Tangent usuli misol yechimi. Kurs ishi: Nochiziqli tenglamalarni yechishning Nyuton usuli



Kalit so'zlar:

Ishning maqsadi: bitta noma’lum chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechish usullarini o‘rganish va ularni tajriba ishlarida sinab ko‘rish.

Ish maqsadlari:

1. Tahlil qiling maxsus adabiyot va chiziqli bo'lmagan tenglamalarni echishning eng oqilona usullarini tanlang, bu sizga chuqur o'rganish va o'zlashtirish imkonini beradi. bu mavzu barcha o'rta maktab bitiruvchilari.
2. AKT yordamida nochiziqli tenglamalarni yechish metodologiyasining ayrim jihatlarini ishlab chiqish.
3. Nochiziqli tenglamalarni yechish usullarini o'rganing:

‒ Bosqichli usul

‒ Yarimga bo'lish usuli

‒ Nyuton usuli

Kirish.

Matematik savodxonliksiz fizika, kimyo, biologiya va boshqa fanlardan masalalarni yechish usullarini muvaffaqiyatli o‘zlashtirib bo‘lmaydi. Tabiiy fanlarning butun majmuasi matematik bilimlar asosida quriladi va rivojlanadi. Masalan, matematik fizikaning bir qator dolzarb masalalarini o‘rganish chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechish zaruratini keltirib chiqaradi. Nochiziqli tenglamalarni echish chiziqli bo'lmagan optikada, plazma fizikasida, o'ta o'tkazuvchanlik nazariyasida va past harorat fizikasida zarur. Ushbu mavzu bo'yicha etarli miqdordagi adabiyotlar mavjud, ammo ko'plab darsliklar va maqolalarni o'rta maktab o'quvchisi tushunishi qiyin. Ushbu maqolada fizika va kimyoda amaliy masalalarni yechishda qoʻllanilishi mumkin boʻlgan chiziqli boʻlmagan tenglamalarni yechish usullari koʻrib chiqiladi. Qiziqarli jihat - bu dastur axborot texnologiyalari matematikadan tenglamalar va masalalar yechish uchun.

Bosqich usuli.

F(x)=0 ko’rinishdagi chiziqli bo’lmagan tenglamani yechish zarur bo’lsin. Shuningdek, bizga ma'lum bir qidiruv oralig'i berilgan deb faraz qilaylik. Qidiruv oralig'ining chap chegarasidan boshlab tenglamaning birinchi ildizini o'z ichiga olgan h uzunlikdagi [a,b] oralig'ini topish talab qilinadi.

Guruch. 1. Bosqichli usul

Bunday muammoni hal qilishning bir necha yo'li mavjud. Bosqichli usul tengsizliklarni yechishning raqamli usullaridan eng oddiyidir, lekin yuqori aniqlikka erishish uchun qadamni sezilarli darajada kamaytirish kerak va bu hisoblash vaqtini sezilarli darajada oshiradi. yordamida tenglamalarni yechish algoritmi bu usul ikki bosqichdan iborat.

Ibosqich. Ildizni ajratish.

Ushbu bosqichda bo'limlar aniqlanadi, ularning har biri tenglamaning faqat bitta ildizini o'z ichiga oladi. Ushbu bosqichni amalga oshirishning bir nechta variantlari mavjud:

• Biz X ning qiymatlarini almashtiramiz (yaxshisi biroz kichik qadam bilan) va funktsiya belgisi qayerda o'zgarishini ko'ramiz. Agar funktsiya o'z belgisini o'zgartirgan bo'lsa, bu X ning oldingi va joriy qiymati o'rtasidagi sohada ildiz borligini bildiradi (agar funktsiya o'zining o'sishi/kamayishi xarakterini o'zgartirmasa, u holda biz faqat bittasini aytishimiz mumkin. bu oraliqda ildiz).
• Grafik usul. Biz grafik quramiz va bir ildiz qaysi intervallarda yotishini baholaymiz.
• Keling, aniq funktsiyaning xususiyatlarini o'rganamiz.

IIbosqich. Ildizlarni tozalash.

Bu bosqichda avval aniqlangan tenglama ildizlarining ma'nosi oydinlashadi. Qoida tariqasida, bu bosqichda iterativ usullar qo'llaniladi. Masalan, usul yarim bo'linish(dixotomiyalar) yoki Nyuton usuli.

Yarim bo'linish usuli

Tenglamalarni yechishning tez va juda oddiy raqamli usuli, F(x) = 0 tenglamaning yagona ildizini o'z ichiga olgan intervalni belgilangan aniqlikka erishilgunga qadar ketma-ket toraytirishga asoslangan. Bu usul odatda yechishda qo'llaniladi kvadrat tenglamalar va yuqori darajali tenglamalar. Biroq, bu usulning sezilarli kamchiligi bor - agar [a,b] segmentida bir nechta ildiz bo'lsa, u holda yaxshi natijalarga erisha olmaydi.

Guruch. 2. Dixotomiya usuli

Ushbu usulning algoritmi quyidagicha:

‒ [a;b] bo‘lakning o‘rtasida joylashgan x ildizining yangi yaqinlashuvini aniqlang: x=(a+b)/2.

‒ a va x nuqtalardagi funksiya qiymatlarini toping: F(a) va F(x).

‒ F(a)*F(x) shartini tekshiring

‒ 1-bosqichga o'ting va segmentni yana yarmiga bo'ling. |F(x)| shartiga qadar algoritmni davom ettiring

Nyuton usuli

Raqamli yechim usullaridan eng aniqi; juda murakkab tenglamalarni echish uchun mos, lekin har bir bosqichda hosilalarni hisoblash zarurati bilan murakkablashadi. ya'ni, agar x n tenglamaning ildiziga qandaydir yaqinlik bo'lsa , u holda keyingi yaqinlik x n nuqtada chizilgan f(x) funksiyaga teginish ildizi sifatida aniqlanadi.

f(x) funksiyaning x n nuqtadagi tangens tenglamasi quyidagi ko‘rinishga ega:

Tangens tenglamada y = 0 va x = x n +1 ni qo'yamiz.

Keyin Nyuton usulida ketma-ket hisob-kitoblar algoritmi quyidagicha:

Tangens usulining yaqinlashuvi kvadratik, yaqinlashish tartibi 2 ga teng.

Shunday qilib, Nyutonning tangens usulining yaqinlashuvi juda tezdir.

Hech qanday o'zgarishsiz, usul murakkab holatga umumlashtiriladi. Agar x i ildiz ikkinchi ko'paytmaning ildizi yoki undan yuqori bo'lsa, u holda yaqinlashish tartibi pasayadi va chiziqli bo'ladi.

Nyuton usulining kamchiliklari uning lokalizatsiyasini o'z ichiga oladi, chunki u shart hamma joyda qanoatlansa, ixtiyoriy boshlang'ich yaqinlashish uchun birlashishi kafolatlanadi. , qarama-qarshi vaziyatda konvergentsiya faqat ildizning ma'lum bir qo'shnisida sodir bo'ladi.

Odatda tenglama tuzilganda Nyuton usuli (tangens usuli) qo'llaniladi f(x) = 0 ildizga ega va quyidagi shartlar bajariladi:

1) funktsiya y=f(x) da belgilangan va uzluksiz;

2) f(a) f(b) (funksiya segmentning oxirida turli belgilarning qiymatlarini oladi [ a;b]);

3) hosilalar f"(x) Va f""(x) oraliqda belgini saqlash [ a;b] (ya'ni funktsiya f(x) segmentida yo ortadi yoki kamayadi [ a;b], konveksning yo'nalishini saqlab turganda);

Usulning ma'nosi quyidagicha: segmentda [ a;b] shunday raqam tanlangan x 0, qaysi vaqtda f(x 0) bilan bir xil belgiga ega f""(x 0), ya'ni shart qondiriladi f(x 0) f""(x) > 0. Shunday qilib, abscissa bilan nuqta tanlanadi x 0, bunda egri chiziqqa teginish y=f(x) segmentida [ a;b] o‘qni kesib o‘tadi ho'kiz. Har bir nuqta uchun x 0 Avval segmentning uchlaridan birini tanlash qulay.

