Umumiy tenglamalar, chiziqli algebraik tenglamalar va ularning sistemalari hamda ularni yechish usullari matematikada nazariy va amaliy jihatdan alohida o‘rin tutadi.
Buning sababi shundaki, fizik, iqtisodiy, texnik va hatto pedagogik masalalarning mutlaq ko'pchiligini turli xil tenglamalar va ularning tizimlari yordamida tasvirlash va yechish mumkin. IN Yaqinda tadqiqotchilar, olimlar va amaliyotchilar orasida alohida mashhurlikka erishdi matematik modellashtirish deyarli barcha fan sohalarida, bu turli xil tabiatdagi ob'ektlarni o'rganishning boshqa ma'lum va tasdiqlangan usullariga nisbatan aniq afzalliklari bilan izohlanadi, xususan, murakkab tizimlar. Olimlar tomonidan berilgan matematik modelning turli xil ta'riflari mavjud turli vaqtlar, lekin bizning fikrimizcha, eng muvaffaqiyatlisi quyidagi bayonotdir. Matematik model- bu fikr tenglama bilan ifodalanadi. Shunday qilib, tenglamalar va ularning tizimlarini tuzish va yechish qobiliyati zamonaviy mutaxassisning ajralmas xususiyatidir.
Chiziqli tizimlarni yechish algebraik tenglamalar Eng ko'p qo'llaniladigan usullar - Kramer, Jordan-Gauss va matritsa usuli.
Matritsali yechim usuli - teskari matritsa yordamida nolga teng bo'lmagan determinantli chiziqli algebraik tenglamalar tizimini echish usuli.
Agar A matritsadagi xi noma’lum miqdorlar uchun koeffitsientlarni yozsak, noma’lum miqdorlarni X vektor ustuniga, erkin hadlarni B vektor ustuniga yig‘sak, chiziqli algebraik tenglamalar tizimini quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin. quyidagi matritsa tenglamasi A · X = B, bu faqat A matritsasining determinanti nolga teng bo'lmaganda yagona yechimga ega. Bunda tenglamalar sistemasining yechimini quyidagi tarzda topish mumkin X = A-1 · B, Qayerda A -1 - teskari matritsa.
Matritsali yechish usuli quyidagicha.
Tizim berilsin chiziqli tenglamalar Bilan n noma'lum:
Uni matritsa shaklida qayta yozish mumkin: AX = B, Qayerda A- tizimning asosiy matritsasi; B Va X- mos ravishda tizimning bepul shartlari va echimlari ustunlari:
Keling, buni ko'paytiraylik matritsa tenglamasi qolgan A-1 - matritsa matritsaga teskari A: A -1 (AX) = A -1 B
Chunki A -1 A = E, olamiz X= A -1 B. O'ng qism Ushbu tenglamaning dastlabki tizimiga yechimlar ustunini beradi. Qo'llash sharti bu usul(shuningdek, umumiy yechimning mavjudligi bir hil tizim tenglamalar soni noma'lumlar soniga teng bo'lgan chiziqli tenglamalar) - matritsaning degeneratsiyasi A. Zarur va etarli holat Bu matritsaning determinanti nolga teng emasligini anglatadi A:det A≠ 0.
Chiziqli tenglamalarning bir hil sistemasi uchun, ya'ni vektor bo'lganda B = 0 , haqiqatan ham qarama-qarshi qoida: tizim AX = 0 faqat det bo'lsa, noan'anaviy (ya'ni nolga teng bo'lmagan) yechimga ega A= 0. Chiziqli tenglamalarning bir jinsli va bir jinsli sistemalari yechimlari orasidagi bunday bog`lanish Fredgolm alternativi deyiladi.
Misol chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli bo‘lmagan sistemasi yechimlari.
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining noma’lumlari koeffitsientlaridan tashkil topgan matritsaning determinanti nolga teng emasligiga ishonch hosil qilaylik.
Keyingi qadam hisoblashdir algebraik qo'shimchalar noma'lumlar koeffitsientlaridan tashkil topgan matritsaning elementlari uchun. Ular teskari matritsani topish uchun kerak bo'ladi.
(ba'zida bu usul ham deyiladi matritsa usuli yoki teskari matritsa usuli) SLAE yozuvining matritsa shakli kabi tushuncha bilan oldindan tanishishni talab qiladi. Teskari matritsa usuli chiziqli algebraik tenglamalar tizimlarini echish uchun mo'ljallangan, unda tizim matritsasi determinanti noldan farq qiladi. Tabiiyki, bu tizimning matritsasi kvadrat ekanligini nazarda tutadi (determinant tushunchasi faqat kvadrat matritsalar uchun mavjud). Teskari matritsa usulining mohiyatini uchta nuqtada ifodalash mumkin:
- Uchta matritsani yozing: tizim matritsasi $A$, nomaʼlumlar matritsasi $X$, erkin shartlar matritsasi $B$.
- $A^(-1)$ teskari matritsasini toping.
- $X=A^(-1)\cdot B$ tengligidan foydalanib, berilgan SLAE yechimini oling.
Har qanday SLAE matritsa shaklida $A\cdot X=B$ shaklida yozilishi mumkin, bu erda $A$ - tizim matritsasi, $B$ - erkin shartlar matritsasi, $X$ - noma'lumlar matritsasi. $A^(-1)$ matritsasi mavjud bo'lsin. $A\cdot X=B$ tenglikning ikkala tomonini chap tarafdagi $A^(-1)$ matritsasiga ko‘paytiramiz:
$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
$A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ identifikatsiya matritsasi) boʻlgani uchun yuqoridagi tenglik quyidagicha boʻladi:
$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
$E\cdot X=X$ ekan, u holda:
$$X=A^(-1)\cdot B.$$
Misol № 1
SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ ni teskari matritsadan foydalanib yeching.
$$ A=\left(\begin(massiv) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(massiv)\o'ng);\; B=\left(\begin(massiv) (c) 29\\ -11 \end(massiv)\o'ng);\; X=\left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \end(massiv)\o'ng). $$
Tizim matritsasiga teskari matritsani topamiz, ya'ni. $A^(-1)$ ni hisoblaymiz. № 2 misolda
$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(massiv)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(massiv)\oʻng) . $$
Endi barcha uchta matritsani ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ tengligiga almashtiramiz. Keyin matritsalarni ko'paytirishni amalga oshiramiz
$$ \left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \end(massiv)\o'ng)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(massiv)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(massiv)\o'ng)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 29\\ -11 \end(massiv)\o'ng)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(massiv)\o'ng)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 309\\ -206 \end(massiv)\o'ng)=\left( \begin(massiv) (c) -3\\ 2\end(massiv)\o'ng). $$
Shunday qilib, biz tenglikni oldik $\left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \end(massiv)\right)=\left(\begin(massiv) (c) -3\\ 2\end( massiv )\right)$. Bu tenglikdan biz bor: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Javob: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Misol № 2
SLAE $ \left\(\begin(hatlangan) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(hizalangan)\oʻngga yechish .$ teskari matritsa usuli yordamida.
