Xizmat maqsadi. Ushbu xizmatdan foydalanib, siz quyidagilarni aniqlashingiz mumkin:
- umumiy o'rtacha uchun ishonch oralig'i, dispersiya uchun ishonch oralig'i;
- standart og'ish uchun ishonch oralig'i, umumiy ulush uchun ishonch oralig'i;
Misol № 1. Kolxozda jami 1000 ta qoʻy podasidan 100 ta qoʻy tanlab nazorat qirqishidan oʻtkazildi. Natijada har bir qo‘ydan o‘rtacha 4,2 kilogrammdan jun olindi. Bir qo‘yga o‘rtacha jun qirqishni aniqlashda namunaning o‘rtacha kvadratik xatosini va dispersiya 2,5 bo‘lsa, qirqish qiymatini o‘z ichiga olgan chegaralarni 0,99 ehtimollik bilan aniqlang. Namuna takrorlanmaydi.
Misol № 2. Moskva shimoliy bojxona postida import qilingan mahsulotlar partiyasidan tasodifiy takroriy tanlab olish yo'li bilan "A" mahsulotining 20 ta namunasi olindi. Sinov natijasida namunadagi "A" mahsulotining o'rtacha namligi aniqlandi, u 1% standart og'ish bilan 6% ga teng bo'ldi.
Import qilinadigan mahsulotlarning butun partiyasidagi mahsulotning o'rtacha namligining chegaralarini 0,683 ehtimollik bilan aniqlang.
Misol № 3. 36 nafar talaba o‘rtasida o‘tkazilgan so‘rov shuni ko‘rsatdiki, ular yiliga o‘rtacha o‘qiladigan darsliklar soni o'quv yili, 6 ga teng bo‘lib chiqdi. Talaba bir semestrda o‘qigan darsliklar soni standart og‘ishi 6 ga teng bo‘lgan normal taqsimot qonuniga ega deb faraz qilib, toping: A) ishonchliligi 0,99 bo‘lgan matematika uchun intervalli bahoni toping. buni kutish tasodifiy o'zgaruvchi; B) berilgan tanlama bo‘yicha hisoblangan bir semestrda talaba tomonidan o‘qilgan darsliklarning o‘rtacha soni matematik taxmindan chetga chiqishini qanday ehtimollik bilan aytishimiz mumkin. mutlaq qiymat 2 dan ortiq emas.
Ishonch oraliqlarining tasnifi
Baholanayotgan parametr turi bo'yicha:
Namuna turi bo'yicha:
- Cheksiz namuna uchun ishonch oralig'i;
- Yakuniy namuna uchun ishonch oralig'i;
Tasodifiy tanlash uchun o'rtacha tanlama xatosini hisoblash
Tanlovdan olingan ko'rsatkichlar qiymatlari va umumiy populyatsiyaning mos keladigan parametrlari o'rtasidagi nomuvofiqlik deyiladi. vakillik xatosi.Umumiy va tanlanma populyatsiyalarning asosiy parametrlarini belgilash.
| O'rtacha tanlab olish xatosi formulalari | |||
| qayta tanlash | tanlovni takrorlang | ||
| o'rtacha uchun | baham ko'rish uchun | o'rtacha uchun | baham ko'rish uchun |
 |
|||
Sof tasodifiy tanlab olish usuli yordamida namuna hajmini hisoblash uchun formulalar
Oldingi bo'limlarda biz noma'lum parametrni baholash masalasini ko'rib chiqdik A bitta raqam. Bu "nuqta" bahosi deb ataladi. Bir qator vazifalarda siz nafaqat parametrni topishingiz kerak A tegishli raqamli qiymat, balki uning aniqligi va ishonchliligini baholash uchun. Parametrni almashtirishda qanday xatolarga olib kelishi mumkinligini bilishingiz kerak A uning taxminiy nuqtasi A va bu xatolar ma'lum chegaralardan oshmasligini qanday ishonch bilan kutish mumkin?
Ushbu turdagi muammolar, ayniqsa, nuqta hisoblanganda, oz sonli kuzatuvlar bilan dolzarbdir va ichida asosan tasodifiy va a ni taxminan a bilan almashtirish jiddiy xatolarga olib kelishi mumkin.
Baholashning aniqligi va ishonchliligi haqida fikr berish A,
V matematik statistika Ular ishonch intervallari va ishonch ehtimolliklari deb ataladigan usullardan foydalanadilar.
Parametr uchun ruxsat bering A tajribadan olingan xolis baho A. Biz bu holatda mumkin bo'lgan xatoni taxmin qilmoqchimiz. Etarlicha katta p ehtimollik (masalan, p = 0,9, 0,95 yoki 0,99) ni shunday belgilaylikki, p ehtimoli bo'lgan hodisani amaliy jihatdan ishonchli deb hisoblaymiz va s qiymatini topamiz.
Keyin diapazon amalda bo'ladi mumkin bo'lgan qiymatlar almashtirishda yuzaga keladigan xato A yoqilgan A, ± s bo'ladi; Mutlaq qiymatdagi katta xatolar faqat a = 1 - p kam ehtimollik bilan paydo bo'ladi. (14.3.1) ni quyidagicha qayta yozamiz:
Tenglik (14.3.2) p ehtimolligi bilan parametrning noma'lum qiymatini bildiradi A oralig'iga to'g'ri keladi
Bir holatga e'tibor qaratish lozim. Ilgari biz tasodifiy o'zgaruvchining berilgan tasodifiy bo'lmagan intervalga tushish ehtimolini bir necha bor ko'rib chiqdik. Bu erda vaziyat boshqacha: kattalik A tasodifiy emas, lekin interval / p tasodifiy. Uning x o'qidagi o'rni tasodifiy bo'lib, uning markazi bilan belgilanadi A; Umuman olganda, 2s oralig'ining uzunligi ham tasodifiydir, chunki s qiymati, qoida tariqasida, eksperimental ma'lumotlardan hisoblanadi. Shuning uchun ichida Ushbu holatda p qiymatini nuqtani "urish" ehtimoli sifatida emas, balki talqin qilish yaxshiroqdir A oralig'ida / p va tasodifiy interval / p nuqtani qoplash ehtimoli sifatida A(14.3.1-rasm).
Guruch. 14.3.1
Odatda p ehtimollik deyiladi ishonch ehtimoli, va interval / p - ishonch oralig'i. Interval chegaralari Agar. a x =a- s va a 2 = a + va chaqiriladi ishonch chegaralari.
Ishonch oralig'i tushunchasiga yana bir izoh beraylik: uni parametr qiymatlari oralig'i deb hisoblash mumkin. A, eksperimental ma'lumotlarga mos keladi va ularga zid kelmaydi. Haqiqatan ham, agar biz a = 1-p ehtimoli bo'lgan hodisani amalda imkonsiz deb hisoblashga rozi bo'lsak, u holda a parametrining qiymatlari a - a> s eksperimental ma'lumotlarga zid deb tan olinishi kerak va ular uchun |a - A a t na 2 .
Parametr uchun ruxsat bering A xolis baho mavjud A. Agar miqdorning taqsimlanish qonunini bilsak A, ishonch oralig'ini topish vazifasi juda oddiy bo'ladi: buning uchun s qiymatini topish kifoya qiladi.
Qiyinchilik shundaki, hisob-kitoblarni taqsimlash qonuni A miqdorning taqsimot qonuniga bog'liq X va shuning uchun uning noma'lum parametrlari bo'yicha (xususan, parametrning o'zi bo'yicha A).
Ushbu qiyinchilikni engib o'tish uchun siz quyidagi taxminan taxminiy texnikadan foydalanishingiz mumkin: s ifodasidagi noma'lum parametrlarni ularning nuqta baholari bilan almashtiring. Nisbatan katta miqdordagi tajribalar bilan P(taxminan 20...30) bu texnika odatda aniqlik nuqtai nazaridan qoniqarli natijalar beradi.
