Mavzu bo‘yicha ilmiy tadqiqot ishi: “Natural sonlarning bo‘linuvchanlik belgilari. Natural sonlarning bo‘linuvchanligi

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, a natural soni b natural soniga bo'linadi, agar c natural soni bo'lsa, uni b ga ko'paytirganda a hosil bo'ladi:

Qisqalik uchun "butunlay" so'zi odatda olib tashlanadi.

Agar a b ga bo'linadigan bo'lsa, u holda ular a ning b ga karrali ekanligini ham aytadilar. Masalan, 48 soni 24 ga karrali.

Teorema 1. Agar omillardan biri ma'lum songa bo'linadigan bo'lsa, ko'paytma ham shu songa bo'linadi..

Masalan, 15 soni 3 ga bo'linadi, ya'ni 15∙11 3 ga bo'linadi, chunki 15∙11=(3∙5)∙11=3∙(5∙11).

Ushbu dalillar umumiy holatga ham tegishli. a soni c ga bo'linsin, u holda a = n∙c bo'ladigan natural n son mavjud. a soni va ixtiyoriy natural b sonining ko'paytmasini ko'rib chiqaylik. a∙b = n∙(c∙b) =
= n∙(b∙c) = (n∙b)∙c. Bu yerdan, ta'rifga ko'ra, a∙b ko'paytmasi ham c ga bo'linadi. Q.E.D.

Teorema 2. Agar birinchi son ikkinchiga, ikkinchisi uchinchiga boʻlinadigan boʻlsa, birinchi son uchinchiga boʻlinadi..

Masalan, 777 soni 111 ga bo'linadi, chunki 777 = 7∙111, 111 esa 3 ga bo'linadi, chunki 111 = 3∙37. Bundan kelib chiqadiki, 777 3 ga bo'linadi, chunki 777 = 3∙(37∙7).

IN umumiy holat Bu dalillarni deyarli so'zma-so'z takrorlash mumkin. a soni b soniga, b soni esa c soniga bo'linsin. Demak, a = n∙b va b = m∙c bo'ladigan n va m natural sonlar mavjud. U holda a soni quyidagicha ifodalanishi mumkin: a = n∙b = n∙(m∙c) = (n∙m)∙c. a = (n∙m)∙c tengligi a sonining ham c ga bo'linishini bildiradi.

Teorema 3. Agar ikkita sonning har biri ma’lum songa bo‘linadigan bo‘lsa, ularning yig‘indisi va ayirmasi shu songa bo‘linadi..

Masalan, 100 4 ga bo'linadi, chunki 100=25∙4; 36 ham 4 ga bo'linadi, chunki 36 = 9∙4. Bundan kelib chiqadiki, 136 soni 4 ga bo'linadi, chunki

136 = 100+ 36 = 25∙4+ 9∙4 = (25+ 9)∙4 = 34∙4.

Bundan tashqari, 64 raqami 4 ga bo'linadi, degan xulosaga kelishimiz mumkin, chunki

64 = 100 – 36 = 25∙4 – 9∙4 =(25 – 9)∙4= 16∙4.

Teoremani umumiy holatda isbotlaylik. a va b sonlarning har biri c soniga bo'linsin. Keyin, ta'rifga ko'ra, n va m natural sonlari mavjud
a = n∙c va b = m∙c. a va b sonlarining yig'indisini ko'rib chiqing.

a + b = n∙c + m∙c = (n + m)∙c.

Bundan kelib chiqadiki, a + b c ga bo'linadi.

Xuddi shunday, a – b = n∙c – m∙c = (n – m)∙c. Shuning uchun a - b c ga bo'linadi.

Teorema 4. Agar ikkita sondan biri ma'lum songa bo'linsa, ikkinchisi esa unga bo'linmasa, ularning yig'indisi va ayirmasi bu songa bo'linmaydi.

Masalan, 148 37 ga bo'linadi, chunki 148 = 4∙37, 11 esa 37 ga bo'linmaydi. Shubhasiz, 148 + 11 yig'indisi va 148 - 11 farqi 37 ga bo'linmaydi, aks holda bu 3 xossaga zid bo'ladi. .

Bo'linish belgilari

Agar raqam 0 bilan tugasa, u 10 ga bo'linadi.

Masalan, 4560 raqami 0 raqami bilan tugaydi, uni 10 ga bo'lingan (1-teorema bo'yicha) 456∙10 ko'paytmasi sifatida ko'rsatish mumkin.

4561 soni 10 ga bo'linmaydi, chunki 4561 = 4560+1 10 ga bo'linadigan 4560 soni va 10 ga bo'linmaydigan 1 sonining yig'indisidir (4-teorema bo'yicha).

Agar raqam 0 yoki 5 raqamlaridan birida tugasa, u 5 ga bo'linadi..

Masalan, 2300 soni 5 ga bo'linadi, chunki bu son 10 ga, 10 esa 5 ga bo'linadi (2-teorema bo'yicha).

2305 raqami 5 raqami bilan tugaydi, u 5 ga bo'linadi, chunki uni 5 ga bo'linadigan raqamlar yig'indisi sifatida yozish mumkin: 2300 + 5 (3-teorema bo'yicha).

52 soni 5 ga bo'linmaydi, chunki 52 = 50 + 2 5 ga bo'linadigan 50 soni va 5 ga bo'linmaydigan 2 sonining yig'indisidir (4-teorema bo'yicha).

Agar raqam 0, 2, 4, 6, 8 raqamlaridan birida tugasa, u 2 ga bo'linadi.

Masalan, 130 soni 0 bilan tugaydi, u 10 ga bo'linadi, 10 soni esa 2 ga bo'linadi, shuning uchun 130 soni 2 ga bo'linadi.

136 raqami 6 raqami bilan tugaydi, u 2 ga bo'linadi, chunki uni 2 ga bo'linadigan sonlar yig'indisi sifatida yozish mumkin: 130 + 6 (3-teorema bo'yicha).

137 soni 2 ga bo'linmaydi, chunki 137 = 130 + 7 2 ga bo'linadigan 130 soni va 2 ga bo'linmaydigan 7 sonining yig'indisidir (4-teorema bo'yicha).

2 ga bo'linadigan son juft deb ataladi.

2 ga bo'linmaydigan songa toq son deyiladi.

Masalan, 152 va 790 raqamlari juft, 111 va 293 raqamlari esa toq.

Agar raqamning raqamlari yig'indisi 9 ga bo'linadigan bo'lsa, u holda sonning o'zi 9 ga bo'linadi..

Masalan, 7245 sonining 7 + 2 + 4 + 5 = 18 raqamlari yig'indisi 9 ga bo'linadi. 7245 soni 9 ga bo'linadi, chunki uni 7∙1000 + yig'indisi sifatida ko'rsatish mumkin.
+ 2∙100 + 4∙10 + 5 = 7 (999 + 1) + 2∙(99 + 1) + + 4∙(9 + 1) + 5 = (7∙999 + 2∙99 +
+ 4∙9) + (7 + 2 + 4 + 5), bu erda birinchi qavslardagi yig'indi 9 ga bo'linadi va ikkinchi qavslarda - berilgan raqamning raqamlari yig'indisi ham 9 ga bo'linadi ( 3-teoremaga muvofiq).

375 soni 9 ga bo'linmaydi, chunki uning 3 + 7 + 5=15 raqamlari yig'indisi 9 ga bo'linmaydi. Buni quyidagicha isbotlash mumkin: 375 = 3∙(99 + 1) + 7∙(9+) 1) + 5 =
+ (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), bu erda birinchi qavslardagi yig'indi 9 ga bo'linadi va ikkinchi qavslarda - 375 raqamining raqamlari yig'indisi bo'linmaydi. tomonidan 9 (4-teorema bo'yicha).

Agar raqamning raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linadigan bo'lsa, u holda sonning o'zi 3 ga bo'linadi..

Masalan, 375 soni 3 ga bo'linadigan 3 + 7 + 5 = 15 raqamlari yig'indisiga ega va uning o'zi 3 ga bo'linadi, chunki 375 = (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), bu erda birinchi qavsdagi yig'indi 3 ga bo'linadi va ikkinchi qavslarda - 375 raqamining raqamlari yig'indisi ham 3 ga bo'linadi.

6 + 7 + 9 = 22 ga teng 679 raqamining raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linmaydi va sonning o'zi 3 ga bo'linmaydi, chunki 679 = (6∙99 + 7∙9) + ( 6 + 7 + 9), bu erda birinchi qavslardagi yig'indi 3 ga bo'linadi va ikkinchi qavslarda - 679 raqamining raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linmaydi.

Eslatma. "Raqam raqam bilan tugaydi..." deganda, ular "sonning o'nli yozuvi raqam bilan tugaydi..." degan ma'noni anglatadi.

Bosh va kompozit sonlar

Har bir p natural soni 1 ga va o'ziga bo'linadi:

p:1=p, p:p=1.

Tut son - birdan katta bo'lgan va faqat 1 ga va o'ziga bo'linadigan natural son..

Mana birinchi o'nta tub son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Bosh bo'lmagan natural sonlar, katta birliklar kompozitsion deyiladi. Har bir kompozit son 1 ga, o'ziga va kamida bitta natural songa bo'linadi.

Mana 20 dan kichik barcha kompozit raqamlar:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

Shunday qilib, barchaning to'plami natural sonlar tub sonlar, kompozit sonlar va bittadan iborat.

Tub sonlarning cheksiz soni bor - birinchi raqam - 2, lekin oxirgi tub son yo'q;

Natural sonlarning bo'luvchilari

Agar a natural soni b natural soniga bo'linadigan bo'lsa, u holda b soni bo'luvchi deyiladi raqamlar a.

Masalan, 13 sonining bo‘luvchilari 1 va 13 sonlari, 4 sonining bo‘luvchilari 1, 2, 4 sonlari, 12 sonining bo‘luvchilari esa 1, 2, 3, 4, 6 sonlaridir. , 12.

Har bir tub sonning faqat ikkita bo'luvchisi bor - bitta va o'zi, va bitta va o'zidan tashqari har bir kompozit sonning boshqa bo'luvchilari bor.

Agar bo'linuvchi tub son bo'lsa, u tub bo'luvchi deyiladi. Masalan, 13 sonining tub koeffitsienti 13 ga, 4 sonining tub koeffitsienti 2 ga, 12 sonining tub koeffitsienti 2 va 3 ga teng.

Har bir kompozit sonni uning tub bo'luvchilari ko'paytmasi sifatida ko'rsatish mumkin. Masalan,

28 = 2∙2∙7 = 2 2 ∙7;

81 = 3∙3∙3∙3 = 3 4;

100 = 2∙2∙5∙5 = 2 2 ∙5 2 .

Olingan tengliklarning o'ng tomonlari 28, 22, 81 va 100 sonlarini tub koeffitsientlarga ajratish deyiladi.

Berilgan qo'shma sonni tub omillarga ko'paytirish, uni turli tub omillar yoki ularning kuchlari mahsuloti sifatida ko'rsatishni anglatadi.

Keling, 90 raqamini qanday qilib tub ko'rsatkichlarga ajratish mumkinligini ko'rsatamiz.

1) 90 2 ga bo'linadi, 90:2 = 45;

2) 45 2 ga boʻlinmaydi, 3 ga boʻlinadi, 45:3= 15;

3) 15 3 ga bo'linadi, 15:3 = 5;

4) 5 5 ga bo'linadi, 5:5 = 1.

Shunday qilib, 90 = 2∙45 = 2∙3∙15 = 2∙3∙3∙5.

Eng katta umumiy bo'luvchi

12 sonida 1, 2, 3, 4, 12 koeffitsientlari bor. 54 sonida 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 koeffitsientlari mavjud. 12 va 54 sonlarining umumiy koʻrsatkichlari 1, 2 ekanligini koʻramiz. , 3 , 6.

12 va 54 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisi 6 raqamidir.

a va b sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisi quyidagicha belgilanadi: gcd (a, b).

Masalan, GCD (12, 54) = 6.

Eng kichik umumiy ko'plik

12 ga bo'linadigan son 12 ga karrali deyiladi. 12 soni 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 va boshqalarning karralisidir. 18 soni 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 va boshqalarning karrali.

Biz 12 va 18 ga karrali sonlar mavjudligini ko'ramiz. Masalan, 36, 72, 108, .... Bu raqamlar 12 va 18 ning umumiy karralari deyiladi.

a va b natural sonlarining eng kichik umumiy karrali a va b ga boʻlinadigan eng kichik natural sondir. Bu raqam quyidagicha belgilanadi: LOC (a, b).

Ikki sonning eng kichik umumiy karrali odatda ikkita usuldan birida topiladi. Keling, ularga qaraylik.

LOC(18, 24) ni topamiz.