Keling, ushbu algoritmni aniq misol yordamida ko'rib chiqaylik.

Bizga ortib borayotgan funksiya berilsin y = f(x) =x 2– 2, segmentida uzluksiz (0;2) va ega f "(x) =2x>0 Va f ""(x) = 2> 0.

Bizning holatda, tangens tenglama quyidagi ko'rinishga ega: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0). IN x 0 nuqtasi sifatida biz nuqtani tanlaymiz B 1 (b; f(b)) = (2,2). Funksiyaga tangens chizing y = f(x) B 1 nuqtasida va tangens va o'qning kesishish nuqtasini belgilang ho'kiz nuqta x 1. Birinchi tangens tenglamasini olamiz: y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Ox: x 1 =

Guruch. 3. f(x) funksiya grafigiga birinchi tangensni qurish.

y=f(x) ho'kiz nuqta orqali x 1, biz fikrni tushunamiz B 2 =(1,5; 0,25). Funksiyaga yana tangens chizing y = f(x) nuqtada B 2 va tangensning kesishish nuqtasini belgilang va ho'kiz nuqta x 2.

Ikkinchi tangens tenglamasi: y-2,25=2*1,5(x-1,5), y = 3x - 4,25. Tangens va o'qning kesishish nuqtasi Ox: x 2 =.

Keyin funksiyaning kesishish nuqtasini topamiz y=f(x) va o'qga chizilgan perpendikulyar ho'kiz x 2 nuqtasi orqali biz B 3 nuqtasini olamiz va hokazo.

Guruch. 4. f(x) funksiya grafigiga ikkinchi tangensni yasash.

Ildizning birinchi yaqinlashuvi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

= 1.5.

Ildizning ikkinchi yaqinlashuvi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

=

Ildizning uchinchi yaqinlashuvi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Shunday qilib , i Ildizning yaqinlashuvi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Hisob-kitoblar javobda kerak bo'lgan o'nli kasrlar mos kelguncha yoki belgilangan aniqlikka erishilgunga qadar - tengsizlik qondirilguncha amalga oshiriladi. |xi-xi-1|

Bizning holatimizda uchinchi bosqichda olingan yaqinlashuvni haqiqiy javob bilan solishtiramiz. Ko'rib turganingizdek, uchinchi bosqichda biz 0,000002 dan kam xatoga yo'l oldik.

SAPR yordamida tenglamani yechishMathCAD

Shaklning eng oddiy tenglamalari uchun f(x) = 0 funksiya yordamida MathCAD da yechim topiladi ildiz.

ildiz (f (X 1 , x 2 , … ) , X 1 , a, b ) - qiymatni qaytaradi X 1 , segmentga tegishli [ a, b ] , unda ifoda yoki funksiya mavjud f (X ) 0 ga o'tadi. Bu funksiyaning ikkala argumenti ham skalar bo'lishi kerak. Funktsiya skalerni qaytaradi.

Guruch. 5. MathCADda chiziqli bo‘lmagan tenglamani yechish (ildiz funksiyasi)

Agar ushbu funktsiyani qo'llash natijasida xatolik yuzaga kelsa, bu tenglamaning ildizlari yo'qligini yoki tenglamaning ildizlari boshlang'ich yaqinlashuvdan uzoqda joylashganligini anglatishi mumkin, ifoda mahalliy maks Va min dastlabki taxminiy va ildizlar o'rtasida.

Xato sababini aniqlash uchun funktsiya grafigini tekshirish kerak f(x). Bu tenglamaning ildizlari mavjudligini aniqlashga yordam beradi f(x) = 0 va agar ular mavjud bo'lsa, ularning qiymatlarini taxminan aniqlang. Ildizning dastlabki yaqinlashuvi qanchalik aniq tanlansa, uning aniq qiymati tezroq topiladi.

Agar dastlabki yaqinlik noma'lum bo'lsa, u holda funktsiyadan foydalanish tavsiya etiladi hal qilish . Bundan tashqari, agar tenglama bir nechta o'zgaruvchilarni o'z ichiga olsa, keyin ko'rsatish kerak kalit so'z yechish - bu tenglama yechilgan o'zgaruvchilar ro'yxati.

Guruch. 6. Nochiziqli tenglamani MathCADda yechish (funktsiyani yechish)

Xulosa

Tadqiqot qanday qilib tekshirildi matematik usullar, va MathCAD SAPR tizimida dasturlash yordamida tenglamalarni yechish. Har xil usullar afzalliklari va kamchiliklari bor. Shuni ta'kidlash kerakki, ma'lum bir usuldan foydalanish berilgan tenglamaning dastlabki shartlariga bog'liq. Maktabda ma'lum bo'lgan faktorizatsiya usullari va boshqalar bilan yaxshi echilishi mumkin bo'lgan tenglamalarni ko'proq yechish mantiqiy emas. murakkab usullarda. Fizika va kimyo uchun muhim bo‘lgan va tenglamalarni yechishda murakkab hisoblash amallarini talab qiladigan amaliy matematika masalalari, masalan, dasturlash yordamida muvaffaqiyatli yechiladi. Ularni Nyuton usuli yordamida hal qilish yaxshidir.

Ildizlarni aniqlashtirish uchun siz bir xil tenglamani echishning bir nechta usullaridan foydalanishingiz mumkin. Aynan shu tadqiqot ushbu ishning asosini tashkil etdi. Shu bilan birga, tenglamaning har bir bosqichini echishda qaysi usul eng muvaffaqiyatli ekanligini va bu bosqichda qaysi usuldan foydalanmaslik yaxshiroq ekanligini tushunish oson.

O'rganilayotgan material, bir tomondan, matematik bilimlarni kengaytirish va chuqurlashtirishga yordam beradi va matematikaga qiziqish uyg'otadi. Boshqa tomondan, texnik va muhandislik kasblarini egallashni rejalashtirayotganlar uchun haqiqiy matematik muammolarni hal qila olish muhimdir. Shunung uchun bu ish uchun ahamiyatga ega qo'shimcha ta'lim(masalan, oliy o'quv yurtida).

Adabiyot:

1. Mityakov S.N. Informatika. Kompleks o'quv materiallari. - N. Novgorod: Nijniy Novgorod. davlat texnologiya. universitet, 2006 yil
2. Vaynberg M. M., Trenogin V. A. Nochiziqli tenglamalarning tarmoqli yechimlari nazariyasi. M.: Nauka, 1969. - 527 b.
3. Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Muhandislar va texnik kollej talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma - M.: Nauka, 1986 yil.
4. Omelchenko V. P., Kurbatova E. V. Matematika: o'quv qo'llanma. - Rostov n/d.: Feniks, 2005 yil.
5. Savin A.P. Ensiklopedik lug'at yosh matematik. - M.: Pedagogika, 1989 yil.
6. Korn G., Korn T. Olimlar va muhandislar uchun matematika bo'yicha qo'llanma. - M.: Nauka, 1973 yil.
7. Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - Sankt-Peterburg: BHV-Peterburg, 2012 yil.
8. Chernyak A., Chernyak J., Domanova Yu. Mathcad asosidagi oliy matematika. Umumiy kurs. - Sankt-Peterburg: BHV-Peterburg, 2004 yil.
9. Porshnev S., Belenkova I. Mathcad asosidagi sonli usullar. - Sankt-Peterburg: BHV-Peterburg, 2012 yil.

Kalit so'zlar: nochiziqli tenglamalar, amaliy matematika, CAD MathCAD, Nyuton usuli, bosqichli metod, dixotomiya usuli..

Izoh: Maqola chiziqli bo'lmagan tenglamalarni echish usullarini o'rganishga bag'ishlangan, shu jumladan MathCAD kompyuter yordamida loyihalash tizimi. Qadam usuli, yarmi va Nyuton usullari ko'rib chiqiladi, bu usullarni qo'llashning batafsil algoritmlari keltirilgan va qiyosiy tahlil belgilangan usullar.

