Agar bir nechta qarama-qarshi tomonlar (shaxslar) mavjud bo'lsa, ularning har biri ma'lum qoidalar to'plami bilan belgilanadigan ma'lum bir qarorni qabul qiladi va har bir tomonning har biri uchun oldindan belgilangan to'lovlar bilan ziddiyatli vaziyatning yakuniy holatini bilsa, u holda o'yin. sodir bo'lishi aytiladi.
O'yin nazariyasining vazifasi ma'lum bir o'yinchi uchun xatti-harakatlar chizig'ini tanlashdir, undan chetga chiqish uning yutug'ini kamaytirishi mumkin.
O'yinning ba'zi ta'riflari
O'yin natijalarini miqdoriy baholash to'lov deb ataladi.
Dubllar (ikki kishi) agar to'lovlar summasi nolga teng bo'lsa, nol summali o'yin deb ataladi, ya'ni. agar bir o'yinchining yo'qotishi boshqasining daromadiga teng bo'lsa.
O'yinchining shaxsiy harakatini amalga oshirishi kerak bo'lgan har bir mumkin bo'lgan vaziyatlarda tanlovining aniq tavsifi deyiladi. o'yinchi strategiyasi .
O'yinchining strategiyasi optimal deb ataladi, agar o'yin ko'p marta takrorlanganda, u o'yinchiga maksimal imkoniyatni taqdim etsa o'rtacha yutuqlar(yoki, xuddi shu narsa, minimal mumkin bo'lgan o'rtacha g'alaba).
Matritsa bilan belgilangan o'yin A ega m chiziqlar va n ustunlar o'lchovning chekli juftlik o'yini deb ataladi m* n;
Qayerda i=
- mstrategiyaga ega birinchi o'yinchining strategiyasi;
j=
- n ta strategiyaga ega bo'lgan ikkinchi o'yinchining strategiyasi;
ij- birinchi o'yinchining yutuqlari i-ikkinchi tomonidan foydalanilganda strategiya j th strategiyasi (yoki xuddi shu narsa, ikkinchisining yo'qolishi j- birinchi bo'lib foydalanilganda strategiya i th);
A = ij– o'yinning to'lov matritsasi.
1.1 Sof strategiyalar bilan o'ynash
O'yinning past narxi (birinchi o'yinchi uchun)
= maks (min ij). (1.2)
i j
Eng yuqori o'yin narxi (ikkinchi o'yinchi uchun):
= min
(maks
ij)
. (1.3)
J i
Agar = , o'yin egar nuqtasi o'yini (1.4) yoki sof strategiyalar bilan o'yin deb ataladi. Qayerda V = = qimmatli o'yin deb ataladi ( V- o'yin narxi).
Misol. 2 kishilik A o'yinining to'lov matritsasi berilgan optimal strategiyalar har bir o'yinchi va o'yin narxi uchun:
(1.4)
maks 10 9 12 6
i
min 6
j
- birinchi o'yinchining strategiyasi (qator).
Ikkinchi o'yinchi strategiyasi (ustunlar).
- o'yin narxi.
Shunday qilib, o'yinning egar nuqtasi bor. Strategiya j = 4 - ikkinchi o'yinchi uchun optimal strategiya i=2 - birinchisi uchun. Bizda sof strategiyalar bilan o'yin bor.
1.2 Aralash strategiyali o'yinlar
To'lov matritsasi egar nuqtasi bo'lmasa, ya'ni. 
, va o'yinda hech kim o'zining optimal strategiyasi sifatida bitta rejani tanlay olmaydi, o'yinchilar "aralash strategiyalar" ga o'tadilar. Bundan tashqari, har bir o'yinchi o'yin davomida har bir strategiyasidan bir necha marta foydalanadi.
Har bir komponenti o'yinchining tegishli sof strategiyadan foydalanishning nisbiy chastotasini ko'rsatadigan vektor ushbu o'yinchining aralash strategiyasi deb ataladi.
X= (X 1 …X i …X m) - birinchi o'yinchining aralash strategiyasi.
U= (da 1 ...y j ...y n) – ikkinchi o‘yinchining aralash strategiyasi.
xi , y j- o'yinchilarning strategiyalaridan foydalanishning nisbiy chastotalari (ehtimollari).
Aralash strategiyalardan foydalanish shartlari
.
(1.5)
Agar X* = (X 1 * ….X men*... X m*) - birinchi o'yinchi tanlagan optimal strategiya; Y* = (da 1 * …da j*... da n*) ikkinchi o'yinchi tomonidan tanlangan optimal strategiya, keyin raqam o'yin narxidir.
(1.6)
Raqam uchun V o'yin narxi edi, va X* Va da* - optimal strategiyalar, tengsizliklarni qondirish uchun zarur va etarli
(1.7)
Agar o'yinchilardan biri optimal aralash strategiyadan foydalansa, uning to'lovi o'yin narxiga teng bo'ladi V ikkinchi o'yinchi optimalga kiritilgan strategiyalardan, shu jumladan sof strategiyalardan foydalanish chastotasidan qat'i nazar.
O'yin nazariyasi muammolarini chiziqli dasturlash muammolariga qisqartirish.
Misol. To'lov matritsasi bilan belgilangan o'yinning echimini toping A.
A = 
(1.8)
y 1 y 2 y 3
Yechim:
Ikki juft chiziqli dasturlash masalalarini yaratamiz.
Birinchi o'yinchi uchun
(1.9)
da 1 +da 2 +da 3 = 1 (1.10)
O'zingizni o'zgaruvchidan ozod qilish V(o'yin narxi), (1.9), (1.10) iboralarning chap va o'ng tomonlarini ajrating V. Qabul qilgan da j /V yangi o'zgaruvchi uchun z i, olamiz yangi tizim cheklovlar (1.11) va maqsadli funksiya (1.12)
(1.11)
.
(1.12)
Xuddi shunday, biz ikkinchi o'yinchi uchun o'yin modelini olamiz:
(1.13)
X 1 +X 2 +X 3 = 1 . (1.14)
Modelni (1.13), (1.14) o'zgaruvchisiz shaklga qisqartirish V, olamiz
(1.15)
,
(1.16)
Qayerda 
.
Agar birinchi o'yinchining xatti-harakatlar strategiyasini aniqlashimiz kerak bo'lsa, ya'ni. uning strategiyalaridan foydalanishning nisbiy chastotasi ( X 1 ….X i …X m), biz ikkinchi o'yinchi modelidan foydalanamiz, chunki bu o'zgaruvchilar uning to'lov modelida (1.13), (1.14).
(1.15), (1.16) ni kanonik shaklga keltiramiz
(1.17)
Vazifa:
Matritsa o'yini quyidagi to'lov matritsasi bilan beriladi:
| "B" strategiyasi | ||||||||
| "A" strategiyasi | B 1 | B 2 | ||||||
| A 1 | 3 | 5 | ||||||
| A 2 | 6 |
|
||||||
Matritsa o'yinining yechimini toping, xususan:
- o'yinning eng yuqori narxini toping;
- Pastroq narx o'yinlar;
- o'yinning sof narxi;
- o'yinchilarning optimal strategiyalarini ko'rsatish;
- olib keling grafik yechim(geometrik talqin), agar kerak bo'lsa.
1-qadam
Keling, o'yinning past narxini aniqlaymiz - a
Eng past o'yin narxi a - agar biz butun o'yin davomida bitta va faqat bitta strategiyadan foydalansak (bu strategiya "sof" deb ataladi) oqilona raqibga qarshi o'yinda o'zimizni kafolatlay oladigan maksimal g'alabadir.Keling, to'lov matritsasining har bir qatorida topamiz eng kam element va uni qo'shimcha ustunga yozing (Tanlangan sariq 1-jadvalga qarang).
