Jismning o'q atrofida aylanishiga aniq misol sifatida mayatniklarning harakatini ko'rib chiqing.
Jismoniy mayatnik deyiladi qattiq, ega gorizontal o'q aylanish, uning atrofida uning og'irligi ta'sirida tebranish harakatlarini amalga oshiradi (119-rasm).
Mayatnikning holati uning muvozanat holatidan chetlanish burchagi bilan to'liq aniqlanadi va shuning uchun mayatnikning harakat qonunini aniqlash uchun bu burchakning vaqtga bog'liqligini topish kifoya.
Shakl tenglamasi:
mayatnikning harakat tenglamasi (qonuni) deyiladi. Bu dastlabki shartlarga, ya'ni burchak va burchak tezligiga bog'liq.Shunday qilib,
Jismoniy mayatnikning cheklovchi holati matematik mayatnik bo'lib, u (avval aytilganidek - 2-bob, 3-band) gorizontal o'q bilan bog'langan moddiy nuqtani ifodalaydi, uning atrofida qattiq vaznsiz tayoq bilan aylanadi (120-rasm). Moddiy nuqtaning aylanish o'qidan masofasi matematik mayatnik uzunligi deb ataladi.
Fizik va matematik mayatniklarning harakat tenglamalari
Koordinata o'qlari sistemasini tanlaymizki, xy tekislik C jismning og'irlik markazidan o'tadi va chizmada ko'rsatilganidek, mayatnikning burilish tekisligi bilan mos keladi (119-rasm). Chizma tekisligiga perpendikulyar o'qni biz tomon yo'naltiramiz. Keyin, oldingi paragrafning natijalariga asoslanib, biz fizik mayatnikning harakat tenglamasini quyidagi shaklda yozamiz:
bu yerda orqali mayatnikning aylanish o'qiga nisbatan inersiya momentini bildiradi va
Shuning uchun siz yozishingiz mumkin:
Sarkacga ta'sir qiluvchi faol kuch uning og'irligi bo'lib, uning momenti og'irlik o'qiga nisbatan bo'ladi:
bu yerda mayatnikning aylanish oʻqidan uning massa markazi C gacha boʻlgan masofa.
Shunday qilib, biz fizik mayatnik harakatining quyidagi tenglamasiga erishamiz:
Matematik mayatnik fizikning alohida holati bo'lgani uchun yuqorida yozilgan differensial tenglama Bu matematik mayatnik uchun ham amal qiladi. Agar matematik mayatnikning uzunligi va uning og'irligiga teng bo'lsa, uning aylanish o'qiga nisbatan inersiya momenti teng bo'ladi.
Matematik mayatnikning og'irlik markazining o'qdan masofasi teng bo'lganligi sababli, matematik mayatnik harakatining yakuniy differensial tenglamasini quyidagi ko'rinishda yozish mumkin:
Fizik mayatnikning qisqargan uzunligi
(16.8) va (16.9) tenglamalarni taqqoslab, shunday xulosaga kelishimiz mumkin: agar fizik va matematik mayatniklarning parametrlari o'zaro bog'liqlik bilan bog'liq bo'lsa.
u holda fizik va matematik mayatniklarning harakat qonunlari bir xil (bir xil boshlang'ich sharoitlarda).
Oxirgi munosabat matematik mayatnik mos keladigan fizik mayatnik bilan bir xil tarzda harakat qilish uchun ega bo'lishi kerak bo'lgan uzunlikni ko'rsatadi. Bu uzunlik fizik mayatnikning qisqartirilgan uzunligi deb ataladi. Bu kontseptsiyaning ma'nosi shundan iboratki, fizik mayatnikning harakatini o'rganish oddiy mexanik sxema bo'lgan matematik mayatnikning harakatini o'rganish bilan almashtirilishi mumkin.
Mayatnik harakat tenglamasining birinchi integrali
Fizik va matematik mayatniklarning harakat tenglamalari bir xil shaklga ega, shuning uchun ularning harakat tenglamasi quyidagicha bo'ladi.
Ushbu tenglamada hisobga olinadigan yagona kuch potentsial kuch maydoniga tegishli tortishish kuchi bo'lganligi sababli, mexanik energiyaning saqlanish qonuni amal qiladi.
