9. Uzluksiz tasodifiy qiymat, uning raqamli xususiyatlari
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchini ikkita funktsiya yordamida aniqlash mumkin. X tasodifiy miqdorning integral ehtimollik taqsimoti funksiyasi tenglik bilan aniqlangan funksiya deyiladi 
.
Integral funksiya beradi umumiy usul diskret va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarni tayinlash. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchida. Barcha hodisalar: bir xil ehtimollikka ega, bu oraliqdagi integral funktsiyaning o'sishiga teng, ya'ni. Masalan, 26-misolda ko'rsatilgan diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun bizda:
Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan funksiyaning integral funktsiyasining grafigi Ox o'qiga parallel bo'lgan ikkita nur va uchta segmentning birlashmasidan iborat.
27-misol. Uzluksiz tasodifiy miqdor X integral ehtimollik taqsimoti funksiyasi bilan belgilanadi
.
Integral funksiya grafigini tuzing va test natijasida X tasodifiy miqdor (0,5;1,5) oraliqda qiymat olishi ehtimolligini toping.
Yechim. Intervalda 
grafik to'g'ri chiziq y = 0. 0 dan 2 gacha bo'lgan oraliqda tenglama bilan berilgan parabola mavjud. 
. Intervalda 
Grafik y = 1 to'g'ri chiziqdir.
Sinov natijasida X tasodifiy miqdorning (0,5;1,5) oraliqda qiymat olishi formula yordamida topiladi.
Shunday qilib, .
Integral ehtimollik taqsimoti funksiyasining xossalari:
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonunini boshqa funktsiyadan foydalanib ko'rsatish qulay, ya'ni: ehtimollik zichligi funksiyasi
.
X tasodifiy o'zgaruvchisi tomonidan qabul qilingan qiymat oraliq ichiga tushishi ehtimoli 
, tengligi bilan belgilanadi 
.
Funktsiyaning grafigi deyiladi taqsimot egri chizig'i. Geometrik jihatdan X tasodifiy o'zgaruvchining intervalga tushish ehtimoli taqsimot egri chizig'i, Ox o'qi va to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan mos keladigan egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng. 
.
Ehtimollar zichligi funksiyasining xossalari:
9.1. Uzluksiz tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari
Kutilgan qiymat uzluksiz tasodifiy X ning (o'rtacha qiymati) tenglik bilan aniqlanadi 
.
M(X) bilan belgilanadi A. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi shunga o'xshash diskret miqdor, xususiyatlari:
Farqlanish diskret tasodifiy miqdor X deyiladi kutilgan qiymat tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan og'ish kvadrati, ya'ni. . Uzluksiz tasodifiy miqdor uchun dispersiya formula bilan beriladi 
.
Dispersiya quyidagi xususiyatlarga ega:
Oxirgi xususiyat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasini topish uchun foydalanish uchun juda qulaydir.
Xuddi shunday standart og'ish tushunchasi kiritilgan. Uzluksiz standart og'ish X tasodifiy o'zgaruvchisi dispersiyaning kvadrat ildizi deb ataladi, ya'ni. 
.
28-misol. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X ehtimollik zichligi funktsiyasi bilan belgilanadi 
(10;12) oraliqda, bu oraliqdan tashqarida funksiya qiymati 0 ga teng.1) parametr qiymatini toping. A, 2) matematik kutilma M(X), dispersiya 
, standart og'ish, 3) integral funktsiya 
integral va differensial funksiyalarning grafiklarini qurish.
1). Parametrni topish uchun A formuladan foydalaning 
. Biz olamiz. Shunday qilib, 
.
2). Matematik kutilmani topish uchun quyidagi formuladan foydalanamiz: , shundan kelib chiqadiki 
.
Farqni formuladan foydalanib topamiz: 
, ya'ni. .
Quyidagi formuladan foydalanib, standart og'ish topilsin: , biz buni olamiz 
.
3). Integral funksiya ehtimollik zichligi funksiyasi orqali quyidagicha ifodalanadi: 
. Demak, 
da 
, = 0 da 
u = 1 at 
.
Ushbu funktsiyalarning grafiklari rasmda keltirilgan. 4. va rasm. 5.
4-rasm 5-rasm.
9.2. Uzluksiz tasodifiy miqdorning yagona ehtimollik taqsimoti
Uzluksiz tasodifiy X ning ehtimollik taqsimoti teng ravishda oraliqda, agar uning ehtimollik zichligi ushbu intervalda doimiy bo'lsa va bu intervaldan tashqarida nolga teng bo'lsa, ya'ni. . Bu holatda buni ko'rsatish oson 
.
Agar interval 
oraliqda joylashgan bo'lsa, u holda 
.
29-misol. Bir lahzali signal hodisasi soat birdan soat beshgacha sodir bo'lishi kerak. Signalni kutish vaqti tasodifiy o'zgaruvchi X. Signalning tushdan keyin soat ikkidan uchgacha aniqlanishi ehtimolini toping.
Yechim. X tasodifiy o'zgaruvchisi bir xil taqsimotga ega va formuladan foydalanib, signalning kunduzi soat 2 dan 3 gacha bo'lish ehtimoli teng ekanligini aniqlaymiz. 
.
O'quv va boshqa adabiyotlarda u ko'pincha adabiyotda orqali ifodalanadi 
.
9.3. Uzluksiz tasodifiy miqdorning normal ehtimollik taqsimoti
Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti normal deyiladi, agar uning ehtimollik taqsimot qonuni ehtimollik zichligi bilan aniqlansa. 
. Bunday miqdorlar uchun A- kutilgan qiymat; 
- standart og'ish.
Teorema. Oddiy taqsimlangan uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining berilgan intervalga tushish ehtimoli 
formula bilan aniqlanadi 
, Qayerda 
- Laplas funktsiyasi.
Bu teoremaning xulosasi uchlik qoidasi sigma, ya'ni. Oddiy taqsimlangan, uzluksiz X tasodifiy o'zgaruvchisi intervalda o'z qiymatlarini olishi deyarli aniq 
. Bu qoida formuladan kelib chiqishi mumkin 
, bu tuzilgan teoremaning maxsus holatidir.
30-misol. Televizorning ishlash muddati X tasodifiy o'zgaruvchisi bo'lib, oddiy taqsimot qonuniga bo'ysunadi kafolat muddati 15 yil va standart og'ish 3 yil. Televizorning 10 yildan 20 yilgacha xizmat qilish ehtimolini toping.
Yechim. Masala shartlariga ko'ra, matematik kutish A= 15, standart og'ish.
Keling, topamiz . Shunday qilib, televizorning 10 yildan 20 yilgacha ishlash ehtimoli 0,9 dan ortiq.
9.4 Chebishev tengsizligi
Ro'y beradi Chebishev lemmasi. Agar X tasodifiy o'zgaruvchisi faqat manfiy bo'lmagan qiymatlarni qabul qilsa va matematik taxminga ega bo'lsa, u holda har qanday ijobiy uchun V
.
Qarama-qarshi hodisalarning ehtimolliklari yig'indisi sifatida hisobga olsak, biz buni olamiz 
.
Chebishev teoremasi. Agar X tasodifiy o'zgaruvchisi chekli dispersiyaga ega bo'lsa 
va matematik kutish M (X), keyin har qanday ijobiy uchun 
tengsizlik haqiqatdir
.
Bundan kelib chiqadi 
.
31-misol. Ehtiyot qismlar partiyasi ishlab chiqarildi. Qismlarning o'rtacha uzunligi 100 sm, standart og'ish esa 0,4 sm. Tasodifiy olingan qismning uzunligi kamida 99 sm bo'lishi ehtimoli ostida baholang. va 101 sm dan oshmasligi kerak.
Yechim. Farqlanish. Matematik kutilma 100 ga teng. Demak, koʻrib chiqilayotgan hodisaning ehtimolini pastdan baholash 
Chebishev tengsizligini qo'llaymiz, bunda 
, Keyin 
.
10. Matematik statistika elementlari
Statistik agregat bir hil ob'ektlar yoki hodisalar to'plamini nomlang. Raqam P Ushbu to'plamning elementlari to'plamning hajmi deb ataladi. Kuzatilgan qiymatlar 
X xususiyat deyiladi variantlari. Agar variantlar ortib borayotgan ketma-ketlikda joylashtirilgan bo'lsa, biz olamiz diskret o'zgaruvchan qator. Guruhlash holatida intervallar bo'yicha variant bo'lib chiqadi intervalli o'zgarishlar qatori. ostida chastotasi t xarakterli qiymatlar ma'lum bir variantga ega bo'lgan aholi a'zolari sonini tushunadi.
Statistik populyatsiya chastotasining hajmiga nisbati deyiladi nisbiy chastota belgisi: 
.
Variantlar o'rtasidagi munosabat variatsion qator va ularning chastotalari deyiladi namunaning statistik taqsimoti. Statistik taqsimotning grafik tasviri bo'lishi mumkin poligon chastota
32-misol. 25 nafar birinchi kurs talabalaridan soʻrov oʻtkazish natijasida ularning yoshi haqida quyidagi maʼlumotlar olindi: 
. Yozish statistik taqsimot o‘quvchilarning yoshi bo‘yicha, o‘zgaruvchanlik diapazonini toping, chastotali ko‘pburchakni tuzing va nisbiy chastotalarning bir qator taqsimotini tuzing.
Yechim. So'rovdan olingan ma'lumotlardan foydalanib, biz tanlamaning statistik taqsimotini yaratamiz
|
Variatsiya namunasi diapazoni 23 – 17 = 6. Chastotali ko‘pburchakni qurish uchun koordinatali nuqtalarni tuzing. 
va ularni ketma-ket ulang.