Keyin topamiz maksimal qo'shimcha ustunning elementi (yulduzcha bilan belgilangan), bu o'yinning past narxi bo'ladi.
1-jadval
| "B" strategiyasi | |||||||||||||||
| "A" strategiyasi | B 1 | B 2 | Minima qator | ||||||||||||
| A 1 | 3 | 5 | 3 * | ||||||||||||
| A 2 | 6 |
|
|
||||||||||||
Bizning holatda, o'yinning past narxi: a = 3, va 3 dan kam bo'lmagan g'alabani kafolatlash uchun biz A 1 strategiyasiga rioya qilishimiz kerak
Qadam: 2
Keling, o'yinning yuqori narxini aniqlaymiz - b
Eng yuqori o'yin narxi b - agar u o'yin davomida bitta va faqat bitta strategiyadan foydalansa, B o'yinchisi oqilona raqibga qarshi o'yinda o'zini kafolatlay oladigan minimal yo'qotishdir.Keling, to'lov matritsasining har bir ustunida topamiz maksimal elementni kiriting va uni quyida qo'shimcha qatorga yozing (sariq rang bilan belgilangan, 2-jadvalga qarang).
Keyin topamiz eng kam qo'shimcha chiziq elementi (plyus bilan belgilangan), bu o'yinning yuqori narxi bo'ladi.
jadval 2
| "B" strategiyasi | ||||||||||||
| "A" strategiyasi | B 1 | B 2 | Minima qator | |||||||||
| A 1 | 3 | 5 | 3 * | |||||||||
| A 2 | 6 |
| Bizning holatda, o'yinning yuqori narxi: b = 5, va 5 dan kam bo'lmagan yo'qotishni kafolatlash uchun raqib ("B" o'yinchisi) B 2 strategiyasiga rioya qilishi kerak. Qadam: 3 Aralash strategiya, bu sof strategiyalar tasodifiy o'zgaruvchan, muayyan ehtimolliklar (chastotalar) bilan. Biz "A" o'yinchisining aralash strategiyasini belgilaymiz.
|
|||||||||
Bu erda B 1, B 2 - “B” o'yinchisining strategiyalari va q 1, q 2 mos ravishda ushbu strategiyalarni qo'llash ehtimoli va q 1 + q 2 = 1.
"A" o'yinchisi uchun optimal aralash strategiya unga maksimal foyda keltiradigan strategiyadir. Shunga ko'ra, "B" uchun minimal yo'qotish mavjud. Ushbu strategiyalar belgilangan S A* va S B* mos ravishda. Bir juft optimal strategiya o'yin uchun yechimni tashkil qiladi.
IN umumiy holat O'yinchining optimal strategiyasi barcha boshlang'ich strategiyalarni o'z ichiga olmaydi, lekin ulardan faqat ba'zilari. Bunday strategiyalar deyiladi faol strategiyalar.
Qadam: 4
Qayerda: p 1 , p 2 - mos ravishda A 1 va A 2 strategiyalari qo'llaniladigan ehtimolliklar (chastotalar)
O'yin nazariyasidan ma'lumki, agar "A" o'yinchisi o'zining optimal strategiyasidan foydalansa va "B" o'yinchisi o'zining faol strategiyalari doirasida qolsa, o'rtacha daromad o'zgarishsiz qoladi va o'yin narxiga teng bo'ladi. v"B" o'yinchisi o'zining faol strategiyalaridan qanday foydalanishidan qat'i nazar. Va bizning holatlarimizda ikkala strategiya ham faol, aks holda o'yin sof strategiyalarda yechimga ega bo'lar edi. Shuning uchun, agar "B" o'yinchisi sof B 1 strategiyasidan foydalanadi deb faraz qilsak, o'rtacha foyda v bo'ladi:
k 11 p 1 + k 21 p 2 = v (1)
Qayerda: k ij - to'lov matritsasi elementlari.
Boshqa tomondan, agar "B" o'yinchisi sof B 2 strategiyasidan foydalanadi deb faraz qilsak, o'rtacha daromad quyidagicha bo'ladi:
k 12 p 1 + k 22 p 2 = v (2)
(1) va (2) tenglamalarning chap tomonlarini tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
k 11 p 1 + k 21 p 2 = k 12 p 1 + k 22 p 2
Va shuni hisobga olgan holda p 1 + p 2 = 1 bizda ... bor:
k 11 p 1 + k 21 (1 - p 1) = k 12 p 1 + k 22 (1 - p 1)
A 1 strategiyasining optimal chastotasini qaerdan topish oson:
| p 1 = |
| (3) |
Bu vazifada:
| p 1 = |
| = |
|
Ehtimollik R 2 ayirish orqali toping R 1 birlikdan:
| p 2 = 1 - p 1 = | 1 | - |
| = | + | 6 | · |
Qayerda: q 1 , q 2 - mos ravishda B 1 va B 2 strategiyalari qo'llaniladigan ehtimolliklar (chastotalar)
O'yin nazariyasidan ma'lumki, agar "B" o'yinchisi o'zining optimal strategiyasidan foydalansa va "A" o'yinchisi o'zining faol strategiyalari doirasida qolsa, o'rtacha daromad o'zgarishsiz qoladi va o'yin narxiga teng bo'ladi. v o'yinchi A faol strategiyalaridan qanday foydalanishidan qat'i nazar. Shuning uchun, agar "A" o'yinchisi sof A 1 strategiyasidan foydalanadi deb faraz qilsak, o'rtacha foyda v bo'ladi:
k 11 q 1 + k 12 q 2 = v (4)
O'yin narxidan boshlab v Biz buni allaqachon bilamiz va hisobga olamiz q 1 + q 2 = 1 , u holda B 1 strategiyasining optimal chastotasini quyidagicha topish mumkin:
| q 1 = |
| (5) |
Bu vazifada:
| q 1 = |
| = |
|
Ehtimollik q 2 ayirish orqali toping q 1 birlikdan:
| q 2 = 1 - q 1 = | 1 | - |
| = |
|
Javob:
| Eng past o'yin narxi: | α = | 3 | |||
| Eng yuqori o'yin narxi: | β = | 5 | |||
| O'yin narxi: | v = |
|
| A o'yinchisining optimal strategiyasi: |
|
|||||||||||||||
| "B" o'yinchisi uchun optimal strategiya: |
|
Geometrik talqin (grafik yechim):
Keling, ko'rib chiqilayotgan o'yinning geometrik talqinini beraylik. Abscissa o'qining uzunligi birlik bo'lgan qismini oling va uning uchlari orqali vertikal to'g'ri chiziqlar o'tkazing a 1 Va a 2 Bizning A 1 va A 2 strategiyalarimizga mos keladi. Keling, "B" o'yinchisi B 1 strategiyasidan foydalanadi deb faraz qilaylik sof shakl. Keyin, agar biz ("A" o'yinchisi) sof A 1 strategiyasidan foydalansak, unda bizning to'lovimiz 3 ga teng bo'ladi. Keling, o'qda mos keladigan nuqtani belgilaymiz. a 1 .Agar biz A 2 sof strategiyasidan foydalansak, unda bizning daromadimiz 6 bo'ladi. Keling, o'qda mos keladigan nuqtani belgilaymiz. a 2
(1-rasmga qarang). Shubhasiz, agar biz A 1 va A 2 strategiyalarini har xil nisbatda aralashtirishni qo'llasak, bizning yutuqlarimiz (0, 3) va (1, 6) koordinatali nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq bo'ylab o'zgaradi, keling, buni B strategiyasining chizig'i deb ataymiz. 1 (1-rasmda qizil rangda ko'rsatilgan). Berilgan chiziqdagi istalgan nuqtaning abtsissasi ehtimollikka teng p 2 (chastota) biz A 2 strategiyasini qo'llaymiz va ordinata - natijada olingan daromad k (1-rasmga qarang).
