Ob'ektiv funktsiya- ba'zi bir optimallashtirish masalasini hal qilish uchun optimallashtirishga (minimallashtirish yoki maksimallashtirish) tobe bo'lgan bir nechta o'zgaruvchilarning haqiqiy yoki butun funksiyasi. Matematik dasturlashda, operatsiyalarni tadqiq qilishda, chiziqli dasturlashda, nazariyada qo'llaniladigan atama statistik yechimlar va matematikaning boshqa sohalari, birinchi navbatda amaliy xususiyatga ega, ammo optimallashtirish maqsadi matematik muammoning o'zi ham bo'lishi mumkin. Bundan tashqari maqsad funktsiyasi Optimallashtirish masalasida cheklovlar tenglik yoki tengsizliklar tizimi ko'rinishidagi o'zgaruvchilar uchun belgilanishi mumkin. IN umumiy holat maqsadli funktsiyaning argumentlari ixtiyoriy to'plamlarda ko'rsatilishi mumkin.
Misollar
Silliq funksiyalar va tenglamalar tizimlari
Har qanday tenglamalar tizimini yechish masalasi
( F 1 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 F 2 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 … F N (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 ( \displaystyle \chap\((\begin(matritsa)F_(1)(x_(1),x_(2),\ldots,x_(M))=0\\F_(2)(x_(1),x_ (2),\ldots,x_(M))=0\\\ldots \\F_(N)(x_(1),x_(2),\ldots,x_(M))=0\end(matritsa) )\to'g'ri.)
maqsad funktsiyasini minimallashtirish muammosi sifatida shakllantirish mumkin
S = ∑ j = 1 N F j 2 (x 1 , x 2 , … , x M) (1) (\displaystyle S=\sum _(j=1)^(N)F_(j)^(2)( x_(1),x_(2),\ldots,x_(M))\qquad (1))
Agar funktsiyalar silliq bo'lsa, minimallashtirish muammosini gradient usullari yordamida hal qilish mumkin.
Har qanday silliq maqsad funktsiyasi uchun barcha o'zgaruvchilarga nisbatan qisman hosilalarni 0 ga tenglashtirish mumkin (\displaystyle 0). Maqsad funksiyasining optimali shunday tenglamalar sistemasining yechimlaridan biri bo'ladi. Funktsiya (1) (\displaystyle (1)) bo'lsa, bu usulning tenglamalar tizimi bo'ladi. eng kichik kvadratlar(MNC). Asl tizimning har bir yechimi eng kichik kvadratlar tizimining yechimidir. Agar dastlabki tizim mos kelmasa, u holda har doim yechimga ega bo'lgan eng kichik kvadratlar tizimi dastlabki tizimning taxminiy yechimini olish imkonini beradi. Eng kichik kvadratlar tizimidagi tenglamalar soni noma'lumlar soniga to'g'ri keladi, bu ba'zan qo'shma boshlang'ich tizimlarni echishni osonlashtiradi.
Chiziqli dasturlash
Boshqalarga mashhur misol Maqsad funksiyasi chiziqli dasturlash masalalarida yuzaga keladigan chiziqli funktsiyadir. Kvadrat maqsad funktsiyasidan farqli o'laroq, chiziqli funksiyani optimallashtirish faqat chiziqli tenglik yoki tengsizliklar tizimi shaklida cheklovlar mavjud bo'lganda mumkin.
Kombinatoriy optimallashtirish
Kombinator maqsad funktsiyasining tipik misoli sayohatchi sotuvchi muammosining maqsad funktsiyasidir. Bu funksiya grafikdagi Gamilton siklining uzunligiga teng. U grafikning n − 1 (\displaystyle n-1) cho‘qqilarini almashtirishlar to‘plamida aniqlanadi va grafik chetlari uzunliklari matritsasi bilan aniqlanadi. Bunday muammolarning aniq echimi ko'pincha variantlarni sanab o'tishga to'g'ri keladi.
1-bob. Asosiy chiziqli dasturlash masalasining bayoni
Chiziqli dasturlash
Chiziqli dasturlash - bu matematik dasturlashning ekstremal muammolarni hal qilish usullarini o'rganadigan bo'limi chiziqli bog'liqlik o'zgaruvchilar va chiziqli test o'rtasida. Bunday muammolar inson faoliyatining turli sohalarida keng qo'llanilishini topadi. Ushbu turdagi muammolarni tizimli o'rganish 1939-1940 yillarda boshlangan. L.V asarlarida. Kantorovich.
Chiziqli dasturlashning matematik muammolari muayyan ishlab chiqarish va iqtisodiy vaziyatlarni o'rganishni o'z ichiga oladi, ular u yoki bu shaklda cheklangan resurslardan optimal foydalanish masalalari sifatida talqin etiladi.
Chiziqli dasturlash usullari yordamida hal qilinadigan masalalar doirasi juda keng. Bular, masalan:
ishlab chiqarishni rejalashtirishda resurslardan optimal foydalanish muammosi;
aralashma muammosi (mahsulot tarkibini rejalashtirish);
optimal kombinatsiyani topish muammosi har xil turlari omborlarda saqlash uchun mahsulotlar (inventarizatsiyani boshqarish yoki);
transport vazifalari (korxona joylashuvi, tovarlar harakati tahlili).
Chiziqli dasturlash matematik dasturlashning eng rivojlangan va keng qo'llaniladigan bo'limidir (bundan tashqari, bunga: butun, dinamik, chiziqli bo'lmagan, parametrik dasturlash kiradi). Bu quyidagicha izohlanadi:
ko'p sonli iqtisodiy masalalarning matematik modellari talab qilinadigan o'zgaruvchilarga nisbatan chiziqli;
Ushbu turdagi muammo hozirda eng ko'p o'rganilgan. U uchun mo'ljallangan maxsus usullar, ularning yordami bilan ushbu muammolar hal qilinadi va tegishli kompyuter dasturlari;
ko'plab chiziqli dasturlash muammolari hal qilinib, keng qo'llanilishini topdi;
Dastlabki formulada chiziqli bo'lmagan ba'zi muammolar bir qator qo'shimcha cheklovlar va taxminlardan so'ng chiziqli bo'lib qolishi yoki chiziqli dasturlash usullari bilan echilishi mumkin bo'lgan shaklga keltirilishi mumkin.
Har qanday chiziqli dasturlash muammosining iqtisodiy va matematik modeli quyidagilarni o'z ichiga oladi: maqsad funktsiyasi, optimal qiymat qaysi (maksimal yoki minimal) topish kerak; tizim ko'rinishidagi cheklovlar chiziqli tenglamalar yoki tengsizliklar; o'zgaruvchilarning manfiy emasligi talabi.
IN umumiy ko'rinish model quyidagicha yoziladi:
maqsad funktsiyasi
(1.1) cheklovlar bilan
(1.2) salbiy bo'lmagan talablar
(1.3) qayerda x j– o‘zgaruvchilar (noma’lum);
- chiziqli dasturlash masalasining koeffitsientlari.
Muammo (1.2) va (1.3) cheklovlarga taalluqli (1.1) funksiyaning optimal qiymatini topishdir.
Cheklovlar tizimi (1.2) masalaning funksional cheklovlari, (1.3) cheklovlar esa to'g'ridan-to'g'ri deyiladi.
(1.2) va (1.3) cheklovlarni qanoatlantiradigan vektor chiziqli dasturlash masalasining ruxsat etilgan yechimi (rejasi) deyiladi. Funktsiya (1.1) maksimal (minimal) qiymatiga yetadigan reja optimal deb ataladi.
1.2. Chiziqli dasturlash masalalarini yechishning Simpleks usuli
Simpleks usuli 1947 yilda amerikalik matematik J. Danzig tomonidan masalalar yechishda ishlab chiqilgan va birinchi marta ishlatilgan.
Ikki o'lchovli chiziqli dasturlash masalalari grafik usulda echiladi. N=3 holat uchun biz ko'rib chiqishimiz mumkin uch o'lchovli bo'shliq maqsad funksiyasi esa ko‘pburchak cho‘qqilaridan birida optimal qiymatga erishadi.
