Ifodalar, tenglamalar va tenglamalar tizimi
Bilan murakkab sonlar

Bugun sinfda biz murakkab sonlar bilan tipik operatsiyalarni mashq qilamiz, shuningdek, ushbu raqamlarni o'z ichiga olgan ifodalar, tenglamalar va tenglamalar tizimini echish texnikasini o'zlashtiramiz. Ushbu seminar darsning davomidir va shuning uchun agar siz mavzuni yaxshi bilmasangiz, yuqoridagi havolaga o'ting. Xo'sh, ko'proq tayyor o'quvchilar uchun men sizni darhol isinishni taklif qilaman:

1-misol

Ifodani soddalashtiring , Agar . Natijani trigonometrik shaklda tasvirlang va uni kompleks tekislikda chizing.

Yechim: shuning uchun siz "dahshatli" kasrni almashtirishingiz, soddalashtirishingiz va natijani o'zgartirishingiz kerak murakkab son V trigonometrik shakl. Bundan tashqari, rasm.

Qarorni rasmiylashtirishning eng yaxshi usuli qanday? "Murakkab" bilan algebraik ifoda Buni bosqichma-bosqich tushunish yaxshiroqdir. Birinchidan, diqqat kamroq chalg'itadi, ikkinchidan, agar topshiriq qabul qilinmasa, xatoni topish ancha oson bo'ladi.

1) Birinchidan, hisoblagichni soddalashtiramiz. Keling, unga qiymatni almashtiramiz, qavslarni oching va soch turmagini tuzatamiz:

...Ha, bunday Kvazimodo murakkab sonlardan chiqqan...

Eslatib o'taman, transformatsiyalar paytida mutlaqo oddiy narsalar qo'llaniladi - polinomlarni ko'paytirish qoidasi va allaqachon banal bo'lib qolgan tenglik. Asosiysi, ehtiyot bo'lish va belgilar bilan adashmaslikdir.

2) Endi maxraj keladi. Agar bo'lsa, unda:

Qanday g'ayrioddiy talqinda ishlatilganiga e'tibor bering kvadrat yig'indisi formulasi. Shu bilan bir qatorda, bu erda qayta tartibni amalga oshirishingiz mumkin pastki formula Natijalar tabiiy ravishda bir xil bo'ladi.

3) Va nihoyat, butun ifoda. Agar bo'lsa, unda:

Kasrdan qutulish uchun son va maxrajni maxrajning konjugat ifodasiga ko'paytiring. Shu bilan birga, qo'llash maqsadlari uchun kvadrat farq formulalari birinchi bo'lib kerak (va allaqachon kerak!) manfiy haqiqiy qismni 2-o'ringa qo'ying:

Va endi asosiy qoida:

BIZ HECH QANDAY SHOSHISHMAQ! Buni xavfsiz o'ynash va qo'shimcha qadam tashlash yaxshiroqdir.
Murakkab sonli iboralar, tenglamalar va tizimlarda, takabbur og'zaki hisob-kitoblarda har qachongidan ham to'la!

Yakuniy bosqichda yaxshi pasayish kuzatildi va bu shunchaki ajoyib belgi.

Eslatma : qat'iy aytganda, bu erda kompleks sonning 50 kompleks soniga bo'linishi sodir bo'lgan (esda tuting). Men bu nuance haqida hozirgacha indamay kelganman, bu haqda biroz keyinroq gaplashamiz.

Keling, yutug'imizni harf bilan belgilaylik

Olingan natijani trigonometrik shaklda keltiramiz. Umuman olganda, bu erda siz rasmsiz qilishingiz mumkin, ammo bu talab qilinganligi sababli, hozir buni qilish biroz oqilonaroq:

Kompleks sonning modulini hisoblaymiz:

Agar siz 1 birlik o'lchovida chizsangiz. = 1 sm (2 daftar xujayrasi), keyin olingan qiymat oddiy o'lchagich yordamida osongina tekshirilishi mumkin.

Keling, argument topaylik. Raqam 2-koordinata choragida joylashganligi sababli:

Burchakni transportyor bilan osongina tekshirish mumkin. Bu chizishning shubhasiz afzalligi.

Shunday qilib: – trigonometrik shaklda kerakli son.

Keling, tekshiramiz:
, bu tekshirilishi kerak bo'lgan narsa edi.

Sinus va kosinusning notanish qiymatlarini topish qulay trigonometrik jadval.