Nisbiy chastotalarni taqsimlash seriyasi quyidagi shaklga ega:
|
10.1.Variatsion qatorning sonli xarakteristikalari
Namuna X xususiyatining bir qator chastota taqsimoti bilan berilgan bo'lsin:
|
|
|
|
||
|
|
|
Barcha chastotalar yig'indisi teng P.
Namunaning o'rtacha arifmetik qiymati miqdorini nomlang 
.
Farqlanish yoki X xarakteristikasi qiymatlarining uning arifmetik o'rtachaga nisbatan dispersiya o'lchovi qiymat deyiladi. 
. Standart og'ish dispersiyaning kvadrat ildizidir, ya'ni. .
Standart og'ishning foizda ifodalangan namunaning o'rtacha arifmetik qiymatiga nisbati deyiladi. o'zgaruvchanlik koeffitsienti:
.
Empirik nisbiy chastota taqsimoti funksiyasi Har bir qiymat uchun hodisaning nisbiy chastotasini aniqlaydigan funktsiyani chaqiring 
, ya'ni. 
, Qayerda 
- variantlar soni, kichikroq X, A P- namuna hajmi.
33-misol. 32-misol shartlariga ko'ra, sonli xarakteristikalarni toping 
.
Yechim. Formuladan foydalanib namunaning o'rtacha arifmetik qiymatini topamiz, keyin .
X xususiyatning dispersiyasi quyidagi formula bo'yicha topiladi: , ya'ni. Namunaning standart og'ishi 
. O'zgaruvchanlik koeffitsienti 
.
10.2. Nisbiy chastota bo'yicha ehtimollikni baholash. Ishonch oralig'i
U amalga oshirilsin P mustaqil sinovlar, ularning har birida A hodisasining yuzaga kelish ehtimoli doimiy va teng R. Bunday holda, nisbiy chastotaning har bir sinovda A hodisasining yuzaga kelish ehtimolidan mutlaq qiymatdagi dan ko'p bo'lmagan farq qilish ehtimoli, taxminan, Laplas integral funktsiyasining ikki baravar qiymatiga teng: 
.
Intervalni baholash statistik populyatsiyaning taxminiy parametrini qoplaydigan oraliqning oxiri bo'lgan ikkita raqam bilan belgilanadigan bunday bahoni chaqiring.
Ishonch oralig'i
berilgan bo'lgan interval deyiladi ishonch ehtimoli 
statistik populyatsiyaning taxminiy parametrini qamrab oladi. Noma'lum miqdorni almashtiradigan formulani hisobga olgan holda R uning taxminiy qiymatiga 
namunaviy ma'lumotlardan olingan holda biz quyidagilarni olamiz: 
. Ushbu formula nisbiy chastota bo'yicha ehtimollikni baholash uchun ishlatiladi. Raqamlar 
Va 
pastki va mos ravishda yuqori deb ataladi ishonch chegaralari, - berilgan ishonch ehtimoli uchun maksimal xato 
.
34-misol. Zavod sexi elektr lampalar ishlab chiqaradi. 625 ta chiroq tekshirilganda 40 tasi nosoz ekanligi aniqlandi. Ishonch ehtimoli 0,95 bo'lgan holda, zavod ustaxonasi tomonidan ishlab chiqarilgan nuqsonli lampochkalarning foizi yotadigan chegaralarni toping.
Yechim. Vazifa shartlariga ko'ra. Biz formuladan foydalanamiz 
. Ilovaning 2-jadvalidan foydalanib, argumentning qiymatini topamiz, bunda Laplas integral funksiyasining qiymati 0,475 ga teng. Biz buni tushunamiz 
. Shunday qilib, . Shuning uchun biz 0,95 ehtimollik bilan aytishimiz mumkinki, ustaxonada ishlab chiqarilgan nuqsonlarning ulushi yuqori, ya'ni 6,2% dan 6,6% gacha.
10.3. Statistikada parametrlarni baholash
O'rganilayotgan barcha populyatsiyaning X miqdoriy xarakteristikasi ( aholi) bor normal taqsimot.
Agar standart og'ish ma'lum bo'lsa, unda ishonch oralig'i, matematik kutishni qamrab oladi A 
, Qayerda P- namuna hajmi, 
- namunaviy arifmetik o'rtacha, t- Laplas integral funktsiyasining argumenti bo'lib, unda 
. Bu holda raqam 
baholashning aniqligi deb ataladi.
Agar standart og'ish noma'lum bo'lsa, unda namunaviy ma'lumotlardan talabalar taqsimotiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchini qurish mumkin. P– 1 daraja erkinlik, bu faqat bitta parametr bilan belgilanadi P va noma'lumlarga bog'liq emas A Va . Kichik namunalar uchun ham talabaning t-taqsimlanishi 
juda qoniqarli baho beradi. Keyin matematik kutishni qoplaydigan ishonch oralig'i A bu xususiyatning berilgan ishonch ehtimoli bilan shartdan topiladi 
, bu erda S - tuzatilgan o'rtacha kvadrat, 
- Ma'lumotlardan topilgan talaba koeffitsienti 
ilovaning 3-jadvalidan.
Ishonchli ehtimollik bilan ushbu xarakteristikaning standart og'ishini qoplaydigan ishonch oralig'i quyidagi formulalar yordamida topiladi: va , bu erda 
qiymatlar jadvalidan topilgan q
ga binoan .
10.4. Tasodifiy o'zgaruvchilar orasidagi bog'liqlikni o'rganishning statistik usullari
Y ning X ga korrelyatsiya bog'liqligi shartli o'rtachaning funktsional bog'liqligidir 
dan X. Tenglama 
Y ning X dagi regressiya tenglamasini ifodalaydi va 
- X ning Y ga regressiya tenglamasi.
Korrelyatsiya bog'liqligi chiziqli yoki egri chiziqli bo'lishi mumkin. Chiziqli korrelyatsiya bog'liqligida to'g'ri regressiya chizig'ining tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega: 
, qiyalik qayerda A X dagi Y regressiyaning to'g'ri chizig'i X ustidagi tanlanma regressiya koeffitsienti Y deyiladi va belgilanadi 
.
Kichik namunalar uchun ma'lumotlar guruhlangan emas, parametrlar 
usuli bo‘yicha topiladi eng kichik kvadratlar normal tenglamalar tizimidan:
, Qayerda P- o'zaro bog'liq miqdorlar juftligi qiymatlarini kuzatishlar soni.
Tanlangan chiziqli koeffitsient korrelyatsiyalar 
Y va X o'rtasidagi yaqin munosabatni ko'rsatadi. Korrelyatsiya koeffitsienti formula yordamida topiladi 
, va 
, aynan:
X bo'yicha Y to'g'ri regressiya chizig'ining namunaviy tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:
.
X va Y xarakteristikalari bo'yicha ko'p sonli kuzatuvlar bilan bir xil qiymatga ega ikkita kirishga ega korrelyatsiya jadvali tuziladi. X kuzatilgan 
marta, bir xil ma'no da kuzatilgan 
marta, bir xil juftlik 
kuzatilgan 
bir marta.
35-misol. X va Y belgilarini kuzatish jadvali berilgan.
|
X dagi Y to‘g‘ri regressiya chizig‘ining namunaviy tenglamasini toping.
Yechim. O'rganilayotgan belgilar orasidagi bog'lanishni Y ning X dagi regressiya to'g'ri chiziq tenglamasi bilan ifodalash mumkin: . Tenglama koeffitsientlarini hisoblash uchun hisoblash jadvalini tuzamiz:
Kuzatuv raqami. |
|
|
||
6-bob. Uzluksiz tasodifiy miqdorlar.
§ 1. Uzluksiz tasodifiy miqdorning zichligi va taqsimot funksiyasi.
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari to'plami hisoblanmaydi va odatda chekli yoki cheksiz intervalni ifodalaydi.
Ehtimollar fazosida (W, S, P) aniqlangan tasodifiy o'zgaruvchi x(w) deyiladi davomiy(mutlaqo uzluksiz) W, agar manfiy bo'lmagan funksiya mavjud bo'lsa, har qanday x uchun Fx(x) taqsimot funksiyasi integral sifatida ifodalanishi mumkin.
Funksiya funksiya deyiladi ehtimolliklarni taqsimlash zichligi.
Ta'rif taqsimot zichligi funktsiyasining xususiyatlarini nazarda tutadi:
1..gif" eni="97" balandligi="51">
3. Uzluksizlik nuqtalarida taqsimot zichligi taqsimot funksiyasining hosilasiga teng: .
4. Tarqatish zichligi tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini aniqlaydi, chunki u tasodifiy miqdorning intervalga tushish ehtimolini aniqlaydi:
5. Uzluksiz tasodifiy miqdorning o'ziga xos qiymat olish ehtimoli nolga teng: . Shunday qilib, quyidagi tengliklar amal qiladi:
Tarqatish zichligi funksiyasining grafigi deyiladi taqsimot egri chizig'i, va taqsimot egri chizig'i va x o'qi bilan chegaralangan maydon birlikka teng. U holda geometrik jihatdan Fx(x) taqsimot funksiyasining x0 nuqtadagi qiymati taqsimot egri chizig’i va x o’qi bilan chegaralangan va x0 nuqtadan chap tomonda yotgan maydondir.
Vazifa 1. Uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funktsiyasi quyidagi ko'rinishga ega:
S doimiysini aniqlang, Fx(x) taqsimot funksiyasini tuzing va ehtimollikni hisoblang.
Yechim. C doimiysi bizda mavjud bo'lgan shartdan topiladi:
buning uchun C=3/8.