Standart shaklda berilgan LP muammosining ruxsat etilgan yechimi (ruxsat etilgan reja) cheklovlarni qondiradigan tartiblangan raqamlar to'plamidir (x1, x2, ..., xn); u n o'lchovli fazodagi nuqtadir.
Ruxsat etilgan echimlar to'plami LP muammosining ruxsat etilgan echimlar mintaqasini (ADS) tashkil qiladi. ODR - qavariq ko'pburchak (ko'pburchak).
Umuman olganda, masala N-noma'lumlarni o'z ichiga olgan bo'lsa, shuni aytishimiz mumkinki, cheklash shartlar tizimi bilan aniqlangan amalga oshirish mumkin bo'lgan echimlar mintaqasi n-o'lchovli fazoda qavariq ko'pburchak bilan ifodalanadi va maqsad funktsiyasining optimal qiymati bir nuqtada erishiladi. yoki ko'proq uchlari.
Asosiy yechim - barcha erkin o'zgaruvchilar nolga teng bo'lgan yechim.
Qo'llab-quvvatlash yechimi asosiy salbiy bo'lmagan yechimdir. Qo'llab-quvvatlash eritmasi degenerativ bo'lmagan va degenerativ bo'lishi mumkin. Agar nolga teng bo'lmagan koordinatalar soni tizim darajasiga teng bo'lsa, mos yozuvlar eritmasi degenerativ deb ataladi, aks holda u degenerativ hisoblanadi.
Maqsad funksiyasi o'zining ekstremal qiymatiga yetgan ruxsat etilgan yechim optimal deb ataladi va belgilanadi 
.
Agar o'zgaruvchilar soni 3 dan ortiq bo'lsa, bu muammolarni grafik tarzda hal qilish juda qiyin. Chiziqli dasturlash masalalarini yechishning universal usuli bor, uni simpleks usuli deb ataladi.
Simpleks usuli LP muammolarini echishning universal usuli bo'lib, u iterativ jarayon bo'lib, bitta yechim bilan boshlanadi va eng yaxshi variantni izlashda maqbul echimlar mintaqasining burchak nuqtalari bo'ylab optimal qiymatga yetguncha harakatlanadi.
U har qanday chiziqli dasturlash muammosini hal qilish uchun ishlatilishi mumkin.
Simpleks usuli natijada olingan yechimni ketma-ket takomillashtirish g'oyasiga asoslanadi.
Simpleks usulining geometrik ma'nosi cheklovchi ko'pburchakning bir cho'qqisidan qo'shnisiga ketma-ket o'tishdir, bunda maqsad funktsiyasi optimal echim topilgunga qadar eng yaxshi (yoki hech bo'lmaganda eng yomon emas) qiymatni oladi - cho'qqi bu erda. optimal qiymatga erishilgan maqsad funktsiyasi (agar muammo yakuniy optimallikka ega bo'lsa).
Shunday qilib, kanonik shaklga tushirilgan cheklovlar tizimiga ega bo'lgan holda (barcha funktsional cheklovlar tenglik shakliga ega), ular ushbu tizimning har qanday asosiy echimini topadilar, faqat uni iloji boricha sodda topish haqida qayg'uradilar. Agar topilgan birinchi asosiy yechim mumkin bo'lsa, u holda uning optimalligi tekshiriladi. Agar u maqbul bo'lmasa, u holda boshqa, majburiy ravishda qabul qilinadigan, asosiy echimga o'tish amalga oshiriladi. Simpleks usuli ushbu yangi yechim bilan maqsad funktsiyasi, agar u optimalga erishmasa, unga yaqinlashishini (yoki hech bo'lmaganda undan uzoqlashmasligini) kafolatlaydi. Xuddi shu narsa, maqbul bo'lgan yechim topilmaguncha, yangi mumkin bo'lgan asosiy yechim bilan amalga oshiriladi.
Simpleks usulini qo'llash jarayoni uning uchta asosiy elementini amalga oshirishni o'z ichiga oladi:
muammoning har qanday boshlang'ich mumkin bo'lgan asosiy echimini aniqlash usuli;
eng yaxshi (aniqrog'i, yomon emas) yechimga o'tish qoidasi;
topilgan yechimning optimalligini tekshirish mezoni.
Simpleks usuli bir qancha bosqichlarni o'z ichiga oladi va uni aniq algoritm (ketma-ket amallarni bajarish uchun aniq ko'rsatma) shaklida shakllantirish mumkin. Bu sizga kompyuterda muvaffaqiyatli dasturlash va amalga oshirish imkonini beradi. Kam sonli o'zgaruvchilar va cheklovlar bilan bog'liq muammolarni qo'lda simpleks usuli yordamida hal qilish mumkin.
6.1.Kirish
Optimallashtirish. 1-qism
Optimallashtirish usullari sizga tanlash imkonini beradi eng yaxshi variant barchadan dizaynlar mumkin bo'lgan variantlar. IN o'tgan yillar bu usullar berilgan katta e'tibor, va natijada kompyuter yordamida optimal dizayn variantini topish imkonini beruvchi bir qator yuqori samarali algoritmlar ishlab chiqildi. Ushbu bobda optimallashtirish nazariyasi asoslari yoritilgan, optimal yechimlar uchun algoritmlarni qurish tamoyillari ko‘rib chiqiladi, eng mashhur algoritmlar tavsiflanadi, ularning afzalliklari va kamchiliklari tahlil qilinadi.
6.2.Optimallashtirish nazariyasi asoslari
Adabiyotdagi "optimallashtirish" atamasi aniq echimni olish imkonini beruvchi jarayon yoki operatsiyalar ketma-ketligini anglatadi. Optimallashtirishning yakuniy maqsadi eng yaxshi yoki "optimal" yechimni topish bo'lsa-da, odatda ma'lum bo'lgan echimlarni takomillashtirish emas, balki takomillashtirish bilan kifoyalanish kerak. Shu sababli, optimallashtirish ko'proq erishib bo'lmaydigan mukammallikka intilish sifatida tushuniladi.
n ta noma'lumli m tenglamalar bilan tasvirlangan ba'zi ixtiyoriy tizimni hisobga olsak, biz uchta asosiy turdagi muammolarni ajratib ko'rsatishimiz mumkin. Agar m=n bo'lsa, masala algebraik deyiladi. Bu muammo odatda bitta yechimga ega. Agar m>n bo'lsa, u holda muammo haddan tashqari aniqlangan va, qoida tariqasida, yechimi yo'q. Nihoyat, m uchun
Optimallashtirish masalalarini muhokama qilishni boshlashdan oldin biz bir qator ta'riflarni kiritamiz.
Dizayn parametrlari
Ushbu atama hal qilinayotgan dizayn muammosini to'liq va aniq belgilab beruvchi mustaqil o'zgaruvchan parametrlarni bildiradi. Dizayn parametrlari noma'lum miqdorlar bo'lib, ularning qiymatlari optimallashtirish jarayonida hisoblanadi. Tizimni miqdoriy tavsiflash uchun xizmat qiluvchi har qanday asosiy yoki hosila miqdorlari dizayn parametrlari sifatida xizmat qilishi mumkin. Ha, bo'lishi mumkin noma'lum qiymatlar uzunlik, massa, vaqt, harorat. Dizayn parametrlarining soni berilgan dizayn muammosining murakkablik darajasini tavsiflaydi. Odatda dizayn parametrlarining soni n bilan, dizayn parametrlarining o'zi esa mos keladigan indekslar bilan x bilan belgilanadi. Shunday qilib, ushbu muammoning n dizayn parametrlari bilan belgilanadi
X1, x2, x3,...,xn.
Ob'ektiv funktsiya
Bu muhandis qiymatini maksimal yoki minimal qilishga intiladigan ifodadir. Maqsad funksiyasi ikkita muqobil yechimni miqdoriy jihatdan solishtirish imkonini beradi. Matematik nuqtai nazardan maqsad funksiya ba'zi (n+1) o'lchovli sirtni tavsiflaydi. Uning qiymati dizayn parametrlari bilan belgilanadi
M=M(x 1, x 2,...,x n).