I usul Biz 24 ga karrali sonlarni yozamiz (bu raqamlarning kattasi), ularning har biri 18 ga bo'linishini tekshirib ko'ramiz: 24∙1=24 - 18 ga bo'linmaydi, 24∙2 = 48 - 18 ga bo'linmaydi, 24∙3 = 72 - 18 ga bo'linadi, shuning uchun LCM (24, 18) =
= 72.

II usul. Keling, 24 va 18 sonlarini tub ko‘paytmalarga ajratamiz: 24 = 2∙2∙2∙3,
18 = 2∙3∙3.

LCM(24, 18) ham 24, ham 18 ga boʻlinishi kerak. Shuning uchun kerakli son kattaroq 24 sonning barcha tub omillarini (yaʼni 2, 2, 2, 3 raqamlari) va kengayishda yetishmayotgan omillarni oʻz ichiga oladi. kichikroq raqamdan 18 (yana bitta raqam 3). Shuning uchun LCM(18, 24) = 2∙2∙2∙3∙3 = 72.

Nisbatan tub sonlarda umumiy tub omillar bo‘lmagani uchun ularning eng kichik umumiy ko‘paytmasi shu sonlarning ko‘paytmasiga teng bo‘ladi. Masalan, 24 va 25 nisbatan tub sonlardir. Shuning uchun LCM (24, 25) = 24∙25 = 600.

Agar ikkita sondan biri ikkinchisiga boʻlinadigan boʻlsa, bu sonlarning eng kichik umumiy karrali ularning kattasiga teng boʻladi. Masalan, 120 24 ga bo'linadi, shuning uchun LCM (120, 24) = 120.

Butun sonlar

Eslatma. Ob'ektlar sonini hisoblash uchun ishlatiladigan raqamlar deyiladi natural sonlar. Nol natural son hisoblanmaydi. O'sish tartibida va bo'shliqlarsiz yozilgan natural sonlar va nol manfiy bo'lmagan butun sonlar qatorini hosil qiladi:

Ushbu bo'limda yangi raqamlar kiritiladi - manfiy butun sonlar.

Manfiy butun sonlar

Haqiqiy hayotdagi asosiy misol - bu termometr. Aytaylik, u 7°C haroratni ko'rsatadi. Agar harorat 4 ° ga tushsa, termometr 3 ° issiqlikni ko'rsatadi. Haroratning pasayishi ayirish harakati bilan mos keladi: 7 - 4 = 3. Agar harorat 7 ° ga tushsa, termometr 0 ° ni ko'rsatadi: 7 - 7 = 0.

Agar harorat 8 ° ga tushsa, termometr -1 ° (noldan 1 ° past) ko'rsatadi. Ammo 7 - 8 ni ayirish natijasini natural sonlar va nol yordamida yozib bo'lmaydi, garchi u haqiqiy ma'noga ega.

Manfiy bo'lmagan butun sonlar qatorida 7 raqamidan chapga 8 ta raqamni sanab bo'lmaydi. 7-8 amallarni amalga oshirish uchun keling, manfiy bo'lmagan butun sonlar oralig'ini kengaytiraylik. Buning uchun nolning chap tomoniga (o'ngdan chapga) barcha natural sonlarni tartibda yozamiz va ularning har biriga "-" belgisini qo'shamiz, bu raqam nolning chap tomonida ekanligini ko'rsatadi.

Yozuvlar -1, -2, -3, ... "minus 1", "minus 2", "minus 3" va hokazolarni o'qing:

–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... .

Olingan sonlar qatori butun sonlar qatori deyiladi. Ushbu yozuvning chap va o'ng tomonidagi nuqtalar ketma-ketlikni cheksiz ravishda o'ngga va chapga davom ettirish mumkinligini anglatadi.

Bu qatordagi 0 raqamining o'ng tomonida natural sonlar yoki musbat butun sonlar deb ataladigan raqamlar joylashgan.

Laxdenpox shahar okrugi maktab o'quvchilarining mintaqaviy ilmiy konferentsiyasi

"Kelajak sari qadam"

Mavzu bo'yicha matematika loyihasi:

To'ldiruvchi: Galkina Natalya

7-sinf o'quvchisi

MKOU "Elisenvaara o'rta maktabi"

Rahbar: Vasilyeva

Larisa Vladimirovna

matematika o'qituvchisi

MKOU "Elisenvaara o'rta maktabi"

Kirish 3 sahifa

Matematika tarixidan 4 bet.

Asosiy tushunchalar 4 sahifa.

Bo‘linuvchanlik belgilarining tasnifi: 5 bet.

1. Raqamlarning bo'linuvchanligi oxirgi raqam(lar) bilan aniqlanadi 5 - 6 sahifalar.

   Raqamlarning bo'linuvchanligi son raqamlari yig'indisi bilan aniqlanadi: 6 varaq.

   Raqamlarning bo'linuvchanligi 6 - 9 varaq raqamlari ustida ba'zi harakatlar bajarilgandan so'ng aniqlanadi.

   Raqamning boʻlinuvchanligini aniqlash uchun 9 – 10 betlik boshqa belgilar qoʻllaniladi.

Bo‘linish mezonlarini amaliyotda qo‘llash 10 – 11 bet.

Xulosa 11 sahifa

Bibliografiya 12 bet.

Kirish

Tadqiqotning dolzarbligi: Bo'linish belgilari har doim turli davr va xalqlarning olimlarini qiziqtirgan. Matematika darslarida “Raqamlarning 2, 3, 5, 9, 10 ga bo‘linuvchanlik belgilari” mavzusini o‘rganar ekanman, sonlarni bo‘linish uchun o‘rganishga qiziqib qoldim. Agar raqamlarning bu raqamlarga bo'linishini aniqlash mumkin bo'lsa, unda natural sonlarning boshqa raqamlarga bo'linishini aniqlash mumkin bo'lgan belgilar mavjud bo'lishi kerak deb taxmin qilingan. Ba'zi hollarda har qanday natural sonning bo'linish yoki bo'linmasligini aniqlash uchun a natural songa b qoldiqsiz, bu raqamlarni bo'lish shart emas. Bo'linishning ba'zi belgilarini bilish kifoya.

Gipoteza– natural sonlarning 2, 3, 5, 9 va 10 ga boʻlinuvchanlik belgilari mavjud boʻlsa, natural sonlarning boʻlinuvchanligini aniqlash mumkin boʻlgan boshqa belgilar ham mavjud.

Tadqiqot maqsadi - maktabda o'rganilgan natural sonlarning bo'linuvchanligining allaqachon ma'lum bo'lgan belgilarini to'ldirish va ushbu bo'linish belgilarini tizimlashtirish.

Ushbu maqsadga erishish uchun quyidagilarni hal qilish kerak vazifalar:

Raqamlarning bo‘linuvchanligini mustaqil o‘rganing.

Bo'linishning boshqa belgilari bilan tanishish uchun qo'shimcha adabiyotlarni o'rganing.

Turli manbalardan xususiyatlarni birlashtiring va umumlashtiring.

Xulosa chiqaring.

O'rganish ob'ekti- bo'linishning barcha mumkin bo'lgan belgilarini o'rganish.

O'rganish mavzusi- bo'linish belgilari.

Tadqiqot usullari– material to‘plash, ma’lumotlarni qayta ishlash, taqqoslash, tahlil qilish, sintez qilish.

Yangilik: Loyiha davomida natural sonlarning bo‘linuvchanlik belgilari haqidagi bilimlarimni kengaytirdim.

Matematika tarixidan

Blez Paskal(1623 yilda tug'ilgan) - eng ko'plaridan biri mashhur odamlar insoniyat tarixida. Pascalumer, u 39 yoshda edi, lekin shunga qaramay qisqa umr, tarixga atoqli matematik, fizik, faylasuf va yozuvchi sifatida kirdi. Bosim birligi (paskal) va bugungi kunda juda mashhur dasturlash tili uning nomi bilan atalgan. Blez Paskal umumiy narsani topdi

Paskal testi - bu istalgan songa bo'linish testlarini olish imkonini beruvchi usul. "Bo'linishning universal belgisi" ning bir turi.

Paskal bo'linish testi: Natural son A boshqa natural songa bo'linadi b faqat raqamlarning ko'paytmalari yig'indisi bo'lsa A raqam birliklarini raqamga bo'lish orqali olingan mos keladigan qoldiqlarga b, bu raqamga bo'linadi.

Masalan : 2814 soni 7 ga boʻlinadi, chunki 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 7 ga boʻlinadi. va 3 - 10 ni 7 ga bo'lishdan qolgan qoldiq).

Asosiy tushunchalar

Keling, ushbu mavzuni o'rganishda bizga kerak bo'ladigan ba'zi matematik tushunchalarni eslaylik.

Bo'linish testi- bu qoida bo'lib, unga ko'ra, bo'linmasdan, bir sonning boshqasiga bo'linishini aniqlash mumkin.

Bo'luvchi natural son A qaysi natural sonni ayting A qoldiqsiz bo'linadi.

Oddiy bitta va o'zidan boshqa tabiiy aniq bo'luvchiga ega bo'lmagan natural sonlar deyiladi.

Kompozit 1 va o'zidan boshqa tabiiy bo'luvchilarga ega bo'lgan sonlar.

Bo'linish belgilari

Men ushbu ishda ko'rib chiqqan natural sonlarning bo'linuvchanligining barcha belgilarini 4 guruhga bo'lish mumkin:

Keling, ushbu guruhlarning har birini batafsil ko'rib chiqaylik.

Raqamlarning bo'linuvchanligi oxirgi raqam(lar) bilan aniqlanadi.

Men ko'rib chiqqan natural sonlarning bo'linuvchanlik belgilarining birinchi guruhiga 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 va raqamli birlik 10, 100 va boshqalarga bo'linish belgilari kiradi.

2 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish: Agar sonning oxirgi raqami 2 ga bo'linsa, raqam 2 ga bo'linadi (ya'ni, oxirgi raqam juft son).

Masalan: 32217864 : 2

4 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish : agar oxirgi ikki raqami nolga teng bo'lsa yoki ikki xonali son ikkitadan hosil bo'lsa, son 4 ga bo'linadi. oxirgi raqamlar, 4 ga bo'linadi.

Masalan, 35324 : 4; 6600 : 4

5 ga bo'linish testi : Oxirgi raqami 5 yoki 0 boʻlsa, raqam 5 ga boʻlinadi.

Masalan: 36780 : 5 yoki 12326 5 : 5

8 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish: Agar raqam 8 ga bo'linsa, 8 ga bo'linadi uch xonali raqam, bu raqamning oxirgi uchta raqamidan tuzilgan.

Masalan: 432240 : 8

20 ga bo'linish uchun test: oxirgi ikki raqamdan hosil bo'lgan son 20 ga bo'linsa, son 20 ga bo'linadi. (Boshqa formula: sonning oxirgi raqami 0 va oxirgi raqami juft bo'lsa, raqam 20 ga bo'linadi).

Masalan: 59640 : 20

25 ga bo'linish uchun test: Oxirgi ikki raqami nol bo'lgan yoki 25 ga bo'linadigan sonni tashkil etuvchi raqamlar 25 ga bo'linadi.

Masalan: 667975 : 25 yoki 77689 00 : 25

50 ga bo'linish uchun test: Raqam 50 ga bo'linadi, agar uning ikkita eng kichik o'nli raqamidan hosil bo'lgan son 50 ga bo'linsa.

Masalan: 564350 : 50 yoki 5543 00 :50

125 ga bo'linish testi: Raqam 125 ga bo'linadi, agar uning oxirgi uchta raqami nol bo'lsa yoki 125 ga bo'linadigan sonni hosil qilsa.

Masalan: 32157000 : 125 yoki 3216 250 :125

nollari soni raqam birligining nollari sonidan katta yoki teng bo'lgan natural sonlar raqamli birlikka bo'linadi.

Masalan, 12000 soni 10, 100 va 1000 ga boʻlinadi.

Raqamlarning bo'linuvchanligi son raqamlari yig'indisi bilan aniqlanadi

Natural sonlarning boʻlinuvchanlik belgilarining bu guruhiga men koʻrib chiqqan 3, 9, 11 ga boʻlinish belgilari kiradi.

3 ga bo'linish uchun test: Raqamlar yig'indisi 3 ga bo'linadigan bo'lsa, raqam 3 ga bo'linadi.

Masalan: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)

9 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish: Raqamlar yig'indisi 9 ga bo'linadigan bo'lsa, raqam 9 ga bo'linadi.

Masalan: 653022: 9 tk. 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

11 ga bo'linish uchun test: Bu raqamlar 11 ga bo'linadi, agar toq joylardagi raqamlar yig'indisi juft joylardagi raqamlar yig'indisiga teng bo'lsa yoki undan 11 ga karrali farq qilsa.

