"Kvadrat tenglama" atamasida kalit so'z "kvadrat" dir. Bu shuni anglatadiki, tenglama majburiy ravishda o'zgaruvchi (xuddi shu x) kvadratni o'z ichiga olishi kerak va uchinchi (yoki katta) darajaga xes bo'lmasligi kerak.
Ko'p tenglamalarning yechimi aniq echishga to'g'ri keladi kvadrat tenglamalar.
Keling, bu boshqa tenglama emas, balki kvadrat tenglama ekanligini aniqlashni o'rganamiz.
1-misol.
Keling, maxrajdan qutulib, tenglamaning har bir hadini ga ko'paytiramiz
Keling, hamma narsani chap tomonga o'tkazamiz va shartlarni X ning darajalarining kamayish tartibida joylashtiramiz
Endi biz ishonch bilan aytishimiz mumkinki, bu tenglama kvadratikdir!
2-misol.
Chap va o'ng tomonlarni ko'paytiring:
Bu tenglama, garchi dastlab unda bo'lsa ham, kvadrat emas!
3-misol.
Keling, hamma narsani ko'paytiramiz:
Qo'rqinchlimi? To'rtinchi va ikkinchi darajalar ... Ammo, agar biz almashtirsak, biz oddiy kvadrat tenglamaga ega ekanligimizni ko'ramiz:
4-misol.
U borga o'xshaydi, lekin keling, batafsilroq ko'rib chiqaylik. Keling, hamma narsani chap tomonga o'tkazamiz:
Qarang, u qisqartirildi - va endi bu oddiy chiziqli tenglama!
Endi quyidagi tenglamalardan qaysi biri kvadratik, qaysi biri emasligini aniqlashga harakat qiling:
Misollar:
Javoblar:
- kvadrat;
- kvadrat;
- kvadrat emas;
- kvadrat emas;
- kvadrat emas;
- kvadrat;
- kvadrat emas;
- kvadrat.
Matematiklar shartli ravishda barcha kvadrat tenglamalarni quyidagi turlarga ajratadilar:
- To‘liq kvadrat tenglamalar- koeffitsientlari va, shuningdek, c erkin termini nolga teng bo'lmagan tenglamalar (misoldagi kabi). Bundan tashqari, to'liq kvadrat tenglamalar orasida berilgan- bu koeffitsient bo'lgan tenglamalar (birinchi misoldagi tenglama nafaqat to'liq, balki qisqartirilgan!)
- Tugallanmagan kvadrat tenglamalar- koeffitsienti va yoki erkin c hadi nolga teng bo'lgan tenglamalar:
Ular to'liq emas, chunki ularda biron bir element etishmayapti. Lekin tenglama har doim x kvadratini o'z ichiga olishi kerak!!! Aks holda, u endi kvadrat tenglama emas, balki boshqa tenglama bo'ladi.
Nega ular bunday bo'linish bilan kelishdi? X kvadrati borga o'xshaydi va yaxshi. Bu bo'linish yechim usullari bilan aniqlanadi. Keling, ularning har birini batafsil ko'rib chiqaylik.
Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish
Birinchidan, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni echishga e'tibor qarataylik - ular ancha sodda!
To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning turlari mavjud:
- , bu tenglamada koeffitsient teng.
- , bu tenglamada erkin muddat ga teng.
- , bu tenglamada koeffitsient va erkin muddat tengdir.
1. i. Chunki biz qazib olishni bilamiz Kvadrat ildiz, keyin bu tenglamadan ifodalaymiz
Ifoda salbiy yoki ijobiy bo'lishi mumkin. Kvadrat son manfiy bo'lishi mumkin emas, chunki ikkita manfiy yoki ikkita musbat sonni ko'paytirishda natija har doim ijobiy son bo'ladi, shuning uchun: agar, u holda tenglamaning yechimlari yo'q.
Va agar bo'lsa, biz ikkita ildiz olamiz. Bu formulalarni yodlashning hojati yo'q. Asosiysi, siz bundan kam bo'lmasligini bilishingiz va doimo yodda tutishingiz kerak.
Keling, ba'zi misollarni hal qilishga harakat qilaylik.
5-misol:
Tenglamani yeching
Endi chap va o'ng tomondan ildizni olish qoladi. Axir, ildizlarni qanday chiqarishni eslaysizmi?
Javob:
Salbiy belgili ildizlar haqida hech qachon unutmang!!!
6-misol:
Tenglamani yeching
Javob:
7-misol:
Tenglamani yeching
Oh! Raqamning kvadrati manfiy bo'lishi mumkin emas, ya'ni tenglama
ildiz yo'q!
Ildizlari bo'lmagan bunday tenglamalar uchun matematiklar maxsus belgi bilan kelishdi - (bo'sh to'plam). Va javobni quyidagicha yozish mumkin:
Javob:
Shunday qilib, bu kvadrat tenglama ikkita ildizga ega. Bu erda hech qanday cheklovlar yo'q, chunki biz ildizni chiqarmadik.
8-misol:
Tenglamani yeching
Qavslar ichidan umumiy omilni chiqaramiz:
Shunday qilib,
Bu tenglamaning ikkita ildizi bor.
Javob:
To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarning eng oddiy turi (garchi ularning barchasi oddiy bo'lsa-da, to'g'rimi?). Shubhasiz, bu tenglama har doim faqat bitta ildizga ega:
Biz bu erda misollar bilan cheklanamiz.
To'liq kvadrat tenglamalarni yechish
Sizga eslatib o'tamizki, to'liq kvadrat tenglama bu erdagi tenglamaning tenglamasidir
To'liq kvadrat tenglamalarni yechish ularga qaraganda biroz qiyinroq (birozgina).
Eslab qoling, Har qanday kvadrat tenglamani diskriminant yordamida yechish mumkin! Hatto to'liq emas.
Boshqa usullar buni tezroq bajarishga yordam beradi, lekin kvadrat tenglamalar bilan bog'liq muammolar mavjud bo'lsa, avval diskriminant yordamida yechimni o'zlashtiring.
1. Kvadrat tenglamalarni diskriminant yordamida yechish.
Ushbu usul yordamida kvadrat tenglamalarni echish juda oddiy, asosiysi harakatlar ketma-ketligini va bir nechta formulalarni eslab qolishdir.
Agar, u holda tenglamaning ildizi bor. Maxsus e'tibor qadam tashla. Diskriminant () bizga tenglamaning ildizlari sonini bildiradi.
- Agar bo'lsa, unda qadamdagi formula ga qisqartiriladi. Shunday qilib, tenglama faqat ildizga ega bo'ladi.
- Agar, u holda biz qadamda diskriminantning ildizini chiqara olmaymiz. Bu tenglamaning ildizlari yo'qligini ko'rsatadi.
Keling, tenglamalarimizga qaytaylik va ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik.
9-misol:
Tenglamani yeching
1-qadam o'tkazib yuboramiz.
2-qadam.
Diskriminantni topamiz:
Bu tenglamaning ikkita ildizi borligini anglatadi.
3-qadam.
Javob:
10-misol:
Tenglamani yeching
Tenglama standart shaklda taqdim etiladi, shuning uchun 1-qadam o'tkazib yuboramiz.
2-qadam.
Diskriminantni topamiz:
Demak, tenglama bitta ildizga ega.
Javob:
11-misol:
Tenglamani yeching
Tenglama standart shaklda taqdim etiladi, shuning uchun 1-qadam o'tkazib yuboramiz.
2-qadam.
Diskriminantni topamiz:
Bu biz diskriminantning ildizini ajratib ololmasligimizni anglatadi. Tenglamaning ildizlari yo'q.
Endi biz bunday javoblarni qanday qilib to'g'ri yozishni bilamiz.
Javob: ildizlari yo'q
2. Kvadrat tenglamalarni Vyeta teoremasi yordamida yechish.
Esingizda bo'lsa, qisqartirilgan deb ataladigan tenglama turi mavjud (a koeffitsienti teng bo'lganda):
Bunday tenglamalarni Vyeta teoremasi yordamida yechish juda oson:
Ildizlar yig'indisi berilgan kvadrat tenglama teng, ildizlarning hosilasi esa teng.
