Funksiya grafigiga teginish tenglamasi

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Chelyabinsk viloyati

Funksiya grafigiga teginish tenglamasi

Maqola ITAKA+ mehmonxona majmuasi ko‘magida chop etilgan. Severodvinsk kema quruvchilari shahrida bo'lganingizda, siz vaqtinchalik uy-joy topish muammosiga duch kelmaysiz. , “ITHAKA+” mehmonxona majmuasining http://itakaplus.ru veb-saytida siz shaharda istalgan muddatga, kunlik to‘lov bilan kvartirani osongina va tez ijaraga olishingiz mumkin.

Yoniq zamonaviy bosqich ta'limni rivojlantirish, uning asosiy vazifalaridan biri ijodiy fikrlaydigan shaxsni shakllantirishdir. Talabalarda ijodkorlik qobiliyati, agar ular ilmiy-tadqiqot faoliyati asoslariga muntazam jalb qilingan taqdirdagina rivojlanishi mumkin. Talabalarning ijodiy kuchlari, qobiliyatlari va iste’dodlaridan foydalanishlari uchun to‘laqonli bilim va ko‘nikmalar shakllanadi. Shu munosabat bilan maktab matematika kursining har bir mavzusi bo'yicha asosiy bilim va ko'nikmalar tizimini shakllantirish muammosi kam emas. Shu bilan birga, to'liq ko'nikmalar didaktik maqsad bo'lishi kerak emas individual vazifalar, lekin ularning puxta o'ylangan tizimi. Keng ma'noda tizim deganda yaxlitlik va barqaror tuzilishga ega bo'lgan o'zaro bog'langan o'zaro ta'sir qiluvchi elementlar to'plami tushuniladi.

Talabalarga funksiya grafigiga teginish uchun tenglama yozishni o‘rgatish texnikasini ko‘rib chiqamiz. Asosan, tangens tenglamani topishning barcha muammolari chiziqlar to'plamidan (to'plam, oila) ma'lum bir talabni qondiradiganlarni tanlash zarurati bilan bog'liq - ular ma'lum bir funktsiya grafigiga teginishdir. Bunday holda, tanlov amalga oshiriladigan qatorlar to'plami ikki shaklda belgilanishi mumkin:

a) xOy tekisligida yotgan nuqta (chiziqlarning markaziy qalami);
b) burchak koeffitsienti (to'g'ri chiziqlarning parallel nurlari).

Shu munosabat bilan, tizim elementlarini ajratish uchun "Funksiya grafigiga tegish" mavzusini o'rganishda biz ikkita turdagi muammolarni aniqladik:

1) u o'tgan nuqta bilan berilgan tangensga oid masalalar;
2) qiyaligi bilan berilgan tangensga oid masalalar.

Tangens masalalarni yechishga o'rgatish A.G. tomonidan taklif qilingan algoritm yordamida amalga oshirildi. Mordkovich. Uning ma'lum bo'lganlardan tubdan farqi shundaki, teginish nuqtasining abssissasi a harfi bilan belgilanadi (x0 o'rniga) va shuning uchun tangens tenglama shaklni oladi.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0) bilan solishtiring). Bu uslubiy texnika, fikrimizcha, umumiy tangens tenglamada joriy nuqtaning koordinatalari qayerda, teginish nuqtalari qayerda joylashganligini tez va oson tushunish imkonini beradi.

y = f(x) funksiya grafigiga teginish tenglamasini tuzish algoritmi.

1. Tangens nuqtaning abssissasini a harfi bilan belgilang.
2. f(a) ni toping.
3. f "(x) va f "(a) ni toping.
4. Topilgan a, f(a), f "(a) sonlarni almashtiring umumiy tenglama tangens y = f(a) = f "(a)(x – a).

Bu algoritm talabalarning operatsiyalarni mustaqil aniqlashi va ularni amalga oshirish ketma-ketligi asosida tuzilishi mumkin.

Amaliyot shuni ko'rsatdiki, algoritm yordamida har bir asosiy masalani ketma-ket hal qilish funksiya grafigiga teginish tenglamasini bosqichma-bosqich yozish ko'nikmalarini rivojlantirishga imkon beradi va algoritm qadamlari harakatlar uchun mos yozuvlar nuqtasi bo'lib xizmat qiladi. . Bu yondashuv P.Ya tomonidan ishlab chiqilgan aqliy harakatlarning bosqichma-bosqich shakllanishi nazariyasiga mos keladi. Galperin va N.F. Talyzina.

Birinchi turdagi vazifalarda ikkita asosiy vazifa aniqlandi:

• tangens egri chiziqda yotgan nuqtadan o'tadi (1-masala);
• tangens egri chiziqda yotmagan nuqtadan o'tadi (2-masala).

1-topshiriq. Funksiya grafigiga teginish tenglamasini yozing M(3; – 2) nuqtada.

Yechim. M(3; – 2) nuqta tangens nuqtadir, chunki

1. a = 3 – teginish nuqtasining abtsissasi.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – tangens tenglama.

2-masala. M(– 3; 6) nuqtadan o‘tuvchi y = – x 2 – 4x + 2 funksiya grafigiga barcha tegmalarning tenglamalarini yozing.

Yechim. M(– 3; 6) nuqta tangens nuqta emas, chunki f(– 3) nuqta. 6 (2-rasm).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – tangens tenglama.

Tangens M(– 3; 6) nuqtadan o'tadi, shuning uchun uning koordinatalari tangens tenglamasini qanoatlantiradi.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Agar a = – 4 bo‘lsa, tangens tenglama y = 4x + 18 bo‘ladi.

Agar a = – 2 bo‘lsa, tangens tenglama y = 6 ko‘rinishga ega bo‘ladi.

Ikkinchi turda asosiy vazifalar quyidagilar bo'ladi:

• tangens qandaydir chiziqqa parallel (3-muammo);
• tangens berilgan chiziqqa ma'lum burchak ostida o'tadi (4-masala).

3-masala. y = x 3 – 3x 2 + 3 funksiya grafigiga y = 9x + 1 to‘g‘riga parallel bo‘lgan barcha tangenslar tenglamalarini yozing.

Yechim.

1. a – teginish nuqtasining abtsissasi.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Lekin, boshqa tomondan, f "(a) = 9 (parallellik sharti). Bu 3a 2 – 6a = 9 tenglamani yechishimiz kerakligini bildiradi. Uning ildizlari a = – 1, a = 3 (3-rasm) ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – tangens tenglama;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – tangens tenglama.