Javob:

uchun shunga o'xshash misol mustaqil qaror:

2-misol

Ifodani soddalashtiring , Qayerda. Olingan sonni kompleks tekislikda chizing va uni eksponensial shaklda yozing.

Qo'llanma misollarini o'tkazib yubormaslikka harakat qiling. Ular oddiy ko'rinishi mumkin, ammo mashg'ulotsiz "ko'lmakka kirish" nafaqat oson, balki juda oson. Shuning uchun, biz "qo'limizni ushlab turamiz".

Ko'pincha muammo bir nechta echimga ega:

3-misol

Hisoblang, agar,

Yechim: birinchi navbatda, asl holatga e'tibor qarataylik - bir raqam algebraik, ikkinchisi esa trigonometrik shaklda va hatto darajalar bilan taqdim etiladi. Keling, darhol tanishroq shaklda qayta yozamiz: .

Hisob-kitoblar qanday shaklda amalga oshirilishi kerak? Shubhasiz, ifoda birinchi ko'paytirishni va keyinchalik 10-chi darajaga ko'tarishni o'z ichiga oladi Moivre formulasi, bu kompleks sonning trigonometrik shakli uchun tuzilgan. Shunday qilib, birinchi raqamni aylantirish mantiqiyroq ko'rinadi. Keling, uning moduli va argumentini topamiz:

Biz trigonometrik shaklda murakkab sonlarni ko'paytirish qoidasidan foydalanamiz:
agar , keyin

Kasrni to'g'ri qilib, biz 4 burilishni "burish" mumkin degan xulosaga kelamiz (xursand.):

Ikkinchi yechim 2-sonni algebraik shaklga aylantirishdir , ichida ko'paytirishni bajaring algebraik shakl, natijani trigonometrik shaklga aylantiring va Moivre formulasidan foydalaning.

Ko'rib turganingizdek, bitta "qo'shimcha" harakat mavjud. Xohlaganlar qarorni bajarishlari va natijalar bir xil bo'lishiga ishonch hosil qilishlari mumkin.

Shart yakuniy kompleks sonning shakli haqida hech narsa aytmaydi, shuning uchun:

Javob:

Ammo "go'zallik uchun" yoki talab bo'yicha natijani algebraik shaklda tasavvur qilish oson:

O'z-o'zidan:

4-misol

Ifodani soddalashtiring

Bu erda biz eslashimiz kerak darajali harakatlar, bitta bo'lsa ham foydali qoida Bu qo'llanmada yo'q, bu erda: .

Va yana bir muhim eslatma: misolni ikkita uslubda hal qilish mumkin. Birinchi variant - bu bilan ishlash ikki raqamlar va kasrlar bilan yaxshi munosabatda bo'lish. Ikkinchi variant - har bir raqamni ko'rsatish ikki raqamning qismi: Va to'rt qavatli tuzilishdan xalos bo'ling. Rasmiy nuqtai nazardan, siz qanday qaror qabul qilishingiz muhim emas, lekin jiddiy farq bor! Iltimos, diqqat bilan o'ylab ko'ring:
murakkab son;
ikki murakkab sonning ( va ) qismidir, lekin kontekstga qarab siz buni ham aytishingiz mumkin: ikkita murakkab sonning bo'limi sifatida ifodalangan son.

Tez yechim va javob dars oxirida.

Ifodalar yaxshi, lekin tenglamalar yaxshiroq:

Kompleks koeffitsientli tenglamalar

Ular "oddiy" tenglamalardan qanday farq qiladi? Imkoniyatlar =)

Yuqoridagi izohdan kelib chiqib, keling, ushbu misoldan boshlaylik:

5-misol

Tenglamani yeching

Va darhol "to'pig'ida issiq" preambula: dastlab o'ng qism tenglama ikkita murakkab sonning (va 13) qismi sifatida joylashtirilgan va shuning uchun shartni raqam bilan qayta yozish noto'g'ri bo'ladi. (garchi bu xatolikka olib kelmasa ham). Aytgancha, bu farq kasrda aniqroq ko'rinadi - agar nisbatan aytganda, bu qiymat birinchi navbatda tushuniladi. tenglamaning "to'liq" kompleks ildizi, va sonning bo'luvchisi sifatida emas va ayniqsa sonning bir qismi sifatida emas!