12-misol:
Tenglamani yeching
Bu tenglamani Vyeta teoremasi yordamida yechish mumkin, chunki .
Tenglamaning ildizlari yig'indisi teng, ya'ni. birinchi tenglamani olamiz:
Va mahsulot teng:
Keling, tizimni tuzamiz va hal qilamiz:
- Va. Miqdori teng;
- Va. Miqdori teng;
- Va. Miqdor teng.
va tizimning yechimi:
Javob: ; .
13-misol:
Tenglamani yeching
Javob:
14-misol:
Tenglamani yeching
Tenglama berilgan, ya'ni:
Javob:
KVADRATIK TENGLAMALAR. O'RTACHA DARAJASI
Kvadrat tenglama nima?
Boshqacha qilib aytganda, kvadrat tenglama ko'rinishdagi tenglama bo'lib, bu erda - noma'lum, - ba'zi sonlar va.
Raqam eng yuqori yoki deyiladi birinchi koeffitsient kvadrat tenglama, - ikkinchi koeffitsient, A - bepul a'zo.
Nega? Chunki agar tenglama darhol chiziqli bo'lib qolsa, chunki yo'qoladi.
Bu holda va nolga teng bo'lishi mumkin. Ushbu kafedrada tenglama to'liq emas deb ataladi. Agar barcha shartlar joyida bo'lsa, ya'ni tenglama to'liq bo'ladi.
Har xil turdagi kvadrat tenglamalar yechimlari
To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni yechish usullari:
Birinchidan, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni yechish usullarini ko'rib chiqaylik - ular oddiyroq.
Quyidagi turdagi tenglamalarni ajratib ko'rsatishimiz mumkin:
I., bu tenglamada koeffitsient va erkin muddat tengdir.
II. , bu tenglamada koeffitsient teng.
III. , bu tenglamada erkin muddat ga teng.
Keling, ushbu kichik turlarning har birining echimini ko'rib chiqaylik.
Shubhasiz, bu tenglama har doim faqat bitta ildizga ega:
Kvadrat son manfiy bo'lishi mumkin emas, chunki ikkita manfiy yoki ikkita musbat sonni ko'paytirganda natija har doim ijobiy son bo'ladi. Shunung uchun:
agar, u holda tenglamaning yechimlari yo'q;
agar bizda ikkita ildiz bo'lsa
Bu formulalarni yodlashning hojati yo'q. Esda tutish kerak bo'lgan asosiy narsa shundaki, u kamroq bo'lishi mumkin emas.
Misollar:
Yechimlar:
Javob:
Salbiy belgi bilan ildizlar haqida hech qachon unutmang!
Raqamning kvadrati manfiy bo'lishi mumkin emas, ya'ni tenglama
ildizlari yo'q.
Muammoning yechimi yo'qligini qisqacha yozish uchun biz bo'sh to'plam belgisidan foydalanamiz.
Javob:
Demak, bu tenglamaning ikkita ildizi bor: va.
Javob:
Qavslar ichidan umumiy omilni chiqaramiz:
Agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng. Bu shuni anglatadiki, tenglama quyidagi hollarda yechimga ega:
Demak, bu kvadrat tenglamaning ikkita ildizi bor: va.
Misol:
Tenglamani yeching.
Yechim:
Tenglamaning chap tomonini faktorlarga ajratamiz va ildizlarini topamiz:
Javob:
To'liq kvadrat tenglamalarni yechish usullari:
1. Diskriminant
Kvadrat tenglamalarni shu tarzda echish oson, asosiysi harakatlar ketma-ketligini va bir nechta formulalarni eslab qolishdir. Esingizda bo'lsin, har qanday kvadrat tenglama diskriminant yordamida echilishi mumkin! Hatto to'liq emas.
Ildizlar formulasida diskriminantdan ildizni payqadingizmi? Ammo diskriminant salbiy bo'lishi mumkin. Nima qilish kerak? Biz 2-bosqichga alohida e'tibor qaratishimiz kerak. Diskriminant bizga tenglamaning ildizlari sonini aytadi.
- Agar, tenglamaning ildizlari bo'lsa:
- Agar tenglama bir xil ildizlarga ega bo'lsa va aslida bitta ildiz bo'lsa:
Bunday ildizlar qo'sh ildiz deyiladi.
- Agar, u holda diskriminantning ildizi chiqarilmaydi. Bu tenglamaning ildizlari yo'qligini ko'rsatadi.
Nima uchun turli xil ildizlar soni mumkin? ga murojaat qilaylik geometrik ma'no kvadrat tenglama. Funktsiyaning grafigi parabola:
Kvadrat tenglama bo'lgan maxsus holatda, . Demak, kvadrat tenglamaning ildizlari abscissa o'qi (o'qi) bilan kesishgan nuqtalardir. Parabola o'qni umuman kesib o'tmasligi yoki uni bitta (parabola tepasi o'qda yotsa) yoki ikkita nuqtada kesishi mumkin.
Bundan tashqari, koeffitsient parabola shoxlarining yo'nalishi uchun javobgardir. Agar, u holda parabolaning shoxlari yuqoriga, agar bo'lsa, pastga yo'naltiriladi.
Misollar:
Yechimlar:
Javob:
Javob: .
Javob:
Bu hech qanday yechim yo'qligini anglatadi.
Javob: .
2. Vyeta teoremasi
Vyeta teoremasidan foydalanish juda oson: ko‘paytmasi tenglamaning erkin hadiga teng bo‘lgan, yig‘indisi esa qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga teng bo‘lgan bir juft sonni tanlash kifoya.
Shuni yodda tutish kerakki, Vyeta teoremasi faqat qo'llanilishi mumkin qisqartirilgan kvadrat tenglamalar ().
Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:
1-misol:
Tenglamani yeching.
Yechim:
Bu tenglamani Vyeta teoremasi yordamida yechish mumkin, chunki . Boshqa koeffitsientlar: ; .
Tenglama ildizlarining yig'indisi:
Va mahsulot teng:
Ko'paytmasi teng bo'lgan juft sonlarni tanlaymiz va ularning yig'indisi teng yoki yo'qligini tekshiramiz:
- Va. Miqdori teng;
- Va. Miqdori teng;
- Va. Miqdor teng.
va tizimning yechimi:
Shunday qilib, va bizning tenglamamizning ildizlari.
Javob: ; .
2-misol:
Yechim:
Keling, mahsulotda keladigan raqamlar juftligini tanlaymiz va keyin ularning yig'indisi teng yoki yo'qligini tekshiramiz:
va: ular jami beradi.
va: ular jami beradi. Olish uchun taxmin qilingan ildizlarning belgilarini o'zgartirish kifoya: va, albatta, mahsulot.
Javob:
3-misol:
Yechim:
Tenglamaning erkin hadi manfiy, shuning uchun ildizlarning mahsuloti manfiy raqam. Bu faqat ildizlardan biri salbiy, ikkinchisi esa ijobiy bo'lsa mumkin. Shuning uchun ildizlarning yig'indisi ga teng ularning modullaridagi farqlar.
Keling, mahsulotda berilgan va farqi teng bo'lgan juft raqamlarni tanlaymiz:
va: ularning farqi teng - mos kelmaydi;
va: - mos kelmaydi;
va: - mos kelmaydi;
va: - mos. Faqat ildizlardan biri salbiy ekanligini eslash qoladi. Ularning yig'indisi teng bo'lishi kerakligi sababli moduli kichikroq ildiz manfiy bo'lishi kerak: . Biz tekshiramiz:
Javob:
4-misol:
Tenglamani yeching.
Yechim:
Tenglama berilgan, ya'ni:
Erkin atama manfiy, shuning uchun ildizlarning mahsuloti salbiy. Va bu faqat tenglamaning bir ildizi salbiy, ikkinchisi esa ijobiy bo'lganda mumkin.
Keling, mahsuloti teng bo'lgan juft raqamlarni tanlaymiz va keyin qaysi ildizlarda manfiy belgi bo'lishi kerakligini aniqlaymiz:
Shubhasiz, faqat ildizlar va birinchi shartga mos keladi:
Javob:
5-misol:
Tenglamani yeching.
