarini boshqaradigan mexanika - kvant mexanikasi klassik mexanika g'oyalaridan tubdan farq qiladigan harakat haqidagi g'oyalarga asoslanishi kerakligi kelib chiqadi. Kvant mexanikasida zarrachalar traektoriyasi va demak, boshqa dinamik xarakteristikalar tushunchasi mavjud emas. BU TEZIS GEYZENBERG NOANIQLIK PRINSIBIDA TUZILGAN:

Mikroob'ektning koordinatasini va impulsini bir vaqtning o'zida hech qanday aniqlik bilan o'lchash mumkin emas:

DxDp³ h (II.1)

Shuni ta'kidlash kerakki (va bu haqda keyinroq muhokama qilinadi), noaniqlik munosabati nafaqat koordinata va momentumni, balki bir qator boshqa miqdorlarni ham bog'laydi.

Endi kvant mexanikasining matematik apparatini ko'rib chiqishga qaytaylik.

Operator A har bir funktsiyaga muvofiq qoidani chaqirish odatiy holdir f funksiyasiga mos keladi j :

j= A f (II.3)

Operatorlarning eng oddiy misollari: kvadrat ildiz, differentsiatsiya va boshqalar.

Har bir funktsiyaga har qanday operator ta'sir qila olmaydi, masalan, differensial bo'lmagan funksiyaga farqlash operatori ta'sir qila olmaydi; Demak, har qanday operatorni faqat ma'lum bir funksiyalar sinfi bo'yicha aniqlash mumkin va u bir funktsiyani boshqasiga o'tkazish qoidasigina emas, balki u bajaradigan funktsiyalar to'plami ham ko'rsatilgan bo'lsa, aniqlangan hisoblanadi.

Raqamlar algebrasiga o'xshatib, operatorlar algebrasini kiritishimiz mumkin:

1) Yig'indi yoki ayirma operatorlari

(A ± B ) · f = A · f ± B · f (II.4)

2) Operatorlar mahsuloti

AB · f = A (B · f ) (II.5)

bular. birinchi navbatda funksiyada f operator harakat qilmoqda B , ba'zi yangi funktsiyani hosil qiladi, keyin esa operator tomonidan amalga oshiriladi A . IN umumiy holat operator harakati AB operatorning harakatlariga mos kelmaydi B.A. .

Haqiqatan ham, agar A=d/dx Va B=x ,

Bu AB f=d/dx (xf )= f+xdf/dx ,

A BAf=xdf/dx¹f+xdf/dx

Agar AB=BA, keyin operatorlar kommutatsiya deb ataladi va agar AB-BAº(A,B) (II.6), keyin ular qatnovga bormaydilar. Qavs ichidagi ifoda kommutator deb ataladi.

Kvant mexanikasida odatda chiziqli o'z-o'zidan qo'shilish (yoki Hermitian) operatorlari qo'llaniladi. Chiziqlilik xususiyati shuni anglatadi

A(c 1 f 1 +c 2 f 2 )f =c 1 Af 1 +c 2 Af 2 (II.7)

Qayerda c 1 Va c 2 - konstantalar, va f 1 Va f 2 - operatori aniqlangan ixtiyoriy funksiyalar A. Bu matematik xususiyat superpozitsiya printsipi bilan chambarchas bog'liq.

O'z-o'zidan qo'shilgan Hermit operatori quyidagi tenglikka ega bo'lgan operatordir:

òf 1 * (x) (Af 2 (x)) dx = òf 2 (x) (A * f 1 * (x)) dx (II.8)

deb taxmin qilinadi A da belgilangan f 1 * (x) Va f 2 (x) va (1.8) ga kiritilgan barcha integrallar mavjud. Ermitlik talabi kvant mexanikasi uchun juda muhim va quyida biz nima uchun ekanligini bilib olamiz.