Masala 4. y = 0,5x 2 – 3x + 1 funksiya grafigiga y = 0 to‘g‘ri chiziqqa 45° burchak ostida o‘tuvchi teginish tenglamasini yozing (4-rasm).

Yechim. f "(a) = tan 45° shartidan a ni topamiz: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – teginish nuqtasining abtsissasi.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – tangens tenglama.

Boshqa har qanday muammoni hal qilish bir yoki bir nechta asosiy muammolarni hal qilish bilan bog'liqligini ko'rsatish oson. Misol sifatida quyidagi ikkita muammoni ko'rib chiqing.

1. y = 2x 2 – 5x – 2 parabolaga teglar tenglamalarini yozing, agar tangenslar to‘g‘ri burchak ostida kesishsa va ulardan biri abssissa 3 joylashgan nuqtada parabolaga tegsa (5-rasm).

Yechim. Tangens nuqtasining abssissasi berilganligi sababli yechimning birinchi qismi 1-asosiy masalaga keltiriladi.

1. a = 3 - to'g'ri burchakning bir tomonining teginish nuqtasining absissasi.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – birinchi tangens tenglamasi.

Keling, a – birinchi tangensning qiyalik burchagi. Tangenslar perpendikulyar bo'lganligi sababli, ikkinchi tangensning moyillik burchagi. Birinchi tangensning y = 7x – 20 tenglamasidan tg a = 7. Keling, topamiz

Bu ikkinchi tangensning qiyaligi ga teng ekanligini bildiradi.

Keyingi yechim asosiy vazifa 3 ga tushadi.

B(c; f(c)) ikkinchi chiziqning teginish nuqtasi bo'lsin

1. – ikkinchi teginish nuqtasining absissasi.
2.
3.
4.
– ikkinchi tangens tenglamasi.

Eslatma. Talabalar k 1 k 2 = – 1 perpendikulyar chiziqlar koeffitsientlari nisbatini bilsalar, tangensning burchak koeffitsientini osonroq topish mumkin.

2. Funksiyalarning grafiklariga barcha umumiy tangenslar tenglamalarini yozing

Yechim. Vazifa umumiy tangenslarning teginish nuqtalarining abssissasini topish, ya’ni 1-asosiy masalani umumiy shaklda yechish, tenglamalar sistemasini tuzish va keyin uni yechishdan iborat (6-rasm).

1. y = x 2 + x + 1 funksiya grafigida yotgan teginish nuqtasining abssissasi a bo lsin.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Funktsiya grafigida yotgan teginish nuqtasining abssissasi c bo'lsin
2.
3. f "(c) = c.
4.

Tangenslar umumiy bo'lgani uchun

Demak, y = x + 1 va y = – 3x – 3 umumiy tangenslardir.

Ko'rib chiqilayotgan vazifalarning asosiy maqsadi talabalarni muayyan tadqiqot ko'nikmalarini (tahlil qilish, taqqoslash, umumlashtirish, gipoteza qo'yish va boshqalar) talab qiladigan murakkabroq muammolarni hal qilishda asosiy muammo turini mustaqil ravishda tan olishga tayyorlashdir. Bunday vazifalarga asosiy vazifa komponent sifatida kiritilgan har qanday vazifa kiradi. Misol tariqasida funksiyani uning tangenslari turkumidan topish masalasini (1-masalaga teskari) ko'rib chiqamiz.

3. Nima uchun b va c y = x va y = – 2x chiziqlar y = x 2 + bx + c funksiya grafigiga teginish?

Yechim.

y = x 2 + bx + c parabola bilan y = x to'g'ri chiziqning teginish nuqtasining abssissasi t bo'lsin; p - y = x 2 + bx + c parabola bilan y = – 2x to'g'ri chiziqning teginish nuqtasining abssissasi. U holda y = x tangens tenglamasi y = (2t + b)x + c – t 2, y = – 2x tangens tenglamasi y = (2p + b)x + c – p 2 ko‘rinishida bo‘ladi. .

Keling, tenglamalar tizimini tuzamiz va yechamiz

Javob:

Mustaqil ravishda hal qilinadigan muammolar

1. Grafikning y = x + 3 chiziq bilan kesishgan nuqtalarida y = 2x 2 – 4x + 3 funksiya grafigiga chizilgan tangenslar tenglamalarini yozing.

Javob: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. y = x 2 – ax funksiya grafigiga abssissa x 0 = 1 bo‘lgan grafaning nuqtasida chizilgan tangens a ning qaysi qiymatlari uchun M(2; 3) nuqtadan o‘tadi?

Javob: a = 0,5.

3. y = px – 5 to‘g‘ri chiziq p ning qaysi qiymatlari uchun y = 3x 2 – 4x – 2 egri chizig‘iga tegadi?

Javob: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. y = 3x – x 3 funksiya grafigining barcha umumiy nuqtalarini va bu grafikga P(0; 16) nuqta orqali chizilgan tangensini toping.

Javob: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. y = x 2 + 6x + 10 parabola bilan toʻgʻri chiziq orasidagi eng qisqa masofani toping.

Javob:

6. y = x 2 – x + 1 egri chizig‘ida grafikning tangensi y – 3x + 1 = 0 to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan nuqtani toping.

Javob: M(2; 3).

7. y = x 2 + 2x – funksiya grafigiga teginish tenglamasini yozing. 4x |, bu unga ikki nuqtada tegadi. Chizma qiling.

Javob: y = 2x – 4.

8. y = 2x – 1 chiziq y = x 4 + 3x 2 + 2x egri chiziqni kesishmasligini isbotlang. Ularning eng yaqin nuqtalari orasidagi masofani toping.

Javob:

9. y = x 2 parabolada x 1 = 1, x 2 = 3 abscissalar bilan ikkita nuqta olinadi. Bu nuqtalar orqali sekant o'tkaziladi. Parabolaning qaysi nuqtasida unga tegish sekantga parallel bo'ladi? Sekant va tangens tenglamalarini yozing.

Javob: y = 4x – 3 – sekant tenglama; y = 4x – 4 – tangens tenglama.

10. q burchakni toping y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1 funksiya grafigiga teglar orasidagi, abscissalar 0 va 1 bo‘lgan nuqtalarda chizilgan.

Javob: q = 45°.

11. Funksiya grafigining tangensi qaysi nuqtalarda Ox o‘qi bilan 135° burchak hosil qiladi?

Javob: A(0; – 1), B(4; 3).

12. A(1; 8) nuqtada egri chiziqqa tangens chiziladi. Koordinata o'qlari orasidagi tangens segmentining uzunligini toping.