Misol sifatida, matematik kutish uchun ishonch oralig'i muammosini ko'rib chiqing.
Ishlab chiqarilsin P X, xususiyatlari shundan iborat kutilgan qiymat T va dispersiya D- noma'lum. Ushbu parametrlar uchun quyidagi taxminlar olingan:
Matematik kutish uchun p ishonch ehtimoliga mos keladigan ishonch oralig'ini / p qurish kerak. T miqdorlar X.
Ushbu muammoni hal qilishda biz miqdor faktidan foydalanamiz T summani ifodalaydi P mustaqil bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar Xh va markaziy chegara teoremasiga ko'ra, etarlicha katta P uning taqsimot qonuni normaga yaqin. Amalda nisbatan kam sonli atamalar (taxminan 10...20) bo'lsa ham yig'indining taqsimot qonunini taxminan normal deb hisoblash mumkin. Biz qiymat deb taxmin qilamiz T oddiy qonunga muvofiq taqsimlanadi. Bu qonunning xarakteristikalari - matematik kutish va dispersiya mos ravishda tengdir T Va
(13-bobning 13.3-kichik bo'limiga qarang). Qiymat deb faraz qilaylik D biz bilamiz va buning uchun Ep qiymatini topamiz
6-bobning (6.3.5) formulasidan foydalanib, (14.3.5) ning chap tomonidagi ehtimollikni normal taqsimot funksiyasi orqali ifodalaymiz.
smetaning standart og'ishi qayerda T.
Tenglamadan.
Sp qiymatini toping: 
bu yerda arg F* (x) F* ning teskari funksiyasi (X), bular. argumentning qiymati normal funktsiya ga teng taqsimlanadi X.
Dispersiya D, bu orqali miqdor ifodalanadi A 1P, biz aniq bilmaymiz; uning taxminiy qiymati sifatida siz smetadan foydalanishingiz mumkin D(14.3.4) va taxminan qo'ying:
Shunday qilib, ishonch oralig'ini qurish muammosi taxminan hal qilindi, bu quyidagilarga teng:
bu erda gp (14.3.7) formula bilan aniqlanadi.
s p ni hisoblashda F* (l) funksiyasi jadvallarida teskari interpolyatsiyaga yo'l qo'ymaslik uchun kattalik qiymatlarini beradigan maxsus jadvalni tuzish qulay (14.3.1-jadval).
r ga qarab. Qiymat (p normal qonun uchun dispersiya markazidan o'ngga va chapga chizilishi kerak bo'lgan standart og'ishlar sonini aniqlaydi, shunda hosil bo'lgan maydonga kirish ehtimoli p ga teng bo'ladi.
7 p qiymatidan foydalanib, ishonch oralig'i quyidagicha ifodalanadi:
14.3.1-jadval
1-misol. Miqdor bo'yicha 20 ta tajriba o'tkazildi X; natijalar jadvalda keltirilgan. 14.3.2.
14.3.2-jadval
Miqdorning matematik kutilishidan smeta topish talab qilinadi X va p = 0,8 ishonch ehtimoliga mos keladigan ishonch oralig'ini tuzing.
Yechim. Bizda ... bor:
Malumot nuqtasi sifatida l: = 10 ni tanlab, uchinchi formuladan (14.2.14) foydalanib, biz xolis bahoni topamiz. D :
Jadvalga ko'ra 14.3.1 topamiz 
Ishonch chegaralari:
Ishonch oralig'i:
Parametr qiymatlari T, Bu oraliqda yotganlar jadvalda keltirilgan eksperimental ma'lumotlarga mos keladi. 14.3.2.
Dispersiya uchun ishonch oralig'i xuddi shunday tarzda tuzilishi mumkin.
Ishlab chiqarilsin P tasodifiy o'zgaruvchi bo'yicha mustaqil tajribalar X A va dispersiya uchun noma'lum parametrlarga ega D xolis baho olindi:
Taxminan dispersiya uchun ishonch oralig'ini qurish talab qilinadi.
(14.3.11) formuladan ko'rinib turibdiki, miqdor D o'zida aks ettiradi
miqdori P shaklning tasodifiy o'zgaruvchilari. Bu qiymatlar emas
mustaqil, chunki ularning har biri miqdorni o'z ichiga oladi T, boshqalarga bog'liq. Biroq, ortib borishi bilan buni ko'rsatish mumkin P ularning yig'indisining taqsimot qonuni ham normaga yaqinlashadi. Taxminan P= 20...30 allaqachon normal deb hisoblanishi mumkin.
Bu shunday deb faraz qilaylik va bu qonunning xususiyatlarini topamiz: matematik kutish va dispersiya. Baholashdan beri D- xolis, demak M[D] = D.
Farqni hisoblash D D nisbatan murakkab hisob-kitoblar bilan bog'liq, shuning uchun biz uning ifodasini hosilasiz keltiramiz:
bu erda q 4 to'rtinchi markaziy nuqta miqdorlar X.
Ushbu ifodadan foydalanish uchun siz \u003d 4 va qiymatlarini almashtirishingiz kerak D(hech bo'lmaganda yaqin). O'rniga D uning bahosidan foydalanishingiz mumkin D. Aslida, to'rtinchi markaziy momentni taxmin bilan almashtirish mumkin, masalan, shaklning qiymati:
ammo bunday almashtirish juda past aniqlikni beradi, chunki umuman olganda, cheklangan miqdordagi tajribalar bilan, momentlar yuqori tartib dan aniqlanadi katta xatolar. Biroq, amalda ko'pincha miqdorni taqsimlash qonunining turi sodir bo'ladi X oldindan ma'lum: faqat uning parametrlari noma'lum. Keyin m 4 orqali ifodalashga harakat qilishingiz mumkin D.
Keling, eng keng tarqalgan holatni olaylik, qachon qiymat X oddiy qonunga muvofiq taqsimlanadi. Keyin uning to'rtinchi markaziy momenti dispersiya bo'yicha ifodalanadi (6-bob, 6.2-kichik bo'limga qarang);
va formula (14.3.12) beradi 
yoki
(14.3.14) da noma'lumni almashtirish D uning bahosi D, olamiz: qayerdan 
Moment m 4 orqali ifodalanishi mumkin D shuningdek, ba'zi boshqa holatlarda, qiymat taqsimlanganda X normal emas, lekin uning ko'rinishi ma'lum. Masalan, qonun uchun bir xil zichlik(5-bobga qarang) bizda: 
Bu erda (a, P) - qonun ko'rsatilgan interval.
Demak,
(14.3.12) formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz: 
taxminan qaerdan topamiz
26 miqdori bo'yicha taqsimlash qonunining turi noma'lum bo'lgan hollarda, a/) qiymatining taxminiy bahosini tuzishda, agar ushbu qonunga ishonish uchun maxsus sabablar mavjud bo'lmasa, (14.3.16) formuladan foydalanish tavsiya etiladi. odatdagidan juda farq qiladi (sezilarli ijobiy yoki salbiy kurtozga ega).
Agar a/) ning taxminiy qiymati u yoki bu tarzda olingan bo‘lsa, u holda biz dispersiya uchun ishonch oralig‘ini xuddi matematik kutish uchun qurganimizdek qurishimiz mumkin:
bu yerda berilgan ehtimollik p ga bog'liq qiymat jadval bo'yicha topiladi. 14.3.1.
2-misol. Tasodifiy o‘zgaruvchining dispersiyasi uchun taxminan 80% ishonch oralig‘ini toping. X 1-misol shartlariga ko'ra, agar qiymat ma'lum bo'lsa X me'yorga yaqin qonun bo'yicha taqsimlanadi.
