Keling, asl tenglamani ekvivalent bilan almashtiramiz va qoida bo'yicha iteratsiyalar quramiz 
. Shunday qilib, oddiy takrorlash usuli bir bosqichli iterativ jarayondir. Ushbu jarayonni boshlash uchun siz dastlabki taxminiylikni bilishingiz kerak. Keling, usulning yaqinlashuvi va dastlabki yaqinlashuvni tanlash shartlarini bilib olaylik.
№29 chipta
Zaydel usuli
Zaydel usuli (ba'zan Gauss-Zeydel usuli deb ataladi) oddiy takrorlash usulining modifikatsiyasi bo'lib, u keyingi x (k+1) yaqinlashuvini hisoblashda ((1.13), (1.14) formulalarga qarang) uning allaqachon olingan x 1 ( k+1) , ...,x i - 1 (k+1) komponentlar darhol x i (k+1) ni hisoblash uchun ishlatiladi.
Koordinata yozuvi shaklida Zaydel usuli quyidagi shaklga ega:
X 1 (k+1) = c 11 x 1 (k) + c 12 x 2 (k) + ... + c 1n-1 x n-1 (k) + c 1n x n (k) + d 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k) ) + dn
Bu erda x (0) yechimga qandaydir boshlang'ich yaqinlikdir.
Shunday qilib, (k+1)-chi yaqinlashuvning i-komponenti formula bilan hisoblanadi.
| x i (k+1) = ∑ j=1 i-1 c ij x j (k+1) + ∑ n j=i c ij x j (k) + d i , i = 1, ..., n | (1.20) |
Soddalashtirilgan shaklda e aniqlikka erishilganda Zaydel iterativ jarayonining tugash sharti quyidagi shaklga ega:
|| x (k+1) - x (k) || ≤ e.
№30 chipta
O'tish usuli
Tridiagonal matritsali A x = b tizimlarini echish uchun ko'pincha supurish usuli qo'llaniladi, bu Gauss usulini bu holatga moslashtirishdir.
Keling, tenglamalar tizimini yozamiz
d 1 x 1 + e 1 x 2 = b 1
c 2 x 1 + d 2 x 2 + e 2 x 3 = b 2
c 3 x 2 + d 3 x 3 + e 3 x 4 = b 3
... ... ...
c n-1 x n-2 + d n-1 x n-1 + e n-1 x n = b n-1
c n x n-1 + d n x n = b n
matritsa shaklida: A x = b bu yerda
A= 
Supurish usuli formulalarini qo'llash tartibida yozamiz.
1. Supurish usulining to'g'ridan-to'g'ri zarbasi (yordamchi miqdorlarni hisoblash):
| a 2 = -e 1 / d 1 b 2 = b 1 / d 1 a i+1 = -e i / , i=2, ..., n-1 b i+1 = [-c i b i + b i ] / , i=2, ..., n-1 | (1.9) |
2. Teskari zarba supurish usuli (yechim topish):
| x n = [-c n b n + b n ] / x i = a i+1 x i+1 + b i+1 , i = n-1, ..., 1 |
№31 chipta
Oddiy takrorlash usuli
Usulning mohiyati oddiy iteratsiyalar tenglamadan harakatlanishdan iborat
f(x)= 0 (*)
ekvivalent tenglamaga
x=ph(x). (**)
Bu o'tishni amalga oshirish mumkin turli yo'llar bilan, turiga qarab f(x). Masalan, siz qo'yishingiz mumkin
ph(x) = x+bf(x),(***)
Qayerda b= const va ildizlar asl tenglama o'zgarmaydi.
Agar ildizga dastlabki yaqinlashish ma'lum bo'lsa x 0, keyin yangi taxminiy
x 1=phx(0),
bular. iteratsion jarayonning umumiy sxemasi:
x k+1=ph(x k).(****)
Jarayonni tugatish uchun eng oddiy mezon
|x k +1 -x k |<ε.
Konvergentsiya mezoni oddiy takrorlash usuli:
ildizga yaqin bo'lsa | ph/(x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого x, keyin iteratsiyalar har qanday dastlabki yaqinlashish uchun yaqinlashadi.
