Nyuton usuli (tangens usuli deb ham ataladi) berilgan funksiyaning ildizini (nol) topish uchun takrorlanuvchi sonli usuldir. Usul birinchi marta ingliz fizigi, matematigi va astronomi Isaak Nyuton (1643-1727) tomonidan taklif qilingan va uning nomi bilan mashhur bo'lgan.
Usul Isaak Nyuton tomonidan De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (lat. .Haqida cheksiz qatorlar tenglamalari bo'yicha tahlil), 1669 yilda Barrouga yo'naltirilgan va De metodis fluxionum et serierum infinitarum (lotincha: oqimlar va cheksiz qatorlar usuli) yoki Geometria analytica ( lat.Analitik geometriya) Nyutonning 1671 yilda yozilgan to'plangan asarlarida. Biroq, usulning tavsifi hozirgi taqdimotidan sezilarli darajada farq qildi: Nyuton o'z usulini faqat polinomlarga qo'lladi. U x n ning ketma-ket yaqinlashuvlarini emas, balki ko'phadlar ketma-ketligini hisoblab chiqdi va natijada x ning taqribiy yechimini oldi.
Usul birinchi marta 1685 yilda Jon Uollis tomonidan "Algebra" risolasida nashr etilgan, uning iltimosiga binoan Nyutonning o'zi qisqacha tavsiflagan. 1690 yilda Jozef Rafson o'zining "Aequationum universalis tahlili" asarida soddalashtirilgan tavsifni nashr etdi (lat. Umumiy tahlil tenglamalar). Rafson Nyuton usulini sof algebraik deb hisobladi va uni polinomlar bilan chekladi, lekin u usulni Nyuton qoʻllagan polinomlar ketma-ketligini tushunish qiyinroq boʻlgan ketma-ketlik oʻrniga x n ketma-ket yaqinlashuvlari nuqtai nazaridan taʼrifladi.
Nihoyat, 1740 yilda Nyuton usuli Tomas Simpson tomonidan hal qilishning birinchi darajali iterativ usuli sifatida tasvirlangan. nochiziqli tenglamalar bu erda ko'rsatilgandek hosiladan foydalanish. Xuddi shu nashrda Simpson usulni ikkita tenglama tizimi holatiga umumlashtirdi va Nyuton usulini lotin yoki gradientning nolini topish orqali optimallashtirish masalalarini hal qilishda ham qo'llash mumkinligini ta'kidladi.
Bu usulga muvofiq funktsiyaning ildizini topish vazifasi funksiya grafigiga chizilgan tangensning x o'qi bilan kesishish nuqtasini topish vazifasiga tushiriladi.
1-rasm . Funktsiyani o'zgartirish grafigi
Funksiya grafigining istalgan nuqtasida chizilgan tangens chiziq ko'rib chiqilayotgan nuqtadagi ushbu funktsiyaning hosilasi bilan aniqlanadi, bu esa o'z navbatida a () burchakning tangensi bilan aniqlanadi. Tangensning abscissa o'qi bilan kesishish nuqtasi quyidagi munosabatlarga asoslanib aniqlanadi to'g'ri uchburchak: burchak tangensito'g'ri burchakli uchburchakda uchburchakning qarama-qarshi tomonining qo'shni tomoniga nisbati bilan aniqlanadi. Shunday qilib, har bir qadamda keyingi yaqinlashish nuqtasida funktsiya grafigiga teginish quriladi. . Tangensning o'q bilan kesishish nuqtasi ho'kiz keyingi yondashuv nuqtasi bo'ladi. Ko'rib chiqilayotgan usulga muvofiq, ildizning taxminiy qiymatini hisoblashi-iteratsiyalar quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi:
To'g'ri chiziqning qiyaligi har bir qadamda eng yaxshi tarzda o'rnatiladi, ammo siz algoritm grafikning egriligini hisobga olmasligiga e'tibor berishingiz kerak va shuning uchun hisoblash jarayonida u noma'lum bo'lib qoladi. grafik qaysi yo'nalishda og'ishi mumkin.
Takrorlash jarayonining tugash sharti quyidagi shartning bajarilishi hisoblanadi:
Qayerda ˗ ildizni aniqlashda ruxsat etilgan xato.
Usul kvadratik yaqinlashuvga ega. Yaqinlashuvning kvadratik tezligi har bir iteratsiya bilan yaqinlashishdagi to'g'ri belgilar soni ikki baravar ko'payishini anglatadi.
Matematik asoslash
Haqiqiy funktsiya berilsin, bu ko'rib chiqilayotgan sohada aniqlangan va uzluksiz. Ko'rib chiqilayotgan funktsiyaning haqiqiy ildizini topish kerak.
Tenglamani chiqarish usuliga asoslanadi oddiy iteratsiyalar, unga ko'ra tenglama har qanday funktsiya uchun ekvivalent tenglamaga keltiriladi. Keling, munosabatlar bilan belgilanadigan qisqarish xaritasi tushunchasini kiritaylik.
Usulning eng yaxshi yaqinlashuvi uchun shart keyingi yaqinlashish nuqtasida bajarilishi kerak. Bu talab funktsiyaning ildizi funksiyaning ekstremumiga mos kelishi kerakligini bildiradi.
Qisqartirish xaritasining hosilasiquyidagicha aniqlanadi:
Bu ifodadan o'zgaruvchini ifodalaylikshartni ta'minlash zarur bo'lganda, ilgari qabul qilingan bayonotga muvofiq. Natijada, biz o'zgaruvchini aniqlash uchun ifodani olamiz:
Buni hisobga olgan holda, siqish funktsiyasi quyidagicha:
Shunday qilib, tenglamaning raqamli yechimini topish algoritmi iterativ hisoblash protsedurasiga tushiriladi:
Usul yordamida chiziqli bo'lmagan tenglamaning ildizini topish algoritmi
1. Funktsiya ildizining taxminiy qiymatining boshlang'ich nuqtasini o'rnating, shuningdek, hisoblash xatosi (kichik ijobiy raqam) va dastlabki iteratsiya bosqichi ().
2. Funksiya ildizining taxminiy qiymatini formulaga muvofiq hisoblang:
3. Belgilangan aniqlik uchun ildizning taxminiy qiymatini tekshiramiz, agar:
Agar ketma-ket ikkita yaqinlashish o'rtasidagi farq belgilangan aniqlikdan kam bo'lsa, iteratsiya jarayoni tugaydi.
Agar ketma-ket ikkita yaqinlashish orasidagi farq kerakli aniqlikka erishmasa, u holda takrorlash jarayonini davom ettirish va ko'rib chiqilayotgan algoritmning 2-bosqichiga o'tish kerak.
Tenglamalarni yechishga misol
usuli bilanBir o'zgaruvchili tenglama uchun Nyuton
Misol sifatida, usul yordamida chiziqli bo'lmagan tenglamani echishni ko'rib chiqingBir o'zgaruvchili tenglama uchun Nyuton. Ildiz birinchi yaqinlik sifatida aniqlik bilan topilishi kerak.
Nochiziqli tenglamani dasturiy paketda yechish variantiMathCAD3-rasmda keltirilgan.
