M nuqta ma'lum G to'plamga ichki deyiladi, agar u o'zining ba'zi qo'shnilari bilan birga ushbu to'plamga tegishli bo'lsa. N nuqta G to'plamning chegara nuqtasi deyiladi, agar uning har qanday to'liq qo'shnisida G ga tegishli va unga tegishli bo'lmagan nuqtalar bo'lsa.

G to'plamning barcha chegara nuqtalari to'plami G to'plamning chegarasi deyiladi.

G to'plam, agar uning barcha nuqtalari ichki (ochiq to'plam) bo'lsa, mintaqa deyiladi. Bog'langan chegarasi G bo'lgan G to'plam yopiq mintaqa deyiladi. Agar mintaqa to'liq etarlicha katta radiusli doira ichida joylashgan bo'lsa, u cheklangan deb ataladi.

Muayyan sohadagi funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlari ushbu sohadagi funktsiyaning mutlaq ekstremal qismi deb ataladi.

Veyershtras teoremasi: chegaralangan va ichida uzluksiz funksiya yopiq maydon, ushbu mintaqada minimal va maksimal qiymatlarga etadi.

Natija. Muayyan mintaqadagi funktsiyaning mutlaq ekstremumiga yoki ushbu mintaqaga tegishli funktsiyaning kritik nuqtasida erishiladi yoki yopiq G hududida funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun topilishi kerak. uning ushbu mintaqadagi barcha kritik nuqtalarini, ushbu nuqtalardagi funktsiyaning qiymatlarini (shu jumladan chegaralarni) hisoblang va olingan raqamlarni taqqoslab, ulardan eng kattasini va eng kichigini tanlang.

4.1-misol. Funksiyaning mutlaq ekstremumini toping (eng katta va eng kichik qiymatlar)
uchlari bo'lgan uchburchak D mintaqasida
,
,
(1-rasm).

;
,

ya’ni O(0,0) nuqta D mintaqasiga tegishli kritik nuqtadir.z(0,0)=0.

Keling, chegarani o'rganamiz:

a) OA: y=0
;z(x, 0)=0; z(0, 0)=0; z(1, 0)=0,

b) OB: x=0
z(0,y)=0; z(0, 0)=0; z(0, 2)=0,

kabina: ;
,

4.2-misol. Koordinata o'qlari va to'g'ri chiziq bilan chegaralangan yopiq sohada funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.
.

1) Mintaqadagi kritik nuqtalarni toping:

,
,

.

Keling, chegarani o'rganamiz. Chunki chegara Ox o'qining OA segmentidan, Oy o'qining OB segmentidan va AB segmentidan iborat bo'lib, biz ushbu segmentlarning har birida z funktsiyasining eng katta va eng kichik qiymatlarini aniqlaymiz.

, z(0, 2)=–3, z(0, 0)=5, z(0, 4)=5.

M 3 (5/3,7/3), z(5/3, 7/3)=–10/3.

Barcha topilgan qiymatlar orasidan z max =z(4, 0)=13 ni tanlang; z naim =z(1, 2)=–4.

5. Shartli ekstremum. Lagrange multiplikator usuli

Keling, bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalariga xos bo'lgan masalani ko'rib chiqaylik, bunda uning ekstremumi ta'rifning butun sohasi bo'yicha emas, balki ma'lum bir shartni qanoatlantiradigan to'plamdan qidiriladi.

Funktsiyani ko'rib chiqaylik
, argumentlar Va shartni qanoatlantiradi
, ulanish tenglamasi deb ataladi.

Nuqta
shartli maksimal (minimal) nuqta deyiladi, agar bu nuqtaning barcha nuqtalar uchun shunday qo'shnisi bo'lsa
shartni qanoatlantiradigan shu mahalladan
, tengsizlik amal qiladi
yoki
.

2-rasmda shartli maksimal nuqta ko'rsatilgan
. Shubhasiz, bu funktsiyaning shartsiz ekstremum nuqtasi emas
(2-rasmda bu nuqta
).

Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning shartli ekstremumini topishning eng oddiy usuli bu masalani bitta o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremumini topishga qisqartirishdir. Keling, ulanish tenglamasini qabul qilaylik
o'zgaruvchilardan biriga nisbatan hal qilishga muvaffaq bo'ldi, masalan, ifodalash orqali :
. Olingan ifodani ikkita o'zgaruvchining funktsiyasiga almashtirib, biz olamiz

bular. bitta o'zgaruvchining funktsiyasi. Uning ekstremumi funksiyaning shartli ekstremumi bo'ladi
.

5.1-misol. Funksiyaning maksimal va minimal nuqtalarini toping
shartiga ko'ra
.

Yechim. Tenglamadan ifodalaylik
o'zgaruvchan o'zgaruvchi orqali va olingan ifodani almashtiring
funksiyaga aylanadi . olamiz
yoki
. Bu funksiya at noyob minimumiga ega
. Tegishli funktsiya qiymati
. Shunday qilib,
– shartli ekstremum nuqtasi (minimal).

Ko'rib chiqilayotgan misolda ulanish tenglamasi
chiziqli bo'lib chiqdi, shuning uchun u o'zgaruvchilardan biriga nisbatan osonlik bilan hal qilindi. Biroq, murakkabroq holatlarda buni amalga oshirish mumkin emas.

