Matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimotidir
Matematik kutish, ta'rif, diskret va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarni matematik kutish, selektiv, shartli kutish, hisoblash, xossalar, vazifalar, kutilishni baholash, dispersiya, taqsimot funktsiyasi, formulalar, hisoblash misollari.
Tarkibni kengaytirish
Kontentni yig'ish
Matematik kutish - bu ta'rif
Eng muhim tushunchalardan biri matematik statistika va tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari yoki ehtimolliklarining taqsimlanishini tavsiflovchi ehtimollar nazariyasi. Odatda tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan parametrlarining o'rtacha og'irligi sifatida ifodalanadi. U texnik tahlilda, sonlar qatorlarini oʻrganishda, uzluksiz va uzoq muddatli jarayonlarni oʻrganishda keng qoʻllaniladi. Unda bor ahamiyati moliyaviy bozorlarda savdo qilishda risklarni baholashda, narx ko'rsatkichlarini bashorat qilishda qimor o'yinlari nazariyasida o'yin taktikasi strategiyalari va usullarini ishlab chiqishda qo'llaniladi.
Matematik kutish tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati, tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti ehtimollar nazariyasida ko'rib chiqiladi.
Matematik kutish ehtimollik nazariyasidagi tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymatining o'lchovi. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi x belgilangan M(x).
Matematik kutish
Matematik kutish ehtimollik nazariyasida bu barcha mumkin bo'lgan qiymatlarning o'rtacha og'irligi tasodifiy qiymat.
Matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarining ushbu qiymatlarning ehtimolliklari bo'yicha yig'indisi.
Matematik kutish ma'lum bir qarordan o'rtacha foyda, agar bunday qaror nazariya doirasida ko'rib chiqilishi mumkin bo'lsa katta raqamlar va uzoq masofa.
Matematik kutish qimor nazariyasida, har bir tikish uchun o'yinchi olishi yoki yo'qotishi mumkin bo'lgan yutuq miqdori. Qimor o'yinchilari tilida buni ba'zan "o'yinchining chekkasi" (agar o'yinchi uchun ijobiy bo'lsa) yoki "uy chekkasi" (o'yinchi uchun salbiy bo'lsa) deb ataladi.
Matematik kutish G'alaba qozongan foyda foizi o'rtacha foyda minus yo'qotish ehtimolini o'rtacha yo'qotish bilan ko'paytiriladi.
In tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi matematik nazariya
Tasodifiy o'zgaruvchining muhim raqamli xarakteristikalaridan biri bu matematik kutishdir. Keling, tasodifiy o'zgaruvchilar tizimi tushunchasini kiritamiz. Xuddi shu tasodifiy tajriba natijalari bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilar to'plamini ko'rib chiqing. Agar tizimning mumkin bo'lgan qiymatlaridan biri bo'lsa, hodisa Kolmogorov aksiomalarini qondiradigan ma'lum bir ehtimollikka mos keladi. Tasodifiy o'zgaruvchilarning har qanday mumkin bo'lgan qiymatlari uchun aniqlangan funktsiya qo'shma taqsimot qonuni deb ataladi. Bu funksiya har qanday hodisaning ehtimolini hisoblash imkonini beradi. Xususan, to'plamdan qiymatlarni oladigan va tasodifiy o'zgaruvchilar taqsimotining qo'shma qonuni ehtimollar bilan beriladi.
"Kutish" atamasi Per Simon Markiz de Laplas (1795) tomonidan kiritilgan va birinchi marta 17-asrda qimor oʻyinlari nazariyasida Blez Paskal va Kristian Gyuygenslarning asarlarida paydo boʻlgan “toʻlovning kutilayotgan qiymati” tushunchasidan kelib chiqqan. . Biroq, bu kontseptsiyani birinchi to'liq nazariy tushunish va baholashni Pafnuty Lvovich Chebyshev (19-asr o'rtalari) bergan.
Tasodifiy raqamli o'zgaruvchilarning taqsimot qonuni (tarqatish funktsiyasi va taqsimot qatori yoki ehtimollik zichligi) tasodifiy o'zgaruvchining harakatini to'liq tavsiflaydi. Ammo bir qator masalalarda o'rganilayotgan miqdorning ba'zi sonli xususiyatlarini bilish kifoya (masalan, uning o'rtacha qiymati va mumkin bo'lgan og'ish undan) savoliga javob berish. Tasodifiy o'zgaruvchilarning asosiy raqamli xarakteristikalari matematik kutish, dispersiya, rejim va mediandir.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning mumkin bo'lgan qiymatlari va ularga mos keladigan ehtimolliklarning mahsuloti yig'indisidir. Ba'zida matematik kutish o'rtacha og'irlik deb ataladi, chunki u ko'p sonli tajribalar davomida tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatiga teng. Ta'rifdan matematik kutish shundan kelib chiqadiki, uning qiymati tasodifiy miqdorning mumkin bo'lgan eng kichik qiymatidan kam emas va eng kattasidan katta emas. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tasodifiy bo'lmagan (doimiy) o'zgaruvchidir.
Matematik kutish oddiy jismoniy ma'noga ega: agar birlik massa to'g'ri chiziqqa joylashtirilsa, ba'zi bir massani ba'zi nuqtalarga qo'ying (uchun). diskret taqsimot), yoki uni ma'lum bir zichlik bilan (mutlaqo uzluksiz taqsimlash uchun) "bo'yash" bo'lsa, u holda matematik kutishga mos keladigan nuqta to'g'ri chiziqning "og'irlik markazi" ning koordinatasi bo'ladi.
Tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati ma'lum bir raqam bo'lib, u go'yo uning "vakili" bo'lib, uni taxminiy taxminiy hisob-kitoblarda almashtiradi. Biz: "chiroqning o'rtacha ishlash vaqti 100 soat" yoki "o'rtacha ta'sir nuqtasi nishonga nisbatan 2 m o'ngga siljiydi" deganda, biz bu bilan tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum bir raqamli xarakteristikasini ko'rsatamiz, bu uni tavsiflaydi. raqamli o'qdagi joylashuvi, ya'ni. pozitsiya tavsifi.
Ehtimollar nazariyasidagi pozitsiya xususiyatlaridan muhim rol tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutishini o'ynaydi, bu ba'zan tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati deb ataladi.
Tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing X, bu mumkin bo'lgan qiymatlarga ega x1, x2, …, xn ehtimolliklar bilan p1, p2, …, pn. Ushbu qiymatlarning turli xil ehtimolliklarga ega ekanligini hisobga olgan holda, biz tasodifiy o'zgaruvchi qiymatlarining x o'qidagi o'rnini qandaydir raqam bilan tavsiflashimiz kerak. Buning uchun qiymatlarning "o'rtacha vaznli" deb ataladiganidan foydalanish tabiiydir xi, va o'rtacha hisoblash paytida har bir xi qiymati ushbu qiymatning ehtimoliga mutanosib "og'irlik" bilan hisobga olinishi kerak. Shunday qilib, biz tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatini hisoblaymiz X, biz buni belgilaymiz M|X|:
Ushbu vaznli o'rtacha tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi deb ataladi. Shunday qilib, biz ehtimollik nazariyasining eng muhim tushunchalaridan biri - matematik kutish tushunchasini ko'rib chiqdik. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ushbu qiymatlarning ehtimolliklari mahsulotining yig'indisidir.
X ko'p sonli tajribalar bilan tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining arifmetik o'rtacha qiymatiga o'ziga xos bog'liqlik tufayli. Bu bog'liqlik chastota va ehtimollik o'rtasidagi bog'liqlik bilan bir xil, ya'ni: ko'p sonli tajribalar bilan tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati uning matematik kutilishiga yaqinlashadi (ehtimolda yaqinlashadi). Chastota va ehtimollik o'rtasidagi bog'liqlikdan kelib chiqib, natijada o'rtacha arifmetik va matematik kutish o'rtasida o'xshash bog'liqlik mavjudligini xulosa qilish mumkin. Haqiqatan ham, tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing X, bir qator taqsimotlar bilan tavsiflanadi:
Ishlab chiqarilsin N mustaqil tajribalar, ularning har birida qiymat X ma'lum bir qiymatni oladi. Qiymati deylik x1 paydo bo'ldi m1 marta, qiymat x2 paydo bo'ldi m2 vaqt, umumiy ma'no xi marta paydo bo'ldi. Keling, matematik kutishdan farqli o'laroq, X ning kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatini hisoblaylik. M|X| belgilaymiz M*|X|:
Tajribalar sonining ko'payishi bilan N chastotalar pi mos keladigan ehtimollarga yaqinlashadi (ehtimolda yaqinlashadi). Shuning uchun tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati M|X| tajribalar sonining ko'payishi bilan u o'zining matematik kutishiga yaqinlashadi (ehtimollik bilan). O'rtacha arifmetik va yuqorida tuzilgan matematik kutish o'rtasidagi bog'liqlik katta sonlar qonuni shakllaridan birining mazmunini tashkil qiladi.
Biz allaqachon bilamizki, katta sonlar qonunining barcha shakllari ko'p miqdordagi tajribalarda ma'lum o'rtacha qiymatlarning barqarorligini bildiradi. Bu yerda gap bir xil qiymatdagi bir qator kuzatishlar natijasida o‘rtacha arifmetik qiymatning barqarorligi haqida ketmoqda. Kam miqdordagi tajribalar bilan ularning natijalarining arifmetik o'rtacha qiymati tasodifiydir; tajribalar sonining etarli darajada ko'payishi bilan u "deyarli tasodifiy emas" bo'lib qoladi va barqarorlashtirib, doimiy qiymatga - matematik kutishga yaqinlashadi.