Yechim:
Tenglama berilgan, ya'ni:
Ildizlarning yig'indisi manfiy, ya'ni kamida bitta ildiz manfiy. Ammo ularning mahsuloti ijobiy bo'lgani uchun, bu ikkala ildizning ham minus belgisi borligini anglatadi.
Mahsuloti teng bo'lgan juft raqamlarni tanlaymiz:
Shubhasiz, ildizlar raqamlar va.
Javob:
Qabul qiling, bu yomon diskriminantni hisoblash o'rniga, ildizlarni og'zaki ravishda topish juda qulay. Vieta teoremasidan iloji boricha tez-tez foydalanishga harakat qiling.
Ammo ildizlarni topishni osonlashtirish va tezlashtirish uchun Vyeta teoremasi kerak. Undan foydalanishdan foyda olish uchun siz harakatlarni avtomatlashtirishga olib kelishingiz kerak. Va buning uchun yana beshta misolni hal qiling. Lekin aldamang: siz diskriminantdan foydalana olmaysiz! Faqat Viet teoremasi:
Mustaqil ish uchun vazifalar yechimlari:
1-topshiriq. ((x)^(2))-8x+12=0
Vyeta teoremasiga ko'ra:
Odatdagidek, tanlovni parcha bilan boshlaymiz:
Miqdori tufayli mos emas;
: miqdor sizga kerak bo'lgan narsadir.
Javob: ; .
Vazifa 2.
Va yana bizning sevimli Vyeta teoremasi: yig'indi teng bo'lishi kerak va mahsulot teng bo'lishi kerak.
Ammo bo'lmasligi kerakligi sababli, lekin, biz ildizlarning belgilarini o'zgartiramiz: va (jami).
Javob: ; .
Vazifa 3.
Hmm... Bu qayerda?
Barcha shartlarni bir qismga ko'chirishingiz kerak:
Ildizlarning yig'indisi mahsulotga teng.
Yaxshi, to'xtang! Tenglama berilmagan. Ammo Vyeta teoremasi faqat berilgan tenglamalarda amal qiladi. Shunday qilib, avval siz tenglamani berishingiz kerak. Agar siz etakchilik qila olmasangiz, bu fikrdan voz keching va uni boshqa yo'l bilan hal qiling (masalan, diskriminant orqali). Sizga shuni eslatib o'tamanki, kvadrat tenglamani berish etakchi koeffitsientni tenglashtirishni anglatadi:
Ajoyib. Keyin ildizlarning yig'indisi va mahsulotga teng bo'ladi.
Bu erda armutni otish kabi oson tanlash mumkin: axir, bu asosiy raqam (tavtologiya uchun uzr).
Javob: ; .
Vazifa 4.
Bepul a'zo salbiy. Buning nimasi alohida? Va haqiqat shundaki, ildizlar turli belgilarga ega bo'ladi. Va endi, tanlov paytida biz ildizlarning yig'indisini emas, balki ularning modullaridagi farqni tekshiramiz: bu farq teng, lekin mahsulot.
Demak, ildizlar va ga teng, lekin ulardan biri minus. Vietaning teoremasi bizga ildizlarning yig'indisi qarama-qarshi belgili ikkinchi koeffitsientga teng ekanligini aytadi, ya'ni. Bu shuni anglatadiki, kichikroq ildiz minusga ega bo'ladi: va, chunki.
Javob: ; .
Vazifa 5.
Avval nima qilish kerak? To'g'ri, tenglamani keltiring:
Yana: biz sonning omillarini tanlaymiz va ularning farqi teng bo'lishi kerak:
Ildizlar va ga teng, lekin ulardan biri minus. Qaysi? Ularning yig'indisi teng bo'lishi kerak, ya'ni minus kattaroq ildizga ega bo'ladi.
Javob: ; .
Xulosa qilib beraman:
- Vyeta teoremasi faqat berilgan kvadrat tenglamalarda qo'llaniladi.
- Vieta teoremasidan foydalanib, siz tanlab, og'zaki ildizlarni topishingiz mumkin.
- Agar tenglama berilmasa yoki tenglama topilmasa mos juftlik erkin atama omillari, ya'ni butun ildizlar yo'q va siz boshqa yo'l bilan hal qilishingiz kerak (masalan, diskriminant orqali).
3. To'liq kvadratni tanlash usuli
Agar noma'lumni o'z ichiga olgan barcha atamalar qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan atamalar shaklida ifodalangan bo'lsa - yig'indining kvadrati yoki ayirma - u holda o'zgaruvchilar almashtirilgandan so'ng, tenglama turdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama ko'rinishida taqdim etilishi mumkin.
Masalan:
1-misol:
Tenglamani yeching: .
Yechim:
Javob:
2-misol:
Tenglamani yeching: .
Yechim:
Javob:
IN umumiy ko'rinish transformatsiya quyidagicha ko'rinadi:
Bu shuni anglatadiki: .
Sizga hech narsani eslatmayaptimi? Bu kamsituvchi narsa! Aynan shu tarzda biz diskriminant formulasini oldik.
KVADRATIK TENGLAMALAR. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA
Kvadrat tenglama- bu ko'rinishdagi tenglama, bu erda - noma'lum, - kvadrat tenglama koeffitsientlari, - erkin muddat.
To‘liq kvadrat tenglama- koeffitsientlari nolga teng bo'lmagan tenglama.
Qisqartirilgan kvadrat tenglama- koeffitsienti bo'lgan tenglama, ya'ni: .
Tugallanmagan kvadrat tenglama- koeffitsient va yoki erkin c hadi nolga teng bo'lgan tenglama:
- koeffitsient bo'lsa, tenglama quyidagicha ko'rinadi: ,
- agar erkin atama bo'lsa, tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: ,
- agar va bo'lsa, tenglama quyidagicha ko'rinadi: .
1. Tugallanmagan kvadrat tenglamalarni yechish algoritmi
1.1. Ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama, bu erda, :
1) Noma’lumni ifodalaymiz: ,
2) ifoda belgisini tekshiring:
- agar tenglamaning yechimlari bo'lmasa,
- bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega.
1.2. Ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama, bu erda, :
1) Qavslar ichidan umumiy ko‘rsatkichni chiqaramiz: ,
2) Agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng. Shunday qilib, tenglama ikkita ildizga ega:
1.3. Shaklning to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasi, bu erda:
Bu tenglama har doim faqat bitta ildizga ega: .
2. Qayerda ko`rinishdagi to`liq kvadrat tenglamalarni yechish algoritmi
2.1. Diskriminant yordamida yechim
1) Tenglamani standart shaklga keltiramiz: ,
2) Diskriminantni formuladan foydalanib hisoblaymiz: , bu tenglamaning ildizlari sonini bildiradi:
3) tenglamaning ildizlarini toping:
- agar tenglamaning ildizlari bo'lsa, ular quyidagi formula bo'yicha topiladi:
- agar, u holda tenglamaning ildizi bo'lsa, u quyidagi formula bo'yicha topiladi:
- bo'lsa, tenglamaning ildizlari yo'q.
2.2. Vieta teoremasi yordamida yechim
Qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi (bu erdagi shakl tenglamasi) teng, ildizlarning ko'paytmasi esa teng, ya'ni. , A.
2.3. To'liq kvadratni tanlash usuli bilan yechim
Agar shakldagi kvadrat tenglama ildizlarga ega bo'lsa, u holda uni quyidagicha yozish mumkin: .
Xo'sh, mavzu tugadi. Agar siz ushbu satrlarni o'qiyotgan bo'lsangiz, demak siz juda zo'rsiz.
Chunki odamlarning atigi 5 foizi o‘z kuchi bilan biror narsani o‘zlashtira oladi. Va agar siz oxirigacha o'qisangiz, unda siz ushbu 5% ga kirasiz!
Endi eng muhimi.
Siz ushbu mavzu bo'yicha nazariyani tushundingiz. Va takror aytaman, bu... bu shunchaki ajoyib! Siz allaqachon tengdoshlaringizning aksariyatidan yaxshiroqsiz.
Muammo shundaki, bu etarli bo'lmasligi mumkin ...
Sabab?
