5.1. Nima bo'ldi dispersiya tahlili?

Dispersion tahlil 20-asrning 20-yillarida ingliz matematigi va genetiki Ronald Fisher tomonidan ishlab chiqilgan. 20-asrning biologiyasiga kim eng katta ta'sir ko'rsatganini aniqlagan olimlar o'rtasida o'tkazilgan so'rovga ko'ra, chempionlikni aynan Ser Fisher olgan (xizmatlari uchun u ritsar unvoni bilan taqdirlangan - Buyuk Britaniyadagi eng yuqori mukofotlardan biri). ; bu jihatdan Fisherni 19-asr biologiyasiga eng katta ta'sir ko'rsatgan Charlz Darvin bilan solishtirish mumkin.

Dispersiyani tahlil qilish hozirda statistikaning alohida sohasi hisoblanadi. O'rganilayotgan miqdorning o'zgaruvchanlik o'lchovi ushbu miqdorga ta'sir qiluvchi omillarga va tasodifiy og'ishlarga mos keladigan qismlarga bo'linishi mumkinligi Fisher tomonidan kashf etilgan faktga asoslanadi.

Dispersiyani tahlil qilishning mohiyatini tushunish uchun biz bir xil turdagi hisoblarni ikki marta bajaramiz: "qo'lda" (kalkulyator bilan) va Statistica dasturidan foydalangan holda. Bizning vazifamizni soddalashtirish uchun biz yashil qurbaqalarning xilma-xilligini haqiqiy tavsiflash natijalari bilan emas, balki odamlarda urg'ochi va erkaklarni solishtirishga oid xayoliy misol bilan ishlaymiz. 12 ta katta yoshli odamning balandligi xilma-xilligini ko'rib chiqing: 7 ayol va 5 erkak.

5.1.1-jadval. Bir tomonlama ANOVA uchun misol: jinsi va bo'yi 12 kishi bo'lgan ma'lumotlar

Keling, bir tomonlama dispersiya tahlilini o'tkazamiz: xarakterlangan guruhdagi erkaklar va ayollarning bo'yi statistik jihatdan sezilarli darajada farq qiladimi yoki yo'qligini solishtiring.

5.2. Oddiy taqsimot uchun sinov

Keyingi fikrlash ko'rib chiqilayotgan namunadagi taqsimotning normal yoki me'yorga yaqin ekanligiga asoslanadi. Agar taqsimot me'yordan uzoq bo'lsa, dispersiya (dispersiya) uning o'zgaruvchanligining adekvat ko'rsatkichi emas. Shu bilan birga, dispersiya tahlili normallikdan tarqalish og'ishlariga nisbatan chidamli.

Ushbu ma'lumotlarning normallik testi ikki xil usulda amalga oshirilishi mumkin. Birinchisi: Statistika / Asosiy Statistikalar / Jadvallar / Tavsifli statistika / Oddiylik yorlig'i. Yorliqda Oddiylik Qaysi normallik testlaridan foydalanishni tanlashingiz mumkin. Chastotalar jadvallari tugmachasini bosganingizda chastotalar jadvali paydo bo'ladi va Gistogramlar tugmasi gistogrammani ko'rsatadi. Jadval va gistogramma turli testlar natijalarini ko'rsatadi.

Ikkinchi usul gistogrammalarni qurishda tegishli imkoniyatlardan foydalanish bilan bog'liq. Gistogrammalar yaratish uchun dialog oynasida (Graflar / Histogramlar...) Kengaytirilgan yorlig'ini tanlang. Pastki qismida Statistika bloki mavjud. Unda Shapiro-Uilkni belgilaymiz t est va Kolmogorov-Smirnov testi, rasmda ko'rsatilganidek.

Guruch. 5.2.1. Gistogramma chizish dialogida taqsimlanishning normalligi uchun statistik testlar

Gistogrammadan ko'rinib turibdiki, bizning namunamizdagi o'sishning taqsimlanishi odatdagidan farq qiladi (o'rtada "qobiliyatsizlik" mavjud).

Guruch. 5.2.2. Oldingi rasmda ko'rsatilgan parametrlar bilan qurilgan gistogramma

Grafik sarlavhasining uchinchi qatori kuzatilgan taqsimot eng yaqin bo'lgan normal taqsimot parametrlarini ko'rsatadi. Umumiy o'rtacha 173 va umumiy standart og'ish 10,4 ni tashkil qiladi. Grafikdagi quyidagi qo'shimchada normallik testlari natijalari ko'rsatilgan. D - Kolmogorov-Smirnov testi, SW-W esa Shapiro-Uilk testidir. Ko'rinib turibdiki, ishlatilgan barcha testlar uchun balandlik taqsimoti va normal taqsimot o'rtasidagi farqlar statistik jihatdan ahamiyatsiz bo'lib chiqdi ( p barcha hollarda 0,05 dan katta).

Shunday qilib, rasmiy ravishda taqsimotning normal bo'lishi uchun testlar bizni parametrik usuldan foydalanishni "taqiqlamadi". normal taqsimot. Yuqorida aytib o'tilganidek, dispersiyani tahlil qilish normadan og'ishlarga nisbatan chidamli, shuning uchun biz undan hali ham foydalanamiz.

5.3. Dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish: qo'lda hisoblash

Berilgan misolda odamlarning bo'yi o'zgaruvchanligini tavsiflash uchun kvadrat og'ishlar yig'indisini hisoblaylik (ingliz tilida quyidagicha belgilanadi). SS , Kvadratlar yig'indisi yoki ) o'rtacha qiymatdan individual qiymatlar: . Yuqoridagi misoldagi balandlikning o'rtacha qiymati 173 santimetr. Shu asosda,

SS = (186–173) 2 + (169–173) 2 + (166–173) 2 + (188–173) 2 + (172–173) 2 + (179–173) 2 + (165–173) 2 + (174–173) 2 + (163–173) 2 + (162–173) 2 + (162–173) 2 + (190–173) 2 ;

SS = 132 + 42 + 72 + 152 + 12 + 62 + 82 + 12 + 102 + 112 + 112 + 172;

SS = 169 + 16 + 49 + 225 + 1 + 36 + 64 + 1 + 100 + 121 + 121 + 289 = 1192.

Olingan qiymat (1192) butun ma'lumotlar to'plamining o'zgaruvchanligi o'lchovidir. Biroq, ular ikkita guruhdan iborat bo'lib, ularning har biri o'z o'rtachasiga ega bo'lishi mumkin. Berilgan ma'lumotlarda o'rtacha balandlik; o'rtacha bo'y ayollar - 168 sm, erkaklar - 180 sm.

Keling, ayollar uchun kvadrat og'ishlar yig'indisini hisoblaylik:

SS f = (169–168) 2 + (166–168) 2 + (172–168) 2 + (179–168) 2 + (163–168) 2 + (162–168) 2 ;

SS f = 12 + 22 + 42 + 112 + 32 + 52 + 62 = 1 + 4 + 16 + 121 + 9 + 25 + 36 = 212.

Biz erkaklar uchun kvadrat og'ishlar yig'indisini ham hisoblaymiz:

SS m = (186–180) 2 + (188–180) 2 + (174–180) 2 + (162–180) 2 + (190–180) 2 ;

SS m = 62 + 82 + 62 + 182 + 102 = 36 + 64 + 36 + 324 + 100 = 560.

O'rganilayotgan qiymat dispersiya tahlili mantiqiga muvofiq nimaga bog'liq?

Ikki hisoblangan qiymat, SS f Va SS m , guruh ichidagi o'zgaruvchanlikni tavsiflang, bu variatsiya tahlilida odatda "xato" deb ataladi. Bu nomning kelib chiqishi quyidagi mantiq bilan bog'liq.

Ushbu misolda odamning balandligini nima aniqlaydi? Birinchidan, jinsidan qat'i nazar, umuman odamlarning o'rtacha bo'yi bo'yicha. Ikkinchidan - poldan. Agar bir jinsdagi odamlar (erkak) boshqasidan (ayoldan) balandroq bo'lsa, bu ba'zi bir qiymatning "universal" o'rtacha qiymatiga, gender effektiga qo'shimcha sifatida ifodalanishi mumkin. Nihoyat, bir jinsdagi odamlar individual farqlar tufayli balandlikda farqlanadi. Bo'yni insonning o'rtacha ko'rsatkichi va jinsga moslashuv yig'indisi sifatida tavsiflovchi modelda individual farqlar tushuntirilmaydi va ularni "xato" deb hisoblash mumkin.

Shunday qilib, dispersiyani tahlil qilish mantiqiga muvofiq, o'rganilayotgan qiymat quyidagicha aniqlanadi: , Qayerda x ij - o'rganilayotgan omilning j-qiymatidagi o'rganilayotgan miqdorning i-qiymati; - umumiy o'rtacha; Fj - o'rganilayotgan omilning j-chi qiymatining ta'siri; - "xato", qiymat tegishli ob'ektning individualligining hissasix ij .

Kvadratlarning guruhlararo yig'indisi

Shunday qilib, SS xatolar = SS f + SS m = 212 + 560 = 772. Ushbu qiymat bilan biz guruh ichidagi o'zgaruvchanlikni tasvirladik (guruhlarni jins bo'yicha ajratishda). Ammo o'zgaruvchanlikning ikkinchi qismi bor - guruhlararo o'zgaruvchanlik, biz uni chaqiramizSS effekti (chunki biz ko'rib chiqilayotgan ob'ektlarning umumiyligini ayollar va erkaklarga bo'lish samarasi haqida gapiramiz).

Har bir guruhning o'rtacha qiymati umumiy o'rtachadan farq qiladi. Ushbu farqning o'zgaruvchanlikning umumiy o'lchoviga qo'shgan hissasini hisoblashda biz guruh va umumiy o'rtacha o'rtasidagi farqni har bir guruhdagi ob'ektlar soniga ko'paytirishimiz kerak.

SS effekti = = 7×(168–173) 2 + 5×(180–173) 2 = 7×52 + 5×72 = 7×25 + 5×49 = 175 + 245 = 420.

Bu erda Fisher tomonidan kashf etilgan kvadratlar yig'indisining doimiyligi printsipi o'zini namoyon qildi: SS = effekt SS + xato SS , ya'ni. bu misol uchun 1192 = 440 + 722.

O'rtacha kvadratchalar

Bizning misolimizda kvadratchalarning guruhlararo va guruh ichidagi yig'indilarini solishtirsak, birinchisi ikki guruhning o'zgarishi bilan, ikkinchisi esa 2 guruhdagi 12 ta qiymat bilan bog'liqligini ko'rishimiz mumkin. Erkinlik darajalari soni ( df ) ba'zi bir parametr uchun guruhdagi ob'ektlar soni va bu miqdorlarni bog'laydigan bog'liqliklar (tenglamalar) soni o'rtasidagi farq sifatida aniqlanishi mumkin.

Bizning misolimizda df effekti = 2–1 = 1, A df xatolar = 12–2 = 10.

Biz kvadratlar yig'indisini ularning erkinlik darajalari soniga bo'lishimiz mumkin, bu bizga o'rtacha kvadratlarni beradi ( XONIM , Kvadratlar vositalari). Buni amalga oshirgandan so'ng, biz buni aniqlashimiz mumkin XONIM - o'zgarishlardan boshqa narsa emas ("diferanslar", kvadratlar yig'indisini erkinlik darajalari soniga bo'lish natijasi). Ushbu kashfiyotdan so'ng biz ANOVA jadvalining tuzilishini tushunishimiz mumkin. Bizning misolimiz uchun u shunday ko'rinadi.

Effekt
Xato

MS effekti Va MS xatolar Guruhlararo va guruh ichidagi tafovutning taxminlari va shuning uchun ularni mezon bo'yicha solishtirish mumkin.F (Snedecor mezoni, Fisher nomi bilan atalgan), o'zgarishlarni solishtirish uchun mo'ljallangan. Bu mezon shunchaki kattaroq o'zgaruvchanlikni kichikroqqa bo'lish koeffitsientidir. Bizning holatda bu 420 / 77,2 = 5,440.

Jadvallar yordamida Fisher testining statistik ahamiyatini aniqlash

Agar biz ta'sirning statistik ahamiyatini jadvallar yordamida qo'lda aniqlaydigan bo'lsak, natijada mezon qiymatini solishtirishimiz kerak bo'ladi. F berilgan erkinlik darajalari uchun ma'lum bir statistik ahamiyatga ega bo'lgan kritik qiymatga ega.

Guruch. 5.3.1. Kriteriya qiymatlari bilan jadval fragmenti F

Ko'rib turganingizdek, statistik ahamiyatga egalik darajasi uchun p=0,05 mezonning kritik qiymatiF 4,96 ga teng. Bu shuni anglatadiki, bizning misolimizda o'rganilayotgan jinsning ta'siri 0,05 statistik ahamiyatga ega bo'lgan darajada qayd etilgan.

Olingan natijani quyidagicha talqin qilish mumkin. Nol gipoteza ehtimoli, unga ko'ra ayollar va erkaklarning o'rtacha bo'yi bir xil va ularning balandligidagi qayd etilgan farq namunalarni tanlashda tasodifiylik bilan bog'liq, 5% dan kam. Bu shuni anglatadiki, biz muqobil gipotezani tanlashimiz kerak, ya'ni ayollar va erkaklarning o'rtacha bo'yi har xil.

5.4. Dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish ( ANOVA) Statistica paketida

Hisob-kitoblar qo'lda emas, balki tegishli dasturlardan foydalangan holda (masalan, Statistica to'plami) amalga oshirilgan hollarda, qiymat p avtomatik tarzda aniqlanadi. Siz uning kritik qiymatdan biroz yuqori ekanligini tekshirishingiz mumkin.

Muhokama qilinayotgan misolni dispersiya tahlilining eng oddiy versiyasi yordamida tahlil qilish uchun tegishli ma’lumotlarga ega fayl uchun Statistika/ANOVA protsedurasini ishga tushirishingiz va “Tahlil turi” oynasida “Bir tomonlama ANOVA” opsiyasini va Tezkor spetsifikatsiyalar dialog oynasini tanlashingiz kerak. Spetsifikatsiya usuli oynasida variant.

Guruch. 5.4.1. Umumiy dialog ANOVA/MANOVA (Tahlil tahlili)

Ochilgan tezkor muloqot oynasida "O'zgaruvchilar" maydonida biz o'zgaruvchanligini o'rganayotgan ma'lumotlarni o'z ichiga olgan ustunlarni (qaramli o'zgaruvchilar ro'yxati; bizning holatda, o'sish ustuni), shuningdek qiymatlarni o'z ichiga olgan ustunni ko'rsatishingiz kerak. o'rganilayotgan qiymatni guruhlarga ajratadigan (kattagorik bashoratchi (omil); bizning holatlarimizda Jinsiy ustun). Tahlilning ushbu versiyasida ko'p o'lchovli tahlildan farqli o'laroq, faqat bitta omilni hisobga olish mumkin.

Guruch. 5.4.2. Dialogue One-Way ANOVA (Bir tomonlama dispersiyani tahlil qilish)

Faktor kodlari oynasida ushbu tahlil davomida qayta ishlanishi kerak bo'lgan omilning qiymatlarini ko'rsatishingiz kerak. Barcha mavjud qiymatlarni Zoom tugmasi yordamida ko'rish mumkin; agar bizning misolimizda bo'lgani kabi, siz omilning barcha qiymatlarini hisobga olishingiz kerak bo'lsa (va bizning misolimizda jins uchun faqat ikkitasi bor), siz "Hammasi" tugmasini bosishingiz mumkin. Qayta ishlanadigan ustunlar va omil kodlari ko'rsatilganda, siz OK tugmasini bosishingiz va oynaga o'tishingiz mumkin tezkor tahlil natijalar: ANOVA Natijalar 1, Tez yorlig'ida.

Guruch. 5.4.3. ANOVA natijalari oynasining tezkor yorlig'i

Barcha effektlar/Grafiklar tugmasi ikki guruh vositalarini qanday taqqoslashini ko'rish imkonini beradi. Grafikning tepasida erkinlik darajalari soni, shuningdek, ko'rib chiqilayotgan omil uchun F va p qiymatlari ko'rsatilgan.

Guruch. 5.4.4. ANOVA natijalarining grafik ko'rinishi

Barcha effektlar tugmasi yuqorida tavsiflanganga o'xshash (ba'zi muhim farqlar bilan) dispersiya jadvalining tahlilini olish imkonini beradi.

Guruch. 5.4.5. Dispersiyani tahlil qilish natijalari bilan jadval ("qo'lda" olingan shunga o'xshash jadval bilan solishtiring)

Jadvalning pastki qatorida kvadratlar yig'indisi, erkinlik darajalari soni va xato uchun o'rtacha kvadratchalar (guruh ichidagi o'zgaruvchanlik) ko'rsatilgan. Yuqoridagi qatorda o'rganilayotgan omil uchun o'xshash ko'rsatkichlar mavjud (in Ushbu holatda- belgisi Jinsiy aloqa), shuningdek mezon F (ta'sirning o'rtacha kvadratchalarining xatoning o'rtacha kvadratlariga nisbati) va uning statistik ahamiyatlilik darajasi. Ko'rib chiqilayotgan omilning ta'siri statistik ahamiyatga ega bo'lganligi qizil rang bilan ko'rsatilgan.

Va birinchi qatorda "Intercept" indikatori bo'yicha ma'lumotlar ko'rsatilgan. Bu Jadval qatori Statistica-ga 6-chi yoki undan keyingi versiyada qo'shilgan foydalanuvchilar uchun sirni taqdim etadi. Intercept qiymati, ehtimol, barcha ma'lumotlar qiymatlari kvadratlari yig'indisining parchalanishi bilan bog'liq (masalan, 1862 + 1692 ... = 360340). U uchun ko'rsatilgan F mezon qiymati bo'lish yo'li bilan olingan MS Intercept/MS xatosi = 353220 / 77.2 = 4575.389 va, tabiiyki, juda ko'p beradi. past qiymat p . Qizig'i shundaki, Statistica-5 da bu qiymat umuman hisoblanmagan va paketning keyingi versiyalaridan foydalanish bo'yicha qo'llanmalarda uning kiritilishi haqida hech qanday izoh berilmagan. Ehtimol, Statistica-6 va undan keyingi versiyalardan foydalanadigan biologlar qila oladigan eng yaxshi narsa bu ANOVA jadvalidagi Intercept qatoriga e'tibor bermaslikdir.