Masalan: 865948732:11 chunki 8+5+4+7+2=26 va 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11, chunki 8+5+4+7+2=26 va 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

Raqamlarning bo'linuvchanligi ushbu raqamning raqamlarida ba'zi harakatlar bajarilgandan so'ng aniqlanadi

Natural sonlarning boʻlinuvchanlik belgilarining bu guruhiga: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 101 ga boʻlinish belgilari kiradi.

6 ga bo'linish uchun test:

Belgisi 1: Yuzliklardan keyingi sondan yuzlar sonini ikki marta ayirish natijasi 6 ga boʻlinsa, son 6 ga boʻlinadi.

Masalan, 138: 6 chunki 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 chunki 44 – 7·2=30, (30:6)

Belgisi 2: Son 6 ga bo'linadi, agar birliklar soniga qo'shilgan o'nliklar soni 6 ga bo'linsa va faqat to'rt marta bo'lsa.

Masalan, 768:6 chunki 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

7 ga bo'linishi:

Belgisi 1: raqam ga bo'linadi 7 uch marta ko'paytirilganda birliklar soniga qo'shilgan o'nliklar soni 7 ga bo'linadi.

Masalan, soni 154:7, chunki 15 3 + 4 = 49 (49:7) 7 ga bo'linadi

Belgisi 2: “+” belgisi bilan olingan uchta raqamdan (birlikdan boshlanadigan) toq guruhlarni tashkil etuvchi raqamlarning algebraik yig‘indisining moduli “-” belgisi bilan olingan sonlar 7 ga bo‘linsa, raqam 7 ga bo‘linadi.

Masalan, 138689257:7, chunki ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

11 ga bo'linishi:

Belgisi 1: Toq oʻrinlarni egallagan raqamlar yigʻindisi bilan juft joyni egallagan raqamlar yigʻindisi oʻrtasidagi farq moduli 11 ga boʻlinsa, son 11 ga boʻlinadi.

Masalan, 9163627:11, chunki ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

Belgisi 2: Agar ikkita raqamdan iborat guruhlarni tashkil etuvchi raqamlar yig'indisi (birlardan boshlanadigan) 11 ga bo'linsa, raqam 11 ga bo'linadi.

Masalan, 103785:11, chunki 10+37+85=132 va 01+32=33 (33:11)

13 ga bo'linishi:

Belgisi 1: Agar o'nlik soni va birliklarning to'rt karra yig'indisi 13 ga bo'linsa, raqam 13 ga bo'linadi.

Masalan, 845:13, chunki 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

Belgisi 2: O'nlik va birliklar sonining to'qqiz barobari orasidagi farq 13 ga bo'linsa, raqam 13 ga bo'linadi.

Masalan, 845:13, chunki 84-5 9=39 (39:13)

17 ga bo'linish uchun test: Agar o'nlab va birlar sonining besh barobari orasidagi farq moduli 17 ga bo'linsa, raqam 17 ga bo'linadi.

Masalan, 221:17, chunki ǀ22-5·1ǀ=17

19 ga bo'linish belgilari: Birliklar sonining ikki barobariga qo'shilgan o'nliklar soni 19 ga bo'linsa, raqam 19 ga bo'linadi.

Masalan, 646:19, chunki 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

23 ga bo'linish testlari:

Belgisi 1: Oxirgi ikki raqam hosil qilgan sonni uch marta koʻpaytirish uchun qoʻshilgan yuzlar soni 23 ga boʻlinsa, raqam 23 ga boʻlinadi.

Masalan, 28842:23, chunki 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

Belgisi 2: raqam ga bo'linadi 23 o'nliklar soni birlar sonining yetti barobariga qo'shilsa, 23 ga bo'linadi.

Masalan, 391:23, chunki

3 9+7 1=46 (46:23): raqam ga bo'linadi 23 Belgisi 3

Masalan yuzlar soni yetti marta o'nlik va uch marta qo'shilsa, birliklar soni 23 ga bo'linadi.

, 391:23, chunki 3+7·9+3·1=69 (69:23)

Masalan 27 ga bo'linish uchun test:

Agar uchta raqamdan iborat guruhlarni tashkil etuvchi raqamlar yig'indisi (birlardan boshlanadigan) 27 ga bo'linsa, raqam 27 ga bo'linadi., 2705427:27 chunki 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Masalan 29 ga bo'linish uchun test:

Agar birliklar sonining uch barobariga qo'shilgan o'nliklar soni 29 ga bo'linsa, raqam 29 ga bo'linadi., 261:29, chunki 26+3·1=29 (29:29)

Masalan 31 ga bo'linish uchun test:

O'nlik soni va birlar sonining uch barobari orasidagi farq moduli 31 ga bo'linsa, raqam 31 ga bo'linadi., 217:31, chunki ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Masalan 33 ga bo'linish mezonlari:

Agar sonni o'ngdan chapga ikki xonali guruhlarga bo'lish natijasida hosil bo'lgan yig'indi 33 ga bo'linadigan bo'lsa, u holda son 33 ga bo'linadi.

Belgisi 1: , 396:33, chunki 96+3=99 (99:33)

Masalan, 37 ga bo'linish mezonlari:

Belgisi 2: Raqam 37 ga bo'linadi, agar raqamni uchta raqamdan iborat guruhlarga bo'lishda (birlardan boshlab) bu ​​guruhlarning yig'indisi 37 ga karrali bo'lsa.

Masalan100048:37 raqami, chunki 100+048=148, (148:37) Agar raqam 37 ga bo'linadi, agar modul uch marta bo'lsa, yuzlar soni to'rt barobarga qo'shiladi, o'nliklar sonini minus yettiga ko'paytirilgan birliklar soni 37 ga bo'linadi.

, raqam 481:37, chunki u 37 ga bo'linadi

Belgisi 1ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37

Masalan, 41 ga bo'linish mezonlari:

Belgisi 2: O'nlik soni va birlar sonining to'rt barobari orasidagi farq moduli 41 ga bo'linsa, raqam 41 ga bo'linadi.369:41, chunki ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

: Raqamning 41 ga boʻlinishini tekshirish uchun uni oʻngdan chapga har biri 5 ta raqamdan iborat guruhlarga boʻlish kerak. Keyin har bir guruhda o'ngdagi birinchi raqamni 1 ga ko'paytiring, ikkinchi raqamni 10 ga, uchinchi raqamni 18 ga, to'rtinchi raqamni 16 ga, beshinchi raqamni 37 ga ko'paytiring va olingan barcha mahsulotlarni qo'shing. Natija bo'lsa 41 ga bo'linadi, keyin raqamning o'zi 41 ga bo'linadi.

Masalan 59 ga bo'linish uchun test:

6 ga ko'paytirilgan birliklar soniga qo'shilgan o'nliklar soni 59 ga bo'linsa, raqam 59 ga bo'linadi. Birlik soni 8 ga ko‘paytirilganda o‘nlik soni 79 ga bo‘linsa, son 79 ga bo‘linadi.

Masalan, 711:79, chunki 71+8·1=79, (79:79)

99 ga bo'linish testi: Ikki raqamdan iborat guruhlarni tashkil etuvchi raqamlar yig'indisi (birlikdan boshlanadigan) 99 ga bo'linsa, raqam 99 ga bo'linadi.

Masalan, 12573:99, chunki 1+25+73=99, (99:99)

101 ga bo'linish testi:“+” belgisi bilan olingan ikkita raqamdan (birlardan boshlanadigan) toq guruhlarni tashkil etuvchi raqamlarning algebraik yig‘indisi moduli 101 ga bo‘linsa, son 101 ga bo‘linadi.

Masalan

Sonning boʻlinuvchanligini aniqlash uchun boshqa boʻlinish mezonlari qoʻllaniladi

Natural sonlarning boʻlinuvchanlik belgilarining bu guruhiga quyidagilarga boʻlinish belgilari kiradi: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60 va boshqalar. Bularning barchasi kompozit raqamlardir. Murakkab sonlar uchun boʻlinish mezonlari tub sonlar uchun boʻlinish mezonlariga asoslanadi, har qanday kompozit sonni ajralish mumkin.

6 ga bo'linish uchun test:

Belgisi 1: Son 2 ga ham, 3 ga ham boʻlinsa, yaʼni juft boʻlsa va raqamlari yigʻindisi 3 ga boʻlinsa, u 6 ga boʻlinadi.

Masalan, 768:6, chunki 7+6+8=21 (21:3) va 768 sonining oxirgi raqami juft.

12 ga bo'linish testi: Bir vaqtning o'zida 3 va 4 ga bo'linadigan son 12 ga bo'linadi.

Masalan, 408:12, chunki 4+0+8=12 (12:3) va oxirgi ikki raqam 4 ga bo'linadi (08:4)

14 ga bo'linish uchun test: Raqam 2 va 7 ga bo'linsa, 14 ga bo'linadi.

Masalan, 45612:14 raqami, chunki u 2 ga ham, 7 ga ham bo'linadi, ya'ni u 14 ga bo'linadi.

15 ga bo'linish uchun test: Raqam 3 va 5 ga bo'linsa, 15 ga bo'linadi.

Masalan, 1146795:15 chunki Bu raqam 3 ga ham, 5 ga ham bo'linadi.

27 ga bo'linish testlari: Raqam 3 va 9 ga bo'linsa, 27 ga bo'linadi.

Masalan, 511704:27 chunki 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 va 18:9)

30 ga bo'linish belgilari: Raqam 0 bilan tugasa, 30 ga bo'linadi va barcha raqamlar yig'indisi 3 ga bo'linadi.

Masalan, 510:30 chunki 5+1+0=6 (6:3) va 510 sonida (oxirgi raqam 0)

60 ga bo'linish belgilari: Raqam 60 ga boʻlinishi uchun uning 4, 3 yoki 5 ga boʻlinishi zarur va yetarli.

Masalan, 1620:60 chunki 1+6+2+0=9 (9:3), 1620 raqami 0 bilan tugaydi, yaʼni. 5 ga bo'linadi va 1620: 4 chunki oxirgi ikki raqam 20:4

Ish amaliy qo'llanilishiga ega. U maktab o'quvchilari va kattalar tomonidan haqiqiy vaziyatlarni hal qilishda foydalanishi mumkin; o'qituvchilar, ham matematika darslarini o'tkazishda, ham tanlov kurslarida va qo'shimcha darslar takrorlash uchun.

Ushbu tadqiqot qachon talabalar uchun foydali bo'ladi o'z-o'zini tarbiyalash yakuniy va kirish imtihonlari uchun. Bu shahar olimpiadalarida yuqori o'rinlarni egallashni maqsad qilgan talabalar uchun ham foydali bo'ladi.

Vazifa № 1 . Faqat 3 va 4 raqamlaridan foydalanib yozish mumkinmi:

10 ga bo'linadigan raqam;

juft son;

5 ga karrali son;

toq raqam

Muammo № 2

Qayta takrorlanuvchi raqamlari boʻlmagan (barcha raqamlar har xil) va 1 ga qoldiqsiz boʻlinadigan toʻqqiz xonali sonni yozing.

Shu raqamlarning eng kattasini yozing.

Shu raqamlarning eng kichigini yozing.

Javob: 987652413; 102347586

Muammo № 3

Raqamlari har xil bo‘lgan va 2, 5, 9, 11 ga bo‘linadigan eng katta to‘rt xonali sonni toping.

Javob: 8910

Muammo № 4

Olya oddiy uch xonali raqamni o'ylab topdi, uning raqamlari har xil. Agar uning oxirgi raqami birinchi ikkitasining yig'indisiga teng bo'lsa, u qaysi raqam bilan tugashi mumkin. Bunday raqamlarga misollar keltiring.

Javob: faqat 7. Masala shartini qanoatlantiradigan 4 ta raqam bor: 167, 257, 347, 527

Muammo № 5

Ikki sinfda birga 70 nafar o‘quvchi bor. Bir sinfda 7/17 o‘quvchi darsga kelmagan, boshqasida esa 2/9 o‘quvchi matematikadan a’lo baholar olgan. Har bir sinfda nechta o'quvchi bor?

Yechim: Bu sinflarning birinchisida quyidagilar bo'lishi mumkin: 17, 34, 51... - 17 ga karrali sonlar. Ikkinchi sinfda: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - karrali sonlar. ning 9. Birinchi qatordan 1 ta raqamni tanlashimiz kerak, va 2 ikkinchidan raqam bo'lib, ular qo'shilib 70 ga etadi. Bundan tashqari, bu ketma-ketliklarda faqat oz sonli atamalar bolalarning mumkin bo'lgan sonini ifodalashi mumkin. sinf. Ushbu e'tibor variantlarni tanlashni sezilarli darajada cheklaydi. Mumkin bo'lgan yagona variant bu juftlik edi (34, 36).

Muammo № 6

9-sinf uchun sinov 1/7 talaba A, 1/3 - B, ½ - C ball oldi. Qolgan ishlar esa qoniqarsiz bo‘lib chiqdi. Bunday ish o'rinlari qancha edi?