Yagona davlat imtihonini muvaffaqiyatli topshirganlik uchun, kollejga byudjetga kirish uchun va ENG MUHIM, umrbod.
Men sizni hech narsaga ishontirmayman, faqat bitta narsani aytaman ...
Qabul qilgan odamlar yaxshi ta'lim, uni olmaganlarga qaraganda ko'proq pul ishlang. Bu statistika.
Lekin bu asosiy narsa emas.
Asosiysi, ular BAXTLI (Bunday tadqiqotlar bor). Ehtimol, ularning oldida yana ko'p imkoniyatlar ochilib, hayot yanada yorqinroq bo'ladimi? Bilmayman...
Lekin o'zingiz o'ylab ko'ring...
Yagona davlat imtihonida boshqalardan yaxshiroq bo'lish va oxir-oqibat ... baxtli bo'lish uchun nima qilish kerak?
SHU MAVZU BO'YICHA MUAMMOLARNI YECHIB QOLING.
Imtihon paytida sizdan nazariya so'ralmaydi.
Sizga kerak bo'ladi vaqtga qarshi muammolarni hal qilish.
Va agar siz ularni hal qilmagan bo'lsangiz (KO'P!), Agar biror joyda ahmoqona xatoga yo'l qo'yasiz yoki shunchaki vaqtingiz bo'lmaydi.
Bu xuddi sportdagidek - aniq g'alaba qozonish uchun buni ko'p marta takrorlash kerak.
To'plamni xohlagan joyingizda toping, albatta yechimlar bilan, batafsil tahlil va qaror qiling, qaror qiling, qaror qiling!
Siz bizning vazifalarimizdan foydalanishingiz mumkin (ixtiyoriy) va biz, albatta, ularni tavsiya qilamiz.
Vazifalarimizdan yaxshiroq foydalanish uchun siz hozir o'qiyotgan YouClever darsligining ishlash muddatini uzaytirishga yordam berishingiz kerak.
Qanaqasiga? Ikkita variant mavjud:
- Ushbu maqoladagi barcha yashirin vazifalarni oching - 299 rub.
- Darslikning barcha 99 ta maqolasidagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching - 499 rub.
Ha, bizning darsligimizda 99 ta shunday maqola bor va ulardagi barcha vazifalar va yashirin matnlarga kirish darhol ochilishi mumkin.
Barcha yashirin vazifalarga kirish saytning BUTUN muddati davomida taqdim etiladi.
Yakunida...
Bizning vazifalarimiz sizga yoqmasa, boshqalarni toping. Faqat nazariya bilan to'xtamang.
"Tushundim" va "Men hal qila olaman" - bu mutlaqo boshqa ko'nikmalar. Sizga ikkalasi ham kerak.
Muammolarni toping va ularni hal qiling!
Kopyevskaya qishloq o'rta maktabi
Kvadrat tenglamalarni yechishning 10 ta usuli
Rahbar: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
matematika o'qituvchisi
Kopevo qishlog'i, 2007 yil
1. Kvadrat tenglamalarning rivojlanish tarixi
1.1 Qadimgi Bobildagi kvadrat tenglamalar
1.2 Diofant kvadrat tenglamalarni qanday tuzgan va yechigan
1.3 Hindistondagi kvadrat tenglamalar
1.4 Al-Xorazmiyning kvadrat tenglamalari
1.5 Evropada XIII - XVII asrlarda kvadrat tenglamalar
1.6 Vyeta teoremasi haqida
2. Kvadrat tenglamalarni yechish usullari
Xulosa
Adabiyot
1. Kvadrat tenglamalarning rivojlanish tarixi
1.1 Qadimgi Bobildagi kvadrat tenglamalar
Nafaqat birinchi, balki ikkinchi darajali tenglamalarni echish zarurati, hatto qadimgi davrlarda ham, er uchastkalari maydonlarini topish va harbiy xarakterdagi qazish ishlari bilan bog'liq muammolarni hal qilish zarurati bilan bog'liq edi. astronomiya va matematikaning rivojlanishi kabi. Miloddan avvalgi 2000-yillarda kvadrat tenglamalar yechilgan. e. Bobilliklar.
Zamonaviy algebraik yozuvlardan foydalangan holda aytishimiz mumkinki, ularning mixxat yozuvlarida to'liq bo'lmaganlardan tashqari, masalan, to'liq kvadrat tenglamalar mavjud:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Bobil matnlarida bayon qilingan ushbu tenglamalarni yechish qoidasi asosan zamonaviyga to'g'ri keladi, ammo bobilliklar bu qoidaga qanday erishganligi noma'lum. Hozirgacha topilgan deyarli barcha mixxat yozuvlari faqat retseptlar ko'rinishidagi yechimlar bilan bog'liq muammolarni beradi, ular qanday topilganligi ko'rsatilmagan.
Ga qaramasdan yuqori daraja Bobilda algebraning rivojlanishi, mixxat yozuvlarida manfiy son tushunchasi yo'q va umumiy usullar kvadrat tenglamalarni yechish.
1.2 Diofant kvadrat tenglamalarni qanday tuzgan va yechigan.
Diofantning arifmetikasida algebraning tizimli taqdimoti mavjud emas, lekin u tushuntirishlar bilan birga kelgan va turli darajadagi tenglamalar qurish yo'li bilan echilgan tizimli masalalarni o'z ichiga oladi.
Tenglamalarni tuzishda Diophantus yechimni soddalashtirish uchun noma'lumlarni mohirlik bilan tanlaydi.
Bu erda, masalan, uning vazifalaridan biri.
Muammo 11."Ikkita sonni toping, chunki ularning yig'indisi 20 va mahsuloti 96"
Diofant quyidagi sabablarni keltirib chiqaradi: masala shartlaridan kelib chiqadiki, kerakli sonlar teng emas, chunki ular teng bo'lganida, ularning ko'paytmasi 96 ga emas, balki 100 ga teng bo'lar edi. Shunday qilib, ulardan biri dan ko'p bo'ladi. ularning summasining yarmi, ya'ni. 10 + x, ikkinchisi kamroq, ya'ni. 10-lar. Ularning orasidagi farq 2x .
Demak, tenglama:
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
Bu yerdan x = 2. Kerakli raqamlardan biri ga teng 12 , boshqa 8 . Yechim x = -2 chunki Diofant mavjud emas, chunki yunon matematikasi faqat ijobiy raqamlarni bilardi.
Agar bu masalani kerakli sonlardan birini noma’lum qilib tanlab yechsak, u holda tenglama yechimiga kelamiz.
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
Ko'rinib turibdiki, kerakli sonlarning yarim farqini noma'lum sifatida tanlab, Diophantus yechimni soddalashtiradi; u muammoni to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani yechishgacha qisqartirishga muvaffaq bo'ladi (1).
1.3 Hindistondagi kvadrat tenglamalar
Kvadrat tenglamalar bo'yicha masalalar 499 yilda hind matematiki va astronomi Aryabhatta tomonidan tuzilgan "Aryabhattiam" astronomik risolasida allaqachon topilgan. Yana bir hind olimi Brahmagupta (7-asr) bayon qilgan umumiy qoida Yagona kanonik shaklga keltiriladigan kvadrat tenglamalar yechimlari:
oh 2 + b x = c, a > 0. (1)
(1) tenglamada koeffitsientlar bundan mustasno A, salbiy ham bo'lishi mumkin. Brahmagupta qoidasi aslida biznikiga o'xshaydi.
IN Qadimgi Hindiston Murakkab muammolarni hal qilish bo'yicha ommaviy musobaqalar keng tarqalgan edi. Qadimgi hind kitoblaridan birida bunday musobaqalar haqida shunday deyilgan: “Quyosh oʻzining yorqinligi bilan yulduzlarni tutganidek, o'rgangan odam boshqasining shon-shuhratini tutadi xalq yig'inlari, algebraik masalalarni taklif qilish va yechish”. Muammolar ko'pincha she'riy shaklda taqdim etilgan.
Bu XII asrning mashhur hind matematigining muammolaridan biridir. Bhaskarlar.
Muammo 13.
"Bir to'da maymunlar va tok bo'ylab o'n ikkita ...