Umumiy holatda shartli ekstremumni topish uchun Lagrange multiplikator usuli qo'llaniladi. Uch o'zgaruvchidan iborat funktsiyani ko'rib chiqing. Bu funksiya Lagrange funktsiyasi deb ataladi va - Lagrange multiplikatori. Quyidagi teorema to'g'ri.

Teorema. Agar nuqta
funksiyaning shartli ekstremum nuqtasidir
shartiga ko'ra
, keyin qiymat bor shunday nuqta
funksiyaning ekstremum nuqtasidir
.

Shunday qilib, funksiyaning shartli ekstremumini toping
shartiga ko'ra
tizimga yechim topish kerak

P bu tenglamalarning oxirgisi birlashtiruvchi tenglamaga to'g'ri keladi. Tizimning dastlabki ikkita tenglamasi shaklda qayta yozilishi mumkin, ya'ni. shartli ekstremum nuqtada funktsiya gradientlari
Va
kollinear. Shaklda. 3-rasmda Lagranj shartlarining geometrik ma'nosi ko'rsatilgan. Chiziq
nuqta, tekis chiziq
funktsiyalari
qattiq. Rasmdan. shundan kelib chiqadiki, shartli ekstremum nuqtada funktsiya darajasi chizig'i
chiziqqa tegadi
.

5.2-misol. Funksiyaning ekstremum nuqtalarini toping
shartiga ko'ra
, Lagrange multiplikator usuli yordamida.

Yechim. Biz Lagrange funktsiyasini tuzamiz. Uning qisman hosilalarini nolga tenglashtirib, biz tenglamalar tizimini olamiz:

Uning yagona yechimi. Shunday qilib, shartli ekstremum nuqta faqat nuqta bo'lishi mumkin (3; 1). Ushbu nuqtada funktsiyani tekshirish oson
shartli minimumga ega. Agar o'zgaruvchilar soni ikkitadan ko'p bo'lsa, bir nechta ulanish tenglamalarini ko'rib chiqish mumkin. Shunga ko'ra, bu holda bir nechta Lagrange multiplikatorlari bo'ladi.

Shartli ekstremumni topish muammosi resurslarning optimal taqsimlanishini topish, qimmatli qog'ozlarning optimal portfelini tanlash va boshqalar kabi iqtisodiy muammolarni hal qilishda qo'llaniladi.

Jozef Lui Lagranj Turinda (Italiya) italyan-fransuz oilasida tug‘ilgan. U artilleriya maktabida o'qigan va keyin dars bergan. 1759 yilda Eyler tavsiyasiga ko'ra 23 yoshli Lagranj Berlin Fanlar akademiyasining a'zosi etib saylandi. 1766 yilda u allaqachon uning prezidenti bo'ldi. Fridrix II Lagranjni Berlinga taklif qildi. 1786 yilda Frederik II vafotidan keyin Lagrange Parijga ko'chib o'tdi. 1722 yildan Parij Fanlar akademiyasining a'zosi, 1795 yilda uzunliklar byurosi a'zosi etib tayinlangan va o'lchovlarning metrik tizimini yaratishda faol ishtirok etgan. Doira ilmiy tadqiqot Lagrange juda keng edi. Ular mexanika, geometriya, matematik analiz, algebra, sonlar nazariyasi va nazariy astronomiyaga bag'ishlangan. Lagrange tadqiqotlarining asosiy yo'nalishi mexanikadagi turli xil hodisalarni yagona nuqtai nazardan taqdim etish edi. U har qanday tizimning kuchlar ta'sirida harakatini tavsiflovchi tenglamani yaratdi. Astronomiya sohasida Lagranj barqarorlik muammosini hal qilish uchun juda ko'p ish qildi quyosh sistemasi; barqaror harakatning ba'zi maxsus holatlarini isbotladi, xususan, uchburchak libration nuqtalarida joylashgan kichik jismlar uchun.

Lagrange usuli─ bu muammoni hal qilish usuli shartli optimallashtirish, bunda yashirin funksiyalar sifatida yozilgan cheklovlar maqsad funksiya bilan yangi tenglama shaklida birlashtiriladi. Lagrangian.

Keling, ko'rib chiqaylik maxsus holat umumiy vazifa Yo'q chiziqli dasturlash:

Tizimni hisobga olgan holda nochiziqli tenglamalar (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

Funktsiyaning eng kichik (yoki eng katta) qiymatini toping (2)

(2) f (x1,x2,…,xn),

agar o‘zgaruvchilarning manfiy bo‘lmasligi uchun shartlar bo‘lmasa va f(x1,x2,…,xn) va gi(x1,x2,…,xn) qisman hosilalari bilan birga uzluksiz funksiyalar bo‘lsa.

Ushbu muammoni hal qilish uchun siz foydalanishingiz mumkin keyingi usul: 1. Lagranj ko‘paytmalari deb ataladigan l1, l2,…, lm o‘zgaruvchilar to‘plamini kiriting, Lagranj funksiyasini tuzing (3)

(3) F(x1,x2,…,xn, l1,l2,…,lm) = f(x1,x2,…,xn)+ li.

2. Lagranj funksiyasining xi va li o‘zgaruvchilarga nisbatan qisman hosilalarini toping va ularni nolga tenglang.

3. Tenglamalar sistemasini yechish, qaysi nuqtalarni toping maqsad funktsiyasi muammo ekstremum bo'lishi mumkin.

4. Ekstremum emas, shubhali nuqtalar orasidan ekstremumga erishilgan nuqtalarni toping va shu nuqtalardagi funksiya qiymatlarini hisoblang. .