Yechim. Qiymat jadvaldagi kabi qoladi. 14.3.1:
Formula bo'yicha (14.3.16)
(14.3.18) formuladan foydalanib, ishonch oralig'ini topamiz:
O'rtacha qiymatlarning mos keladigan oralig'i kvadrat og'ish: (0,21; 0,29).
14.4. Qurilishning aniq usullari ishonch oraliqlari normal qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining parametrlari uchun
Oldingi bo'limda biz matematik kutish va dispersiya uchun ishonch oraliqlarini yaratishning taxminiy usullarini ko'rib chiqdik. Bu erda biz bir xil muammoni hal qilishning aniq usullari haqida fikr beramiz. Ishonch oraliqlarini aniq topish uchun miqdorning taqsimlanish qonuni shaklini oldindan bilish mutlaqo zarurligini ta'kidlaymiz. X, holbuki, taxminiy usullarni qo'llash uchun bu shart emas.
Fikr aniq usullar Ishonch oraliqlarini qurish quyidagilarga to'g'ri keladi. Har qanday ishonch oralig'i bizni qiziqtirgan taxminni o'z ichiga olgan ma'lum tengsizliklarni bajarish ehtimolini ifodalovchi shartdan topiladi. A. Baholarni taqsimlash qonuni A V umumiy holat noma'lum miqdor parametrlariga bog'liq X. Biroq, ba'zida tasodifiy o'zgaruvchidan tengsizliklarni o'tkazish mumkin A kuzatilgan qiymatlarning boshqa funksiyasiga X p X 2, ..., X p. taqsimot qonuni noma'lum parametrlarga bog'liq emas, balki faqat tajribalar soniga va miqdorning taqsimlanish qonunining turiga bog'liq. X. Bu turdagi tasodifiy o'zgaruvchilar matematik statistikada muhim rol o'ynaydi; ular miqdorning normal taqsimlanishi holati uchun eng batafsil o'rganilgan X.
Masalan, qiymatning normal taqsimlanishi bilan isbotlangan X tasodifiy qiymat
deb atalmish narsaga bo'ysunadi Talabalarni taqsimlash qonuni Bilan P- 1 daraja erkinlik; bu qonunning zichligi shaklga ega
Bu yerda G(x) ma’lum gamma funksiya:
Tasodifiy o'zgaruvchi ham isbotlangan
bilan "% 2 taqsimoti" mavjud P- 1 daraja erkinlik (7-bobga qarang), uning zichligi formula bilan ifodalanadi
(14.4.2) va (14.4.4) taqsimotlarning hosilalari haqida to'xtalmasdan, biz parametrlar uchun ishonch oraliqlarini qurishda ularni qanday qo'llash mumkinligini ko'rsatamiz. ty D.
Ishlab chiqarilsin P tasodifiy o'zgaruvchi bo'yicha mustaqil tajribalar X, odatda noma'lum parametrlar bilan taqsimlanadi T&O. Ushbu parametrlar uchun taxminlar olingan
Ishonch ehtimoli p ga mos keladigan ikkala parametr uchun ishonch oraliqlarini qurish talab qilinadi.
Keling, birinchi navbatda matematik kutish uchun ishonch oralig'ini tuzamiz. ga nisbatan bu intervalni simmetrik qabul qilish tabiiy T; s p interval uzunligining yarmini belgilaymiz. s p qiymati shart bajarilishi uchun tanlanishi kerak
Keling, tasodifiy o'zgaruvchidan tenglikning (14.4.5) chap tomoniga o'tishga harakat qilaylik T tasodifiy o'zgaruvchiga T, Student qonuniga muvofiq taqsimlanadi. Buning uchun |m-w?| tengsizlikning ikkala tomonini ko'paytiring
ijobiy qiymat bo'yicha: 
yoki (14.4.1) yozuvdan foydalangan holda,
Shartdan / p qiymatini topish mumkin bo'lgan / p sonini topamiz
(14.4.2) formuladan ko'rinib turibdiki (1) - hatto funktsiya, shuning uchun (14.4.8) beradi 
Tenglik (14.4.9) p ga qarab qiymati / p ni belgilaydi. Agar sizning ixtiyoringizda integral qiymatlar jadvali mavjud bo'lsa
u holda /p qiymatini jadvalda teskari interpolyatsiya orqali topish mumkin. Biroq, /p qiymatlari jadvalini oldindan tuzish qulayroqdir. Bunday jadval Ilovada keltirilgan (5-jadval). Ushbu jadval p ishonch darajasiga va erkinlik darajalari soniga bog'liq qiymatlarni ko'rsatadi P- 1. Jadvaldan / p ni aniqlab. 5 va taxmin 
biz ishonch oralig'i / p kengligining yarmini va intervalning o'zini topamiz
1-misol. Tasodifiy miqdor bo'yicha 5 ta mustaqil tajriba o'tkazildi X, odatda noma'lum parametrlar bilan taqsimlanadi T va taxminan. Tajriba natijalari jadvalda keltirilgan. 14.4.1.
14.4.1-jadval
Reytingni toping T matematik kutish uchun va u uchun 90% ishonch oralig'ini / p ni tuzing (ya'ni, p = 0,9 ishonch ehtimoliga mos keladigan interval).
Yechim. Bizda ... bor:
Arizaning 5-jadvaliga muvofiq P - 1 = 4 va p = 0,9 ni topamiz 
qayerda 
Ishonch oralig'i bo'ladi
2-misol. 14.3-kichik bo'limning 1-misolidagi shartlar uchun qiymatni qabul qilgan holda X normal taqsimlangan, aniq ishonch oralig'ini toping.
Yechim. Ilovaning 5-jadvaliga binoan biz qachon topamiz P - 1 = 19ir =
0,8 / p = 1,328; bu yerdan 
14.3-kichik bo'limning 1-misolining yechimi bilan solishtirganda (e p = 0,072), biz kelishmovchilik juda ahamiyatsiz ekanligiga amin bo'ldik. Agar biz ikkinchi kasrgacha aniqlikni saqlasak, aniq va taxminiy usullar bilan topilgan ishonch oraliqlari mos keladi:
Keling, dispersiya uchun ishonch oralig'ini qurishga o'tamiz. Xolis dispersiya hisoblagichini ko'rib chiqing
va tasodifiy o'zgaruvchini ifodalang D kattalik orqali V(14.4.3) taqsimoti x 2 (14.4.4):
Miqdorning taqsimlanish qonunini bilish V, berilgan p ehtimollik bilan tushadigan /(1) oraliqni topishingiz mumkin.
Tarqatish qonuni kn_x(v) I 7 magnitudasi shaklda ko'rsatilgan shaklga ega. 14.4.1.
Guruch. 14.4.1
Savol tug'iladi: oraliq / p ni qanday tanlash mumkin? Agar kattalikning taqsimlanish qonuni V simmetrik bo'lgan (normal qonun yoki Talaba taqsimoti kabi), matematik kutishga nisbatan /p simmetrik intervalni olish tabiiydir. Bu holda qonun k p_x (v) assimetrik. Qiymatning ehtimoli bo'lishi uchun /p oralig'ini tanlashga rozi bo'laylik V o'ng va chap oraliqdan tashqari (14.4.1-rasmdagi soyali joylar) bir xil va teng edi.
Ushbu xususiyat bilan /p oraliqlarini qurish uchun biz jadvaldan foydalanamiz. 4 ta ilova: unda raqamlar mavjud y) shu kabi
qiymati uchun V, ega bo'lgan x 2 -r erkinlik darajasi bilan taqsimlash. Bizning holatda r = n- 1. Keling, tuzatamiz r = n- 1 va jadvalning tegishli qatoridan toping. 4 ikkita ma'nosi x 2 - biri ehtimolga mos keladi ikkinchisi - ehtimollik Bularni belgilaymiz
qiymatlar 2 da Va xl? Interval mavjud y 2, chap tomoningiz bilan va y~ o'ng uchi.