Muhandislik amaliyotida tez-tez uchraydigan maqsadli funktsiyalarga misollar xarajat, og'irlik, kuch, o'lchovlar, samaradorlikdir. Agar faqat bitta dizayn parametri mavjud bo'lsa, u holda maqsad funktsiyasi tekislikdagi egri chiziq bilan ifodalanishi mumkin (6.1-rasm). Agar ikkita dizayn parametrlari mavjud bo'lsa, u holda maqsad funktsiyasi uch o'lchovli fazoda sirt sifatida tasvirlanadi (6.2-rasm). Uch yoki undan ortiq dizayn parametrlari bilan maqsad funktsiyasi bilan belgilangan sirtlar gipersurfaslar deb ataladi va ularni tasvirlab bo'lmaydi.
oddiy usullar bilan nikoh. Maqsad funksiyasi sirtining topologik xususiyatlari optimallashtirish jarayonida katta rol o'ynaydi, chunki eng samarali algoritmni tanlash ularga bog'liq.
Maqsad funktsiyasi ba'zi hollarda eng kutilmagan shakllarni olishi mumkin. Masalan, uni ifodalash har doim ham mumkin emas
1-rasm. Bir o'lchovli maqsad funktsiyasi.
6.2-rasm Ikki o'lchovli maqsad funktsiyasi.
yopiq matematik shakl, boshqa hollarda u mumkin
parcha-parcha silliq funksiyani ifodalaydi. Maqsad funktsiyasini ko'rsatish uchun ba'zan texnik ma'lumotlar jadvali (masalan, suv bug'ining holati jadvali) yoki tajriba talab qilinishi mumkin. Ba'zi hollarda dizayn parametrlari faqat butun qiymatlarni oladi. Masalan, tishlarning soni tishli uzatish yoki gardishdagi murvatlar soni. Ba'zan dizayn parametrlari faqat ikkita ma'noga ega - ha yoki yo'q. Sifat parametrlari, masalan, mahsulotni sotib olgan xaridorning qoniqishi, ishonchliligi, estetikasi, optimallashtirish jarayonida hisobga olish qiyin, chunki ularni miqdoriy jihatdan tavsiflash deyarli mumkin emas. Biroq, maqsad funktsiyasi qanday shaklda taqdim etilsa, u dizayn parametrlarining bir ma'noli funktsiyasi bo'lishi kerak.
Bir qator optimallashtirish masalalari bir nechta maqsad funksiyalarini kiritishni talab qiladi. Ba'zan ulardan biri boshqasiga mos kelmaydigan bo'lib chiqishi mumkin. Bir vaqtning o'zida maksimal quvvat, minimal og'irlik va minimal xarajat talab qilinadigan samolyot dizayni misol bo'la oladi. Bunday hollarda, dizayner ustuvorliklar tizimini joriy qilishi va har bir maqsad funktsiyasiga ma'lum bir o'lchovsiz multiplikatorni belgilashi kerak. Natijada, optimallashtirish jarayonida bitta kompozit maqsadli funktsiyadan foydalanishga imkon beruvchi "kompromis funktsiyasi" paydo bo'ladi.
Minimal va maksimalni topish
Ba'zi optimallashtirish algoritmlari maksimalni, boshqalari esa minimalni topish uchun mo'ljallangan. Biroq, echilayotgan ekstremum muammoning turidan qat'i nazar, siz bir xil algoritmdan foydalanishingiz mumkin, chunki minimallashtirish masalasi maqsad funktsiyasi belgisini teskari o'zgartirish orqali osongina maksimal qidirish masalasiga aylantirilishi mumkin. Ushbu texnika 6.3-rasmda tasvirlangan.
Dizayn maydoni
Bu barcha n dizayn parametrlari bilan aniqlangan maydonning nomi. Dizayn maydoni u ko'rinadigan darajada katta emas, chunki u odatda bir nechtasi bilan cheklangan
muammoning jismoniy mohiyati bilan bog'liq sharoitlar. Cheklovlar shunchalik kuchli bo'lishi mumkinki, muammo hech qanday bo'lmaydi
Shakl.6.3.Maqsad funksiyasining ishorasini teskari tomonga o'zgartirish
maksimal vazifa minimal vazifaga aylanadi.
qoniqarli yechim. Cheklovlar ikki guruhga bo'linadi: cheklovlar - tenglik va cheklovlar - tengsizlik.
Cheklovlar - tenglik
Cheklovlar - tenglik - yechim topishda hisobga olinishi kerak bo'lgan dizayn parametrlari orasidagi bog'liqliklar. Ularda tabiat qonunlari, iqtisod, huquq, hukmron did va mavjudlik aks ettirilgan zarur materiallar. Cheklovlar soni - tenglik har qanday bo'lishi mumkin. Ular o'xshaydi
C 1 (x 1 , x 2 ,...,x n)=0,
C 2 (x 1, x 2,...,x n)=0,
..................
C j (x 1 , x 2 ,...,x n)=0.
Agar ushbu munosabatlarning birortasini dizayn parametrlaridan biriga nisbatan hal qilish mumkin bo'lsa, u holda bu parametrni optimallashtirish jarayonidan chiqarib tashlash imkonini beradi. Bu dizayn maydonining o'lchamlari sonini kamaytiradi va muammoni hal qilishni soddalashtiradi.
Cheklovlar - tengsizliklar
Bu tengsizliklar bilan ifodalangan cheklashning maxsus turi. Umuman olganda, ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin va ularning barchasi shaklga ega
z 1 r 1 (x 1 , x 2 ,...,x n) Z 1
z 2 r 2 (x 1 , x 2 ,...,x n) Z 2
.......................
z k r k (x 1 , x 2 ,...,x n) Z k
Shuni ta'kidlash kerakki, ko'pincha cheklovlar tufayli maqsad funktsiyasining optimal qiymati uning yuzasi nol gradientga ega bo'lmagan joyda erishiladi. Ko'pincha eng yaxshi yechim dizayn makonining chegaralaridan biriga to'g'ri keladi.
Mahalliy optimal
Bu maqsad funktsiyasi mavjud bo'lgan dizayn maydonidagi nuqtaning nomi eng yuqori qiymat uning yaqinidagi barcha boshqa nuqtalardagi qiymatlari bilan solishtirganda.
6.4-rasm.Ixtiyoriy maqsad funksiyasi bir nechta bo'lishi mumkin
mahalliy optimal.
Shaklda. 6.4-rasmda ikkita lokal optimaga ega bo'lgan bir o'lchovli maqsad funktsiyasi ko'rsatilgan. Ko'pincha dizayn maydoni ko'plab mahalliy optimallarni o'z ichiga oladi va muammoni optimal hal qilish uchun birinchisini xato qilmaslik uchun ehtiyot bo'lish kerak.
Global optimal
Global optimal butun dizayn maydoni uchun optimal echimdir. Bu mahalliy optimaga mos keladigan barcha boshqa echimlardan yaxshiroqdir va bu dizayner izlayotgan narsadir. Bir nechta teng global optimalar joylashgan bo'lishi mumkin turli qismlar dizayn maydoni. Optimallashtirish muammosi qanday qo'yilganligi eng yaxshi misol bilan tasvirlangan.
6.1-misol
Aytaylik, siz qadoqlanmagan tolani tashish uchun mo'ljallangan, hajmi 1 m bo'lgan to'rtburchaklar idishni loyihalashingiz kerak. Bunday idishlarni ishlab chiqarishga imkon qadar kamroq material sarflash tavsiya etiladi (devorning doimiy qalinligini hisobga olsak, bu sirt maydoni minimal bo'lishi kerakligini anglatadi), chunki u arzonroq bo'ladi. Konteynerni forklift bilan qulay tarzda olish uchun uning kengligi kamida 1,5 m bo'lishi kerak.
