Tenglamalarni sonli yechish va ularning tizimlari tenglama yoki tenglamalar tizimining ildizlarini taxminiy aniqlashdan iborat bo'lib, quyidagi hollarda qo'llaniladi. aniq usul echimlar noma'lum yoki ko'p mehnat talab qiladi.
Muammoni shakllantirish[ | ]
Tenglamalar va tenglamalar tizimini raqamli yechish usullarini ko'rib chiqamiz:
f (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 (\displaystyle f(x_(1),x_(2),\ldots,x_(n))=0)( f 1 (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 … f n (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 (\displaystyle \left\((\begin(massiv)(lcr)f_(1) )(x_(1),x_(2),\ldots,x_(n))&=&0\\\ldots &&\\f_(n)(x_(1),x_(2),\ldots,x_( n))&=&0\end(massiv))\o‘ng.)
Tenglamalarni yechishning raqamli usullari[ | ]
Keling, optimallashtirish usullariga murojaat qilmasdan, asl tenglamalar tizimini qanday echishingiz mumkinligini ko'rsatamiz. Agar bizning tizimimiz SLAE bo'lsa, Gauss usuli yoki Richardson usuli kabi usullarga murojaat qilish tavsiya etiladi. Biroq, biz hali ham funktsiyaning shakli bizga noma'lum degan taxmindan kelib chiqamiz va biz sonli yechishning iterativ usullaridan birini qo'llaymiz. Ularning xilma-xilligi orasida biz eng mashhurlaridan birini tanlaymiz - Nyuton usuli. Bu usul, o'z navbatida, siqilgan xaritalash tamoyiliga asoslanadi. Shuning uchun birinchi navbatda ikkinchisining mohiyati tasvirlanadi.
Kompressiv xaritalash[ | ]
Keling, terminologiyani aniqlaymiz:
Funktsiyani bajarishi aytiladi kompressiv xaritalash agar ustida
U holda quyidagi asosiy teorema to'g'ri bo'ladi:
| Banax teoremasi (qisqaruv xaritalarini tuzish printsipi). Agar ph (\displaystyle \varphi)- kompressiv displey yoqilgan [ a , b ] (\displaystyle), Bu: |
Teoremaning oxirgi nuqtasidan kelib chiqadiki, qisqarish xaritalariga asoslangan har qanday usulning yaqinlashish tezligi chiziqlidan kam emas.
Keling, parametrning ma'nosini tushuntiramiz a (\displaystyle \alpha) bitta o'zgaruvchining holati uchun. Lagranj teoremasiga ko'ra bizda:
ph (x) ∈ C 1 [ a , b ] . ∀ x 1 , x 2 ∈ (a , b) , x 1< x 2 ∃ ξ ∈ (x 1 , x 2) : φ ′ (ξ) (x 2 − x 1) = φ (x 2) − φ (x 1) {\displaystyle \varphi (x)\in C^{1}.\quad \forall x_{1},x_{2}\in (a,\;b),\quad x_{1}Bundan kelib chiqadi a ≈ | ph ′ (l) | (\displaystyle \alpha \taxminan |\varphi "(\xi)|). Shunday qilib, usulning birlashishi uchun bu etarli ∀ x ∈ [ a , b ] | ph ′ (x) | ≤ 1. (\displaystyle \forall x\in \quad |\varphi "(x)|\leq 1.)
Ketma-ket yaqinlashishlarning umumiy algoritmi[ | ]
Operator tenglamalarining umumiy holatiga qo'llanilganda, bu usul deyiladi ketma-ket yaqinlashish usuli yoki oddiy takrorlash usuli bilan. Biroq, tenglamani turli yo'llar bilan bir xil ildizga ega bo'lgan qisqarish xaritasiga aylantirish mumkin. Bu chiziqli va yuqori konvergentsiyaga ega bo'lgan bir qator maxsus usullarni keltirib chiqaradi.
SLAUga nisbatan[ | ]
Tizimni ko'rib chiqing:
( a 11 x 1 + … + a 1 n x n = b 1 … a n 1 x 1 + … + a n n x n = b n (\displaystyle \left\((\begin(massiv)(ccc)a_(11)x_(1)+) \ldots +a_(1n)x_(n)&=&b_(1)\\\ldots &&\\a_(n1)x_(1)+\ldots +a_(nn)x_(n)&=&b_(n) \end (massiv))\o'ng.)