Endi D chegaralari bilan dispersiya uchun / p oralig'idan kerakli ishonch oralig'ini /| topamiz. D2, qaysi nuqtani qamrab oladi D p ehtimolligi bilan: 
Nuqtani qamrab oluvchi / (, = (?> l A) oraliq quraylik D agar va faqat qiymat bo'lsa V/r oralig'iga tushadi. Keling, intervalni ko'rsataylik
bu shartni qondiradi. Haqiqatan ham, tengsizliklar 
tengsizliklarga tengdir
va bu tengsizliklar p ehtimollik bilan qanoatlantiriladi. Shunday qilib, dispersiya uchun ishonch oralig'i topildi va (14.4.13) formula bilan ifodalanadi.
3-misol. 14.3-kichik bo'limning 2-misoli shartlari bo'yicha dispersiyaning ishonch oralig'ini toping, agar qiymat ma'lum bo'lsa. X normal taqsimlangan.
Yechim. Bizda ... bor 
. Ilovaning 4-jadvaliga muvofiq
da topamiz r = n - 1 = 19
(14.4.13) formuladan foydalanib, biz dispersiya uchun ishonch oralig'ini topamiz 
Standart og'ish uchun mos keladigan interval (0,21; 0,32). Bu oraliq taxminiy usul yordamida 14.3-kichik bo'limning 2-misolida olingan intervaldan (0,21; 0,29) biroz oshib ketadi.
- 14.3.1-rasmda a ga nisbatan simmetrik ishonch oralig'i ko'rib chiqiladi. Umuman olganda, keyinroq ko'rib chiqamiz, bu kerak emas.
Ishonch oraliqlarini baholash
O'quv maqsadlari
Statistika quyidagilarni hisobga oladi ikkita asosiy vazifa:
Bizda namunaviy ma'lumotlarga asoslangan ba'zi taxminlar mavjud va biz taxmin qilingan parametrning haqiqiy qiymati qayerda yotganligi haqida ba'zi ehtimollik bayonotini qilmoqchimiz.
Namuna ma'lumotlari yordamida sinovdan o'tkazilishi kerak bo'lgan maxsus farazimiz bor.
Ushbu mavzuda biz birinchi vazifani ko'rib chiqamiz. Keling, ishonch oralig'ining ta'rifini ham kiritaylik.
Ishonch oralig'i - bu parametrning taxminiy qiymati atrofida qurilgan va taxmin qilingan parametrning haqiqiy qiymati apriori belgilangan ehtimol bilan qaerda joylashganligini ko'rsatadigan interval.
Ushbu mavzu bo'yicha materialni o'rganganingizdan so'ng siz:
taxmin uchun ishonch oralig'i nima ekanligini bilib oling;
statistik muammolarni tasniflashni o'rganish;
statistik formulalar yordamida ham, dasturiy vositalar yordamida ham ishonch oraliqlarini qurish texnikasini egallash;
statistik baholarning aniqligining ma'lum parametrlariga erishish uchun kerakli tanlama kattaliklarini aniqlashni o'rganish.
Namuna xarakteristikalarining taqsimlanishi
T-tarqatish
Yuqorida muhokama qilinganidek, tasodifiy miqdorning taqsimlanishi standartlashtirilganga yaqin normal taqsimot 0 va 1 parametrlari bilan. s ning qiymatini bilmaganimiz uchun uni s ning ba'zi bir taxmini bilan almashtiramiz. Miqdor allaqachon boshqa taqsimotga ega, ya'ni yoki Talabalarni taqsimlash, bu parametr n -1 (erkinlik darajalari soni) bilan belgilanadi. Bu taqsimot normal taqsimotga yaqin (n qanchalik katta bo'lsa, taqsimotlar shunchalik yaqin).
Shaklda. 95 
30 daraja erkinlik bilan talabalar taqsimoti taqdim etiladi. Ko'rib turganingizdek, u normal taqsimotga juda yaqin.
Oddiy NORMIDIST va NORMINV taqsimoti bilan ishlash funktsiyalariga o'xshash t-tarqatish bilan ishlash funktsiyalari mavjud - STUDIST (TDIST) va STUDRASOBR (TINV). Bu funksiyalardan foydalanish misolini STUDRASP.XLS faylida (shablon va yechim) va 2-rasmda ko'rish mumkin. 96 
.
Boshqa xususiyatlarning taqsimlanishi
Biz allaqachon bilganimizdek, matematik kutishni baholashning to'g'riligini aniqlash uchun bizga t-tarqatish kerak. Dispersiya kabi boshqa parametrlarni baholash uchun turli taqsimotlar talab qilinadi. Ulardan ikkitasi F-tarqatish va x 2 - taqsimlash.
O'rtacha uchun ishonch oralig'i
Ishonch oralig'i- bu parametrning taxminiy qiymati atrofida qurilgan va taxmin qilingan parametrning haqiqiy qiymati apriori belgilangan ehtimollik bilan qaerda joylashganligini ko'rsatadigan intervaldir.
O'rtacha qiymat uchun ishonch oralig'ini qurish sodir bo'ladi quyida bayon qilinganidek:
Misol
Tez ovqatlanish restorani yangi turdagi sendvichlar bilan assortimentini kengaytirishni rejalashtirmoqda. Unga bo'lgan talabni baholash uchun menejer uni sinab ko'rganlar orasidan tasodifiy 40 ta tashrif buyuruvchini tanlab olishni va ulardan yangi mahsulotga bo'lgan munosabatini 1 dan 10 gacha bo'lgan shkalada baholashni so'rashni rejalashtirmoqda. yangi mahsulot oladigan ballar soni va ushbu baholash uchun 95% ishonch oralig'ini yaratadi. Buni qanday qilish kerak? (SANDWICH1.XLS fayliga qarang (shablon va yechim).
Yechim
Ushbu muammoni hal qilish uchun siz foydalanishingiz mumkin. Natijalar rasmda keltirilgan. 97 
.
Umumiy qiymat uchun ishonch oralig'i
Ba'zan, namunaviy ma'lumotlardan foydalanib, matematik kutishni emas, balki taxmin qilish kerak Umumiy hisob qiymatlar. Masalan, auditor bilan bog'liq vaziyatda qiziqish hisobning o'rtacha hajmini emas, balki barcha hisoblar yig'indisini baholashda bo'lishi mumkin.
N bo'lsin - jami elementlar, n - tanlama hajmi, T 3 - namunadagi qiymatlar yig'indisi, T" - butun populyatsiya uchun yig'indi uchun taxmin, keyin 
, va ishonch oralig'i formula bo'yicha hisoblanadi, bu erda s - namuna uchun standart og'ishning taxmini va namuna uchun o'rtacha qiymatning taxminidir.
Misol
Aytaylik Soliq xizmati 10 000 soliq to'lovchilar uchun jami soliqlarni qaytarish miqdorini taxmin qilishni xohlaydi. Soliq to'lovchi qaytarib oladi yoki qo'shimcha soliq to'laydi. Namuna hajmi 500 kishidan iborat bo‘lsa, to‘lovni qaytarish summasi uchun 95% ishonch oralig‘ini toping (QAYTARISH SO‘MASI.XLS fayliga qarang (shablon va yechim).
Yechim
StatPro-da bu holat uchun maxsus tartib yo'q, ammo shuni ta'kidlash mumkinki, chegaralarni yuqoridagi formulalar asosida o'rtacha uchun chegaralardan olish mumkin (98-rasm). 
).
Proportion uchun ishonch oralig'i
Mijozlar ulushining matematik taxmini p bo'lsin va n o'lchamdagi tanlamadan olingan bu ulushning bahosi p b bo'lsin. Ko'rsatish mumkinki, etarlicha katta 
baholash taqsimoti matematik kutish p va standart og'ish bilan me'yorga yaqin bo'ladi 
. Bu holda baholashning standart xatosi quyidagicha ifodalanadi 
, va ishonch oralig'i quyidagicha 
.