Keling, ushbu muammoni optimallashtirish algoritmini qo'llash uchun qulay shaklda tuzamiz.
Dizayn parametrlari: x 1, x 2, x 3.
Maqsad funktsiyasi (minimallashtirish kerak) bu idishning lateral yuzasining maydoni:
A=2(x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3), m2.
Cheklov - tenglik:
Hajmi = x 1 x 2 x 3 = 1m3.
Cheklov - tengsizlik:
Chiziqli dasturlash masalalari
Chiziqli dasturlash (LP) matematik dasturlashning boʻlimlaridan biri — ekstremal (optimallashtirish) masalalarni oʻrganuvchi va ularni yechish usullarini ishlab chiqadigan fan.
Optimallashtirish muammosi Maqsad funktsiyasining optimal (ya'ni, maksimal yoki minimal) qiymatini topishdan iborat bo'lgan matematik muammo bo'lib, o'zgaruvchilar qiymatlari ma'lum bir qabul qilinadigan qiymatlar oralig'iga (APV) tegishli bo'lishi kerak.
Umuman olganda, matematik dasturlashning ekstremal muammosini shakllantirish eng katta yoki eng kattasini aniqlashdan iborat. eng past qiymat funksiya chaqiriladi maqsadli funktsiya, shartlar (cheklovlar) ostida, bu erda va funksiyalar berilgan va doimiy qiymatlar berilgan. Bunday holda, tenglik va tengsizliklar ko'rinishidagi cheklovlar ruxsat etilgan echimlar to'plamini (maydonini) aniqlaydi (ADS) va deyiladi. dizayn parametrlari.
Funksiyalarning turiga qarab matematik dasturlash masalalari bir qancha sinflarga (chiziqli, chiziqli bo‘lmagan, qavariq, butun, stokastik, dinamik dasturlash va boshqalar) bo‘linadi.
IN umumiy ko'rinish LP muammosi quyidagi shaklga ega:
, (5.1)
, , (5.2)
, 
, (5.3)
bu yerda , , doimiy qiymatlari berilgan.
(5.1) funksiya maqsad funksiya deb ataladi; tizimlar (5.2), (5.3) - cheklovlar tizimi; shart (5.4) - dizayn parametrlarining manfiy emasligi sharti.
(5.2), (5.3) va (5.4) cheklovlarni qondiruvchi dizayn parametrlari toʻplami deyiladi. maqbul yechim yoki reja.
Optimal yechim yoki optimal reja LP muammosi maqsad funktsiyasi (5.1) optimal (maksimal yoki minimal) qiymatni qabul qiladigan ruxsat etilgan yechim deb ataladi.
Standart vazifa LP - (5.2) va (5.4) shartlarda (5.1) maqsad funktsiyasining maksimal (minimal) qiymatini topish muammosi, bu erda , , ya'ni. bular. faqat tengsizliklar (5.2) ko'rinishidagi cheklovlar va barcha dizayn parametrlari salbiy bo'lmaganlik shartini qondiradi va tenglik ko'rinishidagi shartlar mavjud emas:
,
, , (5.5)
.
Kanonik (asosiy) vazifa LP - (5.3) va (5.4) shartlarda (5.1) maqsad funktsiyasining maksimal (minimal) qiymatini topish muammosi, bu erda , , ya'ni. bular. cheklovlar faqat tenglik ko'rinishidagi (5.3) va barcha dizayn parametrlari salbiy bo'lmaganlik shartini qondiradi va tengsizliklar ko'rinishida shartlar mavjud emas:
,
.
Kanonik LP muammosi matritsa va vektor shaklida ham yozilishi mumkin.
Kanonik LP muammosining matritsa shakli quyidagi shaklga ega:
Kanonik LP muammosining vektor shakli.
Keling, tekislikda chiziqli tengsizliklar sistemasining mumkin bo'lgan yechimlari to'plamini quramiz va maqsad funktsiyasining minimal qiymatini geometrik tarzda topamiz.
Biz x 1 x 2 koordinata tizimida to'g'ri chiziqlar quramiz
Biz tizim tomonidan aniqlangan yarim tekisliklarni topamiz. Tizimning tengsizliklari mos keladigan yarim tekislikning istalgan nuqtasi uchun qanoatlantirilganligi sababli, ularni istalgan bitta nuqta uchun tekshirish kifoya. Biz nuqtadan foydalanamiz (0;0). Uning koordinatalarini sistemaning birinchi tengsizligiga almashtiramiz. Chunki , u holda tengsizlik (0;0) nuqtani o'z ichiga olmaydigan yarim tekislikni belgilaydi. Qolgan yarim tekisliklarni ham xuddi shunday aniqlaymiz. Olingan yarim tekisliklarning umumiy qismi sifatida biz mumkin bo'lgan echimlar to'plamini topamiz - bu soyali maydon.
Biz vektorni va unga perpendikulyar nol darajali chiziqni quramiz.
To'g'ri chiziqni (5) vektor yo'nalishi bo'yicha harakatlantirsak va biz mintaqaning maksimal nuqtasi to'g'ri chiziq (3) va to'g'ri chiziq (2) kesishmasining A nuqtasida bo'lishini ko'ramiz. Tenglamalar tizimining yechimini topamiz:
Bu degani, biz nuqtani oldik (13;11) va.
To'g'ri chiziqni (5) vektor yo'nalishi bo'yicha harakatlantirsak va mintaqaning minimal nuqtasi to'g'ri chiziq (1) va to'g'ri chiziq (4) kesishuvining B nuqtasida bo'lishini ko'ramiz. Tenglamalar tizimining yechimini topamiz:
Bu degani, biz (6;6) nuqtaga erishdik va.
2. Mebel kompaniyasi kombinatsiyalangan shkaflar va kompyuter stollarini ishlab chiqaradi. Ularni ishlab chiqarish xom ashyo (yuqori sifatli taxtalar, armatura) mavjudligi va ularni qayta ishlaydigan mashinalarning ishlash muddati bilan cheklangan. Har bir shkafga 5 m2 taxta kerak, stol uchun - 2 m2. Armatura bitta shkaf uchun 10 dollar, stol uchun esa 8 dollar turadi. Kompaniya o'z yetkazib beruvchilaridan oyiga 600 m2 gacha bo'lgan taxtalar va 2000 dollarlik aksessuarlar olishi mumkin. Har bir shkaf 7 soatlik mashina ishlashini talab qiladi, stol esa 3 soatni talab qiladi. Mashinalarning oyiga atigi 840 ish soatidan foydalanish mumkin.
Agar bitta kabinet 100 dollar foyda keltirsa va har bir stol 50 dollar daromad keltirsa, kompaniya maksimal foyda olish uchun oyiga nechta kombinatsiyalangan shkaflar va kompyuter stollarini ishlab chiqarishi kerak?
- 1. Yaratish matematik model muammo va uni simpleks usuli yordamida yechish.
- 2. Ikkilamchi masalaning matematik modelini tuzing, uning yechimini asl masalaga asoslangan holda yozing.
- 3. Foydalanilayotgan resurslarning tanqislik darajasini belgilang va optimal rejaning rentabelligini asoslang.
- 4. Resurslarning har bir turidan foydalanishga qarab ishlab chiqarish hajmini yanada oshirish imkoniyatlarini o‘rganing.
- 5. Agar bitta tokchani ishlab chiqarish 1 m 2 taxta va aksessuarlarning narxi 5 AQSH dollarini tashkil etsa va mashinaning 0,25 soat ishlashi va sotishdan olingan foydani sarflash zarur bo'lsa, yangi turdagi mahsulot - kitob javonlarini joriy etishning maqsadga muvofiqligini baholang. bitta javon 20 dollar turadi.
- 1. Ushbu muammoning matematik modelini tuzamiz:
Shkaflar ishlab chiqarish hajmini x 1 bilan, stol ishlab chiqarish hajmini x 2 bilan belgilaymiz. Cheklovlar tizimi va maqsad funksiyasini yaratamiz:
Muammoni simpleks usuli yordamida hal qilamiz. Keling, uni kanonik shaklda yozamiz:
Vazifa ma'lumotlarini jadval shaklida yozamiz:
1-jadval
Chunki Endi barcha deltalar noldan katta, keyin f maqsad funktsiyasi qiymatini yanada oshirish mumkin emas va biz optimal rejani oldik.