Yechim: Masala yechimi sonlarning karrali bo‘lgan son bo‘lishi kerak: 7, 3, 2. Avval shu sonlarning eng kichigini topamiz. LCM (7, 3, 2) = 42. Muammo shartlariga muvofiq ifoda yaratishingiz mumkin: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 muvaffaqiyatsiz. Matematik munosabatlar masalalari sinfdagi o'quvchilar soni 84, 126 va hokazo deb hisoblanadi. Inson. Ammo sog'lom fikr shuni ko'rsatadiki, eng maqbul javob 42 raqamidir.

Javob: 1 ish.

Xulosa:

Bu ish natijasida men bilgan 2, 3, 5, 9 va 10 ga boʻlinish belgilaridan tashqari natural sonlarning boʻlinuvchanlik belgilari ham borligini bilib oldim. Olingan bilimlar ko'plab muammolarni hal qilishni sezilarli darajada tezlashtiradi. Va men bu bilimimni o'z ishimda ishlatishim mumkin ta'lim faoliyati, ham matematika darslarida, ham darsdan tashqari mashg'ulotlar. Shuni ham ta'kidlash kerakki, ba'zi bo'linish mezonlarining formulalari murakkab. Balki shuning uchun ham ular maktabda o'qimaydilar. Kelajakda natural sonlarning boʻlinuvchanlik belgilarini oʻrganish ustida ishlashni davom ettiraman.

ensiklopedik lug'at yosh matematik. Savin A.P. Moskva "Pedagogika" 1989 yil.

Matematika. Matematika darslari uchun qo'shimcha materiallar 5-11 sinflar. Ryazanovskiy A.R., Zaitsev E.A. Moskva "Bustard" 2002 yil.

Matematika darsligi sahifalari ortida. Vilenkin N.Ya., Depman I.Ya. M.: Ta'lim, 1989 yil.

Darsdan tashqari mashg'ulotlar 6-8-sinflarda matematikadan. Moskva. "Ma'rifat" 1984 yil V. A. Gusev, A. I. Orlov, A. L. Rozental.

“1001 savol va javob. Katta bilim kitobi" Moskva. "Kitoblar olami" 2004 yil.

Matematikadan ixtiyoriy kurs. Nikolskaya I.L. - Moskva. Ma'rifat 1991 yil.

Matematika fanidan olimpiada masalalari va ularni yechish usullari. Farkov A.V. - Moskva. 2003 yil

Internet resurslari.

Taqdimot mazmunini ko'rish
"Natural sonlarning bo'linuvchanlik belgilari"

Maktab o'quvchilari uchun mintaqaviy ilmiy konferentsiya

Laxdenpox munitsipal okrugi "Kelajakga qadam"

"Natural sonlarning bo'linuvchanlik belgilari"

To'ldiruvchi: Galkina Natalya

7-sinf o'quvchisi

MKOU "Elisenvaara o'rta maktabi"

Rahbar: Vasilyeva Larisa Vladimirovna

"Elisenvaarskaya" MKOU matematika o'qituvchisi O'rta maktab"

2014 yil

Tadqiqotning dolzarbligi : Bo'linish belgilari har doim turli davr va xalqlarning olimlarini qiziqtirgan. Matematika darslarida “Raqamlarning 2, 3, 5, 9, 10 ga bo‘linuvchanlik belgilari” mavzusini o‘rganar ekanman, sonlarni bo‘linish uchun o‘rganishga qiziqib qoldim. Agar raqamlarning bu raqamlarga bo'linishini aniqlash mumkin bo'lsa, unda natural sonlarning boshqa raqamlarga bo'linishini aniqlash mumkin bo'lgan belgilar mavjud bo'lishi kerak deb taxmin qilingan. Ba'zi hollarda har qanday natural sonning bo'linish yoki bo'linmasligini aniqlash uchun a natural songa b qoldiqsiz, bu raqamlarni bo'lish shart emas. Bo'linishning ba'zi belgilarini bilish kifoya. Gipoteza – natural sonlarning 2, 3, 5, 9 va 10 ga boʻlinuvchanlik belgilari mavjud boʻlsa, natural sonlarning boʻlinuvchanligini aniqlash mumkin boʻlgan boshqa belgilar ham mavjud. Tadqiqot maqsadi - maktabda o'rganilgan natural sonlarning bo'linuvchanligining allaqachon ma'lum bo'lgan belgilarini to'ldirish va ushbu bo'linish belgilarini tizimlashtirish. Ushbu maqsadga erishish uchun quyidagilarni hal qilish kerak vazifalar:

• Raqamlarning bo‘linuvchanligini mustaqil o‘rganing.
• Bo'linishning boshqa belgilari bilan tanishish uchun qo'shimcha adabiyotlarni o'rganing.
• Turli manbalardan xususiyatlarni birlashtiring va umumlashtiring.
• Xulosa chiqaring. O'rganish ob'ekti – natural sonlarning bo‘linuvchanligi. O'rganish mavzusi - bo'linish belgilari. Tadqiqot usullari - materiallarni to'plash, ma'lumotlarni qayta ishlash, taqqoslash, tahlil qilish; umumlashtirish. Yangilik : Loyiha davomida bilimimni kengaytirdim natural sonlarning bo'linuvchanlik mezonlari bo'yicha.

Matematika tarixidan

Blez Paskal (1623 yilda tug'ilgan) - insoniyat tarixidagi eng mashhur shaxslardan biri. Paskal 39 yoshida vafot etdi, ammo shunchalik qisqa umrga qaramay, u tarixga atoqli matematik, fizik, faylasuf va yozuvchi sifatida kirdi. Bosim birligi (paskal) va bugungi kunda juda mashhur dasturlash tili uning nomi bilan atalgan. Blez Paskal umumiy narsani topdi har qanday butun sonning istalgan boshqa butun songa bo‘linish belgilarini topish algoritmi.

Paskal testi - bu istalgan songa bo'linish testlarini olish imkonini beruvchi usul. "Bo'linishning universal belgisi" ning bir turi.

Paskal bo'linish testi: Raqam birliklarini b soniga bo'lish natijasida olingan mos qoldiqlarga a sonining raqamlari ko'paytmalari yig'indisi b soniga bo'linadigan bo'lsa, natural a soni boshqa natural son b ga bo'linadi.

Masalan : 2814 soni 7 ga boʻlinadi, chunki 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 7 ga boʻlinadi. va 3 - 10 ni 7 ga bo'lishdan qolgan qoldiq).

Asosiy tushunchalar

Keling, ushbu mavzuni o'rganishda bizga kerak bo'ladigan ba'zi matematik tushunchalarni eslaylik:

• Bo'linish testi - bu qoida bo'lib, unga ko'ra, bo'linmasdan, bir sonning boshqasiga bo'linishini aniqlash mumkin.

• Bo'luvchi natural son A natural raqamga qo'ng'iroq qiling b , qaysiga A qoldiqsiz bo'linadi.

• Oddiy bitta va o'zidan boshqa tabiiy aniq bo'luvchiga ega bo'lmagan natural sonlar deyiladi.

• Kompozit 1 va o'zidan boshqa tabiiy bo'luvchilarga ega bo'lgan sonlar.

Bo'linish belgilari

Men ushbu ishda ko'rib chiqqan natural sonlarning bo'linuvchanligining barcha belgilarini 4 guruhga bo'lish mumkin:

I

• I . Raqamlarning bo'linuvchanligi oxirgi raqam(lar) bilan aniqlanadi.

Men ko'rib chiqqan natural sonlarning bo'linuvchanlik belgilarining birinchi guruhiga 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 va raqamli birlik 10, 100 va boshqalarga bo'linish belgilari kiradi.

• 2 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish : Agar sonning oxirgi raqami 2 ga bo'linsa, raqam 2 ga bo'linadi (ya'ni, oxirgi raqam juft son).

Masalan : 3221786 4 : 2

• 4 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish : Oxirgi ikki raqami nol boʻlsa yoki oxirgi ikki raqamidan hosil boʻlgan ikki xonali son 4 ga boʻlinsa, raqam 4 ga boʻlinadi.

Masalan: 353 24 : 4; 66 00 : 4

• 5 ga bo'linish testi : Oxirgi raqami 5 yoki 0 boʻlsa, raqam 5 ga boʻlinadi.

Masalan: 3678 0 : 5 yoki 12326 5 : 5

• 8 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish: Raqam 8 ga bo'linadi, agar bu sonning oxirgi uchta raqamidan hosil bo'lgan uch xonali son 8 ga bo'linadi.

Masalan: 432 240 : 8

• 20 ga bo'linish uchun test: son ikkiga bo'lganda, son 20 ga bo'linadi oxirgi 20 ga bo'linadigan raqamlar. (Boshqa formula: raqam bo'linadi qachon 20 sonning oxirgi raqami 0, ikkinchidan oxirgi raqami esa juft).

Masalan: 596 40 : 20

• 25 ga bo'linish uchun test: Oxirgi ikki raqami nol bo'lgan yoki 25 ga bo'linadigan sonni tashkil etuvchi raqamlar 25 ga bo'linadi.

Masalan: 6679 75 : 25 yoki 77689 00 : 25

• 50 ga bo'linish uchun test: Raqam 50 ga bo'linadi, agar uning ikkita eng kichik o'nli raqamidan hosil bo'lgan son 50 ga bo'linsa.

Masalan : 5643 50 : 50 yoki 5543 00 : 50

• 125 ga bo'linish testi: Raqam 125 ga bo'linadi, agar uning oxirgi uchta raqami nol bo'lsa yoki 125 ga bo'linadigan sonni hosil qilsa.

Masalan: 32157 000 : 125 yoki 3216 250 : 125

• Raqam birligi 10, 100, 1000 va boshqalarga bo'linish belgilari: nollari soni raqam birligining nollari sonidan katta yoki teng bo'lgan natural sonlar raqamli birlikka bo'linadi.

Masalan, 12000 soni 10, 100 va 1000 ga bo'linadi.

II

• II . Raqamlarning bo'linuvchanligi son raqamlari yig'indisi bilan aniqlanadi

Natural sonlarning boʻlinuvchanlik belgilarining bu guruhiga men koʻrib chiqqan 3, 9, 11 ga boʻlinish belgilari kiradi.

• 3 ga bo'linish uchun test: Raqamlar yig'indisi 3 ga bo'linadigan bo'lsa, raqam 3 ga bo'linadi.

Masalan: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)

• 9 ga bo'linish qobiliyatini tekshirish: Raqamlar yig'indisi 9 ga bo'linadigan bo'lsa, raqam 9 ga bo'linadi.

Masalan: 653022: 9 chunki 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

• 11 ga bo'linish uchun test: Bu raqamlar 11 ga bo'linadi, agar toq joylardagi raqamlar yig'indisi juft joylardagi raqamlar yig'indisiga teng bo'lsa yoki undan 11 ga karrali farq qilsa.

Masalan: 865948732:11 chunki 8+5+4+7+2=26 va 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11, chunki 8+5+4+7+2=26 va 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

III . Ba'zi harakatlar bajarilgandan so'ng raqamlarning bo'linuvchanligi aniqlanadi

bu raqamning raqamlaridan yuqori

Natural sonlarning boʻlinuvchanlik belgilarining bu guruhiga: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 99, 101 ga boʻlinish belgilari kiradi.

6 ga bo'linish uchun test:

• 1-belgi: yuzliklardan keyingi sondan yuzlar sonini ikki marta ayirish natijasi 6 ga boʻlinsa, son 6 ga boʻlinadi.

Masalan: 138: 6 chunki 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 chunki 44 – 7·2=30, (30:6)

• 2-belgi: birlar soniga qo'shilgan o'nliklarning to'rt karra soni 6 ga bo'linsagina raqam 6 ga bo'linadi.

Masalan: 768:6 chunki 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

7 ga bo'linishi:

• 1-belgi: birlar soniga qo'shilgan o'nliklar soni uch marta 7 ga bo'linsa, raqam 7 ga bo'linadi.

Masalan: 154:7 raqami, chunki 15 3 + 4 = 49 (49:7) 7 ga bo'linadi

• 2-belgi: “+” belgisi bilan olingan uchta raqamdan (birlardan boshlanadigan) toq guruhlarni tashkil etuvchi raqamlarning algebraik yig‘indisining moduli “-” belgisi bilan bo‘linsa, raqam 7 ga bo‘linadi. 7.

Masalan, 138689257:7, chunki ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

11 ga bo'linishi:

• 1-belgi: agar toq pozitsiyalarni egallagan raqamlar yig'indisi bilan juft joyni egallagan raqamlar yig'indisi o'rtasidagi farq moduli 11 ga bo'linsa, raqam 11 ga bo'linadi.