4. F funksiyaning olingan qiymatlarini solishtiring va eng yaxshisini tanlang.

Ishlab chiqarish rejasiga ko‘ra, korxona 180 turdagi mahsulot ishlab chiqarishi kerak. Ushbu mahsulotlar ikkita texnologik usulda ishlab chiqarilishi mumkin. I usulda x1 mahsulot ishlab chiqarishda xarajatlar 4*x1+x1^2 rubl, II usulda x2 mahsulot ishlab chiqarishda esa 8*x2+x2^2 rublni tashkil qiladi. Har bir usul yordamida qancha mahsulot ishlab chiqarish kerakligini aniqlang, shunda ishlab chiqarishning umumiy qiymati minimal bo'ladi.

Yechish: Muammoning matematik formulasi aniqlashdan iborat eng past qiymat Ikki o'zgaruvchining funktsiyalari:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, berilgan x1 +x2 = 180.

Lagrange funksiyasini tuzamiz:

F(x1,x2,l) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+l*(180-x1-x2).

Uning x1, x2, l ga nisbatan qisman hosilalarini hisoblab, 0 ga tenglashtiramiz:

l ni birinchi ikkita tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazamiz va ularning chap tomonlarini tenglashtiramiz, biz 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2 yoki x1 - x2 = 2 ni olamiz.

Oxirgi tenglamani x1 + x2 = 180 tenglama bilan birga yechib, x1 = 91, x2 = 89 ni topamiz, ya'ni shartlarni qanoatlantiradigan yechimga erishdik:

O'zgaruvchilarning ushbu qiymatlari uchun maqsad funktsiyasi f qiymatini topamiz:

F(x1, x2) = 17278

Bu nuqta ekstremal nuqta uchun shubhali. Ikkinchi qisman hosilalardan foydalanib, (91.89) nuqtada f funktsiya minimalga ega ekanligini ko'rsatishimiz mumkin.

Usulning tavsifi

Qayerda.

Mantiqiy asos

Lagrange multiplikator usulining quyidagi asoslanishi uning qat'iy isboti emas. U tushunishga yordam beradigan evristik mulohazalarni o'z ichiga oladi geometrik ma'no usuli.

Ikki o'lchovli kassa

Darajali chiziqlar va egri chiziq.

Tenglama bilan belgilangan shartda ikkita o‘zgaruvchining qandaydir funksiyasining ekstremumini topish talab qilinsin. . Biz barcha funksiyalar uzluksiz differensiallanadi deb faraz qilamiz va bu tenglama silliq egri chiziqni aniqlaydi S yuzada. Keyin muammo funksiyaning ekstremumini topishga tushadi f egri chiziqda S. Biz ham shunday deb taxmin qilamiz S gradient joylashgan nuqtalardan o'tmaydi f 0 ga aylanadi.

Tekislikda funksiya sathi chiziqlarini chizamiz f(ya'ni egri chiziqlar). Geometrik mulohazalardan ko'rinib turibdiki, funktsiyaning ekstremumi f egri chiziqda S faqat teginish nuqtalari bo'lishi mumkin S va mos keladigan darajadagi chiziq mos keladi. Haqiqatan ham, egri chiziq bo'lsa S daraja chizig'ini kesib o'tadi f ko'ndalang nuqtada (ya'ni nolga teng bo'lmagan burchak ostida), keyin egri chiziq bo'ylab harakatlanadi S bir nuqtadan kattaroq qiymatga mos keladigan darajali chiziqlarga o'tishimiz mumkin f, va kamroq. Shuning uchun bunday nuqta ekstremum nuqta bo'lishi mumkin emas.

Shunday qilib, bizning holatlarimizda ekstremum uchun zaruriy shart tangenslarning mos kelishi bo'ladi. Uni analitik shaklda yozish uchun u funktsiyalar gradientlarining parallelizmiga ekvivalentligiga e'tibor bering. f va ps ma'lum bir nuqtada, chunki gradient vektori sath chizig'ining tangensiga perpendikulyar. Bu shart quyidagi shaklda ifodalanadi:

Bu erda l - nolga teng bo'lmagan son, Lagrange ko'paytmasi.

Keling, endi ko'rib chiqaylik Lagrange funktsiyasi, ga qarab va l:

Uning ekstremumining zaruriy sharti gradientning nolga teng bo'lishidir. Farqlash qoidalariga muvofiq shaklda yoziladi

Biz dastlabki ikkita tenglama zarur shartga ekvivalent bo'lgan tizimni oldik mahalliy ekstremal(1) va uchinchisi - tenglamaga . Undan topishingiz mumkin. Bundan tashqari, aks holda funktsiyaning gradienti f nuqtada yo'qoladi , bu bizning taxminlarimizga zid. Shuni ta'kidlash kerakki, shu tarzda topilgan nuqtalar shartli ekstremumning kerakli nuqtalari bo'lmasligi mumkin - ko'rib chiqilgan shart zarur, ammo etarli emas. Yordamchi funksiya yordamida shartli ekstremumni topish L va bu erda ikkita o'zgaruvchining eng oddiy holi uchun qo'llaniladigan Lagrange multiplikator usulining asosini tashkil qiladi. Ma’lum bo‘lishicha, yuqoridagi mulohazalarni shartlarni belgilaydigan o‘zgaruvchilar va tenglamalarning ixtiyoriy soniga umumlashtirish mumkin.