Rasmiylar ovqatlanib, zavqlanishdi. Ular sakrashni, osishni boshladilar ...
Maydonda ular bor, sakkizinchi qism.U yerda nechta maymun bor edi?
Men kliringda zavqlanardim. Ayting-chi, bu paketdami?
Bxaskaraning yechimi kvadrat tenglamalarning ildizlari ikki qiymatli ekanligini bilganligini ko'rsatadi (3-rasm).
13-masalaga mos keladigan tenglama:
( x /8) 2 + 12 = x
Bhaskara niqob ostida yozadi:
x 2 - 64x = -768
va, bu tenglamaning chap tomonini kvadratga to'ldirish uchun ikkala tomonga ham qo'shiladi 32 2 , keyin olinadi:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Al - Xorazmiydagi kvadrat tenglamalar
Al-Xorazmiyning algebraik risolasida chiziqli va kvadrat tenglamalarning tasnifi berilgan. Muallif 6 turdagi tenglamalarni sanab, ularni quyidagicha ifodalaydi:
1) "Kvadratchalar ildizlarga teng", ya'ni. ax 2 + c = b X.
2) "Kvadratchalar raqamlarga teng", ya'ni. ax 2 = c.
3) "Ildizlar songa teng", ya'ni. ah = s.
4) "Kvadratchalar va raqamlar ildizlarga teng", ya'ni. ax 2 + c = b X.
5) "Kvadratchalar va ildizlar raqamlarga teng", ya'ni. oh 2 + bx = s.
6) "Ildizlar va raqamlar kvadratlarga teng", ya'ni. bx + c = bolta 2.
Manfiy sonlarni ishlatishdan qochgan al-Xorazmiy uchun bu tenglamalarning har birining hadlari ayirilmas emas, qo‘shiladi. Bunday holda, ijobiy yechimga ega bo'lmagan tenglamalar hisobga olinmaydi. Muallif bu tenglamalarni yechish usullarini al-jabr va al-muqobala usullaridan foydalangan holda belgilab beradi. Uning qarorlari, albatta, biznikiga to'liq mos kelmaydi. Bu sof ritorik ekanligini aytmasa ham, shuni ta'kidlash kerakki, masalan, birinchi turdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani yechishda
al-Xorazmiy 17-asrgacha boʻlgan barcha matematiklar kabi nol yechimni hisobga olmaydi, ehtimol aniq amaliy masalalarda buning ahamiyati yoʻq. To'liq kvadrat tenglamalarni yechishda al-Xorazmiy qisman raqamli misollar yechish qoidalarini, keyin esa geometrik isbotlarni belgilaydi.
Muammo 14.“Kvadrat va 21 raqami 10 ta ildizga teng. Ildizni toping" (x 2 + 21 = 10x tenglamaning ildizini nazarda tutadi).
Muallifning yechimi quyidagicha bo‘ladi: ildizlar sonini ikkiga bo‘ling, 5 ni olasiz, 5 ni o‘ziga ko‘paytirasiz, ko‘paytmadan 21 ni ayirasiz, nima qoladi, 4. Ildizni 4 dan oling, siz 2 ni olasiz. 5 dan 2 ni ayirasiz. , siz 3 ni olasiz, bu kerakli ildiz bo'ladi. Yoki 2 ni 5 ga qo'shing, bu 7 ni beradi, bu ham ildiz.
Al-Xorazmiyning risolasi bizgacha yetib kelgan birinchi kitob bo‘lib, unda kvadrat tenglamalar tasnifini tizimli ravishda bayon qilib, ularni yechish formulalari berilgan.
1.5 Yevropadagi kvadrat tenglamalar XIII - XVII bb
Kvadrat tenglamalarni Yevropada al-Xorazmiy yoʻnalishi boʻyicha yechish formulalari birinchi marta italyan matematigi Leonardo Fibonachchi tomonidan 1202-yilda yozilgan “Abakus kitobi”da keltirilgan. Bu katta hajmli asarda matematikaning ham islom mamlakatlari, ham Qadimgi Gretsiya, taqdimotning ham to'liqligi, ham ravshanligi bilan ajralib turadi. Muallif mustaqil ravishda muammolarni hal qilishning yangi algebraik misollarini ishlab chiqdi va Evropada birinchi bo'lib manfiy raqamlarni kiritishga yaqinlashdi. Uning kitobi nafaqat Italiyada, balki Germaniya, Fransiya va boshqa Yevropa mamlakatlarida ham algebraik bilimlarning tarqalishiga hissa qo‘shdi. "Abakus kitobi"ning ko'plab muammolari 16-17-asrlarning deyarli barcha Evropa darsliklarida ishlatilgan. va qisman XVIII.
Yagona kanonik shaklga keltiriladigan kvadrat tenglamalarni yechishning umumiy qoidasi:
x 2 + bx = c,
koeffitsient belgilarining barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalari uchun b , Bilan Evropada faqat 1544 yilda M. Stiefel tomonidan tuzilgan.
Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yechish formulasini olish Vietda mavjud, ammo Viet faqat ijobiy ildizlarni tan oldi. Italiya matematiklari Tartalya, Kardano, Bombelli 16-asrda birinchilardan bo'lgan. Ijobiylardan tashqari, salbiy ildizlar ham hisobga olinadi. Faqat 17-asrda. Jirard, Dekart, Nyuton va boshqa olimlarning mehnatlari tufayli kvadrat tenglamalarni yechish usuli zamonaviy ko'rinishga ega bo'ldi.
1.6 Vyeta teoremasi haqida
Kvadrat tenglama koeffitsientlari va uning ildizlari o'rtasidagi munosabatni ifodalovchi teorema Vyeta nomi bilan atalgan bo'lib, u birinchi marta 1591 yilda quyidagicha shakllantirgan: “Agar B + D, ga ko'paytiriladi A - A 2 , teng BD, Bu A teng IN va teng D ».
Vyetani tushunish uchun biz buni eslashimiz kerak A, har qanday unli harf singari, noma'lumni anglatadi (bizning X), unlilar IN, D- noma'lum uchun koeffitsientlar. Zamonaviy algebra tilida yuqoridagi Vieta formulasi: agar mavjud bo'lsa
(a + b )x - x 2 = ab ,
x 2 - (a + b )x + a b = 0,
x 1 = a, x 2 = b .
Tenglamalarning ildizlari va koeffitsientlari orasidagi munosabatni ifodalash umumiy formulalar belgilar yordamida yozilgan Vyet tenglamalarni yechish usullarida bir xillikni o'rnatdi. Biroq, Vyetning ramziyligi hali ham uzoqda zamonaviy ko'rinish. U manfiy raqamlarni tanimagan va shuning uchun tenglamalarni yechishda faqat barcha ildizlar ijobiy bo'lgan holatlarni ko'rib chiqdi.
2. Kvadrat tenglamalarni yechish usullari
Kvadrat tenglamalar algebraning ulug'vor binosi suyanadigan poydevordir. Kvadrat tenglamalar topiladi keng qo'llanilishi trigonometrik, ko'rsatkichli, logarifmik, irratsional va transsendental tenglamalar va tengsizliklarni yechishda. Kvadrat tenglamalarni yechishni hammamiz maktabdan (8-sinf) bitiruvgacha bilamiz.
Umid qilamanki, ushbu maqolani o'rganganingizdan so'ng, siz to'liq kvadrat tenglamaning ildizlarini qanday topishni o'rganasiz.
Diskriminant yordamida faqat to'liq kvadrat tenglamalar yechiladi; to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni echish uchun boshqa usullar qo'llaniladi, ularni siz "To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni echish" maqolasida topasiz.
Qanday kvadrat tenglamalar to'liq deyiladi? Bu ax 2 + b x + c = 0 ko'rinishdagi tenglamalar, bu erda a, b va c koeffitsientlari nolga teng emas. Demak, toʻliq kvadrat tenglamani yechish uchun D diskriminantini hisoblashimiz kerak.
D = b 2 – 4ac.
Diskriminantning qiymatiga qarab, biz javobni yozamiz.
Agar diskriminant manfiy raqam bo'lsa (D< 0),то корней нет.