1-rasm.
To'lov grafigi k
chastotadan p 2
, dushman strategiyadan foydalanganda B 1.
Keling, "B" o'yinchisi B 2 strategiyasidan sof shaklda foydalanadi deb faraz qilaylik. Keyin, agar biz ("A" o'yinchisi) sof A 1 strategiyasidan foydalansak, unda bizning daromadimiz 5 bo'ladi. Agar biz A 2 sof strategiyasidan foydalansak, unda bizning daromadimiz 3/2 bo'ladi (2-rasmga qarang). Xuddi shunday, agar biz A 1 va A 2 strategiyalarini har xil nisbatda aralashtirsak, bizning yutuqlarimiz (0, 5) va (1, 3/2) koordinatali nuqtalardan o'tadigan to'g'ri chiziq bo'ylab o'zgaradi, keling, buni strategiya chizig'i deb ataymiz. B 2. Oldingi holatda bo'lgani kabi, bu chiziqdagi istalgan nuqtaning abssissasi biz A 2 strategiyasini qo'llash ehtimoliga teng, ordinata esa natijada olingan daromaddir, lekin faqat B 2 strategiyasi uchun (2-rasmga qarang).
2-rasm.
v
va optimal chastota p 2
futbolchi uchun "A".
Haqiqiy o'yinda, oqilona o'yinchi "B" o'zining barcha strategiyalaridan foydalanganda, bizning yutuqlarimiz 2-rasmda qizil rangda ko'rsatilgan singan chiziq bo'ylab o'zgaradi. Bu chiziq deb atalmishni belgilaydi yutuqning pastki chegarasi. Shubhasiz, eng ko'p yuqori nuqta bu singan chiziq bizning optimal strategiyamizga mos keladi. IN Ushbu holatda, bu B 1 va B 2 strategiyalari chiziqlarining kesishish nuqtasidir. E'tibor bering, agar siz chastotani tanlasangiz p 2 uning abtsissasiga teng bo'lsa, bizning daromadimiz o'zgarmagan va teng bo'lib qoladi v "B" o'yinchisining har qanday strategiyasi uchun, bundan tashqari, biz o'zimizni kafolatlay oladigan maksimal bo'ladi. Chastotasi (ehtimollik) p 2 , bu holda, bizning optimal aralash strategiyamizning mos keladigan chastotasi. Aytgancha, 2-rasmdan siz chastotani ko'rishingiz mumkin p 1 , bizning optimal aralash strategiyamiz segmentning uzunligi [ p 2 ; 1] abscissa o'qi ustida. (Chunki p 1 + p 2 = 1 )
To'liq o'xshash mulohazalardan foydalanib, biz 3-rasmda ko'rsatilgan "B" o'yinchisi uchun optimal strategiyaning chastotalarini topishimiz mumkin.
3-rasm.
O'yin narxini grafik aniqlash v
va optimal chastota q 2
futbolchi uchun "IN".
Faqat uning uchun deb atalmish kerak yuqori chegara yo'qotish(qizil singan chiziq) va undagi eng past nuqtani qidiring, chunki "B" o'yinchisi uchun maqsad yo'qotishlarni minimallashtirishdir. Xuddi shu chastota qiymati q 1 , bu segmentning uzunligi [ q 2 ; 1] abscissa o'qi ustida.
Tarkibi 1 Umumiy ma'lumot 2 1.1 O'yinlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Harakatlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Strategiyalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Matritsa o'yini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Trail nuqtasi. Sof strategiyalar 7 2.1 Misollar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1-misol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2-misol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 Aralash strategiyalar 9 3.1 O‘yin 2×2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.1.1 Misollar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3-misol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4-misol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1.2 Geometrik talqin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 O‘yinlar 2×n va m×2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5-misol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 1. O'yin nazariyasidan umumiy ma'lumot 1.1. O'yinlar O'yin nazariyasi - ziddiyatli vaziyatlarning matematik nazariyasi, ya'ni. turli maqsadlarni ko'zlayotgan ikki yoki undan ortiq tomonlarning manfaatlari to'qnash keladigan vaziyatlar. O'yin - bu ma'lum qoidalar bilan tartibga solinadigan ziddiyatli vaziyat, unda quyidagilar ko'rsatilishi kerak: o'yinning miqdoriy natijasi yoki ma'lum bir harakatlar to'plamiga olib keladigan to'lov (yutuq, yutqazish); har bir tomonning boshqasining xatti-harakati haqida. Juftlik o'yini - bu faqat ikkita partiya (ikkita o'yinchi) ishtirok etadigan o'yin. Nol summali juftlashtirilgan o'yin - to'lovlar summasi nolga teng bo'lgan juft o'yin, ya'ni. Bir o'yinchining yo'qotilishi ikkinchisining yutug'iga teng. Har bir o'yinchining to'lov funktsiyasi qiymatiga bo'lgan munosabatiga qarab, juftlashtirilgan o'yinlar bo'linadi: Nol summali juftlashtirilgan o'yin (antagonistik) - to'lovlar miqdori nolga teng bo'lgan juft o'yin, ya'ni. Bir o'yinchining yo'qotilishi ikkinchisining yutug'iga teng. Antagonistik bo'lmagan o'yin - bu juftlashgan o'yin bo'lib, unda o'yinchilar turli xil, ammo to'g'ridan-to'g'ri qarama-qarshi maqsadlarga intilishadi. 2 1.2. Harakat qilish - bu tanlovni amalga oshirishda ko'zda tutilgan harakatlardan birini tanlash: Shaxsiy harakat - + o'yin qoidalarida ko'zda tutilgan harakatlardan birini ongli ravishda tanlash. bu tanlovning tasodifiy harakati - Tasodifiy harakat - bu o'yinchining qarori bilan emas, balki tasodifiy tanlashning ba'zi mexanizmi orqali amalga oshiriladigan bir qator imkoniyatlardan tanlov. Quyida biz faqat shaxsiy harakatlarni o'z ichiga olgan nol summali juftlashtirilgan o'yinlarni ko'rib chiqamiz. Har bir tomon boshqasining xatti-harakati haqida ma'lumotga ega emas. 3 1.3. Strategiyalar O'yinchi strategiyasi - bu o'yin davomida yuzaga keladigan vaziyatga qarab, ushbu o'yinchining har bir shaxsiy harakati uchun harakatlarni tanlashni belgilaydigan qoidalar to'plami. Mumkin bo'lgan strategiyalar soniga qarab, o'yinlar chekli va cheksiz bo'linadi. Cheksiz o'yin - bu o'yinchilardan kamida bittasi bo'lgan o'yin cheksiz son strategiyalar. Cheklangan