Lagrange multiplikator usuliga asoslanib, ba'zilarini isbotlash mumkin etarli sharoitlar shartli ekstremum uchun, Lagrange funktsiyasining ikkinchi hosilalarini tahlil qilishni talab qiladi.

Ilova

• Lagranj multiplikator usuli ko'p sohalarda (masalan, iqtisodda) yuzaga keladigan chiziqli bo'lmagan dasturlash muammolarini hal qilish uchun ishlatiladi.
• Berilgan o'rtacha bit tezligida audio va video ma'lumotlarni kodlash sifatini optimallashtirish muammosini hal qilishning asosiy usuli (buzilishni optimallashtirish - ingliz. Rate-Distortion optimallashtirish).

Shuningdek qarang

Havolalar

• Zorich V.A. Matematik tahlil. 1-qism. - tahrir. 2, rev. va qo'shimcha - M.: FAZIS, 1997 yil.

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Lagrange multiplikatorlari" nima ekanligini ko'ring:

Lagranj multiplikatorlari- konveks dasturlashning ekstremal muammosini (xususan, chiziqli dasturlash) ko'paytirgichlarni echish usulidan foydalangan holda klassik usullardan birini qo'llash orqali hal qilishda maqsad funktsiyasini o'zgartiruvchi qo'shimcha omillar ... ... Iqtisodiy va matematik lug'at

Lagranj multiplikatorlari- Ekstremal qavariq dasturlash masalasini (xususan, chiziqli dasturlash) klassik usullardan biri, ko‘paytiruvchilarni yechish usuli (Lagranj usuli) yordamida yechishda uning maqsad funksiyasini o‘zgartiruvchi qo‘shimcha omillar.... ... Texnik tarjimon uchun qo'llanma

Mexanika. 1) 1-turdagi Lagranj tenglamalari, mexanik harakatning differentsial tenglamalari. to'rtburchaklar koordinata o'qlariga proektsiyalarda berilgan va deb ataladigan tizimlarni o'z ichiga olgan tizimlar. Lagranj multiplikatorlari. 1788 yilda J. Lagrange tomonidan olingan. Golonomik tizim uchun ... ... Jismoniy ensiklopediya

Oddiy mexanika differensial tenglamalar Mexanik harakatlarni tavsiflovchi 2-tartib. ularga qo'llaniladigan kuchlar ta'siri ostidagi tizimlar. L.u. J. tomonidan oʻrnatilgan Lag diapazoni ikki shaklda: L. u. 1-tur yoki dekart koordinatalaridagi tenglamalar ... ... Matematik entsiklopediya

1) gidromexanikada suyuqlik (gaz) harakatining Lagranj o'zgaruvchilaridagi tenglamasi, bu muhitning koordinatalari. Fransuz tilini oldi olim J. Lagranj (taxminan 1780 yil). L. u.dan. muhitning harakat qonuni bog'liqliklar ko'rinishida aniqlanadi... ... Jismoniy ensiklopediya

Lagranj ko'paytma usuli, f(x) funksiyaning shartli ekstremumini topish usuli, bunda m cheklovga nisbatan i birdan m gacha o'zgaradi. Mundarija 1 Usulning tavsifi ... Vikipediya

Ko'p o'zgaruvchilar va funksional funktsiyalarning shartli ekstremumiga oid masalalarni yechishda qo'llaniladigan funktsiya. L. f yordami bilan. qayd qilinadi zarur shart-sharoitlar shartli ekstremumdagi masalalarda optimallik. Bunday holda, faqat o'zgaruvchilarni ifodalash shart emas... Matematik entsiklopediya

Shartli ekstremum bo'yicha masalalarni yechish usuli; L.M.M. bu muammolarni yordamchi funktsiyaning shartsiz ekstremumidagi muammolarga qisqartirishdan iborat. Lagrange funktsiyalari. f (x1, x2,..., xn) funksiyaning ekstremum masalasi uchun... ... uchun.

Shartli ekstremum bo'yicha masalalarni o'rganishda ularning yordami bilan Lagrange funktsiyasi tuziladigan o'zgaruvchilar. Chiziqli usullardan va Lagrange funktsiyasidan foydalanish shartli ekstremum bilan bog'liq masalalarda kerakli optimallik shartlarini bir xilda olish imkonini beradi ... Matematik entsiklopediya

1) gidromexanikada suyuqlik muhitining harakat tenglamalari muhit zarrachalarining koordinatalari bo'lgan Lagranj o'zgaruvchilari bilan yoziladi. L. u.dan. muhit zarralarining harakat qonuni koordinatalarning vaqtga bog'liqligi ko'rinishida aniqlanadi va ulardan ... ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

• Oʻquv qoʻllanma

Hamma Xayrli kun. Ushbu maqolada men ulardan birini ko'rsatmoqchiman grafik usullar qurilish matematik modellar deb ataladigan dinamik tizimlar uchun bog'lanish grafigi("bog'" - ulanishlar, "grafik" - grafik). Rus adabiyotida men bu usulning tavsiflarini faqat Tomskiyning darsligida topdim Politexnika universiteti, A.V. Voronin "MEHATRONIK TIZIMLARNI MODELLASH" 2008 Shuningdek, ko'rsating klassik usul 2-turdagi Lagranj tenglamasi orqali.