Nyuton usuli (tangens usuli deb ham ataladi) berilgan funksiyaning ildizini (nol) topish uchun takrorlanuvchi sonli usuldir. Usul birinchi marta ingliz fizigi, matematigi va astronomi Isaak Nyuton (1643-1727) tomonidan taklif qilingan va uning nomi bilan mashhur bo'lgan.

Usul Isaak Nyuton tomonidan De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (lat. .Haqida cheksiz qatorlar tenglamalari bo'yicha tahlil), 1669 yilda Barrouga yo'naltirilgan va De metodis fluxionum et serierum infinitarum (lotincha: oqimlar va cheksiz qatorlar usuli) yoki Geometria analytica ( lat.Analitik geometriya) Nyutonning 1671 yilda yozilgan to'plangan asarlarida. Biroq, usulning tavsifi hozirgi taqdimotidan sezilarli darajada farq qildi: Nyuton o'z usulini faqat polinomlarga qo'lladi. U x n ning ketma-ket yaqinlashuvlarini emas, balki ko'phadlar ketma-ketligini hisoblab chiqdi va natijada x ning taqribiy yechimini oldi.

Usul birinchi marta 1685 yilda Jon Uollis tomonidan "Algebra" risolasida nashr etilgan, uning iltimosiga binoan Nyutonning o'zi qisqacha tavsiflagan. 1690 yilda Jozef Rafson o'zining "Aequationum universalis tahlili" asarida soddalashtirilgan tavsifni nashr etdi (lat. Umumiy tahlil tenglamalar). Rafson Nyuton usulini sof algebraik deb hisobladi va uni polinomlar bilan chekladi, lekin u usulni Nyuton qoʻllagan polinomlar ketma-ketligini tushunish qiyinroq boʻlgan ketma-ketlik oʻrniga x n ketma-ket yaqinlashuvlari nuqtai nazaridan taʼrifladi.

Nihoyat, 1740 yilda Nyuton usuli Tomas Simpson tomonidan nochiziqli tenglamalarni bu yerda bayon qilingan hosilalar yordamida yechishning birinchi darajali iterativ usuli sifatida tasvirlangan. Xuddi shu nashrda Simpson usulni ikkita tenglama tizimi holatiga umumlashtirdi va Nyuton usulini lotin yoki gradientning nolini topish orqali optimallashtirish masalalarini hal qilishda ham qo'llash mumkinligini ta'kidladi.

Bu usulga muvofiq funktsiyaning ildizini topish vazifasi funksiya grafigiga chizilgan tangensning x o'qi bilan kesishish nuqtasini topish vazifasiga tushiriladi.

1-rasm . Funktsiyani o'zgartirish grafigi

Funksiya grafigining istalgan nuqtasida chizilgan tangens chiziq ko'rib chiqilayotgan nuqtadagi ushbu funktsiyaning hosilasi bilan aniqlanadi, bu esa o'z navbatida a () burchakning tangensi bilan aniqlanadi. Tangensning abscissa o'qi bilan kesishish nuqtasi quyidagi munosabatlarga asoslanib aniqlanadi to'g'ri uchburchak: burchak tangensito'g'ri burchakli uchburchakda uchburchakning qarama-qarshi tomonining qo'shni tomoniga nisbati bilan aniqlanadi. Shunday qilib, har bir qadamda keyingi yaqinlashish nuqtasida funktsiya grafigiga tangens tuziladi. . Tangensning o'q bilan kesishish nuqtasi ho'kiz keyingi yondashuv nuqtasi bo'ladi. Ko'rib chiqilayotgan usulga muvofiq, ildizning taxminiy qiymatini hisoblashi-iteratsiyalar quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi:

To'g'ri chiziqning qiyaligi har bir qadamda eng yaxshi tarzda o'rnatiladi, ammo siz algoritm grafikning egriligini hisobga olmasligiga e'tibor berishingiz kerak va shuning uchun hisoblash jarayonida u noma'lum bo'lib qoladi. grafik qaysi yo'nalishda og'ishi mumkin.

Takrorlash jarayonining tugash sharti quyidagi shartning bajarilishi hisoblanadi:

Qayerda ˗ ildizni aniqlashda ruxsat etilgan xato.

Usul kvadratik yaqinlashuvga ega. Yaqinlashuvning kvadratik tezligi har bir iteratsiya bilan yaqinlashishdagi to'g'ri belgilar soni ikki baravar ko'payishini anglatadi.

Matematik asoslash

Haqiqiy funktsiya berilsin, bu ko'rib chiqilayotgan sohada aniqlangan va uzluksiz. Ko'rib chiqilayotgan funktsiyaning haqiqiy ildizini topish kerak.

Tenglamani chiqarish usuliga asoslanadi oddiy iteratsiyalar, unga ko'ra tenglama har qanday funktsiya uchun ekvivalent tenglamaga keltiriladi. Keling, munosabatlar bilan belgilanadigan qisqarish xaritasi tushunchasini kiritaylik.

Usulning eng yaxshi yaqinlashuvi uchun shart keyingi yaqinlashish nuqtasida bajarilishi kerak. Bu talab funktsiyaning ildizi funksiyaning ekstremumiga mos kelishi kerakligini bildiradi.

Qisqartirish xaritasining hosilasiquyidagicha aniqlanadi:

Bu ifodadan o'zgaruvchini ifodalaylikshartni ta'minlash zarur bo'lganda, ilgari qabul qilingan bayonotga muvofiq. Natijada, biz o'zgaruvchini aniqlash uchun ifodani olamiz:

Buni hisobga olgan holda, siqish funktsiyasi quyidagicha:

Shunday qilib, tenglamaning raqamli yechimini topish algoritmi iterativ hisoblash protsedurasiga tushiriladi:

Usul yordamida chiziqli bo'lmagan tenglamaning ildizini topish algoritmi

1. Funktsiya ildizining taxminiy qiymatining boshlang'ich nuqtasini o'rnating, shuningdek, hisoblash xatosi (kichik ijobiy raqam) va dastlabki iteratsiya bosqichi ().

2. Funksiya ildizining taxminiy qiymatini formulaga muvofiq hisoblang:

3. Belgilangan aniqlik uchun ildizning taxminiy qiymatini tekshiramiz, agar:

Agar ketma-ket ikkita yaqinlashish orasidagi farq belgilangan aniqlikdan kam bo'lsa, iteratsiya jarayoni tugaydi.

Agar ketma-ket ikkita yaqinlashish orasidagi farq kerakli aniqlikka erishmasa, u holda takrorlash jarayonini davom ettirish va ko'rib chiqilayotgan algoritmning 2-bosqichiga o'tish kerak.

Tenglamalarni yechishga misol

usuli bilanBir o'zgaruvchili tenglama uchun Nyuton

Misol tariqasida, usul yordamida chiziqli bo'lmagan tenglamani echishni ko'rib chiqingBir o'zgaruvchili tenglama uchun Nyuton. Ildiz birinchi yaqinlik sifatida aniqlik bilan topilishi kerak.

Nochiziqli tenglamani dasturiy paketda yechish variantiMathCAD3-rasmda keltirilgan.

Hisoblash natijalari, ya'ni ildizning taxminiy qiymatidagi o'zgarishlar dinamikasi, shuningdek, takrorlash bosqichiga bog'liq bo'lgan hisoblash xatolari grafik shaklda keltirilgan (2-rasmga qarang).

2-rasm. Bitta o'zgaruvchili tenglama uchun Nyuton usuli yordamida hisoblash natijalari

Tenglama ildizining taxminiy qiymatini diapazonda qidirishda ko'rsatilgan aniqlikni ta'minlash uchun 4 ta takrorlashni bajarish kerak. Oxirgi takrorlash bosqichida chiziqli bo'lmagan tenglama ildizining taxminiy qiymati quyidagi qiymat bilan aniqlanadi.