Keling, doimiy tanlashni ko'rib chiqaylik b maksimal konvergentsiya tezligini ta'minlash nuqtai nazaridan. Konvergentsiya mezoniga muvofiq, yaqinlashuvning eng yuqori tezligi qachon ta'minlanadi |ph / (x)| = 0. Shu bilan birga, (***) ga asoslanib, b = –1/f / (x), va iteratsiya formulasi (****) kiradi x i =x i-1 -f(x i-1)/f/ (x i-1).- bular. Nyuton usuli formulasiga kiritiladi. Shunday qilib, Nyuton usuli oddiy iteratsiya usulining alohida holati bo'lib, funktsiyani tanlashning barcha mumkin bo'lgan variantlarini yaqinlashtirishning eng yuqori tezligini ta'minlaydi. ph(x).
№32 chipta
Nyuton usuli
Usulning asosiy g'oyasi quyidagilardan iborat: gipotetik ildiz yaqinida boshlang'ich yaqinlashuv belgilanadi, shundan so'ng abscissa o'qi bilan kesishgan yaqinlashuv nuqtasida o'rganilayotgan funktsiyaga teginish quriladi. Bu nuqta keyingi taxminiylik sifatida qabul qilinadi. Va shunga o'xshash, kerakli aniqlikka erishilgunga qadar.
Intervalda aniqlangan va unda differentsiallanuvchi haqiqiy qiymatli funktsiya bo'lsin. Keyin iterativ yaqinlashish hisobi formulasi quyidagicha olinishi mumkin:
bu yerda a - nuqtadagi tangensning qiyalik burchagi.
Shunday qilib, talab qilinadigan ifoda quyidagi shaklga ega:
№33 chipta
Oltin nisbat usuli
Oltin nisbat usuli har bir iteratsiyada faqat bitta funktsiya qiymatini hisoblash orqali intervallarni yo'q qilishga imkon beradi. Ko'rib chiqilgan ikkita funktsiya qiymati natijasida kelajakda foydalanish kerak bo'lgan interval aniqlanadi. Bu oraliq oldingi nuqtalardan birini va unga nosimmetrik tarzda joylashtirilgan keyingi nuqtani o'z ichiga oladi. Nuqta intervalni ikki qismga ajratadi, shunda butunning katta qismiga nisbati katta qismning kichikroq qismiga nisbati, ya'ni "oltin nisbat" deb ataladigan nisbatga teng bo'ladi.
Intervalni teng bo'lmagan qismlarga bo'lish yanada samarali usulni topishga imkon beradi. Segmentning oxiridagi funktsiyani hisoblaymiz [ a,b] va qo'ying a=x 1 , b=x 2. Funktsiyani ikkita ichki nuqtada ham hisoblaylik x 3 , x 4 . Funktsiyaning barcha to'rtta qiymatini solishtiramiz va ular orasidan eng kichigini tanlaymiz. Masalan, eng kichigi bo'lib chiqsin f(x 3). Shubhasiz, minimal unga qo'shni bo'lgan segmentlardan birida bo'lishi kerak. Shuning uchun segment [ x 4 ,b] tashlab yuborilishi va segmentni tark etishi mumkin. 
Birinchi qadam tashlandi. Segmentda siz yana ikkita ichki nuqtani tanlashingiz, ulardagi va oxiridagi funktsiya qiymatlarini hisoblashingiz va keyingi bosqichga o'tishingiz kerak. Ammo oldingi hisob-kitob bosqichida biz funktsiyani yangi segmentning oxirida va uning ichki nuqtalaridan birida topdik. x 4 . Shuning uchun, ichkarida yana bitta nuqtani tanlash kifoya x 5 undagi funksiya qiymatini aniqlang va kerakli taqqoslashlarni bajaring. Bu jarayon har bir qadam uchun zarur bo'lgan hisoblash miqdorini to'rt baravar oshiradi. Ballarni joylashtirishning eng yaxshi usuli qanday? Har safar qolgan segment uch qismga bo'linadi va keyin tashqi segmentlardan biri tashlanadi.
Dastlabki noaniqlik oralig'ini bilan belgilaymiz D.
Umuman olganda, har qanday segmentni tashlab yuborish mumkin X 1, X 3 yoki X 4, X 2 keyin nuqtalarni tanlang X 3 Va X 4 Shunday qilib, bu segmentlarning uzunligi bir xil bo'ladi:
x 3 -x 1 =x 4 -x 2.
Yo'qotib bo'lgach, biz yangi uzunlikdagi noaniqlik oralig'ini olamiz D'.