5.5. ANOVA va Student va Fisherning t-testlari: qaysi biri yaxshiroq?

E'tibor bergan bo'lsangiz kerak, biz bir tomonlama dispersiyani tahlil qilish yordamida taqqoslagan ma'lumotlarni, shuningdek, Student va Fisher testlari yordamida tekshirishimiz mumkin. Keling, ushbu ikki usulni taqqoslaylik. Buning uchun keling, ushbu mezonlardan foydalanib, erkaklar va ayollar o'rtasidagi balandlik farqini hisoblab chiqamiz. Buning uchun biz Statistika / Asosiy Statistika / t-test, mustaqil, guruhlar bo'yicha yo'ldan borishimiz kerak bo'ladi. Tabiiyki, Bog'liq o'zgaruvchilar Growth o'zgaruvchisi, Guruhlash o'zgaruvchisi esa Jinsiy o'zgaruvchidir.

Guruch. 5.5.1. Student va Fisher testlari yordamida ANOVA yordamida qayta ishlangan ma'lumotlarni solishtirish

Ko'rib turganingizdek, natija ANOVA dan foydalanish bilan bir xil. p = 0,041874 ikkala holatda ham, rasmda ko'rsatilganidek. 5.4.5 va shaklda ko'rsatilgan. 5.5.2 (o'zingiz ko'ring!).

Guruch. 5.5.2. Tahlil natijalari (natijalar jadvalini batafsil tushuntirish - Talaba testiga bag'ishlangan paragrafda)

Shuni ta'kidlash kerakki, Student va Fisher testlari bo'yicha ko'rib chiqilayotgan tahlilda matematik nuqtai nazardan F mezoni ANOVA bilan bir xil bo'lsa ham (va dispersiya nisbatini ifodalaydi), tahlil natijalarida uning ma'nosi quyida keltirilgan. yakuniy jadval butunlay boshqacha. Student va Fisher testlari bilan solishtirganda, namunaviy o'rtachalarni solishtirish Student testi bilan, ularning o'zgaruvchanligini solishtirish esa Fisher testi bilan amalga oshiriladi. Tahlil natijalari o'zgaruvchanlikni emas, balki uni ko'rsatadi Kvadrat ildiz- standart og'ish.

Boshqa tomondan, ANOVA-da, Fisher testi turli xil namunalarning vositalarini solishtirish uchun ishlatiladi (biz muhokama qilganimizdek, bu kvadratlar yig'indisini qismlarga bo'lish va o'rta va guruh ichidagi kvadratlarga mos keladigan kvadratlarning o'rtacha yig'indisini solishtirish orqali amalga oshiriladi. o'zgaruvchanlik).

Biroq, yuqoridagi farq natijalar taqdimotiga tegishli. statistik tadqiqot uning mohiyatidan ko'ra. Glantz (1999, s. 99) ta'kidlaganidek, masalan, Student's t testidan foydalangan holda guruhlarni taqqoslash quyidagicha ko'rinishi mumkin. maxsus holat ikki namuna uchun dispersiya tahlili.

Shunday qilib, Student va Fisher testlari yordamida namunalarni taqqoslash bitta narsaga ega muhim afzallik dispersiyani tahlil qilishdan oldin: unda namunalarni ularning o'zgaruvchanligi bo'yicha solishtirish mumkin. Ammo dispersiyani tahlil qilishning afzalliklari hali ham muhimroqdir. Bularga, masalan, bir vaqtning o'zida bir nechta namunalarni solishtirish qobiliyati kiradi.

Dispersiyani tahlil qilish - bu turli omillarning eksperiment natijasiga ta'sirini baholash, shuningdek, shunga o'xshash tajribalarni keyingi rejalashtirish uchun mo'ljallangan statistik usul.

Dastlab (1918) dispersiyani tahlil qilish ingliz matematigi va statistik R.A. Fisher qishloq xo'jaligi ekinlarining turli navlaridan maksimal hosil olish shartlarini aniqlash uchun agrotexnik tajribalar natijalarini qayta ishlash.

Tajribani o'rnatishda quyidagi shartlarga rioya qilish kerak:

Tajribaning har bir varianti bir nechta kuzatuv birliklarida (hayvonlar guruhlari, dala uchastkalari va boshqalar) amalga oshirilishi kerak.

Kuzatish birliklarini eksperimental variantlar o'rtasida taqsimlash tasodifiy bo'lishi kerak va ataylab emas.

ANOVA dan foydalanadi F- mezon(R.A. Fisher mezoni), ikki dispersiya nisbatini ifodalaydi:

bu yerda d fakt, d qoldiq – erkinlik darajasiga mos ravishda omilli (guruhlararo) va qoldiq (guruh ichidagi) dispersiyalari.

Omil va qoldiq dispersiya - bu o'zgaruvchanlik erkinlik darajalari sonini hisobga olgan holda tanlanma ma'lumotlardan hisoblangan populyatsiya dispersiyasining taxminlari.

Faktorial (guruhlararo) dispersiya o'rganilayotgan omil ta'sirida samarali xarakteristikaning o'zgarishini tushuntiradi.

Qoldiq (guruh ichidagi) dispersiya boshqa omillar ta’sirida (o‘rganilayotgan omil ta’siridan tashqari) samarali xarakteristikaning o‘zgarishini tushuntiradi.

Xulosa qilib aytganda, omil va qoldiq dispersiya umumiy dispersiyani beradi, bu esa barcha omil xususiyatlarining natijaga ta'sirini ifodalaydi.

Dispersiyani tahlil qilish tartibi:

1. Eksperimental ma'lumotlar hisoblash jadvaliga kiritiladi va o'rganilayotgan populyatsiyaning har bir guruhidagi miqdorlar va o'rtacha qiymatlar, shuningdek, butun populyatsiya uchun umumiy miqdor va o'rtacha qiymat aniqlanadi (1-jadval).

1-jadval

	I-chi birlik uchun olingan xarakteristikaning qiymati j-guruhda, x ij	Kuzatishlar soni, f j	O'rtacha (guruh va jami), x j
	x 11, x 12, …, x 1 n x 21, x 22, …, x 2 n x m 1, x m 2, …, x mn

Kuzatuvlarning umumiy soni n kuzatishlar sonining yig'indisi sifatida hisoblanadi f j har bir guruhda:

Agar barcha guruhlar bir xil miqdordagi elementlarga ega bo'lsa, u holda umumiy o'rtacha oddiy arifmetik o'rtacha sifatida guruh vositalaridan topiladi:

Agar guruhlardagi elementlar soni boshqacha bo'lsa, u holda umumiy o'rtacha o'rtacha og'irlikdagi arifmetik formuladan foydalangan holda hisoblab chiqilgan:

2. Umumiy dispersiya aniqlanadi D umuman olingan xarakteristikaning individual qiymatlarining kvadratik og'ishlarining yig'indisi sifatida umumiy o'rtachadan :

3. Faktorial (guruhlararo) dispersiya hisoblanadi D haqiqat guruh vositalarining kvadratik og'ishlari yig'indisi sifatida umumiy o'rtachadan , kuzatishlar soniga ko'paytiriladi:

4. Qoldiq (guruh ichidagi) dispersiyaning qiymati aniqlanadi D ost jami o'rtasidagi farq sifatida D umuman va faktorial D haqiqat farqlar:

5. Omilning erkinlik darajalari sonini hisoblang
dispersiya guruhlar soni orasidagi farq sifatida m va birlik:

6. Qoldiq dispersiya uchun erkinlik darajalari soni aniqlanadi
xarakteristikaning individual qiymatlari soni o'rtasidagi farq sifatida n va guruhlar soni m:

7. Bir erkinlik darajasi uchun omil dispersiyasi qiymati hisoblanadi d haqiqat omillar tafovut nisbati sifatida D haqiqat omillar tarqalishining erkinlik darajalari soniga
:

8. Bir erkinlik darajasiga qoldiq dispersiyaning qiymati aniqlanadi d ost qoldiq dispersiya nisbati sifatida D ost qoldiq dispersiyaning erkinlik darajalari soniga
:

9. F-kriteriyasining hisoblangan qiymati aniqlanadi F-hisoblash omillar tafovutining erkinlik darajasiga nisbati sifatida d haqiqat erkinlik darajasi bo'yicha qoldiq dispersiyaga d ost :

10. Fisher F test jadvalidan foydalanib, tadqiqotda qabul qilingan ahamiyatlilik darajasini hisobga olgan holda, shuningdek, omil va qoldiq dispersiyalarning erkinlik darajalarini hisobga olgan holda, nazariy qiymat topiladi. F stol .

5% ahamiyatlilik darajasi 95% ehtimollik darajasiga va 1% ahamiyatlilik darajasi 99% ehtimollik darajasiga to'g'ri keladi. Aksariyat hollarda 5% ahamiyatlilik darajasi qo'llaniladi.

Nazariy qiymat F stol Berilgan ahamiyat darajasida ikki xillik erkinligi darajasiga mos keladigan satr va ustun kesishmasidagi jadvallardan aniqlanadi:

chiziq bo'yicha - qoldiq;

ustun bo'yicha - faktorial.

11. Hisoblash natijalari jadvalda keltirilgan (2-jadval).

Hamma odamlar tabiatan bilimga intiladi. (Aristotel. Metafizika)

Dispersiyani tahlil qilish

Kirish qisqacha tavsifi

Ushbu bo'limda biz ANOVA ning asosiy usullari, taxminlari va terminologiyasini ko'rib chiqamiz.

E'tibor bering, ingliz tilidagi adabiyotlarda dispersiyani tahlil qilish odatda variatsiya tahlili deb ataladi. Shuning uchun qisqalik uchun quyida biz ba'zan atamani ishlatamiz ANOVA (An tahlil qilish o f va riatsion) oddiy ANOVA va atama uchun MANOVA dispersiyani ko'p o'lchovli tahlil qilish uchun. Ushbu bo'limda biz dispersiya tahlilining asosiy g'oyalarini ketma-ket ko'rib chiqamiz ( ANOVA), kovariatsiyani tahlil qilish ( ANCOVA), ko'p o'zgaruvchanlik tahlili ( MANOVA) va kovariatsiyaning ko'p o'lchovli tahlili ( MANKOVA). Kontrastli tahlil va post hoc testlarning afzalliklarini qisqacha muhokama qilgandan so'ng, keling, ANOVA usullari asoslangan taxminlarni ko'rib chiqaylik. Ushbu bo'limning oxiriga kelib, takroriy o'lchovlarni tahlil qilish uchun ko'p o'lchovli yondashuvning an'anaviy bir o'zgaruvchan yondashuvga nisbatan afzalliklari tushuntiriladi.

Asosiy fikrlar

Dispersiyani tahlil qilishdan maqsad. Dispersiyani tahlil qilishning asosiy maqsadi vositalar orasidagi farqlarning ahamiyatini o'rganishdir. Bob (8-bob) statistik axamiyatni o’rganishga qisqacha ma’lumot beradi. Agar siz ikkita namunadagi o'rtacha qiymatlarni taqqoslasangiz, dispersiyani tahlil qilish oddiy tahlil bilan bir xil natijani beradi. t- mustaqil namunalar uchun test (agar ikkita mustaqil guruh ob'ektlari yoki kuzatishlar solishtirilsa) yoki t- qaram namunalar uchun mezon (agar ikkita o'zgaruvchi bir xil ob'ektlar yoki kuzatishlar to'plamida taqqoslansa). Agar siz ushbu mezonlar bilan tanish bo'lmasangiz, kirish bo'limining umumiy ko'rinishiga murojaat qilishingizni tavsiya qilamiz. (9-bob).

Ism qaerdan paydo bo'lgan Dispersiyani tahlil qilish? Ko'rsatkichlarni taqqoslash tartibi dispersiya tahlili deb nomlanishi g'alati tuyulishi mumkin. Aslida, buning sababi shundaki, biz vositalar orasidagi farqlarning statistik ahamiyatini tekshirganda, biz aslida dispersiyalarni tahlil qilamiz.

Kvadratlar yig'indisini bo'lish

Namuna o‘lchami n uchun tanlama dispersiyasi tanlamaning o‘rtacha qiymatidan kvadrat og‘ishlar yig‘indisi n-1 ga bo‘lingan (namuna hajmi minus bir) sifatida hisoblanadi. Shunday qilib, qat'iy tanlanma o'lchami n uchun dispersiya qisqalik uchun belgilangan kvadratlar (og'ishlar) yig'indisining funktsiyasidir, SS(inglizcha Sum of Squares - Sum of Squares dan). Dispersiyani tahlil qilishning asosi dispersiyani qismlarga ajratish (yoki bo'lish). Quyidagi ma'lumotlar to'plamini ko'rib chiqing:

Ikki guruhning vositalari sezilarli darajada farq qiladi (mos ravishda 2 va 6). Kvadrat og'ishlar yig'indisi ichida Har bir guruh 2 ga teng. Ularni qo'shib, biz 4 ga ega bo'lamiz. Agar hozir bu hisoblarni takrorlasak bundan mustasno guruhga a'zolik, ya'ni hisoblasak SS ikkita namunaning umumiy o'rtacha qiymatiga asoslanib, biz 28 ni olamiz. Boshqacha qilib aytganda, guruh ichidagi o'zgaruvchanlikka asoslangan dispersiya (kvadratlar yig'indisi) umumiy o'zgaruvchanlik asosida hisoblanganga qaraganda ancha kichikroq qiymatlarga olib keladi (nisbatan). umumiy o'rtacha). Buning sababi, shubhasiz, vositalar o'rtasidagi sezilarli farqdir va vositalar orasidagi bu farq kvadratlar yig'indisi o'rtasidagi mavjud farqni tushuntiradi. Aslida, agar siz berilgan ma'lumotlarni tahlil qilish uchun moduldan foydalansangiz Dispersiyani tahlil qilish, quyidagi natijalarga erishiladi:

Jadvaldan ko'rinib turibdiki, kvadratlarning umumiy yig'indisi SS=28 tomonidan berilgan kvadratlar yig'indisiga bo'linadi guruh ichidagi o'zgaruvchanlik ( 2+2=4 ; jadvalning ikkinchi qatoriga qarang) va o'rtacha qiymatlardagi farq tufayli kvadratlar yig'indisi. (28-(2+2)=24; jadvalning birinchi qatoriga qarang).

SS xatolar vaSS ta'sir. Guruh ichidagi o'zgaruvchanlik ( SS) odatda dispersiya deb ataladi xatolar. Bu shuni anglatadiki, tajriba o'tkazilganda odatda uni oldindan aytib bo'lmaydi yoki tushuntirib bo'lmaydi. Boshqa tomondan, SS ta'sir(yoki guruhlar o'rtasidagi o'zgaruvchanlik) o'rganish guruhlari o'rtasidagi farqlar bilan izohlanishi mumkin. Boshqacha aytganda, ma'lum bir guruhga tegishli tushuntiradi guruhlararo o'zgaruvchanlik, chunki bilamizki, bu guruhlar turli xil vositalarga ega.

Muhimligini tekshirish. Statistik ahamiyatlilik testining asosiy g'oyalari bobda muhokama qilinadi Statistikaning asosiy tushunchalari(8-bob). Ushbu bobda, shuningdek, ko'plab testlarda tushuntirilgan va tushunarsiz dispersiya nisbati qo'llanilishi sabablari tushuntiriladi. Bunday foydalanishga misol sifatida dispersiyaning o'zini tahlil qilish mumkin. Dispersiyani tahlil qilishda ahamiyatlilikni tekshirish guruhlararo dispersiya (deb ataladi) tufayli yuzaga kelgan dispersiyani solishtirishga asoslangan. o'rtacha kvadrat effekt yoki XONIMEffekt) va guruh ichidagi o'zgarishlardan kelib chiqadigan dispersiya (deb ataladi o'rtacha kvadrat xato yoki XONIMxato). Agar nol gipoteza (ikki populyatsiyadagi vositalar tengligi) to'g'ri bo'lsa, unda tasodifiy o'zgarishlar tufayli tanlanma o'rtachalarda nisbatan kam farq kutiladi. Shuning uchun, nol gipotezaga ko'ra, guruh ichidagi dispersiya amalda guruh a'zoligini hisobga olmagan holda hisoblangan umumiy dispersiyaga to'g'ri keladi. Olingan guruh ichidagi tafovutlar yordamida solishtirish mumkin F- dispersiya nisbati 1 dan sezilarli darajada katta ekanligini tekshiradigan test. Yuqorida muhokama qilingan misolda F- mezon shuni ko'rsatadiki, o'rtacha ko'rsatkichlar orasidagi farq statistik ahamiyatga ega.

Dispersiyani tahlil qilishning asosiy mantiqi. Xulosa qilib aytganda, ANOVA ning maqsadi (guruhlar yoki o'zgaruvchilar uchun) o'rtasidagi farqning statistik ahamiyatini tekshirishdir. Ushbu tekshirish dispersiya tahlili yordamida amalga oshiriladi, ya'ni. umumiy dispersiyani (variatsiyani) qismlarga bo'lish orqali, ulardan biri tasodifiy xatolik (ya'ni, guruh ichidagi o'zgaruvchanlik), ikkinchisi esa o'rtacha qiymatlardagi farqlar bilan bog'liq. Oxirgi dispersiya komponenti so'ngra o'rtachalar orasidagi farqning statistik ahamiyatini tahlil qilish uchun ishlatiladi. Agar farq sezilarli bo'lsa, nol gipoteza rad etiladi va vositalar o'rtasida farq borligi haqidagi muqobil gipoteza qabul qilinadi.

Bog'liq va mustaqil o'zgaruvchilar. Qiymatlari tajriba davomida o'lchovlar bilan aniqlanadigan o'zgaruvchilar (masalan, testda olingan ball) deyiladi. qaram o'zgaruvchilar. Eksperimentda nazorat qilinishi mumkin bo'lgan o'zgaruvchilar (masalan, o'qitish usullari yoki kuzatishlarni guruhlarga bo'lishning boshqa mezonlari) deyiladi. omillar yoki mustaqil o'zgaruvchilar. Ushbu tushunchalar bobda batafsil tavsiflangan Statistikaning asosiy tushunchalari(8-bob).

Dispersiyaning ko'p o'lchovli tahlili

Yuqoridagilarda oddiy misol tegishli modul variantidan foydalanib, mustaqil namunalar uchun t-testni darhol hisoblashingiz mumkin Asosiy statistika va jadvallar. Olingan natijalar dispersiyani tahlil qilish natijalari bilan tabiiy ravishda mos keladi. Biroq, ANOVA ancha murakkab tadqiqotlar uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan moslashuvchan va kuchli usullarni o'z ichiga oladi.