Ikkinchisini olish mumkin oddiy hiyla, (16.10) tenglamani shu vaqtga ko'paytiramiz
Ushbu tenglamani integrallash orqali biz olamiz
Dastlabki shartlardan Cu integrasiya konstantasini aniqlab, topamiz
Nisbiy uchun oxirgi tenglamani yechish orqali biz olamiz
Bu munosabat (16.10) differensial tenglamaning birinchi integralini ifodalaydi.
Fizik va matematik mayatniklarning tayanch reaksiyalarini aniqlash
Harakat tenglamalarining birinchi integrali mayatniklarning tayanch reaksiyalarini aniqlash imkonini beradi. Oldingi paragrafda ko'rsatilganidek, qo'llab-quvvatlovchi reaktsiyalar (16.5) tenglamalardan aniqlanadi. Jismoniy mayatnik holatida koordinata o'qlari bo'ylab faol kuchning tarkibiy qismlari va uning o'qlarga nisbatan momentlari quyidagicha bo'ladi:
Massa markazining koordinatalari quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
Keyin qo'llab-quvvatlash reaktsiyalarini aniqlash uchun tenglamalar shaklni oladi:
Jismning markazdan qochma inertsiya momentlari va tayanchlar orasidagi masofalar muammoning shartlariga muvofiq ma'lum bo'lishi kerak. va ichida burchak tezlanishi burchak tezligi s (16.9) va (16.4) tenglamalardan quyidagi shaklda aniqlanadi:
Shunday qilib, (16.12) tenglamalar fizik mayatnikning tayanch reaktsiyalarining tarkibiy qismlarini to'liq aniqlaydi.
Agar matematik mayatnikni ko'rib chiqsak, tenglamalar (16.12) yanada soddalashtiriladi. Darhaqiqat, matematik mayatnikning moddiy nuqtasi tekislikda joylashganligi sababli Bundan tashqari, bitta nuqta aniqlanganligi sababli, (16.12) tenglamalar quyidagi shakldagi tenglamalarga aylanadi:
(16.9) tenglama yordamida (16.13) tenglamalardan kelib chiqadiki, qo'llab-quvvatlash reaktsiyasi I ip bo'ylab yo'naltiriladi (120-rasm). Ikkinchisi aniq natijadir. Binobarin, tenglik komponentlarini (16.13) ipning yo'nalishiga proyeksiya qilib, biz shakl tayanchining reaktsiyasini aniqlash uchun tenglamani topamiz (120-rasm):
Bu erda qiymatni o'rniga qo'ying va biz quyidagilarni yozamiz:
Oxirgi munosabat matematik mayatnikning dinamik javobini aniqlaydi. E'tibor bering, uning statik reaktsiyasi bo'ladi
Mayatnik harakatining tabiatini sifatli o'rganish
Mayatnik harakati tenglamasining birinchi integrali uning harakatining tabiatini sifatli o'rganishga imkon beradi. Ya'ni, bu integralni (16.11) quyidagi shaklda yozamiz:
Harakat paytida radikal ifoda ijobiy bo'lishi yoki ba'zi nuqtalarda yo'qolishi kerak. Faraz qilaylik, dastlabki shartlar shunday
Bunday holda, radikal ifoda hech qaerda yo'qolmaydi. Shunday qilib, harakatlanayotganda, mayatnik burchakning barcha qiymatlaridan o'tadi va mayatnikdan keladigan burchak tezligi bir xil belgiga ega bo'lib, u boshlang'ich burchak tezligining yo'nalishi bilan belgilanadi yoki burchak barcha burchaklarni oshiradi. vaqtni yoki har doim kamaytiring, ya'ni mayatnik bir tomondan aylanadi.
Harakat yo'nalishlari (16.11) ifodadagi u yoki bu belgiga mos keladi. Majburiy shart Bunday harakatning amalga oshirilishi dastlabki burchak tezligining mavjudligidir, chunki (16.14) tengsizlikdan ma'lum bo'ladiki, agar u holda har qanday boshlang'ich burilish burchagida mayatnikning bunday harakatini olish mumkin emas.
Keling, dastlabki shartlar shunday bo'lsin
Bunday holda, radikal ifoda nolga aylanadigan ikkita burchak qiymati mavjud. Ular tenglik bilan aniqlangan burchaklarga mos kelsin
Bundan tashqari, u 0 dan ga qadar bo'lgan joyda bo'ladi. Bundan tashqari, qachon ekanligi aniq
radikal ifoda (16.11) ijobiy bo'ladi va o'zboshimchalik bilan bir oz oshib ketganda salbiy bo'ladi.