$A$ sistemaning matritsasi, $B$ erkin hadlar matritsasi va $X$ noma'lumlar matritsasini yozamiz.
$$ A=\left(\begin(massiv) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(massiv)\o'ng);\; B=\left(\begin(massiv) (c) -1\\0\\6\end(massiv)\o'ng);\; X=\left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(massiv)\o'ng). $$
Endi navbat tizim matritsasiga teskari matritsani topishga keldi, ya'ni. $A^(-1)$ toping. Teskari matritsalarni topishga bag'ishlangan sahifadagi 3-misolda teskari matritsa allaqachon topilgan. Yakunlangan natijadan foydalanamiz va $A^(-1)$ yozamiz:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 va 37\end(massiv)\o'ng). $$
Endi barcha uchta matritsani ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ tengligiga almashtiramiz va keyin oʻng tomonda matritsani koʻpaytirishni bajaramiz. bu tenglikdan.
$$ \left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(massiv)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(massiv) \o'ng)\cdot \left(\begin(massiv) (c) -1\\0\ \6\end(massiv)\o'ng)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(massiv)\o'ng)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 0\\-104\\234\end(massiv)\o'ng)=\left( \begin(massiv) (c) 0\\-4\\9\end(massiv)\o'ng) $$
Shunday qilib, biz tenglikni oldik $\left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(massiv)\right)=\left(\begin(massiv) (c) 0\\-4 \ \ 9 \ end (massiv) \ o'ng) $. Bu tenglikdan bizda: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
Keling, ko'rib chiqaylik chiziqli algebraik tenglamalar tizimi(SLAU) nisbatan n noma'lum x 1 , x 2 , ..., x n :
Ushbu tizim "yiqilgan" shaklda quyidagicha yozilishi mumkin:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
Matritsalarni ko'paytirish qoidasiga muvofiq, ko'rib chiqilayotgan chiziqli tenglamalar tizimini yozish mumkin matritsa shakli Ax=b, Qayerda
,
,.
Matritsa A, ustunlari mos keladigan noma'lumlar uchun koeffitsientlar, satrlari esa mos keladigan tenglamadagi noma'lumlar uchun koeffitsientlar deyiladi. tizim matritsasi. Ustun matritsasi b, elementlari tizim tenglamalarining o'ng tomonlari bo'lgan, o'ng tomonli matritsa yoki oddiygina tizimning o'ng tomoni. Ustun matritsasi x , elementlari noma'lum noma'lumlar deyiladi tizimli yechim.
Shaklda yozilgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi Ax=b, hisoblanadi matritsa tenglamasi.
Agar tizim matritsasi degenerativ bo'lmagan, u holda u teskari matritsaga ega va keyin tizimning yechimi bo'ladi Ax=b formula bilan beriladi:
x=A -1 b.
Misol Tizimni hal qiling 
matritsa usuli.
Yechim sistemaning koeffitsient matritsasi uchun teskari matritsani topamiz
Determinantni birinchi qator bo'ylab kengaytirib hisoblaylik:
Chunki Δ ≠ 0 , Bu A -1 mavjud.
Teskari matritsa to'g'ri topildi.
Keling, tizimga yechim topaylik 
Demak, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Imtihon: 
7. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining mosligi haqidagi Kroneker-Kapelli teoremasi.
Chiziqli tenglamalar tizimi shaklga ega:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Bu yerda a i j va b i (i =; j =) berilgan, x j esa noma’lum haqiqiy sonlardir. Matritsalar mahsuloti tushunchasidan foydalanib, (5.1) tizimni quyidagi shaklda qayta yozishimiz mumkin:
Bu erda A = (a i j) - (5.1) sistemaning noma'lumlari uchun koeffitsientlardan tashkil topgan matritsa, deyiladi. tizim matritsasi, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T mos ravishda nomaʼlum x j va erkin hadlar b i dan tuzilgan ustun vektorlari.
Buyurtma qilingan kolleksiya n haqiqiy sonlar (c 1, c 2,..., c n) deyiladi tizimli yechim(5.1), agar bu raqamlarni mos keladigan x 1, x 2,..., x n o'zgaruvchilari o'rniga qo'yish natijasida tizimning har bir tenglamasi arifmetik birlikka aylanadi; boshqacha aytganda, C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T vektor mavjud bo'lsa, shundayki AC B.
Tizim (5.1) chaqiriladi qo'shma, yoki hal qilinadigan, agar u kamida bitta yechimga ega bo'lsa. Tizim deyiladi mos kelmaydigan, yoki hal qilib bo'lmaydigan, agar uning yechimlari bo'lmasa.
,
A matritsaning o'ng tomoniga erkin shartlar ustunini belgilash orqali hosil qilingan deyiladi tizimning kengaytirilgan matritsasi.
(5.1) sistemaning moslik masalasi quyidagi teorema bilan yechiladi.
Kroneker-Kapelli teoremasi . Chiziqli tenglamalar tizimi, agar A vaA matritsalarining darajalari bir-biriga toʻgʻri kelsa, yaʼni, mos keladi. r(A) = r(A) = r.
(5.1) sistemaning M yechimlari to'plami uchun uchta imkoniyat mavjud:
1) M = (bu holda tizim bir-biriga mos kelmaydi);
2) M bitta elementdan iborat, ya'ni. tizim noyob yechimga ega (bu holda tizim chaqiriladi aniq);
3) M bir nechta elementlardan iborat (keyin tizim chaqiriladi noaniq). Uchinchi holatda (5.1) tizim cheksiz ko'p echimlarga ega.