Hisoblash natijalari, ya'ni ildizning taxminiy qiymatidagi o'zgarishlar dinamikasi, shuningdek, takrorlash bosqichiga bog'liq bo'lgan hisoblash xatolari grafik shaklda keltirilgan (2-rasmga qarang).
2-rasm. Bitta o'zgaruvchili tenglama uchun Nyuton usuli yordamida hisoblash natijalari
Tenglama ildizining taxminiy qiymatini diapazonda qidirishda ko'rsatilgan aniqlikni ta'minlash uchun 4 ta takrorlashni bajarish kerak. Oxirgi takrorlash bosqichida chiziqli bo'lmagan tenglama ildizining taxminiy qiymati quyidagi qiymat bilan aniqlanadi.
3-rasm . Dastur ro'yxatiMathCad
Bir o'zgaruvchili tenglama uchun Nyuton usulining modifikatsiyalari
Nyuton usulining hisoblash jarayonini soddalashtirishga qaratilgan bir qancha modifikatsiyalari mavjud.
Nyutonning soddalashtirilgan usuli
Nyuton usuliga muvofiq har bir iteratsiya bosqichida f(x) funksiyaning hosilasini hisoblash zarur, bu esa hisoblash xarajatlarining oshishiga olib keladi. Har bir hisoblash bosqichida hosilani hisoblash bilan bog'liq xarajatlarni kamaytirish uchun formulaning x n nuqtasidagi f’(x n) hosilasini x 0 nuqtadagi f’(x 0) hosila bilan almashtirish mumkin. Ushbu hisoblash usuliga muvofiq, ildizning taxminiy qiymati quyidagi formula bilan aniqlanadi:O'zgartirilgan Nyuton usuli
Nyutonning farq usuli
Natijada f(x) funksiya ildizining taxminiy qiymati Nyutonning ayirma usuli ifodasi bilan aniqlanadi:
Nyutonning ikki bosqichli usuli
Nyuton usuliga muvofiq har bir takrorlash bosqichida f(x) funksiyaning hosilasini hisoblash zarur, bu har doim ham qulay emas, ba'zan esa amalda imkonsizdir. Bu usul funktsiyaning hosilasini farq nisbati (taxminan qiymat) bilan almashtirishga imkon beradi:
Natijada f(x) funksiya ildizining taxminiy qiymati quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:
Qayerda
5-rasm . Nyutonning ikki bosqichli usuli
Sekant usuli ikki bosqichli usul, ya'ni yangi yaqinlashishdiroldingi ikki takrorlash bilan aniqlanadi Va . Usul ikkita dastlabki taxminni ko'rsatishi kerak Va . Usulning yaqinlashish tezligi chiziqli bo'ladi.
- Orqaga
- Oldinga
Maqolaga o'z sharhingizni qo'shish uchun saytda ro'yxatdan o'ting.
2. Nochiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun Nyuton usuli.
Bu usul oddiy iteratsiya usuliga qaraganda ancha tez konvergentsiyaga ega. Nyutonning tenglamalar tizimi (1.1) usuli funktsiyani kengaytirishdan foydalanishga asoslangan
, Qayerda 
(2.1)
Teylor seriyasida, ikkinchi yoki undan ko'pni o'z ichiga olgan atamalar bilan yuqori buyurtmalar hosilalari tashlanadi. Bunday yondashuv bitta chiziqli bo'lmagan tizimning (1.1) yechimini bir qator chiziqli tizimlarning yechimi bilan almashtirishga imkon beradi.
Demak, (1.1) sistemani Nyuton usuli bilan yechamiz. D hududida istalgan nuqtani tanlang 
va uni dastlabki tizimning aniq yechimiga nolga yaqinlik deb ataymiz. Endi (2.1) funksiyalarni nuqta qo'shnisida Teylor qatoriga kengaytiramiz. Bo'ladi
Chunki (2.2) ning chap tomonlari (1.1) ga muvofiq yo'qolishi kerak, keyin (2.2) ning o'ng tomonlari ham yo'qolishi kerak. Shuning uchun, (2.2) dan biz bor
(2.3) dagi barcha qisman hosilalar nuqtada hisoblanishi kerak.
(2.3) chiziqli sistemadir algebraik tenglamalar noma'lumlarga nisbatan bu sistemani Kramer usulida yechish mumkin, agar uning asosiy determinanti nolga teng bo'lmasa va miqdorlar topilsa.
Endi biz koordinatalar bilan birinchi yaqinlikni qurish orqali nolga yaqinlikni aniqlay olamiz.
bular. 
. (2.6)
(2.6) ga yaqinlik yetarli darajada aniqlik bilan olingan yoki yo'qligini aniqlaylik. Buning uchun shartni tekshirib ko'ramiz
, 
(2.7)
Qayerda 
oldindan belgilangan kichik musbat raqam (tizimni (1.1) echilishi kerak bo'lgan aniqlik). Agar (2.7) shart bajarilsa, u holda (1.1) sistemaga taxminiy yechim sifatida (2.6) ni tanlaymiz va hisob-kitoblarni yakunlaymiz. Agar (2.7) shart bajarilmasa, u holda quyidagi amalni bajaramiz. Tizimda (2.3), o'rniga 
yangilangan qiymatlarni olaylik
, (2.8)
bular. keling buni bajaramiz quyidagi harakatlar
. (2.9)
Shundan so'ng, (2.3) tizim miqdorlar uchun chiziqli algebraik tenglamalar tizimi bo'ladi. Ushbu miqdorlarni aniqlab, keyingi ikkinchi yaqinlashish. 
(1.1) sistemaning yechimini formulalar yordamida topamiz
Endi shartni tekshiramiz (2.7) 
Agar bu shart bajarilsa, biz (1.1) tizimning taxminiy yechimi sifatida ikkinchi yaqinlashishni olib, hisob-kitoblarni yakunlaymiz. 
. Agar bu shart bajarilmasa, biz (2.3) ga binoan keyingi taxminiylikni qurishda davom etamiz. 
Shart qoniqtirilmaguncha, taxminlarni qurish kerak.
(1.1) sistemani yechish uchun Nyuton usulining ishchi formulalarini shaklda yozish mumkin.
Hisoblash ketma-ketligi
Bu yerga 
tizimning yechimidir
(2.11)-(2.13) formulalar yordamida hisoblash algoritmini tuzamiz.
1. D hududiga tegishli nolga yaqinlikni tanlaylik.
2. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasida (2.13) o'rnatamiz 
, A .
3. (2.13) sistemani yechamiz va miqdorlarni topamiz 
.
4. Formulalarda (2.12) qo'yamiz 
va keyingi yaqinlashishning komponentlarini hisoblang.
5. Quyidagilar uchun (2.7) shartni tekshiramiz: (Bir necha miqdorlarning maksimalini hisoblash algoritmiga qarang).
6. Agar bu shart bajarilsa, u holda (1.1) sistemaga taxminiy yechim sifatida yaqinlashishni tanlab, hisob-kitoblarni yakunlaymiz. Agar bu shart bajarilmasa, 7-bosqichga o'ting.