Shunday qilib, mayatnik harakatlanayotganda, uning burchagi diapazonda o'zgaradi:
Sarkacning burchak tezligi nolga tushganda va burchak qiymatiga kamayishni boshlaydi. Bunda burchak tezligining belgisi yoki (16.11) ifodadagi radikal oldidagi belgi o'zgaradi. Mayatnikning burchak tezligi yana nolga yetganda va burchak yana qiymatga o'ta boshlaganda
Shunday qilib, mayatnik tebranish harakatlarini amalga oshiradi
Mayatnik tebranishlarining amplitudasi
Mayatnik tebranayotganda uning vertikaldan chetlanishining maksimal qiymati tebranish amplitudasi deyiladi. Bu tenglikdan aniqlanadigan tengdir
Oxirgi formuladan kelib chiqqan holda, tebranishning amplitudasi sarkacning asosiy xarakteristikalari yoki uning qisqargan uzunligining dastlabki ma'lumotlariga bog'liq.
Muayyan holatda, mayatnik muvozanat holatidan burilsa va boshlang'ich tezliksiz qo'yib yuborilsa, u ga teng bo'ladi, shuning uchun amplituda qisqartirilgan uzunlikka bog'liq emas.
Yakuniy shakldagi mayatnikning harakat tenglamasi
Mayatnikning dastlabki tezligi nolga teng bo'lsin, u holda uning harakat tenglamasining birinchi integrali quyidagicha bo'ladi:
Ushbu tenglamani integrallab, topamiz
Biz vaqtni mayatnik o'rnidan hisoblaymiz, shunga mos keladi
Integratsiyani formuladan foydalanib o'zgartiramiz:
Keyin biz olamiz:
Olingan integral birinchi turdagi elliptik integral deyiladi. Uni chekli sonli elementar funksiyalar yordamida ifodalab bo‘lmaydi.
Elliptik integralning (16.15) uning yuqori chegarasiga nisbatan inversiyasi mayatnikning harakat tenglamasini ifodalaydi:
Bu yaxshi o'rganilgan Yakobi elliptik funktsiyasi bo'ladi.
Mayatnikning tebranish davri
Mayatnikning bir marta to'liq tebranishi uchun ketadigan vaqt uning tebranish davri deyiladi. Uni T deb belgilaymiz. Mayatnikning joydan pozitsiyaga harakat qilish vaqti bilan T dan boshlab harakatlanish vaqti bir xil bo'lgani uchun quyidagi formula bilan aniqlanadi:
ni qo'yish orqali o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz
0 dan o'zgarganda 0 dan ga o'zgaradi. Keyinchalik,
va shuning uchun
Oxirgi integral birinchi turdagi to'liq elliptik integral deb ataladi (uning qiymatlari maxsus jadvallarda keltirilgan).
Integrand birlikka intilganda va .
Mayatnikning kichik tebranishlarining taxminiy formulalari
Mayatnik tebranishlari kichik amplitudaga ega bo'lsa (amalda 20 ° dan oshmasligi kerak), siz qo'yishingiz mumkin
Keyin mayatnik harakatining differensial tenglamasi quyidagi shaklni oladi:
Matematik mayatnik
Kirish
Tebranish davri
xulosalar
Adabiyot
Kirish
Endi Galiley soborda ibodat qilib, bronza qandillarning tebranishini diqqat bilan kuzatgani haqidagi afsonani tasdiqlashning iloji yo'q. Men qandilning oldinga va orqaga harakat qilish vaqtini kuzatdim va aniqladim. Bu vaqt keyinchalik tebranish davri deb ataldi. Galileyning soati yo'q edi va turli uzunlikdagi zanjirlarga osilgan qandillarning tebranish davrini solishtirish uchun u puls chastotasidan foydalangan.
Mayatniklar soatlarning tezligini sozlash uchun ishlatiladi, chunki har qanday mayatnik juda aniq tebranish davriga ega. Mayatnik ham topadi muhim dastur geologik qidiruv ishlarida. Ma'lumki, dunyoning turli joylarida qadriyatlar mavjud g har xil. Ular bir-biridan farq qiladi, chunki Yer butunlay muntazam shar emas. Bundan tashqari, zich jinslar paydo bo'lgan joylarda, masalan, ba'zi metall rudalari, qiymati g anormal darajada yuqori. Aniq o'lchovlar g matematik mayatnik yordamida ba'zan bunday konlarni aniqlash mumkin.