Buning uchun iterativ hisoblash quyidagicha ko'rinadi:
(x 1 x 2 ⋮ x n) i + 1 = (a 11 + 1 a 12 … a 1 n a 21 a 22 + 1 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n + 1 ) (x) ⋮ x n) i − (b 1 b 2 ⋮ b n) (\displaystyle \left((\begin(massiv)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\end (massiv))\o'ng)^(i+1)=\left((\begin(massiv)(cccc)a_(11)+1&a_(12)&\ldots &a_(1n)\\a_(21)&a_( 22)+1&\ldots &a_(2n)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_(n1)&a_(n2)&\ldots &a_(nn)+1\end(massiv))\o‘ng )\left((\begin(massiv)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\end(massiv))\o'ng)^(i)-\left( (\begin(massiv)(c)b_(1)\\b_(2)\\\vdots \\b_(n)\end(massiv))\o'ng))
Usul chiziqli tezlik bilan yaqinlashadi, agar ‖ a 11 + 1 … a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 … a n n + 1 ‖< 1 {\displaystyle \left\|{\begin{array}{ccc}a_{11}+1&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}+1\end{array}}\right\|<1}
Ikki tomonlama vertikal chiziqlar matritsaning ba'zi normalarini bildiradi.
f(x)=0 tenglamani Nyuton usulida yechish, dastlabki yaqinlashish: x 1 =a.
Nyuton usuli (tangens usuli)[ | ]
Bir o'lchovli holat[ | ]
Asl tenglamani o'zgartirishni optimallashtirish f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0) siqilgan displeyga x = ph (x) (\displaystyle x=\varphi (x)) kvadratik yaqinlashish tezligiga ega bo'lgan usulni olish imkonini beradi.
Xaritalash eng samarali bo'lishi uchun keyingi iteratsiya nuqtasida bo'lishi kerak x ∗ (\displaystyle x^(*)) amalga oshirildi; bajarildi ph ′ (x ∗) = 0 (\displaystyle \varphi "(x^(*))=0). Bu tenglamaning yechimini shaklda izlaymiz ph (x) = x + a (x) f (x) (\displaystyle \varphi (x)=x+\alfa (x)f(x)), Keyin:
ph ′ (x ∗) = 1 + a ′ (x ∗) f (x ∗) + a (x ∗) f ′ (x ∗) = 0 (\displaystyle \varphi "(x^(*))=1+ \alpha "(x^(*))f(x^(*))+\alfa (x^(*))f"(x^(*))=0)Keling, bundan foydalanaylik f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0), va biz yakuniy formulani olamiz a (x) (\displaystyle \alfa (x)):
a (x) = - 1 f ′ (x) (\displaystyle \alpha (x)=-(\frac (1)(f"(x))))Buni hisobga olgan holda, siqish funktsiyasi quyidagi shaklni oladi:
ph (x) = x - f (x) f ′ (x) (\displaystyle \varphi (x)=x-(\frac (f(x))(f"(x))))Keyin tenglamaning sonli yechimini topish algoritmi f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0) iterativ hisoblash tartibiga qisqartiradi:
x i + 1 = x i - f (x i) f ′ (x i) (\displaystyle x_(i+1)=x_(i)-(\frac (f(x_(i))))(f"(x_(i)) )))Keling, asl tenglamani ekvivalent bilan almashtiramiz va qoida bo'yicha iteratsiyalar quramiz 
. Shunday qilib, oddiy takrorlash usuli bir bosqichli iterativ jarayondir. Ushbu jarayonni boshlash uchun siz dastlabki taxminiylikni bilishingiz kerak. Keling, usulning yaqinlashuvi va dastlabki yaqinlashuvni tanlash shartlarini bilib olaylik.
№29 chipta
Zaydel usuli
Zaydel usuli (ba'zan Gauss-Zeydel usuli deb ataladi) oddiy takrorlash usulining modifikatsiyasi bo'lib, u keyingi x (k+1) yaqinlashuvini hisoblashda ((1.13), (1.14) formulalarga qarang) uning allaqachon olingan x 1 ( k+1) , ...,x i - 1 (k+1) komponentlar darhol x i (k+1) ni hisoblash uchun ishlatiladi.
Koordinata yozuvi shaklida Zaydel usuli quyidagi shaklga ega:
X 1 (k+1) = c 11 x 1 (k) + c 12 x 2 (k) + ... + c 1n-1 x n-1 (k) + c 1n x n (k) + d 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k) ) + dn
Bu erda x (0) yechimga qandaydir boshlang'ich yaqinlikdir.
Shunday qilib, (k+1)-chi yaqinlashuvning i-komponenti formula bilan hisoblanadi.
| x i (k+1) = ∑ j=1 i-1 c ij x j (k+1) + ∑ n j=i c ij x j (k) + d i , i = 1, ..., n | (1.20) |
Soddalashtirilgan shaklda e aniqlikka erishilganda Zaydel iterativ jarayonining tugash sharti quyidagi shaklga ega:
|| x (k+1) - x (k) || ≤ e.