Kirish
Insoniyat taraqqiyotining hozirgi bosqichi energiya asri o'rnini informatika asri egallashi bilan ajralib turadi. Inson faoliyatining barcha sohalariga yangi texnologiyalar jadal joriy etilmoqda. Axborot jamiyatiga o'tishning haqiqiy muammosi mavjud bo'lib, buning uchun ta'limni rivojlantirish ustuvor vazifaga aylanishi kerak. Jamiyatdagi bilimlarning tuzilishi ham o‘zgarmoqda. uchun ahamiyati ortib bormoqda amaliy hayot shaxsning ijodiy rivojlanishiga hissa qo'shadigan fundamental bilimlarni egallash. Olingan bilimlarning konstruktivligi va uni maqsadga muvofiq tuza olish qobiliyati ham muhim ahamiyatga ega. Bilimlar asosida yangilari shakllanadi axborot resurslari jamiyat. Yangi bilimlarni shakllantirish va o'zlashtirish tizimli yondashuvning qat'iy metodologiyasiga asoslanishi kerak, uning doirasida namunaviy yondashuv alohida o'rin tutadi. Model yondashuvining imkoniyatlari qo'llaniladigan rasmiy modellar nuqtai nazaridan ham, modellashtirish usullarini amalga oshirish usullarida ham juda xilma-xildir. Jismoniy modellashtirish juda oddiy tizimlar uchun ishonchli natijalarni olish imkonini beradi.
Hozirgi vaqtda modellashtirish usullari u yoki bu darajada qo'llanilmaydigan inson faoliyati sohasini nomlash mumkin emas. Bu, ayniqsa, menejment sohasida to'g'ri keladi turli tizimlar, bu erda asosiy jarayonlar olingan ma'lumotlar asosida qaror qabul qilishdir.
1. Muammoning bayoni
minimal maqsad funktsiyasi
Topshiriqning 16-variantiga muvofiq yechim ko‘pburchagi bilan ko‘rsatilgan cheklovlar sistemasi uchun maqsad funksiyasining minimalini topish masalasini yeching. Eritma ko‘pburchagi 1-rasmda ko‘rsatilgan:
1-rasm – masalaning yechimlari ko‘pburchagi
Cheklovlar tizimi va muammoning maqsad funktsiyasi quyida keltirilgan:
Muammoni quyidagi usullardan foydalangan holda hal qilish kerak:
LP masalalarini echishning grafik usuli;
LP masalalarini yechishning algebraik usuli;
LP masalalarini yechishning simpleks usuli;
LP muammolarining maqbul echimini topish usuli;
Ikkilamchi LP muammosini hal qilish;
Butun sonli LP masalalarini echish uchun tarmoqli va bog'langan usul;
Butun sonli LP masalalarini yechish uchun Gomori usuli;
Boolean LP muammolarini echish uchun Balazs usuli.
Yechim natijalarini solishtiring turli usullar ishdan tegishli xulosalar chiqarish.
2. Chiziqli dasturlash masalasining grafik yechimi
Chiziqli dasturlash masalalarini echishning grafik usuli noma'lumlar soni uchtadan oshmagan hollarda qo'llaniladi. Eritmalarning xossalarini sifatli tadqiq qilish uchun qulay va boshqa usullar (algebraik, tarmoqli va chegaralangan va boshqalar) bilan birgalikda qo'llaniladi. Usul g'oyasi chiziqli tengsizliklar tizimining grafik echimiga asoslangan.
Guruch. 2 LP masalasining grafik yechimi
Minimal nuqta
A1 va A2 ikkita nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi:
AB: (0;1); (3;3)
VS: (3;3); (4;1)
CD: (4;1); (3;0)
EA: (1;0); (0;1)
CF: (0;1); (5;2)
cheklovlar bilan:
Chiziqli dasturlash masalasini algebraik simpleks usuli yordamida yechish
Muammoni hal qilish uchun algebraik usulni qo'llash LP muammosining tasvirini umumlashtirishni talab qiladi. Tengsizliklar ko'rinishida ko'rsatilgan dastlabki cheklovlar tizimi cheklashlar tenglik shaklida ko'rsatilganda standart belgiga aylantiriladi. Cheklash tizimining transformatsiyasi standart ko'rinish quyidagi bosqichlarni o'z ichiga oladi:
Tengsizliklarni shunday aylantiringki, chapda o'zgaruvchilar va erkin shartlar, o'ngda esa 0, ya'ni. uchun chap tomoni noldan katta yoki teng edi;
Qo'shimcha o'zgaruvchilarni kiritish, ularning soni cheklovlar tizimidagi tengsizliklar soniga teng;
Qo'shilgan o'zgaruvchilarning manfiy emasligiga qo'shimcha cheklovlar kiritish orqali tengsizlik belgilarini qat'iy tenglik belgilari bilan almashtiring.
LP masalasini algebraik usul yordamida yechishda shart qo‘shiladi: maqsad funksiyasi minimumga intilishi kerak. Agar bu holat qanoatlantirmasa, maqsad funksiyasini mos ravishda o'zgartirish (-1 ga ko'paytirish) va minimallashtirish masalasini hal qilish kerak. Yechim topilgandan so'ng, o'zgaruvchilarning qiymatlarini asl funktsiyaga almashtiring va uning qiymatini hisoblang.
Muammoni algebraik usul yordamida hal qilish, agar barcha asosiy o'zgaruvchilarning qiymatlari manfiy bo'lmasa va maqsad funktsiyasi tenglamasidagi erkin o'zgaruvchilarning koeffitsientlari ham manfiy bo'lmaganda optimal hisoblanadi. Agar bu shartlar bajarilmasa, yuqoridagi cheklovlarning bajarilishiga erishish uchun ba'zi o'zgaruvchilarni boshqalar bilan ifodalovchi (erkin va asosiy o'zgaruvchilarni o'zgartirish) tengsizliklar tizimini o'zgartirish kerak. Barcha erkin o'zgaruvchilarning qiymati nolga teng deb hisoblanadi.
Chiziqli dasturlash masalalarini yechishning algebraik usuli eng keng tarqalganlaridan biridir samarali usullar kichik hajmdagi muammolarni qo'lda hal qilishda, chunki ko'p sonli arifmetik hisob-kitoblarni talab qilmaydi. Ushbu usulni mashinada amalga oshirish, masalan, simpleks usuliga qaraganda ancha murakkab, chunki Algebraik usuldan foydalangan holda yechim algoritmi ma'lum darajada evristik bo'lib, yechimning samaradorligi ko'p jihatdan shaxsiy tajribaga bog'liq.
Erkin o'zgaruvchilar
Sent-lane - qo'shimcha to'plam
Salbiy bo'lmagan shartlar bajarildi, shuning uchun optimal echim topildi.
3. Simpleks jadval yordamida chiziqli dasturlash masalasini yechish
Yechish: Simpleks jadvali yordamida masalani yechish uchun standart shaklga keltiramiz.
Tizimning barcha tenglamalarini quyidagi shaklga keltiramiz:
Biz simpleks jadvalini tuzamiz:
Jadvalning har bir katagining yuqori burchagiga tenglamalar tizimidan koeffitsientlarni kiritamiz;
Biz F qatorida maksimal ijobiy elementni tanlaymiz, bundan tashqari bu umumiy ustun bo'ladi;
Umumiy elementni topish uchun biz barcha ijobiy tomonlar uchun munosabatlarni quramiz. 3/3; 9/1;- x3 qatoridagi minimal nisbat. Shuning uchun - umumiy satr va =3 - umumiy element.