Ko'p omillar. Dunyo tabiatan murakkab va ko'p qirrali. Muayyan hodisani bitta o'zgaruvchi tomonidan to'liq tavsiflangan holatlar juda kam uchraydi. Misol uchun, agar biz katta pomidorlarni qanday etishtirishni o'rganmoqchi bo'lsak, o'simlikning genetik tuzilishi, tuproq turi, yorug'lik, harorat va boshqalar bilan bog'liq omillarni hisobga olishimiz kerak. Shunday qilib, odatiy eksperiment o'tkazishda ko'p sonli omillar bilan shug'ullanish kerak. ANOVA dan foydalanishning asosiy sababi, turli omillar darajasidagi ikkita namunani takroriy taqqoslashdan afzalroqdir t- mezon - dispersiyani tahlil qilish ko'proq samarali va kichik namunalar uchun ko'proq ma'lumot beradi.

Faktorlarni boshqarish. Aytaylik, yuqorida muhokama qilingan ikkita namunali tahlil misolida biz yana bir omilni qo'shamiz, masalan. Qavat- Jins. Har bir guruh 3 erkak va 3 ayoldan iborat bo'lsin. Ushbu tajribaning dizayni 2 dan 2 gacha bo'lgan jadval shaklida taqdim etilishi mumkin:

	Tajriba. 1-guruh	Tajriba. 2-guruh
Erkaklar	2	6
	3	7
	1	5
O'rtacha	2	6
Ayollar	4	8
	5	9
	3	7
O'rtacha	4	8

Hisob-kitoblarni amalga oshirishdan oldin, ushbu misolda umumiy dispersiya kamida uchta manbaga ega ekanligini ko'rishingiz mumkin:

(1) tasodifiy xato (guruh variatsiyasi ichida),

(2) eksperimental guruh a'zoligi bilan bog'liq o'zgaruvchanlik va

(3) kuzatish ob'ektlarining jinsiga qarab o'zgaruvchanlik.

(E'tibor bering, o'zgaruvchanlikning yana bir manbasi mavjud - omillarning o'zaro ta'siri, bu haqda keyinroq muhokama qilamiz). Agar biz kiritmasak nima bo'ladi qavat –jins tahlil qilishda omil sifatida va odatdagidek hisoblash t- mezon? Agar biz kvadratlarning yig'indisini hisoblasak, e'tibor bermay qavat -jins(ya'ni, guruh ichidagi dispersiyani hisoblashda turli jinsdagi ob'ektlarni bir guruhga birlashtirish, har bir guruh uchun teng kvadratlar yig'indisini olish SS=10, va kvadratlarning umumiy yig'indisi SS= 10+10 = 20), keyin biz kichik guruhlarga qo'shimcha bo'linish bilan aniqroq tahlil qilishdan ko'ra, biz guruh ichidagi dispersiyaning katta qiymatini olamiz. yarim jins(bu holda, guruh ichidagi o'rtacha 2 ga teng bo'ladi va guruh ichidagi kvadratlarning umumiy yig'indisi teng bo'ladi. SS = 2+2+2+2 = 8). Bu farq o'rtacha qiymatga bog'liq erkaklar - erkaklar uchun o'rtacha ko'rsatkichdan kamroq ayollar -ayol, va vositalardagi bu farq jins hisobga olinmaganda umumiy guruh ichidagi o'zgaruvchanlikni oshiradi. Xato farqini nazorat qilish testning sezgirligini (kuchini) oshiradi.

Ushbu misol an'anaviy bilan solishtirganda dispersiya tahlilining yana bir afzalligini ko'rsatadi t- ikkita namuna uchun mezon. Dispersiyani tahlil qilish qolgan omillarning qiymatlarini nazorat qilish orqali har bir omilni o'rganishga imkon beradi. Bu, aslida, uning katta statistik kuchining asosiy sababidir (mazmunli natijalarga erishish uchun kichikroq namunalar talab qilinadi). Shu sababli, dispersiyani tahlil qilish, hatto kichik namunalarda ham, statistik jihatdan ko'proq narsani beradi muhim natijalar oddiydan ko'ra t- mezon.

O'zaro ta'sirlar

An'anaviy bilan solishtirganda dispersiya tahlilidan foydalanishning yana bir afzalligi bor t- mezon: dispersiyani tahlil qilish bizga aniqlash imkonini beradi o'zaro ta'sir omillar o'rtasida va shuning uchun yanada murakkab modellarni o'rganish imkonini beradi. Tasavvur qilish uchun yana bir misolni ko'rib chiqing.

Asosiy effektlar, juftlik (ikki faktorli) o'zaro ta'sirlar. Faraz qilaylik, ikki guruh o‘quvchilari bor va psixologik jihatdan birinchi guruh o‘quvchilari berilgan topshiriqlarni bajarishga qat’iy va dangasa o‘quvchilardan tashkil topgan ikkinchi guruh talabalariga nisbatan ko‘proq maqsadliroqdirlar. Keling, har bir guruhni tasodifiy ikkiga bo'lib, har bir guruhning yarmiga qiyin, ikkinchi yarmiga oson topshiriq beramiz. Shundan so'ng biz o'quvchilarning bu vazifalarni qanchalik qattiq ishlashini o'lchaymiz. Ushbu (hayoliy) tadqiqot uchun o'rtacha ko'rsatkichlar jadvalda keltirilgan:

Ushbu natijalardan qanday xulosa chiqarish mumkin? Xulosa qilish mumkinmi: (1) o'quvchilar murakkab vazifa ustida yanada qizg'in ishlaydi; (2) G'ayratli talabalar dangasa talabalarga qaraganda ko'proq ishlaydimi? Ushbu bayonotlarning hech biri jadvalda ko'rsatilgan vositalarning tizimli tabiatining mohiyatini aks ettirmaydi. Natijalarni tahlil qilsak, faqat rag'batli o'quvchilar qiyin vazifalarni bajarishda ko'proq ishlaydilar, faqat dangasa o'quvchilar oson vazifalarni bajarishda ko'proq ishlaydi, desak to'g'riroq bo'ladi. Boshqacha aytganda, o'quvchilarning xarakteri va topshiriqning qiyinligi o'zaro ta'sir qilish sarflangan sa'y-harakatlarga bir-biriga ta'sir qiladi. Bu bir misol juftlik o'zaro ta'siri o'quvchilarning xarakteri va vazifaning qiyinligi o'rtasida. E'tibor bering, 1 va 2 bayonotlar tavsiflaydi asosiy effektlar.

Yuqori darajadagi o'zaro ta'sirlar. Juftlik o'zaro ta'sirlarni tushuntirish hali nisbatan oson bo'lsa-da, yuqori tartibli o'zaro ta'sirlarni tushuntirish ancha qiyin. Tasavvur qilaylik, yuqorida ko'rib chiqilgan misolda yana bir omil kiritilgan qavat -Jins va biz quyidagi o'rtacha jadvalni oldik:

Endi olingan natijalardan qanday xulosalar chiqarish mumkin? O'rtacha syujetlar murakkab effektlarni izohlashni osonlashtiradi. ANOVA moduli sichqonchani deyarli bir marta bosish bilan ushbu grafiklarni yaratishga imkon beradi.

Quyidagi grafiklardagi rasm o'rganilayotgan uch faktorli o'zaro ta'sirni ifodalaydi.

Grafiklarga nazar tashlaydigan bo'lsak, ayollar uchun shaxsiyat va test qiyinchiliklari o'rtasida o'zaro bog'liqlik borligini aytishimiz mumkin: motivatsiyalangan ayollar oson ishdan ko'ra qiyin ishda ko'proq ishlaydi. Erkaklar uchun bir xil shovqin teskari bo'ladi. Ko'rinib turibdiki, omillar o'rtasidagi o'zaro ta'sirning tavsifi yanada chalkash bo'ladi.

O'zaro ta'sirlarni tavsiflashning umumiy usuli. IN umumiy holat omillar o'rtasidagi o'zaro ta'sir bir ta'sirning boshqa ta'siri ostida o'zgarishi sifatida tavsiflanadi. Yuqorida ko'rib chiqilgan misolda ikki omilli o'zaro ta'sirni talabaning xarakterini tavsiflovchi omil ta'siri ostida vazifaning murakkabligini tavsiflovchi omilning asosiy ta'sirining o'zgarishi sifatida tavsiflash mumkin. Oldingi paragrafdagi uchta omilning o'zaro ta'siri uchun shuni aytishimiz mumkinki, ikkita omilning o'zaro ta'siri (topshiriqning murakkabligi va talabaning xarakteri) ta'sir ostida o'zgaradi. jins – Jins. To'rt omilning o'zaro ta'siri o'rganilsa, uchta omilning o'zaro ta'siri to'rtinchi omil ta'sirida o'zgaradi, ya'ni. To'rtinchi omilning turli darajalarida turli xil turdagi o'zaro ta'sirlar mavjud. Ma'lum bo'lishicha, ko'p sohalarda besh yoki undan ortiq omillarning o'zaro ta'siri odatiy hol emas.

Murakkab rejalar

Guruh o'rtasidagi va guruh ichidagi dizaynlar (takroriy o'lchovli dizaynlar)

Ikkisini solishtirganda turli guruhlar odatda ishlatiladi t- mustaqil namunalar uchun mezon (moduldan Asosiy statistika va jadvallar). Ikki o'zgaruvchini bir xil ob'ektlar to'plami (kuzatishlar) bo'yicha taqqoslaganda, u ishlatiladi t-qaram namunalar uchun mezon. Dispersiyani tahlil qilish uchun namunalar bog'liqmi yoki yo'qligi ham muhimdir. Agar bir xil o'zgaruvchilarning takroriy o'lchovlari mavjud bo'lsa (bilan turli sharoitlar yoki turli vaqtlarda) bir xil ob'ektlar uchun, keyin ular mavjudligi haqida gapirishadi takroriy o'lchovlar omili(shuningdek deyiladi Guruh ichidagi omil, chunki uning ahamiyatini baholash uchun kvadratlarning guruh ichidagi yig'indisi hisoblanadi). Agar ob'ektlarning turli guruhlari (masalan, erkaklar va ayollar, bakteriyalarning uchta shtammi va boshqalar) taqqoslansa, u holda guruhlar orasidagi farq tavsiflanadi. guruhlararo omil. Ta'riflangan ikkita turdagi omillar uchun ahamiyatlilik mezonlarini hisoblash usullari har xil, ammo ularning umumiy mantig'i va talqinlari bir xil.

Guruhlararo va guruh ichidagi rejalar. Ko'pgina hollarda eksperiment loyihalashda sub'ektlar o'rtasidagi omilni ham, takroriy o'lchov omilini ham kiritishni talab qiladi. Misol uchun, ayol va erkak talabalarning matematik qobiliyatlari o'lchanadi (qaerda qavat -Jins-guruhlararo omil) semestr boshida va oxirida. Har bir talaba malakasining ikkita ko'rsatkichi guruh ichidagi omilni (takroriy o'lchov omilini) tashkil qiladi. Mavzular o'rtasidagi va takroriy o'lchov omillari uchun asosiy ta'sirlar va o'zaro ta'sirlarning talqini izchil va har ikki turdagi omillar bir-biri bilan o'zaro ta'sir qilishi mumkin (masalan, ayollar semestr davomida ko'nikmalarga ega bo'ladilar, erkaklar esa ularni yo'qotadilar).

Tugallanmagan (ichiga joylashtirilgan) rejalar

Ko'p hollarda o'zaro ta'sirni e'tiborsiz qoldirish mumkin. Bu populyatsiyada o'zaro ta'sir yo'qligi ma'lum bo'lganda yoki to'liq amalga oshirilganda sodir bo'ladi faktorial rejasi mumkin emas. Masalan, to‘rtta yoqilg‘i qo‘shimchasining yoqilg‘i sarfiga ta’siri o‘rganilmoqda. To'rtta mashina va to'rtta haydovchi tanlangan. Toʻliq faktorial tajriba har bir kombinatsiyani talab qiladi: qo'shimcha, haydovchi, avtomobil - kamida bir marta paydo bo'ladi. Buning uchun kamida 4 x 4 x 4 = 64 test guruhi kerak bo'ladi, bu juda ko'p vaqt talab qiladi. Bundan tashqari, haydovchi va yonilg'i qo'shimchasi o'rtasida hech qanday o'zaro ta'sir bo'lishi ehtimoldan yiroq emas. Buni hisobga olib, siz rejadan foydalanishingiz mumkin Lotin kvadratlari, faqat 16 ta test guruhini o'z ichiga oladi (to'rtta qo'shimcha A, B, C va D harflari bilan belgilanadi):

Lotin kvadratlari eksperimental dizayn bo'yicha ko'pgina kitoblarda tasvirlangan (masalan, Hays, 1988; Lindman, 1974; Milliken va Jonson, 1984; Winer, 1962) va bu erda batafsil muhokama qilinmaydi. Lotin kvadratlari ekanligini unutmang Yo'qnto'la omillar darajasining barcha kombinatsiyalari ishtirok etmaydigan dizaynlar. Masalan, 1-haydovchi 1-mashinani faqat A qo‘shimchasi bilan boshqaradi, 3-haydovchi 1-mashinani faqat C qo‘shimchasi bilan boshqaradi. Faktor darajalari qo'shimchalar ( A, B, C va D) jadval kataklariga joylashtirilgan avtomobil x haydovchi - uyalardagi tuxum kabi. Bu mnemonik qoida tabiatni tushunish uchun foydalidir uyali yoki uyali rejalar. Modul Dispersiyani tahlil qilish beradi oddiy usullar ushbu turdagi rejalarni tahlil qilish.

Kovariant tahlili

asosiy fikr; asosiy g'oya

Bobda Asosiy fikrlar Faktorlarni boshqarish g'oyasi va qo'shimcha omillarni kiritish kvadrat xatolar yig'indisini qanday kamaytirishi va dizaynning statistik kuchini oshirishi haqida qisqacha muhokama qilindi. Bularning barchasi doimiy qiymatlar to'plamiga ega bo'lgan o'zgaruvchilarga kengaytirilishi mumkin. Bunday uzluksiz o'zgaruvchilar dizaynga omillar sifatida kiritilganda, ular deyiladi kovariativlar.

Ruxsat etilgan kovariatsiyalar

Faraz qilaylik, biz ikki xil darslikdan foydalangan holda o'qitilgan ikki guruh o'quvchilarining matematika ko'nikmalarini solishtiramiz. Keling, har bir talaba uchun intellekt koeffitsienti (IQ) ma'lumotlari mavjud deb faraz qilaylik. Siz IQ matematik qobiliyatlar bilan bog'liq deb taxmin qilishingiz va bu ma'lumotlardan foydalanishingiz mumkin. Ikki guruh o'quvchilarining har biri uchun IQ va matematika qobiliyatlari o'rtasidagi korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash mumkin. Ushbu korrelyatsiya koeffitsientidan foydalanib, IQ ta'siri va dispersiyaning tushuntirib bo'lmaydigan nisbati bilan izohlanadigan guruhlardagi dispersiya ulushini ajratish mumkin (shuningdek qarang. Statistikaning asosiy tushunchalari(8-bob) va Asosiy statistika va jadvallar(9-bob)). Dispersiyaning qolgan qismi tahlilda xato dispersiyasi sifatida ishlatiladi. Agar IQ va matematika qobiliyatlari o'rtasida bog'liqlik mavjud bo'lsa, unda xatolik farqi sezilarli darajada kamayishi mumkin SS/(n-1) .

Kovariatsiyalarning ta'siriF- mezon. F- mezon guruhlardagi o'rtacha qiymatlardagi farqning statistik ahamiyatini baholaydi va guruhlararo dispersiya nisbati hisoblanadi ( XONIMta'sir) xato farqiga ( XONIMxato) . Agar XONIMxato kamayadi, masalan, IQ omilini hisobga olgan holda, qiymat F ortadi.

Ko'p kovariatlar. Yuqorida bitta kovariat (IQ) uchun ishlatilgan mulohazalarni bir nechta kovariativlarga osonlikcha kengaytirish mumkin. Masalan, IQ ga qo'shimcha ravishda siz motivatsiya, fazoviy fikrlash va boshqalarni o'lchashingiz mumkin. Odatdagi korrelyatsiya koeffitsienti o'rniga u ishlatiladi ko'p koeffitsient korrelyatsiyalar.

Qachon qiymatF - mezonlar kamayadi. Ba'zan eksperimental dizaynga kovariatsiyalarni kiritish ahamiyatni kamaytiradi F- mezonlar . Bu, odatda, kovariatlarning nafaqat bog'liq o'zgaruvchiga (masalan, matematika ko'nikmalari), balki omillar (masalan, turli xil darsliklar) bilan ham bog'liqligini ko'rsatadi. Faraz qilaylik, IQ semestr oxirida, ikki guruh talabalariga ikki xil darslikdan foydalangan holda deyarli bir yil dars berganidan so‘ng o‘lchanadi. Talabalar tasodifiy guruhlarga ajratilgan bo'lsa-da, darslikdagi farqlar shunchalik kattaki, IQ va matematika ko'nikmalari guruhlar o'rtasida katta farq qilishi mumkin. Bunday holda, kovariatsiyalar nafaqat xato dispersiyasini, balki guruhlar orasidagi dispersiyani ham kamaytiradi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, guruhlar o'rtasidagi IQdagi farqlarni nazorat qilgandan so'ng, matematika qobiliyatlaridagi farqlar endi ahamiyatli emas. Siz boshqacha aytishingiz mumkin. IQ ta'sirini "inkor qilgandan" so'ng, darslikning matematik ko'nikmalarni rivojlantirishga ta'siri beixtiyor chiqarib tashlanadi.

Tuzatilgan o'rtacha ko'rsatkichlar. Kovariat sub'ektlar orasidagi omilga ta'sir qilganda, hisoblash kerak sozlangan vositalar, ya'ni. barcha kovariativ baholar olib tashlanganidan keyin olingan vositalar.

Kovariatlar va omillar o'rtasidagi o'zaro ta'sir. Omillar o'rtasidagi o'zaro ta'sirlar tekshirilgandek, kovariatlar va omillar guruhlari o'rtasidagi o'zaro ta'sirlar ham tekshirilishi mumkin. Aytaylik, darsliklardan biri, ayniqsa, zukko o‘quvchilar uchun mos keladi. Ikkinchi darslik aqlli o‘quvchilar uchun zerikarli, bir xil darslik esa aqli past o‘quvchilar uchun qiyin. Natijada, birinchi guruhda IQ va ta’lim natijalari o‘rtasida ijobiy bog‘liqlik (oqil o‘quvchilar, yaxshi natijalar) va ikkinchi guruhda nol yoki biroz salbiy korrelyatsiya (o‘quvchi qanchalik aqlli bo‘lsa, matematik ko‘nikmalarni egallash ehtimoli shunchalik kam bo‘ladi) ikkinchi darslikdan). Ba'zi tadkikotlar bu holatni kovarians tahlilining taxminlarini buzish misoli sifatida muhokama qiladi. Biroq, ANOVA moduli kovariatsiyani tahlil qilishning eng keng tarqalgan usullaridan foydalanganligi sababli, xususan, omillar va kovariatlar o'rtasidagi o'zaro ta'sirning statistik ahamiyatini baholash mumkin.