Lagrange usuli

Men nazariyani tasvirlamayman, men bir nechta sharhlar bilan hisob-kitoblarning bosqichlarini ko'rsataman. Shaxsan men uchun nazariyani 10 marta o'qishdan ko'ra misollardan o'rganish osonroq. Menimcha, rus adabiyotida bu usulning tushuntirishlari va umuman matematika yoki fizika juda boy. murakkab formulalar, shunga mos ravishda jiddiy matematik bilim talab qiladi. Lagranj usulini o‘rganar ekanman (Italiyaning Turin politexnika universitetida o‘qiyman) hisoblash usullarini solishtirish uchun rus adabiyotini o‘rgandim va bu usulni yechish jarayonini kuzatish men uchun qiyin bo‘ldi. Hatto Xarkov aviatsiya institutida modellashtirish kurslarini eslab, bunday usullarni olish juda mashaqqatli edi va hech kim bu masalani tushunishga harakat qilmadi. Men Lagranj bo'yicha matematik modellarni qurish bo'yicha qo'llanmani yozishga qaror qildim, chunki bu unchalik qiyin emas, vaqt va qisman hosilalarga nisbatan hosilalarni qanday hisoblashni bilish kifoya. Keyinchalik murakkab modellar uchun aylanish matritsalari ham qo'shiladi, ammo ularda ham murakkab narsa yo'q.

Modellashtirish usullarining xususiyatlari:

• Nyuton-Eyler: dinamik muvozanatga asoslangan vektor tenglamalar kuch Va daqiqalar
• Lagrange: kinetik va potentsial bilan bog'liq holat funktsiyalariga asoslangan skalyar tenglamalar energiyalar
• Obligatsiyalar soni: oqimga asoslangan usul kuch tizim elementlari o'rtasida

dan boshlaylik oddiy misol. Bahor va damper bilan massa. Biz tortishish kuchini e'tiborsiz qoldiramiz.

1-rasm. Bahor va damper bilan massa

Avvalo, biz quyidagilarni belgilaymiz:

• boshlang'ich tizimi koordinatalar(NSK) yoki sobit sk R0(i0,j0,k0). Qayerda? Barmog'ingizni osmonga yo'naltirishingiz mumkin, ammo miyadagi neyronlarning uchlarini silkitib, M1 tanasining harakat chizig'iga NSCni joylashtirish g'oyasi o'tadi.
• massasi bo'lgan har bir jism uchun koordinatali tizimlar(bizda M1 bor R1(i1,j1,k1)), yo'nalish o'zboshimchalik bilan bo'lishi mumkin, lekin nima uchun hayotingizni murakkablashtirasiz, uni NSCdan minimal farq bilan o'rnating.
• umumlashtirilgan koordinatalar q_i(harakatni tasvirlay oladigan o'zgaruvchilarning minimal soni), bu misolda bitta umumlashtirilgan koordinata mavjud, faqat j o'qi bo'ylab harakat.

2-rasm. Biz koordinata tizimlari va umumlashtirilgan koordinatalarni qo'yamiz

3-rasm. Tananing joylashishi va tezligi M1

Keyin formulalar yordamida amortizatorning kinetik (C) va potentsial (P) energiyalarini va dissipativ funktsiyasini (D) topamiz:

4-rasm. To'liq formula kinetik energiya

Bizning misolimizda aylanish yo'q, ikkinchi komponent 0 ga teng.

5-rasm. Kinetik, potensial energiya va dissipativ funksiyani hisoblash

Lagranj tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

6-rasm. Lagranj tenglamasi va Lagranj

Delta W_i Bu amaliy kuchlar va momentlar tomonidan bajariladigan virtual ish. Keling, uni topamiz:

7-rasm. Virtual ishni hisoblash

Qayerda delta q_1 virtual harakat.

Biz hamma narsani Lagrange tenglamasiga almashtiramiz:

8-rasm. Olingan ommaviy model bahor va damperli

Lagrange usuli shu bilan tugadi. Ko'rib turganingizdek, bu unchalik murakkab emas, lekin bu hali ham juda oddiy misol, buning uchun Nyuton-Eyler usuli oddiyroq bo'lishi mumkin. Turli burchaklarda bir-biriga nisbatan aylantirilgan bir nechta jismlar bo'ladigan murakkabroq tizimlar uchun Lagrange usuli osonroq bo'ladi.

Bog'lanish usuli grafik

Men sizga modelning massa, prujinali va damperli misol uchun bog'lanish grafigida qanday ko'rinishini darhol ko'rsataman:

9-rasm. Prujinali va damperli bog'lanish-grafik massalar

Bu erda siz bir oz nazariyani aytib berishingiz kerak bo'ladi, bu qurish uchun etarli bo'ladi oddiy modellar. Agar kimdir qiziqsa, kitobni o'qishingiz mumkin ( Obligatsiyalar grafikasi metodologiyasi) yoki ( Voronin A.V. Mexatronik tizimlarni modellashtirish: Qo'llanma. - Tomsk: Tomsk politexnika universiteti nashriyoti, 2008 yil).

Keling, avvalo shuni aniqlaylik murakkab tizimlar bir nechta domenlardan iborat. Masalan, elektr motor elektr va mexanik qismlardan yoki domenlardan iborat.

bog'lanish grafigi ushbu domenlar, quyi tizimlar o'rtasidagi quvvat almashinuviga asoslangan. E'tibor bering, har qanday shakldagi quvvat almashinuvi har doim ikkita o'zgaruvchi bilan belgilanadi ( o'zgaruvchan quvvat) yordamida biz dinamik tizim ichidagi turli quyi tizimlarning o'zaro ta'sirini o'rganishimiz mumkin (jadvalga qarang).

