Uy Gigiena Sonli integrasiya formulalari haqida tushuncha. Raqamli integratsiya

Gigiena

Sonli integrasiya formulalari haqida tushuncha. Raqamli integratsiya

raqamli integratsiya formulalarini dasturlash

Kirish

1. Sonli integrasiya usullari

2. Kvadrat formulalari

3. Integratsiya bosqichini avtomatik tanlash

Xulosa

Bibliografiya

Kirish

Inshoning maqsadi - o'rganish va qiyosiy tahlil funksiyalarni sonli integrallash usullari; bu usullarni tilda mashina dasturlari shaklida amalga oshirish yuqori daraja va raqamli integratsiya masalalarini kompyuterda amaliy yechish.

Muhandislik masalalarini hal qilishda ko'pincha shaklning aniq integralining qiymatlarini hisoblash zarurati tug'iladi.

. (1)

Agar funktsiya [ oraliqda uzluksiz bo'lsa. a , b] va uning antiderivativini ma'lum funktsiya orqali aniqlash mumkin, keyin bunday integral Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblanadi:

Muhandislik masalalarida kamdan-kam hollarda integralning qiymatini analitik shaklda olish mumkin. Bundan tashqari, funktsiya f (x) masalan, eksperimental ma'lumotlar jadvali bilan ko'rsatilishi mumkin. Shuning uchun amalda aniq integralni hisoblash uchun ular foydalanadilar maxsus usullar, ular interpolyatsiya apparatiga asoslangan.

Bunday usullarning g'oyasi quyidagicha. Formula (1) yordamida integralni hisoblash o'rniga, avval funktsiyaning qiymatlarini hisoblang f (x i) = y i ba'zi tugunlarda x i Î[ a , b]. Keyin interpolyatsiya polinomi tanlanadi P (x), olingan nuqtalardan o'tish ( x i , y i), (1) integralning taxminiy qiymatini hisoblashda foydalaniladi:

Ushbu yondashuvni amalga oshirishda raqamli integratsiya formulalari quyidagilarni oladi umumiy ko'rinish:

, (2) - interpolyatsiya tugunlari, A i- ba'zi koeffitsientlar; R– formula xatosini tavsiflovchi qoldiq atama. E'tibor bering, (2) ko'rinishdagi formulalar kvadrat formulalar deb ataladi.

Raqamli integratsiyaning geometrik ma'nosi funktsiya grafigi bilan cheklangan egri chiziqli trapezoidning maydonini hisoblashdir. f (X), x o'qi va ikkita to'g'ri chiziq x = a Va x = b. Maydonni taxminiy hisoblash kvadratura formulalarida qolgan muddatni rad etishga olib keladi. R, bu usulning xatosini tavsiflaydi, bu qo'shimcha ravishda hisoblash xatosi bilan qo'shiladi.

1. Raqamli integratsiya usullari

IN amaliy tadqiqotlar Ko'pincha aniq integralning qiymatini hisoblash zarurati tug'iladi

Matematika kursidan ma'lumki, integralni hamma hollarda analitik hisoblab bo'lmaydi. Va bu integralning analitik shaklini topish mumkin bo'lgan taqdirda ham, hisoblash tartibi taxminiy natija beradi, shuning uchun bu integralning taxminiy qiymati muammosi paydo bo'ladi.

Taxminiy hisoblashning mohiyati ikkita amalda yotadi: 1. n o‘rniga chekli sonni tanlash; 2. nuqta tanlashda

tegishli segmentda.

Tanlovga qarab

biz integralni hisoblash uchun turli formulalarni olamiz: Chap va o'ng to'rtburchaklar formulalari (5), (6)

(5)

(6)

Trapezoid formulasi:

Simpson formulasi

b, a - ko'rib chiqilayotgan segmentning uchlari.

Hisoblash natijalarini yuqoridagi sonli integrasiya formulalari bilan solishtirish uchun segmentni 6 ta teng segmentga bo‘lgan holda quyidagi integralni 3 usulda hisoblaymiz: h=

Chap to'rtburchaklar formulasiga ko'ra:

Trapezoid formula bo'yicha:

Simpson formulasiga ko'ra:

Va analitik tarzda olingan natija tengdir

Shunday qilib, Simpson formulasi bo'yicha raqamli integratsiya usuli aniqroq, ammo quyidagi hollarda qo'llaniladi, degan xulosaga kelishimiz mumkin. umumiy holat ajratilayotgan segmentni juft sonli intervallarga bo'lishda.