O'zgaruvchan kovariatsiyalar

Ruxsat etilgan kovariatsiyalar darsliklarda tez-tez muhokama qilingan bo'lsa-da, o'zgaruvchan kovariatsiyalar kamroq esga olinadi. Odatda, takroriy o'lchovlar bilan tajribalar o'tkazishda biz vaqtning turli nuqtalarida bir xil miqdorlarni o'lchashdagi farqlarga qiziqamiz. Ya'ni, biz bu farqlarning ahamiyati bilan qiziqamiz. Agar kovariatsiyalar bog'liq o'zgaruvchi o'lchovlari bilan bir vaqtda o'lchansa, kovariat va qaram o'zgaruvchi o'rtasidagi korrelyatsiyani hisoblash mumkin.

Masalan, matematikaga qiziqish va matematika ko'nikmalari semestr boshida va oxirida o'rganilishi mumkin. Matematikaga qiziqishning o'zgarishi matematika ko'nikmalaridagi o'zgarishlar bilan bog'liqmi yoki yo'qligini tekshirish qiziq.

Modul Dispersiyani tahlil qilish V STATISTIKA iloji bo'lsa, dizayndagi kovariatsiyalardagi o'zgarishlarning statistik ahamiyatini avtomatik ravishda baholaydi.

Ko'p o'zgaruvchan dizaynlar: dispersiya va kovariatsiyaning ko'p o'lchovli tahlili

Guruhlararo rejalar

Yuqorida muhokama qilingan barcha misollar faqat bitta qaram o'zgaruvchini o'z ichiga oladi. Bir vaqtning o'zida bir nechta qaram o'zgaruvchilar mavjud bo'lganda, faqat hisob-kitoblarning murakkabligi oshadi, lekin mazmuni va asosiy tamoyillari o'zgarmaydi.

Masalan, tadqiqot ikki xil darslik bo'yicha olib boriladi. Shu bilan birga, o‘quvchilarning fizika-matematika fanlarini o‘rganishdagi muvaffaqiyatlari o‘rganiladi. Bunday holda, ikkita qaram o'zgaruvchi mavjud va siz ikkita turli darslik bir vaqtning o'zida ularga qanday ta'sir qilishini aniqlashingiz kerak. Buning uchun siz ko'p o'lchovli dispersiyadan (MANOVA) foydalanishingiz mumkin. Bir o'lchovli o'rniga F mezon, ko'p o'lchovli ishlatiladi F test (Uilks l testi), xato kovariatsiya matritsasi va guruhlararo kovariatsiya matritsasi qiyoslash asosida.

Agar qaram o'zgaruvchilar bir-biri bilan korrelyatsiya qilingan bo'lsa, u holda muhimlik mezonini hisoblashda bu bog'liqlikni hisobga olish kerak. Shubhasiz, agar bir xil o'lchov ikki marta takrorlansa, unda yangi hech narsa olinmaydi. Agar u bilan korrelyatsiya qilingan o'lchov mavjud o'lchovga qo'shilsa, ba'zilari yangi ma'lumotlar, lekin yangi o'zgaruvchida ortiqcha ma'lumotlar mavjud bo'lib, u o'zgaruvchilar orasidagi kovariatsiyada aks etadi.

Natijalarni talqin qilish. Agar umumiy ko'p o'lchovli test muhim bo'lsa, tegishli ta'sir (masalan, darslik turi) muhim degan xulosaga kelishimiz mumkin. Biroq, quyidagi savollar tug'iladi. Darslik turi faqat matematika, faqat jismoniy mahorat yoki ikkala ko'nikmaning yaxshilanishiga ta'sir qiladimi? Aslida, muhim ko'p o'lchovli testni olgandan so'ng, individual asosiy ta'sir yoki o'zaro ta'sir uchun bir o'zgaruvchan test tekshiriladi. F mezon. Boshqacha qilib aytganda, ko'p o'lchovli testning ahamiyatiga hissa qo'shadigan qaram o'zgaruvchilar alohida tekshiriladi.

Takroriy chora-tadbirlar dizaynlari

Talabalarning matematika va fizika bilimlari semestr boshida va oxirida o’lchanadigan bo’lsa, bu takroriy o’lchovlardir. Bunday rejalarda muhimlik mezonini o'rganish mantiqiy rivojlanish bir o'lchovli holat. E'tibor bering, dispersiya usullarini ko'p o'lchovli tahlil qilish, shuningdek, ikkitadan ortiq darajaga ega bo'lgan bir o'zgaruvchan takroriy o'lchov omillarining ahamiyatini tekshirish uchun ham qo'llaniladi. Tegishli ilovalar ushbu qismda keyinroq muhokama qilinadi.

O'zgaruvchan qiymatlarni yig'ish va dispersiyani ko'p o'lchovli tahlil qilish

Hatto bir o‘zgaruvchili va ko‘p o‘zgaruvchili dispersiya tahlilining tajribali foydalanuvchilari ham ko‘pincha, masalan, uchta o‘zgaruvchiga ko‘p o‘zgaruvchanlik tahlilini qo‘llashda va bu uch o‘zgaruvchining yig‘indisiga bir o‘zgaruvchanlik tahlilini qo‘llashda turli natijalarni olishda qiynaladilar. bitta o'zgaruvchi edi.

Fikr jamlash o'zgaruvchilar - har bir o'zgaruvchida o'rganilayotgan ba'zi haqiqiy o'zgaruvchilar, shuningdek tasodifiy o'lchash xatosi mavjud. Shuning uchun, o'zgaruvchilar qiymatlarini o'rtacha hisoblashda o'lchash xatosi barcha o'lchovlar uchun 0 ga yaqinroq bo'ladi va o'rtacha qiymatlar ishonchliroq bo'ladi. Aslida, bu holda, o'zgaruvchilar yig'indisiga ANOVA ni qo'llash oqilona va shundaydir kuchli usul. Biroq, agar qaram o'zgaruvchilar tabiatda ko'p o'lchovli bo'lsa, o'zgaruvchilar qiymatlarini yig'ish noo'rin.

Masalan, qaram o'zgaruvchilar to'rtta ko'rsatkichdan iborat bo'lsin jamiyatdagi muvaffaqiyat. Har bir ko'rsatkich inson faoliyatining mutlaqo mustaqil tomonini tavsiflaydi (masalan, kasbiy muvaffaqiyat, biznesdagi muvaffaqiyat, oilaviy farovonlik va boshqalar). Ushbu o'zgaruvchilarni qo'shish olma va apelsin qo'shishga o'xshaydi. Bu o'zgaruvchilar yig'indisi mos bir o'lchovli o'lchov bo'lmaydi. Shuning uchun bunday ma'lumotlar ko'p o'lchovli ko'rsatkichlar sifatida ko'rib chiqilishi kerak dispersiyaning ko'p o'lchovli tahlili.

Kontrastli tahlil va post hoc testlari

Nima uchun o'rtachalarning alohida to'plamlari solishtiriladi?

Odatda, eksperimental ma'lumotlar haqidagi farazlar oddiygina asosiy ta'sirlar yoki o'zaro ta'sirlar nuqtai nazaridan shakllantirilmaydi. Bunga misol qilib, bu gipotezani keltirish mumkin: ma'lum bir darslik faqat erkak o'quvchilarda matematika ko'nikmalarini yaxshilaydi, boshqa bir darslik har ikki jins uchun taxminan bir xil darajada samarali, lekin erkaklar uchun hali ham unchalik samarali emas. Darslik samaradorligi o'quvchilarning jinsi bilan o'zaro bog'liqligini taxmin qilish mumkin. Biroq, bu prognoz ham amal qiladi tabiat o'zaro ta'sirlar. Bir kitobdan foydalangan talabalar uchun jinslar o'rtasidagi sezilarli farq va boshqa kitobdan foydalanadigan talabalar uchun jins bo'yicha deyarli mustaqil natijalar kutilmoqda. Ushbu turdagi gipoteza odatda kontrastli tahlil yordamida tekshiriladi.

Kontrastlarni tahlil qilish

Muxtasar qilib aytganda, kontrastli tahlil murakkab effektlarning muayyan chiziqli birikmalarining statistik ahamiyatini baholashga imkon beradi. Kontrastli tahlil har qanday murakkab ANOVA rejasining asosiy va majburiy elementidir. Modul Dispersiyani tahlil qilish har qanday turdagi taqqoslash vositalarini ajratish va tahlil qilish imkonini beruvchi juda xilma-xil kontrastli tahlil imkoniyatlariga ega.

Posteriori taqqoslashlar

Ba'zida tajribani qayta ishlash natijasida kutilmagan ta'sir aniqlanadi. Garchi ko'p hollarda ijodiy tadqiqotchi har qanday natijani tushuntirishga qodir bo'lsa-da, bu keyingi tahlil va bashorat qilish uchun baho berishga imkon bermaydi. Bu muammo ulardan biri hisoblanadi a posteriori mezonlari, ya'ni foydalanmaydigan mezonlar a priori farazlar. Tasavvur qilish uchun quyidagi tajribani ko'rib chiqing. 1 dan 10 gacha raqamlarni o'z ichiga olgan 100 ta karta bor deb faraz qilaylik. Ushbu kartalarning barchasini sarlavhaga qo'yib, biz tasodifiy ravishda 20 marta 5 ta kartani tanlaymiz va har bir namuna uchun o'rtacha qiymatni (kartalarda yozilgan raqamlarning o'rtacha qiymatini) hisoblaymiz. Vositalari sezilarli darajada farq qiladigan ikkita namuna bo'lishini kutish mumkinmi? Bu juda ishonarli! Maksimal va minimal o'rtacha qiymatga ega bo'lgan ikkita namunani tanlab, siz, masalan, birinchi ikkita namunadagi farqdan juda farq qiladigan vositalardagi farqni olishingiz mumkin. Bu farqni, masalan, kontrastli tahlil yordamida o'rganish mumkin. Tafsilotlarga kirmasdan, bir nechta deb ataladigan narsalar mavjud a posteriori aynan birinchi stsenariyga asoslangan mezonlar (20 ta namunadan ekstremal vositalarni olish), ya'ni bu mezonlar dizayndagi barcha vositalarni solishtirish uchun eng xilma-xil vositalarni tanlashga asoslangan. Ushbu mezonlar sun'iy effekt tasodifan olinmasligini ta'minlash uchun, masalan, yo'q bo'lganda vositalar o'rtasidagi sezilarli farqni aniqlash uchun ishlatiladi. Modul Dispersiyani tahlil qilish kabi mezonlarning keng doirasini taklif etadi. Bir necha guruhlar ishtirokidagi tajribada kutilmagan natijalarga duch kelganda, keyin a posteriori olingan natijalarning statistik ahamiyatini tekshirish tartiblari.

I, II, III va IV turdagi kvadratlar yig'indisi

Ko'p o'lchovli regressiya va dispersiya tahlili

Ko'p o'lchovli regressiya usuli va dispersiya tahlili (dispersiya tahlili) o'rtasida yaqin bog'liqlik mavjud. Ikkala usulda ham chiziqli model o'rganiladi. Muxtasar qilib aytganda, deyarli barcha eksperimental dizaynlarni ko'p o'lchovli regressiya yordamida tekshirish mumkin. Quyidagi oddiy guruhlararo 2 x 2 dizaynni ko'rib chiqing.

D.V.	A	B	AxB
3	1	1	1
4	1	1	1
4	1	-1	-1
5	1	-1	-1
6	-1	1	-1
6	-1	1	-1
3	-1	-1	1
2	-1	-1	1

A va B ustunlari A va B omillari darajasini tavsiflovchi kodlarni o'z ichiga oladi, AxB ustuni ikkita A va B ustunlarining mahsulotini o'z ichiga oladi. Biz bu ma'lumotlarni ko'p o'zgaruvchan regressiya yordamida tahlil qilishimiz mumkin. Oʻzgaruvchan D.V. bog'liq o'zgaruvchi sifatida belgilangan, o'zgaruvchilar dan A oldin AxB mustaqil o'zgaruvchilar sifatida. Regressiya koeffitsientlarining ahamiyatini o'rganish omillarning asosiy ta'sirining ahamiyati dispersiyasini tahlil qilishdagi hisob-kitoblarga to'g'ri keladi. A Va B va o'zaro ta'sir AxB.

Balanssiz va muvozanatli rejalar

Yuqorida tasvirlangan ma'lumotlar kabi barcha o'zgaruvchilar uchun korrelyatsiya matritsasini hisoblashda siz omillarning asosiy ta'sirini sezasiz. A Va B va o'zaro ta'sir AxB bog'liq bo'lmagan. Effektlarning bu xossasi ortogonallik deb ham ataladi. Ular ta'sirini aytishadi A Va B - ortogonal yoki mustaqil bir biridan. Agar rejadagi barcha effektlar yuqoridagi misoldagi kabi bir-biriga ortogonal bo'lsa, u holda reja deyiladi. muvozanatli.

Balanslangan rejalar " yaxshi mulk" Bunday rejalarni tahlil qilish uchun hisob-kitoblar juda oddiy. Barcha hisob-kitoblar ta'sirlar va qaram o'zgaruvchilar o'rtasidagi korrelyatsiyani hisoblash uchun qaynatiladi. Ta'sirlar ortogonal bo'lgani uchun, qisman korrelyatsiyalar (to'liq ko'p o'lchovli regressiyalar) hisoblanmaydi. Biroq, ichida haqiqiy hayot rejalar har doim ham muvozanatli emas.

Keling, hujayralardagi kuzatuvlar soni teng bo'lmagan haqiqiy ma'lumotlarni ko'rib chiqaylik.

Faktor A	B omil
	B1	B2
A1	3	4, 5
A2	6, 6, 7	2

Agar biz ushbu ma'lumotlarni yuqoridagi kabi kodlasak va barcha o'zgaruvchilar uchun korrelyatsiya matritsasini hisoblasak, dizayn omillari bir-biri bilan bog'liqligini topamiz. Rejadagi omillar endi ortogonal emas va bunday rejalar deyiladi muvozanatsiz. E'tibor bering, ko'rib chiqilayotgan misolda omillar o'rtasidagi korrelyatsiya butunlay ma'lumotlar matritsasi ustunlaridagi 1 va -1 chastotalaridagi farq bilan bog'liq. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, teng bo'lmagan hujayra hajmlari (aniqrog'i, nomutanosib hajmlar) bo'lgan eksperimental dizaynlar muvozanatsiz bo'ladi, ya'ni asosiy effektlar va o'zaro ta'sirlar chalkash bo'ladi. Bunday holda, ta'sirlarning statistik ahamiyatini hisoblash uchun to'liq ko'p o'lchovli regressiyani hisoblash kerak. Bu erda bir nechta strategiyalar mavjud.

I, II, III va IV turdagi kvadratlar yig'indisi

Kvadratlar yig'indisi turiIVaIII. Ko'p o'zgaruvchan modeldagi har bir omilning ahamiyatini tekshirish uchun barcha boshqa omillar allaqachon modelda hisobga olingan bo'lsa, har bir omilning qisman korrelyatsiyasini hisoblash mumkin. Bundan tashqari, modelga kiritilgan omillarni bosqichma-bosqich kiritishingiz va boshqa barcha omillarni e'tiborsiz qoldirishingiz mumkin. Umuman olganda, bu o'rtasidagi farq turi III Va turiI kvadratlar yig'indisi (bu terminologiya SASda kiritilgan, masalan, SAS, 1982; batafsil muhokamani Searle, 1987, 461-betda ham topish mumkin; Vudvord, Bonett va Brecht, 1990, 216-bet; yoki Milliken va Jonson, 1984, 138-bet).

Kvadratlar yig'indisi turiII. Keyingi "oraliq" modelni shakllantirish strategiyasi quyidagilardan iborat: bitta asosiy effektning ahamiyatini tekshirishda barcha asosiy effektlarni nazorat qilish; individual juftlik o'zaro ta'sirining ahamiyatini tekshirishda barcha asosiy effektlarni va barcha juft o'zaro ta'sirlarni nazorat qilishda; barcha juft o'zaro ta'sirlarning barcha asosiy ta'sirini va uchta omilning barcha o'zaro ta'sirini nazorat qilishda; uchta omilning individual o'zaro ta'sirini o'rganishda va hokazo. Shu tarzda hisoblangan effektlar uchun kvadratlar yig'indisi deyiladi turiII kvadratlar yig'indisi. Shunday qilib, turiII Kvadratlar yig'indisi barcha yuqori tartibli effektlarni e'tiborsiz qoldirib, bir xil va undan past darajadagi barcha effektlarni boshqaradi.

Kvadratlar yig'indisi turiIV. Nihoyat, etishmayotgan hujayralar (to'liq bo'lmagan rejalar) bo'lgan ba'zi maxsus rejalar uchun, deb atalmish hisoblash mumkin. turi IV kvadratlar yig'indisi. Ushbu usul keyinroq to'liq bo'lmagan dizaynlar bilan bog'liq holda muhokama qilinadi (yo'qolgan hujayralar bilan dizaynlar).

I, II va III tipdagi kvadratlar yig'indisi gipotezasini talqin qilish

Kvadratlar yig'indisi turiIII talqin qilish eng oson. Eslatib o'tamiz, kvadratlarning yig'indisi turiIII boshqa barcha ta'sirlarni nazorat qilgandan keyin ta'sirlarni tekshiring. Misol uchun, statistik ahamiyatga ega bo'lgandan keyin turiIII omil uchun ta'sir A modulda Dispersiyani tahlil qilish, omilning yagona muhim ta'siri borligini aytishimiz mumkin A, boshqa barcha ta'sirlarni (omillarni) kiritgandan so'ng va bu ta'sirni mos ravishda izohlang. Ehtimol, barcha ANOVA ilovalarining 99 foizida bu tadqiqotchini qiziqtiradigan test turidir. Ushbu turdagi kvadratlar yig'indisi odatda modulda hisoblanadi Dispersiyani tahlil qilish sukut bo'yicha, parametr tanlangan yoki yo'qligidan qat'iy nazar Regressiya yondashuvi yoki yo'q (modulda qabul qilingan standart yondashuvlar Dispersiyani tahlil qilish quyida muhokama qilinadi).

