3. O'RTALARNING TENGLIGI HAQIDAGI GIPOTEZANI TASHLATISH.
Namunalar bilan ifodalangan ikkita ko'rsatkichning o'rtacha qiymati sezilarli darajada farq qiladi degan taklifni sinab ko'rish uchun foydalaniladi. Sinovning uchta turi mavjud: biri tegishli namunalar uchun va ikkitasi ajratilgan namunalar uchun (bir xil va turli xil farqlar bilan). Agar namunalar bog'lanmagan bo'lsa, u holda mezonlardan qaysi birini qo'llashni aniqlash uchun birinchi navbatda dispersiyalarning tengligi gipotezasini sinab ko'rish kerak. Dispersiyalarni taqqoslashda bo'lgani kabi, masalani hal qilishning ikkita usuli mavjud, biz ularni misol yordamida ko'rib chiqamiz.
O'RNAK 3. ikki shaharda tovarlarni sotish soni bo'yicha ma'lumotlar mavjud. Shaharlarda mahsulot sotishning o'rtacha soni boshqacha ekanligi haqidagi statistik gipotezani 0,01 ahamiyatlilik darajasida sinab ko'ring.
| 23 | 25 | 23 | 22 | 23 | 24 | 28 | 16 | 18 | 23 | 29 | 26 | 31 | 19 |
| 22 | 28 | 26 | 26 | 35 | 20 | 27 | 28 | 28 | 26 | 22 | 29 |
Biz Data Analysis paketidan foydalanamiz. Sinov turiga qarab, uchtadan biri tanlanadi: "Asosiy vositalar uchun juftlangan ikki namunali t-test" - ulangan namunalar uchun va "Bir xil dispersiyalarga ega bo'lgan ikkita namunali t-test" yoki "Ikki namunali t-testi" turli xil farqlar bilan" - ajratilgan namunalar uchun. Testni bir xil farqlar bilan chaqiring, ochilgan oynada "1 o'zgaruvchining oralig'i" va "2 o'zgaruvchining oralig'i" maydonlarida ma'lumotlarga havolalarni kiriting (mos ravishda A1-N1 va A2-L2), agar mavjud bo'lsa. ma'lumotlar yorliqlari, keyin "Yorliqlar" yozuvi yonidagi katakchani belgilang (bizda ular yo'q, shuning uchun quti belgilanmagan). Keyinchalik, "Alfa" maydoniga muhimlik darajasini kiriting - 0,01. Gipotetik o'rtacha farq maydonini bo'sh qoldiring. "Chiqish parametrlari" bo'limida "Chiqish oralig'i" yoniga belgi qo'ying va kursorni yozuvga qarama-qarshi maydonga qo'ying, B7 katakchasini sichqonchaning chap tugmasi bilan bosing. natijani chiqarish shu katakchadan boshlab amalga oshiriladi. "OK" tugmasini bosish orqali natijalar jadvali paydo bo'ladi. B va C, C va D, D va E ustunlari orasidagi chegarani barcha teglar mos kelishi uchun B, C va D ustunlarining kengligini oshiring. Jarayon namunaning asosiy xususiyatlarini, t-statistik ma'lumotlarini, tanqidiy qadriyatlar bu statistika va kritik darajalar ahamiyati "P(T<=t) одностороннее» и «Р(Т<=t) двухстороннее». Если по модулю t-статистика меньше критического, то средние показатели с заданной вероятностью равны. В нашем случае│-1,784242592│ < 2,492159469, следовательно, среднее число продаж значимо не отличается. Следует отметить, что если взять уровень значимости α=0,05, то результаты исследования будут совсем иными.
Ikki namunali t-testi teng dispersiyalarga ega |
||
| O'rtacha | 23,57142857 | 26,41666667 |
| Dispersiya | 17,34065934 | 15,35606061 |
| Kuzatishlar | 14 | 12 |
| Birlashtirilgan tafovut | 16,43105159 | |
| Gipotetik o'rtacha farq | 0 | |
| df | 24 | |
| t-statistika | -1,784242592 | |
| P (T<=t) одностороннее | 0,043516846 | |
| t tanqidiy bir tomonlama | 2,492159469 | |
| P (T<=t) двухстороннее | 0,087033692 | |
| t tanqidiy ikki tomonlama | 2,796939498 | |
№3 laboratoriya
CHIZIQLI REGRESSIYANI CHOPLASH
Maqsad: EHM yordamida chiziqli juftlik regressiya tenglamasini tuzish usullarini o‘zlashtirish, regressiya tenglamasining asosiy xarakteristikalarini olish va tahlil qilishni o‘rganish.
Misol yordamida regressiya tenglamasini qurish texnikasini ko'rib chiqing.
MISOL. x i va y i omillarning namunalari berilgan. Ushbu namunalar asosida ỹ = ax + b chiziqli regressiya tenglamasini toping. Juftlik korrelyatsiya koeffitsientini toping. A = 0,05 ahamiyatlilik darajasida regressiya modelining muvofiqligini tekshiring.
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Y | 6,7 | 6,3 | 4,4 | 9,5 | 5,2 | 4,3 | 7,7 | 7,1 | 7,1 | 7,9 |
Regressiya tenglamasining a va b koeffitsientlarini topish uchun SLOPE va INTERCEPT funksiyalaridan, toifadagi “Statistika”dan foydalaning. Biz A5 ga "a =" imzosini kiritamiz va qo'shni B5 katakchasiga SLOPE funksiyasini kiritamiz, kursorni "Izv_value_u" maydoniga qo'yamiz, B2-K2 kataklariga havolani o'rnatamiz, ularni sichqoncha bilan aylantiramiz. Natijada 0,14303. Endi b koeffitsientini topamiz. Biz A6 ga “b =” imzosini, B6 ga esa INTERCEPT funksiyasini SLOPE funksiyasi bilan bir xil parametrlarga kiritamiz. Natijada 5,976364. demak, chiziqli regressiya tenglamasi y=0,14303x+5,976364.
Keling, regressiya tenglamasini tuzamiz. Buning uchun jadvalning uchinchi qatoriga berilgan X (birinchi qator) - y (x 1) nuqtalarida funksiya qiymatlarini kiritamiz. Ushbu qiymatlarni olish uchun Statistika toifasining TREND funksiyasidan foydalaning. Biz A3 ga "Y (X)" imzosini kiritamiz va kursorni B3 ga qo'yib, biz TREND funktsiyasini chaqiramiz. "From_value_y" va "From_value_x" maydonlarida biz B2-K2 va B1-K1 ga havola beramiz. "New_value_x" maydonida biz B1-K1 ga havolani ham kiritamiz. "Doimiy" maydoniga regressiya tenglamasi y=ax+b ko'rinishga ega bo'lsa 1, y=ax bo'lsa 0 kiriting. Bizning holatda, biz birlikka kiramiz. TREND funksiyasi massivdir, shuning uchun uning barcha qiymatlarini ko'rsatish uchun B3-K3 maydonini tanlang va F2 va Ctrl+Shift+Enter tugmalarini bosing. Natijada berilgan nuqtalarda regressiya tenglamasining qiymatlari olinadi. Biz diagramma quramiz. Kursorni istalgan bo'sh katakka qo'yamiz, diagramma ustasini chaqiramiz, "O'girildi" toifasini tanlang, grafik turi nuqtasiz chiziq (pastki o'ng burchakda), "Keyingi" tugmasini bosing, "Diagnoz" maydoniga kiriting. B3-K3 ga havola. "Qator" yorlig'iga o'ting va "X qiymatlari" maydoniga B1-K1 havolasini kiriting, "Finish" tugmasini bosing. Natijada to'g'ri regressiya chizig'i paydo bo'ladi. Keling, eksperimental ma'lumotlarning grafiklari va regressiya tenglamalari qanday farq qilishini ko'rib chiqaylik. Buni amalga oshirish uchun kursorni istalgan bo'sh katakka qo'ying, diagramma ustasini, "Grafika" toifasiga qo'ng'iroq qiling, grafik turi nuqtali siniq chiziq (yuqori chapdan ikkinchi), "Diapazon" da "Keyingi" tugmasini bosing. maydoniga B2- K3 ikkinchi va uchinchi qatorlarga havola kiriting. "Qator" yorlig'iga o'ting va "X o'qi teglari" maydoniga B1-K1 havolasini kiriting, "Finish" tugmasini bosing. Natijada ikkita chiziq (Moviy - boshlang'ich, qizil - regressiya tenglamasi). Ko'rinib turibdiki, chiziqlar bir-biridan ozgina farq qiladi.
| a= | 0,14303 |
| b= | 5,976364 |
PEARSON funksiyasi r xy korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash uchun ishlatiladi. Biz diagrammani shunday joylashtiramizki, ular 25-qatordan yuqorida joylashgan va A25-da biz "Korrelyatsiya" imzosini qo'yamiz, B25-da biz PEARSON funktsiyasini chaqiramiz, uning maydonlarida "2-massiv" B1 boshlang'ich ma'lumotlariga havolani kiritamiz. -K1 va B2-K2. natija 0,993821. aniqlash koeffitsienti R xy - korrelyatsiya koeffitsienti kvadrati r xy. A26 da biz "Aniqlash" imzosini, B26 da - "=B25 * B25" formulasini qilamiz. Natijada 0,265207.