o'yin - bu har bir o'yinchi cheklangan miqdordagi strategiyaga ega bo'lgan o'yin. Har qanday o'yinchi uchun ketma-ket harakatlar soni o'yinlarning bir harakatli va ko'p harakatli yoki pozitsiyali bo'linishini belgilaydi. + Bir burilishli o'yinda har bir o'yinchi mumkin bo'lgan variantlardan faqat bittasini tanlaydi va keyin o'yin natijasini aniqlaydi. + Ko'p harakatli yoki pozitsion o'yin vaqt o'tishi bilan rivojlanib, ketma-ketlikni ifodalaydi ketma-ket bosqichlar, ularning har biri o'yinchilardan birining harakati va vaziyatning tegishli o'zgarishidan keyin sodir bo'ladi. Bir burilishli o'yinda har bir o'yinchi faqat bitta tanlov qiladi mumkin bo'lgan variantlar va keyin o'yin natijasini belgilaydi. O'yinchining optimal strategiyasi - bu o'yin ko'p marta takrorlanganda, bu o'yinchiga maksimal mumkin bo'lgan o'rtacha g'alabani (yoki, xuddi shunday, minimal mumkin bo'lgan o'rtacha yo'qotish) ta'minlaydigan strategiya. O'yin nazariyasida barcha tavsiyalar o'yinchilarning oqilona xatti-harakati taxminiga asoslanadi. O'yin nazariyasida har bir ziddiyatli vaziyatda muqarrar bo'lgan o'yinchilarning noto'g'ri hisob-kitoblari va xatolari, shuningdek, hayajon va xavf elementlari hisobga olinmaydi. 4 1.4. Matritsali o'yin Matritsali o'yin - bu bir harakatli chekli nol yig'indili o'yin o'yin modeli ziddiyatli vaziyat, bunda raqiblar diametral qarama-qarshi maqsadlarga erishish uchun cheklangan sondan bitta tanlov (harakat) qiladilar. mumkin bo'lgan usullar harakatlarning tanlangan usullariga (strategiyalariga) muvofiq erishilgan natija aniqlanadi. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Ikkita A va B o'yinchi bo'lsin, ulardan biri tanlashi mumkin i-strategiya m mumkin bo'lgan A1, A2, ...Am strategiyalaridan, ikkinchisi esa B1, B2, ...Bm mumkin bo'lgan strategiyalaridan j-chi strategiyani tanlaydi. Natijada, birinchi o'yinchi aij qiymatini yutadi, ikkinchi o'yinchi esa bu qiymatni yo'qotadi. aij raqamlaridan a11 a11 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A = (aij) = .. .. .. matritsasini hosil qilamiz. . . . am1 am2 · · · amn A = (aij), i = 1, m, j = 1, n matritsasi toʻlov matritsasi yoki m × n oʻyin matritsasi deb ataladi. Ushbu matritsada qatorlar har doim g'alaba qozongan (maksimallashtiruvchi) o'yinchi A, ya'ni o'z yutug'ini maksimal darajada oshirishga intiladigan o'yinchining strategiyalari uchundir. Ustunlar mag'lubiyatga uchragan o'yinchi B, ya'ni samaradorlik mezonini minimallashtirishga intiladigan o'yinchining strategiyalari uchun ajratilgan. O'yinni normallashtirish - bu pozitsion o'yinni matritsali o'yinga qisqartirish jarayonidir ziddiyatli vaziyat, bunda raqiblar ushbu vaziyatning rivojlanishining har bir bosqichida cheklangan miqdordagi mumkin bo'lgan harakat yo'nalishlaridan ketma-ket bitta tanlovni (harakatni) bajaradilar. O'yinning yechimi - ikkala o'yinchining optimal strategiyalarini topish va o'yin narxini aniqlash - o'yinchilarning kutilgan daromadi (yo'qotish). O'yinning echimini sof strategiyalarda topish mumkin - o'yinchi bitta strategiyaga amal qilishi kerak bo'lganda yoki aralash strategiyalarda, o'yinchi ma'lum bir ehtimollik bilan ikki yoki undan ortiq sof strategiyalardan foydalanishi kerak. Bu holda ikkinchisi faol deb ataladi. 5 Bitta o'yinchining aralash strategiyasi vektor bo'lib, uning har bir komponenti o'yinchi tomonidan mos keladigan sof strategiyadan foydalanish chastotasini ko'rsatadi. O'yinning maksimal yoki past bahosi - raqam a = max min aij i j Maksimin strategiyasi (chiziq) - o'yinchi o'zining minimal yutug'ini maksimal darajada oshirish uchun tanlagan strategiya. Shubhasiz, eng ehtiyotkor maksimal strategiyani tanlayotganda, o'yinchi A o'zini (raqibning xatti-harakatidan qat'iy nazar) kamida a kafolatlangan to'lov bilan ta'minlaydi. O'yinning maksimal yoki yuqori narxi - raqam b = min max aij j i Minimax strategiyasi (ustun) - o'yinchi o'zining maksimal yo'qotishini minimallashtirish uchun tanlagan strategiya. Shubhasiz, eng ehtiyotkor minimaks strategiyasini tanlayotganda, B o'yinchisi, hech qanday holatda, A o'yinchisiga b dan ko'proq g'alaba qozonishiga yo'l qo'ymaydi. O'yinning past narxi har doim o'yinning yuqori narxidan oshmaydi a = max min aij 6 min max aij = b i j j i 1-teorema (matritsali o'yinlar nazariyasining asosiy teoremasi). Har bir cheklangan o'yin kamida bitta yechimga ega, ehtimol aralash strategiyalar sohasida. 6 2. Egar nuqtasi bilan o'yinlar. Sof strategiyalarda yechim Egar nuqtasi bilan oʻyin a = max min aij = min max aij = b i j j i boʻlgan oʻyindir. Egar nuqtasi boʻlgan oʻyinlar uchun yechim topish optimal boʻlgan maksimal va minimaks strategiyalarni tanlashdan iborat boʻladi., O'yinning sof narxi - umumiy ma'no o'yinning pastki va yuqori narxlari a=b=n 2.1. Misollar 1-misol 8 4 7 A= 6 5 9 7 7 8 matritsa orqali berilgan oʻyinning sof strategiyalarida yechim toping. Yechish: oʻyinning yuqori va pastki narxini aniqlang. Buning uchun aij sonlarining minimalini topamiz i-chi qator ai = min aij j va j-ustundagi aij sonlarining maksimali bj = max aij i O'ng tarafdagi to'lov matritsasi yonidagi ai (satr minima) raqamlarini qo'shimcha ustun shaklida yozamiz. Matritsa ostiga bi sonlarni (ustun maksimali) qo‘shimcha chiziq shaklida yozamiz: ai 8 4 7 4 6 5 9 5 7 7 8 7 bj 8 7 9 7 ai a = max ai = sonlarning maksimalini toping. 