№30 chipta
O'tish usuli
Tridiagonal matritsali A x = b tizimlarini echish uchun ko'pincha supurish usuli qo'llaniladi, bu Gauss usulini bu holatga moslashtirishdir.
Keling, tenglamalar tizimini yozamiz
d 1 x 1 + e 1 x 2 = b 1
c 2 x 1 + d 2 x 2 + e 2 x 3 = b 2
c 3 x 2 + d 3 x 3 + e 3 x 4 = b 3
... ... ...
c n-1 x n-2 + d n-1 x n-1 + e n-1 x n = b n-1
c n x n-1 + d n x n = b n
matritsa shaklida: A x = b bu yerda
A= 
Supurish usuli formulalarini qo'llash tartibida yozamiz.
1. Supurish usulining to'g'ridan-to'g'ri zarbasi (yordamchi miqdorlarni hisoblash):
| a 2 = -e 1 / d 1 b 2 = b 1 / d 1 a i+1 = -e i / , i=2, ..., n-1 b i+1 = [-c i b i + b i ] / , i=2, ..., n-1 | (1.9) |
2. Supurish usulini teskari o'zgartiring (yechim toping):
| x n = [-c n b n + b n ] / x i = a i+1 x i+1 + b i+1 , i = n-1, ..., 1 |
№31 chipta
Oddiy takrorlash usuli
Oddiy takrorlash usulining mohiyati tenglamadan harakat qilishdir
f(x)= 0 (*)
ekvivalent tenglamaga
x=ph(x). (**)
Ushbu o'tish turiga qarab turli yo'llar bilan amalga oshirilishi mumkin f(x). Masalan, siz qo'yishingiz mumkin
ph(x) = x+bf(x),(***)
Qayerda b= const, asl tenglamaning ildizlari o'zgarmaydi.
Agar ildizga dastlabki yaqinlashish ma'lum bo'lsa x 0, keyin yangi taxminiy
x 1=phx(0),
bular. iteratsion jarayonning umumiy sxemasi:
x k+1=ph(x k).(****)
Jarayonni tugatish uchun eng oddiy mezon
|x k +1 -x k |<ε.
Konvergentsiya mezoni oddiy takrorlash usuli:
ildizga yaqin bo'lsa | ph/(x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого x, keyin iteratsiyalar har qanday dastlabki yaqinlashish uchun yaqinlashadi.
Keling, doimiy tanlashni ko'rib chiqaylik b maksimal konvergentsiya tezligini ta'minlash nuqtai nazaridan. Konvergentsiya mezoniga muvofiq, yaqinlashuvning eng yuqori tezligi qachon ta'minlanadi |ph / (x)| = 0. Shu bilan birga, (***) ga asoslanib, b = –1/f / (x), va iteratsiya formulasi (****) kiradi x i =x i-1 -f(x i-1)/f/ (x i-1).- bular. Nyuton usuli formulasiga kiritiladi. Shunday qilib, Nyuton usuli oddiy iteratsiya usulining alohida holati bo'lib, funktsiyani tanlashning barcha mumkin bo'lgan variantlarini yaqinlashtirishning eng yuqori tezligini ta'minlaydi. ph(x).
№32 chipta
Nyuton usuli
Usulning asosiy g'oyasi quyidagilardan iborat: gipotetik ildiz yaqinida boshlang'ich yaqinlashuv belgilanadi, shundan so'ng abscissa o'qi bilan kesishgan yaqinlashuv nuqtasida o'rganilayotgan funktsiyaga teginish quriladi. Bu nuqta keyingi taxminiylik sifatida qabul qilinadi. Va shunga o'xshash, kerakli aniqlikka erishilgunga qadar.
Intervalda aniqlangan va unda differentsiallanuvchi haqiqiy qiymatli funktsiya bo'lsin. Keyin iterativ yaqinlashish hisobi formulasi quyidagicha olinishi mumkin:
bu yerda a - nuqtadagi tangensning qiyalik burchagi.
Shunday qilib, talab qilinadigan ifoda quyidagi shaklga ega:
№33 chipta
Oltin nisbat usuli
Oltin nisbat usuli har bir iteratsiyada faqat bitta funktsiya qiymatini hisoblash orqali intervallarni yo'q qilishga imkon beradi. Ko'rib chiqilgan ikkita funktsiya qiymati natijasida kelajakda foydalanish kerak bo'lgan interval aniqlanadi. Bu oraliq oldingi nuqtalardan birini va unga nosimmetrik tarzda joylashtirilgan keyingi nuqtani o'z ichiga oladi. Nuqta intervalni ikki qismga ajratadi, shunda butunning katta qismiga nisbati katta qismning kichikroq qismiga nisbati, ya'ni "oltin nisbat" deb ataladigan nisbatga teng bo'ladi.