Masalan, 9163627:11, chunki ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

• 2-belgi: agar ikkita raqamdan iborat guruhlarni tashkil etuvchi raqamlar yig'indisi (birlikdan boshlanadigan) 11 ga bo'linsa, raqam 11 ga bo'linadi.

Masalan, 103785:11, chunki 10+37+85=132 va 01+32=33 (33:11)

13 ga bo'linishi:

• 1-belgi: o'nlik va birliklar sonining to'rt barobari yig'indisi 13 ga bo'linsa, raqam 13 ga bo'linadi.

Masalan, 845:13, chunki 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

• 2-belgi: o'nlik va birliklar sonining to'qqiz barobari orasidagi farq 13 ga bo'linsa, raqam 13 ga bo'linadi.

Masalan, 845:13, chunki 84-5 9=39 (39:13)

17 ga bo'linish uchun test: Agar o'nlab va birlar sonining besh barobari orasidagi farq moduli 17 ga bo'linsa, raqam 17 ga bo'linadi.

Masalan, 221:17, chunki ǀ22-5·1ǀ=17

19 ga bo'linish belgilari: son o'nlik bo'lsa, son 19 ga bo'linadi bilan yolg'on 19 ga bo'linadigan birliklar sonini ikki baravar oshiring.

Masalan, 646:19, chunki 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

23 ga bo'linish testlari:

• 1-belgi: oxirgi ikki raqam hosil qilgan sonni uch marta koʻpaytirish uchun qoʻshilgan yuzlar soni 23 ga boʻlinsa, raqam 23 ga boʻlinadi.

Masalan, 28842:23, chunki 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

• 2-belgi: birliklar sonining yetti barobariga qo‘shilgan o‘nliklar soni 23 ga bo‘linsa, raqam 23 ga bo‘linadi.

Masalan, 391:23, chunki 39+7·1=46 (46:23)

• 3-belgi: yuzlar soni o'nlik soniga yetti marta qo'shilsa va birliklar soni uch marta ko'paytirilsa, son 23 ga bo'linadi. 23 ga bo'linadi.

Masalan, 391:23, chunki 3+7·9+3·1=69 (69:23)

, 391:23, chunki Agar uchta raqamdan iborat guruhlarni tashkil etuvchi raqamlar yig'indisi (birlardan boshlanadigan) 27 ga bo'linsa, raqam 27 ga bo'linadi.

Masalan, 2705427:27, chunki 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Agar uchta raqamdan iborat guruhlarni tashkil etuvchi raqamlar yig'indisi (birlardan boshlanadigan) 27 ga bo'linsa, raqam 27 ga bo'linadi. Agar birliklar sonining uch barobariga qo'shilgan o'nliklar soni 29 ga bo'linsa, raqam 29 ga bo'linadi.

Masalan, 261:29, chunki 26+3·1=29 (29:29)

31 ga bo'linish uchun test: o'nlik sonining farqi moduli bo'lganda raqam 31 ga bo'linadi va uch marta birliklar soni 31 ga bo'linadi.

Masalan, 217:31, chunki ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

O'nlik soni va birlar sonining uch barobari orasidagi farq moduli 31 ga bo'linsa, raqam 31 ga bo'linadi. Agar sonni o'ngdan chapga ikki xonali guruhlarga bo'lish natijasida hosil bo'lgan yig'indi 33 ga bo'linadigan bo'lsa, u holda son 33 ga bo'linadi.

Masalan, 396:33, chunki 96+3=99 (99:33)

Agar sonni o'ngdan chapga ikki xonali guruhlarga bo'lish natijasida hosil bo'lgan yig'indi 33 ga bo'linadigan bo'lsa, u holda son 33 ga bo'linadi.

• Belgisi 1 : Raqam 37 ga bo'linadi, agar raqamni uchta raqamdan iborat guruhlarga bo'lishda (birlardan boshlab) bu ​​guruhlarning yig'indisi 37 ga karrali bo'lsa.

Masalan , 100048:37 raqami, chunki 100+048=148, (148:37)

• 2-belgi: yuzlar sonini uch marta koʻpaytirish moduli, oʻnlik sonini toʻrt barobarga koʻpaytirish, yettiga koʻpaytirilgan birliklar sonini ayirib tashlash moduli 37 ga boʻlinsa, son 37 ga boʻlinadi.

Masalan, 481:37 soni ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37 bo'lgani uchun 37 ga bo'linadi.

, raqam 481:37, chunki u 37 ga bo'linadi

• 1-belgi: o'nlik soni va birlar sonining to'rt barobari orasidagi farq moduli 41 ga bo'linsa, raqam 41 ga bo'linadi.

Masalan, 369:41, chunki ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

• 2-belgi: raqam 41 ga bo'linishini tekshirish uchun uni o'ngdan chapga har biri 5 ta raqamdan iborat guruhlarga bo'lish kerak. Keyin har bir guruhda o'ngdagi birinchi raqamni 1 ga ko'paytiring, ikkinchi raqamni 10 ga, uchinchi raqamni 18 ga, to'rtinchi raqamni 16 ga, beshinchi raqamni 37 ga ko'paytiring va olingan barcha mahsulotlarni qo'shing. Agar natija 41 ga bo'linadigan bo'lsa, unda raqamning o'zi 41 ga bo'linadi.

: Raqamning 41 ga boʻlinishini tekshirish uchun uni oʻngdan chapga har biri 5 ta raqamdan iborat guruhlarga boʻlish kerak. Keyin har bir guruhda o'ngdagi birinchi raqamni 1 ga ko'paytiring, ikkinchi raqamni 10 ga, uchinchi raqamni 18 ga, to'rtinchi raqamni 16 ga, beshinchi raqamni 37 ga ko'paytiring va olingan barcha mahsulotlarni qo'shing. Natija bo'lsa 6 ga ko'paytirilgan birliklar soniga qo'shilgan o'nliklar soni 59 ga bo'linsa, raqam 59 ga bo'linadi.

Masalan, 767:59, chunki 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

6 ga ko'paytirilgan birliklar soniga qo'shilgan o'nliklar soni 59 ga bo'linsa, raqam 59 ga bo'linadi. Birlik soni 8 ga ko‘paytirilganda o‘nlik soni 79 ga bo‘linsa, son 79 ga bo‘linadi.

Masalan, 711:79, chunki 71+8·1=79, (79:79)

99 ga bo'linish testi: Ikki raqamdan iborat guruhlarni tashkil etuvchi raqamlar yig'indisi (birlikdan boshlanadigan) 99 ga bo'linsa, raqam 99 ga bo'linadi.

Masalan, 12573:99, chunki 1+25+73=99, (99:99)

101 ga bo'linish testi: “+” belgisi bilan olingan ikkita raqamdan (birlardan boshlanadigan) toq guruhlarni tashkil etuvchi raqamlarning algebraik yig‘indisi moduli 101 ga bo‘linsa, son 101 ga bo‘linadi.

Masalan, 590547:101, chunki ǀ59-5+47ǀ=101, (101:101)

IV . Sonning boʻlinuvchanligini aniqlash uchun boshqa boʻlinish mezonlari qoʻllaniladi

Natural sonlarning boʻlinuvchanlik belgilarining bu guruhiga quyidagilarga boʻlinish belgilari kiradi: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60 va boshqalar. Bularning barchasi kompozit raqamlardir. Murakkab sonlar uchun boʻlinish mezonlari tub sonlar uchun boʻlinish mezonlariga asoslanadi, har qanday kompozit sonni ajralish mumkin.

6 ga bo'linish uchun test: Raqam 2 ga ham, 3 ga ham bo'linsa, ya'ni juft bo'lsa va raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linsa, u 6 ga bo'linadi.

Masalan, 768:6, chunki 7+6+8=21 (21:3) va 768 sonining oxirgi raqami juft.

12 ga bo'linish testi : Bir vaqtning o'zida 3 va 4 ga bo'linadigan son 12 ga bo'linadi.

Masalan, 408:12, chunki 4+0+8=12 (12:3) va oxirgi ikki raqam 4 ga bo'linadi (08:4)

14 ga bo'linish uchun test: Raqam 2 va 7 ga bo'linsa, 14 ga bo'linadi.

Masalan, 45612:14 raqami, chunki u 2 va 7 ga bo'linadi, ya'ni u 14 ga bo'linadi.

15 ga bo'linish uchun test: Raqam 3 va 5 ga bo'linsa, 15 ga bo'linadi.

Masalan, 1146795:15, chunki bu raqam 3 ga ham, 5 ga ham bo'linadi

27 ga bo'linish testlari: Raqam 3 va 9 ga bo'linsa, 27 ga bo'linadi. Masalan, 511704:27 chunki 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 va 18:9)

30 ga bo'linish belgilari: Raqam 0 bilan tugasa, 30 ga bo'linadi va barcha raqamlar yig'indisi 3 ga bo'linadi.

Masalan, 510:30 chunki 5+1+0=6 (6:3) va 510 sonida (oxirgi raqam 0)

60 ga bo'linish belgilari: Raqam 60 ga boʻlinishi uchun uning 4, 3 yoki 5 ga boʻlinishi zarur va yetarli.

Masalan, 1620:60 chunki 1+6+2+0=9 (9:3), 1620 raqami 0 bilan tugaydi, yaʼni. 5 ga bo'linadi va 1620: 4 chunki oxirgi ikki raqam 20:4

Bo'linish mezonlarini amaliyotda qo'llash

Ish amaliy qo'llanilishiga ega. U maktab o'quvchilari va kattalar tomonidan haqiqiy vaziyatlarni hal qilishda foydalanishi mumkin; o'qituvchilar, ham matematika darslarida, ham tanlov kurslarida va qo'shimcha takrorlash darslarida.

Ushbu tadqiqot talabalarning yakuniy va kirish imtihonlariga mustaqil tayyorlanishida foydali bo'ladi. Bu shahar olimpiadalarida yuqori o'rinlarni egallashni maqsad qilgan talabalar uchun ham foydali bo'ladi.

Vazifa № 1 . Faqat 3 va 4 raqamlaridan foydalanib yozish mumkinmi:

• 10 ga bo'linadigan raqam;
• juft son;
• 5 ga karrali son;
• toq raqam

Muammo № 3 : Barcha raqamlari har xil boʻlgan va 2, 5, 9, 11 ga boʻlinadigan eng katta toʻrt xonali sonni toping.

Javob: 8910

Vazifa №4: Olya oddiy uch xonali raqamni o'ylab topdi, uning raqamlari har xil. Agar uning oxirgi raqami birinchi ikkitasining yig'indisiga teng bo'lsa, u qaysi raqam bilan tugashi mumkin. Bunday raqamlarga misollar keltiring.

Javob: faqat 7. Masala shartini qanoatlantiradigan 4 ta raqam bor: 167, 257, 347, 527

Muammo № 5 : Ikkita sinfda birga 70 nafar o‘quvchi bor. Bir sinfda 7/17 o‘quvchi darsga kelmagan, boshqasida esa 2/9 o‘quvchi matematikadan a’lo baholar olgan. Har bir sinfda nechta o'quvchi bor?

Yechim: Bu sinflarning birinchisida quyidagilar bo'lishi mumkin: 17, 34, 51... - 17 ga karrali sonlar. Ikkinchi sinfda: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - karrali sonlar. ning 9. Birinchi qatordan 1 ta raqamni tanlashimiz kerak, va 2 ikkinchidan raqam bo'lib, ular qo'shilib 70 ga etadi. Bundan tashqari, bu ketma-ketliklarda faqat oz sonli atamalar bolalarning mumkin bo'lgan sonini ifodalashi mumkin. sinf. Ushbu e'tibor variantlarni tanlashni sezilarli darajada cheklaydi. Mumkin bo'lgan yagona variant bu juftlik edi (34, 36).

Muammo № 6 : 9-sinfda o‘quvchilarning 1/7 qismi test uchun “A” ball olgan, 1/3 qismi “A” ball olgan. to'rt, ½ - uch. Qolgan ishlar esa qoniqarsiz bo‘lib chiqdi. Bunday asarlar qancha edi?

Yechim: Muammoning yechimi raqamlarning karrali soni bo'lishi kerak: 7, 3, 2. Avval topamiz. bu raqamlarning eng kichigi. LCM (7, 3, 2) = 42. Siz ifoda qilishingiz mumkin muammoning shartlariga ko'ra: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 muvaffaqiyatsiz. Matematik munosabatlar masalalari sonni nazarda tutadi 84, 126-sinf o'quvchilari va boshqalar. Inson. Ammo aql-idrok sabablarga ko'ra Bundan kelib chiqadiki, eng maqbul javob 42 raqamidir.

Javob: 1 ta ish.