Matematik mayatnikning harakat tenglamasi
Matematik mayatnik - vertikal aylana (tekis matematik mayatnik) yoki shar (sferik mayatnik) bo'ylab harakatlanadigan og'ir moddiy nuqta. Birinchi taxminga ko'ra, matematik mayatnikni cho'zilmaydigan egiluvchan ipga osilgan kichik yuk deb hisoblash mumkin.
Yassi matematik mayatnikning radiusli aylana bo'ylab harakatini ko'rib chiqaylik l bir nuqtada markazlashtirilgan HAQIDA(1-rasm). Biz nuqtaning o'rnini aniqlaymiz M(maatnik) og'ish burchagi j radiusi OM vertikaldan. Tangensni yo'naltirish M t j musbat burchakka qarab harakatning tabiiy tenglamasini tuzamiz. Bu tenglama harakat tenglamasidan tuzilgan
mVt=F+N, (1)
Qayerda F nuqtaga ta'sir etuvchi faol kuchdir va N- aloqa reaktsiyasi.
1-rasm
Biz Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra (1) tenglamani oldik, bu dinamikaning asosiy qonuni bo'lib, moddiy nuqta momentumining vaqt hosilasi unga ta'sir qiluvchi kuchga teng ekanligini bildiradi, ya'ni.
Massani doimiy deb hisoblasak, oldingi tenglamani shaklda ifodalashimiz mumkin
Qayerda V nuqtaning tezlashishi hisoblanadi.
Shunday qilib, t o'qiga proyeksiyada (1) tenglama nuqtaning berilgan qo'zg'almas silliq egri chiziq bo'ylab harakati uchun tabiiy tenglamalardan birini beradi:
Bizning holatda, biz t o'qiga proyeksiyada olamiz
,
Qayerda m mayatnikning massasi mavjud.
dan beri yoki , bu yerdan topamiz
.
tomonidan qisqartirish m va ishonish
, (3)
biz nihoyat ega bo'lamiz:
,
,
,
. (4)
Keling, avvalo kichik tebranishlar holatini ko'rib chiqaylik. Ichkariga ruxsat bering boshlanish momenti mayatnik vertikaldan burchakka buriladi j va dastlabki tezliksiz tushirildi. Keyin dastlabki shartlar quyidagicha bo'ladi:
da t= 0, 
. (5)
Energiya integralidan:
, (6)
Qayerda V- potentsial energiya va h- integrasiya konstantasi, shundan kelib chiqadiki, bu sharoitda istalgan vaqtda jJj 0 burchak. Doimiy qiymat h dastlabki ma’lumotlar asosida aniqlanadi. Faraz qilaylik, j 0 burchak kichik (j 0 Ј1); u holda j burchagi ham kichik bo'ladi va biz taxminan sinj»j o'rnatishimiz mumkin. Bu holda (4) tenglama shaklni oladi
. (7)
(7) tenglama oddiy garmonik tebranishning differensial tenglamasidir. Umumiy qaror bu tenglama shaklga ega
, (8)
Qayerda A Va B yoki a va e - integratsiya konstantalari.
Bu yerdan biz darhol davrni topamiz ( T) matematik mayatnikning kichik tebranishlari (davr - nuqta bir xil tezlikda oldingi holatiga qaytadigan vaqt davri)
Va 
,
chunki gunoh 2p ga teng davrga ega, keyin w T=2p Yu
(9)
Boshlang'ich sharoitda harakat qonunini topish uchun (5) hisoblaymiz:
. (10)
(5) qiymatlarni (8) va (10) tenglamalarga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
j 0 = A, 0 = w B,
bular. B=0. Demak, (5) shartlarda kichik tebranishlar uchun harakat qonuni:
j = j 0 cos wt. (o'n bir)
Endi tekis matematik mayatnik masalasining aniq yechimini topamiz. Avval harakat tenglamasining birinchi integralini aniqlaymiz (4). Chunki
,
u holda (4) sifatida ifodalanishi mumkin
.
Demak, tenglamaning ikkala tomonini ga ko'paytiramiz d j va integratsiyalashgan holda biz quyidagilarni olamiz:
. (12)
Bu yerda j 0 ni mayatnikning maksimal egilish burchagini belgilaymiz; u holda j = j 0 uchun biz bo'ladi, qaerdan C= w 2 cosj 0 . Natijada (12) integral:
, (13)
bu yerda w tenglik bilan aniqlanadi (3).