3-rasm . Dastur ro'yxatiMathCad

Bir o'zgaruvchili tenglama uchun Nyuton usulining modifikatsiyalari

Nyuton usulining hisoblash jarayonini soddalashtirishga qaratilgan bir qancha modifikatsiyalari mavjud.

Soddalashtirilgan Nyuton usuli

Nyuton usuliga muvofiq har bir iteratsiya bosqichida f(x) funksiyaning hosilasini hisoblash zarur, bu esa hisoblash xarajatlarining oshishiga olib keladi. Har bir hisoblash bosqichida hosilani hisoblash bilan bog'liq xarajatlarni kamaytirish uchun formulaning x n nuqtasidagi f'(x n) hosilasini x 0 nuqtasidagi f'(x 0) hosila bilan almashtirishingiz mumkin. Ushbu hisoblash usuliga muvofiq, ildizning taxminiy qiymati quyidagi formula bo'yicha aniqlanadi:O'zgartirilgan Nyuton usuli

Nyutonning farq usuli

Natijada f(x) funksiya ildizining taxminiy qiymati Nyutonning ayirma usuli ifodasi bilan aniqlanadi:

Nyutonning ikki bosqichli usuli

Nyuton usuliga muvofiq har bir iteratsiya bosqichida f(x) funksiyaning hosilasini hisoblash zarur, bu har doim ham qulay emas, ba'zan esa amalda imkonsizdir. Bu usul funktsiyaning hosilasini farq nisbati (taxminan qiymat) bilan almashtirishga imkon beradi:

Natijada f(x) funksiya ildizining taxminiy qiymati quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:

Qayerda

5-rasm . Nyutonning ikki bosqichli usuli

Sekant usuli ikki bosqichli usul, ya'ni yangi yaqinlashishdiroldingi ikki takrorlash bilan aniqlanadi Va . Usul ikkita dastlabki taxminni ko'rsatishi kerak Va . Usulning yaqinlashish tezligi chiziqli bo'ladi.

• Orqaga
• Oldinga

Maqolaga o'z sharhingizni qo'shish uchun saytda ro'yxatdan o'ting.

2. Nochiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun Nyuton usuli.

Bu usul oddiy iteratsiya usuliga qaraganda ancha tez konvergentsiyaga ega. Nyutonning tenglamalar tizimi (1.1) usuli funktsiyani kengaytirishdan foydalanishga asoslangan

, Qayerda
(2.1)

Teylor seriyasida, ikkinchi yoki undan ko'pni o'z ichiga olgan atamalar bilan yuqori buyurtmalar hosilalari tashlanadi. Ushbu yondashuv bitta muammoni hal qilishga imkon beradi chiziqli bo'lmagan tizim(1.1) qator chiziqli sistemalar yechimi bilan almashtiriladi.

Demak, (1.1) sistemani Nyuton usuli bilan yechamiz. D hududida istalgan nuqtani tanlang
va uni dastlabki tizimning aniq yechimiga nolga yaqinlik deb ataymiz. Endi (2.1) funksiyalarni nuqta qo'shnisida Teylor qatoriga kengaytiramiz. Bizda bo'ladi

Chunki (2.2) ning chap tomonlari (1.1) ga muvofiq yo'qolishi kerak, keyin (2.2) ning o'ng tomonlari ham yo'qolishi kerak. Shuning uchun, (2.2) dan biz bor

(2.3) dagi barcha qisman hosilalar nuqtada hisoblanishi kerak.

(2.3) chiziqli sistemadir algebraik tenglamalar noma'lumlarga nisbatan bu sistemani Kramer usulida yechish mumkin, agar uning asosiy determinanti nolga teng bo'lmasa va miqdorlar topilsa.

Endi biz koordinatalar bilan birinchi yaqinlikni qurish orqali nolga yaqinlikni aniqlay olamiz.

bular.
. (2.6)

Keling, (2.6) ga yaqinlik yetarli darajada aniqlik bilan olinganligini aniqlaylik. Buning uchun shartni tekshirib ko'ramiz

,
(2.7)

Qayerda oldindan belgilangan kichik musbat raqam (tizimni (1.1) echilishi kerak bo'lgan aniqlik). Agar (2.7) shart bajarilsa, u holda (1.1) sistemaga taxminiy yechim sifatida (2.6) ni tanlaymiz va hisob-kitoblarni yakunlaymiz. Agar (2.7) shart bajarilmasa, u holda quyidagi amalni bajaramiz. Tizimda (2.3), o'rniga
yangilangan qiymatlarni olaylik

, (2.8)

bular. keling buni bajaramiz keyingi qadamlar

. (2.9)

Shundan so'ng, (2.3) tizim miqdorlar uchun chiziqli algebraik tenglamalar tizimi bo'ladi. Ushbu miqdorlarni aniqlab, keyingi ikkinchi yaqinlashish.
(1.1) sistemaning yechimini formulalar yordamida topamiz

Endi shartni tekshiramiz (2.7)

Agar bu shart bajarilsa, biz (1.1) tizimning taxminiy yechimi sifatida ikkinchi yaqinlashishni olib, hisob-kitoblarni yakunlaymiz.
. Agar bu shart bajarilmasa, biz (2.3) ga binoan keyingi taxminiylikni qurishda davom etamiz.
Shart qondirilmaguncha, taxminiy ma'lumotlarni qurish kerak.

(1.1) sistemani yechish uchun Nyuton usulining ishchi formulalarini shaklda yozish mumkin.

Hisoblash ketma-ketligi

Bu yerga
tizimning yechimidir

(2.11)-(2.13) formulalar yordamida hisoblash algoritmini tuzamiz.

1. D hududiga tegishli nolga yaqinlikni tanlaylik.

2. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasida (2.13) o'rnatamiz
, A .

3. (2.13) sistemani yechamiz va miqdorlarni topamiz
.

4. Formulalarda (2.12) qo'yamiz
va keyingi yaqinlashishning komponentlarini hisoblang.

5. Quyidagilar uchun (2.7) shartni tekshirib ko‘ramiz: (Bir nechta kattaliklarning maksimalini hisoblash algoritmiga qarang).

6. Agar bu shart bajarilsa, u holda (1.1) sistemaga taqribiy yechim sifatida yaqinlashishni tanlab, hisob-kitoblarni yakunlaymiz. Agar bu shart bajarilmasa, 7-bosqichga o'ting.

7. Keling, qo'yaylik
hamma uchun.

8. 3-bosqichni bajaramiz, qo'yish
.

Geometrik jihatdan bu algoritmni quyidagicha yozish mumkin:

Algoritm. Maksimal bir necha miqdorni hisoblash.

Misol. Ikki tenglama sistemasini yechishda Nyuton usulidan foydalanishni ko‘rib chiqamiz.

Nyuton usulidan foydalanib, aniqlikka erishing quyidagi tizim nochiziqli tenglamalar

, (2.14)

Bu yerga
. Keling, nolga yaqinlikni tanlaylik
, D sohasiga tegishli. Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini tuzamiz (2.3). U o'xshash bo'ladi

(2.15)

belgilaylik

(2.15) sistemani noma’lumlarga nisbatan yechaylik
, masalan, Kramer usuli. Kramer formulalarini shaklda yozamiz

(2.17)

sistemaning asosiy determinanti qayerda (2.15)

(2.18)

va (2.15) sistemaning yordamchi determinantlari shaklga ega

.

Topilgan qiymatlarni (2.16) ga almashtiramiz va birinchi yaqinlashish komponentlarini topamiz.
sistemaning yechimiga (2.15).