Biz =1/=1/3 topamiz. Biz uni umumiy element joylashgan hujayraning pastki burchagiga keltiramiz;
Umumiy chiziqning barcha bo'sh pastki burchaklarida biz hujayraning yuqori burchagidagi qiymatning mahsulotini kiritamiz;
Umumiy chiziqning yuqori burchaklarini tanlang;
Umumiy ustunning barcha pastki burchaklarida yuqori burchakdagi qiymat mahsulotini - orqali kiritamiz va natijada olingan qiymatlarni tanlaymiz;
Jadvalning qolgan kataklari tegishli tanlangan elementlarning mahsuloti sifatida to'ldiriladi;
Keyin biz yangi jadval tuzamiz, unda umumiy ustun va satr elementlarining katakchalari belgilari almashtiriladi (x2 va x3);
Ilgari pastki burchakda bo'lgan qiymatlar oldingi umumiy satr va ustunning yuqori burchagiga yoziladi;
Oldingi jadvaldagi ushbu kataklarning yuqori va pastki burchaklari qiymatlarining yig'indisi qolgan kataklarning yuqori burchagida yozilgan.
4. Chiziqli dasturlash masalasini ruxsat etilgan yechimni topish orqali yechish
Chiziqli algebraik tenglamalar tizimi berilsin:
Biz hamma narsani shunday deb taxmin qilishimiz mumkin, aks holda biz mos keladigan tenglamani -1 ga ko'paytiramiz.
Biz yordamchi o'zgaruvchilarni kiritamiz:
Biz yordamchi funktsiyani ham kiritamiz
Biz cheklovlar (2) va shartlar ostida tizimni minimallashtiramiz.
RUXSAT BERILGAN YECHIMA TOPISH QOIDASI: (1) tizimga ruxsat berilgan yechimni topish uchun cheklovlar (2) ostida (3) shaklni minimallashtiramiz, erkin noma’lumlar sifatida xj va asos sifatida xj ni olamiz.
Simpleks usuli yordamida muammoni hal qilishda ikkita holat yuzaga kelishi mumkin:
min f=0, u holda barcha i nolga teng bo'lishi kerak. Va natijada xj qiymatlari tizim (1) uchun maqbul echim bo'ladi.
min f>0, ya'ni. asl tizimda mumkin bo'lgan yechim yo'q.
Manba tizimi:
Oldingi mavzudagi masala shartidan foydalaniladi.
Keling, qo'shimcha o'zgaruvchilarni kiritamiz:
Asl muammoning maqbul yechimi topildi: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. Olingan amalga oshirish mumkin bo'lgan yechimga asoslanib, biz simpleks usuli yordamida dastlabki masalaning optimal echimini topamiz. Buning uchun yuqorida olingan jadvaldan yangi simpleks jadvalini tuzamiz, yordamchi masalaning maqsadli funksiyasi bilan qator va qatorni olib tashlaymiz:
Tuzilgan simpleks jadvalini tahlil qilib, biz dastlabki muammoning optimal yechimi allaqachon topilganligini ko'ramiz (maqsad funktsiyasiga mos keladigan qatordagi elementlar manfiy). Shunday qilib, yordamchi muammoni hal qilishda topilgan mumkin bo'lgan yechim asl muammoning optimal echimiga to'g'ri keladi:
6. Ikki chiziqli dasturlash masalasi
Asl cheklovlar tizimi va masalaning maqsad funktsiyasi quyidagi rasmda ko'rsatilgan.
cheklovlar bilan:
Yechim: Cheklovlar tizimini standart shaklga keltiramiz:
Bunga ikkilangan muammo quyidagi shaklga ega bo'ladi:
Ikkilamchi masalani yechish oddiy simpleks usuli yordamida bajariladi.
Maqsad funksiyasini minimallashtirish masalasi yechiladigan qilib o'zgartiramiz va cheklashlar tizimini simpleks usuli yordamida yechish uchun standart shaklda yozamiz.
y6 = 1 - (-2 y1 + 2y2 +y3 + y4+ y5)
y7 = 5 - (-3y1 - y2 + y3 + y4)
F = 0 - (3y1 + 9y2 + 3y3 + y4) ??min
Ikkilamchi LP muammosini hal qilish uchun boshlang'ich simpleks jadvalini tuzamiz.
Simpleks usulining ikkinchi bosqichi
Demak, simpleks usulining uchinchi bosqichida quyidagi natijalar bilan minimallashtirish masalasining optimal yechimi topildi: y2 = -7 /8, y1 = -11/8, F = 12. ning qiymatini topish uchun. Ikki tomonlama muammoning maqsad funktsiyasi uchun biz asosiy va erkin o'zgaruvchilarning topilgan qiymatlarini maksimallashtirish funktsiyasiga almashtiramiz:
Fmax = - Fmin = 3*(-11/8) + 9(-7/8) + 3*0 + 0 = -12
To'g'ridan-to'g'ri va ikki tomonlama masalalarning maqsad funktsiyasining qiymati mos kelganligi sababli, to'g'ridan-to'g'ri masalaning yechimi topiladi va 12 ga teng.
Fmin = Fmax = -12
7. Butun sonli chiziqli dasturlash masalasini tarmoqli va chegara usuli yordamida yechish
Dastlabki masalani shunday o‘zgartiramizki, an’anaviy usullar yordamida yechilganda butun son sharti qanoatlanmaydi.
Butun sonli dasturlash masalasi yechimlarining boshlang‘ich ko‘pburchagi.
Eritmalarning o'zgartirilgan ko'pburchagi uchun biz tuzamiz yangi tizim cheklovlar.
Cheklashlar sistemasini algebraik usul yordamida yechish uchun tenglik shaklida yozamiz.
Yechish natijasida muammoning optimal rejasi topildi: x1 = 9/4, x2 = 5/2, F = -41/4. Bu yechim masalada belgilangan butun son shartiga javob bermaydi. Dastlabki yechim ko‘pburchagini undan 3-sonli maydonni hisobga olmaganda, ikkita sohaga ajratamiz O'zgartirilgan muammo yechimi ko'pburchak Eritma ko'pburchakning hosil bo'lgan sohalari uchun yangi cheklashlar tizimini yarataylik. Chap maydon to'rtburchak (trapezoid). Eritma ko'pburchagining chap mintaqasi uchun cheklovlar tizimi quyida keltirilgan. Chap hudud uchun cheklash tizimi To'g'ri maydon C nuqtasini ifodalaydi. To'g'ri qaror mintaqasi uchun cheklovlar tizimi quyida keltirilgan. Yangi cheklash tizimlari bir-biridan mustaqil ravishda hal qilinishi kerak bo'lgan ikkita yordamchi muammolarni ifodalaydi. Yechim ko‘pburchakning chap mintaqasi uchun butun sonli dasturlash masalasini yechamiz. Yechish natijasida masalaning optimal rejasi topildi: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. Bu reja masaladagi o‘zgaruvchilar butun son bo‘lishi shartini qanoatlantiradi va asl butun sonli chiziqli dasturlash masalasi uchun optimal mos yozuvlar rejasi sifatida qabul qilinishi mumkin. To'g'ri yechim mintaqasi uchun hal qilishning ma'nosi yo'q. Quyidagi rasmda daraxt ko‘rinishidagi butun sonli chiziqli dasturlash masalasini yechish jarayoni ko‘rsatilgan. Gomori usuli yordamida butun sonli chiziqli dasturlash masalasini yechishdagi muvaffaqiyat. Ko'pgina amaliy dasturlarda chiziqli tengsizliklar tizimi va chiziqli shakl berilgan butun sonli dasturlash masalasi katta qiziqish uyg'otadi. F maqsad funksiyasini minimallashtiruvchi (1) sistemaning butun sonli yechimini topish talab qilinadi va barcha koeffitsientlar butun sonlardir. Butun sonli dasturlash masalasini yechish usullaridan biri Gomori tomonidan taklif qilingan. Usulning g'oyasi doimiy chiziqli dasturlash usullaridan, xususan, simpleks usulidan foydalanishdir. 