Intervalni teng bo'lmagan qismlarga bo'lish yanada samarali usulni topishga imkon beradi. Segmentning oxiridagi funktsiyani hisoblaymiz [ a,b] va qo'ying a=x 1 , b=x 2. Funktsiyani ikkita ichki nuqtada ham hisoblaylik x 3 , x 4 . Funktsiyaning barcha to'rtta qiymatini solishtiramiz va ular orasidan eng kichigini tanlaymiz. Masalan, eng kichigi bo'lib chiqsin f(x 3). Shubhasiz, minimal unga qo'shni bo'lgan segmentlardan birida bo'lishi kerak. Shuning uchun segment [ x 4 ,b] tashlab yuborilishi va segmentni tark etishi mumkin. 
Birinchi qadam tashlandi. Segmentda siz yana ikkita ichki nuqtani tanlashingiz, ulardagi va oxiridagi funktsiya qiymatlarini hisoblashingiz va keyingi bosqichga o'tishingiz kerak. Ammo oldingi hisob-kitob bosqichida biz funktsiyani yangi segmentning oxirida va uning ichki nuqtalaridan birida topdik. x 4 . Shuning uchun, ichkarida yana bitta nuqtani tanlash kifoya x 5 undagi funksiya qiymatini aniqlang va kerakli taqqoslashlarni bajaring. Bu jarayon har bir qadam uchun zarur bo'lgan hisoblash miqdorini to'rt baravar oshiradi. Ballarni joylashtirishning eng yaxshi usuli qanday? Har safar qolgan segment uch qismga bo'linadi va keyin tashqi segmentlardan biri tashlanadi.
Dastlabki noaniqlik oralig'ini bilan belgilaymiz D.
Umuman olganda, har qanday segmentni tashlab yuborish mumkin X 1, X 3 yoki X 4, X 2 keyin nuqtalarni tanlang X 3 Va X 4 Shunday qilib, bu segmentlarning uzunligi bir xil bo'ladi:
x 3 -x 1 =x 4 -x 2.
Yo'qotib bo'lgach, biz yangi uzunlikdagi noaniqlik oralig'ini olamiz D'.
Keling, munosabatni belgilaylik D/D' ph harfi bilan:
ya'ni, keyingi noaniqlik oralig'i qayerda ekanligini belgilaymiz. Lekin
oldingi bosqichda tashlangan segmentga uzunligi teng, ya'ni
Shuning uchun biz olamiz:
.
Bu tenglamaga yoki ekvivalentga olib keladi 
.
Bu tenglamaning musbat ildizi beradi
.
№34 chipta
funksiyalarning interpolyatsiyasi, ya'ni. Berilgan funktsiyadan foydalanib, qiymatlari ma'lum miqdordagi nuqtalarda berilgan funktsiyaning qiymatlari bilan mos keladigan boshqa (odatda oddiyroq) funktsiyani qurish. Bundan tashqari, interpolyatsiya ham amaliy, ham nazariy ahamiyatga ega.
n ta noma’lumli n ta algebraik tenglamalar sistemasi keltirilsin:
Oddiy iteratsiya usuli uchun algoritm:
E'tibor bering, bu erda va bundan keyin pastki indeks noma'lumlar vektorining mos keladigan komponentini, yuqori indeks esa iteratsiya (yaqinlashuv) sonini bildiradi.
Keyin tsiklik matematik jarayon hosil bo'ladi, uning har bir tsikli bir iteratsiyani ifodalaydi. Har bir iteratsiya natijasida noma'lumlar vektorining yangi qiymati olinadi. Takrorlanish jarayonini tashkil qilish uchun tizimni (1) qisqartirilgan shaklda yozamiz. Bunday holda, asosiy diagonaldagi shartlar normallashtiriladi va teng belgining chap tomonida qoladi, qolganlari esa o'ng tomonga o'tkaziladi. Qisqartirilgan tenglamalar tizimi shaklga ega:
e'tibor bering, bu hech qachon erishilmaydi, lekin har bir keyingi iteratsiya bilan noma'lumlar vektori aniq yechimga yaqinlashadi.