Keling, vaziyatni tekshiramiz

, (2.19)

agar bu shart bajarilsa, u holda biz (2.15) tizimga taxminiy yechim sifatida birinchi yaqinlikni olib, hisob-kitoblarni yakunlaymiz, ya'ni.
. Agar (2.19) shart bajarilmasa, biz o'rnatamiz
,
va biz quramiz yangi tizim chiziqli algebraik tenglamalar (2.15). Uni hal qilib, biz ikkinchi taxminiylikni topamiz
. Keling, buni tekshiramiz. Agar bu shart qondirilsa, biz tizimning taxminiy yechimini tanlaymiz (2.15)
. Agar shart bajarilmasa, biz o'rnatamiz
,
va topish uchun quyidagi tizimni (2.15) tuzing
va hokazo.

Kvestlar

Barcha vazifalar talab qiladi:

Taklif etilgan algoritm bo'yicha usulni sonli amalga oshirish dasturini tuzing.

Hisoblash natijalarini oling.

Natijalaringizni tekshiring.

Ikki nochiziqli tenglamalar sistemasi berilgan.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

3-bob. Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini (SLAE) echishning raqamli usullari.

Ishning maqsadi. SLAE ni hal qilishning ba'zi taxminiy usullari va ularning shaxsiy kompyuterda raqamli amalga oshirilishi bilan tanishish.

Dastlabki mulohazalar. SLAE ni hal qilishning barcha usullari odatda ikkiga bo'linadi katta guruhlar. Birinchi guruhga odatda aniq deb ataladigan usullar kiradi. Ushbu usullar har qanday tizimni topishga imkon beradi aniq qiymatlar chekli sonli arifmetik amallardan keyin noma'lumlar, ularning har biri aniq bajariladi.

Ikkinchi guruhga aniq bo'lmagan barcha usullar kiradi. Ular iterativ yoki sonli yoki taxminiy deyiladi. Bunday usullardan foydalanganda aniq yechim cheksiz yaqinlashish jarayoni natijasida olinadi. Bunday usullarning jozibador xususiyati ularning o'z-o'zini to'g'rilash va shaxsiy kompyuterda amalga oshirish qulayligidir.

Keling, SLAE ni hal qilishning taxminiy usullarini ko'rib chiqamiz va ularni raqamli amalga oshirish algoritmlarini tuzamiz. Biz aniqlik bilan SLAE ning taxminiy yechimini olamiz, bu erda juda kichik musbat son.

1. Takrorlash usuli.

SLAE shaklda berilsin

(1.1)

Bu tizimni matritsa shaklida yozish mumkin

, (1.2)

Qayerda
- tizimdagi noma'lumlar uchun koeffitsientlar matritsasi (1.1),
- bepul a'zolar ustuni,
- tizimning noma'lumlar ustuni (1.1).

. (1.3)

(1.1) sistemani iteratsiya usuli yordamida yechamiz. Buning uchun biz quyidagi amallarni bajaramiz.

Birinchidan. Keling, nolga yaqinlikni tanlaylik

(1.4)

(1.1) sistemaning aniq yechimiga (1.3). Nolga yaqinlashishning komponentlari har qanday raqamlar bo'lishi mumkin. Ammo nolga yaqinlashish komponentlari uchun nollarni olish qulayroqdir
, yoki tizimning bepul shartlari (1.1)

Ikkinchidan. Biz nolga yaqinlashishning tarkibiy qismlarini almashtiramiz o'ng tomoni tizimi (1.1) va hisoblash

(1.5)

(1.5) dagi chapdagi miqdorlar birinchi yaqinlashishning komponentlari hisoblanadi
Birinchi yaqinlashishga olib kelgan harakatlar iteratsiya deb ataladi.

Uchinchidan. Nol va birinchi taxminlarni tekshiramiz

(1.6)

Agar barcha shartlar (1.6) bajarilsa, (1.1) tizimning taxminiy yechimi uchun biz birini tanlaymiz, yoki bu muhim emas, chunki ular bir-biridan ko'pi bilan farq qiladi va hisob-kitoblarni tugatamiz. Agar shartlardan kamida bittasi (1.6) bajarilmasa, keyingi harakatga o'tamiz.

To'rtinchidan. Keling, keyingi iteratsiyani bajaramiz, ya'ni. (1.1) tizimning o'ng tomoniga biz birinchi yaqinlashishning komponentlarini almashtiramiz va ikkinchi yaqinlashishning komponentlarini hisoblaymiz.
, Qayerda

Beshinchidan. Keling, tekshiramiz
va ustiga, ya'ni. Keling, ushbu taxminlar uchun (1.6) shartni tekshiramiz. Agar barcha shartlar (1.6) bajarilsa, (1.1) tizimning taxminiy yechimi uchun biz birini tanlaymiz, yoki bu muhim emas, chunki dan ortiq emasligi bilan bir-biridan farq qiladi. Aks holda, biz ikkinchi yaqinlashish komponentlarini tizimning o'ng tomoniga (1.1) almashtirish orqali keyingi iteratsiyani quramiz.

Ikki qo'shni yaqinlashgunga qadar iteratsiyalar qurilishi kerak
va bir-biridan ko'pi bilan farq qilmaydi.

(1.1) sistemani yechish uchun iteratsiya usulining ishchi formulasi quyidagicha yozilishi mumkin

(1.7) formulani sonli amalga oshirish algoritmi quyidagicha bo'lishi mumkin.

(1.1) sistema uchun iteratsiya usulining yaqinlashuvi uchun yetarli shartlar shaklga ega

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Oddiy takrorlash usuli.

Chiziqli algebraik tenglamalar tizimi (SLAE) ko rinishda berilgan bo lsin

(2.1)

Tizimni (2.1) oddiy takrorlash usuli yordamida yechish uchun avval uni shaklga keltirish kerak

(2.2)

Tizimda (2.2) --chi tenglama (2.1) sistemaning -chi tenglamasi bo'lib, -chi noma'lum (
).

Tizimni (2.1) yechish usuli, uni (2.2) tizimga qisqartirish va undan keyin (2.2) tizimni takrorlash usuli yordamida yechishdan iborat bo'lib, tizim (2.1) uchun oddiy takrorlash usuli deb ataladi.

Shunday qilib, (2.1) tizimni yechish uchun oddiy iteratsiya usulining ishchi formulalari shaklga ega bo'ladi

(2.3)

Formulalar (2.3) shaklda yozilishi mumkin

(2.4) formulalar bo'yicha tizim (2.1) uchun oddiy takrorlash usulini sonli amalga oshirish algoritmi quyidagicha bo'lishi mumkin.

Bu algoritm geometrik tarzda yozilishi mumkin.

Tizim (2.1) uchun oddiy takrorlash usulini yaqinlashtirish uchun etarli shartlar shaklga ega.

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Statsionar Zaydel usuli.

SLAE ni hal qilish uchun Zaydel usuli iteratsiya usulidan farq qiladi, chunki --chi komponent uchun biroz yaqinlik topib, biz darhol keyingisini topish uchun foydalanamiz.
,
, …, -chi komponent. Ushbu yondashuv ko'proq narsaga imkon beradi yuqori tezlik iteratsiya usuliga nisbatan Zaydel usulining yaqinlashuvi.

SLAE shaklda berilsin

(3.1)

Mayli
- aniq yechimga nolga yaqinlik
tizimlari (3.1). Va topilsin th taxminan
. Keling, komponentlarni aniqlaylik
th formulalar yordamida taxminan

(3.2)

Formulalar (3.2) ixcham shaklda yozilishi mumkin

,
,
(3.3)

(3.3) formulalar yordamida tizimni (3.1) yechish uchun Zaydel usulini raqamli amalga oshirish algoritmi quyidagicha bo'lishi mumkin.

1. Masalan, tanlaymiz,
,

2. Keling, qo'yaylik.

3. Keling, hamma uchun hisoblab chiqaylik.

4. Biz hamma uchun shartlarni tekshiramiz
.

5. Agar 4-banddagi barcha shartlar bajarilsa, u holda biz (3.1) tizimga yoki taxminiy yechim sifatida tanlaymiz va hisob-kitoblarni yakunlaymiz. Agar 4-bosqichda kamida bitta shart bajarilmasa, 6-bosqichga o'ting.