7. Keling, qo'yaylik 
Barcha uchun .
8. 3-bosqichni bajaramiz, qo'yish 
.
Geometrik jihatdan bu algoritmni quyidagicha yozish mumkin:
Algoritm. Maksimal bir necha miqdorni hisoblash.
Misol. Ikki tenglama sistemasini yechishda Nyuton usulidan foydalanishni ko‘rib chiqamiz.
Nyuton usulidan foydalanib, aniqlikka erishing quyidagi tizim nochiziqli tenglamalar
, (2.14)
Bu yerga 
. Keling, nolga yaqinlikni tanlaylik 
, D sohasiga tegishli. Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini tuzamiz (2.3). U o'xshash bo'ladi
(2.15)
belgilaylik
(2.15) sistemani noma’lumlarga nisbatan yechaylik 
, masalan, Kramer usuli. Kramer formulalarini shaklda yozamiz
(2.17)
sistemaning asosiy determinanti qayerda (2.15)
(2.18)
va (2.15) sistemaning yordamchi determinantlari shaklga ega
.
Topilgan qiymatlarni (2.16) ga almashtiramiz va birinchi yaqinlashish komponentlarini topamiz. 
sistemaning yechimiga (2.15).
Keling, vaziyatni tekshiramiz
, (2.19)
agar bu shart bajarilsa, u holda biz (2.15) tizimga taxminiy yechim sifatida birinchi yaqinlashishni olib, hisob-kitoblarni yakunlaymiz, ya'ni. 
. Agar (2.19) shart bajarilmasa, biz o'rnatamiz 
, 
va biz quramiz yangi tizim chiziqli algebraik tenglamalar (2.15). Uni hal qilib, biz ikkinchi taxminiylikni topamiz 
. Keling, buni tekshiramiz. Agar bu shart qondirilsa, biz tizimning taxminiy yechimini tanlaymiz (2.15) 
. Agar shart bajarilmasa, biz o'rnatamiz 
, 
va topish uchun quyidagi tizimni (2.15) tuzing 
va hokazo.
Vazifalar
Barcha vazifalar talab qiladi:
Taklif etilgan algoritm bo'yicha usulni sonli amalga oshirish dasturini tuzing.
Hisoblash natijalarini oling.
Natijalaringizni tekshiring.
Ikki nochiziqli tenglamalar sistemasi berilgan.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10.
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
.
3-bob. Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini (SLAE) echishning raqamli usullari.
Ishning maqsadi. SLAE ni hal qilishning ba'zi taxminiy usullari va ularning shaxsiy kompyuterda raqamli amalga oshirilishi bilan tanishish.
Dastlabki mulohazalar. SLAE ni hal qilishning barcha usullari odatda ikkiga bo'linadi katta guruhlar. Birinchi guruhga odatda aniq deb ataladigan usullar kiradi. Ushbu usullar har qanday tizimni topishga imkon beradi aniq qiymatlar chekli sonli arifmetik amallardan keyin noma'lumlar, ularning har biri aniq bajariladi.
Ikkinchi guruhga aniq bo'lmagan barcha usullar kiradi. Ular iterativ yoki sonli yoki taxminiy deyiladi. Bunday usullardan foydalanganda aniq yechim cheksiz yaqinlashish jarayoni natijasida olinadi. Bunday usullarning jozibador xususiyati ularning o'z-o'zini to'g'rilash va shaxsiy kompyuterda amalga oshirish qulayligidir.
Keling, SLAE ni hal qilishning taxminiy usullarini ko'rib chiqaylik va ularni raqamli amalga oshirish algoritmlarini tuzamiz. Biz aniqlik bilan SLAE ning taxminiy yechimini olamiz, bu erda juda kichik musbat son.
1. Takrorlash usuli.
SLAE shaklda berilsin
(1.1)
Bu tizimni matritsa shaklida yozish mumkin
, (1.2)
Qayerda 
- tizimdagi noma'lumlar uchun koeffitsientlar matritsasi (1.1), 
- bepul a'zolar ustuni, 
- tizimning noma'lumlar ustuni (1.1).
. (1.3)
(1.1) sistemani iteratsiya usuli yordamida yechamiz. Buning uchun biz quyidagi amallarni bajaramiz.
Birinchidan. Keling, nolga yaqinlikni tanlaylik
(1.4)
(1.1) sistemaning aniq yechimiga (1.3). Nolga yaqinlashishning komponentlari har qanday raqamlar bo'lishi mumkin. Ammo nolga yaqinlashish komponentlari uchun nollarni olish qulayroqdir 
, yoki tizimning bepul shartlari (1.1) 
Ikkinchidan. Biz nolga yaqinlik komponentlarini almashtiramiz o'ng tomon tizimi (1.1) va hisoblash
(1.5)
(1.5) ning chap tomonidagi miqdorlar birinchi yaqinlashishning komponentlari hisoblanadi 
Birinchi yaqinlashishga olib kelgan harakatlar iteratsiya deb ataladi.
Uchinchidan. Nol va birinchi taxminlarni tekshirib ko'raylik
(1.6)
Agar barcha shartlar (1.6) bajarilsa, (1.1) tizimning taxminiy yechimi uchun biz birini tanlaymiz, yoki bu muhim emas, chunki ular bir-biridan farq qiladi va hisob-kitoblarni tugatamiz. Agar shartlardan kamida bittasi (1.6) bajarilmasa, keyingi harakatga o'tamiz.
To'rtinchidan. Keling, keyingi iteratsiyani bajaramiz, ya'ni. (1.1) tizimning o'ng tomoniga biz birinchi yaqinlashishning komponentlarini almashtiramiz va ikkinchi yaqinlashishning komponentlarini hisoblaymiz. 
, Qayerda
Beshinchidan. Keling, tekshiramiz 
va ustiga, ya'ni. Keling, ushbu taxminlar uchun (1.6) shartni tekshiramiz. Agar barcha shartlar (1.6) bajarilsa, (1.1) tizimning taxminiy yechimi uchun biz birini tanlaymiz, yoki bu muhim emas, chunki dan ortiq emasligi bilan bir-biridan farq qiladi. Aks holda, biz ikkinchi yaqinlashish komponentlarini tizimning o'ng tomoniga (1.1) almashtirish orqali keyingi iteratsiyani quramiz.
Ikki qo'shni yaqinlashgunga qadar iteratsiyalar qurilishi kerak 
va bir-biridan ko'pi bilan farq qilmaydi.
(1.1) sistemani yechish uchun iteratsiya usulining ishchi formulasi quyidagicha yozilishi mumkin
(1.7) formulani sonli amalga oshirish algoritmi quyidagicha bo'lishi mumkin.
(1.1) sistema uchun iteratsiya usulining yaqinlashuvi uchun yetarli shartlar shaklga ega
1. 
, .
2. 
, 
.
3. 
2. Oddiy takrorlash usuli.
Chiziqli algebraik tenglamalar tizimi (SLAE) ko rinishda berilgan bo lsin
(2.1)
Tizimni (2.1) oddiy takrorlash usuli yordamida yechish uchun avval uni shaklga keltirish kerak
(2.2)
Tizimda (2.2) 
--chi tenglama (2.1) sistemaning -chi tenglamasi bo'lib, -chi noma'lum ( 
).
