ga nisbatan
qolgan ikkitadan uchta raqamdan istalgan birini topish vazifasi qo'yilishi mumkin. Agar a va keyin N berilgan bo'lsa, ular daraja ko'tarish yo'li bilan topiladi. Agar N va keyin a x darajaning ildizini olish (yoki uni darajaga ko'tarish) bilan berilgan bo'lsa. Endi a va N berilgan holda biz x ni topishimiz kerak bo'lgan holatni ko'rib chiqaylik.
N soni musbat bo'lsin: a soni musbat va birga teng emas: .
Ta'rif. N sonining a asosiga logarifmi N sonni olish uchun a ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkichdir; logarifm bilan belgilanadi
Shunday qilib, (26.1) tenglikda ko'rsatkich N ning a asosiga logarifmi sifatida topiladi. Xabarlar
bir xil ma'noga ega. Tenglik (26.1) ba'zan logarifmlar nazariyasining asosiy o'ziga xosligi deb ataladi; haqiqatda logarifm tushunchasining ta'rifini ifodalaydi. tomonidan bu ta'rif Logarifmning asosi a har doim musbat va birlikdan farq qiladi; logarifmik N soni musbat. Salbiy raqamlar va nolning logarifmlari yo'q. Berilgan asosli har qanday son aniq belgilangan logarifmaga ega ekanligini isbotlash mumkin. Shuning uchun tenglik o'z ichiga oladi. E'tibor bering, bu erda shart juda muhim, aks holda xulosa asoslanmaydi, chunki x va y ning har qanday qiymatlari uchun tenglik to'g'ri.
Misol 1. Toping
Yechim. Raqamni olish uchun siz 2-bazani quvvatga ko'tarishingiz kerak Shuning uchun.
Bunday misollarni echishda siz quyidagi shaklda eslatma qilishingiz mumkin:
2-misol. Toping.
Yechim. Bizda ... bor
1 va 2-misollarda logarifm sonini asosning ratsional darajali darajasi sifatida ifodalash orqali kerakli logarifmni osongina topdik. IN umumiy holat, masalan, va hokazo, buni amalga oshirish mumkin emas, chunki logarifm irratsional qiymatga ega. Keling, ushbu bayonot bilan bog'liq bir masalaga e'tibor qaratamiz. 12-bandda biz berilgan ijobiy raqamning har qanday haqiqiy kuchini aniqlash imkoniyati tushunchasini berdik. Bu, umuman olganda, irratsional sonlar bo'lishi mumkin bo'lgan logarifmlarni kiritish uchun zarur edi.
Keling, logarifmlarning ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.
Xossa 1. Agar son va asos teng bo'lsa, u holda logarifm birga teng bo'ladi va aksincha, agar logarifm birga teng bo'lsa, unda son va asos teng bo'ladi.
Isbot. Logarifmning ta'rifi bo'yicha bizda va qayerdan bo'lsin
Aksincha, ta'rifi bo'yicha Keyin bo'lsin
2 xossa. Birning har qanday asosga logarifmi nolga teng.
Isbot. Logarifmning ta'rifi bo'yicha (har qanday musbat asosning nol kuchi birga teng, qarang (10.1)). Bu yerdan
Q.E.D.
Qarama-qarshi gap ham to'g'ri: agar , u holda N = 1. Haqiqatan ham, bizda .
Logarifmlarning keyingi xossasini shakllantirishdan oldin ikkita a va b sonlar c dan katta yoki c dan kichik bo‘lsa, uchinchi c sonining bir tomonida yotadi, deyishga rozi bo‘laylik. Agar bu sonlarning biri c dan katta, ikkinchisi esa c dan kichik bo'lsa, u holda ular c ning qarama-qarshi tomonlarida yotadi, deymiz.
3-xususiyat. Agar son va asos bittaning bir tomonida yotsa, u holda logarifm musbat; Agar raqam va asos birining qarama-qarshi tomonida bo'lsa, u holda logarifm manfiy bo'ladi.
3-xususiyatning isboti asosi birdan katta bo‘lsa va ko‘rsatkichi musbat yoki asosi birdan kichik va ko‘rsatkichi manfiy bo‘lsa, a ning kuchi birdan katta bo‘lishiga asoslanadi. Agar asos birdan katta bo'lsa va ko'rsatkich manfiy yoki asos birdan kichik va ko'rsatkich musbat bo'lsa, kuch birdan kichik bo'ladi.
Ko'rib chiqilishi kerak bo'lgan to'rtta holat mavjud:
Biz ularning birinchisini tahlil qilish bilan cheklanamiz, qolganlarini o'quvchi o'zi ko'rib chiqadi.
Demak, tenglikda ko'rsatkich na manfiy, na nolga teng bo'lishi mumkin, shuning uchun u musbat, ya'ni isbotlanishi kerak bo'lganidek.
3-misol. Quyidagi logarifmlarning qaysi biri musbat, qaysi biri manfiy ekanligini aniqlang:
Yechim, a) 15 soni va 12 ta asosi bitta tomonda joylashganligi uchun;
b) chunki 1000 va 2 birlikning bir tomonida joylashgan; bu holda, asosning logarifmik sondan katta bo'lishi muhim emas;
v) 3.1 va 0.8 birlikning qarama-qarshi tomonlarida yotadi;
G) ; Nega?
d) ; Nega?
Quyidagi 4-6 xossalari ko'pincha logarifmatsiya qoidalari deb ataladi: ular ba'zi raqamlarning logarifmlarini bilib, ularning har birining ko'paytmasi, bo'linmasi va darajasining logarifmlarini topishga imkon beradi.