2. Kvadrat formulalari

To'rtburchaklar formulalari eng oddiy kvadratura formulalaridir. Keling, integratsiya segmentini ajratamiz [ a, b] yoqilgan n teng qismlar uzunligi

. E'tibor bering, qiymat h integratsiya bosqichi deb ataladi. Ajralish nuqtalarida X 0 = a ,X 1 =a+h , ..., x n = b ordinatalarga e'tibor bering y 0 ,y 1 ,…,y n qiyshiq f (x), ya'ni. hisoblaylik y i = f (x i), x i = a+ ih = x i -1 + h (i =). Uzunlikning har bir segmentida h tomonlari bo'lgan to'rtburchaklar yasang h Va y i, Qayerda i =, ya'ni. segmentlarning chap uchlarida hisoblangan ordinata qiymatlaridan. Keyin integralning (1) qiymatini aniqlaydigan egri chiziqli trapezoidning maydoni taxminan to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin (1-rasm). Bu erdan biz to'rtburchaklar formulasini olamiz:
. (3)

Agar integral yig'indini hisoblashda biz funktsiyaning qiymatlarini olamiz f (x) chapda emas, balki uzunlik segmentlarining o'ng uchlarida h, bu rasmda ko'rsatilgan. 1 nuqtali chiziq bilan biz to'rtburchaklar formulasining ikkinchi versiyasini olamiz:

. (4)

To'rtburchaklar formulasining uchinchi versiyasini funktsiya qiymatlari yordamida olish mumkin f (x), har bir uzunlik segmentining o'rta nuqtasida hisoblangan h(2-rasm):

. (5)

(3), (4) va (4) formulalar mos ravishda chap, o'ng va markaziy to'rtburchaklar formulalari deb ataladi.

Simpson formulasi. Integratsiya oralig'ini 2 ga bo'lamiz n teng qismlar uzunligi

. Har bir segmentda [ x i , x i+2] integral funktsiyasi f (X) nuqtalardan o'tuvchi parabola bilan almashtiriladi. x i , y i), (x i +1 , y i +1), (x i +2 , y i+2). Keyin integralning taxminiy qiymati Simpson formulasi bilan aniqlanadi: . (7)

Kompyuterda hisoblashda quyidagi formula qulayroqdir:

Simpson usuli eng ko'p ma'lum bo'lgan va qo'llaniladigan raqamli integratsiya usullaridan biridir aniq qiymatlar uchinchi tartibgacha bo'lgan ko'phadlarni integrallashda integral.

Nyuton formulasi. Nyuton formulasi yordamida integralning taxminiy qiymati quyidagicha hisoblanadi:

bu erda bo'linish bo'limlari soni uchga karrali, ya'ni. 3 hisoblanadi n. Kompyuter dasturlarini ishlab chiqishda ekvivalent formuladan foydalanish qulayroqdir:

Nyuton usuli to'rtinchi tartibli ko'phadlarni integrallashda integralning aniq qiymatlarini beradi.

3. Integratsiya bosqichini avtomatik tanlash

Formulalar (3) - (8) yordamida hisoblash natijasida integralning taxminiy qiymati olinadi, bu aniq qiymatdan ma'lum miqdorda farq qilishi mumkin, bu integratsiya xatosi deb ataladi. Xato qolgan formula bilan aniqlanadi R, har bir integratsiya usuli uchun har xil. Agar e dan oshmaydigan xatolik bilan integralning qiymatini hisoblash zarur bo'lsa, unda bunday integratsiya bosqichini tanlash kerak. h, shuning uchun tengsizlik o'rinli bo'ladi R (h) £ e. Amalda avtomatik qiymat tanlash qo'llaniladi h, berilgan xatoga erishishni ta'minlash. Birinchidan, integralning qiymatini hisoblang I (n), integratsiya oralig'ini bo'lish n bo'limlar, keyin bo'limlar soni ikki barobar ortadi va integral hisoblanadi I (2n). Hisoblash jarayoni shart rost bo'lguncha davom etadi.

raqamli integratsiya formulalarini dasturlash

Kirish

2. Kvadrat formulalari

3. Integratsiya bosqichini avtomatik tanlash

Xulosa

Bibliografiya

Kirish

Referatning maqsadi - funksiyalarni sonli integrallash usullarini o'rganish va qiyosiy tahlil qilish; ushbu usullarni yuqori darajadagi tilda mashina dasturlari shaklida amalga oshirish va raqamli integrasiya masalalarini EHMda amaliy hal etish.