Tizimni (2.1) yechish usuli, uni (2.2) tizimga qisqartirish va undan keyin (2.2) tizimni takrorlash usuli yordamida yechishdan iborat bo'lib, tizim (2.1) uchun oddiy takrorlash usuli deb ataladi.
Shunday qilib, (2.1) tizimni yechish uchun oddiy iteratsiya usulining ishchi formulalari shaklga ega bo'ladi
(2.3)
Formulalar (2.3) shaklda yozilishi mumkin
(2.4) formulalar bo'yicha tizim (2.1) uchun oddiy takrorlash usulini sonli amalga oshirish algoritmi quyidagicha bo'lishi mumkin.
Bu algoritm geometrik tarzda yozilishi mumkin.
Tizim (2.1) uchun oddiy takrorlash usulini yaqinlashtirish uchun etarli shartlar shaklga ega.
1. 
, .
2. 
, 
.
3. 
3. Statsionar Zaydel usuli.
SLAE ni hal qilish uchun Zaydel usuli iteratsiya usulidan farq qiladi, chunki --chi komponent uchun biroz yaqinlik topib, biz darhol keyingisini topish uchun foydalanamiz. 
, 
, …, 
-chi komponent. Ushbu yondashuv ko'proq narsaga imkon beradi yuqori tezlik iteratsiya usuliga nisbatan Zaydel usulining yaqinlashuvi.
SLAE shaklda berilsin
(3.1)
Mayli 
- aniq yechimga nolga yaqinlik 
tizimlari (3.1). Va topilsin 
th taxminan 
. Keling, komponentlarni aniqlaylik 
th formulalar yordamida taxminan
(3.2)
Formulalar (3.2) ixcham shaklda yozilishi mumkin
, 
, 
(3.3)
(3.3) formulalar yordamida tizimni (3.1) yechish uchun Zaydel usulini sonli amalga oshirish algoritmi quyidagicha bo'lishi mumkin.
1. Masalan, tanlaymiz, 
, 
2. Keling, qo'yaylik.
3. Keling, hamma uchun hisoblab chiqaylik.
4. Biz hamma uchun shartlarni tekshiramiz 
.
5. Agar 4-banddagi barcha shartlar bajarilsa, u holda biz (3.1) tizimga yoki taxminiy yechim sifatida tanlaymiz va hisob-kitoblarni yakunlaymiz. Agar 4-bosqichda kamida bitta shart bajarilmasa, 6-bosqichga o'ting.
6. Keling, uni qo'yamiz va 3-bosqichga o'tamiz.
Bu algoritm geometrik tarzda yozilishi mumkin.
(3.1) sistema uchun Zaydel usulining yaqinlashuvi uchun yetarli shart shaklga ega 
, .
4. Statsionar bo'lmagan Zaydel usuli.
SLAE (3.1) ni yechishning bu usuli Zaydel usulining yaqinlashuvining yanada yuqori tezligini ta'minlaydi.
(3.1) sistema uchun th yaqinlik va th yaqinlik komponentlarini qandaydir tarzda topamiz.
Keling, tuzatish vektorini hisoblaylik
Keling, qiymatlarni hisoblaylik
, (4.2)
Keling, miqdorlarni tartibga solaylik 
, kamayish tartibida.
Xuddi shu tartibda (3.1) sistemadagi tenglamalarni va bu sistemadagi noma’lumlarni qayta yozamiz: Chiziqlialgebra Va chiziqli bo'lmagan ... BoshqaruvUchun laboratoriya ishlayditomonidan ... uslubiy ko'rsatmalar Uchunamaliyishlayditomonidan Uchuntalabalar ...
O‘quv adabiyotlari (tabiiy fanlar va texnika) 2000-2011 OP sikli – 10 yil CD sikli – 5 yil
Adabiyot... TabiiyFanlar umumiy 1. Astronomiya [Matn]: qo‘llanma Uchun ... Raqamliusullari: Chiziqlialgebra Va chiziqli bo'lmagan ... BoshqaruvUchun laboratoriya ishlayditomonidan ... uslubiy ko'rsatmalar Uchunamaliyishlayditomonidan"Transport iqtisodiyoti" fani Uchuntalabalar ...
- tabiiy fanlar (1)
Qo'llanma... boshqaruvUchuntalabalar va o'qituvchilar, mo'ljallangan Uchun nafaqat o'qish uchun foydalaning usullariish... ishlab chiqarish amaliy haqiqiy ma'lumotlardan foydalanish ko'nikmalari. Uslubiy tavsiyalar tomonidan testning bajarilishi ishtomonidan bu...
- tabiiy fanlar - fizika-matematika fanlari - kimyo fanlari - yer haqidagi fanlar (geodezik geofizik geologiya va geografiya fanlari)
Hujjat... Uchuntalabalartabiiy ravishda- ... ishlayditomonidan"Genetika va seleksiya" faniga bag'ishlangan joriy muammolar bu Fanlar. Mustaqil tizimlashtirilgan Ishtalabalartomonidan nazariy va amaliy ... chiziqli, chiziqli bo'lmagan, dinamik. Hammasi usullari ...
- tabiiy fanlar - fizika-matematika fanlari - kimyo fanlari - yer haqidagi fanlar (geodezik geofizik geologiya va geografiya fanlari) (7)
Darsliklar ro'yxatiEreminning aniqlovchisi chiziqli Va chiziqli bo'lmaganalgebra : chiziqli Va chiziqli bo'lmagan dasturlash: yangi usuli/ Eremin, Mixail... Uchuntalabalar va oliy o‘quv yurtlarining geologiya mutaxassisliklari o‘qituvchilari. kh-1 1794549 99. D3 P 693 Amaliyboshqaruvtomonidan ...
Kalit so‘zlar:
Ishning maqsadi: bitta noma'lum chiziqli bo'lmagan tenglamalarni yechish usullarini o'rganish va ularni tajriba ishlarida sinab ko'rish.
Ish maqsadlari:
- Tahlil qiling maxsus adabiyot va chuqur o'rganish va o'zlashtirish imkonini beruvchi chiziqli bo'lmagan tenglamalarni echishning eng oqilona usullarini tanlang. bu mavzu barcha o'rta maktab bitiruvchilari.
- AKTdan foydalangan holda nochiziqli tenglamalarni yechish metodologiyasining ayrim jihatlarini ishlab chiqish.
- Nochiziqli tenglamalarni yechish usullarini o'rganing:
‒ Bosqichli usul
‒ Yarimga bo'lish usuli
‒ Nyuton usuli
Kirish.