Yuqorida aytib o'tilganidek, operatorning harakati bir funktsiyani boshqasiga aylantirishga qisqartiriladi, ammo operatorning harakati natijasida asl funktsiya o'zgarmasligi yoki doimiyga ko'paytirilishi holatlari ham mumkin. Eng oddiy misol:

Bu har bir operator deb bahslasha mumkin A solishtirish mumkin chiziqli tenglama turi:

Af = af (II.9) ,

Qayerda a = const. a operatorning xos qiymati, va f - operatorning o'z funktsiyasi. Bu tenglama xususiy qiymat tenglamasi deyiladi. (1.9) tenglama notrivial yechimlarni qabul qiladigan konstantalarning qiymatlariga xos qiymatlar deyiladi. Ular birgalikda diskret, uzluksiz yoki aralash bo'lishi mumkin bo'lgan xususiy qiymatlar spektrini hosil qiladi. Har bir qiymat bir yoki bir nechta xos funktsiyalarga mos keladi f T , va agar faqat bitta funktsiya bitta o'ziga xos qiymatga to'g'ri kelsa, u degenerativ emas, agar bir nechta bo'lsa, degenerativ hisoblanadi.

Xususiy funksiyalar va xos qiymatlar Hermitiyalik (o'z-o'zidan qo'shilish) operatorlari bir qator xususiyatlarga ega:

1. Bunday operatorlarning xos qiymatlari haqiqiydir.

2. O'z funktsiyalari f 1 Va f 2 turli xos qiymatlarga mansub bunday operatorlar Bilan 1 Va c 2 mos ravishda bir-biriga ortogonal, ya'ni. ò f 1 * (x) f 2 (x) dx = 0 (II.10)

3. Ular umumiy holatda ortonormallik sharti bilan tavsiflanadigan maxsus normalizatsiya omilini kiritish orqali birlikka normallashtirilishi kerak: ò f m * (x) f n (x) dx =d mn , d mn =0 da m ¹ n Va d mn =1 da m = n (II.11)

4. Ikki operator bo'lsa A Va B xos funktsiyalarning umumiy tizimiga ega bo'lsa, ular almashtiriladi va qarama-qarshi gap ham to'g'ri bo'ladi

5. Germit operatorining xos funktsiyalari to'liq ortonormal to'plamni hosil qiladi, ya'ni. Bir xil o'zgaruvchilar sohasida aniqlangan har qanday funktsiya operatorning o'ziga xos funktsiyalari qatori sifatida ifodalanishi mumkin. A:

(II.12),

Qayerda c n- ba'zi doimiylar va bu kengayish aniq bo'ladi.

Oxirgi xususiyat kvant mexanikasi apparati uchun juda muhimdir, chunki uning asosida operatorlarning matritsali tasvirini qurish va chiziqli algebraning kuchli apparatini qo'llash mumkin.

Haqiqatan ham, yildan beri (II.12) mahalliy funktsiyalar f n (x) ma'lum deb hisoblanadi, keyin funksiyani topish uchun F(x) barcha kengayish koeffitsientlarini topish zarur va etarli ( c n). Keling, ba'zi operatorlarni ko'rib chiqaylik B, bu funktsiyaga ta'sir qiladi c(x) va uni o'tkazadi F(x):

F(x) = Bc(x) (II.13)

Endi funksiyalarni tasavvur qilaylik F(x) Va Bc(x) qatorlar shaklida (II.12):

(II.14)

va ularni joylashtiring (II.13)

(II.15)

(II.16)

Keling, tenglikning ikkala tomonini ko'paytiramiz f k * (x) va ortonormallik shartlarini hisobga olgan holda integrallash:

Tenglik (II.17) funktsiyadan o'tishni tavsiflaydi c(x) faoliyat ko'rsatish F(x), bu barcha koeffitsientlarni belgilash orqali amalga oshiriladi M kn. Barcha miqdorlar to'plami M kn operator bor B matritsali tasvirda va shunday yozilishi mumkin

Shunday qilib, har qanday o'zboshimchalik operatori B matritsada tasvirni kvadrat raqamlar jadvali, matritsa sifatida ko'rsatish mumkin va bu tasvir faqat operator turi va bazis funktsiyalarining dastlabki to'plami bilan aniqlanadi.

Endi matritsalar nazariyasining asosiy qoidalarini qisqacha eslaylik. Umuman olganda, matritsa haqiqiy yoki murakkab sonlar to'plamidir a ij, to'rtburchaklar jadvalda joylashtirilgan matritsa elementlari deb ataladi

Indekslar i Va j element ekanligini ko'rsating a ij chorrahasida joylashgan i th qator va j th ustun. Agar matritsa mavjud bo'lsa n chiziqlar va m ustunlar bo'lsa, u o'lchamga ega deyiladi ( n x m), Agar n = m, keyin matritsa kvadrat deb ataladi. O'lchamdagi to'rtburchaklar matritsasi ( 1 x m) qator vektori deyiladi va ( n x1) ustun vektoridir. Matritsa elementi a ij da i = j diagonal deyiladi, diagonallardan tashqari barcha elementlari nolga teng bo'lgan matritsa diagonal, barcha elementlari bittaga teng bo'lgan diagonal matritsa birlik deyiladi. Diagonal elementlarning yig'indisi iz deyiladi: Sp.

