Uy Ortopediya Hamma narsa to'g'ri piramidada. Piramida va uning elementlari

Ortopediya

Hamma narsa to'g'ri piramidada. Piramida va uning elementlari

Ushbu video darslik foydalanuvchilarga Piramida mavzusi haqida tasavvurga ega bo'lishga yordam beradi. To'g'ri piramida. Bu darsda biz piramida tushunchasi bilan tanishamiz va unga ta'rif beramiz. Keling, oddiy piramida nima ekanligini va u qanday xususiyatlarga ega ekanligini ko'rib chiqaylik. Keyin muntazam piramidaning lateral yuzasi haqidagi teoremani isbotlaymiz.

Bu darsda biz piramida tushunchasi bilan tanishamiz va unga ta'rif beramiz.

Ko'pburchakni ko'rib chiqing A 1 A 2...A n, a tekislikda yotgan va nuqta P, a tekislikda yotmaydigan (1-rasm). Keling, nuqtalarni bog'laymiz P cho'qqilari bilan A 1, A 2, A 3, … A n. olamiz n uchburchaklar: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R va hokazo.

Ta'rif. Ko'p yuzli RA 1 A 2 ...A n, dan tashkil topgan n-kvadrat A 1 A 2...A n Va n uchburchaklar RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 deyiladi n- ko'mir piramidasi. Guruch. 1.

Guruch. 1

To'rtburchakli piramidani ko'rib chiqing PABCD(2-rasm).

R- piramidaning tepasi.

ABCD- piramidaning asosi.

RA- yon qovurg'a.

AB- asosiy qovurg'a.

Nuqtai nazardan R perpendikulyarni tushiramiz RN asosiy tekislikka ABCD. Chizilgan perpendikulyar piramidaning balandligi.

Guruch. 2

Piramidaning to'liq yuzasi lateral yuzadan, ya'ni barcha lateral yuzlarning maydoni va poydevorning maydonidan iborat:

S to'liq = S tomoni + S asosiy

Piramida to'g'ri deb ataladi, agar:

uning asosi muntazam ko'pburchak;
piramidaning yuqori qismini poydevor markaziga bog'laydigan segment uning balandligi.

Muntazam to'rtburchak piramida misolidan foydalanib tushuntirish

Oddiy to'rtburchak piramidani ko'rib chiqing PABCD(3-rasm).

R- piramidaning tepasi. Piramidaning asosi ABCD- muntazam to'rtburchak, ya'ni kvadrat. Nuqta HAQIDA, diagonallarning kesishish nuqtasi, kvadratning markazi. Ma'nosi, RO piramidaning balandligi.

Guruch. 3

Tushuntirish: to'g'ri n Uchburchakda chizilgan aylananing markazi va aylana markazi bir-biriga to'g'ri keladi. Bu markaz ko'pburchakning markazi deb ataladi. Ba'zan ular vertex markazga proyeksiyalanganligini aytishadi.

Muntazam piramidaning lateral yuzining tepasidan chizilgan balandligi deyiladi apotema va belgilanadi h a.

1. muntazam piramidaning barcha lateral qirralari teng;

2. Yon tomonlari teng yon tomonli uchburchaklardir.

Biz bu xossalarning isbotini oddiy to'rtburchak piramida misolida keltiramiz.

Berilgan: PABCD- muntazam to'rtburchak piramida,

ABCD- kvadrat,

RO- piramidaning balandligi.

isbotlash:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Rasmga qarang. 4.

Guruch. 4

Isbot.

RO- piramidaning balandligi. Ya'ni, to'g'ridan-to'g'ri RO tekislikka perpendikulyar ABC, va shuning uchun to'g'ridan-to'g'ri OAJ, VO, SO Va QILING unda yotish. Shunday qilib, uchburchaklar ROA, ROV, ROS, ROD- to'rtburchaklar.

Kvadratni ko'rib chiqing ABCD. Kvadratning xossalaridan shunday xulosa kelib chiqadi AO = VO = CO = QILING.

Keyin to'g'ri uchburchaklar ROA, ROV, ROS, ROD oyoq RO- umumiy va oyoqlar OAJ, VO, SO Va QILING tengdir, demak, bu uchburchaklar ikki tomondan teng. Uchburchaklar tengligidan segmentlar tengligi kelib chiqadi, RA = PB = RS = PD. 1-band isbotlangan.