Muhandislik masalalarini hal qilishda ko'pincha shaklning aniq integralining qiymatlarini hisoblash zarurati tug'iladi.

Agar funktsiya [ oraliqda uzluksiz bo'lsa. a, b] va uning antiderivativini ma'lum funktsiya orqali aniqlash mumkin, keyin bunday integral Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblanadi:

Muhandislik masalalarida kamdan-kam hollarda integralning qiymatini analitik shaklda olish mumkin. Bundan tashqari, funktsiya f(x) masalan, eksperimental ma'lumotlar jadvali bilan ko'rsatilishi mumkin. Shuning uchun amalda aniq integralni hisoblash uchun interpolyatsiya apparatiga asoslangan maxsus usullar qo'llaniladi.

Bunday usullarning g'oyasi quyidagicha. Formula (1) yordamida integralni hisoblash o'rniga, avval funktsiyaning qiymatlarini hisoblang f(x i) = y i ba'zi tugunlarda x i Î[ a, b]. Keyin interpolyatsiya polinomi tanlanadi P(x), olingan nuqtalardan o'tish ( x i, y i), (1) integralning taxminiy qiymatini hisoblashda foydalaniladi:

Ushbu yondashuvni amalga oshirishda raqamli integratsiya formulalari quyidagi umumiy shaklni oladi:

, (2)

interpolyatsiya tugunlari qayerda, A i- ba'zi koeffitsientlar; R– formula xatosini tavsiflovchi qoldiq atama. E'tibor bering, (2) ko'rinishdagi formulalar kvadrat formulalar deb ataladi.

Raqamli integratsiyaning geometrik ma'nosi funktsiya grafigi bilan cheklangan egri chiziqli trapezoidning maydonini hisoblashdir. f(X), x o'qi va ikkita to'g'ri chiziq x = a Va x = b. Maydonni taxminiy hisoblash kvadratura formulalarida qolgan muddatni rad etishga olib keladi. R, bu usulning xatosini tavsiflaydi, bu qo'shimcha ravishda hisoblash xatosi bilan qo'shiladi.

Raqamli integratsiya usullari

Amaliy tadqiqotlarda ko'pincha aniq integralning qiymatini hisoblash zarurati tug'iladi

Taxminiy hisoblashning mohiyati ikkita amalda yotadi: 1. n o‘rniga chekli sonni tanlash; 2. tegishli segmentdagi nuqtani tanlashda.

Tanlovga qarab, biz integralni hisoblash uchun turli formulalarni olamiz: Chap va o'ng to'rtburchaklar formulalari (5), (6)

(5)

(6)

Trapezoid formulasi:

Simpson formulasi

b, a - ko'rib chiqilayotgan segmentning uchlari.

Hisoblash natijalarini yuqoridagi raqamli integratsiya formulalari bilan solishtirish uchun biz segmentni 6 ta teng segmentga bo'lgan holda quyidagi integralni 3 usulda hisoblaymiz:

Chap to'rtburchaklar formulasiga ko'ra:

Trapezoid formula bo'yicha:

Simpson formulasiga ko'ra:

Va analitik tarzda olingan natija tengdir

Shunday qilib, Simpson formulasi bo'yicha integratsiyaning raqamli usuli aniqroq, ammo umumiy holatda ajratilayotgan segmentni juft sonli intervallarga bo'lishda qo'llaniladi, degan xulosaga kelishimiz mumkin.