Yechim, printsipial jihatdan, ham bosqichma-bosqich tartibga solinishi mumkin, lekin ichida Ushbu holatda O'yin shamga arzimaydi. Dastlabki vazifa noma'lum "z" ni o'z ichiga olmagan hamma narsani soddalashtirishdir, natijada tenglama quyidagi shaklga tushiriladi:

Biz o'rta kasrni ishonchli tarzda soddalashtiramiz:

Natijani o'ng tomonga o'tkazamiz va farqni topamiz:

Eslatma : va yana e'tiboringizni mazmunli nuqtaga qarataman - bu erda biz sondan raqamni ayirmadik, balki kasrlarni umumiy maxrajga keltirdik! Shuni ta'kidlash kerakki, allaqachon hal qilishda raqamlar bilan ishlash taqiqlanmagan: , ammo ko'rib chiqilayotgan misolda bu uslub foydalidan ko'ra zararli =)

Proportsional qoidaga ko'ra, biz "zet" ni ifodalaymiz:

Endi siz yana konjugatga bo'lishingiz va ko'paytirishingiz mumkin, ammo hisoblagich va maxrajdagi shubhali o'xshash raqamlar keyingi harakatni taklif qiladi:

Javob:

Tekshirish uchun natijada olingan qiymatni o'rniga qo'yaylik chap tomoni asl tenglama va ba'zi soddalashtirishlarni qilaylik:

– asl tenglamaning o‘ng tomoni olinadi, shuning uchun ildiz to‘g‘ri topiladi.

...Endi, hozir... Men siz uchun qiziqroq narsani topaman... mana, keling:

6-misol

Tenglamani yeching

Bu tenglama shaklga qisqaradi, ya'ni chiziqli. Menimcha, maslahat aniq - buning uchun boring!

Albatta... usiz qanday yashash mumkin:

Kompleks koeffitsientli kvadrat tenglama

Darsda Dummies uchun murakkab raqamlar biz haqiqiy koeffitsientli kvadrat tenglama konjugat murakkab ildizlarga ega bo'lishi mumkinligini bilib oldik, shundan so'ng mantiqiy savol tug'iladi: nega aslida koeffitsientlarning o'zi murakkab bo'lishi mumkin emas? Menga shakllantirishga ruxsat bering umumiy holat:

Ixtiyoriy kompleks koeffitsientli kvadrat tenglama (1 yoki 2 tasi yoki uchtasi, xususan, haqiqiy bo'lishi mumkin) Unda bor ikkita va faqat ikkita murakkab ildiz (ehtimol, ulardan biri yoki ikkalasi ham haqiqiydir). Shu bilan birga, ildizlar (haqiqiy va nolga teng bo'lmagan xayoliy qism bilan) mos kelishi mumkin (ko'p bo'lishi).

Murakkab koeffitsientli kvadrat tenglama xuddi shu sxema yordamida yechiladi "maktab" tenglamasi, hisoblash texnikasidagi ba'zi farqlar bilan:

7-misol

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping

Yechim: xayoliy birlik birinchi o'rinda turadi va, qoida tariqasida, siz undan qutulishingiz mumkin (har ikki tomonni ko'paytirish), ammo bunga alohida ehtiyoj yo'q.

Qulaylik uchun biz koeffitsientlarni yozamiz:

Bepul a'zo "minus"ini boy bermaylik! ...Bu hamma uchun tushunarli bo'lmasligi mumkin - men tenglamani qayta yozaman standart shakl :

Diskriminantni hisoblaymiz:

Va bu erda asosiy to'siq:

Ilova umumiy formula ildiz chiqarish (maqolaning oxirgi xatboshiga qarang Dummies uchun murakkab raqamlar) radikal kompleks son argumenti bilan bog'liq jiddiy qiyinchiliklar bilan murakkablashgan (o'zingizga qarang). Ammo boshqa "algebraik" yo'l bor! Biz ildizni quyidagi shaklda qidiramiz:

Keling, ikkala tomonni kvadratga aylantiramiz:

Ikki kompleks son, agar ularning haqiqiy va xayoliy qismlari teng bo'lsa, tengdir. Shunday qilib, biz olamiz quyidagi tizim:

Tizimni tanlash orqali hal qilish osonroq (aniqroq usul - 2-tenglamadan ifodalash - 1-ga almashtiring, oling va hal qiling. bikvadrat tenglama) . Muammo muallifi yirtqich hayvon emas, deb faraz qilib, biz va butun sonlar degan gipotezani ilgari surdik. 1-tenglamadan “x” kelib chiqadi. modul"Y" dan ko'proq. Bundan tashqari, ijobiy mahsulot bizga noma'lumlar bir xil belgiga ega ekanligini aytadi. Yuqoridagilarga asoslanib, 2-tenglamaga e'tibor qaratgan holda, biz unga mos keladigan barcha juftlarni yozamiz:

Ko'rinib turibdiki, tizimning 1- tenglamasi oxirgi ikki juft tomonidan qanoatlantiriladi, shuning uchun:

Oraliq tekshiruv zarar qilmaydi:

bu tekshirilishi kerak bo'lgan narsa edi.