Segmentlar AB Va Quyosh teng, chunki ular bir kvadratning tomonlari, RA = PB = RS. Shunday qilib, uchburchaklar AVR Va VSR - teng yon tomonli va uch tomoni teng.

Xuddi shunday tarzda biz bu uchburchaklarni topamiz ABP, VCP, CDP, DAP 2-bandda isbotlanishi talab qilinganidek, ular teng yonli va tengdir.

Oddiy piramidaning lateral yuzasining maydoni poydevor va apotem perimetri mahsulotining yarmiga teng:

Buni isbotlash uchun oddiy uchburchak piramidani tanlaylik.

Berilgan: RAVS- muntazam uchburchak piramida.

AB = BC = AC.

RO- balandlik.

isbotlash: . Rasmga qarang. 5.

Guruch. 5

Isbot.

RAVS- muntazam uchburchak piramida. Ya'ni AB= AC = BC. Mayli HAQIDA- uchburchakning markazi ABC, Keyin RO piramidaning balandligi. Piramidaning tagida teng qirrali uchburchak yotadi ABC. Shu esta tutilsinki .

Uchburchaklar RAV, RVS, RSA- teng yon tomonli uchburchaklar (xususiyati bo'yicha). Uchburchak piramidaning uchta tomoni bor: RAV, RVS, RSA. Bu shuni anglatadiki, piramidaning lateral yuzasi maydoni:

S tomoni = 3S RAW

Teorema isbotlangan.

Muntazam to'rtburchakli piramidaning poydevoriga chizilgan doiraning radiusi 3 m, piramidaning balandligi 4 m. Piramidaning lateral yuzasining maydonini toping.

Berilgan: muntazam to'rtburchak piramida ABCD,

ABCD- kvadrat,

r= 3 m,

RO- piramidaning balandligi,

RO= 4 m.

Toping: S tomoni. Rasmga qarang. 6.

Guruch. 6

Yechim.

Tasdiqlangan teoremaga ko'ra, .

Keling, avval poydevorning yon tomonini topamiz AB. Biz bilamizki, muntazam to'rtburchakli piramidaning poydevoriga chizilgan aylana radiusi 3 m.

Keyin, m.

Kvadratning perimetrini toping ABCD 6 m tomoni bilan:

Uchburchakni ko'rib chiqing BCD. Mayli M- yon tomonning o'rtasi DC. Chunki HAQIDA- o'rtada BD, Bu (m).

Uchburchak DPC- teng yon tomonlar. M- o'rtada DC. Ya'ni, RM- median, shuning uchun uchburchakdagi balandlik DPC. Keyin RM- piramidaning apothemi.

RO- piramidaning balandligi. Keyin, to'g'ridan-to'g'ri RO tekislikka perpendikulyar ABC, va shuning uchun to'g'ridan-to'g'ri OM, unda yotgan. Keling, apotemani topamiz RM to'g'ri burchakli uchburchakdan ROM.

Endi biz piramidaning lateral yuzasini topishimiz mumkin:

Javob: 60 m2.

Muntazam uchburchakli piramidaning poydevori atrofida o'ralgan doiraning radiusi m ga teng, lateral yuzasining maydoni 18 m 2. Apotemaning uzunligini toping.

Berilgan: ABCP- muntazam uchburchak piramida,

AB = BC = SA,

R= m,

S tomoni = 18 m2.

Toping: . Rasmga qarang. 7.

Guruch. 7

Yechim.

To'g'ri uchburchakda ABC Cheklangan aylana radiusi berilgan. Keling, bir tomonni topaylik AB bu uchburchak sinuslar qonunidan foydalangan holda.

Muntazam uchburchakning (m) tomonini bilib, uning perimetrini topamiz.

Muntazam piramidaning lateral sirt maydoni haqidagi teorema bo'yicha, bu erda h a- piramidaning apothemi. Keyin:

Javob: 4 m.

Shunday qilib, biz piramida nima ekanligini, muntazam piramida nima ekanligini ko'rib chiqdik va muntazam piramidaning lateral yuzasi haqidagi teoremani isbotladik. Keyingi darsda biz kesilgan piramida bilan tanishamiz.

Ma'lumotnomalar

Geometriya. 10-11 sinflar: o'quvchilar uchun darslik ta'lim muassasalari(asosiy va profil darajalari) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-nashr, rev. va qo'shimcha - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 b.: kasal.
Geometriya. 10-11-sinflar: Umumiy ta’lim uchun darslik ta'lim muassasalari/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 b.: kasal.
Geometriya. 10-sinf: Matematika fanini chuqurlashtirilgan va ixtisoslashtirilgan umumta’lim muassasalari uchun darslik /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6-nashr, stereotip. - M .: Bustard, 008. - 233 p.: kasal.