Matritsa algebrasini qurish oson, u quyidagi qoidalarga qisqartiriladi:

1. Matritsalar va agar hamma uchun teng deyiladi i Va j tenglik to'g'ri: a ij = b ij

2. Matritsalar va o‘lchamlar yig‘indisi ( n x m) o'lchov matritsasi bo'ladi ( n x m) hamma uchun shunday i Va j tenglik to'g'ri: c ij = a ij + b ij

3. Matritsaning ixtiyoriy songa ko‘paytmasi a hamma uchun bir xil o'lchamdagi matritsa bo'ladi i Va j tenglik to'g'ri: c ij = aa ij

4. O'lchov matritsasi mahsuloti ( n x m) o'lchamlar matritsasiga ( m x p) o'lchamli matritsa deb ataladi ( n x p) shunday

(II.20)

5. Agar matritsa barcha matritsa elementlarini o'z ichiga olsa, kompleks konjugat deyiladi a ij murakkab konjugatlar bilan almashtiriladi a ij * . Agar matritsa satrlarni ustunlar bilan almashtirish orqali olingan bo'lsa va teskarisiga ko'chirilgan deb aytiladi: a ’ ij = a ji. Matritsaga ko'chirilgan va murakkab konjugat konjugat deb ataladi va belgilanadi

ULANGAN FUNKSIYA

Tegishli funktsiyalar sinfi uchun ma'lum involutiv operatorning aniq aksi bo'lgan funktsiyalar nazariyasi tushunchasi.
1) S. f. murakkab qiymatli funktsiyaga . chaqirdi qiymatlari f ning qiymatlari bilan murakkab konjugatsiyalangan funktsiya.
2) S. f. garmonik funktsiyaga - qarang Konjugat garmonik funksiyalar.
3) S. f. f(x) funksiya bo'yicha k -periodik integral deyiladi. funktsiyasi

u mavjud va deyarli hamma joyda -sum yoki Abel-Puasson yig'indisiga to'g'ri keladi konjugat trigonometrik qator.
4) S. f. faoliyat ko'rsatish duallikdagi X vektor fazosida aniqlangan (bilinear shaklga nisbatan ) vektor fazosi bilan Y- munosabat bilan berilgan Y ustidagi funktsiya

Belgilangan funksiya uchun Y, konjugat funksiyasi ham xuddi shunday aniqlanadi.

S. f. bitta o'zgaruvchining funksiyasiga funksiya bo'ladi

S. f. faoliyat ko'rsatish Xilbert fazosida skalyar mahsulot funksiya hisoblanadi S. f. normal holatga normallashtirilgan fazoda funksiya bo'ladi N*(y) , nolga teng bo'lsa va teng bo'lsa
Agar f silliq bo'lsa va cheksizlikda tezroq o'sadi chiziqli funksiya, keyin f* dan boshqa narsa emas Legendre funktsiyalari f. Bir o'lchovli qat'iy qavariq funksiyalar uchun (*) ga ekvivalent ta'rif V. Yang tomonidan boshqa atamalar bilan berilgan. V. Jung S. f.ni aniqlagan. faoliyat ko'rsatish

bu erda uzluksiz va qat'iy ortib boruvchi, munosabat bilan

bu yerda bir o‘lchovli funksiyalar uchun Ta’rifga (*) teskari funksiya birinchi marta S. Mandelbroyt tomonidan, chekli o‘lchovli holatda – V. Fenxel tomonidan, cheksiz o‘lchamli holatda – J. Moreau va A. Brønsted tomonidan taklif qilingan. . Qavariq funksiya uchun unga n konjugat, Yang

S. funksiyasi qavariq yopiq funksiyadir. Konjugatsiya operatori*: to'g'ri konvekslar to'plamini noyob tarzda ko'rsatadi yopiq funktsiyalar X on Y (Fenchel - Moreau) dagi to'g'ri qavariq yopiq funktsiyalar to'plamidir.
Batafsil ma'lumot uchun va qarang.
Shuningdek qarang Qavariq tahlili, Yordam funktsiyasi, Ikkilik ekstremal masalalarda va konveks tahlilida.