1) Simpleks usuli yordamida (1), (2) masalalarning yechimi aniqlanadi, buning uchun butun son yechish talabi olib tashlanadi; agar yechim butun son bo'lib chiqsa, u holda butun sonli masalaning kerakli yechimi ham topiladi; 2) Aks holda, agar biron bir koordinata butun son bo'lmasa, masalaning natijaviy yechimi butun sonli yechimning mavjudligi (ruxsat etilgan ko'pburchakda butun son nuqtalarining mavjudligi) uchun tekshiriladi: agar kasr bo'sh hadli har qanday qatorda boshqa barcha koeffitsientlar butun son bo'lib chiqsa, u holda ruxsat etilgan ko'pburchakda butun sonlar yoki nuqtalar mavjud emas va butun sonli dasturlash muammosining yechimi yo'q; Aks holda, qo'shimcha chiziqli cheklov kiritiladi, bu butun sonli dasturlash muammosining echimini topish uchun umidsiz bo'lgan ruxsat etilgan ko'pburchakning bir qismini kesib tashlaydi; 3) Qo'shimcha chiziqli cheklovni qurish uchun kasr bo'sh hadli l-qatorni tanlang va qo'shimcha cheklovni yozing. bu yerda va koeffitsientlarning mos ravishda kasr qismlari va bepul a'zosi. (3) cheklovga yordamchi o‘zgaruvchini kiritamiz: Keling, (4) cheklovga kiritilgan koeffitsientlarni aniqlaymiz: qayerda va mos ravishda va uchun pastdan eng yaqin butun sonlar. Gomori o'xshash bosqichlarning cheklangan soni chiziqli dasturlash muammosiga olib kelishini isbotladi, uning yechimi butun son va shuning uchun kerakli bo'ladi. Yechish: Chiziqli cheklovlar tizimi va maqsad funksiyasini kanonik shaklga keltiramiz: Butun son shartidan vaqtincha voz kechib, chiziqli cheklovlar tizimining optimal yechimini aniqlaylik. Buning uchun biz simpleks usulidan foydalanamiz. Quyida, ketma-ket jadvallarda muammoning asl yechimi keltirilgan va muammoning optimal yechimini olish uchun asl jadvalning o'zgartirishlari keltirilgan: Balazs usuli yordamida mantiqiy LP masalalarini yechish. Quyidagi qoidalarni hisobga olgan holda mantiqiy o‘zgaruvchilar bilan butun sonli chiziqli dasturlash muammosi uchun o‘z versiyangizni yarating: masalada kamida 5 ta o‘zgaruvchi, kamida 4 ta cheklov qo‘llaniladi, cheklovlar koeffitsientlari va maqsad funksiyasi o‘zboshimchalik bilan tanlanadi, lekin bunday hollarda cheklovlar tizimining mos keladigan usuli. Vazifa Balazs algoritmidan foydalangan holda mantiqiy o'zgaruvchilar bilan LCLP ni hal qilish va to'liq qidiruv usuli yordamida muammoni hal qilish bilan bog'liq hisob-kitoblarning murakkabligini kamaytirishni aniqlashdir. Cheklovlarni amalga oshirish F qiymati Filtrlash cheklovi: Hisoblash kuchini kamaytirishni aniqlash Masalaning to‘liq qidiruv usuli yordamida yechimi 6*25=192 hisoblangan ifodadir. Masalaning Balazs usuli yordamida yechimi 3*6+(25-3)=47 hisoblangan ifoda. To'liq qidiruv usuli yordamida muammoni hal qilish bilan bog'liq hisob-kitoblarning murakkabligining umumiy qisqarishi: Xulosa Yangi axborot texnologiyalarini joriy etuvchi axborot tizimlarini loyihalash jarayoni doimiy ravishda takomillashtirilmoqda. Tizim muhandislarining e'tibori tobora murakkab tizimlarga qaratilmoqda, bu fizik modellardan foydalanishni qiyinlashtiradi va tizimlarning matematik modellari va mashina simulyatsiyasining ahamiyatini oshiradi. Mashina simulyatsiyasi murakkab tizimlarni o'rganish va loyihalash uchun samarali vositaga aylandi. Matematik modellarning dolzarbligi ularning moslashuvchanligi, real jarayonlarga mosligi va zamonaviy shaxsiy kompyuterlar asosida amalga oshirishning arzonligi tufayli doimiy ravishda oshib bormoqda. Foydalanuvchiga, ya'ni kompyuter texnologiyalaridan foydalangan holda tizimlarni modellashtirish bo'yicha mutaxassisga tobora ko'proq imkoniyatlar taqdim etilmoqda. Modellashtirishdan foydalanish, ayniqsa, noto'g'ri qarorlar narxi eng katta bo'lgan avtomatlashtirilgan tizimlarni loyihalashning dastlabki bosqichlarida samarali bo'ladi. Zamonaviy hisoblash vositalari tizimlarni o'rganishda qo'llaniladigan modellarning murakkabligini sezilarli darajada oshirishga imkon berdi, bu haqiqiy tizimlarda yuzaga keladigan barcha omillarni hisobga oladigan birlashtirilgan, analitik va simulyatsiya modellarini yaratishga imkon berdi; , o'rganilayotgan hodisalarga ko'proq adekvat bo'lgan modellardan foydalanish. Adabiyot: 1. Lyashchenko I.N. Chiziqli va chiziqli dasturlash / I.N.Lyashchenko, N.V.Chernikova, N.Z. - K.: “Oliy maktab”, 1975, 372 b. 2. "Kompyuter tizimlari va tarmoqlari" mutaxassisligi bo'yicha kunduzgi va sirtqi bo'lim talabalari uchun "Amaliy matematika" fanidan kurs loyihasini bajarish bo'yicha ko'rsatmalar / Mualliflar: I.A. Balakireva, A.V. - Sevastopol Nashriyot uyi, 2003. - 15 p. 3. "Amaliy matematika" fanini o'rganish bo'yicha ko'rsatmalar, "Global qidiruv va bir o'lchovli minimallashtirish usullari" bo'limi / Comp. A.V.Skatkov, I.A.Balakireva, L.A.Litvinova - Sevastopol: SevGTU nashriyoti, 2000. - 31 p. 4. “Kompyuter tizimlari va tarmoqlari” ixtisosligi talabalari uchun “Amaliy matematika” fanini oʻrganish boʻyicha koʻrsatmalar “Toʻliq sonli chiziqli dasturlash masalalarini yechish” boʻlimi, kunduzgi va sirtqi taʼlim uchun : SevNTU nashriyoti, 2000. - 13 p. 5. Akulich I.L. Misollar va masalalarda matematik dasturlash: 6. Darslik iqtisod talabalari uchun nafaqa. mutaxassis. universitetlar.-M.: Oliy. maktab, 1986.- 319 b., kasal. 7. Andronov S.A. Optimal dizayn usullari: Ma'ruzalar matni / SPbSUAP. Sankt-Peterburg, 2001. 