Kvadratchalar yig'indisi yordamida olingan muhim effektlar turi yoki turiII kvadratlar yig'indisini talqin qilish unchalik oson emas. Ular bosqichma-bosqich ko'p o'zgaruvchan regressiya kontekstida eng yaxshi talqin qilinadi. Agar, kvadratlar yig'indisidan foydalanganda turiI B omilining asosiy ta'siri sezilarli edi (modelga A omil kiritilgandan keyin, lekin A va B o'rtasidagi o'zaro ta'sir qo'shilishidan oldin), biz o'zaro ta'sir bo'lmasa, B omilining muhim asosiy ta'siri bor degan xulosaga kelishimiz mumkin. A va B omillari o'rtasida. (Mezondan foydalanilganda turiIII, B omili ham muhim bo'lib chiqdi, keyin biz barcha boshqa omillarni va ularning o'zaro ta'sirini modelga kiritgandan so'ng, B omilining muhim asosiy ta'siri bor degan xulosaga kelishimiz mumkin).

Marjinal vositalar gipotezasi nuqtai nazaridan turiI Va turiII odatda oddiy talqinga ega emas. Bunday hollarda, ta'sirlarning ahamiyatini faqat marjinal vositalarga qarab izohlab bo'lmaydi, deyiladi. Aksincha taqdim etilgan p vositalar vositalar va namuna hajmini birlashtirgan murakkab gipoteza bilan bog'liq. Masalan, turiII Yuqorida muhokama qilingan 2 x 2 dizaynning oddiy misolida A omili uchun farazlar quyidagicha bo'ladi (qarang: Vudvord, Bonett va Brecht, 1990, 219-bet):

nij- hujayradagi kuzatuvlar soni

uij- hujayradagi o'rtacha qiymat

n. j- marjinal o'rtacha

Haddan tashqari tafsilotlarga berilmasdan (batafsilroq, Milliken va Jonson, 1984, 10-bobga qarang), bu oddiy farazlar emasligi va aksariyat hollarda ularning hech biri tadqiqotchini alohida qiziqtirmasligi aniq. Biroq, gipotezalar mavjud bo'lgan holatlar mavjud turiI qiziqarli bo'lishi mumkin.

Modulda standart hisoblash yondashuvi Dispersiyani tahlil qilish

Agar parametr belgilanmagan bo'lsa, standart Regressiya yondashuvi, modul Dispersiyani tahlil qilish foydalanadi o'rtacha hujayra modeli. Ushbu model uchun kvadratlar yig'indisi ekanligi bilan tavsiflanadi turli effektlar hujayra vositalarining chiziqli birikmalari uchun hisoblanadi. To'liq faktorial tajribada bu avvalroq muhokama qilingan kvadratlar yig'indisi bilan bir xil bo'lgan kvadratlar yig'indisiga olib keladi. turi III. Biroq, variantda Rejalashtirilgan taqqoslashlar(oynada ANOVA natijalari), foydalanuvchi gipotezani vaznli yoki tortilmagan hujayra vositalarining har qanday chiziqli birikmasiga qarshi sinab ko'rishi mumkin. Shunday qilib, foydalanuvchi nafaqat farazlarni sinab ko'rishi mumkin turiIII, lekin har qanday turdagi gipotezalar (shu jumladan turiIV). Bu umumiy yondashuv ayniqsa, etishmayotgan hujayralar (to'liq bo'lmagan rejalar deb ataladi) bo'lgan rejalarni tekshirishda foydalidir.

To'liq faktoriy dizaynlar uchun bu yondashuv vaznli marjinal vositalarni tahlil qilishni xohlasa ham foydalidir. Masalan, ilgari ko'rib chiqilgan oddiy 2 x 2 dizaynda biz og'irlikdagi (omil darajalari bo'yicha) solishtirishimiz kerak, deylik. B) A omili uchun marginal o'rtacha. Bu hujayralar bo'ylab kuzatuvlarni taqsimlash eksperimentator tomonidan tayyorlanmagan, lekin tasodifiy tuzilgan bo'lsa foydali bo'ladi va bu tasodifiylik kuzatuvlar sonining B omil darajalari bo'yicha taqsimlanishida aks etadi. agregat.

Masalan, bir omil bor - bevalar yoshi. Respondentlarning mumkin bo'lgan namunasi ikki guruhga bo'lingan: 40 yoshgacha va 40 dan katta (B omil). Rejadagi ikkinchi omil (A omili) bevalar ba'zi idoralardan ijtimoiy yordam olganmi yoki yo'qmi (ba'zi bevalar tasodifiy tanlangan, boshqalari nazorat sifatida xizmat qilgan). Bunday holda, namunadagi beva ayollarning yoshi bo'yicha taqsimlanishi aholi o'rtasida beva ayollarning yoshi bo'yicha haqiqiy taqsimlanishini aks ettiradi. Guruh samaradorligini baholash ijtimoiy qo'llab-quvvatlash tomonidan bevalar barcha yoshdagilar ikkalasining o'rtacha og'irligiga to'g'ri keladi yosh guruhlari(guruhdagi kuzatishlar soniga mos keladigan og'irliklar bilan).

Rejalashtirilgan taqqoslashlar

E'tibor bering, kiritilgan kontrast koeffitsientlarining yig'indisi 0 (nol) ga teng bo'lishi shart emas. Buning o'rniga, dastur mos keladigan farazlar umumiy o'rtacha ko'rsatkich bilan chalkashmasligini ta'minlash uchun avtomatik ravishda tuzatishlar kiritadi.

Buni ko'rsatish uchun, keling, avval muhokama qilingan oddiy 2 x 2 rejasiga qaytaylik. Eslatib o'tamiz, bu muvozanatsiz dizaynning katakchalarida kuzatuvlar soni -1, 2, 3 va 1 ni tashkil qiladi. Faraz qilaylik, biz A omili uchun og'irlikdagi chegaraviy o'rtachalarni solishtirmoqchimiz (B omil darajasining chastotasi bilan tortilgan). Kontrast koeffitsientlarini kiritishingiz mumkin:

E'tibor bering, bu koeffitsientlar 0 ga qo'shilmaydi. Dastur koeffitsientlarni 0 ga qo'shadigan tarzda o'rnatadi va ularning nisbiy qiymatlari saqlanib qoladi, ya'ni:

1/3 2/3 -3/4 -1/4

Ushbu qarama-qarshiliklar A omili uchun og'irlikdagi o'rtachalarni solishtiradi.

Asosiy o'rtacha haqida farazlar. Og'irlanmagan asosiy o'rtacha 0 ga teng bo'lgan gipotezani koeffitsientlar yordamida o'rganish mumkin:

O'rtacha og'irlikdagi asosiy 0 ga teng bo'lgan gipoteza quyidagi usullar yordamida tekshiriladi:

Hech qanday holatda dastur kontrast nisbatlarini sozlamaydi.

Yo'qolgan hujayralar bilan rejalarni tahlil qilish (to'liq bo'lmagan rejalar)

Bo'sh hujayralarni o'z ichiga olgan faktoriy dizaynlar (kuzatishlari bo'lmagan hujayralar birikmalarini qayta ishlash) to'liq emas deb ataladi. Bunday dizaynlarda ba'zi omillar odatda ortogonal emas va ba'zi o'zaro ta'sirlarni hisoblash mumkin emas. U umuman mavjud emas eng yaxshi usul bunday rejalarni tahlil qilish.

Regressiya yondashuvi

Ko'p o'zgaruvchan regressiya yordamida ANOVA dizaynlarini tahlil qilishga tayanadigan ba'zi eski dasturlarda to'liq bo'lmagan dizayndagi omillar odatdagidek sukut bo'yicha belgilanadi (go'yo dizayn tugallangandek). Keyin ko'p o'lchovli regressiya tahlili bu soxta kodlangan omillar uchun. Afsuski, bu usul talqin qilish juda qiyin, hatto imkonsiz bo'lgan natijalarni keltirib chiqaradi, chunki har bir ta'sir vositalarning chiziqli birikmasiga qanday hissa qo'shishi noma'lum. Quyidagi oddiy misolni ko'rib chiqing.

Faktor A	B omil
	B1	B2
A1	3	4, 5
A2	6, 6, 7	O'tkazib yuborilgan

Agar formaning ko'p o'lchovli regressiyasini bajarsak Bog'liq o'zgaruvchi = doimiy + A omil + B omil, u holda vositalarning chiziqli birikmalari nuqtai nazaridan A va B omillarning ahamiyati haqidagi gipoteza quyidagicha ko'rinadi:

A omil: A1,B1 hujayra = A2,B1 hujayra

B omil: A1,B1 hujayra = A1,B2 hujayra

Bu holat oddiy. Keyinchalik murakkab dizaynlarda aniq nima tekshirilishini aniqlab bo'lmaydi.

Hujayra degani, ANOVA yondashuvi , IV turdagi gipotezalar

Adabiyotda tavsiya etilgan va afzal ko'rinadigan yondashuv mazmunli o'rganishdir (tadqiqot savollari nuqtai nazaridan) a priori reja hujayralarida kuzatilgan vositalar haqidagi farazlar. Ushbu yondashuvning batafsil muhokamasini Dodge (1985), Heiberger (1989), Milliken and Jonson (1984), Searle (1987) yoki Vudvord, Bonett va Brecht (1990) da topish mumkin. To'liq bo'lmagan dizayndagi vositalarning chiziqli kombinatsiyasi haqidagi farazlar bilan bog'liq kvadratlar yig'indisi, shuningdek, ta'sirlarning bir qismini baholashni o'rganadi, shuningdek, kvadratlar yig'indisi deb ataladi. IV.

Tip gipotezalarini avtomatik yaratishIV. Ko'p o'zgaruvchan dizaynlarda murakkab etishmayotgan hujayra naqshlari mavjud bo'lsa, tadqiqoti asosiy ta'sirlarni yoki o'zaro ta'sirlarni tekshirishga teng bo'lgan ortogonal (mustaqil) gipotezalarni aniqlash maqsadga muvofiqdir. yaratish uchun algoritmik (hisoblash) strategiyalar (psevdo-teskari dizayn matritsasi asosida) ishlab chiqilgan. mos tarozilar bunday taqqoslashlar uchun. Afsuski, yakuniy farazlar o'ziga xos tarzda aniqlanmagan. Albatta, ular ta'sirlarning aniqlangan tartibiga bog'liq va kamdan-kam hollarda oddiy talqin qilish imkonini beradi. Shuning uchun, etishmayotgan hujayralarning tabiatini diqqat bilan o'rganish, keyin farazlarni shakllantirish tavsiya etiladi turiIV, tadqiqot maqsadlariga eng mazmunli mos keladi. Keyin variantdan foydalanib, ushbu farazlarni o'rganing Rejalashtirilgan taqqoslashlar derazada natijalar. Bu holda taqqoslashni aniqlashning eng oson usuli barcha omillar uchun kontrast vektorini kiritishni talab qilishdir. birga derazada Rejalashtirilgan taqqoslashlar. Muloqot oynasiga qo'ng'iroq qilgandan so'ng Rejalashtirilgan taqqoslashlar barcha guruhlar ko'rsatiladi joriy reja va o'tkazib yuborilganlar belgilanadi.

Yo'qolgan hujayralar va aniq ta'sir uchun sinov

Bir necha turdagi dizaynlar mavjud bo'lib, ularda etishmayotgan hujayralarning joylashuvi tasodifiy emas, balki boshqa effektlarga ta'sir qilmasdan asosiy effektlarni oddiy tahlil qilish imkonini beruvchi ehtiyotkorlik bilan rejalashtirilgan. Misol uchun, rejadagi hujayralarning kerakli soni mavjud bo'lmaganda, rejalar ko'pincha ishlatiladi Lotin kvadratlari ko'p darajali bir nechta omillarning asosiy ta'sirini baholash. Masalan, 4 x 4 x 4 x 4 faktorial dizayn uchun 256 hujayra kerak bo'ladi. Ayni paytda siz foydalanishingiz mumkin Yunon-lotin maydoni dizayndagi atigi 16 hujayra bilan asosiy effektlarni baholash uchun (bob Tajribani rejalashtirish, IV jildda bunday rejalarning batafsil tavsifi mavjud). Oddiy chiziqli birikmalar yordamida asosiy ta'sirlarni (va ba'zi o'zaro ta'sirlarni) baholash mumkin bo'lgan to'liq bo'lmagan dizaynlar deyiladi. muvozanatli to'liq bo'lmagan rejalar.

Balanslangan dizaynlarda, asosiy effektlar va o'zaro ta'sirlar uchun kontrastlarni (vaznlarni) yaratishning standart (standart) usuli keyinchalik tegishli effektlar uchun kvadratlar yig'indisi bir-biri bilan chalkashtirilmaydigan dispersiyalarni tahlil qilish jadvalini ishlab chiqaradi. Variant Maxsus effektlar oyna natijalar etishmayotgan reja hujayralariga nol yozish orqali etishmayotgan kontrastlarni hosil qiladi. Variant so'ralgandan so'ng darhol Maxsus effektlar ba'zi bir gipotezani tekshirayotgan foydalanuvchi uchun haqiqiy og'irliklar bilan natijalar jadvali paydo bo'ladi. E'tibor bering, muvozanatli dizaynda tegishli effektlarning kvadratlari yig'indisi faqat ushbu effektlar boshqa barcha asosiy effektlar va o'zaro ta'sirlarga ortogonal (mustaqil) bo'lsa hisoblanadi. Aks holda, siz variantni ishlatishingiz kerak Rejalashtirilgan taqqoslashlar vositalar o'rtasidagi mazmunli taqqoslashni o'rganish.

Yo'qolgan hujayralar va birlashtirilgan effektlar/xato shartlari

Agar variant Regressiya yondashuvi modulni ishga tushirish panelida Dispersiyani tahlil qilish tanlanmagan bo'lsa, effektlar uchun kvadratlar yig'indisini hisoblashda hujayra o'rtacha modelidan foydalaniladi (standart sozlama). Agar dizayn muvozanatli bo'lmasa, ortogonal bo'lmagan effektlarni birlashtirganda (yuqoridagi variantni muhokamasiga qarang). O'tkazib yuborilgan hujayralar va o'ziga xos ta'sir) ortogonal bo'lmagan (yoki bir-biriga yopishgan) komponentlardan tashkil topgan kvadratlar yig'indisini olish mumkin. Olingan natijalar odatda izohlanmaydi. Shuning uchun murakkab to'liq bo'lmagan eksperimental dizaynlarni tanlash va amalga oshirishda juda ehtiyot bo'lish kerak.

Rejalarni batafsil muhokama qiladigan ko'plab kitoblar mavjud har xil turlari. (Dodge, 1985; Heiberger, 1989; Lindman, 1974; Milliken va Jonson, 1984; Searle, 1987; Vudvord va Bonett, 1990), ammo bu turdagi ma'lumotlar ushbu darslik doirasidan tashqarida. Biroq, tahlil keyinroq ushbu bo'limda ko'rsatiladi. har xil turlari rejalar.

Taxminlar va taxminlarni buzish oqibatlari

Oddiy taqsimotlar taxminidan chetga chiqish

Faraz qilaylik, qaram o'zgaruvchi raqamli shkalada o'lchandi. Shuningdek, qaram o'zgaruvchi har bir guruh ichida normal taqsimlangan deb faraz qilaylik. Dispersiyani tahlil qilish Ushbu taxminni tasdiqlash uchun keng diapazonli grafikalar va statistik ma'lumotlarni o'z ichiga oladi.

Buzilish oqibatlari. Umuman F mezon me'yordan og'ishlarga juda chidamli ( batafsil natijalar Lindman, 1974 ga qarang). Agar kurtoz 0 dan katta bo'lsa, u holda statistik qiymat F juda kichik bo'lib qolishi mumkin. Nol gipoteza qabul qilinadi, garchi u to'g'ri bo'lmasa ham. Kurtosis 0 dan kichik bo'lsa, vaziyat teskari bo'ladi. Tarqatishning egriligi odatda kam ta'sir qiladi. F statistika. Agar hujayradagi kuzatuvlar soni etarlicha katta bo'lsa, normallikdan og'ish ayniqsa muhim emas. markaziy chegara teoremasi, unga ko'ra, o'rtacha qiymatning taqsimlanishi dastlabki taqsimotdan qat'i nazar, normalga yaqin. Barqarorlikni batafsil muhokama qilish F statistik ma'lumotlarni Box and Anderson (1955) yoki Lindman (1974) da topish mumkin.

Dispersiyaning bir xilligi

Taxminlar. Turli dizayn guruhlari farqlari bir xil deb taxmin qilinadi. Bu taxmin faraz deyiladi dispersiyaning bir xilligi. Eslatib o'tamiz, ushbu bo'limning boshida kvadrat xatolar yig'indisini hisoblashni tavsiflashda biz har bir guruh ichida yig'indini amalga oshirdik. Agar ikkita guruhdagi dispersiya bir-biridan farq qiladigan bo'lsa, ularni qo'shish juda tabiiy emas va umumiy guruh ichidagi dispersiyani baholashni ta'minlamaydi (chunki bu holda umuman umumiy dispersiya yo'q). Modul Dispersiyani tahlil qilish -ANOVA/MANOVA katta to'plamni o'z ichiga oladi statistik mezonlar dispersiya farazlarining bir xilligidan chetlanishlarni aniqlash.

Buzilish oqibatlari. Lindman (1974, 33-bet) shuni ko'rsatadi F mezon dispersiyaning bir hilligi haqidagi taxminlarning buzilishiga nisbatan ancha barqaror ( heterojenlik dispersiya, shuningdek qarang: Box, 1954a, 1954b; Xsu, 1938).

Maxsus holat: vositalar va dispersiyalarning korrelyatsiyasi. Shunday paytlar borki F statistika mumkin adashtirish. Bu dizayn hujayralarining vositalari dispersiya bilan bog'liq bo'lganda sodir bo'ladi. Modul Dispersiyani tahlil qilish dispersiya scatterplots qurish imkonini beradi yoki standart og'ish bunday korrelyatsiyani aniqlash uchun o'rtacha ko'rsatkichlarga nisbatan. Ushbu korrelyatsiyaning xavfli bo'lishining sababi quyidagilardir. Tasavvur qilaylik, rejada 8 ta hujayra mavjud bo'lib, ulardan 7 tasi deyarli bir xil o'rtacha ko'rsatkichga ega va bitta hujayrada o'rtacha ko'rsatkich boshqalardan ancha yuqori. Keyin F test statistik ahamiyatga ega ta'sirni aniqlashi mumkin. Ammo o'rtacha qiymat katta bo'lgan katakchada dispersiya boshqalarga qaraganda sezilarli darajada katta bo'lsin, deylik. hujayralardagi o'rtacha qiymat va dispersiya bog'liq (o'rtacha qancha yuqori bo'lsa, dispersiya shunchalik katta bo'ladi). Bunday holda, katta o'rtacha ishonchsizdir, chunki u ma'lumotlardagi katta farq tufayli yuzaga kelishi mumkin. Biroq F statistik ma'lumotlarga asoslanadi birlashgan hujayra ichidagi dispersiya katta o'rtacha qiymatni oladi, ammo har bir hujayra ichidagi dispersiyaga asoslangan testlar barcha farqlarni muhim deb hisoblamaydi.