Tizim faqat r(A) = n bo‘lgandagina yagona yechimga ega bo‘ladi. Bunda tenglamalar soni noma'lumlar sonidan (mn) kam emas; agar m>n bo'lsa, u holda m-n tenglamalari boshqalarning oqibatlari. Agar 0 Chiziqli tenglamalarning ixtiyoriy tizimini echish uchun siz tenglamalar soni noma'lumlar soniga teng bo'lgan tizimlarni echishingiz kerak. Kramer tipidagi tizimlar: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n. (5.3) tizimlar quyidagi usullardan biri bilan yechiladi: 1) Gauss usuli yoki noma'lumlarni yo'q qilish usuli; 2) Kramer formulalari bo'yicha; 3) matritsa usuli. 2.12-misol. Tenglamalar tizimini o'rganing va agar u mos kelsa, uni yeching: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Yechim. Tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz:
Tizimning asosiy matritsasining darajasini hisoblaylik. Ko'rinib turibdiki, masalan, yuqori chap burchakdagi ikkinchi tartibli minor = 7 0; uni o'z ichiga olgan uchinchi darajali kichiklar nolga teng: Binobarin, tizimning asosiy matritsasining darajasi 2 ga teng, ya'ni. r(A) = 2. Kengaytirilgan A matritsaning darajasini hisoblash uchun chegaralovchi minorni ko‘rib chiqamiz. bu kengaytirilgan matritsaning darajasi r(A) = 3 ekanligini bildiradi. r(A) r(A) boʻlgani uchun sistema mos kelmaydi. 2-mavzu. CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR TIZIMLARI. Asosiy tushunchalar. Ta'rif 1. Tizim m bilan chiziqli tenglamalar n noma'lumlar quyidagi shakldagi tizimdir: qaerda va raqamlar. Ta'rif 2. (I) sistemaning yechimi - bu sistemaning har bir tenglamasi o'ziga xoslikka aylanadigan noma'lumlar to'plami. Ta'rif 3. Tizim (I) deyiladi qo'shma, agar u kamida bitta yechimga ega bo'lsa va qo'shma bo'lmagan, agar uning yechimlari bo'lmasa. Qo'shma tizim deyiladi aniq, agar u noyob yechimga ega bo'lsa va noaniq aks holda. Ta'rif 4. Shakl tenglamasi chaqirdi nol, va tenglama ko'rinishga ega chaqirdi mos kelmaydigan. Shubhasiz, mos kelmaydigan tenglamani o'z ichiga olgan tenglamalar tizimi mos kelmaydi. Ta'rif 5. Ikki chiziqli tenglamalar tizimi deyiladi ekvivalent, agar bir sistemaning har bir yechimi ikkinchi sistemaning yechimi bo‘lib xizmat qilsa va aksincha, ikkinchi sistemaning har bir yechimi birinchisiga yechim bo‘ladi. Chiziqli tenglamalar sistemasining matritsali tasviri. Keling, (I) tizimni ko'rib chiqaylik (1-§ga qarang). Belgilaymiz: Noma'lumlar uchun koeffitsient matritsasi Matritsa - erkin shartlar ustuni Matritsa - noma'lumlar ustuni Ta'rif 1. Matritsa deyiladi tizimning asosiy matritsasi(I) va matritsa tizimning kengaytirilgan matritsasi (I). Matritsalar tengligi ta'rifiga ko'ra (I) tizim matritsa tengligiga mos keladi: Matritsalar mahsulotining ta'rifi bo'yicha bu tenglikning o'ng tomoni ( ta'rif 3 § 5 1-bobga qarang) faktorlarga ajratilishi mumkin: Tenglik (2)
chaqirdi tizimning matritsa belgisi (I). Kramer usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechish. Tizimga ruxsat bering (I) (1-§ga qarang) m=n, ya'ni. tenglamalar soni noma'lumlar soniga teng va tizimning asosiy matritsasi yagona bo'lmagan, ya'ni. . Keyin §1 dan (I) tizim yagona yechimga ega qayerda D = det A asosiy deb ataladi tizimning hal qiluvchi omili(I), D i D determinantdan almashtirib olinadi i th ustundan tizimning bo'sh a'zolari ustuniga (I). Misol: Kramer usuli yordamida tizimni yeching: Formulalar bo'yicha (3)
Biz tizimning determinantlarini hisoblaymiz: Aniqlovchini olish uchun determinantdagi birinchi ustunni erkin shartlar ustuniga almashtirdik; determinantdagi 2-ustunni erkin shartlar ustuni bilan almashtirsak, olamiz; shunga o'xshash tarzda, determinantdagi 3-ustunni erkin shartlar ustuni bilan almashtirsak, biz . Tizim yechimi: Teskari matritsa yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechish. Tizimga ruxsat bering (I) (1-§ ga qarang) m=n sistemaning bosh matritsasi esa yagona emas. (I) sistemani matritsa shaklida yozamiz ( §2ga qarang): chunki matritsa A yagona bo'lmagan bo'lsa, u teskari matritsaga ega ( 1-bobning 1-teorema §6-ga qarang). Keling, tenglikning ikkala tomonini ko'paytiramiz (2)
keyin matritsaga Teskari matritsaning ta'rifi bo'yicha. Tenglikdan (3)
bizda ... bor Teskari matritsa yordamida tizimni yeching belgilaylik Misolda (§ 3) biz determinantni, shuning uchun matritsani hisobladik A teskari matritsaga ega. Keyin kuchga kiradi (4)