Misol
Tez ovqatlanish restorani yangi turdagi sendvichlar bilan assortimentini kengaytirishni rejalashtirmoqda. Unga bo'lgan talabni baholash uchun menejer uni sinab ko'rganlar orasidan tasodifiy 40 ta tashrif buyuruvchini tanlab oldi va ulardan yangi mahsulotga bo'lgan munosabatini 1 dan 10 gacha bo'lgan shkala bo'yicha baholashni so'radi. yangi mahsulotni kamida 6 balldan baholagan mijozlar (u bu mijozlar yangi mahsulotning iste'molchilari bo'lishini kutadi).
Yechim
Dastlab, agar mijozning reytingi 6 balldan ortiq bo'lsa va 0 dan ortiq bo'lsa, 1-atribut asosida yangi ustun yaratamiz (SANDWICH2.XLS fayliga qarang (shablon va yechim).
1-usul
1 sonini sanab, biz ulushni taxmin qilamiz va keyin formulalardan foydalanamiz.
zcr qiymati maxsus normal taqsimot jadvallaridan olingan (masalan, 95% ishonch oralig'i uchun 1,96).
95% intervalni qurish uchun ushbu yondashuv va aniq ma'lumotlardan foydalanib, biz quyidagi natijalarga erishamiz (99-rasm). 
). Kritik qiymat z cr parametri 1,96 ga teng. Baholashning standart xatosi 0,077 ni tashkil qiladi. Ishonch oralig'ining pastki chegarasi 0,475 ni tashkil qiladi. Ishonch oralig'ining yuqori chegarasi 0,775 ni tashkil qiladi. Shunday qilib, menejer 95% ishonch bilan yangi mahsulotni 6 ball yoki undan yuqori baholagan mijozlar ulushi 47,5 dan 77,5 gacha bo'lishiga ishonish huquqiga ega.
2-usul
Ushbu muammoni standart StatPro vositalari yordamida hal qilish mumkin. Buning uchun bu holda ulush Tur ustunining o'rtacha qiymatiga to'g'ri kelishini ta'kidlash kifoya. Keyin biz murojaat qilamiz StatPro/Statistik xulosa/Bir namunali tahlil Tur ustuni uchun o'rtacha ishonch oralig'ini (matematik kutilmani baholash) qurish. Bu holda olingan natijalar 1-usul natijalariga juda yaqin bo'ladi (99-rasm).
Standart og'ish uchun ishonch oralig'i
s standart og'ishning bahosi sifatida ishlatiladi (formula 1-bo'limda keltirilgan). Baholash s ning zichlik funksiyasi t-tarqatish kabi n-1 erkinlik darajasiga ega bo'lgan xi-kvadrat funktsiyasidir. Ushbu tarqatish CHIDIST va CHIINV bilan ishlash uchun maxsus funktsiyalar mavjud.
Bu holatda ishonch oralig'i endi nosimmetrik bo'lmaydi. An'anaviy chegara diagrammasi rasmda ko'rsatilgan. 100.
Misol
Mashina 10 sm diametrli qismlarni ishlab chiqarishi kerak Biroq, turli xil holatlar tufayli xatolar yuzaga keladi. Sifat nazoratchisi ikki holat haqida qayg'uradi: birinchidan, o'rtacha qiymat 10 sm bo'lishi kerak; ikkinchidan, bu holatda ham, agar og'ishlar katta bo'lsa, unda ko'p qismlar rad etiladi. Har kuni u 50 ta qismdan namuna tuzadi (QUALITY CONTROL.XLS fayliga qarang (shablon va yechim). Bunday namuna qanday xulosalar berishi mumkin?
Yechim
Keling, o'rtacha va standart og'ish uchun 95% ishonch oraliqlarini tuzamiz StatPro/Statistik xulosa/Bir namunali tahlil(101-rasm 
).
Keyinchalik, diametrlarning normal taqsimlanishi haqidagi farazdan foydalanib, biz nuqsonli mahsulotlarning ulushini hisoblaymiz, maksimal og'ish 0,065 ni o'rnatamiz. O'zgartirish jadvalining imkoniyatlaridan (ikki parametrli holat) foydalanib, biz nuqsonlar nisbatining o'rtacha qiymatga va standart og'ishga bog'liqligini chizamiz (102-rasm). 
).
Ikki vosita orasidagi farq uchun ishonch oralig'i
Bu eng ko'plaridan biri muhim ilovalar statistik usullar. Vaziyatlarga misollar.
Kiyim do'koni menejeri o'rtacha ayol mijoz do'konda o'rtacha erkak xaridorga qaraganda qancha ko'p yoki kamroq pul sarflashini bilishni xohlaydi.
Ikki aviakompaniya bir xil yo'nalishlarda parvoz qiladi. Iste'molchi tashkilot ikkala aviakompaniya uchun o'rtacha kutilgan parvoz kechikish vaqtlari o'rtasidagi farqni solishtirmoqchi.
Kompaniya kuponlarni yuboradi individual turlar bir shaharda tovarlarni boshqasiga jo'natmaydi. Menejerlar kelgusi ikki oy ichida ushbu mahsulotlarning o'rtacha xarid hajmini solishtirmoqchi.
Avtomobil sotuvchisi ko'pincha taqdimotlarda turmush qurgan juftliklar bilan shug'ullanadi. Taqdimotga shaxsiy munosabatini tushunish uchun er-xotinlar ko'pincha alohida intervyu olishadi. Menejer erkaklar va ayollar tomonidan berilgan reytinglardagi farqni baholamoqchi.
Mustaqil namunalar ishi
Vositalar orasidagi farq n 1 + n 2 - 2 erkinlik darajasi bilan t-tarqatishga ega bo'ladi. m 1 - m 2 uchun ishonch oralig'i quyidagi munosabat bilan ifodalanadi:
Bu muammoni faqat yuqoridagi formulalar yordamida emas, balki standart StatPro vositalari yordamida ham hal qilish mumkin. Buning uchun uni ishlatish kifoya
Proportionlar orasidagi farq uchun ishonch oralig'i
Aktsiyalarning matematik kutishi bo'lsin. Ularning mos ravishda n 1 va n 2 o'lchamdagi namunalardan tuzilgan namunaviy baholari bo'lsin. Keyin farq uchun taxminiy hisoblanadi. Shunday qilib, bu farqning ishonch oralig'i quyidagicha ifodalanadi:
Bu erda z cr - maxsus jadvallar yordamida normal taqsimotdan olingan qiymat (masalan, 95% ishonch oralig'i uchun 1,96).
Baholashning standart xatosi bu holda quyidagi munosabat bilan ifodalanadi:
.
Misol
Katta sotuvga tayyorlanayotgan do'kon quyidagi qadamlarni qo'ydi: marketing tadqiqotlari. 300 kishi tanlab olindi eng yaxshi xaridorlar, ular o'z navbatida tasodifiy ravishda har biri 150 a'zodan iborat ikkita guruhga bo'lingan. Barcha tanlangan xaridorlarga sotuvda ishtirok etish uchun taklifnomalar yuborildi, lekin faqat birinchi guruh a'zolari 5% chegirmaga ega bo'lish huquqini beruvchi kupon oldi. Savdo davomida barcha tanlangan 300 ta xaridorning xaridlari qayd etildi. Menejer natijalarni qanday izohlashi va kuponlarning samaradorligi haqida xulosa chiqarishi mumkin? (COUPONS.XLS fayliga qarang (shablon va yechim)).
Yechim
Bizning maxsus holatimizga kelsak, chegirma kuponini olgan 150 nafar mijozdan 55 nafari sotuvda xarid qilgan va kupon olmagan 150 nafar mijozdan atigi 35 nafari xarid qilgan (103-rasm). 