Ko'p sonli tajribalar uchun o'rtacha qiymatlarning barqarorlik xususiyatini eksperimental tekshirish oson. Masalan, laboratoriyada har qanday jismni aniq tarozida tortish, tortish natijasida har safar yangi qiymatga ega bo'lamiz; kuzatish xatosini kamaytirish uchun tanani bir necha marta tortamiz va olingan qiymatlarning o'rtacha arifmetik qiymatidan foydalanamiz. Ko'rinib turibdiki, tajribalar (tortishishlar) sonining yanada ortishi bilan o'rtacha arifmetik bu o'sishga kamroq va kamroq ta'sir qiladi va etarlicha ko'p tajribalar bilan u amalda o'zgarishni to'xtatadi.
Shuni ta'kidlash kerak eng muhim xususiyat tasodifiy o'zgaruvchining pozitsiyasi - matematik kutish - hamma tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mavjud emas. Matematik kutish mavjud bo'lmagan bunday tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar keltirish mumkin, chunki tegishli yig'indi yoki integral ajralib chiqadi. Biroq, amaliyot uchun bunday holatlar katta qiziqish uyg'otmaydi. Odatda, biz ko'rib chiqayotgan tasodifiy o'zgaruvchilar cheklangan qiymat diapazoniga ega va, albatta, kutishga ega.
Tasodifiy o'zgaruvchining pozitsiyasining xarakteristikasidan eng muhimi - matematik kutishdan tashqari, ba'zan boshqa pozitsiya xarakteristikalari, xususan, tasodifiy o'zgaruvchining rejimi va medianasi qo'llaniladi.
Tasodifiy o'zgaruvchining rejimi uning eng ehtimoliy qiymati hisoblanadi. "Ehtimoliy qiymat" atamasi, aniq aytganda, faqat uzluksiz miqdorlarga nisbatan qo'llaniladi; uzluksiz miqdor uchun rejim - ehtimollik zichligi maksimal bo'lgan qiymat. Raqamlar mos ravishda uzluksiz va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar rejimini ko'rsatadi.
Agar taqsimot ko'pburchagi (tarqatish egri chizig'i) birdan ortiq maksimalga ega bo'lsa, taqsimot "polimodal" deyiladi.
Ba'zan o'rtada maksimal emas, balki minimal bo'lgan taqsimotlar mavjud. Bunday taqsimotlar "antimodal" deb ataladi.
IN umumiy holat tasodifiy o'zgaruvchining rejimi va matematik kutilishi mos kelmaydi. Muayyan holatda, taqsimot simmetrik va modal bo'lsa (ya'ni rejimga ega) va matematik kutish mavjud bo'lsa, u taqsimotning rejimi va simmetriya markaziga to'g'ri keladi.
Lavozimning yana bir xarakteristikasi tez-tez ishlatiladi - tasodifiy o'zgaruvchining medianasi. Bu xarakteristika odatda faqat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun qo'llaniladi, lekin u rasmiy ravishda uzluksiz o'zgaruvchi uchun ham aniqlanishi mumkin. Geometrik jihatdan mediana taqsimot egri chizig'i bilan chegaralangan maydon ikkiga bo'lingan nuqtaning abscissasidir.
Simmetrik modal taqsimotda mediana o'rtacha va rejimga to'g'ri keladi.
Matematik kutish tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati - tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimotining raqamli xarakteristikasi. Eng umumiy tarzda, tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi X(w) ehtimollik o'lchoviga nisbatan Lebeg integrali sifatida aniqlanadi R asl ehtimollik maydonida:
Matematik kutishni Lebeg integrali sifatida ham hisoblash mumkin X ehtimollik taqsimoti bo'yicha px miqdorlar X:
Tabiiy tarzda, cheksiz matematik kutish bilan tasodifiy o'zgaruvchi tushunchasini aniqlash mumkin. Oddiy misol - ba'zi tasodifiy yurishlarda qaytish vaqtlari.
Matematik kutish yordami bilan ko'p sonli va funktsional xususiyatlar taqsimotlar (tasodifiy o'zgaruvchining mos keladigan funktsiyalarining matematik taxmini sifatida), masalan, hosil qiluvchi funktsiya, xarakterli funktsiya, har qanday tartibli momentlar, xususan, dispersiya, kovariatsiya.
Matematik kutish - bu tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining joylashuvining xarakteristikasi (uning taqsimotining o'rtacha qiymati). Bu sig'imda matematik kutish qandaydir "odatiy" taqsimot parametri bo'lib xizmat qiladi va uning roli mexanikada statik moment - massa taqsimotining og'irlik markazining koordinatasi roliga o'xshaydi. Boshqa joylashish xususiyatlaridan, ular yordamida taqsimot umumiy ma'noda tasvirlangan - medianlar, rejimlar, matematik kutish ehtimollik nazariyasining chegaraviy teoremalarida u va tegishli tarqalish xarakteristikasi - dispersiyaga ega bo'lgan kattaroq qiymat bilan farqlanadi. Eng katta to'liqlik bilan matematik kutishning ma'nosi katta sonlar qonuni (Chebishev tengsizligi) va katta sonlarning mustahkamlangan qonuni bilan ochib beriladi.
Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi
Bir nechta raqamli qiymatlardan birini olishi mumkin bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin (masalan, rulondagi nuqtalar soni 1, 2, 3, 4, 5 yoki 6 bo'lishi mumkin). Ko'pincha amalda bunday qiymat uchun savol tug'iladi: ko'p sonli testlar bilan "o'rtacha" qanday qiymatni oladi? Xavfli operatsiyalarning har biridan bizning o'rtacha daromadimiz (yoki zararimiz) qanday bo'ladi?
Aytaylik, qandaydir lotereya bor. Biz unda ishtirok etish (yoki hatto qayta-qayta, muntazam ravishda ishtirok etish) foydali yoki yo'qligini tushunishni istaymiz. Aytaylik, har to'rtinchi chipta yutadi, sovrin 300 rublni, har qanday chiptaning narxi esa 100 rublni tashkil qiladi. Cheksiz sonli ishtiroklar bilan bu sodir bo'ladi. Ishlarning to'rtdan uch qismida biz yo'qotamiz, har uchta yo'qotish 300 rublni tashkil qiladi. Har to'rtinchi holatda biz 200 rubl yutib olamiz. (mukofot minus narxi), ya'ni to'rtta ishtirok uchun biz o'rtacha 100 rubl, bittasi uchun - o'rtacha 25 rubl yo'qotamiz. Umuman olganda, bizning xarobamizning o'rtacha narxi chipta uchun 25 rublni tashkil qiladi.
Biz tashlaymiz zar. Agar u aldamasa (og'irlik markazini o'zgartirmasdan va hokazo), unda biz bir vaqtning o'zida o'rtacha qancha ball olamiz? Har bir variant bir xil bo'lganligi sababli, biz ahmoqona arifmetik o'rtachani olamiz va 3,5 ni olamiz. Bu O'RTA bo'lgani uchun, hech qanday aniq otish 3,5 ball bermasligidan g'azablanishning hojati yo'q - yaxshi, bu kubning bunday raqamga ega yuzi yo'q!
Endi misollarimizni umumlashtiramiz:
Keling, yuqoridagi rasmni ko'rib chiqaylik. Chap tomonda tasodifiy miqdorni taqsimlash jadvali mavjud. X qiymati n ta mumkin bo'lgan qiymatlardan birini qabul qilishi mumkin (yuqori qatorda berilgan). Boshqa qadriyatlar bo'lishi mumkin emas. Har birining ostida mumkin bo'lgan qiymat uning ehtimoli quyida imzolangan. O'ng tomonda formula mavjud, bu erda M (X) matematik kutish deb ataladi. Ushbu qiymatning ma'nosi shundaki, ko'p sonli sinovlar (katta namuna bilan) bilan o'rtacha qiymat ushbu matematik kutishga moyil bo'ladi.
Keling, xuddi shu o'yin kubiga qaytaylik. Otishdagi ochkolar sonining matematik taxmini 3,5 ni tashkil qiladi (agar bunga ishonmasangiz, formuladan foydalanib hisoblang). Aytaylik, siz uni bir necha marta tashladingiz. 4 va 6 tushib ketdi.O'rtacha 5 ga chiqdi, ya'ni 3,5 dan uzoqda. Ular uni yana tashladilar, 3 tasi tushib ketdi, ya'ni o'rtacha (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Qandaydir matematik kutishdan uzoqda. Endi aqldan ozgan tajriba qiling - kubni 1000 marta aylantiring! Va agar o'rtacha ko'rsatkich 3,5 ga teng bo'lmasa, u shunga yaqin bo'ladi.
Keling, yuqorida tavsiflangan lotereya uchun matematik kutishni hisoblaylik. Jadval quyidagicha ko'rinadi:
Keyin yuqorida aniqlaganimizdek, matematik kutish bo'ladi.:
Yana bir narsa shundaki, u ham "barmoqlarda", formulasiz, ko'proq variantlar bo'lsa, qiyin bo'lar edi. Aytaylik, 75% yutqazilgan chiptalar, 20% yutuqli chiptalar va 5% yutuq chiptalari bor edi.
Endi matematik kutishning ba'zi xususiyatlari.
Buni isbotlash oson:
Doimiy multiplikatorni kutish belgisidan chiqarish mumkin, ya'ni:
Bu matematik kutishning chiziqlilik xususiyatining alohida holatidir.
Matematik kutishning chiziqliligining yana bir natijasi:
ya'ni tasodifiy miqdorlar yig'indisining matematik kutilishi tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik kutishlari yig'indisiga teng.