Fx(x) taqsimot funksiyasini qurish uchun oraliq x argumenti qiymatlari diapazonini (raqamli o'q) uch qismga bo'lishini unutmang: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" kengligi="264" balandligi="49">
chunki yarim o'qdagi x zichligi nolga teng. Ikkinchi holatda
Nihoyat, oxirgi holatda, x>2 bo'lganda,
Zichlik yarim o'qda yo'qolganligi sababli. Shunday qilib, taqsimlash funktsiyasi olinadi
Ehtimollik Keling, formuladan foydalanib hisoblaylik. Shunday qilib,
§ 2. Uzluksiz tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari
Kutilgan qiymat uzluksiz taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">, formula bilan aniqlanadi.
agar o'ngdagi integral absolyut yaqinlashsa.
Dispersiya x formula yordamida hisoblanishi mumkin 
, va shuningdek, diskret holatda bo'lgani kabi, formula bo'yicha https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.
Diskret tasodifiy miqdorlar uchun 5-bobda berilgan matematik kutish va dispersiyaning barcha xossalari uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun ham amal qiladi.
Muammo 2. 1-masaladagi x tasodifiy o'zgaruvchisi uchun matematik kutilma va dispersiyani hisoblang .
Yechim.
Va bu degani
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">
Zichlik grafigi yagona taqsimlash rasmga qarang. .
6.2-rasm. Tarqatish funksiyasi va tarqatish zichligi. yagona qonun
Bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorning Fx(x) taqsimot funksiyasi ga teng
Fx(x)= 
Kutish va tafovutlar; .
Eksponensial (eksponensial) taqsimot. Manfiy bo'lmagan qiymatlarni qabul qiluvchi doimiy tasodifiy o'zgaruvchi x, agar tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik zichligi taqsimoti teng bo'lsa, l>0 parametri bilan eksponensial taqsimotga ega.
rx(x)= 
Guruch. 6.3. Eksponensial qonunning taqsimot funksiyasi va taqsimot zichligi.
Eksponensial taqsimotning taqsimot funksiyasi shaklga ega
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> va uning tarqalish zichligi teng bo'lsa
.
Orqali parametrlari va parametrlari bilan normal qonun bo'yicha taqsimlangan barcha tasodifiy o'zgaruvchilar to'plamini bildiradi.
Oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi ga teng
.
Guruch. 6.4. Tarqatish funksiyasi va normal taqsimot zichligi
Oddiy taqsimotning parametrlari matematik kutish https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
Maxsus holatda qachon https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> normal taqsimot deyiladi. standart, va bunday taqsimotlar sinfi https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49"> bilan belgilanadi,
va tarqatish funktsiyasi
Bunday integralni analitik hisoblash mumkin emas (u "kvadratlar" da olinmaydi) va shuning uchun funktsiya uchun jadvallar tuzilgan. Funktsiya 4-bobda keltirilgan Laplas funktsiyasi bilan bog'liq
,
quyidagi munosabat bilan 
. Ixtiyoriy parametr qiymatlari holatida https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot funksiyasi Laplas funksiyasi bilan bog'liq:
.
Shuning uchun, normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining intervalga tushish ehtimoli formuladan foydalanib hisoblanishi mumkin.
.
Manfiy bo'lmagan tasodifiy o'zgaruvchi x, agar uning h=lnx logarifmi normal qonunga bo'ysunsa, lognormal taqsimlangan deyiladi. Lognormal taqsimlangan tasodifiy miqdorning kutilayotgan qiymati va dispersiyasi Mx= va Dx=.
Vazifa 3. Tasodifiy o'zgaruvchi berilsin https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.
Yechim. Bu yerda https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
Laplas taqsimoti fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> funksiyasi bilan berilgan va kurtoz gx=3.
6.5-rasm. Laplas taqsimot zichligi funksiyasi.
Tasodifiy o'zgaruvchi x taqsimlanadi Veybull qonuni, agar u https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53"> ga teng taqsimlash zichligi funksiyasiga ega bo'lsa
Weibull taqsimoti ko'plab texnik qurilmalarning nosozliksiz ishlash vaqtlarini boshqaradi. Ushbu profilning vazifalarida muhim xususiyat l(t)= munosabati bilan aniqlanadigan t yoshdagi o‘rganilayotgan elementlarning nosozlik darajasi (o‘lim darajasi) l(t). Agar a=1 bo'lsa, Veybull taqsimoti eksponensial taqsimotga, a=2 bo'lsa - taqsimot deb ataladigan taqsimotga aylanadi. Rayleigh.
Veybull taqsimotining matematik kutilishi: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, bu erda G(a) - Eyler. funktsiyasi.
IN turli vazifalar Amaliy statistikada "kesilgan" taqsimotlar ko'pincha uchraydi. Masalan, soliq organlari yillik daromadi soliq qonunchiligida belgilangan c0 chegarasidan oshadigan jismoniy shaxslarning daromadlarini taqsimlashdan manfaatdor. Ushbu taqsimotlar Pareto taqsimotiga taxminan mos keladi. Pareto taqsimoti funksiyalar orqali beriladi
Fx(x)=P(x
Bu erda https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.
Vazifa 4. Tasodifiy o'zgaruvchi segmentda bir xil taqsimlangan. Tasodifiy miqdorning zichligini toping.
Yechim. Muammo shartlaridan shunday xulosa kelib chiqadi
Keyingi, funksiya oraliqda monoton va differentsiallanuvchi funktsiya bo'lib, teskari funktsiyaga ega 
hosilasi teng bo'lgan , Shuning uchun,
§ 5. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar juftligi
Ikki uzluksiz tasodifiy miqdorlar x va h berilsin. Keyin juftlik (x, h) tekislikdagi "tasodifiy" nuqtani belgilaydi. (x, h) juftlik deyiladi tasodifiy vektor yoki ikki o'lchovli tasodifiy o'zgaruvchi.
Birgalikda taqsimlash funktsiyasi tasodifiy o'zgaruvchilar x va h va funksiya F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> deb nomlanadi. qo'shma zichlik x va h tasodifiy miqdorlarning ehtimollik taqsimoti shunday funksiya deyiladi 
.
Birgalikda taqsimlanish zichligining ushbu ta'rifining ma'nosi quyidagicha. "Tasodifiy nuqta" (x, h) tekislikdagi mintaqaga tushishi ehtimoli uch o'lchamli figuraning hajmi sifatida hisoblanadi - sirt bilan chegaralangan "egri chiziqli" silindr https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3 gif" width="211" height="39 src=">
Ikki tasodifiy miqdorni birgalikda taqsimlashning eng oddiy misoli ikki o'lchovli to'plamda bir xil taqsimlashA. Maydon bilan chegaralangan M to'plam berilgan bo'lsin, u quyidagi qo'shma zichlik bilan aniqlangan (x, h) juftlikning taqsimoti sifatida aniqlanadi:
Vazifa 5. Ikki o'lchovli tasodifiy vektor (x, h) uchburchak ichida bir xil taqsimlangan bo'lsin. x>h tengsizlik ehtimolini hisoblang.
Yechim. Ko'rsatilgan uchburchakning maydoni teng (Qarang: rasm. №?). Ikki o'lchovli bir xil taqsimotning ta'rifi tufayli x, h tasodifiy o'zgaruvchilarning qo'shma zichligi tengdir.
Voqea to'plamga mos keladi 
samolyotda, ya'ni yarim tekislikda. Keyin ehtimollik
B yarim tekisligida bo'g'in zichligi https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17"> to'plamdan tashqarida nolga teng. yarim tekislik B ikkita to'plamga bo'linadi va https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> va , va ikkinchi integral tengdir nolga teng, chunki u erda qo'shma zichlik nolga teng. Shunung uchun
Agar juftlik (x, h) uchun qo'shma taqsimlanish zichligi berilgan bo'lsa, u holda har ikkala komponentning x va h zichligi deyiladi. xususiy zichliklar va formulalar yordamida hisoblab chiqiladi:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">
Zichliklari rx(x), rh(u) bo'lgan uzluksiz taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mustaqillik shuni anglatadiki,
Vazifa 6. Oldingi masala sharoitida tasodifiy vektor x va h ning komponentlari mustaqil ekanligini aniqlang?
Yechim. Keling, qisman zichliklarni hisoblaymiz va . Bizda ... bor:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">
Shubhasiz, bizning holatlarimizda https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> x va h miqdorlarning qo'shma zichligi va j( x, y) ikkita argumentning funksiyasi, demak
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">
Vazifa 7. Oldingi masala sharoitida hisoblang.
Yechim. Yuqoridagi formulaga muvofiq bizda:
.
Uchburchakni sifatida ifodalash
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">
§ 5. Ikki uzluksiz tasodifiy miqdorlar yig'indisining zichligi
X va h zichliklari bo'lgan mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lsin https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Tasodifiy o'zgaruvchining zichligi x + h formula bo'yicha hisoblanadi konvolyutsiya
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Yig'indining zichligini hisoblang.
Yechim. X va h parametr bilan eksponensial qonun bo'yicha taqsimlanganligi sababli ularning zichligi tengdir.
Demak,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
Agar x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">salbiy, shuning uchun . Shuning uchun, agar https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">
Shunday qilib, biz javob oldik:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> odatda 0 va 1 parametrlari bilan taqsimlanadi. X1 va x2 tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil va normalga ega mos ravishda a1 va a2 parametrlari bo'lgan taqsimotlar x1, x2, ... xn tasodifiy o'zgaruvchilar taqsimlangan va bir xil taqsimot zichligiga ega ekanligini isbotlang.
.
Qiymatlarning taqsimlanish funksiyasi va taqsimlanish zichligini toping:
a) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = maks (x1,x2, ... xn)
X1, x2, ... xn tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil va [a, b] oraliqda bir xil taqsimlangan. Kattaliklar taqsimotining taqsimot funksiyalari va zichlik funksiyalarini toping
x(1) = min (x1,x2, ... xn) va x(2)= max(x1, x2, ...xn).
Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47"> ekanligini isbotlang.
Tasodifiy miqdor Koshi qonuni bo'yicha taqsimlanadi Toping: a) koeffitsient a; b) taqsimlash funksiyasi; v) intervalga tushish ehtimoli (-1, 1). X ning matematik taxmini mavjud emasligini ko'rsating. Tasodifiy miqdor l (l>0) parametrli Laplas qonuniga bo'ysunadi: a koeffitsientini toping; taqsimot zichligi va taqsimot funksiyasining grafiklarini qurish; Mx va Dx-ni toping; hodisalar ehtimolini toping (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
Tarqatish zichligi formulasini yozing, Mx va Dx ni toping.
Hisoblash vazifalari.
A tasodifiy nuqta R radiusli aylanada bir xil taqsimotga ega. Nuqtaning aylana markazigacha bo‘lgan r masofasining matematik kutilishi va dispersiyasini toping. r2 qiymati segmentda bir xil taqsimlanganligini ko'rsating. 
Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish zichligi quyidagi shaklga ega: 
C konstantasini, taqsimot funksiyasi F(x) va ehtimollikni hisoblang 
Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish zichligi quyidagi shaklga ega: 
C konstantasini, taqsimot funksiyasi F(x) va ehtimollikni hisoblang 
Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish zichligi quyidagi shaklga ega: 
C konstantasini, taqsimot funksiyasi F(x), , dispersiya va ehtimollikni hisoblang Tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasiga ega 
Tasodifiy o'zgaruvchining zichligini, matematik kutilmani, dispersiyani va ehtimollikni hisoblang. Funktsiya = ekanligini tekshiring. 
tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi bo'lishi mumkin. Bu miqdorning son xarakteristikalarini toping: Mx va Dx. Tasodifiy o'zgaruvchi segmentda bir xil taqsimlangan. Tarqatish zichligini yozing. Tarqatish funksiyasini toping. Tasodifiy o'zgaruvchining segmentga va segmentga tushish ehtimolini toping. Tarqatish zichligi x ga teng
.
c doimiysi, taqsimot zichligi h = va ehtimollikni toping
P (0,25 Kompyuterning nosozliksiz ishlash vaqti l = 0,05 (soatdagi nosozliklar) parametri bilan eksponensial qonunga muvofiq taqsimlanadi, ya'ni u zichlik funktsiyasiga ega. p(x) = Muayyan muammoni hal qilish mashinaning 15 daqiqa davomida muammosiz ishlashini talab qiladi. Muammoni hal qilishda nosozlik yuzaga kelsa, xato faqat yechim tugagandan so'ng aniqlanadi va muammo yana hal qilinadi. Toping: a) masalani yechish vaqtida bironta ham nosozlik yuzaga kelmasligi ehtimoli; b) muammoni hal qilishning o'rtacha vaqti. 24 sm uzunlikdagi novda ikki qismga bo'linadi; Biz sinish nuqtasi novdaning butun uzunligi bo'ylab teng ravishda taqsimlangan deb taxmin qilamiz. Tayoqning ko'p qismining o'rtacha uzunligi qancha? 12 sm uzunlikdagi bo'lak tasodifiy ikki qismga bo'linadi. Kesish nuqtasi segmentning butun uzunligi bo'ylab teng ravishda taqsimlanadi. Segmentning kichik qismining o'rtacha uzunligi qancha? Tasodifiy o'zgaruvchi segmentda bir xil taqsimlangan. Tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligini toping a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 =. Agar x uzluksiz taqsimot funksiyasiga ega ekanligini ko'rsating F(x) = P(x Segmentlar va mos ravishda bir xil taqsimot qonunlari bilan ikkita mustaqil kattalik x va h yig'indisining zichlik funksiyasi va taqsimot funksiyasini toping. X va h tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil va segmentlar bo'yicha bir xil taqsimlangan va mos ravishda. x+h yig‘indisining zichligini hisoblang. X va h tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil va segmentlar bo'yicha bir xil taqsimlangan va mos ravishda. x+h yig‘indisining zichligini hisoblang. X va h tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil va segmentlar bo'yicha bir xil taqsimlangan va mos ravishda. x+h yig‘indisining zichligini hisoblang. Tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil va zichlik bilan eksponensial taqsimotga ega Tarqatish funksiyasi tasodifiy o'zgaruvchi X funksiya deb ataladi F(X), har biri uchun ifodalash X tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli X kamroq qiymat oladi X:. Funktsiya F(X) ba'zan deyiladi integral taqsimot funktsiyasi, yoki taqsimotning integral qonuni. Tasodifiy qiymat X chaqirdi davomiy, agar uning taqsimot funktsiyasi har qanday nuqtada uzluksiz bo'lsa va hamma joyda farqlanadigan bo'lsa, ehtimol, alohida nuqtalardan tashqari. Misollar uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar: torner ma'lum o'lchamga aylantiradigan qismning diametri, odamning balandligi, snaryadning parvoz masofasi va boshqalar. Teorema. Uzluksiz tasodifiy miqdorning har qanday individual qiymatining ehtimoli nolga teng Natija. Agar X uzluksiz tasodifiy miqdor bo'lsa, u holda tasodifiy o'zgaruvchining intervalga tushish ehtimoli Agar uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X faqat orasidagi qiymatlarni qabul qilishi mumkin A oldin b(Qaerda A Va b- ba'zi konstantalar), keyin uning taqsimot funktsiyasi barcha qiymatlar uchun nolga teng Diskret tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalarining barcha xossalari uzluksiz tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalari uchun ham qanoatlantiriladi. Tarqatish funksiyasi yordamida uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchini ko'rsatish yagona yo'l emas. Ehtimollik zichligi
(tarqatish zichligi yoki zichlik)
R(X) uzluksiz tasodifiy miqdor X uning taqsimot funksiyasining hosilasi deyiladi Ehtimollik zichligi R(X), shuningdek, taqsimlash funktsiyasi F(X), taqsimot qonunining shakllaridan biri, lekin taqsimot funktsiyasidan farqli o'laroq, u faqat uchun mavjud davomiy tasodifiy o'zgaruvchilar. Ehtimollik zichligi ba'zan deyiladi differensial funksiya yoki differentsial taqsimot qonuni. Ehtimollik zichligi grafigi taqsimot egri chizig'i deb ataladi. Xususiyatlari Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi: Guruch. 8.1 Guruch. 8.2 4.
Geometrik nuqtai nazardan, ehtimollik zichligining xususiyatlari uning grafigi - taqsimot egri chizig'i abscissa o'qi ostida emasligini va taqsimlash egri chizig'i va abscissa o'qi bilan chegaralangan raqamning umumiy maydoni birga teng ekanligini anglatadi. 8.1-misol. Elektr soatining qo'li har daqiqada sakrab harakatlanadi. Siz soatingizga qaradingiz. Ular ko'rsatmoqda A daqiqa. Shunda siz uchun ma'lum bir vaqtda haqiqiy vaqt tasodifiy o'zgaruvchi bo'ladi. Uning taqsimot funksiyasini toping. Yechim. Shubhasiz, haqiqiy vaqtni taqsimlash funktsiyasi hamma uchun 0 ga teng HAQIDA Guruch. 8.3 8.2-misol. Ba'zi tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot funksiyasi funksiyami Yechim. Ushbu funktsiyaning barcha qiymatlari segmentga tegishli Tengliklar ham shunday bo'ladi: Shuning uchun, funktsiya 8.3-misol. Ba'zi tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot funksiyasi funksiyami Yechim. Bu funksiya tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlash funksiyasi emas, chunki orasida Guruch. 8.5 8.4-misol. Tasodifiy qiymat X taqsimlash funksiyasi bilan berilgan Koeffitsientni toping A va tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi X. Tengsizlik ehtimolini aniqlang Yechim. Tarqatish zichligi taqsimot funksiyasining birinchi hosilasiga teng Koeffitsient A tenglikdan foydalangan holda aniqlanadi Xuddi shu natijani funksiyaning uzluksizligi yordamida olish mumkin Demak, Shuning uchun ehtimollik zichligi shaklga ega Ehtimollik 8.5-misol. Tasodifiy qiymat X ehtimollik zichligiga ega (Koshi qonuni) Koeffitsientni toping A va tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli X intervaldan ba'zi qiymatlarni oladi Yechim. Keling, koeffitsientni topamiz A tenglikdan Demak, Shunday qilib, Tasodifiy o'zgaruvchining bo'lish ehtimoli X intervaldan ba'zi qiymatlarni oladi Ushbu tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini topamiz P Guruch. 8.6 Yechim. Grafikdan foydalanib, berilgan tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimot zichligi uchun analitik ifodani yozamiz. Tarqatish funksiyasini topamiz. Agar Agar Agar Agar Shuning uchun taqsimot funksiyasi shaklga ega
1-bob. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi
§
1. Tasodifiy miqdor tushunchalari. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni. Ta'rif
: Tasodifiy - bu sinov natijasida oldindan noma'lum bo'lgan va tasodifiy sabablarga ko'ra o'zining mumkin bo'lgan qiymatlari to'plamidan faqat bitta qiymatni oladigan miqdor. Ikki xil tasodifiy o'zgaruvchilar mavjud: diskret va uzluksiz. Ta'rif
: X tasodifiy o'zgaruvchisi deyiladi diskret
(uzluksiz) agar uning qiymatlari to'plami chekli yoki cheksiz bo'lsa, lekin sanash mumkin. Boshqa so'z bilan, mumkin bo'lgan qiymatlar Diskret tasodifiy o'zgaruvchini qayta raqamlash mumkin. Tasodifiy o'zgaruvchini uning taqsimot qonuni yordamida tasvirlash mumkin. Ta'rif
: Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni
tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari o'rtasidagi yozishmalarni chaqiring. Diskret tasodifiy X ning taqsimot qonuni jadval ko'rinishida ko'rsatilishi mumkin, uning birinchi qatorida tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari o'sish tartibida, ikkinchi qatorda esa ularning mos keladigan ehtimolliklari ko'rsatilgan. qadriyatlar, ya'ni. bu yerda r1+ r2+…+ rn=1 Bunday jadval diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qatori deb ataladi. Agar tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami cheksiz bo'lsa, u holda p1+ p2+…+ pn+… qatori yaqinlashadi va uning yig'indisi 1 ga teng bo'ladi. Diskret tasodifiy X ning taqsimlanish qonunini grafik tarzda tasvirlash mumkin, buning uchun to'rtburchaklar koordinatalar tizimida nuqtalarni ketma-ket bog'lovchi (xi; pi), i=1,2,…n siniq chiziq quriladi. Olingan chiziq chaqiriladi tarqatish poligoni
(1-rasm). Organik kimyo" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">organik kimyo mos ravishda 0,7 va 0,8. X tasodifiy o'zgaruvchisi - talaba topshiradigan imtihonlar soni uchun taqsimot qonunini tuzing. Yechim.
