Menimcha, biz differensial tenglamalar kabi ulug'vor matematik vositaning tarixidan boshlashimiz kerak. Barcha differentsial va integral hisoblar singari, bu tenglamalar 17-asr oxirida Nyuton tomonidan ixtiro qilingan. U o'zining ushbu maxsus kashfiyotini shu qadar muhim deb hisobladiki, u hatto xabarni shifrladi, uni bugungi kunda shunday tarjima qilish mumkin: "Tabiatning barcha qonunlari differensial tenglamalar bilan tasvirlangan". Bu mubolag'a bo'lib tuyulishi mumkin, ammo bu haqiqat. Har qanday fizika, kimyo, biologiya qonunlarini bu tenglamalar orqali tasvirlash mumkin.

Matematiklar Eyler va Lagranj differentsial tenglamalar nazariyasini ishlab chiqish va yaratishga ulkan hissa qo'shdilar. 18-asrda ular hozirda oliy o'quv yurtlarida o'qiyotganlarini kashf etdilar va rivojlantirdilar.

Anri Puankare tufayli differentsial tenglamalarni o'rganishda yangi bosqich boshlandi. U "differensial tenglamalarning sifat nazariyasini" yaratdi, u kompleks o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyasi bilan birgalikda topologiya - fazo va uning xususiyatlari haqidagi fanga katta hissa qo'shdi.

Differensial tenglamalar nima?

Ko'p odamlar bir iboradan qo'rqishadi, ammo bu maqolada biz ushbu juda foydali matematik apparatning mohiyatini batafsil bayon qilamiz, bu aslida nomidan ko'rinadigan darajada murakkab emas. Birinchi tartibli differensial tenglamalar haqida gapirishni boshlash uchun, avvalo, ushbu ta'rif bilan bog'liq bo'lgan asosiy tushunchalar bilan tanishishingiz kerak. Va biz differentsialdan boshlaymiz.

Differensial

Ko'pchilik bu tushunchani maktabdan beri bilishadi. Biroq, keling, buni batafsil ko'rib chiqaylik. Funksiya grafigini tasavvur qiling. Biz uni shu darajada oshirishimiz mumkinki, uning har qanday segmenti to'g'ri chiziq shaklini oladi. Keling, bir-biriga cheksiz yaqin bo'lgan ikkita nuqtani olaylik. Ularning koordinatalari (x yoki y) orasidagi farq cheksiz kichik bo'ladi. U differensial deb ataladi va dy (y ning differentsial) va dx (x ning differentsial) belgilari bilan belgilanadi. Differensial chekli miqdor emasligini tushunish juda muhim va bu uning ma'nosi va asosiy vazifasidir.

Endi biz keyingi elementni ko'rib chiqishimiz kerak, bu biz uchun differentsial tenglama tushunchasini tushuntirishda foydali bo'ladi. Bu hosiladir.

Hosil

Biz hammamiz bu tushunchani maktabda eshitganmiz. Hosila deb funktsiyaning ortishi yoki kamayish tezligi deyiladi. Biroq, bu ta'rifdan ko'p narsa noaniq bo'lib qoladi. Keling, hosilani differentsiallar orqali tushuntirishga harakat qilaylik. Ikki nuqta yoniq bo‘lgan funksiyaning cheksiz kichik segmentiga qaytaylik minimal masofa bir biridan. Ammo bu masofada ham funktsiya ma'lum miqdorda o'zgarishi mumkin. Va bu o'zgarishni tasvirlash uchun ular hosila bilan kelishdi, aks holda uni differentsiallar nisbati sifatida yozish mumkin: f(x)"=df/dx.

Endi lotinning asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqishga arziydi. Ulardan faqat uchtasi bor:

1. Yig'indi yoki farqning hosilasi hosilalarning yig'indisi yoki farqi sifatida ifodalanishi mumkin: (a+b)"=a"+b" va (a-b)"=a"-b".
2. Ikkinchi xususiyat ko'paytirish bilan bog'liq. Ko‘paytmaning hosilasi bir funktsiyaning hosilasi bilan boshqa funksiyaning hosilasi yig‘indisidir: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Farqning hosilasini quyidagi tenglik shaklida yozish mumkin: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Bu xususiyatlarning barchasi biz uchun birinchi tartibli differensial tenglamalar yechimini topishda foydali bo'ladi.

Qisman hosilalari ham bor. Aytaylik, bizda x va y o‘zgaruvchilarga bog‘liq bo‘lgan z funksiyasi bor. Bu funktsiyaning qisman hosilasini hisoblash uchun, aytaylik, x ga nisbatan, biz y o'zgaruvchini doimiy sifatida qabul qilishimiz va oddiygina farqlashimiz kerak.

Integral

Yana bir muhim tushuncha - bu integral. Aslida, bu lotinning to'liq teskarisidir. Bir necha turdagi integrallar mavjud, ammo eng oddiy differentsial tenglamalarni echish uchun bizga eng ahamiyatsizlari kerak.

Deylik, f ning x ga qandaydir bog'liqligi bor. Undan integralni olamiz va hosilasi asl funktsiyaga teng bo'lgan F(x) funksiyani olamiz (ko'pincha antiderivativ deb ataladi). Shunday qilib, F(x)"=f(x). Bundan ham hosilaning integrali asl funktsiyaga teng ekanligi kelib chiqadi.

Differensial tenglamalarni echishda integralning ma'nosi va funktsiyasini tushunish juda muhim, chunki yechimni topish uchun ularni tez-tez qabul qilish kerak bo'ladi.

Tenglamalar tabiatiga qarab farqlanadi. Keyingi bo‘limda biz birinchi tartibli differensial tenglamalar turlarini ko‘rib chiqamiz, so‘ngra ularni yechish usullarini o‘rganamiz.

Differensial tenglamalar sinflari

"Differlar" ularda ishtirok etgan hosilalarning tartibiga ko'ra bo'linadi. Shunday qilib, birinchi, ikkinchi, uchinchi va undan ko'p tartib mavjud. Ularni bir necha sinflarga ham ajratish mumkin: oddiy va qisman hosilalar.

Ushbu maqolada biz birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni ko'rib chiqamiz. Shuningdek, biz quyidagi bo'limlarda misollar va ularni hal qilish usullarini muhokama qilamiz. Biz faqat ODElarni ko'rib chiqamiz, chunki bu tenglamalarning eng keng tarqalgan turlari. Oddiy bo'lganlar kichik turlarga bo'linadi: ajratiladigan o'zgaruvchilar bilan, bir hil va heterojen. Keyinchalik, ular bir-biridan qanday farq qilishini bilib olasiz va ularni qanday hal qilishni o'rganasiz.

Bundan tashqari, bu tenglamalar birlashtirilishi mumkin, shunda biz birinchi tartibli differensial tenglamalar tizimiga ega bo'lamiz. Shuningdek, biz bunday tizimlarni ko'rib chiqamiz va ularni qanday hal qilishni o'rganamiz.

Nima uchun biz faqat birinchi tartibni ko'rib chiqamiz? Chunki siz oddiy narsadan boshlashingiz kerak va differentsial tenglamalar bilan bog'liq hamma narsani bitta maqolada tasvirlab berishning iloji yo'q.

Ajraladigan tenglamalar

Bular, ehtimol, eng oddiy birinchi tartibli differensial tenglamalardir. Bularga quyidagicha yozish mumkin bo'lgan misollar kiradi: y"=f(x)*f(y). Bu tenglamani yechish uchun hosilani differentsiallar nisbati sifatida ifodalash formulasi kerak: y"=dy/dx. Undan foydalanib, quyidagi tenglamani olamiz: dy/dx=f(x)*f(y). Endi biz yechim usuliga murojaat qilishimiz mumkin standart misollar: o'zgaruvchilarni qismlarga ajratamiz, ya'ni y o'zgaruvchisi bo'lgan hamma narsani dy joylashgan qismga o'tkazamiz va x o'zgaruvchisi bilan ham xuddi shunday qilamiz. dy/f(y)=f(x)dx ko’rinishdagi tenglamani olamiz, u har ikki tomonning integrallarini olish yo’li bilan yechiladi. Integralni olgandan keyin o'rnatilishi kerak bo'lgan doimiy haqida unutmang.