X, Y mustaqil tasodifiy miqdorlar bo'lsin, Keyin:
Buni isbotlash ham oson) XY o'zi tasodifiy o'zgaruvchidir, agar boshlang'ich qiymatlar olishi mumkin bo'lsa n Va m qiymatlari, mos ravishda, keyin XY nm qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Har bir qiymatning ehtimoli mustaqil hodisalarning ehtimolliklari ko'paytirilishiga asoslanib hisoblanadi. Natijada biz quyidagilarni olamiz:
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi
Uzluksiz tasodifiy miqdorlar taqsimot zichligi (ehtimollik zichligi) kabi xususiyatga ega. Bu, aslida, tasodifiy o'zgaruvchining haqiqiy sonlar to'plamidan ba'zi qiymatlarni tez-tez, ba'zilari esa kamroq qabul qiladigan vaziyatni tavsiflaydi. Masalan, ushbu diagrammani ko'rib chiqing:
Bu yerga X- aslida tasodifiy o'zgaruvchi, f(x)- tarqatish zichligi. Ushbu grafikdan ko'ra, tajribalar davomida qiymat X ko'pincha nolga yaqin raqam bo'ladi. oshib ketish imkoniyatlari 3 yoki kamroq bo'lsin -3 anchagina nazariy.
Masalan, bir xil taqsimot mavjud bo'lsin:
Bu intuitiv tushunchaga juda mos keladi. Aytaylik, agar biz bir xil taqsimotga ega bo'lgan juda ko'p tasodifiy haqiqiy sonlarni olsak, segmentning har biri |0; 1| , keyin arifmetik o'rtacha taxminan 0,5 bo'lishi kerak.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun qo'llaniladigan matematik kutish xususiyatlari - chiziqlilik va boshqalar bu erda ham qo'llaniladi.
Matematik kutishning boshqa statistik ko'rsatkichlar bilan aloqasi
Statistik tahlilda matematik kutish bilan bir qatorda hodisalarning bir xilligi va jarayonlarning barqarorligini aks ettiruvchi o'zaro bog'liq ko'rsatkichlar tizimi mavjud. Ko'pincha variatsiya ko'rsatkichlari mustaqil ma'noga ega emas va ma'lumotlarni keyingi tahlil qilish uchun ishlatiladi. Istisno - bu qimmatli statistik tavsif bo'lgan ma'lumotlarning bir xilligini tavsiflovchi o'zgaruvchanlik koeffitsienti.
Statistikada jarayonlarning o'zgaruvchanligi yoki barqarorligi darajasini bir nechta ko'rsatkichlar yordamida o'lchash mumkin.
Tasodifiy o'zgaruvchining o'zgaruvchanligini tavsiflovchi eng muhim ko'rsatkich Dispersiya, bu matematik kutish bilan eng yaqin va bevosita bog'liqdir. Ushbu parametr statistik tahlilning boshqa turlarida (gipotezani tekshirish, sabab-natija munosabatlarini tahlil qilish va boshqalar) faol qo'llaniladi. O'rtacha chiziqli og'ish kabi, dispersiya ham ma'lumotlarning o'rtacha atrofida tarqalish darajasini aks ettiradi.
Belgilar tilini so'zlar tiliga tarjima qilish foydalidir. Ma'lum bo'lishicha, dispersiya og'ishlarning o'rtacha kvadratidir. Ya'ni, avval o'rtacha qiymat hisoblab chiqiladi, so'ngra har bir asl va o'rtacha qiymat o'rtasidagi farq olinadi, kvadratga olinadi, qo'shiladi va keyin ushbu populyatsiyadagi qiymatlar soniga bo'linadi. Shaxsiy qiymat va o'rtacha qiymat o'rtasidagi farq og'ish o'lchovini aks ettiradi. Barcha og'ishlar faqat ijobiy raqamlarga aylanishini ta'minlash va ular yig'ilganda ijobiy va salbiy og'ishlarning o'zaro bekor qilinishiga yo'l qo'ymaslik uchun kvadratga aylantiriladi. Keyin, kvadrat og'ishlarni hisobga olgan holda, biz oddiygina arifmetik o'rtachani hisoblaymiz. O'rtacha - kvadrat - og'ishlar. Og'ishlar kvadrat bo'lib, o'rtacha hisoblanadi. Sehrli "tarqalish" so'ziga javob faqat uchta so'zdan iborat.
Biroq, ichida sof shakl, masalan, o'rtacha arifmetik yoki indeks, dispersiya ishlatilmaydi. Bu statistik tahlilning boshqa turlari uchun qo'llaniladigan yordamchi va oraliq ko'rsatkichdir. Uning oddiy o‘lchov birligi ham yo‘q. Formulaga ko'ra, bu asl ma'lumotlar birligining kvadratidir.
Keling, tasodifiy o'zgaruvchini o'lchaymiz N marta, masalan, biz shamol tezligini o'n marta o'lchaymiz va o'rtacha qiymatni topmoqchimiz. O'rtacha qiymat taqsimot funktsiyasi bilan qanday bog'liq?
Yoki biz zarlarni ko'p marta tashlaymiz. Har bir otish paytida o'limga tushadigan ballar soni tasodifiy o'zgaruvchidir va 1 dan 6 gacha har qanday tabiiy qiymatlarni olishi mumkin. N u juda aniq raqamga - matematik kutishga intiladi Mx. IN bu holat Mx = 3,5.
Bu qiymat qanday paydo bo'ldi? Ichkariga ruxsat bering N sinovlar n1 1 ball tushirilsa, n2 marta - 2 ball va boshqalar. Keyin bitta nuqta tushgan natijalar soni:
Xuddi shunday, 2, 3, 4, 5 va 6 ball tushib qolgan natijalar uchun.
Keling, biz x tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonunini bilamiz deb faraz qilaylik, ya'ni biz bilamizki, x tasodifiy o'zgaruvchisi p1, p2, ... ehtimolliklari bilan x1, x2, ..., xk qiymatlarini olishi mumkin. , pk.
X tasodifiy o'zgaruvchining Mx matematik taxmini:
Matematik kutish har doim ham ba'zi tasodifiy o'zgaruvchilarning oqilona bahosi emas. Shunday qilib, o'rtacha hisoblash uchun ish haqi median tushunchasini, ya'ni o'rtacha oylikdan kamroq va undan ko'p oladigan odamlar soni bir xil bo'ladigan qiymatdan foydalanish yanada oqilona.
X tasodifiy o'zgaruvchisi x1/2 dan kichik bo'lishi ehtimoli p1 va x tasodifiy o'zgaruvchisi x1/2 dan katta bo'lishi p2 ehtimolligi bir xil va 1/2 ga teng. Median barcha taqsimotlar uchun yagona aniqlanmaydi.
Standart yoki standart og'ish statistikada kuzatuv ma'lumotlari yoki to'plamlarning O'RTA qiymatdan chetlanish darajasi deyiladi. s yoki s harflari bilan belgilanadi. Kichik standart og'ish ma'lumotlarning o'rtacha atrofida guruhlanganligini va katta standart og'ish boshlang'ich ma'lumotlarning undan uzoqligini ko'rsatadi. Standart og'ish teng kvadrat ildiz dispersiya deb ataladigan miqdor. Bu o'rtachadan chetga chiqqan dastlabki ma'lumotlarning kvadratik farqlari yig'indisining o'rtacha qiymati. Tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishi dispersiyaning kvadrat ildizidir:
Misol. Sinov sharoitida nishonga otish paytida tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi va standart og'ishini hisoblang:
Variatsiya- atribut qiymatining populyatsiya birliklarida tebranishi, o'zgaruvchanligi. O'rganilayotgan populyatsiyada yuzaga keladigan xususiyatning alohida raqamli qiymatlari qiymatlar variantlari deb ataladi. uchun o'rtacha qiymatning etishmasligi to'liq xususiyatlar agregat bizni o'rtacha qiymatlarni o'rganilayotgan belgining tebranishini (variatsiyasini) o'lchash orqali ushbu o'rtacha ko'rsatkichlarning tipikligini baholashga imkon beruvchi ko'rsatkichlar bilan to'ldirishga majbur qiladi. O'zgaruvchanlik koeffitsienti quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
O'zgaruvchanlik(R) - o'rganilayotgan populyatsiyadagi belgining maksimal va minimal qiymatlari o'rtasidagi farq. Bu ko'rsatkich eng ko'p beradi umumiy fikr o'rganilayotgan belgining tebranishi haqida, chunki u faqat variantlarning cheklovchi qiymatlari orasidagi farqni ko'rsatadi. Atributning ekstremal qiymatlariga bog'liqlik o'zgaruvchanlik diapazoniga beqaror, tasodifiy belgi beradi.
O'rtacha chiziqli og'ish tahlil qilinayotgan populyatsiyaning barcha qiymatlarining o'rtacha qiymatidan mutlaq (modul) og'ishlarining o'rtacha arifmetik qiymati:
Qimor nazariyasida matematik kutish
Matematik kutish Qimorboz berilgan tikishda yutishi yoki yo'qotishi mumkin bo'lgan o'rtacha pul miqdori. Bu o'yinchi uchun juda muhim tushunchadir, chunki u ko'pchilik o'yin vaziyatlarini baholashda asosiy hisoblanadi. Matematik kutish, shuningdek, asosiy karta tartiblari va o'yin holatlarini tahlil qilish uchun eng yaxshi vositadir.
Aytaylik, siz do'stingiz bilan tanga o'ynayapsiz, nima bo'lishidan qat'i nazar, har safar 1 dollarga teng pul tikasiz. Dumlar - g'alaba qozonasiz, boshlar - yutqazasiz. Uning paydo bo'lish ehtimoli birdaniga va siz 1 dollardan 1 dollargacha pul tikasiz. Shunday qilib, sizning matematik kutishingiz nolga teng, chunki Matematik jihatdan aytganda, siz ikkita rulodan keyin yoki 200 dan keyin etakchi bo'lishingiz yoki yo'qotishingizni bilolmaysiz.
Sizning soatlik daromadingiz nolga teng. Soatlik to'lov - bu bir soat ichida yutib olishni kutgan pul miqdori. Siz tangani bir soat ichida 500 marta aylantirishingiz mumkin, lekin siz g'alaba qozonmaysiz yoki yutqazmaysiz sizning koeffitsientlaringiz ijobiy ham, salbiy ham emas. Agar qarasangiz, jiddiy o'yinchi nuqtai nazaridan, bunday tikish tizimi yomon emas. Lekin bu shunchaki vaqtni behuda sarflash.