Matematik savodxonliksiz fizika, kimyo, biologiya va boshqa fanlardan masalalarni yechish usullarini muvaffaqiyatli o‘zlashtirib bo‘lmaydi. Tabiiy fanlarning butun majmuasi matematik bilimlar asosida quriladi va rivojlanadi. Masalan, matematik fizikaning bir qator dolzarb masalalarini o‘rganish chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechish zaruratini keltirib chiqaradi. Nochiziqli tenglamalarni echish chiziqli bo'lmagan optikada, plazma fizikasida, o'ta o'tkazuvchanlik nazariyasida va past harorat fizikasida zarur. Ushbu mavzu bo'yicha etarli miqdordagi adabiyotlar mavjud, ammo ko'plab darsliklar va maqolalarni o'rta maktab o'quvchisi tushunishi qiyin. Ushbu maqolada fizika va kimyoda amaliy masalalarni yechishda qoʻllanilishi mumkin boʻlgan chiziqli boʻlmagan tenglamalarni yechish usullari koʻrib chiqiladi. Qiziqarli jihat - bu dastur axborot texnologiyalari matematikadan tenglamalar va masalalar yechish uchun.
Bosqich usuli.
F(x)=0 ko’rinishdagi chiziqli bo’lmagan tenglamani yechish zarur bo’lsin. Shuningdek, bizga ma'lum bir qidiruv oralig'i berilgan deb faraz qilaylik. Qidiruv oralig'ining chap chegarasidan boshlab tenglamaning birinchi ildizini o'z ichiga olgan h uzunlikdagi [a,b] oralig'ini topish talab qilinadi.
Guruch. 1. Bosqichli usul
Bunday muammoni hal qilishning bir necha yo'li mavjud. Bosqichli usul tengsizliklarni yechishning raqamli usullaridan eng oddiyidir, lekin yuqori aniqlikka erishish uchun qadamni sezilarli darajada kamaytirish kerak va bu hisoblash vaqtini sezilarli darajada oshiradi. yordamida tenglamalarni yechish algoritmi bu usul ikki bosqichdan iborat.
Ibosqich. Ildizni ajratish.
Ushbu bosqichda bo'limlar aniqlanadi, ularning har biri tenglamaning faqat bitta ildizini o'z ichiga oladi. Ushbu bosqichni amalga oshirishning bir nechta variantlari mavjud:
- Biz X qiymatlarini almashtiramiz (yaxshisi juda kichik qadam bilan) va funktsiyaning qayerda belgisini o'zgartirishini ko'ramiz. Agar funktsiya o'z belgisini o'zgartirgan bo'lsa, bu X ning oldingi va joriy qiymati o'rtasidagi sohada ildiz borligini bildiradi (agar funktsiya o'zining o'sishi/kamayishi xarakterini o'zgartirmasa, u holda biz faqat bittasini aytishimiz mumkin. bu oraliqda ildiz).
- Grafik usul. Biz grafik quramiz va bir ildiz qaysi intervallarda yotishini baholaymiz.
- Keling, aniq funktsiyaning xususiyatlarini o'rganamiz.
IIbosqich. Ildizlarni tozalash.
Bu bosqichda avval aniqlangan tenglama ildizlarining ma'nosi oydinlashadi. Qoida tariqasida, bu bosqichda iterativ usullar qo'llaniladi. Masalan, usul yarim bo'linish(dixotomiyalar) yoki Nyuton usuli.
Yarim bo'linish usuli
Tenglamalarni yechishning tez va juda oddiy raqamli usuli, F(x) = 0 tenglamaning yagona ildizini o'z ichiga olgan intervalni belgilangan aniqlikka erishilgunga qadar ketma-ket toraytirishga asoslangan. Bu usul odatda yechishda qo'llaniladi kvadrat tenglamalar va yuqori darajali tenglamalar. Biroq, bu usulning sezilarli kamchiligi bor - agar [a,b] segmentida bir nechta ildiz bo'lsa, u holda yaxshi natijalarga erisha olmaydi.
Guruch. 2. Dixotomiya usuli
Ushbu usulning algoritmi quyidagicha:
‒ [a;b] bo‘lakning o‘rtasida joylashgan x ildizining yangi yaqinlashuvini aniqlang: x=(a+b)/2.
‒ a va x nuqtalardagi funksiya qiymatlarini toping: F(a) va F(x).
‒ F(a)*F(x) shartini tekshiring
‒ 1-bosqichga o'ting va segmentni yana yarmiga bo'ling. |F(x)| shartiga qadar algoritmni davom ettiring
Nyuton usuli
Raqamli yechim usullaridan eng aniqi; juda murakkab tenglamalarni echish uchun mos, lekin har bir bosqichda hosilalarni hisoblash zarurati bilan murakkablashadi. ya'ni, agar x n tenglamaning ildiziga qandaydir yaqinlik bo'lsa 
, u holda keyingi yaqinlik x n nuqtada chizilgan f(x) funksiyaga teginish ildizi sifatida aniqlanadi.
f(x) funksiyaning x n nuqtadagi tangens tenglamasi quyidagi ko‘rinishga ega:
Tangens tenglamada y = 0 va x = x n +1 ni qo'yamiz.
Keyin Nyuton usulida ketma-ket hisob-kitoblar algoritmi quyidagicha:
Tangens usulining yaqinlashuvi kvadratik, yaqinlashish tartibi 2 ga teng.
Shunday qilib, Nyutonning tangens usulining yaqinlashuvi juda tezdir.
Hech qanday o'zgarishsiz, usul murakkab holatga umumlashtiriladi. Agar x i ildiz ikkinchi ko'plikning ildizi yoki undan yuqori bo'lsa, u holda yaqinlashish tartibi pasayadi va chiziqli bo'ladi.
Nyuton usulining kamchiliklari uning lokalizatsiyasini o'z ichiga oladi, chunki u shart hamma joyda qanoatlansa, ixtiyoriy boshlang'ich yaqinlashish uchun birlashishi kafolatlanadi. 
, qarama-qarshi vaziyatda konvergentsiya faqat ildizning ma'lum bir qo'shnisida sodir bo'ladi.
Tenglama tuzilganda odatda Nyuton usuli (tangens usuli) qo'llaniladi f(x) = 0 ildizga ega va quyidagi shartlar bajariladi:
1) funktsiya y=f(x) da belgilangan va uzluksiz;
2) f(a) f(b) (funksiya segmentning oxirida turli belgilarning qiymatlarini oladi [ a;b]);
3) hosilalar f"(x) Va f""(x) oraliqda belgini saqlash [ a;b] (ya'ni funktsiya f(x) segmentida yo ortadi yoki kamayadi [ a;b], konveksning yo'nalishini saqlab qolgan holda);
Usulning ma'nosi quyidagicha: segmentda [ a;b] shunday raqam tanlangan x 0, qaysi vaqtda f(x 0) bilan bir xil belgiga ega f""(x 0), ya'ni shart qondiriladi f(x 0) f""(x) > 0. Shunday qilib, abscissa bilan nuqta tanlanadi x 0, bunda egri chiziqqa teginish y=f(x) segmentida [ a;b] o‘qni kesib o‘tadi ho'kiz. Har bir nuqta uchun x 0 Birinchidan, segmentning uchidan birini tanlash qulay.
Keling, ushbu algoritmni aniq misol yordamida ko'rib chiqaylik.
Bizga ortib borayotgan funksiya berilsin y = f(x) =x 2– 2, segmentida uzluksiz (0;2) va ega f "(x) =2x>0 Va f ""(x) = 2> 0.