Har qanday "diffure" ning yechimi x ning y ga bog'liqligi funktsiyasidir (bizning holatlarimizda) yoki agar raqamli shart mavjud bo'lsa, u holda raqam ko'rinishidagi javob. Keling, aniq bir misol yordamida butun yechim jarayonini ko'rib chiqaylik:

O'zgaruvchilarni turli yo'nalishlarda harakatlantiramiz:

Endi integrallarni olaylik. Ularning barchasini integrallarning maxsus jadvalida topish mumkin. Va biz olamiz:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Agar kerak bo'lsa, biz "y" ni "x" funktsiyasi sifatida ifodalashimiz mumkin. Endi shart ko'rsatilmagan bo'lsa, differentsial tenglamamiz yechilgan deb aytishimiz mumkin. Shartni belgilash mumkin, masalan, y(n/2)=e. Keyin biz ushbu o'zgaruvchilarning qiymatlarini yechimga almashtiramiz va doimiy qiymatni topamiz. Bizning misolimizda bu 1.

Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalar

Endi qiyinroq qismga o'tamiz. Bir hil birinchi tartibli differensial tenglamalarni yozish mumkin umumiy ko'rinish shunday: y"=z(x,y). Shuni ta'kidlash kerak to'g'ri funktsiya ikkita o'zgaruvchi bo'yicha bir hil bo'lib, uni ikkita bog'liqlikka bo'lib bo'lmaydi: x ga z va y ga z. Tenglamaning bir jinsli yoki bir xil emasligini tekshirish juda oddiy: biz x=k*x va y=k*y almashtiramiz. Endi biz barcha k.larni kamaytiramiz. Agar bu harflarning barchasi qisqartirilsa, unda tenglama bir hil bo'ladi va siz uni xavfsiz tarzda echishni boshlashingiz mumkin. Oldinga qarab, aytaylik: bu misollarni echish printsipi ham juda oddiy.

Biz almashtirishni amalga oshirishimiz kerak: y=t(x)*x, bu erda t - x ga ham bog'liq bo'lgan ma'lum funktsiya. Keyin hosilani ifodalashimiz mumkin: y"=t"(x)*x+t. Bularning barchasini o'zimizga almashtirish asl tenglama va uni soddalashtirib, biz t va x ajratiladigan o'zgaruvchilar bilan misol olamiz. Biz uni hal qilamiz va t(x) bog'liqligini olamiz. Biz uni olganimizda, biz shunchaki y = t (x) * x ni oldingi almashtirishimizga almashtiramiz. Keyin y ning x ga bog'liqligini olamiz.

Buni aniqroq qilish uchun misolni ko'rib chiqamiz: x*y"=y-x*e y/x .

O'zgartirish bilan tekshirishda hamma narsa kamayadi. Bu tenglama haqiqatan ham bir hil ekanligini anglatadi. Endi biz gaplashgan boshqa almashtirishni amalga oshiramiz: y=t(x)*x va y"=t"(x)*x+t(x). Soddalashtirgandan so'ng quyidagi tenglamani olamiz: t"(x)*x=-e t. Olingan misolni ajratilgan o'zgaruvchilar bilan yechamiz va olamiz: e -t =ln(C*x). Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - almashtirish. t y/x bilan (axir, agar y =t*x bo'lsa, u holda t=y/x) va biz javobni olamiz: e -y/x =ln(x*C).

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar

Yana bir keng mavzuni ko'rib chiqish vaqti keldi. Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalarni tahlil qilamiz. Ular oldingi ikkitasidan qanday farq qiladi? Keling, buni aniqlaylik. Umumiy shakldagi birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni quyidagicha yozish mumkin: y" + g(x)*y=z(x). z(x) va g(x) doimiy kattaliklar bo'lishi mumkinligini aniqlab olish maqsadga muvofiqdir.

Va endi misol: y" - y*x=x 2 .

Ikkita yechim bor va biz ikkalasini ham tartibda ko'rib chiqamiz. Birinchisi, ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli.

Tenglamani shu tarzda yechish uchun avvalo tenglashtirish kerak o'ng tomon nolga keltiring va hosil bo'lgan tenglamani yeching, bu qismlarni o'tkazgandan so'ng quyidagi shaklni oladi:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Endi C 1 doimiysini v(x) funksiya bilan almashtirishimiz kerak, uni topishimiz kerak.

Keling, hosilani almashtiramiz:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Va bu ifodalarni asl tenglamaga almashtiring:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2.

Chap tomonda ikkita shart bekor qilinganini ko'rishingiz mumkin. Agar biron bir misolda bu sodir bo'lmagan bo'lsa, unda siz noto'g'ri ish qildingiz. Davom etaylik:

v"*e x2/2 = x 2.

Endi biz o'zgaruvchilarni ajratishimiz kerak bo'lgan odatiy tenglamani echamiz:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Integralni olish uchun biz bu erda qismlar bo'yicha integratsiyani qo'llashimiz kerak. Biroq, bu bizning maqolamizning mavzusi emas. Agar siz qiziqsangiz, bunday harakatlarni o'zingiz qanday qilishni o'rganishingiz mumkin. Bu qiyin emas va etarli mahorat va ehtiyotkorlik bilan ko'p vaqt talab qilmaydi.

Keling, bir jinsli bo'lmagan tenglamalarni yechishning ikkinchi usuliga murojaat qilaylik: Bernulli usuli. Qaysi yondashuv tezroq va osonroq bo'lsa, o'zingiz qaror qilasiz.

Demak, bu usul yordamida tenglamani yechishda almashtirishni amalga oshirishimiz kerak: y=k*n. Bu erda k va n ba'zi x ga bog'liq funktsiyalardir. Keyin hosila quyidagicha ko'rinadi: y"=k"*n+k*n". Tenglamaga ikkala almashtirishni almashtiramiz:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Guruhlash:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Endi biz qavs ichidagi narsani nolga tenglashtirishimiz kerak. Endi, agar ikkita natijaviy tenglamani birlashtirsak, biz echilishi kerak bo'lgan birinchi tartibli differentsial tenglamalar tizimini olamiz:

Birinchi tenglikni oddiy tenglama sifatida yechamiz. Buning uchun siz o'zgaruvchilarni ajratishingiz kerak:

Biz integralni olamiz va olamiz: ln(n)=x 2 /2. Agar n ni ifodalasak:

Endi biz hosil bo'lgan tenglikni tizimning ikkinchi tenglamasiga almashtiramiz:

k"*e x2/2 =x 2 .

Va o'zgartirib, biz birinchi usuldagi kabi tenglikni olamiz:

dk=x 2 /e x2/2 .

Biz ham demontaj qilmaymiz keyingi harakatlar. Aytish joizki, birinchi tartibli differensial tenglamalarni yechishda dastlab katta qiyinchiliklar yuzaga keladi. Biroq, mavzuni chuqurroq o'rgansangiz, u yaxshiroq va yaxshiroq ishlay boshlaydi.

Differensial tenglamalar qayerda ishlatiladi?

Differensial tenglamalar fizikada juda faol qo'llaniladi, chunki deyarli barcha asosiy qonunlar yozilgan differensial shakl, va biz ko'rib turgan formulalar bu tenglamalarning yechimidir. Kimyoda ular xuddi shu sababga ko'ra qo'llaniladi: asosiy qonunlar ularning yordami bilan chiqariladi. Biologiyada differensial tenglamalar yirtqich va o'lja kabi tizimlarning xatti-harakatlarini modellashtirish uchun ishlatiladi. Ular, masalan, mikroorganizmlar koloniyasining ko'payish modellarini yaratish uchun ham ishlatilishi mumkin.

Differensial tenglamalar hayotda qanday yordam berishi mumkin?