Aytaylik, kimdir xuddi shu o'yinda sizning 1 dollaringizga 2 dollar tikishni xohlaydi. Shunda siz darhol har bir tikishdan 50 sent miqdorida ijobiy umidga ega bo'lasiz. Nega 50 sent? O'rtacha, siz bitta garovda g'alaba qozonasiz va ikkinchisini yo'qotasiz. Birinchi dollar tiking va 1 dollar yo'qoting, ikkinchisini tiking va 2 dollar yutib oling. Siz ikki marta 1 dollar tikdingiz va $1 ga oldindasiz. Shunday qilib, sizning har bir dollar tikishingiz sizga 50 sent berdi.
Agar tanga bir soat ichida 500 marta tushib qolsa, sizning soatlik daromadingiz allaqachon $250 bo'ladi, chunki. o'rtacha, siz $ 1 250 marta yo'qotgansiz va $ 2 250 marta yutgansiz. $ 500 minus $ 250 $ 250 ga teng, bu umumiy g'alaba. E'tibor bering, kutilgan qiymat, ya'ni bitta tikish bo'yicha o'rtacha yutgan summa 50 sent. Siz bir dollarga 500 marta tikish orqali 250 dollar yutib oldingiz, bu sizning tikishingizning 50 sentiga teng.
Matematik kutishning qisqa muddatli natijalar bilan hech qanday aloqasi yo'q. Sizga qarshi $2 tikishga qaror qilgan raqibingiz sizni ketma-ket birinchi o'nta to'pda mag'lub etishi mumkin edi, lekin siz 2 ga 1 ga teng bo'lgan tikish ustunligi bilan, har qanday pul tikish uchun har $1 ga 50 sent ishlab olasiz. holatlar. Bitta garov yoki bir nechta garov yutishingiz yoki yutqazishingiz muhim emas, faqat xarajatlarni osonlikcha qoplash uchun yetarlicha naqd pulingiz bo‘lishi sharti bilan. Agar siz xuddi shu tarzda pul tikishni davom ettirsangiz, u holda uzoq muddat vaqt o'tishi bilan sizning yutuqlaringiz individual rulonlarda kutilgan qiymatlar yig'indisiga to'g'ri keladi.
Har safar yaxshiroq tikish (uzoq muddatda foydali bo'lishi mumkin bo'lgan garov) koeffitsientlar sizning foydangizga bo'lganda, siz uni berilgan qo'lda yo'qotasizmi yoki yo'qmi, unda biror narsa yutib olishingiz shart. Aksincha, agar siz koeffitsientlar foydangizga bo'lmaganda yomonroq natijaga ega (uzoq muddatda foydasiz garov) tikilgan bo'lsangiz, bu qo'lda yutganingiz yoki yutqazganingizdan qat'i nazar, biror narsani yo'qotasiz.
Agar kutganingiz ijobiy bo'lsa, eng yaxshi natijaga pul tikasiz va koeffitsientlar sizning foydangizga bo'lsa, bu ijobiy bo'ladi. Eng yomon natijaga pul tikish orqali siz salbiy umidga ega bo'lasiz, bu koeffitsientlar sizga qarshi bo'lganda sodir bo'ladi. Jiddiy o'yinchilar faqat eng yaxshi natijaga pul tikadilar, eng yomoni - ular katlanadilar. Sizning foydangizga koeffitsientlar nimani anglatadi? Siz haqiqiy koeffitsientlardan ko'ra ko'proq g'alaba qozonishingiz mumkin. Dumlarni urishning haqiqiy koeffitsienti 1 dan 1 gacha, lekin tikish nisbati tufayli siz 2 dan 1 gacha olasiz. Bunday holda, koeffitsientlar sizning foydangizga. Har bir tikish uchun 50 tsent ijobiy kutish bilan siz, albatta, eng yaxshi natijaga erishasiz.
Bu erda matematik kutishning yanada murakkab misoli. Do'st birdan beshgacha bo'lgan raqamlarni yozib qo'yadi va sizning 1 dollaringizga 5 dollar tikadi, siz raqamni tanlamaysiz. Bunday garovga rozimisiz? Bu erda nimani kutish mumkin?
O'rtacha, siz to'rt marta xato qilasiz. Shunga asoslanib, bu raqamni taxmin qilishda sizga qarshi koeffitsient 4 ga 1 bo'ladi. Imkoniyatlar shundan iboratki, siz bir urinishda bir dollar yo'qotasiz. Biroq, siz 5: 1 hisobida g'alaba qozonasiz, 4: 1 hisobida mag'lub bo'lish ehtimoli bilan. Shuning uchun, koeffitsientlar sizning foydangizga, siz tikishingiz va eng yaxshi natijaga umid qilishingiz mumkin. Agar siz ushbu garovni besh marta qilsangiz, o'rtacha hisobda to'rt marta 1 dollar yo'qotasiz va bir marta 5 dollar yutib olasiz. Shunga asoslanib, barcha beshta urinish uchun siz har bir tikish uchun 20 tsentlik ijobiy matematik kutish bilan 1 dollar ishlab olasiz.
Yuqoridagi misoldagi kabi tikishdan ko'ra ko'proq g'alaba qozonmoqchi bo'lgan o'yinchi koeffitsientlarni qo'lga kiritadi. Aksincha, u tiklaganidan kamroq g'alaba qozonishni kutsa, imkoniyatni buzadi. Gamblingchi koeffitsientlarni qo'lga olish yoki yo'q qilishiga qarab ijobiy yoki salbiy kutishlari mumkin.
Agar siz 4 ga 1 g'alaba qozonish imkoniyati bilan 10 dollar yutib olish uchun 50 dollar tiksangiz, siz 2 dollarlik salbiy kutilasiz, chunki o'rtacha, siz to'rt marta g'alaba qozonasiz $10 va yo'qotasiz $50 bir marta, bu har bir tikish uchun yo'qotish $10 bo'lishini ko'rsatadi. Ammo agar siz 10 dollar yutib olish uchun 30 dollar tiksangiz, 4 ga 1 yutish koeffitsienti bir xil bo'lsa, bu holda sizda 2 dollarga ijobiy umid bor, chunki siz yana to'rt marta g'alaba $10 va yo'qotish $30 bir marta, foyda uchun $10. Bu misollar birinchi tikish yomon, ikkinchisi esa yaxshi ekanligini ko'rsatadi.
Matematik kutish har qanday o'yin vaziyatining markazidir. Bukmekerlik kontorlari futbol muxlislarini 10 dollar yutib olish uchun 11 dollar tikishga undasa, ular har 10 dollar uchun 50 sentdan ijobiy umidga ega. Agar kazino Craps o'tish liniyasidan hatto pul to'lasa, uyning ijobiy kutilishi har 100 dollar uchun taxminan 1,40 dollarni tashkil qiladi; bu o'yin shunday tuzilganki, bu chiziqqa pul tikgan har bir kishi o'rtacha 50,7% yutqazadi va vaqtning 49,3% yutadi. Shubhasiz, bu dunyo bo'ylab qimorxona egalariga katta foyda keltiradigan minimal ijobiy kutishdir. Vegas World kazino egasi Bob Stupak ta'kidlaganidek, "Etarli uzoq masofadagi salbiy ehtimollikning mingdan bir foizi halok bo'ladi. eng boy odam dunyoda".
Poker o'ynashda matematik kutish
Poker o'yini matematik kutishning nazariyasi va xususiyatlaridan foydalanish nuqtai nazaridan eng yorqin va yorqin misoldir.
Pokerda kutilayotgan qiymat - bu ma'lum bir qarordan o'rtacha foyda, agar bunday qaror katta sonlar va uzoq masofalar nazariyasi doirasida ko'rib chiqilishi mumkin. Muvaffaqiyatli poker har doim ijobiy matematik kutish bilan harakatlarni qabul qilishdir.
Poker o'ynashda matematik kutishning matematik ma'nosi shundan iboratki, biz qaror qabul qilishda ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchilarga duch kelamiz (biz raqibning qo'lida qaysi kartalar borligini, keyingi tikish raundlarida qaysi kartalar kelishini bilmaymiz). Yechimlarning har birini katta sonlar nazariyasi nuqtai nazaridan ko'rib chiqishimiz kerak, ya'ni etarlicha katta tanlov bilan tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati uning matematik kutilishiga moyil bo'ladi.
Matematik kutishni hisoblash uchun maxsus formulalar orasida quyidagilar pokerda eng ko'p qo'llaniladi:
Poker o'ynaganda, matematik kutish ham tikish, ham qo'ng'iroqlar uchun hisoblanishi mumkin. Birinchi holda, katlama kapitali, ikkinchisida, potning o'z imkoniyatlarini hisobga olish kerak. Muayyan harakatning matematik kutishini baholashda, katlama har doim nol matematik kutishga ega ekanligini esga olish kerak. Shunday qilib, kartalardan voz kechish har doim har qanday salbiy harakatdan ko'ra foydaliroq qaror bo'ladi.
Kutish, siz xavf ostiga qo'ygan har bir dollar uchun nimani kutishingiz mumkinligini (foyda yoki zarar) aytadi. Kazinolar pul ishlashadi, chunki ularda o'tkaziladigan barcha o'yinlarning matematik kutilishi kazino foydasiga. Etarlicha uzun o'yinlar seriyasi bilan mijoz o'z pulini yo'qotishini kutish mumkin, chunki "ehtimol" kazino foydasiga. Biroq, professional kazino o'yinchilari o'z o'yinlarini qisqa vaqt oralig'ida cheklaydilar va shu bilan o'z foydasiga koeffitsientlarni oshiradilar. Xuddi shu narsa investitsiya qilish uchun ham amal qiladi. Agar kutganingiz ijobiy bo'lsa, qisqa vaqt ichida ko'plab savdolarni amalga oshirish orqali ko'proq pul ishlashingiz mumkin. Kutish - bu sizning har bir g'alabadan olingan foydaning o'rtacha foydaning foizini, minus yo'qotish ehtimolini o'rtacha yo'qotishni ko'paytirishdir.