Bizning holatda, tangens tenglama quyidagi ko'rinishga ega: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0). IN x 0 nuqtasi sifatida biz nuqtani tanlaymiz B 1 (b; f(b)) = (2,2). Funksiyaga tangens chizing y = f(x) B 1 nuqtasida va tangens va o'qning kesishish nuqtasini belgilang ho'kiz nuqta x 1. Birinchi tangens tenglamasini olamiz: y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Ox: x 1 =
Guruch. 3. f(x) funksiya grafigiga birinchi tangensni qurish.
y=f(x) ho'kiz nuqta orqali x 1, biz fikrni tushunamiz B 2 =(1,5; 0,25). Funksiyaga yana tangens chizing y = f(x) nuqtada B 2 va tangensning kesishish nuqtasini belgilang va ho'kiz nuqta x 2.
Ikkinchi tangens tenglamasi: y-2,25=2*1,5(x-1,5), y = 3x - 4,25. Tangens va o'qning kesishish nuqtasi Ox: x 2 =.
Keyin funksiyaning kesishish nuqtasini topamiz y=f(x) va o'qga chizilgan perpendikulyar ho'kiz x 2 nuqtasi orqali biz B 3 nuqtasini olamiz va hokazo.
Guruch. 4. f(x) funksiya grafigiga ikkinchi tangensni yasash.
Ildizning birinchi yaqinlashuvi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
= 1.5.
Ildizning ikkinchi yaqinlashuvi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
=
Ildizning uchinchi yaqinlashuvi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
Shunday qilib , men Ildizning yaqinlashuvi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
Hisob-kitoblar javobda talab qilinadigan o'nli kasrlar mos kelguncha yoki belgilangan aniqlik e ga erishilgunga qadar - tengsizlik qondirilguncha amalga oshiriladi. |xi-xi-1|
Bizning holatimizda uchinchi bosqichda olingan yaqinlashuvni haqiqiy javob bilan solishtiramiz. Ko'rib turganingizdek, uchinchi bosqichda biz 0,000002 dan kam xatoga yo'l oldik.
SAPR yordamida tenglamani yechishMathCAD
Shaklning eng oddiy tenglamalari uchun f(x) = 0 funksiya yordamida MathCAD da yechim topiladi ildiz.
ildiz (f (X 1 , x 2 , … ) , X 1 , a, b ) - qiymatni qaytaradi X 1 , segmentga tegishli [ a, b ] , unda ifoda yoki funksiya mavjud f (X ) 0 ga o'tadi. Bu funksiyaning ikkala argumenti ham skalar bo'lishi kerak. Funktsiya skalerni qaytaradi.
Guruch. 5. MathCAD da chiziqli bo‘lmagan tenglamani yechish (ildiz funksiyasi)
Agar ushbu funktsiyani qo'llash natijasida xatolik yuzaga kelsa, bu tenglamaning ildizlari yo'qligini yoki tenglamaning ildizlari dastlabki yaqinlashuvdan uzoqda joylashganligini anglatishi mumkin, ifoda mahalliy maks Va min dastlabki taxminiy va ildizlar o'rtasida.
Xatoning sababini aniqlash uchun funktsiya grafigini tekshirish kerak f(x). Bu tenglamaning ildizlari mavjudligini aniqlashga yordam beradi f(x) = 0 va agar ular mavjud bo'lsa, ularning qiymatlarini taxminan aniqlang. Ildizning dastlabki yaqinlashuvi qanchalik aniq tanlansa, uning aniq qiymati tezroq topiladi.
Agar dastlabki yaqinlik noma'lum bo'lsa, u holda funktsiyadan foydalanish tavsiya etiladi hal qilish . Bundan tashqari, agar tenglama bir nechta o'zgaruvchilarni o'z ichiga olsa, keyin ko'rsatish kerak kalit so'z yechish - bu tenglama yechilgan o'zgaruvchilar ro'yxati.
Guruch. 6. Nochiziqli tenglamani MathCADda yechish (funktsiyani yechish)
Xulosa
Tadqiqot qanday qilib tekshirildi matematik usullar, va MathCAD SAPR tizimida dasturlash yordamida tenglamalarni yechish. Har xil usullar ularning afzalliklari va kamchiliklari bor. Shuni ta'kidlash kerakki, ma'lum bir usuldan foydalanish berilgan tenglamaning dastlabki shartlariga bog'liq. Maktabda ma'lum bo'lgan faktorizatsiya usullari va boshqalar bilan yaxshi echilishi mumkin bo'lgan tenglamalarni ko'proq yechish mantiqiy emas. murakkab usullarda. Fizika va kimyo uchun muhim bo'lgan va tenglamalarni yechishda murakkab hisoblash operatsiyalarini talab qiladigan amaliy matematika masalalari, masalan, dasturlash yordamida muvaffaqiyatli hal qilinadi. Ularni Nyuton usuli yordamida hal qilish yaxshidir.
Ildizlarni aniqlashtirish uchun siz bir xil tenglamani echishning bir nechta usullaridan foydalanishingiz mumkin. Aynan shu tadqiqot ushbu ishning asosini tashkil etdi. Shu bilan birga, tenglamaning har bir bosqichini echishda qaysi usul eng muvaffaqiyatli ekanligini va bu bosqichda qaysi usuldan foydalanmaslik yaxshiroq ekanligini tushunish oson.
O'rganilayotgan material, bir tomondan, matematik bilimlarni kengaytirish va chuqurlashtirishga yordam beradi va matematikaga qiziqish uyg'otadi. Boshqa tomondan, texnik va muhandislik kasblarini egallashni rejalashtirayotganlar uchun haqiqiy matematik muammolarni hal qila olish muhimdir. Shunung uchun bu ish uchun ahamiyatga ega qo'shimcha ta'lim(masalan, oliy o'quv yurtida).
Adabiyot:
- Mityakov S.N. Informatika. Kompleks o'quv materiallari. - N. Novgorod: Nijniy Novgorod. davlat texnologiya. universitet, 2006 yil
- Vaynberg M. M., Trenogin V. A. Nochiziqli tenglamalarning tarmoqli yechimlari nazariyasi. M.: Nauka, 1969. - 527 b.
- Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Muhandislar va texnik kollej talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma - M.: Nauka, 1986 yil.
- Omelchenko V. P., Kurbatova E. V. Matematika: Qo'llanma. - Rostov n/d.: Feniks, 2005 yil.
- Savin A.P. ensiklopedik lug'at yosh matematik. - M.: Pedagogika, 1989 yil.
- Korn G., Korn T. Olimlar va muhandislar uchun matematika bo'yicha qo'llanma. - M.: Nauka, 1973 yil.
- Kiryanov D. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - Sankt-Peterburg: BHV-Peterburg, 2012 yil.
- Chernyak A., Chernyak J., Domanova Yu. Mathcad asosidagi oliy matematika. Umumiy kurs. - Sankt-Peterburg: BHV-Peterburg, 2004 yil.