Javob:

13. y = x 2 – x + 1 va y = 2x 2 – x + 0,5 funksiyalarning grafiklariga barcha umumiy tangenslar tenglamasini yozing.

Javob: y = – 3x va y = x.

14. Funksiya grafigiga teglar orasidagi masofani toping x o'qiga parallel.

Javob:

15. y = x 2 + 2x – 8 parabola x o‘qini qanday burchaklarda kesib o‘tishini aniqlang.

Javob: q 1 = arktan 6, q 2 = arktan (– 6).

16. Funksiya grafigi Barcha nuqtalarni toping, ularning har biridagi tangens koordinatalarning musbat yarim o'qlarini kesib, ulardan teng segmentlarni kesib tashlaydi.

Javob: A(– 3; 11).

17. y = 2x + 7 to'g'ri va y = x 2 – 1 parabola M va N nuqtalarda kesishadi. M va N nuqtalarda parabolaga teguvchi to'g'ri chiziqning kesishish K nuqtasini toping.

Javob: K(1; – 9).

18. y = 9x + b chiziq y = x 3 – 3x + 15 funksiya grafigiga teginish b ning qaysi qiymatlari uchun?

Javob: – 1; 31.

19. y = kx – 10 to‘g‘ri chiziq k ning qaysi qiymatlari uchun y = 2x 2 + 3x – 2 funksiya grafigi bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega? Topilgan k qiymatlari uchun nuqta koordinatalarini aniqlang.

Javob: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. y = bx 3 – 2x 2 – 4 funksiya grafigiga abscissa x 0 = 2 nuqtada chizilgan tangens b ning qaysi qiymatlari uchun M(1; 8) nuqtadan o‘tadi?

Javob: b = – 3.

21. Choʻqqisi Ox oʻqi boʻlgan parabola B nuqtada A(1; 2) va B(2; 4) nuqtalardan oʻtuvchi chiziqqa tegib turadi. Parabola tenglamasini toping.

Javob:

22. y = x 2 + kx + 1 parabola k koeffitsientining qaysi qiymatida Ox o'qiga tegadi?

Javob: k = d 2.

23. y = x + 2 to'g'ri chiziq va y = 2x 2 + 4x – 3 egri chizig'i orasidagi burchaklarni toping.

29. Funksiya grafigiga teglar va Ox o‘qining musbat yo‘nalishi 45° bo‘lgan generatorlar orasidagi masofani toping.

Javob:

30. y = x 2 + ax+b ko‘rinishdagi barcha parabolalarning y = 4x – 1 to‘g‘riga teginish cho‘qqilarining joylashuvini toping.

Javob: to'g'ri chiziq y = 4x + 3.

Adabiyot

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra va tahlilning boshlanishi: maktab o'quvchilari va oliy o'quv yurtlariga kiruvchilar uchun 3600 ta muammo. - M., Bustard, 1999 yil.
2. Mordkovich A. Yosh o'qituvchilar uchun to'rtinchi seminar. Mavzu: Hosila ilovalari. – M., “Matematika”, 21/94-son.
3. Aqliy harakatlarni bosqichma-bosqich o'zlashtirish nazariyasi asosida bilim va ko'nikmalarni shakllantirish. / Ed. P.Ya. Galperina, N.F. Talyzina. – M., Moskva davlat universiteti, 1968 yil.

Maqolada ta'riflar, hosilaning geometrik ma'nosi grafik belgilar bilan batafsil tushuntirilgan. Tangens chiziq tenglamasi misollar bilan ko'rib chiqiladi, tangensning 2-tartibli egri chiziqlarga tenglamalari topiladi.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Ta'rif 1

y = k x + b to'g'ri chiziqning qiyalik burchagi a burchak deb ataladi, u x o'qining musbat yo'nalishidan y = k x + b to'g'ri chiziqqa musbat yo'nalishda o'lchanadi.

Rasmda x yo'nalishi yashil o'q va yashil yoy bilan, moyillik burchagi esa qizil yoy bilan ko'rsatilgan. Moviy chiziq to'g'ri chiziqqa ishora qiladi.

Ta'rif 2

y = k x + b to'g'ri chiziqning qiyaligi sonli koeffitsient k deyiladi.

Burchak koeffitsienti to'g'ri chiziqning tangensiga teng, boshqacha aytganda k = t g a.

• To'g'ri chiziqning qiyalik burchagi 0 ga teng, agar u x ga yaqin parallel bo'lsa va qiyaligi nolga teng bo'lsa, chunki nolning tangensi 0 ga teng. Bu tenglamaning shakli y = b bo'lishini anglatadi.
• Agar y = k x + b to'g'ri chiziqning og'ish burchagi o'tkir bo'lsa, u holda 0 shartlar bajariladi.< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, va grafikda o'sish bor.
• Agar a = p 2 bo'lsa, chiziqning joylashuvi x ga perpendikulyar bo'ladi. Tenglik c qiymati haqiqiy son bo'lgan x = c bilan belgilanadi.
• Agar y = k x + b to'g'ri chiziqning qiyalik burchagi o'tmas bo'lsa, u p 2 shartlarga mos keladi.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Ta'rif 3

Sekant - f (x) funksiyaning 2 nuqtasidan o'tuvchi chiziq. Boshqacha qilib aytganda, sekant - bu berilgan funktsiya grafigining istalgan ikkita nuqtasi orqali o'tkaziladigan to'g'ri chiziq.

Rasmda A B - sekant va f (x) - qora egri chiziq, a - qizil yoy bo'lib, sekantning moyillik burchagini ko'rsatadi.

To'g'ri chiziqning burchak koeffitsienti qiyalik burchagi tangensiga teng bo'lsa, A B C to'g'ri burchakli uchburchakning tangensini qarama-qarshi tomonining qo'shni tomoniga nisbati orqali topish mumkinligi aniq.

Ta'rif 4

Shaklning sekantini topish uchun formulani olamiz:

k = t g a = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, bu erda A va B nuqtalarining abscissalari x A, x B va f (x A), f (x) qiymatlari B) bu nuqtalardagi qiymatlar funksiyalari.

Shubhasiz, sekantning burchak koeffitsienti k = f (x B) - f (x A) x B - x A yoki k = f (x A) - f (x B) x A - x B tengligi yordamida aniqlanadi. , va tenglama quyidagicha yozilishi kerak y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) yoki
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Sekant grafikni vizual tarzda 3 qismga ajratadi: A nuqtadan chapga, A dan B gacha, B ning o'ng tomoniga. Quyidagi rasmda tasodifiy deb hisoblangan uchta sekant borligi ko'rsatilgan, ya'ni ular bir nuqtadan foydalanib o'rnatiladi. o'xshash tenglama.

Ta'rifga ko'ra, to'g'ri chiziq va uning kesmasi aniq Ushbu holatda mos kelish.

Sekant berilgan funksiya grafigini bir necha marta kesishi mumkin. Agar sekant uchun y = 0 ko'rinishdagi tenglama mavjud bo'lsa, u holda sinusoid bilan kesishish nuqtalari soni cheksizdir.

Ta'rif 5

f (x) funksiya grafigiga x 0 nuqtadagi tangens; f (x 0) - berilgan x 0 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq; f (x 0), x 0 ga yaqin ko'p x qiymatlariga ega bo'lgan segment mavjudligi bilan.

1-misol

Keling, quyidagi misolni batafsil ko'rib chiqaylik. U holda y = x + 1 funksiya bilan aniqlangan chiziq koordinatalari (1; 2) bo'lgan nuqtada y = 2 x ga teginish hisoblanishi aniq bo'ladi. Aniqlik uchun qiymatlari (1; 2) ga yaqin bo'lgan grafiklarni ko'rib chiqish kerak. y = 2 x funktsiyasi qora rangda ko'rsatilgan, ko'k chiziq tangens chiziq, qizil nuqta esa kesishish nuqtasidir.

Shubhasiz, y = 2 x y = x + 1 chizig'i bilan birlashadi.

Tangensni aniqlash uchun B nuqta A nuqtaga cheksiz yaqinlashganda A B tangensining xatti-harakatini hisobga olishimiz kerak.Aniqlik uchun biz chizmani keltiramiz.

Ko'k chiziq bilan ko'rsatilgan A B sekant tangensning o'zi holatiga moyil bo'ladi va sekantning moyillik burchagi a x tangensining o'ziga moyillik burchagiga moyil bo'la boshlaydi.

Ta'rif 6

A nuqtadagi y = f (x) funksiya grafigiga tegish A B sekantning cheklovchi pozitsiyasi deb hisoblanadi, chunki B A ga, ya’ni B → A ga intiladi.

Endi funksiyaning nuqtadagi hosilasining geometrik ma’nosini ko‘rib chiqishga o‘tamiz.

Keling, f (x) funksiya uchun A B sekantini ko'rib chiqishga o'tamiz, bu erda A va B koordinatalari x 0, f (x 0) va x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) va ∆ x bo'ladi. argumentning ortishi sifatida belgilanadi. Endi funksiya ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) ko'rinishini oladi. Aniqlik uchun rasmga misol keltiraylik.

Keling, natijani ko'rib chiqaylik to'g'ri uchburchak A B C. Yechish uchun tangens ta’rifidan foydalanamiz, ya’ni ∆ y ∆ x = t g a munosabatini olamiz. Tangensning ta'rifidan kelib chiqadiki, lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g a x. Nuqtadagi hosila qoidasiga ko‘ra, x 0 nuqtadagi f (x) hosilasi funktsiya o‘sishining argument o‘sish qismiga nisbati chegarasi deyiladi, bunda ∆ x → 0 bo‘ladi. , keyin uni f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x deb belgilaymiz.

Bundan kelib chiqadiki, f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g a x = k x, bu erda k x tangensning qiyaligi sifatida belgilanadi.

Ya'ni, f ' (x) ning x 0 nuqtasida va tegiga o'xshash bo'lishi mumkinligini tushunamiz berilgan jadval teginish nuqtasidagi funksiya x 0, f 0 (x 0), bunda nuqtadagi tangens qiyaligining qiymati x 0 nuqtadagi hosilaga teng. Keyin biz k x = f "(x 0) ni olamiz.

Geometrik ma'no nuqtadagi funktsiyaning hosilasi - xuddi shu nuqtada grafaga teguvchining mavjudligi tushunchasi berilgan.

Tekislikda har qanday to'g'ri chiziq tenglamasini yozish uchun u o'tgan nuqta bilan burchak koeffitsientiga ega bo'lish kerak. Uning yozuvi kesishgan joyda x 0 sifatida qabul qilinadi.

x 0, f 0 (x 0) nuqtadagi y = f (x) funksiya grafigining tangens tenglamasi y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) ko'rinishini oladi.

Bu shuni anglatadiki, f "(x 0) hosilasining yakuniy qiymati tangensning o'rnini aniqlashi mumkin, ya'ni vertikal ravishda lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ va lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ yoki lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) shartida umuman yo'qligi.

Tangensning joylashishi uning k x = f "(x 0) burchak koeffitsientining qiymatiga bog'liq. O x o'qiga parallel bo'lganda, biz k k = 0, o y ga parallel bo'lganda - k x = ∞ va shaklini olamiz. tangens tenglama x = x 0 k x > 0 bo'lganda ortadi, k x bo'lsa kamayadi< 0 .

2-misol

(1; 3) koordinatali nuqtada y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 funksiya grafigiga teginish tenglamasini tuzing va qiyalik burchagini aniqlang.

Yechim

Shartga ko'ra, funktsiya barcha haqiqiy sonlar uchun aniqlangan. Biz (1; 3) shart bilan belgilangan koordinatali nuqta teginish nuqtasi ekanligini, keyin x 0 = - 1, f (x 0) = - 3 ekanligini topamiz.

Qiymati - 1 bo'lgan nuqtada hosilani topish kerak. Biz buni tushunamiz

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Tangens nuqtasidagi f' (x) ning qiymati nishabning tangensiga teng bo'lgan tangensning qiyaligidir.

U holda k x = t g a x = y " (x 0) = 3 3

Bundan kelib chiqadiki, a x = a r c t g 3 3 = p 6

Javob: tangens tenglama shaklini oladi

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Aniqlik uchun biz grafik rasmda misol keltiramiz.

Asl funktsiya grafigi uchun qora rang ishlatiladi, Moviy rang– tangens tasviri, qizil nuqta – teginish nuqtasi. O'ngdagi rasmda kattalashtirilgan ko'rinish ko'rsatilgan.

3-misol

Berilgan funksiya grafigiga teginish mavjudligini aniqlang
y = 3 · x - 1 5 + 1 koordinatalari bo'lgan nuqtada (1 ; 1) . Tenglama yozing va qiyalik burchagini aniqlang.

Yechim

Shartga ko'ra, berilgan funktsiyaning aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to'plami deb hisoblanadi.

Keling, hosilani topishga o'tamiz

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Agar x 0 = 1 bo'lsa, f' (x) aniqlanmagan, lekin chegaralar lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 shaklida yoziladi. · 1 + 0 = + ∞ va lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , ya'ni (1; 1) nuqtada mavjud bo'lgan vertikal tangens.

Javob: tenglama x = 1 ko'rinishini oladi, bu erda qiyalik burchagi p 2 ga teng bo'ladi.

Aniqlik uchun uni grafik tarzda tasvirlaylik.

4-misol

y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 funksiya grafigidagi nuqtalarni toping, bunda

1. Tangens yo'q;
2. Tangens x ga parallel;
3. Tangens y = 8 5 x + 4 chiziqqa parallel.

Yechim

Ta'rif doirasiga e'tibor berish kerak. Shartga ko'ra, funktsiya barcha haqiqiy sonlar to'plamida aniqlangan. Biz modulni kengaytiramiz va x ∈ - ∞ oraliqlari bilan tizimni yechamiz; 2 va [- 2; + ∞) . Biz buni tushunamiz

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Funktsiyani farqlash kerak. Bizda shunday

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Agar x = - 2 bo'lsa, hosila mavjud emas, chunki bu nuqtada bir tomonlama chegaralar teng emas:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Funktsiyaning qiymatini x = - 2 nuqtada hisoblaymiz, bu erda biz buni olamiz

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, ya'ni nuqtadagi tangens ( - 2; - 2) mavjud bo'lmaydi.
2. Nishab nolga teng bo'lganda tangens x ga parallel bo'ladi. Keyin k x = t g a x = f "(x 0). Ya'ni, funktsiyaning hosilasi uni nolga aylantirganda bunday x ning qiymatlarini topish kerak. Ya'ni f ' qiymatlari. (x) teginish nuqtalari bo'ladi, bu erda tangens x ga parallel.

Qachon x ∈ - ∞ ; - 2, keyin - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 va x ∈ (- 2; + ∞) uchun biz 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 ni olamiz.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; +∞

Tegishli funktsiya qiymatlarini hisoblang

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Demak - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 funksiya grafigining zarur nuqtalari hisoblanadi.

Keling, yechimning grafik tasvirini ko'rib chiqaylik.

Qora chiziq funksiya grafigi, qizil nuqta teginish nuqtalari.

1. Chiziqlar parallel bo'lganda, burchak koeffitsientlari teng bo'ladi. Keyin funktsiya grafigida qiyalik 8 5 qiymatiga teng bo'lgan nuqtalarni qidirish kerak. Buning uchun y "(x) = 8 5 ko'rinishdagi tenglamani yechish kerak. Keyin, agar x ∈ - ∞; - 2 bo'lsa, biz - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 ni olamiz. 5 va agar x ∈ ( - 2 ; + ∞) bo'lsa, u holda 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Birinchi tenglamaning ildizlari yo'q, chunki diskriminant noldan kichik. Keling, buni yozaylik

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Boshqa tenglamaning ikkita haqiqiy ildizi bor

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; +∞

Keling, funktsiyaning qiymatlarini topishga o'tamiz. Biz buni tushunamiz

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Qiymatli ballar - 1; 4 15, 5; 8 3 - teglar y = 8 5 x + 4 chiziqqa parallel bo'lgan nuqtalar.

Javob: qora chiziq – funksiya grafigi, qizil chiziq – y = 8 5 x + 4 grafigi, ko‘k chiziq – nuqtalardagi tangenslar - 1; 4 15, 5; 8 3.

Berilgan funksiyalar uchun cheksiz ko'p tangenslar bo'lishi mumkin.

5-misol

y = - 2 x + 1 2 to'g'ri chiziqqa perpendikulyar joylashgan y = 3 cos 3 2 x - p 4 - 1 3 funksiyaning barcha mavjud tangenslari tenglamalarini yozing.

Yechim

Tangens tenglamani tuzish uchun chiziqlarning perpendikulyarlik shartidan kelib chiqib, teginish nuqtasining koeffitsienti va koordinatalarini topish kerak. Ta'rif quyidagicha: to'g'ri chiziqlarga perpendikulyar bo'lgan burchak koeffitsientlarining ko'paytmasi - 1 ga teng, ya'ni k x · k ⊥ = - 1 shaklida yoziladi. Shartdan biz burchak koeffitsienti chiziqqa perpendikulyar joylashgan va k ⊥ = - 2 ga teng bo'lsa, k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 bo'ladi.

Endi siz teginish nuqtalarining koordinatalarini topishingiz kerak. Berilgan funksiya uchun x va keyin uning qiymatini topishingiz kerak. E'tibor bering, nuqtadagi hosilaning geometrik ma'nosidan
x 0 biz k x = y "(x 0) ni olamiz. Ushbu tenglikdan biz aloqa nuqtalari uchun x qiymatlarini topamiz.

Biz buni tushunamiz

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - p 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - p 4 3 2 x 0 - p 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - p 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - p 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - p 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - p 4 = - 1 9

Ushbu trigonometrik tenglama tangens nuqtalarining ordinatalarini hisoblash uchun ishlatiladi.

3 2 x 0 - p 4 = a r c sin - 1 9 + 2 p yoki 3 2 x 0 - p 4 = p - a r c sin - 1 9 + 2 p

3 2 x 0 - p 4 = - a r c sin 1 9 + 2 p yoki 3 2 x 0 - p 4 = p + a r c sin 1 9 + 2 p

x 0 = 2 3 p 4 - a r c sin 1 9 + 2 p yoki x 0 = 2 3 5 p 4 + a r c sin 1 9 + 2 pk, k ∈ Z

Z - butun sonlar to'plami.

x aloqa nuqtasi topildi. Endi siz y qiymatlarini qidirishga o'tishingiz kerak:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - p 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - p 4 - 1 3 yoki y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - p 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 yoki y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 yoki y 0 = - 4 5 + 1 3

Bundan 2 3 p 4 - a r c sin 1 9 + 2 p ni olamiz; 4 5 - 1 3, 2 3 5 p 4 + a r c sin 1 9 + 2 p; - 4 5 + 1 3 teginish nuqtalari.

Javob: zarur tenglamalar quyidagicha yoziladi

y = 1 2 x - 2 3 p 4 - a r c sin 1 9 + 2 pk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 p 4 + a r c sin 1 9 + 2 p - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Vizual tasvirlash uchun koordinata chizig'idagi funksiya va tangensni ko'rib chiqing.

Rasmda joylashuv ko'rsatilgan funktsiyalar keladi oraliqda [-10; 10 ], bu yerda qora chiziq funksiya grafigi, ko‘k chiziqlar tangenslar bo‘lib, ular y = - 2 x + 1 2 ko‘rinishdagi berilgan chiziqqa perpendikulyar joylashgan. Qizil nuqtalar teginish nuqtalari.

2-tartibli egri chiziqlarning kanonik tenglamalari bir qiymatli funksiyalar emas. Ular uchun tangens tenglamalari ma'lum sxemalar bo'yicha tuzilgan.

Aylanaga teginish

Markazi x c e n t e r nuqtada bo lgan aylanani aniqlash; y c e n t e r va radiusi R, x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 formulasini qo'llang.

Bu tenglikni ikkita funktsiyaning birlashmasi sifatida yozish mumkin:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Birinchi funktsiya rasmda ko'rsatilganidek, yuqorida, ikkinchisi esa pastda joylashgan.

x 0 nuqtada aylana tenglamasini tuzish uchun; y 0 , yuqori yoki pastki yarim doira ichida joylashgan, y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r yoki y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + ko'rinishdagi funktsiya grafigining tenglamasini topishingiz kerak. ko'rsatilgan nuqtada y c e n t e r.

x c e n t e r nuqtalarida bo'lganda; y c e n t e r + R va x c e n t e r; y c e n t e r - R tangenslari y = y c e n t e r + R va y = y c e n t e r - R tenglamalari va x c e n t e r + R nuqtalarda berilishi mumkin; y c e n t e r va
x c e n t e r - R ; y c e n t e r o y ga parallel bo ladi, keyin x = x c e n t e r + R va x = x c e n t e r - R ko rinishdagi tenglamalarni olamiz.

Ellipsga teginish

Ellips x c e n t e r da markazga ega bo lganda; y c e n t e r yarim o‘qlari a va b bo‘lsa, u holda x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 tenglamasi yordamida aniqlanishi mumkin.

Ellips va aylana ikkita funktsiyani, ya'ni yuqori va pastki yarim ellipsni birlashtirib belgilanishi mumkin. Keyin biz buni olamiz

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Agar tangenslar ellipsning uchlarida joylashgan bo'lsa, u holda ular taxminan x yoki taxminan y ga parallel bo'ladi. Quyida, aniqlik uchun raqamni ko'rib chiqing.

6-misol

X ning qiymatlari x = 2 ga teng bo'lgan nuqtalarda x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 ellipsga teginish tenglamasini yozing.

Yechim

X = 2 qiymatiga mos keladigan teginish nuqtalarini topish kerak. Biz ellipsning mavjud tenglamasini almashtiramiz va uni topamiz

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Keyin 2; 5 3 2 + 5 va 2; - 5 3 2 + 5 - yuqori va pastki yarim ellipsga tegishli teginish nuqtalari.

Ellipsning y ga nisbatan tenglamasini topish va yechishga o‘tamiz. Biz buni tushunamiz

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Shubhasiz, yuqori yarim ellips y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, pastki yarim ellips esa y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 ko'rinishdagi funksiya yordamida aniqlangan.

Nuqtadagi funksiya grafigiga teginish tenglamasini yaratish uchun standart algoritmni qo‘llaylik. 2-nuqtadagi birinchi tangens uchun tenglamani yozamiz; 5 3 2 + 5 o'xshash bo'ladi

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Biz nuqtadagi qiymatga ega bo'lgan ikkinchi tangens tenglamasini topamiz
2 ; - 5 3 2 + 5 shaklini oladi

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafik jihatdan tangenslar quyidagicha belgilanadi:

Giperbolaga teginish

Giperbola x c e n t e r da markazga ega bo lganda; y c e n t e r va uchlari x c e n t e r + a ; y c e n t e r va x c e n t e r - a ; y c e n t e r, x - x c e n t e r 2 a 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 tengsizlik sodir bo'ladi, agar cho'qqilari bilan x c e n t e r bo'lsa; y c e n t e r + b va x c e n t e r; y c e n t e r - b, keyin x - x c e n t e r 2 a 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 tengsizlik yordamida aniqlanadi.

Giperbola shaklning ikkita birlashgan funksiyasi sifatida ifodalanishi mumkin

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r yoki y = b a · (x - x c e n t e r e r) (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

Birinchi holda biz tangenslar y ga parallel, ikkinchisida esa x ga parallel.

Bundan kelib chiqadiki, giperbolaga teguvchi tenglamani topish uchun teginish nuqtasi qaysi funktsiyaga tegishli ekanligini aniqlash kerak. Buni aniqlash uchun tenglamalarni almashtirish va identifikatsiyani tekshirish kerak.

7-misol

7 nuqtadagi x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 giperbolaga teguvchi tenglamani yozing; - 3 3 - 3.

Yechim

2 ta funksiya yordamida giperbolani topish uchun yechim yozuvini o'zgartirish kerak. Biz buni tushunamiz

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 va y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Qaysi funktsiyaga tegishli ekanligini aniqlash kerak belgilash nuqtasi 7 koordinatalari bilan; - 3 3 - 3.

Shubhasiz, birinchi funktsiyani tekshirish uchun y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 kerak bo'lsa, nuqta grafikga tegishli emas, chunki tenglik bajarilmaydi.

Ikkinchi funksiya uchun bizda y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, ya'ni nuqta berilgan grafikga tegishli. Bu yerdan siz qiyalikni topishingiz kerak.

Biz buni tushunamiz

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Javob: tangens tenglamani quyidagicha ifodalash mumkin

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

U quyidagicha aniq tasvirlangan:

Parabolaga teginish

x 0, y (x 0) nuqtada y = a x 2 + b x + c parabolasiga teguvchi tenglamani yaratish uchun siz standart algoritmdan foydalanishingiz kerak, keyin tenglama y = y "(x) ko'rinishini oladi. 0) x - x 0 + y ( x 0).Ustdagi bunday teginish x ga parallel.

Siz x = a y 2 + b y + c parabolasini ikkita funktsiyaning birligi sifatida belgilashingiz kerak. Shuning uchun y uchun tenglamani yechishimiz kerak. Biz buni tushunamiz

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Grafik sifatida tasvirlangan:

x 0, y (x 0) nuqtaning funksiyaga tegishli ekanligini bilish uchun standart algoritmga muvofiq muloyimlik bilan harakat qiling. Bunday tangens parabolaga nisbatan o y ga parallel bo ladi.

8-misol

Tangens burchagi 150 ° bo'lganda x - 2 y 2 - 5 y + 3 grafigiga teginish tenglamasini yozing.

Yechim

Yechimni parabolani ikkita funktsiya sifatida ifodalashdan boshlaymiz. Biz buni tushunamiz

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Nishabning qiymati bu funktsiyaning x 0 nuqtasidagi hosilaning qiymatiga teng va moyillik burchagi tangensiga teng.

Biz olamiz:

k x = y "(x 0) = t g a x = t g 150 ° = - 1 3

Bu yerdan biz aloqa nuqtalari uchun x qiymatini aniqlaymiz.

Birinchi funktsiya quyidagicha yoziladi

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Shubhasiz, haqiqiy ildizlar yo'q, chunki biz salbiy qiymatga ega bo'ldik. Bunday funktsiya uchun 150 ° burchakka ega bo'lgan tangens yo'q degan xulosaga keldik.

Ikkinchi funktsiya quyidagicha yoziladi

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Bizda aloqa nuqtalari 23 4; - 5 + 3 4.

Javob: tangens tenglama shaklini oladi

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Keling, buni grafik tarzda quyidagicha tasvirlaymiz:

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Siz lotin nima ekanligini allaqachon bilasizmi? Agar yo'q bo'lsa, avval mavzuni o'qing. Demak, siz lotinni bilasiz deysiz. Keling, hozir tekshiramiz. Argumentning o'sishi teng bo'lganda funktsiyaning o'sishini toping. Siz boshqardingizmi? Bu ishlashi kerak. Endi funksiyaning nuqtadagi hosilasini toping. Javob: . Bo'ldimi? Agar siz ushbu misollardan biron birida qiyinchiliklarga duch kelsangiz, mavzuga qaytib, uni qayta o'rganishingizni qat'iy tavsiya qilaman. Mavzu juda katta ekanligini bilaman, lekin aks holda uzoqqa borishdan ma'no yo'q. Ba'zi funktsiyaning grafigini ko'rib chiqing:

Grafik chizig'ida ma'lum bir nuqtani tanlaymiz. Uning abtsissasi bo'lsin, u holda ordinata teng bo'ladi. Keyin nuqtaga yaqin abscissa bilan nuqtani tanlaymiz; uning ordinatasi:

Keling, ushbu nuqtalar orqali to'g'ri chiziq chizamiz. U sekant deb ataladi (xuddi geometriyadagi kabi). To'g'ri chiziqning o'qqa moyillik burchagini deb belgilaymiz. Trigonometriyada bo'lgani kabi, bu burchak x o'qining musbat yo'nalishidan soat miliga teskari yo'nalishda o'lchanadi. Burchak qanday qiymatlarni olishi mumkin? Ushbu to'g'ri chiziqni qanday egishingizdan qat'iy nazar, yarmi yuqoriga yopishib qoladi. Shuning uchun mumkin bo'lgan maksimal burchak , minimal mumkin bo'lgan burchak esa . Ma'nosi, . Burchak kiritilmagan, chunki bu holda to'g'ri chiziqning holati to'liq mos keladi va kichikroq burchakni tanlash mantiqiyroq. Rasmdagi shunday nuqtani olaylikki, to'g'ri chiziq abscissa o'qiga parallel, a esa ordinata o'qi bo'lsin:

Rasmdan ko'rinib turibdiki, a. Keyin o'sish nisbati:

(chunki u to'rtburchaklar shaklida).

Keling, endi kamaytiraylik. Shunda nuqta nuqtaga yaqinlashadi. U cheksiz kichik bo'lganda, nisbat nuqtadagi funktsiyaning hosilasiga teng bo'ladi. Sekant bilan nima bo'ladi? Nuqta nuqtaga cheksiz yaqin bo'ladi, shuning uchun ularni bir xil nuqta deb hisoblash mumkin. Ammo egri chiziq bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan to'g'ri chiziq bundan boshqa narsa emas tangens(bu holda, bu shart faqat kichik hududda - nuqta yaqinida bajariladi, ammo bu etarli). Aytishlaricha, bu holatda sekant oladi chegara pozitsiyasi.

Sekantning o'qqa qiyshayish burchagi deb ataymiz. Keyin hosila ekanligi ma'lum bo'ladi

ya'ni hosilasi berilgan nuqtadagi funksiya grafigiga teginish burchagining tangensiga teng.

Tangens chiziq bo'lgani uchun, endi chiziq tenglamasini eslaylik:

Koeffitsient nimaga javob beradi? To'g'ri chiziqning qiyaligi uchun. Bu shunday deyiladi: qiyalik. Bu nima degani? Va to'g'ri chiziq va o'q orasidagi burchakning tangensiga teng ekanligi! Shunday qilib, shunday bo'ladi:

Ammo biz bu qoidani ortib borayotgan funktsiyani hisobga olgan holda oldik. Funktsiya pasaysa nima o'zgaradi? Ko'raylikchi:
Endi burchaklar to'g'ridan-to'g'ri. Va funktsiyaning o'sishi salbiy. Keling, yana bir bor ko'rib chiqaylik: . Boshqa tomondan, . Biz olamiz: , ya'ni hamma narsa o'tgan safargidek. Keling, yana nuqtani nuqtaga yo'naltiramiz va sekant cheklovchi pozitsiyani egallaydi, ya'ni nuqtadagi funktsiya grafigiga teguvchiga aylanadi. Shunday qilib, yakuniy qoidani shakllantiramiz:
Funktsiyaning ma'lum bir nuqtadagi hosilasi ushbu nuqtadagi funksiya grafigiga teginish burchagining tangensiga yoki (bu bir xil bo'lgan) bu tangensning qiyaligiga teng:

Bu shunday hosilaning geometrik ma'nosi. Xo'sh, bularning barchasi qiziq, lekin bu bizga nima uchun kerak? Bu yerga misol:
Rasmda funksiyaning grafigi va abscissa nuqtasida unga tegish ko'rsatilgan. Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.
Yechim.
Yaqinda aniqlaganimizdek, tangens nuqtasidagi hosilaning qiymati tangensning qiyaligiga teng bo'lib, u o'z navbatida bu tegning abscissa o'qiga moyillik burchagi tangensiga teng: . Demak, hosilaning qiymatini topish uchun tangens burchakning tangensini topishimiz kerak. Rasmda koordinatalari bizga ma'lum bo'lgan tangensda yotgan ikkita nuqtani belgilab oldik. Shunday qilib, keling, ushbu nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri burchakli uchburchakni qurishni yakunlaymiz va tangens burchakning tangensini topamiz!

Tangensning o'qga moyillik burchagi. Bu burchakning tangensini topamiz: . Shunday qilib, funktsiyaning nuqtadagi hosilasi teng bo'ladi.
Javob:. Endi o'zingiz sinab ko'ring:

Javoblar:

Bilish hosilaning geometrik ma'nosi, nuqtada hosila degan qoidani juda oddiy tushuntirishimiz mumkin mahalliy maksimal yoki minimal nolga teng. Haqiqatan ham, ushbu nuqtalarda grafikning tangensi "gorizontal", ya'ni x o'qiga parallel:

Parallel chiziqlar orasidagi burchak nimaga teng? Albatta, nol! Va nolning tangensi ham nolga teng. Shunday qilib, hosila nolga teng:

Bu haqda ko'proq "Funktsiyalarning monotonligi" mavzusida o'qing. Ekstremal nuqtalar."

Endi ixtiyoriy tangenslarga e'tibor qarataylik. Aytaylik, bizda qandaydir funksiya bor, masalan, . Biz uning grafigini chizdik va bir nuqtada unga tangens chizmoqchimiz. Masalan, bir nuqtada. Biz o'lchagichni olamiz, uni grafikaga biriktiramiz va chizamiz:

Bu chiziq haqida nima bilamiz? Koordinata tekisligidagi chiziq haqida bilish uchun eng muhim narsa nima? Chunki to‘g‘ri chiziq tasvirdir chiziqli funksiya, uning tenglamasini bilish juda qulay bo'lar edi. Ya'ni, tenglamadagi koeffitsientlar

Ammo biz allaqachon bilamiz! Bu o'sha nuqtadagi funktsiyaning hosilasiga teng bo'lgan tangensning qiyaligi:

Bizning misolimizda bu shunday bo'ladi:

Endi uni topishgina qoladi. Bu armutni otish kabi oddiy: axir - qiymati. Grafik jihatdan, bu chiziqning ordinat o'qi bilan kesishish koordinatasi (oxir-oqibat, o'qning barcha nuqtalarida):

Keling, uni chizamiz (shuning uchun u to'rtburchaklar). Keyin (tangens va x o'qi orasidagi bir xil burchakka). Nimaga teng va nimaga teng? Rasmda aniq ko'rinib turibdiki, a. Keyin biz olamiz:

Olingan barcha formulalarni to'g'ri chiziq tenglamasiga birlashtiramiz:

Endi o'zingiz qaror qiling:

1. Toping tangens tenglamasi nuqtadagi funksiyaga.
2. Parabolaning tangensi o'qni burchak ostida kesib o'tadi. Shu tangens tenglamasini toping.
3. Chiziq funksiya grafigining tangensiga parallel. Tangens nuqtaning abtsissasini toping.
4. Chiziq funksiya grafigining tangensiga parallel. Tangens nuqtaning abtsissasini toping.

Yechimlar va javoblar:

FUNKSIYA grafigiga TANGENT TENGLASHISHI. QISQA TA'RIF VA ASOSIY FORMULALAR

Muayyan nuqtadagi funktsiyaning hosilasi ushbu nuqtadagi funktsiya grafigiga teginish tangensiga yoki bu tangensning qiyaligiga teng:

Nuqtadagi funksiya grafigiga teginish tenglamasi:

Tangens tenglamani topish algoritmi:

Xo'sh, mavzu tugadi. Agar siz ushbu satrlarni o'qiyotgan bo'lsangiz, demak siz juda zo'rsiz.

Chunki odamlarning atigi 5 foizi o‘z kuchi bilan biror narsani o‘zlashtira oladi. Va agar siz oxirigacha o'qisangiz, unda siz ushbu 5% ga kirasiz!

Endi eng muhimi.

Siz ushbu mavzu bo'yicha nazariyani tushundingiz. Va takror aytaman, bu... bu shunchaki ajoyib! Siz allaqachon tengdoshlaringizning aksariyatidan yaxshiroqsiz.

Muammo shundaki, bu etarli bo'lmasligi mumkin ...

Sabab?

Yagona davlat imtihonini muvaffaqiyatli topshirganlik uchun, kollejga byudjetga kirish uchun va ENG MUHIM, umrbod.

Men sizni hech narsaga ishontirmayman, faqat bitta narsani aytaman ...

Qabul qilgan odamlar yaxshi ta'lim, uni olmaganlarga qaraganda ko'proq pul ishlang. Bu statistika.

Lekin bu asosiy narsa emas.

Asosiysi, ular BAXTLI (Bunday tadqiqotlar bor). Ehtimol, ularning oldida yana ko'p imkoniyatlar ochilib, hayot yanada yorqinroq bo'ladimi? Bilmayman...

Lekin o'zingiz o'ylab ko'ring...

Yagona davlat imtihonida boshqalardan yaxshiroq bo'lish va oxir-oqibat ... baxtli bo'lish uchun nima qilish kerak?

SHU MAVZU BO'YICHA MUAMMOLARNI YECHIB QOLING.

Imtihon paytida sizdan nazariya so'ralmaydi.

Sizga kerak bo'ladi vaqtga qarshi muammolarni hal qilish.

Va agar siz ularni hal qilmagan bo'lsangiz (KO'P!), Agar biror joyda ahmoqona xatoga yo'l qo'yasiz yoki shunchaki vaqtingiz bo'lmaydi.

Bu xuddi sportdagidek - aniq g'alaba qozonish uchun buni ko'p marta takrorlash kerak.

To'plamni xohlagan joyingizda toping, albatta yechimlar bilan, batafsil tahlil va qaror qiling, qaror qiling, qaror qiling!

Siz bizning vazifalarimizdan foydalanishingiz mumkin (ixtiyoriy) va biz, albatta, ularni tavsiya qilamiz.

Vazifalarimizdan yaxshiroq foydalanish uchun siz hozir o'qiyotgan YouClever darsligining ishlash muddatini uzaytirishga yordam berishingiz kerak.

Qanaqasiga? Ikkita variant mavjud:

1. Ushbu maqoladagi barcha yashirin vazifalarni oching - 299 rub.
2. Darslikning barcha 99 ta maqolasidagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching - 499 rub.

Ha, bizning darsligimizda 99 ta shunday maqola bor va ulardagi barcha vazifalar va yashirin matnlarga kirish darhol ochilishi mumkin.

Barcha yashirin vazifalarga kirish saytning BUTUN muddati davomida taqdim etiladi.

Yakunida...

Bizning vazifalarimiz sizga yoqmasa, boshqalarni toping. Faqat nazariya bilan to'xtamang.

"Tushundim" va "Men hal qila olaman" - bu mutlaqo boshqa ko'nikmalar. Sizga ikkalasi ham kerak.

Muammolarni toping va ularni hal qiling!