Pokerni matematik kutish nuqtai nazaridan ham ko'rib chiqish mumkin. Siz ma'lum bir harakatni foydali deb hisoblashingiz mumkin, lekin ba'zi hollarda u eng yaxshisi bo'lmasligi mumkin, chunki boshqa harakat foydaliroq. Aytaylik, siz beshta karta o'ynagan pokerda to'liq uyni urdingiz. Raqibingiz tikadi. Bilasizmi, agar siz oldinga chiqsangiz, u qo'ng'iroq qiladi. Demak, ko'tarish eng yaxshi taktikaga o'xshaydi. Ammo agar siz ko'tarsangiz, qolgan ikkita o'yinchi aniq katlanadi. Ammo agar siz garovga qo'ng'iroq qilsangiz, sizdan keyingi ikki o'yinchi ham xuddi shunday qilishiga to'liq amin bo'lasiz. Tikishni ko'targaningizda, siz bitta birlik olasiz va shunchaki qo'ng'iroq qilib, ikkita olasiz. Shunday qilib, qo'ng'iroq qilish sizga yuqori ijobiy kutilgan qiymatni beradi va eng yaxshi taktikadir.
Matematik kutish, shuningdek, qaysi poker taktikasi kamroq foydali va qaysi biri foydaliroq ekanligi haqida fikr berishi mumkin. Misol uchun, agar siz ma'lum bir qo'lni o'ynasangiz va o'rtacha yo'qotish 75 sentni tashkil etadi deb hisoblasangiz, unda siz bu qo'lni o'ynashingiz kerak, chunki bu ante $1 bo'lganda katlamadan yaxshiroqdir.
Boshqa muhim sabab Matematik kutishning mohiyatini tushunish shundan iboratki, u sizga garov yutdingizmi yoki yo'qmi, xotirjamlik hissini beradi: agar siz yaxshi garov o'tkazgan bo'lsangiz yoki o'z vaqtida buklangan bo'lsangiz, ma'lum miqdorda pul ishlab topganingizni yoki saqlaganingizni bilib olasiz. kuchsizroq o'yinchi tejashga qodir bo'lmagan pul. Raqibingizning durangda qo‘li yaxshiroq ekanligidan xafa bo‘lsangiz, buklanish ancha qiyin bo‘ladi. Ya'ni, tikish o'rniga, o'ynamaslik orqali tejagan pulingiz bir kechada yoki oylik yutuqlaringizga qo'shiladi.
Shuni yodda tutingki, agar siz qo'lingizni almashtirsangiz, raqibingiz sizga qo'ng'iroq qiladi va Pokerning asosiy teoremasi maqolasida ko'rib turganingizdek, bu sizning afzalliklaringizdan biridir. Bu sodir bo'lganda xursand bo'lishingiz kerak. Siz hatto qo'lingizni yo'qotishdan zavqlanishni ham o'rganishingiz mumkin, chunki sizning poyabzalingizdagi boshqa o'yinchilar ko'proq narsani yo'qotishini bilasiz.
boshida tanga o'yin misolida muhokama qilinganidek, daromad soatlik darajasi kutilgan qiymati bilan bog'liq, va bu tushuncha professional futbolchilar uchun ayniqsa muhimdir. Poker o'ynamoqchi bo'lganingizda, bir soatlik o'yinda qancha yutib olishingiz mumkinligini aqlan hisoblashingiz kerak. Aksariyat hollarda siz sezgi va tajribangizga tayanishingiz kerak bo'ladi, lekin siz ba'zi matematik hisob-kitoblardan ham foydalanishingiz mumkin. Misol uchun, agar siz lotereya o'yinini o'ynayotgan bo'lsangiz va uchta o'yinchi 10 dollar tikib, keyin ikkita karta o'ynaganini ko'rsangiz, bu juda yomon taktikadir, siz o'zingiz hisoblab ko'rishingiz mumkin, ular har safar 10 dollar tikishganda ular taxminan 2 dollar yo'qotadilar. Ularning har biri buni soatiga sakkiz marta qiladi, ya'ni uchalasi ham soatiga taxminan 48 dollar yo'qotadi. Siz taxminan teng bo'lgan qolgan to'rt o'yinchidan birisiz, shuning uchun bu to'rtta o'yinchi (va siz ular orasida) 48 dollarni baham ko'rishlari kerak va har biri soatiga 12 dollardan foyda oladi. Bu holda sizning soatlik stavkangiz shunchaki soatiga uchta yomon o'yinchi tomonidan yo'qotilgan pul miqdoridagi ulushingizdir.
Uzoq vaqt davomida o'yinchining umumiy yutug'i uning alohida taqsimotlardagi matematik taxminlarining yig'indisidir. Ijobiy kutish bilan qanchalik ko'p o'ynasangiz, shuncha ko'p g'alaba qozonasiz va aksincha, salbiy kutish bilan qancha qo'l o'ynasangiz, shuncha ko'p yo'qotasiz. Natijada, siz soatlik daromadingizni maksimal darajada oshirishingiz uchun ijobiy kutishingizni maksimal darajada oshiradigan yoki salbiy kutishingizni inkor etadigan o'yinni birinchi o'ringa qo'yishingiz kerak.
O'yin strategiyasida ijobiy matematik kutish
Agar siz kartalarni qanday hisoblashni bilsangiz, ular buni sezmasa va sizni haydab chiqarishmasa, siz kazinodan ustunlikka ega bo'lishingiz mumkin. Kazinolar mast qimorbozlarni yaxshi ko'radilar va kartalarni sanashga dosh berolmaydilar. Afzallik sizga vaqt o'tishi bilan yo'qotganingizdan ko'ra ko'proq g'alaba qozonish imkonini beradi. yaxshi boshqaruv Kutish hisob-kitoblaridan foydalangan holda kapital sizning chekkangizni kapitallashtirishga va yo'qotishlaringizni kamaytirishga yordam beradi. Imtiyozsiz, pulni xayriyaga berganingiz ma'qul. Birjadagi o'yinda ustunlik o'yin tizimi tomonidan beriladi, bu esa yo'qotishlardan, narxlardagi farqlardan va komissiyalardan ko'ra ko'proq foyda keltiradi. Hech qanday pul boshqaruvi yomon o'yin tizimini saqlab qolmaydi.
Ijobiy kutish noldan katta qiymat bilan belgilanadi. Bu raqam qanchalik katta bo'lsa, statistik kutish shunchalik kuchli bo'ladi. Agar qiymat noldan kichik bo'lsa, matematik kutish ham manfiy bo'ladi. Salbiy qiymat moduli qanchalik katta bo'lsa, vaziyat shunchalik yomon bo'ladi. Agar natija nolga teng bo'lsa, unda kutilgan natija buziladi. Siz faqat ijobiy matematik kutish, oqilona o'yin tizimiga ega bo'lganingizda g'alaba qozonishingiz mumkin. Sezgi ustida o'ynash falokatga olib keladi.
Matematik kutish va birja savdosi
Matematik kutish moliyaviy bozorlarda birja savdolarida juda keng talab qilinadigan va mashhur statistik ko'rsatkichdir. Avvalo, bu parametr savdo muvaffaqiyatini tahlil qilish uchun ishlatiladi. Bu qiymat qanchalik katta bo'lsa, o'rganilayotgan savdoni muvaffaqiyatli deb hisoblash uchun sabab ko'proq ekanligini taxmin qilish qiyin emas. Albatta, treyder ishini tahlil qilish faqat ushbu parametr yordamida amalga oshirilmaydi. Biroq, hisoblangan qiymat ish sifatini baholashning boshqa usullari bilan birgalikda tahlilning aniqligini sezilarli darajada oshirishi mumkin.
Matematik kutish tez-tez depozit bo'yicha amalga oshirilgan ishlarni tezda baholash imkonini beruvchi savdo hisobini monitoring qilish xizmatlarida hisoblab chiqiladi. Istisno sifatida biz savdolarni yo'qotishning "ortiqcha qolishi" dan foydalanadigan strategiyalarni keltirishimiz mumkin. Treyder bir muncha vaqt omadli bo'lishi mumkin va shuning uchun uning ishida hech qanday yo'qotish bo'lmasligi mumkin. Bunday holda, faqat kutish orqali harakat qilish mumkin bo'lmaydi, chunki ishda ishlatiladigan xavflar hisobga olinmaydi.
Bozorda savdo qilishda matematik kutish ko'pincha savdo strategiyasining rentabelligini bashorat qilishda yoki uning oldingi savdolari statistikasi asosida treyderning daromadini bashorat qilishda qo'llaniladi.
Pulni boshqarishga kelsak, salbiy kutish bilan savdo qilishda, albatta, yuqori daromad keltiradigan pulni boshqarish sxemasi yo'qligini tushunish juda muhimdir. Agar siz ushbu shartlar ostida birjani o'ynashda davom etsangiz, pulingizni qanday boshqarishingizdan qat'i nazar, boshida qanchalik katta bo'lishidan qat'i nazar, butun hisobingizni yo'qotasiz.
Bu aksioma nafaqat salbiy kutish o'yinlari yoki savdolari uchun, balki hatto koeffitsientli o'yinlar uchun ham amal qiladi. Shuning uchun, uzoq muddatda foyda olish imkoniyatiga ega bo'lgan yagona holat - bu ijobiy matematik kutish bilan bitimlar tuzish.
Salbiy kutish va ijobiy kutish o'rtasidagi farq hayot va o'lim o'rtasidagi farqdir. Kutish qanchalik ijobiy yoki salbiy bo'lishi muhim emas; muhimi ijobiy yoki salbiy. Shuning uchun, pulni boshqarishni ko'rib chiqishdan oldin, siz ijobiy kutilgan o'yinni topishingiz kerak.