Bu savolga javob oddiy: umuman emas. Agar siz olim yoki muhandis bo'lmasangiz, unda ular sizga foydali bo'lishi dargumon. Biroq uchun umumiy rivojlanish Differensial tenglama nima ekanligini va u qanday yechilishini bilish zarar qilmaydi. Va keyin o'g'il yoki qizning savoli "differensial tenglama nima?" sizni chalg'itmaydi. Xo'sh, agar siz olim yoki muhandis bo'lsangiz, unda har qanday fanda ushbu mavzuning ahamiyatini o'zingiz tushunasiz. Ammo eng muhimi shundaki, endi "birinchi tartibli differensial tenglamani qanday yechish kerak?" har doim javob berishingiz mumkin. Qabul qiling, odamlar hatto tushunishdan qo'rqadigan narsani tushunsangiz, har doim yoqimli.

O'qishdagi asosiy muammolar

Ushbu mavzuni tushunishdagi asosiy muammo - bu funktsiyalarni integratsiyalash va farqlashda zaif mahorat. Agar siz hosila va integrallarni qabul qilishda yomon bo'lsangiz, unda o'rganish va o'zlashtirishga arziydi. turli usullar integratsiya va farqlash, va shundan keyingina maqolada tasvirlangan materialni o'rganishni boshlaydi.

Ba'zi odamlar dx ni o'tkazish mumkinligini bilib hayron qolishadi, chunki ilgari (maktabda) dy/dx kasr bo'linmas ekani aytilgan edi. Bu erda lotin haqidagi adabiyotlarni o'qib chiqishingiz va bu tenglamalarni echishda manipulyatsiya qilinishi mumkin bo'lgan cheksiz kichik miqdorlarning nisbati ekanligini tushunishingiz kerak.

Ko'pchilik birinchi tartibli differensial tenglamalarni yechish ko'pincha qabul qilib bo'lmaydigan funksiya yoki integral ekanligini darhol anglamaydi va bu noto'g'ri tushuncha ularga juda ko'p muammolarni keltirib chiqaradi.

Yaxshiroq tushunish uchun yana nimani o'rganishingiz mumkin?

Differensial hisoblash dunyosiga yanada chuqurroq kirishni maxsus darsliklar bilan boshlash yaxshidir, masalan, matematik tahlil matematik bo'lmagan mutaxassisliklar talabalari uchun. Keyin ko'proq maxsus adabiyotga o'tishingiz mumkin.

Aytish joizki, differentsial tenglamalarga qo'shimcha ravishda, integral tenglamalar ham mavjud, shuning uchun sizda doimo intiladigan narsa va o'rganish kerak bo'lgan narsa bo'ladi.

Xulosa

Umid qilamizki, ushbu maqolani o'qib chiqqandan so'ng, siz differensial tenglamalar nima ekanligini va ularni qanday qilib to'g'ri echish haqida tasavvurga ega bo'lasiz.

Har holda, matematika hayotda bizga qandaydir tarzda foydali bo'ladi. Bu mantiq va e'tiborni rivojlantiradi, ularsiz har bir inson qo'lsiz.

Ma'ruza matnlari

differensial tenglamalar

Differensial tenglamalar

Kirish

Muayyan hodisalarni o'rganishda ko'pincha jarayonni y=f(x) yoki F(x;y)=0 tenglamalari yordamida tasvirlab bo'lmaydigan vaziyat yuzaga keladi. Tenglamaga x o'zgaruvchisi va noma'lum funksiyadan tashqari bu funksiyaning hosilasi ham kiradi.

Ta'rifi: x o'zgaruvchisi, noma'lum y(x) funksiya va uning hosilalarini bog'lovchi tenglama deyiladi. differensial tenglama. Umuman olganda, differentsial tenglama quyidagicha ko'rinadi:

F(x;y(x); ;;...;y (n))=0

Ta'rifi: Differensial tenglamaning tartibi unga kiritilgan eng yuqori hosilaning tartibidir.

-1-tartibli differensial tenglama

-3-tartibli differensial tenglama

Ta'rifi: Differensial tenglamaning yechimi tenglamaga almashtirilganda uni o'ziga xoslikka aylantiradigan funksiyadir.

Differensial tenglamalar 1-buyurtma

Ta'rifi: Shakl tenglamasi =f(x;y) yoki F(x;y); )=01-tartibli differensial tenglama deyiladi.

Ta'rifi: 1-tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi y=g(x;c) funksiyadir, bu yerda (c –const) tenglamaga almashtirilganda uni bir xillikka aylantiradi. Geometrik jihatdan, tekislikda umumiy yechim c parametriga qarab integral egri chiziqlar oilasiga mos keladi.

Ta'rifi: Koordinatalari (x 0 ;y 0) bo‘lgan tekislikdagi nuqtadan o‘tuvchi integral egri chiziq differensial tenglamaning boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi muayyan yechimiga mos keladi:

1-tartibli differensial tenglama yechimining yagonaligi mavjudligi haqidagi teorema

1-tartibli differentsial tenglama berilgan
va f(x;y) funksiya XOY tekisligining ba'zi D hududida, so'ngra M 0 (x 0 ;y 0) nuqtasi orqali qisman hosilalari bilan birga uzluksizdir. D y(x 0)=y 0 boshlang‘ich shartiga mos keladigan differensial tenglamaning muayyan yechimiga mos keladigan yagona egri chiziqdan o‘tadi.

Bitta integral egri chiziq koordinatalari berilgan tekislikdagi nuqtadan o'tadi.

Agar ololmasang umumiy qaror aniq shaklda 1-tartibli differentsial tenglama, ya'ni.
, keyin uni bilvosita olish mumkin:

F(x; y; c) =0 – yashirin shakl

Ushbu shakldagi umumiy yechim deyiladi umumiy integral differensial tenglama.

1-tartibli differentsial tenglamaga nisbatan 2 ta masala qo'yiladi:

1) Umumiy yechimni toping (umumiy integral)

2) Berilgan boshlang‘ich shartni qanoatlantiradigan muayyan yechimni (qisman integral) toping. Bu masala differentsial tenglama uchun Koshi muammosi deb ataladi.

Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan differensial tenglamalar

Shakl tenglamalari:
ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega bo'lgan differentsial tenglama deyiladi.

Keling, almashtiramiz

dx ga ko'paytiring

o'zgaruvchilarni ajratamiz

ga bo'linadi

Eslatma: qachon maxsus holatni ko'rib chiqish kerak

o'zgaruvchilar ajratiladi

tenglamaning ikkala tomonini integrallaylik

- umumiy qaror

Ajraladigan o'zgaruvchilarga ega bo'lgan differentsial tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

Izolyatsiya qilingan holat
!

Tenglamaning ikkala tomonini integrallashtiramiz:

1)

2)
boshlanishi shartlar:

1-tartibli bir jinsli differensial tenglamalar

Ta'rifi: Funktsiya
n tartibli bir jinsli deyiladi if

Misol: - ordern=2 ning bir jinsli funksiyasi

Ta'rifi: 0 tartibli bir jinsli funksiya deyiladi bir hil.

Ta'rifi: Differensial tenglama
agar bir jinsli deb ataladi
- bir hil funktsiya, ya'ni.

Shunday qilib, bir jinsli differentsial tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

O'zgartirishdan foydalanish , bu yerda t x o‘zgaruvchining funksiyasi bo‘lsa, bir jinsli differentsial tenglama ajratiladigan o‘zgaruvchilarga ega tenglamaga keltiriladi.

- tenglamaga almashtiring

O'zgaruvchilar ajratilgan, keling, tenglamaning ikkala tomonini integrallaylik

Almashtirish orqali teskari almashtirishni amalga oshiramiz , biz yashirin shaklda umumiy yechimni olamiz.

Bir jinsli differensial tenglamani differentsial shaklda yozish mumkin.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, bu yerda M(x;y) va N(x;y) bir xil tartibdagi bir jinsli funksiyalardir.

dx ga bo'ling va ifodalang

1)

a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) ko'rinishdagi birinchi tartibli tenglama chiziqli differensial tenglama deyiladi. Agar b(x) ≡ 0 bo'lsa, tenglama bir jinsli deyiladi, aks holda - heterojen. Chiziqli differentsial tenglama uchun mavjudlik va yagonalik teoremasi aniqroq shaklga ega.

Xizmat maqsadi. Yechimni tekshirish uchun onlayn kalkulyatordan foydalanish mumkin bir jinsli va bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar y"+y=b(x) ko'rinishdagi.

=

y=u*v o‘zgaruvchini almashtirishdan foydalaning
Ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usulidan foydalaning
y uchun maxsus yechim toping( ) = .

Yechimni olish uchun asl ifodani quyidagi shaklga keltirish kerak: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x). Masalan, y"-exp(x)=2*y uchun u y"-2 *y=exp(x) bo'ladi.

Teorema. a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) [a,b] oraliqda uzluksiz, ∀x∈[a,b] uchun a 1 ≠0 boʻlsin. U holda har qanday (x 0 , y 0), x 0 ∈[a,b] nuqta uchun y(x 0) = y 0 shartni qanoatlantiradigan va butun [a oraliqda aniqlangan tenglamaning yagona yechimi mavjud. ,b].
a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 bir jinsli chiziqli differentsial tenglamani ko'rib chiqaylik.
O'zgaruvchilarni ajratib, biz yoki ikkala tomonni birlashtirib olamiz, Exp(x) = e x yozuvini hisobga olgan holda oxirgi munosabat shaklda yoziladi

Keling, ko'rsatilgan ko'rinishdagi tenglamaning yechimini topishga harakat qilaylik, unda S doimiysi o'rniga C(x) funksiyasi almashtiriladi, ya'ni ko'rinishda.

Kerakli o'zgarishlardan so'ng biz ushbu yechimni asl nusxasiga almashtiramiz Ikkinchisini birlashtirib, biz bor

bu erda C 1 qandaydir yangi doimiydir. Olingan ifodani C(x) ga almashtirib, nihoyat, dastlabki chiziqli tenglamaning yechimini olamiz
.

Misol. y" + 2y = 4x tenglamasini yeching. Tegishli y" + 2y = 0 bir jinsli tenglamani ko'rib chiqing. Uni yechib, y = Ce -2 x ni olamiz. Endi biz y = C(x)e -2 x ko'rinishdagi dastlabki tenglamaning yechimini qidiramiz. y va y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x ni dastlabki tenglamaga almashtirsak, bizda C"(x) = 4xe 2 x bo'ladi, bundan C(x) = 2xe 2 x bo'ladi. - e 2 x + C 1 va y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x In dastlabki tenglamaning umumiy yechimi bu yechim, y 1 (. x) = 2x-1 - jismning kuch ta'sirida harakati b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - jismning to'g'ri harakati.

Misol № 2. y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Bu bir hil tenglama emas. O'zgaruvchilarni o'zgartiramiz: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x yoki u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Yechim ikki bosqichdan iborat:
1. u(3v tan(3x)+v") = 0
2. u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. u=0 tenglang, 3v tan(3x)+v" = 0 uchun yechim toping.
Keling, uni quyidagi ko'rinishda taqdim etamiz: v" = -3v tg(3x)

Integratsiyalash natijasida biz quyidagilarni olamiz:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. v bilib, u shartdan toping: u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/sin 2 2x
Integratsiyalash natijasida biz quyidagilarni olamiz:
y=u v shartidan quyidagini olamiz:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) yoki y = C cos(3x)-cos(2x) karyola(3x)

Ta'lim muassasasi "Belarus davlati

qishloq xo'jaligi akademiyasi"

Oliy matematika kafedrasi

BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR

Buxgalteriya talabalari uchun ma'ruza matnlari

sirtqi ta'lim shakli (NISPO)

Gorkiy, 2013 yil

Birinchi tartibli differensial tenglamalar

Differensial tenglama haqida tushuncha. Umumiy va maxsus echimlar

Turli hodisalarni o'rganishda ko'pincha mustaqil o'zgaruvchi va kerakli funktsiyani bevosita bog'laydigan qonunni topish mumkin emas, lekin kerakli funktsiya va uning hosilalari o'rtasida bog'lanishni o'rnatish mumkin.

Mustaqil o'zgaruvchini, kerakli funktsiyani va uning hosilalarini bog'laydigan munosabat deyiladi differensial tenglama :

Bu yerga x- mustaqil o'zgaruvchi; y- kerakli funktsiya;
- kerakli funksiyaning hosilalari. Bunday holda (1) munosabat kamida bitta hosilaga ega bo'lishi kerak.

Differensial tenglamaning tartibi tenglamaga kiritilgan eng yuqori hosilaning tartibi deyiladi.

Differensial tenglamani ko'rib chiqing

. (2)

Ushbu tenglama faqat birinchi tartibli hosilani o'z ichiga olganligi sababli, u deyiladi birinchi tartibli differentsial tenglamadir.

Agar (2) tenglamani hosilaga nisbatan yechish va ko'rinishda yozish mumkin bo'lsa

, (3)

u holda bunday tenglama normal shakldagi birinchi tartibli differensial tenglama deyiladi.

Ko'p hollarda shaklning tenglamasini ko'rib chiqish tavsiya etiladi

qaysi deyiladi differensial shaklda yozilgan birinchi tartibli differensial tenglama.

Chunki
, u holda (3) tenglamani shaklda yozish mumkin
yoki
, qaerda hisoblashimiz mumkin
Va
. Bu (3) tenglama (4) tenglamaga aylantirilganligini bildiradi.

(4) tenglamani shaklda yozamiz
. Keyin
,
,
, qaerda hisoblashimiz mumkin
, ya'ni. (3) ko’rinishdagi tenglama olinadi. Shunday qilib, (3) va (4) tenglamalar ekvivalentdir.

Differensial tenglamani yechish (2) yoki (3) har qanday funksiya deyiladi
, bu (2) yoki (3) tenglamaga almashtirilganda uni o'ziga xoslikka aylantiradi:

yoki
.

Differensial tenglamaning barcha yechimlarini topish jarayoni uning deyiladi integratsiya , va yechim grafigi
differensial tenglama deyiladi integral egri chiziq bu tenglama.

Agar differensial tenglamaning yechimi yashirin shaklda olingan bo'lsa
, keyin chaqiriladi integral bu differentsial tenglamaning.

Umumiy yechim birinchi tartibli differensial tenglamaning funksiyalar turkumi
, ixtiyoriy doimiyga bog'liq BILAN, ularning har biri ixtiyoriy doimiyning har qanday ruxsat etilgan qiymati uchun berilgan differentsial tenglamaning yechimidir BILAN. Shunday qilib, differentsial tenglama cheksiz ko'p echimlarga ega.

Shaxsiy qaror differensial tenglama - ixtiyoriy doimiyning o'ziga xos qiymati uchun umumiy yechim formulasidan olingan yechim BILAN, shu jumladan
.

Koshi muammosi va uning geometrik talqini

(2) tenglama cheksiz ko'p yechimga ega. Shaxsiy deb ataladigan ushbu to'plamdan bitta yechimni tanlash uchun siz ba'zi qo'shimcha shartlarni o'rnatishingiz kerak.

Berilgan sharoitda (2) tenglamaning muayyan yechimini topish masalasi deyiladi Cauchy muammosi . Bu muammo differensial tenglamalar nazariyasidagi eng muhim masalalardan biridir.

Koshi muammosi quyidagicha tuzilgan: (2) tenglamaning barcha yechimlari orasidan shunday yechim toping
, unda funksiya mavjud
berilgan raqamli qiymatni oladi , agar mustaqil o'zgaruvchi bo'lsa x berilgan raqamli qiymatni oladi , ya'ni.

,
, (5)

Qayerda D– funksiyani aniqlash sohasi
.

Ma'nosi chaqirdi funktsiyaning boshlang'ich qiymati , A – mustaqil o'zgaruvchining boshlang'ich qiymati . (5) shart chaqiriladi boshlang'ich holati yoki Koshi holati .

Geometrik nuqtai nazardan (2) differensial tenglama uchun Koshi masalasini quyidagicha shakllantirish mumkin: (2) tenglamaning integral egri chiziqlari to‘plamidan berilgan nuqtadan o‘tuvchini tanlang
.

Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan differensial tenglamalar

Differensial tenglamalarning eng oddiy turlaridan biri bu birinchi tartibli differensial tenglama bo'lib, unda kerakli funksiya mavjud emas:

. (6)

Shuni hisobga olib
, tenglamani shaklda yozamiz
yoki
. Oxirgi tenglamaning ikkala tomonini birlashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
yoki

. (7)

Shunday qilib, (7) - (6) tenglamaning umumiy yechimi.

1-misol . Differensial tenglamaning umumiy yechimini toping
.

Yechim . Tenglamani shaklda yozamiz
yoki
. Olingan tenglamaning ikkala tomonini integrallaymiz:
,
. Biz nihoyat yozamiz
.

2-misol . Tenglamaning yechimini toping
shartiga ko'ra
.

Yechim . Keling, tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
,
,
,
. Shart bo'yicha
,
. Keling, umumiy yechimni almashtiramiz:
yoki
. Umumiy yechim formulasiga ixtiyoriy doimiyning topilgan qiymatini almashtiramiz:
. Bu berilgan shartni qanoatlantiradigan differensial tenglamaning alohida yechimidir.

Tenglama

(8)

Chaqirildi mustaqil o'zgaruvchiga ega bo'lmagan birinchi tartibli differentsial tenglama . Keling, uni shaklda yozamiz
yoki
. Oxirgi tenglamaning ikkala tomonini integrallaylik:
yoki
- (8) tenglamaning umumiy yechimi.

Misol . Tenglamaning umumiy yechimini toping
.

Yechim . Ushbu tenglamani quyidagi ko'rinishda yozamiz:
yoki
. Keyin
,
,
,
. Shunday qilib,
bu tenglamaning umumiy yechimidir.

Shakl tenglamasi

(9)

o'zgaruvchilarni ajratish yordamida birlashtiradi. Buning uchun tenglamani shaklda yozamiz
, va keyin ko'paytirish va bo'lish amallaridan foydalanib, biz uni shunday shaklga keltiramizki, bir qism faqat funktsiyani o'z ichiga oladi. X va differentsial dx, va ikkinchi qismda - funktsiyasi da va differentsial dy. Buning uchun tenglamaning ikkala tomonini ko'paytirish kerak dx va bo'linadi
. Natijada biz tenglamani olamiz

, (10)

unda o'zgaruvchilar X Va da ajratilgan. (10) tenglamaning ikkala tomonini integrallaymiz:
. Olingan munosabat (9) tenglamaning umumiy integralidir.

3-misol . Tenglamani integrallash
.

Yechim . Keling, tenglamani o'zgartiramiz va o'zgaruvchilarni ajratamiz:
,
. Keling, integratsiya qilaylik:
,
yoki bu tenglamaning bosh integrali.
.

Tenglama shaklda berilgan bo'lsin

Bu tenglama deyiladi ajratiladigan o'zgaruvchilar bilan birinchi tartibli differentsial tenglama nosimmetrik shaklda.

O'zgaruvchilarni ajratish uchun tenglamaning ikkala tomonini bo'lish kerak
:

. (12)

Olingan tenglama deyiladi ajratilgan differentsial tenglama . (12) tenglamani integrallaymiz:

.(13)

(13) munosabat differensial tenglamaning (11) bosh integralidir.

4-misol . Differensial tenglamani integrallash.

Yechim . Tenglamani shaklda yozamiz

va ikkala qismni ga bo'ling
,
. Olingan tenglama:
ajratilgan o'zgaruvchan tenglamadir. Keling, uni birlashtiramiz:

,
,

,
. Oxirgi tenglik bu differentsial tenglamaning umumiy integralidir.

5-misol . Differensial tenglamaning maxsus yechimini toping
, shartni qondirish
.

Yechim . Shuni hisobga olib
, tenglamani shaklda yozamiz
yoki
. Keling, o'zgaruvchilarni ajratamiz:
. Keling, bu tenglamani integrallaymiz:
,
,
. Olingan munosabat bu tenglamaning umumiy integralidir. Shart bo'yicha
. Uni umumiy integralga almashtiramiz va topamiz BILAN:
,BILAN=1. Keyin ifoda
berilgan differensial tenglamaning qisman yechimi bo‘lib, qisman integral sifatida yoziladi.

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar

Tenglama

(14)

chaqirdi birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama . Noma'lum funksiya
va uning hosilasi bu tenglamaga chiziqli ravishda kiradi va funktsiyalar
Va
davomiy.

Agar
, keyin tenglama

(15)

chaqirdi chiziqli bir hil . Agar
, keyin (14) tenglama chaqiriladi chiziqli bir hil bo'lmagan .

(14) tenglamaning yechimini topish uchun odatda foydalaniladi almashtirish usuli (Bernulli) , uning mohiyati quyidagicha.

(14) tenglamaning yechimini ikkita funktsiyaning ko'paytmasi ko'rinishida qidiramiz

, (16)

Qayerda
Va
- biroz uzluksiz funktsiyalar. Keling, almashtiramiz
va hosila
(14) tenglamaga:

Funktsiya v shart qanoatlantiriladigan tarzda tanlaymiz
. Keyin
. Shunday qilib, (14) tenglamaning yechimini topish uchun differensial tenglamalar tizimini yechish kerak

Tizimning birinchi tenglamasi chiziqli bir hil tenglama bo'lib, o'zgaruvchilarni ajratish usuli bilan echilishi mumkin:
,
,
,
,
. Funktsiya sifatida
bir hil tenglamaning qisman yechimlaridan birini olishingiz mumkin, ya'ni. da BILAN=1:
. Tizimning ikkinchi tenglamasiga almashtiramiz:
yoki
.Keyin
. Shunday qilib, birinchi tartibli chiziqli differentsial tenglamaning umumiy yechimi ko'rinishga ega
.

6-misol . Tenglamani yeching
.

Yechim . Tenglamaning yechimini shaklda izlaymiz
. Keyin
. Keling, tenglamaga almashtiramiz:

yoki
. Funktsiya v tenglik saqlanib qoladigan tarzda tanlang
. Keyin
. O‘zgaruvchilarni ajratish usuli yordamida ushbu tenglamalarning birinchisini yechamiz:
,
,
,
,. Funktsiya v Ikkinchi tenglamani almashtiramiz:
,
,
,
. Bu tenglamaning umumiy yechimi
.

Bilimlarni o'z-o'zini nazorat qilish uchun savollar

Differensial tenglama nima?

Differensial tenglamaning tartibi qanday?

Qaysi differensial tenglama birinchi tartibli differensial tenglama deyiladi?

Birinchi tartibli differensial tenglama differensial shaklda qanday yoziladi?

Differensial tenglamaning yechimi qanday?

Integral egri chiziq nima?

Birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi nima?

Differensial tenglamaning qisman yechimi nima deyiladi?

Birinchi tartibli differensial tenglama uchun Koshi masalasi qanday tuzilgan?

Koshi masalasining geometrik talqini qanday?

Simmetrik shaklda ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega differentsial tenglama qanday yoziladi?

Qaysi tenglama birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama deyiladi?

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani qanday usul bilan yechish mumkin va bu usulning mohiyati nimada?

Mustaqil ish uchun topshiriqlar

Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan differentsial tenglamalarni yeching:

A)
; b)
;

V)
; G)
.

2. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni yeching:

A)
; b)
; V)
;

G)
; d)
.

Birinchi tartibli differensial tenglamalar. Yechimlarga misollar.
Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan differensial tenglamalar

Differensial tenglamalar (DE). Bu ikki so'z odatda oddiy odamni dahshatga soladi. Differensial tenglamalar ko'plab talabalar uchun taqiqlovchi va o'zlashtirish qiyin bo'lgan narsadir. Uuuuuu... differensial tenglamalar, bularning bariga qanday omon qolaman?!

Bu fikr va bu munosabat tubdan noto'g'ri, chunki aslida DIFFERENTIAL TENGLAMALAR - BU ODDIY VA HATTO QIZIQARLI. Differensial tenglamalarni yechishni o'rganish uchun nimani bilishingiz va nima qila olishingiz kerak? Diffuzlarni muvaffaqiyatli o'rganish uchun siz integratsiya va farqlashni yaxshi bilishingiz kerak. Mavzular qanchalik yaxshi o'rganilsa Bitta o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi Va Noaniq integral, differensial tenglamalarni tushunish osonroq bo'ladi. Ko'proq aytaman, agar sizda ko'proq yoki kamroq munosib integratsiya qobiliyatlari bo'lsa, unda mavzu deyarli o'zlashtirildi! Qanchalik ko'p integrallar har xil turlari Siz qanday qaror qabul qilishni bilasiz - shuncha yaxshi. Nega? Siz juda ko'p integratsiya qilishingiz kerak bo'ladi. Va farqlang. Shuningdek juda tavsiya eting topishni o'rganing.

95% hollarda testlar Birinchi tartibli differentsial tenglamalarning 3 turi mavjud: ajratiladigan tenglamalar biz ushbu darsda ko'rib chiqamiz; bir jinsli tenglamalar Va chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalar. Diffuzerlarni o'rganishni boshlaganlar uchun men sizga darslarni aynan shu tartibda o'qishni maslahat beraman va dastlabki ikkita maqolani o'qib chiqqandan so'ng, qo'shimcha seminarda o'z mahoratingizni mustahkamlash zarar qilmaydi - tenglamalar bir jinsli holga keltiriladi.

Differensial tenglamalarning bundan ham kam uchraydigan turlari mavjud: umumiy differentsial tenglamalar, Bernulli tenglamalari va boshqalar. Oxirgi ikki turdan eng muhimi tenglamalardir to'liq farqlar, chunki bu masofadan boshqarish pultidan tashqari men ko'rib chiqyapman yangi material – qisman integratsiya.

Agar sizda bir yoki ikki kun qolsa, Bu juda tez tayyorlash uchun Mavjud blits kursi pdf formatida.

Shunday qilib, diqqatga sazovor joylar o'rnatildi - keling:

Birinchidan, odatiy algebraik tenglamalarni eslaylik. Ular o'zgaruvchilar va raqamlarni o'z ichiga oladi. Eng oddiy misol: . Oddiy tenglamani yechish nimani anglatadi? Bu topishni anglatadi raqamlar to'plami, bu tenglamani qanoatlantiradi. Bolalar tenglamasi bitta ildizga ega ekanligini payqash oson: . O'yin-kulgi uchun keling, topilgan ildizni tenglamamizga almashtiramiz:

– to‘g‘ri tenglik olinadi, bu yechim to‘g‘ri topilganligini bildiradi.

Diffuzerlar xuddi shunday tarzda yaratilgan!

Differensial tenglama birinchi buyurtma V umumiy holat o'z ichiga oladi:
1) mustaqil o'zgaruvchi;
2) bog‘liq o‘zgaruvchi (funksiya);
3) funksiyaning birinchi hosilasi: .

Ba'zi 1-tartibli tenglamalarda "x" va/yoki "y" bo'lmasligi mumkin, ammo bu muhim emas - muhim nazorat xonasiga borish uchun edi birinchi hosila, va yo'q edi yuqori darajadagi hosilalar - va boshqalar.

Nimani anglatadi ? Differensial tenglamani yechish topish demakdir barcha funktsiyalar to'plami, bu tenglamani qanoatlantiradi. Bunday funktsiyalar to'plami ko'pincha chaqirilgan shaklga ega (- ixtiyoriy doimiy). differensial tenglamaning umumiy yechimi.

1-misol

Differensial tenglamani yeching

To'liq o'q-dorilar. Qayerdan boshlash kerak yechim?

Avvalo, lotinni biroz boshqacha shaklda qayta yozishingiz kerak. Ko'pchiligingiz bema'ni va keraksiz bo'lib tuyulgan mashaqqatli belgini eslaymiz. Diffuzerlarda shunday qoidalar mavjud!

Ikkinchi bosqichda, keling, bu mumkinmi yoki yo'qligini ko'rib chiqaylik alohida o'zgaruvchilar? O'zgaruvchilarni ajratish nimani anglatadi? Taxminan aytganda, chap tomonda ketishimiz kerak faqat "yunonlar", A o'ng tomonda tashkil qilish faqat "X". O'zgaruvchilarni bo'lish "maktab" manipulyatsiyasi yordamida amalga oshiriladi: ularni qavsdan chiqarish, belgini o'zgartirish bilan atamalarni qismdan qismga o'tkazish, nisbat qoidasiga ko'ra omillarni qismdan qismga o'tkazish va hk.

Differensiallar va to'liq ko'paytiruvchilar va jangovar harakatlarda faol ishtirokchilar. Ko'rib chiqilayotgan misolda o'zgaruvchilar mutanosiblik qoidasiga ko'ra omillarni siljitish orqali osongina ajratiladi:

O'zgaruvchilar ajratilgan. Chap tomonda faqat "Y" bor, o'ng tomonda - faqat "X".

Keyingi bosqich - differensial tenglamaning integrasiyasi. Hammasi oddiy, biz ikkala tomonga integral qo'yamiz:

Albatta, biz integrallarni olishimiz kerak. IN Ushbu holatda ular jadval shaklida:

Esda tutganimizdek, konstanta har qanday antiderivativga beriladi. Bu yerda ikkita integral bor, lekin doimiyni bir marta yozish kifoya (chunki doimiy + doimiy boshqa doimiyga teng). Ko'p hollarda u o'ng tomonga joylashtiriladi.

To'g'ri aytganda, integrallar olingandan so'ng, differensial tenglama echilgan deb hisoblanadi. Bitta narsa shundaki, bizning "y" "x" orqali ifodalanmaydi, ya'ni yechim taqdim etiladi yashirin tarzda shakl. Yashirin shakldagi differentsial tenglamaning yechimi deyiladi differensial tenglamaning bosh integrali. Ya'ni, bu umumiy integraldir.

Ushbu shakldagi javob juda maqbul, ammo yaxshiroq variant bormi? Keling, olishga harakat qilaylik umumiy qaror.

Iltimos, birinchi texnikani eslang, u juda keng tarqalgan va tez-tez ishlatiladi amaliy vazifalar: agar integratsiyadan keyin o‘ng tomonda logarifm paydo bo‘lsa, u holda ko‘p hollarda (lekin har doim ham emas!) doimiyni logarifm ostida yozish ham maqsadga muvofiqdir..

Ya'ni, O'RNIGA yozuvlar odatda yoziladi .

Bu nima uchun kerak? Va "o'yin" ni ifodalashni osonlashtirish uchun. Logarifmlar xossasidan foydalanish . Ushbu holatda:

Endi logarifmlar va modullarni olib tashlash mumkin:

Funktsiya aniq ko'rsatilgan. Bu umumiy yechim.

Javob: umumiy qaror: .

Ko'pgina differentsial tenglamalarning javoblarini tekshirish juda oson. Bizning holatda, bu juda sodda tarzda amalga oshiriladi, biz topilgan yechimni olamiz va uni farqlaymiz:

Keyin hosilani asl tenglamaga almashtiramiz:

- to'g'ri tenglik olinadi, ya'ni umumiy yechim tenglamani qanoatlantiradi, bu esa tekshirilishi kerak bo'lgan narsadir.

Doimiy turli qiymatlarni berish orqali siz cheksiz sonni olishingiz mumkin shaxsiy echimlar differensial tenglama. Ko'rinib turibdiki, har qanday funktsiyalar, va hokazo. differensial tenglamani qanoatlantiradi.

Ba'zan umumiy yechim chaqiriladi funktsiyalar oilasi. Ushbu misolda umumiy yechim - bu oila chiziqli funksiyalar, aniqrog'i, to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik oilasi.

Birinchi misolni batafsil ko'rib chiqqandan so'ng, differentsial tenglamalar bo'yicha bir nechta sodda savollarga javob berish o'rinlidir:

1)Ushbu misolda biz o'zgaruvchilarni ajratishga muvaffaq bo'ldik. Buni har doim qilish mumkinmi? Yo'q har doim emas. Va hatto tez-tez, o'zgaruvchilarni ajratib bo'lmaydi. Masalan, in bir hil birinchi tartibli tenglamalar, avval uni almashtirishingiz kerak. Boshqa turdagi tenglamalarda, masalan, birinchi tartibli chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamada siz foydalanishingiz kerak. turli texnikalar va umumiy yechim topish usullari. Biz birinchi darsda ko'rib chiqiladigan ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega tenglamalar - eng oddiy turi differensial tenglamalar.

2) Differensial tenglamani har doim integrallash mumkinmi? Yo'q har doim emas. Integratsiyalash mumkin bo'lmagan "xushbichim" tenglamani yaratish juda oson, qo'shimcha ravishda qabul qilib bo'lmaydigan integrallar mavjud; Ammo shunga o'xshash DE'larni taxminan yordamida hal qilish mumkin maxsus usullar. D'Alembert va Koshi kafolat berishadi... ...uf, lurkmore.hozirda ko'p o'qish uchun men deyarli "boshqa dunyodan" deb qo'shib qo'ydim.

3) Ushbu misolda biz umumiy integral shaklida yechim oldik . Bosh integraldan umumiy yechim topish, ya’ni “y”ni aniq ifodalash har doim ham mumkinmi? Yo'q har doim emas. Masalan: . Xo‘sh, bu yerda “yunoncha”ni qanday ifodalash mumkin?! Bunday hollarda javob umumiy integral sifatida yozilishi kerak. Bundan tashqari, ba'zida umumiy yechim topish mumkin, lekin u shunchalik noqulay va noqulay yozilganki, javobni umumiy integral shaklida qoldirish yaxshiroqdir.

4) ...ehtimol, hozircha bu yetarlidir. Birinchi misolda biz duch keldik yana bitta muhim nuqta , lekin "qo'g'irchoqlar" ni ko'chki bilan qoplamaslik uchun yangi ma'lumotlar, keyingi darsgacha qoldiraman.

Keling, shoshilmaylik. Boshqa oddiy masofadan boshqarish pulti va yana bir tipik yechim:

2-misol

Differensial tenglamaning boshlang‘ich shartini qanoatlantiruvchi maxsus yechimini toping

Yechim: shartga ko'ra, siz topishingiz kerak shaxsiy yechim Berilgan dastlabki shartni qondiradigan DE. Savolning bu formulasi ham deyiladi Cauchy muammosi.

Avval umumiy yechim topamiz. Tenglamada "x" o'zgaruvchisi yo'q, lekin bu chalkashmasligi kerak, asosiysi uning birinchi hosilasi bor.

Biz lotinni kerakli shaklda qayta yozamiz:

Shubhasiz, o'zgaruvchilarni ajratish mumkin, o'g'il bolalar chapga, qizlar o'ngga:

Keling, tenglamani integrallaymiz:

Umumiy integral olinadi. Bu erda men yulduzcha bilan doimiyni chizdim, haqiqat shundaki, u tez orada boshqa doimiyga aylanadi.

Endi biz umumiy integralni umumiy yechimga aylantirishga harakat qilamiz ("y" ni aniq ifodalang). Keling, maktabdagi yaxshi narsalarni eslaylik: . Ushbu holatda:

Ko'rsatkichdagi doimiylik qandaydir tarzda unkosher ko'rinadi, shuning uchun u odatda erga tushiriladi. Batafsil, bu shunday sodir bo'ladi. Darajalar xususiyatidan foydalanib, funktsiyani quyidagicha qayta yozamiz:

Agar doimiy bo'lsa, u holda ham bir necha doimiy bo'lsa, keling, uni harf bilan qayta belgilaymiz:

Esda tutingki, doimiyni "buzish" ikkinchi texnika, bu ko'pincha differentsial tenglamalarni yechishda qo'llaniladi.

Shunday qilib, umumiy yechim: . Bu eksponensial funktsiyalarning yaxshi oilasi.

Yakuniy bosqichda siz berilgan dastlabki shartni qondiradigan ma'lum bir yechim topishingiz kerak. Bu ham oddiy.

Vazifa nima? Olib olish kerak shunday shart qondirilishi uchun doimiyning qiymati.

U turli yo'llar bilan formatlanishi mumkin, lekin bu, ehtimol, eng aniq yo'l bo'ladi. Umumiy yechimda "X" o'rniga biz nolni, "Y" o'rniga ikkitani qo'yamiz:



Ya'ni,

Standart dizayn versiyasi:

Endi biz doimiyning topilgan qiymatini umumiy yechimga almashtiramiz:
- bu bizga kerak bo'lgan maxsus yechim.

Javob: shaxsiy yechim:

Keling, tekshiramiz. Shaxsiy yechimni tekshirish ikki bosqichni o'z ichiga oladi:

Avval siz aniqlangan yechim haqiqatan ham dastlabki shartni qondiradimi yoki yo'qligini tekshirishingiz kerak. "X" o'rniga biz nolni qo'yamiz va nima bo'lishini ko'ramiz:
- ha, haqiqatan ham ikkita qabul qilindi, demak, dastlabki shart bajarilgan.

Ikkinchi bosqich allaqachon tanish. Olingan maxsus yechimni olamiz va hosilani topamiz:

Biz asl tenglamani almashtiramiz:

- to'g'ri tenglik olinadi.

Xulosa: muayyan yechim to'g'ri topildi.

Keling, yanada mazmunli misollarga o'tamiz.

3-misol

Differensial tenglamani yeching

Yechim: Biz lotinni kerakli shaklda qayta yozamiz:

Biz o'zgaruvchilarni ajratish mumkinmi yoki yo'qligini baholaymiz? mumkin. Ikkinchi atamani belgini o'zgartirish bilan o'ng tomonga o'tkazamiz:

Va biz ko'paytirgichlarni mutanosiblik qoidasiga ko'ra o'tkazamiz:

O'zgaruvchilar ajratilgan, keling ikkala qismni birlashtiramiz:

Sizni ogohlantirishim kerak, qiyomat kuni yaqinlashmoqda. Agar yaxshi o'qimagan bo'lsangiz noaniq integrallar, bir nechta misollarni hal qildingiz, keyin boradigan joy yo'q - ularni hozir o'zlashtirishingiz kerak bo'ladi.

Chap tomonning integralini topish oson; biz darsda ko'rib chiqqan standart texnikadan foydalanib, kotangentning integrali bilan ishlaymiz Trigonometrik funktsiyalarni integrallash o `tgan yili:

O'ng tomonda bizda logarifm bor va mening birinchi texnik tavsiyamga ko'ra, doimiy ham logarifm ostida yozilishi kerak.

Endi biz umumiy integralni soddalashtirishga harakat qilamiz. Bizda faqat logarifmlar borligi sababli, ulardan qutulish juda mumkin (va zarur). Yordamida ma'lum xususiyatlar Biz logarifmlarni iloji boricha "qadoqlaymiz". Men buni batafsil yozaman:

Qadoqlash vahshiyona yirtilgan holda tugatildi:

"O'yin" ni ifodalash mumkinmi? mumkin. Ikkala qismni ham kvadratga aylantirish kerak.

Lekin buni qilish kerak emas.

Uchinchi texnik maslahat: agar umumiy yechimni olish uchun kuchga ko'tarilish yoki ildiz otish kerak bo'lsa, unda ko `p holatlarda siz bu harakatlardan voz kechishingiz va javobni umumiy integral shaklida qoldirishingiz kerak. Gap shundaki, umumiy yechim shunchaki dahshatli ko'rinadi - katta ildizlar, belgilar va boshqa axlat bilan.