Xulosa:

Bu ish natijasida men bilgan 2, 3, 5, 9 va 10 ga boʻlinish belgilaridan tashqari natural sonlarning boʻlinuvchanlik belgilari ham borligini bilib oldim. Olingan bilimlar ko'plab muammolarni hal qilishni sezilarli darajada tezlashtiradi. Men esa bu bilimlarni o‘quv faoliyatimda ham matematika darslarida, ham sinfdan tashqari mashg‘ulotlarda qo‘llay olaman. Shuni ham ta'kidlash kerakki, ba'zi bo'linish mezonlarining formulalari murakkab. Balki shuning uchun ham ular maktabda o'qimaydilar. Kelajakda natural sonlarning boʻlinuvchanlik belgilarini oʻrganish ustida ishlashni davom ettiraman.

• Yosh matematikning entsiklopedik lug'ati. Savin A.P. Moskva "Pedagogika" 1989 yil.
• Matematika. Matematika darslari uchun qo'shimcha materiallar 5-11 sinflar. Ryazanovskiy A.R., Zaitsev E.A. Moskva "Bustard" 2002 yil.
• Matematika darsligi sahifalari ortida. Vilenkin N.Ya., Depman I.Ya. M.: Ta'lim, 1989 yil.
• 6-8-sinflarda matematikadan sinfdan tashqari ishlar. Moskva. "Ma'rifat" 1984 yil V. A. Gusev, A. I. Orlov, A. L. Rozental.
• “1001 savol va javob. Katta bilim kitobi" Moskva. "Kitoblar olami" 2004 yil.
• Matematikadan ixtiyoriy kurs. Nikolskaya I.L. - Moskva. Ma'rifat 1991 yil.
• Matematika fanidan olimpiada masalalari va ularni yechish usullari. Farkov A.V. - Moskva. 2003 yil
• Internet resurslari.

Butun sonlar

Hisoblash yoki ko'chirish uchun ishlatiladigan natural sonlar to'plami.

Rasmiy ravishda natural sonlar to'plamini Peano aksioma tizimi yordamida aniqlash mumkin.

BILANPeano aksioma tizimi

1. Birlik - hech qanday songa ergashmaydigan natural son.

2. Har qanday natural son uchun mavjud birlik
Bu darhol ergashadi.

3. Har bir natural son
darhol faqat bitta raqamdan keyin keladi.

4. Agar ba'zi o'rnatilgan bo'lsa
o'z ichiga oladi va har bir natural son bilan birga darhol undan keyingi raqamni o'z ichiga oladi
(induksiya aksiomasi).

To'plamdagi operatsiyalar

Ko'paytirish

Ayirish :

Ayirish xususiyatlari: Agar
Bu

Agar
Bu

Natural sonlarning bo‘linuvchanligi

Bo'lim : tomonidan bo'linadi
shu kabi

Xususiyatlarioperatsiyalar:

1. Agar
ga bo'linadi Bu
tomonidan bo'linadi

2. Agar
Va
ga bo'linadi Bu
tomonidan bo'linadi

3. Agar
Va ga bo'linadigan, bo'lingan

4. Ungacha bo'linadigan bo'lsa
tomonidan bo'linadi

5. Agar
a ga bo'linadi bu va bu kabilarga bo'linmaydi
ga bo'linmaydi

6. Agar yoki shunga bo'linadi
tomonidan bo'linadi

7. ga bo'linadigan bo'lsa
keyin ga bo'linadi va tomonidan ajratiladi

Teoremaqoldiq bilan bo'lish haqida Har qanday natural sonlar uchun
faqat ijobiy raqamlar mavjud
shu kabi
va

Isbot. Mayli
Quyidagi algoritmni ko'rib chiqing:

	Agar Agar keyin yana ayirish qilaylik Qolgan sondan kam bo'lguncha ayirish jarayonini davom ettiramiz Raqam bor shu kabi
	Keling, ushbu algoritmning barcha satrlarini yig'amiz va kerakli ifodani olamiz, bu erda

Biz vakillikning o'ziga xosligini qarama-qarshilik bilan isbotlaymiz.

Aytaylik, ikkita vakillik mavjud

Va
Bir ifodani boshqasidan ayirish va
Butun sonlardagi oxirgi tenglik faqat o'sha paytdagi holatda mumkin
da
□

Xulosa 1. Har qanday natural sonni quyidagicha ifodalash mumkin:
yoki yoki

Xulosa 2. Agar
ketma-ket natural sonlar, u holda ulardan biri ga bo'linadi

Xulosa 3. Agar
ketma-ket ikkita juft son bo'lsa, ulardan biri ga bo'linadi

Ta'rif. Natural son bir va o‘zidan boshqa bo‘luvchilari bo‘lmasa, tub son deyiladi.

Natija4. Har bir tub sonning shakli bor
yoki

Haqiqatan ham, har qanday raqam shaklda ifodalanishi mumkin, ammo bu seriyadagi barcha raqamlar bundan mustasno;
albatta kompozitsiondir. □

Natija5 . Agar
keyin asosiy raqam
tomonidan bo'linadi

Haqiqatan ham,
ketma-ket uchta natural son, va
hatto, va
g'alati bosh. Shuning uchun, juft raqamlardan biri
Va
4 ga bo'linadi va bir ga ham bo'linadi □

2-misol . Quyidagi bayonotlar haqiqatdir:

1. Toq sonning kvadrati 8 ga bo‘linganda qoldiqni beradi

2. Hech qanday natural son uchun n 2 +1 soni 3 ga bo‘linmaydi.

3. Faqat 2, 3, 7, 8 raqamlaridan (ehtimol bir necha marta) foydalanib, natural sonni kvadratga aylantirish mumkin emas.

Isbot1. Har qanday toq raqam sifatida ifodalanishi mumkin
yoki
Keling, bu raqamlarning har birini kvadratga aylantiramiz va kerakli bayonotni olamiz.

Isbot 2. Har bir natural sonni quyidagicha ifodalash mumkin
Keyin ifoda
ifodalardan biriga teng bo'ladi
qaysilarga bo'linmaydi

Isbot3. Darhaqiqat, natural son kvadratining oxirgi raqami bu raqamlarning birortasi bilan tugamaydi.

Bo'linish belgilari

Ta'rif. Natural sonning oʻnli koʻrinishi sonning koʻrinishdagi koʻrinishidir

Qisqartirilgan yozuv

Bo'linish belgilari

Tasdiqlangan 6 Mayli
sonning o'nli ko'rinishi Keyin:

1. Raqam ga bo'linadi
raqam qachon - tekis;

2. Son ga bo‘linadi raqam ikki xonali bo'lganda
tomonidan bo'linadi

3. Son ga bo‘linadi Qachon
yoki

4. Son ga bo‘linadi
Qachon

5. Son ga bo‘linadi
raqam ikki xonali bo'lganda
- tomonidan bo'linadi

6. Son ga bo‘linadi

7. Son ga bo‘linadi son raqamlari yig'indisi ga bo'linganda

8. Son ga bo‘linadi
belgilari o'zgaruvchan son raqamlari yig'indisi ga bo'linganda

Isbot. 1)-5) belgilarining isboti 6) va 7) sonning o'nli yozuvidan osonlik bilan olinadi. Haqiqatan ham,

Bundan kelib chiqadiki, agar bo'linadigan bo'lsa (yoki
u holda son raqamlari yig'indisi ham ga bo'linadi

Keling, 11 ni isbotlaylik). ga bo'linsin, sonni ko'rinishda ifodalaymiz

Chunki barcha qo'shilgan summalar ga bo'linadi
keyin miqdor ham □ ga bo'linadi

3-misol . Shaklning barcha besh xonali raqamlarini toping
, ular 45 ga bo'linadi.

Isbot.
Shuning uchun raqam 5 ga bo'linadi va uning oxirgi raqami 0 yoki 5 ga teng, ya'ni.
yoki
Asl raqam ham 9 ga bo'linadi, shuning uchun u 9 ga bo'linadi, ya'ni.
yoki 9 ga bo'linadigan, ya'ni.

Javob:

Bo'linish testi yoqilgan Va

Tasdiqlangan 7 Raqam sonining o'nli ko'rinishi Son ga bo'linsin
oxirgi uchta raqami bo'lmagan son va oxirgi uchta raqamdan tashkil topgan raqam o'rtasidagi farq ga bo'linganda

Isbot. Uni raqamdan beri shaklida ifodalaymiz
va ga bo'linadi
Bu
va □ ga bo'linadi

Misol 4 . Mayli
Keyin
ga bo'linadi va shuning uchun songa bo'linadi
tomonidan bo'linadi

Mayli
Keyin

soniga bo'linadi
tomonidan bo'linadi

Bosh sonlar

Eratosfen elaklari

(Barcha tub sonlarni olishning oddiy algoritmi)

Algoritm. Biz 1 dan 100 gacha bo'lgan barcha raqamlarni yozamiz va birinchi navbatda barcha juftlarni kesib tashlaymiz. Keyin qolganlardan 3, 5, 7 va hokazolarga bo'linadiganlarni kesib tashlaymiz. Natijada faqat tub sonlar qoladi.

Evklid teoremasi. Tub sonlar soni cheksizdir.

Isbot"qarama-qarshilik bilan." tub sonlar soni chekli bo'lsin -
Raqamni ko'rib chiqing
Savol: raqam - oddiy yoki murakkabmi?

Agar kompozit son bo'lsa, u qandaydir tub songa bo'linadi va shuning uchun bitta bu tub songa bo'linadi. Qarama-qarshilik.

Agar tub son bo'lsa, u har qanday tub sondan katta bo'ladi
va biz barcha tub sonlarni yozdik va raqamladik. Yana qarama-qarshilik. □

Tasdiqlangan 8 Agar son kompozit bo'lsa, unda shunday tub bo'luvchi bor

Isbot. If - kompozit sonning eng kichik tub bo'luvchisi
Bu

Natija. Sonning tub ekanligini aniqlash uchun uning tub omillari bor-yo‘qligini aniqlash kerak

Misol 5 . Mayli
Raqam mavjudligini tekshirish uchun
oddiy, uning tub sonlarga bo'linishini tekshirishingiz kerak Javob: son
oddiy.

Bosh sonlar generatorlari

Gipoteza: Shaklning barcha raqamlari
oddiy.

Da
- bu tub sonlar
Uchun
Qo'lda va kompyuter yordamida barcha raqamlar kompozitsion ekanligi isbotlangan.

Masalan, (Euler)

Gipoteza: Shaklning barcha raqamlari
oddiy.

Da
bu rost, ha
17 ga bo'linadi.

Gipoteza: Shaklning barcha raqamlari
oddiy.

Da
bu rost, ha

Gipoteza: Shaklning barcha raqamlari tubdir. Da
bu rost, ha

Teorema.(Fermat faktoring usuli) Toq butun son tub son emas
shunday natural sonlar bor
Isbot.

□

Misol 6 . Komil sonlarni tub omillarga aylantirish

Misol 7 . Raqamni faktor qiling
Bu raqam 3 ga bo'linadi
Bundan tashqari, omillarni tanlash usuliga ko'ra,

Misol 8 . Qaysi butun sonlarda

oddiymi?

E'tibor bering, shundan beri
oddiy, keyin ham
yoki
Javob:

Tasdiqlangan 10 Natural son to'liq kvadrat bo'lsa, uning bo'luvchilari toq bo'ladimi?

Isbot. Agar
bo'luvchi
keyin ikki xil boʻluvchi juft boʻladi
Va
va qachon
ikkala juftlik teng bo'ladi.

Misol 9 . Raqamlar aniq 99 bo'luvchiga ega. Sonning 100 ta boʻluvchisi boʻlishi mumkinmi?

Javob: yo'q. Darhaqiqat, oldingi mulk bo'yicha va - mukammal kvadratlar, lekin ularning ishi emas.

Misol 10 . Raqamlar
oddiy. Toping

Yechim. Har qanday raqam sifatida ifodalanishi mumkin
Agar
keyin siz uchta tub sonni olasiz
muammoning shartlarini qondirish. Agar
Bu
kompozitsion. Agar
bu raqam
tomonidan bo'linadi Agar
bu raqam
ga bo'linadi Shunday qilib, barcha ko'rib chiqilgan variantlarda uchta tub sonni olish mumkin emas. Javob:

Ta'rif. Raqam sonlarning eng katta umumiy bo'luvchisi deb ataladi va agar u bo'lsa va va bunday sonlarning eng kattasi bo'lsa.

Belgilanishi:

Ta'rif . Sonlar va agar nisbatan tub sonlar deyiladi

1-misol 2 . Natural sonlardagi tenglamani yeching

Yechim. Mayli

Demak, tenglama quyidagicha ko'rinadi Javob: Yechim yo'q.

HAQIDAarifmetikaning asosiy teoremasi

Teorema. dan katta bo'lgan har qanday natural son tub son bo'ladi yoki tub sonlar ko'paytmasi sifatida yozilishi mumkin va bu ko'paytma omillar tartibiga qadar yagonadir.