Bu integral energiya integralidir va uni to'g'ridan-to'g'ri tenglamadan olish mumkin
, (14)
qayerda harakat qilish ustida ish M 0 M faol kuch F, agar bizning holatimizda buni hisobga olsak v 0 =0 va (rasmga qarang).
(13) tenglamadan ko'rinib turibdiki, mayatnik harakat qilganda j burchagi +j 0 va -j 0 (|j|Jj 0, chunki) qiymatlari orasida o'zgaradi, ya'ni. mayatnik tebranish harakatini bajaradi. Keling, vaqtni hisoblashga rozi bo'laylik t mayatnik vertikaldan o'tgan paytdan boshlab O.A. o'ngga harakat qilganda (rasmga qarang). Keyin biz boshlang'ich shartga ega bo'lamiz:
da t=0, j=0. (15)
Bundan tashqari, bir nuqtadan harakatlanayotganda A bo'ladi; har ikki tomonning tengligini olish (13) Kvadrat ildiz, biz olamiz:
.
Bu erda o'zgaruvchilarni ajratsak, bizda:
. (16)
, 
,
Bu
.
Bu natijani (16) tenglamaga almashtirib, hosil qilamiz.
Tebranish harakati- jismning davriy yoki deyarli davriy harakati, ularning koordinatasi, tezligi va tezlanishi teng vaqt oralig'ida taxminan bir xil qiymatlarni oladi.
Mexanik tebranishlar tana muvozanat holatidan chiqarilganda, tanani orqaga qaytarishga intiladigan kuch paydo bo'lganda paydo bo'ladi.
Ko'chish x - tananing muvozanat holatidan og'ishi.
A amplitudasi - tananing maksimal siljishi moduli.
Tebranish davri T - bitta tebranish vaqti:
Tebranish chastotasi
Vaqt birligida jism tomonidan bajariladigan tebranishlar soni: Tebranishlar vaqtida tezlik va tezlanish davriy ravishda o'zgaradi. Muvozanat holatida tezlik maksimal, tezlanish esa nolga teng. Maksimal siljish nuqtalarida tezlanish maksimal darajaga etadi va tezlik nolga aylanadi.
GARMONIK VIBRASYON JADVALI
Garmonik Sinus yoki kosinus qonuniga ko'ra yuzaga keladigan tebranishlar deyiladi:
Bu yerda x(t) - t vaqtdagi sistemaning siljishi, A - amplitudasi, ō - tebranishlarning siklik chastotasi.
Agar siz tananing muvozanat holatidan vertikal o'q bo'ylab og'ishini va gorizontal o'q bo'ylab vaqtni chizsangiz, siz tebranish grafigini olasiz x = x(t) - tananing siljishining vaqtga bog'liqligi. Erkin harmonik tebranishlar uchun bu sinus to'lqin yoki kosinus to'lqinidir. Rasmda x siljishi, tezlik V x proyeksiyalari va a x tezlanishning vaqtga bog'liqligi grafiklari ko'rsatilgan.
Grafiklardan ko'rinib turibdiki, maksimal siljish x da tebranish jismining tezligi V nolga teng, tezlanishi a va shuning uchun jismga ta'sir qiluvchi kuch maksimal va siljishga qarama-qarshi yo'naltirilgan. Muvozanat holatida siljish va tezlanish nolga aylanadi va tezlik maksimal bo'ladi. Tezlanish proyeksiyasi har doim siljishning teskari belgisiga ega.
VIBRATSION HARAKAT ENERGIYASI
Tebranuvchi jismning umumiy mexanik energiyasi uning kinetik va potentsial energiyalari yig'indisiga teng va ishqalanish bo'lmaganda doimiy bo'lib qoladi:
Siqish maksimal x = A ga yetganda, tezlik va u bilan birga kinetik energiya nolga tushadi.
Bunday holda, umumiy energiya potentsial energiyaga teng:
Tebranuvchi jismning umumiy mexanik energiyasi uning tebranishlari amplitudasining kvadratiga proporsionaldir.
Tizim muvozanat holatidan o'tganda, siljish va potensial energiya nolga teng: x = 0, E p = 0. Demak, umumiy energiya kinetik energiyaga teng:
Tebranuvchi jismning umumiy mexanik energiyasi uning muvozanat holatidagi tezligining kvadratiga proporsionaldir. Demak:
MATEMATIK MAYAKACH
1. Matematik mayatnik vaznsiz cho'zilmaydigan ipga osilgan moddiy nuqtadir.
Muvozanat holatida tortishish kuchi ipning kuchlanishi bilan qoplanadi. Agar mayatnik burilsa va bo'shatilsa, u holda kuchlar bir-birini qoplashni to'xtatadi va natijada muvozanat holatiga yo'naltirilgan kuch paydo bo'ladi. Nyutonning ikkinchi qonuni:
Kichik tebranishlar uchun, x joy almashish l dan ancha kichik bo'lsa, moddiy nuqta deyarli gorizontal x o'qi bo'ylab harakatlanadi. Keyin MAB uchburchagidan biz quyidagilarni olamiz:
Chunki sin a = x/l, u holda hosil bo'lgan R kuchning x o'qiga proyeksiyasi teng bo'ladi
Minus belgisi R kuchi har doim x siljishiga qarama-qarshi yo'naltirilganligini ko'rsatadi.
2. Demak, matematik mayatnikning tebranishlari paytida, shuningdek, prujinali mayatnikning tebranishlari vaqtida tiklovchi kuch siljish bilan mutanosib bo'lib, teskari yo'nalishga yo'naltiriladi.
Matematik va prujinali mayatniklarning tiklovchi kuchi ifodalarini solishtiramiz:
Ko'rinib turibdiki, mg/l k ning analogidir. Prujinali mayatnik davri uchun formulada k ni mg/l bilan almashtirish
Biz matematik mayatnik davri uchun formulani olamiz:
Matematik mayatnikning kichik tebranishlar davri amplitudaga bog'liq emas.
Matematik mayatnik vaqtni o'lchash va er yuzasining ma'lum bir joyida tortishish tezlashishini aniqlash uchun ishlatiladi.
Matematik mayatnikning kichik burilish burchaklarida erkin tebranishlari garmonikdir. Ular tortishishning natijaviy kuchi va ipning kuchlanish kuchi, shuningdek yukning inertsiyasi tufayli yuzaga keladi. Bu kuchlarning natijasi tiklovchi kuchdir.
Misol. Uzunligi 6,25 m bo'lgan mayatnik 3,14 s erkin tebranish davriga ega bo'lgan sayyorada tortishish ta'sirida tezlanishni aniqlang.
Matematik mayatnikning tebranish davri ipning uzunligiga va tortishish tezlashishiga bog'liq:
Tenglikning ikkala tomonini kvadratga aylantirib, biz quyidagilarni olamiz:
Javob: tortishish tezlashishi 25 m/s 2 ga teng.
“4-mavzu. “Mexanika” mavzusidagi masala va testlar. Tebranishlar va to'lqinlar."
- Transvers va uzunlamasına to'lqinlar. To'lqin uzunligi
Darslar: 3 Topshiriqlar: 9 Testlar: 1
- Ovoz to'lqinlari. Ovoz tezligi - Mexanik tebranishlar va to'lqinlar. Ovoz 9-sinf
Matematik mayatnik nima?
Oldingi darslardan siz allaqachon bilishingiz kerakki, mayatnik, qoida tariqasida, tortishish o'zaro ta'siri ostida tebranuvchi jismni anglatadi. Ya'ni, fizikada bu tushuncha, odatda, tortishish kuchi ta'sirida, qo'zg'almas nuqta yoki o'q atrofida sodir bo'ladigan tebranish harakatlarini bajaradigan qattiq jism sifatida qaraladi, deb aytishimiz mumkin.
Matematik mayatnikning ishlash printsipi
Endi matematik mayatnikning ishlash printsipini ko'rib chiqamiz va uning nima ekanligini aniqlaymiz.
Matematik mayatnikning ishlash prinsipi shundan iboratki, moddiy nuqta muvozanat holatidan kichik a burchakka, ya’ni sina=a sharti qanoatlantiriladigan burchakka og‘ishsa, F = -mgsina = - kuch bo‘ladi. mga tanaga ta'sir qiladi.
Siz va men F kuchga ega ekanligini ko'ramiz salbiy ko'rsatkich, va bundan kelib chiqadiki, minus belgisi bizga bu kuchning siljishga qarama-qarshi bo'lgan yo'nalishda yo'naltirilganligini bildiradi. Va F kuchi S siljishiga mutanosib bo'lgani uchun, shunday kuch ta'sirida moddiy nuqta garmonik tebranishlarni amalga oshiradi.
Mayatnikning xossalari
Agar boshqa mayatnikni olsak, uning tebranish davri ko'p omillarga bog'liq. Bu omillarga quyidagilar kiradi:
Birinchidan, tana hajmi va shakli;
Ikkinchidan, to'xtatib turish nuqtasi va tortishish markazi o'rtasidagi masofa;
Uchinchidan, shuningdek, ma'lum bir nuqtaga nisbatan tana vaznining taqsimlanishi.
Mayatniklarning bu turli holatlari bilan bog'liq holda, osilgan jismning davrini aniqlash juda qiyin.
Va agar biz matematik mayatnikni olsak, u ma'lum bo'lganlar yordamida isbotlanishi mumkin bo'lgan barcha xususiyatlarga ega jismoniy qonunlar va uning davri formula yordamida osonlik bilan hisoblanishi mumkin.
Bunday mexanik tizimlarda juda ko'p turli xil kuzatishlar olib borgan fiziklar quyidagi naqshlarni aniqlashga muvaffaq bo'lishdi:
Birinchidan, mayatnikning davri yukning massasiga bog'liq emas. Ya'ni, agar mayatnikning uzunligi bir xil bo'lsa, biz undan turli xil massalarga ega bo'lgan og'irliklarni to'xtatib qo'ysak, ularning massalari juda ajoyib farqlarga ega bo'lsa ham, ularning tebranish davri baribir bir xil bo'ladi.
Ikkinchidan, agar biz tizimni ishga tushirishda mayatnikni kichik, ammo turli burchaklar bilan burilsak, unda uning tebranishlari bir xil davrga ega bo'ladi, lekin amplitudalar boshqacha bo'ladi. Muvozanat markazidan kichik og'ishlar bilan ularning shaklidagi tebranishlar deyarli harmonik xususiyatga ega bo'ladi. Ya'ni, bunday mayatnikning davri tebranishlar amplitudasiga bog'liq emasligini aytishimiz mumkin. Yunon tilidan tarjima qilingan ushbu mexanik tizimning bu xususiyati izoxronizm deb ataladi, bu erda "isos" teng, "xronos" esa vaqtni bildiradi.
Mayatnik tebranishlaridan amaliy foydalanish
Matematik mayatnik uchun turli tadqiqotlar fiziklar, astronomlar, geodeziyachilar va boshqa olimlar tomonidan qo'llaniladi. Bunday mayatnik yordamida ular minerallarni qidiradilar. Matematik mayatnikning tezlanishini kuzatish va uning tebranishlari sonini hisoblash orqali Yerimiz tubida ko'mir va ruda konlarini topish mumkin.
Mashhur frantsuz astronomi va tabiatshunosi K. Flammarion matematik mayatnik yordamida u ko'p ishlarni amalga oshirishga muvaffaq bo'lganligini ta'kidladi. muhim kashfiyotlar, jumladan, Tunguska meteoritining paydo bo'lishi va yangi sayyoraning kashfiyoti.
Hozirgi vaqtda ko'plab psixikalar va okkultistlar yo'qolgan odamlarni qidirish va bashorat qilish uchun bunday mexanik tizimdan foydalanadilar.
Ta'rif
Matematik mayatnik- Bu maxsus holat massasi bir nuqtada joylashgan fizik mayatnik.
Odatda, matematik mayatnik katta massaga ega bo'lgan, uzun cho'zilib bo'lmaydigan ipga (asma) osilgan kichik to'p (material nuqta) deb hisoblanadi. Bu tortishish kuchi ta'sirida tebranadigan ideallashtirilgan tizim. Faqat 50-100 tartibli burchaklar uchun matematik mayatnik garmonik osilator hisoblanadi, ya'ni garmonik tebranishlarni bajaradi.
Uzun zanjirdagi qandilning tebranishini o'rganib, Galiley matematik mayatnikning xususiyatlarini o'rgandi. U ma'lum tizimning tebranish davri kichik burilish burchaklarida amplitudaga bog'liq emasligini tushundi.