7 i va raqamlarning minimali bj b = min bj = 7 j a = b - o'yinda egar nuqtasi bor. O'yinchi uchun optimal strategiya A3 strategiyasi, B o'yinchisi uchun esa B2 strategiyasi, o'yinning aniq narxi n = 7 2-misol To'lov matritsasi berilgan: 2 2 1 1 2 0 1 1 1 1 A= 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 Sof strategiyalarda oʻyin yechimini toping. Yechish: 2 2 1 1 2 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 bj 2 2 1 1 2 a = b = 1. Oʻyinda oltita egar nuqtasi bor. Optimal strategiyalar quyidagilar bo'ladi: A1 va B3 yoki B4 A3 va B3 yoki B4 A4 va B3 yoki B4 8 3. Aralash strategiyalarda o'yinning yechimi a = b bo'lganda. Agar ikkala o'yinchi o'z strategiyalarini tanlashda boshqasini tanlash haqida hech qanday ma'lumotga ega bo'lmasa, o'yin aralash strategiyalarda echimga ega. SA = (p1, p2, ..., pm) - A o'yinchining aralash strategiyasi, unda A1, A2, ..., Am strategiyalari ∑ m p1, p2, ..., pm, pi = ehtimolliklari bilan qo'llaniladi. 1, pi > 0, i = 1, m i=1 SB = (q1, q2, ..., qn) - B o‘yinchining aralash strategiyasi, unda B1, B2, ..., Bm strategiyalari ∑ ehtimollar bilan qo‘llaniladi. n q1, q2 , ..., qm , qi = 1, qi > 0, i = 1, n i=1 Agar: SA∗ A o‘yinchining optimal strategiyasi bo‘lsa, SB∗ B o‘yinchining optimal strategiyasi bo‘lsa, u holda o'yin narxi ∑ n ∑ m n = aij · p∗i · qi∗ j=1 i=1 Quyidagi teorema 2 × 2, 2 × n, m × o'yinlarining yechimini qanday topish mumkinligi haqidagi savolga javob beradi. 2 2-teorema (2 × 2, 2 × n, m × 2 o'yinlarining yechimini qanday topish mumkin). Agar o'yinchilardan biri optimal aralash strategiyadan foydalansa, ikkinchi o'yinchi optimalga kiritilgan strategiyalardan (shu jumladan, sof strategiyalardan) foydalanish ehtimolidan qat'i nazar, uning to'lovi o'yin narxiga teng bo'ladi n. 9 3.1. 2 × 2 o'yin Matritsa bilan 2 × 2 o'yinni ko'rib chiqing: () a11 a21 a21 a22 O'yinda sof strategiyalarda hech qanday yechim bo'lmasin. SA∗ va SB∗ optimal strategiyalarini topamiz. Birinchidan, SA∗ = (p∗1 , p∗2) strategiyasini aniqlaymiz. Teoremaga ko'ra, agar A tomon n strategiyasiga rioya qilsa, B tomonning harakat yo'nalishidan qat'i nazar, to'lov n o'ynash narxiga teng bo'lib qoladi. Binobarin, agar A tomoni SA∗ = (p∗1 , p∗2) optimal strategiyasiga amal qilsa, B tomoni oʻz foydasini oʻzgartirmasdan har qanday strategiyasini qoʻllashi mumkin. Keyin, B o'yinchisi B1 yoki B2 sof strategiyasidan foydalanganda, o'yinchi o'yin narxiga teng o'rtacha daromad oladi: B1 strategiyasi uchun a11 p∗1 + a21 p∗2 = n ← a12 p∗1 + a22 p∗ 2 = n ← B2 strategiyasi uchun p∗1 + p∗2 = 1 ekanligini hisobga olib: p∗1 = a2 2−a2 1 a11 +a22 −a12 −a21 p∗2 = a1 1−a1 2 a11 +a22 −a12 −a21 O‘yin narxi: a22 a11 − a12 a21 n= a11 + a22 − a12 − a21 B o‘yinchining optimal strategiyasi xuddi shunday topiladi: SB∗ = (q1∗ , q2∗). q1∗ + q2∗ = 1 ekanligini hisobga olib: q1∗ = a2 2−a1 2 a11 +a22 −a12 −a21 q2∗ = a1 1−a2 1 a11 +a22 −a12 −a21 3.1.1. Misollar 3-misol () −1 1 A= 1 −1 10 matritsali oʻyinning yechimini toping. Yechish: oʻyinda egar nuqtasi yoʻq, chunki a= -1, b = 1, a ̸= b. Biz aralash strategiyalarda yechim izlayapmiz. p∗ va q∗ formulalaridan foydalanib, p∗1 = p∗2 = 0,5 va q1∗ = q2∗ = 0,5, n = 0 ni olamiz Shunday qilib, SA∗ = (0,5, 0,5) SB∗ = (0,5, 0,5) ) 4-misol () 2 5 A= 6 4 matritsali oʻyinning yechimini toping: oʻyinda egar nuqtasi yoʻq, chunki a= 4, b = 5, a ̸= b. Biz aralash strategiyalarda yechim izlayapmiz. p∗ va q∗ formulalaridan foydalanib, p∗1 = 0,4, p∗2 = 0,6 va q1∗ = 0,2 q2∗ = 0,8, n = 4,4 ni olamiz Shunday qilib, SA∗ = (0,4, 0,6) SB∗ = ( 0,2, 0,8) 11 3.1.2. Geometrik talqin 2 × 2 o'yiniga oddiy geometrik talqin berilishi mumkin. Keling, abscissa o'qining bitta bo'limini olaylik, uning har bir nuqtasi S = (p1, p2) = (p1, 1 - p1) aralash strategiya bilan bog'lanadi va A1 strategiyasining p1 ehtimoli undan masofaga teng bo'ladi. nuqta SA bo'limning o'ng uchiga, va ehtimollik p2 , strategiya A2 - chap uchigacha bo'lgan masofa. .y .I .I I .B1′ .N .B1 .a21 .a11 .I I .I .∗ .x .P2 .SA∗ .P1∗ Xususan, kesmaning chap uchi (abtsissa = 0 nuqta) mos keladi. A1 strategiyasiga, segmentning o'ng uchi (x = 1) - strategiya A2 Segmentning uchlarida x o'qiga ikkita perpendikulyar tiklanadi: o'q I - I - A1 o'qi II - uchun to'lov kechiktiriladi; II - A2 strategiyasi uchun to'lov kechiktirildi B o'yinchisiga B1 strategiyasini qo'llashga ruxsat bering; u I - I va II - II o'qlarida mos ravishda a11 va a21 ordinatalari bo'lgan nuqtalarni beradi. Bu nuqtalar orqali B1 − B1′ to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz. Har qanday aralash strategiya SA = (p1, p2) uchun o'yinchining foydasi segmentni p2: p1 nisbatiga bo'luvchi x o'qidagi SA nuqtasiga mos keladigan B1 - B1' to'g'ri chiziqdagi N nuqta bilan aniqlanadi. Shubhasiz, B2 strategiyasi uchun to'lovni aniqlaydigan B2 - B2' to'g'ri chiziq xuddi shu tarzda tuzilishi mumkin. 12 .y .I .I I .B2 .N .a21 .B2′ a . 22 .I I .I .∗ .x .P2 .SA∗ .P1∗ SA∗ optimal strategiyasini topish kerak, yaʼni. shunday qilib, A o'yinchisining minimal to'lovi (B o'yinchisining u uchun eng yomon xatti-harakati hisobga olingan holda) maksimalga aylanadi. Buning uchun B1, B2 strategiyalari uchun A o'yinchisining to'lovi uchun pastki chegarani tuzing, ya'ni. singan chiziq B1 N B2′ ;. Ushbu chegarada A o'yinchisining har qanday aralash strategiyasi uchun minimal to'lovi, N nuqtasi bo'ladi, bu to'lov maksimal darajaga etadi va o'yin qarori va narxini belgilaydi. .y .I .I I .B2 .B1′ .N .B1 .B2′ .I I .I .