Jadvaldan ko'rinib turibdiki, hokimiyatning ifodasi hamma joyda deyarli bir xil. Qisqa bayoni; yakunida, Quvvat- Bu ish" oqim - f"yoq" harakat - e».

Bir harakat(inglizcha) harakat) elektr sohasida bu kuchlanish (e), mexanik sohada - kuch (F) yoki moment (T), gidravlikada - bosim (p).

Oqim(inglizcha) oqim) elektr sohasida u tok (i), mexanik sohada tezlik (v) yoki burchak tezligi(omega), gidravlikada - suyuqlik oqimi yoki oqim tezligi (Q).

Ushbu belgilarni olib, biz kuchning ifodasini olamiz:

10-rasm. Quvvat o'zgaruvchilari orqali quvvat formulasi

Bog'lanish-grafik tilida quvvat almashadigan ikkita quyi tizim o'rtasidagi aloqa bog'lanish bilan ifodalanadi. rishta). Shuning uchun ham shunday deyiladi bu usul bog'lanish grafigi yoki g raf-bog'lanishlar, bog'langan grafik. Keling, ko'rib chiqaylik blok diagrammasi elektr motorli modeldagi ulanishlar (bu hali bog'lanish grafigi emas):

11-rasm. Domenlar orasidagi quvvat oqimining blok diagrammasi

Agar bizda kuchlanish manbai bo'lsa, unda shunga mos ravishda u kuchlanish hosil qiladi va uni o'rash uchun dvigatelga o'tkazadi (shuning uchun o'q dvigatel tomon yo'naltiriladi), o'rashning qarshiligiga qarab, Ohm qonuniga muvofiq oqim paydo bo'ladi (yo'naltirilgan). dvigateldan manbagacha). Shunga ko'ra, bitta o'zgaruvchi quyi tizimga kirish, ikkinchisi esa bo'lishi kerak Chiqish quyi tizimdan. Bu erda kuchlanish ( harakat) – kirish, joriy ( oqim) - Chiqish.

Agar joriy manbadan foydalansangiz, diagramma qanday o'zgaradi? To'g'ri. Oqim dvigatelga, kuchlanish esa manbaga yo'naltiriladi. Keyin joriy ( oqim) – kirish, kuchlanish ( harakat) - Chiqish.

Keling, mexanikada bir misolni ko'rib chiqaylik. Massaga ta'sir qiluvchi kuch.

12-rasm. Massaga qo'llaniladigan kuch

Blok diagrammasi quyidagicha bo'ladi:

13-rasm. Blok diagrammasi

Ushbu misolda, Kuch ( harakat) – massa uchun kiritiladigan o‘zgaruvchi. (Masaga qo'llaniladigan kuch)
Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra:

Massa tezlik bilan javob beradi:

Ushbu misolda, agar bitta o'zgaruvchi ( kuch - harakat) hisoblanadi Kirish mexanik domenga, keyin boshqa quvvat o'zgaruvchisi ( tezlik - oqim) - avtomatik ravishda bo'ladi Chiqish.

Kirish qayerda va chiqish qaerda ekanligini farqlash uchun elementlar orasidagi strelka (ulanish) oxirida vertikal chiziq ishlatiladi, bu chiziq deyiladi. sababiy bog'liqlik belgisi yoki sabab-oqibat (nedensellik). Ma'lum bo'lishicha, qo'llaniladigan kuch sabab, tezlik esa ta'sir. Ushbu belgi tizim modelini to'g'ri qurish uchun juda muhimdir, chunki sabab-oqibat natijadir jismoniy xatti-harakatlar va ikkita quyi tizimning vakolatlari almashinuvi, shuning uchun sabab belgisining joylashishini tanlash o'zboshimchalik bilan bo'lishi mumkin emas.

14-rasm. Sabab-oqibat belgisi

Ushbu vertikal chiziq qaysi quyi tizim kuchni qabul qilishini ko'rsatadi ( harakat) va natijada oqim hosil qiladi ( oqim). Massa bilan misolda shunday bo'ladi:

14-rasm. Massaga ta'sir etuvchi kuch uchun sabab-oqibat munosabatlari

O'qdan aniq ko'rinib turibdiki, massa uchun kirish - kuch, va chiqish tezlik. Bu diagrammani o'qlar bilan chalkashtirmaslik va modelni qurishni tizimlashtirish uchun amalga oshiriladi.

Keyingisi muhim nuqta. Umumiy impuls(harakat miqdori) va harakatlanuvchi(energiya o'zgaruvchilari).

Turli sohalarda quvvat va energiya o'zgaruvchilari jadvali

Yuqoridagi jadval bog'lanish-grafik usulida qo'llaniladigan ikkita qo'shimcha fizik miqdorni taqdim etadi. Ular chaqiriladi umumiy impuls (R) Va umumiy harakat (q) yoki energiya o'zgaruvchilari va ularni vaqt o'tishi bilan quvvat o'zgaruvchilari integratsiyasi orqali olish mumkin:

15-rasm. Quvvat va energiya o'zgaruvchilari o'rtasidagi bog'liqlik

Elektr sohasida :

Faraday qonuniga asoslanib, Kuchlanishi o'tkazgichning uchlarida bu o'tkazgich orqali magnit oqimning lotinga teng.