6. Keling, uni qo'yamiz va 3-bosqichga o'tamiz.

Bu algoritm geometrik tarzda yozilishi mumkin.

(3.1) sistema uchun Zaydel usulining yaqinlashuvi uchun yetarli shart shaklga ega
, .

4. Statsionar bo'lmagan Zaydel usuli.

SLAE (3.1) ni yechishning bu usuli Zaydel usulining yaqinlashuvining yanada yuqori tezligini ta'minlaydi.

(3.1) sistema uchun th yaqinlik va th yaqinlik komponentlarini qandaydir tarzda topamiz.

Keling, tuzatish vektorini hisoblaylik

Keling, qiymatlarni hisoblaylik

, (4.2)

Keling, miqdorlarni tartibga solaylik
, kamayish tartibida.

Xuddi shu tartibda (3.1) sistemadagi tenglamalarni va bu sistemadagi noma’lumlarni qayta yozamiz: Chiziqlialgebra Va chiziqli bo'lmagan ... Boshqaruvuchun laboratoriya ishlayditomonidan ... uslubiy ko'rsatmalar uchunamaliyishlayditomonidan uchuntalabalar ...

O‘quv adabiyotlari (tabiiy fanlar va texnika) 2000-2011 OP sikli – 10 yil CD sikli – 5 yil

Adabiyot

... Tabiiyfan umumiy 1. Astronomiya [Matn]: qo‘llanma uchun ... Raqamliusullari: Chiziqlialgebra Va chiziqli bo'lmagan ... Boshqaruvuchun laboratoriya ishlayditomonidan ... uslubiy ko'rsatmalar uchunamaliyishlayditomonidan"Transport iqtisodiyoti" fani uchuntalabalar ...

- tabiiy fanlar (1)

Oʻquv qoʻllanma

... boshqaruvuchuntalabalar va o'qituvchilar, mo'ljallangan uchun nafaqat o'qish uchun foydalaning usullariish... ishlab chiqarish amaliy haqiqiy ma'lumotlardan foydalanish ko'nikmalari. Uslubiy tavsiyalar tomonidan testning bajarilishi ishtomonidan bu...

- tabiiy fanlar - fizika-matematika fanlari - kimyo fanlari - yer haqidagi fanlar (geodezik geofizik geologiya va geografiya fanlari)

Hujjat

... uchuntalabalartabiiy ravishda- ... ishlayditomonidan"Genetika va seleksiya" faniga bag'ishlangan joriy muammolar bu fan. Mustaqil tizimlashtirilgan Ishtalabalartomonidan nazariy va amaliy ... chiziqli, chiziqli bo'lmagan, dinamik. Hammasi usullari ...

- tabiiy fanlar - fizika-matematika fanlari - kimyo fanlari - yer haqidagi fanlar (geodezik geofizik geologiya va geografiya fanlari) (7)

Darsliklar ro'yxati

Ereminning aniqlovchisi chiziqli Va chiziqli bo'lmaganalgebra : chiziqli Va chiziqli bo'lmagan dasturlash: yangi usuli/ Eremin, Mixail... uchuntalabalar va oliy o‘quv yurtlarining geologiya mutaxassisliklari o‘qituvchilari. kh-1 1794549 99. D3 P 693 Amaliyboshqaruvtomonidan ...

Nochiziqli tenglamalarni Nyuton usulida yechish

Elektr energiyasi bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun usulning bir nechta modifikatsiyalari mavjud. Ular takrorlanuvchi jarayonning yaqinlashish tezligini oshirish va hisoblash vaqtini qisqartirish imkonini beradi.

Asoslar qadr-qimmat usul - u tez konvergentsiyaga ega.

Usulning g'oyasi asl chiziqli bo'lmagan tenglamalar tizimini hisoblashning har bir iteratsiyasida ba'zi yordamchi chiziqli tenglamalar tizimi bilan ketma-ket almashtirishdan iborat bo'lib, uning yechimi noma'lumlarning keyingi yaqinlashuvini kerakli yechimga yaqinroq olish imkonini beradi ( linearizatsiya).

dagi chiziqli bo'lmagan tenglamani ko'rib chiqing umumiy ko'rinish:

Tenglamaning talab qilinadigan yechimi egri chiziqning x o'qini kesishgan nuqtasidir.

Biz noma'lumning dastlabki yaqinlashuvini o'rnatdik x (0). Ushbu nuqtadagi funktsiyaning qiymatini aniqlang w(x(0)) va B nuqtadagi egri chiziqqa tangens chizamiz. Ushbu tangensning x o'qi bilan kesishish nuqtasi noma'lumning keyingi yaqinlashuvini aniqlaydi. x (1) va hokazo.

(1) tenglamani nuqta yaqinida Teylor qatoriga kengaytiramiz x (0). Keling, faqat 1-chi hosilani o'z ichiga olgan kengaytirish shartlarini ko'rib chiqaylik:

(2)

x – x (0) = Dx- noma'lumga tuzatish. Agar biz uni aniqlasak, keyingi taxminiylikni aniqlashimiz mumkin.

(2) dan biz tuzatishni aniqlaymiz (3)

Keyin quyidagi taxminiylik: (5)

Xuddi shunday, biz ham olamiz Kimga-e taxminlar:

Bu Nyuton usulining takrorlanuvchi formulasi nochiziqli tenglamalarni yechish uchun. Bu noma'lumlarning keyingi yaqinlashuvlarini aniqlash imkonini beradi.

Formula (6) ni rasmdan boshqa yo'l bilan olish mumkin:

Iterativ jarayon, agar u kamaysa va yaqinlashsa, yaqinlashadi 0 . Natijaga erishiladi, agar .

Geometrik talqinga izoh

Usulning takrorlanuvchi bosqichi egri chiziqni (2) tenglamaning chap tomonida tasvirlangan to'g'ri chiziq bilan almashtirishga qisqartiriladi. Bu nuqtada egri chiziqqa teginishdir. Bu jarayon deyiladi linearizatsiya. Egri chiziqqa tangensning o'q bilan kesishish nuqtasi X noma'lumning yana bir yaqinligini beradi. Shuning uchun bu usul deyiladi tangens usuli.

Misol:

Misol:

Bu usul bilan chiziqli bo'lmagan tenglamaning barcha ildizlarini aniqlash uchun har qanday usul bilan aniqlash kerak. taxminiy bu ildizlarning joylashishini aniqlang va ular yaqinida dastlabki taxminlarni o'rnating.

Ildizlar joylashgan joyni aniqlashning oddiy usuli jadval tuzish.

Nyutonning iteratsiya jarayoni birlashmaydi, agar dastlabki taxminlar quyidagi tarzda tanlansa:

Jarayon yo yaqinlashmaydi yoki juda yomon birlashadi.

SNAU ni yechish uchun Nyuton-Rafson usuli

Rafson echish uchun Nyutonning iterativ usuli taklif qilinganligini ko'rsatdi bitta chiziqli bo'lmagan tenglamalar, hal qilish uchun ishlatilishi mumkin tizimlari nochiziqli tenglamalar.

Shu bilan birga, chiziqli bo'lmagan tenglamalar tizimini echish uchun bitta noma'lum o'rniga to'plamni (vektorni) ko'rib chiqish kerak. noma'lum:

bitta qoldiq tenglama o'rniga biz ko'rib chiqamiz qoldiqlar vektori tizim tenglamalari:

(6) dagi bitta hosila almashtirildi hosilalarning matritsasi. (6) dagi bo'lish amali ga ko'paytirish bilan almashtiriladi teskari hosilalarning matritsasi. Bunda Nyuton-Rafson usuli Nyuton usulidan bir o‘lchovli masaladan o‘tishda farq qiladi. ko'p o'lchovli.

