Differensial tenglamani qanday yechish mumkin. Birinchi tartibli differensial tenglamalar

Ta'lim muassasasi "Belarus davlati

qishloq xo'jaligi akademiyasi"

Oliy matematika kafedrasi

BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR

Buxgalteriya talabalari uchun ma'ruza matnlari

sirtqi ta'lim shakli (NISPO)

Gorkiy, 2013 yil

Birinchi tartibli differensial tenglamalar

Differensial tenglama haqida tushuncha. Umumiy va maxsus echimlar

Turli hodisalarni o'rganishda ko'pincha mustaqil o'zgaruvchi va kerakli funktsiyani bevosita bog'laydigan qonunni topish mumkin emas, lekin kerakli funktsiya va uning hosilalari o'rtasida bog'lanishni o'rnatish mumkin.

Mustaqil o'zgaruvchini, kerakli funktsiyani va uning hosilalarini bog'laydigan munosabat deyiladi differensial tenglama :

Bu yerga x- mustaqil o'zgaruvchi; y- kerakli funktsiya;
- kerakli funksiyaning hosilalari. Bunday holda (1) munosabat kamida bitta hosilaga ega bo'lishi kerak.

Differensial tenglamaning tartibi tenglamaga kiritilgan eng yuqori hosilaning tartibi deyiladi.

Differensial tenglamani ko'rib chiqing

. (2)

Ushbu tenglama faqat birinchi tartibli hosilani o'z ichiga olganligi sababli, u deyiladi birinchi tartibli differentsial tenglamadir.

Agar (2) tenglamani hosilaga nisbatan yechish va ko'rinishda yozish mumkin bo'lsa

, (3)

u holda bunday tenglama normal shakldagi birinchi tartibli differensial tenglama deyiladi.

Ko'p hollarda shaklning tenglamasini ko'rib chiqish tavsiya etiladi

qaysi deyiladi differensial shaklda yozilgan birinchi tartibli differensial tenglama.

Chunki
, u holda (3) tenglamani shaklda yozish mumkin
yoki
, qaerda hisoblashimiz mumkin
Va
. Bu (3) tenglama (4) tenglamaga aylantirilganligini bildiradi.

(4) tenglamani shaklda yozamiz
. Keyin
,
,
, qaerda hisoblashimiz mumkin
, ya'ni. (3) ko’rinishdagi tenglama olinadi. Shunday qilib, (3) va (4) tenglamalar ekvivalentdir.

Differensial tenglamani yechish (2) yoki (3) har qanday funksiya deyiladi
, bu (2) yoki (3) tenglamaga almashtirilganda uni o'ziga xoslikka aylantiradi:

yoki
.

Differensial tenglamaning barcha yechimlarini topish jarayoni uning deyiladi integratsiya , va yechim grafigi
differensial tenglama deyiladi integral egri chiziq bu tenglama.

Agar differensial tenglamaning yechimi yashirin shaklda olingan bo'lsa
, keyin chaqiriladi integral bu differentsial tenglamaning.

Umumiy yechim birinchi tartibli differensial tenglamaning funksiyalar turkumi
, ixtiyoriy doimiyga bog'liq BILAN, ularning har biri ixtiyoriy doimiyning har qanday ruxsat etilgan qiymati uchun berilgan differentsial tenglamaning yechimidir BILAN. Shunday qilib, differentsial tenglama cheksiz ko'p echimlarga ega.

Shaxsiy qaror differensial tenglama - ixtiyoriy doimiyning o'ziga xos qiymati uchun umumiy yechim formulasidan olingan yechim BILAN, shu jumladan
.

Koshi muammosi va uning geometrik talqini

(2) tenglama cheksiz ko'p yechimga ega. Shaxsiy deb ataladigan ushbu to'plamdan bitta yechimni tanlash uchun siz ba'zi qo'shimcha shartlarni o'rnatishingiz kerak.

Berilgan sharoitda (2) tenglamaning muayyan yechimini topish masalasi deyiladi Cauchy muammosi . Bu muammo differensial tenglamalar nazariyasidagi eng muhim masalalardan biridir.

Koshi muammosi quyidagicha tuzilgan: (2) tenglamaning barcha yechimlari orasidan shunday yechim toping
, unda funksiya mavjud
berilgan raqamli qiymatni oladi , agar mustaqil o'zgaruvchi bo'lsa x berilgan raqamli qiymatni oladi , ya'ni.

,
, (5)

Qayerda D– funksiyani aniqlash sohasi
.

Ma'nosi chaqirdi funktsiyaning boshlang'ich qiymati , A – mustaqil o'zgaruvchining boshlang'ich qiymati . (5) shart chaqiriladi boshlang'ich holati yoki Koshi holati .

Geometrik nuqtai nazardan (2) differensial tenglama uchun Koshi masalasini quyidagicha shakllantirish mumkin: (2) tenglamaning integral egri chiziqlari to‘plamidan berilgan nuqtadan o‘tuvchini tanlang
.

Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan differensial tenglamalar

Differensial tenglamalarning eng oddiy turlaridan biri bu birinchi tartibli differensial tenglama bo'lib, unda kerakli funksiya mavjud emas:

. (6)

Shuni hisobga olib
, tenglamani shaklda yozamiz
yoki
. Oxirgi tenglamaning ikkala tomonini birlashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
yoki

. (7)

Shunday qilib, (7) - (6) tenglamaning umumiy yechimi.

1-misol . Differensial tenglamaning umumiy yechimini toping
.

Yechim . Tenglamani shaklda yozamiz
yoki
. Olingan tenglamaning ikkala tomonini integrallaymiz:
,
. Biz nihoyat yozamiz
.

2-misol . Tenglamaning yechimini toping
shartiga ko'ra
.

Yechim . Keling, tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
,
,
,
. Shart bo'yicha
,
. Keling, umumiy yechimni almashtiramiz:
yoki
. Umumiy yechim formulasiga ixtiyoriy doimiyning topilgan qiymatini almashtiramiz:
. Bu berilgan shartni qanoatlantiradigan differensial tenglamaning alohida yechimidir.

Tenglama

(8)

Chaqirildi mustaqil o'zgaruvchiga ega bo'lmagan birinchi tartibli differentsial tenglama . Keling, uni shaklda yozamiz
yoki
. Oxirgi tenglamaning ikkala tomonini integrallaylik:
yoki
- (8) tenglamaning umumiy yechimi.

Misol . Tenglamaning umumiy yechimini toping
.

Yechim . Ushbu tenglamani quyidagi ko'rinishda yozamiz:
yoki
. Keyin
,
,
,
. Shunday qilib,
bu tenglamaning umumiy yechimidir.

Shakl tenglamasi

(9)

o'zgaruvchilarni ajratish yordamida birlashtiradi. Buning uchun tenglamani shaklda yozamiz
, va keyin ko'paytirish va bo'lish amallaridan foydalanib, biz uni shunday shaklga keltiramizki, bir qism faqat funktsiyani o'z ichiga oladi. X va differentsial dx, va ikkinchi qismda - funktsiyasi da va differentsial dy. Buning uchun tenglamaning ikkala tomonini ko'paytirish kerak dx va bo'linadi
. Natijada biz tenglamani olamiz

, (10)

unda o'zgaruvchilar X Va da ajratilgan. (10) tenglamaning ikkala tomonini integrallaymiz:
. Olingan munosabat (9) tenglamaning umumiy integralidir.

3-misol . Tenglamani integrallash
.

Yechim . Keling, tenglamani o'zgartiramiz va o'zgaruvchilarni ajratamiz:
,
. Keling, integratsiya qilaylik:
,
yoki bu tenglamaning bosh integrali.
.

Tenglama shaklda berilgan bo'lsin

Bu tenglama deyiladi ajratiladigan o'zgaruvchilar bilan birinchi tartibli differentsial tenglama nosimmetrik shaklda.

O'zgaruvchilarni ajratish uchun tenglamaning ikkala tomonini bo'lish kerak
:

. (12)

Olingan tenglama deyiladi ajratilgan differentsial tenglama . (12) tenglamani integrallaymiz:

.(13)

(13) munosabat differensial tenglamaning (11) bosh integralidir.

4-misol . Differensial tenglamani integrallash.

Yechim . Tenglamani shaklda yozamiz

va ikkala qismni ga bo'ling
,
. Olingan tenglama:
ajratilgan o'zgaruvchan tenglamadir. Keling, uni birlashtiramiz:

,
,

,
. Oxirgi tenglik bu differentsial tenglamaning umumiy integralidir.

5-misol . Differensial tenglamaning maxsus yechimini toping
, shartni qondirish
.

Yechim . Shuni hisobga olib
, tenglamani shaklda yozamiz
yoki
. Keling, o'zgaruvchilarni ajratamiz:
. Keling, bu tenglamani integrallaymiz:
,
,
. Olingan munosabat bu tenglamaning umumiy integralidir. Shart bo'yicha
. Uni umumiy integralga almashtiramiz va topamiz BILAN:
,BILAN=1. Keyin ifoda
berilgan differensial tenglamaning qisman yechimi bo‘lib, qisman integral sifatida yoziladi.

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar

Tenglama

(14)

chaqirdi birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama . Noma'lum funksiya
va uning hosilasi bu tenglamaga chiziqli ravishda kiradi va funktsiyalar
Va
davomiy.

Agar
, keyin tenglama

(15)

chaqirdi chiziqli bir hil . Agar
, keyin (14) tenglama chaqiriladi chiziqli bir hil bo'lmagan .

(14) tenglamaning yechimini topish uchun odatda foydalaniladi almashtirish usuli (Bernulli) , uning mohiyati quyidagicha.