169 b.: kasal. Simpleks usuli yordamida chiziqli dasturlash masalalarini yechish algoritmi. Chiziqli dasturlash masalasining matematik modelini qurish. Excelda chiziqli dasturlash masalasini yechish. Foyda va optimal ishlab chiqarish rejasini topish. kurs ishi, 2012-03-21 qo'shilgan Grafik muammoni hal qilish. Matematik modelni tuzish. Maqsad funksiyasining maksimal qiymatini aniqlash. Kanonik chiziqli dasturlash masalasini sun'iy asos bilan simpleks usulida yechish. Yechimning optimalligini tekshirish. test, 04/05/2016 qo'shilgan Chiziqli dasturlashning nazariy asoslari. Chiziqli dasturlash masalalari, yechish usullari. Optimal yechimni tahlil qilish. Bir indeksli chiziqli dasturlash masalasini yechish. Muammoning bayoni va ma'lumotlarni kiritish. Modelni qurish va hal qilish bosqichlari. kurs ishi, 2008-yil 12-09-da qo'shilgan Matematik modelni qurish. Simpleks jadvalidan foydalanib, to'g'ridan-to'g'ri chiziqli dasturlash masalasini simpleks usuli yordamida echish usulini tanlash, asoslash va tavsiflash. Ikkilamchi masalani kompilyatsiya qilish va yechish. Modelning sezgirligini tahlil qilish. kurs ishi, 31.10.2014 qo'shilgan Korxona uchun maksimal foyda olish uchun matematik modelni qurish, masalani grafik hal qilish. SOLVER plaginidan foydalanib muammoni hal qilish. Resurs zahiralaridagi o'zgarishlarni tahlil qilish. Maqsad funksiyasi koeffitsientlarini o'zgartirish chegaralarini aniqlash. kurs ishi, 12/17/2014 qo'shilgan Matematik dasturlash. Chiziqli dasturlash. Chiziqli dasturlash masalalari. Chiziqli dasturlash masalalarini echishning grafik usuli. Chiziqli dasturlash masalasini iqtisodiy shakllantirish. Matematik modelni qurish. kurs ishi, 2008 yil 13-10-da qo'shilgan Chiziqli dasturlash masalasini grafik usulda yechish, uni MS Excelda tekshirish. Dasturdagi masalani yechishning ichki tuzilishini tahlil qilish. Ishlab chiqarish rejasini optimallashtirish. Simpleks usuli yordamida masalani yechish. Ko'p kanalli navbat tizimi. test, 05/02/2012 qo'shilgan Simpleks usuli yordamida chiziqli dasturlash masalasini yechish: masalani bayon qilish, iqtisodiy-matematik modelni qurish. Potensial usul yordamida transport masalasini hal qilish: dastlabki ma'lumot rejasini tuzish, uning optimal qiymatini aniqlash. test, 04/11/2012 qo'shilgan Nochiziqli dasturlash muammosining bayoni. Statsionar nuqtalarni va ularning turini aniqlash. Darajali chiziqlarni qurish, maqsad funksiyaning uch o'lchovli grafigi va cheklovlar. Masalaning grafik va analitik yechimi. Foydalanuvchi qo'llanmasi va algoritm diagrammasi. kurs ishi, 12/17/2012 qo'shilgan Chiziqli dasturlash masalasining yechimini tahlil qilish. Simpleks jadvallar yordamida Simpleks usuli. LP masalalarini kompyuterda modellashtirish va yechish. Muammoning optimal yechimining iqtisodiy talqini. Transport masalasini matematik shakllantirish. Uchinchi qatorni 5 ga teng asosiy elementga ajratamiz, biz yangi jadvalning uchinchi qatorini olamiz. Asosiy ustunlar birlik ustunlariga mos keladi. Boshqa jadval qiymatlarini hisoblash: "BP - Asosiy reja": ; "x1": "x5": Indeks qatorining qiymatlari manfiy emas, shuning uchun biz optimal echimni olamiz: , ; Javob: 160/3 birlikka teng bo'lgan ishlab chiqarilgan mahsulotlarni sotishdan maksimal foyda faqat 80/9 birlik miqdorida ikkinchi turdagi mahsulotlarni ishlab chiqarish bilan ta'minlanadi. Nochiziqli dasturlash masalasi berilgan. Grafik-analitik usul yordamida maqsad funksiyaning maksimal va minimumini toping. Lagranj funksiyasini tuzing va ekstremal nuqtalarda minimal (maksimal) uchun yetarli shartlar qanoatlantirilishini ko‘rsating. Chunki shifrning oxirgi raqami 8, keyin A=2; B=5. Chunki shifrning oxirgidan oldingi raqami 1 ga teng, keyin siz 1-sonli vazifani tanlashingiz kerak. Yechim: 1) Tengsizliklar sistemasi bilan aniqlangan maydonni chizamiz. Bu maydon ABC uchburchagi bo'lib, uchlari koordinatalari: A(0; 2); B(4; 6) va C(16/3; 14/3). Maqsad funksiyasining darajalari markaz (2; 5) nuqtada joylashgan doiralardir. Radiuslarning kvadratlari maqsad funktsiyasining qiymatlari bo'ladi. Keyin rasm maqsad funktsiyasining minimal qiymatiga H nuqtada, maksimalga - A nuqtada yoki S nuqtada erishilganligini ko'rsatadi. Maqsad funksiyasining A nuqtadagi qiymati: ; Maqsad funksiyasining C nuqtadagi qiymati: ; Bu funktsiyaning eng yuqori qiymatiga A(0; 2) nuqtada erishiladi va 13 ga teng ekanligini bildiradi. H nuqtaning koordinatalarini topamiz. Buning uchun tizimni ko'rib chiqing: Agar tenglama yagona yechimga ega bo'lsa, chiziq aylanaga tegib turadi. Agar diskriminant 0 ga teng bo'lsa, kvadrat tenglama yagona yechimga ega bo'ladi. 2) Minimal yechimni topish uchun Lagrange funksiyasini tuzamiz: Da x 1
=2.5;
x 2
=4.5
olamiz: Tizim da yechimga ega, ya'ni. ekstremum uchun etarli shartlar qondiriladi. Maksimal yechimni topish uchun Lagrange funksiyasini tuzamiz: Ekstremum uchun etarli shartlar: Da x 1
=0;
x 2
=2
olamiz: Tizim ham yechimga ega, ya'ni. ekstremum uchun etarli shartlar qondiriladi. Javob: qachon maqsad funksiyasining minimumiga erishiladi Ikki korxonaga miqdorda mablag' ajratilgan d birliklar. Birinchi korxonani bir yilga ajratishda x daromadlarni ta'minlaydigan mablag' birliklari k 1
x birliklari va ikkinchi korxonaga ajratilganda y mablag' birliklari, u daromad beradi k 1
y birliklar. Birinchi korxona uchun yil oxiridagi mablag'lar qoldig'i teng nx, va ikkinchisi uchun mening. Jami daromad eng katta bo'lishi uchun 4 yil davomida barcha mablag'larni qanday taqsimlash kerak? Dinamik dasturlash usuli yordamida muammoni hal qiling. i=8, k=1. A=2200; k 1 =6; k 2 =1; n=0,2; m=0,5. Yechim: 4 yillik butun davr 4 bosqichga bo'linadi, ularning har biri bir yilga teng. Birinchi yildan boshlab bosqichlarni raqamlaymiz. K bosqichda mos ravishda A va B korxonalarga ajratilgan mablag'lar X k va Y k bo'lsin. Keyin X k + Y k = a k yig'indisi k - o'sha bosqichda foydalanilgan mablag'larning umumiy miqdori va oldingi bosqichdan qolgan k - 1. birinchi bosqichda barcha ajratilgan mablag'lar ishlatiladi va a 1 = 2200 birlik. . k - o'sha bosqichda olinadigan daromad X k va Y k birliklari ajratilganda 6X k + 1Y k bo'ladi. k dan boshlab oxirgi bosqichlarda olingan maksimal daromad - bu bosqich f k (a k) birlik bo'lsin. Optimallik tamoyilini ifodalovchi funktsional Bellman tenglamasini yozamiz: boshlang'ich holat va boshlang'ich yechim qanday bo'lishidan qat'i nazar, keyingi yechim boshlang'ich holat natijasida olingan holatga nisbatan optimal bo'lishi kerak: Har bir bosqich uchun siz X k qiymatini va qiymatni tanlashingiz kerak Y k=ak- Xk. Buni inobatga olgan holda, biz daromadni to'rtinchi bosqichda topamiz: Bellman funktsional tenglamasi quyidagicha bo'ladi: Keling, oxirgi bosqichdan boshlab barcha bosqichlarni ko'rib chiqaylik. (chunki chiziqli funktsiyaning maksimal qiymati segment oxirida x 4 = a 4 da erishiladi);
Shunga o'xshash hujjatlar
;
; 
;
; 
.
.
Vazifa № 2
ó
ó 
Keyin 
; ; 
- funksiyaning minimal qiymati.
ó 
ó 
ó 
; ; da maqsad funksiyasining maksimaliga erishiladi 
; .
Vazifa № 3