Diskriminant nolga teng bo'lsa, x = (-b)/2a. Diskriminant musbat son bo'lsa (D > 0),
keyin x 1 = (-b - √D)/2a va x 2 = (-b + √D)/2a.
Masalan. Tenglamani yeching x 2– 4x + 4= 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Javob: 2.
2-tenglamani yeching x 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Javob: ildiz yo'q.
2-tenglamani yeching x 2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
Javob: – 3,5; 1.
Shunday qilib, keling, 1-rasmdagi diagrammadan foydalanib, to'liq kvadrat tenglamalarning yechimini tasavvur qilaylik.
Ushbu formulalar yordamida siz har qanday to'liq kvadrat tenglamani echishingiz mumkin. Siz shunchaki ehtiyot bo'lishingiz kerak tenglama ko'phad sifatida yozildi standart ko'rinish
A x 2 + bx + c, aks holda siz xato qilishingiz mumkin. Masalan, x + 3 + 2x 2 = 0 tenglamasini yozishda siz noto'g'ri qaror qabul qilishingiz mumkin
a = 1, b = 3 va c = 2. Keyin
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 va keyin tenglamaning ikkita ildizi bor. Va bu haqiqat emas. (Yuqoridagi 2-misol yechimiga qarang).
Shuning uchun, agar tenglama standart ko'rinishdagi ko'phad sifatida yozilmagan bo'lsa, birinchi navbatda to'liq kvadrat tenglama standart shakldagi ko'phad sifatida yozilishi kerak (eng katta ko'rsatkichga ega monom birinchi bo'lishi kerak, ya'ni A x 2 , keyin kamroq bilan – bx va keyin bepul a'zo Bilan.
Qisqartirilgan kvadrat tenglama va juft koeffitsientli kvadrat tenglamani ikkinchi hadda yechishda siz boshqa formulalardan foydalanishingiz mumkin. Keling, ushbu formulalar bilan tanishaylik. Agar to'liq kvadrat tenglamada ikkinchi hadning juft koeffitsienti (b = 2k) bo'lsa, unda siz 2-rasmdagi diagrammada ko'rsatilgan formulalar yordamida tenglamani yechishingiz mumkin.
Agar koeffitsient at bo'lsa, to'liq kvadrat tenglama qisqartirilgan deb ataladi x 2 birga teng va tenglama shaklni oladi x 2 + px + q = 0. Bunday tenglamani yechish uchun berish mumkin yoki tenglamaning barcha koeffitsientlarini koeffitsientga bo'lish yo'li bilan olish mumkin. A, da turgan x 2 .
3-rasmda qisqartirilgan kvadratni yechish sxemasi ko'rsatilgan 
tenglamalar. Keling, ushbu maqolada muhokama qilingan formulalarni qo'llash misolini ko'rib chiqaylik.
Misol. Tenglamani yeching
3x 2 + 6x – 6 = 0.
Bu tenglamani 1-rasmdagi diagrammada ko‘rsatilgan formulalar yordamida yechamiz.
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))/6 = –1 + √3
Javob: –1 – √3; –1 + √3
Bu tenglamadagi x ning koeffitsienti juft son, ya'ni b = 6 yoki b = 2k, bundan k = 3 ekanligini ko'rishingiz mumkin. Keyin D rasmining diagrammasida ko'rsatilgan formulalar yordamida tenglamani echishga harakat qilaylik. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3))/3 = – 1 + √3
Javob: –1 – √3; –1 + √3. Ushbu kvadrat tenglamadagi barcha koeffitsientlar 3 ga bo'linishini ko'rib, bo'linishni bajarib, biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz x 2 + 2x – 2 = 0 Bu tenglamani qisqartirilgan kvadrat uchun formulalar yordamida yeching. 
tenglamalar 3-rasm.
D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3))/2 = – 1 + √3
Javob: –1 – √3; –1 + √3.
Ko'rib turganingizdek, bu tenglamani turli formulalar yordamida yechishda biz bir xil javob oldik. Shuning uchun, 1-rasmdagi diagrammada ko'rsatilgan formulalarni puxta o'zlashtirib, siz har doim har qanday to'liq kvadrat tenglamani yecha olasiz.
blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda asl manbaga havola talab qilinadi.
IN zamonaviy jamiyat o'zgaruvchining kvadratini o'z ichiga olgan tenglamalar bilan amallarni bajarish qobiliyati faoliyatning ko'plab sohalarida foydali bo'lishi mumkin va ilmiy va texnik ishlanmalarda amaliyotda keng qo'llaniladi. Dengiz va daryo kemalari, samolyotlar va raketalarning konstruksiyasi bunga dalil bo‘la oladi. Bunday hisob-kitoblardan foydalanib, eng ko'p harakat traektoriyalari turli jismlar, shu jumladan kosmik ob'ektlar. Kvadrat tenglamalarni yechish misollari nafaqat iqtisodiy prognozlashda, binolarni loyihalash va qurishda, balki eng oddiy kundalik sharoitlarda ham qo'llaniladi. Ular piyoda sayohatlarda, sport tadbirlarida, do'konlarda xarid qilishda va boshqa juda keng tarqalgan holatlarda kerak bo'lishi mumkin.
Keling, ifodani uning tarkibiy omillariga ajratamiz
Tenglamaning darajasi ifodani o'z ichiga olgan o'zgaruvchining darajasining maksimal qiymati bilan aniqlanadi. Agar u 2 ga teng bo'lsa, unda bunday tenglama kvadrat deb ataladi.
Agar biz formulalar tilida gapiradigan bo'lsak, unda ko'rsatilgan iboralar, ular qanday ko'rinishidan qat'i nazar, har doim shaklga keltirilishi mumkin. chap tomoni ifoda uchta atamadan iborat. Ular orasida: ax 2 (ya'ni koeffitsienti bilan kvadrat bo'lgan o'zgaruvchi), bx (koeffitsienti bilan kvadratsiz noma'lum) va c (erkin komponent, ya'ni oddiy son). Bularning barchasi o'ng tomonda 0 ga teng. Agar bunday ko'phadda o'zining tashkil etuvchi hadlaridan biri bo'lmasa, ax 2 dan tashqari, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama deyiladi. Bunday muammolarni hal qilish uchun misollar, o'zgaruvchilarning qiymatlarini topish oson, birinchi navbatda ko'rib chiqilishi kerak.
Agar ifoda o'ng tomonida ikkita atama, aniqrog'i ax 2 va bx bo'lsa, x ni topishning eng oson yo'li o'zgaruvchini qavs ichidan chiqarishdir. Endi bizning tenglamamiz quyidagicha bo'ladi: x(ax+b). Keyinchalik, x=0 yoki muammo quyidagi ifodadan o'zgaruvchini topishga to'g'ri kelishi aniq bo'ladi: ax+b=0. Bu ko'paytirishning xususiyatlaridan biri bilan belgilanadi. Qoida shuni ko'rsatadiki, ikkita omilning ko'paytmasi faqat bittasi nolga teng bo'lsa, 0 ga olib keladi.
Misol
x=0 yoki 8x - 3 = 0
Natijada, biz tenglamaning ikkita ildizini olamiz: 0 va 0,375.
Bunday turdagi tenglamalar koordinatalarning kelib chiqishi sifatida qabul qilingan ma'lum bir nuqtadan harakatlana boshlagan tortishish kuchi ta'siri ostida jismlarning harakatini tasvirlashi mumkin. Bu yerga matematik belgilar quyidagi shaklni oladi: y = v 0 t + gt 2 /2. Kerakli qiymatlarni o'rniga qo'yish, o'ng tomonni 0 ga tenglashtirish va mumkin bo'lgan noma'lumlarni topish orqali siz tananing ko'tarilgan paytdan to tushishigacha o'tgan vaqtni, shuningdek, boshqa ko'plab miqdorlarni bilib olishingiz mumkin. Ammo bu haqda keyinroq gaplashamiz.
Ifoda faktoringi
Yuqorida tavsiflangan qoida ushbu muammolarni ko'proq hal qilish imkonini beradi qiyin holatlar. Ushbu turdagi kvadrat tenglamalarni yechish misollarini ko'rib chiqamiz.