12. Nochiziqli tenglamani yechish uchun oddiy takrorlash usulida qo‘llaniladigan asosiy takrorlash formulasi:
13. Nochiziqli tenglamani yechishning oddiy takrorlash usulida takrorlanish jarayonini to‘xtatish mezoni:
Noma'lumlar vektorining har bir i-komponenti uchun aniqlikka erishish sharti bajarilsa, iteratsiya jarayoni tugaydi.
e'tibor bering, bu oddiy takrorlash usulida aniq yechim hech qachon erishilmaydi, ammo har bir keyingi iteratsiya bilan noma'lumlar vektori aniq yechimga yaqinlashadi.
14. Intervalning takrorlanuvchi segmenti uchun F(x) yordamchi funksiyani tanlash mezoni:
Oddiy takrorlash usulini yechish bo'yicha matematikadan test topshirayotganda avvalo yaqinlashish sharti tekshirilishi kerak. Usulni birlashtirish uchun A matritsasida barcha diagonal elementlarning mutlaq qiymatlari tegishli qatordagi barcha boshqa elementlarning modullari yig'indisidan katta bo'lishi zarur va etarli:
Takrorlash usullarining nochorligi Bu barcha tenglamalar tizimlari uchun qoniqtirilmaydigan juda qattiq konvergentsiya sharti.
Agar yaqinlashish sharti bajarilsa, keyingi bosqichda odatda nol vektor sifatida tanlanadigan noma'lumlar vektorining dastlabki yaqinlashuvini ko'rsatish kerak:
15. Chiziqli tenglamalar tizimini yechishda qo‘llaniladigan Gauss usuli quyidagilarni ta’minlaydi:
Usul matritsani uchburchak shaklga aylantirishga asoslangan. Bunga tizim tenglamalaridan noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish orqali erishiladi.
Oddiy takrorlash usuli dastlabki tenglamani ekvivalent tenglama bilan almashtirishga asoslangan:
Ildizga dastlabki yaqinlashish ma'lum bo'lsin x = x 0. Uni (2.7) tenglamaning o'ng tomoniga qo'yib, biz yangi taxminiylikni olamiz 
, keyin shunga o'xshash tarzda biz olamiz 
va hokazo.:
. (2.8)
 |
Hamma sharoitlarda ham iterativ jarayon tenglamaning ildiziga yaqinlashmaydi X. Keling, ushbu jarayonni batafsil ko'rib chiqaylik. 2.6-rasmda bir tomonlama konvergent va divergent jarayonning grafik talqini keltirilgan. 2.7-rasmda ikki tomonlama konvergent va divergent jarayonlar ko'rsatilgan. Divergent jarayon argument va funktsiya qiymatlarining tez o'sishi va tegishli dasturning g'ayritabiiy tugatilishi bilan tavsiflanadi.
 |
Ikki tomonlama jarayon bilan velosipedda yurish mumkin, ya'ni bir xil funktsiya va argument qiymatlarining cheksiz takrorlanishi. Loop divergent jarayonni konvergentdan ajratadi.
Grafiklardan ko'rinib turibdiki, bir tomonlama va ikki tomonlama jarayonlar uchun ildizga yaqinlashuv egri chiziqning ildiz yaqinidagi qiyaligi bilan belgilanadi. Nishab qanchalik kichik bo'lsa, konvergentsiya shunchalik yaxshi bo'ladi. Ma'lumki, egri chiziq qiyalik tangensi berilgan nuqtadagi egri chiziq hosilasiga teng.
Shuning uchun, ildiz yaqinidagi raqam qanchalik kichik bo'lsa, jarayon tezroq birlashadi.
Takrorlash jarayoni konvergent bo'lishi uchun ildizga yaqin joyda quyidagi tengsizlikni qondirish kerak:
(2.1) tenglamadan (2.7) tenglamaga o'tish funksiya turiga qarab turli usullar bilan amalga oshirilishi mumkin. f(x). Bunday o'tishda (2.9) yaqinlashish sharti qanoatlantirilishi uchun funktsiyani qurish kerak.
(2.1) tenglamadan (2.7) tenglamaga o'tishning umumiy algoritmlaridan birini ko'rib chiqamiz.
(2.1) tenglamaning chap va o‘ng tomonlarini ixtiyoriy doimiyga ko‘paytiramiz. b va ikkala qismga noma'lumni qo'shing X. Bunday holda, asl tenglamaning ildizlari o'zgarmaydi:
Keling, belgi bilan tanishtiramiz 
va (2.10) munosabatdan (2.8) tenglamaga o'tamiz.
 |
O'zboshimchalik bilan doimiy tanlash b yaqinlashish shartining bajarilishini ta'minlaydi (2.9). Takrorlash jarayonini tugatish mezoni (2.2) shart bo'ladi. 2.8-rasmda tasvirlangan tasvirlash usulidan foydalangan holda oddiy takrorlash usulining grafik talqini ko'rsatilgan (X va Y o'qlari bo'ylab masshtablar har xil).