Agar sizda bu o'yin bo'lmasa, unda dunyodagi hech qanday pul boshqaruvi sizni qutqarmaydi. Boshqa tomondan, agar sizda ijobiy umid bo'lsa, pulni to'g'ri boshqarish orqali uni eksponent o'sish funktsiyasiga aylantirish mumkin. Ijobiy kutish qanchalik kichik bo'lishi muhim emas! Boshqacha qilib aytganda, bitta shartnomaga asoslangan savdo tizimi qanchalik foydali ekanligi muhim emas. Agar sizda bitta savdo bo'yicha har bir shartnoma uchun 10 dollar yutib oladigan tizim bo'lsa (to'lovlar va sirg'ayishdan keyin), har bir savdo uchun o'rtacha 1000 AQSh dollari foyda ko'rsatadigan tizimdan ko'ra ko'proq foyda keltirish uchun pulni boshqarish usullaridan foydalanishingiz mumkin (komissiya va komissiyalar chegirib tashlanganidan keyin). sirpanish).
Muhimi, tizim qanchalik foydali bo'lganligi emas, balki kelajakda tizim hech bo'lmaganda minimal foyda ko'rsatishini qanchalik aniq aytish mumkin. Shuning uchun, treyder amalga oshirishi mumkin bo'lgan eng muhim tayyorgarlik, tizim kelajakda kutilgan ijobiy qiymatni ko'rsatishiga ishonch hosil qilishdir.
Kelajakda kutilgan ijobiy qiymatga ega bo'lish uchun tizimingizning erkinlik darajasini cheklamaslik juda muhimdir. Bunga nafaqat optimallashtiriladigan parametrlar sonini yo'q qilish yoki kamaytirish, balki imkon qadar ko'proq tizim qoidalarini kamaytirish orqali erishiladi. Siz qo'shadigan har bir parametr, siz kiritgan har bir qoida, tizimga kiritilgan har bir kichik o'zgarish erkinlik darajalari sonini kamaytiradi. Ideal holda, siz juda ibtidoiy va qurishni xohlaysiz oddiy tizim, bu deyarli har qanday bozorda doimiy ravishda kichik daromad keltiradi. Yana shuni tushunishingiz kerakki, tizim qanchalik foydali bo'lishidan qat'iy nazar, agar u foydali bo'lsa. Savdoda topgan pulingiz orqali olinadi samarali boshqaruv pul.
Savdo tizimi oddiygina pul boshqaruvidan foydalanish uchun sizga ijobiy matematik kutish imkonini beruvchi vositadir. Faqat bir yoki bir nechta bozorlarda ishlaydigan (hech bo'lmaganda minimal foydani ko'rsatadigan) yoki turli bozorlar uchun turli qoidalar yoki parametrlarga ega bo'lgan tizimlar uzoq vaqt davomida real vaqt rejimida ishlamaydi. Ko'pgina texnik treyderlar bilan bog'liq muammo shundaki, ular optimallashtirish uchun juda ko'p vaqt va kuch sarflashadi. turli qoidalar va savdo tizimi parametrlarining qiymatlari. Bu butunlay qarama-qarshi natijalar beradi. Savdo tizimining foydasini oshirish uchun energiya va kompyuter vaqtini behuda sarflashning o'rniga, kuchingizni minimal foyda olishning ishonchlilik darajasini oshirishga yo'naltiring.
Pulni boshqarish ijobiy umidlardan foydalanishni talab qiladigan shunchaki raqamli o'yin ekanligini bilgan holda, treyder birja savdosining "muqaddas kosasi" ni qidirishni to'xtatishi mumkin. Buning o'rniga, u o'zining savdo usulini sinab ko'rishni boshlashi mumkin, bu usulning mantiqan qanchalik to'g'ri ekanligini, ijobiy umidlarni beradimi yoki yo'qligini bilib oladi. To'g'ri usullar har qanday, hatto juda o'rtacha savdo usullarida qo'llaniladigan pul boshqaruvi qolgan ishni bajaradi.
Har qanday treyder o'z ishida muvaffaqiyatli bo'lishi uchun u eng ko'p uchtasini hal qilishi kerak muhim vazifalar: . Muvaffaqiyatli bitimlar soni muqarrar xatolar va noto'g'ri hisob-kitoblardan oshib ketishini ta'minlash; Pul topish imkoniyati imkon qadar tez-tez bo'lishi uchun savdo tizimingizni sozlang; Operatsiyalaringizning barqaror ijobiy natijasiga erishing.
Va bu erda, biz, ishlaydigan treyderlar uchun matematik kutish yaxshi yordam berishi mumkin. Ehtimollik nazariyasidagi bu atama kalitlardan biridir. Uning yordamida siz tasodifiy qiymatning o'rtacha bahosini berishingiz mumkin. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tortishish markaziga o'xshaydi, agar biz barcha mumkin bo'lgan ehtimollarni turli xil massali nuqtalar sifatida tasavvur qilsak.
Savdo strategiyasiga nisbatan uning samaradorligini baholash uchun ko'pincha foyda (yoki zarar) ni matematik kutish qo'llaniladi. Ushbu parametr foyda va zararning berilgan darajalari mahsulotlarining yig'indisi va ularning paydo bo'lish ehtimoli sifatida aniqlanadi. Misol uchun, ishlab chiqilgan savdo strategiyasi barcha operatsiyalarning 37% foyda keltiradi, qolgan qismi - 63% - foydasiz bo'ladi. Shu bilan birga, muvaffaqiyatli bitimdan o'rtacha daromad $7, o'rtacha yo'qotish $1,4 bo'ladi. Keling, quyidagi tizim yordamida savdoning matematik kutilishini hisoblaylik:
Bu raqam nimani anglatadi? Unda aytilishicha, ushbu tizim qoidalariga rioya qilgan holda, biz har bir yopiq bitimdan o'rtacha 1,708 dollar olamiz. Olingan samaradorlik ko'rsatkichi noldan katta bo'lganligi sababli, bunday tizim haqiqiy ish uchun ishlatilishi mumkin. Agar hisob-kitob natijasida matematik kutish salbiy bo'lib chiqsa, bu allaqachon o'rtacha yo'qotishni ko'rsatadi va bunday savdo halokatga olib keladi.
Savdo bo'yicha foyda miqdori nisbiy qiymat sifatida% shaklida ham ifodalanishi mumkin. Masalan:
– 1 tranzaksiya uchun daromad ulushi - 5%;
– muvaffaqiyatli savdo operatsiyalari ulushi - 62%;
– 1 savdo uchun yo‘qotish foizi – 3%;
- muvaffaqiyatsiz bitimlar ulushi - 38%;
Ya'ni, o'rtacha bitim 1,96% olib keladi.
Yo'qotilgan savdolarning ustunligiga qaramay, beradigan tizimni ishlab chiqish mumkin ijobiy natija, chunki uning MO>0.
Biroq, yolg'iz kutish etarli emas. Tizim juda kam savdo signallarini bersa, pul ishlash qiyin. Bunday holda, uning rentabelligi bank foizlari bilan taqqoslanadi. Har bir operatsiya o'rtacha atigi 0,5 dollar olib kelsin, lekin agar tizim yiliga 1000 ta tranzaksiyani o'z zimmasiga olsa-chi? Bu nisbatan qisqa vaqt ichida juda jiddiy miqdor bo'ladi. Bundan mantiqan kelib chiqadiki, boshqasi belgi yaxshi savdo tizimini hisobga olish mumkin qisqa muddatga lavozimlarni egallash.
Manbalar va havolalar
dic.academic.ru - akademik onlayn lug'at
mathematics.ru - matematika bo'yicha o'quv sayti
nsu.ru - Novosibirskning ta'lim sayti davlat universiteti
webmath.ru ta'lim portali talabalar, abituriyentlar va maktab o'quvchilari uchun.
exponenta.ru o'quv matematik sayti
ru.tradimo.com - bepul onlayn savdo maktabi
crypto.hut2.ru - ko'p tarmoqli axborot resursi
poker-wiki.ru - pokerning bepul ensiklopediyasi
sernam.ru Ilmiy kutubxona tanlangan tabiiy fanlar nashrlari
reshim.su - veb-sayt SOLVE topshiriqlarni nazorat qilish kurs ishlari
unfx.ru - UNFX bo'yicha Forex: ta'lim, savdo signallari, ishonchli boshqaruv
slovopedia.com - Katta ensiklopedik lug'at Slovopediya
pokermansion.3dn.ru - Sizning poker olamiga qo'llanma
statanaliz.info - "Statistik ma'lumotlarni tahlil qilish" axborot blogi
forex-trader.rf - Forex-Trader portali
megafx.ru - eng so'nggi Forex tahlillari
fx-by.com - treyder uchun hamma narsa
Tasodifiy o'zgaruvchini taqsimlash (tarqatish aholi) odatda bir qator raqamli belgilar bilan tavsiflanadi:
- normal taqsimot uchun N(a, s) matematik kutilma a va standart og'ish s;
- Uchun yagona taqsimlash R (a, b) - bu tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari kuzatiladigan oraliq chegaralari.
Agar taxmin bitta raqam bilan aniqlangan bo'lsa, u chaqiriladi ball bahosi. Nuqtalarni baholash, namunaning funktsiyasi sifatida, tasodifiy o'zgaruvchidir va takroriy tajribalar davomida namunadan namunaga o'zgaradi.
Ballar baholari har qanday ma'noda "yaxshi" bo'lishi uchun qondirishi kerak bo'lgan talablarga bo'ysunadi. Bu xolislik, samaradorlik Va to'lov qobiliyati.
Intervalli taxminlar ikki raqam bilan aniqlanadi - taxminiy parametrni qoplaydigan intervalning uchlari. Hisoblangan parametr ulardan qanchalik uzoqda bo'lishi mumkinligi haqida tasavvurga ega bo'lmagan nuqtali hisob-kitoblardan farqli o'laroq, intervalli hisob-kitoblar hisob-kitoblarning aniqligi va ishonchliligini aniqlashga imkon beradi.