X 2 - 33x + 200 = 0
Bu kvadratik trinomial tugallangan. Birinchidan, keling, ifodani o'zgartiramiz va uni omilga aylantiramiz. Ulardan ikkitasi bor: (x-8) va (x-25) = 0. Natijada, bizda ikkita ildiz 8 va 25 bor.
9-sinfda kvadrat tenglamalarni yechish misollari bu usul yordamida nafaqat ikkinchi, balki uchinchi va to‘rtinchi tartibli ifodalarda ham o‘zgaruvchini topish imkonini beradi.
Masalan: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. O'zgaruvchiga ega bo'lgan omillarga o'ng tomonni koeffitsientlarga ajratishda ularning uchtasi, ya'ni (x+1), (x-3) va (x+) bo'ladi. 3).
Natijada, bu tenglamaning uchta ildizi borligi ayon bo'ladi: -3; -1; 3.
Kvadrat ildiz
To'liq bo'lmagan ikkinchi tartibli tenglamaning yana bir holati harflar tilida shunday ifodalangan ifodadir. o'ng qism ax 2 va c komponentlardan tuzilgan. Bu erda o'zgaruvchining qiymatini olish uchun erkin termin ga o'tkaziladi o'ng tomon, va shundan keyin kvadrat ildiz tenglikning har ikki tomonidan olinadi. Shuni ta'kidlash kerakki, in Ushbu holatda Odatda tenglamaning ikkita ildizi mavjud. Istisno faqat o'zgaruvchisi nolga teng bo'lgan atamani o'z ichiga olmaydigan tengliklar, shuningdek, o'ng tomoni manfiy bo'lgan iboralarning variantlari bo'lishi mumkin. Ikkinchi holda, hech qanday yechim yo'q, chunki yuqoridagi harakatlar ildizlar bilan amalga oshirilmaydi. Ushbu turdagi kvadrat tenglamalar yechimlari misollarini ko'rib chiqish kerak.
Bunday holda, tenglamaning ildizlari -4 va 4 raqamlari bo'ladi.
Er maydonini hisoblash
Bunday hisob-kitoblarga bo'lgan ehtiyoj qadimgi davrlarda paydo bo'lgan, chunki o'sha uzoq davrlarda matematikaning rivojlanishi asosan er uchastkalarining maydonlari va perimetrlarini eng aniqlik bilan aniqlash zarurati bilan belgilanadi.
Bunday turdagi masalalar asosida kvadrat tenglamalarni yechish misollarini ham ko'rib chiqishimiz kerak.
Demak, uzunligi kengligidan 16 metr katta bo‘lgan to‘rtburchaklar shaklidagi yer uchastkasi bor deylik. Agar uning maydoni 612 m2 ekanligini bilsangiz, saytning uzunligi, kengligi va perimetrini topishingiz kerak.
Boshlash uchun avvalo kerakli tenglamani tuzamiz. Maydonning kengligini x bilan belgilaymiz, u holda uning uzunligi (x+16) bo'ladi. Yozilganlardan kelib chiqadiki, maydon x(x+16) ifoda bilan aniqlanadi, bu bizning masalamiz shartlariga ko'ra 612. Bu x(x+16) = 612 degan ma'noni anglatadi.
To'liq kvadrat tenglamalarni yechish va bu ifoda aynan shunday, xuddi shunday qilib bo'lmaydi. Nega? Chap tomonda hali ham ikkita omil mavjud bo'lsa-da, ularning mahsuloti umuman 0 ga teng emas, shuning uchun bu erda turli usullar qo'llaniladi.
Diskriminant
Avvalo, kerakli o'zgarishlarni amalga oshiramiz, keyin tashqi ko'rinish bu ifodaning ko'rinishi quyidagicha bo'ladi: x 2 + 16x - 612 = 0. Bu biz ilgari belgilangan standartga mos keladigan ko'rinishdagi ifodani olganimizni bildiradi, bu erda a=1, b=16, c=-612.
Bu diskriminant yordamida kvadrat tenglamalarni echishga misol bo'lishi mumkin. Bu yerga zarur hisob-kitoblar sxema bo'yicha ishlab chiqariladi: D = b 2 - 4ac. Bu yordamchi miqdor nafaqat ikkinchi tartibli tenglamada kerakli miqdorlarni topish imkonini beradi, balki miqdorni ham aniqlaydi. mumkin bo'lgan variantlar. Agar D>0 bo'lsa, ulardan ikkitasi bor; D=0 uchun bitta ildiz mavjud. D holatda<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Ildizlar va ularning formulasi haqida
Bizning holatimizda diskriminant teng: 256 - 4(-612) = 2704. Bu bizning muammomizning javobi borligini ko'rsatadi. Agar siz k ni bilsangiz, kvadrat tenglamalarni yechish quyidagi formula yordamida davom ettirilishi kerak. Bu sizga ildizlarni hisoblash imkonini beradi.
Bu shuni anglatadiki, taqdim etilgan holatda: x 1 =18, x 2 =-34. Ushbu dilemmadagi ikkinchi variant yechim bo'la olmaydi, chunki er uchastkasining o'lchamlarini manfiy miqdorlarda o'lchash mumkin emas, ya'ni x (ya'ni uchastkaning kengligi) 18 m. Bu erdan biz uzunlikni hisoblaymiz: 18 +16=34, perimetri 2(34+ 18)=104(m2).
Misollar va vazifalar
Biz kvadrat tenglamalarni o'rganishni davom ettiramiz. Ulardan bir nechtasiga misollar va batafsil echimlar quyida keltirilgan.
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
Keling, hamma narsani tenglikning chap tomoniga o'tkazamiz, transformatsiya qilamiz, ya'ni odatda standart deb ataladigan tenglama turini olamiz va uni nolga tenglashtiramiz.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Shunga o'xshashlarni qo'shib, biz diskriminantni aniqlaymiz: D = 49 - 48 = 1. Bu bizning tenglamamiz ikkita ildizga ega bo'lishini anglatadi. Keling, ularni yuqoridagi formula bo'yicha hisoblaymiz, ya'ni ularning birinchisi 4/3 ga, ikkinchisi esa 1 ga teng bo'ladi.
2) Endi boshqa turdagi sirlarni hal qilaylik.
Keling, bu erda x 2 - 4x + 5 = 1 ildizlari bor yoki yo'qligini bilib olaylik? To'liq javob olish uchun polinomni mos keladigan odatiy shaklga keltiramiz va diskriminantni hisoblaymiz. Yuqoridagi misolda kvadrat tenglamani yechish shart emas, chunki bu umuman masalaning mohiyati emas. Bunday holda, D = 16 - 20 = -4, ya'ni haqiqatan ham ildiz yo'q.
Vyeta teoremasi
Kvadrat tenglamalarni yuqoridagi formulalar va diskriminant yordamida yechish qulay, bunda ikkinchisining qiymatidan kvadrat ildiz olinadi. Ammo bu har doim ham sodir bo'lmaydi. Biroq, bu holda o'zgaruvchilar qiymatlarini olishning ko'plab usullari mavjud. Misol: Vyeta teoremasi yordamida kvadrat tenglamalarni yechish. U 16-asrda Frantsiyada yashagan va o'zining matematik iste'dodi va suddagi aloqalari tufayli yorqin martaba qilgani sharafiga nomlangan. Uning portretini maqolada ko'rish mumkin.
Mashhur frantsuz e'tibor bergan naqsh quyidagicha edi. U tenglamaning ildizlari son jihatdan -p=b/a ga qo‘shilishini va ularning ko‘paytmasi q=c/a ga mos kelishini isbotladi.
Endi aniq vazifalarni ko'rib chiqaylik.
3x 2 + 21x - 54 = 0
Oddiylik uchun ifodani o'zgartiramiz:
x 2 + 7x - 18 = 0
Keling, Viet teoremasidan foydalanamiz, bu bizga quyidagilarni beradi: ildizlarning yig'indisi -7, va ularning mahsuloti -18. Bu erdan biz tenglamaning ildizlari -9 va 2 raqamlari ekanligini tushunamiz. Tekshiruvdan so'ng, biz ushbu o'zgaruvchan qiymatlar haqiqatan ham ifodaga mos kelishiga ishonch hosil qilamiz.