Haqiqiy nochiziqli algebraik tenglamalar tizimini ko'rib chiqamiz:

(7)

U matritsa shaklida yozilishi mumkin:

Qayerda X= x 2 – vektor – noma’lumlar ustuni;

w 1 (x 1, x 2, ... x n)

V = w 2 (x 1, x 2, ... x n) – vektor funksiyasi.

w n (x 1, x 2, ... x n)

Mayli - noma'lumlarning dastlabki yaqinlashuvlari. Keling, (7) tizimning har bir tenglamasini nuqtaga yaqin joyda Teylor qatoriga kengaytiraylik X (0), ya'ni biz dastlabki chiziqli bo'lmagan tenglamalarni faqat 1-chi hosilasi saqlanib qolgan chiziqli tenglamalar bilan taxminiy almashtirishni amalga oshiramiz (linearizatsiya). Natijada (7) tenglamalar tizimi quyidagi shaklni oladi:

(9)

Natijada biz oldik chiziqli tenglamalar tizimi(chiziqli tizim), unda noma'lumlar tuzatishlardir. Ushbu tizimdagi noma'lumlar uchun koeffitsientlar tenglamalarning birinchi hosilalari hisoblanadi w j barcha noma'lumlar uchun dastlabki chiziqli bo'lmagan tizimning Xi.. Ular koeffitsientlar matritsasini hosil qiladi - Yakobi matritsasi:

=

Matritsaning har bir qatori barcha noma'lumlarga nisbatan chiziqli bo'lmagan tizimning keyingi tenglamasining birinchi hosilalaridan iborat.

Chiziqli sistemani (9) matritsa shaklida yozamiz:

(10)

Bu erda dastlabki tizim tenglamalarining qoldiqlari vektori. Uning elementlari nochiziqli sistemaning tenglamalariga noma'lumlarning ketma-ket yaqinlashuvlarini qo'yish yo'li bilan olinadi;

- Yakobiy matritsasi. Uning elementlari barcha noma'lumlarga nisbatan dastlabki tizimning barcha tenglamalarining birinchi qisman hosilalaridir;

- tuzatish vektori kerakli noma'lumlarga. Har bir iteratsiyada shunday yozilishi mumkin:

Qabul qilingan belgini hisobga olgan holda tizim (10) yozilishi mumkin:

(12)

Bu tizim chiziqli o'zgartirishlar to'g'risida DX (k).

Tizim (13) - iteratsiya jarayonining har bir bosqichida dastlabki SNAU o'rnini bosadigan chiziqli tenglamalar tizimi.

Tizim (13) har qanday ma'lum usul bilan echiladi, natijada biz tuzatish vektorini topamiz. Keyin (11) dan topamiz keyingi yondashuvlar noma'lum:

Bu. har iterativ qadam jarayon chiziqli sistemani (13) yechish va (14) dan keyingi yaqinlashuvni aniqlashdan iborat.

(11) va (12) dan biz umumiyni olishimiz mumkin takrorlanish formulasi Nyuton-Rafson usuliga mos keladigan (matritsa shaklida):

(15)

Formula (6) ga mos keladigan tuzilishga ega.

Formula (15) amaliy hisob-kitoblarda qo'llaniladi kamdan-kam hollarda, chunki bu erda hisob-kitoblarning har bir iteratsiyasida Yakobiy matritsasi (katta o'lchamli) ni o'zgartirish kerak. Haqiqiy hisob-kitoblarda chiziqli tizimni yechish natijasida tuzatishlar aniqlanadi (13).

Tugatish nazorati Biz takroriy jarayonni qoldiqlar vektoridan foydalanib bajaramiz:

Bu shart qoldiqlar uchun bajarilishi kerak hamma tizim tenglamalari.

Nyuton-Rafson usuli yordamida SNAU ni yechish algoritmi

1. Noma’lumlarning boshlang‘ich yaqinlashish vektorini ko‘rsatish.

Hisoblashning aniqligini o'rnatish є , boshqa hisoblash parametrlari

2. Nochiziqli tenglamalarning yaqinlashish nuqtasida qoldiqlarini aniqlash;

2.3. Noma'lumlarning navbatdagi yaqinlashish nuqtasida Yakobiy matritsasining elementlarini aniqlash;

2.4. Chiziqli sistemani (13) har qanday ma'lum usul bilan yechish. Noma'lumlarga tuzatishlarni aniqlash.

2.5. (14) ga muvofiq noma’lumlarning keyingi yaqinlashuvini aniqlash.

2.6. (16) ga muvofiq iteratsiya jarayonining bajarilishini nazorat qilish. Agar shart bajarilmasa, 2-bosqichga qayting.

Misol:

SLAE ni Nyuton-Rafson usuli yordamida yeching:

(yechim X 1 = X 2 =2)

Tenglamalarni qoldiq shaklida yozamiz:

Yakobiy matritsasining elementlarini aniqlaymiz:

Yakobiy matritsasi:

Nyuton-Rafson usuli algoritmini amalga oshiramiz:

1) Birinchi takrorlash:

Dastlabki taxminlar

Qoldiqlar

Yakobiy matritsasi:

Lineerlashtirilgan tenglamalar tizimi:

Noma'lumlarning birinchi taxmini:

2) Ikkinchi takrorlash

3) Uchinchi takrorlash:

… ……… …… …… …… ……..

Stabil holat tenglamalari tizimini Nyuton-Rafson usuli yordamida yechish

Tugun uchun quvvat balansi ko'rinishidagi barqaror holatning chiziqli bo'lmagan tenglamasi quyidagi shaklga ega:

(17)

Bu murakkab noma'lum va koeffitsientli tenglama. Bunday tenglamalar uchun (17) qaror qabul qilish mumkin edi Nyuton-Rafson usulidan foydalanib, ular o'zgartiriladi: haqiqiy va xayoliy qismlar ajratiladi. Buning natijasida har bir murakkab tenglama(17) turi tugundagi faol va reaktiv quvvat balansiga mos keladigan ikkita haqiqiy tenglamaga bo'linadi:

Bu erda tugundagi belgilangan kuchlar;

Tugunlarda noma'lum kuchlanish komponentlari. Ular kerak

hisoblash natijasida aniqlanadi.

Tenglamalarning o'ng tomonida (18) th tugunga yaqinlashadigan shoxlardagi oqimlarning hisoblangan umumiy quvvati.

Bu tenglamalarni (18) shaklda yozamiz qoldiqlar:

(19) tenglamalarning qoldiqlari hisoblanganga mos keladi muvozanatsizlik th tugunidagi faol va reaktiv quvvat.

Qoldiqlar tugun rejimini tavsiflaydi і va tugunlardagi noma'lum kuchlanishlarning chiziqli bo'lmagan funktsiyalari. -> 0 bo'lishi kerak.

Biz tizimni Nyuton-Rafson usuli bilan yechamiz 2n(19) ko'rinishdagi tenglamalar, ya'ni Nyuton-Rafson usuli yordamida elektr tarmog'ining barqaror holatini hisoblash masalasini hal qilish uchun sizga kerak bo'ladi:

1) tizimni shakllantirish 2n elektr tarmog'ining barcha tugunlari uchun (19) shakldagi tenglamalar, balanslashdan tashqari;

2) Nyuton-Rafson usulining takroriy jarayonini tashkil qilish

bu tenglamalar tizimini yechish uchun. Qaror natijasida

tugunlarda kerakli kuchlanish komponentlarini olamiz.

Keling, ushbu tenglamalar tizimini umumiy shaklda yozamiz:

(20)

Biz 2 ta chiziqli bo'lmagan tizimni oldik qoldiq tenglamalar 2 noma'lum bilan, qaysi. Undagi noma'lum komponentlar kuchlanish komponentlari - modullar va burchaklardir.

(20) sistemani Nyuton-Rafson usuli yordamida yechish uchun yozish kerak yordamchi(13) ko'rinishdagi chiziqli tenglamalar tizimi, uni hal qilishda har bir iteratsiyada noma'lumlarga tuzatishlarni aniqlaymiz:

(21)

Qabul qilingan belgini hisobga olgan holda tizim (21) yozilishi mumkin:

(22)

Yakobi matritsasi qayerda, uning elementlari barcha noma'lumlarga nisbatan (20) tizim tenglamalarining qisman hosilalari - stress komponentlari

Sistema tenglamalari qoldiqlari vektori (20). Ularning qiymatlari noma'lumlarning ketma-ket yaqinlashuvlarini tenglamalarga almashtirish orqali olinadi;

Noma'lumlarga tuzatishlar vektori:

; DÖ i = Ö i (k+1) - Ö i (k), DU i = U i (k+1) - U i (k) .

Yakobiy matritsasining elementlarini aniqlash uchun biz foydalanamiz analitik farqlash, ya'ni. Tizimning har bir tenglamasini (20) kerakli miqdorlar - burchaklar va kuchlanish modullari bo'yicha farqlaymiz. Yakobiy matritsasi hosil qilish uchun quyidagi hosilalarning analitik ifodalarini olish kerak. turlari:

1) Shu tugunning kuchlanish burchagiga nisbatan th tugunning faol quvvati uchun qoldiq tenglamaning hosilasi: ;

2) qo'shni kuchlanish burchagiga nisbatan th tugunning faol quvvati uchun qoldiq tenglamaning hosilasi j- th tugun: ;

3) th tugunning faol quvvati qoldig'ining hosilasi bir xil tugunning kuchlanish moduliga: ;

4) th tugunning faol quvvati qoldig'ining hosilasi qo'shni tugunning kuchlanish moduliga: ;

Yana to'rt turdagi hosilalar xuddi shunday aniqlanadi - barcha noma'lumlar uchun tugunning reaktiv quvvati qoldig'i tenglamalaridan hosilalar:

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Ushbu hosilalarni hisobga olgan holda, Yakobi matritsasi umumiy shaklda yozilishi mumkin:

(23)

Keling, aniqlaymiz analitik ifodalar hosilalar uchun (20) sistemaning tenglamalarini noma'lum miqdorlarga nisbatan differensiallash. Ular shunday ko'rinadi:

(24)

Yakobiy matritsasi V umumiy holat- kvadrat matritsa, simmetrik, o'lchamli , uning elementlari barcha noma'lumlarga nisbatan tenglamalar qoldiqlarining (kuch nomutanosibligi) qisman hosilalaridir.

Agar tugunlar o'zaro bog'lanmagan bo'lsa, u holda matritsaning mos keladigan hosilalari diagonaldan tashqarida joylashgan Yakobiy matritsasi nolga teng bo'ladi (o'tkazuvchanlik matritsasiga o'xshash) - chunki mos keladigan formulalarda (24) o'zaro o'tkazuvchanlik y ij va omili hisoblanadi. y ij =0.

Matritsaning har bir qatori tizimning keyingi tenglamasining hosilalaridir (20).

Modellashtirilgan tarmoq diagrammasida maxsus tugunlarning mavjudligi (qo'llab-quvvatlash va muvozanatlash tugunlari, FM tugunlari) ta'sir qiladi tuzilishi Statsionar holat tenglamalari tizimi va Yakobiy matritsasi tuzilishi bo'yicha:

1. bilan tugunlar uchun modulni tuzatish kuchlanishlar (FM), bunda berilgan va noma'lumlar va , Yakobiy matritsasidan istisno qilingan hosilalar qatori (bundan buyon Qi ko'rsatilmagan bo'lsa, reaktiv quvvat balansi tenglamasini (18), (19) tuzib bo'lmaydi) va lotinlar ustuni (kuchlanish moduli bo'lgani uchun) Ui ma'lum va u noma'lumlar ro'yxatidan chiqariladi).

2. Qo'llab-quvvatlash va muvozanatlash tugunlari uchun matritsaning tegishli qatorlari va ustunlari chiqarib tashlanadi;

3. Agar tugunlar to'g'ridan-to'g'ri bog'lanmagan bo'lsa, matritsadagi mos keladigan hosilalar nolga teng.

Yakobiy matritsasi to'rtga bo'linishi mumkin blok:

1) - nomutanosiblik tenglamalarining hosilalari faol quvvat (20) tomonidan burchaklar stress;

2) - muvozanatsizlik tenglamalarining hosilalari faol tomonidan quvvat modullar stress;

3) - muvozanatsizlik tenglamalarining hosilalari reaktiv quvvat (20) tomonidan burchaklar stress;

4) - muvozanatsizlik tenglamalarining hosilalari reaktiv tomonidan quvvat modullar stress.

Bu noma'lum burchaklar va kuchlanish modullaridagi faol va reaktiv quvvatlarning nomutanosibliklarining qisman hosilalari matritsa-hujayralari. Umuman olganda, bu o'lchamning kvadrat matritsalari n×n.

Buni hisobga olib, Yakobiy matritsasi sifatida ifodalanishi mumkin blok matritsalar:

Qayerda noma'lum miqdorlarning subvektori.

Buni hisobga olib, (22) chiziqli tenglamalar tizimini quyidagicha yozish mumkin:

. (25)

Buni hal qilish chiziqli tizim tenglamalar (har qanday ma'lum usul bilan).

Usulning har bir iteratsiyasi uchun biz noma'lumlarga tuzatishlar topamiz, keyin esa

muntazam yaqinlashmoqda noma'lum:

(26)

Noma'lumlarning keyingi yaqinlashuvi yordamida ham olinishi mumkin iteratsiya formulasi Nyuton-Rafson usuli, (15) ga o'xshash:

- · (27)

Bu har bir iteratsiyada Yakobiy matritsasini invertatsiya qilishni talab qiladi - mashaqqatli hisoblash operatsiyasi.

Stabil holat tenglamalari tizimini Nyuton-Rafson usuli yordamida yechish algoritmi

1. Noma'lum kuchlanishlarning boshlang'ich qiymatlarini o'rnatish. Dastlabki taxminlar sifatida biz quyidagilarni qabul qilamiz: , ya'ni. tugunlarning nominal kuchlanishlari;

2. Hisoblash shartlarini o'rnatish: aniqlik ε , maksimal takrorlash soni, tezlashtiruvchi koeffitsientlar va boshqalar.

3. Noma’lumlarning ketma-ket yaqinlashuvi bilan (20) tenglamalarga muvofiq tenglamalarning qoldiqlarini aniqlash;

4. (24) ga muvofiq Yakobi matritsasining elementlarini noma’lumlarning ketma-ket yaqinlashishlari bilan aniqlash;

5. (25) chiziqli tenglamalar tizimini yechish va noma’lumlarga tuzatishlarni aniqlash;

6. (26) ga muvofiq noma’lumlarning keyingi yaqinliklarini aniqlash;

7. Takrorlash jarayonining tugallanganligini tekshirish:

Barcha tugunlar uchun tenglamalarning qoldiq qiymatlari belgilangan aniqlikdan kam bo'lishi kerak.

Agar shart bajarilmasa, 3-bandga qayting va noma'lumlarning yangi yaqinlashuvlari bilan hisobni takrorlang.

Raqam bor Nyuton-Rafson usulining modifikatsiyalari. Jumladan:

1. Modifikatsiyalangan Nyuton-Rafson usuli.

Yakob matritsasi noma'lumlarning boshlang'ich qiymatlari uchun bir marta hisoblanadi. Keyingi iteratsiyalarda u qabul qilinadi doimiy. Bu har bir iteratsiyada hisoblash miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi, lekin takrorlash sonini oshiradi.

2. Bo‘lingan Nyuton-Rafson usuli.

Shaklning hosilalari juda kichik va ularning qiymatlarini e'tiborsiz qoldirish mumkin. Natijada, Yakobiy matritsasida ikkita blok qoladi - 1 va 4-chi va tenglamalardan iborat tizim (25). parchalanadi o'lchovlarning ikkita mustaqil tizimiga. Ushbu tizimlarning har biri boshqasidan alohida hal qilinadi. Bu hisob-kitoblar miqdori va kerakli kompyuter xotirasining qisqarishiga olib keladi.