Siz "ishchi" ildiz sifatida tanlashingiz mumkin har qanday ma'nosi. Versiyani "salbiy tomonlari"siz olish yaxshiroq ekanligi aniq:

Aytgancha, biz ildizlarni topamiz, aytmoqchi:

Javob:

Topilgan ildizlar tenglamani qanoatlantirishini tekshirib ko'ramiz :

1) o'rniga qo'yaylik:

haqiqiy tenglik.

2) almashtiramiz:

haqiqiy tenglik.

Shunday qilib, yechim to'g'ri topildi.

Biz muhokama qilgan muammoga asoslanib:

8-misol

Tenglamaning ildizlarini toping

Shuni ta'kidlash kerakki, kvadrat ildiz sof murakkab raqamlar umumiy formuladan foydalanib osongina chiqarilishi mumkin , Qayerda , shuning uchun ikkala usul ham namunada ko'rsatilgan. Ikkinchi foydali izoh doimiyning ildizini oldindan ajratib olish yechimni umuman soddalashtirmasligi bilan bog'liq.

Endi siz dam olishingiz mumkin - bu misolda siz ozgina qo'rquvdan qutulasiz :)

9-misol

Tenglamani yeching va tekshiring

Dars oxiridagi yechimlar va javoblar.

Maqolaning yakuniy paragrafiga bag'ishlangan

kompleks sonli tenglamalar tizimi

Keling, dam olaylik va... taranglashmang =) Keling, eng oddiy holatni ko'rib chiqaylik - ikkitadan iborat tizim chiziqli tenglamalar ikkita noma'lum bilan:

10-misol

Tenglamalar sistemasini yeching. Javobni algebraik va eksponensial shakllarda keltiring, chizmada ildizlarni tasvirlang.

Yechim: shartning o'zi tizimning yagona yechimga ega ekanligini ko'rsatadi, ya'ni biz qanoatlantiradigan ikkita raqamni topishimiz kerak. har biriga tizim tenglamasi.

Tizim haqiqatan ham "bolalarcha" hal qilinishi mumkin (bir o‘zgaruvchini boshqasi bilan ifodalash) , ammo undan foydalanish ancha qulayroq Kramer formulalari. Keling, hisoblaylik asosiy belgilovchi tizimlari:

, ya'ni tizim noyob yechimga ega.

Takror aytamanki, vaqtingizni olib, qadamlarni iloji boricha batafsilroq yozgan ma'qul:

Numerator va maxrajni xayoliy birlikka ko'paytiramiz va 1-ildizni olamiz:

Xuddi shunday:

Tegishli o'ng tomonlar olinadi va hokazo.

Keling, rasm chizamiz:

Keling, ildizlarni eksponensial shaklda tasvirlaymiz. Buning uchun siz ularning modullari va argumentlarini topishingiz kerak:

1) - "ikki" ning arttangensi "yomon" hisoblanadi, shuning uchun biz uni quyidagicha qoldiramiz:

FEDERAL TA'LIM AGENTLIGI

DAVLAT TA'LIM MASSASI

OLIY KASBIY TA'LIM

"VORONEJ DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI"

AGLEBRA VA GEOMETRIYA KAFEDRASI

Kompleks sonlar

(tanlangan vazifalar)

BITIRUVCHI MALAKA ISHI

050201.65 matematika mutaxassisligi

(qo'shimcha ixtisoslik 050202.65 informatika bilan)

Tugallagan: 5-kurs talabasi

fizik va matematik

fakultet

Ilmiy maslahatchi:

VORONEJ - 2008 yil

1.Kirish……………………………………………………...…………..…

2. Kompleks sonlar (tanlangan masalalar)

2.1. Algebraik shakldagi murakkab sonlar………………….….

2.2. Kompleks sonlarning geometrik talqini………………

2.3. Kompleks sonlarning trigonometrik shakli

2.4. Kompleks sonlar nazariyasini 3 va 4-darajali tenglamalarni yechishda qo‘llash……………………………………………………………………

2.5. Kompleks sonlar va parametrlar…………………………………………

3. Xulosa……………………………………………………………………………….

4. Adabiyotlar ro‘yxati……………………………………………………

1.Kirish

Matematika dasturida maktab kursi sonlar nazariyasi natural sonlar, butun sonlar, ratsionallar, irratsionallar to‘plamlariga misollar yordamida kiritiladi, ya’ni. tasvirlari butun son qatorini to'ldiradigan haqiqiy sonlar to'plamida. Ammo 8-sinfda manfiy diskriminant bilan kvadrat tenglamalarni echish uchun haqiqiy sonlar etarli emas. Shuning uchun, haqiqiy sonlar zaxirasini kvadrat ildizi bo'lgan kompleks sonlar yordamida to'ldirish kerak edi. salbiy raqam ma'noga ega.