Matematik mayatnikning tebranish davri formulasi
Mayatnikning osma nuqtasi harakatsiz bo'lsin. Sarkac ipiga osilgan yuk aylana yoy bo'ylab (1(a)-rasm) tezlanish bilan harakatlanadi va unga ma'lum bir tiklovchi kuch ($\overline(F)$) ta'sir qiladi. Bu kuch yuk harakatlanayotganda o'zgaradi. Natijada, harakatni hisoblash murakkablashadi. Keling, ba'zi soddalashtirishlarni kiritaylik. Mayatnik tekislikda emas, balki konusni tasvirlab bersin (1 (b)-rasm). Bunday holda, yuk aylana bo'ylab harakatlanadi. Bizni qiziqtirgan tebranishlar davri yukning konussimon harakati davriga to'g'ri keladi. Konussimon mayatnikning aylana bo'ylab aylanish davri yukning aylana bo'ylab bir burilishda sarflagan vaqtiga teng:
bu yerda $L$ - aylana; $v$ - yukning harakatlanish tezligi. Agar ipning vertikaldan og'ish burchaklari kichik bo'lsa (kichik tebranish amplitudalari), u holda tiklovchi kuch ($F_1$) yuk tasvirlaydigan doira radiusi bo'ylab yo'naltirilgan deb hisoblanadi. U holda bu kuch markazga tortish kuchiga teng:
Keling, ko'rib chiqaylik o'xshash uchburchaklar: AOB va DBC (1-rasm (b)).
Yukning harakat tezligini ifodalovchi (2) va (3) iboralarning o'ng tomonlarini tenglashtiramiz:
\[\frac(mv^2)(R)=mg\frac(R)(l)\ \to v=R\sqrt(\frac(g)(l))\chap(4\o'ng).\]
Olingan tezlikni formulaga (1) almashtiramiz, bizda:
\ \
(5) formuladan biz matematik mayatnikning davri faqat uning osilish uzunligiga (to'xtash nuqtasidan yukning og'irlik markazigacha bo'lgan masofa) va erkin tushish tezlashishiga bog'liqligini ko'ramiz. Matematik mayatnik davri uchun formula (5) Gyuygens formulasi deb ataladi, u mayatnikning osilish nuqtasi harakat qilmaganda bajariladi.
Matematik mayatnikning tebranish davrining tortishish tezlanishiga bog'liqligidan foydalanib, bu tezlanishning kattaligi aniqlanadi. Buning uchun katta miqdordagi tebranishlarni hisobga olgan holda mayatnik uzunligini o'lchab, $T$ davrini toping, so'ngra tortishish tezlanishini hisoblang.
Yechimlari bilan muammolarga misollar
1-misol
Mashq qilish. Ma'lumki, tortishish ta'sirida tezlanishning kattaligi kenglikka bog'liq. Uzunligi $l=2.485\cdot (10)^(-1)$m boʻlgan matematik mayatnikning tebranish davri T=1 s ga teng boʻlsa, Moskva kengligidagi tortishish tezlanishi qanday boʻladi?\textit()
Yechim. Muammoni hal qilish uchun asos sifatida biz matematik mayatnik davri uchun formulani olamiz:
(1.1) dan erkin tushish tezlanishini ifodalaymiz:
Kerakli tezlashtirishni hisoblaymiz:
Javob.$g=9,81\frac(m)(s^2)$
2-misol
Mashq qilish. Matematik mayatnikning osilish nuqtasi vertikal pastga qarab harakat qilsa, uning tebranish davri qancha bo'ladi 1) bilan doimiy tezlik? 2) $a$ tezlanish bilan? Bu mayatnik ipining uzunligi $l.$ ga teng
Yechim. Keling, rasm chizamiz.
1) Osilish nuqtasi bir tekis harakatlanadigan matematik mayatnikning davri osma nuqtasi qat'iy bo'lgan mayatnik davriga teng:
2) Mayatnikning osma nuqtasi tezlanishini tezlanishga qarshi qaratilgan $F=ma$ ga teng qoʻshimcha kuchning paydo boʻlishi deb hisoblash mumkin. Ya'ni, agar tezlanish yuqoriga yo'naltirilgan bo'lsa, unda qo'shimcha kuch pastga yo'naltiriladi, ya'ni u tortishish kuchiga ($mg$) qo'shiladi. Agar suspenziya nuqtasi pastga tezlanish bilan harakat qilsa, unda qo'shimcha kuch tortishish kuchidan chiqariladi.
Tebranuvchi va osilish nuqtasi tezlanish bilan harakat qiladigan matematik mayatnikning davrini quyidagicha topamiz:
Javob. 1) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g))$; 2) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g-a))$