"Yaklass" internet portali ()
"Birinchi sentyabr" pedagogik g'oyalar festivali internet portali ()
"Slideshare.net" internet portali ()

Uy vazifasi

Muntazam ko'pburchak tartibsiz piramidaning asosi bo'lishi mumkinmi?
Muntazam piramidaning ajratilgan qirralari perpendikulyar ekanligini isbotlang.
Muntazam to‘rtburchakli piramida asosining yon tomonidagi ikki burchakli burchakning qiymatini toping, agar piramidaning apotemi uning asosining yon tomoniga teng bo‘lsa.
RAVS- muntazam uchburchak piramida. Piramida asosidagi ikki burchakli burchakning chiziqli burchagini tuzing.

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

Saytda so'rov yuborganingizda, biz sizning ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingiz kabi turli xil ma'lumotlarni to'plashimiz mumkin elektron pochta va hokazo.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

Biz tomonidan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
Shaxsiy ma'lumotlardan audit, ma'lumotlarni tahlil qilish va boshqalar kabi ichki maqsadlarda ham foydalanishimiz mumkin turli tadqiqotlar biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun.
Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

Zarur bo'lganda - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud muhokamasida va (yoki) jamoatchilikning so'rovlari yoki so'rovlari asosida. davlat organlari rossiya Federatsiyasi hududida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa sog'liqni saqlash maqsadlari uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak. muhim holatlar.
Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.

Bu yerda siz piramidalar va tegishli formulalar va tushunchalar haqida asosiy ma'lumotlarni topishingiz mumkin. Ularning barchasi Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rishda matematika o'qituvchisi bilan birga o'rganiladi.

Bir tekislikni, ko'pburchakni ko'rib chiqing , unda yotgan va S nuqtasi, unda yotgan emas. S ni ko‘pburchakning barcha uchlari bilan bog‘laymiz. Olingan ko'pburchak piramida deb ataladi. Segmentlar yon qovurg'alar deb ataladi. Ko'pburchak asos deb ataladi va S nuqtasi piramidaning tepasidir. n soniga qarab piramida uchburchak (n=3), to‘rtburchak (n=4), beshburchak (n=5) va hokazo deb ataladi. Uchburchak piramidaning muqobil nomi tetraedr. Piramidaning balandligi uning tepasidan poydevor tekisligiga tushadigan perpendikulyardir.

Agar piramida muntazam deb ataladi muntazam ko'pburchak va piramida balandligining asosi (perpendikulyarning asosi) uning markazidir.

O'qituvchining sharhi:
"muntazam piramida" va "muntazam tetraedr" tushunchalarini aralashtirib yubormang. Muntazam piramidada yon qirralarning asosning chetlariga teng bo'lishi shart emas, lekin oddiy tetraedrda barcha 6 qirralar tengdir. Bu uning ta'rifi. Tenglik ko'pburchakning P markazining mos kelishini nazarda tutishini isbotlash oson asos balandligi bilan, shuning uchun muntazam tetraedr muntazam piramidadir.

Apotema nima?
Piramidaning apothemi uning yon yuzining balandligidir. Agar piramida muntazam bo'lsa, unda uning barcha apotemalari tengdir. Buning aksi haqiqat emas.

Matematika o'qituvchisi terminologiyasi haqida: Piramidalar bilan ishlashning 80% ikki turdagi uchburchaklar orqali qurilgan:
1) SK apotemini va SP balandligini o'z ichiga oladi
2) lateral qirrasi SA va uning proyeksiyasi PAni o'z ichiga oladi

Ushbu uchburchaklarga havolalarni soddalashtirish uchun matematika o'qituvchisi ulardan birinchisini chaqirishi qulayroqdir. apothemal, va ikkinchisi kosta. Afsuski, bu atamalarni hech bir darslikda uchratmaysiz va o‘qituvchi uni bir tomonlama kiritishi kerak.

Piramida hajmining formulasi:
1) , bu erda piramida poydevorining maydoni va piramidaning balandligi
2) , bu erda chizilgan sharning radiusi va piramidaning umumiy yuzasining maydoni.
3) , bu erda MN - har qanday ikkita kesishgan qirralarning orasidagi masofa va qolgan to'rtta qirralarning o'rta nuqtalaridan hosil bo'lgan parallelogrammning maydoni.