Shuning uchun javobni umumiy integral shaklida yozamiz. Uni shaklda taqdim etish yaxshi amaliyot deb hisoblanadi , ya'ni o'ng tomonda, agar iloji bo'lsa, faqat doimiyni qoldiring. Buni qilish shart emas, lekin professorni xursand qilish har doim foydalidir ;-)

Javob: umumiy integral:

! Eslatma: Har qanday tenglamaning umumiy integrali bir necha usulda yozilishi mumkin. Shunday qilib, agar sizning natijangiz ilgari ma'lum bo'lgan javob bilan mos kelmasa, bu siz tenglamani noto'g'ri yechganingizni anglatmaydi.

Umumiy integralni tekshirish ham juda oson, asosiysi topa bilishdir aniq belgilangan funktsiyaning hosilasi. Keling, javobni farqlaylik:

Ikkala shartni quyidagicha ko'paytiramiz:

Va quyidagilarga bo'linadi:

Dastlabki differensial tenglama aniq olingan, demak, umumiy integral to‘g‘ri topilgan.

4-misol

Differensial tenglamaning boshlang‘ich shartini qanoatlantiruvchi maxsus yechimini toping. Tekshirishni amalga oshiring.

Bu misol uchun mustaqil qaror.

Sizga shuni eslatib o'tamanki, algoritm ikki bosqichdan iborat:
1) umumiy yechim topish;
2) kerakli aniq yechimni topish.

Tekshirish ham ikki bosqichda amalga oshiriladi (2-misoldagi namunaga qarang), sizga quyidagilar kerak:
1) aniqlangan yechimning dastlabki shartga javob berishiga ishonch hosil qiling;
2) muayyan yechim differensial tenglamani umuman qanoatlantirishini tekshiring.

To'liq yechim va javob dars oxirida.

5-misol

Differensial tenglamaning maxsus yechimini toping , dastlabki shartni qondirish. Tekshirishni amalga oshiring.

Yechim: Birinchidan, umumiy yechim topamiz. Biz o'zgaruvchilarni ajratamiz:

Keling, tenglamani integrallaymiz:

Chapdagi integral jadvalli, o'ngdagi integral olinadi funktsiyani differentsial belgisi ostida yig'ish usuli:

Bosh integral olindi, umumiy yechimni muvaffaqiyatli ifodalash mumkinmi? mumkin. Biz logarifmlarni ikkala tomonga osib qo'yamiz. Ular ijobiy bo'lgani uchun modul belgilari kerak emas:

(Umid qilamanki, hamma transformatsiyani tushunadi, bunday narsalar allaqachon ma'lum bo'lishi kerak)

Shunday qilib, umumiy yechim:

Berilgan boshlang'ich shartga mos keladigan ma'lum bir yechim topamiz.
Umumiy yechimda "X" o'rniga nolni, "Y" o'rniga ikkita logarifmini qo'yamiz:

Ko'proq tanish dizayn:

Konstantaning topilgan qiymatini umumiy yechimga almashtiramiz.

Javob: shaxsiy yechim:

Tekshiring: Birinchidan, dastlabki shart bajarilganligini tekshirib ko'ramiz:
- hammasi yaxshi.

Endi topilgan aniq yechim differensial tenglamani umuman qanoatlantirishini tekshirib ko'ramiz. Hosilini topish:

Keling, asl tenglamani ko'rib chiqaylik: - u differentsiallarda taqdim etilgan. Tekshirishning ikki yo'li mavjud. Topilgan hosiladan farqni ifodalash mumkin:

Topilgan xususiy yechim va natijada olingan differentsialni dastlabki tenglamaga almashtiramiz :

Biz asosiy logarifmik identifikatsiyadan foydalanamiz:

To'g'ri tenglik olinadi, ya'ni muayyan yechim to'g'ri topilgan.

Tekshirishning ikkinchi usuli aks ettirilgan va ko'proq tanish: tenglamadan Keling, hosilani ifodalaymiz, buning uchun barcha qismlarni quyidagilarga ajratamiz:

Va aylantirilgan DEga biz olingan qisman eritma va topilgan hosilani almashtiramiz. Soddalashtirish natijasida to'g'ri tenglik ham olinishi kerak.

6-misol

Differensial tenglamani yeching. Javobni umumiy integral shaklida keltiring.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz, to'liq yechim va dars oxirida javob berishingiz uchun namunadir.

Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan differensial tenglamalarni yechishda qanday qiyinchiliklar kutmoqda?

1) O'zgaruvchilarni ajratish mumkinligi har doim ham aniq emas (ayniqsa, "choynak" uchun). Keling, ko'rib chiqaylik shartli misol: . Bu erda omillarni qavsdan chiqarib tashlashingiz kerak: va ildizlarni ajratib oling: . Keyinchalik nima qilish kerakligi aniq.

2) Integratsiyaning o'zi bilan bog'liq qiyinchiliklar. Integrallar ko'pincha oddiy emas va agar topish qobiliyatlarida kamchiliklar mavjud bo'lsa noaniq integral, keyin ko'p diffuzerlar bilan qiyin bo'ladi. Bundan tashqari, "differensial tenglama oddiy bo'lgani uchun, hech bo'lmaganda integrallar murakkabroq bo'lsin" mantiqi to'plamlar va o'quv qo'llanmalarini tuzuvchilar orasida mashhur.

3) Konstanta bilan o'zgartirishlar. Hamma payqaganidek, differensial tenglamalardagi konstantani juda erkin boshqarish mumkin va ba'zi o'zgarishlar har doim ham yangi boshlanuvchilar uchun tushunarli emas. Keling, yana bir shartli misolni ko'rib chiqaylik: . Barcha shartlarni 2 ga ko'paytirish tavsiya etiladi: . Olingan konstanta ham qandaydir konstanta bo'lib, uni quyidagicha belgilash mumkin: . Ha, va o'ng tomonda logarifm borligi sababli, doimiyni boshqa doimiy ko'rinishda qayta yozish tavsiya etiladi: .

Muammo shundaki, ular ko'pincha indekslar bilan bezovta qilmaydi va bir xil harfdan foydalanadi. Natijada qaror bayonnomasi quyidagi shaklni oladi:

Qanday bid'at? Bu erda xatolar bor! Qattiq aytganda, ha. Biroq, substantiv nuqtai nazardan, hech qanday xatolik yo'q, chunki o'zgaruvchan konstantani o'zgartirish natijasida hali ham o'zgaruvchan konstanta olinadi.

Yoki boshqa misol, deylik, tenglamani yechish jarayonida umumiy integral olindi. Bu javob xunuk ko'rinadi, shuning uchun har bir atamaning belgisini o'zgartirish tavsiya etiladi: . Rasmiy ravishda, bu erda yana bir xato bor - u o'ng tomonda yozilishi kerak. Ammo norasmiy ravishda "minus ce" hali ham doimiy ( Bu har qanday ma'noni osongina olishi mumkin!), shuning uchun "minus" qo'yish mantiqiy emas va siz bir xil harfdan foydalanishingiz mumkin.

Men beparvo yondashishdan qochishga harakat qilaman va ularni konvertatsiya qilishda doimiylarga turli indekslarni tayinlayman.

7-misol

Differensial tenglamani yeching. Tekshirishni amalga oshiring.

Yechim: Bu tenglama o'zgaruvchilarni ajratish imkonini beradi. Biz o'zgaruvchilarni ajratamiz:

Keling, integratsiya qilaylik:

Bu erda doimiyni logarifm sifatida belgilash shart emas, chunki bundan hech qanday foydali narsa bo'lmaydi.

Javob: umumiy integral:

Tekshiring: Javobni farqlang (ko'rinmas funktsiya):

Ikkala shartni quyidagiga ko'paytirish orqali kasrlardan qutulamiz:

Asl differensial tenglama olindi, bu umumiy integral to'g'ri topilganligini bildiradi.

8-misol

DE ning muayyan yechimini toping.
,

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Yagona maslahat shundaki, bu erda siz umumiy integralga ega bo'lasiz va to'g'rirog'i, ma'lum bir yechimni emas, balki uni topishga harakat qilishingiz kerak. qisman integral. To'liq yechim va javob dars oxirida.