Parabola grafigi va tenglamasi
Kvadrat funksiya va kvadrat tenglama tushunchalari bir-biri bilan chambarchas bog‘liq. Bunga misollar avvalroq berilgan. Keling, ba'zi matematik jumboqlarni biroz batafsilroq ko'rib chiqaylik. Ta'riflangan turdagi har qanday tenglama vizual tarzda ifodalanishi mumkin. Grafik sifatida chizilgan bunday munosabat parabola deb ataladi. Uning turli xil turlari quyidagi rasmda keltirilgan.
Har qanday parabolaning cho'qqisi, ya'ni shoxlari chiqadigan nuqtasi bor. Agar a>0 bo'lsa, ular cheksizlikka yuqori bo'ladi va qachon a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Funksiyalarning vizual tasvirlari har qanday tenglamalarni, shu jumladan kvadratik tenglamalarni echishga yordam beradi. Ushbu usul grafik deb ataladi. X o'zgaruvchining qiymati esa grafik chizig'i 0x bilan kesishgan nuqtalardagi abscissa koordinatasidir. Tepaning koordinatalarini hozirgina berilgan x 0 = -b/2a formulasi yordamida topish mumkin. Va natijada olingan qiymatni funktsiyaning dastlabki tenglamasiga almashtirib, siz y 0 ni, ya'ni ordinata o'qiga tegishli bo'lgan parabola tepasining ikkinchi koordinatasini bilib olishingiz mumkin.
Parabola shoxlarining abscissa o'qi bilan kesishishi
Kvadrat tenglamalarni yechishning ko'plab misollari mavjud, ammo umumiy qonuniyatlar ham mavjud. Keling, ularga qaraylik. A>0 uchun grafikning 0x o'qi bilan kesishishi faqat 0 manfiy qiymatlarni qabul qilsagina mumkinligi aniq. Va a uchun<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Aks holda D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Parabolaning grafigidan ildizlarini ham aniqlash mumkin. Buning aksi ham haqiqatdir. Ya'ni, kvadratik funktsiyaning vizual ko'rinishini olish oson bo'lmasa, siz ifodaning o'ng tomonini 0 ga tenglashtirishingiz va hosil bo'lgan tenglamani echishingiz mumkin. Va 0x o'qi bilan kesishish nuqtalarini bilib, grafikni qurish osonroq.
Tarixdan
Kvadrat o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalardan foydalanib, qadimgi kunlarda ular nafaqat matematik hisob-kitoblarni amalga oshirdilar va geometrik shakllarning maydonlarini aniqladilar. Qadimgi odamlar fizika va astronomiya sohalarida buyuk kashfiyotlar, shuningdek, astrolojik prognozlar qilish uchun bunday hisob-kitoblarga muhtoj edilar.
Zamonaviy olimlarning ta'kidlashicha, Bobil aholisi birinchilardan bo'lib kvadrat tenglamalarni yechgan. Bu bizning eramizdan to'rt asr oldin sodir bo'lgan. Albatta, ularning hisob-kitoblari hozirda qabul qilinganlardan tubdan farq qildi va ancha ibtidoiy bo'lib chiqdi. Misol uchun, Mesopotamiya matematiklari manfiy sonlarning mavjudligi haqida hech qanday tasavvurga ega emas edilar. Ular har qanday zamonaviy maktab o'quvchisi biladigan boshqa nozikliklar bilan ham tanish emas edi.
Ehtimol, Bobil olimlaridan ham oldinroq, hindistonlik donishmand Baudhayama kvadrat tenglamalarni echishni boshlagan. Bu Masih davridan sakkiz asr oldin sodir bo'lgan. To'g'ri, ikkinchi darajali tenglamalar, u bergan yechish usullari eng sodda edi. Undan tashqari, qadimgi davrlarda xitoylik matematiklarni ham shu kabi savollar qiziqtirgan. Evropada kvadrat tenglamalar faqat 13-asr boshlarida yechila boshlandi, ammo keyinchalik ular Nyuton, Dekart va boshqa ko'plab buyuk olimlar tomonidan o'z ishlarida qo'llanildi.
Kvadrat tenglamani ko'rib chiqing:
(1)
.
Kvadrat tenglamaning ildizlari(1) formulalar bilan aniqlanadi:
;
.
Ushbu formulalarni quyidagicha birlashtirish mumkin:
.
Kvadrat tenglamaning ildizlari ma'lum bo'lsa, ikkinchi darajali ko'phadni omillar ko'paytmasi (ko'paytmali) sifatida ko'rsatish mumkin:
.
Keyin biz haqiqiy sonlar deb hisoblaymiz.
Keling, ko'rib chiqaylik kvadrat tenglamaning diskriminanti:
.
Agar diskriminant musbat bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikki xil haqiqiy ildizga ega bo'ladi:
;
.
Kvadrat uch a'zoni koeffitsientga ajratish quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
.
Agar diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikkita ko'p (teng) haqiqiy ildizga ega:
.
Faktorizatsiya:
.
Agar diskriminant manfiy bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikkita murakkab konjugat ildizga ega:
;
.
Bu yerda xayoliy birlik, ;
va ildizlarning haqiqiy va xayoliy qismlari:
;
.
Keyin
.
Grafik talqini
Agar siz funktsiyani chizsangiz
,
qaysi parabola bo'lsa, u holda grafikning o'q bilan kesishish nuqtalari tenglamaning ildizlari bo'ladi.
.
da, grafik x o'qini (o'qini) ikki nuqtada kesib o'tadi.
Qachon bo'lsa, grafik bir nuqtada x o'qiga tegadi.
Qachon bo'lsa, grafik x o'qini kesib o'tmaydi.
Quyida bunday grafiklarga misollar keltirilgan.
Kvadrat tenglamaga oid foydali formulalar
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini chiqarish
Biz o'zgartirishlarni amalga oshiramiz va (f.1) va (f.3) formulalarni qo'llaymiz:
,
Qayerda
;
.
Shunday qilib, biz ikkinchi darajali ko'phadning formulasini quyidagi shaklda oldik:
.
Bu tenglama ekanligini ko'rsatadi
da amalga oshirildi
Va .
Ya'ni va kvadrat tenglamaning ildizlari
.
Kvadrat tenglamaning ildizlarini aniqlashga misollar
1-misol
(1.1)
.
Yechim
.
Bizning tenglamamiz (1.1) bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topamiz:
.
Diskriminant musbat bo'lgani uchun tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega:
;
;
.
Bu erdan kvadrat uch a'zoni koeffitsientlarga ajratishni olamiz:
.
y = funksiyaning grafigi 2 x 2 + 7 x + 3 x o'qini ikki nuqtada kesib o'tadi.
Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U abtsissa o'qini (o'qini) ikki nuqtada kesib o'tadi:
Va .
Bu nuqtalar dastlabki tenglamaning ildizlari (1.1).
Javob
;
;
.
2-misol
Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(2.1)
.
Yechim
Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yozamiz:
.
Dastlabki tenglama (2.1) bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topamiz:
.
Diskriminant nolga teng bo'lganligi sababli, tenglama ikkita ko'p (teng) ildizga ega:
;
.
Keyin trinomialni koeffitsientga ajratish quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
.
y = x funksiyaning grafigi 2 - 4 x + 4 bir nuqtada x o'qiga tegadi.
Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U bir nuqtada x o'qiga (o'qiga) tegadi:
.
Bu nuqta dastlabki tenglamaning (2.1) ildizidir. Chunki bu ildiz ikki marta faktorlarga ajratiladi:
,
unda bunday ildiz odatda ko'p deb ataladi. Ya'ni, ular ikkita teng ildiz borligiga ishonishadi:
.
Javob
;
.
3-misol
Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(3.1)
.
Yechim
Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yozamiz:
(1)
.
Dastlabki tenglamani (3.1) qayta yozamiz:
.
(1) bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topamiz:
.
Diskriminant salbiy, . Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.
Siz murakkab ildizlarni topishingiz mumkin:
;
;
Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U x o'qini (o'qi) kesib o'tmaydi. Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.
Javob
Haqiqiy ildizlar yo'q. Murakkab ildizlar:
;
;
.