(14) tenglamaning yechimini ikkita funktsiyaning ko'paytmasi ko'rinishida qidiramiz

, (16)

Qayerda
Va
- biroz uzluksiz funktsiyalar. Keling, almashtiramiz
va hosila
(14) tenglamaga:

Funktsiya v shart qanoatlantiriladigan tarzda tanlaymiz
. Keyin
. Shunday qilib, (14) tenglamaning yechimini topish uchun differensial tenglamalar tizimini yechish kerak

Tizimning birinchi tenglamasi chiziqli bir hil tenglama bo'lib, o'zgaruvchilarni ajratish usuli bilan echilishi mumkin:
,
,
,
,
. Funktsiya sifatida
bir hil tenglamaning qisman yechimlaridan birini olishingiz mumkin, ya'ni. da BILAN=1:
. Tizimning ikkinchi tenglamasiga almashtiramiz:
yoki
.Keyin
. Shunday qilib, birinchi tartibli chiziqli differentsial tenglamaning umumiy yechimi ko'rinishga ega
.

6-misol . Tenglamani yeching
.

Yechim . Tenglamaning yechimini shaklda izlaymiz
. Keyin
. Keling, tenglamaga almashtiramiz:

yoki
. Funktsiya v tenglik saqlanib qoladigan tarzda tanlang
. Keyin
. O‘zgaruvchilarni ajratish usuli yordamida ushbu tenglamalarning birinchisini yechamiz:
,
,
,
,. Funktsiya v Ikkinchi tenglamani almashtiramiz:
,
,
,
. Bu tenglamaning umumiy yechimi
.

Bilimlarni o'z-o'zini nazorat qilish uchun savollar

Differensial tenglama nima?

Differensial tenglamaning tartibi qanday?

Qaysi differensial tenglama birinchi tartibli differensial tenglama deyiladi?

Birinchi tartibli differensial tenglama differensial shaklda qanday yoziladi?

Differensial tenglamaning yechimi qanday?

Integral egri chiziq nima?

Birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi nima?

Differensial tenglamaning qisman yechimi nima deyiladi?

Birinchi tartibli differensial tenglama uchun Koshi masalasi qanday tuzilgan?

Koshi masalasining geometrik talqini qanday?

Simmetrik shaklda ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega differentsial tenglama qanday yoziladi?

Qaysi tenglama birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi?

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani qanday usul bilan yechish mumkin va bu usulning mohiyati nimada?

Mustaqil ish uchun topshiriqlar

Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan differentsial tenglamalarni yeching:

A)
; b)
;

V)
; G)
.

2. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni yeching:

A)
; b)
; V)
;

G)
; d)
.

Differensial tenglama - bu funksiya va uning bir yoki bir nechta hosilalarini o'z ichiga olgan tenglama. Ko'pgina amaliy masalalarda funktsiyalar mavjud jismoniy miqdorlar, hosilalar bu miqdorlarning o'zgarish tezligiga mos keladi va tenglama ular orasidagi bog'lanishni aniqlaydi.

Ushbu maqolada yechimlari shaklda yozilishi mumkin bo'lgan oddiy differensial tenglamalarning ayrim turlarini echish usullari muhokama qilinadi. elementar funktsiyalar , ya'ni polinom, ko'rsatkichli, logarifmik va trigonometrik, shuningdek, ularning teskari funktsiyalari. Ushbu tenglamalarning ko'pchiligida ko'rinadi haqiqiy hayot, garchi ko'pgina boshqa differensial tenglamalarni bu usullar bilan yechish mumkin emas va ular uchun javob maxsus funktsiyalar yoki quvvat seriyasi, yoki sonli usullar bilan topiladi.

Ushbu maqolani tushunish uchun siz differensial va integral hisoblarni yaxshi bilishingiz, shuningdek, qisman hosilalarni tushunishingiz kerak. Shuningdek, differensial tenglamalarga, ayniqsa, ikkinchi tartibli differensial tenglamalarga nisbatan qo‘llaniladigan chiziqli algebra asoslarini bilish tavsiya etiladi, garchi ularni yechish uchun differensial va integral hisoblarni bilish yetarli bo‘lsa.

Dastlabki ma'lumotlar

• Differensial tenglamalar keng qamrovli tasnifga ega. Ushbu maqola haqida gapiradi oddiy differensial tenglamalar, ya'ni bir o'zgaruvchining funksiyasi va uning hosilalarini o'z ichiga olgan tenglamalar haqida. Oddiy differentsial tenglamalarni tushunish va yechish ularga qaraganda ancha oson qisman differentsial tenglamalar, ular bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalarini o'z ichiga oladi. Ushbu maqolada qisman differentsial tenglamalar muhokama qilinmaydi, chunki bu tenglamalarni echish usullari odatda ularning o'ziga xos shakli bilan belgilanadi.
  • Quyida oddiy differensial tenglamalarga misollar keltirilgan.
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • Quyida qisman differentsial tenglamalarga misollar keltirilgan.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\qisman ^(2)f)(\qisman x^(2))))+(\frac (\qisman ^(2)) )f)(\qisman y^(2)))=0)
    • ∂ u ∂ t - a ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\qisman u)(\qisman t))-\alfa (\frac (\qisman ^(2)u)(\qisman x) ^(2)=0)
• Buyurtma Differensial tenglamaning qiymati ushbu tenglamaga kiritilgan eng yuqori hosila tartibi bilan aniqlanadi. Yuqoridagi oddiy differensial tenglamalarning birinchisi birinchi tartibli, ikkinchisi esa ikkinchi tartibli tenglamadir. Daraja differensial tenglama - bu tenglamaning hadlaridan biri ko'tarilgan eng yuqori quvvat.
  • Masalan, quyidagi tenglama uchinchi va ikkinchi darajali.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 (\displaystyle \left((\frac ((\mathrm (d) )^(3)y)((\mathrm (d) )x^(3)))\ o'ng)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• Differensial tenglama chiziqli differensial tenglama funksiya va uning barcha hosilalari birinchi darajada bo'lgan taqdirda. Aks holda, tenglama bo'ladi nochiziqli differentsial tenglama. Chiziqli differensial tenglamalar diqqatga sazovorki, ularning yechimlari berilgan tenglamaning yechimi bo'ladigan chiziqli birikmalar hosil qilish uchun ishlatilishi mumkin.
  • Quyida chiziqli differensial tenglamalarga misollar keltirilgan.
  • Quyida nochiziqli differentsial tenglamalarga misollar keltirilgan. Birinchi tenglama sinus atamasi tufayli chiziqli emas.
    • d 2 th d t 2 + g l sin ⁡ th = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2))))+( \frac (g)(l))\sin \theta =0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2))+ \left((\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))\right)^(2)+tx^(2)=0)
• Umumiy qaror oddiy differentsial tenglama yagona emas, u o'z ichiga oladi ixtiyoriy integratsiya konstantalari. Aksariyat hollarda ixtiyoriy konstantalar soni tenglama tartibiga teng. Amalda, ushbu konstantalarning qiymatlari berilganlar asosida aniqlanadi boshlang'ich sharoitlar, ya'ni funksiya va uning hosilalari qiymatlariga ko'ra x = 0. (\displaystyle x=0.) Topish uchun zarur bo'lgan dastlabki shartlar soni shaxsiy yechim differensial tenglama, aksariyat hollarda berilgan tenglamaning tartibiga ham teng.
  • Misol uchun, ushbu maqola quyidagi tenglamani echishni ko'rib chiqadi. Bu ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama. Uning umumiy yechimi ikkita ixtiyoriy konstantadan iborat. Bu konstantalarni topish uchun da dastlabki shartlarni bilish kerak x (0) (\displaystyle x(0)) Va x ′ (0) . (\displaystyle x"(0).) Odatda dastlabki shartlar nuqtada ko'rsatiladi x = 0 , (\displaystyle x=0,), garchi bu kerak bo'lmasa ham. Ushbu maqolada, shuningdek, berilgan dastlabki shartlar uchun maxsus echimlarni qanday topish mumkinligi muhokama qilinadi.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+k^(2) )x=0)
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

Qadamlar

1-qism

Birinchi tartibli tenglamalar

Ushbu xizmatdan foydalanganda ba'zi ma'lumotlar YouTube'ga o'tkazilishi mumkin.

1. Birinchi tartibli chiziqli tenglamalar. Ushbu bo'limda ba'zi hadlar nolga teng bo'lgan umumiy va maxsus holatlarda birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni yechish usullari ko'rib chiqiladi. Keling, shunday da'vo qilaylik y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x)) Va q (x) (\displaystyle q(x)) funksiyalardir x. (\displaystyle x.)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) ))
   

   P (x) = 0. (\displaystyle p(x)=0.) Asosiy teoremalardan biriga ko'ra matematik tahlil, funktsiya hosilasining integrali ham funktsiyadir. Shunday qilib, uning yechimini topish uchun tenglamani oddiygina integrallash kifoya. Hisoblashda buni hisobga olish kerak noaniq integral ixtiyoriy konstanta paydo bo'ladi.

   • y (x) = ∫ q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   Q (x) = 0. (\displaystyle q(x)=0.) Biz usuldan foydalanamiz o'zgaruvchilarni ajratish. Bu turli o'zgaruvchilarni tenglamaning turli tomonlariga o'tkazadi. Misol uchun, siz barcha a'zolarni bu joydan ko'chirishingiz mumkin y (\displaystyle y) bittaga va barcha a'zolar bilan x (\displaystyle x) tenglamaning boshqa tomoniga. A'zolar ham o'tkazilishi mumkin d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x) Va d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), ular hosilalarning ifodalariga kiritilgan, ammo shuni esda tutish kerakki, bu shunchaki farqlashda qulay bo'lgan belgidir. murakkab funktsiya. deb ataladigan bu a'zolarning muhokamasi farqlar, ushbu maqola doirasidan tashqarida.