Agar funktsiya shaklda tanlansa, u holda bu funktsiyaning hosilasi bo'ladi. U holda yaqinlashuvning eng yuqori tezligi da bo'ladi 
va iteratsiya formulasi (2.11) Nyuton formulasiga kiradi. Shunday qilib, Nyuton usuli barcha iterativ jarayonlarning eng yuqori yaqinlashuv darajasiga ega.
Oddiy takrorlash usulini dasturiy ta'minotni amalga oshirish pastki dastur protsedurasi shaklida amalga oshiriladi Iteras(2.1 DASTUR).
Butun protsedura amalda bitta takrorlashdan iborat ... Tsiklgacha, (2.11) formulani takrorlash jarayonini to'xtatish shartini hisobga olgan holda amalga oshirish (formula (2.2)).
Jarayon Niter o'zgaruvchisi yordamida halqalar sonini hisoblash orqali o'rnatilgan halqa himoyasiga ega. Amaliy mashg'ulotlarda siz dasturni ishga tushirish orqali koeffitsientni tanlash qanday ta'sir qilishiga ishonch hosil qilishingiz kerak b va ildizni qidirish jarayonida dastlabki yaqinlashish. Koeffitsientni o'zgartirganda b o'rganilayotgan funksiya uchun iteratsiya jarayonining tabiati o'zgaradi. U birinchi navbatda ikki tomonlama, keyin esa ilmoqlarga aylanadi (2.9-rasm). Eksa shkalasi X Va Y har xil. Modulning yana ham katta qiymati b divergent jarayonga olib keladi.
Tenglamalarni taqribiy yechish usullarini solishtirish
Tenglamalarni sonli yechish uchun yuqorida bayon qilingan usullarni solishtirish kompyuter ekranida grafik shaklda ildizni topish jarayonini kuzatish imkonini beruvchi dastur yordamida amalga oshirildi. Ushbu dasturga kiritilgan protseduralar va taqqoslangan usullarni amalga oshirish quyida keltirilgan (2.1 DASTUR).
Guruch. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 - iteratsiya jarayonining oxiridagi shaxsiy kompyuter ekranining nusxalari.
Barcha holatlarda x 2 -x-6 = 0 kvadrat tenglama o'rganilayotgan funktsiya sifatida qabul qilindi, uning analitik yechimi x 1 = -2 va x 2 = 3. Xato va dastlabki yaqinlashishlar barcha usullar uchun teng deb qabul qilindi. Ildiz qidiruv natijalari x= Raqamlarda ko'rsatilgan 3, quyidagilar. Dixotomiya usuli eng sekin - 22 iteratsiyani birlashtiradi, eng tez b = -0,2 - 5 takrorlash bilan oddiy takrorlash usuli. Bu erda Nyuton usuli eng tezkor degan fikrga qarama-qarshilik yo'q.
O‘rganilayotgan funksiyaning nuqtadagi hosilasi X= 3 -0,2 ga teng, ya'ni bu holda hisoblash Nyuton usulida tenglamaning ildiz nuqtasida hosila qiymati bilan amalda amalga oshirildi. Koeffitsientni o'zgartirganda b yaqinlashish tezligi pasayadi va asta-sekin konvergent jarayon avval tsikllarda boradi va keyin divergent bo'ladi.
Iterativ usullar
Iterativ usullarda quyidagi uch bosqich nazarda tutiladi: aniq yechimga yaqinlashuvchi iteratsion jarayonning ketma-ket yaqinlashuvlarini hisoblash uchun qurilish (ya'ni, aniq yechimga yaqinlashuvchi vektorlar ketma-ketligini qurish). ; kerakli aniqlikka erishilgan momentni aniqlash imkonini beruvchi ushbu jarayonning yaqinlashuv mezonini aniqlash; kerakli aniqlikka erishish uchun zarur bo'lgan operatsiyalar sonini kamaytirish maqsadida iteratsiya jarayonini yaqinlashtirish va optimallashtirish tezligini o'rganish.
Takrorlanuvchi usullar, agar usulning yaqinlashuvi isbotlangan bo'lsa, oldindan belgilangan aniqlik bilan yechim olish imkonini beradi. Iterativ usullar qat'iy aniq echimni ta'minlamaydi, chunki u vektorlar ketma-ketligining chegarasi sifatida erishiladi. To'g'ridan-to'g'ri usul, umuman olganda, aniq echimni beradi, lekin barcha kompyuterlarda yuzaga keladigan yaxlitlash xatolari tufayli bunga erishib bo'lmaydi va a priori Bu yechimning aniqdan qanchalik farq qilishini baholash hatto qiyin. Yuqoridagilar bilan bog'liq holda, iterativ usullar ba'zan to'g'ridan-to'g'ri bo'lganlarga qaraganda ko'proq aniqlik bilan yechim olish imkonini beradi.