Ushbu turdagi ma'lumotlar (katta o'rtacha va katta dispersiya) ko'pincha tashqi kuzatuvlar mavjud bo'lganda paydo bo'ladi. Bir yoki ikkita haddan tashqari kuzatuvlar o'rtacha qiymatni sezilarli darajada o'zgartiradi va dispersiyani sezilarli darajada oshiradi.

Dispersiya va kovariatsiyaning bir xilligi

Taxminlar. Ko'p o'lchovli bog'liq o'lchovlarga ega bo'lgan ko'p o'lchovli dizaynlar, shuningdek, yuqorida tavsiflangan dispersiyaning bir hilligi haqidagi taxminni qo'llaydi. Biroq, ko'p o'zgaruvchan bog'liq o'zgaruvchilar mavjud bo'lganligi sababli, ularning o'zaro bog'liqliklari (kovarianslari) dizaynning barcha hujayralarida bir xil bo'lishi kerak. Modul Dispersiyani tahlil qilish ushbu taxminlarni sinab ko'rishning turli usullarini taklif qiladi.

Buzilish oqibatlari. Ko'p o'lchovli analog F- mezon - Uilksning l-testi. Yuqoridagi taxminlarning buzilishiga nisbatan Wilks l testining mustahkamligi haqida ko'p narsa ma'lum emas. Biroq, modul natijalari talqini beri Dispersiyani tahlil qilish odatda bir o'zgaruvchan ta'sirlarning ahamiyatiga asoslanadi (umumiy mezonning ahamiyatini o'rnatgandan so'ng), mustahkamlik muhokamasi asosan dispersiyaning bir o'zgaruvchan tahliliga tegishli. Shuning uchun bir o'zgaruvchan ta'sirning ahamiyatini diqqat bilan o'rganish kerak.

Maxsus holat: kovariatsiya tahlili. Dizaynga kovariatsiyalar kiritilganda, ayniqsa, dispersiya/kovariatsiya bir xilligining jiddiy buzilishi sodir bo'lishi mumkin. Xususan, agar kovariatsiyalar va qaram o'lchovlar o'rtasidagi bog'liqlik dizayndagi hujayralar bo'ylab farq qilsa, natijalar noto'g'ri talqin qilinishi mumkin. Esda tutingki, kovariatsiyani tahlil qilish, asosan, kovariatsiya hisoblangan dispersiya qismini ajratish uchun har bir hujayra ichida regressiya tahlilini amalga oshiradi. Dispersiya/kovariance taxminining bir xilligi bu regressiya tahlili quyidagi vaqtda amalga oshirilganligini ko'rsatadi. quyidagi cheklov: Hammasi regressiya tenglamalari(qiyaliklar) barcha hujayralar uchun bir xil. Agar bu kutilmasa, u paydo bo'lishi mumkin katta xatolar. Modul Dispersiyani tahlil qilish bu taxminni tekshirish uchun bir qancha maxsus mezonlarga ega. Turli hujayralar uchun regressiya tenglamalari taxminan bir xil bo'lishini ta'minlash uchun ushbu mezonlardan foydalanish tavsiya etiladi.

Sferiklik va murakkab simmetriya: dispersiyani tahlil qilishda takroriy o'lchovlarga ko'p o'lchovli yondashuvdan foydalanish sabablari

Ikki darajadan ortiq takroriy o'lchov omillarini o'z ichiga olgan dizaynlarda bir o'zgaruvchan ANOVA dan foydalanish qo'shimcha taxminlarni talab qiladi: murakkab simmetriya taxmini va sferiklik taxmini. Bu taxminlar kamdan-kam uchraydi (pastga qarang). Shuning uchun ichida o'tgan yillar dispersiyaning ko'p o'lchovli tahlili bunday dizaynlarda mashhurlikka erishdi (har ikkala yondashuv ham modulda birlashtirilgan Dispersiyani tahlil qilish).

Murakkab simmetriyani qabul qilish Murakkab simmetriyaning taxmini shundan iboratki, turli xil takroriy o'lchovlar uchun dispersiya (guruhlar ichida taqsimlangan) va kovariatsiyalar (guruhlarda taqsimlangan) bir hil (bir xil). Bu takroriy o'lchovlar uchun bir o'zgaruvchan F testining haqiqiy bo'lishi uchun etarli shartdir (ya'ni, xabar qilingan F qiymatlari o'rtacha F taqsimotiga mos keladi). Biroq, bu holda bu shart shart emas.

Sferiklik farazi. Sferiklik taxmini F-testining haqiqiy bo'lishi uchun zarur va etarli shartdir. Bu guruhlar ichida barcha kuzatishlar mustaqil va teng taqsimlanganligidan iborat. Ushbu taxminlarning tabiati va ularni buzish ta'siri odatda ANOVA bo'yicha kitoblarda yaxshi tasvirlanmagan - bular keyingi paragraflarda yoritiladi. Shuningdek, bir o'zgaruvchan yondashuv natijalari ko'p o'lchovli yondashuv natijalaridan farq qilishi mumkinligi ko'rsatiladi va bu nimani anglatishi tushuntiriladi.

Gipotezalarning mustaqilligi zarurati. ANOVA-da ma'lumotlarni tahlil qilishning umumiy usuli modelni o'rnatish. Agar ma'lumotlarga mos keladigan modelga nisbatan, ba'zilari mavjud a priori gipotezalar, keyin dispersiya bu farazlarni tekshirish uchun bo'linadi (asosiy ta'sirlar, o'zaro ta'sirlar mezonlari). Hisoblash nuqtai nazaridan bu yondashuv kontrastlar to'plamini (reja vositalarini taqqoslash to'plami) hosil qiladi. Biroq, agar qarama-qarshiliklar bir-biridan mustaqil bo'lmasa, dispersiyalarning bo'linishi ma'nosiz bo'ladi. Misol uchun, agar ikkita kontrast bo'lsa A Va B bir xil bo'ladi va dispersiyaning tegishli qismi chiqariladi, keyin bir xil qism ikki marta chiqariladi. Masalan, ikkita gipotezani aniqlash ahmoqlik va ma'nosizdir: "1-hujayradagi o'rtacha ko'rsatkich 2-hujayradagi o'rtacha ko'rsatkichdan yuqori" va "1-hujayradagi o'rtacha ko'rsatkich 2-hujayradagi o'rtacha qiymatdan yuqori". Demak, gipotezalar mustaqil yoki ortogonal bo'lishi kerak.

Takroriy o'lchovlarda mustaqil farazlar. Umumiy algoritm, modulda amalga oshirilgan Dispersiyani tahlil qilish, har bir effekt uchun mustaqil (ortogonal) kontrastlarni yaratishga harakat qiladi. Takroriy o'lchovlar omili uchun bu qarama-qarshiliklar ko'plab farazlarni taqdim etadi farqlar ko'rib chiqilayotgan omil darajalari o'rtasida. Biroq, agar bu farqlar guruhlar ichida o'zaro bog'liq bo'lsa, natijada paydo bo'lgan kontrastlar endi mustaqil emas. Misol uchun, bir semestrda talabalar uch marta o'lchanadigan o'qitishda 1 va 2 o'lchovlar o'rtasidagi o'zgarish mavzularning 2 va 3 o'lchovlari o'rtasidagi o'zgarish bilan salbiy bog'liq bo'lishi mumkin. 1 va 2 o'lchovlar orasidagi materialning ko'p qismini o'zlashtirganlar 2 va 3 o'lchovlar o'rtasida o'tgan vaqt davomida kichikroq qismini o'zlashtiradilar. Aslida, ANOVA takroriy o'lchovlar uchun qo'llaniladigan ko'p hollarda, darajalar bo'yicha o'zgarishlar sub'ektlar bo'yicha korrelyatsiya qilinadi deb taxmin qilish mumkin. Biroq, bu sodir bo'lganda, murakkab simmetriya farazlari va sferiklik taxminlari o'rinli bo'lmaydi va mustaqil kontrastlarni hisoblab bo'lmaydi.

Huquqbuzarliklarning ta'siri va ularni tuzatish usullari. Murakkab simmetriya yoki sferiklik taxminlari bajarilmasa, ANOVA hosil bo'lishi mumkin noto'g'ri natijalar. Ko'p o'lchovli protseduralar etarlicha ishlab chiqilishidan oldin, ushbu taxminlarning buzilishini qoplash uchun bir nechta taxminlar taklif qilingan. (Qarang, masalan, Greenhouse & Geisser, 1959 va Huynh & Feldt, 1970). Ushbu usullar hali ham keng qo'llaniladi (shuning uchun ular modulda keltirilgan Dispersiyani tahlil qilish).

Takroriy o'lchovlarga dispersiya yondashuvining ko'p o'lchovli tahlili. Umuman olganda, murakkab simmetriya va sferiklik muammolari takroriy o'lchov omillarining (2 dan ortiq darajali) ta'sirini o'rganishga kiritilgan kontrastlar to'plamining bir-biridan mustaqil emasligi bilan bog'liq. Biroq, agar foydalanilsa, ular mustaqil bo'lishi shart emas ko'p o'lchovli bir vaqtda tekshirish mezoni statistik ahamiyatga ega ikki yoki undan ortiq takroriy o'lchovlar omil kontrastlari. Aynan shuning uchun dispersiyani ko'p o'lchovli tahlil qilish usullari 2 dan ortiq darajali bir o'zgaruvchan takroriy o'lchov omillarining ahamiyatini tekshirish uchun tobora ko'proq foydalanilmoqda. Ushbu yondashuv keng tarqalgan, chunki u odatda murakkab simmetriya yoki sharsimonlikni talab qilmaydi.

Dispersiyaning ko'p o'lchovli tahlilidan foydalanish mumkin bo'lmagan holatlar. Dispersiya yondashuvining ko'p o'lchovli tahlilini qo'llash mumkin bo'lmagan misollar (dizaynlar) mavjud. Bu, odatda, dizayndagi sub'ektlarning kichik soni va takroriy o'lchovlar omilida ko'p darajalar mavjud bo'lgan holatlardir. Keyin ko'p o'lchovli tahlil o'tkazish uchun juda kam kuzatuvlar bo'lishi mumkin. Masalan, agar 12 ta mavzu bo'lsa, p = 4 takroriy o'lchov omili va har bir omil mavjud k = 3 darajalari. Keyin 4 omilning o'zaro ta'siri "iste'mol qiladi" (k-1) P = 2 4 = 16 erkinlik darajalari. Biroq, faqat 12 ta mavzu mavjud, shuning uchun bu misolda ko'p o'lchovli test o'tkazilmaydi. Modul Dispersiyani tahlil qilish bu kuzatishlarni mustaqil ravishda aniqlaydi va faqat bir o'lchovli mezonlarni hisoblaydi.

Bir va ko'p o'lchovli natijalardagi farqlar. Agar tadqiqot ko'p sonli takroriy o'lchovlarni o'z ichiga olsa, bir o'zgaruvchan takroriy o'lchovlar ANOVA yondashuvi ko'p o'lchovli yondashuv bilan olingan natijalardan juda farq qiladigan natijalarni keltirib chiqaradigan holatlar bo'lishi mumkin. Bu shuni anglatadiki, tegishli takroriy o'lchovlar darajalari orasidagi farqlar sub'ektlar bo'yicha korrelyatsiya qilinadi. Ba'zan bu haqiqat ba'zi mustaqil manfaatlarga ega.

Dispersiyaning ko'p o'lchovli tahlili va strukturaviy tenglamalarni modellashtirish

So'nggi yillarda tizimli tenglamalarni modellashtirish dispersiyaning ko'p o'lchovli tahliliga alternativa sifatida mashhur bo'ldi (masalan, Bagozzi va Yi, 1989; Bagozzi, Yi va Singx, 1991; Koul, Maksvell, Arvey va Salas, 1993). . Ushbu yondashuv gipotezalarni nafaqat turli guruhlardagi o'rtachalar, balki bog'liq o'zgaruvchilarning korrelyatsiya matritsalari haqida ham sinab ko'rish imkonini beradi. Misol uchun, dispersiya va kovariantlarning bir xilligi haqidagi taxminlarni yumshatish mumkin va har bir guruh uchun modelga xatolik va kovarianslarni aniq kiritish mumkin. Modul STATISTIKAStrukturaviy tenglamalarni modellashtirish (SEPATH) (III jildga qarang) shunday tahlil qilish imkonini beradi.

Umumiy ta'riflar

Dispersiyani tahlil qilishning maqsadi (ANOVA - Analysis of Variation) - bu guruhlarning dispersiyalarini solishtirish orqali turli guruhlardagi o'rtachalar orasidagi farqlarning ahamiyatini tekshirish. Umumiy dispersiyani bir nechta manbalarga bo'lish (turli dizayn effektlari bilan bog'liq) guruhlar orasidagi o'zgarishlardan kelib chiqadigan farqni guruh ichidagi o'zgarishlardan kelib chiqadigan farq bilan solishtirish imkonini beradi.

Tekshirilayotgan gipoteza shundan iboratki, guruhlar o'rtasida farq yo'q. Agar nol gipoteza to'g'ri bo'lsa, guruh ichidagi o'zgaruvchanlik bilan bog'liq dispersiyani baholash guruhlararo dispersiyani baholashga yaqin bo'lishi kerak. Agar yolg'on bo'lsa, og'ish muhim ahamiyatga ega.

Umuman olganda, dispersiyani bir necha turga bo'lish mumkin:

• bir o'lchovli (bitta bog'liq o'zgaruvchi) va ko'p o'lchovli (bir nechta bog'liq o'zgaruvchilar);

• omillar o'rtasidagi mumkin bo'lgan o'zaro ta'sirga ega bo'lgan bir o'zgaruvchan (bir guruhlash o'zgaruvchisi) va multifaktorial (bir nechta guruhlash o'zgaruvchilari);

• oddiy o'lchovlar bilan (qaram o'zgaruvchi faqat bir marta o'lchanadi) va takroriy o'lchovlar bilan (qaram o'zgaruvchi bir necha marta o'lchanadi).

IN STATISITIKA Dispersiyani tahlil qilishning barcha ma'lum modellari amalga oshiriladi.

IN STATISITIKA dispersiyani tahlil qilish blokdagi ANOVA moduli yordamida amalga oshirilishi mumkin STATISITICA bazasi (Tahlil -> Variant tahlili(DA)). Maxsus turdagi modelni yaratish uchun foydalaning to'liq versiya Modullarda taqdim etilgan dispersiyani tahlil qilish Umumiy chiziqli modellar, Umumlashtirilgan chiziqli va chiziqli bo'lmagan modellar, Umumiy regressiya modellari, Shaxsiy umumiy modellar eng kichik kvadratlar blokdan Ilg'or tahlil usullari (STATISTICA ilg'or chiziqli/chiziqli bo'lmagan modellar).

boshiga

Bosqichma-bosqich misol STATISTIKA

Biz ANOVA ning kuchini ko'rsatamiz STATISITIKA, bosqichma-bosqich namunaviy misolni ko'rib chiqing.

Manba ma'lumotlar fayli daromadi, ma'lumoti, yoshi va jinsi turlicha bo'lgan odamlarning populyatsiyasini tavsiflaydi. Keling, ta'lim darajasi, yoshi va jinsi daromad darajasiga qanday ta'sir qilishini ko'rib chiqaylik.

Yoshi bo'yicha barcha odamlar to'rt guruhga bo'lingan:

• 30 yoshgacha;

• 31 yoshdan 40 yoshgacha;

• 41 yoshdan 50 yoshgacha;

• 51 yoshdan boshlab.

Ta'lim darajasiga ko'ra 5 guruhga bo'lingan:

• to'liq bo'lmagan ikkinchi darajali;

• o'rtacha;

• o'rta kasb-hunar;

• tugallanmagan oliy ta'lim;

• yuqoriroq.

Bular namunaviy ma'lumotlar bo'lganligi sababli, olingan natijalar asosan sifatli xarakterga ega bo'ladi va tahlilni o'tkazish usulini ko'rsatadi.

1-qadam: Tahlilni tanlash

Menyudan dispersiya tahlilini tanlaymiz: Tahlil -> Kengaytirilgan tahlil usullari -> Umumiy chiziqli modellar.

Guruch. 1. STATISTICA ochiladigan menyusidan ANOVA ni tanlash

Keyinchalik, har xil turdagi tahlillar taqdim etiladigan oyna ochiladi. Tanlang Tahlil turi – Variantning faktoriy tahlili.

Guruch. 2. Tahlil turini tanlash

Ushbu oynada siz modelni qanday qurishni ham tanlashingiz mumkin: dialog rejimi yoki tahlil ustasidan foydalaning. Keling, dialog rejimini tanlaylik.

2-qadam: O'zgaruvchilarni sozlash

Ochiq ma'lumotlar faylidan tahlil qilish uchun o'zgaruvchilarni tanlang, tugmani bosing O'zgaruvchilar, siz olasiz:

Daromad- qaram o'zgaruvchi,

Ta'lim darajasi, Qavat Va Yosh– kategorik omillar (prognoz qiluvchilar).

e'tibor bering, bu Faktor kodlari bu oddiy misolda siz uni belgilashingiz shart emas. Tugmani bosganingizda KELISHDIKMI, STATISTIKA ularni avtomatik ravishda o'rnatadi.

Guruch. 3. O'zgaruvchilarni o'rnatish

3-qadam: Variantlarni o'zgartirish

Keling, tabga o'tamiz Variantlar derazada GLM faktorial HA.

Guruch. 4. Variantlar yorlig'i

Ushbu dialog oynasida siz:

• tasodifiy omillarni tanlash;

• model parametrlash turini o'rnatish;

• kvadratlar yig'indisi (SS) turini ko'rsating, 6 xil kvadrat yig'indisi (SS) mavjud;

• oʻzaro tekshirishni yoqish.

Keling, barcha standart sozlamalarni qoldiramiz (ko'p hollarda bu etarli) va tugmani bosing KELISHDIKMI.