Keling, munosabatni belgilaylik D/D' ph harfi:
ya'ni, keyingi noaniqlik oralig'i qayerda ekanligini belgilaymiz. Lekin
uzunligi oldingi bosqichda tashlangan segmentga teng, ya'ni
Shuning uchun biz olamiz:
.
Bu tenglamaga yoki ekvivalentga olib keladi 
.
Bu tenglamaning musbat ildizi beradi
.
№34 chipta
funksiyalarning interpolyatsiyasi, ya'ni. Berilgan funktsiyadan foydalanib, qiymatlari ma'lum miqdordagi nuqtalarda berilgan funktsiyaning qiymatlari bilan mos keladigan boshqa (odatda oddiyroq) funktsiyani qurish. Bundan tashqari, interpolyatsiya ham amaliy, ham nazariy ahamiyatga ega.
Oddiy takrorlash usuli, ya'ni ketma-ket yaqinlashish usuli deb ham ataladi, noma'lum miqdorning qiymatini asta-sekin takomillashtirish orqali topishning matematik algoritmidir. Ushbu usulning mohiyati shundan iboratki, nomidan ko'rinib turibdiki, dastlabki yaqinlashuvdan keyingilarini asta-sekin ifodalab, tobora ko'proq aniq natijalar olinadi. Bu usul berilgan funksiyadagi o‘zgaruvchining qiymatini topishda, shuningdek chiziqli va chiziqli bo‘lmagan tenglamalar tizimini yechishda qo‘llaniladi.
Keling, SLAE ni hal qilishda ushbu usul qanday amalga oshirilishini ko'rib chiqaylik. Oddiy iteratsiya usuli quyidagi algoritmga ega:
1. Dastlabki matritsada yaqinlashish shartining bajarilishini tekshirish. Konvergentsiya teoremasi: agar tizimning dastlabki matritsasi diagonal ustunlikka ega bo'lsa (ya'ni, har bir qatorda asosiy diagonalning elementlari mutlaq qiymatdagi ikkilamchi diagonallar elementlarining yig'indisidan mutlaq qiymatda katta bo'lishi kerak), u holda oddiy iteratsiya usuli konvergent hisoblanadi.
2. Dastlabki sistemaning matritsasi har doim ham diagonal ustunlikka ega emas. Bunday hollarda tizim konvertatsiya qilinishi mumkin. Konvergentsiya shartini qanoatlantiradigan tenglamalar daxlsiz qoldiriladi, to'g'ri kelmaydiganlar bilan chiziqli birikmalar tuziladi, ya'ni. kerakli natija olinmaguncha ko'paytirish, ayirish, tenglamalarni bir-biriga qo'shish.
Agar hosil bo'lgan tizimda asosiy diagonal bo'yicha noqulay koeffitsientlar mavjud bo'lsa, unda i * x i bilan shaklning shartlari bunday tenglamaning ikkala tomoniga qo'shiladi, ularning belgilari diagonal elementlarning belgilariga to'g'ri kelishi kerak.
3. Hosil bo`lgan sistemani normal shaklga o`tkazish:
x - =b - +a*x -
Buni ko'p usullar bilan amalga oshirish mumkin, masalan: birinchi tenglamadan x 1 ni boshqa noma'lumlar bilan ifodalang, ikkinchidan - x 2, uchinchidan - x 3 va hokazo. Bunday holda biz quyidagi formulalardan foydalanamiz:
a ij = -(a ij / a ii)
i = b i /a ii
Olingan normal shakldagi tizim konvergentsiya shartiga javob berishiga yana bir bor ishonch hosil qilishingiz kerak:
∑ (j=1) |a ij |≤ 1, i= 1,2,...n esa
4. Biz, aslida, ketma-ket yaqinlashish usulining o'zini qo'llashni boshlaymiz.
x (0) - dastlabki yaqinlashish, u orqali x (1) ni ifodalaymiz, keyin x (2) ni x (1) ga ifodalaymiz. Matritsa ko'rinishidagi umumiy formula quyidagicha ko'rinadi:
x (n) = b - +a*x (n-1)
Biz kerakli aniqlikka erishgunimizcha hisoblaymiz:
max |x i (k)-x i (k+1) ≤ e
Shunday qilib, oddiy takrorlash usulini amalda qo'llaymiz. Misol:
SLAE ni hal qiling:
4,5x1-1,7x2+3,5x3=2
3,1x1+2,3x2-1,1x3=1
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4, aniqlik bilan e=10 -3
Keling, diagonal elementlarning modulda ustunligini ko'rib chiqaylik.