   • Birinchidan, o'zgaruvchilarni tenglik belgisining qarama-qarshi tomonlariga ko'chirishingiz kerak.
     • 1 y d y = - p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • Keling, tenglamaning ikkala tomonini integrallaylik. Integratsiyadan so'ng, har ikki tomonda o'tkazilishi mumkin bo'lgan ixtiyoriy konstantalar paydo bo'ladi o'ng tomon tenglamalar
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − ∫ p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • 1.1-misol. Oxirgi bosqichda biz qoidadan foydalandik e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b)) va almashtirildi e C (\displaystyle e^(C)) yoqilgan C (\displaystyle C), chunki bu ham ixtiyoriy integratsiya doimiysi.
     • d y d x - 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = − cos ⁡ x + C ln ⁡ y = − 2 cos ⁡ x + C y (x) = C e − 2 cos ⁡ x (\displaystyle (\begin(aligned)) )(\frac (1)(2y))(\mathrm (d) )y&=\sin x(\mathrm (d) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(hizalangan)))

   P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.) Topmoq umumiy yechim kirdik birlashtiruvchi omil funktsiyasi sifatida x (\displaystyle x) kamaytirish uchun chap tomoni umumiy hosilaga va shu tariqa tenglamani yechish.

   • Ikkala tomonni ko'paytiring m (x) (\displaystyle \mu (x))
     • m d y d x + m p y = m q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • Chap tomonni umumiy hosilaga qisqartirish uchun quyidagi o'zgarishlarni amalga oshirish kerak:
     • d d x (m y) = d m d x y + m d y d x = m d y d x + m p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • Oxirgi tenglik shuni anglatadi d m d x = m p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). Bu har qanday birinchi tartibli chiziqli tenglamani yechish uchun etarli bo'lgan integrallashtiruvchi omil. Endi bu tenglamani yechish formulasini ga nisbatan chiqarishimiz mumkin m , (\displaystyle \mu ,) ta'lim uchun barcha oraliq hisob-kitoblarni bajarish foydali bo'lsa-da.
     • m (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • 1.2-misol. Bu misolda berilgan boshlang‘ich shartlar bilan differensial tenglamaning muayyan yechimini topish ko‘rsatilgan.
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • m (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d)) )((\mathrm (d) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4) )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(hizalangan)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   Birinchi tartibli chiziqli tenglamalarni yechish (Intuit tomonidan yozilgan - Milliy ochiq universitet).

2. Nochiziqli birinchi tartibli tenglamalar. Ushbu bo'limda ba'zi birinchi tartibli nochiziqli differentsial tenglamalarni yechish usullari ko'rib chiqiladi. Bunday tenglamalarni yechishning umumiy usuli bo'lmasa ham, ularning ba'zilarini quyidagi usullar yordamida yechish mumkin.

   D y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   d y d x = h (x) g (y) . (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) )y) ((\ mathrm (d) )x))=h(x)g(y).) Agar funktsiya f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)) bir o'zgaruvchining funksiyalariga bo'linishi mumkin, bunday tenglama deyiladi ajratiladigan o'zgaruvchilar bilan differentsial tenglama. Bunday holda siz yuqoridagi usuldan foydalanishingiz mumkin:

   • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )x)
   • 1.3-misol.
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3))( y(1+x^(4)))))
     • ∫ y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\) start(aligned)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ frac (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac () 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(tekislangan)))

   D y d x = g (x , y) h (x , y) . (\ Displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) ) y) ((\ mathrm (d) ) x)) = (\ frac (g (x, y)) (h (x, y))).) Keling, shunday da'vo qilaylik g (x , y) (\displaystyle g(x,y)) Va h (x , y) (\displaystyle h(x,y)) funksiyalardir x (\displaystyle x) Va y. (\displaystyle y.) Keyin bir jinsli differensial tenglama tenglama bo'lib, unda g (\displaystyle g) Va h (\displaystyle h) bor bir hil funktsiyalar bir xil darajada. Ya'ni, funktsiyalar shartni qondirishi kerak g (a x , a y) = a k g (x , y) , (\displaystyle g(\alfa x,\alfa y)=\alfa ^(k)g(x,y),) Qayerda k (\displaystyle k) bir jinslilik darajasi deyiladi. Har qanday bir jinsli differentsial tenglama mos tomonidan ishlatilishi mumkin o'zgaruvchilarni almashtirish (v = y / x (\displaystyle v=y/x) yoki v = x / y (\displaystyle v=x/y)) ajratiladigan tenglamaga aylantiring.

   • 1.4-misol. Bir hillikning yuqoridagi tavsifi noaniq ko'rinishi mumkin. Keling, ushbu kontseptsiyani misol bilan ko'rib chiqaylik.
     • d y d x = y 3 − x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^) (3))(y^(2)x)))
     • Boshlash uchun shuni ta'kidlash kerakki, bu tenglamaga nisbatan chiziqli bo'lmagan y. (\displaystyle y.) Biz buni ham ko'ramiz Ushbu holatda Siz o'zgaruvchilarni ajrata olmaysiz. Shu bilan birga, bu differensial tenglama bir hildir, chunki ayiruvchi ham, maxraj ham 3 darajali bir jinsli. Shuning uchun biz o'zgaruvchilarni o'zgartirishimiz mumkin. v = y/x. (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x - x 2 y 2 = v - 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x) ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (d) )v)((\mathrm (d) )x))x+v)
     • d v d x x = - 1 v 2. (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) )v) ((\ mathrm (d) )x)) x=-(\ frac (1) (v ^ (2))).) Natijada, biz uchun tenglama mavjud v (\displaystyle v) ajratiladigan o'zgaruvchilar bilan.
     • v (x) = − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x - 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   D y d x = p (x) y + q (x) y n. (\ displaystyle (\ frac ((\ mathrm (d) )y) ((\ mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).) Bu Bernulli differensial tenglamasi- birinchi darajali nochiziqli tenglamaning maxsus turi, uning yechimi elementar funksiyalar yordamida yozilishi mumkin.

   • Tenglamaning ikkala tomonini ga ko'paytiring (1 − n) y − n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 − n) y − n d y d x = p (x) (1 − n) y 1 − n + (1 − n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac () (\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • Biz chap tomonda joylashgan murakkab funktsiyani farqlash qoidasidan foydalanamiz va tenglamani aylantiramiz chiziqli tenglama nisbatan y 1 − n , (\displaystyle y^(1-n),) yuqoridagi usullar yordamida hal qilinishi mumkin.
     • d y 1 - n d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (d) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm) (d) )x))=0.) Bu ichida tenglama to'liq farqlar . Bu deb atalmish topish kerak potentsial funktsiya ph (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), bu shartni qondiradi d ph d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • Amalga oshirish uchun bu holat bo'lishi shart umumiy hosila. Umumiy hosila boshqa o'zgaruvchilarga bog'liqlikni hisobga oladi. Jami lotinni hisoblash uchun ph (\displaystyle \varphi) tomonidan x , (\displaystyle x,) deb taxmin qilamiz y (\displaystyle y) ga ham bog'liq bo'lishi mumkin x. (\displaystyle x.)
     • d ph d x = ∂ ph ∂ x + ∂ ph ∂ y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\qisman \varphi) )(\qisman x))+(\frac (\qisman \varphi )(\qisman y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • Shartlarni taqqoslash bizga beradi M (x , y) = ∂ ph ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\qisman \varphi )(\qisman x))) Va N (x, y) = ∂ ph ∂ y. (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\qisman \varphi )(\qisman y)).) Bu silliq funktsiyalarning aralash hosilalari bir-biriga teng bo'lgan bir nechta o'zgaruvchilardagi tenglamalar uchun odatiy natijadir. Ba'zan bu holat deyiladi Klero teoremasi. Bu holda, agar differentsial tenglama to'liq differensial tenglama hisoblanadi keyingi shart:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\qisman M)(\qisman y))=(\frac (\qisman N)(\qisman x)))
   • Umumiy differentsiallarda tenglamalarni yechish usuli bir nechta hosilalar ishtirokida potentsial funktsiyalarni topishga o'xshaydi, biz buni qisqacha muhokama qilamiz. Avval integratsiya qilaylik M (\displaystyle M) tomonidan x. (\displaystyle x.) Chunki M (\displaystyle M) funktsiya hisoblanadi va x (\displaystyle x), Va y , (\displaystyle y,) integratsiyalashganda biz to'liq bo'lmagan funksiyani olamiz ph , (\displaystyle \varphi,) sifatida belgilangan ph ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). Natija ham bunga bog'liq y (\displaystyle y) integratsiya konstantasi.
     • ph (x , y) = ∫ M (x , y) d x = ph ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm) (d) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • Shundan so'ng, olish uchun c (y) (\displaystyle c(y)) ga nisbatan olingan funksiyaning qisman hosilasini olishimiz mumkin y , (\displaystyle y,) natijani tenglashtiring N (x , y) (\displaystyle N(x,y)) va integratsiya. Bundan tashqari, avval integratsiya qilishingiz mumkin N (\displaystyle N), keyin esa ga nisbatan qisman hosilani qabul qiling x (\displaystyle x), bu sizga ixtiyoriy funktsiyani topish imkonini beradi d(x). (\displaystyle d(x).) Ikkala usul ham mos keladi va odatda integratsiya uchun oddiyroq funksiya tanlanadi.
     • N (x , y) = ∂ ph ∂ y = ∂ ph ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\qisman \varphi )(\qisman y))=(\frac (\) qisman (\tilde (\varphi )))(\qisman y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • 1.5-misol. Siz qisman hosilalarni olishingiz va quyidagi tenglama umumiy differentsial tenglama ekanligini ko'rishingiz mumkin.
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • ph = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) ∂ ph ∂ y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(hizalangan)\varphi) &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (d) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\qisman) \varphi )(\qisman y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(hizalangan)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • Agar differensial tenglama to'liq differensial tenglama bo'lmasa, ba'zi hollarda uni umumiy differentsial tenglamaga aylantirish imkonini beruvchi integrallashtiruvchi omilni topishingiz mumkin. Biroq, bunday tenglamalar amalda kamdan-kam qo'llaniladi va integrallashtiruvchi omil bo'lsa ham mavjud, tasodifan topiladi Oddiy emas, shuning uchun bu tenglamalar ushbu maqolada ko'rib chiqilmaydi.

2-qism

Ikkinchi tartibli tenglamalar

1. Doimiy koeffitsientli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar. Bu tenglamalar amaliyotda keng qo'llaniladi, shuning uchun ularning yechimi birlamchi ahamiyatga ega. Bunday holda, biz bir hil funktsiyalar haqida emas, balki tenglamaning o'ng tomonida 0 mavjudligi haqida gapiramiz heterojen differensial tenglamalar. Quyida a (\displaystyle a) Va b (\displaystyle b) doimiylardir.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac) ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Xarakteristik tenglama. Bu differensial tenglama diqqatga sazovorki, agar uning yechimlari qanday xususiyatlarga ega bo'lishi kerakligiga e'tibor qaratsangiz, uni juda oson yechish mumkin. Tenglamadan ko'rinib turibdiki y (\displaystyle y) va uning hosilalari bir-biriga proportsionaldir. Birinchi tartibli tenglamalar bo'limida muhokama qilingan oldingi misollardan biz faqat buni bilamiz eksponensial funktsiya. Shuning uchun, ilgari surilishi mumkin ansatz Berilgan tenglamaning yechimi qanday bo'lishi haqida (ma'lumotli taxmin).

   • Yechim ko'rsatkichli funktsiya ko'rinishiga ega bo'ladi e r x , (\displaystyle e^(rx),) Qayerda r (\displaystyle r) qiymati topilishi kerak bo'lgan doimiydir. Bu funksiyani tenglamaga almashtiring va quyidagi ifodani oling
     • e r x (r 2 + a r + b) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • Bu tenglama ko'rsatkichli funktsiya va ko'phadning mahsuloti nolga teng bo'lishi kerakligini ko'rsatadi. Ma'lumki, darajaning har qanday qiymatlari uchun ko'rsatkich nolga teng bo'lishi mumkin emas. Bundan ko'phad nolga teng degan xulosaga kelamiz. Shunday qilib, biz differensial tenglamani yechish masalasini, berilgan differensial tenglama uchun xarakteristik tenglama deb ataladigan ancha soddaroq algebraik tenglamani yechish masalasiga qisqartirdik.
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 - 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b))))(2)))
   • Bizda ikkita ildiz bor. Bu differensial tenglama chiziqli bo‘lgani uchun uning umumiy yechimi qisman yechimlarning chiziqli birikmasidir. Bu ikkinchi tartibli tenglama bo'lgani uchun biz buni bilamiz haqiqatan ham umumiy yechim va boshqalar yo'q. Buning yanada qat'iy asoslanishi darsliklarda mavjud bo'lgan yechimning mavjudligi va o'ziga xosligi haqidagi teoremalarda yotadi.
   • Ikki yechimning chiziqli mustaqilligini tekshirishning foydali usuli hisoblashdir Wronskiana. Vronskiy W (\displaystyle W) ustunlarida funksiyalar va ularning ketma-ket hosilalari mavjud matritsaning determinanti. Chiziqli algebra teoremasi, agar Vronskiy nolga teng bo'lsa, Vronskiyga kiritilgan funktsiyalar chiziqli bog'liqligini bildiradi. Ushbu bo'limda biz ikkita yechimning chiziqli mustaqilligini tekshirishimiz mumkin - buning uchun Wronskian nolga teng emasligiga ishonch hosil qilishimiz kerak. Vronskiy parametrlari o'zgaruvchan parametrlar usuli bilan doimiy koeffitsientli bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamalarni echishda muhim ahamiyatga ega.
     • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | (\ displaystyle W = (\ begin (vmatrix) y_ (1) & y_ (2) \\ y_ (1)" & y_ (2)" \ end (vmatrix))))
   • Chiziqli algebra nuqtai nazaridan berilgan differensial tenglamaning barcha yechimlari to‘plami o‘lchami differensial tenglama tartibiga teng vektor fazoni hosil qiladi. Ushbu bo'shliqda siz asosni tanlashingiz mumkin chiziqli mustaqil bir-biridan qarorlar. Bu funksiya tufayli mumkin y (x) (\displaystyle y(x)) yaroqli chiziqli operator. Hosil hisoblanadi chiziqli operator, chunki u differensiallanuvchi funksiyalar fazosini barcha funksiyalar fazosiga aylantiradi. Ba'zilar uchun tenglamalar bir jinsli deb ataladi chiziqli operator L (\displaystyle L) tenglamaning yechimini topishimiz kerak L [ y ] = 0. (\displaystyle L[y]=0.)

   Keling, bir nechta aniq misollarni ko'rib chiqishga o'taylik. Ko'p ildizlar holati xarakterli tenglama Buni biroz keyinroq, tartibni pasaytirish bo'limida ko'rib chiqamiz.

   Agar ildizlar bo'lsa r ± (\displaystyle r_(\pm )) turli haqiqiy sonlar bo'lsa, differentsial tenglama quyidagi yechimga ega

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r − x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x) ))

   Ikki murakkab ildiz. Algebraning asosiy teoremasidan shunday xulosa kelib chiqadiki, ko‘pnomli tenglamalar haqiqiy koeffitsientli yechimlari haqiqiy yoki konjugat juftlik hosil qiluvchi ildizlarga ega. Shuning uchun, agar murakkab son r = a + i b (\displaystyle r=\alfa +i\beta ) u holda xarakteristik tenglamaning ildizidir r ∗ = a - i b (\displaystyle r^(*)=\alfa -i\beta ) bu tenglamaning ildizi ham hisoblanadi. Shunday qilib, biz yechimni shaklda yozishimiz mumkin c 1 e (a + i b) x + c 2 e (a - i b) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),) ammo, bu murakkab son va amaliy masalalarni hal qilish uchun istalmagan.

   • Buning o'rniga siz foydalanishingiz mumkin Eyler formulasi e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), bu bizga yechimni shaklda yozish imkonini beradi trigonometrik funktsiyalar:
     • e a x (c 1 cos ⁡ b x + i c 1 sin ⁡ b x + c 2 cos ⁡ b x - i c 2 sin ⁡ b x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ beta x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • Endi siz doimiy o'rniga mumkin c 1 + c 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2)) yozib qo'ying c 1 (\displaystyle c_(1)), va ifoda i (c 1 - c 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2))) bilan almashtirildi c 2 . (\displaystyle c_(2).) Shundan so'ng biz quyidagi yechimni olamiz:
     • y (x) = e a x (c 1 cos ⁡ b x + c 2 sin ⁡ b x) (\displaystyle y(x)=e^(\alfa x)(c_(1)\cos \beta x+c_) (2)\sin\beta x))
   • Yechimni amplituda va faza bo‘yicha yozishning yana bir usuli bor, u fizika masalalari uchun ko‘proq mos keladi.
   • 2.1-misol. Quyida berilgan differensial tenglamaning yechimini berilgan boshlang‘ich shartlar bilan topamiz. Buning uchun siz natijada olingan eritmani olishingiz kerak, shuningdek, uning hosilasi, va ularni boshlang'ich shartlarga almashtiring, bu bizga ixtiyoriy konstantalarni aniqlash imkonini beradi.
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x ′ (0) = - 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = - 3 ± 9 - 40 2 = - 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )i)
     • x (t) = e - 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1) )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\o‘ng))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • x ′ (t) = − 3 2 e − 3 t / 2 (c 1 cos ⁡ 31 2 t + c 2 sin ⁡ 31 2 t) + e - 3 t / 2 (− 31 2 c 1 sin ⁡ 31 2 t) + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_) (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\o'ng)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac () \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\o'ng)\end(hizalangan)))
     • x ′ (0) = - 1 = - 3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e - 3 t / 2 (cos ⁡ 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\o'ng))
   
   Doimiy koeffitsientli n-tartibli differensial tenglamalarni yechish (Intuit - Milliy ochiq universitet tomonidan qayd etilgan).

2. Buyurtmani kamaytirish. Tartibni qisqartirish - bu bitta chiziqli mustaqil yechim ma'lum bo'lganda differensial tenglamalarni echish usuli. Bu usul tenglama tartibini bittaga pasaytirishdan iborat bo'lib, bu tenglamani oldingi bo'limda tasvirlangan usullar yordamida yechish imkonini beradi. Yechim ma'lum bo'lsin. Buyurtmani qisqartirishning asosiy g'oyasi quyidagi shaklda yechim topishdir, bu erda funktsiyani aniqlash kerak. v (x) (\displaystyle v(x)), uni differentsial tenglamaga almashtirish va topish v(x). (\displaystyle v(x).) Keling, doimiy koeffitsientli va ko'p ildizli differentsial tenglamani echishda tartibni qisqartirishdan qanday foydalanish mumkinligini ko'rib chiqaylik.

   
   

   Ko'p ildizlar doimiy koeffitsientli bir jinsli differensial tenglama. Eslatib o'tamiz, ikkinchi tartibli tenglama ikkita chiziqli mustaqil yechimga ega bo'lishi kerak. Agar xarakteristik tenglama bir nechta ildizga ega bo'lsa, echimlar to'plami Yo'q bo'shliq hosil qiladi, chunki bu echimlar chiziqli bog'liqdir. Bunday holda, ikkinchi chiziqli mustaqil yechim topish uchun tartibni qisqartirishdan foydalanish kerak.

   • Xarakteristik tenglama bir nechta ildizga ega bo'lsin r (\displaystyle r). Faraz qilaylik, ikkinchi yechimni shaklda yozish mumkin y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), va uni differentsial tenglamaga almashtiring. Bu holda, ko'pchilik atamalar, funktsiyaning ikkinchi hosilasi bilan atama bundan mustasno v , (\displaystyle v,) kamayadi.
     • v ″ (x) e r x = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • 2.2-misol. Bir nechta ildizga ega bo'lgan quyidagi tenglama berilsin r = - 4. (\displaystyle r=-4.) Almashtirishda ko'pchilik atamalar qisqartiriladi.
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v ″ (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x) )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(hizalangan)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(hizalangan) )v""e^(-4x)&-(\bekor qilish (8v"e^(-4x)))+(\bekor qilish (16ve^(-4x)))\\&+(\bekor qilish (8v) ^(-4x)))-(\bekor qilish (32ve^(-4x)))+(\bekor qilish (16ve^(-4x)))=0\end(hizalangan)))
   • Doimiy koeffitsientli differentsial tenglama uchun bizning ansatzimizga o'xshash, bu holda faqat ikkinchi hosila nolga teng bo'lishi mumkin. Biz ikki marta birlashamiz va kerakli ifodani olamiz v (\displaystyle v):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • U holda xarakteristik tenglama bir nechta ildizga ega bo'lgan holatda koeffitsientlari doimiy bo'lgan differentsial tenglamaning umumiy yechimini quyidagi shaklda yozish mumkin. Qulaylik uchun siz buni eslab qolishingiz mumkin chiziqli mustaqillik faqat ikkinchi hadni ko'paytiring x (\displaystyle x). Ushbu yechimlar to'plami chiziqli mustaqildir va shuning uchun biz ushbu tenglamaning barcha echimlarini topdik.
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   D 2 y d x 2 + p (x) d y d x + q (x) y = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.) Agar yechim ma'lum bo'lsa, buyurtmani qisqartirish qo'llaniladi y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), bu muammo bayonida topilishi yoki berilishi mumkin.

   • Biz shaklda yechim izlayapmiz y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x)) va uni ushbu tenglamaga almashtiring:
     • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • Chunki y 1 (\displaystyle y_(1)) differensial tenglamaning yechimi, barcha hadlari bilan v (\displaystyle v) qisqartirilmoqda. Oxirida qoladi birinchi tartibli chiziqli tenglama. Buni aniqroq ko'rish uchun keling, o'zgaruvchilarni o'zgartiraylik w (x) = v ′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) frac (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\o'ng)(\mathrm (d) )x\o'ng))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • Agar integrallarni hisoblash mumkin bo'lsa, biz elementar funksiyalar birikmasi sifatida umumiy yechimni olamiz. Aks holda, eritma integral shaklda qoldirilishi mumkin.

3. Koshi-Eyler tenglamasi. Koshi-Eyler tenglamasi ikkinchi tartibli differensial tenglamaga misol bo'la oladi o'zgaruvchilar aniq echimlarga ega bo'lgan koeffitsientlar. Bu tenglama amalda, masalan, sferik koordinatalarda Laplas tenglamasini yechish uchun ishlatiladi.

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   Xarakteristik tenglama. Ko'rib turganingizdek, bu differensial tenglamada har bir atama quvvat omilini o'z ichiga oladi, uning darajasi mos keladigan hosila tartibiga teng.

   • Shunday qilib, siz shaklda yechim izlashga harakat qilishingiz mumkin y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),) qaerda aniqlash kerak n (\displaystyle n), xuddi o'zgarmas koeffitsientli chiziqli differensial tenglama uchun ko'rsatkichli funktsiya ko'rinishidagi yechim izlayotganimiz kabi. Farqlash va almashtirishdan keyin biz olamiz
     • x n (n 2 + (a - 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • Xarakteristik tenglamadan foydalanish uchun biz buni taxmin qilishimiz kerak x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). Nuqta x = 0 (\displaystyle x=0) chaqirdi muntazam birlik nuqta differensial tenglama. Bunday nuqtalar differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida yechishda muhim ahamiyatga ega. Bu tenglamaning ikkita ildizi bor, ular turli va haqiqiy, ko'p yoki murakkab konjugat bo'lishi mumkin.
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2)-4b) )))(2)))

   Ikki xil haqiqiy ildiz. Agar ildizlar bo'lsa n ± (\displaystyle n_(\pm )) ular haqiqiy va har xil bo'lsa, differentsial tenglamaning yechimi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n − (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   Ikki murakkab ildiz. Agar xarakteristik tenglamaning ildizlari bo'lsa n ± = a ± b i (\displaystyle n_(\pm )=\alfa \pm \beta i), yechim murakkab funksiyadir.

   • Yechimni real funktsiyaga aylantirish uchun biz o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz x = e t , (\displaystyle x=e^(t),) ya'ni t = ln ⁡ x , (\displaystyle t=\ln x,) va Eyler formulasidan foydalaning. Xuddi shunday harakatlar avval ixtiyoriy konstantalarni aniqlashda bajarilgan.
     • y (t) = e a t (c 1 e b i t + c 2 e - b i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alfa t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta))))
   • Keyin umumiy yechim quyidagicha yozilishi mumkin
     • y (x) = x a (c 1 cos ⁡ (b ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (b ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   Ko'p ildizlar. Ikkinchi chiziqli mustaqil yechimni olish uchun tartibni yana qisqartirish kerak.

   • Bu juda ko'p hisob-kitoblarni talab qiladi, lekin printsip bir xil bo'lib qoladi: biz almashtiramiz y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1)) birinchi yechimi bo'lgan tenglamaga aylantiring y 1 (\displaystyle y_(1)). Qisqartirilgandan keyin quyidagi tenglama olinadi:
     • v ″ + 1 x v ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • Bu ga nisbatan birinchi tartibli chiziqli tenglama v ′ (x) . (\displaystyle v"(x).) Uning yechimi v (x) = c 1 + c 2 ln ⁡ x. (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.) Shunday qilib, yechimni quyidagi shaklda yozish mumkin. Buni eslab qolish juda oson - ikkinchi chiziqli mustaqil yechimni olish uchun qo'shimcha atama kerak bo'ladi ln ⁡ x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. Doimiy koeffitsientli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar. Bir hil bo'lmagan tenglamalar shaklga ega L [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),) Qayerda f (x) (\displaystyle f(x))- deb atalmish bepul a'zo. Differensial tenglamalar nazariyasiga ko'ra, bu tenglamaning umumiy yechimi superpozitsiyadir shaxsiy yechim y p (x) (\displaystyle y_(p)(x)) Va qo'shimcha yechim y c (x) . (\displaystyle y_(c)(x).) Biroq, bu holda, ma'lum bir yechim boshlang'ich shartlar bilan berilgan yechimni anglatmaydi, balki heterojenlik (erkin atama) mavjudligi bilan belgilanadigan yechimdir. Qo'shimcha yechim - bu mos keladigan bir hil tenglamaning yechimi f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.) Umumiy yechim bu ikki yechimning superpozitsiyasidir, chunki L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), va shundan beri L [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,) bunday superpozitsiya haqiqatan ham umumiy yechimdir.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   Usul noaniq koeffitsientlar. Noaniq koeffitsientlar usuli soxta atama eksponensial, trigonometrik, giperbolik yoki quvvat funktsiyalari. Faqatgina ushbu funksiyalar cheklangan miqdordagi chiziqli mustaqil hosilalarga ega bo'lishi kafolatlanadi. Ushbu bo'limda biz tenglamaning maxsus echimini topamiz.

   • Keling, atamalarni taqqoslaylik f (x) (\displaystyle f(x)) doimiy omillarga e'tibor bermasdan shartlar bilan. Uchta mumkin bo'lgan holatlar mavjud.
     • Ikki a'zo bir xil emas. Bunday holda, ma'lum bir yechim y p (\displaystyle y_(p)) dan atamalarning chiziqli birikmasi bo'ladi y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) a'zoni o'z ichiga oladi x n (\displaystyle x^(n)) va a'zosi y c , (\displaystyle y_(c),) Qayerda n (\displaystyle n) nol yoki musbat butun son bo'lib, bu atama xarakteristik tenglamaning alohida ildiziga mos keladi. Ushbu holatda y p (\displaystyle y_(p)) funksiya birikmasidan iborat bo'ladi x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),) uning chiziqli mustaqil hosilalari, shuningdek, boshqa atamalar f (x) (\displaystyle f(x)) va ularning chiziqli mustaqil hosilalari.
     • f (x) (\displaystyle f(x)) a'zoni o'z ichiga oladi h (x) , (\displaystyle h(x),) qaysi bir ish x n (\displaystyle x^(n)) va a'zosi y c , (\displaystyle y_(c),) Qayerda n (\displaystyle n) 0 yoki musbat butun songa teng va bu atama mos keladi bir nechta xarakteristik tenglamaning ildizi. Ushbu holatda y p (\displaystyle y_(p)) funksiyaning chiziqli birikmasidir x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(Qaerda s (\displaystyle s)- ildizning ko'pligi) va uning chiziqli mustaqil hosilalari, shuningdek, funktsiyaning boshqa a'zolari f (x) (\displaystyle f(x)) va uning chiziqli mustaqil hosilalari.
   • Keling, yozamiz y p (\displaystyle y_(p)) yuqorida sanab o'tilgan atamalarning chiziqli birikmasi sifatida. Lineer kombinatsiyadagi bu koeffitsientlar tufayli bu usul"aniqlanmagan koeffitsientlar usuli" deb ataladi. Tarkib paydo bo'lganda y c (\displaystyle y_(c)) ichida ixtiyoriy konstantalar mavjudligi sababli atamalar bekor qilinishi mumkin y c. (\displaystyle y_(c).) Shundan so'ng biz almashtiramiz y p (\displaystyle y_(p)) tenglamaga kiriting va o‘xshash atamalarni tenglashtiring.
   • Biz koeffitsientlarni aniqlaymiz. Ushbu bosqichda tizim olinadi algebraik tenglamalar, bu odatda holda hal qilinishi mumkin maxsus muammolar. Ushbu tizimning yechimi bizga olish imkonini beradi y p (\displaystyle y_(p)) va shu bilan tenglamani yechish.
   • 2.3-misol. Erkin hadi chekli sonli chiziqli mustaqil hosilalarni o'z ichiga olgan bir jinsli bo'lmagan differentsial tenglamani ko'rib chiqaylik. Bunday tenglamaning muayyan yechimini noaniq koeffitsientlar usuli bilan topish mumkin.
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t − cos ⁡ 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 A e 3 t - 25 B cos ⁡ 5 t - 25 C sin ⁡ 5 t + 6 A e 3 t + 6 B cos ⁡ 5 t + 6 C sin ⁡ 5 t = 2 e 3 t - cos ⁡ 5 t ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(hizalangan)))
     • ( 9 A + 6 A = 2 , A = 2 15 - 25 B + 6 B = - 1 , B = 1 19 - 25 C + 6 C = 0 , C = 0 (\displaystyle (\begin(holatlar)9A+ 6A) =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ oxiri (holatlar)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   Lagrange usuli. Lagranj usuli yoki ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli ko'proq umumiy usul bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamalarni yechish, ayniqsa, erkin atama chekli sonli chiziqli mustaqil hosilalarni o'z ichiga olmaydi. Masalan, bepul shartlar bilan tan ⁡ x (\displaystyle \tan x) yoki x − n (\displaystyle x^(-n)) muayyan yechim topish uchun Lagranj usulidan foydalanish kerak. Lagranj usuli hatto o'zgaruvchan koeffitsientli differensial tenglamalarni echishda ham qo'llanilishi mumkin, garchi bu holda, Koshi-Euler tenglamasidan tashqari, u kamroq qo'llaniladi, chunki qo'shimcha echim odatda elementar funktsiyalarda ifodalanmaydi.

   • Faraz qilaylik, yechim quyidagi shaklga ega. Uning hosilasi ikkinchi qatorda berilgan.
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • Taklif etilayotgan yechim o'z ichiga olganligi sababli ikki noma'lum miqdorlar, uni qo'yish kerak qo'shimcha holat. Keling, ushbu qo'shimcha shartni quyidagi shaklda tanlaylik:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • Endi biz ikkinchi tenglamani olamiz. A'zolar almashtirilgandan va qayta taqsimlangandan so'ng siz a'zolar bilan birga guruhlashingiz mumkin v 1 (\displaystyle v_(1)) bilan a'zolar v 2 (\displaystyle v_(2)). Bu shartlar qisqartirilgan, chunki y 1 (\displaystyle y_(1)) Va y 2 (\displaystyle y_(2)) mos keladigan bir jinsli tenglamaning yechimlaridir. Natijada quyidagi tenglamalar tizimini olamiz
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 ′ y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+) v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(hizalangan)))
   • Ushbu tizimga aylantirilishi mumkin matritsa tenglamasi mehribon A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),) kimning yechimi x = A - 1 b. (\ displaystyle (\ mathbf (x) ) = A ^ (-1) (\ mathbf (b) ).) Matritsa uchun 2 × 2 (\displaystyle 2\marta 2) teskari matritsa determinantga bo'lish, diagonal elementlarni qayta joylashtirish va diagonal bo'lmagan elementlarning belgisini o'zgartirish orqali topiladi. Aslida, bu matritsaning determinanti Vronskiy hisoblanadi.
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 Vt (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • uchun ifodalar v 1 (\displaystyle v_(1)) Va v 2 (\displaystyle v_(2)) quyida keltirilgan. Tartibni qisqartirish usulida bo'lgani kabi, bu holda, integratsiya paytida, differensial tenglamaning umumiy yechimida qo'shimcha echimni o'z ichiga olgan ixtiyoriy doimiy paydo bo'ladi.
     • v 1 (x) = - ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (d) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (x)(\mathrm (d) )x)
   
   Milliy Ochiq Universitet Intuitidan “Oʻzgarmas koeffitsientli n-tartibli chiziqli differensial tenglamalar” mavzusidagi maʼruza.

Amaliy foydalanish

Differensial tenglamalar funktsiya va uning bir yoki bir nechta hosilalari o'rtasidagi munosabatni o'rnatadi. Bunday ulanishlar juda keng tarqalganligi sababli, differensial tenglamalar eng ko'p qo'llanilishini topdi turli hududlar, va biz to'rt o'lchovda yashayotganimiz sababli, bu tenglamalar ko'pincha differensial tenglamalardir xususiy hosilalari. Ushbu bo'lim ushbu turdagi eng muhim tenglamalarni o'z ichiga oladi.

• Eksponensial o'sish va yemirilish. Radioaktiv parchalanish. Murakkab foiz. Tezlik kimyoviy reaksiyalar. Dori vositalarining qonda kontsentratsiyasi. Aholining cheksiz o'sishi. Nyuton-Rixman qonuni. Haqiqiy dunyoda ko'plab tizimlar mavjud bo'lib, ularda har qanday vaqtda o'sish yoki parchalanish tezligi uning miqdori bilan mutanosib bo'ladi. bu daqiqa vaqt yoki model tomonidan yaxshi yaqinlashishi mumkin. Buning sababi shundaki, bu differensial tenglamaning yechimi, ko'rsatkichli funktsiya eng ko'plaridan biridir muhim funktsiyalar matematika va boshqa fanlarda. Ko'proq umumiy holat nazorat ostida aholi o'sishi bilan tizim o'sishni cheklaydigan qo'shimcha a'zolarni o'z ichiga olishi mumkin. Quyidagi tenglamada doimiy k (\displaystyle k) noldan katta yoki kichik bo'lishi mumkin.
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• Garmonik tebranishlar. Klassik va kvant mexanikasida garmonik osilator eng muhimlaridan biridir jismoniy tizimlar soddaligi tufayli va keng qo'llanilishi ko'proq taxmin qilish uchun murakkab tizimlar, masalan, oddiy mayatnik. Klassik mexanikada garmonik tebranishlar Guk qonuni bo'yicha moddiy nuqtaning holatini uning tezlanishi bilan bog'laydigan tenglama bilan tavsiflanadi. Bunday holda, damping va harakatlantiruvchi kuchlarni ham hisobga olish mumkin. Quyidagi ifodada x ˙ (\displaystyle (\nuqta (x)))- ning vaqt hosilasi x , (\displaystyle x,) b (\displaystyle \beta)- damping kuchini tavsiflovchi parametr, ō 0 (\displaystyle \omega _(0))- tizimning burchak chastotasi, F (t) (\displaystyle F(t))- vaqtga bog'liq harakatlantiruvchi kuch. Garmonik osilator elektromagnit tebranish davrlarida ham mavjud bo'lib, u mexanik tizimlarga qaraganda ko'proq aniqlik bilan amalga oshirilishi mumkin.
  • x ¨ + 2 b x ˙ + ō 0 2 x = F (t) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\nuqta (x))+\omega _(0)^(2)x =F(t))
• Bessel tenglamasi. Bessel differensial tenglamasi fizikaning ko‘plab sohalarida, jumladan, to‘lqin tenglamasini, Laplas tenglamasini va Shredinger tenglamasini yechishda, ayniqsa silindrsimon yoki sferik simmetriya mavjud bo‘lganda qo‘llaniladi. Oʻzgaruvchan koeffitsientli bu ikkinchi tartibli differensial tenglama Koshi-Eyler tenglamasi emas, shuning uchun uning yechimlarini elementar funksiyalar sifatida yozib boʻlmaydi. Bessel tenglamasining yechimlari Bessel funksiyalari bo‘lib, ular ko‘plab sohalarda qo‘llanilishi tufayli yaxshi o‘rganilgan. Quyidagi ifodada a (\displaystyle \alpha)- mos keladigan konstanta tartibda; ... uchun Bessel funktsiyalari.
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 - a 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+(x^(2)-\alfa ^(2)) y=0)
• Maksvell tenglamalari. Lorents kuchi bilan bir qatorda Maksvell tenglamalari klassik elektrodinamikaning asosini tashkil qiladi. Bu elektr uchun to'rt qisman differentsial tenglamalar E (r , t) (\displaystyle (\mathbf (E) )((\mathbf (r) ),t)) va magnit B (r , t) (\displaystyle (\mathbf (B) )((\mathbf (r) ),t)) dalalar. Quyidagi iboralarda r = r (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- zaryad zichligi, J = J (r , t) (\ displaystyle (\ mathbf (J) ) = (\ mathbf (J) ) ((\ mathbf (r) ), t))- oqim zichligi, va s 0 (\displaystyle \epsilon _(0)) Va m 0 (\displaystyle \mu _(0))- mos ravishda elektr va magnit konstantalar.
  • ∇ ⋅ E = r s 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = m 0 J + m 0 s 0 ∂ E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned)\na) (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf (E) )&=-(\frac (\qisman (\mathbf (B) ))(\qisman t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\qisman (\mathbf (E) ))(\qisman t))\end(hizalangan)))
• Shredinger tenglamasi. Kvant mexanikasida Shredinger tenglamasi harakatning asosiy tenglamasi boʻlib, toʻlqin funksiyasining oʻzgarishiga koʻra zarrachalar harakatini tavsiflaydi. r = r (r , t) (\displaystyle \Psi =\Psi ((\mathbf (r) ),t)) vaqt bilan. Harakat tenglamasi xatti-harakat bilan tavsiflanadi Gamiltoniyalik H ^ (\ displaystyle (\ shapka (H))) - operator, bu tizimning energiyasini tavsiflaydi. Keng tarqalganlardan biri mashhur misollar Fizikadagi Shredinger tenglamasi - bu potentsial ta'sir qiladigan yagona relyativistik bo'lmagan zarrachalar uchun tenglama. V (r , t) (\displaystyle V((\mathbf (r) ),t)). Ko'pgina tizimlar vaqtga bog'liq Shredinger tenglamasi bilan tavsiflanadi va tenglamaning chap tomonida E r , (\displaystyle E\Psi,) Qayerda E (\displaystyle E)- zarrachalar energiyasi. Quyidagi iboralarda ℏ (\displaystyle \hbar)- qisqartirilgan Plank doimiysi.
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\qisman \Psi )(\qisman t))=(\shapka (H))\Psi )
  • i ℏ ∂ Ψ ∂ t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\qisman \Psi )(\qisman t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\o'ng)\Psi )
• To'lqin tenglamasi. Fizika va texnologiyani to'lqinlarsiz tasavvur qilib bo'lmaydi, ular barcha turdagi tizimlarda mavjud; Umuman olganda, to'lqinlar quyidagi tenglama bilan tavsiflanadi, unda u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t)) kerakli funksiyadir va c (\displaystyle c)- eksperimental aniqlangan konstanta. d'Alembert birinchi bo'lib bir o'lchovli vaziyat uchun to'lqin tenglamasining yechimi ekanligini aniqladi. har qanday argumentli funktsiya x − c t (\displaystyle x-ct), o'ng tomonga tarqaladigan o'zboshimchalik shaklidagi to'lqinni tasvirlaydi. Bir o'lchovli holat uchun umumiy yechim bu funktsiyaning argumentli ikkinchi funktsiya bilan chiziqli birikmasidir. x + c t (\displaystyle x+ct), bu chapga tarqaladigan to'lqinni tasvirlaydi. Ushbu yechim ikkinchi qatorda keltirilgan.
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\qisman ^(2)u)(\qisman t^(2))))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• Navier-Stoks tenglamalari. Navier-Stokes tenglamalari suyuqliklarning harakatini tavsiflaydi. Suyuqliklar fan va texnologiyaning deyarli barcha sohalarida mavjud bo'lganligi sababli, bu tenglamalar ob-havoni bashorat qilish, samolyotlarni loyihalash, okean oqimlarini o'rganish va boshqa ko'plab amaliy muammolarni hal qilish uchun juda muhimdir. Navier-Stokes tenglamalari chiziqli bo'lmagan qisman differensial tenglamalar bo'lib, ko'p hollarda ularni echish juda qiyin, chunki nochiziqlilik turbulentlikka olib keladi va barqaror yechimni raqamli usullar bilan olish juda kichik hujayralarga bo'linishni talab qiladi, bu esa sezilarli hisoblash quvvatini talab qiladi. Gidrodinamikada amaliy maqsadlarda turbulent oqimlarni modellashtirish uchun vaqtni o'rtacha hisoblash kabi usullar qo'llaniladi. Yechimlarning mavjudligi va o'ziga xosligi kabi yanada asosiy savollar nochiziqli tenglamalar qisman hosilalarda va Navier-Stoks tenglamalari yechimining mavjudligi va yagonaligini uch o'lchovda isbotlash ming yillikning matematik muammolaridan biridir. Quyida siqilmaydigan suyuqlik oqimi tenglamasi va uzluksizlik tenglamasi keltirilgan.
  • ∂ u ∂ t + (u ⋅ ∇) u - n ∇ 2 u = − ∇ h , ∂ r ∂ t + ∇ ⋅ (r u) = 0 (\displaystyle (\frac (\qisman (\u) (\mathb)f) )(\qisman t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\qisman \rho )(\qisman t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• Ko'pgina differensial tenglamalarni yuqoridagi usullar, ayniqsa oxirgi bo'limda aytib o'tilgan usullar yordamida hal qilib bo'lmaydi. Bu tenglama o'zgaruvchan koeffitsientlarni o'z ichiga olgan va Koshi-Eyler tenglamasi bo'lmagan yoki tenglama chiziqli bo'lmagan holatlarga nisbatan qo'llaniladi, juda kamdan-kam holatlar bundan mustasno. Biroq, yuqoridagi usullar fanning turli sohalarida tez-tez uchrab turadigan ko'plab muhim differensial tenglamalarni hal qila oladi.
• Har qanday funktsiyaning hosilasini topish imkonini beruvchi differentsiallashdan farqli o'laroq, ko'pgina ifodalarning integralini elementar funksiyalarda ifodalab bo'lmaydi. Shuning uchun integralni hisoblash imkonsiz bo'lgan joyda vaqtni behuda sarflamang. Integrallar jadvaliga qarang. Agar differensial tenglamaning yechimini elementar funksiyalar bilan ifodalash mumkin bo'lmasa, ba'zan uni integral ko'rinishda ifodalash mumkin va bu holda bu integralni analitik hisoblash mumkinmi yoki yo'qmi, muhim emas.

Ogohlantirishlar

• Tashqi ko'rinish differensial tenglama noto'g'ri bo'lishi mumkin. Masalan, quyida ikkita birinchi tartibli differentsial tenglamalar keltirilgan. Birinchi tenglamani ushbu maqolada tasvirlangan usullar yordamida osongina echish mumkin. Bir qarashda, kichik o'zgarish y (\displaystyle y) yoqilgan y 2 (\displaystyle y^(2)) ikkinchi tenglamada uni chiziqli bo'lmagan holga keltiradi va yechish juda qiyin bo'ladi.
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

Fizikaning ayrim masalalarida jarayonni tavsiflovchi miqdorlar o'rtasida to'g'ridan-to'g'ri bog'lanishni o'rnatish mumkin emas. Ammo o'rganilayotgan funksiyalarning hosilalarini o'z ichiga olgan tenglikni olish mumkin. Differensial tenglamalar shunday paydo bo'ladi va noma'lum funktsiyani topish uchun ularni yechish zarurati.

Ushbu maqola noma'lum funktsiya bir o'zgaruvchining funktsiyasi bo'lgan differentsial tenglamani yechish muammosiga duch kelganlar uchun mo'ljallangan. Nazariya shunday tuzilganki, differensial tenglamalar haqida nol bilimga ega bo'lsangiz, siz o'zingizning vazifangizni engishingiz mumkin.

Differensial tenglamaning har bir turi tipik misollar va masalalarning batafsil tushuntirishlari va yechimlari bilan hal qilish usuli bilan bog'liq. Muammoingizning differensial tenglamasining turini aniqlash, tahlil qilingan shunga o'xshash misolni topish va shunga o'xshash amallarni bajarish kifoya.

Differensial tenglamalarni muvaffaqiyatli yechish uchun sizga antiderivativlar to'plamini (noaniq integrallar) topish qobiliyati ham kerak bo'ladi. turli funktsiyalar. Agar kerak bo'lsa, bo'limga murojaat qilishingizni tavsiya qilamiz.

Birinchidan, hosilaga nisbatan yechish mumkin bo'lgan birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarning turlarini ko'rib chiqamiz, keyin ikkinchi tartibli ODE larga o'tamiz, so'ngra yuqori tartibli tenglamalar ustida to'xtalamiz va tizimlar bilan yakunlaymiz. differensial tenglamalar.

Eslatib o'tamiz, agar y x argumentining funktsiyasi bo'lsa.

Birinchi tartibli differensial tenglamalar.

Shaklning eng oddiy birinchi tartibli differensial tenglamalari.

Keling, bunday masofadan boshqarishning bir nechta misollarini yozaylik .

Differensial tenglamalar hosilaga nisbatan tenglikning ikkala tomonini f(x) ga bo‘lish yo‘li bilan yechish mumkin. Bunday holda, f(x) ≠ 0 uchun asl tenglamaga ekvivalent bo'ladigan tenglamaga erishamiz. Bunday ODElarga misollar.

Agar x argumentining f(x) va g(x) funksiyalari bir vaqtda yoʻqolib ketadigan qiymatlari mavjud boʻlsa, qoʻshimcha yechimlar paydo boʻladi. Tenglamaning qo'shimcha yechimlari berilgan x bu argument qiymatlari uchun belgilangan har qanday funksiyalardir. Bunday differentsial tenglamalarga misollar:

Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar.

Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar.

Doimiy koeffitsientli LDE differensial tenglamaning juda keng tarqalgan turidir. Ularning yechimi ayniqsa qiyin emas. Birinchidan, xarakteristik tenglamaning ildizlari topiladi . Turli xil p va q uchun uchta holat mumkin: xarakterli tenglamaning ildizlari haqiqiy va har xil, haqiqiy va mos kelishi mumkin. yoki murakkab konjugatlar. Xarakteristik tenglamaning ildizlari qiymatlariga qarab, differentsial tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha yoziladi. , yoki , yoki mos ravishda.

Masalan, doimiy koeffitsientli chiziqli bir hil ikkinchi tartibli differentsial tenglamani ko'rib chiqing. Uning xarakteristik tenglamasining ildizlari k 1 = -3 va k 2 = 0 dir. Ildizlar haqiqiy va har xil, shuning uchun doimiy koeffitsientli LODning umumiy yechimi shaklga ega


Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar.

Doimiy koeffitsientlari y bo'lgan ikkinchi tartibli LDDE ning umumiy yechimi mos keladigan LDDE ning umumiy yechimi yig'indisi shaklida qidiriladi. va asl nusxaga alohida yechim bir jinsli bo'lmagan tenglama, ya'ni, . Oldingi paragraf doimiy koeffitsientli bir hil differensial tenglamaning umumiy yechimini topishga bag'ishlangan. Va ma'lum bir yechim asl tenglamaning o'ng tomonida joylashgan f(x) funktsiyasining ma'lum bir shakli uchun aniqlanmagan koeffitsientlar usuli bilan yoki ixtiyoriy doimiylarni o'zgartirish usuli bilan aniqlanadi.

Doimiy koeffitsientli ikkinchi darajali LDDElarga misol sifatida biz beramiz


Nazariyani tushunish va misollarning batafsil echimlari bilan tanishish uchun biz sizga sahifada doimiy koeffitsientli chiziqli bir hil bo'lmagan ikkinchi tartibli differentsial tenglamalarni taklif qilamiz.

Chiziqli bir jinsli differentsial tenglamalar (LODE) va ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar (LNDE).

Ushbu turdagi differentsial tenglamalarning alohida holati doimiy koeffitsientli LODE va ​​LDDE hisoblanadi.

LODE ning ma'lum bir segmentdagi umumiy yechimi ushbu tenglamaning ikkita chiziqli mustaqil qisman y 1 va y 2 yechimlarining chiziqli birikmasi bilan ifodalanadi, ya'ni .

Asosiy qiyinchilik aynan shu turdagi differensial tenglamaning chiziqli mustaqil qisman yechimlarini topishdadir. Odatda, maxsus echimlar tanlanadi quyidagi tizimlar chiziqli mustaqil funktsiyalar:


Biroq, bu shaklda har doim ham alohida echimlar taqdim etilmaydi.

LOD ga misol .

LDDE ning umumiy yechimi shaklda qidiriladi, bu erda mos keladigan LDDE ning umumiy yechimi va asl differensial tenglamaning xususiy yechimi. Biz hozirgina uni topish haqida gapirdik, lekin uni ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli yordamida aniqlash mumkin.

LNDUga misol keltirish mumkin .

Yuqori tartibli differensial tenglamalar.

Tartibni qisqartirishga imkon beruvchi differensial tenglamalar.

Differensial tenglamaning tartibi , kerakli funktsiyani va uning k-1 tartibigacha hosilalarini o'z ichiga olmaydi, ni almashtirish orqali n-k ga qisqartirilishi mumkin.

Bunday holda, dastlabki differensial tenglama ga qisqartiriladi. Uning yechimi p(x) topilgach, almashtirishga qaytish va noma'lum y funksiyani aniqlash qoladi.

Masalan, differensial tenglama almashtirilgandan so'ng, u ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega tenglamaga aylanadi va uning tartibi uchinchidan birinchisiga qisqaradi.

Yoki hosila bo'yicha allaqachon yechilgan yoki ular hosilaga nisbatan echilishi mumkin. .

Intervaldagi turdagi differensial tenglamalarning umumiy yechimi X berilgan, bu tenglikning ikkala tomonining integralini olish orqali topish mumkin.

olamiz .

Agar noaniq integralning xossalariga nazar tashlasak, kerakli umumiy yechimni topamiz:

y = F(x) + C,

Qayerda F(x)- ibtidoiy funktsiyalardan biri f(x) orasida X, A BILAN- ixtiyoriy doimiy.

E'tibor bering, ko'p muammolarda interval X bildirmang. Bu hamma uchun yechim topilishi kerakligini anglatadi. x, qaysi uchun va kerakli funksiya y, Va asl tenglama ma'no bermoq.

Agar siz boshlang'ich shartni qondiradigan differensial tenglamaning ma'lum bir yechimini hisoblashingiz kerak bo'lsa y(x 0) = y 0, keyin umumiy integralni hisoblagandan keyin y = F(x) + C, hali ham doimiyning qiymatini aniqlash kerak C = C 0, dastlabki shartdan foydalanib. Ya'ni, doimiy C = C 0 tenglamadan aniqlanadi F(x 0) + C = y 0, va differentsial tenglamaning kerakli qisman yechimi quyidagi shaklni oladi:

y = F(x) + C 0.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Differensial tenglamaning umumiy yechimini topamiz va natijaning to'g'riligini tekshiramiz. Keling, ushbu tenglamaning dastlabki shartni qanoatlantiradigan maxsus yechimini topamiz.

Yechim:

Berilgan differensial tenglamani integrallagandan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

.

Ushbu integralni qismlar bo'yicha integrallash usulidan foydalanib olaylik:

Bu., differensial tenglamaning umumiy yechimidir.

Natija to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qilish uchun, keling, tekshirib ko'ramiz. Buning uchun topilgan yechimni berilgan tenglamaga almashtiramiz:

.

Ya'ni qachon asl tenglama identifikatsiyaga aylanadi:

shuning uchun differensial tenglamaning umumiy yechimi to‘g‘ri aniqlandi.

Biz topgan yechim argumentning har bir haqiqiy qiymati uchun differentsial tenglamaning umumiy yechimidir x.

Dastlabki shartni qondiradigan ODE uchun ma'lum bir yechimni hisoblash qoladi. Boshqacha qilib aytganda, doimiyning qiymatini hisoblash kerak BILAN, bunda tenglik to'g'ri bo'ladi:

.

.

Keyin, almashtirish C = 2 ODE ning umumiy yechimiga biz differensial tenglamaning dastlabki shartni qanoatlantiradigan ma'lum bir yechimini olamiz:

.

Oddiy differentsial tenglama hosila uchun tenglamaning 2 tomonini ga bo‘lish yo‘li bilan yechish mumkin f(x). Bu o'zgartirish ekvivalent bo'ladi, agar f(x) hech qanday sharoitda nolga aylanmaydi x differensial tenglamaning integrallash oralig'idan X.

Ba'zi argumentlar uchun ba'zi holatlar bo'lishi mumkin x ∈ X funktsiyalari f(x) Va g(x) bir vaqtning o'zida nolga aylanadi. Shunga o'xshash qiymatlar uchun x differensial tenglamaning umumiy yechimi har qanday funktsiyadir y, ularda aniqlangan, chunki .

Agar ba'zi argument qiymatlari uchun x ∈ X shart qanoatlansa, demak, bu holda ODE yechimlari yo'q.

Boshqa hamma uchun x oraliqdan X o'zgartirilgan tenglamadan differentsial tenglamaning umumiy yechimi aniqlanadi.

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:

1-misol.

Keling, ODE uchun umumiy yechim topamiz: .

Yechim.

Asosiy elementar funksiyalarning xossalaridan ko`rinib turibdiki, funksiya tabiiy logarifm manfiy bo'lmagan argument qiymatlari uchun aniqlanadi, shuning uchun ifoda doirasi ln(x+3) interval mavjud x > -3 . Bu berilgan differentsial tenglama mantiqiy ekanligini anglatadi x > -3 . Ushbu argument qiymatlari uchun ifoda x+3 yo'qolmaydi, shuning uchun hosila uchun ODEni 2 qismga bo'lish orqali hal qilishingiz mumkin. x + 3.

olamiz .

Keyinchalik, hosilaga nisbatan echilgan, hosil bo'lgan differentsial tenglamani integrallaymiz: . Bu integralni olish uchun biz uni differensial belgi ostida yig'ish usulidan foydalanamiz.

Ushbu maqola differentsial tenglamalar nazariyasini o'rganishda boshlang'ich nuqtadir. Bu erda matnda doimiy ravishda paydo bo'ladigan asosiy ta'riflar va tushunchalar mavjud. Yaxshiroq assimilyatsiya qilish va tushunish uchun ta'riflar misollar bilan ta'minlanadi.

Differensial tenglama (DE) hosila yoki differentsial belgisi ostida noma'lum funktsiyani o'z ichiga olgan tenglama.

Agar noma'lum funktsiya bitta o'zgaruvchining funktsiyasi bo'lsa, u holda differentsial tenglama deyiladi oddiy(qisqartirilgan ODE - oddiy differentsial tenglama). Agar noma'lum funktsiya ko'p o'zgaruvchilarning funktsiyasi bo'lsa, u holda differentsial tenglama deyiladi qisman differentsial tenglama.

Differensial tenglamaga kiruvchi noma'lum funksiya hosilasining maksimal tartibi deyiladi differensial tenglamaning tartibi.

Bu erda mos ravishda birinchi, ikkinchi va beshinchi tartibdagi ODE misollari keltirilgan

Ikkinchi tartibli qisman differentsial tenglamalarga misol sifatida biz keltiramiz

Keyinchalik biz faqat n-tartibdagi oddiy differensial tenglamalarni ko'rib chiqamiz yoki , bu yerda F(x, y) = 0 nomaʼlum funksiya (mumkin boʻlsa, y = f(x) ni aniq koʻrinishda yozamiz).

Differensial tenglamaning yechimlarini topish jarayoni deyiladi differensial tenglamani integrallash orqali.

Differensial tenglamani yechish differensial tenglamani o'ziga xoslikka aylantiruvchi aniq ko'rsatilgan F(x, y) = 0 funksiya (ayrim hollarda y funksiya x argumenti orqali aniq ifodalanishi mumkin).

ESLATMA.

Differensial tenglamaning yechimi har doim oldindan belgilangan X oralig'ida izlanadi.

Nega biz bu haqda alohida gapiryapmiz? Ha, chunki ko'p masalalarda X oralig'i aytilmaydi. Ya'ni, odatda, masalalarning sharti quyidagicha tuziladi: «oddiy differensial tenglamaning yechimini toping. " Bunday holda, yechimni istalgan funksiya y va dastlabki tenglama mantiqiy bo'lgan barcha x uchun izlash kerakligi nazarda tutiladi.

Differensial tenglamaning yechimi ko'pincha deyiladi differensial tenglamaning integrali.

Funksiyalar yoki differentsial tenglamaning yechimi deb atash mumkin.

Differensial tenglamaning yechimlaridan biri funksiyadir. Darhaqiqat, ushbu funktsiyani asl tenglamaga almashtirib, biz identifikatsiyani olamiz . Ushbu ODE ning yana bir yechimi, masalan, ekanligini ko'rish oson. Shunday qilib, differentsial tenglamalar ko'p echimlarga ega bo'lishi mumkin.

Differensial tenglamaning umumiy yechimi- bu differentsial tenglamaning istisnosiz barcha yechimlarini o'z ichiga olgan yechimlar to'plami.

Differensial tenglamaning umumiy yechimi ham deyiladi differensial tenglamaning bosh integrali.

Keling, misolga qaytaylik. Differensial tenglamaning umumiy yechimi yoki ko'rinishga ega bo'ladi, bu erda C ixtiyoriy doimiydir. Yuqorida biz ushbu ODE ning ikkita yechimini ko'rsatdik, ular mos ravishda C = 0 va C = 1 ni almashtirish orqali differentsial tenglamaning umumiy integralidan olinadi.

Agar differensial tenglamaning yechimi dastlab belgilanganini qanoatlantirsa qo'shimcha shartlar, keyin chaqiriladi differensial tenglamaning qisman yechimi.

y(1)=1 shartni qanoatlantiruvchi differensial tenglamaning qisman yechimi. Haqiqatan ham, Va .

Differensial tenglamalar nazariyasining asosiy masalalari Koshi masalalari, chegaraviy masalalar va har qanday berilgan X oraliqda differensial tenglamaning umumiy yechimini topish masalalari.

Cauchy muammosi berilganni qanoatlantiradigan differensial tenglamaning muayyan yechimini topish masalasidir boshlang'ich sharoitlar, raqamlar qayerda.

Chegaraviy qiymat muammosi x 0 va x 1 chegara nuqtalarida qo'shimcha shartlarni qanoatlantiradigan ikkinchi tartibli differensial tenglamaning muayyan yechimini topish masalasidir:
f (x 0) = f 0, f (x 1) = f 1, bu erda f 0 va f 1 raqamlar berilgan.

Chegaraviy qiymat muammosi ko'pincha deyiladi chegara muammosi.

n-tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi chiziqli, agar u shaklga ega bo'lsa va koeffitsientlar x argumentining integratsiya oralig'idagi uzluksiz funktsiyalari bo'lsa.