2 ta buyurtma misoli mavjud. Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar

bilan chiziqli bir jinsli differentsial tenglamani ko'rib chiqing doimiy koeffitsientlar:
(1) .
Uning yechimini quyidagi yo'llar bilan olish mumkin umumiy usul tartibni qisqartirish.

Biroq, asosiy tizimni darhol olish osonroq n chiziqli mustaqil yechimlar va uning asosida umumiy yechim yaratadi. Bunday holda, butun yechim jarayoni qisqartiriladi Keyingi qadamlar.

Biz (1) tenglamaning yechimini shaklida qidiramiz. olamiz xarakterli tenglama :
(2) .
Uning n ta ildizi bor. (2) tenglamani yechib, uning ildizlarini topamiz. Keyin xarakteristik tenglama (2) quyidagi ko'rinishda ifodalanishi mumkin:
(3) .
Har bir ildiz (1) tenglamaning asosiy yechimlar tizimining chiziqli mustaqil yechimlaridan biriga mos keladi. Keyin umumiy yechim asl tenglama(1) quyidagi shaklga ega:
(4) .

Haqiqiy ildizlar

Keling, haqiqiy ildizlarni ko'rib chiqaylik. Ildiz bitta bo'lsin. Ya'ni, omil xarakteristik tenglamaga (3) faqat bir marta kiradi. Keyin bu ildiz yechimga mos keladi
.

Ko'plikning ko'p ildizi p bo'lsin. Ya'ni
. Bunday holda, multiplikator p marta:
.
Ushbu ko'p (teng) ildizlar (1) dastlabki tenglamaning p chiziqli mustaqil yechimlariga mos keladi:
; ; ; ...; .

Murakkab ildizlar

Murakkab ildizlarni ko'rib chiqing. Murakkab ildizni haqiqiy va xayoliy qismlar bilan ifodalaymiz:
.
Asl koeffitsientlar haqiqiy bo'lganligi sababli, ildizga qo'shimcha ravishda murakkab konjugat ildiz mavjud
.

Murakkab ildiz ko'p bo'lsin. Keyin bir juft ildiz ikkita chiziqli mustaqil echimga mos keladi:
; .

Ko'plikning ko'p kompleks ildizi p bo'lsin. U holda kompleks konjugat qiymati ham p ko'plikning xarakterli tenglamasining ildizi bo'ladi va ko'paytma p marta kiradi:
.
Bu 2p ildizlar mos keladi 2p Lineer mustaqil yechimlar:
; ; ; ... ;
; ; ; ... .

Chiziqli mustaqil yechimlarning fundamental tizimi topilgach, umumiy yechimni olamiz.

Muammoni hal qilishga misollar

1-misol

Tenglamani yeching:
.

Yechim

.
Keling, uni o'zgartiramiz:
;
;
.

Keling, bu tenglamaning ildizlarini ko'rib chiqaylik. Biz 2-ko'plikning to'rtta murakkab ildizini oldik:
; .
Ular dastlabki tenglamaning to'rtta chiziqli mustaqil yechimiga mos keladi:
; ; ; .

Shuningdek, bizda 3 ning uchta haqiqiy ildizi bor:
.
Ular uchta chiziqli mustaqil echimlarga mos keladi:
; ; .

Umumiy qaror Asl tenglama quyidagi shaklga ega:
.

Javob

2-misol

Tenglamani yeching

Yechim

Biz shaklda yechim izlayapmiz. Biz xarakteristik tenglamani tuzamiz:
.
Kvadrat tenglamani yechish.
.

Bizda ikkita murakkab ildiz bor:
.
Ular ikkita chiziqli mustaqil echimlarga mos keladi:
.
Tenglamaning umumiy yechimi:
.

Fizikaning ayrim masalalarida jarayonni tavsiflovchi miqdorlar o'rtasida to'g'ridan-to'g'ri bog'lanishni o'rnatish mumkin emas. Ammo o'rganilayotgan funksiyalarning hosilalarini o'z ichiga olgan tenglikni olish mumkin. Ular shunday paydo bo'ladi differensial tenglamalar va noma'lum funktsiyani topish uchun ularni hal qilish zarurati.