Kvadrat formulalari

To'rtburchaklar formulalari eng oddiy kvadratura formulalaridir. Keling, integratsiya segmentini ajratamiz [ a, b] yoqilgan n teng qismlar uzunligi. E'tibor bering, qiymat h integratsiya bosqichi deb ataladi. Ajralish nuqtalarida X 0 = a,X 1 =a+h, ..., x n = b ordinatalarga e'tibor bering y 0 ,y 1 ,…,y n qiyshiq f(x), ya'ni. hisoblaylik y i = f(x i), x i = a+ ih = x i -1 + h(i =). Uzunlikning har bir segmentida h tomonlari bo'lgan to'rtburchaklar yasang h Va y i, Qayerda i =, ya'ni. segmentlarning chap uchlarida hisoblangan ordinata qiymatlaridan. Keyin integralning (1) qiymatini aniqlaydigan egri chiziqli trapezoidning maydoni taxminan to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin (1-rasm). Bu erdan biz to'rtburchaklar formulasini olamiz:

Agar integral yig'indini hisoblashda biz funktsiyaning qiymatlarini olamiz f(x) chapda emas, balki uzunlik segmentlarining o'ng uchlarida h, bu rasmda ko'rsatilgan. 1 nuqtali chiziq bilan biz to'rtburchaklar formulasining ikkinchi versiyasini olamiz:

To'rtburchaklar formulasining uchinchi versiyasini funktsiya qiymatlari yordamida olish mumkin f(x), har bir uzunlik segmentining o'rta nuqtasida hisoblangan h(2-rasm):

. (5)

(3), (4) va (4) formulalar mos ravishda chap, o'ng va markaziy to'rtburchaklar formulalari deb ataladi.

Guruch. 2

Trapezoid formulasi. Bu erda har bir elementar intervalda [ x i -1 , x i] uzunlik h koordinatali nuqtalar ( x i -1 , y i-1) va ( x i, y i) segment orqali ulanadi (3-rasm). Keyin ushbu oraliqda qurilgan trapezoidning maydoni 0,5 mahsulot bilan aniqlanadi h(y i -1 + y i). Elementar trapetsiyalarning maydonlarini umumlashtirish i= integralning taxminiy qiymatini olamiz.

X o'qi bilan chegaralangan, integrallanadigan funktsiya grafigi va chiziq segmentlari x=a\,\! Va x=b\,\!, Qayerda a\,\! Va b\,\!- integratsiya chegaralari (rasmga qarang).

Raqamli integratsiyani qo'llash zarurati ko'pincha ma'lum bir integralning qiymatini analitik tarzda hisoblashning mumkin emasligi bilan bog'liq bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, antiderivativning shakli shunchalik murakkab bo'lganligi sababli, integralning qiymatini raqamli usul yordamida tezroq hisoblash mumkin.

Bir o'lchovli holat

Ko'pgina sonli integratsiya usullarining asosiy g'oyasi integralini analitik tarzda osongina hisoblash mumkin bo'lgan integralini oddiyroq bilan almashtirishdir. Bunda integralning qiymatini baholash uchun shakl formulalari olinadi

I \taxminan \sum_(i=1)^(n) w_i\, f(x_i),

Qayerda n\,\!- integrand qiymati hisoblangan nuqtalar soni. Ballar x_i\,\! usul tugunlari, raqamlari deyiladi w_i\,\!- tugunlarning og'irligi. Integratsiyani nol, birinchi va ikkinchi darajali polinom bilan almashtirganda, mos ravishda va (Simpson) usullari olinadi. Ko'pincha integralning qiymatini baholash uchun formulalar kvadrat formulalar deb ataladi.

To'rtburchaklar usuli

To'rtburchaklar usuli integralni doimiyga almashtirish orqali olinadi. Konstanta sifatida siz segmentning istalgan nuqtasida funksiya qiymatini olishingiz mumkin \chap\,\!. Eng ko'p ishlatiladigan funktsiya qiymatlari segmentning o'rtasida va uning uchlarida joylashgan. Tegishli o'zgartirishlar usullar deb ataladi o'rta to'rtburchaklar, chap to'rtburchaklar Va to'g'ri to'rtburchaklar. To'rtburchaklar usuli yordamida aniq integralning qiymatini taxminiy hisoblash formulasi shaklga ega.

I\taxminan f(x) (b-a),

Qayerda x = \ frac (\ chap (a + b \ o'ng)) (2), a\,\! yoki b\,\!, mos ravishda.