Chiziqli tenglamalarni yechishning bir necha iterativ usullarini ko'rib chiqamiz.
Oddiy takrorlash usuli
Oddiy takrorlash usulida chiziqli algebraik tenglamalar tizimi (2.1). Ax = b shaklning ekvivalent tizimiga qisqartiradi
(2.9) sistemaning yechimi va demak, dastlabki sistemaning (2.1) yechimi quyidagi vektorlar ketma-ketligining chegarasi sifatida qidiriladi:
k = 0, 1, 2,…,(2.10)
yechim vektorining dastlabki yaqinlashuvi qayerda.
Oddiy takrorlash usulining yaqinlashuvining yetarli sharti quyidagi teorema bilan aniqlanadi.
TEOREMA 1. Agar ko'rib chiqilayotgan vektor normasiga mos keladigan matritsaning har qanday normasi bittadan () kichik bo'lsa, u holda oddiy takrorlash usulidagi ketma-ketlik (2.9) tizimning aniq yechimiga kam bo'lmagan tezlikda yaqinlashadi. har qanday dastlabki yaqinlashish uchun maxraj bilan geometrik progressiyaning tezligidan.
ISLOV. Teoremani isbotlash uchun xato kiritamiz. Munosabatdan (2.10) tenglikni ayirib, ga erishamiz. Normlarga murojaat qiladigan bo'lsak, bizda bor
Tengsizlikka e'tibor bering 
oldingi ifodadan matritsa va vektor normasining izchilligi sharti. Agar
, keyin har qanday boshlang'ich xato vektori uchun (yoki har qanday boshlang'ich vektor uchun) xatolik normasi maxrajli geometrik progressiyadan sekinroq bo'lmagan nolga intiladi.
Agar normani matritsaning normasi sifatida tanlasak 
yoki 
keyin oddiy takrorlash usulining yaqinlashuvi masalasini hal qilish uchun siz 1-teoremadan olingan xulosadan foydalanishingiz mumkin: agar matritsa uchun quyidagi shartlardan biri bajarilsa, oddiy takrorlash usuli yaqinlashadi:
, i =1,2, …, n,
, j = 1, 2, …, n.(2.11)
Tizimni olib kelishning eng oddiy va eng keng tarqalgan usuli Ax= b takrorlash uchun qulay bo'lgan shakl (2.9) - diagonal elementlarni tanlash, har biri bilan i-chi ga nisbatan tenglama yechiladi i-chi noma'lum:
, i = 1, 2, …, n, (2.12)
oddiy takrorlash usuli esa shunday yoziladi
Keyin matritsa shaklga ega bo'ladi
.
Ushbu matritsaning elementini quyidagicha yozish mumkin 
Kronecker belgisi qayerda. Bunday holda, oddiy takrorlash usulining yaqinlashishi uchun etarli shart matritsaning diagonal elementlarining ustunligi sharti sifatida shakllantirilishi mumkin. A, bu (2.11) dan kelib chiqadi va matritsaning yozuvi, ya'ni.
i = 1, 2, …, n.
Yana bir bor ta'kidlab o'tamizki, takrorlash usuli uchun yaqinlashish shartining ko'rib chiqilgan shakllari faqat etarli. Ularning bajarilishi usulning yaqinlashishini kafolatlaydi, lekin umumiy holatda ularning muvaffaqiyatsizligi oddiy iteratsiya usuli bir-biridan farq qiladi degani emas. Oddiy takrorlash usulining yaqinlashishi uchun zarur va etarli shart - bu butun qismning sharti (bu erda matritsaning maksimal modulli xos qiymati). A); bu holat hisoblash amaliyotida juda kam qo'llaniladi.
Keling, yechim xatosini baholash masalasiga o'tamiz. Yechimning xatosini baholashning ikkita munosabati qiziqish uyg'otadi: birinchisi xato normasini ikkita ketma-ket yaqinlashishlar orasidagi farq normasi bilan bog'laydi va faqat hisob-kitoblar jarayonida xatoni baholash uchun ishlatilishi mumkin; ikkinchisi xato normasini boshlang'ich yaqinlashish vektori normalari va (2.9) tizimdagi erkin termin vektori bilan bog'laydi. Kerakli munosabatlar quyidagi ikkita teorema bilan berilgan.