- Porshnev S., Belenkova I. Mathcad asosidagi sonli usullar. - Sankt-Peterburg: BHV-Peterburg, 2012 yil.
Kalit so‘zlar: nochiziqli tenglamalar, amaliy matematika, CAD MathCAD, Nyuton usuli, bosqichli metod, dixotomiya usuli..
Izoh: Maqola chiziqli bo'lmagan tenglamalarni echish usullarini o'rganishga bag'ishlangan, shu jumladan MathCAD kompyuter yordamida loyihalash tizimi. Qadam usuli, yarmi va Nyuton usullari ko'rib chiqiladi, bu usullarni qo'llashning batafsil algoritmlari keltirilgan va qiyosiy tahlil belgilangan usullar.
Masalan:
Keling, topish uchun vazifani belgilaymiz yaroqli bu tenglamaning ildizlari.
Va albatta bor! - haqidagi maqolalardan funksiya grafiklari Va oliy matematika tenglamalari jadval nima ekanligini juda yaxshi bilasiz polinom funksiyasi g'alati daraja o'qni kamida bir marta kesib o'tadi, shuning uchun bizning tenglamamiz bor kamida bitta haqiqiy ildiz. Bir. Yoki ikkita. Yoki uchta.
Birinchidan, u mavjudligini tekshirishni so'raydi oqilona ildizlar. Ga binoan tegishli teorema, faqat 1, –1, 3, –3 raqamlari bu “unvon”ga daʼvo qilishi mumkin va toʻgʻridan-toʻgʻri almashtirish orqali ularning hech biri “mos kelmasligiga” ishonch hosil qilish oson. Shunday qilib, irratsional qadriyatlar qoladi. 3-darajali ko'phadning irratsional ildiz(lar)ini topish mumkin aynan (radikallar orqali ifodalash) deb atalmish yordami bilan Kardano formulalari , ammo bu usul juda mashaqqatli. Ammo 5 va undan yuqori darajali polinomlar uchun umumiy analitik usul umuman yo'q va bundan tashqari, amalda ko'plab boshqa tenglamalar mavjud. aniq qiymatlar haqiqiy ildizlarni olish mumkin emas (garchi ular mavjud bo'lsa ham).
Biroq, qo'llaniladi (masalan, muhandislik) Muammolar uchun hisoblangan taxminiy qiymatlardan foydalanish maqbuldir ma'lum bir aniqlik bilan.
Keling, misolimiz uchun aniqlikni o'rnatamiz. Bu nima degani? Bu shuni anglatadiki, biz ildizning SHUNDAY taxminiy qiymatini topishimiz kerak (ildizlar) unda biz Biz 0,001 dan ko'p bo'lmagan xatolikka kafolat beramiz (mingdan biri) .
Yechimni "tasodifiy" boshlash mumkin emasligi va shuning uchun birinchi bosqichda ildizlar mutlaqo aniq alohida. Ildizni ajratish bu ildiz tegishli bo'lgan va boshqa ildizlar bo'lmagan etarlicha kichik (odatda bitta) segmentni topishni anglatadi. Eng oddiy va eng qulay ildiz ajratishning grafik usuli. Keling, quraylik nuqtadan nuqta funksiya grafigi 
:
Chizmadan kelib chiqadiki, tenglama, ko'rinishidan, segmentga tegishli yagona haqiqiy ildizga ega. Ushbu intervalning oxirida funksiya 
turli belgilarning qiymatlarini oladi: , va faktdan segmentdagi funksiyaning uzluksizligi darhol ko'rinadi elementar usul ildizni tozalash: intervalni yarmiga bo'ling va oxirida funksiya oladigan segmentni tanlang turli belgilar. IN Ushbu holatda Bu aniq segment. Olingan intervalni yarmiga ajratamiz va yana "boshqa belgi" segmentini tanlaymiz. Va hokazo. Bunday ketma-ket harakatlar deyiladi iteratsiyalar. Bunday holda, ular segmentning uzunligi hisoblash aniqligidan ikki baravar kam bo'lgunga qadar amalga oshirilishi kerak va oxirgi "boshqa belgi" segmentining o'rtasi ildizning taxminiy qiymati sifatida tanlanishi kerak.
Ko'rib chiqilayotgan sxema tabiiy nom oldi - yarim bo'linish usuli. Va bu usulning kamchiliklari - bu tezlik. Sekin-asta. Juda sekin. Kerakli aniqlikka erishishimizdan oldin juda ko'p takrorlashlar bo'ladi. Rivojlanish bilan kompyuter texnologiyasi Bu, albatta, muammo emas, lekin bu matematika eng oqilona echimlarni izlash uchun.
Va yana biri samarali usullar ildizning taxminiy qiymatini topish aniq tangens usuli. Usulning qisqacha geometrik mohiyati quyidagicha: birinchi navbatda, maxsus mezon yordamida (bu haqda biroz keyinroq) segmentning uchlaridan biri tanlangan. Bu oxir deb ataladi boshlang'ich ildizning yaqinlashishi, bizning misolimizda: . Endi funksiya grafigiga tangens chizamiz 
abscissada (ko'k nuqta va binafsha tangens):
Bu tangens x o'qini sariq nuqtada kesib o'tdi va e'tibor bering, birinchi qadamda biz deyarli "ildizga urdik"! Bu bo'ladi birinchi ildiz yondashuv. Keyinchalik, biz sariqni funktsiya grafigiga perpendikulyar tushiramiz va to'q sariq nuqtaga "olamiz". Biz yana to'q sariq nuqta orqali o'qni ildizga yaqinroq kesib o'tadigan tangensni chizamiz! Va hokazo. Tangens usulidan foydalanib, biz maqsadga sakrash va chegaralar bilan yaqinlashayotganimizni tushunish qiyin emas va aniqlikka erishish uchun tom ma'noda bir necha marta takrorlash kerak bo'ladi.
Tangens orqali aniqlanganligi sababli funktsiyaning hosilasi, keyin bu dars "Terivativlar" bo'limida uning ilovalaridan biri sifatida yakunlandi. Va tafsilotga kirmasdan usulning nazariy asoslanishi, Men masalaning texnik tomonini ko'rib chiqaman. Amalda, yuqorida tavsiflangan muammo taxminan quyidagi formulada yuzaga keladi:
1-misol
Yordamida grafik usuli tenglamaning haqiqiy ildizi joylashgan intervalni toping. Nyuton usulidan foydalanib, 0,001 aniqlik bilan ildizning taxminiy qiymatini oling.
Bu erda vazifaning "tejamkor versiyasi" mavjud bo'lib, unda bitta haqiqiy ildiz mavjudligi darhol aytiladi.
Yechim: birinchi qadamda ildizni grafik tarzda ajratish kerak. Buni chizish orqali amalga oshirish mumkin 
(yuqoridagi rasmlarga qarang), lekin bu yondashuv bir qator kamchiliklarga ega. Birinchidan, grafik oddiy ekanligi haqiqat emas (biz oldindan bilmaymiz), A dasturiy ta'minot- bu har doim ham qo'lda emas. Va ikkinchidan (1-chidan xulosa), katta ehtimollik bilan natija hatto sxematik chizma emas, balki qo'pol chizma bo'ladi, bu, albatta, yaxshi emas.