Biz faqat uchinchi tenglama yaqinlashuv shartini qanoatlantirishini ko'ramiz. Keling, birinchi va ikkinchisini aylantiramiz va birinchi tenglamaga ikkinchisini qo'shamiz:
7,6x1+0,6x2+2,4x3=3
Uchinchidan birinchisini ayiramiz:
2,7x1+4,2x2+1,2x3=2
Biz asl tizimni ekvivalentiga aylantirdik:
7,6x1+0,6x2+2,4x3=3
-2,7x1+4,2x2+1,2x3=2
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4
Endi tizimni normal holatga keltiramiz:
x1=0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2=0,4762+0,6429x1-0,2857x3
x3= 0,8511-0,383x1-0,5319x2
Biz iterativ jarayonning yaqinlashuvini tekshiramiz:
0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319= 0,9149 ≤ 1, ya’ni. shart bajariladi.
0,3947
Dastlabki taxmin x(0) = 0,4762
0,8511
Ushbu qiymatlarni oddiy shakldagi tenglamaga almashtirib, biz quyidagi qiymatlarni olamiz:
0,08835
x(1) = 0,486793
0,446639
Yangi qiymatlarni almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
0,215243
x(2) = 0,405396
0,558336
Berilgan shartni qondiradigan qiymatlarga yaqinlashguncha hisob-kitoblarni davom ettiramiz.
x (7) = 0,441091
Keling, olingan natijalarning to'g'riligini tekshiramiz:
4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3,1*0,1880+2,3*0,441-1,1x*0,544=0,9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977
Topilgan qiymatlarni dastlabki tenglamalarga almashtirish natijasida olingan natijalar tenglama shartlarini to'liq qondiradi.
Ko'rib turganimizdek, oddiy takrorlash usuli juda aniq natijalar beradi, ammo bu tenglamani hal qilish uchun biz ko'p vaqt sarflashimiz va mashaqqatli hisob-kitoblarni bajarishimiz kerak edi.
n ta noma’lumli n ta algebraik tenglamalar sistemasi keltirilsin:
Oddiy iteratsiya usuli uchun algoritm:
E'tibor bering, bu erda va bundan keyin pastki indeks noma'lumlar vektorining mos keladigan komponentini, yuqori indeks esa iteratsiya (yaqinlashuv) sonini bildiradi.
Keyin tsiklik matematik jarayon hosil bo'ladi, uning har bir tsikli bir iteratsiyani ifodalaydi. Har bir iteratsiya natijasida noma'lumlar vektorining yangi qiymati olinadi. Takrorlanish jarayonini tashkil qilish uchun tizimni (1) qisqartirilgan shaklda yozamiz. Bunday holda, asosiy diagonaldagi shartlar normallashtiriladi va teng belgining chap tomonida qoladi, qolganlari esa o'ng tomonga o'tkaziladi. Qisqartirilgan tenglamalar tizimi shaklga ega:
e'tibor bering, bu hech qachon erishilmaydi, lekin har bir keyingi iteratsiya bilan noma'lumlar vektori aniq yechimga yaqinlashadi.
12. Nochiziqli tenglamani yechish uchun oddiy takrorlash usulida qo‘llaniladigan asosiy takrorlash formulasi:
13. Nochiziqli tenglamani yechishning oddiy takrorlash usulida takrorlanish jarayonini to‘xtatish mezoni:
Noma'lumlar vektorining har bir i-komponenti uchun aniqlikka erishish sharti bajarilsa, iteratsiya jarayoni tugaydi.
e'tibor bering, bu oddiy takrorlash usulida aniq yechim hech qachon erishilmaydi, ammo har bir keyingi iteratsiya bilan noma'lumlar vektori aniq yechimga yaqinlashadi.
14. Intervalning takrorlanuvchi segmenti uchun F(x) yordamchi funksiyani tanlash mezoni:
Oddiy takrorlash usulini yechish bo'yicha matematikadan test topshirayotganda avvalo yaqinlashish sharti tekshirilishi kerak. Usulni birlashtirish uchun A matritsasida barcha diagonal elementlarning mutlaq qiymatlari tegishli qatordagi barcha boshqa elementlarning modullari yig'indisidan katta bo'lishi zarur va etarli:
Takrorlash usullarining nochorligi Bu barcha tenglamalar tizimlari uchun qoniqtirilmaydigan juda qattiq konvergentsiya sharti.