). Keyin namunaviy nisbatlarning qiymatlari mos ravishda 0,3667 va 0,2333 ni tashkil qiladi. Va ular orasidagi namunaviy farq mos ravishda 0,1333 ga teng. 95% ishonch oralig'ini nazarda tutsak, biz normal taqsimot jadvalidan z cr = 1,96 ni topamiz. Namuna farqining standart xatosini hisoblash 0,0524 ni tashkil qiladi. Nihoyat, biz 95% ishonch oralig'ining pastki chegarasi 0,0307 ekanligini aniqladik va yuqori chegara mos ravishda 0,2359. Olingan natijalarni shunday talqin qilish mumkinki, chegirma kuponini olgan har 100 mijoz uchun biz 3 dan 23 tagacha yangi mijozlarni kutishimiz mumkin. Biroq, shuni yodda tutishimiz kerakki, bu xulosa o'z-o'zidan kuponlardan foydalanish samaradorligini anglatmaydi (chunki chegirma berish orqali biz foyda yo'qotamiz!). Keling, buni aniq ma'lumotlar bilan ko'rsataylik. Keling, shunday da'vo qilaylik o'rtacha hajmi sotib olish 400 rublga teng, shundan 50 rubl. do'kon uchun foyda bor. Keyin kupon olmagan 100 ta mijozdan kutilayotgan foyda:
50 0,2333 100 = 1166,50 rub.
Kupon olgan 100 ta mijoz uchun shunga o'xshash hisob-kitoblar:
30 0,3667 100 = 1100,10 rub.
O'rtacha foydaning 30 ga kamayishi chegirmadan foydalanib, kupon olgan mijozlar o'rtacha 380 rublga xarid qilishlari bilan izohlanadi.
Shunday qilib, yakuniy xulosa ushbu aniq vaziyatda bunday kuponlardan foydalanish samarasizligini ko'rsatadi.
Izoh. Ushbu muammoni standart StatPro vositalari yordamida hal qilish mumkin. Buning uchun uni kamaytirish kifoya bu vazifa usuli yordamida ikki o'rtacha farqni baholash muammosiga va keyin qo'llash StatPro/Statistik xulosa/Ikki namunali tahlil ikki o'rtacha qiymat orasidagi farq uchun ishonch oralig'ini qurish.
Ishonch oralig'i uzunligini nazorat qilish
Ishonch oralig'ining uzunligi quyidagilarga bog'liq quyidagi shartlar :
to'g'ridan-to'g'ri ma'lumotlar (standart og'ish);
ahamiyat darajasi;
namuna hajmi.
O'rtacha baholash uchun namuna hajmi
Birinchidan, muammoni umumiy holatda ko'rib chiqaylik. Bizga berilgan ishonch oralig'ining yarmi uzunligi qiymatini B deb belgilaymiz (104-rasm). 
). Bizga ma'lumki, ba'zi X tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati uchun ishonch oralig'i quyidagicha ifodalanadi 
, Qayerda 
. Ishonish:
va n ni ifodalab, ni olamiz.
Afsuski, aniq qiymat Biz tasodifiy X ning dispersiyasini bilmaymiz. Bundan tashqari, biz tcr qiymatini bilmaymiz, chunki u erkinlik darajalari soni orqali n ga bog'liq. Bunday vaziyatda biz quyidagilarni amalga oshirishimiz mumkin. Dispersiya s o'rniga biz o'rganilayotgan tasodifiy o'zgaruvchining har qanday mavjud ilovalari asosida dispersiyaning ba'zi taxminlaridan foydalanamiz. Oddiy taqsimot uchun t cr qiymati o'rniga z cr qiymatidan foydalanamiz. Bu juda maqbuldir, chunki normal va t-tarqatishlar uchun taqsimot zichligi funktsiyalari juda yaqin (kichik n holidan tashqari). Shunday qilib, kerakli formula quyidagi shaklni oladi:
.
Formula, umuman olganda, butun son bo'lmagan natijalarni berganligi sababli, ortiqcha natija bilan yaxlitlash kerakli namuna hajmi sifatida olinadi.
Misol
Tez ovqatlanish restorani yangi turdagi sendvichlar bilan assortimentini kengaytirishni rejalashtirmoqda. Unga bo'lgan talabni baholash uchun menejer uni sinab ko'rganlar orasidan tasodifiy ravishda bir nechta tashrif buyuruvchilarni tanlab olishni va ulardan yangi mahsulotga bo'lgan munosabatini 1 dan 10 gacha bo'lgan shkalada baholashni so'rashni rejalashtirmoqda. Menejer taxmin qilishni xohlaydi. yangi mahsulot mahsulot oladigan kutilgan ballar soni va bu taxmin uchun 95% ishonch oralig'ini yaratadi. Shu bilan birga, u ishonch oralig'ining yarim kengligi 0,3 dan oshmasligini xohlaydi. U suhbatga qancha mehmon kerak?
quyida bayon qilinganidek:
Bu yerga r ots p nisbatning taxmini, B esa ishonch oralig'ining berilgan yarmi uzunligi. Qiymat yordamida n uchun ortiqcha baho olish mumkin r ots= 0,5. Bunday holda, ishonch oralig'ining uzunligi p ning har qanday haqiqiy qiymati uchun belgilangan B qiymatidan oshmaydi.
Misol
Oldingi misoldagi menejerga mahsulotning yangi turini afzal ko'rgan mijozlar ulushini taxmin qilishni rejalashtirsin. U yarim uzunligi 0,05 dan oshmaydigan 90% ishonch oralig'ini qurmoqchi. Tasodifiy namunaga qancha mijoz kiritilishi kerak?
Yechim
Bizning holatda, z cr qiymati = 1,645. Shuning uchun kerakli miqdor sifatida hisoblanadi 
.
Agar menejerning kerakli p-qiymati, masalan, taxminan 0,3 ekanligiga ishonish uchun asos bo'lsa, bu qiymatni yuqoridagi formulaga almashtirib, biz kichikroq tasodifiy tanlama qiymatini, ya'ni 228 ni olamiz.
Aniqlash uchun formula ikkita o'rtacha farq bo'lsa, tasodifiy tanlama hajmi quyidagicha yozilgan:
.
Misol
Ba'zi kompyuter kompaniyalari mijozlarga xizmat ko'rsatish markaziga ega. IN Yaqinda sifatsiz xizmat ko'rsatish haqida mijozlarning shikoyatlari soni ko'paydi. IN xizmat ko'rsatish markazi Asosan ikki turdagi xodimlar mavjud: katta tajribaga ega bo'lmagan, lekin maxsus tayyorgarlik kurslarini tamomlaganlar va katta amaliy tajribaga ega, lekin maxsus kurslarni tugatmaganlar. Kompaniya so‘nggi olti oy davomida mijozlarning shikoyatlarini tahlil qilib, ikki guruh xodimlarining har biri uchun o‘rtacha shikoyat sonini solishtirmoqchi. Ikkala guruh uchun namunalardagi raqamlar bir xil bo'ladi deb taxmin qilinadi. Yarim uzunligi 2 dan ko'p bo'lmagan 95% intervalni olish uchun namunaga nechta xodimni kiritish kerak?
Yechim
Bu yerda s ots - har ikkala tasodifiy o'zgaruvchilarning standart og'ishini ular yaqin degan faraz ostidagi baholash. Shunday qilib, bizning muammomizda biz bu taxminni qandaydir tarzda olishimiz kerak. Bu, masalan, quyidagi tarzda amalga oshirilishi mumkin. So'nggi olti oy davomida mijozlarning shikoyatlari bo'yicha ma'lumotlarni ko'rib chiqqach, menejer har bir xodim odatda 6 dan 36 tagacha shikoyat qabul qilishini payqashi mumkin. Oddiy taqsimot uchun deyarli barcha qiymatlar o'rtachadan uch baravar ko'p olib tashlanmasligini bilish standart og'ishlar, u asosli ravishda ishonishi mumkin:
, bu yerdan s ots = 5.