Xulosa 1. Mayli

Keyin
eng kichik darajali barcha umumiy tub omillarning mahsulotiga teng.

Xulosa 2. Mayli
Keyin
eng katta kuchga ega bo'lgan barcha turli tub omillarning mahsulotiga teng. tomonidan bo'linadi

10. 7 2011 + 9 2011 sonining oxirgi raqamini toping.

11. Agar birliklar raqami bilan o‘nlik raqamlari orasiga nol qo‘yilsa, 9 marta ortaydigan barcha natural sonlarni toping.

12. Ba'zi ikki xonali songa chap va o'ngga bitta qo'shildi. Natija asl nusxadan 23 barobar ko'p bo'ldi. Bu raqamni toping.

Nazariya yoki mashqlar bo'yicha savollarni Valeriy Petrovich Chuvakovga berish mumkin

chv @ uriit . ru

qo'shimcha adabiyotlar

1. Vilenkin N.Ya. va boshqalar matematika darsligining sahifalarida. Arifmetika. Algebra. -M.: Ta'lim, 2008 yil.

2. Sevryukov P.F. Matematika fanidan olimpiada masalalarini yechishga tayyorgarlik. -M.: Ilexa, 2009 yil.

3. Kanel-Belov A.Ya., Kovaldji A.K. Ular qanday qaror qilishadi nostandart vazifalar. – M. MCNMO, 2009 yil.

4. Agaxanov N.A., Podlipskiy O.K. Moskva viloyati matematika olimpiadalari. –M.: Fizmatkniga, 2006 yil

5. Gorbachev N.V. Olimpiada masalalari to'plami, -M.:MCNMO, 2004

Leksiya

“Raqamlar nazariyasi” kursi uchun ma’ruza matnlari

Leksiya

Nazariyaning keyingi bo'limlari raqamlar: nazariya bo'linuvchanlik, oddiy va kompozit... Teorema. x>0, xR, dN bo‘lsin. Miqdori tabiiyraqamlar, d ning karralari va x dan oshmaydigan, teng... Leksiya 12 13 Leksiya 13 15 Adabiyot. 17 Abstraktma'ruzalar"Nazariyalar" kursida raqamlar" ...

Ulturologiya bo'yicha ma'ruza matnlari

Abstrakt

Pavlyuchenkov Abstraktma'ruzalar madaniyatshunoslikda... notekis va ichida mavjud edi tabiiy fermer xo'jaliklari. U polisda... cheksiz kichiklar tadqiqotida raqamlar asosan tugallangan yaratish... moddiy esa bo'linadigan cheksizlikka. Ruhiy...

D A Shadrin Logic ma'ruza matnlari

Abstrakt

O'zida aks ettiradi mavhumma'ruzalar"Mantiq" fanidan. Abstraktma'ruzalar tuzilgan... bu ta'rif tabiiyraqamlar. Shunday qilib, agar 1 - tabiiy raqam va n - tabiiy raqam, keyin 1 ... butun hajmni tugatadi bo'linadigan tushunchalar, shuning uchun ...

Ta'lim yo'nalishi: tabiatshunoslik.

Bo'lim: "Matematika"

Mavzu bo'yicha tadqiqot ishi:

"Natural sonlarning bo'linuvchanlik belgilari"

Rahbar: Lapko I.V.

matematika o'qituvchisi

Kirish:

1. Matematika tarixidan faktlar.

2. 2, 3, 4, 5,6,8, 9, 10 ga bo‘linish belgilari.

3. Natural sonlarning 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25 ga bo‘linuvchanlik belgilari.

4. Bo‘linish mezonlari yordamida masalalar yechish.

6. Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati (manbalar).

Muvofiqligi: Maktabda hammamiz bo'linish belgilarini o'rgandik, bu bizga keraksiz vaqtni yo'qotmasdan, u yoki bu raqamni tez va aniq ajratishga yordam beradi. Yaqinda ushbu mavzuni eslab, natural sonlarga bo'linishning boshqa belgilari bormi, deb o'ylay boshladim. Aynan shu fikr meni tadqiqot ishini yozishga undadi.
Gipoteza: Agar siz natural sonlarning 2, 3, 5, 9, 10 ga bo'linuvchanligini aniqlay olsangiz, tabiiy sonlarning boshqa raqamlarga bo'linishini aniqlashingiz mumkin bo'lgan belgilar mavjud.
O'rganish ob'ekti: natural sonlarning bo'linuvchanligi.

O'rganish mavzusi: natural sonlarning bo'linuvchanlik belgilari.

Maqsad: maktabda o'rganilgan natural sonlarning bo'linuvchanligining allaqachon ma'lum bo'lgan belgilarini to'ldirish.

Vazifalar:
1. 2, 3. 5, 9, 10 ga boʻlinishning oʻrganilgan belgilarini aniqlang va takrorlang.
2. Natural sonlarning boʻlinuvchanligining boshqa belgilari mavjudligi haqidagi savolning toʻgʻriligini tasdiqlovchi qoʻshimcha adabiyotlarni oʻrganing.
3. Natural sonlarning 4, 6, 8, 15, 25 ga bo‘linuvchanlik belgilarini mustaqil tekshirib, oling.
4. Natural sonlarning 7, 11,12,13,14 ga bo‘linuvchanlik belgilarini qo‘shimcha adabiyotlardan toping.
5. Xulosa tuzing.
Yangilik: Loyiha davomida natural sonlarning bo‘linuvchanlik belgilari haqidagi bilimlarimni kengaytirdim.

Tadqiqot usullari: material to'plash, ma'lumotlarni qayta ishlash, kuzatish, taqqoslash, tahlil qilish, sintez qilish.

1. Matematika tarixidan faktlar

1. Bo'linish belgisi- raqam oldindan belgilanganga karrali yoki yo'qligini nisbatan tez aniqlash imkonini beruvchi algoritm
Bo'linish testi - bu qoida bo'lib, unga ko'ra, bo'linmasdan, bitta natural sonning boshqasiga bo'linish yoki bo'linishini aniqlash mumkin. Bo'linish belgilari doimo olimlarni qiziqtirgan turli mamlakatlar va vaqtlar 2, 3, 5, 9, 10 ga boʻlinish belgilari qadimdan maʼlum. 2 ga bo'linish belgisi qadimgi misrliklarga miloddan avvalgi 2 ming yillikda ma'lum bo'lgan va 2, 3, 5 ga bo'linish belgilarini italyan matematigi Leonardo Pisanus (lotincha Leonardus Pisanus, italyan Leonardo Pisano, taxminan 1170 yil, Piza - taxminan 1250 yil, o'sha yerda) - O'rta asr Evropasining birinchi yirik matematiki. U Fibonachchi taxallusi bilan mashhur. Miloddan avvalgi 3-asrda yashagan iskandariyalik olim Eratosfen ham xuddi shu savol haqida oʻylagan. Uning tub sonlar ro'yxatini tuzish usuli "Eratosfen elak" deb nomlangan. Aytaylik, 100 gacha bo'lgan barcha tub sonlarni topishimiz kerak. 100 gacha bo'lgan barcha sonlarni ketma-ket yozamiz.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.

2 raqamini qoldirib, qolgan barcha juft raqamlarni kesib tashlang. 2 dan keyin qolgan birinchi raqam 3 bo'ladi. Endi 3 raqamini qoldirib, 3 ga bo'linadigan sonlarni kesib o'tamiz. Keyin 5 ga bo'linadigan sonlarni kesib tashlaymiz. Natijada, barcha kompozit raqamlar va faqat tub sonlar chiziladi. qoladi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 , 97. Ushbu usul yordamida siz 100 dan katta tub sonlar ro'yxatini tuzishingiz mumkin.

Sonlarning bo'linishi masalalari Pifagorchilar tomonidan ko'rib chiqildi. Sonlar nazariyasida ular natural sonlar tipologiyasi ustida ko‘p ishlar qildilar. Pifagorchilar ularni sinflarga bo'lishdi. Sinflar ajralib turdi: mukammal raqamlar (raqam summasiga teng o'z bo'luvchilari, masalan: 6=1+2+3), do'stona sonlar (har biri boshqasining bo'luvchilari yig'indisiga teng, masalan 220 va 284: 284=1+2+4+5+10+ 20+11+22+44 +55+110; 220=1+2+4+71+142), figurali sonlar (uchburchak son, kvadrat son), tub sonlar va hokazo. Blez Paskal (1623-1662) sonlarning bo'linuvchanlik belgilarini o'rganishga qo'shgan hissasi). Yosh Blez juda erta ko'rsatdi matematik ko'nikmalar, o'qishdan oldin hisoblashni o'rganish. Umuman olganda, uning misoli bolalik matematik dahosining klassik holatidir. U o'zining birinchi matematik risolasini 24 yoshida "Konusli kesimlar nazariyasi tajribasi" ni yozgan. Taxminan bir vaqtning o'zida u qo'shish mashinasining prototipi bo'lgan mexanik qo'shish mashinasini yaratdi. IN erta davr Ko'p qirrali olim o'zining ijodiy ishida (1640-1650) har qanday butun sonning boshqa har qanday butun songa bo'linish belgilarini topish algoritmini topdi, undan barcha xususiy belgilar kelib chiqadi. Uning ishorasi quyidagicha: a natural soni boshqa natural son b ga bo'linadi, agar a sonining raqamlari ko'paytmalari yig'indisi raqamli birliklarni b soniga bo'lish natijasida olingan mos qoldiqlarga bo'linadi. raqam.
Ushbu mavzuni o'rganayotganda, bo'linuvchi, ko'p sonli, tub va qo'shma sonlar tushunchalarini bilishingiz kerak natural sonning bo'luvchisi b natural son bo'lib, u ko'pincha bo'linuvchanlik haqidagi bayonotdir sonning b soni bilan ifodalanishi boshqa ekvivalent so'zlar bilan ifodalanadi: a - b ning bo'luvchisi, b - a ning bo'luvchisi, b - a bo'luvchisi tub sonlar - ikkita bo'luvchiga ega bo'lgan natural sonlar: 1 va sonning o'zi. Masalan, 5,7,19 sonlari tub sonlar, chunki 1 ga va o'ziga bo'linadi. Ikkidan ortiq bo'luvchiga ega bo'lgan sonlar kompozit sonlar deyiladi. Masalan, 14 sonining 4 ta bo'luvchisi bor: 1, 2, 7, 14, ya'ni u kompozitsion.

2. Bo‘linuvchanlik belgilari

Natural sonlarning bo'linishini soddalashtirish uchun birinchi o'nlik raqamlariga va 11, 25 raqamlariga bo'linish qoidalari chiqarildi, ular natural sonlarning bo'linish belgilari bo'limiga birlashtirildi. Quyida sonni boshqa natural songa bo'lmasdan tahlil qilish tabiiy son 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 raqamlariga karrali degan savolga javob beradigan qoidalar keltirilgan. va raqam birligi?

Birinchi raqamda 2,4,6,8,0 raqamlari (tugashi) bo'lgan natural sonlar juft deyiladi.

Raqamlar 2 ga bo'linish testi

Barcha juft natural sonlar 2 ga bo'linadi, masalan: 172, 94,67, 838, 1670.

Masalan, 52 738 soni 2 ga bo'linadi, chunki oxirgi raqam 8 juft bo'ladi; 7691 2 ga bo'linmaydi, chunki 1 toq sondir; 1250 2 ga bo'linadi, chunki oxirgi raqam nolga teng.

Raqamlar 3 ga bo'linish testi

Raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linadigan barcha natural sonlar 3 ga bo'linadi. Masalan:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Misollar.

52632 raqami 9 ga bo'linadi, chunki uning raqamlari (18) yig'indisi 9 ga bo'linadi.

Raqamlar 4 ga bo'linish testi

Oxirgi ikki raqami nol yoki 4 ga karrali boʻlgan barcha natural sonlar 4 ga boʻlinadi.
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Misollar.
31 700 4 ga bo'linadi, chunki u ikkita nol bilan tugaydi;
215 634 4 ga bo'linmaydi, chunki oxirgi ikki raqam 4 ga bo'linmaydigan 34 raqamini beradi;
16,608 soni 4 ga bo'linadi, chunki 08 ning oxirgi ikki raqami 4 ga bo'linadigan 8 raqamini beradi.

Raqamlar 5 ga bo'linish testi

Raqamlar 6 ga bo'linish testi

Bir vaqtning o'zida 2 va 3 ga bo'linadigan natural sonlar 6 ga bo'linadi (3 ga bo'linadigan barcha juft sonlar). Masalan: 126 (b - juft, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Raqamlar 8 ga bo'linish testi

Faqat uchta nol bilan tugaydigan yoki oxirgi uchta raqami 8 ga bo'linadigan sonni bildiradigan raqamlar 8 ga bo'linadi. Misol.