TEOREMA 2. Agar matritsaning har qanday normasi ko'rib chiqilayotgan vektor normasiga mos kelsa X
. (2.13)
ISLOV. Tenglikdan (2.10) tenglikni ayiraylik:
Ikki tomondan yaqinlik qiymatini ayirib, biz bu munosabatni shaklga aylantiramiz
Normlarga o'tsak, biz olamiz
Chunki teorema shartlariga ko'ra, u holda
Bundan kelib chiqadigan munosabatdan foydalanish 
biz nihoyat olamiz:
TEOREMA 3. Agar matritsaning har qanday normasi ko'rib chiqilayotgan vektor normasiga mos kelsa X, bir () dan kichik bo'lsa, quyidagi xato taxmini amalga oshiriladi:
Keling, ikkita fikr bildiraylik. Birinchidan, munosabat (2.13) shaklda yozilishi mumkin
birinchi ikki takrorlash natijalariga ko'ra xato bahosini olish imkonini beradi. Birinchidan, iteratsiya usulidan foydalanganda, ba'zan hisoblash xatosini baholash uchun ketma-ket ikkita yaqinlashish o'rtasidagi farq normasidan foydalanish tavsiya etiladi. Xatolik munosabatlaridan kelib chiqadiki, umumiy holatda bu to'g'ri emas. Agar me'yor birlikka yaqin bo'lsa, at koeffitsienti juda katta bo'lishi mumkin.
Ketma-ket takrorlashning xatolari munosabat bilan bog'liq
bular. xato qadam davomida chiziqli o'zgaradi. Aytishlaricha, usul bor chiziqli konvergentsiya yoki yaqinlashuvning birinchi tartibi. Shu bilan birga, kerakli aniqlikka erishish uchun zarur bo'lgan iteratsiyalar soni qiymatga va dastlabki yaqinlashishga bog'liq.
Shunday qilib, misol tariqasida oddiy takrorlash usulidan foydalanib, takrorlash usullarining uch bosqichi ko'rsatilgan: (1.10) formula bo'yicha hosil qilingan vektorlar ketma-ketligini qurish; 1-teorema yordamida yaqinlashish shartini aniqlash va 2 va 3-teoremalar yordamida yaqinlashish tezligini baholash.
Zaydel usuli
Oddiy takrorlash usuli iteratsiya jarayonining yaqinlashuvini yaxshilashning aniq ko'rinadigan imkoniyatidan foydalanmaydi - hisob-kitobga yangi hisoblangan vektor komponentlarini darhol kiritish. Bu xususiyat iterativ Zaydel usulida qo'llaniladi. (2.9) sistema uchun iteratsion jarayon munosabatga muvofiq bajariladi
i = 1, 2, …, n (2.14)
yoki tizim uchun (1.1)
Tafsilotlarga kirmasdan, shuni ta'kidlaymizki, Zaydel iteratsiya usuli ko'pincha oddiy iteratsiya usuliga qaraganda tezroq yaqinlashuvga olib keladi. Shu bilan birga, Zaydel takrorlash usuli oddiy takrorlash usuliga qaraganda sekinroq yaqinlashadigan va hatto oddiy takrorlash usuli yaqinlashadigan, lekin Zaydel takrorlash usuli bir-biridan farq qiladigan holatlar mavjud.
Shu esta tutilsinki Zaydel usuli yaqinlashadi agar matritsa A ijobiy aniq va simmetrik.
Zaydel takrorlash usuli maxsus tuzilgan matritsa va vektor munosabati bilan (2.10) qandaydir oddiy takrorlash usuliga ekvivalent ekanligini ko'rsatamiz. Buning uchun (2.14) sistemani F matritsa koeffitsientlarining yuqori uchburchak matritsasi bo'lgan ko'rinishda yozamiz va E - bir xillik matritsasi bo'lgan shaklda tizimni qayta yozamiz. Matritsa (E-N)- diagonali birga teng bo'lgan pastki uchburchak matritsa. Demak, bu matritsaning determinanti nolga teng (birga teng) va u teskari matritsaga ega. Keyin
Ushbu munosabatni (2.10) yechim bilan taqqoslab, biz shunday xulosaga kelishimiz mumkin: Zaydel takrorlash usuli haqiqatan ham oddiy takrorlash usuliga ekvivalentdir, chunki Zaydel takrorlash usulining yaqinlashuvi sharti va mezonini belgilash uchun biz teoremalardan foydalanishimiz mumkin. qo'yadigan bo'lsak, oddiy iteratsiya usuli uchun berilgan 
Tizim (2.12) uchun iteratsiya jarayoni ham umumiyroq shaklda yozilgan, ya'ni