Trapezoid usuli

Agar integratsiya segmentining uchlari orqali to'g'ri chiziq o'tkazsak, olamiz trapezoid usuli. Geometrik nuqtai nazardan uni olish oson

I \taxminan \frac(f(a)+f(b))(2) (b-a).

Parabola usuli

Integratsiya segmentining uchta nuqtasidan foydalanib, siz integratsiyani parabola bilan almashtirishingiz mumkin. Odatda, bunday nuqtalar sifatida segmentning uchlari va uning o'rta nuqtasi ishlatiladi. Bunday holda, formula juda oddiy shaklga ega

I \taxminan \frac(b-a)(6)\left(f(a)+4f\left(\frac(a+b)(2)\o'ng)+f(b)\o'ng).

Aniqlik ortdi

Butun integrasiya oralig‘ida funksiyani bitta ko‘phad bilan yaqinlashtirish, qoida tariqasida, integral qiymatini baholashda katta xatolikka olib keladi.

Xatoni kamaytirish uchun integratsiya segmenti qismlarga bo'linadi va ularning har biri bo'yicha integralni baholash uchun raqamli usul qo'llaniladi.

Bo'limlar soni cheksiz bo'lganligi sababli, integralni baholash har qanday raqamli usul uchun uning haqiqiy qiymatiga intiladi.

Yuqoridagi usullar qadamni yarmiga qisqartirishning oddiy protsedurasiga imkon beradi, har bir qadam funktsiya qiymatlarini faqat yangi qo'shilgan tugunlarda hisoblashni talab qiladi. Hisoblash xatosini baholash uchun, .

Gauss usuli

Yuqorida tavsiflangan usullarda sobit segment nuqtalari (uchlari va o'rtalari) ishlatiladi va past qiymatga ega (mos ravishda 1, 1 va 3). Agar biz funktsiya qiymatlarini hisoblaydigan nuqtalarni tanlay olsak f(x)\,\!, u holda integralning bir xil miqdordagi hisoblari bilan ko'proq bo'lgan usullarni olish mumkin yuqori tartib aniqlik. Shunday qilib, ikkita (trapezoidal usulda bo'lgani kabi) integrand qiymatlarini hisoblash uchun siz 1-chi emas, balki 3-darajali aniqlik usulini olishingiz mumkin:

I \taxminan \frac(b-a)(2)\left(f\left(\frac(a+b)(2) - \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \o'ng)+f\left( \frac(a+b)(2) + \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \o'ng) \o'ng).

Umuman olganda, foydalanish n\,\! ball, siz aniqlik tartibi bilan usulni olishingiz mumkin 2n-1\,\!. Gauss usuli bo'yicha tugun qiymatlari n\,\! nuqtalar Legendre daraja polinomining ildizlari n\,\!.

Gauss usulidagi tugunlarning qiymatlari va ularning og'irliklari maxsus funktsiyalar kataloglarida keltirilgan. Eng mashhuri Gauss besh nuqtali usuli.

Gauss-Kronrod usuli

Gauss usulining kamchiligi shundaki, unda hosil bo'lgan integral qiymatning xatosini baholashning oson (hisoblash nuqtai nazaridan) usuli yo'q. Runge qoidasidan foydalanish integrandni taxminan bir xil sonli nuqtalarda hisoblashni talab qiladi, aniqlikdan farqli o'laroq, deyarli hech qanday foyda keltirmaydi. oddiy usullar, bu erda har bir yangi bo'lim bilan aniqlik sezilarli darajada oshadi. Kronrod taklif qilindi keyingi usul integralning qiymatini baholash

I \taxminan \sum_(i=1)^(n) a_i\, f(x_i) + \sum_(i=1)^(n+1) b_i\, f(y_i),

Qayerda x_i\,\!- Gauss usulining tugunlari n\,\! ball, va 3n+2\,\! parametrlari a_i\,\!, b_i\,\!, y_i\,\! usulning aniqlik tartibi teng bo'ladigan tarzda tanlangan 3n+1\,\!.