A Hozirgi kuch - jismoniy miqdor, ba'zi vaqt t orqali o'tadigan zaryad miqdori Q nisbatiga teng ko'ndalang kesim dirijyor, ushbu davr qiymatiga.

Mexanik domen:

Nyutonning 2-qonunidan, Kuch– impulsning vaqt hosilasi

Va shunga mos ravishda, tezlik- siljishning vaqt hosilasi:

Keling, xulosa qilaylik:

Asosiy elementlar

Dinamik tizimlardagi barcha elementlarni ikki kutupli va to'rt kutupli komponentlarga bo'lish mumkin.
Keling, ko'rib chiqaylik bipolyar komponentlar:

Manbalar
Ham harakat, ham oqim manbalari mavjud. Elektr sohasidagi analogiya: harakat manbai – kuchlanish manbai, oqim manbai – joriy manba. Manbalar uchun sabab belgilari faqat shunday bo'lishi kerak.

16-rasm. Sabab-oqibat bog'lanishlari va manbalarning belgilanishi

R komponenti - tarqatuvchi element

I komponent - inertial element

Komponent C - sig'im elementi

Raqamlardan ko'rinib turibdiki, bir xil elementlarning turli xillari R, C, I turi bir xil tenglamalar bilan tavsiflanadi. FAQAT elektr sig'imi uchun farq bor, faqat uni eslab qolish kerak!

To'rt kutupli komponentlar:

Keling, ikkita komponentni ko'rib chiqaylik: transformator va gyrator.

Bog'lanish-grafik usulidagi oxirgi muhim komponentlar ulanishlardir. Ikki turdagi tugunlar mavjud:

Bu komponentlar bilan.

Bog'lanish grafigini tuzgandan so'ng sabab-oqibat munosabatlarini o'rnatishning asosiy bosqichlari:

1. Hammaga sababiy bog'lanishlarni bering manbalar
2. Barcha tugunlardan o'ting va 1-banddan keyin sabab-oqibat munosabatlarini qo'ying
3. Uchun komponentlar I kirish sabab-oqibat munosabatlarini belgilash (harakat ushbu komponentga kiritilgan), uchun komponentlar C chiqish sababini belgilash (harakat ushbu komponentdan kelib chiqadi)
4. 2-bandni takrorlang
5. uchun sabab bog‘lanishlarni qo‘ying R komponentlari

Bu nazariya bo'yicha mini-kursni yakunlaydi. Endi bizda modellarni yaratish uchun kerak bo'lgan hamma narsa bor.
Keling, bir nechta misollarni hal qilaylik. Keling, elektr sxemasidan boshlaylik, bog'lanish grafigini qurishning o'xshashligini tushunish yaxshiroqdir.

1-misol

Keling, kuchlanish manbai bilan bog'lanish grafigini qurishni boshlaylik. Faqat Se yozing va o'qni qo'ying.

Qarang, hamma narsa oddiy! Keling, yana ko'rib chiqaylik, R va L ketma-ket ulangan, ya'ni ulardagi bir xil oqim oqimlari, agar kuch o'zgaruvchilari haqida gapiradigan bo'lsak - bir xil oqim. Qaysi tugun bir xil oqimga ega? To'g'ri javob 1-tugun. 1-tugunga manba, qarshilik (komponent - R) va indüktans (komponent - I) ni bog'laymiz.

Keyinchalik, biz parallel ravishda sig'im va qarshilikka egamiz, ya'ni ular bir xil kuchlanish yoki kuchga ega. 0-tugun boshqa hech kimga o'xshamaydi. Biz sig'imni (komponent C) va qarshilikni (komponent R) 0-tugunga bog'laymiz.

Shuningdek, biz 1 va 0 tugunlarini bir-biriga bog'laymiz. O'qlarning yo'nalishi o'zboshimchalik bilan tanlangan, ulanish yo'nalishi faqat tenglamalardagi belgiga ta'sir qiladi.

Siz quyidagi ulanish grafigini olasiz:

Endi biz sabab-oqibat munosabatlarini o'rnatishimiz kerak. Ularni joylashtirish ketma-ketligi bo'yicha ko'rsatmalarga rioya qilib, manbadan boshlaylik.

1. Bizda kuchlanish manbai (harakat) bor, bunday manbada faqat bitta sabab-oqibat varianti mavjud - chiqish. Keling, uni qo'yamiz.
2. Keyin I komponent bor, keling, ular nimani tavsiya qilishlarini ko'rib chiqaylik. qo'yamiz
3. Biz uni 1-tugun uchun qo'yamiz. Yemoq
4. 0-tugunda bitta kirish va barcha chiqish sabablari bo'lishi kerak. Hozircha bizda bir kun dam bor. Biz C yoki I komponentlarini qidiramiz. Biz uni topdik. qo'yamiz
5. Keling, qolganlarini sanab o'tamiz

Ana xolos. Obligatsiyalar grafigi tuzilgan. Huray, oʻrtoqlar!