Imtihon natijasida ko'rib chiqilayotgan X tasodifiy miqdor quyidagi qiymatlardan birini olishi mumkin: x1=0, x2=1, x3=2. Keling, ushbu qiymatlarning ehtimolini topamiz, keling, hodisalarni belgilaymiz. https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" eni="259" balandligi="66 src="> Shunday qilib, X tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni jadval bilan berilgan: Nazorat: 0,6+0,38+0,56=1. §
2. Tarqatish funksiyasi Tasodifiy o'zgaruvchining to'liq tavsifi taqsimot funktsiyasi orqali ham beriladi. Ta'rifi: Diskret tasodifiy miqdor X ning taqsimot funksiyasi
Har bir x qiymati uchun X tasodifiy o'zgaruvchisi x dan kichik qiymat olish ehtimolini aniqlaydigan F(x) funksiyasi deyiladi: F(x)=P(X<х) Geometrik jihatdan taqsimlash funksiyasi X tasodifiy o‘zgaruvchining sonlar chizig‘ida x nuqtadan chap tomonda joylashgan nuqta bilan ifodalangan qiymatni olish ehtimoli sifatida talqin qilinadi.
1)0≤ F(x) ≤1; 2) F(x) (-∞;+∞) da kamaymaydigan funksiya; 3) F(x) - x= xi (i=1,2,...n) nuqtalarda chapda uzluksiz va qolgan barcha nuqtalarda uzluksiz; 4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞, F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞. Diskret tasodifiy X ning taqsimot qonuni jadval shaklida berilgan bo'lsa: u holda F(x) taqsimot funksiyasi quyidagi formula bilan aniqlanadi: https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> x≤ x1 uchun 0, r1 x1 da< х≤ x2, F(x)= x2 da r1 + r2< х≤ х3 x>xn uchun 1. Uning grafigi 2-rasmda ko'rsatilgan: §
3. Diskret tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari. Muhim raqamli xarakteristikalardan biri bu matematik kutishdir. Ta'rif: Matematik kutilma M(X)
diskret tasodifiy o'zgaruvchi X - bu uning barcha qiymatlari va ularga mos keladigan ehtimolliklarning mahsuloti yig'indisi: M(X) =
∑ xiri= x1r1 + x2r2+…+ xnrn Matematik kutish tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymatining xarakteristikasi bo'lib xizmat qiladi. Matematik kutishning xususiyatlari:
1)M(C)=C, bu yerda C doimiy qiymat; 2)M(C X)=C M(X), 3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y); 4)M(X Y)=M(X) M(Y), bunda X, Y mustaqil tasodifiy miqdorlar; 5)M(X±C)=M(X)±C, bunda C doimiy qiymat; Diskret tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarini uning o'rtacha qiymati atrofida tarqalish darajasini tavsiflash uchun dispersiya qo'llaniladi. Ta'rif:
Farqlanish
D
(
X
)
X tasodifiy o'zgaruvchisi - bu tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan kvadrat og'ishining matematik taxmini:
Dispersiya xususiyatlari:
1)D(C)=0, bu yerda C doimiy qiymat; 2)D(X)>0, bu yerda X tasodifiy miqdor; 3)D(C X)=C2 D(X), bunda C doimiy qiymat; 4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), bunda X, Y mustaqil tasodifiy miqdorlar; Dispersiyani hisoblash uchun odatda formuladan foydalanish qulay: D(X)=M(X2)-(M(X))2, bu yerda M(X)=∑ xi2ri= x12r1 + x22r2+…+ xn2rn D (X) dispersiya kvadrat tasodifiy o'zgaruvchining o'lchamiga ega, bu har doim ham qulay emas. Shuning uchun √D(X) qiymati tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarining tarqalishining ko'rsatkichi sifatida ham ishlatiladi. Ta'rifi: Standart og'ish s(X)
X tasodifiy o'zgaruvchisi dispersiyaning kvadrat ildizi deb ataladi: Vazifa № 2. Diskret tasodifiy X kattaligi taqsimot qonuni bilan belgilanadi: P2, taqsimot funksiyasi F(x) ni toping va uning grafigini, shuningdek M(X), D(X), s(X) ni chizing. Yechim:
X tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari ehtimoli yig'indisi 1 ga teng bo'lgani uchun, u holda R2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1 F(x)=P(X) taqsimot funksiyasi topilsin Geometrik jihatdan bu tenglikni quyidagicha talqin qilish mumkin: F(x) tasodifiy o‘zgaruvchining son o‘qida x nuqtaning chap tomonida joylashgan nuqta bilan ifodalangan qiymatni olish ehtimoli. Agar x≤-1 bo'lsa, F(x)=0, chunki (-∞;x) da bu tasodifiy miqdorning bitta qiymati yo'q; Agar -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Agar 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) ikkita qiymat mavjud x1=-1 va x2=0; Agar 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Agar 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Agar x>3 bo'lsa, F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, chunki to'rtta qiymat x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 (-∞;x) va x5=3 oralig'iga tushadi. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> x≤-1 da 0, -1 da 0,1<х≤0, 0 da 0,2<х≤1, F(x)= 1 da 0,5<х≤2, 2 da 0,7<х≤3, 1 da x>3 F(x) funksiyani grafik tarzda tasvirlaymiz (3-rasm): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. Binomiy taqsimot qonuni diskret tasodifiy miqdor, Puasson qonuni. Ta'rifi: binomial
diskret tasodifiy X ning taqsimlanish qonuni deyiladi - A hodisaning n ta mustaqil takroriy sinovda sodir bo'lish soni, ularning har birida A hodisasi p ehtimollik bilan sodir bo'lishi yoki q = 1-p ehtimolligi bilan sodir bo'lmasligi mumkin. U holda P(X=m) - n ta sinovda A hodisasining aynan m marta yuz berish ehtimoli Bernulli formulasi yordamida hisoblanadi: R(X=m)=Smnpmqn-m Ikkilik qonun bo'yicha taqsimlangan X tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi, dispersiyasi va standart og'ishi mos ravishda quyidagi formulalar yordamida topiladi: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Har bir sinovda A hodisasi - "beshtadan chiqish" ehtimoli bir xil va 1/6 ga teng. , ya'ni P(A)=p=1/6, keyin P(A)=1-p=q=5/6, bu yerda - "A" ni ololmaganlik. X tasodifiy miqdor quyidagi qiymatlarni qabul qilishi mumkin: 0;1;2;3. Bernulli formulasidan foydalanib, X ning har bir mumkin bo'lgan qiymatlarining ehtimolini topamiz: R(X=0)=R3(0)=S03r0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; R(X=1)=R3(1)=S13r1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; R(X=2)=R3(2)=S23r2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; R(X=3)=R3(3)=S33r3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Bu. X tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonuni quyidagi ko'rinishga ega: Nazorat: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. X tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari topilsin: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Vazifa № 4. Avtomatik mashina qismlarga shtamp qo'yadi. Ishlab chiqarilgan qismning nuqsonli bo'lish ehtimoli 0,002 ga teng. 1000 ta tanlangan qismlar orasida quyidagilar bo'lish ehtimolini toping: a) 5 ta nuqsonli; b) kamida bittasi nuqsonli. Yechim:
n=1000 soni katta, nuqsonli qismni hosil qilish ehtimoli p=0,002 kichik va ko‘rib chiqilayotgan hodisalar (qism nuqsonli bo‘lib chiqadi) mustaqildir, shuning uchun Puasson formulasi amal qiladi: Rn(m)= e-
λ
lm l=np=1000 0,002=2 ni topamiz. a) 5 ta nuqsonli qism bo'lish ehtimolini toping (m=5): R1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Kamida bitta nuqsonli qism bo'lish ehtimolini toping. A hodisasi - "tanlangan qismlardan kamida bittasi nuqsonli" qarama-qarshi hodisa- "barcha tanlangan qismlar nuqsonli emas." Shuning uchun P(A) = 1-P(). Demak, talab qilinadigan ehtimollik teng: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Mustaqil ish uchun topshiriqlar.
1.1
1.2.
Dispers tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimot qonuni bilan belgilanadi: p4, taqsimot funksiyasi F(X) ni toping va uning grafigini, shuningdek M(X), D(X), s(X) ni chizing. 1.3.
Qutida 9 ta marker bor, ulardan 2 tasi endi yozmaydi. Tasodifiy 3 ta markerni oling. Tasodifiy o'zgaruvchi X - olinganlar orasidagi yozuv belgilarining soni. Tasodifiy miqdorni taqsimlash qonunini tuzing. 1.4.