Lit.: Joung W. H., lProc. Roy. Soc. A

Matematik ensiklopediya. - M.: Sovet Entsiklopediyasi.

I. M. Vinogradov.

1977-1985 yillar. Boshqa lug'atlarda "TA'MIRLANGAN FUNCTION" nima ekanligini ko'ring:

X vektor fazoda yotgan A to'plamning tayanch funksionali Y vektor fazoda aniqlangan sA funksiya bo'lib, u bilan munosabat bilan duallik qiladi. Masalan, O. f. birlik konteyneri ...... da ko'rib chiqilgan normallashtirilgan bo'shliqda. Matematik entsiklopediya Differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar yechimlarining integral tasviri bilan bog'liq funksiya. G. f. chiziqli differensial tenglama uchun chegaraviy masala Boshqa lug'atlarda "TA'MIRLANGAN FUNCTION" nima ekanligini ko'ring:

fundamental yechim Boshqa lug'atlarda "TA'MIRLANGAN FUNCTION" nima ekanligini ko'ring:

bir jinsli chegara shartlarini qanoatlantiruvchi tenglamalar.... ... Anti-analitik funktsiya, bir yoki bir nechta murakkab o'zgaruvchilarning golomorf funktsiyaga murakkab konjugat bo'lgan funktsiyasi (qarang. Analitik funktsiya). E. D. Solomentsev ... Boshqaruv, funksiya u(t), tarkibiga kiradi Boshqa lug'atlarda "TA'MIRLANGAN FUNCTION" nima ekanligini ko'ring:

differensial tenglama Boshqa lug'atlarda "TA'MIRLANGAN FUNCTION" nima ekanligini ko'ring:

har bir daqiqada to'daning qiymatlari o'zboshimchalik bilan tanlanishi mumkin. Odatda, har bir t uchun u(t) ning oʻzgarish diapazoni boʻyicha cheklov qoʻyiladi, bunda U... ... da berilgan yopiq toʻplamdir. Boshqa lug'atlarda "TA'MIRLANGAN FUNCTION" nima ekanligini ko'ring:

Cheksiz kichik raqamlar shaklini saqlaydigan doimiy displey. Asosiy tushunchalar. n o'lchovli Evklid fazosining G mintaqasini n o'lchovli Evklid fazosiga w=f(z) uzluksiz xaritalash deyiladi. bir nuqtada mos bo'lsa, bu nuqtada ... 1) Matematikning transformatsiyasi dual fazodagi ob'ektlar orasidagi duallikni amalga oshiradigan tahlil (analitik geometriyadagi proyektiv ikkilik va qavariq geometriyadagi qutbli ikkilik bilan birga). Bir tekis ishlasin,...... 1) P. t konjugativ funktsiyalar haqida: davriy bo'lsin Boshqa lug'atlarda "TA'MIRLANGAN FUNCTION" nima ekanligini ko'ring:

uzluksiz funksiya Boshqa lug'atlarda "TA'MIRLANGAN FUNCTION" nima ekanligini ko'ring:

davri 2p va f(t) bilan trigonometrik konjugatsiya funksiyasi bilan; u holda f(t).0 dagi ko'rsatkichga nisbatan Lipschitz shartini qanoatlantirsa Boshqa lug'atlarda "TA'MIRLANGAN FUNCTION" nima ekanligini ko'ring:

Ikkilamchi integral bu yerda haqiqiy oʻzgaruvchilarning berilgan (umuman aytganda, kompleks qiymatli) funksiyasi, kvadrat integrallanuvchi, ixtiyoriy (shuningdek kompleks qiymatli) funksiyalar, kvadrat integrallanuvchi va kompleks konjugat funksiya c. Agar,…… Boshqa lug'atlarda "TA'MIRLANGAN FUNCTION" nima ekanligini ko'ring:

1 1 4 ILOVA B: NAZARIY TUSHUNCHA

Birlashtirilgan quyi tizimlar printsipi

Har qanday moddiy tizimni aniqlash bilan, ushbu tizim mavjud bo'lgan tegishli muhit avtomatik ravishda paydo bo'ladi. Atrof-muhit har doim tizimdan kattaroq bo'lganligi sababli, tizimning evolyutsiyasi atrof-muhitdagi o'zgarishlarga bog'liq. Evolyutsiya g'oyasi ikkita asosiy va qaysidir ma'noda muqobil jihatlarni nazarda tutadi: saqlash (C) va o'zgarish (I). Agar ulardan biri yo'q bo'lsa, unda evolyutsiya yo'q: tizim yo yo'qoladi yoki barqaror. O'zgarish va saqlanish nisbati (I/S) tizimning evolyutsion plastikligini tavsiflaydi. E'tibor bering, bu shartlar muqobildir: qancha ko'p Va, kamroq C va aksincha, chunki ular bir-birini birlikka to'ldiradi: C + I = 1.