Agar yaqinlashish sharti bajarilsa, keyingi bosqichda odatda nol vektor bo'lgan noma'lumlar vektorining dastlabki yaqinlashuvini ko'rsatish kerak:
15. Chiziqli tenglamalar tizimini yechishda qo‘llaniladigan Gauss usuli quyidagilarni ta’minlaydi:
Usul matritsani uchburchak shaklga aylantirishga asoslangan. Bunga tizim tenglamalaridan noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish orqali erishiladi.
Oddiy takrorlash usuli dastlabki tenglamani ekvivalent tenglama bilan almashtirishga asoslangan:
Ildizga dastlabki yaqinlashish ma'lum bo'lsin x = x 0. Uni (2.7) tenglamaning o'ng tomoniga qo'yib, biz yangi taxminiylikni olamiz 
, keyin shunga o'xshash tarzda biz olamiz 
va hokazo.:
. (2.8)
 |
Hamma sharoitlarda ham iterativ jarayon tenglamaning ildiziga yaqinlashmaydi X. Keling, ushbu jarayonni batafsil ko'rib chiqaylik. 2.6-rasmda bir tomonlama konvergent va divergent jarayonning grafik talqini keltirilgan. 2.7-rasmda ikki tomonlama konvergent va divergent jarayonlar ko'rsatilgan. Divergent jarayon argument va funktsiya qiymatlarining tez o'sishi va tegishli dasturning g'ayritabiiy tugatilishi bilan tavsiflanadi.
 |
Ikki tomonlama jarayon bilan velosipedda yurish mumkin, ya'ni bir xil funktsiya va argument qiymatlarining cheksiz takrorlanishi. Loop divergent jarayonni konvergentdan ajratadi.
Grafiklardan ko'rinib turibdiki, bir tomonlama va ikki tomonlama jarayonlar uchun ildizga yaqinlashuv egri chiziqning ildiz yaqinidagi qiyaligi bilan belgilanadi. Nishab qanchalik kichik bo'lsa, konvergentsiya shunchalik yaxshi bo'ladi. Ma'lumki, egri chiziq qiyalik tangensi berilgan nuqtadagi egri chiziq hosilasiga teng.
Shuning uchun, ildiz yaqinidagi raqam qanchalik kichik bo'lsa, jarayon tezroq birlashadi.
Takrorlash jarayoni konvergent bo'lishi uchun ildizning qo'shnisida quyidagi tengsizlikni qondirish kerak:
(2.1) tenglamadan (2.7) tenglamaga o'tish funksiya turiga qarab turli usullar bilan amalga oshirilishi mumkin. f(x). Bunday o'tishda (2.9) yaqinlashish sharti qanoatlantirilishi uchun funktsiyani qurish kerak.
(2.1) tenglamadan (2.7) tenglamaga o'tishning umumiy algoritmlaridan birini ko'rib chiqamiz.
(2.1) tenglamaning chap va o‘ng tomonlarini ixtiyoriy doimiyga ko‘paytiramiz. b va ikkala qismga noma'lumni qo'shing X. Bunday holda, asl tenglamaning ildizlari o'zgarmaydi:
Keling, belgi bilan tanishtiramiz 
va (2.10) munosabatdan (2.8) tenglamaga o'tamiz.
 |
O'zboshimchalik bilan doimiy tanlash b yaqinlashish shartining bajarilishini ta'minlaydi (2.9). Takrorlash jarayonini tugatish mezoni (2.2) shart bo'ladi. 2.8-rasmda tasvirlangan tasvirlash usulidan foydalangan holda oddiy takrorlash usulining grafik talqini ko'rsatilgan (X va Y o'qlari bo'ylab masshtablar har xil).
Agar funktsiya shaklda tanlansa, u holda bu funktsiyaning hosilasi bo'ladi. U holda yaqinlashuvning eng yuqori tezligi da bo'ladi 
va iteratsiya formulasi (2.11) Nyuton formulasiga kiradi. Shunday qilib, Nyuton usuli barcha iterativ jarayonlarning eng yuqori yaqinlashuv darajasiga ega.