Matematik kutish, dispersiya va standart og'ishning nuqtaviy bahosi sifatida namunaviy xarakteristikalar mos ravishda tanlanma o'rtacha, tanlama dispersiyasi va namunaviy standart og'ishdan foydalaniladi.
Xolis mulkni baholash.
Baholash uchun kerakli talab - bu tizimli xatoning yo'qligi, ya'ni. takroriy foydalanish bilan, uning taxminiy parametri th o'rniga, taxminiy xatoning o'rtacha qiymati nolga teng - bu mulkni xolis baholash.
Ta'rif. Agar uning matematik taxmini taxmin qilingan parametrning haqiqiy qiymatiga teng bo'lsa, baho xolis deb ataladi:
Namuna arifmetik o'rtacha matematik kutishning xolis bahosi va tanlov dispersiyasidir. 
- umumiy dispersiyaning noxolis bahosi D. Umumiy dispersiyaning xolis bahosi bu taxmindir
Baholashning izchillik xususiyati.
Baholashning ikkinchi talabi - uning izchilligi - tanlanma hajmining oshishi bilan smeta yaxshilanishini anglatadi.
Ta'rif. Baho 
n→∞ sifatida taxmin qilingan th parametriga ehtimollik bilan yaqinlashsa, izchil deyiladi.
Ehtimollik bo'yicha yaqinlashuv shuni anglatadiki, katta tanlama hajmi bilan taxminning haqiqiy qiymatdan katta og'ish ehtimoli kichikdir.
Samarali baholash xususiyati.
Uchinchi talab bir xil parametrning bir nechta taxminlaridan eng yaxshi bahoni tanlash imkonini beradi.
Ta'rif. Xolis baholovchi barcha xolis baholovchilar orasida eng kichik dispersiyaga ega bo‘lsa samarali hisoblanadi.
Bu shuni anglatadiki, samarali baholash parametrning haqiqiy qiymatiga nisbatan minimal tarqalishga ega. E'tibor bering, samarali baholovchi har doim ham mavjud emas, lekin odatda ikkita baholovchidan samaraliroq baholovchini tanlash mumkin, ya'ni. kamroq dispersiya bilan. Masalan, oddiy umumiy bosh N(a,s) ning noma’lum parametri uchun tanlamaning o’rtacha arifmetik qiymatini ham, tanlama medianasini ham xolis baho sifatida olish mumkin. Ammo namunaviy mediananing dispersiyasi o'rtacha arifmetik dispersiyadan taxminan 1,6 baravar katta. Shuning uchun, yanada samarali baholash namunaviy arifmetik o'rtacha hisoblanadi.
№1 misol. Ba'zi tasodifiy o'zgaruvchilarning o'lchovlari dispersiyasini bitta qurilma bo'yicha (sistematik xatolarsiz) xolis bahosini toping, o'lchash natijalari (mm da): 13,15,17.
Yechim. Ko'rsatkichlarni hisoblash uchun jadval.
| x | |x - x cf | | (x - x sr) 2 |
| 13 | 2 | 4 |
| 15 | 0 | 0 |
| 17 | 2 | 4 |
| 45 | 4 | 8 |
oddiy arifmetik o'rtacha(xolis kutish bahosi)
Dispersiya- uning o'rtacha qiymati atrofida tarqalish o'lchovini tavsiflaydi (tarqalish o'lchovi, ya'ni o'rtacha qiymatdan og'ish - noaniq baholash).
Dispersiyani xolis baholovchi- dispersiyani izchil baholash (tuzatilgan dispersiya).
№2 misol. Ba'zi tasodifiy o'zgaruvchilarning o'lchovlarini bitta qurilma (tizimli xatolarsiz) bo'yicha matematik kutilmalarining xolis bahosini toping, o'lchash natijalari (mm): 4,5,8,9,11.
Yechim. m = (4+5+8+9+11)/5 = 7,4
№3 misol. Agar tanlama dispersiyasi D = 180 bo‘lsa, n=10 tanlama kattaligi uchun tuzatilgan S 2 dispersiyani toping.
Yechim. S 2 \u003d n * D / (n-1) \u003d 10 * 180 / (10-1) \u003d 200
Tasodifiy tanlama kuzatilgan tasodifiy o'zgaruvchi p, matematik kutish va dispersiya tomonidan yaratilsin. 
qaysilari noma'lum. Ushbu xususiyatlarni baholash uchun o'rtacha tanlamadan foydalanish taklif qilindi
va namunaviy farq
. (3.14)
Keling, matematik kutish va dispersiyani baholashning ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.
1. O‘rtacha tanlanmaning matematik kutilmasini hisoblang:
Shuning uchun, o'rtacha namunaviy qiymat uchun xolis baholovchi hisoblanadi.
2. Natijalarni eslang 
kuzatishlar mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lib, ularning har biri qiymat bilan bir xil taqsimot qonuniga ega, bu shuni anglatadiki 
, 
, . Biz dispersiyani chekli deb hisoblaymiz. Keyin, Chebishevning katta sonlar qonuni teoremasiga ko'ra, har qanday e > 0 uchun biz tenglikka ega bo'lamiz. 
,
bu shunday yozilishi mumkin: 
. (3.16) (3.16) muvofiqlik xususiyatining ta'rifi (3.11) bilan solishtirsak, taxmin kutilayotganning izchil bahosi ekanligini ko'ramiz.
3. O‘rtacha tanlamaning dispersiyasini toping:
. (3.17)
Shunday qilib, kutilgan taxminning dispersiyasi tanlov hajmiga teskari ravishda kamayadi.
Isbotlash mumkinki, agar tasodifiy o'zgaruvchi p normal taqsimlangan bo'lsa, u holda tanlanma o'rtacha matematik kutishning samarali bahosidir, ya'ni dispersiya oladi. eng kichik qiymat matematik kutishning boshqa har qanday bahosi bilan solishtirganda. b ning boshqa taqsimot qonunlari uchun bunday bo'lmasligi mumkin.
Namuna dispersiyasi dispersiyaning noxolis bahosidir, chunki 
. (3.18)
Haqiqatan ham, matematik kutish va formulaning (3.17) xususiyatlaridan foydalanib, biz topamiz
.
Dispersiyaning xolis bahosini olish uchun (3.14) bahoni tuzatish, ya'ni ga ko'paytirish kerak. Keyin biz xolis tanlanma dispersiyani olamiz
. (3.19)
Shuni ta'kidlaymizki, (3.14) va (3.19) formulalar faqat maxrajda farqlanadi va katta qiymatlar uchun tanlanma va xolis dispersiya biroz farq qiladi. Biroq, kichik namuna hajmi uchun (3.19) munosabatdan foydalanish kerak.
Tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishini baholash uchun xolis dispersiyaning kvadrat ildiziga teng bo'lgan "tuzatilgan" standart og'ish qo'llaniladi: .
Intervalli taxminlar
Statistikada taqsimotlarning noma'lum parametrlarini baholashning ikkita yondashuvi mavjud: nuqta va interval. Oldingi bo'limda muhokama qilingan nuqtani baholashga muvofiq, faqat taxminiy parametr joylashgan nuqta ko'rsatilgan. Biroq, bu parametr turli kuzatuvlar seriyalarida taxminlarni amalga oshirishdan qanchalik uzoqda bo'lishi mumkinligini bilish maqsadga muvofiqdir.
Bu savolga javob - shuningdek, taxminiy - parametrlarni baholashning yana bir usuli - intervalni beradi. Ushbu baholash usuliga muvofiq, ehtimollik birga yaqin bo'lgan noma'lumni qamrab oladigan interval topiladi. raqamli qiymat parametr.
Intervallarni baholash tushunchasi
Nuqtalarni baholash 
tasodifiy o'zgaruvchidir va namunaning mumkin bo'lgan ilovalari uchun faqat parametrning haqiqiy qiymatiga teng qiymatlarni oladi. Farq qancha kichik bo'lsa, taxmin shunchalik aniqroq bo'ladi. Shunday qilib, buning uchun ijobiy raqam 
, smeta to'g'riligini tavsiflaydi va deyiladi baholash xatosi (yoki marjinal xato).
Ishonch ehtimoli(yoki ishonchlilik) ehtimollik deyiladi β
, bu bilan tengsizlik , ya'ni.
. (3.20)
Tengsizlikni almashtirish uning ekvivalent qo'sh tengsizligi 
, yoki 
, olamiz
Interval 
ehtimollik bilan qoplash β
, , noma'lum parametr , deyiladi ishonch oralig'i
(yoki intervalni baholash), ishonch darajasiga mos keladi β
.
Tasodifiy o'zgaruvchi nafaqat taxmin, balki xatodir: uning qiymati ehtimollikka bog'liq β va, qoida tariqasida, namunadan. Shuning uchun ishonch oralig'i tasodifiy bo'lib, ifoda (3.21) quyidagicha o'qilishi kerak: "Interval parametrni ehtimollik bilan qamrab oladi. β ”, va bu kabi emas: “Parametr ehtimollik bilan intervalga tushadi β ”.
Ishonch oralig'ining ma'nosi shundan iboratki, namuna hajmini takroriy takrorlash bilan holatlarning nisbiy nisbatida teng bo'ladi. β , ishonch darajasiga mos keladigan ishonch oralig'i β , taxminiy parametrning haqiqiy qiymatini qamrab oladi. Shunday qilib, ishonch darajasi β xarakterlaydi ishonchlilik ishonchni baholash: ko'proq β , ishonch oralig'ini amalga oshirish noma'lum parametrni o'z ichiga olishi ehtimoli ko'proq.
Statistik baholar taxmin qilingan parametrlarga yaxshi yaqinlik berishi uchun ular xolis, samarali va izchil bo'lishi kerak.
xolis parametrning statistik bahosi deyiladi 
, matematik kutish har qanday tanlama kattaligi uchun taxminiy parametrga teng.