Faqat birinchi jihatni - saqlashni yaxshiroq amalga oshirish uchun tizim barqaror, barqaror, o'zgarmas bo'lishi, ya'ni imkon qadar (geometrik ma'noda emas, balki axborot ma'nosida) buzg'unchidan uzoqroq bo'lishi foydaliroqdir. atrof-muhit omillari (B.1-rasm). Biroq, xuddi shu omillar bir vaqtning o'zida atrof-muhit o'zgarishlarining yo'nalishi haqida foydali ma'lumot beradi. Va agar tizim ularga moslashishi, atrof-muhit o'zgarishiga qarab o'zgarishi kerak bo'lsa (ikkinchi jihat), u sezgir, o'zgaruvchan va o'zgaruvchan bo'lishi kerak, ya'ni zararli atrof-muhitga "yaqinroq" (axborot ma'nosida) bo'lishi kerak. imkon qadar omillar. Binobarin, tizim, bir tomondan, atrof-muhitdan "uzoqroq", boshqa tomondan, "yaqinroq" bo'lishi kerak bo'lgan ziddiyatli vaziyat mavjud.

Atrof-muhit muammosi

O'zgartirish (foydali ma'lumot olish) uchun siz "yaqinroq" bo'lishingiz kerak

Mumkin echimlar

"Optimal masofada" bo'ling

Ikki bog'liq quyi tizimga bo'ling

Guruch. B.1 Tizim va atrof-muhit o'rtasidagi munosabat

Birinchi mumkin bo'lgan yechim: umuman tizim atrof-muhitdan optimal "masofada" bo'lishi kerak, I/C ning ma'lum bir kompromis optimumini tanlashi kerak Ikkinchi yechim: ikkita birlashtirilgan quyi tizimga bo'linib, bittasini "uzoqda" olib tashlang atrof-muhit, va boshqa "yaqinroq" harakat. Ikkinchi yechim tizimni saqlash (C) va o'zgartirish (I) uchun qarama-qarshi talablarni olib tashlaydi va bir vaqtning o'zida ikkalasini ham maksimal darajada oshirishga imkon beradi, bu esa butun tizimning barqarorligini oshiradi. Bu xulosa yangi kontseptsiya asosida yotadi.

ILOVA B: NAZARIY TUSHUNCHA 1 1 5

BOG'LANGAN QO'YI TIZIMLAR PRINSIBI

OʻZGARCHI MUHITDA RIVOJLANAYOTGAN ADAPTİV TIZIMLARNING KONSERVATIV VA ISHLAB CHIQISHI IXtisoslashgan ikkita bogʻlangan quyi tizimlarga DIFFERENSIYALANISHI ULARNING BARARARLILIGINI ORTADI.

Ichki va tashqi quyi tizimlarni ajratish geometrik (morfologik) ma'noda emas, balki informatsion ma'noda tushunilishi kerak, ya'ni atrof-muhitdan unda sodir bo'lgan o'zgarishlar to'g'risidagi ma'lumotlar oqimi birinchi navbatda tashqi quyi tizimlarga tushadi ("RAM"). ”), keyin esa tizimning ichki xotirasiga (“doimiy xotira”).

Ushbu umumiy shaklda kontseptsiya o'ziga xos tabiatidan qat'i nazar, rivojlanayotgan, moslashuvchi tizimlar uchun amal qiladi - biologik, texnik, o'yin yoki ijtimoiy. Rivojlanayotgan, moslashuvchi tizimlar orasida ikkita birlashtirilgan quyi tizimlardan iborat tuzilmalar tez-tez paydo bo'lishini kutish mumkin. Tizim "dushmanning xatti-harakati" (atrof-muhit) ni kuzatishga majbur bo'lgan barcha holatlarda va shunga muvofiq o'z "xulq-atvori" ni qurishga majbur bo'lganda, differentsiatsiya, xizmatlarning konservativ va operativ bo'linishi barqarorlikni oshiradi. Armiya razvedka otryadlarini ajratadi va ularni dushmanni kutib olish uchun turli yo'nalishlarga jo'natadi. Kemada keel (konservativ xizmat) va alohida rul (operativ), samolyot-doimiy samolyotlar va aileronlar mavjud; raketa stabilizatorlari va rullari.