Ushbu qiymatni formulaga almashtirib, biz olamiz 
.
Aniqlash uchun formula nisbatlar orasidagi farqni baholashda tasodifiy tanlama hajmi shaklga ega:
Misol
Ba'zi kompaniyalarda o'xshash mahsulotlarni ishlab chiqaradigan ikkita zavod mavjud. Kompaniya menejeri ikkala zavoddagi nuqsonli mahsulotlarning foizini solishtirmoqchi. Mavjud ma'lumotlarga ko'ra, ikkala zavodda ham nuqson darajasi 3 dan 5% gacha. Yarim uzunligi 0,005 (yoki 0,5%) dan oshmaydigan 99% ishonch oralig'ini qurish uchun mo'ljallangan. Har bir zavoddan nechta mahsulot tanlanishi kerak?
Yechim
Bu erda p 1ots va p 2ots 1 va 2-zavoddagi nuqsonlarning ikkita noma'lum ulushini taxmin qilishdir. Agar p 1ots = p 2ots = 0,5 ni qo'ysak, u holda n uchun ortiqcha baholangan qiymatni olamiz. Ammo bizning holatlarimizda ushbu aktsiyalar haqida apriori ma'lumotlarga ega bo'lganligimiz sababli, biz ushbu aktsiyalarning yuqori bahosini, ya'ni 0,05 ni olamiz. olamiz
Namuna ma'lumotlaridan ba'zi populyatsiya parametrlarini baholashda nafaqat berish foydalidir ball bahosi parametr, balki taxmin qilingan parametrning aniq qiymati qayerda yotganligini ko'rsatadigan ishonch oralig'ini ham ko'rsatadi.
Ushbu bobda biz turli parametrlar uchun bunday intervallarni qurish imkonini beruvchi miqdoriy munosabatlar bilan ham tanishdik; ishonch oralig'i uzunligini nazorat qilish usullarini o'rgandi.
Shuni ham yodda tutingki, namunaviy o'lchamlarni baholash muammosi (eksperimentni rejalashtirish muammosi) standart StatPro vositalari yordamida hal qilinishi mumkin. StatPro/Statistik xulosa/namuna hajmini tanlash.
"Katren-Style" Konstantin Kravchikning tsiklini nashr etishda davom etmoqda tibbiy statistika. Oldingi ikkita maqolasida muallif va kabi tushunchalarni tushuntirish bilan shug'ullangan.
Konstantin Kravchik
Matematik-tahlilchi. Soha bo'yicha mutaxassis statistik tadqiqot tibbiyot va gumanitar fanlarda
Moskva shahri
Ko'pincha maqolalarda klinik tadqiqot Siz sirli iborani uchratishingiz mumkin: "ishonch oralig'i" (95 % CI yoki 95 % CI - ishonch oralig'i). Masalan, maqola shunday yozishi mumkin: “Biz farqlarning ahamiyatini baholash uchun foydalandik Talabaning t-testi 95 % ishonch oralig'ini hisoblash bilan.
"95 % ishonch oralig'i" ning qiymati nima va uni nima uchun hisoblash kerak?
Ishonch oralig'i nima? - Bu haqiqiy populyatsiya yolg'onni anglatadigan diapazondir. O'rtacha "noto'g'ri" bormi? Qaysidir ma'noda, ha, ular shunday qilishadi. Biz butun populyatsiyadagi qiziqish parametrini o'lchashning iloji yo'qligini tushuntirdik, shuning uchun tadqiqotchilar cheklangan namunadan mamnun. Ushbu namunada (masalan, tana vazniga qarab) bitta o'rtacha qiymat (ma'lum bir vazn) mavjud bo'lib, u orqali biz butun populyatsiyadagi o'rtacha qiymatni baholaymiz. Biroq, namunadagi o'rtacha vazn (ayniqsa, kichik) umumiy populyatsiyadagi o'rtacha vaznga to'g'ri kelishi dargumon. Shuning uchun aholining o'rtacha qiymatlari oralig'ini hisoblash va ishlatish to'g'riroqdir.
Misol uchun, gemoglobin uchun 95% ishonch oralig'i (95% CI) 110 dan 122 g / L gacha ekanligini tasavvur qiling. Bu aholida gemoglobinning haqiqiy o'rtacha qiymati 110 dan 122 g / L gacha bo'lishining 95% ehtimoli borligini anglatadi. Boshqacha qilib aytganda, biz bilmaymiz o'rtacha gemoglobin umumiy populyatsiyada, ammo biz 95 % ehtimollik bilan ushbu xususiyat uchun qiymatlar oralig'ini ko'rsatishimiz mumkin.
Ishonch oraliqlari, ayniqsa, guruhlar o'rtasidagi o'rtacha farqlar yoki ular deyilganidek, ta'sir o'lchovlari uchun juda muhimdir.
Aytaylik, biz ikkita temir preparatining samaradorligini solishtirdik: biri uzoq vaqtdan beri bozorda bo'lgan va ikkinchisi endigina ro'yxatdan o'tgan. Terapiya kursidan so'ng biz bemorlarning o'rganilayotgan guruhlarida gemoglobin kontsentratsiyasini baholadik va statistik dastur ikki guruhning o'rtacha qiymatlari o'rtasidagi farq 95% ehtimollik bilan 1,72 dan 1,72 gacha bo'lganligini hisobladi. 14,36 g/l (1-jadval).
Jadval 1. Mustaqil namunalar uchun test
(guruhlar gemoglobin darajasi bo'yicha taqqoslanadi)
Buni quyidagicha talqin qilish kerak: qabul qiladigan umumiy populyatsiyadagi ba'zi bemorlarda yangi dori, gemoglobin allaqachon ma'lum bo'lgan dori-darmonlarni qabul qilganlarga qaraganda o'rtacha 1,72-14,36 g / l ga yuqori bo'ladi.
Boshqacha qilib aytganda, umumiy populyatsiyada guruhlar o'rtasidagi o'rtacha gemoglobin qiymatlaridagi farq 95% ehtimollik bilan ushbu chegaralar ichida. Bu ko'p yoki ozmi, tadqiqotchining o'ziga bog'liq bo'ladi. Bularning barchasi shundan iboratki, biz bitta o'rtacha qiymat bilan emas, balki bir qator qiymatlar bilan ishlayapmiz, shuning uchun biz guruhlar orasidagi parametrdagi farqni ishonchliroq baholaymiz.
Statistik paketlarda, tadqiqotchining ixtiyoriga ko'ra, siz ishonch oralig'i chegaralarini mustaqil ravishda toraytirishingiz yoki kengaytirishingiz mumkin. Ishonch oralig'i ehtimolini pasaytirish orqali biz vositalar doirasini toraytiramiz. Masalan, 90 % CIda vositalar diapazoni (yoki vositalardagi farq) 95 % ga qaraganda torroq bo'ladi.
Aksincha, ehtimollikni 99 % ga oshirish qiymatlar doirasini kengaytiradi. Guruhlarni solishtirganda, CI ning pastki chegarasi nol belgisini kesib o'tishi mumkin. Misol uchun, agar biz ishonch oralig'ining chegaralarini 99 % ga kengaytirgan bo'lsak, u holda intervalning chegaralari -1 dan 16 g / l gacha bo'lgan. Bu shuni anglatadiki, umumiy populyatsiyada o'rganilayotgan belgi uchun o'rtacha farq 0 ga teng bo'lgan guruhlar mavjud (M = 0).