Piramida balandligi poydevorining xususiyati:

P nuqtasi (rasmga qarang), agar quyidagi shartlardan biri bajarilgan bo'lsa, piramida poydevoridagi chizilgan doiraning markaziga to'g'ri keladi:
1) Barcha apotemalar tengdir
2) Barcha yon yuzlar asosga teng darajada moyil
3) Barcha apotemalar piramida balandligiga teng darajada moyil
4) Piramidaning balandligi barcha yon yuzlarga teng darajada moyil

Matematika o'qituvchisining sharhi: E'tibor bering, barcha nuqtalar bitta umumiy xususiyat bilan birlashtirilgan: u yoki bu tarzda, lateral yuzlar hamma joyda ishtirok etadi (apotemlar ularning elementlari). Shuning uchun repetitor kamroq aniq, ammo o'rganish uchun qulayroq formulani taklif qilishi mumkin: P nuqtasi, agar uning lateral yuzlari haqida teng ma'lumot mavjud bo'lsa, piramidaning poydevori yozilgan doiraning markaziga to'g'ri keladi. Buni isbotlash uchun barcha apotemli uchburchaklar teng ekanligini ko'rsatish kifoya.

Agar uchta shartdan biri to'g'ri bo'lsa, P nuqtasi piramida poydevoriga yaqin bo'lgan doira markaziga to'g'ri keladi:
1) Barcha yon qirralar teng
2) Barcha yon qovurg'alar asosga teng darajada moyil
3) Barcha yon qovurg'alar balandlikka teng ravishda moyil

Piramida - bu ko'pburchak, poydevorida ko'pburchak. Barcha yuzlar, o'z navbatida, bir cho'qqida yaqinlashadigan uchburchaklarni hosil qiladi. Piramidalar uchburchak, to'rtburchak va hokazo. Qaysi piramida sizning oldingizda ekanligini aniqlash uchun uning poydevoridagi burchaklar sonini hisoblash kifoya. "Piramida balandligi" ta'rifi ko'pincha geometriya muammolarida uchraydi maktab o'quv dasturi. Ushbu maqolada biz ko'rib chiqishga harakat qilamiz turli yo'llar bilan uning joylashuvi.

Piramidaning qismlari

Har bir piramida quyidagi elementlardan iborat:

uchta burchakka ega bo'lgan va tepada birlashadigan yon yuzlar;
apotema uning cho'qqisidan tushadigan balandlikni ifodalaydi;
piramidaning tepasi - yon qovurg'alarni bog'laydigan nuqta, lekin poydevor tekisligida yotmaydi;
asos - ko'pburchak bo'lib, uning tepasi yotmaydi;
piramidaning balandligi - piramidaning yuqori qismini kesib o'tuvchi va uning asosi bilan to'g'ri burchak hosil qiluvchi segment.

Agar uning hajmi ma'lum bo'lsa, piramidaning balandligini qanday topish mumkin

V = (S*h)/3 formulasi orqali (formulada V - hajm, S - asosning maydoni, h - piramida balandligi) h = (3*V)/ S. Materialni birlashtirish uchun darhol muammoni hal qilaylik. Uchburchak asosi 50 sm 2, hajmi esa 125 sm 3 ni tashkil qiladi. Uchburchak piramidaning balandligi noma'lum, biz nimani topishimiz kerak. Bu erda hamma narsa oddiy: biz ma'lumotlarni formulamizga kiritamiz. Biz h = (3 * 125) / 50 = 7,5 sm ni olamiz.

Agar diagonal uzunligi va uning qirralari ma'lum bo'lsa, piramidaning balandligini qanday topish mumkin

Biz eslaganimizdek, piramidaning balandligi uning asosi bilan to'g'ri burchak hosil qiladi. Bu shuni anglatadiki, diagonalning balandligi, cheti va yarmi birgalikda hosil qiladi Ko'pchilik, albatta, Pifagor teoremasini eslaydi. Ikki o'lchovni bilish, uchinchi miqdorni topish qiyin bo'lmaydi. Ma'lum bo'lgan a² = b² + c² teoremasini eslaylik, bu erda a - gipotenuza va bizning holatda piramidaning cheti; b - diagonalning birinchi oyog'i yoki yarmi va c - mos ravishda ikkinchi oyog'i yoki piramidaning balandligi. Bu formuladan c² = a² - b².