Oddiy takrorlash usulini dasturiy ta'minotni amalga oshirish pastki dastur protsedurasi shaklida amalga oshiriladi Iteras(2.1 DASTUR).
Butun protsedura amalda bitta takrorlashdan iborat ... Tsiklgacha, (2.11) formulani takrorlash jarayonini to'xtatish shartini hisobga olgan holda amalga oshirish (formula (2.2)).
Jarayon Niter o'zgaruvchisi yordamida halqalar sonini hisoblash orqali o'rnatilgan halqa himoyasiga ega. Amaliy mashg'ulotlarda siz dasturni ishga tushirish orqali koeffitsientni tanlash qanday ta'sir qilishiga ishonch hosil qilishingiz kerak b va ildizni qidirish jarayonida dastlabki yaqinlashish. Koeffitsientni o'zgartirganda b o'rganilayotgan funksiya uchun iteratsiya jarayonining tabiati o'zgaradi. U birinchi navbatda ikki tomonlama, keyin esa ilmoqlarga aylanadi (2.9-rasm). Eksa shkalasi X Va Y har xil. Modulning yana ham katta qiymati b divergent jarayonga olib keladi.
Tenglamalarni taqribiy yechish usullarini solishtirish
Tenglamalarni sonli yechish uchun yuqorida bayon qilingan usullarni solishtirish kompyuter ekranida grafik shaklda ildizni topish jarayonini kuzatish imkonini beruvchi dastur yordamida amalga oshirildi. Ushbu dasturga kiritilgan protseduralar va taqqoslangan usullarni amalga oshirish quyida keltirilgan (2.1 DASTUR).
Guruch. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 - iteratsiya jarayonining oxiridagi shaxsiy kompyuter ekranining nusxalari.
Barcha holatlarda x 2 -x-6 = 0 kvadrat tenglama o'rganilayotgan funktsiya sifatida qabul qilindi, uning analitik yechimi x 1 = -2 va x 2 = 3. Xato va dastlabki yaqinlashishlar barcha usullar uchun teng deb qabul qilindi. Ildiz qidiruv natijalari x= Raqamlarda ko'rsatilgan 3, quyidagilar. Dixotomiya usuli eng sekin - 22 iteratsiyani birlashtiradi, eng tez b = -0,2 - 5 takrorlash bilan oddiy takrorlash usuli. Bu erda Nyuton usuli eng tezkor degan fikrga qarama-qarshilik yo'q.
O‘rganilayotgan funksiyaning nuqtadagi hosilasi X= 3 -0,2 ga teng, ya'ni bu holda hisoblash Nyuton usulida tenglamaning ildiz nuqtasida hosila qiymati bilan amalda amalga oshirildi. Koeffitsientni o'zgartirganda b yaqinlashish tezligi pasayadi va asta-sekin konvergent jarayon avval tsikllarda boradi va keyin divergent bo'ladi.
(2.1) ga o'xshash tizim (5.1) quyidagi ekvivalent shaklda ifodalanishi mumkin:
Bu yerda g(x) vektor argumentining iterativ vektor funksiyasi. Chiziqli bo'lmagan tenglamalar tizimlari ko'pincha (5.2) shaklida (masalan, differentsial tenglamalarning raqamli sxemalarida) paydo bo'ladi; bu holda (5.1) tenglamalarni (5.2) tizimga aylantirish uchun qo'shimcha harakat talab etilmaydi. Agar bitta tenglama uchun oddiy takrorlash usuli bilan o'xshashlikni davom ettirsak, u holda (5.2) tenglamaga asoslangan iteratsiya jarayonini quyidagicha tashkil qilish mumkin:
- 1) ba'zi bir boshlang'ich vektor x ((,) e 5 o (x 0, A)(x* e 5„(x 0, deb faraz qilinadi) A));
- 2) keyingi yaqinlashishlar formula yordamida hisoblanadi
keyin iteratsiya jarayoni tugallanadi va
Avvalgidek, qanday sharoitda ekanligini aniqlashimiz kerak
Keling, ushbu masalani oddiy tahlil qilish orqali muhokama qilaylik. Avval e(^ = x(i) - x* sifatida i-chi yaqinlashish xatosini kiritamiz. Keyin yozishimiz mumkin.