Binar konjugatli differensiallanishning umumiy xususiyatlari

Evolyutsiyaning asosiy boshqaruvi bo'lgan birlashtirilgan quyi tizimlar paydo bo'lishidan oldin, axborot oqimi to'g'ridan-to'g'ri muhitdan tizimga o'tdi: E → S. Operatsion quyi tizimlar paydo bo'lgandan so'ng, ular birinchi bo'lib atrof-muhitdan ma'lumot oladi: muhit → operatsion → konservativ quyi tizimlar, E → o → k. Shunung uchun yangi quyi tizim har doim ishlaydi va

konservativ quyi tizim va atrof-muhit o'rtasida paydo bo'ladi.

Unitar va binar-konjugat tizimlarning asosiy farqi ularning atrof-muhit bilan axborot aloqasi shaklida. Birinchisi uchun axborot atrof-muhitdan to'g'ridan-to'g'ri tizimning har bir elementiga oqib boradi, ikkinchisi uchun esa birinchi navbatda operatsion quyi tizim elementlariga va ulardan konservativ quyi tizim elementlariga oqib boradi.

Dixronizm (asinxroniya) va dimorfizm (assimetriya) bir-biri bilan chambarchas bog'liq: bir xil elementlar tizimi ikki qismga bo'linganda, ular sifat jihatidan bir hil bo'lsa, na dimorfizm, na dikronizm (B.2-rasm). Ammo ulardan biri rivojlana boshlagach, dimorfizm ham, dikronizm ham bir vaqtda paydo bo'ladi. Morfologik o'q bo'ylab bu "barqaror yadro" (SC) va "labil qobiq" (LP) strukturasini tashkil etuvchi ikkita shakldir (B.3-rasm). Ushbu tuzilma konservativ quyi tizimni muqobil ekologik omillardan, masalan, past va yuqori haroratlardan himoya qiladi.

1 1 6 ILOVA B: NAZARIY TUSHUNCHA

Barcha evolyutsion innovatsiyalar birinchi navbatda operatsion quyi tizimda paydo bo'ladi, u erda sinovdan o'tadi, shundan so'ng (ko'p avlodlardan keyin) tanlanganlar konservativ quyi tizimda tugaydi. Operatsion quyi tizimning evolyutsiyasi konservativ tizimga qaraganda erta boshlanadi va tugaydi. Shuning uchun, xronologik o'q bo'ylab ularni "avangard" deb hisoblash mumkin va

"orqa qo'riqchi" (B.4-rasm).

"Tizim-muhit" o'qi bo'ylab tizim "barqaror yadro" va "labil qobiq" ga bo'linadi.

Vaqt o'qi bo'yicha operatsion quyi tizimni konservativ tizimga nisbatan "avangard" deb hisoblash mumkin.

Axborot oqimi

Chorshanba fronti

Konservativ operatsion

Konservativ operatsion

Axborot oqimi

Saqlash va o'zgartirishning muqobil vazifalari uchun quyi tizimlarning bunday bo'linishi va ixtisoslashuvi tirik tizimlar evolyutsiyasining asosiy usulini - ma'lum ma'noda sinov va xato usulini amalga oshirish uchun maqbul sharoitlarni ta'minlaydi. Operativ xotirada namunalar kontsentratsiyasi bilan xatolar va topilmalar ham u erda lokalizatsiya qilinadi. Bu tizimga imkon beradi

muvaffaqiyatsiz echimlarni davom ettirish xavfisiz evolyutsion muammolarni hal qilishning turli variantlarini sinab ko'ring.

Konservativ va operatsion quyi tizimlarga bo'linish mutlaq emas, balki nisbiydir. Quyi tizimlarning ketma-ket ketma-ketligi bo'lishi mumkin: a, b, g,…..ʼn, bu erda eng konservativ (asosiy) bo'g'in a, eng operativi esa ō. Va qator ichida, har bir juftlikda, chapda konservativ quyi tizim, o'ngda operatsion quyi tizim (elektrokimyoda bir qator metall kuchlanishlari kabi).