Endi muammo: oddiy piramidada diagonali 20 sm, chetining uzunligi 30 sm bo'lsa, siz balandlikni topishingiz kerak. Biz hal qilamiz: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Demak, c = √ 500 = taxminan 22,4.

Kesilgan piramidaning balandligini qanday topish mumkin

Bu kesma asosiga parallel bo'lgan ko'pburchakdir. Kesilgan piramidaning balandligi uning ikkita asosini bog'laydigan segmentdir. Oddiy piramida uchun balandlikni topish mumkin, agar ikkala asosning diagonallari uzunligi, shuningdek, piramidaning cheti ma'lum bo'lsa. Kattaroq asosning diagonali d1, kichikroq asosning diagonali d2, chetining uzunligi l bo'lsin. Balandlikni topish uchun diagrammaning ikkita yuqori qarama-qarshi nuqtasidan uning poydevorigacha balandliklarni tushirishingiz mumkin. Bizda ikkita borligini ko'ramiz to'g'ri uchburchak, ularning oyoqlari uzunligini topish qoladi. Buning uchun katta diagonaldan kichikroqni ayirib, 2 ga bo'ling. Shunday qilib, biz bitta oyog'ini topamiz: a = (d1-d2)/2. Shundan so'ng, Pifagor teoremasiga ko'ra, biz piramidaning balandligi bo'lgan ikkinchi oyog'ini topishimiz kerak.

Keling, bularning barchasini amalda ko'rib chiqaylik. Bizning oldimizda vazifa turibdi. Kesilgan piramidaning tagida kvadrat bor, kattaroq poydevorning diagonali uzunligi 10 sm, kichiki esa 6 sm, qirrasi esa 4 sm balandlikda. Birinchidan, biz bir oyog'ini topamiz: a = (10-6) / 2 = 2 sm, bir oyog'i 2 sm ga, gipotenuza esa 4 sm ga teng, ikkinchi oyoq yoki balandlik 16-ga teng bo'ladi. 4 = 12, ya'ni h = √12 = taxminan 3,5 sm.

Geometrik masalalarda tez-tez uchraydigan uch o'lchamli figura piramidadir. Bu sinfdagi barcha raqamlarning eng oddiyi uchburchakdir. Ushbu maqolada biz to'g'rining asosiy formulalari va xususiyatlarini batafsil tahlil qilamiz

Shakl haqida geometrik tasavvurlar

Muntazam uchburchak piramidaning xususiyatlarini ko'rib chiqishga o'tishdan oldin, keling, qanday raqam haqida gapirayotganimizni batafsil ko'rib chiqaylik.

Faraz qilaylik, ichida ixtiyoriy uchburchak bor uch o'lchovli bo'shliq. Keling, bu fazoda uchburchak tekisligida yotmaydigan istalgan nuqtani tanlaymiz va uni uchburchakning uchta uchi bilan bog'laymiz. Bizda uchburchak piramida bor.

U 4 tomondan iborat bo'lib, ularning barchasi uchburchakdir. Uchta yuzning uchrashadigan nuqtalari cho'qqilar deb ataladi. Rasmda ulardan to'rttasi ham bor. Ikki yuzning kesishish chiziqlari qirralardir. Ko'rib chiqilayotgan piramida 6 ta qirraga ega.

Shakl to'rt tomondan tuzilganligi sababli, u tetraedr deb ham ataladi.

To'g'ri piramida

Yuqorida biz uchburchak asosli ixtiyoriy figurani ko'rib chiqdik. Endi faraz qilaylik, biz piramidaning yuqori qismidan poydevoriga perpendikulyar segmentni chizamiz. Ushbu segment balandlik deb ataladi. Shubhasiz, siz raqam uchun 4 xil balandlikni chizishingiz mumkin. Agar balandlik uchburchak asosni geometrik markazda kesib o'tsa, unda bunday piramida to'g'ri deb ataladi.

Pozisi teng tomonli uchburchak bo'lgan to'g'ri piramida muntazam deyiladi. Uning uchun figuraning lateral yuzasini tashkil etuvchi uchburchakning barchasi teng yonli va bir-biriga teng. Muntazam piramidaning alohida holati - bu to'rt tomoni teng qirrali bir xil uchburchaklar bo'lgan holat.

Muntazam uchburchak piramidaning xossalarini ko'rib chiqamiz va uning parametrlarini hisoblash uchun mos formulalarni beramiz.