853 000 soni uchta nol bilan tugaydi, ya'ni u 8 ga bo'linadi.

381 864 soni 8 ga bo'linadi, chunki 864 ning oxirgi uchta raqamidan hosil bo'lgan son 8 ga bo'linadi.

Va boshqalar9 ga bo'linish belgisi

Raqamlari yig‘indisi 9 ga karrali natural sonlar 9 ga bo‘linadi. Masalan:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Misollar.
17835 raqami 3 ga bo'linadi va 9 ga bo'linmaydi, chunki uning 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linadi va 9 ga bo'linmaydi.
105 499 soni 3 ga ham, 9 ga ham boʻlinmaydi, chunki uning raqamlari (29) yigʻindisi 3 ga ham, 9 ga ham boʻlinmaydi.
52632 raqami 9 ga bo'linadi, chunki uning raqamlari (18) yig'indisi 9 ga bo'linadi.

Raqamlar 10 ga bo'linish testi

Misollar.
8200 10 va 100 ga bo'linadi;
542000 soni 10, 100, 1000 ga bo'linadi.

3. Natural sonlarning 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25 ga bo‘linuvchanlik belgilari.

Qo'shimcha adabiyotlardan biz natural sonlarning 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000 ga bo'linuvchanligi uchun tuzilgan mezonlarning to'g'riligini tasdiqladik. Shuningdek, biz 7 ga bo'linishning bir qancha belgilarini topdik:
1) Natural son 7 ga bo'linadi, agar minglar soni va oxirgi uchta raqam bilan ifodalangan son o'rtasidagi farq 7 ga bo'linsa.
Misollar:
478009 soni 7 ga bo'linadi, chunki 478-9=469, 469 soni 7 ga boʻlinadi.
479345 7 ga bo'linmaydi, chunki 479-345=134, 134 7 ga bo'linmaydi.
2) Natural son 7 ga boʻlinadi, agar qoʻsh sonning oʻnlik soniga va qolgan son 7 ga boʻlinsa.
Misollar:
4592 soni 7 ga bo'linadi, chunki 45·2=90, 90+92=182, 182 7 ga bo‘linadi.
57384 7 ga bo'linmaydi, chunki 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 7 ga boʻlinmaydi.
3) aba ko‘rinishdagi uch xonali natural son a+b 7 ga bo‘linadigan bo‘lsa, 7 ga bo‘linadi.
Misollar:
252 soni 7 ga bo'linadi, chunki 2+5=7, 7/7.
636 soni 7 ga bo'linmaydi, chunki 6+3=9, 9 7 ga bo‘linmaydi.
4) baa ko'rinishdagi uch xonali natural son, agar son raqamlari yig'indisi 7 ga bo'linadigan bo'lsa, 7 ga bo'linadi.
Misollar:
455 soni 7 ga bo'linadi, chunki 4+5+5=14, 14/7.
244 soni 7 ga bo'linmaydi, chunki 2+4+4=12, 12 7 ga boʻlinmaydi.
5) aab ko‘rinishdagi uch xonali natural son 2a-b 7 ga bo‘linadigan bo‘lsa, 7 ga bo‘linadi.
Misollar:
882 soni 7 ga bo'linadi, chunki 8+8-2=14, 14/7.
996 soni 7 ga bo'linmaydi, chunki 9+9-6=12, 12 7 ga boʻlinmaydi.
6) baa ko‘rinishdagi to‘rt xonali natural son, bu yerda b ikki xonali son, b+2a 7 ga bo‘linadigan bo‘lsa, 7 ga bo‘linadi.
Misollar:
2744 soni 7 ga bo'linadi, chunki 27+4+4=35, 35/7.
1955 yil 7 ga bo'linmaydi, chunki 19+5+5=29, 29 7 ga boʻlinmaydi.
7) Natural son 7 ga boʻlinadi, agar oxirgi raqamdan oxirgi raqamni ikki marta ayirish natijasi 7 ga boʻlinadigan boʻlsa.
Misollar:
483 soni 7 ga bo'linadi, chunki 48-3·2=42, 42/7.
564 soni 7 ga bo'linmaydi, chunki 56-4 2=48, 48 7 ga bo'linmaydi.
8) Natural son 7 ga bo'linadi, agar raqam birliklarini 7 soniga bo'lish natijasida olingan tegishli qoldiqlarga raqam raqamlari ko'paytmalari yig'indisi 7 ga bo'linsa.
Misollar:
10a7=1 (osti 3)
100a7=14 (ost 2)
1000a7=142 (osti 6)
10000a7=1428 (osti 4)
100000a7=14285 (ost 5)
1000000a7=142857 (dam olish 1) va qolganlar yana takrorlanadi.
1316 soni 7 ga bo'linadi, chunki 1 6 + 3 2 + 1 3 + 6 = 21, 21/7 (1000 ni 7 ga bo‘lishdan 6 ta qoldiq; 100 ni 7 ga bo‘lishdan 2 ta qoldiq; 10 ni 7 ga bo‘lishdan 3 ta qoldiq) .
354722 soni 7 ga bo'linmaydi, chunki... 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 soni 7 ga bo‘linmaydi (5 – 100 000 ni 7 ga bo‘lishning qoldig‘i; 4 – 10 000 ni 7 ga bo‘lishning qoldig‘i 6-1000 ni 7 ga bo'lishdan 2-dam olish;
11 ga bo'linish.
1) Agar toq joylardagi raqamlar yig‘indisi bilan juft joylardagi raqamlar yig‘indisi o‘rtasidagi farq 11 ga karrali bo‘lsa, son 11 ga bo‘linadi.
Farqi bo'lishi mumkin salbiy raqam yoki 0, lekin 11 ga karrali bo'lishi kerak. Raqamlash chapdan o'ngga o'tadi.
Misol:
2135704 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 11 ga karrali emas, demak bu son 11 ga boʻlinmaydi.
1352736 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 11 ga karrali, ya’ni bu son 11 ga bo‘linadi.
2) Natural son o‘ngdan chapga har biri 2 ta raqamdan iborat guruhlarga bo‘linadi va bu guruhlar qo‘shiladi. Olingan yig'indi 11 ga karrali bo'lsa, u holda tekshirilayotgan son 11 ga karrali bo'ladi.
Misol: 12561714 soni 11 ga bo'linishini aniqlang.
Raqamni har biri ikkita raqamdan iborat guruhlarga ajratamiz: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 11 ga bo'linadi, ya'ni bu raqam 11 ga bo'linadi.
3) Agar sonning yon raqamlari yig’indisi o’rtadagi raqamga teng bo’lsa, uch xonali natural son 11 ga bo’linadi. Javob bir xil yon raqamlardan iborat bo'ladi.
Misollar:
594 soni 11 ga bo'linadi, chunki 5+4=9, 9 o‘rtada.
473 soni 11 ga bo'linadi, chunki 4+3=7, 7- o‘rtada.
861 soni 11 ga bo'linmaydi, chunki 8+1=9, o‘rtada esa 6 ta.
12 ga bo'linish testi
Natural son bir vaqtning o‘zida 3 va 4 ga bo‘linsagina 12 ga bo‘linadi.
Misollar:
636 3 va 4 ga bo'linadi, ya'ni u 12 ga bo'linadi.
587 3 yoki 4 ga bo'linmaydi, ya'ni u 12 ga bo'linmaydi.
27126 3 ga bo'linadi, lekin 4 ga bo'linmaydi, ya'ni u 12 ga bo'linmaydi.
13 ga bo'linish uchun testlar
1) Agar minglar soni va oxirgi uchta raqam hosil qilgan son oʻrtasidagi farq 13 ga boʻlinsa, natural son 13 ga boʻlinadi.
Misollar:
465400 soni 13 ga bo'linadi, chunki... 465 - 400 = 65, 65 13 ga bo'linadi.
256184 raqami 13 ga bo'linmaydi, chunki... 256 - 184 = 72, 72 13 ga bo'linmaydi.
2) Natural son 13 ga bo'linadi, agar oxirgi raqamsiz 9 ga ko'paytirilgan oxirgi raqamni ayirish natijasi 13 ga bo'linsa.
Misollar:
988 soni 13 ga bo'linadi, chunki 98 - 9 8 = 26, 26 13 ga bo'linadi.
853 soni 13 ga bo'linmaydi, chunki 85 - 3 9 = 58, 58 13 ga bo'linmaydi.
14 ga bo'linish testi
Natural son bir vaqtning o'zida 2 va 7 ga bo'linsagina 14 ga bo'linadi.
Misollar:
45826 raqami 2 ga bo'linadi, lekin 7 ga bo'linmaydi, ya'ni u 14 ga bo'linmaydi.
1771 raqami 7 ga bo'linadi, lekin 2 ga bo'linmaydi, ya'ni u 14 ga bo'linmaydi.
35882 raqami 2 va 7 ga bo'linadi, ya'ni u 14 ga bo'linadi.
19 ga bo'linish testi
Natural son 19 ga qoldiqsiz bo'linadi, agar uning o'nliklari soni birliklar sonining ikki barobariga qo'shilsa, 19 ga bo'linadi.
Shuni hisobga olish kerakki, sondagi o'nliklar sonini o'nliklar qatoridagi raqam bilan emas, balki butun sondagi butun o'nliklarning umumiy soni bilan hisoblash kerak.
Misollar:
1534 o'nlik 153, 4 2 = 8, 153 + 8 = 161, 161 19 ga bo'linmaydi, ya'ni 1534 19 ga bo'linmaydi.
1824 182+4·2=190, 190/19, ya'ni son 1824/19.
25 va 50 ga boʻlinish uchun test
25 yoki 50 ga bo'linish faqat ikkita nol bilan tugaydigan yoki oxirgi ikki raqami mos ravishda 25 yoki 50 ga bo'linadigan sonni bildiradigan raqamlardir.

97300 raqami ikkita nol bilan tugaydi, ya'ni u 25 va 50 ga bo'linadi.

79 450 soni 25 va 50 ga bo'linadi, chunki oxirgi ikki raqamdan hosil bo'lgan 50 son 25 va 50 ga bo'linadi.

4. Bo‘linish mezonlari yordamida masalalar yechish.

Do'konda sotuvchi.

Xaridor do‘kondan 34,5 so‘mlik o‘ram sut, 36 so‘mlik bir quti tvorog, 6 dona tort va 3 kilogramm shakar olib ketgan. Kassir 296 rubllik chekni taqillatganda, xaridor hisob-kitobni tekshirishni va xatoni tuzatishni talab qildi. Qabul qiluvchi faktura noto'g'ri ekanligini qanday aniqladi?

Yechim: Har bir turdagi sotib olingan tovarlarning qiymati 3 ga bo'linadigan raqam sifatida ifodalanadi (birinchi ikki turdagi tovarlar uchun narx 3 ga, qolganlari uchun esa - sotib olingan tovarlar soni 3 ga ko'paytiriladi). shartlarning har biri 3 ga bo'linadi, keyin miqdor 3 ga bo'linishi kerak. 296 raqami 3 ga bo'linmaydi, shuning uchun hisoblash noto'g'ri.

Bir qutidagi olmake.

Qutidagi olmalar soni 200 tadan kam. Ularni 2,3,4,5 va 6 bolaga teng taqsimlash mumkin. Bir qutida qancha olma bo'lishi mumkin?

Yechim.

LCM(2,3,4,5,6) = 60.

60-yillar< 200, значит максимальное количество яблок в ящике = 180

Javob: 180 ta olma.

5. Xulosa:

Ishni bajarayotib, bo‘linish belgilarining rivojlanish tarixi bilan tanishdim, natural sonlarning 4, 6, 8, 15, 25,50 ga bo‘linuvchanlik belgilarini tuzdim va buning tasdig‘ini qo‘shimcha adabiyotlardan topdim. Men natural sonlarning bo‘linuvchanligining boshqa belgilari (7, 11, 12, 13, 14, 19, 37 ga) ham mavjudligiga amin bo‘ldim, bu natural sonlarning boshqa bo‘linuvchanlik belgilari mavjudligi haqidagi farazning to‘g‘riligini tasdiqladi.

Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati (manbalar):

1. Galkin V.A. "Bo'linish mezonlari" mavzusidagi muammolar // Matematika, 1999.-№5.-B.9.

2. Gusev V.A., Orlov A.I., Rosenthal A.L. 6-8 sinflarda matematikadan sinfdan tashqari ishlar - M.: Ta'lim, 1984.

3. Kaplun L.M. Muammolarda GCD va LCM. // Matematika, 1999.- 7-son. - B. 4-6.

4. Pelman Ya.I. Matematika qiziq! - M.: TERRA - Kitob klubi, 2006 yil

5. Yosh matematikning entsiklopedik lug'ati./ Comp. Savin A.P. - M.: Pedagogika, 1989. - B. 352.

6.Resurslar - Internet.