Ko'chirilgan statistik baholash deb ataladi 
parametr 
, uning matematik kutilishi taxminiy parametrga teng bo'lmagan.
samarali statistik baholash deb ataladi 
parametr 
, bu ma'lum bir namuna hajmi uchun 
eng kichik farqga ega.
Boy statistik baholash deb ataladi 
parametr 
, qaysi da 
taxmin qilingan parametrga ehtimollik moyilligi.
ya'ni har qanday uchun 
.
Turli o'lchamdagi namunalar uchun o'rtacha arifmetik va statistik dispersiyaning turli qiymatlari olinadi. Shuning uchun o'rtacha arifmetik va statistik dispersiya tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lib, ular uchun matematik kutish va dispersiya mavjud.
Arifmetik o'rtacha va dispersiyaning matematik kutilishini hisoblaymiz. tomonidan belgilang 
tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi 
Bu erda quyidagilar tasodifiy o'zgaruvchilar sifatida qabul qilinadi: 
– S.V., ularning qiymatlari turli hajmdagi namunalar uchun olingan birinchi qiymatlarga teng 
umumiy aholidan 
–S.V., uning qiymatlari turli hajmdagi namunalar uchun olingan ikkinchi qiymatlarga teng 
umumiy aholidan, ..., 
- qiymatlari teng bo'lgan S.V 
- turli hajmli namunalar uchun olingan qiymatlar 
umumiy aholidan. Ushbu tasodifiy o'zgaruvchilarning barchasi bir xil qonun bo'yicha taqsimlanadi va bir xil matematik taxminlarga ega.
(1) formuladan kelib chiqadiki, o'rtacha arifmetik taxmin matematik kutishning xolis bahosidir, chunki o'rtacha arifmetik kutilma tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishiga tengdir. Bu taxmin ham mos keladi. Ushbu bahoning samaradorligi tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish turiga bog'liq 
. Agar, masalan, 
normal taqsimlangan bo'lsa, o'rtacha arifmetik yordamida kutilgan qiymatni baholash samarali bo'ladi.
Keling, dispersiyaning statistik bahosini topamiz.
Statistik dispersiyaning ifodasini quyidagicha o'zgartirish mumkin
(2)
Endi statistik dispersiyaning matematik kutilmasini topamiz
.
(3)
Sharti bilan; inobatga olgan holda 
(4)
biz (3) dan olamiz -
(6) formuladan ko'rinib turibdiki, statistik dispersiyaning matematik kutilishi dispersiyadan bir omil bilan farqlanadi, ya'ni. populyatsiya dispersiyasining noxolis bahosidir. Buning sababi haqiqiy qiymat o'rniga 
, bu noma'lum, dispersiyani baholash uchun statistik o'rtacha qiymatdan foydalaniladi 
.
Shuning uchun biz tuzatilgan statistik dispersiyani kiritamiz
(7)
Keyin tuzatilgan statistik dispersiyaning matematik kutilishi
bular. to'g'rilangan statistik dispersiya - bu populyatsiya dispersiyasining xolis bahosi. Olingan taxmin ham mos keladi.
Sinov natijalari bo'yicha matematik kutishni baholash zarurati tajriba natijasi tasodifiy o'zgaruvchi bilan tavsiflangan va o'rganilayotgan ob'ektning sifat ko'rsatkichi ushbu tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi deb qabul qilingan muammolarda paydo bo'ladi. Masalan, tizimning ish vaqtining matematik kutilishi ishonchlilik ko'rsatkichi sifatida qabul qilinishi mumkin va ishlab chiqarish samaradorligini baholashda yaxshi mahsulot sonining matematik kutilishi va boshqalar.
Matematik kutishni baholash muammosi quyidagicha tuzilgan. Aniqlash uchun buni faraz qilaylik noma'lum qiymat X tasodifiy o'zgaruvchisi n ta mustaqil va tizimli xatolarsiz o'lchovlarni amalga oshirishi kerak X v X 2 ,..., X p. Matematik kutishning eng yaxshi bahosini tanlash talab qilinadi.
Amalda matematik kutishning eng yaxshi va eng keng tarqalgan bahosi test natijalarining o'rtacha arifmetik qiymati hisoblanadi.
ham chaqiriladi statistik yoki namunaviy o'rtacha.
Keling, taxminni ko'rsatamiz t x har qanday parametrni baholash uchun barcha talablarni qondiradi.
1. (5.10) ifodadan kelib chiqadiki
ya'ni ball t "x- xolis baholash.
2. Chebishev teoremasiga ko'ra, test natijalarining o'rtacha arifmetik qiymati matematik kutishga ehtimollik bilan yaqinlashadi, ya'ni.
Binobarin, taxmin (5.10) kutishning izchil bahosidir.
3. Baholash dispersiyasi t x, teng
Namuna hajmi ortishi bilan n cheksiz ravishda kamayadi. Agar X tasodifiy miqdor normal taqsimot qonuniga bo'ysunadigan bo'lsa, u holda har qanday bo'lishi isbotlangan P dispersiya (5.11) mumkin bo'lgan minimal va taxmin bo'ladi t x- matematik kutishni samarali baholash. Baholashning tafovutini bilish ushbu taxmin yordamida matematik taxminning noma'lum qiymatini aniqlashning to'g'riligi haqida xulosa chiqarish imkonini beradi.
Matematik kutishni baholash uchun o'rtacha arifmetik o'lchov natijalari bir xil darajada aniq bo'lsa ishlatiladi (D, dispersiyalar, i = 1, 2, ..., P har bir o'lchovda bir xil). Biroq, amalda, o'lchov natijalari teng bo'lmagan vazifalar bilan shug'ullanish kerak (masalan, sinov paytida o'lchovlar turli asboblar bilan amalga oshiriladi). Bunday holda, matematik kutish uchun smeta shaklga ega
Qayerda 
- i-chi o'lchovning og'irligi.
(5.12) formulada har bir o'lchov natijasi o'z vazni bilan kiritilgan BILAN.. Shuning uchun o'lchov natijalarini baholash t x chaqirdi vaznli o'rtacha.
Ko'rsatish mumkinki, smeta (5.12) kutilayotgan taxminning xolis, izchil va samarali bahosidir. Baholashning minimal farqi tomonidan berilgan
Kompyuter modellari bilan eksperimentlar o'tkazishda shunga o'xshash muammolar bir nechta testlar seriyasi natijalari bo'yicha taxminlar topilganda va har bir seriyadagi testlar soni boshqacha bo'lganda paydo bo'ladi. Masalan, hajmli ikkita sinov seriyasi o'tkazildi p 1 va n 2, natijalariga ko'ra hisob-kitoblar T xi va t x _. Matematik kutishni aniqlashning aniqligi va ishonchliligini oshirish uchun ushbu testlar seriyasining natijalari birlashtiriladi. Buning uchun (5.12) ifodadan foydalaning.
C koeffitsientlarini hisoblashda D dispersiyalari o'rniga ularning har bir seriyadagi test natijalaridan olingan baholari almashtiriladi.
Xuddi shunday yondashuv bir qator testlar natijalariga ko'ra tasodifiy hodisaning yuzaga kelish ehtimolini aniqlashda ham qo'llaniladi.
X tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini baholash uchun o'rtacha tanlamaga qo'shimcha ravishda boshqa statistik ma'lumotlardan foydalanish mumkin. Ko'pincha bu maqsadda a'zolar ishlatiladi. variatsion qator, ya'ni buyurtma statistikasi, uning asosida hisob-kitoblar tuziladi,
asosiy talablarni qondirish, ya'ni izchillik va xolislik.
Faraz qilaylik, variatsiya qatori mavjud n = 2k a'zolari. Keyin har qanday o'rtacha ko'rsatkichni matematik kutishning taxminiy bahosi sifatida olish mumkin:
Qayerda to-e o'rtacha
Bu tasodifiy X ning taqsimlanishining statistik medianasidan boshqa narsa emas, chunki aniq tenglik sodir bo'ladi.
Statistik mediananing afzalligi shundaki, u anomal kuzatuv natijalarining ta'siridan xoli bo'lib, birinchi o'rtacha, ya'ni variatsion qatorlarning eng kichik va eng ko'p o'rtacha qiymatini qo'llashda bu muqarrar.
G'alati namuna o'lchami bilan P = 2k- 1 statistik median uning o'rta elementi, ya'ni. Kimga-variatsiya seriyasining a'zosi Men = x k.
Arifmetik o'rtacha matematik kutishning samarali bahosi bo'lmagan taqsimotlar mavjud, masalan, Laplas taqsimoti. Ko'rsatish mumkinki, Laplas taqsimoti uchun o'rtachaning samarali bahosi namunaviy mediana hisoblanadi.
Agar X tasodifiy o'zgaruvchisi normal taqsimotga ega bo'lsa, unda etarlicha katta tanlama kattaligi bilan statistik mediananing taqsimot qonuni sonli xarakteristikalar bilan normalga yaqin ekanligi isbotlangan.
(5.11) va (5.14) formulalarni solishtirganda statistik mediananing dispersiyasi o'rtacha arifmetik dispersiyadan 1,57 marta katta ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun, matematik kutishning taxminiy arifmetik o'rtacha qiymati statistik medianaga qaraganda ancha samaraliroqdir. Biroq, hisob-kitoblarning soddaligi, anomal o'lchov natijalariga befarqligi (namunaning ifloslanishi) tufayli amalda statistik mediana matematik kutishning taxminiy bahosi sifatida ishlatiladi.
Shuni ta'kidlash kerakki, uzluksiz simmetrik taqsimotlar uchun o'rtacha va mediana bir xil bo'ladi. Shuning uchun, statistik mediana tasodifiy o'zgaruvchining nosimmetrik taqsimoti uchun faqat matematik kutishning yaxshi bahosi bo'lib xizmat qilishi mumkin.
Egri taqsimotlar uchun statistik mediana Men Matematik kutilmaga nisbatan sezilarli moyillikka ega, shuning uchun uni baholash uchun yaroqsiz.