Keling, bu ifodalarni (5.3) ga almashtiramiz va g(x* + e (/i)) darajalarini kengaytiramiz. e(k> vektor argumentining funksiyasi sifatida x* ning qo'shnisida (g(x) funksiyaning barcha qisman hosilalari uzluksiz deb faraz qilingan holda). X* = g(x*) ekanligini ham hisobga olsak, olamiz
yoki matritsa shaklida
B = (bnm)= I (x*)1 - iteratsiya matritsasi.
Agar xato darajasi ||e®|| etarlicha kichik bo'lsa, (5.4) ifodaning o'ng tomonidagi ikkinchi hadni e'tiborsiz qoldirish mumkin, keyin esa (2.16) ifoda bilan mos keladi. Binobarin, takrorlanuvchi jarayonning (5.3) aniq yechimga yaqinlashishi sharti 3.1-teoremada tasvirlangan.
Oddiy takrorlash usulining konvergentsiyasi. Zarur va etarli shart iteratsion jarayonning yaqinlashishi uchun (5.3): 
va etarli shart:
Bu shartlar amaliy ahamiyatga ega emas, balki nazariy ahamiyatga ega, chunki biz x ni bilmaymiz. (1.11) ga o'xshatib, biz foydali bo'lishi mumkin bo'lgan shartni olamiz. x* e 5 o (x 0, A) va g(x) funksiya uchun Yakobiy matritsasi.
barcha x e uchun mavjud S n (x 0, a) (C(x*) = B ekanligini unutmang). Agar C(x) matritsaning elementlari tengsizlikni qanoatlantirsa
hamma uchun x e 5"(x 0, A), u holda har qanday matritsa normasi uchun yetarli shart (5.5) ham bajariladi.
5.1-misol (oddiy takrorlash usuli) Ko'rib chiqing quyidagi tizim tenglamalar:
Ushbu tizimni ekvivalent shaklda (5.2) ifodalashning bir imkoniyati ifodalashdir X birinchi tenglamadan va x 2 ikkinchi tenglamadan: 
Keyin iteratsiya sxemasi shaklga ega bo'ladi
Aniq yechim x* e 5„((2, 2), 1). Dastlabki vektor x (0) = (2,2) va tanlaymiz ? p = CT 5. Hisoblash natijalari jadvalda keltirilgan. 5.1.
5.1-jadval
|
||X - X (i_1 > | 2 / X (A) 2 |
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
Ushbu natijalar konvergentsiya juda sekin ekanligini ko'rsatadi. Konvergentsiyaning miqdoriy xarakteristikasini olish uchun x (1/) ni aniq yechim deb hisoblab, oddiy tahlil qilamiz. Bizning iterativ funksiyamiz uchun Yakobiy matritsasi C(x) shaklga ega
u holda B matritsasi taxminan sifatida baholanadi
Na shart (5.5) ham, (5.6) ham qoniqtirilmaganligini tekshirish oson, lekin 5(B) ~ 0,8 bo'lgani uchun konvergentsiya sodir bo'ladi.
Ko'pincha hisoblash jarayonini biroz o'zgartirib, oddiy iteratsiya usulining yaqinlashishini tezlashtirish mumkin. Ushbu modifikatsiyaning g'oyasi juda oddiy: hisoblash P th vektor komponentlari x (A+1) nafaqat foydalanish mumkin (t = n,..., N), balki keyingi taxminiy vektorning allaqachon hisoblangan komponentlari ham x k^ (/= 1,P - 1). Shunday qilib, o'zgartirilgan oddiy iteratsiya usulini quyidagi takrorlash sxemasi sifatida ko'rsatish mumkin:
Agar takrorlanuvchi jarayon (5.3) natijasida hosil bo'lgan yaqinlashuvlar yaqinlashsa, u holda iteratsion jarayon (5.8) axborotdan to'liqroq foydalanish tufayli tezroq yaqinlashishga intiladi.
5.2-misol (o'zgartirilgan oddiy iteratsiya usuli) Tizim (5.7) uchun o'zgartirilgan oddiy iteratsiya quyidagicha ifodalanadi.
Avvalgidek, biz boshlang'ich vektorni tanlaymiz x (0) = (2, 2) va g r = = 10 -5. Hisoblash natijalari jadvalda keltirilgan. 5.2.
5.2-jadval
|
|||
|
|||
|
|||
|
I Hisoblash tartibidagi katta o'zgarish takrorlashlar sonining ikki baravar kamayishiga, shuning uchun operatsiyalar sonining ikki baravar kamayishiga olib keldi.