Qadam 4. Natijalarni tahlil qiling - barcha effektlarni ko'ring

Tahlil natijalarini oynada ko'rish mumkin natijalar yorliqlar va tugmalar guruhlari yordamida. Masalan, yorliqni ko'rib chiqing Natijalar.

Guruch. 5. Natijalarni tahlil qilish oynasi: Natijalar yorlig'i

Ushbu yorliqda siz barcha asosiy natijalarga kirishingiz mumkin. Ko'proq natijalar uchun boshqa yorliqlardan foydalaning. Tugma Ozroq odatda ishlatilmaydigan yorliqlarni olib tashlash orqali natijalar dialogini o'zgartirishga imkon beradi.

Tugma bosilganda Barcha effektlarni tekshiring quyidagi jadvalni olamiz.

Guruch. 6. Barcha effektlar jadvali

Ushbu jadval tahlilning asosiy natijalarini ko'rsatadi: kvadratlar yig'indisi, erkinlik darajalari, F-test qiymatlari, ahamiyatlilik darajalari.

O'rganish qulayligi uchun muhim effektlar (s<.05) выделены красным цветом. Два главных эффекта (Ta'lim darajasi Va Yosh) va bu misoldagi ba'zi o'zaro ta'sirlar muhim (p<.05).

Qadam 5. Natijalarni tahlil qilish - belgilangan effektlarni ko'rish

O'rtacha daromad toifalar bo'yicha qanday o'zgarishini ko'rishning eng oson yo'li grafik vositalardan foydalanishdir. Tugmani bosganingizda Barcha effektlar/grafiklar Quyidagi dialog oynasi paydo bo'ladi.

Guruch. 7. Barcha effektlarning oyna jadvali

Oynada ko'rib chiqilayotgan barcha effektlar ro'yxati keltirilgan. Statistik jihatdan ahamiyatli effektlar * bilan belgilangan.

Masalan, effektni tanlaylik Yosh, Guruhda Displey ishora qilaylik Jadval va bosing KELISHDIKMI. Har bir ta'sir darajasi uchun qaram o'zgaruvchining o'rtacha qiymatini ko'rsatadigan jadval paydo bo'ladi. (Daromad), standart xato qiymati va ishonch chegaralari.

Guruch. 8. Yosh o'zgaruvchisi darajalari bo'yicha tavsiflovchi statistik jadval

Ushbu jadvalni grafik shaklda taqdim etish qulay. Buning uchun biz tanlaymiz Jadval Guruhda Displey dialog oynasi Jadval barcha effektlar va bosing KELISHDIKMI. Tegishli grafik paydo bo'ladi.

Guruch. 9. O'rtacha daromadning yoshga nisbatan grafigi

Grafik turli yoshdagi odamlar guruhlari o'rtasida daromad darajasida farq borligini aniq ko'rsatadi. Yosh qanchalik katta bo'lsa, daromad shunchalik yuqori bo'ladi.

Biz bir nechta omillarning o'zaro ta'siri uchun shunga o'xshash operatsiyalarni bajaramiz. Muloqot oynasida tanlaylik Qavat*Yosh va bosing KELISHDIKMI.

Guruch. 10. Jins va yoshga qarab o'rtacha daromad grafigi

Kutilmagan natijaga erishildi: 50 yoshgacha bo'lgan so'rovda qatnashgan odamlar uchun daromad darajasi yoshga qarab ortadi va jinsga bog'liq emas; 50 yoshdan oshgan so'rovda qatnashganlar uchun ayollar erkaklarnikiga qaraganda sezilarli darajada ko'proq daromadga ega.

Olingan grafikni ta'lim darajasi bo'yicha tuzishga arziydi. Ehtimol, bu naqsh ba'zi toifalarda buzilgan yoki aksincha, universaldir. Buning uchun biz tanlaymiz Ta'lim darajasi * Qavat* Yosh va bosing KELISHDIKMI.

Guruch. 11. Jins, yosh, ta'lim darajasiga qarab o'rtacha daromad grafigi

Olingan qaramlik o‘rta va o‘rta kasb-hunar ta’limiga xos emasligini ko‘ramiz. Boshqa hollarda, bu adolatli.

Qadam 6. Natijalarni tahlil qilish - model sifatini baholash

Yuqorida asosan dispersiyani tahlil qilishning grafik vositalaridan foydalanilgan. Keling, olish mumkin bo'lgan boshqa foydali natijalarni ko'rib chiqaylik.

Birinchidan, dispersiyaning qanchalik ko'pligi ko'rib chiqilayotgan omillar va ularning o'zaro ta'siri bilan izohlanishi qiziq. Buning uchun yorliqda Natijalar tugmasini bosing Umumiy R modellari. Quyidagi jadval paydo bo'ladi.

Guruch. 12. SS modeli va SS qoldiqlari jadvali

Set ustunidagi raqam. R2 - kvadrat ko'p korrelyatsiya koeffitsienti; u tuzilgan model bilan o'zgaruvchanlikning qanday nisbati tushuntirilganligini ko'rsatadi. Bizning holatda, R2 = 0,195, bu modelning past sifatini ko'rsatadi. Darhaqiqat, daromad darajasiga nafaqat modelga kiritilgan omillar ta'sir qiladi.

Qadam 7. Natijalarni tahlil qilish - kontrastli tahlil

Ko'pincha turli toifalar uchun qaram o'zgaruvchining o'rtacha qiymatidagi farqni aniqlash emas, balki berilgan toifalar uchun farqning kattaligini aniqlash kerak. Buning uchun kontrastlarni o'rganish kerak.

Yuqorida ko'rsatilgandek, erkaklar va ayollar uchun daromad darajasi 51 yoshdan oshganlar uchun sezilarli darajada farq qiladi, boshqa hollarda farq muhim emas; Keling, 51 yoshdan oshgan va 40 yoshdan 50 yoshgacha bo'lgan erkaklar va ayollar uchun daromad darajasidagi farqni chiqaramiz.

Buni amalga oshirish uchun yorliqga o'ting Kontrastlar va barcha qiymatlarni quyidagicha o'rnating.

Guruch. 13. Kontrastlar yorlig'i

Tugma bosilganda Hisoblash Bir nechta jadvallar paydo bo'ladi. Bizni kontrast baholari bilan jadval qiziqtiradi.

Guruch. 14. Kontrastni baholash jadvali

Quyidagi xulosalar chiqarish mumkin:

• 51 yoshdan oshgan erkaklar va ayollar uchun daromaddagi farq 48,7 ming dollarni tashkil etadi;

• 41 yoshdan 50 yoshgacha bo'lgan erkaklar va ayollar uchun daromad farqi 1,73 ming dollarni tashkil qiladi.

Xuddi shunday, siz murakkabroq kontrastlarni o'rnatishingiz yoki oldindan belgilangan to'plamlardan birini ishlatishingiz mumkin.

8-qadam: Qo'shimcha natijalar

Natijalar oynasining qolgan yorliqlaridan foydalanib, siz quyidagi natijalarni olishingiz mumkin:

• Tanlangan effekt uchun qaram o'zgaruvchining o'rtacha qiymatlari - yorliq O'rtacha;

• a posteriori mezonlarini tekshirish (post hoc) – yorliq Posteriori;

• ANOVA uchun qilingan taxminlarni tekshirish - yorliq Taxminlar;

• javob/istalganlik profillarini qurish - yorliq Profillar;

• Qoldiq tahlili - yorliq Qolganlar;

• tahlilda foydalaniladigan matritsalar chiqishi – yorliq Matritsalar;

• Ushbu eslatmada statistik ma'lumotlardan foydalanish ko'ndalang misol bilan tasvirlanadi. Aytaylik, siz Perfect Parachute kompaniyasining ishlab chiqarish menejerisiz. Parashyutlar to'rt xil yetkazib beruvchi tomonidan taqdim etilgan sintetik tolalardan tayyorlangan. Parashyutning asosiy xususiyatlaridan biri uning kuchidir. Taqdim etilgan barcha tolalar bir xil kuchga ega ekanligiga ishonch hosil qilishingiz kerak. Bu savolga javob berish uchun sintetik tolalardan to'qilgan parashyutlarning mustahkamligini o'lchash uchun eksperimental dizayn ishlab chiqilishi kerak. turli etkazib beruvchilar. Ushbu tajribadan olingan ma'lumotlar qaysi etkazib beruvchining eng bardoshli parashyutlarni taqdim etishini aniqlaydi.

  Ko'pgina ilovalar bir nechta guruhlar yoki bitta omil darajasini hisobga oladigan tajribalarni o'z ichiga oladi. Ba'zi omillar, masalan, keramika pishirish harorati, bir nechta raqamli darajalarga ega bo'lishi mumkin (masalan, 300 °, 350 °, 400 ° va 450 °). Supermarketdagi tovarlarning joylashuvi kabi boshqa omillar kategoriya darajalariga ega bo'lishi mumkin (masalan, birinchi yetkazib beruvchi, ikkinchi yetkazib beruvchi, uchinchi yetkazib beruvchi, to'rtinchi yetkazib beruvchi). Eksperimental birliklar tasodifiy ravishda guruhlarga yoki omil darajalariga tayinlangan bir omilli tajribalar to'liq tasodifiy deb ataladi.

  FoydalanishF-bir nechta matematik taxminlar orasidagi farqlarni baholash mezonlari

  Guruhlardagi omilning raqamli o'lchovlari uzluksiz bo'lsa va ba'zi qo'shimcha shartlar bajarilsa, bir nechta guruhlarning matematik taxminlarini solishtirish uchun dispersiya tahlili (ANOVA) qo'llaniladi. An tahlil qilish o f Va riance). To'liq tasodifiy dizaynlar yordamida dispersiyani tahlil qilish bir tomonlama ANOVA protsedurasi deb ataladi. Qaysidir ma'noda, dispersiyani tahlil qilish atamasi noto'g'ri nomdir, chunki u tafovutlar o'rtasida emas, balki guruhlarning kutilgan qiymatlari orasidagi farqlarni taqqoslaydi. Biroq, matematik taxminlarni taqqoslash ma'lumotlarning o'zgarishini tahlil qilish asosida aniq amalga oshiriladi. ANOVA protsedurasida o'lchov natijalarining umumiy o'zgarishi guruhlar o'rtasida va guruhlar ichida bo'linadi (1-rasm). Guruh ichidagi variatsiya eksperimental xato bilan izohlanadi, guruhlar o'rtasidagi o'zgarish esa eksperimental sharoitlarning ta'siri bilan izohlanadi. Belgi Bilan guruhlar sonini bildiradi.

  Guruch. 1. To'liq tasodifiy tajribada bo'linish o'zgarishi

  Eslatmani yoki formatda yuklab oling, formatdagi misollar

  Keling, shunday da'vo qilaylik Bilan guruhlar normal taqsimot va teng dispersiyaga ega bo'lgan mustaqil populyatsiyalardan olinadi. Nol gipoteza shundan iboratki, aholining matematik taxminlari bir xil: H 0: m 1 = m 2 = ... = m s. Muqobil gipoteza shuni ko'rsatadiki, barcha matematik taxminlar bir xil emas: H 1: hamma m j bir xil emas j= 1, 2, …, s).

  Shaklda. 2-rasmda populyatsiyalar normal taqsimot va bir xil dispersiyaga ega bo'lishi sharti bilan taqqoslangan besh guruhning matematik taxminlari haqidagi haqiqiy nol gipoteza keltirilgan. Faktorning turli darajalari bilan bog'liq bo'lgan beshta populyatsiya bir xil. Binobarin, ular bir xil matematik kutish, o'zgaruvchanlik va shaklga ega bo'lgan holda bir-birining ustiga qo'yilgan.

  

  Guruch. 2. Beshta umumiy populyatsiyalar bir xil matematik taxminlarga ega: m 1 = m 2 = m 3 = m 4 = m 5

  Boshqa tomondan, deylik, nol gipoteza noto'g'ri bo'lib, to'rtinchi daraja eng yuqori kutilgan qiymatga ega, birinchi daraja biroz pastroq kutilgan qiymatga ega va qolgan darajalar bir xil va hatto undan pastroq kutilgan qiymatlarga ega ( 3-rasm). E'tibor bering, kutilgan qiymatlar bundan mustasno, barcha beshta populyatsiya bir xil (ya'ni, ular bir xil o'zgaruvchanlik va shaklga ega).

  

  Guruch. 3. Eksperimental sharoitlarning ta'siri kuzatiladi: m 4 > m 1 > m 2 = m 3 = m 5

  Bir nechta umumiy populyatsiyalarning matematik taxminlarining tengligi haqidagi gipotezani sinab ko'rishda umumiy o'zgarish ikki qismga bo'linadi: guruhlar o'rtasidagi farq tufayli guruhlararo o'zgarishlar va bir guruhga tegishli elementlar orasidagi farqlar tufayli guruh ichidagi variatsiya. Umumiy o'zgarish kvadratlarning umumiy yig'indisi bilan ifodalanadi (SST - jami kvadratlar yig'indisi). Chunki nol gipoteza hammaning matematik kutishidir Bilan guruhlar bir-biriga teng, umumiy o'zgarish individual kuzatishlar va barcha namunalar uchun hisoblangan umumiy o'rtacha (o'rtacha o'rtacha) o'rtasidagi kvadratik farqlar yig'indisiga teng. To'liq o'zgarish:

  

  Qayerda - umumiy o'rtacha, X ij - i-da kuzatuv j-guruh yoki daraja, n j- ichida kuzatuvlar soni j th guruh, n - jami barcha guruhlardagi kuzatuvlar (ya'ni. n = n 1 + n 2 + … + n c), Bilan- o'rganilgan guruhlar yoki darajalar soni.

  Guruhlar o'rtasidagi o'zgaruvchanlik, odatda guruhlar orasidagi kvadratlar yig'indisi (SSA - guruhlar orasidagi kvadratlar yig'indisi) deb ataladi, har bir guruhning o'rtacha tanlanmasi orasidagi farqlar kvadratlari yig'indisiga teng. j va umumiy o'rtacha , mos keladigan guruhning hajmiga ko'paytiriladi n j:

  

  Qayerda Bilan- o'rganilgan guruhlar yoki darajalar soni; n j- ichida kuzatuvlar soni j th guruh, j- o'rtacha qiymati j th guruh, - umumiy o'rtacha.

  Guruh ichidagi o'zgaruvchanlik, odatda guruh ichidagi kvadratlar yig'indisi (SSW - sum of squares Withing groups) deb ataladi, har bir guruh elementlari va ushbu guruhning namunaviy o'rtacha qiymati o'rtasidagi farqlar kvadratlari yig'indisiga teng. j:

  

  Qayerda Xij - i th element j th guruh, j- o'rtacha qiymati j th guruh.

  Chunki ular solishtiriladi Bilan omil darajalari, kvadratlarning guruhlararo yig'indisi mavjud s - 1 erkinlik darajalari. Har biri Bilan darajalariga ega n j – 1 erkinlik darajasi, shuning uchun kvadratlarning guruh ichidagi yig'indisi bor n- Bilan erkinlik darajalari va

  

  Bundan tashqari, kvadratlarning umumiy yig'indisi mavjud n – 1 erkinlik darajalari, chunki har bir kuzatish Xij hamma bo'yicha hisoblangan umumiy o'rtacha bilan solishtiriladi n kuzatishlar. Agar ushbu yig'indilarning har biri tegishli erkinlik darajalariga bo'linsa, dispersiyaning uch turi paydo bo'ladi: guruhlararo(o'rtacha kvadrat - MSA), guruh ichidagi(o'rtacha kvadrat ichida - MSW) va to'la(o'rtacha kvadrat jami - MST):

  Dispersiyani tahlil qilishning asosiy maqsadi matematik taxminlarni solishtirish bo'lishiga qaramay Bilan Eksperimental sharoitlarning ta'sirini aniqlash uchun guruhlar, uning nomi asosiy vosita har xil turdagi dispersiyalarni tahlil qilish ekanligi bilan bog'liq. Agar nol gipoteza to'g'ri bo'lsa va matematik taxminlar o'rtasida Bilan guruhlarda sezilarli farqlar yo'q, har uchala farq - MSA, MSW va MST - dispersiya bahosi s 2 tahlil qilingan ma'lumotlarga xosdir. Shunday qilib, nol gipotezani sinab ko'rish uchun H 0: m 1 = m 2 = ... = m s va muqobil gipoteza H 1: hamma m j bir xil emas j = 1, 2, …, Bilan), statistik ma'lumotlarni hisoblash kerak F-kriteriya, bu ikki dispersiya, MSA va MSW nisbati. Sinov F-dispersiyani bir tomonlama tahlil qilishda statistika

  

  Statistika F- mezonlar bo'yicha F- bilan tarqatish s - 1 numeratordagi erkinlik darajalari M.S.A. Va n - s maxrajdagi erkinlik darajalari M.S.V.. Berilgan ahamiyatlilik darajasi a uchun, agar hisoblangan bo'lsa, nol gipoteza rad etiladi F FU, xos F- bilan tarqatish s - 1 n - s maxrajdagi erkinlik darajalari. Shunday qilib, rasmda ko'rsatilganidek. 4, hal qiluvchi qoida quyidagicha tuzilgan: nol gipoteza H 0 agar rad etilgan F>FU; aks holda rad etilmaydi.

  

  Guruch. 4. Gipotezani tekshirishda dispersiyani tahlil qilishning kritik sohasi H 0

  Agar nol gipoteza bo'lsa H 0 rost, hisoblangan F-statistika 1 ga yaqin, chunki uning numeratori va maxraji bir xil miqdordagi taxminlar - tahlil qilingan ma'lumotlarga xos bo'lgan dispersiya s 2. Agar nol gipoteza bo'lsa H 0 noto'g'ri (va turli guruhlarning matematik taxminlari o'rtasida sezilarli farq bor), hisoblangan F-statistika birdan ancha katta bo'ladi, chunki uning numeratori MSA ma'lumotlarning tabiiy o'zgaruvchanligiga qo'shimcha ravishda, eksperimental sharoitlarning ta'sirini yoki guruhlar orasidagi farqni taxmin qiladi, maxraj MSW esa faqat ma'lumotlarning tabiiy o'zgaruvchanligini baholaydi. Shunday qilib, ANOVA protsedurasi F-mezon, bunda ma'lum bir ahamiyatlilik a darajasida, agar hisoblangan bo'lsa, nol gipoteza rad etiladi. F-statistik ma'lumotlar yuqori kritik qiymatdan katta FU, xos F- bilan tarqatish s - 1 hisoblagichdagi erkinlik darajalari va n - s Shaklda ko'rsatilganidek, maxrajdagi erkinlik darajalari. 4.