4-xususiyat (mahsulot logarifmi qoidasi). Bir nechta musbat sonlar ko‘paytmasining logarifmi bu asos summasiga teng bu raqamlarning logarifmlari bir xil asosga.
Isbot. Berilgan raqamlar ijobiy bo'lsin.
Ularning mahsulotining logarifmi uchun logarifmni aniqlaydigan tenglikni (26.1) yozamiz:
Bu yerdan biz topamiz
Birinchi va oxirgi ifodalarning ko'rsatkichlarini taqqoslab, biz kerakli tenglikni olamiz:
E'tibor bering, shart juda muhim; ikkining ko'paytmasining logarifmi manfiy raqamlar mantiqiy, lekin bu holda biz olamiz
Umuman olganda, agar bir nechta omillarning mahsuloti ijobiy bo'lsa, uning logarifmi ushbu omillarning mutlaq qiymatlari logarifmlarining yig'indisiga teng bo'ladi.
5-xususiyat (ko'rsatkichlarning logarifmlarini olish qoidasi). Musbat sonlar bo'limining logarifmi bir xil asosga olingan dividend va bo'linuvchining logarifmlari orasidagi farqga teng. Isbot. Biz doimiy ravishda topamiz
Q.E.D.
6-xususiyat (quvvat logarifmi qoidasi). Har qanday musbat sonning kuchining logarifmi bu sonning ko'rsatkichga ko'paytirilgan logarifmiga teng.
Isbot. Raqamning asosiy identifikatorini (26.1) yana yozamiz:
Q.E.D.
Natija. Ijobiy sonning ildizining logarifmi ildizning ko'rsatkichiga bo'lingan radikalning logarifmiga teng:
Ushbu xulosaning to'g'riligini 6-xususiyatni qanday va qanday ishlatishni tasavvur qilish orqali isbotlash mumkin.
4-misol. a asosi uchun logarifmni oling:
a) (barcha b, c, d, e qiymatlari ijobiy deb taxmin qilinadi);
b) (deb taxmin qilinadi).
Yechim, a) Ushbu ifodada kasr darajalariga o'tish qulay:
(26.5) - (26.7) tengliklariga asoslanib, endi yozishimiz mumkin:
Biz raqamlarning logarifmlari ustida raqamlarning o'ziga qaraganda soddaroq amallar bajarilganligini ko'ramiz: sonlarni ko'paytirishda ularning logarifmlari qo'shiladi, bo'lishda ular ayiriladi va hokazo.
Shuning uchun logarifmlar hisoblash amaliyotida qo'llaniladi (29-bandga qarang).
Logarifmning teskari harakati potentsiallanish deb ataladi, ya'ni: potentsiallash - sonning berilgan logarifmasidan raqamning o'zi topilgan harakat. Aslida, potentsial emas maxsus harakat: bu asosni quvvatga ko'tarishga (sonning logarifmiga teng) tushadi. "Potensiatsiya" atamasini "ko'tarilish" atamasi bilan sinonim deb hisoblash mumkin.
Potentsiyalashda siz logarifmlash qoidalariga teskari qoidalarni qo'llashingiz kerak: logarifmlar yig'indisini mahsulotning logarifmi bilan, logarifmalar farqini bo'linmaning logarifmi bilan almashtiring va hokazo. Xususan, agar oldinda omil mavjud bo'lsa. logarifm belgisining belgisi bo'lsa, u holda potensiyalash paytida uni logarifm belgisi ostida ko'rsatkich darajalariga o'tkazish kerak.
Misol 5. Agar ma'lum bo'lsa, N ni toping
Yechim. Potentsiyalashning hozirgina bayon qilingan qoidasi bilan bog'liq holda, biz ushbu tenglikning o'ng tomonidagi logarifmlar belgilari oldida turgan 2/3 va 1/3 ko'paytmalarni ushbu logarifmlarning belgilari ostida ko'rsatkichlarga o'tkazamiz; olamiz
Endi biz logarifmlar ayirmasini qismning logarifmi bilan almashtiramiz:
bu tenglik zanjiridagi oxirgi kasrni olish uchun biz oldingi kasrni maxrajdagi irratsionallikdan ozod qildik (25-band).
Mulk 7. Agar asos birdan katta bo'lsa, u holda kattaroq raqam kattaroq logarifmaga ega (va kichikroq raqam kichikroq bo'ladi), agar asos birdan kichik bo'lsa, u holda kattaroq raqam kichikroq logarifmaga ega (va kichikroq raqam kattaroq).
Bu xususiyat, shuningdek, ikkala tomoni ijobiy bo'lgan tengsizliklarning logarifmlarini olish qoidasi sifatida tuzilgan:
Tengsizliklarni birdan katta asosga logarifmlashda tengsizlik belgisi saqlanib qoladi, birdan kichik asosga logarifmlashda esa tengsizlik belgisi teskarisiga o'zgaradi (80-bandga ham qarang).
Isbot 5 va 3 xossalarga asoslanadi. Agar , keyin va logarifmlarni olib, olingan holatni ko'rib chiqing.
(a va N/M birlikning bir tomonida yotadi). Bu yerdan
Keyingi holat bo'lsa, o'quvchi buni o'zi aniqlaydi.
Ma'lumki, ifodalarni darajalar bilan ko'paytirishda ularning ko'rsatkichlari har doim qo'shiladi (a b *a c = a b+c). Bu matematik qonun Arximed tomonidan olingan bo'lib, keyinchalik 8-asrda matematik Virasen butun sonlar ko'rsatkichlari jadvalini yaratdi. Aynan ular logarifmlarning keyingi kashfiyoti uchun xizmat qilganlar. Ushbu funktsiyadan foydalanish misollarini oddiy qo'shish orqali mashaqqatli ko'paytirishni soddalashtirish zarur bo'lgan deyarli hamma joyda topish mumkin. Agar siz ushbu maqolani o'qishga 10 daqiqa vaqt ajratsangiz, biz sizga logarifm nima ekanligini va ular bilan qanday ishlashni tushuntiramiz. Oddiy va tushunarli tilda.
Matematikada ta'rif
Logarifm quyidagi ko‘rinishdagi ifodadir: log a b=c, ya’ni har qanday manfiy bo‘lmagan (ya’ni har qanday musbat) “b” sonning “a” asosiga logarifmi “c” darajasi deb hisoblanadi. “b” qiymatini olish uchun “a” bazasini ko‘tarish kerak. Logarifmni misollar yordamida tahlil qilamiz, deylik log 2 ifodasi bor 8. Javobni qanday topish mumkin? Bu juda oddiy, siz shunday quvvat topishingiz kerakki, 2 dan kerakli quvvatga qadar siz 8 ga ega bo'lasiz. Boshingizdagi ba'zi hisob-kitoblarni amalga oshirgandan so'ng, biz 3 raqamini olamiz! Va bu to'g'ri, chunki 2 dan 3 ning kuchiga javob 8 ni beradi.
Logarifmlarning turlari
Ko'pgina o'quvchilar va talabalar uchun bu mavzu murakkab va tushunarsiz ko'rinadi, lekin aslida logarifmlar unchalik qo'rqinchli emas, asosiysi ularning umumiy ma'nosini tushunish va ularning xususiyatlarini va ba'zi qoidalarini eslab qolishdir. Uchtasi bor individual turlar logarifmik ifodalar:
- Natural logarifm ln a, bu yerda asos Eyler soni (e = 2,7).
- O'nlik a, bu erda asos 10 ga teng.
- Har qanday b sonining a>1 asosiga logarifmi.
Ularning har biri logarifmik teoremalardan foydalangan holda soddalashtirish, qisqartirish va keyinchalik bitta logarifmaga qisqartirishni o'z ichiga olgan standart usulda hal qilinadi. Logarifmlarning to'g'ri qiymatlarini olish uchun siz ularni hal qilishda ularning xususiyatlarini va harakatlar ketma-ketligini eslab qolishingiz kerak.
Qoidalar va ba'zi cheklovlar
Matematikada aksioma sifatida qabul qilingan bir qancha qoida-cheklovlar mavjud, ya'ni ular muhokama qilinmaydi va haqiqatdir. Masalan, raqamlarni nolga bo'lish mumkin emas va ildizni ajratib olish ham mumkin emas hatto daraja manfiy raqamlardan. Logarifmlarning o'z qoidalari ham bor, ularga rioya qilgan holda siz hatto uzoq va sig'imli logarifmik iboralar bilan ishlashni osongina o'rganishingiz mumkin:
- “A” bazasi har doim noldan katta bo'lishi kerak va 1 ga teng bo'lmasligi kerak, aks holda ifoda o'z ma'nosini yo'qotadi, chunki "1" va "0" har qanday darajada har doim ularning qiymatlariga teng;
- a > 0 bo'lsa, a b >0 bo'lsa, "c" ham noldan katta bo'lishi kerakligi ma'lum bo'ladi.
Logarifmlarni qanday yechish mumkin?
Masalan, 10 x = 100 tenglamasining javobini topish vazifasi beriladi. Bu juda oson, biz 100 ni oladigan o'n sonni ko'tarib, kuch tanlash kerak. Bu, albatta, 10 2 =. 100.
Endi bu ifodani logarifmik shaklda ifodalaylik. Biz log 10 100 = 2 ni olamiz. Logarifmlarni echishda berilgan sonni olish uchun logarifm asosini kiritish zarur bo'lgan quvvatni topish uchun barcha amallar amalda birlashadi.
Noma'lum darajaning qiymatini aniq aniqlash uchun siz darajalar jadvali bilan ishlashni o'rganishingiz kerak. Bu shunday ko'rinadi:
Ko'rib turganingizdek, agar sizda texnik aqlingiz va ko'paytirish jadvalini bilsangiz, ba'zi eksponentlarni intuitiv ravishda taxmin qilish mumkin. Biroq, kattaroq qiymatlar uchun sizga quvvat jadvali kerak bo'ladi. Bundan hatto murakkab matematik mavzular haqida hech narsa bilmaydiganlar ham foydalanishlari mumkin. Chap ustunda raqamlar mavjud (a asosi), raqamlarning yuqori qatori a soni ko'tarilgan c kuchining qiymati. Chorrahada hujayralar javob bo'lgan raqamlar qiymatlarini o'z ichiga oladi (a c = b). Keling, masalan, 10 raqami bo'lgan birinchi katakchani olaylik va uning kvadratini olamiz, biz ikkita katakchamizning kesishmasida ko'rsatilgan 100 qiymatini olamiz. Hammasi shu qadar sodda va osonki, hatto eng haqiqiy gumanist ham tushunadi!
Tenglamalar va tengsizliklar
Ma'lum bo'lishicha, ma'lum sharoitlarda ko'rsatkich logarifmdir. Shuning uchun har qanday matematik sonli ifodalarni logarifmik tenglik sifatida yozish mumkin. Masalan, 3 4 =81 ni to'rtga teng 81 ning 3 logarifmi sifatida yozish mumkin (log 3 81 = 4). Salbiy kuchlar uchun qoidalar bir xil: 2 -5 = 1/32 biz uni logarifm sifatida yozamiz, log 2 (1/32) = -5 ni olamiz. Matematikaning eng qiziqarli bo'limlaridan biri "logarifmlar" mavzusidir. Tenglamalarning xossalarini o‘rganganimizdan so‘ng biz quyida misollar va yechimlarni ko‘rib chiqamiz. Endi tengsizliklar qanday ko‘rinishini va ularni tenglamalardan qanday ajratish mumkinligini ko‘rib chiqamiz.
Quyidagi ifoda berilgan: log 2 (x-1) > 3 - bu logarifmik tengsizlik, chunki nomaʼlum “x” qiymati logarifmik belgi ostida. Shuningdek, ifodada ikkita miqdor solishtiriladi: ikkita asosga kerakli sonning logarifmi uch sonidan katta.
Logarifmik tenglamalar va tengsizliklar orasidagi eng muhim farq shundaki, logarifmli tenglamalar (masalan, 2 x = √9 logarifmi) bir yoki bir nechta aniq javoblarni nazarda tutadi. raqamli qiymatlar, tengsizlikni yechishda ruxsat etilgan qiymatlar diapazoni ham, ushbu funktsiyaning to'xtash nuqtalari ham aniqlanadi. Natijada, javob tenglamaning javobidagi kabi oddiy raqamlar to'plami emas, balki javobdir. uzluksiz qator yoki raqamlar to'plami.
Logarifmlar haqidagi asosiy teoremalar
Logarifmning qiymatlarini topishning ibtidoiy vazifalarini hal qilishda uning xossalari noma'lum bo'lishi mumkin. Biroq, logarifmik tenglamalar yoki tengsizliklar haqida gap ketganda, birinchi navbatda, logarifmlarning barcha asosiy xususiyatlarini aniq tushunish va amalda qo'llash kerak. Tenglamalar misollarini keyinroq ko'rib chiqamiz, keling, avval har bir xususiyatni batafsil ko'rib chiqamiz;
- Asosiy identifikatsiya quyidagicha ko'rinadi: a logaB =B. Bu faqat a 0 dan katta, birga teng emas va B noldan katta bo'lganda qo'llaniladi.
- Mahsulotning logarifmini quyidagi formulada ifodalash mumkin: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu holda shart bu: d, s 1 va s 2 > 0; a≠1. Siz bu logarifmik formulani misollar va yechim bilan isbotlashingiz mumkin. log a s 1 = f 1 va log a s 2 = f 2, keyin a f1 = s 1, a f2 = s 2 bo‘lsin. Biz s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (xususiyatlari)ni olamiz. daraja ), so'ngra ta'rifi bo'yicha: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsa.
- Bo'limning logarifmi quyidagicha ko'rinadi: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Formula ko'rinishidagi teorema quyidagi shaklni oladi: log a q b n = n/q log a b.
Ushbu formula "logarifm darajasining xossasi" deb ataladi. Bu oddiy darajalarning xususiyatlariga o'xshaydi va bu ajablanarli emas, chunki barcha matematika tabiiy postulatlarga asoslanadi. Keling, dalilni ko'rib chiqaylik.
Log a b = t bo'lsin, a t =b chiqadi. Ikkala qismni m darajaga ko'tarsak: a tn = b n;
lekin a tn = (a q) nt/q = b n ekan, shuning uchun log a q b n = (n*t)/t, keyin log a q b n = n/q log a b. Teorema isbotlangan.
Muammolar va tengsizliklarga misollar
Logarifmlarga oid masalalarning eng keng tarqalgan turlari tenglamalar va tengsizliklarga misollardir. Ular deyarli barcha muammoli kitoblarda uchraydi va matematika imtihonlarining majburiy qismidir. Universitetga kirish yoki matematikadan kirish imtihonlarini topshirish uchun siz bunday vazifalarni qanday to'g'ri hal qilishni bilishingiz kerak.
Afsuski, hal qilish va aniqlash uchun yagona reja yoki sxema mavjud emas noma'lum qiymat Logarifm degan narsa yo'q, lekin har bir matematik tengsizlik yoki logarifmik tenglamaga ma'lum qoidalar qo'llanilishi mumkin. Avvalo, siz ifodani soddalashtirish yoki olib kelishi mumkinligini aniqlashingiz kerak umumiy ko'rinish. Uzoq logarifmik ifodalarni ularning xossalaridan to‘g‘ri foydalansangiz, soddalashtirishingiz mumkin. Keling, ular bilan tezda tanishaylik.
Logarifmik tenglamalarni yechishda biz qanday turdagi logarifmga ega ekanligimizni aniqlashimiz kerak: misol ifodasi tabiiy logarifm yoki o'nlikdan iborat bo'lishi mumkin.
Mana ln100, ln1026 misollar. Ularning yechimi shundan kelib chiqadiki, ular 10 ta asosi mos ravishda 100 va 1026 ga teng bo'ladigan quvvatni aniqlashlari kerak. Yechimlar uchun tabiiy logarifmlar logarifmik identifikatorlarni yoki ularning xususiyatlarini qo'llashingiz kerak. Keling, har xil turdagi logarifmik masalalarni yechish misollarini ko'rib chiqaylik.
Logarifm formulalarini qanday ishlatish kerak: misollar va echimlar bilan
Shunday qilib, keling, logarifmlar haqidagi asosiy teoremalardan foydalanish misollarini ko'rib chiqaylik.
- Mahsulot logarifmining xususiyati kengaytirish zarur bo'lgan vazifalarda ishlatilishi mumkin katta ahamiyatga ega b raqamlarini oddiy omillarga aylantiring. Masalan, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Javob 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - ko'rib turganingizdek, logarifm kuchining to'rtinchi xususiyatidan foydalanib, biz ko'rinishidan murakkab va yechilmaydigan ifodani yechishga muvaffaq bo'ldik. Siz shunchaki bazani faktorlarga ajratib, keyin ko'rsatkich qiymatlarini logarifm belgisidan chiqarib olishingiz kerak.
Yagona davlat imtihonidan topshiriqlar
Logarifmlar ko'pincha kirish imtihonlarida, ayniqsa Yagona davlat imtihonida (barcha maktab bitiruvchilari uchun davlat imtihonida) ko'plab logarifmik muammolar mavjud. Odatda, bu vazifalar nafaqat A qismida (imtihonning eng oson test qismi), balki C qismida ham (eng murakkab va hajmli vazifalar) mavjud. Imtihon “Tabiiy logarifmlar” mavzusini aniq va mukammal bilishni talab qiladi.
Muammolarga misollar va yechimlar rasmiylardan olingan Yagona davlat imtihonlari variantlari. Keling, bunday vazifalar qanday hal qilinishini ko'rib chiqaylik.
Berilgan log 2 (2x-1) = 4. Yechish:
keling, ifodani biroz soddalashtirib, uni qayta yozamiz log 2 (2x-1) = 2 2, logarifmning ta'rifi bo'yicha biz 2x-1 = 2 4 ni olamiz, shuning uchun 2x = 17; x = 8,5.
- Yechim og'ir va chalkash bo'lmasligi uchun barcha logarifmlarni bir xil asosga qisqartirish yaxshidir.
- Logarifm belgisi ostidagi barcha ifodalar musbat deb ko'rsatiladi, shuning uchun logarifm belgisi ostidagi va uning asosi sifatidagi ifodaning ko'rsatkichi ko'paytiruvchi sifatida chiqarilganda, logarifm ostida qolgan ifoda musbat bo'lishi kerak.
Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.
Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish
Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.
Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.
Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.
Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:
- Saytda ariza topshirganingizda, biz sizning ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingiz kabi turli xil ma'lumotlarni to'plashimiz mumkin Elektron pochta va hokazo.
Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:
- Biz tomonimizdan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
- Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
- Shaxsiy ma'lumotlardan audit, ma'lumotlarni tahlil qilish va boshqalar kabi ichki maqsadlarda ham foydalanishimiz mumkin turli tadqiqotlar biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun.
- Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.
Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish
Sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.
Istisnolar:
- Zarur bo'lganda - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud muhokamasida va (yoki) jamoatchilikning so'rovlari yoki so'rovlari asosida. davlat organlari Rossiya Federatsiyasi hududida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa sog'liqni saqlash maqsadlari uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak. muhim holatlar.
- Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.
Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish
Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.
Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish
Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.
Jamiyat rivojlanib, ishlab chiqarish murakkablashgan sari matematika ham rivojlandi. Oddiydan murakkabga o'tish. Qo'shish va ayirish usulidan foydalangan holda oddiy buxgalteriya hisobidan ularning takroriy takrorlanishi bilan biz ko'paytirish va bo'lish tushunchasiga keldik. Ko'paytirishning takroriy amalini qisqartirish ko'rsatkich tushunchasiga aylandi. Raqamlarning asosga va ko'rsatkichlar soniga bog'liqligining birinchi jadvallari 8-asrda hind matematigi Varasena tomonidan tuzilgan. Ulardan logarifmlarning paydo bo'lish vaqtini hisoblashingiz mumkin.
Tarixiy eskiz
16-asrda Yevropaning tiklanishi ham mexanikaning rivojlanishiga turtki boʻldi. T katta hajmdagi hisoblashni talab qildi ko'p xonali sonlarni ko'paytirish va bo'lish bilan bog'liq. Qadimgi stollar katta xizmat qilgan. Ular murakkab amallarni oddiyroq - qo'shish va ayirish bilan almashtirishga imkon berdi. Oldinga katta qadam 1544 yilda nashr etilgan matematik Maykl Stifelning ishi bo'lib, unda u ko'plab matematiklarning g'oyasini amalga oshirdi. Bu jadvallardan nafaqat tub sonlar ko'rinishidagi darajalar uchun, balki o'zboshimchalik bilan ratsional bo'lganlar uchun ham foydalanishga imkon berdi.
1614 yilda shotlandiyalik Jon Nepier ushbu g'oyalarni ishlab chiqib, birinchi marta yangi "sonning logarifmi" atamasini kiritdi. Yangi murakkab jadvallar sinus va kosinuslarning logarifmlarini, shuningdek tangenslarni hisoblash uchun. Bu astronomlarning ishini ancha qisqartirdi.
Uch asr davomida olimlar tomonidan muvaffaqiyatli qo'llanilgan yangi jadvallar paydo bo'la boshladi. Oldin ko'p vaqt o'tdi yangi operatsiya algebrada u o'zining tugallangan shaklini oldi. Logarifmning ta’rifi berildi va uning xossalari o‘rganildi.
Faqat 20-asrda, kalkulyator va kompyuterning paydo bo'lishi bilan insoniyat 13-asr davomida muvaffaqiyatli ishlagan qadimiy jadvallardan voz kechdi.
Bugun biz b ning logarifmini a asosi bo'lgan x soni deb ataymiz, ya'ni a ning b ni tashkil qiladi. Bu formula sifatida yoziladi: x = log a(b).
Misol uchun, log 3(9) 2 ga teng bo'ladi. Agar ta'rifga amal qilsangiz, bu aniq. Agar 3 ni 2 ning darajasiga oshirsak, biz 9 ni olamiz.
Shunday qilib, tuzilgan ta'rif faqat bitta cheklovni o'rnatadi: a va b raqamlari haqiqiy bo'lishi kerak.
Logarifmlarning turlari
Klassik ta'rif haqiqiy logarifm deb ataladi va aslida a x = b tenglamaning yechimidir. Variant a = 1 chegara chizig'idir va qiziqish uyg'otmaydi. Diqqat: har qanday kuchga 1 1 ga teng.
Logarifmning haqiqiy qiymati faqat asos va argument 0 dan katta bo'lganda aniqlanadi va asos 1 ga teng bo'lmasligi kerak.
Matematika sohasida alohida o'rin tutadi logarifmlarni o'ynang, ular bazasining o'lchamiga qarab nomlanadi:
Qoidalar va cheklovlar
Logarifmlarning asosiy xususiyati qoidadir: mahsulotning logarifmi logarifmik yig'indiga teng. log abp = log a(b) + log a(p).
Ushbu bayonotning varianti quyidagicha bo'ladi: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), bo'linish funktsiyasi funktsiyalarning farqiga teng.
Oldingi ikkita qoidadan shuni ko'rish oson: log a(b p) = p * log a(b).
Boshqa xususiyatlarga quyidagilar kiradi:
Izoh. Umumiy xatoga yo'l qo'yishning hojati yo'q - yig'indining logarifmi logarifmalar yig'indisiga teng emas.
Ko'p asrlar davomida logarifmni topish juda ko'p vaqt talab qiladigan ish edi. Matematiklar foydalangan taniqli formula Polinom kengayishining logarifmik nazariyasi:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), bu erda n - natural son 1 dan katta, bu hisoblashning to'g'riligini belgilaydi.
Boshqa asosli logarifmlar bir asosdan ikkinchisiga o'tish teoremasi va ko'paytma logarifmining xossasi yordamida hisoblangan.
Chunki bu usul juda ko'p mehnat talab qiladi va amaliy muammolarni hal qilishda amalga oshirish qiyin, biz logarifmlarning oldindan tuzilgan jadvallaridan foydalandik, bu esa barcha ishlarni sezilarli darajada tezlashtirdi.
Ba'zi hollarda maxsus mo'ljallangan logarifm grafiklaridan foydalanilgan, bu kamroq aniqlik bergan, ammo qidiruvni sezilarli darajada tezlashtirgan. kerakli qiymat. Bir necha nuqtalar ustida tuzilgan y = log a(x) funktsiyaning egri chizig'i istalgan boshqa nuqtadagi funktsiya qiymatini topish uchun oddiy o'lchagichdan foydalanish imkonini beradi. Muhandislar uzoq vaqt Ushbu maqsadlar uchun grafik qog'oz deb ataladigan qog'oz ishlatilgan.
17-asrda birinchi yordamchi analog hisoblash sharoitlari paydo bo'ldi, bu 19-asr tugallangan ko'rinishga ega bo'ldi. Eng muvaffaqiyatli qurilma slayd qoidasi deb nomlandi. Qurilmaning soddaligiga qaramay, uning ko'rinishi barcha muhandislik hisob-kitoblari jarayonini sezilarli darajada tezlashtirdi va buni ortiqcha baholash qiyin. Hozirda bu qurilma bilan kam odam tanish.
Kalkulyatorlar va kompyuterlarning paydo bo'lishi boshqa har qanday qurilmalardan foydalanishni ma'nosiz qildi.
Tenglamalar va tengsizliklar
Logarifmlar yordamida turli xil tenglamalar va tengsizliklarni yechish uchun quyidagi formulalar qo'llaniladi:
- Bir bazadan ikkinchisiga o'tish: log a (b) = log c (b) / log c (a);
- Oldingi variantning natijasi sifatida: log a (b) = 1 / log b (a).
Tengsizliklarni yechish uchun quyidagilarni bilish foydalidir:
- Logarifmning qiymati faqat asos va argument bittadan katta yoki kichik bo'lsagina ijobiy bo'ladi; agar kamida bitta shart buzilgan bo'lsa, logarifm qiymati salbiy bo'ladi.
- Agar tengsizlikning o‘ng va chap tomonlariga logarifm funksiyasi qo‘llanilsa va logarifmning asosi birdan katta bo‘lsa, tengsizlik belgisi saqlanib qoladi; aks holda u o'zgaradi.
Namuna muammolar
Keling, logarifmlar va ularning xossalarini ishlatishning bir nechta variantlarini ko'rib chiqaylik. Tenglamalarni yechishga misollar:
Logarifmni bir darajaga joylashtirish variantini ko'rib chiqing:
- Masala 3. 25^log 5(3) ni hisoblang. Yechish: muammoning shartlarida yozuv quyidagiga o'xshaydi (5^2)^log5(3) yoki 5^(2 * log 5(3)). Buni boshqacha yozamiz: 5^log 5(3*2) yoki funktsiya argumenti sifatidagi raqamning kvadrati funksiyaning o'zi (5^log 5(3))^2 kvadrati sifatida yozilishi mumkin. Logarifmlarning xossalaridan foydalanib, bu ifoda 3^2 ga teng. Javob: hisoblash natijasida biz 9 ni olamiz.
Amaliy foydalanish
Sof matematik vosita bo'lib, u uzoqroq ko'rinadi haqiqiy hayot logarifm to'satdan real dunyodagi ob'ektlarni tasvirlash uchun katta ahamiyatga ega bo'ldi. Undan foydalanilmagan fanni topish qiyin. Bu nafaqat tabiiy, balki gumanitar bilim sohalariga ham to'liq taalluqlidir.
Logarifmik bog'liqliklar
Raqamli bog'liqliklarga ba'zi misollar:
Mexanika va fizika
Tarixan mexanika va fizika har doim foydalanish orqali rivojlangan matematik usullar tadqiqotlar va shu bilan birga matematika, jumladan, logarifmlar rivojlanishi uchun rag'bat bo'lib xizmat qildi. Fizikaning aksariyat qonunlari nazariyasi matematika tilida yozilgan. Keling, tavsiflarga ikkita misol keltiraylik jismoniy qonunlar logarifm yordamida.
Raketa tezligi kabi murakkab miqdorni hisoblash muammosini Tsiolkovskiy formulasi yordamida hal qilish mumkin, bu koinotni o'rganish nazariyasiga asos solgan:
V = I * ln (M1/M2), bu erda
- V - samolyotning oxirgi tezligi.
- I - dvigatelning o'ziga xos impulsi.
- M 1 - raketaning boshlang'ich massasi.
- M 2 - yakuniy massa.
Yana bir muhim misol- bu boshqa buyuk olim Maks Plankning termodinamikadagi muvozanat holatini baholashga xizmat qiluvchi formulasida qo'llaniladi.
S = k * ln (Ō), bu erda
- S – termodinamik xususiyat.
- k – Boltsman doimiysi.
- Ō - turli holatlarning statistik og'irligi.
Kimyo
Kimyoda logarifmlar nisbatini o'z ichiga olgan formulalardan foydalanish unchalik aniq emas. Keling, ikkita misol keltiraylik:
- Nernst tenglamasi, muhitning oksidlanish-qaytarilish potentsialining moddalarning faolligiga va muvozanat konstantasiga nisbatan sharti.
- Avtoliz indeksi va eritmaning kislotaligi kabi konstantalarni hisoblash ham bizning funktsiyamizsiz amalga oshirilmaydi.
Psixologiya va biologiya
Va psixologiyaning bunga qanday aloqasi borligi umuman aniq emas. Ma'lum bo'lishicha, sezish kuchi bu funktsiya tomonidan ogohlantiruvchi intensivlik qiymatining quyi intensivlik qiymatiga teskari nisbati sifatida yaxshi tasvirlangan.
Yuqoridagi misollardan so'ng, logarifmlar mavzusi biologiyada keng qo'llanilishi ajablanarli emas. Logarifmik spirallarga mos keladigan biologik shakllar haqida butun jildlarni yozish mumkin edi.
Boshqa hududlar
Ko'rinadiki, dunyoning mavjudligi bu funktsiya bilan bog'liqsiz mumkin emas va u barcha qonunlarni boshqaradi. Ayniqsa, tabiat qonunlari bilan bog'liq bo'lsa geometrik progressiya. MatProfi veb-saytiga murojaat qilish arziydi va quyidagi faoliyat sohalarida bunday misollar ko'p:
Ro'yxat cheksiz bo'lishi mumkin. Ushbu funktsiyaning asosiy tamoyillarini o'zlashtirib, siz cheksiz donolik dunyosiga sho'ng'ishingiz mumkin.
Logarifmlar, har qanday raqamlar kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin. Ammo logarifmlar oddiy sonlar emasligi sababli, bu erda qoidalar mavjud, ular chaqiriladi asosiy xususiyatlar.
Siz, albatta, ushbu qoidalarni bilishingiz kerak - ularsiz biron bir jiddiy logarifmik muammoni hal qilib bo'lmaydi. Bundan tashqari, ularning soni juda oz - siz bir kunda hamma narsani o'rganishingiz mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.
Logarifmlarni qo‘shish va ayirish
Bir xil asoslarga ega ikkita logarifmni ko'rib chiqing: log a x va jurnal a y. Keyin ularni qo'shish va ayirish mumkin, va:
- jurnal a x+log a y= jurnal a (x · y);
- jurnal a x− jurnal a y= jurnal a (x : y).
Demak, logarifmlar yig’indisi ko’paytmaning logarifmiga, ayirmasi esa bo’lakning logarifmasiga teng. E'tibor bering: bu erda asosiy nuqta bir xil asoslar. Agar sabablar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi!
Ushbu formulalar, hatto uning alohida qismlari hisobga olinmasa ham, logarifmik ifodani hisoblashda yordam beradi ("Logarifm nima" darsiga qarang). Misollarni ko'rib chiqing va qarang:
Jurnal 6 4 + jurnal 6 9.
Logarifmlar bir xil asoslarga ega bo'lgani uchun biz yig'indi formulasidan foydalanamiz:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 2 48 − log 2 3.
Asoslar bir xil, biz farq formulasidan foydalanamiz:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 3 135 − log 3 5.
Yana bazalar bir xil, shuning uchun bizda:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Ko'rib turganingizdek, asl iboralar "yomon" logarifmlardan iborat bo'lib, ular alohida hisoblanmaydi. Ammo transformatsiyalardan so'ng butunlay normal raqamlar olinadi. Ko'pchilik bu haqiqatga asoslanadi test qog'ozlari. Ha, testga o'xshash iboralar Yagona davlat imtihonida barcha jiddiylik bilan (ba'zida deyarli o'zgarishlarsiz) taklif etiladi.
Logarifmadan ko'rsatkichni chiqarish
Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz. Agar logarifmning asosi yoki argumenti kuch bo'lsa-chi? Keyin ushbu daraja ko'rsatkichini quyidagi qoidalarga muvofiq logarifm belgisidan chiqarish mumkin:
Buni payqash oson oxirgi qoida birinchi ikkitasini kuzatib boradi. Ammo baribir buni eslab qolish yaxshiroqdir - ba'zi hollarda bu hisob-kitoblar miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi.
Albatta, agar logarifmning ODZiga rioya qilinsa, ushbu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Va yana bir narsa: barcha formulalarni nafaqat chapdan o'ngga, balki aksincha qo'llashni o'rganing, ya'ni. Logarifmning o'ziga logarifm belgisidan oldingi raqamlarni kiritishingiz mumkin. Bu eng ko'p talab qilinadigan narsa.
Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 7 49 6 .
Keling, birinchi formuladan foydalanib, argumentdagi darajadan xalos bo'laylik:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Vazifa. Ifodaning ma'nosini toping:
[Rasm uchun sarlavha]
E'tibor bering, maxraj logarifmadan iborat bo'lib, uning asosi va argumenti aniq darajalardir: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Bizda ... bor:
[Rasm uchun sarlavha] O'ylaymanki, oxirgi misol biroz tushuntirishni talab qiladi. Logarifmlar qayerga ketdi? Biz oxirgi daqiqagacha faqat maxraj bilan ishlaymiz. Biz u erda turgan logarifmning asosini va argumentini kuchlar shaklida taqdim etdik va ko'rsatkichlarni olib tashladik - biz "uch qavatli" kasrni oldik.
Endi asosiy kasrni ko'rib chiqaylik. Numerator va maxraj bir xil sonni o'z ichiga oladi: log 2 7. Log 2 7 ≠ 0 bo'lgani uchun biz kasrni kamaytirishimiz mumkin - 2/4 maxrajda qoladi. Arifmetika qoidalariga ko'ra, to'rttani hisoblagichga o'tkazish mumkin, bu bajarilgan. Natijada javob bo'ldi: 2.
Yangi poydevorga o'tish
Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Agar sabablar boshqacha bo'lsa-chi? Agar ular bir xil sonning aniq kuchlari bo'lmasa-chi?
Yangi poydevorga o'tish uchun formulalar yordamga keladi. Keling, ularni teorema shaklida tuzamiz:
Logarifm jurnali berilsin a x. Keyin istalgan raqam uchun c shu kabi c> 0 va c≠ 1, tenglik to'g'ri:
[Rasm uchun sarlavha]
Xususan, agar biz qo'ysak c = x, biz olamiz:
[Rasm uchun sarlavha]
Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosi va argumenti almashtirilishi mumkin, ammo bu holda butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda ko'rinadi.
Bu formulalar oddiy sonli ifodalarda kam uchraydi. Ular qanchalik qulay ekanligini faqat logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishdagina baholash mumkin.
Biroq, yangi poydevorga o'tishdan tashqari, umuman hal qilib bo'lmaydigan muammolar mavjud. Keling, ulardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:
Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 5 16 log 2 25.
E'tibor bering, ikkala logarifmning argumentlari aniq kuchlarni o'z ichiga oladi. Keling, ko'rsatkichlarni chiqaramiz: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Endi ikkinchi logarifmni “teskari” qilaylik:
[Rasm uchun sarlavha]Faktorlarni qayta tartibga solishda mahsulot o'zgarmasligi sababli, biz xotirjamlik bilan to'rt va ikkitani ko'paytirdik va keyin logarifmlar bilan ishladik.
Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 9 100 lg 3.
Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. Keling, buni yozamiz va ko'rsatkichlardan xalos bo'laylik:
[Rasm uchun sarlavha]Endi yangi bazaga o'tish orqali o'nlik logarifmdan xalos bo'laylik:
[Rasm uchun sarlavha]Asosiy logarifmik identifikatsiya
Ko'pincha yechim jarayonida raqamni berilgan asosga logarifm sifatida ko'rsatish kerak bo'ladi. Bunday holda, quyidagi formulalar bizga yordam beradi:
Birinchi holda, raqam n argumentda turgan daraja ko'rsatkichiga aylanadi. Raqam n mutlaqo hamma narsa bo'lishi mumkin, chunki bu faqat logarifm qiymati.
Ikkinchi formula aslida tarjima qilingan ta'rifdir. Bu shunday deyiladi: asosiy logarifmik identifikatsiya.
Aslida, raqam bo'lsa, nima bo'ladi b raqamni shunday kuchga ko'taring b bu kuchga raqamni beradi a? To'g'ri: siz xuddi shu raqamni olasiz a. Ushbu xatboshini yana diqqat bilan o'qing - ko'p odamlar unga yopishib olishadi.
Yangi bazaga o'tish formulalari singari, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan yagona mumkin bo'lgan yechimdir.
Vazifa. Ifodaning ma'nosini toping:
[Rasm uchun sarlavha]
E'tibor bering, log 25 64 = log 5 8 - oddiygina kvadratni logarifmning asosi va argumentidan oldi. Quvvatlarni bir xil asos bilan ko'paytirish qoidalarini hisobga olgan holda, biz quyidagilarni olamiz:
[Rasm uchun sarlavha]Agar kimdir bilmasa, bu yagona davlat imtihonidan olingan haqiqiy vazifa edi :)
Logarifmik birlik va logarifmik nol
Xulosa qilib aytganda, men xususiyatlar deb atash qiyin bo'lgan ikkita identifikatsiyani beraman - aksincha, ular logarifm ta'rifining oqibatlari. Ular doimo muammolarda paydo bo'ladi va ajablanarlisi shundaki, hatto "ilg'or" talabalar uchun ham muammolarni keltirib chiqaradi.
- jurnal a a= 1 - logarifmik birlik. Bir marta va umuman eslab qoling: har qanday bazaga logarifm a shu asosdan bittaga teng.
- jurnal a 1 = 0 - logarifmik nol. Baza a har qanday bo'lishi mumkin, lekin agar argument bitta bo'lsa, logarifm nolga teng! Chunki a 0 = 1 ta'rifning bevosita natijasidir.
Bu barcha xususiyatlar. Ularni amalda qo'llashni mashq qiling! Dars boshida cheat varag'ini yuklab oling, uni chop eting va muammolarni hal qiling.