Asosiy tomoni, balandligi, lateral qirrasi va apothem

Ro'yxatda keltirilgan parametrlarning har ikkisi boshqa ikkita xususiyatni yagona tarzda aniqlaydi. Keling, ushbu miqdorlarni bog'laydigan formulalarni keltiramiz.

Faraz qilaylik, muntazam uchburchak piramida asosining tomoni a. Uning lateral chetining uzunligi b. Muntazam uchburchak piramida va uning apotemasining balandligi qanday bo'ladi?

h balandligi uchun biz quyidagi ifodani olamiz:

Ushbu formula Pifagor teoremasidan kelib chiqadi, buning uchun yon qirrasi, balandligi va poydevor balandligining 2/3 qismi.

Piramidaning apothemi har qanday yon uchburchak uchun balandlikdir. Apotemaning uzunligi a b ga teng:

a b = √(b 2 - a 2 /4)

Ushbu formulalardan ko'rinib turibdiki, uchburchak muntazam piramida poydevorining tomoni va uning yon chetining uzunligi qancha bo'lishidan qat'i nazar, apotem har doim piramida balandligidan kattaroq bo'ladi.

Taqdim etilgan ikkita formulada ko'rib chiqilayotgan raqamning barcha to'rtta chiziqli xarakteristikalari mavjud. Shuning uchun, ularning ma'lum ikkitasini hisobga olgan holda, qolganlarini yozma tengliklar tizimini yechish orqali topishingiz mumkin.

Rasm hajmi

Mutlaqo har qanday piramida (shu jumladan, qiyalik) uchun u bilan cheklangan bo'shliq hajmining qiymatini rasmning balandligi va uning poydevorining maydonini bilish orqali aniqlash mumkin. Tegishli formula:

Ushbu ifodani ko'rib chiqilayotgan rasmga qo'llash orqali biz quyidagi formulani olamiz:

Muntazam uchburchakli piramidaning balandligi h va asos tomoni a ga teng.

Barcha tomonlari bir-biriga teng va teng tomonli uchburchaklarni ifodalovchi tetraedr hajmining formulasini olish qiyin emas. Bunday holda, raqamning hajmi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Ya'ni, u a tomonining uzunligi bilan yagona aniqlanadi.

Sirt maydoni

Keling, oddiy uchburchakni ko'rib chiqaylik. Shaklning barcha yuzlarining umumiy maydoni uning sirt maydoni deb ataladi. Ikkinchisini tegishli rivojlanishni hisobga olgan holda qulay tarzda o'rganish mumkin. Quyidagi rasmda oddiy uchburchak piramidaning rivojlanishi qanday ko'rinishi ko'rsatilgan.

Faraz qilaylik, biz h balandligi va figuraning asosining a tomonini bilamiz. Keyin uning asosining maydoni teng bo'ladi:

Har bir maktab o'quvchisi uchburchakning maydonini qanday topishni eslasa, shuningdek, teng tomonli uchburchakning balandligi bissektrisa va mediana ekanligini hisobga olsa, bu iborani olishi mumkin.

Uchta bir xil yon tomonli uchburchaklar hosil qilgan lateral sirt maydoni:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Bu tenglik piramida apotemasining poydevorning balandligi va uzunligi bo'yicha ifodalanishidan kelib chiqadi.

Rasmning umumiy sirt maydoni:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

E'tibor bering, to'rt tomoni bir xil teng tomonli uchburchaklar bo'lgan tetraedr uchun S maydoni quyidagilarga teng bo'ladi:

Muntazam kesilgan uchburchak piramidaning xossalari

Agar ko'rib chiqilayotgan uchburchak piramidaning tepasi poydevorga parallel tekislik bilan kesilsa, qolgan qismi pastki qismi kesilgan piramida deb ataladi.

Uchburchak asos bo'lsa, tasvirlangan kesish usulining natijasi yangi uchburchak bo'lib, u ham teng qirrali, lekin taglikning yon tomoniga qaraganda qisqaroq yon uzunligiga ega. Kesilgan uchburchak piramida quyida ko'rsatilgan.

Biz bu raqam allaqachon ikkita bilan cheklanganligini ko'ramiz uchburchak asoslar va uchta teng yonli trapesiya.

Olingan figuraning balandligi h ga teng, pastki va yuqori asoslar tomonlarining uzunliklari mos ravishda a 1 va a 2 ga, apotema (trapetsiya balandligi) esa b ga teng deb faraz qilaylik. Keyin kesilgan piramidaning sirt maydoni quyidagi formula yordamida hisoblanishi mumkin: