Xizmat oqimining intensivligi:
1. Yuklanish intensivligi.
r = l t obs = 120 1/60 = 2
Yuklanish intensivligi r=2 xizmat ko'rsatish kanali so'rovlarining kirish va chiqish oqimlarining izchillik darajasini ko'rsatadi va tizimning barqarorligini aniqlaydi. navbat.
3. Kanalning bepul bo'lish ehtimoli(kanalning ishlamay qolgan vaqtining nisbati).
Binobarin, kanalning 12% bir soat ichida ishlamay qoladi, bo'sh vaqt t pr = 7,1 min ga teng.
Xizmat ko'rsatish ehtimoli:
1 kanal band:
p 1 = r 1/1! p 0 = 2 1/1! 0,12 = 0,24
2 ta kanal band:
p 2 = r 2/2! p 0 = 2 2/2! 0,12 = 0,24
3 ta kanal band:
p 3 = r 3/3! p 0 = 2 3/3! 0,12 = 0,16
4. Rad etilgan arizalar nisbati.
Demak, kelib tushgan arizalarning 3 foizi xizmatga qabul qilinmagan.
5. Kiruvchi so'rovlarga xizmat ko'rsatish ehtimoli.
Ishlamay qolgan tizimlarda nosozlik va texnik xizmat ko'rsatish hodisalari to'liq hodisalar guruhini tashkil qiladi, shuning uchun:
p ochiq + p obs = 1
Nisbiy o'tkazuvchanlik: Q = p obs.
p obs = 1 - p ochiq = 1 - 0,0311 = 0,97
Binobarin, kelib tushgan murojaatlarning 97 foiziga xizmat ko‘rsatiladi. Qabul qilinadigan xizmat darajasi 90% dan yuqori bo'lishi kerak.
6. Xizmat egallagan kanallarning o'rtacha soni.
n z = r p obs = 2 0,97 = 1,9 kanal
Bo'sh turgan kanallarning o'rtacha soni.
n pr = n - n z = 3 - 1,9 = 1,1 kanallar
7. Xizmat ko'rsatish kanalining bandlik darajasi.
Shunday qilib, tizim texnik xizmat ko'rsatish bilan 60% band.
8. Mutlaq o'tkazish qobiliyati.
A = p obs l = 0,97 120 = 116,3 so'rov / soat.
.
t pr = p ochiq t obs = 0,0311 0,0166 = 0 soat.
10. Navbatdagi arizalarning o'rtacha soni.
birliklar
(navbatda ariza topshirilishi uchun o'rtacha kutish vaqti). 
soat.
12. Xizmat ko'rsatilgan ilovalarning o'rtacha soni.
L obs = r Q = 2 0,97 = 1,94 birlik.
13. Tizimdagi ilovalarning o'rtacha soni.
L CMO = L och + L obs = 0,51 + 1,94 = 2,45 birlik.
13. Ilovaning CMOda qolishining o'rtacha vaqti.
soat.
Bir soat ichida rad etilgan arizalar soni: l p 1 = soatiga 4 ta ariza.
QS ning nominal unumdorligi: 3 / 0,0166 = soatiga 181 ta ilova.
SMO ning haqiqiy ishlashi: 116,3 / 181 = nominal quvvatning 64%.
Keyinchalik ustuvor sinfdan so'rovlar navbatdagi o'rtacha kutish vaqti uchun quyidagi belgidan foydalanamiz p - Wp, va ushbu sinf talablari uchun tizimda o'tkaziladigan o'rtacha vaqt - Tp:
Biz nisbiy ustuvor tizimlarga e'tibor qaratamiz. Keling, ustuvor sinfdan ma'lum bir so'rov kelgan paytdan boshlab jarayonni ko'rib chiqaylik p. Biz bu talabni yana etiketli deb ataymiz. Belgilangan so'rov uchun kechikishning birinchi komponenti serverga tushadigan so'rov bilan bog'liq. Ushbu komponent boshqa so'rovning qolgan xizmat vaqtiga teng. Keling, ushbu belgini qo'shimcha ravishda belgilaymiz va ishlatamiz, xizmatda boshqa talab mavjudligi bilan bog'liq bo'lgan belgilangan talabning o'rtacha kechikishi. W 0. Qo'shni kelganlar o'rtasidagi vaqt taqsimotini bilish kiritish talablari har bir ustuvor sinf uchun siz har doim bu qiymatni hisoblashingiz mumkin. Har bir sinfning ilovalar oqimi uchun Puasson qonuni haqidagi taxminimiz ostida biz yozishimiz mumkin
.
Belgilangan talabni kutish vaqtining ikkinchi komponenti teglangan talabdan oldin boshqa so'rovlarga xizmat ko'rsatilishi bilan belgilanadi. Keling, sinfdan talablar sonini qo'shimcha ravishda belgilaymiz i, bu navbatdagi belgilangan talabni ushladi (sinfdan p) va undan oldin xizmat ko'rsatadigan Nip. Ushbu raqamning o'rtacha qiymati ushbu kechikish komponentining o'rtacha qiymatini aniqlaydi
Kechikishning uchinchi komponenti yorliqli so'rov kelgandan keyin kelgan, lekin undan oldin xizmat olgan so'rovlar bilan bog'liq. Keling, bunday talablar sonini belgilaylik M ip. Ushbu kechikish komponentining o'rtacha qiymati xuddi shunday topiladi va bo'ladi
Barcha uchta komponentni qo'shib, biz belgilangan so'rov uchun navbatdagi o'rtacha kutish vaqti formula bilan aniqlanishini aniqlaymiz.
Ko'rinib turibdiki, xizmat intizomidan qat'i nazar, talablar soni Nip Va M ip tizimda o'zboshimchalik bilan bo'lishi mumkin emas, shuning uchun har bir ustuvor sinf uchun kechikishlarni o'zaro bog'laydigan muayyan munosabatlar to'plami mavjud. QS uchun bu munosabatlarning ahamiyati ularni MUHAFAQAT QONUNLARI deb atashga imkon beradi. Kechikishlarni saqlash qonunlarining asosi shundaki, har qanday band vaqt oralig'ida har qanday QSda tugallanmagan ish, agar tizim konservativ bo'lsa, xizmat ko'rsatish tartibiga bog'liq emas (tizim ichida talablar yo'qolmaydi va server ishlamay qolsa). navbat bo'sh emas).
Kutish vaqtlarini taqsimlash sezilarli darajada xizmat ko'rsatish tartibiga bog'liq, ammo agar xizmat ko'rsatish intizomi talablarni xizmat muddatidan qat'iy nazar tanlasa (yoki xizmat vaqtiga bog'liq bo'lgan har qanday o'lchov), u holda talablar soni va kutish vaqtining taqsimlanishi. tizim xizmat ko'rsatish tartibiga nisbatan o'zgarmasdir.
M/G/1 tipidagi QS uchun har qanday xizmat intizomi uchun quyidagi muhim tenglikni qondirish kerakligini ko'rsatish mumkin:
Bu tenglik, xizmat intizomi qanchalik murakkab yoki aqlli bo'lishidan qat'i nazar, kutish vaqtlarining vaznli yig'indisi hech qachon o'zgarmasligini anglatadi. Agar ba'zi talablar uchun kechikishni kamaytirish mumkin bo'lsa, boshqalar uchun u darhol ortadi.
Ko'proq ma'lumot uchun umumiy tizim G/G/1 talablarining kelish vaqtini ixtiyoriy taqsimlash bilan saqlanish qonuni shaklda yozilishi mumkin.
.
Bu munosabatning umumiy ma'nosi shundan iboratki, kechikish vaqtlarining vaznli yig'indisi doimiy bo'lib qoladi. Faqat o'ng tomonda o'rtacha bajarilayotgan ish va qolgan xizmat vaqti o'rtasidagi farq bor. Agar kirish oqimining Puasson xarakterini qabul qilsak, bajarilayotgan ish uchun ifoda quyidagicha yozilishi mumkin.
Uni oldingi ifodaga almashtirib, biz darhol M/G/1 tipidagi QS uchun avval berilgan saqlanish qonunini olamiz.
Keling, xizmat ko'rsatish bilan QS uchun o'rtacha kutish vaqtini ustuvorlik funktsiyasi tomonidan belgilangan ustuvorlik tartibida hisoblashni ko'rib chiqaylik.
1-rasmda bunday xizmat intizomiga ega QSning ishlash diagrammasi ko'rsatilgan: kiruvchi so'rov so'rovning chap tomonida teng yoki kattaroq ustuvorlikka ega.
Guruch. Ustivor xizmatga ega 1 ta CMO.
uchun formuladan foydalanamiz Wp. Faoliyat mexanizmiga asoslanib, biz darhol yozishimiz mumkin
Belgilangan ustuvorlikdan yuqori bo'lgan barcha so'rovlarga avvalroq xizmat ko'rsatiladi. Little formulasidan sinf talablari soni i navbatda teng bo'ladi:
Tizimga tegli soʻrovdan soʻng u navbatda turganda kiradigan ustuvorroq sinflarning soʻrovlariga ham undan oldin xizmat koʻrsatiladi. Belgilangan talab o'rtacha navbatda bo'lgani uchun Wp soniya, keyin bunday so'rovlar soni teng bo'ladi
To'g'ridan-to'g'ri formuladan (*) biz quyidagilarni olamiz:
dan boshlab bu tenglamalar tizimini rekursiv yechish mumkin W 1, W 2 va hokazo.
Olingan formula barcha ustuvor sinflar uchun xizmat ko'rsatish sifatini hisoblash imkonini beradi. 7.2-rasmda. Har bir ustuvor sinf uchun so'rovlar oqimining teng intensivligi va har bir sinf so'rovlari uchun teng o'rtacha xizmat vaqti bilan beshta ustuvor sinfga ega QS uchun navbatda kutish vaqtining normallashtirilgan qiymati qanday o'zgarishini ko'rsatadi (pastki rasmda past darajadagi egri chiziqlar ko'rsatilgan. yuk qiymatlari).
2-rasm.Nisbiy ustuvorliklar holatida ustuvorlik tartibida xizmat ko'rsatish (P=5, l P = l/5, ).
Maxsus vazifa - kutish vaqtini taqsimlash qonuniyatlarini aniqlash.
Keling, mutlaq ustuvorliklarga ega tizimni va qo'shimcha xizmat bilan ustuvorlik tartibida xizmat ko'rsatishni ko'rib chiqaylik. Keling, yuqorida muhokama qilinganga to'liq o'xshash yondashuvdan foydalanamiz. Belgilangan talablar tizimidagi o'rtacha kechikish ham uchta komponentdan iborat: birinchi komponent - o'rtacha xizmat ko'rsatish vaqti, ikkinchisi - tizimda topilgan teglangan talabga teng yoki undan yuqori ustuvorlikdagi so'rovlarga xizmat ko'rsatish bilan bog'liq kechikish. Belgilangan talabning o'rtacha kechikishining uchinchi komponenti - bu belgilangan talabni tark etishdan oldin tizimga kiradigan va qat'iy yuqoriroq ustuvorlikka ega bo'lgan har qanday so'rovlar tufayli kechikish. Tizimda o'tkaziladigan umumiy vaqtning barcha uchta komponentini tavsiflab, biz qo'lga kiritamiz
.
Juda qiziqarli vazifa - bu ilovalar uchun ustuvorliklarni tanlash. turli sinflar. Saqlash qonuni amal qilganligi sababli, optimallashtirish faqat talablar sinfining ba'zi qo'shimcha atributlarini hisobga olgan holda mantiqiy bo'ladi. Faraz qilaylik, p ustuvorlik toifasini qo'llash kechikishining har bir soniyasi qandaydir narxda baholanishi mumkin C p. Keyin tizim uchun kechikishning o'rtacha narxini tizimda mavjud bo'lgan har bir sinfning so'rovlarining o'rtacha soni bilan ifodalash mumkin.
Keling, o'rtacha kechikish narxini minimallashtiradigan M/G/1 tizimi uchun nisbiy ustuvorliklarga ega xizmat ko'rsatish intizomini topish muammosini hal qilaylik. C. Bo'lsin P ma'lum bir kelish tezligi va o'rtacha xizmat muddati bilan so'rovlarning ustuvor sinflari. ga o'tamiz chap tomoni doimiy summa va ifoda o'ng tomoni ma'lum parametrlar orqali
Vazifa - tegishli xizmat intizomini tanlash orqali ushbu tenglikning o'ng tomonidagi summani minimallashtirish, ya'ni. indeks ketma-ketligini tanlash p.
belgilaylik
Ushbu belgida muammo quyidagicha ko'rinadi: biz tegishli mahsulotlar yig'indisini minimallashtirishimiz kerak
Funktsiyalar yig'indisining mustaqilligi sharti g p xizmat intizomini tanlash saqlanish qonuni bilan belgilanadi. Boshqacha qilib aytganda, muammo ikkita funktsiya mahsulotining egri chizig'i ostidagi maydonni minimallashtirishdan iborat bo'lib, ulardan birining egri chizig'i ostidagi maydon doimiy bo'lishi kerak.
Yechim birinchi navbatda qiymatlar ketma-ketligini tartibga solishdir f p: 
.
Va keyin biz har birini tanlaymiz f p uning ma'nosi g p, shuning uchun ularning mahsulotlari yig'indisini minimallashtirish. Bu intuitiv ravishda aniq optimal strategiya tanlash tanlashdan iborat eng past qiymat g p eng buyuk uchun f p, keyin qolgan qiymatlar uchun xuddi shu tarzda davom etishingiz kerak. Chunki g p=W p r p, keyin minimallashtirish o'rtacha kechikish qiymatlarini minimallashtirishga tushadi. Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan optimallashtirish muammosining echimi nisbiy ustuvorlikka ega bo'lgan barcha mumkin bo'lgan xizmat ko'rsatish fanlari orasida minimal o'rtacha xarajat tengsizliklarga muvofiq tartiblangan ustuvorliklarga ega bo'lgan intizom tomonidan ta'minlanadi.
.
Agar barcha kanallar band bo'lgan so'rov navbatga tushib, ba'zi kanallar bo'sh qolguncha kutib tursa, navbatda turish tizimi kutish tizimi deb ataladi.
Agar navbatdagi arizani kutish vaqti cheksiz bo'lsa, tizim "sof kutish tizimi" deb ataladi. Agar u ma'lum shartlar bilan cheklangan bo'lsa, u holda tizim "aralash tipdagi tizim" deb ataladi. Bu nosozliklar bilan sof tizim va kutish bilan sof tizim o'rtasidagi oraliq holat.
Amaliyot uchun bu eng katta qiziqish uyg'otadigan aralash turdagi tizimlar.
Kutishda cheklovlar bo'lishi mumkin har xil turlari. Ko'pincha navbatdagi arizani kutish vaqtiga cheklov qo'yiladi; u qat'iy belgilangan yoki tasodifiy bo'lishi mumkin bo'lgan ma'lum bir davr bilan yuqoridan cheklangan deb hisoblanadi. Bunday holda, faqat navbatda kutish vaqti cheklangan va boshlangan xizmat, kutish qancha davom etganidan qat'i nazar, yakunlanadi (masalan, sartaroshxonadagi mijoz stulga o'tirib, odatda o'tirmaydi. xizmat tugaguniga qadar ta'til). Boshqa muammolarda, navbatda kutish vaqtiga emas, balki so'rov tizimda qoladigan umumiy vaqtga cheklov qo'yish tabiiyroqdir (masalan, havo nishoni o'q otish zonasida faqat cheklangan vaqt qolishi mumkin). va otishma tugaganmi yoki yo'qligidan qat'iy nazar uni qoldiradi). Nihoyat, biz bunday aralash tizimni (bu muhim bo'lmagan narsalarni sotadigan savdo korxonalari turiga eng yaqin) ko'rib chiqishimiz mumkin, agar ariza navbat uzunligi unchalik uzoq bo'lmasa, navbatga kiradi. Bu erda navbatdagi arizalar soniga cheklov qo'yiladi.
Kutish tizimlarida "navbat intizomi" muhim rol o'ynaydi. Kutilayotgan ilovalar xizmatga birinchi kelganda, birinchi navbatda (erta kelganlar birinchi bo'lib xizmat ko'rsatiladi) yoki tasodifiy, uyushmagan tarzda chaqirilishi mumkin. "Afzalliklarga ega" navbat tizimlari mavjud bo'lib, ularda ba'zi so'rovlar boshqalardan ko'ra ustunlik bilan amalga oshiriladi ("generallar va polkovniklar navbatsiz").
Kutish tizimining har bir turi o'ziga xos xususiyatlarga ega va matematik nazariya. Ularning ko'plari, masalan, V.V. Gnedenkoning "Navbat nazariyasi bo'yicha ma'ruzalar" kitobida tasvirlangan.
Bu erda biz faqat aralash tizimning eng oddiy holatiga to'xtalamiz, bu esa nosozliklar bo'lgan tizim uchun Erlang muammosining tabiiy umumlashtirilishi hisoblanadi. Bu holatda biz Erlang tenglamalariga o'xshash differensial tenglamalar va Erlang formulalariga o'xshash barqaror holatdagi holatlar ehtimoli uchun formulalarni olamiz.
Keling, kanallari bilan aralash navbat tizimini ko'rib chiqaylik quyidagi shartlar. Tizim kiritish zichligi bilan oddiy so'rovlar oqimini oladi. Bitta so'rov uchun xizmat ko'rsatish vaqti parametr bilan ko'rsatilgan. Barcha kanallarni band deb topadigan so'rov navbatga qo'yiladi va xizmatni kutadi; kutish vaqti ma'lum bir muddat bilan cheklangan; Agar ushbu muddat tugagunga qadar ariza xizmat ko'rsatish uchun qabul qilinmasa, u navbatdan chiqadi va xizmat ko'rsatmasdan qoladi. Kutish davri tasodifiy hisoblanadi va eksponensial qonunga muvofiq taqsimlanadi
bu erda parametr o'rtacha kutish vaqtiga teskari:
; 
.
Parametr so'rov oqimi va "bo'shatish oqimi" parametrlariga to'liq o'xshaydi. Buni navbatda turgan arizaning "ketish oqimi" zichligi sifatida talqin qilish mumkin. Haqiqatan ham, navbatga qo'shilishdan boshqa hech narsa qilmaydigan dasturni tasavvur qilaylik va kutish muddati tugaguncha kuting, shundan so'ng u chiqib ketadi va darhol yana navbatga qo'shiladi. Keyin navbatdan bunday arizaning "ketish oqimi" ning zichligiga ega bo'ladi.
Shubhasiz, aralash turdagi tizim nosozliklar bilan sof tizimga aylanganda; kutish bilan sof tizimga aylanganda.
E'tibor bering, kutish vaqtining eksponensial taqsimot qonuni bilan tizim sig'imi ilovalarning navbatda yoki tasodifiy tartibda xizmat ko'rsatilishiga bog'liq emas: har bir dastur uchun qolgan kutish vaqti uchun tarqatish qonuni qancha vaqtga bog'liq emas. ilova allaqachon navbatda turgan.
Tizimning holatini o'zgartirishga olib keladigan barcha hodisalar oqimining Puasson tabiati farazi tufayli unda sodir bo'ladigan jarayon Markovian bo'ladi. Tizim holatlarining ehtimolliklari uchun tenglamalar yozamiz. Buning uchun, birinchi navbatda, biz ushbu davlatlarni sanab o'tamiz. Biz ularni ishg'ol qilingan kanallar soni bo'yicha emas, balki tizim bilan bog'liq ilovalar soni bo'yicha raqamlaymiz. Agar so'rov texnik xizmat ko'rsatish holatida bo'lsa yoki navbatda turgan bo'lsa, biz uni "tizim bilan bog'liq" deb nomlaymiz. Mumkin bo'lgan tizim holatlari:
Hech bir kanal band emas (navbat yo'q),
Aynan bitta kanal band (navbat yo'q),
Aynan kanallar band (navbat yo'q),
Barcha kanallar band (navbat yo'q),
Barcha kanallar band, bitta ilova navbatda,
Barcha kanallar band, ilovalar navbatda,
Bizning sharoitimizda navbatda turgan arizalar soni istalgancha ko'p bo'lishi mumkin. Shunday qilib, tizim cheksiz (hisoblash mumkin bo'lsa ham) holatlar to'plamiga ega. Shunga ko'ra, uni tavsiflovchilar soni differensial tenglamalar ham cheksiz bo'ladi.
Shubhasiz, birinchi differentsial tenglamalar tegishli Erlang tenglamalaridan hech qanday farq qilmaydi:
Yangi tenglamalar va Erlang tenglamalari orasidagi farq dan boshlanadi. Haqiqatan ham, muvaffaqiyatsizlikka uchragan tizim faqat davlatdan davlatga o'tishi mumkin; Kutish tizimiga kelsak, u davlatga nafaqat dan, balki dan ham borishi mumkin (barcha kanallar band, bitta so'rov navbatda).
uchun differensial tenglama tuzamiz. Keling, lahzani tuzatamiz va tizimning hozirgi holatda bo'lish ehtimolini topamiz. Buni uchta usulda amalga oshirish mumkin:
1) hozirgi vaqtda tizim allaqachon holatda edi, lekin vaqt davomida u undan chiqmadi (birorta ham so'rov kelib tushmadi va kanallarning hech biri bepul bo'lmadi);
2) hozirgi vaqtda tizim holatda edi va vaqt o'tishi bilan u holatga o'tdi (bitta so'rov keldi);
3) hozirgi vaqtda tizim bir holatda edi (barcha kanallar band, bitta so'rov navbatda) va u o'tgan vaqt davomida (yoki bitta kanal bo'shab qoldi va navbatda turgan so'rov uni egalladi yoki muddat tugashi munosabati bilan qolgan navbatda turgan so'rov).
Keling, har qanday lahza uchun hozirda barcha kanallar band bo'lish ehtimoli va navbatdagi ilovalar soni aniq bo'lishini hisoblaylik. Ushbu hodisa yana uchta yo'l bilan sodir bo'lishi mumkin:
1) hozirda tizim allaqachon holatda edi va shu vaqt ichida bu holat o'zgarmadi (bu birorta ham ariza kelib tushmaganini, bitta tomchi chiqarilmaganligini va navbatda turgan ilovalarning birortasini ham bildirmaydi. chap);
2) hozirgi vaqtda tizim holatda edi va vaqt o'tishi bilan u holatga o'tdi (ya'ni, bitta so'rov keldi);
3) hozirgi vaqtda tizim holatda edi va u holatga o'tgan vaqt ichida (buning uchun kanallardan biri bo'sh bo'lishi kerak, keyin navbatda turgan ilovalardan biri uni oladi yoki bittasi Navbatda turgan arizalar muddat tugashi munosabati bilan chiqib ketishi kerak ).
Demak:
Shunday qilib, biz davlat ehtimollik tizimini qo'lga kiritdik cheksiz son Differensial tenglamalar:
(19.10.1)
Tenglamalar (19.10.1) - bu Erlang tenglamalarini kutish vaqti cheklangan aralash tipdagi tizim holatiga tabiiy umumlashtirish. Ushbu tenglamalardagi parametrlar doimiy yoki o'zgaruvchan bo'lishi mumkin. Tizimni (19.10.1) integratsiyalashganda shuni hisobga olish kerakki, nazariy jihatdan tizimning mumkin bo'lgan holatlari soni cheksiz bo'lsa-da, amalda ular ortib borishi bilan ehtimollar ahamiyatsiz bo'lib qoladi va mos keladigan tenglamalarni bekor qilish mumkin.
Turg'un holatdagi xizmat ko'rsatish rejimida (da) tizim holatlarining ehtimolliklari uchun Erlang formulalariga o'xshash formulalarni chiqaramiz. (19.10.1) tenglamalardan barcha konstantalar va barcha hosilalarni nolga teng deb hisoblab, tizimni olamiz. algebraik tenglamalar:
(19.10.2)
Siz ularga shart qo'shishingiz kerak:
Tizimga yechim topamiz (19.10.2).
Buning uchun biz nosozliklar bo'lgan tizimda qo'llagan usulimizni qo'llaymiz: keling, birinchi tenglamani nisbatan yechib, uni ikkinchisiga almashtiramiz va hokazo. Har qanday , nosozliklar bo'lgan tizimdagi kabi olamiz:
uchun tenglamalarga o'tamiz 
. Xuddi shu tarzda biz quyidagilarni olamiz:
,
,
va umuman, har qanday uchun
. (19.10.5)
Har ikkala formula (19.10.4) va (19.10.5) omil sifatida ehtimollikni o'z ichiga oladi. (19.10.3) shartdan aniqlaymiz. (19.10.4) va (19.10.5) iboralarni va uning o'rniga qo'yib, biz quyidagilarni olamiz:
,
. (19.10.6)
Keling, (19.10.4), (19.10.5) va (19.10.6) ifodalarni o'zgartiramiz, ularga zichliklar o'rniga "kamaytirilgan" zichliklarni kiritamiz:
(19.10.7)
Parametrlar va mos ravishda, bitta ariza uchun o'rtacha xizmat vaqti uchun navbatda turgan arizaning o'rtacha soni va jo'nab ketishlarining o'rtacha sonini ifodalaydi.
Yangi yozuvda (19.10.4), (19.10.5) va (19.10.6) formulalar quyidagi shaklda bo'ladi:
; (19.10.9)
. (19.10.10)
(19.10.10) ni (19.10.8) va (19.10.9) o'rniga qo'yib, tizim holatlari ehtimoli uchun yakuniy ifodalarni olamiz:
; (19.10.11)
. (19.10.12)
Tizimning barcha holatlarining ehtimolini bilib, bizni qiziqtirgan boshqa xususiyatlarni, xususan, so'rovning tizimni xizmat qilmasdan qoldirish ehtimolini osongina aniqlashimiz mumkin. Buni quyidagi mulohazalar asosida aniqlaymiz: barqaror holatda, dasturning tizimni xizmat ko'rsatmasdan qoldirish ehtimoli vaqt birligida navbatdan chiqib ketgan ilovalarning o'rtacha sonining kelgan ilovalarning o'rtacha soniga nisbatidan boshqa narsa emas. vaqt birligi uchun. Vaqt birligi uchun navbatdan chiqayotgan ilovalarning o‘rtacha sonini topamiz. Buning uchun birinchi navbatda navbatdagi ilovalar sonining matematik kutilishini hisoblaymiz:
. (19.10.13)
Olish uchun siz bitta dasturning o'rtacha "ketish zichligi" ni ko'paytirishingiz va ilovalarning o'rtacha zichligiga bo'lishingiz kerak, ya'ni koeffitsientga ko'paytirishingiz kerak.
Keling, n-kanalning (n > 1) kutish bilan QS ishlashini o'rganamiz, uning kiritilishi so'rovlarning eng oddiy oqimini oladi. P kiritish intensivlik bilan. Har bir kanalning xizmat oqimi ham µ intensivligi bilan eng oddiy deb hisoblanadi. Navbat uzunligi bo'yicha hech qanday cheklovlar yo'q, lekin navbatdagi har bir ariza uchun kutish vaqti tasodifiy davr bilan cheklangan T salqin o'rtacha qiymatga ega, shundan so'ng so'rov tizimni xizmat ko'rsatmasdan qoldiradi. Vaqt oralig'i T salqin har qanday musbat qiymatni qabul qila oladigan uzluksiz tasodifiy miqdor va matematik kutish qaysi.
Agar bu oqim Puasson bo'lsa, QSda sodir bo'ladigan jarayon Markovian bo'ladi.
Bunday tizimlar amaliyotda tez-tez uchrab turadi. Ular ba'zan "ishtiyoqli" taklif tizimlari deb ataladi.
QS holatlarini tizimdagi, ham xizmat ko'rsatilayotgan, ham navbatda turgan ilovalar soniga qarab raqamlaymiz: S k (k = 0,1,…n) - k xizmat ko'rsatilayotgan ilovalar (k kanallar band, navbat yo'q), S n+r (r = 1,2,…) - n Xizmat ko'rsatilayotgan ilovalar (barchasi n kanallar band) va r ilovalar navbatda.
Shunday qilib, QS cheksiz sonli holatlardan birida bo'lishi mumkin.
Belgilangan holat grafigi rasmda ko'rsatilgan. 1.
Guruch. 1.
QS bir xil kiruvchi ilovalar oqimi ta'sirida chapdan o'ngga davlatdan shtatga o'tadi P kiritish intensivlik bilan. Binobarin, bu o'tishlarning ehtimollik zichligi
k-1,k =, k = 1,2,… (1)
QSning davlatdan navbatsiz o'tishi S k , k = 1,…,n, chapga ulashgan davlatga S k-1 , (k = 1,…,n)(bunda ham navbat bo'lmaydi) band kanallarning k xizmat oqimidan iborat jami oqim ta'sirida sodir bo'ladi, uning intensivligi yig'ilgan xizmat oqimlari intensivliklarining yig'indisiga teng bo'ladi. kµ. Shuning uchun, s n holatidan s 0 holatiga chap tomondagi strelkalar ostida o'tish ehtimoli zichligi ko'rsatilgan.
k,k-1 =kµ, k = 1,…,n (2)
Tizimda navbat bor holatda S n+r , r = 1,2,…, jami oqim amalda - n xizmat oqimining superpozitsiyasi natijasi va r g'amxo'rlik oqimlari. Shuning uchun umumiy oqimning intensivligi komponent oqimlarining intensivliklari yig'indisiga teng. nµ+rsh. Ushbu umumiy oqim QS ning holatdan o'ngdan chapga o'tishini hosil qiladi S n+r ,(r = 1,2,…) o'rtacha S n+r-1 ,(r = 1,2,…) va shunday
k,k-1 =nµ+(k-n)sh, k =n+1,n+2,… (3)
Shunday qilib, (2) va (3) ni hisobga olgan holda tizimning o'ngdan chapga o'tish ehtimoli zichligi birlashtirilgan shaklda yozilishi mumkin.
Grafikning tuzilishi QSda sodir bo'ladigan jarayon o'lim va ko'payish jarayoni ekanligini ko'rsatadi.
Formulada k=1,…,n+m o‘rniga (1) va (4) ni qo‘yaylik
Keling, jo'nab ketish oqimining pasaytirilgan intensivligi deb atash mumkin bo'lgan va bitta dasturga xizmat ko'rsatishning o'rtacha vaqti uchun xizmat ko'rsatilmagan ilovalarning navbatdan chiqib ketishlarning o'rtacha sonini ko'rsatadigan qiymatni kiritaylik. (5) ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:
Ko'rib chiqilayotgan QSda navbat uzunligi bo'yicha cheklovlar yo'qligi sababli, kiruvchi oqimda olingan ariza qabul qilinadi; tizimga, ya'ni. Ariza tizim tomonidan rad etilmaydi. Shuning uchun, "sabrsiz" ilovalarga ega QS uchun tizimga qabul qilish ehtimoli p opa-singil =1, va tizimga qabul qilishdan bosh tortish ehtimoli p ochiq =0 . "Tizimga qabul qilinmaslik" tushunchasini "xizmat ko'rsatishni rad etish" tushunchasi bilan aralashtirib yubormaslik kerak, chunki "sabrsizlik" tufayli tizimga qabul qilingan (qabul qilingan) har bir arizaga xizmat ko'rsatilmaydi. Shunday qilib, dasturning navbatdan chiqib ketish ehtimoli haqida gapirish mantiqan p xy va ariza taqdim etilishi ehtimoli, p haqida. Shu bilan birga, ehtimollik p haqida nisbiy o‘tkazuvchanlikni ifodalaydi Q Va p xy =1- p haqida .
Navbatdagi ilovalarning o'rtacha sonini hisoblaylik. Buning uchun diskret tasodifiy miqdorni ko'rib chiqing N juda yaxshi navbatdagi ilovalar sonini ifodalaydi. Tasodifiy o'zgaruvchi N juda yaxshi har qanday manfiy bo'lmagan butun qiymatni qabul qilishi mumkin va uning taqsimot qonuni shaklga ega
|
N juda yaxshi |
||||||
|
p n+1 |
p n+2 |
p n+r |
Qayerda p= p 0 +p 1 +…+ p n. Demak,
yoki bu yerga (7) ni almashtirsak, olamiz
Navbatdagi har bir so'rov intensivligi bilan "ketish" Pooh oqimiga bo'ysunadi. Ilovalardan tashkil topgan o'rtacha navbat "ketish" oqimlaridan iborat va intensivlikka ega bo'lgan umumiy oqimga bo'ysunadi. Bu shuni anglatadiki, navbatda turgan o‘rtacha arizalar sonidan o‘rtacha vaqt birligidagi arizalar xizmat ko‘rsatishni kutmasdan chiqib ketadi, qolgan murojaatlarga esa xizmat ko‘rsatiladi. Binobarin, vaqt birligiga xizmat ko'rsatadigan ilovalarning o'rtacha soni, ya'ni. QS ning mutlaq sig'imi
Keyin, nisbiy imkoniyatlarning ta'rifiga ko'ra,
Q = A/ = (-)/ = 1 - (w/),
Bu erda u/ = kiruvchi oqimdagi ikkita qo'shni ilovalarning kelishi o'rtasidagi o'rtacha vaqt uchun xizmat ko'rsatilmagan ilovalarning navbatdan chiqib ketishlarning o'rtacha sonini ko'rsatadi. P kiritish .
Band bo'lgan kanallarning o'rtacha soni (xizmat ko'rsatilayotgan so'rovlarning o'rtacha soni) A mutlaq sig'imining bitta kanalning ishlashiga nisbati sifatida olinishi mumkin m. Tenglikdan (11) foydalanib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
Band bo'lgan kanallarning o'rtacha sonini navbatdagi so'rovlarning o'rtacha sonidan mustaqil ravishda hisoblash mumkin, ya'ni diskretning matematik taxmini sifatida. tasodifiy o'zgaruvchi TO, taqsimlash qonuni shaklga ega bo'lgan ishg'ol qilingan kanallar sonini ifodalaydi
|
p 0 |
p 1 |
p 2 |
p n-1 |
Qayerda p = p n +p n+1 +…+ p n+1+…. Lekin hamma n ta kanal band bo‘lgan hodisa n ta kanal band bo‘lmagan hodisaga qarama-qarshi bo‘lgani uchun, ehtimol oxirgi voqea ga teng
p 0 +p 1 +p 2 +…+ p n-1, Bu p = 1 - (p 0 +p 1 +p 2 +…+ p n-1) .
Ammo keyin (11) dan biz quyidagilarni olamiz:
(11) va (13) formulalardan foydalanib, biz tizimdagi ilovalarning o'rtacha soni uchun formulani olamiz:
Navbatdagi ariza uchun o'rtacha kutish vaqti formulasini chiqaramiz. Bu arizaning navbatda turish muddatini cheklovchi berilgan o'rtacha vaqtga bog'liq bo'ladi, buning uchun yoki
yoki bo'ladi natural son i > 2 shunday
Tengsizliklarni (14) va (15) ga ko'paytirsak, mos ravishda tengsizliklarni olamiz.
Keling, (14) holatni va tizimning holatda ekanligidan iborat nomuvofiq farazlarni ko'rib chiqaylik. Ushbu gipotezalarning ehtimolliklari
Agar ariza CMO tomonidan gipothet.e ostida qabul qilingan bo'lsa. tizim har birida barcha kanallar band bo'lmagan shtatlardan birida bo'lsa, so'rov navbatda kutishga majbur bo'lmaydi - u darhol bepul kanal xizmatiga tushadi. Shuning uchun, gipoteza bo'yicha navbatdagi arizani kutish vaqtining tasodifiy qiymatining shartli matematik kutilishi, ya'ni gipoteza bo'yicha navbatdagi arizani kutish vaqti nolga teng:
Agar dastur gipothet.e ostida tizimga kirsa. QS hamma narsa bo'lgan shtatlardan birida bo'lganda n k-p ilovalar (agar Kimga= n navbatda hech qanday ilovalar yo'q), keyin birini chiqarish uchun o'rtacha vaqt n band kanallar teng, va o'rtacha xizmat vaqti k-p Tizimda qabul qilingan arizadan oldin navbatda turgan ilovalar tengdir. Shuning uchun, kiruvchi arizaga xizmat ko'rsatish uchun navbat uchun zarur bo'lgan o'rtacha vaqt tengdir, chunki to'g'ri tengsizlik tufayli (14).
Shunday qilib, tizimga qabul qilingan arizani xizmatga qabul qilish uchun talab qilinadigan o'rtacha vaqt, arizaning navbatda turishini cheklovchi vaqtdan kattaroqdir. Shu sababli, qabul qilingan ariza o'rtacha vaqtga navbatda kechiktiriladi va tizimga xizmat ko'rsatmasdan qoladi. Binobarin, gipoteza ostidagi qiymatni shartli matematik kutish
Endi (15) holatda bir xil farazlarni ko'rib chiqing. Bunda (16) tenglik ham amal qiladi.
Agar dastur gipotezalardan biri bo'yicha tizimga kirsa, ya'ni QS barcha mavjud bo'lgan holatlardan birida bo'lsa. n kanallar band va qabul qilingan ariza oldida allaqachon navbatlar mavjud k-p ilovalar (agar Kimga- n navbatda hech qanday so'rov yo'q), keyin, xuddi (14) holatda bo'lgani kabi, ushbu so'rovning xizmatga kelishi uchun talab qilinadigan o'rtacha vaqt so'rovning qolish muddatini cheklashga teng. Shunday qilib, qandaydir tarzda, chap tengsizlik tufayli (15),
Shunday qilib, tizimga kirgan arizani xizmat ko'rsatish uchun qabul qilish uchun talab qilinadigan o'rtacha vaqt arizaning navbatda turishini cheklaydigan o'rtacha vaqtdan oshmaydi. Shuning uchun qabul qilingan ariza navbatni tark etmaydi va xizmatga qabul qilinishini kutadi, navbatda kutish uchun o'rtacha vaqtni sarflaydi, shuning uchun gipoteza bo'yicha tasodifiy o'zgaruvchan T ochning shartli matematik kutilishi
Endi dastur gipotezalardan biri ostida tizimga kirsin N yu k = n+i- ya'ni, QS shtatlardan birida bo'lganida ..., unda hamma narsa n kanallar band va allaqachon navbatda k-p ilovalar. Chunki bu tengsizlikdan (15):
va shuning uchun kiruvchi dastur o'rtacha vaqt uchun navbatda kechiktiriladi, shuning uchun gipoteza ostida tasodifiy o'zgaruvchan T ochning shartli matematik kutilishi
Umumiy matematik kutish formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
(15) holatda, qabul qilingan ariza xizmat ko'rsatish uchun qabul qilinadi, agar uni qabul qilish vaqtida QS shtatlardan birida bo'lsa, u holda arizaga xizmat ko'rsatish ehtimoli.
/ = 1 bo'lsa, (25) formula (24) ga aylanadi, shuning uchun xizmat ko'rsatish ehtimoli uchun biz bitta formulani yozishimiz mumkin:
Xizmat ko'rsatish ehtimolini bilib, so'rovning xizmat ko'rsatilmagan navbatdan chiqib ketish ehtimolini hisoblashingiz mumkin:
Ilovaning tizimda qolishi o'rtacha vaqtini formuladan foydalanib hisoblash mumkin
formula bo'yicha hisoblash mumkin bo'lgan, xizmat ko'rsatilgan va navbatdan chiqqan barcha ilovalarga tegishli bitta dastur uchun o'rtacha xizmat muddati qayerda?
6. Navbat tizimlari modelini qurish va tahlil qilish
QS dan navbat uzunligi bo'yicha cheklovsiz, lekin navbatda kutish vaqtini cheklash bilan foydalanishning amaliy muammosini ko'rib chiqaylik.
To‘xtovsiz parvozlar ko‘lamini ko‘paytirish maqsadida samolyotlarga havoda yoqilg‘i quyiladi. Yoqilg'i quyish hududida ikkita yonilg'i quyish samolyoti doimiy ravishda navbatchilik qiladi. Bitta samolyotga yonilg'i quyish o'rtacha 10 daqiqa davom etadi. Agar ikkala yonilg'i quyish samolyoti ham band bo'lsa, yonilg'i quyishga muhtoj bo'lgan samolyot bir muncha vaqt "kutishi" mumkin (yoqilg'i quyish joyida aylana bo'ylab uchishi). O'rtacha kutish vaqti 20 daqiqa. Yoqilg‘i quyishni kutmagan samolyot muqobil aeroportga qo‘nishga majbur. Parvozlarning intensivligi shundan iboratki, har 1 soatda yoqilg'i quyish hududiga o'rtacha 12 ta samolyot keladi. Belgilang:
Samolyotga yonilg'i quyish ehtimoli.
Yoqilg'i quyuvchilarning o'rtacha soni.
Navbatdagi samolyotlarning o'rtacha soni.
Xizmat ko'rsatayotgan samolyotlarning o'rtacha soni.
Quyidagi kirish parametrlari ko'rsatilgan bo'lsa, ushbu QS samaradorligining asosiy xususiyatlarini hisoblash kerak:
- · xizmat ko'rsatish kanallari soni;
- · kiruvchi arizalar oqimining intensivligi;
- · xizmatlar oqimining intensivligi;
- · arizalarning navbatda turishini cheklovchi o'rtacha vaqt.
Savol QS ko'p kanalli tizim navbat uzunligi bo'yicha cheklovsiz, lekin kutish vaqti chegarasi bilan navbatga turish. Kanallar soni, kiruvchi so‘rovlar oqimining intensivligi, xizmat ko‘rsatish oqimining intensivligi va navbatdagi o‘rinlar soni ko‘rsatilgan.
Ushbu QSda har bir kanal har bir vaqtda bitta so'rovga xizmat qiladi. Agar yangi so'rovni olish vaqtida kamida bitta kanal bepul bo'lsa, so'rovlar bo'lmasa, kirish so'rovi xizmat ko'rsatish uchun qabul qilinadi, u holda tizim ishlamay qoladi.
Keling, so'rov kelib tushganda, barcha kanallar band bo'lganda nima bo'lishini aniqlaylik - u navbatga tushib, kanallardan biri bo'sh bo'lishini kutadi. Agar arizani qabul qilish vaqtida navbatdagi barcha o'rinlar band bo'lsa, bu dastur tizimni tark etadi.
QS faoliyati samaradorligi mezonlari:
- · Tizimning ishlamay qolish ehtimoli;
- · Tizimning ishdan chiqishi ehtimoli;
- · Nisbiy o'tkazish qobiliyati.
- · Ilovaning navbatda turgan o'rtacha vaqti.
Ushbu tizim "sabrsiz" so'rovlar bilan ko'p kanalli QS sifatida modellashtirilgan.
Tizim parametrlari:
xizmat ko'rsatish kanallari soni n=2;
kiruvchi ilovalar oqimining intensivligi = 12 (samolyotlar soatiga);
xizmat oqimining intensivligi m = 6(samolyotlar soatiga);
qo'llashning navbatda turishini cheklovchi o'rtacha vaqt, shuning uchun jo'nab ketish oqimining intensivligi = 1/= 3 (samolyot) soatiga.
Hisob-kitoblar Turbo Paskalda ishlab chiqilgan dastur yordamida amalga oshirildi. Turbo-Paskal tili eng keng tarqalgan kompyuter dasturlash tillaridan biridir. Turbo-Paskal tilining muhim afzalliklari kompilyatorning kichik hajmini o'z ichiga oladi. yuqori tezlik dasturni tarjima qilish, kompilyatsiya qilish va yig'ish. Bundan tashqari, qulaylik va yuqori sifatli dialog qobig'ining dizayni, yangi avlodning muqobil tillari bilan solishtirganda yozish va disk raskadrovka dasturlarini qulayroq qilish.
QS ning ishlashini tahlil qilish uchun turli xil kirish parametrlari uchun ushbu tizimning xatti-harakatlarini o'rganish kerak.
Birinchi versiyada l=12, µ=6, n=3, kanallar soni n=2.
Ikkinchi variantda l=12, mk=6, n=3, kanallar soni n=3.
Uchinchi variantda l=12, mk=6, n=4, kanallar soni n=2.
Barcha hisob-kitob natijalari 2-ilovada keltirilgan.
Olingan ma'lumotlarni tahlil qilish natijasida (2-ilova) quyidagi xulosalar chiqarildi.
Kanallar soni ortishi bilan tizimning ishlamay qolish ehtimoli va yonilg'i quyish ehtimoli 50% ga oshadi.
Kanallar sonini ko'paytirmasdan, faqat so'rovning navbatda bo'lgan vaqtini o'zgartirganda, jo'nash oqimining intensivligi o'zgardi, natijada xizmat ko'rsatilayotgan samolyotlar soni va navbatdagi samolyotlar soni kamaydi.
Menimcha, qo'shimcha kadrlar olish va o'qitish kerak xizmat ko'rsatuvchi xodimlar, jo'nab ketish oqimining intensivligini oshirish uchun, keyin yonilg'i quyish moslamalarining ishlamay qolishi uchun kamroq vaqt sarflanadi va qo'shimcha kanalga ehtiyoj qolmaydi.
Sog'liqni saqlash xizmatining ishlashi eng samarali bo'ladigan eng maqbul parametrlarni tanlashda, texnik va iqtisodiy omillarni ham hisobga olish kerak, chunki qo'shimcha xizmat ko'rsatish kanalini sotib olish yoki intensivlikning o'zgarishi. parvarishlash oqimi ma'lum moddiy xarajatlarni va xodimlarni o'qitish xarajatlarini talab qiladi.
1. Kutish va navbat uzunligi chegarasi bilan bitta kanalli QS. Amalda, navbatga ega bo'lgan yagona kanalli tibbiy xizmat ko'rsatuvchi provayderlar juda keng tarqalgan (bemorlarga xizmat ko'rsatuvchi shifokor; ish haqini beruvchi kassir). Navbat nazariyasida navbatga ega bo'lgan bir kanalli QS ham alohida o'rin tutadi: Markov bo'lmagan tizimlar uchun hozirgacha olingan analitik formulalarning aksariyati bunday QSga tegishli.
Keling, bitta kanalli QSni ko'rib chiqaylik, uning kirishi intensivlik bilan eng oddiy so'rovlar oqimini oladi. λ . Faraz qilaylik, xizmat oqimi ham intensivligi bilan eng oddiy μ . Bu shuni anglatadiki, doimiy band bo'lgan kanal o'rtacha xizmat qiladi μ vaqt birligi uchun ilovalar. Kanal band bo'lgan vaqtda QS tomonidan qabul qilingan so'rov, QSdan farqli o'laroq, tizimni tark etmaydi, lekin navbatda turadi va xizmatni kutadi.
Keyinchalik, biz ushbu tizimda navbat uzunligi bo'yicha cheklov mavjud deb taxmin qilamiz, bu navbatdagi joylarning maksimal sonini anglatadi, ya'ni biz maksimal bo'lishi mumkin deb taxmin qilamiz. m≥1 ta ilova. Shuning uchun, QS kirish joyiga kelgan ariza, navbatda odamlar allaqachon mavjud bo'lganda m so'rovlar rad etiladi va tizimni xizmat ko'rsatmasdan qoldiradi.
Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan QS navbat uzunligi bo'yicha cheklovga ega aralash turdagi tizimlarga tegishli.
QS ning holatlarini tizimdagi ilovalar soniga qarab raqamlaymiz, ya'ni. xizmat ko'rsatishda va navbatda:
S 0 – kanal bepul (shuning uchun navbat yo‘q);
S 1 - kanal band va navbat yo'q, ya'ni. CMOda bitta dastur (xizmat ko'rsatilayotgan) mavjud;
S 2 – kanal band va navbatda bitta so‘rov bor;
……………………………………………………..
S m +1 – kanal band va navbatda m ilovalar.
Ushbu QS ning holat grafigi rasmda ko'rsatilgan. 6 va o'lim va ko'payish jarayonini tavsiflovchi grafikga to'g'ri keladi, farqi shundaki, agar faqat bitta xizmat kanali mavjud bo'lsa, barcha xizmat oqimi intensivligi teng bo'ladi. μ .
Guruch. 6. Navbatli bir kanalli tizimdagi holat diagrammasi
QS ning cheklovchi ish rejimini tavsiflash uchun siz ko'rsatilgan qoidalar va formulalardan foydalanishingiz mumkin. Darhol holatlarning cheklovchi ehtimolini aniqlovchi ifodalarni yozamiz:
Qayerda ρ = λ/μ
- kanal yukining intensivligi.
Agar λ = μ , keyin olamiz.
Hozir ruxsat bering 
. uchun ifoda p 0
ichida mumkin Ushbu holatda Maxrajda yig'indi borligidan foydalanib, yozish osonroq m+ 2
a'zolari geometrik progressiya maxraj bilan ρ
:
.
E'tibor bering, qachon m= 0 Biz muvaffaqiyatsizliklar bilan allaqachon ko'rib chiqilgan yagona kanalli QSga o'tamiz. Ushbu holatda.
Keling, kutish bilan bitta kanalli QS ning asosiy xususiyatlarini aniqlaylik: nisbiy va mutlaq o'tkazuvchanlik, muvaffaqiyatsizlik ehtimoli, shuningdek o'rtacha navbat uzunligi va navbatdagi dasturni kutishning o'rtacha vaqti.
QS kirishida qabul qilingan ariza, agar kanal band bo'lsa va navbatda kutib tursagina rad etiladi. m ilovalar, ya'ni. tizim bir holatda bo'lganda S m +1 . Shuning uchun muvaffaqiyatsizlik ehtimoli vaziyatning yuzaga kelishi ehtimoli bilan belgilanadi S m +1 :
Nisbiy o'tkazuvchanlik yoki vaqt birligida kelgan xizmat ko'rsatilgan so'rovlar ulushi quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:
E'tibor bering, nisbiy o'tkazuvchanlik Q barcha qabul qilinganlar orasida tizimga qabul qilingan (ya'ni rad etilmagan) arizalarning o'rtacha ulushiga to'g'ri keladi, chunki navbatga kelgan arizaga albatta xizmat ko'rsatiladi.
Mutlaq tizim o'tkazuvchanligi
.
Ilovalarning o'rtacha soni L juda yaxshi xizmat ko'rsatish uchun navbat diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi sifatida aniqlanadi k– navbatdagi arizalar soni:
.
Tasodifiy o'zgaruvchi k 0, 1, 2, … qiymatlarini oladi, m, ehtimolliklari tizim holatlarining ehtimollari bilan belgilanadi p k . Shunday qilib, diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni k quyidagi shaklga ega:
Shuning uchun, diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini aniqlash orqali (holat ehtimolliklari formulalarini hisobga olgan holda) biz quyidagilarni olamiz:
(16)
Buni taxmin qilaylik ρ ≠ 1 . Shubhasiz, bizda:
Ammo miqdori 
birinchisining yig'indisidir m geometrik progressiyaning a'zolari
.
(17)
(17) ifodani (16) ga almashtirib, biz quyidagilarni topamiz:
yoki tenglikdan foydalanish 
(bilan olingan ρ ≠
1
), bizda ... bor
Agar ρ =
1
, keyin tenglikdan (16) 
va bu holda berilgan 
Va 
(sum m arifmetik progressiya shartlari), biz nihoyat olamiz
.
Keyin navbatdagi ilovalarning o'rtacha soni
(18)
Kutish bilan QS ning muhim xususiyati - bu navbatdagi arizani kutishning o'rtacha vaqti 
. Mayli T juda yaxshi
- navbatdagi dasturni kutish vaqtini ifodalovchi uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi. Navbatdagi dastur uchun o'rtacha kutish vaqtini ushbu tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi sifatida hisoblaymiz:
.
Matematik kutishni hisoblash uchun biz umumiy matematik kutish formulasidan foydalanamiz: agar tajriba shartlari haqida gapira olsak. n(juftlik) nomuvofiq farazlar 
keyin tasodifiy o'zgaruvchining umumiy matematik kutilishi X formuladan foydalanib hisoblash mumkin
Qayerda M (X | H k ) – qiymatni shartli matematik kutish X gipoteza ostida H k .
Keling, ko'rib chiqaylik m+ 2 mos kelmaydigan farazlar H k , k= 0,1,..., m+ 1 , QS tegishli ravishda shtatlarda ekanligidan iborat S k , k= 0,1,..., m+ 1 . Ushbu gipotezalarning ehtimolliklari p (H k ) = p k , k= 0,1,..., m+1 .
Agar ariza gipoteza bo'yicha QSga kelsa H 0
S 0
, unda kanal bepul bo'lsa, so'rov navbatda turishi shart emas va shuning uchun shartli matematik kutish M
(
|
H 0
)
tasodifiy o'zgaruvchi 
gipoteza ostida H 0
, gipoteza bo'yicha navbatdagi ariza uchun o'rtacha kutish vaqtiga to'g'ri keladi H 0
, nolga teng.
Gipoteza bo'yicha QS tomonidan qabul qilingan ariza uchun H 1
, ya'ni. QS bir holatda bo'lganda S 1
, unda kanal band, lekin navbat yo'q, shartli matematik kutish M
(
| H 1
)
tasodifiy o'zgaruvchi 
gipoteza ostida H 1
, gipoteza bo'yicha navbatdagi ariza uchun o'rtacha kutish vaqtiga to'g'ri keladi H 1
, bitta so'rovga xizmat ko'rsatishning o'rtacha vaqtiga teng bo'ladi 
.
Shartli matematik kutish M
(
| H 2
)
tasodifiy o'zgaruvchi 
gipoteza ostida H 2
, ya'ni. Agar ariza CMO tomonidan qabul qilingan bo'lsa, u holda S 2
, unda kanal band va bitta so'rov allaqachon navbatda kutilmoqda, ga teng 2/
μ
(o'rtacha xizmat ko'rsatish vaqtini ikki baravar oshiring, chunki ikkita so'rovga xizmat ko'rsatish kerak: xizmat ko'rsatish kanalida va navbatda kutayotgan so'rov). Va hokazo.
Agar dastur gipoteza ostida tizimga kirsa H m, ya'ni. kanal band bo'lganda va ular navbatda kutishganda m−
1
ilovalar, keyin M
(
| H m).
Nihoyat, gipoteza ostida QSga kelgan dastur H m +1
, ya'ni. kanal band bo'lganda, m ilovalar navbatda turibdi va navbatda boshqa bo'sh joylar yo'q, rad qilinadi va tizimni tark etadi. Shuning uchun bu holatda M
(
| H m +1
)
= 0.
Shuning uchun, umumiy matematik kutish formulasiga ko'ra, navbatdagi ariza uchun o'rtacha kutish vaqti
Bu erda ehtimollar o'rniga iboralarni qo'yish p k
(k=1,2,...,m), biz olamiz: 
(19)
Agar kanal yuklanish intensivligi ρ ≠ 1 , keyin (17), (18) formulalarni, shuningdek, ifodani hisobga olgan holda (19) tenglikdan. p 0 topamiz:
Agar ρ =
1
, keyin (19) ifodani tenglikka almashtiramiz p 0
= 1/(m+2), miqdor qiymati 
, formula (18) yordamida ρ
=
1
va bu holatda buni hisobga olgan holda μ
= λ
, bizda bo'ladi 
Shunday qilib, har qanday r uchun dasturning navbatda turishining o'rtacha vaqti uchun formulani olamiz, bu Little formulasi deb ataladi: 
bular. navbatdagi ariza uchun o'rtacha kutish vaqti
navbatdagi arizalarning o'rtacha soniga teng L juda yaxshi, intensivlikka bo'linadi
l kiruvchi so'rovlar oqimi .
Misol. Yoqilg'i quyish shoxobchasida (yoqilg'i quyish shoxobchasi) bitta nasos mavjud. Avtomashinalar yonilg'i quyish uchun kutib turgan joy bir vaqtning o'zida uchtadan ko'p bo'lmagan mashinani sig'dira oladi, agar u band bo'lsa, u holda stantsiyaga kelgan keyingi mashina navbatga turmaydi, balki qo'shni yoqilg'i quyish shoxobchasiga boradi. Vokzalga o'rtacha har 2 daqiqada mashinalar keladi. Bir mashinaga yonilg'i quyish jarayoni o'rtacha 2,5 daqiqa davom etadi. Tizimning asosiy xususiyatlarini aniqlang.
Yechim. Ushbu yoqilg'i quyish shoxobchasining matematik modeli - bu kutish va navbat uzunligi chegarasi bo'lgan bir kanalli QS ( m= 3). Yoqilg'i quyish shoxobchasiga yaqinlashayotgan avtomobillar oqimi va xizmatlar oqimi oddiy deb taxmin qilinadi.
Mashinalar o'rtacha har 2 daqiqada kelganligi sababli, kiruvchi oqimning intensivligi teng λ
=1/2 = 0,5 (daqiqada mashinalar). Bir mashinaga o'rtacha xizmat ko'rsatish vaqti 
= 2,5 min, shuning uchun xizmat oqimining intensivligi μ
=1/2,5 = 0,4 (daqiqada avtomobil).
Biz kanal yukining intensivligini aniqlaymiz: ρ = λ/ μ = 0,5/0,4 = 1,25.
Muvaffaqiyatsizlik ehtimolini hisoblash 
nisbiy tarmoqli kengligi qayerdan keladi?
va mutlaq o'tkazish qobiliyati A= λ
Q≈ 0,5⋅0,703
≈ 0,352.
Yoqilg'i quyish shoxobchasiga navbatda turgan avtomobillarning o'rtacha soni
Biz Little formulasidan foydalanib, navbatda turgan mashinaning o'rtacha kutish vaqtini topamiz 
= L juda yaxshi/l ≈1,559/0,5 = 3,118.
Shunday qilib, QS ishini tahlil qilish shuni ko'rsatadiki, har 100 yaqinlashib kelayotgan mashinadan 30 tasi rad etilgan ( P ochiq≈ 29,7%, ya'ni. Ilovalarning 2/3 qismiga xizmat ko'rsatiladi. Shuning uchun bitta mashinaning xizmat qilish vaqtini qisqartirish (xizmat oqimining intensivligini oshirish) yoki nasoslar sonini ko'paytirish yoki kutish maydonini ko'paytirish kerak.