Bitiruv mavzusi sifatida “Murakkab sonlar” mavzusini tanlash malakali ish, shundan iboratki, kompleks son tushunchasi o‘quvchilarning sanoq sistemalari, ham algebraik, ham geometrik mazmundagi keng toifadagi masalalarni yechish, yechish haqidagi bilimlarini kengaytiradi. algebraik tenglamalar har qanday daraja va parametrlar bilan bog'liq muammolarni hal qilish haqida.

Ushbu dissertatsiya 82 ta muammoning yechimini o'rganadi.

“Murakkab sonlar” bosh bo‘limining birinchi qismida kompleks sonlar bilan algebraik shakldagi masalalar yechimlari berilgan, qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, bo‘lish amallari, algebraik shakldagi kompleks sonlar uchun konjugatsiya amallari, xayoliy birlikning kuchi aniqlanadi. , kompleks sonning moduli, shuningdek, qoida chiqarishni belgilaydi kvadrat ildiz murakkab sondan.

Ikkinchi qismda kompleks tekislikning nuqtalari yoki vektorlari ko'rinishidagi kompleks sonlarni geometrik talqin qilishga doir masalalar yechilgan.

Uchinchi qismda trigonometrik shakldagi kompleks sonlar ustida amallar ko‘rib chiqiladi. Foydalaniladigan formulalar: Moivre va kompleks sonning ildizini olish.

To'rtinchi qism 3 va 4 darajali tenglamalarni echishga bag'ishlangan.

“Murakkab sonlar va parametrlar” oxirgi qismidagi masalalarni yechishda oldingi qismlarda berilgan ma’lumotlardan foydalaniladi va birlashtiriladi. Bobdagi bir qator masalalar parametrli tenglamalar (tengsizliklar) bilan aniqlangan murakkab tekislikdagi chiziqlar oilalarini aniqlashga bag'ishlangan. Mashqlarning bir qismida siz parametrli tenglamalarni echishingiz kerak (C maydonida). Murakkab o'zgaruvchi bir vaqtning o'zida bir qancha shartlarni qondiradigan vazifalar mavjud. Ushbu bo'limdagi masalalarni yechishning o'ziga xos xususiyati ularning ko'pini ikkinchi darajali, irratsional, parametrli trigonometrik tenglamalarni (tengsizliklar, tizimlar) echishga qisqartirishdir.

Har bir qismda materialni taqdim etishning o'ziga xos xususiyati dastlabki kiritishdir nazariy asoslar, va keyinchalik ularni muammolarni hal qilishda amaliy qo'llash.

Oxirida tezis foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati keltirilgan. Ularning aksariyati nazariy materialni etarlicha batafsil va tushunarli tarzda taqdim etadi, ba'zi muammolarning echimlarini ko'rib chiqadi va beradi. amaliy vazifalar mustaqil qaror qabul qilish uchun. Maxsus e'tibor Men quyidagi manbalarga murojaat qilmoqchiman:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Kompleks sonlar va ularning qo‘llanilishi: Darslik. . Material o'quv yordami ma’ruza va amaliy mashg‘ulotlar shaklida taqdim etiladi.

2. Shklyarskiy D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Elementar matematikaning tanlangan masalalari va teoremalari. Arifmetika va algebra. Kitobda algebra, arifmetika va sonlar nazariyasiga oid 320 ta masala bor. Bu topshiriqlar tabiatan standart maktab vazifalaridan sezilarli farq qiladi.

2. Kompleks sonlar (tanlangan masalalar)

2.1. Algebraik shakldagi murakkab sonlar

Matematika va fizikadagi ko'plab muammolarni hal qilish algebraik tenglamalarni echishga to'g'ri keladi, ya'ni. shakldagi tenglamalar

,

bu yerda a0, a1, …, an haqiqiy sonlar. Shuning uchun algebraik tenglamalarni o'rganish shulardan biridir muhim masalalar matematikada. Masalan, bilan kvadrat tenglama salbiy diskriminant. Bunday tenglamalarning eng oddiyi tenglamadir

.