Qolgan narsa bizning tizimimizni tavsiflovchi tenglamalarni yozishdir. Buning uchun 3 ta ustunli jadval tuzing. Birinchisi tizimning barcha komponentlarini, ikkinchisida har bir element uchun kirish o'zgaruvchisini, uchinchisi esa bir xil komponent uchun chiqish o'zgaruvchisini o'z ichiga oladi. Biz allaqachon kirish va chiqishni sabab-oqibat munosabatlari bilan aniqladik. Shunday qilib, hech qanday muammo bo'lmasligi kerak.

Keling, darajalarni yozib olish qulayligi uchun har bir ulanishni raqamlaymiz. Har bir element uchun tenglamalarni C, R, I komponentlar ro'yxatidan olamiz.

Jadvalni tuzib, biz holat o'zgaruvchilarini aniqlaymiz, bu misolda ulardan ikkitasi bor, p3 va q5. Keyin holat tenglamalarini yozishingiz kerak:

Hammasi, model tayyor.

Misol 2. Surat sifati uchun darhol uzr so'rayman, asosiysi o'qishingiz mumkin

Keling, Lagrange usuli yordamida yechgan mexanik tizim uchun yana bir misolni yechaylik. Men izohsiz yechimni ko'rsataman. Keling, ushbu usullardan qaysi biri sodda va osonroq ekanligini tekshirib ko'raylik.

Matbalada bir xil parametrlarga ega bo'lgan ikkala matematik model ham tuzilgan bo'lib, ular Lagranj usuli va bog'lanish grafigi bilan olingan. Natija quyida: teglar qo'shing

Shartli ekstremumni aniqlash usuli yordamchi Lagrange funktsiyasini qurishdan boshlanadi, bu mumkin bo'lgan echimlar hududida o'zgaruvchilarning bir xil qiymatlari uchun maksimal darajaga etadi. x 1 , x 2 , ..., x n , bu maqsad funksiyasi bilan bir xil z . Funksiyaning shartli ekstremumini aniqlash masalasi yechilsin z = f(X) cheklovlar ostida φ i ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, i = 1, 2, ..., m , m < n

Keling, funktsiya tuzamiz

qaysi deyiladi Lagrange funktsiyasi. X , - doimiy omillar ( Lagranj multiplikatorlari). E'tibor bering, Lagrange multiplikatorlariga iqtisodiy ma'no berilishi mumkin. Agar f(x 1 , x 2 , ..., x n ) - rejaga muvofiq keladigan daromad X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) , va funksiya φ i (x 1 , x 2 , ..., x n ) - ushbu rejaga mos keladigan i-resursning xarajatlari, keyin X , - i-resursning (marjinal baho) hajmining o'zgarishiga qarab maqsad funktsiyasining ekstremal qiymatining o'zgarishini tavsiflovchi i-resursning narxi (bahosi). L(X) - funksiya n+m o'zgaruvchilar (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Bu funksiyaning statsionar nuqtalarini aniqlash tenglamalar tizimini echishga olib keladi

Buni ko'rish oson . Shunday qilib, funksiyaning shartli ekstremumini topish vazifasi z = f(X) funksiyaning mahalliy ekstremumini topishga qisqartiradi L(X) . Agar statsionar nuqta topilsa, u holda eng oddiy hollarda ekstremumning mavjudligi haqidagi masala ekstremum uchun etarli shartlar asosida hal qilinadi - ikkinchi differentsial belgisini o'rganish. d 2 L(X) statsionar nuqtada, o'zgaruvchining o'sishi sharti bilan Dx i - munosabatlar bilan bog'langan

birikish tenglamalarini differensiallash orqali olinadi.

Ikki noma’lumli chiziqli bo‘lmagan tenglamalar sistemasini Yechim topuvchi asbob yordamida yechish

Sozlamalar Yechim topish ikkita noma'lumli chiziqli bo'lmagan tenglamalar tizimining yechimini topishga imkon beradi:

Qayerda
- o'zgaruvchilarning chiziqli bo'lmagan funktsiyasi x Va y ,
- ixtiyoriy doimiy.

Ma'lumki, er-xotin ( x , y ) ikki noma’lumli quyidagi tenglamaning yechimi bo‘lgan taqdirdagina (10) tenglamalar tizimining yechimidir:

BILAN boshqa tomondan, (10) sistemaning yechimi ikkita egri chiziqning kesishish nuqtalaridir: f ] (x, y) = C Va f 2 (x, y) = C 2 yuzada XOY.

Bu tizimning ildizlarini topish usuliga olib keladi. chiziqli bo'lmagan tenglamalar:

Tenglamalar (10) yoki (11) tenglamalar tizimi yechimining mavjud bo'lish oralig'ini (hech bo'lmaganda taxminan) aniqlang. Bu erda tizimga kiritilgan tenglamalar turini, ularning har bir tenglamasini aniqlash sohasini va hokazolarni hisobga olish kerak. Ba'zan yechimning dastlabki yaqinlashuvini tanlash qo'llaniladi;

Tanlangan oraliqdagi x va y o‘zgaruvchilar uchun (11) tenglama yechimini jadvalga kiriting yoki funksiyalar grafiklarini tuzing. f 1 (x, y) = C, va f 2 (x, y) = C 2 (tizim (10)).

Tenglamalar tizimining taxminiy ildizlarini lokalizatsiya qiling - (11) tenglamaning ildizlari jadvalidan bir nechta minimal qiymatlarni toping yoki tizimga kiritilgan egri chiziqlarning kesishish nuqtalarini aniqlang (10).

4. (10) tenglamalar sistemasining ildizlarini qo‘shimcha yordamida toping Yechim topish.