Xo'sh, nega keraksiz qiyinchiliklarga muhtojmiz? Tasavvur qilaylik tenglama shaklda, DIQQATDA grafiklarni tuzing va chizmadagi ildizni belgilang ("X" grafiklarning kesishish nuqtasining koordinatasi):
Aniq afzallik bu usul Bu funksiyalarning grafiklari qo'lda ancha aniqroq va tezroq quriladi. Aytgancha, e'tibor bering Streyt kesib o'tdi kubik parabola bitta nuqtada, ya'ni taklif qilingan tenglama aslida faqat bitta haqiqiy ildizga ega. Ishon, lekin tasdiqlang ;-)
Shunday qilib, bizning "mijozimiz" segmentga tegishli va "ko'z bilan" taxminan 0,65-0,7 ga teng.
Ikkinchi bosqichda tanlash kerak dastlabki yaqinlashish ildiz Odatda bu segmentning uchlaridan biri. Dastlabki taxminlar qondirishi kerak keyingi shart:
Keling, topamiz birinchi Va ikkinchi olingan funksiyalar 
:
va segmentning chap uchini tekshiring: 
Shunday qilib, nol "mos kelmadi".
Segmentning o'ng uchini tekshirish:
- hammasi yaxshi! Biz boshlang'ich taxmin sifatida tanlaymiz.
Uchinchi bosqichda Bizni ildizga boradigan yo'l kutmoqda. Har bir keyingi ildiz yaqinlashuvi avvalgi ma'lumotlarga asoslanib, quyidagilardan foydalangan holda hisoblanadi takrorlanuvchi formulalar: 
Jarayon shart bajarilganda tugaydi, bu erda oldindan belgilangan hisoblash aniqligi. Natijada ildizning taxminiy qiymati sifatida “n-chi” yaqinlik olinadi:.
Keyinchalik odatiy hisob-kitoblar: 
(yaxlitlash odatda 5-6 kasrgacha amalga oshiriladi)
Olingan qiymat dan katta bo'lganligi sababli, biz ildizning 1-chi yaqinlashuviga o'tamiz: 
Biz hisoblaymiz: 
, shuning uchun 2-chi taxminga o'tish kerak:
Keling, keyingi bosqichga o'tamiz: 
, shunday qilib, iteratsiyalar tugallanadi va 2-chi yaqinlik ildizning taxminiy qiymati sifatida qabul qilinishi kerak, bu esa berilgan aniqlikka muvofiq mingdan biriga yaxlitlanishi kerak:
Amalda, yozuvni biroz qisqartirish uchun hisob-kitoblar natijalarini jadvalga kiritish qulay, kasr ko'pincha quyidagicha belgilanadi; 
Iloji bo'lsa, Excelda hisob-kitoblarni o'zlari bajarish yaxshiroqdir - bu ancha qulayroq va tezroq:
Javob: 0,001 gacha aniq
Eslatib o'taman, bu ibora biz baholashda xato qilganimizni anglatadi haqiqiy ma'no ildiz 0,001 dan oshmasligi kerak. Shubhali bo'lganlar mikrokalkulyatorni olib, yana bir bor taxminiy qiymatni 0,674 dyuymga almashtirishlari mumkin. chap tomoni tenglamalar
Keling, jadvalning o'ng ustunini yuqoridan pastga qarab "skanerlaymiz" va qiymatlar mutlaq qiymatda doimiy ravishda kamayib borayotganiga e'tibor qaratamiz. Bu effekt deyiladi konvergentsiya ildizni o'zboshimchalik bilan yuqori aniqlik bilan hisoblash imkonini beruvchi usul. Ammo konvergentsiya har doim ham sodir bo'lmaydi - bu ta'minlanadi bir qator shartlar, bu haqda men sukut saqladim. Xususan, ildiz izolyatsiya qilingan segment bo'lishi kerak etarlicha kichik- aks holda qiymatlar tasodifiy o'zgaradi va biz algoritmni yakunlay olmaymiz.
Bunday hollarda nima qilish kerak? Belgilangan shartlar bajarilganligini tekshiring (yuqoridagi havolaga qarang), va agar kerak bo'lsa, segmentni kamaytiring. Shunday qilib, nisbatan gapiradigan bo'lsak, tahlil qilingan misolda interval biz uchun mos bo'lmasa, biz, masalan, segmentni ko'rib chiqishimiz kerak. Amalda men bunday holatlarga duch kelganman, va bu texnika haqiqatan ham yordam beradi! Agar "keng" segmentning ikkala uchi ham shartni qondirmasa, xuddi shunday qilish kerak 
(ya'ni, ularning hech biri dastlabki taxmin sifatida mos emas).
Ammo odatda hamma narsa soat kabi ishlaydi, garchi tuzoqsiz bo'lmasa ham:
2-misol
Tenglamaning haqiqiy ildizlari sonini grafik tarzda aniqlang, bu ildizlarni ajrating va Nyuton usulidan foydalanib, ildizlarning taxminiy qiymatlarini aniqlik bilan toping.
Muammoning sharti sezilarli darajada qattiqlashdi: birinchidan, u tenglamaning bitta ildizga ega emasligi haqida kuchli ishorani o'z ichiga oladi, ikkinchidan, aniqlik talabi oshdi, uchinchidan, funktsiya grafigi bilan 
bilan kurashish ancha qiyin.
Va shuning uchun yechim Keling, tejash hiylasidan boshlaylik: tenglamani shaklda tasavvur qiling va grafiklarni chizing: 
Chizmadan ko'rinib turibdiki, bizning tenglamamiz ikkita haqiqiy ildizga ega:
Algoritm, siz tushunganingizdek, ikki marta "krank" qilish kerak. Ammo bu faqat eng og'ir holatlar uchun, ba'zida siz 3-4 ta ildizni tekshirishingiz kerak.
1) Mezondan foydalanish 
Keling, birinchi ildizning dastlabki yaqinlashuvi sifatida segmentning qaysi uchini tanlashni bilib olaylik. Funksiyalarning hosilalarini topish 
:
Segmentning chap uchini sinab ko'rish:
- keldi!
Shunday qilib, bu boshlang'ich taxmindir.
Biz takroriy formuladan foydalanib, Nyuton usuli yordamida ildizni aniqlaymiz: 
- kasrgacha modul talab qilinadigan aniqlikdan kam bo'lmaydi: 
Va bu erda "modul" so'zi xayoliy bo'lmagan ahamiyatga ega, chunki qiymatlar salbiy: 
Xuddi shu sababga ko'ra, har bir keyingi taxminga o'tishda alohida e'tibor berilishi kerak:
Etarli bo'lishiga qaramay yuqori talab aniqlik uchun jarayon yana 2-chi yaqinlashuvda tugadi: , shuning uchun:
0,0001 gacha aniq
2) Ildizning taxminiy qiymatini topamiz.
Biz segmentning chap uchini bitlar uchun tekshiramiz: 
, shuning uchun u boshlang'ich taxmin sifatida mos emas.
