Funksiyaning ortishi, kamayishi va ekstremallari

Funksiyaning ortish, kamayish va ekstremal oraliqlarini topish quyidagicha: mustaqil vazifa va boshqa vazifalarning eng muhim qismi, xususan, to'liq funktsiyani o'rganish. Funktsiyaning ortishi, kamayishi va ekstremalligi haqida dastlabki ma'lumotlar keltirilgan hosila haqidagi nazariy bob, men buni oldindan o'rganish uchun tavsiya qilaman (yoki takrorlash)– shuningdek, quyidagi material juda asoslangan, chunki asosan hosila, ushbu maqolaning uyg'un davomi bo'lish. Garchi vaqt qisqa bo'lsa ham, bugungi darsdan misollarni rasmiy ravishda ishlatish ham mumkin.

Va bugun havoda kamdan-kam yakdillik ruhi bor va men hozir bo'lganlarning barchasi istak bilan yonayotganini bevosita his qilaman. funktsiyani hosilasi yordamida tadqiq qilishni o'rganing. Shuning uchun, oqilona, ​​yaxshi, abadiy atamalar darhol monitor ekranlarida paydo bo'ladi.

Nima uchun? Buning sabablaridan biri eng amaliy: ma'lum bir vazifada sizdan odatda nima talab qilinishi aniq bo'lishi uchun!

Funktsiyaning monotonligi. Funksiyaning ekstremum nuqtalari va ekstremal nuqtalari

Keling, ba'zi funktsiyalarni ko'rib chiqaylik. Oddiy qilib aytganda, biz u deb taxmin qilamiz uzluksiz butun son qatorida:

Har holda, keling, mumkin bo'lgan illyuziyalardan darhol xalos bo'laylik, ayniqsa yaqinda tanish bo'lgan o'quvchilar uchun. funksiyaning doimiy ishorali intervallari. Endi biz QIZIQMAGAN, funktsiya grafigi o'qga nisbatan qanday joylashganligi (yuqorida, pastda, o'q kesishgan joyda). Ishonchli bo'lish uchun, o'qlarni aqliy ravishda o'chiring va bitta grafik qoldiring. Chunki qiziqish shu yerda.

Funktsiya ortadi oraliqda, agar bu oraliqning ixtiyoriy ikkita nuqtasi uchun munosabat bilan bog'langan bo'lsa, tengsizlik to'g'ri bo'ladi. Ya'ni, argumentning kattaroq qiymati funktsiyaning katta qiymatiga to'g'ri keladi va uning grafigi "pastdan yuqoriga" ketadi. Namoyish funksiyasi intervalda o'sib boradi.

Xuddi shunday, funktsiya kamayadi oraliqda, agar berilgan oraliqning istalgan ikkita nuqtasi uchun , tengsizlik to'g'ri bo'lsa. Ya'ni, argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kichikroq qiymatiga to'g'ri keladi va uning grafigi "yuqoridan pastga" ketadi. Bizning funktsiyamiz vaqt oralig'ida kamayadi .

Agar funktsiya oraliqda ortib yoki kamaysa, u chaqiriladi qat'iy monoton bu oraliqda. Monotoniya nima? Buni tom ma'noda qabul qiling - monotoniya.

Siz ham belgilashingiz mumkin kamaymaydigan funktsiyasi (birinchi ta'rifda bo'shashgan holat) va oshmaydigan funktsiya (2-ta'rifda yumshatilgan holat). Intervaldagi kamaymaydigan yoki ortib bormaydigan funksiya berilgan oraliqdagi monoton funksiya deyiladi. (qattiq monotonlik - maxsus holat"shunchaki" monotonlik).

Nazariya, shuningdek, funktsiyaning o'sishini / kamayishini aniqlashning boshqa yondashuvlarini, shu jumladan yarim oraliqlar, segmentlar bo'yicha ko'rib chiqadi, ammo sizning boshingizga yog'-moy-moyni quymaslik uchun biz kategoriyali ta'riflar bilan ochiq intervallar bilan ishlashga rozi bo'lamiz. - bu aniqroq va ko'plab amaliy muammolarni hal qilish uchun etarli.

Shunday qilib, mening maqolalarimda "funktsiyaning monotonligi" so'zi deyarli har doim yashirin bo'ladi intervallar qattiq monotonlik(qat'iy oshirish yoki qat'iy kamaytiruvchi funktsiya).

Bir nuqtaning qo'shnisi. O'quvchilar qo'lidan kelganicha qochib ketishadi va dahshat ichida burchaklarga yashirinib olishadi. ...Garchi postdan keyin Cauchy chegaralari Ehtimol, ular endi yashirishmayapti, lekin bir oz titrayapti =) Xavotir olmang, endi teoremalarning isboti bo'lmaydi. matematik tahlil- Ta'riflarni aniqroq shakllantirish uchun menga atrof-muhit kerak edi ekstremal nuqtalar. Keling, eslaylik:

Bir nuqtaning qo'shnisi o'z ichiga olgan interval deb ataladi bu nuqta, qulaylik uchun interval ko'pincha nosimmetrik deb hisoblanadi. Masalan, nuqta va uning standart qo'shnisi:

Aslida, ta'riflar:

Nuqta deyiladi qat'iy maksimal nuqta, Agar mavjud uning mahallasi, hamma uchun qiymatlari, nuqtaning o'zidan tashqari, tengsizlik . Bizning aniq misolimizda bu nuqta.

Nuqta deyiladi qat'iy minimal nuqta, Agar mavjud uning mahallasi, hamma uchun qiymatlari, nuqtaning o'zidan tashqari, tengsizlik . Chizmada "a" nuqtasi mavjud.

Eslatma : mahalla simmetriyasi talabi umuman kerak emas. Bundan tashqari, muhim ahamiyatga ega mavjudligi haqiqati belgilangan shartlarga javob beradigan qo'shni (mayda yoki mikroskopik).

Nuqtalar chaqiriladi qat'iy ekstremal nuqtalar yoki shunchaki ekstremal nuqtalar funktsiyalari. Ya'ni, bu maksimal ball va minimal ball uchun umumlashtirilgan atama.

"Ekstremal" so'zini qanday tushunamiz? Ha, xuddi monotonlik kabi. Rolikli kosterlarning ekstremal nuqtalari.

Monotonlik holatida bo'lgani kabi, bo'sh postulatlar mavjud va ular nazariy jihatdan yanada keng tarqalgan (bu, albatta, ko'rib chiqilgan qat'iy holatlarga tegishli!):

Nuqta deyiladi maksimal nuqta, Agar mavjud uning atrofi shunday hamma uchun
Nuqta deyiladi minimal nuqta, Agar mavjud uning atrofi shunday hamma uchun bu mahallaning qadriyatlari, tengsizlik mavjud.

E'tibor bering, oxirgi ikkita ta'rifga ko'ra, doimiy funktsiyaning har qanday nuqtasi (yoki funktsiyaning "tekis qismi") ham maksimal, ham minimal nuqta hisoblanadi! Aytgancha, funktsiya o'smaydigan va kamaymaydigan, ya'ni monotonikdir. Biroq, biz bu mulohazalarni nazariyotchilarga qoldiramiz, chunki amalda biz deyarli har doim an'anaviy "tepaliklar" va "bo'shliqlar" (chizmaga qarang) noyob "tepalik shohi" yoki "botqoq malikasi" bilan o'ylaymiz. Turli xil bo'lib, u paydo bo'ladi maslahat, yuqoriga yoki pastga yo'naltirilgan, masalan, nuqtadagi funktsiyaning minimumi.

Oh, va qirollik haqida gapirganda:
– ma’nosi deyiladi maksimal funktsiyalari;
– ma’nosi deyiladi minimal funktsiyalari.

Umumiy ism - ekstremal funktsiyalari.

Iltimos, so'zlaringiz bilan ehtiyot bo'ling!

Ekstremal nuqtalar- bu "X" qiymatlari.
Ekstremal- "o'yin" ma'nosi.

! Eslatma : ba'zan sanab o'tilgan atamalar to'g'ridan-to'g'ri O'ZI funksiyasining grafigida joylashgan "X-Y" nuqtalariga ishora qiladi.

Funktsiya nechta ekstremalga ega bo'lishi mumkin?

Yo'q, 1, 2, 3, ... va hokazo. cheksiz. Masalan, sinus cheksiz ko'p minimal va maksimallarga ega.

MUHIM!"Maksimum funktsiya" atamasi bir xil emas"funktsiyaning maksimal qiymati" atamasi. Qiymat faqat mahalliy mahallada maksimal ekanligini va yuqori chap tomonda "salqinroq o'rtoqlar" borligini payqash oson. Xuddi shunday, "funktsiyaning minimal qiymati" "funksiyaning minimal qiymati" bilan bir xil emas va chizmada biz qiymat faqat ma'lum bir sohada minimal ekanligini ko'ramiz. Shu munosabat bilan ekstremal nuqtalar ham deyiladi mahalliy ekstremal nuqtalar, va ekstremal - mahalliy ekstremallar . Ular yaqin atrofda yurishadi va sayr qilishadi global birodarlar. Demak, har qanday parabola o'z cho'qqisiga ega global minimal yoki global maksimal. Bundan tashqari, men ekstremallarning turlarini ajratmayman va tushuntirish umumiy ta'lim maqsadlarida ko'proq aytiladi - "mahalliy" / "global" qo'shimcha sifatlar sizni ajablantirmasligi kerak.

Keling, nazariyaga qisqa ekskursiyamizni sinovdan o'tkazish bilan sarhisob qilaylik: "funktsiyaning monotonlik intervallari va ekstremum nuqtalarini topish" vazifasi nimani anglatadi?

So'z sizni topishga undaydi:

– ortib boruvchi/kamayuvchi funksiya oraliqlari (kamayuvchi, o‘smaydigan ko‘rinish kamroq bo‘ladi);

- maksimal va/yoki minimal ball (mavjud bo'lsa). Muvaffaqiyatsizlikka yo'l qo'ymaslik uchun minimal/maksimallarni o'zlari topish yaxshidir ;-)

Bularning barchasini qanday aniqlash mumkin? Hosila funksiyasidan foydalanish!

O'sish, pasayish intervallarini qanday topish mumkin,
funktsiyaning ekstremum nuqtalari va ekstremallari?

Ko'pgina qoidalar, aslida, allaqachon ma'lum va tushunilgan hosila ma'nosi haqida dars.

Tangens hosilasi funksiyasi ortib borayotgani haqidagi quvnoq yangiliklarni keltiradi ta'rif sohasi.

Kotangent va uning hosilasi bilan vaziyat butunlay teskari.

Arksinus oraliqda ortadi - bu erda hosila ijobiy: .
Funktsiya aniqlanganda, lekin farqlanmaydi. Biroq, kritik nuqtada o'ng qo'l hosilasi va o'ng qo'l tangensi, boshqa chekkasida esa ularning chap qo'ldoshlari mavjud.

O'ylaymanki, yoy kosinusu va uning hosilasi uchun shunga o'xshash fikr yuritish siz uchun unchalik qiyin bo'lmaydi.

Yuqoridagi barcha holatlar, ularning aksariyati jadvalli hosilalar, Men sizga eslatib o'taman, dan to'g'ridan-to'g'ri kuzatib boring hosilaviy ta'riflar.

Nima uchun funktsiyani hosilasi yordamida o'rganish kerak?

Ushbu funktsiyaning grafigi qanday ko'rinishini yaxshiroq tushunish uchun: qayerda "pastdan yuqoriga", "yuqoridan pastga", minimal va maksimallarga (agar u umuman yetib borsa) qayerda boradi. Hamma funksiyalar ham unchalik oddiy emas – aksariyat hollarda bizda ma’lum funksiyaning grafigi haqida umuman tasavvurga ega emasmiz.

Keyinchalik mazmunli misollarga o'tish va ko'rib chiqish vaqti keldi funksiyaning monotonlik va ekstremallik intervallarini topish algoritmi:

1-misol

Funksiyaning ortish/kamayish oraliqlarini va ekstremallarini toping

Yechim:

1) Birinchi qadam - topish funktsiya sohasi, shuningdek, tanaffus nuqtalariga e'tibor bering (agar ular mavjud bo'lsa). IN Ushbu holatda funktsiya butun son chizig'ida uzluksiz bo'lib, bu harakat ma'lum darajada formaldir. Ammo bir qator hollarda, bu erda jiddiy ehtiroslar paydo bo'ladi, shuning uchun keling, ushbu paragrafni mensimasdan ko'rib chiqaylik.

2) Algoritmning ikkinchi nuqtasi tufayli

ekstremum uchun zaruriy shart:

Agar nuqtada ekstremum bo'lsa, u holda qiymat mavjud emas.

Oxiridan adashdingizmi? “X moduli” funksiyasining ekstremumi .

Shart zarur, lekin yetarli emas, va buning aksi har doim ham to'g'ri emas. Demak, funktsiya nuqtada maksimal yoki minimumga yetishi hali tenglikdan kelib chiqmaydi. Yuqorida klassik misol allaqachon ta'kidlangan - bu kubik parabola va uning tanqidiy nuqtasi.

Lekin shunday bo'lsin, zarur shart ekstremum shubhali nuqtalarni topish zarurligini ta'kidlaydi. Buning uchun hosilani toping va tenglamani yeching:

Birinchi maqolaning boshida Funktsiya grafiklari haqida Men sizga misol yordamida parabolani qanday tez qurishni aytdim : “...birinchi hosilani olib, uni nolga tenglashtiramiz: ...Demak, tenglamamizning yechimi: - aynan shu nuqtada parabolaning uchi joylashgan...”. Endi, menimcha, nima uchun parabolaning cho'qqisi aynan shu nuqtada joylashganligini hamma tushunadi =) Umuman olganda, biz bu erda shunga o'xshash misoldan boshlashimiz kerak, lekin bu juda oddiy (hatto qo'g'irchoqlar uchun ham). Bundan tashqari, darsning oxirida analog mavjud funktsiyaning hosilasi. Shunday qilib, darajani oshiramiz:

2-misol

Funksiyaning monotonlik va ekstremallik intervallarini toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. To'liq yechim va dars oxiridagi topshiriqning taxminiy yakuniy namunasi.

Kasr-ratsional funktsiyalar bilan uchrashishning uzoq kutilgan vaqti keldi:

3-misol

Birinchi hosila yordamida funksiyani o‘rganing

Bitta va bir xil vazifani qanday o'zgaruvchan tarzda qayta shakllantirish mumkinligiga e'tibor bering.

Yechim:

1) Funktsiya nuqtalarda cheksiz uzilishlarga duchor bo'ladi.

2) Biz tanqidiy nuqtalarni aniqlaymiz. Birinchi hosilani topamiz va uni nolga tenglashtiramiz:

Keling, tenglamani yechamiz. Kasr, agar uning numeratori nolga teng bo'lsa, u nolga teng:

Shunday qilib, biz uchta muhim nuqtani olamiz:

3) Biz BARCHA aniqlangan nuqtalarni raqamlar chizig'ida va interval usuli DORIVATIV belgilarini aniqlaymiz:

Sizga shuni eslatib o'tamanki, siz intervalda biron bir nuqtani olishingiz va undagi lotin qiymatini hisoblashingiz kerak va uning belgisini aniqlang. Hatto hisoblash emas, balki og'zaki "baholash" foydaliroqdir. Masalan, intervalga tegishli nuqtani olaylik va almashtirishni bajaramiz: .

Ikkita "plyus" va bitta "minus" "minus" ni beradi, shuning uchun hosila butun intervalda manfiy degan ma'noni anglatadi.

Harakat, siz tushunganingizdek, oltita intervalning har biri uchun bajarilishi kerak. Aytgancha, hisob koeffitsienti va maxraj har qanday oraliqdagi har qanday nuqta uchun qat'iy ijobiy ekanligini unutmang, bu vazifani sezilarli darajada osonlashtiradi.

Shunday qilib, hosila bizga FUNKSIYAning O'ZI ga ortishini aytdi va ga kamayadi. Bir xil turdagi intervallarni qo'shish belgisi bilan birlashtirish qulay.

Ushbu nuqtada funktsiya maksimal darajaga etadi:
Ushbu nuqtada funktsiya minimal darajaga etadi:

Nima uchun ikkinchi qiymatni qayta hisoblashingiz shart emasligini o'ylab ko'ring ;-)

Nuqtadan o'tganda hosila belgisini o'zgartirmaydi, shuning uchun funktsiyada NO EXTREMUM yo'q - u ham kamayadi, ham kamayib boraveradi.

! Keling, takrorlaymiz muhim nuqta : nuqtalar tanqidiy hisoblanmaydi - ular funktsiyani o'z ichiga oladi aniqlanmagan. Shunga ko'ra, bu erda Printsipial jihatdan hech qanday ekstremal bo'lishi mumkin emas(hatto hosila belgisini o'zgartirsa ham).

Javob: funksiya bilan ortadi Funksiyaning maksimal qiymatiga erishilganda quyidagiga kamayadi: , va nuqtada - minimal: .

O'rnatilgan monotonlik intervallari va ekstremallarni bilish asimptotlar haqida juda yaxshi tasavvur beradi ko'rinish funktsiya grafikasi. O'rtacha tayyorgarlikka ega odam funktsiya grafigida ikkita vertikal asimptota va qiya asimptota borligini og'zaki aniqlashga qodir. Mana bizning qahramonimiz:

Tadqiqot natijalarini ushbu funktsiya grafigi bilan bog'lashga yana bir bor urinib ko'ring.
Kritik nuqtada ekstremum yo'q, lekin bor burilish nuqtasi(bu, qoida tariqasida, shunga o'xshash holatlarda sodir bo'ladi).

4-misol

Funksiyaning ekstremal qismini toping

5-misol

Funksiyaning monotonlik intervallarini, maksimal va minimallarini toping

…bu deyarli qandaydir “kubdagi X” bayramiga o‘xshaydi....
Xo'sh, galereyada kim buning uchun ichishni taklif qildi? =)

Har bir topshiriqning o'ziga xos muhim nuanslari va texnik nozikliklari bor, ular dars oxirida sharhlanadi.

Funktsiya y=f(x) chaqirdi ortib boradi intervalda (a;b), agar mavjud bo'lsa x 1 Va x 2 x 1 , adolatli f(x 1) Masalan, funktsiyalar y=a x, y=log ax da a>1, y=arctg x, y=arcsin x,(nON) butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi.

O'sish funksiyasining grafigi

· Funktsiya y = f(x) chaqirdi kamaymoqda(a;b) oralig'ida, agar mavjud bo'lsa x 1 Va x 2 bu oraliqdan shunday x 1 , adolatli f(x 1)>f(x 2). Masalan, funktsiyalar y=a x, y=log ax 0 da<a<1, y=arcctg x, y=arccos x ularning butun ta'rif sohasi bo'ylab kamayadi.

Kamayuvchi funksiya grafigi

Kamaytirish va oshirish funktsiyalari birgalikda sinfni tashkil qiladi monoton funktsiyalari. Monoton funktsiyalari bir qator maxsus xususiyatlarga ega.

Funktsiya f(x), intervalda monotonik [ a,b], ushbu segmentda cheklangan;

· ortib boruvchi (kamayuvchi) funksiyalar yig‘indisi ortib boruvchi (kamayuvchi) funksiyadir;

· if funktsiyasi f ortadi (kamayadi) va n– toq son, u ham ortadi (kamayadi);

· Agar f"(x)>0 hamma uchun xO(a,b), keyin funksiya y=f(x) intervalda ortib bormoqda (a,b);

· Agar f"(x)<0 hamma uchun xO(a,b), keyin funksiya y=f(x) oraliqda kamayib bormoqda (a,b);

· Agar f(x) - to'plamdagi uzluksiz va monoton funksiya X, keyin tenglama f(x)=C, Qayerda BILAN– bu doimiy bo'lishi mumkin X bittadan ko'p bo'lmagan yechim;

· agar tenglamani aniqlash sohasi bo'yicha f(x)=g(x) funktsiyasi f(x) ortadi va funksiya g(x) kamayadi, u holda tenglama bir nechta yechimga ega bo'lishi mumkin emas.

Teorema. (funktsiyaning monotonligi uchun etarli shart). Agar segmentda davom etsa [ a, b] funktsiyasi y = f(X) intervalning har bir nuqtasida ( a, b) musbat (salbiy) hosilaga ega, keyin bu funksiya [ segmentida ortadi (kamayadi) a, b].

Isbot. Hamma uchun >0 bo'lsin xO(a,b). Ikki ixtiyoriy qiymatni ko'rib chiqing x 2 > x 1, ga tegishli [ a, b]. Lagrange formulasiga ko'ra x 1<с < х 2 . (Bilan) > 0 Va x 2 – x 1 > 0, shuning uchun > 0, bundan > , ya'ni f(x) funksiya [ oraliqda ortadi. a, b]. Teoremaning ikkinchi qismi ham xuddi shunday tarzda isbotlangan.

Teorema 3. (funksiya ekstremumining mavjudligining zaruriy belgisi). Agar funktsiya c nuqtada differentsiallansa da=f(X) bu nuqtada ekstremumga ega, keyin .

Isbot. Masalan, funktsiyani olaylik da= f(X) c nuqtada maksimalga ega. Bu shuni anglatadiki, c nuqtaning barcha nuqtalar uchun teshilgan qo'shnisi bor x bu mahalla mamnun f(x) < f (c), ya'ni f(c) bu qo‘shnilikdagi funksiyaning eng katta qiymati. Keyin Ferma teoremasi bo'yicha.

c nuqtadagi minimum holati ham xuddi shunday tarzda isbotlangan.

Izoh. Funktsiyaning hosilasi mavjud bo'lmagan nuqtada ekstremum bo'lishi mumkin. Masalan, funktsiya x nuqtada minimumga ega = 0, garchi u mavjud emas. Funktsiyaning hosilasi nolga teng bo'lgan yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar funksiyaning kritik nuqtalari deyiladi. Biroq, funktsiya barcha muhim nuqtalarda ekstremumga ega emas. Masalan, funktsiya y = x 3 uning hosilasi bo'lsa-da, ekstremalga ega emas =0.

Teorema 4. (ekstremum mavjudligining etarli belgisi). Agar uzluksiz funksiya y = f(x) C kritik nuqtasini o'z ichiga olgan ma'lum oraliqning barcha nuqtalarida hosilaga ega (ehtimol, bu nuqtaning o'zidan tashqari) va agar hosila, argument C tanqidiy nuqtasi orqali chapdan o'ngga o'tganda, belgisini plyusdan o'zgartiradi. minus bo'lsa, u holda C nuqtadagi funktsiya maksimalga ega bo'ladi va belgi minusdan plyusga o'zgarganda minimal bo'ladi.

Isbot. c kritik nuqta bo'lsin va masalan, argument c nuqtadan o'tganda belgisini plyusdan minusga o'zgartirsin. Bu ma'lum bir oraliqda degan ma'noni anglatadi (c-e; c) funktsiya ortib boradi va intervalda (c; c+e)- kamayadi (da e>0). Shuning uchun c nuqtada funktsiya maksimalga ega. Minimalning holati ham xuddi shunday tarzda isbotlangan.

Izoh. Argument kritik nuqtadan o'tganda hosila belgisini o'zgartirmasa, bu nuqtadagi funktsiya ekstremumga ega bo'lmaydi.

Bir nechta o'zgaruvchili funktsiya uchun chegara va uzluksizlik ta'riflari bir o'zgaruvchining funksiyasi uchun mos keladigan ta'riflar bilan amalda mos kelganligi sababli, bir nechta o'zgaruvchili funktsiyalar uchun chegara va uzluksiz funktsiyalarning barcha xususiyatlari saqlanib qoladi.

©2015-2019 sayti
Barcha huquqlar ularning mualliflariga tegishli. Bu sayt mualliflik da'vo qilmaydi, lekin beradi bepul foydalanish.
Sahifaning yaratilgan sanasi: 2016-02-12

Raqamli to'plam X hisobga oladi simmetrik nolga nisbatan, agar mavjud bo'lsa xЄ X ma'nosi - X to‘plamga ham tegishli X.

Funktsiya y = f(XX, hisoblaydi hatto X xЄ X, f(X) = f(-X).

Juft funksiya uchun grafik Oy o'qiga nisbatan simmetrik bo'ladi.

Funktsiya y = f(X), to'plamda aniqlanadi X, hisoblaydi g'alati, agar bajarilgan bo'lsa quyidagi shartlar: a) ko'p X nolga yaqin simmetrik; b) har kim uchun xЄ X, f(X) = -f(-X).

G'alati funktsiya uchun grafik boshlang'ichga nisbatan simmetrikdir.

Funktsiya da = f(x), xЄ X, chaqirildi davriy yoqilgan X, agar raqam bo'lsa T (T ≠ 0) (davr funktsiyalari) quyidagi shartlar bajarilganda:

• X - T Va X + T ko'pchilikdan X har kim uchun XЄ X;
• har kim uchun XЄ X, f(X + T) = f(X - T) = f(X).

Bo'lgan holatda T- funksiyaning davri, keyin shaklning istalgan soni mT, Qayerda mЄ Z, m≠ 0, bu ham ushbu funktsiyaning davri. Berilgan funksiyaning eng kichik musbat davri (agar u mavjud bo'lsa) uning asosiy davri deyiladi.

Bo'lgan holatda T funktsiyaning asosiy davri bo'lsa, u holda uning grafigini qurish uchun uzunlikni aniqlash sohasining istalgan oraliqlarida grafikning bir qismini chizishingiz mumkin. T, so'ngra grafikning ushbu qismini O o'qi bo'ylab parallel uzatishni amalga oshiring X tomonidan ± T, ±2 T, ....

Funktsiya y = f(X), quyida chegaralangan to'plamda X A bu har kim uchun XЄ X, A ≤ f(X). To‘plamda quyida chegaralangan funksiya grafigi X, to'g'ri chiziqdan butunlay yuqorida joylashgan da = A(bu gorizontal chiziq).

Funktsiya da = f(x), yuqoridan chegaralangan to'plamda X(bu to'plamda aniqlanishi kerak), agar raqam mavjud bo'lsa IN bu har kim uchun XЄ X, f(X) ≤ IN. X to‘plamda yuqoridan chegaralangan funksiya grafigi to‘liq chiziq ostida joylashgan da = IN(bu gorizontal chiziq).

Funktsiya ko'rib chiqildi cheklangan to'plamda X(bu to'plamda aniqlanishi kerak) agar u ushbu to'plamda yuqoridan va pastdan chegaralangan bo'lsa, ya'ni bunday raqamlar mavjud. A Va IN bu har kim uchun XЄ X tengsizliklar qanoatlantiriladi A ≤ f(x) ≤ B. To‘plam bilan chegaralangan funksiya grafigi X, butunlay to'g'ri chiziqlar orasida joylashgan da = A Va da = IN(bular gorizontal chiziqlar).

Funktsiya da = f (X), to'plamda chegaralangan deb hisoblanadi X(bu to'plamda aniqlanishi kerak), agar raqam mavjud bo'lsa BILAN> 0, qaysi biri uchun xЄ X, │f(X)│≤ BILAN.

Funktsiya da = f(X), XЄ X, chaqirildi ortib borayotgan (kamayadigan) kichik to'plamda M BILAN X qachon hamma uchun X 1 va X 2 dan M shunday X 1 < X 2, adolatli f(X 1) < f(X 2) (f(X 1) ≤ f(X 2)). Yoki y funksiya chaqiriladi ortib boradi to'plamda TO, agar bu toʻplamdagi argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kattaroq qiymatiga toʻgʻri kelsa.

Funktsiya da = f(X), XÊX, chaqirildi kamayuvchi (o'smaydigan) kichik to'plamda M BILAN X qachon hamma uchun X 1 va X 2 dan M shunday X 1 < X 2, adolatli f(X 1) > f(X 2) (f(X 1) ≥ f(X 2)). Yoki funktsiya da to'plamda kamayish deyiladi TO, agar bu to'plamdagi argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kichik qiymatiga to'g'ri kelsa.

Funktsiya da = f(x), XЄ X, chaqirildi monoton kichik to'plamda M BILAN X, agar u kamayayotgan (o'smagan) yoki ortib borayotgan (kamayayotgan) bo'lsa. M.

Agar funktsiya da = f(X), XЄ X, kichik to'plamda kamaymoqda yoki ortib bormoqda M BILAN X, keyin bunday funktsiya chaqiriladi qat'iy monoton to'plamda M.

Raqam M chaqirdi funktsiyaning eng katta qiymati y to'plamda TO, agar bu raqam funktsiyaning x ning ma'lum qiymatidagi qiymati bo'lsa 0 to'plamdan argumentTO, va K to‘plamidagi argumentning boshqa qiymatlari uchun y funksiyaning qiymati raqamdan katta emas.M.

Raqam m chaqirdi eng past qiymat to'plamdagi y funktsiyalari TO, agar bu raqam funktsiyaning ma'lum bir qiymatdagi qiymati bo'lsa X To'plamdan 0 ta argument TO, va to'plamdagi x argumentining boshqa qiymatlari uchun TO y funksiyaning qiymati sondan kam emas m.

Funksiyaning asosiy xossalari , uni o'rganish va tadqiq qilishni boshlash yaxshiroq, bu uning ta'rifi va ahamiyati sohasidir. Grafiklar qanday tasvirlanganligini eslab qolishingiz kerak elementar funktsiyalar. Shundan keyingina siz murakkabroq grafiklarni qurishga o'tishingiz mumkin. "Funktsiyalar" mavzusi iqtisodiyot va boshqa bilim sohalarida keng qo'llaniladi. Funktsiyalar butun matematika kursi davomida o'rganiladi va o'rganish davom etmoqda oliy o'quv yurtlari . U erda funktsiyalar birinchi va ikkinchi hosilalar yordamida o'rganiladi.

Biz ilk bor 7-sinf algebra kursida tanishganmiz. Funksiya grafigiga qarab, biz tegishli ma'lumotlarni olib tashladik: agar grafik bo'ylab chapdan o'ngga harakat qilsak, biz bir vaqtning o'zida pastdan yuqoriga harakat qilsak (go'yo tepalikka chiqayotgandek), u holda biz funktsiyani e'lon qilamiz ortib bormoqda (124-rasm); agar biz yuqoridan pastga harakat qilsak (tepalikdan pastga tushsak), u holda biz funktsiyani kamayishini e'lon qildik (125-rasm).

Biroq, matematiklar funktsiyaning xususiyatlarini o'rganishning bu usulini unchalik yoqtirmaydilar. Ular tushunchalarning ta'riflari chizmaga asoslanmasligi kerak, deb hisoblashadi - chizma faqat funktsiyaning u yoki bu xususiyatini tasvirlashi kerak. grafika. Keling, o'suvchi va kamayuvchi funktsiyalar tushunchalariga qat'iy ta'riflar beraylik.

Ta'rif 1. y = f(x) funksiya X oraliqda ortib borayotgan deyiladi, agar x 1 tengsizlikdan< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Ta'rif 2. y = f(x) funksiya X oraliqda kamayuvchi deyiladi, agar tengsizlik x 1 bo'lsa.< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует tengsizlik f(x 1) > f(x 2).

Amalda, quyidagi formulalardan foydalanish qulayroqdir:

argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kattaroq qiymatiga mos kelsa, funktsiya ortadi;
Agar argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kichikroq qiymatiga mos kelsa, funktsiya kamayadi.

Ushbu ta'riflar va § 33da o'rnatilgan raqamli tengsizliklarning xususiyatlaridan foydalanib, biz ilgari o'rganilgan funktsiyalarning ko'payishi yoki kamayishi haqidagi xulosalarni asoslashimiz mumkin.

1. Chiziqli funksiya y = kx +m

Agar k > 0 bo'lsa, u holda funksiya butun davomida ortadi (126-rasm); agar k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Isbot. f(x) = kx +m bo‘lsin. Agar x 1< х 2 и k >Oh, u holda 3 ta raqamli tengsizlikning xususiyatiga ko'ra (33-§ ga qarang), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Demak, x 1 tengsizligidan< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. chiziqli y = kx+ m funksiyalar.

Agar x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 va 2 xossaga ko'ra, kx 1 > kx 2 dan kx 1 + m> kx 2 + ya'ni kelib chiqadi.

Demak, x 1 tengsizligidan< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2). Bu y = f (x) funktsiyasining pasayishini bildiradi, ya'ni. chiziqli funksiya y = kx + m.

Agar funktsiya o'zining butun ta'rif sohasi bo'ylab ortib ketsa (kamaysa), u holda intervalni ko'rsatmasdan uni ko'taruvchi (kamayuvchi) deb atash mumkin. Masalan, y = 2x - 3 funktsiyasi haqida biz butun son chizig'i bo'ylab ortib bormoqda deyishimiz mumkin, lekin uni qisqacha aytishimiz mumkin: y = 2x - 3 - ortib boruvchi.
funktsiyasi.

2. y = x2 funksiya

1. Nurdagi y = x 2 funksiyani ko'rib chiqaylik. X 1 va x 2 musbat bo'lmagan ikkita sonni olaylik< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. - x 1 va - x 2 raqamlari manfiy bo'lmaganligi sababli, oxirgi tengsizlikning ikkala tomonini kvadratga aylantirib, biz bir xil ma'noli (-x 1) 2 > (-x 2) 2 tengsizlikni olamiz, ya'ni. Bu f(x 1) >f(x 2) ekanligini bildiradi.

Demak, x 1 tengsizligidan< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2).

Shuning uchun y = x 2 funksiya nurda kamayadi (- 00, 0] (128-rasm).

1. (0, + 00) oraliqdagi funksiyani ko'rib chiqaylik.
x1 bo'lsin< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).

Demak, x 1 tengsizligidan< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). Bu funksiya ochiq nurda (0, + 00) kamayishini bildiradi (129-rasm).

2. (-oo, 0) oraliqdagi funksiyani ko'rib chiqaylik. X 1 bo'lsin< х 2 , х 1 и х 2 - manfiy raqamlar. Keyin - x 1 > - x 2 va oxirgi tengsizlikning ikkala tomoni ham musbat sonlar va shuning uchun (biz yana 33-§ dan 1-misolda isbotlangan tengsizlikdan foydalandik). Keyingi, biz qaerdan olish.

Demak, x 1 tengsizligidan< х 2 следует, что f(x 1) >f (x 2) ya'ni. funksiya ochiq nurda kamayadi (- 00 , 0)

Odatda "ortib boruvchi funktsiya" va "kamayuvchi funktsiya" atamalari birlashtiriladi umumiy ism monoton funktsiyani, ortish va kamayish funksiyasini o'rganish esa monotonlik funksiyasini o'rganish deyiladi.

Yechim.

1) y = 2x2 funksiya grafigini tuzamiz va bu parabolaning x nuqtadagi shoxini olamiz.< 0 (рис. 130).

2) uning qismini segmentda tuzing va tanlang (131-rasm).

3) Giperbolani tuzamiz va uning ochiq nurda (4, + 00) qismini tanlaymiz (132-rasm).
4) Keling, bitta koordinata tizimidagi uchta "bo'lak" ni tasvirlaymiz - bu y = f(x) funksiyaning grafigi (133-rasm).

y = f(x) funksiyaning grafigini o‘qib chiqamiz.

1. Funksiyaning aniqlanish sohasi butun son qatoridir.

2. x = 0 da y = 0; x > 0 uchun y > 0.

3. Funktsiya nurda kamayadi (-oo, 0], segmentda ortadi, nurda kamayadi, segmentda yuqoriga qavariq, nurda pastga qavariq)