Keyin xatoni baholash uchun empirik formuladan foydalanishingiz mumkin

\Delta = \left(200 |I - I_G|\o'ng)^(1,5),

Qayerda I_G\,\!- Gauss usuli bilan hisoblangan integral qiymati n\,\! ball. Kutubxonalar [

Raqamli integratsiya g'oyasi juda oddiy va aniq integralning geometrik ma'nosidan kelib chiqadi - aniq integralning qiymati funktsiya grafigi bilan cheklangan egri chiziqli trapezoidning maydoniga sonli tengdir. y=f(x), x o'qi va to'g'ri chiziqlar x=a, x=b.

Egri trapezoidning taxminan maydonini topib, biz integralning qiymatini olamiz. Rasmiy ravishda raqamli integratsiya jarayoni shundan iboratki, [a, b] segmenti n ta qisman segmentga bo'linadi, so'ngra integratsiya funktsiyasi undagi oson integrallanadigan funktsiya bilan almashtiriladi, bu ma'lum bir bog'liqlikka ko'ra qiymatlarni interpolyatsiya qiladi. bo'linish nuqtalarida integral funktsiyasi. Keling, eng oddiy sonli integratsiya usullarini ko'rib chiqaylik. Shunday qilib, funktsiya y=f(x) segmentda integrallanadi va biz uning integralini hisoblashimiz kerak. ning integral yig‘indisini tuzamiz f(x).

segmentida. Buning uchun segmentni nuqtalar yordamida n ta teng qismga ajratamiz: X x 1 , x 2 , … , x k , … , x n-1 Har bir qismning uzunligini bilan belgilasak, shuning uchun har bir nuqta uchun x k

bizda bo'ladi: (k=0, 1, 2, …, n). Endi bilan belgilaymiz y=f(x) y k integral qiymati

ya'ni qo'yamiz (k=0, 1, …, n). y=f(x) Keyin miqdorlar . funktsiya uchun integral bo'ladi y=f(x) segmentida

(Birinchi summani tuzishda biz funktsiya qiymatlarini hisobga olamiz

qisman segmentlarning chap uchlari bo'lgan nuqtalarda va ikkinchi yig'indini tuzishda - bu segmentlarning o'ng uchlari bo'lgan nuqtalarda.) Integralning ta'rifi bo'yicha bizda:

Shuning uchun integral yig'indini taxminiy qiymat sifatida qabul qilish tabiiydir (1)

,bular. qo'ying: (1")

bular

Va Bu taqribiy tengliklarga to'rtburchak formulalar deyiladi. Qachon bo'lsa f(x) 0, formulalar (1) va (1’) bilan geometrik nuqta ko'rish egri trapezoidning maydonini bildiradi aABb, egri chiziq yoyi bilan chegaralangan y=f(x), o'qi Oh va tekis x=a Va x=b, taxminan olinadi teng maydon asoslari va balandligi bo'lgan n ta to'rtburchakdan hosil bo'lgan pog'onali figura: y 0 , y 1 , y 2 , …, y n-1– formula (1) bo'lsa (8-rasm) va

y 1 , y 2 , y 3 , …, y n – formula (1") bo'lsa (9-rasm)..

Har qanday taxminiy hisob faqat ruxsat etilgan xatoni baholash bilan birga bo'lganda ma'lum bir qiymatga ega bo'ladi. Shuning uchun to'rtburchaklar formulalar integrallarni taxminiy hisoblash uchun amalda mos keladi, agar natijada yuzaga keladigan xatoni (ma'lum n uchun) baholashning qulay usuli mavjud bo'lsa, bu ham segment bo'limining n qismlari sonini topishga imkon beradi, bu esa kafolat beradi. taxminiy hisoblashning talab qilinadigan aniqlik darajasi.

Funktsiya deb faraz qilamiz y=f(x) segmentida chegaralangan hosilaga ega, shuning uchun bunday raqam mavjud M>0, bu tengsizlikdan x ning barcha qiymatlari uchun |f"(x)|M.