Biroq, Excelda chiziqli regressiyaning barcha asosiy xususiyatlarini hisoblaydigan bitta funktsiya mavjud. Bu LINEST funksiyasi. Biz kursorni B28 ga qo'yamiz va LINEST funktsiyasini "Statistika" toifasiga chaqiramiz. "From_value_y" va "From_value_x" maydonlarida biz B2-K2 va B1-K1 ga havola beramiz. "Doimiy" maydoni TREND funksiyasi bilan bir xil ma'noga ega, bizda u 1 ga teng. Agar regressiya haqida to'liq statistik ma'lumotlarni ko'rsatishni istasangiz, "Stat" maydonida 1 bo'lishi kerak. Bizning holatda, biz u erga birlik qo'yamiz. Funktsiya 2 ta ustunli va 5 ta satrli massivni qaytaradi. Kiritgandan so'ng, sichqoncha bilan B28-C32 katakchalarini tanlang va F2 va Ctrl + Shift + Enter tugmalarini bosing. Natijada qiymatlar jadvali paydo bo'ladi, unda raqamlar quyidagi ma'noga ega:
Koeffitsient a | koeffitsient b |
| Standart xato m o | Standart xato m h |
| Aniqlash koeffitsienti R xy | Standart og'ish y |
| F - statistika | Erkinlik darajalari n-2 |
| Kvadratlarning regressiya yig'indisi S n 2 | Kvadratlarning qoldiq yig'indisi S n 2 |
| 0,14303 | 5,976364 |
| 0,183849 | 0,981484 |
| 0,070335 | 1,669889 |
| 0,60525 | 8 |
| 1,687758 | 22,30824 |
Natijani tahlil qilish: birinchi qatorda - regressiya tenglamasining koeffitsientlari, ularni SLOPE va INTERCEPT hisoblangan funktsiyalari bilan solishtiring. Ikkinchi qator - koeffitsientlarning standart xatolari. Agar ulardan biri mutlaq qiymatda koeffitsientning o'zidan katta bo'lsa, u holda koeffitsient nolga teng deb hisoblanadi. Determinatsiya koeffitsienti omillar orasidagi bog'lanish sifatini tavsiflaydi. Olingan qiymat 0,070335 omillarning juda yaxshi bog'lanishini ko'rsatadi, F - statistika regressiya modelining adekvatligi haqidagi gipotezani tekshiradi. Bu raqamni kritik qiymat bilan solishtirish kerak, uni olish uchun biz E33-ga "F-kritik" imzosini va F33-ga FDISP funktsiyasini kiritamiz, uning argumentlari mos ravishda "0,05" (ahamiyat darajasi), "1" (X omillar soni) va "8" (erkinlik darajasi).
| F-tanqidiy | 5,317655 |
Ko'rinib turibdiki, F-statistik F-kritikdan kamroq, ya'ni regressiya modeli adekvat emas. Oxirgi satr kvadratlarning regressiya yig'indisini ko'rsatadi 
va kvadratlarning qoldiq summalari . Regressiya summasi (regressiya bilan izohlangan) qoldiqdan (tasodifiy omillar ta'sirida yuzaga kelgan regressiya bilan izohlanmaydi) ancha katta bo'lishi muhimdir. Bizning holatlarimizda bu shart bajarilmaydi, bu yomon regressiyani ko'rsatadi.
Xulosa: Ish jarayonida men kompyuter yordamida chiziqli juftlik regressiya tenglamasini qurish usullarini o‘zlashtirdim, regressiya tenglamasining asosiy xarakteristikalarini olish va tahlil qilishni o‘rgandim.
№4 laboratoriya
NONLINEAR REGRESSIYA
Maqsad: EHM (ichki chiziqli modellar) yordamida nochiziqli juftlik regressiya tenglamalarining asosiy turlarini qurish usullarini o'zlashtirish, regressiya tenglamalarining sifat ko'rsatkichlarini olish va tahlil qilishni o'rganish.
Keling, ma'lumotlarni o'zgartirish (ichki chiziqli modellar) yordamida chiziqli bo'lmagan modellarni chiziqli modellarga qisqartirish mumkinligini ko'rib chiqaylik.
MISOL. X n y n (f = 1,2,…,10) namunasi uchun y = f(x) regressiya tenglamasini tuzing. f (x) sifatida to'rt turdagi funktsiyalarni ko'rib chiqing - chiziqli, quvvat, eksponensial va giperbola:
y = Ax + B; y = Ax B; y \u003d Ae Bx; y \u003d A / x + B.
Ularning A va B koeffitsientlarini topish va sifat ko'rsatkichlarini taqqoslab, bog'liqlikni eng yaxshi tavsiflovchi funktsiyani tanlash kerak.
| Foyda Y | 0,3 | 1,2 | 2,8 | 5,2 | 8,1 | 11,0 | 16,8 | 16,9 | 24,7 | 29,4 |
| X foyda | 0,25 | 0,50 | 0,75 | 1,00 | 1,25 | 1,50 | 1,75 | 2,00 | 2,25 | 2,50 |
Imzolar bilan birga jadvalga ma'lumotlarni kiritamiz (A1-K2 katakchalar). O'zgartirilgan ma'lumotlarni kiritish uchun jadval ostidagi bo'sh uchta qatorni qoldiramiz, 1 dan 5 gacha bo'lgan raqamlar bo'yicha chap kulrang chegara bo'ylab surish orqali birinchi besh qatorni tanlang va hujayralar fonini rang berish uchun istalgan rangni (ochiq - sariq yoki pushti) tanlang. . Bundan tashqari, A6 dan boshlab biz chiziqli regressiya parametrlarini olamiz. Buning uchun A6 yacheykada “Linear” imzosini qo'yamiz va qo'shni B6 yacheykaga LINEST funksiyasini kiritamiz. "From_value_x" maydonlarida biz B2-K2 va B1-K1 ga havola beramiz, keyingi ikkita maydon qiymatlarni birdan oladi. Keyin, pastdagi maydonni 5 qatorga va chapga 2 qatorga chizing va F2 va Ctrl + Shift + Enter tugmalarini bosing. Natijada regressiya parametrlari bo'lgan jadval mavjud bo'lib, uning birinchi ustunidagi aniqlash koeffitsienti yuqoridan uchinchisi. Bizning holatda, u R 1 = 0,951262 ga teng. F-mezonining qiymati, F 1 = 156.1439 modelining muvofiqligini tekshirish imkonini beradi.
(to'rtinchi qator, birinchi ustun). Regressiya tenglamasi
y = 12,96 x +6,18 (a va b koeffitsientlari B6 va C6 kataklarida berilgan).
| Chiziqli | 12,96 | -6,18 |
| 1,037152 | 1,60884 | |
| 0,951262 | 2,355101 | |
| 156,1439 | 8 | |
| 866,052 | 44,372 |
Keling, boshqa regressiyalar uchun o'xshash xususiyatlarni aniqlaylik va determinatsiya koeffitsientlarini solishtirish natijasida biz eng yaxshi regressiya modelini topamiz. Giperbolik regressiyani ko'rib chiqing. Uni olish uchun biz ma'lumotlarni o'zgartiramiz. Uchinchi qatordagi A3 katakchaga “1/x” sarlavhasini, B3 katakchaga esa “=1/B2” formulasini kiriting. Keling, ushbu katakchani B3-K3 maydoniga avtomatik to'ldirish orqali uzatamiz. Keling, regressiya modelining xususiyatlarini olaylik. A12 katakchasiga biz "Giperbola" imzosini kiritamiz va qo'shni LINEST funktsiyasiga kiritamiz. "From_value_y" va "From_value_x2" maydonlarida biz B1-K1 va x - B3-K3 argumentining aylantirilgan ma'lumotlariga havola beramiz, keyingi ikkita maydon bitta qiymatni oladi. Keyinchalik, biz 5 qator ostidagi maydonni va chapga 2 qatorda aylantiramiz va F2 va Ctrl + Shift + Enter tugmalarini bosing. Biz regressiya parametrlari jadvalini olamiz. Determinatsiya koeffitsienti bu holat R 2 = 0,475661 ga teng, bu chiziqli regressiya holatidan ancha yomonroqdir. F-statistik F 2 = 7,257293. Regressiya tenglamasi y = -6,25453x 18,96772.
| Giperbola | -6,25453 | 18,96772 |
| 2,321705 | 3,655951 | |
| 0,475661 | 7,724727 | |
| 7,257293 | 8 | |
| 433,0528 | 477,3712 |
Eksponensial regressiyani ko'rib chiqing. Uni chiziqli qilish uchun tenglamani olamiz, bu erda ỹ = ln y, ã = b, = ln a. Ko'rinib turibdiki, ma'lumotlarni o'zgartirishni amalga oshirish kerak - y ni ln y bilan almashtiring. Kursorni A4 katakka qo'yamiz va "ln y" sarlavhasini qilamiz. Kursorni B4 ga qo'yamiz va LN formulasini kiritamiz ("Matematik" toifasi). Argument sifatida biz B1 ga havola qilamiz. Avtoto'ldirish to'rtinchi qatordagi formulani B4-K4 katakchalariga kengaytiradi. Keyinchalik, F6 katakchasida biz "Exponent" yorlig'ini o'rnatamiz va qo'shni G6-ga biz LINEST funktsiyasini kiritamiz, uning argumentlari B4-K4 konvertatsiya qilingan ma'lumotlar bo'ladi ("Iv_value_y" maydonida) va qolgan maydonlar chiziqli regressiya holati bilan bir xil (B2-K2, o'n bir). Keyin G6-H10 katakchalarini aylantiring va F2 va Ctrl+Shift+Enter tugmalarini bosing. Natijada R 3 = 0,89079, F 3 = 65,25304, bu juda yaxshi regressiyani ko'rsatadi. Regressiya tenglamasining koeffitsientlarini topish uchun b = ã; kursorni J6 ga qo'ying va "a=" sarlavhasini qo'ying va qo'shni K6da "=EXP(H6)" formulasini, J7da "b=" sarlavhasini, K7da esa "=G6" formulasini beramiz. Regressiya tenglamasi y = 0,511707 e 6,197909 x.
| Ko'rgazma ishtirokchisi | 1,824212 | -0,67 | a= | 0,511707 | |
| 0,225827 | 0,350304 | b= | 6,197909 | ||
| 0,89079 | 0,512793 | ||||
| 65,25304 | 8 | ||||
| 17,15871 | 2,103652 |
Quvvat regressiyasini ko'rib chiqing. Uni chiziqli qilish uchun ỹ = ã tenglamasini olamiz, bu erda ỹ = ln y, = ln x, ã = b, = ln a. Ko'rinib turibdiki, ma'lumotlarni o'zgartirishni amalga oshirish kerak - y ni ln y bilan almashtiring va x ni ln x bilan almashtiring. Bizda allaqachon ln y bilan chiziq mavjud. Keling, x o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz. A5 katakchada biz “ln x” imzosini beramiz, B5da esa LN formulasini (“Matematik” toifasi) kiritamiz. Argument sifatida biz B2 ga havola qilamiz. Avtoto'ldirish formulani B5-K5 katakchalaridagi beshinchi qatorga kengaytiradi. Keyinchalik, F12 katakchasiga biz "Quvvat" yorlig'ini o'rnatamiz va qo'shni G12-ga biz LINEST funktsiyasini kiritamiz, uning argumentlari B4-K4 ("Measured_value_y" maydonida) va B5-K5 (ichida) aylantirilgan ma'lumotlar bo'ladi. maydoni "Measured_value_x"), qolgan maydonlar birliklardir. Keyin G12-H16 katakchalarini bo'shating va F2 va Ctrl+Shift+Enter tugmalarini bosing. Natija R 4 = 0,997716, F 4 = 3494,117, bu yaxshi regressiyani ko'rsatadi. Regressiya tenglamasining koeffitsientlarini topish uchun b = ã; kursorni J12 ga qo'ying va "a=" sarlavhasini qo'ying va qo'shni K12da "=EXP(H12)" formulasini, J13da "b=" sarlavhasini, K13da esa "=G12" formulasini beramiz. Regressiya tenglamasi y = 4,90767/x + 7,341268.
| Quvvat | 1,993512 | 1,590799 | a= | 4,90767 | |
| 0,033725 | 0,023823 | b= | 7,341268 | ||
| 0,997716 | 0,074163 | ||||
| 3494,117 | 8 | ||||
| 19,21836 | 0,044002 |
Keling, barcha tenglamalar ma'lumotlarni to'g'ri tavsiflaydimi yoki yo'qligini tekshiramiz. Buning uchun har bir mezonning F-statistikasini kritik qiymat bilan solishtirish kerak. Uni olish uchun biz A21 da "F-kritik" imzosini va B21 da FDISP funktsiyasini kiritamiz, uning argumentlari mos ravishda "0,05" (ahamiyat darajasi), "1" (satrdagi X omillar soni) ni kiritamiz. "Ahamiyat darajasi 1") va " 8" (erkinlik darajasi 2 = n - 2). Natijada 5,317655. F - F dan ko'ra muhimroq - statistik ma'lumotlar modelning adekvatligini bildiradi. Qolgan regressiyalar ham etarli. Qaysi model ma'lumotlarni eng yaxshi tavsiflashini aniqlash uchun har bir model uchun aniqlash indekslarini solishtiramiz R 1 , R 2 , R 3 , R 4 . Eng kattasi R 4 = 0,997716. Bu shuni anglatadiki, eksperimental ma'lumotlarni y = 4,90767/x + 7,341268 sifatida tavsiflash yaxshiroqdir.
Xulosa: Ishim davomida nochiziqli juftlik regressiya tenglamalarining asosiy turlarini kompyuter yordamida (ichki chiziqli modellar) qurish usullarini o‘zlashtirdim, regressiya tenglamalarining sifat ko‘rsatkichlarini olish va tahlil qilishni o‘rgandim.
| Y | 0,3 | 1,2 | 2,8 | 5,2 | 8,1 | 11 | 16,8 | 16,9 | 24,7 | 29,4 |
| X | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1 | 1,25 | 1,5 | 1,75 | 2 | 2,25 | 2,5 |
| 1/x | 4 | 2 | 1,333333 | 1 | 0,8 | 0,666667 | 0,571429 | 0,5 | 0,444444 | 0,4 |
| ln y | -1,20397 | 0,182322 | 1,029619 | 1,648659 | 2,0918641 | 2,397895 | 2,821379 | 2,827314 | 3,206803 | 3,380995 |
| ln x | -1,38629 | -0,69315 | -0,28768 | 0 | 0,2231436 | 0,405465 | 0,559616 | 0,693147 | 0,81093 | 0,916291 |
| Chiziqli | 12,96 | -6,18 | Ko'rgazma ishtirokchisi | 1,824212 | -0,67 | a= | 0,511707 | |||
| 1,037152 | 1,60884 | 0,225827 | 0,350304 | b= | 6,197909 | |||||
| 0,951262 | 2,355101 | 0,89079 | 0,512793 | |||||||
| 156,1439 | 8 | 65,25304 | 8 | |||||||
| 866,052 | 44,372 | 17,15871 | 2,103652 | |||||||
| Giperbola | -6,25453 | 18,96772 | Quvvat | 1,993512 | 1,590799 | a= | 4,90767 | |||
| 2,321705 | 3,655951 | 0,033725 | 0,023823 | b= | 7,341268 | |||||
| 0,475661 | 7,724727 | 0,997716 | 0,074163 | |||||||
| 7,257293 | 8 | 3494,117 | 8 | |||||||
| 433,0528 | 477,3712 | 19,21836 | 0,044002 | |||||||
| F - tanqidiy | 5,317655 | |||||||||
№5 laboratoriya
POLİNOMINAL REGRESSIYA
Maqsad: Eksperimental ma'lumotlarga asoslanib, y \u003d ax 2 + bx + c ko'rinishidagi regressiya tenglamasini tuzing.
OLISh:
Muayyan ekin y i hosildorligining tuproqqa kiritilgan x i mineral o'g'itlar miqdoriga bog'liqligi ko'rib chiqiladi. Bu bog'liqlik kvadratik deb taxmin qilinadi. ỹ = ax 2 + bx + c ko'rinishdagi regressiya tenglamasini topish kerak.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| y | 29,8 | 58,8 | 72,2 | 101,5 | 141 | 135,1 | 156,6 | 181,7 | 216,6 | 208,2 |
Keling, ushbu ma'lumotlarni A1-K2 katakchalardagi imzolar bilan birga elektron jadvalga kiritamiz. Keling, grafik tuzamiz. Buni amalga oshirish uchun Y ma'lumotlarini (B2-K2 katakchalari) aylantiring, diagramma ustasini chaqiring, "Grafik" diagramma turini tanlang, diagramma turi nuqtali grafik (yuqori chapdan ikkinchi), "Keyingi" tugmasini bosing, o'ting. "Series" yorlig'iga va " X-Axis Labels" da B2-K2 ga havola qiling, "Finish" tugmasini bosing. Grafikni 2-darajali polinom y \u003d ax 2 + bx + c bilan yaqinlashtirish mumkin. a, b, c koeffitsientlarini topish uchun tenglamalar tizimini yechish kerak:
Keling, miqdorlarni hisoblaylik. Buning uchun A3 katakchasiga "X ^ 2" imzosini kiriting va B3 ga "= B1 * B1" formulasini kiriting va Avtomatik to'ldirish uni butun B3-K3 qatoriga o'tkazing. A4 katakchasiga "X ^ 3" imzosini kiriting va B4 da "= B1 * B3" formulasi va Avtomatik to'ldirish uni butun B4-K4 qatoriga o'tkazing. A5 katakchasiga “X^4” kiriting, B5da esa “=B4*B1” formulasini kiriting, qatorni avtomatik to‘ldiring. A6 katakchasiga "X * Y" kiriting, B8da esa "= B2 * B1" formulasini kiriting, chiziqni avtomatik ravishda to'ldiring. A7 katakchasiga "X ^ 2 * Y" ni kiriting va B9da "= B3 * B2" formulasini kiriting, qatorni avtomatik ravishda to'ldiring. Endi biz miqdorlarni hisoblaymiz. Sarlavhani bosish va rang tanlash orqali L ustunini boshqa rang bilan ajratib ko'rsatish. Kursorni L1 katakchaga joylashtiramiz va ∑ belgisi bilan autosum tugmasini bosish orqali birinchi qatorning yig'indisini hisoblaymiz. Avtomatik to'ldirish formulani L1-710 katakchalariga o'tkazadi.
Endi tenglamalar tizimini yechamiz. Buning uchun tizimning asosiy matritsasini kiritamiz. A13 katakchaga biz "A =" imzosini kiritamiz va B13-D15 matritsasining kataklariga jadvalda aks ettirilgan havolalarni kiritamiz.
| B | C | D | |
| 13 | =L5 | =L4 | =L3 |
| 14 | =L3 | =L2 | =L1 |
| 15 | =L2 | =L1 | =9 |
Shuningdek, biz tenglamalar tizimining to'g'ri qismlarini kiritamiz. G13 da biz "B =" imzosini kiritamiz va H13-H15 da biz mos ravishda "=L7", "=L6", "=L2" kataklariga havolalarni kiritamiz. Tizimni matritsa usulida yechamiz. Oliy matematikadan ma'lumki, yechim A -1 B ga teng. Teskari matritsani topamiz. Buning uchun J13 katakka “A arr” imzosini kiriting. va kursorni K13 ga qo'yib, biz MIND formulasini o'rnatamiz ("Matematik" toifasi). "Masiv" argumenti sifatida biz B13: D15 kataklariga havola beramiz. Natijada 4x4 matritsa ham bo'lishi kerak. Uni olish uchun K13-M15 katakchalarini sichqoncha bilan aylantiring, ularni tanlang va F2 va Ctrl + Shift + Enter tugmalarini bosing. Natijada A -1 matritsasi olinadi. Keling, ushbu matritsa va ustun B (H13-H15 katakchalar) mahsulotini topamiz. Biz A18 katakchaga "Koeffitsientlar" sarlavhasini kiritamiz va B18da biz MULTIPLE ("Matematik" toifasi) funktsiyasini o'rnatamiz. “1-massiv” funksiyasining argumentlari A -1 (K13-M15 katakchalar) matritsasiga havola bo‘lib, “2-massiv” maydonida B ustuniga (H13-H16 katakchalar) havola beramiz. Keyin B18-B20 ni tanlang va F2 va Ctrl+Shift+Enter tugmalarini bosing. Olingan massiv regressiya tenglamasining a, b, c koeffitsientlari hisoblanadi. Natijada, biz regressiya tenglamasini olamiz: y \u003d 1.201082x 2 - 5.619177x + 78.48095.
Dastlabki ma’lumotlarning va regressiya tenglamasi asosida olinganlarning grafiklarini chizamiz. Buning uchun A8 katakka “Regressiya” imzosini kiritamiz va B8 ga “=$B$18*B3+$B$19*B1+$B$20” formulasini kiritamiz. Avtomatik to'ldirish formulani B8-K8 kataklariga o'tkazadi. Grafik yaratish uchun B8-K8 katakchalarini tanlang va Ctrl tugmachasini bosib ushlab turing, shuningdek, B2-M2 katakchalarni tanlang. Biz diagramma ustasini chaqiramiz, "Chart" diagramma turini tanlang, diagramma turi nuqtalari bo'lgan diagramma (yuqori chapdan ikkinchi), "Keyingi" ni bosing, "Series" yorlig'iga o'ting va "X-Axis Labels" bo'limiga o'ting. ” maydonida B2-M2 ga havola qiling, "Tayyor" tugmasini bosing. Egri chiziqlar deyarli bir-biriga mos kelishini ko'rish mumkin.
Xulosa: ish jarayonida men eksperimental ma'lumotlardan y \u003d ax 2 + bx + c ko'rinishidagi regressiya tenglamasini qurishni o'rgandim.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |||
| y | 29,8 | 58,8 | 72,2 | 101,5 | 141 | 135,1 | 156,6 | 181,7 | 216,6 | 208,2 | |||
| X^2 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | |||
| X^3 | 0 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | |||
| X^4 | 0 | 1 | 16 | 81 | 256 | 625 | 1296 | 2401 | 4096 | 6561 | |||
| X*Y | 0 | 58,8 | 144,4 | 304,5 | 564 | 675,5 | 939,6 | 1271,9 | 1732,8 | 1873,8 | |||
| X^2*Y | 0 | 58,8 | 288,8 | 913,5 | 2256 | 3377,5 | 5637,6 | 8903,3 | 13862,4 | 16864,2 | |||
| Regressiya. | 78,48095 | 85,30121 | 94,52364 | 106,1482 | 120,175 | 136,6039 | 155,435 | 176,6682 | 200,3036 | 226,3412 | |||
| A= | 15333 | 2025 | 285 | B= | 52162,1 | A Rev. | 0,003247 | -0,03247 | 0,059524 | ||||
| 2025 | 285 | 45 | 7565,3 | -0,03247 | 0,341342 | -0,67857 | |||||||
| 285 | 45 | 9 | 1301,5 | 0,059524 | -0,67857 | 1,619048 | |||||||
| Koeffitsient | 1,201082 | a | |||||||||||
| 5,619177 | |||||||||||||
2012 yil 5 noyabr 2012 yil 5 noyabr 2012 yil 5 noyabr 2012 yil 5 noyabr Ma'ruza 6. Ikki namunani solishtirish 6-1. Vositalar tengligi haqidagi gipoteza. Juftlangan namunalar 6-2. O'rtacha farq uchun ishonch oralig'i. Juftlangan namunalar 6-3. Teng dispersiya gipotezasi 6-4. Aktsiyalarning tengligi gipotezasi 6-5. Aktsiyalardagi farq uchun ishonch oralig'i
2 Ivanov O.V., 2005 Ushbu ma'ruzada ... Oldingi ma'ruzada biz ikki populyatsiya vositalarining tengligi haqidagi gipotezani sinab ko'rdik va qurdik. ishonch oralig'i mustaqil namunalar ishi uchun vositalar farqi uchun. Endi biz vositalar tengligi gipotezasini sinab ko'rish mezonini ko'rib chiqamiz va juftlashtirilgan (qaram) namunalar holatida vositalar farqi uchun ishonch oralig'ini tuzamiz. Keyin 6-3 bo'limda dispersiyalarning tengligi gipotezasi, 6-4 bo'limda ulushlarning tengligi gipotezasi tekshiriladi. Nihoyat, biz aktsiyalardagi farq uchun ishonch oralig'ini quramiz.
2012-yil 5-noyabr, 2012-yil 5-noyabr, 2012-yil 5-noyabr, 2012-yil 5-noyabr. Vositalarning tengligi gipotezasi. Juftlangan namunalar Muammo bayoni Gipotezalar va statistika Harakatlar ketma-ketligi Misol
4 Ivanov O.V., 2005 Juftlangan namunalar. Muammoning tavsifi Bizda nima bor 1. Ikki populyatsiyadan olingan ikkita oddiy tasodifiy namunalar. Namunalar juftlashgan (qaram). 2. Ikkala namunaning o'lchami n 30. Agar bo'lmasa, ikkala namuna ham normal taqsimlangan populyatsiyalardan olinadi. Ikki populyatsiya o'rtasidagi farq haqidagi gipotezani sinab ko'rmoqchi bo'lgan narsa:
5 Ivanov O.V., 2005 Juftlangan namunalar statistikasi Gipotezani tekshirish uchun statistika qo'llaniladi: bu erda - bitta juftlikdagi ikkita qiymat o'rtasidagi farq - juftlashgan farqlar uchun umumiy o'rtacha - juftlashtirilgan farqlar uchun o'rtacha tanlama - standart og'ish namuna uchun farqlar - juftlar soni
6 Ivanov O.V., 2005 yil Misol. Talabalar tayyorgarligi 15 talabadan iborat guruh treningdan oldin va keyin testdan o'tdi. Sinov natijalari jadvalda. 0,05 ahamiyatlilik darajasida o'quvchilarni tayyorlashga o'qitishning ta'siri yo'qligi uchun juftlashtirilgan namunalar uchun gipotezani tekshiramiz. Yechim. Keling, farqlarni va ularning kvadratlarini hisoblaylik. StudentBeforeAfter S= 21 S= 145
7 Ivanov O.V., 2005 Yechim qadam 1. Asosiy va muqobil farazlar: 2-bosqich. Ahamiyat darajasi =0,05 o'rnatilgan. 3-qadam. df = 15 - 1=14 uchun jadval bo'yicha t = 2,145 kritik qiymatni topamiz va kritik maydonni yozamiz: t > 2,145. 2.145."> 2.145."> 2.145." title="7 Ivanov O.V., 2005. Yechim 1-qadam. Asosiy va muqobil farazlar: 2-bosqich. Muhimlik darajasi = 0.05 oʻrnatilgan. 3-qadam. Boʻyicha Jadvalda df = 15 - 1=14 t = 2,145 kritik qiymatni topamiz va kritik maydonni yozamiz: t > 2,145."> title="7 Ivanov O.V., 2005 Yechim qadam 1. Asosiy va muqobil farazlar: 2-bosqich. Ahamiyat darajasi =0,05 o'rnatilgan. 3-qadam. df = 15 - 1=14 uchun jadval bo'yicha t = 2,145 kritik qiymatni topamiz va kritik maydonni yozamiz: t > 2,145."> !}
9 Ivanov O.V., 2005 Yechim statistikasi qiymatni oladi: 5-qadam. Olingan qiymatni kritik maydon bilan solishtiramiz. 1.889 
2012 yil 5 noyabr 2012 yil 5 noyabr 2012 yil 5 noyabr 2012 yil 5 noyabr O'rtacha farq uchun ishonch oralig'i. Juftlangan namunalar Muammoning bayoni Ishonch oralig'ini qurish usuli Misol
11 Ivanov OV, 2005 Muammoning tavsifi Bizda nima bor. Bizda ikkita umumiy populyatsiyadan n o'lchamdagi ikkita tasodifiy juftlashtirilgan (qaram) namunalar mavjud. Populyatsiyalar 1, 1 va 2, 2 parametrlari bilan normal taqsimotga ega yoki har ikkala tanlama kattaligi 30 ga teng. Biz ikki populyatsiya uchun juftlik farqlarining o'rtacha qiymatini taxmin qilmoqchimiz. Buning uchun quyidagi shaklda o'rtacha uchun ishonch oralig'ini tuzing:
2012-yil 5-noyabr, 2012-yil 5-noyabr, 2012-yil 5-noyabr, 2012-yil 5-noyabr Teng dispersiya gipotezasi Muammo bayoni Gipotezalar va statistika Harakatlar ketma-ketligi Misol
15 Ivanov O.V., 2005 Tadqiqot davomida... Tadqiqotchi o'rganilayotgan ikki populyatsiyaning dispersiyalari teng degan taxminni tekshirishi kerak bo'lishi mumkin. Bu populyatsiyalar mavjud bo'lganda normal taqsimot, buning uchun Fisher mezoni deb ham ataladigan F-mezoni mavjud. Studentdan farqli o'laroq, Fisher pivo zavodida ishlamagan.
16 Ivanov OV, 2005 Muammo tavsifi Bizda nima bor 1. Oddiy taqsimlangan ikkita populyatsiyadan olingan ikkita oddiy tasodifiy namunalar. 2. Namunalar mustaqil. Bu namunalar sub'ektlari o'rtasida hech qanday munosabat yo'qligini anglatadi. Aholi tafovutlarining tengligi gipotezasini sinab ko'rmoqchi bo'lgan narsa:
23 Ivanov OV, 2005 Misol Tibbiyot tadqiqotchisi chekuvchilar va chekmaydiganlar yurak urish tezligi (daqiqada urishlar soni) o'rtasida farq bor yoki yo'qligini tekshirmoqchi. Tasodifiy tanlangan ikkita guruhning natijalari quyida ko'rsatilgan. a = 0,05 dan foydalanib, shifokorning to'g'riligini aniqlang. Chekuvchilar Chekmaydiganlar
24 Ivanov O.V., 2005 Yechim qadam 1. Asosiy va muqobil farazlar: 2-bosqich. Ahamiyat darajasi =0,05 o‘rnatilgan. Qadam 3. Numerator 25 va 17 maxrajning erkinlik darajalari soni bo'yicha jadvalga ko'ra, biz kritik qiymat f = 2,19 va kritik mintaqani topamiz: f > 2,19. 4-qadam. Namuna asosida statistik ma’lumotlarning qiymatini hisoblaymiz: 2.19. Qadam 4. Namuna asosida statistik ma'lumotlarning qiymatini hisoblaymiz: "> 
2012-yil 5-noyabr 2012-yil 5-noyabr 2012-yil 5-noyabr 2012-yil 5-noyabr Aktsiyalarning tengligi gipotezasi Muammo bayoni Gipotezalar va statistika Harakatlar ketma-ketligi Misol.
27 Ivanov OV, 2005 yil Savol Sotsiologiya fakultetining tasodifiy tanlab olingan 100 nafar talabasidan 43 nafari maxsus kurslarda qatnashadi. Tasodifiy tanlab olingan 200 nafar iqtisod talabalaridan 90 nafari maxsus kurslarda qatnashadi. Maxsus kurslarga qatnaydigan talabalar ulushi sotsiologiya va iqtisod bo‘limlarida farq qiladimi? Bu sezilarli darajada farq qilmaydiganga o'xshaydi. Uni qanday tekshirish mumkin? Maxsus kurslarga qatnaydiganlarning ulushi xususiyatning ulushidir. 43 - "muvaffaqiyatlar" soni. 43/100 - muvaffaqiyat ulushi. Terminologiya Bernulli sxemasi bilan bir xil.
28 Ivanov OV, 2005 Muammo tavsifi Bizda nima bor 1. Oddiy taqsimlangan ikkita populyatsiyadan olingan ikkita oddiy tasodifiy namunalar. Namunalar mustaqil. 2. Namunalar uchun np 5 va nq 5 qanoatlantiriladi.Bu tanlanmaning kamida 5 elementi o‘rganilayotgan xususiyat qiymatiga ega ekanligini va kamida 5 tasi yo‘qligini bildiradi. Ikki umumiy populyatsiyada belgi ulushlarining tengligi haqidagi gipotezani sinab ko'rmoqchimiz:
31 Ivanov O.V., 2005 yil Misol. Ikki fakultetning maxsus kurslari Sotsiologiya fakultetining tasodifiy tanlangan 100 nafar talabasidan 43 nafari maxsus kurslarda qatnashadi. 200 nafar iqtisodchi talabalardan 90 nafari maxsus kurslarda tahsil oladi. Muhimlik darajasida = 0,05, bu ikki fakultetda maxsus kurslarda qatnashish ulushi o'rtasida farq yo'qligi haqidagi farazni sinab ko'ring. 33 Ivanov O.V., 2005 Yechim 1-bosqich. Asosiy va muqobil farazlar: 2-bosqich. Ahamiyat darajasi =0,05 belgilangan. 3-qadam. Oddiy taqsimot jadvaliga ko'ra biz z = – 1,96 va z = 1,96 kritik qiymatlarni topamiz va kritik mintaqani quramiz: z 1,96. Qadam 4. Namuna asosida biz statistik ma'lumotlarning qiymatini hisoblaymiz.
34 Ivanov O.V., 2005 Yechim qadam 5. Olingan qiymatni kritik maydon bilan solishtiramiz. Olingan statistik qiymat kritik mintaqaga tushmadi. Qadam 6. Biz xulosani shakllantiramiz. Asosiy gipotezani rad etish uchun hech qanday sabab yo'q. Maxsus kurslarga qatnaydiganlarning ulushi statistik jihatdan sezilarli darajada farq qilmaydi.
2012 yil 5 noyabr 2012 yil 5 noyabr 2012 yil 5 noyabr 2012 yil 5 noyabr
Oddiy umumiy populyatsiyalardan bir xil dispersiyalarga ega bo'lgan ikkita mustaqil x 1, x 2, ….., x n va y 1, y 2, …, y n namunalarini ko'rib chiqing, namuna o'lchamlari mos ravishda n va m, va o'rtacha m x , m y va dispersiya s 2 noma’lum. Asosiy gipoteza N 0: m x =m y ni raqobatdosh N 1: m x m y bilan tekshirish talab qilinadi.
Ma'lumki, namuna quyidagi xossalarni bildiradi va bo'ladi: ~N(m x , s 2 /n), ~N(m y , s 2 /m).
Ularning farqi o'rtacha bilan normal qiymatdir 
va variatsiya, shuning uchun
~ 
(23).
Bir muddat asosiy gipoteza H 0 to'g'ri deb faraz qilaylik: m x –m y =0. Keyin 
va qiymatni uning standart og'ishiga bo'linib, biz standart normal sl ni olamiz. qiymat 
~N(0,1).
Ilgari bu ta'kidlangan edi kattalik 
(n-1)-darajali erkinlik bilan qonunga muvofiq taqsimlanadi, a 
- qonun bo'yicha (m-1) erkinlik darajasi bilan. Ushbu ikki so'mning mustaqilligini hisobga olgan holda, biz ularning umumiy qiymat 
qonun bo'yicha n+m-2 erkinlik darajasi bilan taqsimlanadi.
7-bandni eslab, biz kasr ekanligini ko'ramiz 
n=m+n-2 erkinlik darajasi bilan t taqsimotiga (Talaba) bo‘ysunadi: Z=t. Bu fakt H 0 gipotezasi to'g'ri bo'lgandagina sodir bo'ladi.
p va Q ni ularning ifodalari bilan almashtirsak, biz Z uchun kengaytirilgan formulani olamiz:
(24)
Mezon statistikasi deb ataladigan keyingi Z qiymati quyidagi harakatlar ketma-ketligi bilan qaror qabul qilishga imkon beradi:
1. D=[-t b,n , +t b,n ] maydoni o'rnatildi, u t n - taqsimot egri chizig'i ostidagi b=1–a maydonlarni o'z ichiga oladi (10-jadval).
2. Z statistikasi bo'yicha Z eksperimental qiymati (24) formula bo'yicha hisoblanadi, buning uchun X 1 va Y 1 o'rniga ma'lum namunalarning x 1 va y 1 qiymatlari, shuningdek, ularning tanlanma o'rtachalari va .
3. Agar D bo'yicha Z bo'lsa, H 0 gipotezasi eksperimental ma'lumotlarga zid emas deb hisoblanadi va qabul qilinadi.
Agar Z ga D bo'lsa, H 1 gipotezasi qabul qilinadi.
Agar H 0 gipotezasi to'g'ri bo'lsa, Z o'rtacha nolga teng bo'lgan ma'lum t n - taqsimotga bo'ysunadi va yuqori ehtimollik bilan b=1–a H 0 gipotezasini qabul qilish D-domeniga tushadi. Kuzatilganda Z on tajriba qiymati D ga tushadi. Biz buni H 0 gipotezasi foydasiga dalil deb hisoblaymiz.
Agar Z 0 n D dan tashqarida bo'lsa (ular aytganidek, K kritik mintaqada joylashgan), bu tabiiydir, agar H 1 gipotezasi to'g'ri bo'lsa, lekin ehtimoldan yiroq, agar H 0 to'g'ri bo'lsa, biz H 0 gipotezasini rad etishimiz kerak. H 1 ni qabul qilish.
31-misol.
Ikkita benzin markasi taqqoslanadi: A va B. Xuddi shu quvvatdagi 11 ta avtomashinada A va B rusumli benzin halqa trassasida bir marta sinovdan o'tkazildi.Yo'lda bitta mashina buzilib qoldi va unga nisbatan B benzini haqida ma'lumot yo'q. .
100 kilometr hisobda benzin iste'moli
12-jadval
| i | ||||||||||||
| X i | 10,51 | 11,86 | 10,5 | 9,1 | 9,21 | 10,74 | 10,75 | 10,3 | 11,3 | 11,8 | 10,9 | n=11 |
| i | 13,22 | 13,0 | 11,5 | 10,4 | 11,8 | 11,6 | 10,64 | 12,3 | 11,1 | 11,6 | - | m=10 |
A va B navlarining iste'mol dispersiyasi noma'lum va bir xil deb hisoblanadi. a=0,05 ahamiyatlilik darajasida ushbu turdagi benzinlarning m A va m B haqiqiy o'rtacha xarajatlari bir xil degan gipotezani qabul qilish mumkinmi?
Yechim. H 0 gipotezasini sinab ko'rish: m A -m B \u003d 0 raqobatdosh bilan. H 1: m 1 m 2 quyidagi nuqtalarni bajaring:
1. Namuna o‘rta va kvadrat og‘ishlar yig‘indisini toping Q.
;
;
2. Z statistikasining eksperimental qiymatini hisoblang
3. Erkinlik darajalari soni n=m+n–2=19 va b=1–a=0,95 uchun t taqsimotining 10-jadvalidan t b,n chegarasini toping. 10-jadvalda t 0,95,20 =2,09 va t 0,95,15 =2,13, lekin t 0,95,19 yo'q. Interpolyatsiya orqali t 0,95,19 =2,09+ =2,10 ni topamiz.
4. Ikki sohaning qaysi birida D yoki K da Z raqami borligini tekshiring. Zona=-2,7 D=[-2,10; -2.10].
Z on ning kuzatilgan qiymati kritik mintaqada joylashgani uchun K=R\D, biz uni bekor qilamiz. H 0 va H 1 gipotezasini qabul qiling. Bunday holda, pro va sezilarli farq borligi aytiladi. Agar ushbu misolning barcha shartlarida faqat Q o'zgargan bo'lsa, aytaylik, Q ikki barobarga ko'paygan bo'lsa, unda bizning xulosamiz ham o'zgaradi. Q ning ikki baravar ko'payishi Z qiymatining ikki baravar kamayishiga olib keladi va keyin Zon soni ruxsat etilgan D mintaqasiga tushadi, shuning uchun H 0 gipotezasi testdan o'tadi va qabul qilinadi. Bunda va orasidagi nomuvofiqlik m A m B ekanligi bilan emas, balki ma’lumotlarning tabiiy tarqalishi bilan izohlanar edi.
Gipotezalarni tekshirish nazariyasi juda keng, gipotezalar taqsimot qonunining shakli, namunalarning bir xilligi, tasodifiy qiymatning mustaqilligi va boshqalar haqida bo'lishi mumkin.
KRITERION c 2 (PEARSON)
Amalda oddiy gipotezani tekshirishning eng keng tarqalgan mezoni. Tarqatish qonuni noma'lum bo'lganda qo'llaniladi. X tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqaylik, buning ustiga n mustaqil testlar. Realizatsiya x 1 , x 2 ,...,x n olinadi. Bu tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni haqidagi gipotezani tekshirish kerak.
Oddiy gipoteza misolini ko'rib chiqing. Oddiy gipoteza namunaning normal (ma'lum) taqsimotga ega bo'lgan populyatsiya bilan muvofiqligini tekshiradi. Biz namunalar bo'yicha quramiz variatsion qator x(1) , x(2) , ..., x(n) . Interval kichik intervallarga bo'linadi. Bu intervallar r bo'lsin. Keyin tekshirilayotgan gipoteza to'g'ri bo'lsa, tekshirish natijasida X ning Di, i=1 ,..., r oralig'iga tushishi ehtimolligini topamiz.
Mezon ehtimollik zichligining haqiqatini emas, balki raqamlarning haqiqatini tekshiradi
Har bir Di oralig'i bilan biz tasodifiy A i hodisasini bog'laymiz - bu oraliqda zarba (uni Dida amalga oshirish natijasini X ustidan sinovdan o'tkazish natijasida urish). Biz tasodifiy o'zgaruvchilarni kiritamiz. m i - A i hodisasi sodir bo'lgan n tadan o'tkazilgan sinovlar soni. m i binomial qonun bo'yicha va gipotezaning haqiqati bo'yicha taqsimlanadi
Dm i =np i (1-p i)
c 2 mezoni shaklga ega 
p 1 +p 2 +...+p r =1
m 1 +m 2 +...+m r =n
Agar tekshirilayotgan gipoteza to'g'ri bo'lsa, u holda m i o'tkazilgan n ta testning har birida p i ehtimolga ega bo'lgan hodisaning sodir bo'lish chastotasini ifodalaydi, shuning uchun biz m i nuqtada markazlashtirilgan binom qonuniga bo'ysunuvchi tasodifiy o'zgaruvchi sifatida qarashimiz mumkin. np i. Agar n katta bo'lsa, chastota bir xil parametrlar bilan asimptotik normal taqsimlangan deb taxmin qilishimiz mumkin. Agar gipoteza to'g'ri bo'lsa, biz asimptotik normal taqsimlangan bo'lishini kutishimiz kerak
bir-biri bilan bog'liq
Keling, qiymatni ko'rib chiqaylik
c 2 - bog'liq bo'lgan asimptotik normal miqdorlarning kvadratlari yig'indisi chiziqli bog'liqlik. Biz allaqachon shunga o'xshash holatga duch kelganmiz va bilamizki, chiziqli ulanishning mavjudligi erkinlik darajalari sonining bir marta kamayishiga olib keldi.
Agar tekshirilayotgan gipoteza to'g'ri bo'lsa, u holda c 2 mezoni r-1 erkinlik darajasi bilan c 2 taqsimotiga n®¥ da moyil bo'lgan taqsimotga ega.
Aytaylik, gipoteza noto'g'ri. Keyin summadagi shartlarni oshirish tendentsiyasi mavjud, ya'ni. agar gipoteza noto'g'ri bo'lsa, u holda bu summa c 2 ning katta qiymatlari bo'lgan ma'lum bir hududga tushadi. Tanqidiy mintaqa sifatida biz mezonning ijobiy qiymatlari mintaqasini olamiz
| |
Noma'lum taqsimot parametrlari bo'lsa, har bir parametr Pearson mezoni uchun erkinlik darajalari sonini bittaga kamaytiradi.
8.1. Tobe va mustaqil namunalar tushunchasi.
Gipotezani tekshirish mezonini tanlash
birinchi navbatda ko'rib chiqilayotgan namunalarning qaram yoki mustaqil ekanligi bilan belgilanadi. Keling, tegishli ta'riflarni keltiramiz.
Def. Namunalar chaqiriladi mustaqil, agar birinchi namunadagi birliklarni tanlash tartibi ikkinchi namunadagi birliklarni tanlash tartibi bilan hech qanday bog'liq bo'lmasa.
Ikkita mustaqil namunaga misol sifatida yuqorida muhokama qilingan bir korxonada (bir tarmoqda va hokazo) ishlaydigan erkaklar va ayollar namunalarini keltirish mumkin.
E'tibor bering, ikkita namunaning mustaqilligi ushbu namunalarning ma'lum bir o'xshashligi (ularning bir xilligi) uchun talab yo'qligini anglatmaydi. Shunday qilib, erkaklar va ayollarning daromad darajasini o'rganar ekanmiz, erkaklar Moskva ishbilarmonlari muhitidan va Avstraliyaning aborigenlaridan ayollar tanlanganida bunday vaziyatga yo'l qo'yishimiz dargumon. Ayollar ham moskvaliklar va bundan tashqari, "ishbilarmon ayollar" bo'lishi kerak. Ammo bu erda gap namunalarning bog'liqligi haqida emas, balki sotsiologik ma'lumotlarni yig'ishda ham, tahlil qilishda ham qondirilishi kerak bo'lgan o'rganilayotgan ob'ektlar to'plamining bir xilligi talabi haqida ketmoqda.
Def. Namunalar chaqiriladi qaram yoki juftlashgan, agar bitta namunaning har bir birligi ikkinchi namunaning muayyan birligiga "bog'langan" bo'lsa.
Agar qaram namunalarga misol keltirsak, oxirgi ta'rif aniqroq bo'ladi.
Aytaylik, biz otaning ijtimoiy mavqei o'g'ilning ijtimoiy mavqeidan o'rtacha past yoki yo'qligini bilmoqchimiz (biz bu murakkab va noaniqlikni o'lchashimiz mumkin deb hisoblaymiz) ijtimoiy xususiyat shaxs). Ko'rinib turibdiki, bunday vaziyatda respondentlarning juftligini (ota, o'g'il) tanlash va birinchi namunadagi har bir element (otalardan biri) ikkinchi namunaning ma'lum bir elementiga (uning) "bog'langan" deb taxmin qilish maqsadga muvofiqdir. o'g'lim). Ushbu ikkita namunaga bog'liq deb nomlanadi.
8.2. Mustaqil namunalar uchun gipotezani tekshirish
Uchun mustaqil mezonni tanlash o'rganilayotgan namunalar uchun ko'rib chiqilayotgan xususiyatning s 1 2 va s 2 2 umumiy dispersiyalarini bilishimizga bog'liq. Tanlama dispersiyalari umumiy bo'lganlarga to'g'ri keladi, deb faraz qilib, bu muammoni hal qilingan deb hisoblaymiz. Bunday holda, mezon qiymat hisoblanadi:
Umumiy tafovutlar (yoki ulardan kamida bittasi) bizga noma'lum bo'lgan vaziyatni muhokama qilishdan oldin, biz quyidagilarni ta'kidlaymiz.
(8.1) mezonni qo'llash mantig'i "Chi-kvadrat" (7.2) mezonini ko'rib chiqishda biz tavsiflaganga o'xshaydi. Faqat bitta asosiy farq bor. (7.2) mezonning ma'nosi haqida gapirganda, biz o'zimizdan "to'plangan" n o'lchamdagi cheksiz sonli namunalarni ko'rib chiqdik. aholi. Bu erda (8.1) mezonning ma'nosini tahlil qilib, biz cheksiz sonni ko'rib chiqishga o'tamiz. bug ' n 1 va n 2 o'lchamdagi namunalar. Har bir va juftligi uchun (8.1) shaklning statistikasi hisoblanadi. Bunday statistik ma'lumotlarning olingan qiymatlari to'plami, bizning yozuvimizga muvofiq, normal taqsimotga mos keladi (biz kelishib olganimizdek, z harfi normal taqsimotga mos keladigan bunday mezonni belgilash uchun ishlatiladi).
Shunday qilib, agar umumiy dispersiyalar bizga noma'lum bo'lsa, biz ularning o'rniga s 1 2 va s 2 2 tanlama baholaridan foydalanishga majbur bo'lamiz. Biroq, bu holda, normal taqsimotni Student taqsimoti bilan almashtirish kerak - z ni t bilan almashtirish kerak (matematik kutish uchun ishonch oralig'ini qurishda xuddi shunday vaziyatda bo'lgani kabi). Biroq, etarlicha katta tanlanma o'lchamlari uchun (n 1 , n 2 ³ 30), biz allaqachon bilganimizdek, Talabaning taqsimlanishi amalda odatdagiga to'g'ri keladi. Boshqacha qilib aytganda, katta namunalar bilan biz mezondan foydalanishni davom ettirishimiz mumkin:
Ikkala dispersiya ham noma'lum bo'lsa va kamida bitta namunaning hajmi kichik bo'lsa, vaziyat yanada murakkablashadi. Keyin yana bir omil o'ynaydi. Mezon turi tahlil qilinayotgan ikkita namunadagi ko'rib chiqilayotgan xususiyatning noma'lum dispersiyalarini teng deb hisoblashimiz mumkinmi yoki yo'qligiga bog'liq. Buni bilish uchun biz gipotezani sinab ko'rishimiz kerak:
H 0: s 1 2 = s 2 2. (8.3)
Ushbu gipotezani tekshirish uchun mezondan foydalaniladi
Ushbu mezondan foydalanishning o'ziga xos xususiyatlari haqida muhokama qilinadi quyida va endi biz matematik taxminlarning tengligi haqidagi farazlarni tekshirish uchun ishlatiladigan mezonni tanlash algoritmini muhokama qilishni davom ettiramiz.
Agar gipoteza (8.3) rad etilsa, bizni qiziqtiradigan mezon quyidagi shaklni oladi:
(8.5)
(ya'ni, u katta namunalar uchun qo'llaniladigan testdan (8.2) farq qiladi, chunki tegishli statistik normal taqsimot emas, balki Student taqsimoti). Agar gipoteza (8.3) qabul qilingan bo'lsa, unda ishlatiladigan mezon turi o'zgaradi:
(8.6)
Keling, ikkita mustaqil namunani tahlil qilish asosida umumiy matematik taxminlarning tengligi gipotezasini tekshirish uchun mezon qanday tanlanganligini umumlashtiramiz.
ma'lum
noma'lum
namuna hajmi katta
H 0: s 1 = s 2 rad etiladi
qabul qilingan
8.3. Bog'liq namunalar uchun gipotezani tekshirish
Keling, qaram namunalarni ko'rib chiqishga o'tamiz. Raqamlar ketma-ketligi bo'lsin
X 1 , X 2 , … , X n ;
Y 1 , Y 2 , … , Y n -
bu ikkita qaram bo'lgan namunaning elementlari uchun tasodifiy ko'rib chiqilgan qiymatlar. Keling, belgi bilan tanishtiramiz:
D i = X i - Y i , i = 1, ... , n.
Uchun qaram gipotezani sinab ko'rish imkonini beruvchi tanlab olish mezoni
quyida bayon qilinganidek:
E'tibor bering, s D uchun berilgan ibora yangi ifodadan boshqa narsa emas ma'lum formula standart chetlanishni ifodalaydi. Bunday holda, biz D i qiymatlarining standart og'ishi haqida gapiramiz. Bunday formula amalda ko'pincha dispersiyani hisoblash uchun oddiyroq (ko'rib chiqilayotgan qiymat qiymatlarining tegishli arifmetik o'rtacha qiymatdan kvadrat og'ishlari yig'indisini "frontal" hisoblash bilan solishtirganda) ishlatiladi.
Agar yuqoridagi formulalarni ishonch oralig'ini qurish tamoyillarini muhokama qilishda foydalangan formulalar bilan solishtirsak, qaram namunalar uchun vositalarning tengligi haqidagi gipotezani sinab ko'rish mohiyatan nolga tenglik sinovi ekanligini ko'rish oson. D i qiymatlarining matematik kutilishi. Qiymat
D i uchun standart og'ish hisoblanadi. Shuning uchun hozirgina tasvirlangan t n -1 mezonning qiymati asosan standart og'ishning kasrlarida ifodalangan D i qiymatiga teng. Yuqorida aytib o'tganimizdek (ishonch oraliqlarini qurish usullarini muhokama qilishda) ushbu ko'rsatkich D i ko'rib chiqilgan qiymatning ehtimolini baholash uchun ishlatilishi mumkin. Farqi shundaki, biz yuqorida oddiy arifmetik o'rtacha, normal taqsimlangan, bu erda esa o'rtacha farqlar haqida gapiramiz, bunday o'rtachalar Student taqsimotiga ega. Ammo namunaviy arifmetik o'rtachaning noldan og'ish ehtimoli o'rtasidagi bog'liqlik haqida fikr yuritish (uchun matematik kutish, nolga teng) bu og'ish necha birlik s bo'lsa, o'z kuchida qoladi.
Misol. Shaharning bir mikrorayonidagi dorixonalarning daromadlari ma'lum davrda 128; 192; 223; 398; 205; 266; 219; 260; 264; 98 (odatiy birliklar). Qo‘shni mikrorayonda bir vaqtning o‘zida ular 286; 240; 263; 266; 484; 223; 335.
Ikkala namuna uchun o'rtacha, tuzatilgan dispersiya va standart og'ishlarni hisoblang. Variatsiya diapazonini, o'rtacha mutlaq (chiziqli) og'ish, o'zgarish koeffitsientini toping, chiziqli koeffitsient o'zgaruvchanlik, tebranish koeffitsienti.
Buni taxmin qilsak tasodifiy qiymat normal taqsimlangan bo'lsa, o'rtacha populyatsiya uchun ishonch oralig'ini aniqlang (har ikki holatda ham).
Fisher mezoni bo'yicha umumiy dispersiyalarning tengligi gipotezasini tekshiring. Talaba mezonidan foydalanib, umumiy vositalarning tengligi haqidagi gipotezani tekshiring (muqobil gipoteza ularning tengsizligi haqida).
Barcha hisob-kitoblarda ahamiyatlilik darajasi a = 0,05.
Yechim kalkulyator yordamida amalga oshiriladi Dispersiyalarning tengligi gipotezasini tekshirish.
1. Birinchi namuna uchun o'zgaruvchanlik ko'rsatkichlarini toping.
| x | |x - x cf | | (x - x sr) 2 |
| 98 | 127.3 | 16205.29 |
| 128 | 97.3 | 9467.29 |
| 192 | 33.3 | 1108.89 |
| 205 | 20.3 | 412.09 |
| 219 | 6.3 | 39.69 |
| 223 | 2.3 | 5.29 |
| 260 | 34.7 | 1204.09 |
| 264 | 38.7 | 1497.69 |
| 266 | 40.7 | 1656.49 |
| 398 | 172.7 | 29825.29 |
| 2253 | 573.6 | 61422.1 |
.
Variatsiya ko'rsatkichlari.
.
R = X max - X min
R = 398 - 98 = 300
O'rtacha chiziqli og'ish
Seriyaning har bir qiymati boshqasidan o'rtacha 57,36 ga farq qiladi
Dispersiya
Dispersiyani xolis baholovchi
.
Seriyaning har bir qiymati o'rtacha 225,3 qiymatidan o'rtacha 78,37 ga farq qiladi.
.
.
O'zgaruvchanlik koeffitsienti
Chunki v>30% lekin v yoki
Tebranish omili
.
.
Student jadvaliga ko'ra biz quyidagilarni topamiz:
T jadvali (n-1; a / 2) \u003d T jadvali (9; 0,025) \u003d 2,262
(225.3 - 59.09;225.3 + 59.09) = (166.21;284.39)
2. Ikkinchi namuna uchun o'zgaruvchanlik ko'rsatkichlarini toping.
Keling, qatorni siljitamiz. Buning uchun uning qiymatlarini o'sish tartibida tartiblang.
Ko'rsatkichlarni hisoblash uchun jadval.
| x | |x - x cf | | (x - x sr) 2 |
| 223 | 76.57 | 5863.18 |
| 240 | 59.57 | 3548.76 |
| 263 | 36.57 | 1337.47 |
| 266 | 33.57 | 1127.04 |
| 286 | 13.57 | 184.18 |
| 335 | 35.43 | 1255.18 |
| 484 | 184.43 | 34013.9 |
| 2097 | 439.71 | 47329.71 |
Tarqatish seriyasini baholash uchun biz quyidagi ko'rsatkichlarni topamiz:
Tarqatish markazi ko'rsatkichlari.
oddiy arifmetik o'rtacha
Variatsiya ko'rsatkichlari.
Mutlaq o'zgaruvchanlik stavkalari.
O'zgarishlar diapazoni - bu birlamchi seriya atributining maksimal va minimal qiymatlari o'rtasidagi farq.
R = X max - X min
R = 484 - 223 = 261
O'rtacha chiziqli og'ish- o'rganilayotgan aholining barcha birliklarining farqlarini hisobga olish uchun hisoblangan.
Seriyaning har bir qiymati boshqasidan o'rtacha 62,82 ga farq qiladi
Dispersiya- uning o'rtacha qiymati atrofida tarqalish o'lchovini tavsiflaydi (tarqalish o'lchovi, ya'ni o'rtacha qiymatdan chetga chiqish).
Dispersiyani xolis baholovchi- dispersiyani izchil baholash (tuzatilgan dispersiya).
Standart og'ish.
Seriyaning har bir qiymati o'rtacha 299,57 qiymatidan o'rtacha 82,23 ga farq qiladi.
Standart og'ishni baholash.
O'zgaruvchanlikning nisbiy ko'rsatkichlari.
Variatsiyaning nisbiy ko'rsatkichlariga quyidagilar kiradi: tebranish koeffitsienti, chiziqli o'zgarish koeffitsienti, nisbiy chiziqli og'ish.
O'zgaruvchanlik koeffitsienti- populyatsiya qiymatlarining nisbiy tarqalishining o'lchovi: bu miqdorning o'rtacha qiymatining o'rtacha tarqalishining qancha qismini ko'rsatadi.
v ≤ 30% bo'lgani uchun populyatsiya bir hil va o'zgaruvchanlik zaif. Olingan natijalarga ishonish mumkin.
Chiziqli o'zgarish koeffitsienti yoki Nisbiy chiziqli og'ish- o'rtacha qiymatdan mutlaq chetlanishlar belgisining o'rtacha qiymatining nisbatini tavsiflaydi.
Tebranish omili- atributning ekstremal qiymatlarining o'rtacha atrofida nisbiy o'zgarishini aks ettiradi.
Aholi punktini intervalli baholash.
Umumiy o'rtacha uchun ishonch oralig'i.
Talabaning taqsimot jadvali bo'yicha t kp qiymatini aniqlang
Student jadvaliga ko'ra biz quyidagilarni topamiz:
T jadvali (n-1; a / 2) \u003d T jadvali (6; 0,025) \u003d 2,447
(299.57 - 82.14;299.57 + 82.14) = (217.43;381.71)
0,95 ehtimollik bilan, kattaroq namuna uchun o'rtacha qiymat topilgan oraliq chegarasidan tashqariga chiqmasligi haqida bahslashish mumkin.
Dispersiyalarning tengligi gipotezasini tekshiramiz:
H 0: D x = D y;
H 1: D x Fisher mezonining kuzatilgan qiymatini toping:
s y 2 > s x 2 bo‘lgani uchun s b 2 = s y 2, s m 2 = s x 2 bo‘ladi.
Erkinlik darajalari soni:
f 1 \u003d n y - 1 \u003d 7 - 1 \u003d 6
f 2 \u003d n x - 1 \u003d 10 - 1 \u003d 9
Fisher-Snedekor taqsimotining a = 0,05 ahamiyatga ega bo'lgan kritik nuqtalari jadvaliga va berilgan erkinlik darajalariga ko'ra, biz Fcr (6;9) = 3,37 ni topamiz.
Chunki F obl Biz umumiy vositalarning tengligi haqidagi gipotezani tekshiramiz:
Student mezonining eksperimental qiymatini topamiz:
Erkinlik darajalari soni f \u003d n x + n y - 2 \u003d 10 + 7 - 2 \u003d 15
Talabaning taqsimot jadvali bo'yicha t kp qiymatini aniqlang
Student jadvaliga ko'ra biz quyidagilarni topamiz:
T jadvali (f; a / 2) \u003d T jadvali (15; 0,025) \u003d 2,131
A = 0,05 ahamiyatlilik darajasida va ma'lum miqdordagi erkinlik darajasida Student taqsimotining kritik nuqtalari jadvaliga ko'ra, biz t cr = 2,131 ni topamiz.
Chunki t obs