∗ .x .P2 . A∗ S. 1∗ P N nuqtaning ordinatasi n o'yinining narxidan boshqa narsa emas, uning absissasi ∗2 ga, segmentning o'ng uchigacha bo'lgan masofa esa ∗1 ga teng, ya'ni. SA∗ nuqtasidan segmentning uchlarigacha bo'lgan masofa A o'yinchining optimal aralash strategiyasining A2 va A1 strategiyalarining ∗2 va ∗1 ehtimolliklariga teng. bu holda o'yinning yechimi B1 va B2 strategiyalarining kesishish nuqtasi. Quyida o'yinchining optimal strategiyasi sof strategiya A2 bo'lgan holat keltirilgan. Bu erda A2 strategiyasi (har qanday dushman strategiyasi uchun) A1 strategiyasidan ko'ra foydaliroq, 13 .y .y .I .I I .I I. I .B2′ . 1′ B .B1′ B . 2 .B2′ B . 2 .B1 .n = a21 .B1 .n = a21 I. I I. I .I. .x .I . .x. 2∗ P. A∗S = A2. 2∗ P. A∗ S = A2 O'ng tomonda B o'yinchisi aniq foyda keltirmaydigan strategiyaga ega bo'lgan holatda ko'rsatilgan. Geometrik talqin shuningdek, o'yinning past narxini a va yuqori narxni b .y .I .I I .B2 ko'rsatishga imkon beradi. .B1′ .N .B1 B2′ .b = a21 .a = a22 .I I .I .∗ .x .P2 . A∗ S. 1∗ P Xuddi shu grafikda biz B o'yinchining optimal strategiyalarining geometrik talqinini ham berishimiz mumkin. Optimal aralash strategiyaning B1 strategiyasining q1∗ ulushi SB∗ = (q1∗ , q2∗) KB2 segmenti uzunligining KB1 segmentlari uzunliklari yigʻindisiga nisbatiga teng ekanligini tekshirish oson. va KB2 o'qi bo'yicha I - I: .y .I .I I .B2 .B1′ .N .K .L .B1 .B2′ .I I .I .∗ .x .P2 . A∗ S. 1∗ P 14 KB2 q1∗ = KB2 + KB1 yoki LB2′ q1∗ = LB2′ + LB1′ SB∗ = (q1∗ , q2∗) optimal strategiyasini boshqa yoʻl bilan topish mumkin, agar B va B oʻyinchilarini almashtirsak, va uning o'rniga g'alaba pastki chegarasi maksimal, yuqori chegarasi minimal ko'rib. .y .I .I I .A2 .A′1 .N .A1 .A′2 .I I .I . .x .q2∗ . B∗ S .q1∗ 15 3.2. 2 × n va m × 2 o'yinlar 2 × n va m × 2 o'yinlarining yechimi quyidagi teoremaga asoslanadi. Teorema 3. Har qanday chekli o'yin m × n har bir tomonning faol strategiyalari soni m va n sonlarning eng kichigidan oshmaydigan yechimga ega. Ushbu teoremaga ko'ra, 2 × n o'yin har doim har bir o'yinchi ko'pi bilan ikkita faol strategiyaga ega bo'lgan yechimga ega. Ushbu strategiyalarni topganingizdan so'ng, 2 × n o'yini 2 × 2 o'yiniga aylanadi, uni elementar tarzda hal qilish mumkin. Faol strategiyalarni topish grafik tarzda amalga oshirilishi mumkin: 1) grafik talqin tuziladi; 2) yutuqning pastki chegarasi aniqlanadi; 3) to'lovning pastki chegarasida ikkinchi o'yinchining ikkita strategiyasi aniqlanadi, ular maksimal ordinatali nuqtada kesishgan ikkita chiziqqa mos keladi (agar bu nuqtada ikkitadan ortiq chiziq kesishsa, har qanday juftlik olinadi) - bu strategiyalar B o'yinchining faol strategiyalarini ifodalaydi. Shunday qilib, 2 × n o'yin 2 × 2 o'yiniga qisqartiriladi. m × 2 o'yinini ham hal qilish mumkin, farqi bilan to'lovning pastki emas, balki yuqori chegarasi. qurilgan, va maksimal emas, balki undan minimal talab qilinadi. 5-misol O'yinning yechimini toping () 7 9 8 A= 10 6 9 Yechish: geometrik usuldan foydalanib, faol strategiyalarni tanlaymiz. B1 - B1', B2 - B2' va B3 - B3' to'g'ridan-to'g'ri chiziqlar B1, B2, B3 strategiyalariga mos keladi. Buzilgan chiziq B1 N B2 - o'yinchining yutuqlarining pastki chegarasi. O'yin S∗A = (23, 31) yechimga ega; S∗B = (0,5; 0,5; 0); v = 8. 16 .y .I .I I. 1' B B. 2 .B3′ .N .B3 .B1 .B2′ .I I .I . .x. 2∗ P. A∗ S. 1∗ P 17 Indeks oʻyini, 2 ta harakat, 3 2 × 2, 10 shaxsiy, 3 2 × 2, 9 tasodifiy, 3 geometriya, 12 aniq oʻyin narxi, 7 ta misol, 10 2 × n, 9, 16 m × 2, 9 , 16 cheksiz, 4 oddiy shaklda, 5 chekli, 4 ko'p harakat, 4 bir harakat, 4 matritsa, 5 juft, 2 nol yig'indisi, 2 antagonistik, 2 noantagonistik, 2 yechim, 5 aralash strategiyalarda, 5 , 9 sof strategiyalarda, 5 ta egar nuqtasi bilan, 7 ta narx, 5 ta yuqori, 6 ta past, 6 ta sof, 7 ta maksimal, 6 ta o‘yin matritsasi, 5 ta to‘lov, 5 ta minimaks, 6 ta o‘yinni normallashtirish, 5 ta strategiya, 4 ta maksimal, 6 ta minimaks, 6 ta optimal, 4 aralash, 5 o'yin nazariyasi, 2 18
Amerikaning mashhur Cracked blogidan.
O'yin nazariyasi eng yaxshi harakatni amalga oshirish yo'llarini o'rganish va natijada boshqa o'yinchilardan bir qismini kesib tashlash orqali yutuqli pirogni iloji boricha ko'proq olishdir. U sizni ko'plab omillarni tahlil qilishni va mantiqiy muvozanatli xulosalar chiqarishni o'rgatadi. Menimcha, buni raqamlardan keyin va alifbodan oldin o'rganish kerak. Shunchaki, juda ko'p odamlar sezgi, maxfiy bashoratlar, yulduzlarning joylashuvi va shunga o'xshash narsalarga asoslangan muhim qarorlar qabul qiladilar. Men o'yin nazariyasini yaxshilab o'rgandim va endi men sizga uning asoslari haqida gapirib bermoqchiman. Ehtimol, bu sizning hayotingizga qandaydir sog'lom fikr qo'shadi.
1. Mahkumning dilemmasi
Berto va Robert qochib ketish uchun o'g'irlangan mashinadan to'g'ri foydalana olmagani uchun bankni o'g'irlaganlik uchun hibsga olingan. Politsiya ular bankni o'g'irlaganliklarini isbotlay olmaydi, lekin ularni o'g'irlangan mashinada jinoiy qo'l bilan ushlab oldi. Ularni turli xonalarga olib borishdi va har biriga shartnoma taklif qilishdi: sherigini berib, 10 yilga qamoqqa jo‘natish, o‘zini esa ozod qilish. Ammo agar ikkalasi ham bir-biriga xiyonat qilsalar, har biriga 7 yil beriladi. Hech kim hech narsa demasa, ikkalasi ham faqat mashina o'g'irligi uchun 2 yilga qamaladi.
Ma'lum bo'lishicha, agar Berto jim tursa-yu, lekin Robert uni topshirsa, Berto 10 yilga qamoqqa tushadi, Robert esa ozodlikka chiqadi. Har bir mahbus o'yinchidir va har kimning foydasi "formula" sifatida ifodalanishi mumkin (ikkalasi nima oladi, ikkinchisi nima oladi). Misol uchun, agar men sizni urgan bo'lsam, mening g'alaba qozonish naqshim shunday bo'ladi (men qo'pol g'alaba qozonaman, siz azob chekasiz. qattiq og'riq). Har bir mahbusning ikkita varianti borligi sababli, natijalarni jadvalda taqdim etishimiz mumkin.
Amaliy qo'llanilishi: Sotsiopatlarni aniqlash
Bu erda biz o'yin nazariyasining asosiy qo'llanilishini ko'ramiz: faqat o'zlari haqida o'ylaydigan sosyopatlarni aniqlash. Haqiqiy o'yin nazariyasi kuchli tahliliy vositadir va havaskorlik ko'pincha sharaf tuyg'usiga ega bo'lmagan odamni ko'taradigan qizil bayroq bo'lib xizmat qiladi. Intuitiv hisob-kitoblarni amalga oshiradigan odamlar, yomon narsa qilish yaxshiroq deb hisoblashadi, chunki bu boshqa o'yinchi nima qilishidan qat'i nazar, qamoq jazosini qisqartiradi. Texnik jihatdan bu to'g'ri, lekin agar siz uzoqni ko'rmaydigan odam bo'lsangiz, raqamlarni yuqoriroq qo'ysangiz inson hayoti. Shuning uchun o'yin nazariyasi moliya sohasida juda mashhur.
Mahbusning dilemmasi bilan bog'liq haqiqiy muammo shundaki, u ma'lumotlarni e'tiborsiz qoldiradi. Masalan, siz 10 yilga qamoqqa yuborgan odamning do'stlari, qarindoshlari yoki hatto kreditorlari bilan uchrashish imkoniyatini hisobga olmaydi.
Eng yomoni shundaki, “Mahbusning dilemmasi”ga aloqador har bir kishi bu haqda hech qachon eshitmagandek tutadi.
Va eng yaxshi harakat - jim turish va ikki yildan so'ng, yaxshi do'st bilan bir xil puldan foydalanish.
2. Dominant strategiya
Bu sizning harakatlaringiz beradigan vaziyat eng katta g'alaba, raqibning harakatlaridan qat'i nazar. Nima bo'lishidan qat'iy nazar, siz hamma narsani to'g'ri qildingiz. Shuning uchun mahbusning dilemmasi bo'lgan ko'p odamlar, xiyonat boshqa odam nima qilishidan qat'i nazar, "eng yaxshi" natijaga olib keladi deb hisoblashadi va bu usulga xos bo'lgan haqiqatni bilmaslik uni juda oson ko'rinishga olib keladi.
Biz o'ynagan o'yinlarning aksariyatida qat'iy dominant strategiyalar mavjud emas, chunki aks holda ular dahshatli bo'lar edi. Tasavvur qiling-a, agar siz doimo bir xil ishni qilgan bo'lsangiz. Tosh-qog'oz-qaychi o'yinida dominant strategiya yo'q. Ammo agar siz pechning qo'ltiqlari bo'lgan va faqat tosh yoki qog'ozni ko'rsata oladigan odam bilan o'ynagan bo'lsangiz, sizda ustun strategiya bo'lar edi: qog'oz. Sizning qog'ozingiz uning toshini o'radi yoki durangga olib keladi va siz yutqazolmaysiz, chunki raqibingiz qaychi ko'rsatolmaydi. Endi sizda dominant strategiya bor, siz boshqa narsani sinab ko'rish uchun ahmoq bo'lasiz.
3. Jinslar jangi
Qat'iy dominant strategiya bo'lmasa, o'yinlar qiziqroq bo'ladi. Masalan, jinslar jangi. Anjali va Borislav uchrashishadi, lekin balet yoki boks o'rtasida tanlov qilishmaydi. Anjali boksni yaxshi ko'radi, chunki u birovning boshini sindirish uchun pul to'laganliklari uchun o'zlarini madaniyatli deb hisoblaydigan hayqiriqli tomoshabinlar olomonidan zavqlanish uchun qon oqimini ko'rishni yaxshi ko'radi.
Borislav baletni tomosha qilishni xohlaydi, chunki u balerinalarning boshidan kechirayotganini tushunadi katta soni jarohatlar va eng qiyin mashg'ulotlar, bitta jarohat hamma narsani tugatishi mumkinligini bilish. Balet raqqosalari - eng buyuk sportchilar yerda. Balerina sizni boshingizga tepishi mumkin, lekin u hech qachon buni qilmaydi, chunki uning oyog'i sizning yuzingizdan ancha qimmatroq.
Ularning har biri o‘zi yoqtirgan tadbirga borishni xohlaydi, lekin undan yolg‘iz zavq olishni istamaydi, shuning uchun ular g‘alaba qozonish yo‘li: eng yuqori qiymat- o'zlari yoqtirgan narsani qilish, eng kichik qiymat- faqat boshqa odam bilan bo'lish va nol - yolg'iz qolish.
Ba'zi odamlar o'jarlikni taklif qilishadi: agar siz nima bo'lishidan qat'iy nazar o'zingiz xohlagan narsani qilsangiz, boshqa odam sizning tanlovingizga mos kelishi yoki hamma narsani yo'qotishi kerak. Men allaqachon aytganimdek, soddalashtirilgan o'yin nazariyasi ahmoqlarni aniqlashda juda yaxshi.
Amaliy dastur: o'tkir burchaklardan saqlaning
Albatta, bu strategiyaning muhim kamchiliklari ham bor. Birinchidan, agar siz tanishuvingizga “jinsiylar jangi” deb qarasangiz, bu ish bermaydi. Ajraling, shunda har biringiz o'ziga yoqqan odamni topasiz. Va ikkinchi muammo shundaki, bu vaziyatda ishtirokchilar o'zlariga shunchalik ishonchlari komilki, ular buni qila olmaydilar.
Har bir inson uchun haqiqiy g'alaba strategiyasi o'zlari xohlagan narsani qilishdir. va keyin yoki ertasi kuni ular bo'sh bo'lganda, birga kafega boring. Yoki o'yin-kulgi dunyosida inqilob sodir bo'lguncha va boks baleti ixtiro qilinmaguncha boks va balet o'rtasida muqobil bo'ling.
4. Nesh muvozanati
Nash muvozanati - bu haqiqatdan keyin hech kim boshqacha qilishni xohlamaydigan harakatlar to'plami. Va agar biz buni amalga oshira olsak, o'yin nazariyasi sayyoradagi butun falsafiy, diniy va moliyaviy tizimni almashtiradi, chunki "buzmaslik istagi" insoniyat uchun yanada kuchliroq bo'ldi. harakatlantiruvchi kuch olovdan ko'ra.
Keling, 100 dollarni tezda ajratamiz. Siz va men biz yuzlab qanchasini talab qilishimizni hal qilamiz va shu bilan birga miqdorlarni e'lon qilamiz. Agar bizning umumiy qiymat yuzdan kam, hamma xohlagan narsasini oladi. Agar jami yuzdan ortiq bo'lsa, eng kam miqdorni so'ragan kishi kerakli miqdorni oladi va ochko'z odam qolganini oladi. Agar biz bir xil miqdorni so'rasak, hamma 50 dollar oladi. Qancha so'raysiz? Pulni qanday taqsimlaysiz? Faqat bitta g'alabali harakat bor.
51 dollar talab qilish sizga yordam beradi maksimal miqdor raqibingiz nimani tanlashidan qat'iy nazar. Agar u ko'proq so'rasa, siz 51 dollar olasiz. Agar u 50 yoki 51 dollar so'rasa, siz 50 dollar olasiz. Va agar u 50 dollardan kam pul so'rasa, siz 51 dollar olasiz. Qanday bo'lmasin, sizga bundan ko'ra ko'proq pul keltiradigan boshqa variant yo'q. Nash muvozanati - ikkalamiz ham 51 dollarni tanlagan vaziyat.
Amaliy qo'llash: Avval o'ylang
Bu o'yin nazariyasining butun nuqtasi. Siz g'alaba qozonishingiz shart emas, boshqa o'yinchilarga kamroq zarar yetkazishingiz kerak, lekin atrofingizdagilar siz uchun nima tayyorlaganidan qat'i nazar, o'zingiz uchun eng yaxshi harakatni qilishingiz kerak. Va agar bu harakat boshqa o'yinchilar uchun foydali bo'lsa, bundan ham yaxshi. Jamiyatni o'zgartirishi mumkin bo'lgan matematika turi.
Ushbu g'oyaning qiziqarli o'zgarishi - vaqtga bog'liq bo'lgan Nash muvozanati deb atash mumkin bo'lgan ichimlik. Qachonki siz yetarlicha ichsangiz, siz boshqa odamlarning harakatlariga ahamiyat bermaysiz, ular nima qilsalar ham, lekin ertasi kuni siz boshqacha ish qilmaganingizdan afsuslanasiz.
5. Toss o'yini
O'yinchi 1 va o'yinchi 2 o'rtasida o'ynaladi. Har bir o'yinchi bir vaqtning o'zida bosh yoki dumni tanlaydi. Agar ular to'g'ri taxmin qilsalar, 1-o'yinchi 2-o'yinchining tiyinini oladi.
G'alaba qozonish matritsasi oddiy ...
... optimal strategiya: butunlay tasodifiy o'ynang. Bu siz o'ylagandan ko'ra qiyinroq, chunki tanlov butunlay tasodifiy bo'lishi kerak. Agar siz bosh yoki quyruqni afzal ko'rsangiz, raqibingiz pulingizni olish uchun undan foydalanishi mumkin.
Albatta, bu yerda asl muammo shundaki, ular bir-birlariga bir tiyin tashlasalar ancha yaxshi bo‘lardi. Natijada, ularning daromadlari bir xil bo'ladi va natijada olingan travma bu baxtsiz odamlarga dahshatli zerikishdan boshqa narsani his qilishlariga yordam berishi mumkin. Axir, bu eng yomon o'yin doim mavjud. Va bu penaltilar seriyasi uchun ideal model.
Amaliy qo'llanilishi: Penalti
Futbol, xokkey va boshqa ko'plab o'yinlarda qo'shimcha vaqt penaltilar seriyasidir. Va ular o'yinchilarning necha marta asoslangan bo'lsa, yanada qiziqarli bo'lar edi to'liq shakl aravachani qila olishi mumkin edi, chunki bu hech bo'lmaganda ularning jismoniy qobiliyatidan dalolat beradi va tomosha qilish qiziqarli bo'ladi. Darvozabonlar to'p yoki shayba harakatini boshidayoq aniq aniqlay olmaydilar, chunki, afsuski, robotlar hali ham sport musobaqalarimizda qatnashmaydi. Darvozabon chap yoki o'ng yo'nalishni tanlashi va uning tanlovi darvozaga o'q uzayotgan raqibning tanloviga mos kelishiga umid qilishi kerak. Bu tanga o'ynash bilan umumiy narsaga ega.
Biroq, e'tibor bering, bu bosh va dumlar o'yiniga o'xshashlikning mukammal namunasi emas, chunki hatto to'g'ri tanlov qilish yo'nalish bo'lsa, darvozabon to'pni ushlay olmasligi, hujumchi esa darvozaga zarba bermasligi mumkin.
Xo'sh, o'yin nazariyasiga ko'ra bizning xulosamiz qanday? To'p bilan o'yinlar "ko'p to'pli" tarzda yakunlanishi kerak, bunda har bir daqiqada yakkama-yakka o'yinchilarga bir tomon ma'lum bir natijaga erishguncha qo'shimcha to'p/shayba beriladi, bu esa o'yinchilarning haqiqiy mahoratidan dalolat beradi va ajoyib tasodifiy tasodif emas.
Oxir-oqibat, o'yinni aqlli qilish uchun o'yin nazariyasidan foydalanish kerak. Bu yaxshiroq degani.
O'yin nazariyasi Operatsion tadqiqotlarning bir tarmog'i sifatida bu turli manfaatlarga ega bo'lgan bir nechta tomonlarning noaniqlik yoki to'qnashuvi sharoitida optimal qarorlarni qabul qilish uchun matematik modellar nazariyasi. O'yin nazariyasi o'yin vaziyatlarida optimal strategiyalarni o'rganadi. Bularga ilmiy va iqtisodiy tajribalar tizimi, tashkilot uchun eng foydali ishlab chiqarish echimlarini tanlash bilan bog'liq vaziyatlar kiradi. statistik nazorat, sanoat korxonalari va boshqa tarmoqlar o'rtasidagi iqtisodiy aloqalar. Rasmiylashtirish ziddiyatli vaziyatlar Matematik jihatdan ular ikki, uch va hokazo o'yin sifatida ifodalanishi mumkin. o'yinchilar, ularning har biri o'z foydasini, yutug'ini boshqasi hisobiga oshirish maqsadini ko'zlaydi."O'yin nazariyasi" bo'limi uchta bilan ifodalanadi onlayn kalkulyatorlar:
- Optimal o'yinchi strategiyalari. Bunday muammolarda to'lov matritsasi belgilanadi. O'yinchilarning sof yoki aralash strategiyalarini topish talab qilinadi va, o'yin narxi. Yechish uchun siz matritsaning o'lchamini va yechim usulini ko'rsatishingiz kerak. Xizmat amalga oshiradi quyidagi usullar Ikki o'yinchi o'yinining echimlari:
- Minimaks. Agar o'yinchilarning sof strategiyasini topish yoki o'yinning egar nuqtasi haqidagi savolga javob berish kerak bo'lsa, ushbu yechim usulini tanlang.
- Simpleks usuli. Chiziqli dasturlash usullari yordamida aralash strategiya o'yinlarini echish uchun foydalaniladi.
- Grafik usul. Aralash strategiya o'yinlarini hal qilish uchun ishlatiladi. Agar egar nuqtasi bo'lsa, eritma to'xtaydi. Misol: Berilgan to'lov matritsasi uchun o'yinchilarning optimal aralash strategiyalarini va o'yin narxini toping. grafik usuli o'yin echimlari.
- Braun-Robinson iterativ usuli. Iterativ usul grafik usul qo'llanilmaganda va algebraik va matritsa usullari. Bu usul o'yin narxining taxminiy qiymatini beradi va haqiqiy qiymatni istalgan darajadagi aniqlik bilan olish mumkin. Bu usul optimal strategiyalarni topish uchun etarli emas, lekin u navbatga asoslangan o'yin dinamikasini kuzatish va har bir qadamda har bir o'yinchi uchun o'yin narxini aniqlash imkonini beradi.
Barcha usullar ustun qatorlar va ustunlarni tekshirishdan foydalanadi. - Bimatrix o'yin. Odatda bunday o'yinda birinchi va ikkinchi o'yinchilarning to'lovlarining bir xil o'lchamdagi ikkita matritsalari ko'rsatiladi. Bu matritsalar qatorlari birinchi o'yinchining strategiyalariga, matritsalar ustunlari esa ikkinchi o'yinchining strategiyalariga mos keladi. Bunday holda, birinchi matritsa birinchi o'yinchining yutug'ini, ikkinchi matritsa ikkinchisining yutug'ini ifodalaydi.
- Tabiat bilan o'yinlar. Tanlash kerak bo'lganda foydalaniladi boshqaruv qarori Maximax, Bayes, Laplace, Wald, Savage, Hurwitz mezonlariga ko'ra.
Bayes mezoni uchun, shuningdek, sodir bo'ladigan voqealar ehtimolini kiritish kerak bo'ladi. Agar ular ko'rsatilmagan bo'lsa, standart qiymatlarni qoldiring (ekvivalent hodisalar bo'ladi).
Hurvits mezoni uchun optimizm darajasini ko'rsating l. Agar ushbu parametr shartlarda ko'rsatilmagan bo'lsa, siz 0, 0,5 va 1 qiymatlaridan foydalanishingiz mumkin.
Ko'pgina muammolar kompyuterlar yordamida yechim topishni talab qiladi. Yuqoridagi xizmatlar va funksiyalar vositalardan biri hisoblanadi.