Kutubxona javonida tasodifiy tartibda joylashtirilgan 6 ta darslik mavjud bo‘lib, ulardan 4 tasi bog‘langan. Kutubxonachi tasodifiy 4 ta darslikni oladi. Tasodifiy o'zgaruvchi X - olinganlar orasidagi bog'langan darsliklar soni. Tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini tuzing. 1.5.
Chiptada ikkita vazifa bor. Birinchi masalani to'g'ri yechish ehtimoli 0,9 ga, ikkinchisi 0,7 ga teng. X tasodifiy o'zgaruvchisi - chiptadagi to'g'ri hal qilingan muammolar soni. Tarqatish qonunini tuzing, ushbu tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini hisoblang, shuningdek F(x) taqsimot funksiyasini toping va uning grafigini tuzing. 1.6.
Uchta otuvchi nishonga o‘q uzmoqda. Bir o'q bilan nishonga tegish ehtimoli birinchi otuvchi uchun 0,5, ikkinchisi uchun 0,8, uchinchisi uchun 0,7 ga teng. Tasodifiy o'zgaruvchi X - agar otishmalar bir vaqtning o'zida bittadan o'q uzsa, nishonga urishlar soni. M(X),D(X) taqsimot qonunini toping. 1.7.
Basketbolchi har bir zarbani urish ehtimoli 0,8 ga teng bo'lgan to'pni savatga tashlaydi. Har bir zarba uchun u 10 ball oladi, agar u o'tkazib yuborsa, unga ochko berilmaydi. X tasodifiy o'zgaruvchisi uchun taqsimot qonunini tuzing - basketbolchining 3 zarbada olgan ballari soni. M(X),D(X), shuningdek, uning 10 balldan ortiq olish ehtimolini toping. 1.8.
Kartochkalarga harflar yoziladi, jami 5 ta unli va 3 ta undosh. 3 ta karta tasodifiy tanlanadi va har safar olingan karta qaytariladi. Tasodifiy o'zgaruvchi X - olinganlar orasidagi unlilar soni. Tarqatish qonunini tuzing va M(X),D(X),s(X) toping. 1.9.
O'rtacha 60% shartnomalar su'gurta kompaniyasi sug'urta hodisasi yuz berganligi munosabati bilan sug'urta summalarini to'laydi. X tasodifiy o'zgaruvchisi uchun taqsimlash qonunini tuzing - tasodifiy tanlangan to'rtta shartnoma orasida sug'urta summasi to'langan shartnomalar soni. Bu miqdorning sonli xarakteristikalarini toping. 1.10.
Radiostansiya ikki tomonlama aloqa o'rnatilgunga qadar ma'lum vaqt oralig'ida qo'ng'iroq belgilarini (to'rttadan ko'p bo'lmagan) yuboradi. Qo'ng'iroq belgisiga javob olish ehtimoli 0,3 ga teng. Tasodifiy o'zgaruvchi X - yuborilgan qo'ng'iroq belgilari soni. Tarqatish qonunini tuzing va F(x) ni toping. 1.11.
3 ta kalit mavjud, ulardan faqat bittasi qulfga mos keladi. Agar sinab ko'rilgan kalit keyingi urinishlarda ishtirok etmasa, qulfni ochishga urinishlar soni X tasodifiy o'zgaruvchini taqsimlash qonunini tuzing. M(X),D(X) ni toping. 1.12.
Ishonchliligi uchun uchta qurilmaning ketma-ket mustaqil sinovlari o'tkaziladi. Har bir keyingi qurilma, agar avvalgisi ishonchli bo'lsa, sinovdan o'tkaziladi. Har bir qurilma uchun testdan o'tish ehtimoli 0,9 ga teng. Tekshirilgan qurilmalarning X-sonli tasodifiy o'zgaruvchisi uchun taqsimot qonunini tuzing. 1.13
.X diskret tasodifiy o'zgaruvchining uchta mumkin bo'lgan qiymati mavjud: x1=1, x2, x3 va x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Elektron qurilma blokida 100 ta bir xil elementlar mavjud. T vaqtida har bir elementning ishdan chiqish ehtimoli 0,002 ga teng. Elementlar mustaqil ishlaydi. T vaqt ichida ikkitadan ortiq elementning ishdan chiqishi ehtimolini toping. 1.15.
Darslik 50 000 nusxada nashr etilgan. Darslikning noto'g'ri bog'langanligi ehtimoli 0,0002 ga teng. Aylanmada quyidagilar bo'lishi ehtimolini toping: a) to'rtta nuqsonli kitob; b) ikkitadan kam nuqsonli kitoblar. 1
.16.
ATS ga har daqiqada keladigan qo'ng'iroqlar soni l=1,5 parametr bilan Puasson qonuni bo'yicha taqsimlanadi. Bir daqiqadan so'ng quyidagilar kelishi ehtimolini toping: a) ikkita qo'ng'iroq; b) kamida bitta qo'ng'iroq. 1.17.
Agar Z=3X+Y bo‘lsa, M(Z),D(Z) ni toping. 1.18.
Ikki mustaqil tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunlari berilgan: Agar Z=X+2Y bo‘lsa, M(Z),D(Z) ni toping. Javoblar:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0,4; 0 da x≤-2, -2 da 0,3<х≤0, 0 da F(x)= 0,5<х≤2, 2 da 0,9<х≤5, 1 da x>5 -1 da 0,3<х≤0, 0 da 0,4<х≤1, F(x)= 1 da 0,6<х≤2, 2 da 0,7<х≤3, 1 da x>3 M(X)=1; D(X)=2,6; s(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> x≤0 da 0, 0 da 0,03<х≤1, F(x)= 1 da 0,37<х≤2, x>2 uchun 1 M(X)=2; D(X)=0,62 M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; s(X) ≈ M(X)=2,4; D(X)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
a) 0,0189; b) 0,00049 1.16.
a) 0,0702; b) 0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. 2-bob. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi
Ta'rifi: Davomiy
barcha mumkin bo'lgan qiymatlari sonlar qatorining chekli yoki cheksiz oralig'ini to'liq to'ldiradigan miqdordir. Shubhasiz, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari soni cheksizdir. Uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimlash funksiyasi yordamida aniqlash mumkin. Ta'rifi: F tarqatish funktsiyasi
doimiy X tasodifiy o'zgaruvchisi F(x) funksiyasi deb ataladi, u har bir qiymat uchun xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13">ni aniqlaydi. R Tarqatish funksiyasi ba'zan kümülatif taqsimot funktsiyasi deb ataladi. Tarqatish funksiyasining xususiyatlari:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Uzluksiz tasodifiy miqdor uchun taqsimot funktsiyasi har qanday nuqtada uzluksiz va hamma joyda differentsial bo'ladi, ehtimol alohida nuqtalardan tashqari. 3) X tasodifiy miqdorning (a;b), [a;b], [a;b] oraliqlaridan biriga tushish ehtimoli F(x) funksiya qiymatlari orasidagi farqga teng. a va b nuqtalarida, ya'ni. R(a)<Х 4) X uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining bitta alohida qiymat olishi ehtimoli 0 ga teng. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Tarqatish funksiyasi yordamida uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchini ko'rsatish yagona yo'l emas. Keling, ehtimollik taqsimot zichligi (tarqatish zichligi) tushunchasini kiritamiz. Ta'rif
:
Ehtimollik taqsimoti zichligi
f
(
x
)
X uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasining hosilasi, ya'ni: Ehtimollar zichligi funksiyasi ba'zan differentsial taqsimot funktsiyasi yoki differentsial taqsimot qonuni deb ataladi. f(x) ehtimollik zichligi taqsimotining grafigi deyiladi ehtimollikning taqsimot egri chizig'i
.
Ehtimollar zichligi taqsimotining xossalari:
1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" balandligi ="62 src="> 0 da x≤2, f(x)= c(x-2) 2 da<х≤6, x>6 uchun 0. Toping: a) c ning qiymati; b) taqsimot funksiyasi F(x) va uning grafigi; c) P(3≤x<5) Yechim:
+
∞ a) Normallashtirish shartidan c qiymatini topamiz: ∫ f(x)dx=1. Shuning uchun -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x agar 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2; Gif" kengligi="14" balandligi="62"> x≤2 da 0, F(x)= (x-2)2/16 da 2<х≤6, x>6 uchun 1. F(x) funksiyaning grafigi 3-rasmda keltirilgan https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 da x≤0, F(x)= (3 arktan x)/p 0 da<х≤√3, x>√3 uchun 1. f(x) differentsial taqsimot funksiyasini toping. Yechim:
f(x)= F’(x) ekan, u holda https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24"> Dispers tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ilgari muhokama qilingan matematik kutish va dispersiyaning barcha xossalari uzluksizlar uchun ham amal qiladi. Vazifa № 3. X tasodifiy o'zgaruvchisi f(x) differentsial funktsiyasi bilan aniqlanadi: https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Mustaqil hal qilish uchun muammolar.
2.1.
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimot funktsiyasi bilan belgilanadi: 0 da x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ p/6 uchun 0, F(x)= - p/6 da cos 3x<х≤ π/3, x> p/3 uchun 1. f(x) differensial taqsimot funksiyasini toping, shuningdek R(2p /9<Х< π /2). 2.3.
0 da x≤2, f(x)= c x 2 da<х≤4, x>4 uchun 0. 2.4.
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimot zichligi bilan belgilanadi: 0 da x≤0, f(x)= 0 da c √x<х≤1, x>1 uchun 0. Toping: a) c soni; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> x da, 0 da x. Toping: a) F(x) va uning grafigini tuzing; b) M(X),D(X), s(X); c) to'rtda bo'lish ehtimoli mustaqil testlar X qiymati oraliq (1;4) ga tegishli qiymatdan roppa-rosa 2 marta oladi. 2.6.
Uzluksiz tasodifiy X ning ehtimollik taqsimot zichligi berilgan: f(x)= 2(x-2) x da, 0 da x. Toping: a) F(x) va uning grafigini tuzing; b) M(X),D(X), s (X); c) uchta mustaqil sinovda X qiymati segmentga tegishli qiymatdan roppa-rosa 2 marta ko'p olish ehtimoli. 2.7.
f(x) funksiyasi quyidagicha berilgan: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
f(x) funksiyasi quyidagicha berilgan: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- p /4; p /4]. Toping: a) funktsiya ba'zi X tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi bo'ladigan c doimiy qiymatini; b) taqsimot funksiyasi F(x). 2.9.
(3;7) oraliqda konsentrlangan X tasodifiy miqdor F(x)= taqsimot funksiyasi bilan aniqlanadi. Buning ehtimolini toping X tasodifiy o'zgaruvchisi quyidagi qiymatni oladi: a) 5 dan kam, b) 7 dan kam emas. 2.10.
Tasodifiy o'zgaruvchi X, (-1;4) oraliqda jamlangan, F(x)= taqsimot funksiyasi bilan berilgan. Buning ehtimolini toping X tasodifiy o'zgaruvchisi quyidagi qiymatni oladi: a) 2 dan kam, b) 4 dan kam emas. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Toping: a) c raqami; b) M(X); v) ehtimollik P(X> M(X)). 2.12.
Tasodifiy o'zgaruvchi differentsial taqsimot funktsiyasi bilan belgilanadi: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Toping: a) M(X); b) ehtimollik P(X≤M(X)) 2.13.
Rem taqsimoti ehtimollik zichligi bilan berilgan: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> x ≥0 uchun. f(x) haqiqatan ham ehtimol zichlik funksiyasi ekanligini isbotlang. 2.14.
Uzluksiz tasodifiy X ning ehtimollik taqsimot zichligi berilgan: https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(4-rasm) 2.16.
X tasodifiy o'zgaruvchisi qonunga muvofiq taqsimlanadi " to'g'ri uchburchak"(0;4) oraliqda (5-rasm). Butun son chizig‘idagi f(x) ehtimollik zichligining analitik ifodasini toping. Javoblar
0 da x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ p/6 uchun 0, p/6 da F(x)= 3sin 3x<х≤ π/3, x> p/3 uchun 0. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X ga ega yagona qonun X ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini o'z ichiga olgan ma'lum bir intervalda (a;b) taqsimot, agar f(x) ehtimollik taqsimot zichligi ushbu intervalda doimiy bo'lsa va uning tashqarisida 0 ga teng bo'lsa, ya'ni. x≤a uchun 0, a uchun f(x)=<х x≥b uchun 0. f(x) funksiyaning grafigi rasmda ko'rsatilgan. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, s(X)=. Vazifa № 1. X tasodifiy o'zgaruvchisi segmentda bir xil taqsimlangan. Toping: a) ehtimollikning taqsimot zichligi f(x) va uning grafigini tuzing; b) taqsimot funksiyasi F(x) va uning grafigini; c) M(X),D(X), s(X). Yechim:
Yuqorida ko'rib chiqilgan formulalardan foydalanib, a=3, b=7 bo'lgan holda, biz quyidagilarni topamiz: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤x≤7 da, x>7 uchun 0 Uning grafigini tuzamiz (3-rasm): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 da x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">4-rasm. D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" eni="14" balandligi="49 src="> 0 da x<0, f(x)= x≥0 uchun le-lx. Eksponensial qonun bo'yicha taqsimlangan X tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot funktsiyasi quyidagi formula bilan ifodalanadi: https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, s (X)= Shunday qilib, ko'rsatkich taqsimotining matematik kutilishi va standart og'ishi bir-biriga teng. X ning (a;b) oralig'iga tushish ehtimoli quyidagi formula bilan hisoblanadi: P(a<Х Vazifa № 2. Qurilmaning o'rtacha ishlamay qolish vaqti 100 soatni tashkil qiladi, agar qurilmaning nosozliksiz ishlash vaqti eksponensial taqsimot qonuniga ega bo'lsa, toping: a) ehtimollikni taqsimlash zichligi; b) taqsimlash funksiyasi; c) qurilmaning nosozliksiz ishlash vaqti 120 soatdan oshishi ehtimoli. Yechim:
Shartga ko'ra, matematik taqsimot M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 at x<0, a) x≥0 uchun f(x)= 0,01e -0,01x. b) x da F(x)= 0<0, x≥0 da 1-e -0,01x. c) taqsimlash funksiyasi yordamida kerakli ehtimollikni topamiz: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1,2)= e -1,2≈0,3. §
3.Oddiy taqsimot qonuni Ta'rifi:
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X ga ega normal taqsimot qonuni (Gauss qonuni),
agar uning tarqalish zichligi quyidagi shaklga ega bo'lsa: bu yerda m=M(X), s2=D(X), s>0. Oddiy taqsimot egri chizig'i deyiladi normal yoki Gauss egri chizig'i
(7-rasm) Oddiy qonun bo‘yicha taqsimlangan X tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi quyidagi formula bo‘yicha Laplas funksiyasi F (x) orqali ifodalanadi: Laplas funksiyasi qayerda. Izoh:
F(x) funksiya toq (F(-x)=-F(x)), bundan tashqari x>5 uchun F(x) ≈1/2 ni qabul qilishimiz mumkin. F(x) taqsimot funksiyasining grafigi rasmda ko'rsatilgan. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Buning ehtimoli mutlaq qiymat musbat d sonidan kichik og'ishlar quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: Xususan, m=0 uchun quyidagi tenglik bajariladi: "Uch Sigma qoidasi"
Agar X tasodifiy o‘zgaruvchisi m va s parametrli normal taqsimot qonuniga ega bo‘lsa, uning qiymati (a-3s; a+3s) oralig‘ida yotishi deyarli aniq bo‘ladi, chunki. https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) formuladan foydalanamiz: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> F(x) funksiya qiymatlari jadvalidan F(1,5)=0,4332, F(1)=0,3413 ni topamiz. Shunday qilib, kerakli ehtimollik: P(28 Mustaqil ish uchun topshiriqlar
3.1.
X tasodifiy miqdor (-3;5) oraliqda bir xil taqsimlangan. Toping: b) taqsimot funksiyasi F(x); v) sonli xarakteristikalar; d) ehtimollik P(4<х<6). 3.2.
X tasodifiy o'zgaruvchisi segmentda bir xil taqsimlangan. Toping: a) taqsimlanish zichligi f(x); b) taqsimot funksiyasi F(x); v) sonli xarakteristikalar; d) ehtimollik P(3≤x≤6). 3.3.
Magistral yo'lda avtomatik svetofor mavjud bo'lib, unda yashil chiroq 2 daqiqa, sariq 3 soniya, qizil 30 soniya yonadi va hokazo. Mashina avtomagistral bo'ylab tasodifiy vaqtda harakat qiladi. Avtomobilning svetofordan to‘xtamasdan o‘tib ketishi ehtimolini toping. 3.4.
Metro poyezdlari muntazam ravishda 2 daqiqalik interval bilan harakatlanadi. Yo'lovchi tasodifiy vaqtda platformaga kiradi. Yo‘lovchining poyezdni 50 soniyadan ko‘proq kutish ehtimoli qanday? X tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini toping - poezdni kutish vaqti. 3.5.
Taqsimot funksiyasi bilan berilgan eksponensial taqsimotning dispersiyasi va standart og‘ishini toping: X da F(x)= 0<0, x≥0 uchun 1-8x. 3.6.
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X ehtimollik taqsimot zichligi bilan belgilanadi: x da f(x)= 0<0, x≥0 da 0,7 e-0,7x. a) Ko'rib chiqilayotgan tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini ayting. b) F(X) taqsimot funksiyasi va X tasodifiy miqdorning son xarakteristikalarini toping. 3.7.
X tasodifiy o'zgaruvchisi ehtimollik taqsimoti zichligi bilan belgilangan eksponensial qonunga muvofiq taqsimlanadi: x da f(x)= 0<0, x≥0 da 0,4 e-0,4 x. Sinov natijasida X ning (2,5;5) oraliqdan qiymat olishi ehtimolligini toping. 3.8.
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimot funktsiyasi tomonidan belgilangan eksponensial qonunga muvofiq taqsimlanadi: X da F(x)= 0<0, x≥0 da 1-0,6x Sinov natijasida X segmentdan qiymat olish ehtimolini toping. 3.9.
Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining kutilgan qiymati va standart og'ishi mos ravishda 8 va 2 ni toping: a) taqsimlanish zichligi f(x); b) test natijasida X ning (10;14) oraliqdan qiymat olishi ehtimoli. 3.10.
X tasodifiy o'zgaruvchisi odatda 3,5 matematik kutish va 0,04 dispersiya bilan taqsimlanadi. Toping: a) taqsimlanish zichligi f(x); b) test natijasida X segmentidan qiymat olish ehtimoli. 3.11.
X tasodifiy o'zgaruvchisi odatda M(X)=0 va D(X)=1 bilan taqsimlanadi. Hodisalarning qaysi biri: |X|≤0,6 yoki |X|≥0,6 ehtimoli yuqori? 3.12.
X tasodifiy o'zgaruvchisi M(X)=0 va D(X)=1 bilan normal taqsimlangan bo'lib, qaysi oraliqdan (-0,5;-0,1) yoki (1;2) bir test davomida qiymat olish ehtimoli ko'proq? 3.13.
Har bir aksiyaning joriy narxini M(X)=10 den bilan normal taqsimot qonuni yordamida modellashtirish mumkin. birliklar va s (X)=0,3 den. birliklar Toping: a) aksiyaning joriy narxi 9,8 den dan bo'lishi ehtimoli. birliklar 10,4 kungacha birliklar; b) "uch sigma qoidasi" dan foydalanib, joriy aktsiyalar narxi joylashgan chegaralarni toping. 3.14.
Moddaning tortilishi tizimli xatolarsiz amalga oshiriladi. Tasodifiy tortish xatolari o'rtacha kvadrat nisbati s=5g bo'lgan normal qonunga bo'ysunadi. To'rtta mustaqil tajribada uchta tortishda xatolik 3r mutlaq qiymatda bo'lmasligi ehtimolini toping. 3.15.
X tasodifiy miqdor normal taqsimlanadi M(X)=12,6. (11,4;13,8) oraliqda tasodifiy miqdorning tushish ehtimoli 0,6826 ga teng. Standart og'ish s ni toping. 3.16.
X tasodifiy miqdor M(X)=12 va D(X)=36 bilan normal taqsimlanadi. 3.17.
Avtomatik mashinada ishlab chiqarilgan qism, agar uning boshqariladigan parametrining nominal qiymatdan X og'ishi modul 2 o'lchov birligidan oshsa, nuqsonli hisoblanadi. X tasodifiy miqdor M(X)=0 va s(X)=0,7 bilan normal taqsimlangan deb faraz qilinadi. Mashina nuqsonli qismlarning necha foizini ishlab chiqaradi? 3.18.
Qismning X parametri nominal qiymatga teng bo'lgan 2 matematik kutish va 0,014 standart og'ish bilan normal taqsimlanadi. X ning nominal qiymatdan chetlanishi nominal qiymatning 1% dan oshmasligi ehtimolini toping. Javoblar
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) x≤-3 uchun 0, F(x)= chap"> 3.10.
a)f(x)=, b) R(3,1≤X≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9,8≤X≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
s=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. Dispersiya Mumkin qiymatlari butun Ox o'qiga tegishli bo'lgan doimiy X tasodifiy o'zgaruvchisi tenglik bilan aniqlanadi: Xizmat maqsadi. Onlayn kalkulyator muammolarni hal qilish uchun mo'ljallangan tarqatish zichligi f(x) yoki taqsimlash funksiyasi F(x) (misolga qarang). Odatda bunday vazifalarda siz topishingiz kerak matematik kutish, standart og'ish, f(x) va F(x) funksiyalarning chizma grafiklari. Ko'rsatmalar. Manba ma'lumotlarining turini tanlang: tarqatish zichligi f(x) yoki tarqatish funksiyasi F(x). Tarqatish zichligi f(x) berilgan: F(x) taqsimot funksiyasi berilgan: Uzluksiz tasodifiy miqdor ehtimollik zichligi bilan belgilanadi X tasodifiy o'zgaruvchisi deyiladi davomiy
, agar uning taqsimot funksiyasi F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
.
. Ularning yig‘indisining taqsimlanish zichligini toping. X va h mustaqil tasodifiy miqdorlar yig’indisining taqsimlanishini toping, bunda x intervalda bir xil taqsimotga ega, h esa l parametrli ko’rsatkichli taqsimotga ega. P ni toping 
, agar x ga ega bo'lsa: a) a va s2 parametrlari bilan normal taqsimot; b) l parametrli ko'rsatkichli taqsimot; v) segment bo'yicha bir xil taqsimot [-1;1]. x, h ning birgalikdagi taqsimoti bir xil kvadrat
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Ehtimollikni toping 
. x va h mustaqilmi? X va h tasodifiy miqdorlar juftligi K= uchburchak ichida bir xil taqsimlangan. x va h zichliklarini hisoblang. Bu tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqilmi? Ehtimollikni toping. X va h tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil va segmentlar va [-1,1] bo'yicha bir xil taqsimlangan. Ehtimollikni toping. Ikki o'lchovli tasodifiy miqdor (x, h) uchlari (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) bo'lgan kvadratda bir xil taqsimlangan. (1, -1) nuqtadagi qo`shma taqsimot funksiyasining qiymatini toping. Tasodifiy vektor (x, h) radiusi 3 bo'lgan aylana ichida bir xil taqsimlangan. Birgalikda taqsimlanish zichligi ifodasini yozing. Ushbu tasodifiy o'zgaruvchilar bog'liq yoki yo'qligini aniqlang. Ehtimollikni hisoblang. X va h tasodifiy o'zgaruvchilar juftligi trapetsiya ichida uchlari (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0) nuqtalarda bir xilda taqsimlangan. Ushbu juft tasodifiy o'zgaruvchilar uchun qo'shma taqsimlanish zichligini va komponentlarning zichligini toping. x va h ga bog'liqmi? Tasodifiy juftlik (x, h) yarim doira ichida bir tekis taqsimlangan. x va h zichliklarini toping, ularning bog'liqligi masalasini tekshirib ko'ring. Ikki tasodifiy o'zgaruvchining qo'shma zichligi x va h ga teng 
.
x, h zichliklarni toping. X va h larning bog'liqligi haqidagi savolni o'rganing. Tasodifiy juftlik (x, h) to'plamda bir xil taqsimlangan. x va h zichliklarini toping, ularning bog'liqligi masalasini tekshirib ko'ring. M(xh) ni toping. X va h tasodifiy o'zgaruvchilar mustaqil va Find parametri bilan eksponensial qonun bo'yicha taqsimlanadi.
.
bu interval ochiq yoki yopiqligiga bog'liq emas, ya'ni.
va qiymatlar uchun birlik 
.Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun
.
.
va birlik uchun 
. Vaqt teng ravishda o'tadi. Shuning uchun, haqiqiy vaqtning kamroq bo'lish ehtimoli A+ 0,5 min, 0,5 ga teng, chunki undan keyin o'tganmi yoki yo'qmi, bir xil ehtimollik bilan A yarim daqiqadan kamroq yoki ko'proq. Haqiqiy vaqtning kamroq bo'lish ehtimoli A+ 0,25 min, 0,25 ga teng (bu vaqtning ehtimoli haqiqiy vaqt katta bo'lish ehtimolidan uch baravar kam A+ 0,25 min, va ularning yig'indisi qarama-qarshi hodisalarning ehtimolliklari yig'indisi sifatida bir ga teng). Shunga o'xshash fikr yuritsak, biz haqiqiy vaqt ehtimoli kamroq ekanligini topamiz A+ 0,6 min, 0,6 ga teng. Umuman olganda, haqiqiy vaqt kamroq bo'lishi ehtimoli A
+ + α
min 
, teng α
. Shunday qilib, haqiqiy vaqtni taqsimlash funktsiyasi quyidagi ifodaga ega:
on hamma joyda uzluksiz va uning hosilasi barcha nuqtalarda uzluksiz, ikkitadan tashqari: x = a Va x = a+ 1. Ushbu funktsiyaning grafigi quyidagicha ko'rinadi (8.3-rasm):
, ya'ni. 
. Funktsiya F(X) kamaymaydi: intervalda 
u doimiy, oraliqda nolga teng 
orasida ortadi 
ham doimiy, birlikka teng (8.4-rasmga qarang). Funktsiya har bir nuqtada uzluksizdir X Uning ta'rifining 0 maydoni - interval 
, shuning uchun chap tomonda uzluksiz, ya'ni. tenglik amal qiladi
,
.
,
.
taqsimot funksiyasining barcha xossalarini qanoatlantiradi. Shunday qilib, bu funktsiya 
ba'zi tasodifiy o'zgaruvchilarning taqsimot funksiyasi X.
u kamayadi va doimiy emas. Funktsiya grafigi rasmda ko'rsatilgan. 8.5.
.
,
.
nuqtada 
,
.
.
tasodifiy o'zgaruvchining zarbalari X ma'lum bir davrda formula bo'yicha hisoblanadi
.
. Ushbu tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini toping.
,
.
.
, teng
8.6-misol. Tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik zichligi grafigi X shaklda ko'rsatilgan. 8.6 (Simpson qonuni). Bu tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi va taqsimot funksiyasi ifodasini yozing.
, Bu 
.
, Bu.
, Bu
, Bu
1.2.
p4=0,1; 0 da x≤-1,
(5-rasm)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤a uchun 0,
,
Oddiy egri chiziq x=m to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrik, x=a da maksimalga ega, ga teng.
,
(Rayleigh taqsimot qonuni - radiotexnikada qo'llaniladi). M(x) , D(x) ni toping.
Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasi tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum bir oraliqga tushish ehtimolini hisoblash uchun ishlatiladi:
P(a< X < β)=F(β) - F(α)
Bundan tashqari, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun uning chegaralari ushbu intervalga kiritilganmi yoki yo'qligi muhim emas:
P(a< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Tarqatish zichligi
uzluksiz tasodifiy miqdorga funksiya deyiladi
f(x)=F’(x) , taqsimot funksiyasining hosilasi.Tarqatish zichligi xossalari
1. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish zichligi x ning barcha qiymatlari uchun manfiy emas (f(x) ≥ 0).
2. Normalizatsiya sharti:
Normalizatsiya shartining geometrik ma'nosi: taqsimlanish zichligi egri chizig'i ostidagi maydon birlikka teng.
3. Tasodifiy X ning a dan b gacha bo'lgan oraliqga tushish ehtimolini formula yordamida hisoblash mumkin. 
Geometrik jihatdan uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X ning intervalga (a, b) tushish ehtimoli ushbu intervalga asoslangan taqsimot zichligi egri chizig'i ostidagi egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng.
4. Tarqatish funksiyasi zichlik bilan quyidagicha ifodalanadi:
X nuqtadagi taqsimot zichligi qiymati bu qiymatni qabul qilish ehtimoliga teng emas uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun biz faqat berilgan intervalga tushish ehtimoli haqida gapirishimiz mumkin; Mayli)