Ishonch oralig'idan foydalanib, tekshirishingiz mumkin statistik farazlar. Agar ishonch oralig'i nol qiymatdan o'tsa, u holda guruhlar o'rganilayotgan parametr bo'yicha farq qilmaydi, deb faraz qiladigan nol gipoteza to'g'ri bo'ladi. Misol yuqorida tavsiflangan, biz chegaralarni 99 % gacha kengaytirdik. Umumiy aholining biron bir joyida biz hech qanday farq qilmaydigan guruhlarni topdik.
Gemoglobindagi farqning 95% ishonch oralig'i, (g/l)
Rasmda ikki guruh o'rtasidagi o'rtacha gemoglobin qiymatlaridagi farqning 95% ishonch oralig'i ko'rsatilgan. Chiziq nol belgisidan o'tadi, shuning uchun nol o'rtalari o'rtasida farq bor, bu guruhlar farq qilmaydi degan nol gipotezani tasdiqlaydi. Guruhlar orasidagi farq diapazoni -2 dan 5 g/L gacha. Bu gemoglobin 2 g/l ga kamayishi yoki 5 g/l ga oshishi mumkinligini bildiradi.
Ishonch oralig'i juda muhim ko'rsatkich. Buning yordamida siz guruhlardagi farqlar haqiqatan ham vositalarning farqiga bog'liqmi yoki katta tanlama tufaylimi yoki yo'qligini ko'rishingiz mumkin, chunki katta tanlama bilan farqlarni topish ehtimoli kichikga qaraganda kattaroqdir.
Amalda bu shunday ko'rinishi mumkin. Biz 1000 kishidan namuna oldik, gemoglobin darajasini o'lchadik va vositalardagi farqning ishonch oralig'i 1,2 dan 1,5 g / l gacha ekanligini aniqladik. Bu holatda statistik ahamiyatga egalik darajasi p
Biz gemoglobin kontsentratsiyasi oshganini ko'ramiz, lekin deyarli sezilmas, shuning uchun statistik ahamiyatga ega aniq namuna hajmi tufayli paydo bo'ldi.
Ishonch oraliqlari nafaqat vositalar, balki nisbatlar (va xavf nisbati) uchun ham hisoblanishi mumkin. Misol uchun, biz ishlab chiqilgan dori-darmonlarni qabul qilishda remissiyaga erishgan bemorlarning nisbatlarining ishonch oralig'i bilan qiziqamiz. Faraz qilaylik, proportsiyalar uchun 95 % CI, ya'ni bunday bemorlarning ulushi uchun 0,60-0,80 oralig'ida yotadi. Shunday qilib, bizning tibbiyotimiz bor deb aytishimiz mumkin terapevtik ta'sir holatlarning 60 dan 80% gacha.
Aytaylik, bizda ba'zi xususiyatlarning normal taqsimlanishiga ega bo'lgan juda ko'p miqdordagi narsalar mavjud (masalan, bir xil turdagi sabzavotlarning to'liq ombori, ularning hajmi va og'irligi o'zgaradi). Siz tovarlarning butun partiyasining o'rtacha xususiyatlarini bilmoqchisiz, lekin har bir sabzavotni o'lchash va tortish uchun vaqtingiz ham, xohishingiz ham yo'q. Bu kerak emasligini tushunasiz. Lekin aniq tekshirish uchun qancha dona olish kerak?
Ushbu vaziyat uchun foydali bo'lgan bir nechta formulalarni berishdan oldin, ba'zi bir eslatmani eslaylik.
Birinchidan, agar biz sabzavotlarning butun omborini o'lchagan bo'lsak (bu elementlar to'plami umumiy populyatsiya deb ataladi), unda biz butun partiyaning o'rtacha og'irligini barcha aniqlik bilan bilib olamiz. Keling, buni o'rtacha deb ataymiz X o'rtacha .g uz . - umumiy o'rtacha. Agar uning o'rtacha qiymati va og'ish s ma'lum bo'lsa, nima to'liq aniqlanishini biz allaqachon bilamiz . To'g'ri, biz X o'rtacha avlod ham emasmiz s Biz umumiy aholini bilmaymiz. Biz faqat ma'lum bir namunani olamiz, kerakli qiymatlarni o'lchaymiz va ushbu namuna uchun o'rtacha X o'rtacha qiymatini va S standart og'ishini tanlaymiz.
Ma'lumki, agar bizning namunaviy tekshiruvimiz ko'p sonli elementlarni o'z ichiga olsa (odatda n 30 dan katta bo'lsa) va ular olinadi. haqiqatan ham tasodifiy, keyin s umumiy aholi S tanlovidan deyarli farq qilmaydi ..
Bundan tashqari, normal taqsimot uchun biz quyidagi formulalardan foydalanishimiz mumkin:
95% ehtimol bilan
99% ehtimol bilan
IN umumiy ko'rinish P (t) ehtimolligi bilan
Ishonch oralig'ini bilmoqchi bo'lgan t qiymati va ehtimollik qiymati P (t) o'rtasidagi munosabatni quyidagi jadvaldan olish mumkin:
Shunday qilib, biz aholi uchun o'rtacha qiymat qaysi diapazonda yotishini aniqladik (ma'lum bir ehtimollik bilan).
Agar bizda etarlicha katta namuna bo'lmasa, buni ayta olmaymiz aholi s = ga ega S tanlang Bundan tashqari, bu holda namunaning normal taqsimotga yaqinligi muammoli. Bu holda biz ham o'rniga S select dan foydalanamiz s formulada:
lekin belgilangan P(t) ehtimollik uchun t ning qiymati n namunadagi elementlar soniga bog‘liq bo‘ladi. n qanchalik katta bo'lsa, natijada ishonch oralig'i (1) formulada berilgan qiymatga yaqinroq bo'ladi. Bu holda t qiymatlari boshqa jadvaldan (Talabaning t-testi) olingan, biz quyida keltiramiz:
0,95 va 0,99 ehtimollik uchun talabaning t-test qiymatlari
3-misol. Tasodifiy yo‘l bilan kompaniya xodimlaridan 30 kishi tanlab olindi. Namunaga ko'ra, o'rtacha ish haqi (oyiga) 5 ming rubl standart og'ish bilan 30 ming rubl ekanligi ma'lum bo'ldi. 0,99 ehtimollik bilan kompaniyadagi o'rtacha ish haqini aniqlang.
Yechim: Shart bo'yicha bizda n = 30, X avg. =30000, S=5000, P = 0,99. Ishonch oralig'ini topish uchun Student t testiga mos keladigan formuladan foydalanamiz. n = 30 va P = 0,99 uchun jadvaldan biz t = 2,756 ni topamiz, shuning uchun,
bular. qidirilayotgan ishonchli vakil interval 27484< Х ср.ген
< 32516.
Shunday qilib, 0,99 ehtimollik bilan aytishimiz mumkinki, interval (27484; 32516) kompaniyadagi o'rtacha ish haqini o'z ichiga oladi.
Umid qilamizki, siz ushbu usuldan foydalanasiz va har safar yoningizda stol bo'lishi shart emas. Excelda hisob-kitoblar avtomatik ravishda amalga oshirilishi mumkin. Excel faylida yuqori menyudagi fx tugmasini bosing. Keyin, funksiyalar orasidan "statistik" turini tanlang va oynada taklif qilingan ro'yxatdan - STUDAR DISCOVER. Keyin, kursorni "ehtimollik" maydoniga qo'yib, teskari ehtimollik qiymatini kiriting (ya'ni, bizning holatlarimizda 0,95 ehtimollik o'rniga 0,05 ehtimolligini kiritish kerak). Aftidan elektron jadval shunday tuzilganki, natija qanday ehtimollik bilan xato qilishimiz mumkinligi haqidagi savolga javob beradi. Xuddi shunday, Erkinlik darajasi maydoniga namunangiz uchun qiymatni (n-1) kiriting.