Yangi ekologik ma'lumotlarning operatsion quyi tizimga kirishi uchun uning elementlarining fenotipik dispersiyasi konservativ quyi tizim elementlarinikidan kengroq bo'lishi kerak, keyin ularning yaroqliligi past va tanlash koeffitsienti ikkinchisidan yuqori bo'ladi. Buning uchun ular bir xil reaktsiya normasiga ega bo'lishi kerak. Tizimning saqlanishi ko'pincha o'zgarishdan ko'ra muhimroq bo'lganligi sababli (chunki ikkinchisining yo'qligi turg'unlikka tahdid soladi, birinchisi esa yo'q bo'lib ketish), bolalar quyi tizimlari teng emas. Konservativ quyi tizim operatsion tizimdan muhimroq va qimmatroqdir. U onalik, unitar tizimning ba'zi xususiyatlari va funktsiyalarini saqlab qoladi, operatsion quyi tizim esa yangilarini oladi. Shuning uchun binar farqlashning evolyutsion ma'nosini tushunish uchun faqat operatsion quyi tizimlarning ma'nosini tushunish kifoya.

ILOVA B: NAZARIY TUSHUNCHA 1 1 7

FENOTIPIK VARIANSIYA OSHIRIYoTI KO‘K TIZIMGA KIRISH UCHUN YANGI EKOLOGIK MA’LUMOTLAR UCHUN

UNING ELEMENTLARI KONSEVATIV QO'YI TIZIMINING ELEMENTLARIDAN KENGROQ VA REAKSIYA NORMASI TOR BO'LISHI KERAK.

Quyi tizimlar (OP CP) o'rtasida ma'lumotni samarali uzatish uchun operatsion quyi tizim elementlari, shuningdek, konservativ elementlarga qaraganda kengroq "kanal kesimi" ga ega bo'lishi kerak.

Quyi tizimlarning asinxron evolyutsiyasi

Tizimning evolyutsiyasi (S) atrof-muhit (E), ES bilan belgilanadi. Atrof-muhitdan keladigan ma'lumotlar oqimi tizimni o'zgartirishga majbur qiladigan o'ziga xos ekologik potentsial rolini o'ynaydi. Unitar tizimlar elementlarining tarqalishining ortishi, ertami-kechmi, avtomatik ravishda ularning konservativ va operatsion quyi tizimlarga differensiallanishiga olib keladi. Agar atrof-muhit potentsialini elektr potensiali bilan, unitar tizimni lampochka bilan solishtiradigan bo'lsak, u holda ikkilik tizim tok manbaiga parallel yoki ketma-ket ulanishi mumkin bo'lgan ikkita lampochkadir (B.5-rasm). Bu unitar tizimlarda bo'lmagan mutlaqo yangi imkoniyatdir.

Guruch. B.5 Unitar tizimlar (AQSh) va ikkilik bo'lmagan tizimlarning (BNS) sinxron evolyutsiyasi

Parallel zanjirning analogi. Ikkilik konjugat differentsiatsiyasining asinxron evolyutsiyasi (BCD) ketma-ket sxemaning analogidir. Jingalak o'qlar evolyutsiya yo'nalishini, oddiy o'qlar elektronlar va axborot oqimini ko'rsatadi (Geodakyan, 2005).

Ko'paytirish va assimetriyaning uchta asosiy usulining uchta diagrammasi-modellari. Bitta lampochkaning sxemasi aseksual usulning analogidir, parallel sxema germafrodit usulida va ketma-ket sxema dioik (va assimetrik miya) bilan o'xshashdir.