  Dispersiyaning bir tomonlama tahlilini ko'rsatish uchun keling, eslatma boshida keltirilgan stsenariyga qaytaylik. Tajribaning maqsadi turli etkazib beruvchilardan olingan sintetik tolalardan to'qilgan parashyutlarning bir xil kuchga ega ekanligini aniqlashdir. Har bir guruhda beshta parashyut bor. Guruhlar yetkazib beruvchi bo‘yicha bo‘linadi – 1- yetkazib beruvchi, 2- yetkazib beruvchi, 3- yetkazib beruvchi va 4-chi. Parashyutlarning mustahkamligi matoning har ikki tomonida yirtilishini tekshiradigan maxsus qurilma yordamida o‘lchanadi. Parashyutni sindirish uchun zarur bo'lgan kuch maxsus shkalada o'lchanadi. Buzilish kuchi qanchalik baland bo'lsa, parashyut shunchalik kuchli bo'ladi. Excel sizga tahlil qilish imkonini beradi F- bir marta bosish bilan statistika. Menyudan o'ting Ma'lumotlar → Ma'lumotlarni tahlil qilish, va qatorni tanlang Bir tomonlama ANOVA, ochilgan oynani to'ldiring (5-rasm). Eksperimental natijalar (buzilish kuchi), ba'zi tavsiflovchi statistik ma'lumotlar va dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish natijalari rasmda keltirilgan. 6.

  

  Guruch. 5. Oyna Variantlarni tahlil qilish paketining bir tomonlama tahlili Excel

  

  Guruch. 6. Turli etkazib beruvchilardan olingan sintetik tolalardan to'qilgan parashyutlarning mustahkamlik ko'rsatkichlari, tavsiflovchi statistika va dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish natijalari.

  6-rasm tahlili shuni ko'rsatadiki, namunaviy o'rtachalar o'rtasida biroz farq bor. Birinchi etkazib beruvchidan olingan tolalarning o'rtacha quvvati 19,52, ikkinchidan - 24,26, uchinchidan - 22,84 va to'rtinchidan - 21,16. Bu farq statistik ahamiyatga egami? Yorilish kuchining taqsimlanishi tarqalish chizmasida ko'rsatilgan (7-rasm). Bu guruhlar o'rtasidagi va guruh ichidagi farqlarni aniq ko'rsatadi. Agar har bir guruh kattaroq bo'lsa, ularni tahlil qilish uchun poya va barg diagrammasi, quti yoki qo'ng'iroq chizig'idan foydalanish mumkin edi.

  

  Guruch. 7. To'rtta etkazib beruvchidan olingan sintetik tolalardan to'qilgan parashyutlar uchun quvvat dispersiyasi diagrammasi.

  Nol gipoteza shuni ko'rsatadiki, o'rtacha kuch ballari o'rtasida sezilarli farqlar yo'q: H 0: m 1 = m 2 = m 3 = m 4. Muqobil gipoteza shundan iboratki, o'rtacha tola kuchi boshqalardan farq qiladigan kamida bitta etkazib beruvchi mavjud: H 1: hamma m j bir xil emas ( j = 1, 2, …, Bilan).

  Umumiy o'rtacha (6-rasmga qarang) = O'RTA (D12: D15) = 21,945; Buni aniqlash uchun siz barcha 20 ta asl raqamni ham oʻrtacha qilishingiz mumkin: = AVERAGE(A3:D7). Farq qiymatlari hisoblab chiqiladi Tahlil to'plami va plastinkada aks etadi Dispersiyani tahlil qilish(6-rasmga qarang): SSA = 63.286, SSW = 97.504, SST = 160.790 (ustunga qarang). SS jadvallar Dispersiyani tahlil qilish 6-rasm). O'rtacha qiymatlar kvadratlarning bu yig'indisini tegishli erkinlik darajalariga bo'lish yo'li bilan hisoblanadi. Chunki Bilan= 4, a n= 20, biz erkinlik darajalarining quyidagi qiymatlarini olamiz; SSA uchun: s - 1= 3; SSW uchun: n–c= 16; SST uchun: n – 1= 19 (ustunga qarang df). Shunday qilib: MSA = SSA / ( s – 1)= 21.095; MSW = SSW / ( n–c) = 6,094; MST = SST / ( n – 1) = 8.463 (ustunga qarang XONIM). F-statistika = MSA / MSW = 3.462 (ustunga qarang F).

  Yuqori kritik qiymat FU, xarakteristikasi F-taqsimlash, =F.OBR(0,95;3;16) = 3,239 formula bilan aniqlanadi. Funksiya parametrlari =F.OBR(): a = 0,05, hisoblagich uch erkinlik darajasiga, maxraj esa 16. Shunday qilib, hisoblangan F-3,462 ga teng statistik yuqori kritik qiymatdan oshib ketadi FU= 3.239, nol gipoteza rad etiladi (8-rasm).

  

  Guruch. 8. 0,05 ahamiyatlilik darajasidagi dispersiyani tahlil qilishning kritik mintaqasi, agar hisoblagich uch erkinlik darajasiga ega bo'lsa va maxraj -16 bo'lsa.

  R-qiymat, ya'ni. nol gipoteza to'g'ri bo'lsa, ehtimollik F-statistik ma'lumotlar 3,46 dan kam bo'lmagan, 0,041 yoki 4,1% ga teng (ustunga qarang). p-qiymati jadvallar Dispersiyani tahlil qilish 6-rasm). Bu qiymat a = 5% ahamiyatlilik darajasidan oshmaganligi sababli, nol gipoteza rad etiladi. Bundan tashqari, R-qiymat umumiy populyatsiyalarning matematik taxminlari o'rtasidagi bunday yoki kattaroq farqni aniqlash ehtimoli, agar ular bir xil bo'lsa, 4,1% ga teng ekanligini ko'rsatadi.

  Shunday qilib. To'rtta namunaviy vosita o'rtasida farq bor. Nol gipoteza to'rtta populyatsiyaning barcha matematik taxminlari teng ekanligidan iborat edi. Bunday sharoitda, barcha parashyutlar kuchining umumiy o'zgaruvchanligi (ya'ni, umumiy SST o'zgarishi) har bir kuzatish o'rtasidagi kvadratik farqlarni yig'ish orqali hisoblanadi. X ij va umumiy o'rtacha . Keyin umumiy o'zgarish ikki komponentga ajratildi (1-rasmga qarang). Birinchi komponent SSAdagi guruhlararo o'zgarishlar, ikkinchisi esa SSWdagi guruh ichidagi o'zgarishlar edi.

  Ma'lumotlarning o'zgaruvchanligini nima tushuntiradi? Boshqacha qilib aytganda, nima uchun barcha kuzatuvlar bir xil emas? Buning sabablaridan biri shundaki, turli kompaniyalar turli xil kuchli tolalarni etkazib beradi. Bu qisman guruhlarda nima uchun turli xil matematik taxminlarga ega ekanligini tushuntiradi: eksperimental shartlarning ta'siri qanchalik kuchli bo'lsa, guruhlarning matematik kutishlari o'rtasidagi farq shunchalik katta bo'ladi. Ma'lumotlarning o'zgaruvchanligining yana bir sababi - bu har qanday jarayonning tabiiy o'zgaruvchanligi, bu holda parashyutlarni ishlab chiqarish. Agar barcha tolalar bir xil etkazib beruvchidan sotib olingan bo'lsa ham, ularning kuchi bir xil bo'lmaydi, qolgan barcha narsalar teng bo'ladi. Bu ta'sir har bir guruh ichida sodir bo'lganligi sababli, u guruh ichidagi o'zgaruvchanlik deb ataladi.

  Namuna vositalari o'rtasidagi farqlar guruhlararo o'zgaruvchan SSA deb ataladi. Guruh ichidagi o'zgarishlarning bir qismi, yuqorida aytib o'tilganidek, ma'lumotlarning turli guruhlarga tegishliligi bilan izohlanadi. Biroq, agar guruhlar aynan bir xil bo'lsa ham (ya'ni, nol gipoteza to'g'ri bo'lsa ham), guruhlar o'rtasidagi o'zgaruvchanlik hali ham mavjud bo'ladi. Buning sababi parashyut ishlab chiqarish jarayonining tabiiy o'zgaruvchanligi. Namunalar har xil bo'lgani uchun ularning namunaviy vositalari bir-biridan farq qiladi. Shuning uchun, agar nol gipoteza to'g'ri bo'lsa, guruh o'rtasidagi va guruh ichidagi o'zgaruvchanlik populyatsiya o'zgaruvchanligini taxmin qiladi. Agar nol gipoteza noto'g'ri bo'lsa, guruhlar o'rtasidagi gipoteza kattaroq bo'ladi. Aynan mana shu faktning asosi yotadi F-bir nechta guruhlarning matematik taxminlari orasidagi farqlarni solishtirish mezonlari.

  Bir tomonlama ANOVAni amalga oshirgandan va firmalar o'rtasida sezilarli farqni topgandan so'ng, qaysi yetkazib beruvchi boshqalardan sezilarli darajada farq qilishi noma'lum bo'lib qolmoqda. Biz faqat umumiy aholining matematik kutishlari teng emasligini bilamiz. Boshqacha qilib aytganda, matematik taxminlarning kamida bittasi boshqalardan sezilarli darajada farq qiladi. Qaysi yetkazib beruvchi boshqalardan farq qilishini aniqlash uchun siz foydalanishingiz mumkin Tukey protsedurasi, etkazib beruvchilar o'rtasida juftlik taqqoslashdan foydalanish. Ushbu protsedura Jon Tukey tomonidan ishlab chiqilgan. Keyinchalik, u va K. Kramer ushbu protsedurani namuna o'lchamlari bir-biridan farq qiladigan holatlar uchun mustaqil ravishda o'zgartirdilar.

  Bir nechta taqqoslash: Tukey-Kramer protsedurasi

  Bizning stsenariyimizda parashyutlarning kuchini solishtirish uchun dispersiyaning bir tomonlama tahlili ishlatilgan. To'rt guruhning matematik taxminlari o'rtasida sezilarli farqlarni topib, qaysi guruhlar bir-biridan farq qilishini aniqlash kerak. Ushbu muammoni hal qilishning bir necha yo'li mavjud bo'lsa-da, biz faqat Tukey-Kramerning bir nechta taqqoslash tartibini tasvirlaymiz. Bu usul post hoc taqqoslash protseduralariga misoldir, chunki tekshirilayotgan gipoteza ma'lumotlar tahlilidan so'ng shakllantiriladi. Tukey-Kramer protsedurasi barcha juftlik guruhlarini bir vaqtning o'zida taqqoslash imkonini beradi. Birinchi bosqichda farqlar hisoblab chiqiladi Xj -Xj ’ , Qayerda j ≠j’ , matematik taxminlar orasida s(s – 1)/2 guruhlar. Kritik diapazon Tukey-Kramer protsedurasi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

  Qayerda Q U- talabalashtirilgan diapazon taqsimotining yuqori kritik qiymati Bilan hisoblagichdagi erkinlik darajalari va n - Bilan maxrajdagi erkinlik darajalari.

  Agar namuna o'lchamlari bir xil bo'lmasa, kritik diapazon har bir matematik taxminlar juftligi uchun alohida hisoblanadi. Oxirgi bosqichda har biri s(s – 1)/2 matematik taxminlar juftlari mos keladigan kritik diapazon bilan taqqoslanadi. Juftlik elementlari sezilarli darajada farq qiladi, agar farq moduli | X j -Xj ’ | ular orasida kritik diapazondan oshib ketadi.

  Parashyutlarning mustahkamligi muammosiga Tukey-Kramer protsedurasini qo'llaymiz. Parashyut kompaniyasining to'rtta yetkazib beruvchisi bo'lganligi sababli, tekshirish uchun 4 (4 - 1) / 2 = 6 juft etkazib beruvchilar mavjud (9-rasm).

  

  Guruch. 9. Namuna vositalarini juftlik bilan taqqoslash

  Chunki barcha guruhlar bir xil hajmga ega (ya'ni barcha n j = n j ’ ), faqat bitta kritik diapazonni hisoblash kifoya. Buning uchun jadvalga muvofiq ANOVA(6-rasm) MSW = 6,094 qiymatini aniqlaymiz. Keyin qiymatni topamiz Q U a = 0,05 da, Bilan= 4 (hisoblagichdagi erkinlik darajalari soni) va n- Bilan= 20 – 4 = 16 (maxrajdagi erkinlik darajalari soni). Afsuski, men Excelda mos keladigan funktsiyani topa olmadim, shuning uchun men jadvaldan foydalandim (10-rasm).

  

  Guruch. 10. Talabalik diapazonining kritik qiymati Q U

  Biz olamiz:

  Faqat 4,74 > 4,47 (9-rasmning pastki jadvaliga qarang), birinchi va ikkinchi yetkazib beruvchi o'rtasida statistik jihatdan muhim farq mavjud. Boshqa barcha juftliklarda ularning farqlari haqida gapirishga imkon bermaydigan namunaviy vositalar mavjud. Binobarin, birinchi etkazib beruvchidan sotib olingan tolalardan to'qilgan parashyutlarning o'rtacha kuchi ikkinchisiga qaraganda ancha past.

  Dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish uchun zarur shartlar

  Parashyutlarning mustahkamligi muammosini hal qilishda biz bir omildan foydalanish mumkin bo'lgan sharoitlar mavjudligini tekshirmadik. F- mezon. Bir omildan foydalanishingiz mumkinligini qanday bilasiz F-aniq eksperimental ma'lumotlarni tahlil qilishda mezon? Yagona omil F-mezon faqat uchta asosiy faraz bajarilgan taqdirdagina qo'llanilishi mumkin: eksperimental ma'lumotlar tasodifiy va mustaqil bo'lishi, normal taqsimotga ega bo'lishi va ularning dispersiyalari teng bo'lishi kerak.

  Birinchi taxmin - tasodifiylik va ma'lumotlarning mustaqilligi- har doim bajarilishi kerak, chunki har qanday tajribaning to'g'riligi tanlovning tasodifiyligiga va / yoki tasodifiy jarayonga bog'liq. Natijalarni bir-biriga qarama-qarshi qo'ymaslik uchun ma'lumotlardan olinishi kerak Bilan umumiy populyatsiyalar tasodifiy va bir-biridan mustaqil. Xuddi shunday, ma'lumotlar tasodifiy taqsimlanishi kerak Bilan bizni qiziqtirgan omil darajalari (tajriba guruhlari). Ushbu shartlarning buzilishi dispersiyani tahlil qilish natijalarini jiddiy ravishda buzishi mumkin.

  Ikkinchi taxmin - normallik- ma'lumotlar normal taqsimlangan populyatsiyalardan olinganligini bildiradi. kelsak t-mezon, dispersiyani bir tomonlama tahlil qilish asosida F-mezon bu holatning buzilishiga nisbatan kam sezgir. Agar taqsimot me'yordan juda sezilarli darajada chetga chiqmasa, ahamiyatlilik darajasi F-kriteriya juda oz o'zgaradi, ayniqsa tanlov hajmi etarlicha katta bo'lsa. Agar taqsimotning normalligi sharti jiddiy buzilgan bo'lsa, uni qo'llash kerak.

  Uchinchi taxmin - dispersiyaning bir xilligi- har bir populyatsiyaning dispersiyalari bir-biriga teng ekanligini bildiradi (ya'ni s 1 2 = s 2 2 = ... = s j 2). Ushbu taxmin guruh ichidagi tafovutlarni ajratish yoki birlashtirish to'g'risida qaror qabul qilish imkonini beradi. Agar guruh o'lchamlari bir xil bo'lsa, dispersiyaning bir xilligi sharti yordamida olingan xulosalarga kam ta'sir qiladi. F- mezonlar. Biroq, agar tanlama kattaliklari teng bo'lmasa, dispersiyalarning tengligi shartining buzilishi dispersiya tahlili natijalarini jiddiy ravishda buzishi mumkin. Shuning uchun namunalar hajmi teng bo'lishini ta'minlashga harakat qilish kerak. Dispersiyaning bir hilligi haqidagi taxminni tekshirish usullaridan biri bu mezondir. Leven quyida tasvirlangan.

  Agar uchta shartdan faqat dispersiyaning bir xillik sharti buzilgan bo'lsa, shunga o'xshash protsedura. t-alohida dispersiyadan foydalangan holda mezon (batafsil ma'lumot uchun qarang). Biroq, agar normal taqsimot va dispersiyaning bir hilligi haqidagi taxminlar bir vaqtning o'zida buzilgan bo'lsa, ma'lumotlarni normallashtirish va dispersiyalar orasidagi farqlarni kamaytirish yoki parametrik bo'lmagan protsedurani qo'llash kerak.

  Dispersiyaning bir xilligini tekshirish uchun Leven testi

  Shunga qaramasdan F-mezon guruhlardagi dispersiyalarning tengligi sharti buzilishiga nisbatan chidamli bo'lsa, bu taxminni qo'pol ravishda buzish mezonning ahamiyati va kuchiga sezilarli darajada ta'sir qiladi; Ehtimol, eng kuchlilaridan biri bu mezondir Leven. Dispersiyalarning tengligini tekshirish Bilan Umumiy populyatsiyalar uchun biz quyidagi gipotezalarni sinab ko'ramiz:

  N 0: s 1 2 = s 2 2 = … = sj 2

  H 1: hammasi emas s j 2 bir xil ( j = 1, 2, …, Bilan)

  O'zgartirilgan Leven testi agar guruhlar o'rtasida o'zgaruvchanlik teng bo'lsa, dispersiyani tahlil qilish dispersiyalarning tengligining nol gipotezasini tekshirish uchun ishlatilishi mumkin degan fikrga asoslanadi. mutlaq qiymatlar kuzatishlar va guruh medianalari o'rtasidagi farqlar. Shunday qilib, birinchi navbatda har bir guruhdagi kuzatuvlar va medianlar o'rtasidagi farqlarning mutlaq qiymatlarini hisoblashingiz kerak, so'ngra farqlarning mutlaq qiymatlari bo'yicha bir tomonlama dispersiya tahlilini o'tkazishingiz kerak. Leven mezonini ko'rsatish uchun keling, eslatma boshida keltirilgan stsenariyga qaytaylik. Rasmda keltirilgan ma'lumotlardan foydalanish. 6, biz shunga o'xshash tahlilni o'tkazamiz, lekin har bir namuna uchun alohida dastlabki ma'lumotlar va medianlardagi farqlar modullariga nisbatan (11-rasm).