Bu tenglama yechimga ega bo'lishi uchun unga tenglamaning ildizini qo'shish orqali haqiqiy sonlar to'plamini kengaytirish kerak.

.

Keling, bu ildizni bilan belgilaymiz

. Shunday qilib, ta'rifga ko'ra, yoki,

shuning uchun,

. xayoliy birlik deb ataladi. Uning yordami bilan va haqiqiy sonlar juftligi yordamida shaklning ifodasi tuziladi.

Olingan ifoda murakkab sonlar deb ataldi, chunki ularda haqiqiy va xayoliy qismlar mavjud edi.

Demak, kompleks sonlar shaklning ifodasidir

, va haqiqiy sonlar bo'lib, shartni qanoatlantiradigan ma'lum bir belgidir. Raqam kompleks sonning haqiqiy qismi, son esa uning xayoliy qismi deyiladi. Belgilari , ularni belgilash uchun ishlatiladi.

Shaklning murakkab raqamlari

haqiqiy sonlar va shuning uchun kompleks sonlar to'plami haqiqiy sonlar to'plamini o'z ichiga oladi.

Shaklning murakkab raqamlari

sof xayoliy deyiladi. Shaklning ikkita kompleks soni va ularning haqiqiy va xayoliy qismlari teng bo'lsa, teng deyiladi, ya'ni. tenglik bo'lsa,.

Kompleks sonlarning algebraik yozuvi ular ustida algebraning odatiy qoidalariga muvofiq amallarni bajarishga imkon beradi.

Kompleks sonlar bilan muammolarni hal qilish uchun siz asosiy ta'riflarni tushunishingiz kerak. Ushbu sharh maqolasining asosiy maqsadi kompleks sonlar nima ekanligini tushuntirish va kompleks sonlar bilan asosiy muammolarni hal qilish usullarini taqdim etishdir. Shunday qilib, kompleks son shaklning soni deb ataladi z = a + bi, Qayerda a, b- mos ravishda kompleks sonning haqiqiy va xayoliy qismlari deb ataladigan va ifodalovchi haqiqiy sonlar; a = Re(z), b=Im(z).
i xayoliy birlik deb ataladi. i 2 = -1. Xususan, har qanday haqiqiy sonni murakkab deb hisoblash mumkin: a = a + 0i, bu erda a haqiqiy. Agar a = 0 Va b ≠ 0, keyin raqam odatda sof xayoliy deb ataladi.

Endi kompleks sonlar ustida amallar bilan tanishtiramiz.
Ikkita murakkab sonni ko'rib chiqing z 1 = a 1 + b 1 i Va z 2 = a 2 + b 2 i.

Keling, ko'rib chiqaylik z = a + bi.

Kompleks sonlar to'plami haqiqiy sonlar to'plamini kengaytiradi, bu esa o'z navbatida to'plamni kengaytiradi ratsional sonlar va hokazo. Ushbu investitsiyalar zanjirini quyidagi rasmda ko'rish mumkin: N - butun sonlar, Z - butun sonlar, Q - ratsional, R - haqiqiy, C - kompleks.

Kompleks sonlarni ifodalash

Algebraik yozuv.

Kompleks sonni ko'rib chiqing z = a + bi, murakkab sonni yozishning bu shakli deyiladi algebraik. Biz ushbu ro'yxatga olish shaklini oldingi bo'limda batafsil muhokama qildik. Quyidagi vizual chizma juda tez-tez ishlatiladi

Trigonometrik shakl.

Rasmdan ko'rinib turibdiki, raqam z = a + bi boshqacha yozish mumkin. Bu aniq a = rcos(ph), b = rsin(ph), r=|z|, shuning uchun z = rcos(ph) + rsin(ph)i, φ ∈ (-π; π) kompleks sonning argumenti deyiladi. Kompleks sonning bunday ko'rinishi deyiladi trigonometrik shakl. Belgilashning trigonometrik shakli ba'zan juda qulaydir. Masalan, murakkab sonni butun son darajasiga ko'tarish uchun foydalanish qulay, ya'ni agar z = rcos(ph) + rsin(ph)i, Bu z n = r n cos(nph) + r n sin(nph)i, bu formula deyiladi Moivre formulasi.

Ko'rgazmali shakl.

Keling, ko'rib chiqaylik z = rcos(ph) + rsin(ph)i- trigonometrik shakldagi kompleks son, uni boshqa shaklda yozing z = r(cos(ph) + sin(ph)i) = re iph, oxirgi tenglik Eyler formulasidan kelib chiqadi, shuning uchun biz olamiz yangi forma Kompleks sonlarning belgilanishi: z = reiph, deb ataladi indikativ. Belgilanishning ushbu shakli murakkab sonni darajaga ko'tarish uchun ham juda qulaydir: z n = r n e inph, Bu yerga n butun son bo'lishi shart emas, lekin ixtiyoriy haqiqiy son bo'lishi mumkin. Ushbu belgi ko'pincha muammolarni hal qilishda qo'llaniladi.

Oliy algebraning asosiy teoremasi

Tasavvur qilaylik, bizda x 2 + x + 1 = 0 kvadrat tenglama bor. Shubhasiz, bu tenglamaning diskriminanti manfiy va uning haqiqiy ildizlari yo'q, lekin bu tenglama ikki xil murakkab ildizga ega ekanligi ma'lum bo'ldi. Demak, oliy algebraning asosiy teoremasi n darajali har qanday polinom kamida bitta murakkab ildizga ega ekanligini aytadi. Bundan kelib chiqadiki, har qanday n darajali ko'phad, ularning ko'pligini hisobga olgan holda, aynan n ta murakkab ildizga ega. Bu teorema matematikada juda muhim natija bo'lib, keng qo'llaniladi. Bu teoremaning oddiy natijasi shundan iboratki, aynan n ta mavjud turli xil ildizlar birlik darajasi n.

Vazifalarning asosiy turlari

Ushbu bo'lim asosiy turlarni qamrab oladi oddiy vazifalar murakkab sonlarga. An'anaviy ravishda kompleks sonlar bilan bog'liq masalalarni quyidagi toifalarga bo'lish mumkin.

• Kompleks sonlar ustida oddiy arifmetik amallarni bajarish.
• Kompleks sonlardagi ko‘phadlarning ildizlarini topish.
• Kompleks sonlarni kuchga ko'tarish.
• Kompleks sonlardan ildizlarni ajratib olish.
• Boshqa masalalarni yechishda kompleks sonlardan foydalanish.

Endi ko'rib chiqaylik umumiy texnikalar bu muammolarni hal qilish.

Murakkab sonlar bilan eng oddiy arifmetik amallar birinchi bobda tasvirlangan qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi, lekin agar murakkab sonlar trigonometrik yoki eksponensial shakllarda taqdim etilsa, u holda bu holda siz ularni algebraik shaklga aylantirishingiz va ma'lum qoidalarga muvofiq amallarni bajarishingiz mumkin.

Polinomlarning ildizlarini topish odatda kvadrat tenglamaning ildizlarini topishga to'g'ri keladi. Faraz qilaylik, bizda kvadrat tenglama bor, agar uning diskriminanti manfiy bo'lmasa, uning ildizlari haqiqiy bo'ladi va ma'lum formula bo'yicha topilishi mumkin. Diskriminant salbiy bo'lsa, ya'ni D = -1∙a 2, Qayerda a ma'lum son bo'lsa, diskriminant sifatida ifodalanishi mumkin D = (ia) 2, shuning uchun √D = i|a|, va keyin siz foydalanishingiz mumkin taniqli formula kvadrat tenglamaning ildizlari uchun.

Misol. Keling, yuqorida aytib o'tilgan narsalarga qaytaylik. kvadrat tenglama x 2 + x + 1 = 0.
Diskriminant - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Endi biz ildizlarni osongina topishimiz mumkin:

Murakkab raqamlarni kuchlarga ko'tarish bir necha usul bilan amalga oshirilishi mumkin. Agar siz algebraik shakldagi murakkab sonni kichik darajaga (2 yoki 3) oshirishingiz kerak bo'lsa, unda siz buni to'g'ridan-to'g'ri ko'paytirish orqali qilishingiz mumkin, lekin agar quvvat kattaroq bo'lsa (muammolarda u ko'pincha ancha katta bo'lsa), unda siz buni qilishingiz kerak. bu raqamni trigonometrik yoki eksponensial shakllarda yozing va allaqachon ma'lum bo'lgan usullardan foydalaning.

Misol. z = 1 + i ni ko'rib chiqing va uni o'ninchi darajaga ko'taring.
z ni ko‘rsatkichli ko‘rinishda yozamiz: z = √2 e ip/4.
Keyin z 10 = (√2 e ip/4) 10 = 32 e 10ip/4.
Algebraik shaklga qaytaylik: z 10 = -32i.

Murakkab sonlardan ildizlarni chiqarish ko'rsatkichga teskari amaldir va shuning uchun ham xuddi shunday tarzda amalga oshiriladi. Ildizlarni ajratib olish uchun ko'pincha sonni yozishning eksponensial shakli qo'llaniladi.

Misol. 3-darajali birlikning barcha ildizlarini topamiz. Buning uchun z 3 = 1 tenglamaning barcha ildizlarini topamiz, ildizlarini eksponensial shaklda qidiramiz.
Tenglamaga almashtiramiz: r 3 e 3iph = 1 yoki r 3 e 3iph = e 0 .
Demak: r = 1, 3ph = 0 + 2p, shuning uchun ph = 2p/3.
ph = 0, 2p/3, 4p/3 da turli ildizlar olinadi.
Shuning uchun 1, e i2p/3, e i4p/3 ildizdir.
Yoki algebraik shaklda:

Muammolarning oxirgi turi juda ko'p turli xil muammolarni o'z ichiga oladi va ularni hal qilishning umumiy usullari mavjud emas. Mana shunday vazifaning oddiy misoli:

Miqdorini toping gunoh(x) + gunoh(2x) + gunoh(2x) + … + gunoh(nx).

Garchi bu masalani shakllantirish murakkab raqamlarni o'z ichiga olmasa ham, ularning yordami bilan osonlikcha hal qilinadi. Uni hal qilish uchun quyidagi tasvirlar qo'llaniladi:


Agar biz bu tasvirni yig'indiga almashtirsak, muammo odatdagi geometrik progressiyani yig'ish uchun qisqartiriladi.

Xulosa

Kompleks sonlar matematikada keng qo'llaniladi, ushbu sharh maqolasida kompleks sonlar ustidagi asosiy operatsiyalar ko'rib chiqildi, standart masalalarning bir nechta turlari tasvirlangan va qisqacha tavsiflangan. umumiy usullar ularning yechimlari, murakkab sonlarning imkoniyatlarini batafsilroq o'rganish uchun maxsus adabiyotlardan foydalanish tavsiya etiladi.

Adabiyot

Tenglamalardan foydalanish hayotimizda keng tarqalgan. Ular ko'plab hisob-kitoblarda, inshootlarni qurishda va hatto sportda qo'llaniladi. Inson qadim zamonlarda tenglamalardan foydalangan va o'shandan beri ulardan foydalanish faqat ortib bordi. Aniqlik uchun quyidagi muammoni hal qilaylik:

Agar \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] ni hisoblang

Avvalo, bitta raqam algebraik shaklda, ikkinchisi trigonometrik shaklda berilganligiga e'tibor qarataylik. Uni soddalashtirish va quyidagi shaklga keltirish kerak

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

\ iborasida aytilishicha, biz birinchi navbatda Moivre formulasi yordamida ko'paytirish va 10-darajali darajaga ko'taramiz. Bu formula kompleks sonning trigonometrik shakli uchun tuzilgan. Biz olamiz:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Trigonometrik shaklda murakkab sonlarni ko'paytirish qoidalariga rioya qilib, biz quyidagilarni bajaramiz:

Bizning holatda:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

\[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] kasrni to'g'ri qilib, biz 4 burilish \[(8\pi rad.) "burish" mumkin degan xulosaga kelamiz: \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]

Javob: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Ushbu tenglamani boshqa yo'l bilan echish mumkin, bu 2-sonni algebraik shaklga keltirish, so'ngra ko'paytirishni algebraik shaklda bajarish, natijani trigonometrik shaklga aylantirish va Moivre formulasini qo'llash bilan yakunlanadi:

Kompleks sonli tenglamalar tizimini onlayn qayerda yechish mumkin?

Siz bizning https://site saytimizda tenglamalar tizimini echishingiz mumkin. Bepul onlayn hal qiluvchi har qanday murakkablikdagi onlayn tenglamalarni bir necha soniya ichida hal qilish imkonini beradi. Bajarishingiz kerak bo'lgan yagona narsa ma'lumotlaringizni hal qiluvchiga kiritishdir. Shuningdek, bizning veb-saytimizda video ko'rsatmalarini ko'rishingiz va tenglamani qanday echishni o'rganishingiz mumkin. Va agar sizda hali ham savollaringiz bo'lsa, ularni bizning VKontakte guruhimizda http://vk.com/pocketteacher so'rashingiz mumkin. Guruhimizga qo'shiling, biz har doim sizga yordam berishdan xursandmiz.