Ushbu maqola noma'lum funktsiya bir o'zgaruvchining funktsiyasi bo'lgan differentsial tenglamani yechish muammosiga duch kelganlar uchun mo'ljallangan. Nazariya shunday tuzilganki, differensial tenglamalar haqida nol bilimga ega bo'lsangiz, siz o'zingizning vazifangizni engishingiz mumkin.

Differensial tenglamaning har bir turi tipik misollar va masalalarning batafsil tushuntirishlari va yechimlari bilan hal qilish usuli bilan bog'liq. Muammoingizning differensial tenglamasining turini aniqlash, tahlil qilingan shunga o'xshash misolni topish va shunga o'xshash amallarni bajarish kifoya.

Differensial tenglamalarni muvaffaqiyatli echish uchun sizga antiderivativlar to'plamini topish qobiliyati ham kerak bo'ladi ( noaniq integrallar) turli funktsiyalar. Agar kerak bo'lsa, bo'limga murojaat qilishingizni tavsiya qilamiz.

Birinchidan, hosilaga nisbatan yechish mumkin bo'lgan birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarning turlarini ko'rib chiqamiz, keyin ikkinchi tartibli ODE larga o'tamiz, so'ngra yuqori tartibli tenglamalar ustida to'xtalamiz va tizimlar bilan yakunlaymiz. differensial tenglamalar.

Eslatib o'tamiz, agar y x argumentining funktsiyasi bo'lsa.

Birinchi tartibli differensial tenglamalar.

Shaklning eng oddiy birinchi tartibli differensial tenglamalari.

Keling, bunday masofadan boshqarishning bir nechta misollarini yozaylik .

Differensial tenglamalar hosilaga nisbatan tenglikning ikkala tomonini f(x) ga bo‘lish yo‘li bilan yechish mumkin. Bunday holda, f(x) ≠ 0 uchun asl tenglamaga ekvivalent bo'ladigan tenglamaga erishamiz. Bunday ODElarga misollar.

Agar f(x) va g(x) funksiyalari bir vaqtning o'zida yo'qolib ketadigan x argumentining qiymatlari mavjud bo'lsa, qo'shimcha echimlar paydo bo'ladi. Tenglamaning qo'shimcha yechimlari berilgan x bu argument qiymatlari uchun belgilangan har qanday funksiyalardir. Bunday differentsial tenglamalarga misollar:

Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar.

Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar.

Doimiy koeffitsientli LDE differensial tenglamaning juda keng tarqalgan turi hisoblanadi. Ularning yechimi ayniqsa qiyin emas. Birinchidan, xarakteristik tenglamaning ildizlari topiladi . Turli xil p va q uchun uchta holat mumkin: xarakterli tenglamaning ildizlari haqiqiy va har xil, haqiqiy va mos kelishi mumkin. yoki murakkab konjugatlar. Xarakteristik tenglamaning ildizlari qiymatlariga qarab, differentsial tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha yoziladi. , yoki , yoki mos ravishda.

Masalan, o'zgarmas koeffitsientli chiziqli bir hil ikkinchi tartibli differentsial tenglamani ko'rib chiqing. Uning xarakteristik tenglamasining ildizlari k 1 = -3 va k 2 = 0 dir. Ildizlar haqiqiy va har xil, shuning uchun doimiy koeffitsientli LODE ning umumiy yechimi shaklga ega


Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar.

Doimiy koeffitsientlari y bo'lgan ikkinchi tartibli LDDE ning umumiy yechimi mos keladigan LDDE ning umumiy yechimi yig'indisi shaklida qidiriladi. va asl nusxaga alohida yechim yo'q bir jinsli tenglama, ya'ni, . Oldingi paragraf doimiy koeffitsientli bir hil differensial tenglamaning umumiy yechimini topishga bag'ishlangan. Va ma'lum bir yechim asl tenglamaning o'ng tomonida joylashgan f(x) funktsiyasining ma'lum bir shakli uchun aniqlanmagan koeffitsientlar usuli bilan yoki ixtiyoriy doimiylarni o'zgartirish usuli bilan aniqlanadi.

Doimiy koeffitsientli ikkinchi darajali LDDElarga misol sifatida biz beramiz


Nazariyani tushunish va misollarning batafsil echimlari bilan tanishish uchun biz sizga sahifada doimiy koeffitsientli chiziqli bir hil bo'lmagan ikkinchi tartibli differentsial tenglamalarni taklif qilamiz.

Chiziqli bir jinsli differentsial tenglamalar (LODE) va ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar (LNDE).

Ushbu turdagi differentsial tenglamalarning alohida holati doimiy koeffitsientli LODE va ​​LDDE hisoblanadi.

LODE ning ma'lum bir segmentdagi umumiy yechimi ushbu tenglamaning ikkita chiziqli mustaqil qisman y 1 va y 2 yechimlarining chiziqli birikmasi bilan ifodalanadi, ya'ni .

Asosiy qiyinchilik aynan shu turdagi differensial tenglamaning chiziqli mustaqil qisman yechimlarini topishdadir. Odatda, muayyan yechimlar quyidagi tizimlardan chiziqli tanlanadi mustaqil funktsiyalar:


Biroq, bu shaklda har doim ham alohida echimlar taqdim etilmaydi.

LOD ga misol .

LDDE ning umumiy yechimi shaklda qidiriladi, bu erda mos keladigan LDDE ning umumiy yechimi va asl differensial tenglamaning xususiy yechimi. Biz hozirgina uni topish haqida gapirdik, lekin uni ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli yordamida aniqlash mumkin.

LNDUga misol keltirish mumkin .

Yuqori tartibli differensial tenglamalar.

Tartibni qisqartirishga imkon beruvchi differensial tenglamalar.

Differensial tenglamaning tartibi , kerakli funktsiyani va uning k-1 tartibigacha hosilalarini o'z ichiga olmaydi, ni almashtirish orqali n-k ga qisqartirilishi mumkin.

Bunday holda, dastlabki differensial tenglama ga qisqartiriladi. Uning yechimi p(x) topilgach, almashtirishga qaytish va noma'lum y funksiyani aniqlash qoladi.

Masalan, differensial tenglama almashtirilgandan so'ng, u ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega tenglamaga aylanadi va uning tartibi uchinchidan birinchisiga qisqaradi.

Ushbu paragraf muhokama qilinadi maxsus holat chiziqli tenglamalar ikkinchi tartib, tenglamaning koeffitsientlari doimiy bo'lganda, ya'ni ular sonlardir. Bunday tenglamalar doimiy koeffitsientli tenglamalar deyiladi. Ushbu turdagi tenglamalar ayniqsa keng qo'llaniladi.

1. Chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar

doimiy koeffitsientli ikkinchi tartib

Tenglamani ko'rib chiqing

unda koeffitsientlar doimiy bo'ladi. Faraz qilib, tenglamaning barcha a'zolarini ga bo'lish va belgilash

Bu tenglamani shaklda yozamiz

Ma'lumki, chiziqli bir hil ikkinchi tartibli tenglamaning umumiy yechimini topish uchun uning asosiy qismli yechimlar tizimini bilish kifoya. Keling, doimiy koeffitsientli bir hil chiziqli differensial tenglama uchun qisman yechimlarning fundamental tizimini qanday topishni ko'rsatamiz. Ushbu tenglamaning muayyan yechimini shaklda izlaymiz

Bu funktsiyani ikki marta differensiallash va (59) tenglamaga ifodalarni o'rniga qo'yish natijasida hosil bo'ladi

dan boshlab, demak, ga kamaytirsak, tenglamani olamiz

Ushbu tenglamadan k ning qiymatlari aniqlanadi, ular uchun funktsiya (59) tenglamaning echimi bo'ladi.

K koeffitsientini aniqlash uchun algebraik tenglama (61) bu differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi (59) deyiladi.

Xarakteristik tenglama ikkinchi darajali tenglama bo'lib, shuning uchun ikkita ildizga ega. Bu ildizlar haqiqiy farqli, haqiqiy va teng yoki murakkab konjugat bo'lishi mumkin.

Keling, ushbu holatlarning har birida alohida echimlarning asosiy tizimi qanday shaklga ega ekanligini ko'rib chiqaylik.

1. Xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va har xil: . Bu holda (60) formuladan foydalanib, ikkita qisman yechim topamiz:

Ushbu ikkita maxsus echim butun son o'qi bo'yicha asosiy echimlar tizimini tashkil qiladi, chunki Wronski determinanti hech qaerda yo'qolmaydi:

Binobarin, (48) formula bo'yicha tenglamaning umumiy yechimi ko'rinishga ega bo'ladi

2. Xarakteristik tenglamaning ildizlari teng: . Bunday holda, ikkala ildiz ham haqiqiy bo'ladi. Formuladan (60) foydalanib, biz faqat bitta aniq echimni olamiz

Birinchisi bilan birga fundamental tizimni tashkil etuvchi ikkinchi xususiy yechim shaklga ega ekanligini ko'rsatamiz

Avvalo, funksiya (59) tenglamaning yechimi ekanligini tekshirib ko‘ramiz. Haqiqatan ham,

Ammo xarakteristik tenglamaning ildizi borligi sababli (61). Bundan tashqari, Vyeta teoremasiga ko'ra, Shuning uchun. Binobarin, , ya'ni funksiya haqiqatda (59) tenglamaning yechimidir.

Endi topilgan qisman yechimlar yechimlarning fundamental tizimini tashkil qilishini ko'rsatamiz. Haqiqatan ham,

Shunday qilib, bu holda bir hil chiziqli tenglamaning umumiy yechimi shaklga ega bo'ladi

3. Xarakteristik tenglamaning ildizlari murakkab. Ma'lumki, haqiqiy koeffitsientli kvadrat tenglamaning kompleks ildizlari konjugatdir murakkab sonlar, ya'ni ular quyidagicha ko'rinadi: . Bu holda (60) formulaga muvofiq (59) tenglamaning qisman yechimlari quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Eyler formulalaridan foydalangan holda (XI bob, § 5, 3-bandga qarang) uchun ifodalarni quyidagicha yozish mumkin:

Ushbu echimlar keng qamrovli. To'g'ri echimlarni olish uchun yangi funktsiyalarni ko'rib chiqing

Ular yechimlarning chiziqli birikmalaridir va shuning uchun o'zlari (59) tenglamaning yechimlaridir (3-§, 2-band, 1-teoremaga qarang).

Ushbu yechimlar uchun Wronski determinanti nolga teng emasligini va shuning uchun echimlar asosiy echimlar tizimini tashkil etishini ko'rsatish oson.

Shunday qilib, xarakterli tenglamaning murakkab ildizlari holatida bir hil chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi shaklga ega.

Xulosa qilib, xarakteristik tenglamaning ildizlari turiga qarab (59) tenglamaning umumiy yechimi uchun formulalar jadvalini keltiramiz.

Doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni (LNDE-2) yechish asoslari (PC)

$p$ va $q$ doimiy koeffitsientli 2-tartibli LDDE $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ ko'rinishiga ega, bu erda $f\left(x) \right)$ uzluksiz funksiyadir.

Kompyuter bilan LNDU 2-ga kelsak, quyidagi ikkita bayonot to'g'ri.

Faraz qilaylik, ba'zi $U$ funksiyasi bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamaning ixtiyoriy qisman yechimi bo'lsin. Shuningdek, faraz qilaylik, ba'zi $Y$ funksiyasi mos chiziqli bir jinsli differentsial tenglamaning (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ umumiy yechimi (GS) bo'lsin. Keyin GR ning LHDE-2 ko'rsatilgan xususiy va umumiy yechimlar yig'indisiga teng, ya'ni $y=U+Y$.

Agar 2-tartibli LMDE ning o'ng tomoni funksiyalar yig'indisi bo'lsa, ya'ni $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x) \right)+ ..+f_(r) \left(x\right)$, keyin biz mos keladigan $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ ni topamiz. $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ funksiyalarining har biriga va undan keyin CR LNDU-2 ni $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ shaklida yozing.

Kompyuter bilan 2-darajali LPDE yechimi

Ko'rinib turibdiki, berilgan LNDU-2 ning u yoki bu PD $U$ turi uning o'ng tomoni $f\left(x\right)$ning o'ziga xos shakliga bog'liq. PD LNDU-2 ni qidirishning eng oddiy holatlari quyidagi to'rtta qoida shaklida tuzilgan.

№1 qoida.

O'ng qism LNDU-2 $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ shakliga ega, bunda $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, ya'ni $ darajali ko'phad deyiladi. n$. Keyin uning PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ shaklida qidiriladi, bu erda $Q_(n) \left(x\right)$ boshqa. $P_(n) \left(x\right)$ bilan bir xil darajadagi polinom va $r$ mos keladigan LODE-2 xarakteristikasi tenglamasining nolga teng ildizlari soni. $Q_(n) \left(x\right)$ polinomining koeffitsientlari noaniq koeffitsientlar (Buyuk Britaniya) usuli bilan topiladi.

2-qoida.

LNDU-2 ning o'ng tomoni $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ ko'rinishiga ega, bu erda $P_(n) \left( x\right)$ - $n$ darajali polinom. Keyin uning PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ shaklida qidiriladi, bu yerda $Q_(n) ) \ left(x\right)$ - $P_(n) \left(x\right)$ bilan bir xil darajadagi boshqa ko'phad, $r$ esa mos keladigan LODE-2 xarakteristikasi tenglamasining ildizlari soni. $\alpha $ ga teng. $Q_(n) \left(x\right)$ polinomining koeffitsientlari NC usuli bilan topiladi.

3-qoida.

LNDU-2 ning o'ng tomoni $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) ko'rinishiga ega. \o'ng) $, bu erda $a$, $b$ va $\beta$ ma'lum raqamlar. Keyin uning PD $U$ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) shaklida qidiriladi. \right )\cdot x^(r) $, bu yerda $A$ va $B$ nomaʼlum koeffitsientlar va $r$ mos keladigan LODE-2 xarakteristikasi tenglamasining ildizlari soni, $i\cdot ga teng. \beta $. $A$ va $B$ koeffitsientlari buzilmaydigan usul yordamida topiladi.

4-qoida.

LNDU-2 ning o'ng tomoni $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ ko'rinishiga ega, bu erda $P_(n) \left(x\right)$ $ n$ darajali ko'phad, $P_(m) \left(x\right)$ $m$ darajali ko'phad. Keyin uning PD $U$ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ shaklida qidiriladi, bunda $Q_(s) \left(x\right)$ va $ R_(s) \left(x\right)$ $s$ darajali koʻphadlar, $s$ soni $n$ va $m$ning maksimal ikki soni, $r$ esa ildizlar soni mos keladigan LODE-2 ning xarakteristik tenglamasining $\alpha +i\cdot \beta $ ga teng. $Q_(s) \left(x\right)$ va $R_(s) \left(x\right)$ polinomlarining koeffitsientlari NC usulida topiladi.

NK usuli quyidagi qoidani qo'llashdan iborat. Bir jinsli bo'lmagan LNDU-2 differensial tenglamasining qisman yechimiga kiruvchi polinomning noma'lum koeffitsientlarini topish uchun quyidagilar zarur:

• da yozilgan PD $U$ o'rniga qo'ying umumiy ko'rinish, V chap tomoni LNDU-2;
• LNDU-2 ning chap tomonida bir xil kuchlar bilan soddalashtirish va guruh shartlarini bajaring $x$;
• hosil bo'lgan o'ziga xoslikda, chap va o'ng tomonlarning $x$ bir xil kuchlari bilan atamalar koeffitsientlarini tenglashtiring;
• noma'lum koeffitsientlar uchun hosil bo'lgan chiziqli tenglamalar tizimini yeching.

1-misol

Vazifa: YOKI LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ni toping. PD ni ham toping. , $x=0$ uchun $y=6$ va $x=0$ uchun $y"=1$ boshlang'ich shartlarini qondirish.

Biz mos keladigan LOD-2 ni yozamiz: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Xarakteristik tenglama: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Xarakteristik tenglamaning ildizlari: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Bu ildizlar to'g'ri va aniq. Shunday qilib, mos keladigan LODE-2 ning OR quyidagi ko'rinishga ega: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Ushbu LNDU-2 ning o'ng tomonida $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ shakli mavjud. $\alpha =3$ ko'rsatkichining koeffitsientini hisobga olish kerak. Bu koeffitsient xarakterli tenglamaning hech bir ildiziga to'g'ri kelmaydi. Shuning uchun, ushbu LNDU-2 ning PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ko'rinishiga ega.

$A$, $B$ koeffitsientlarini NC usuli yordamida qidiramiz.

Biz Chexiya Respublikasining birinchi hosilasini topamiz:

$U"=\left(A\cdot x+B\o'ng)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\o'ng)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\chap(A\cdot x+B\o'ng)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\chap (A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\o'ng)\cdot e^(3\cdot x) .$

Biz Chexiya Respublikasining ikkinchi hosilasini topamiz:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\o'ng)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\o'ng)\cdot \chap(e^(3\cdot x) \o'ng)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\chap(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\o'ng)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\chap(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\o'ng)\cdot e^(3\cdot x) .$

Berilgan NLDE-2 $y""-3\cdot y" ga $y""$, $y"$ va $y$ o'rniga $U""$, $U"$ va $U$ funktsiyalarini almashtiramiz. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x $) Bundan tashqari, $e^(3\cdot x) $ koʻrsatkichi omil sifatida kiritilgan barcha komponentlarda, keyin uni o'tkazib yuborish mumkin:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \chap(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\o‘ng)-18\cdot \chap(A\ cdot x+B\o'ng)=36\cdot x+12.$

Olingan tenglikning chap tomonidagi amallarni bajaramiz:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Biz NDT usulidan foydalanamiz. Biz ikkita noma'lum chiziqli tenglamalar tizimini olamiz:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Bu tizimning yechimi: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ bizning muammomiz quyidagicha ko'rinadi: $U=\left(-2\cdot x-1\o'ng) \cdot e^(3\cdot x) $.

Bizning muammomiz uchun OR $y=Y+U$ quyidagicha ko‘rinadi: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Berilgan dastlabki shartlarga javob beradigan PDni izlash uchun biz OPning $y"$ hosilasini topamiz:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\o'ng)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Biz $y$ va $y"$ ning dastlabki shartlarini $x=0$ uchun $y=6$ va $x=0$ uchun $y"=1$ bilan almashtiramiz:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Biz tenglamalar tizimini oldik:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Keling, buni hal qilaylik. Biz $C_(1) $ ni Kramer formulasidan foydalanib topamiz va $C_(2) $ birinchi tenglamadan aniqlaymiz:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(massiv)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(massiv)\o'ng|)(\left|\ start(massiv)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(massiv)\o'ng|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Shunday qilib, ushbu differentsial tenglamaning PD quyidagi ko'rinishga ega: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1) \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Bu erda chiziqli bir jinsli bo'lmagan ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni yechish uchun Lagranj konstantalarini o'zgartirish usulini qo'llaymiz. Batafsil tavsif ixtiyoriy tartibli tenglamalarni echishning ushbu usuli sahifada tasvirlangan
Yuqori tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalarni Lagranj usulida yechish >>>.

1-misol

Lagranj konstantalarini oʻzgartirish usuli yordamida doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli differensial tenglamani yeching:
(1)

Yechim

Avval bir hil differensial tenglamani yechamiz:
(2)

Bu ikkinchi tartibli tenglama.

Kvadrat tenglamani yechish:
.
Bir nechta ildiz: . Asosiy tizim(2) tenglamaning yechimlari quyidagi ko'rinishga ega:
(3) .
Bu yerdan bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini olamiz (2):
(4) .

Konstantalarni o'zgartirish C 1 va C 2 . Ya'ni (4) dagi konstantalarni funksiyalar bilan almashtiramiz:
.
Biz (1) asl tenglamaning yechimini quyidagi shaklda qidiramiz:
(5) .

Hosilini topish:
.
Funktsiyalar va tenglamalarni bog'laymiz:
(6) .
Keyin
.

Biz ikkinchi hosilani topamiz:
.
Dastlabki tenglamaga (1) almashtiring:
(1) ;



.
Bir hil tenglama (2) bajarilganligi sababli, oxirgi uchta qatorning har bir ustunidagi atamalar yig'indisi nolga teng bo'ladi va oldingi tenglama quyidagi shaklni oladi:
(7) .
Bu yerga .

(6) tenglama bilan birgalikda biz funktsiyalarni aniqlash uchun tenglamalar tizimini olamiz va:
(6) :
(7) .

Tenglamalar sistemasini yechish

Tenglamalar tizimini yechamiz (6-7). Funktsiyalar uchun ifodalarni yozamiz va:
.
Biz ularning hosilalarini topamiz:
;
.

(6-7) tenglamalar tizimini Kramer usuli yordamida yechamiz. Tizim matritsasining determinantini hisoblaymiz:

.
Kramer formulalari yordamida biz quyidagilarni topamiz:
;
.

Shunday qilib, biz funktsiyalarning hosilalarini topdik:
;
.
Integratsiya qilaylik (Ildizlarni birlashtirish usullariga qarang). O'zgartirishni amalga oshirish
; ; ; .

.
.

;
.

Javob

2-misol

Differensial tenglamani Lagranj konstantalarini o'zgartirish usuli bilan yeching:
(8)

Yechim

1-bosqich. Bir jinsli tenglamani yechish

Biz bir jinsli differentsial tenglamani yechamiz:

(9)
Biz shaklda yechim izlayapmiz. Biz xarakteristik tenglamani tuzamiz:

Bu tenglama murakkab ildizlarga ega:
.
Ushbu ildizlarga mos keladigan asosiy echimlar tizimi quyidagi shaklga ega:
(10) .
Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi (9):
(11) .

Qadam 2. Konstantalarni o'zgartirish - konstantalarni funksiyalar bilan almashtirish

Endi biz C konstantalarini o'zgartiramiz 1 va C 2 . Ya'ni (11) dagi konstantalarni funksiyalar bilan almashtiramiz:
.
Biz (8) asl tenglamaning yechimini quyidagi shaklda qidiramiz:
(12) .

Bundan tashqari, yechimning borishi 1-misoldagi kabi keyingi tizim funktsiyalarni aniqlash uchun tenglamalar va:
(13) :
(14) .
Bu yerga .

Tenglamalar sistemasini yechish

Keling, ushbu tizimni hal qilaylik. Funktsiyalar uchun ifodalarni yozamiz va:
.
Sanoat jadvalidan biz quyidagilarni topamiz:
;
.

(13-14) tenglamalar sistemasini Kramer usuli yordamida yechamiz. Tizim matritsasining aniqlovchisi:

.
Kramer formulalari yordamida biz quyidagilarni topamiz:
;
.

.
Chunki , logarifm belgisi ostidagi modul belgisi o'tkazib yuborilishi mumkin. Numerator va maxrajni quyidagicha ko'paytiring:
.
Keyin
.

Asl tenglamaning umumiy yechimi:


.