Bu tengsizlikning sifat ma'nosi shundan iboratki, funktsiya qiymatining o'zgarish tezligi cheklangan. Haqiqiy tabiiy tizimlarda bu talab deyarli har doim qondiriladi. Bunday sharoitda to'rtburchaklar formulasi yordamida integralni hisoblashda ruxsat beradigan Rn xatosining mutlaq qiymatini quyidagi formula yordamida aniqlash mumkin:

|Rn | M(b-a) 2 /2n (2) n cheksiz ortishi bilan ifoda M(b-a) 2 /2n , va shuning uchun mutlaq qiymat xatolar Rn >0 nolga moyil bo'ladi, ya'ni. Taxminan aniqlik qanchalik katta bo'lsa, segment teng qismlarga bo'linadi. Natijaning mutlaq xatosi aniq belgilangan raqamdan kamroq bo'ladi

, agar olsangiz .

n > M(b-a) 2 /2 Shunday qilib, belgilangan aniqlik darajasi bilan integralni hisoblash uchun segmentni qismlar soniga bo'lish kifoya, kattaroq raqamlar . .

M(b-a) 2/2

To'rtburchaklar usuli eng oddiy va ayni paytda taxminiy integratsiyaning eng qo'pol usuli hisoblanadi. Boshqa usul, trapezoidal usul sezilarli darajada kichikroq xatolikni beradi.

Shubhasiz, bo'linish segmentlarining soni qancha ko'p bo'lsa, natija (3a) va (3b) formulalar bo'yicha aniqroq bo'ladi. Biroq, integratsiya oralig'ini ajratuvchi segmentlar sonini ko'paytirish har doim ham mumkin emas. Shuning uchun, bir xil miqdordagi bo'linish nuqtalari bilan aniqroq natijalar beradigan formulalar katta qiziqish uyg'otadi.

(4)

Bunday formulalarning eng oddiyi (1) va (1") formulalarning o'ng tomonlarining o'rtacha arifmetik qiymati sifatida olinadi: Ko‘rish oson geometrik ma'no va shuning uchun formula (4) bunday trapezoidlardan tashkil topgan figuraning maydonini ifodalaydi (10-rasm). Geometrik mulohazalar shuni ko'rsatadiki, bunday figuraning maydoni, umuman olganda, to'rtburchaklar usulida ko'rib chiqilgan pog'onali figuraning maydoniga qaraganda egri chiziqli trapezoidning maydonini aniqroq ifodalaydi.

O'xshash atamalarni (4) formulaga kiritib, biz nihoyat olamiz

Formula (5) deyiladi trapezoidal formula.

Trapezoidal formula ko'pincha amaliy hisoblar uchun ishlatiladi. Xatolarni baholash haqida xatolar, (5) ning chap tomonini o'ng tomoniga almashtirishda yuzaga keladigan, uning mutlaq qiymati tengsizlikni qanoatlantirishi isbotlangan:

(6)

Qayerda M 2– intervaldagi integrandning ikkinchi hosilasi modulining maksimali, ya’ni.

Demak, xatolar hech bo'lmaganda tez kamayadi.

Mutlaq xato xatolar oldindan belgilangan raqamdan kamroq bo'ladi > 0 , agar olsangiz .

Taxminiy formulalarning aniqligini sezilarli darajada oshirishga interpolyatsiya tartibini oshirish orqali erishish mumkin. Ana shunday taqribiy integratsiya usullaridan biri parabola usulidir. Usulning g'oyasi qisman intervalda ma'lum bir parabola yoyi umumiy holatda egri chiziqqa yaqinroq bo'lishiga asoslanadi. aABb Ushbu egri yoyning uchlarini bog'laydigan akkorddan ko'ra, va shuning uchun parabola yoylari bilan "yuqoridan" chegaralangan mos keladigan elementar trapezoidlar maydonlarining qiymatlari mos keladigan maydonlarning qiymatlariga yaqinroqdir. yuqoridan egri yoyi bilan chegaralangan qisman egri chiziqli trapezoidlar aABb mos keladigan to'g'ri chiziqli trapezoidlarning maydonlariga qaraganda. Usulning mohiyati quyidagicha. Segment ga bo'linadi 2n

teng qismlar. Bo'linish nuqtalari bo'lsin

Raqamli integratsiya usullari

x 0 =a, x 1, x 2, …x 2n-2, x 2n-1, x 2n =b, va parabola formulasi uchun - qiymatga proportsional, ya'ni.

Parabola usuli trapezoidal usulga qaraganda ancha tez yaqinlashadi, hisoblash texnologiyasi nuqtai nazaridan ikkala usul ham bir xil.

SON USULLAR ASOSLARI

Ma'ruza-5

Izoh.