, ya'ni. matritsani topamiz ( §6 1-bobga qarang) Gauss usuli. Chiziqli tenglamalar tizimi berilsin: Tizimning (I) barcha yechimlarini topish yoki tizimning mos kelmasligiga ishonch hosil qilish talab qilinadi. Ta'rif 1.Tizimning elementar transformatsiyasini ataymiz(I) uchta harakatdan biri: 1) nol tenglamani kesib tashlash; 2) tenglamaning har ikki tomoniga boshqa tenglamaning tegishli qismlarini l soniga ko'paytirish; 3) barcha tenglamalarda bir xil raqamlarga ega bo'lgan noma'lumlar bir xil o'rinlarni egallashi uchun tizim tenglamalarida atamalarni almashtirish, ya'ni. agar, masalan, 1-tenglamada biz 2 va 3-chi shartlarni o'zgartirgan bo'lsak, unda tizimning barcha tenglamalarida ham xuddi shunday qilish kerak. Gauss usuli shundan iboratki, (I) tizim elementar o'zgarishlar yordamida ekvivalent tizimga keltiriladi, uning yechimi to'g'ridan-to'g'ri topiladi yoki uning yechilmasligi aniqlanadi. 2-bandda tavsiflanganidek, tizim (I) kengaytirilgan matritsa bilan yagona aniqlanadi va (I) tizimning har qanday elementar o'zgarishi kengaytirilgan matritsaning elementar o'zgarishiga mos keladi: Transformatsiya 1) matritsadagi nol qatorni o‘chirishga to‘g‘ri keladi, transformatsiya 2) matritsaning tegishli qatoriga boshqa qator qo‘shishga, l soniga ko‘paytirishga, transformatsiya 3) matritsadagi ustunlarni qayta tartibga solishga teng. Ko'rinib turibdiki, aksincha, matritsaning har bir elementar o'zgarishi tizimning (I) elementar o'zgarishiga mos keladi. Yuqoridagilardan kelib chiqqan holda, (I) tizim bilan operatsiyalar o'rniga biz ushbu tizimning kengaytirilgan matritsasi bilan ishlaymiz. Matritsada 1-ustun uchun koeffitsientlardan iborat x 1, 2-ustun - uchun koeffitsientlardan x 2 va hokazo. Agar ustunlar qayta tartibga solingan bo'lsa, bu shart buzilganligini hisobga olish kerak. Masalan, agar biz 1 va 2 ustunlarni almashtirsak, endi 1-ustun uchun koeffitsientlar bo'ladi. x 2, va 2-ustunda - uchun koeffitsientlar x 1. (I) sistemani Gauss usuli yordamida yechamiz. 1. Agar mavjud bo'lsa, matritsadagi barcha nol qatorlarni kesib tashlang (ya'ni, (I) tizimdagi barcha nol tenglamalarni kesib tashlang). 2. Matritsa qatorlari orasida oxirgisidan tashqari barcha elementlari nolga teng bo'lgan qator bor yoki yo'qligini tekshiramiz (bunday qatorni nomuvofiq deb ataymiz). Shubhasiz, bunday chiziq (I) tizimdagi nomuvofiq tenglamaga to'g'ri keladi, shuning uchun (I) tizimning echimlari yo'q va jarayon shu erda tugaydi. 3. Matritsada nomuvofiq qatorlar bo‘lmasin (tizim (I) nomuvofiq tenglamalarni o‘z ichiga olmaydi). Agar a 11 = 0, keyin biz 1-qatorda noldan boshqa biron bir elementni (oxirgisidan tashqari) topamiz va ustunlarni 1-qatorda 1-o'rinda nol bo'lmasligi uchun qayta joylashtiramiz. Endi biz taxmin qilamiz (ya'ni, (I) tizim tenglamalaridagi tegishli atamalarni almashtiramiz). 4. 1-satrni ko'paytiring va natijani 2-satr bilan qo'shing, keyin 1-satrni ko'paytiring va natijani 3-satr bilan qo'shing va hokazo. Shubhasiz, bu jarayon noma'lumni yo'q qilish bilan tengdir x 1(I) tizimning barcha tenglamalaridan, 1-dan tashqari. Yangi matritsada element ostidagi 1-ustunda nollarni olamiz a 11: 5. Matritsadagi barcha nol qatorlarni kesib o'tamiz, agar mavjud bo'lsa va nomuvofiq qator bor yoki yo'qligini tekshiramiz (agar mavjud bo'lsa, unda tizim mos kelmaydi va yechim shu erda tugaydi). Keling, bor yoki yo'qligini tekshiramiz a 22 / = 0, agar shunday bo'lsa, u holda biz 2-qatorda noldan boshqa elementni topamiz va ustunlarni shunday joylashtiramiz. Keyinchalik, 2-qatorning elementlarini ko'paytiring Amalga oshirilgan harakatlar noma'lumni yo'q qilishga tengdir x 2(I) tizimning barcha tenglamalaridan, 1 va 2-dan tashqari. Qatorlar soni chekli bo'lganligi sababli, chekli qadamlardan so'ng biz tizimning mos kelmasligini yoki biz bosqichli matritsaga ega bo'lamiz ( ta'rif 2 §7 1-bobga qarang) : Matritsaga mos keladigan tenglamalar tizimini yozamiz. Bu tizim (I) tizimiga teng Oxirgi tenglamadan biz ifodalaymiz; ni olguncha oldingi tenglamaga almashtiring, toping va hokazo. Eslatma 1. Shunday qilib, (I) sistemani Gauss usuli yordamida yechishda quyidagi holatlardan biriga kelamiz. 1. Tizim (I) mos kelmaydi. 2. Agar matritsadagi qatorlar soni noma'lumlar soniga () teng bo'lsa, tizim (I) yagona yechimga ega. 3. Agar matritsadagi qatorlar soni noma'lumlar sonidan () kam bo'lsa, tizim (I) cheksiz sonli echimlarga ega. Demak, quyidagi teorema amal qiladi. Teorema. Chiziqli tenglamalar tizimi mos kelmaydigan, yagona yechimga ega yoki cheksiz sonli yechimga ega. Misollar. Gauss usuli yordamida tenglamalar tizimini yeching yoki uning nomuvofiqligini isbotlang: b) a) Berilgan tizimni quyidagi shaklda qayta yozamiz: Hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun biz dastlabki tizimning 1 va 2 tenglamalarini almashtirdik (kasrlar o'rniga biz ushbu qayta tartiblash yordamida faqat butun sonlar bilan ishlaymiz). Kengaytirilgan matritsa yarataylik: Null qatorlar yo'q; mos kelmaydigan chiziqlar yo'q, ; Sistemaning 1-dan tashqari barcha tenglamalaridan 1-noma'lumni chiqarib tashlaylik. Buning uchun matritsaning 1-qatori elementlarini “-2” ga ko‘paytiring va ularni 2-qatorning tegishli elementlari bilan qo‘shing, bu esa 1-tenglamani “-2” ga ko‘paytirish va 2-ga qo‘shishga teng. tenglama. Keyin biz 1-qatorning elementlarini "-3" ga ko'paytiramiz va ularni uchinchi qatorning mos keladigan elementlari bilan qo'shamiz, ya'ni. berilgan sistemaning 2-tenglamasini “-3” ga ko’paytiring va uni 3-tenglamaga qo’shing. olamiz Matritsa tenglamalar tizimiga mos keladi). - (1-bobning 3§7 ta'rifiga qarang). Teskari matritsa usuli alohida holatdir matritsa tenglamasi Matritsa usuli yordamida tizimni yeching Yechim: Biz tizimni matritsa shaklida yozamiz, formuladan foydalanib, tizimning echimini topamiz (oxirgi formulaga qarang). Teskari matritsani formuladan foydalanib topamiz: Birinchidan, determinantni ko'rib chiqaylik: Bu yerda determinant birinchi qatorda kengaytiriladi. Diqqat! Agar, u holda teskari matritsa mavjud emas va tizimni matritsa usuli yordamida yechish mumkin emas. Bunday holda, tizim noma'lumlarni yo'q qilish usuli bilan hal qilinadi (Gauss usuli). Endi biz 9 ta voyaga etmaganlarni hisoblab, ularni kichiklar matritsasiga yozishimiz kerak Malumot: Chiziqli algebrada qo'sh yozuvlar ma'nosini bilish foydalidir. Birinchi raqam - element joylashgan qatorning raqami. Ikkinchi raqam - element joylashgan ustunning raqami: Yechim davomida, voyaga etmaganlarning hisobini batafsil tasvirlab berish yaxshiroqdir, garchi ba'zi tajribalar bilan siz ularni og'zaki xatolar bilan hisoblashga odatlanishingiz mumkin. Voyaga etmaganlarni hisoblash tartibi mutlaqo ahamiyatsiz, bu erda men ularni chapdan o'ngga qatorga qarab hisobladim. Voyaga etmaganlarni ustunlar bo'yicha hisoblash mumkin edi (bu yanada qulayroq). Shunday qilib: – algebraik qo‘shimchalar matritsasi. – algebraik qo‘shimchalarning transpozitsiyalangan matritsasi. Takror aytaman, biz darsda bajarilgan bosqichlarni batafsil muhokama qildik. Matritsaning teskarisini qanday topish mumkin? Endi biz teskari matritsani yozamiz: Hech qanday holatda biz uni matritsaga kiritmasligimiz kerak, bu keyingi hisob-kitoblarni jiddiy ravishda murakkablashtiradi.. Agar matritsadagi barcha raqamlar 60 ga qoldiqsiz bo'linadigan bo'lsa, bo'linishni bajarish kerak bo'ladi. Ammo bu holda matritsaga minus qo'shish juda zarur, aksincha, bu keyingi hisob-kitoblarni soddalashtiradi; Faqat matritsani ko'paytirishni amalga oshirish qoladi. Siz sinfda matritsalarni qanday ko'paytirishni o'rganishingiz mumkin. Matritsalar bilan amallar. Aytgancha, aynan bir xil misol u erda tahlil qilinadi. E'tibor bering, 60 ga bo'linish amalga oshiriladi eng oxirgi. Javob: 12-misol Teskari matritsa yordamida tizimni yeching. Bu mustaqil yechim uchun misol (yakuniy dizayn namunasi va dars oxiridagi javob). Tizimni hal qilishning eng universal usuli noma'lumlarni yo'q qilish usuli (Gauss usuli). Algoritmni aniq tushuntirish juda oson emas, lekin men harakat qildim! Omad tilayman! Javoblar: 3-misol:
6-misol:
8-misol:
,
. Siz ushbu misol uchun yechim namunasini ko'rishingiz yoki yuklab olishingiz mumkin (quyidagi havola). 10, 12 misollar: Biz chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqishda davom etamiz. Ushbu dars mavzu bo'yicha uchinchi darsdir. Agar sizda chiziqli tenglamalar tizimi umuman nima ekanligi haqida noaniq tasavvurga ega bo'lsangiz, o'zingizni choynak kabi his qilsangiz, men sahifadagi asosiy narsalardan boshlashni maslahat beraman. Keyingi, darsni o'rganish foydalidir. Gauss usuli oson! Nega? Mashhur nemis matematigi Iogann Karl Fridrix Gauss hayoti davomida barcha davrlarning eng buyuk matematigi, dahosi va hatto “Matematika qiroli” laqabini oldi. Va hamma narsa, siz bilganingizdek, oddiy! Aytgancha, nafaqat so'rg'ichlar, balki daholar ham pul olishadi - Gaussning portreti Germaniyaning 10 ta banknotida (evro muomalaga kiritilishidan oldin) edi va Gauss hali ham oddiy pochta markalaridan nemislarga sirli tabassum qiladi. Gauss usuli oddiy, chunki uni o‘zlashtirish uchun BESHINCHI SINF O‘QUVCHISINING BILIMI YETADI. Qo'shish va ko'paytirishni bilishingiz kerak! O'qituvchilar maktab matematika fani fani bo'yicha noma'lumlarni ketma-ket chiqarib tashlash usulini ko'pincha ko'rib chiqishlari bejiz emas. Bu paradoks, lekin talabalar Gauss usulini eng qiyin deb bilishadi. Ajablanarlisi yo'q - bu metodologiya haqida va men usulning algoritmi haqida ochiq shaklda gapirishga harakat qilaman. Birinchidan, chiziqli tenglamalar tizimlari haqida ozgina bilimlarni tizimlashtiramiz. Chiziqli tenglamalar tizimi: 1) Noyob yechimga ega bo'ling. Gauss usuli yechim topish uchun eng kuchli va universal vositadir har qanday chiziqli tenglamalar tizimlari. Biz eslaganimizdek, Kramer qoidasi va matritsa usuli tizim cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lgan yoki nomuvofiq bo'lgan hollarda mos kelmaydi. Va noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usuli Nima bo'lganda ham bizni javobga olib boradi! Ushbu darsda biz №1 holat (tizimning yagona yechimi) uchun yana Gauss usulini ko'rib chiqamiz, maqola 2-3 nuqtalarning holatlariga bag'ishlangan. Shuni ta'kidlaymanki, usulning o'zi algoritmi uchta holatda ham bir xil ishlaydi. Darsdan eng oddiy tizimga qaytaylik Chiziqli tenglamalar sistemasi qanday yechiladi? Birinchi qadam - yozish kengaytirilgan tizim matritsasi: Malumot:
eslab qolishingizni tavsiya qilamanshartlari
chiziqli algebra.Tizim matritsasi
faqat noma'lumlar uchun koeffitsientlardan tashkil topgan matritsa, bu misolda tizim matritsasi:
.
Kengaytirilgan tizim matritsasi
- bu tizimning bir xil matritsasi va bepul shartlar ustuni, bu holda:
. Qisqartirish uchun har qanday matritsani oddiygina matritsa deb atash mumkin. Kengaytirilgan matritsa tizimi yozilgandan so'ng, u bilan ba'zi amallarni bajarish kerak, ular ham deyiladi elementar transformatsiyalar. Quyidagi elementar o'zgarishlar mavjud: 1) Strings matritsalar qayta tartibga solish mumkin ba'zi joylarda. Masalan, ko'rib chiqilayotgan matritsada siz birinchi va ikkinchi qatorlarni og'riqsiz ravishda qayta tashkil qilishingiz mumkin: 2) Agar matritsada proportsional (alohida holatda - bir xil) qatorlar mavjud bo'lsa (yoki paydo bo'lgan bo'lsa), unda siz o'chirish Bu satrlarning barchasi bittadan tashqari matritsadan. Masalan, matritsani ko'rib chiqing 3) Agar transformatsiyalar paytida matritsada nol qator paydo bo'lsa, u ham bo'lishi kerak o'chirish. Men chizmayman, albatta, nol chiziq - bu chiziq barcha nollar. 4) Matritsa qatori bo'lishi mumkin ko'paytirish (bo'lish) istalgan raqamga nolga teng bo'lmagan. Masalan, matritsani ko'rib chiqing. Bu erda birinchi qatorni -3 ga bo'lish va ikkinchi qatorni 2 ga ko'paytirish tavsiya etiladi: 5) Ushbu transformatsiya eng ko'p qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi, lekin aslida hech qanday murakkab narsa yo'q. Matritsaning qatoriga siz mumkin raqamga ko'paytiriladigan boshqa qatorni qo'shing, noldan farq qiladi. Keling, matritsamizni amaliy misoldan ko'rib chiqaylik: . Avvalo, men o'zgarishlarni batafsil tasvirlab beraman. Birinchi qatorni -2 ga ko'paytiring: Amalda, albatta, ular buni batafsil yozmaydilar, lekin qisqacha yozadilar: "Men matritsani qayta yozaman va birinchi qatorni qayta yozaman:" “Birinchi ustun birinchi. Pastki qismida men nol olishim kerak. Shuning uchun yuqoridagini –2 ga ko'paytiraman: , va ikkinchi qatorga birinchisini qo'shaman: 2 + (–2) = 0. Natijani ikkinchi qatorga yozaman: “Endi ikkinchi ustun. Yuqorida men -1 ga -2 ga ko'paytiraman: . Birinchi qatorni ikkinchi qatorga qo'shaman: 1 + 2 = 3. Natijani ikkinchi qatorga yozaman: " "Va uchinchi ustun. Yuqorida men -5 ga -2 ga ko'paytiraman: . Ikkinchi qatorga birinchisini qo'shaman: –7 + 10 = 3. Natijani ikkinchi qatorga yozaman: Iltimos, ushbu misolni diqqat bilan tushunib oling va ketma-ket hisoblash algoritmini tushuning, agar buni tushunsangiz, Gauss usuli amalda sizning cho'ntagingizda. Lekin, albatta, biz hali ham bu transformatsiya ustida ishlaymiz. Elementar o'zgartirishlar tenglamalar sistemasining yechimini o'zgartirmaydi ! DIQQAT: manipulyatsiyalar hisobga olinadi foydalana olmaydi, agar sizga matritsalar "o'z-o'zidan" berilgan vazifa taklif etilsa. Masalan, "klassik" bilan matritsalar bilan amallar Hech qanday holatda matritsalar ichida biror narsani o'zgartirmang! Keling, tizimimizga qaytaylik. Bu deyarli hal bo'ldi. Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni qisqartiramiz bosqichli ko'rinish: (1) Birinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi, -2 ga ko'paytirildi. Aytgancha, nima uchun birinchi qatorni -2 ga ko'paytiramiz? Pastki qismida nolga erishish uchun, bu ikkinchi qatordagi bitta o'zgaruvchidan xalos bo'lishni anglatadi. (2) Ikkinchi qatorni 3 ga bo'ling. Elementar transformatsiyalarning maqsadi–
matritsani bosqichma-bosqich shaklga keltiring: Elementar o'zgarishlar natijasida biz qo'lga kiritdik ekvivalent Asl tenglamalar tizimi: Endi tizimni teskari yo'nalishda "ochish" kerak - pastdan yuqoriga, bu jarayon deyiladi Gauss usuliga teskari. Pastki tenglamada biz allaqachon tayyor natijaga egamiz: . Keling, tizimning birinchi tenglamasini ko'rib chiqamiz va unga allaqachon ma'lum bo'lgan "y" qiymatini almashtiramiz: Gauss usuli uchta noma'lumli uchta chiziqli tenglamalar tizimini echishni talab qiladigan eng keng tarqalgan vaziyatni ko'rib chiqaylik. 1-misol Gauss usuli yordamida tenglamalar tizimini yeching: Tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz: Endi men darhol yechim davomida keladigan natijani chiqaraman: Birinchidan, yuqori chap raqamga qarang: Endi birinchi qator yechimning oxirigacha o'zgarishsiz qoladi. Endi yaxshi. Yuqori chap burchakdagi birlik tashkil etilgan. Endi siz ushbu joylarda nollarni olishingiz kerak: Biz "qiyin" transformatsiya yordamida nolga erishamiz. Birinchidan, biz ikkinchi qator bilan ishlaymiz (2, -1, 3, 13). Birinchi o'rinda nolga erishish uchun nima qilish kerak? Kerak ikkinchi qatorga -2 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing. Aqliy yoki qoralamada birinchi qatorni -2 ga ko'paytiring: (-2, -4, 2, -18). Va biz doimiy ravishda (yana aqliy yoki qoralama) qo'shimchani amalga oshiramiz, ikkinchi qatorga biz birinchi qatorni qo'shamiz, allaqachon -2 ga ko'paytiriladi: Natijani ikkinchi qatorga yozamiz: Uchinchi qator bilan ham xuddi shunday ishlaymiz (3, 2, –5, –1). Birinchi pozitsiyada nolni olish uchun sizga kerak uchinchi qatorga -3 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing. Aqliy yoki qoralamada birinchi qatorni -3 ga ko'paytiring: (-3, -6, 3, -27). VA uchinchi qatorga birinchi qatorni -3 ga ko'paytiramiz: Natijani uchinchi qatorga yozamiz: Amalda, bu harakatlar odatda og'zaki ravishda amalga oshiriladi va bir bosqichda yoziladi: Hamma narsani bir vaqtning o'zida va bir vaqtning o'zida hisoblashning hojati yo'q. Hisoblash tartibi va natijalarni "yozish" izchil va odatda shunday bo'ladi: avval biz birinchi qatorni qayta yozamiz va asta-sekin o'zimizni puflaymiz - DOZYOR va DIQQAT: Bu misolda buni qilish oson, biz ikkinchi qatorni -5 ga bo'lamiz (chunki u erdagi barcha raqamlar 5 ga qoldiqsiz bo'linadi). Shu bilan birga, uchinchi qatorni -2 ga bo'lamiz, chunki raqamlar qanchalik kichik bo'lsa, yechim shunchalik sodda bo'ladi: Elementar o'zgarishlarning yakuniy bosqichida siz bu erda yana bir nolga ega bo'lishingiz kerak: Buning uchun uchinchi qatorga ikkinchi qatorni -2 ga ko'paytiramiz: Oxirgi bajarilgan harakat - natijaning soch turmagi, uchinchi qatorni 3 ga bo'ling. Elementar transformatsiyalar natijasida ekvivalent chiziqli tenglamalar tizimi olindi: Endi Gauss usulining teskarisi o'yinga kiradi. Tenglamalar pastdan yuqoriga qarab "ochiladi". Uchinchi tenglamada biz allaqachon tayyor natijaga egamiz: Ikkinchi tenglamani ko'rib chiqamiz: . "Zet" so'zining ma'nosi allaqachon ma'lum, shuning uchun: Va nihoyat, birinchi tenglama: . "Igrek" va "zet" ma'lum, bu shunchaki kichik narsalar masalasi: Javob: Bir necha bor ta'kidlanganidek, har qanday tenglamalar tizimi uchun topilgan yechimni tekshirish mumkin va zarur, xayriyatki, bu oson va tezdir. 2-misol Bu mustaqil yechim uchun namuna, yakuniy dizayn namunasi va dars oxirida javob. Shuni ta'kidlash kerakki, sizning qarorning bajarilishi qaror qabul qilish jarayonim bilan mos kelmasligi mumkin, va bu Gauss usulining xususiyatidir. Lekin javoblar bir xil bo'lishi kerak! 3-misol Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz: Biz yuqori chap "qadam" ga qaraymiz. Bizda bitta bo'lishi kerak. Muammo shundaki, birinchi ustunda umuman birliklar yo'q, shuning uchun qatorlarni qayta tartibga solish hech narsani hal qilmaydi. Bunday hollarda birlik elementar transformatsiya yordamida tashkil etilishi kerak. Bu odatda bir necha usul bilan amalga oshirilishi mumkin. Men buni qildim: (1) Birinchi qatorga biz ikkinchi qatorni qo'shamiz, -1 ga ko'paytiriladi. Ya'ni, biz aqliy ravishda ikkinchi qatorni -1 ga ko'paytirdik va birinchi va ikkinchi qatorlarni qo'shdik, ikkinchi qator esa o'zgarmadi. Endi yuqori chap tomon -1, bu bizga juda mos keladi. +1 olishni istagan har bir kishi qo'shimcha harakatni amalga oshirishi mumkin: birinchi qatorni -1 ga ko'paytiring (uning belgisini o'zgartiring). (2) 5 ga ko'paytirilgan birinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi. 3 ga ko'paytirilgan birinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi. (3) Birinchi qator -1 ga ko'paytirildi, asosan, bu go'zallik uchun. Uchinchi qatorning belgisi ham o'zgartirildi va u ikkinchi o'ringa ko'chirildi, shuning uchun ikkinchi "qadam" da biz kerakli birlikka ega bo'ldik. (4) Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, 2 ga ko'paytirildi. (5) Uchinchi qator 3 ga bo'lingan. Hisoblashda xatolikni ko'rsatadigan yomon belgi (kamdan-kam hollarda matn terish xatosi) - bu "yomon" pastki chiziq. Ya'ni, agar bizda , pastda va shunga mos ravishda, Biz teskarisini to'laymiz, misollarni loyihalashda ular ko'pincha tizimning o'zini qayta yozmaydilar, lekin tenglamalar "to'g'ridan-to'g'ri berilgan matritsadan olinadi". Teskari harakat, sizga eslataman, pastdan yuqoriga ishlaydi: Javob: 4-misol Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching Bu siz o'zingiz hal qilishingiz mumkin bo'lgan misol, bu biroz murakkabroq. Agar kimdir sarosimaga tushib qolsa, yaxshi. Dars oxirida to'liq yechim va namunaviy dizayn. Sizning yechimingiz mening yechimimdan farq qilishi mumkin. Oxirgi qismda biz Gauss algoritmining ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqamiz. Ikkinchi xususiyat - bu. Ko'rib chiqilgan barcha misollarda biz "qadamlar" ga -1 yoki +1 qo'ydik. U erda boshqa raqamlar bo'lishi mumkinmi? Ba'zi hollarda ular mumkin. Tizimni ko'rib chiqing: Bu erda chap yuqoridagi "qadam" da bizda ikkitasi bor. Ammo biz birinchi ustundagi barcha raqamlar 2 ga qoldiqsiz bo'linishini ko'ramiz - ikkinchisi esa ikkita va olti. Va yuqori chapdagi ikkitasi bizga mos keladi! Birinchi bosqichda siz quyidagi o'zgarishlarni amalga oshirishingiz kerak: ikkinchi qatorga -1 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing; uchinchi qatorga -3 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing. Shunday qilib, biz birinchi ustunda kerakli nollarni olamiz. Yoki boshqa an'anaviy misol: Gauss usuli universaldir, lekin bitta o'ziga xoslik mavjud. Siz tizimlarni boshqa usullardan (Kramer usuli, matritsa usuli) tom ma'noda birinchi marta echishni ishonchli tarzda o'rganishingiz mumkin - ular juda qattiq algoritmga ega. Ammo Gauss usulida ishonchni his qilish uchun siz "tishlaringizni kiritishingiz" va kamida 5-10 o'n tizimni hal qilishingiz kerak. Shuning uchun, dastlab hisob-kitoblarda chalkashlik va xatolar bo'lishi mumkin va bu erda g'ayrioddiy yoki fojiali narsa yo'q. Derazadan tashqarida yomg'irli kuz ob-havo .... Shuning uchun, murakkabroq misolni o'zi hal qilishni istagan har bir kishi uchun: 5-misol 4 ta noma’lumli 4 ta chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli yordamida yeching. Amalda bunday vazifa juda kam uchraydi. O'ylaymanki, hatto ushbu sahifani yaxshilab o'rgangan choynak ham bunday tizimni intuitiv ravishda hal qilish algoritmini tushunadi. Asosan, hamma narsa bir xil - ko'proq harakatlar mavjud. Darsda tizimning yechimlari bo'lmagan (mos kelmaydigan) yoki cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lgan holatlar muhokama qilinadi. Umumiy yechim bilan mos kelmaydigan tizimlar va tizimlar. U erda siz Gauss usulining ko'rib chiqilgan algoritmini tuzatishingiz mumkin. Omad tilayman! Yechimlar va javoblar: 2-misol: Tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz. Orqaga:
4-misol: Tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz: Amalga oshirilgan konversiyalar: Ikkinchi "qadam" bilan hamma narsa yomonlashadi
, buning uchun "nomzodlar" 17 va 23 raqamlari bo'lib, bizga bitta yoki -1 kerak. Transformatsiyalar (3) va (4) kerakli birlikni olishga qaratilgan bo'ladi (3) Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, -1 ga ko'paytirildi.
.
.
.
, ya'ni.
.
.
,
,
. .
. (5)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
. (men) .
.
va 3-qatorning tegishli elementlari bilan qo'shing, so'ngra - 2-qatorning elementlari va 4-qatorning mos keladigan elementlari bilan qo'shing va hokazo, biz ostida nol olinmaguncha. a 22/
.
,
.
;
.
.
.
, bu yerda matritsaning mos elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarining ko‘chirilgan matritsasi.
Ya'ni, qo'sh yozuv elementning birinchi qatorda, uchinchi ustunda va, masalan, element 3-qatorda, 2-ustunda ekanligini ko'rsatadi.
– matritsaning mos elementlarining minorlari matritsasi.
Ba'zan u butunlay ajralmasligi mumkin, ya'ni. "yomon" fraktsiyalarga olib kelishi mumkin. Men sizga Kramer qoidasini ko'rib chiqqanimizda, bunday hollarda nima qilish kerakligini aytdim.
2) Cheksiz ko'p echimlarga ega bo'ling.
3) Hech qanday yechim yo'q (bo'lishi qo'shma bo'lmagan).
va Gauss usuli yordamida yechish.
. Menimcha, koeffitsientlar qanday printsip asosida yozilganini hamma ko'rishi mumkin. Matritsa ichidagi vertikal chiziq hech qanday matematik ma'noga ega emas - bu dizayn qulayligi uchun shunchaki chizilgan.
. Ushbu matritsada oxirgi uchta qator proportsionaldir, shuning uchun ulardan faqat bittasini qoldirish kifoya: 
.
. Ushbu harakat juda foydali, chunki u matritsaning keyingi o'zgarishlarini soddalashtiradi.
, Va ikkinchi qatorga birinchi qatorni -2 ga ko'paytiramiz: . Endi birinchi qatorni "orqaga" -2 ga bo'lish mumkin: . Ko'rib turganingizdek, qo'shadigan chiziq LI – o'zgarmagan. Har doim QO'SHILGAN qator o'zgaradi UT.
Yana bir bor: ikkinchi qatorga -2 ga ko'paytirilgan birinchi qator qo'shildi. Chiziq odatda og'zaki yoki qoralama ko'paytiriladi, aqliy hisoblash jarayoni quyidagicha bo'ladi:
» »
. Vazifani loyihalashda ular oddiy qalam bilan "zinapoyalar" ni belgilaydilar, shuningdek, "zinapoyalar" da joylashgan raqamlarni aylantiradilar. "Bosqichli ko'rinish" atamasi ilmiy va o'quv adabiyotlarida ko'pincha deyiladi trapezoidal ko'rinish yoki uchburchak ko'rinishi.
Va takror aytaman, bizning maqsadimiz elementar transformatsiyalar yordamida matritsani bosqichma-bosqich shaklga keltirishdir. Qayerdan boshlash kerak?
Deyarli har doim bu erda bo'lishi kerak birlik. Umuman olganda, -1 (va ba'zan boshqa raqamlar) bo'ladi, lekin qandaydir tarzda an'anaviy tarzda shunday bo'lganki, odatda u erda bitta raqam joylashtiriladi. Birlikni qanday tashkil qilish kerak? Biz birinchi ustunga qaraymiz - bizda tayyor birlik bor! Birinchi o'zgartirish: birinchi va uchinchi qatorlarni almashtiring: 
Va men yuqorida hisob-kitoblarning aqliy jarayonini allaqachon muhokama qildim.
Ushbu harakatni o'zingiz aniqlashga harakat qiling - ikkinchi qatorni aqliy ravishda -2 ga ko'paytiring va qo'shimchani bajaring.
Ajoyib.
, keyin yuqori ehtimollik bilan elementar transformatsiyalar paytida xatolik yuz berdi, deb aytishimiz mumkin.
Ha, bu erda sovg'a: 
.
Birinchi xususiyat shundaki, ba'zida tizim tenglamalarida ba'zi o'zgaruvchilar etishmaydi, masalan: 
Kengaytirilgan tizim matritsasi qanday to'g'ri yoziladi? Men bu mavzu haqida allaqachon sinfda gapirganman. Kramer qoidasi. Matritsa usuli. Tizimning kengaytirilgan matritsasida etishmayotgan o'zgaruvchilar o'rniga nol qo'yamiz: 
Aytgancha, bu juda oson misol, chunki birinchi ustunda allaqachon bitta nolga ega va amalga oshirish uchun kamroq elementar transformatsiyalar mavjud. .
. Bu erda ikkinchi "qadam" dagi uchtasi ham bizga mos keladi, chunki 12 (nol olishimiz kerak bo'lgan joy) 3 ga qoldiqsiz bo'linadi. Quyidagi o'zgartirishni amalga oshirish kerak: uchinchi qatorga ikkinchi qatorni qo'shing, -4 ga ko'paytiriladi, buning natijasida bizga kerak bo'lgan nol olinadi.
Elementar o'zgarishlar amalga oshirildi:
(1) Birinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi, -2 ga ko'paytirildi. Birinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, -1 ga ko'paytirildi.Diqqat!
Bu erda siz uchinchi qatordan birinchisini olib tashlash vasvasasiga tushishingiz mumkin, men uni olib tashlamaslikni tavsiya qilaman - xatolik xavfi sezilarli darajada oshadi. Shunchaki katlayın!
(2) Ikkinchi qatorning belgisi o'zgartirildi (-1 ga ko'paytirildi). Ikkinchi va uchinchi qatorlar almashtirildi.Eslatma
, "qadamlar" da biz nafaqat bittadan, balki -1 dan ham mamnunmiz, bu yanada qulayroq.
(3) Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, 5 ga ko'paytirildi.
(4) Ikkinchi qatorning belgisi o'zgartirildi (-1 ga ko'paytirildi). Uchinchi qator 14 ga bo'lingan.
Javob: 
.
(1) Birinchi qatorga ikkinchi qator qo'shildi. Shunday qilib, kerakli birlik yuqori chap "qadam" da tashkil etilgan.
(2) 7 ga ko'paytirilgan birinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi. 6 ga ko'paytirilgan birinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi.
(4) Uchinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi, -3 ga ko'paytirildi.
Ikkinchi bosqichda kerakli element olindi.
.
(5) Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, 6 ga ko'paytirildi.
(6) Ikkinchi qator -1 ga ko'paytirildi, uchinchi qator -83 ga bo'lindi. Ko'rinib turibdiki, tekislik bir xil to'g'rida yotmaydigan uch xil nuqta bilan o'ziga xos tarzda aniqlangan. Shuning uchun, samolyotlarning uch harfli belgilari juda mashhur - ularga tegishli nuqtalar bo'yicha, masalan, ; .Agar bepul a'zolar bo'lsa