Tegishli funktsiyalar. Subdifferensiallar. Minimax printsipi. Proyektiv duallik bo‘yicha masalalar 2014-yil 18-aprel (1) p (a) |x|p , p ≥ 1 (b) ex−1 (c) max(|x|, x2 ) (d) funksiyalarning konjugatlarini toping. f (x) = 12 hQx, xi + hb, xi + c, Q - simmetrik musbat d × d matritsa, b, x ∈ Rd, c ∈ R (e) f (x) = ln(1 + ex1 + · · · + exd) (f) max(x 1 , · · · , xn ) √ (g) 1 + x2 (h) dA , bu erda A - Rd va dA (x) = 0, agar x ∈ A, dA bo'lsa (x) = +∞ agar x∈ /A (i) hA , bu erda A Rd va hA (y) = sup(hx, yi, x ∈ A) dagi to'plamdir. (2) p p hx, yi ≤ 1 + |x|2 − 1 − |y|2 , (3) (4) (5) (6) x, y ∈ Rd , |y| tengsizlikni isbotlang. ≤ 1. Qachon aniq tenglikka erishiladi? Grafigi qavariq ko‘pburchak bo‘lgan funksiya funksiya bilan qanday konjugatsiyalanadi? R+ ×R+ da uzunligi 1 bo‘lgan segmentlar to‘plamini uchlari koordinata chiziqlarida ko‘rib chiqaylik. Astroid bu to'plam uchun konvert ekanligini isbotlang. Grafigi astroid bo'lgan funksiyaning konjugati qaysi funktsiya hisoblanadi? f qavariq bo'lmagan funksiya bo'lsin. Uning ikkinchi konjugatini tavsiflang. f, f ∗ silliq qavariq funksiyalar bo'lsin va har bir nuqtada ikkinchi hosilalarning (Gesslar) matritsalari D2 f, D2 f ∗ degenerativ emas. Ixtiyoriy x uchun D2 f (x) · D2 f ∗ (∇f (x)) = I munosabati amal qilishini isbotlang, bunda I - bir xillik matritsasi. (7) Quyidagi f 00 = (f − xf 0)2 differensial tenglamaning umumiy yechimini toping. (8) Qavariq funksiyaning noldagi subdifferensialini hisoblang (a) max(ex , 1 - x) P (b) di=1 |xi | (c) max1≤i≤d |xi | (9) 0 ∈ ∂f (x0) bo'lgandagina x0 ning f qavariq funksiyasining minimal nuqtasi ekanligini isbotlang. (10) (a) x2 + y 2 + 4p max(x, y) (b) x2 + y 2 + 2 (x − a)2 + (y − b)2 (11) funksiyalarning minimalini toping (11) isbotlang. munosabat (f ⊕ g)∗ = f ∗ + g ∗ , 1 bunda f ⊕ g(x) = inf a+b=x (f (a) + g(b)). (12) Chiziqli dasturlash masalasidagi maksimal ikkilikdagi minimumdan oshmasligini (minimax prinsipidan foydalanmasdan) isbotlang. (13) Ikki chiziqli dasturlash masalasini shakllantirish va uni yechish. x1 + 2x2 + · · · + nxn → min x1 ≥ 1, x1 + x2 ≥ 2, · · · , x1 + x2 + · · · + xn ≥ n xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n. Proyektiv duallik muammolari Ta'rif. Ikkita proyektiv tekislik RP2∗ RP2 proyeksiyalovchi tekisligidagi chiziqlar fazosidir. 14) Ikki proyektiv tekislikning tabiiy proyektiv tekislik strukturasiga ega ekanligini isbotlang, bunda chiziq RP2 da berilgan nuqtadan o‘tuvchi chiziqlar turkumidir. (Xususan, RP2 va RP2∗ navlari diffeomorf.) 15) ixtiyoriy ikkita alohida a, b ⊂ RP2 chiziqni ko'rib chiqing, O = a ∩ b, a = a \ O, b = b \ O ni belgilang. Har bir satrda affin transformatsiyasiga ega kompozitsiyagacha yagona aniqlangan tabiiy haqiqiy afin koordinatasi mavjud: a, b " R. Har qanday x ∈ a va y ∈ b uchun x dan oʻtuvchi chiziq l(x, y) boʻlsin. va y xaritasi a × b → RP2∗ , (x, y) 7 → l(x, y) affinli xarita ekanligini isbotlang g ga 16) g ∗∗ = g ekanligini isbotlang ) va (x∗, y ∗) (aniqrogʻi, funksiyalarning qiymatlari chekli boʻlgan grafiklarning chekli qismlari D(f ∗) egri chiziqning affin oʻzgarishi bilan ikki tomonlama egri chiziqqa aylantirilishini isbotlang). D(f) ga Maslahat: 2-masalaning natijasini ishlating) tekis konusning qo'sh chizig'i (ikkinchi tartibli egri chiziq) ham silliq konus ekanligini isbotlang. 19) Ikki siniq chiziq (ikkita ko'pburchak) ta'rifini bering va 3) va 4) siniq chiziq g va bo'lakli afin funksiya f (grafik - siniq chiziq) uchun o'xshashlarni yeching. 2