Operatorlar
linear_operatorlardan foydalaning

standart dfimsl tartiblarining kutubxonalarini ulashni anglatadi va

mos ravishda lineer_operatorlar.

Linear_operators kutubxonasida xos qiymatlar va vektorlarni aniqlash uchun standart tartibdan foydalanish mumkin, masalan: lambda=eig(a,v=y),),

a - manba matritsasi (ikki o'lchovli massiv n),

nxn lambda - o'z qiymatlari vektori (bir o'lchovli uzunlik massivi y - matritsa lambda=eig(a,v=y),).

xos vektorlar

, ustunlarga joylashtirilgan (ikki o'lchovli massiv Ro'yxatga olingan massivlar dasturda e'lon qilinishi kerak. Hisoblash kerak bo'lsin

Ko'pgina funktsiyalar uchun antiderivativlar juda murakkab kombinatsiyalardir elementar funktsiyalar, yoki ular orqali umuman ifodalanmaydi. Bunday hollarda Nyuton-Leybnits formulasidan amalda foydalanish mumkin emas. Ko'pgina amaliy holatlarda integralning qiymatini berilgan aniqlik bilan olish kifoya. Integralning taxminiy qiymatini hisoblash uchun raqamli integratsiya formulalari mavjud. Sonli integrasiya formulalarini qurishning mohiyati quyidagicha.

Keling, segmentni qismlarga ajratamiz. Taqdimotning soddaligi uchun keling, bir xil uzunlikdagi qismlarni qo'yamiz:

Keling, rasmda ko'rsatilgandek bo'linish nuqtalarini raqamlaymiz. 2.5.1. Bizda ... bor:

Guruch. 2.5.1. Raqamli integratsiya masalasi bo'yicha.

Asl integral (2.5.1) bo'linish natijasida olingan "kichik" segmentlar bo'yicha integrallar yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin:

. (2.5.2)

Integrallar

taxminiy formulalar yordamida hisoblab chiqiladi.

Segment bo'yicha integrallarni taxminiy hisoblash uchun eng oddiy formulalar deyiladi kvadratura formulalari . Quyida ulardan ba'zilarini ko'rib chiqamiz, shuningdek, ularning aniqligi masalalarini o'rganamiz. To'rtburchak formulasining aniqlik tartibi bu kvadratura formulasi aniq bo'lgan ko'phad (ko'pnom) darajasi bilan belgilanadi.

2.5.2. To'rtburchaklar formulasi ("o'rtacha" formulasi).

Keling, uni bilan almashtiramiz i-integrallanuvchi funksiyaning -chi bo'limi doimiy qiymat, masalan, o'rta nuqtadagi qiymatiga teng (2.5.2-rasm):

Guruch. 2.5.2. To'rtburchaklar formulasi yordamida integratsiya haqida.

, Qayerda . (2.5.4)

Keyin segmentdagi integral to'rtburchakning maydoni bilan almashtiriladi, ya'ni.

, (2.5.5)

va asl integralni hisoblash yig'indini hisoblashga qisqartiriladi

. (2.5.6)

Bundan tashqari, ko'pincha amaliy sabablarga ko'ra (2.5.6) formuladagi sifat , yoki sifatida olinadi. Natijada biz quyidagilarni olamiz:

(2.5.7)

– “chap” to‘rtburchaklarning kvadrat formulasi;

(2.5.8)

– “to‘g‘ri” to‘rtburchaklarning kvadrat formulasi.

Formulalar (2.5.7) va (2.5.8) (2.5.6) dan kamroq aniqroq, lekin ba'zan qulayroq, masalan, differentsial tenglamalarni sonli yechishda.

Hisoblashning aniqligi . Qurilishdan kelib chiqqan holda, to'rtburchaklar kvadrat formulalari funktsiyalar uchun aniq integratsiya natijasini beradi, doimiy yoqilgan i-chi bo'lim (). "O'rtacha" to'rtburchaklar uchun kvadratura formulasi ham aniq natija beradi chiziqli yoqilgan i- funksiyalarning segmenti. Ushbu bayonotni eng sodda tarzda tekshirish kifoya chiziqli funksiya.

Aniq integratsiya bilan biz quyidagilarni olamiz: