Chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti
Ulanishning yaqinlik darajasining yanada mukammal ko'rsatkichi chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti (r).
Ushbu ko'rsatkichni hisoblashda nafaqat xarakteristikaning individual qiymatlarining o'rtacha qiymatdan og'ish belgilari, balki bunday og'ishlarning kattaligi ham hisobga olinadi, ya'ni. mos ravishda faktoriy va natijaviy xarakteristikalar, qiymatlar va . Biroq, olingan mutlaq qiymatlarni bir-biri bilan to'g'ridan-to'g'ri taqqoslash mumkin emas, chunki xususiyatlarning o'zi turli birliklarda (taqdim etilgan misolda bo'lgani kabi) ifodalanishi mumkin va agar bir xil o'lchov birliklari mavjud bo'lsa, o'rtacha qiymatlar har xil bo'lishi mumkin. Shu munosabat bilan, nisbiy qiymatlarda ifodalangan og'ishlar solishtirish mumkin, ya'ni. standart og'ishning fraktsiyalarida (ular normallashtirilgan og'ishlar deb ataladi). Shunday qilib, omil xarakteristikasi uchun biz qiymatlar to'plamiga ega bo'lamiz va samarali xarakteristikasi uchun, .
Olingan normalangan og'ishlarni bir-biri bilan solishtirish mumkin. Hisoblangan normalangan og'ishlarni taqqoslash asosida butun populyatsiya uchun xususiyatlar o'rtasidagi bog'liqlik darajasining umumiy tavsifini olish uchun normalangan og'ishlarning o'rtacha mahsuloti hisoblanadi. Shu tarzda olingan o'rtacha chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti bo'ladi r.
(1.2)
yoki chunki s x Va s y chunki bu qatorlar doimiy va qavs ichidan chiqarilishi mumkin, u holda chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti formulasi quyidagi shaklni oladi:
(1.3)
Chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti -1 dan +1 gacha bo'lgan har qanday qiymatni olishi mumkin. Mutlaq qiymatdagi korrelyatsiya koeffitsienti 1 ga qanchalik yaqin bo'lsa, xarakteristikalar o'rtasidagi bog'liqlik shunchalik yaqin bo'ladi. Chiziqli korrelyatsiya koeffitsientining belgisi munosabatlarning yo'nalishini ko'rsatadi: to'g'ridan-to'g'ri bog'liqlik ortiqcha belgisiga, teskari munosabat esa minus belgisiga mos keladi.
Agar omil xarakteristikasi qiymatlarining oshishi bilan X, natija belgisi da ortib borishga moyil bo'lsa, korrelyatsiya koeffitsienti qiymati 0 va 1 orasida bo'ladi. Agar ortib borayotgan qiymatlar bilan X natija belgisi da pasayishga moyil bo'lsa, korrelyatsiya koeffitsienti 0 dan -1 gacha bo'lgan qiymatlarni qabul qilishi mumkin.
Yuqorida keltirilgan Fexner koeffitsienti kabi chiziqli korrelyatsiya koeffitsientining olingan qiymati ko'rsatadi mumkin bo'lgan mavjudligi Reklama xarajatlari va kompaniya xizmatlaridan foydalangan turistlar soni o'rtasida juda yaqin to'g'ridan-to'g'ri bog'liqlik mavjud.
Kvadrat korrelyatsiya koeffitsienti ( r 2) deyiladi aniqlash koeffitsienti. Ko'rib chiqilayotgan misol uchun uning qiymati 0,6569 ni tashkil etadi, ya'ni firma xizmatlaridan foydalangan mijozlar sonidagi o'zgarishlarning 65,69% firmalarning xizmatlarini reklama qilish xarajatlarining o'zgarishi bilan izohlanadi.
Bu erda yana bir bor eslatib o'tish kerakki, korrelyatsiya koeffitsienti qiymatining o'zi o'rganilayotgan xususiyatlar o'rtasida sabab-natija aloqasi mavjudligining dalili emas, balki xususiyatlarning o'zgarishidagi o'zaro izchillik darajasini baholashdir. Sabab-natija munosabatlarini o'rnatishdan oldin hodisalarning sifat xarakterini tahlil qilish amalga oshiriladi. Ammo korrelyatsiya koeffitsientining kattaligiga asoslangan ulanishning mumkin bo'lgan mavjudligi to'g'risida xulosalar tuzishni tushuntiradigan yana bir holat mavjud.
Buning sababi shundaki, korrelyatsiya koeffitsienti yordamida bog'lanishning yaqinlik darajasini baholash, qoida tariqasida, o'rganilayotgan hodisa haqida ko'proq yoki kamroq cheklangan ma'lumotlar asosida amalga oshiriladi. Bunda korrelyatsiyaning haqiqiy mavjudligi haqidagi namunaviy ma'lumotlarga asoslangan xulosamiz qanchalik qonuniy degan savol tug'iladi. aholi, namuna qaysidan olingan?
DA KORRELATSION VA REGRESSION TAHLILI
IQTISODIY HISOBLAR
Korrelyatsiya va regressiya tahlilidagi asosiy tushunchalar
Matematikada xususiyatlar o'rtasidagi sabab-oqibat munosabatlarini aks ettiruvchi ikkita tushuncha mavjud: funktsional va korrelyatsiya bog'liqligi.
Funktsional bog'liqlik deganda miqdorlar o'rtasidagi bog'liqlik tushuniladi, agar bog'liq miqdor - funktsiyaning qiymati to'liq bog'liq o'zgaruvchilar qiymatlari bilan aniqlangan bo'lsa.
Korrelyatsiyaga bog'liqlik, bitta (natijadagi) miqdorning har bir qiymati ma'lum bir ehtimollik bilan yuzaga keladigan boshqasining tasodifiy qiymatlari to'plamiga mos kelganda yuzaga keladi.
Iqtisodiy hodisalarni o'rganishda biz funksional emas, balki korrelyatsiya bog'liqligi bilan shug'ullanamiz. Korrelyatsiyadan foydalanish va regressiya tahlili hisoblash mumkin korrelyatsiya koeffitsientlari, individual ko'rsatkichlar o'rtasidagi munosabatlarning kuchini baholaydigan, tanlang
regressiya tenglamasi, bu bog'lanishning shaklini belgilaydi va bu aloqaning mavjudligining ishonchliligini o'rnatadi.
Iqtisodiy jarayonlarni korrelyatsion va regressiv tahlil qilish jarayoni quyidagi bosqichlardan iborat:
Statistik ma'lumotlarni dastlabki qayta ishlash va samarali ko'rsatkichga ta'sir qiluvchi asosiy omil xususiyatlarini tanlash;
Bog'lanishning yaqinligini baholash va natijaviy va omil xususiyatlari o'rtasidagi mavjud bog'liqlik shaklini aniqlash;
O'rganilayotgan hodisaning (ko'p faktorli) modelini ishlab chiqish va uni tahlil qilish;
Olingan tahlil natijalarini boshqaruv qarorlarini qabul qilish uchun qo'llash.
Korrelyatsiya ikkita asosiy muammoga duch keladi. Birinchisi, bir omilning o'zgarishi bilan bog'liq holda o'rtacha samarali xarakteristikaning qanday o'zgarishini aniqlashdir. Bu muammoni hal qilish mumkin aloqa tenglamasini topish. Ikkinchi vazifa buzuvchi omillarning ta'sir darajasini belgilaydi. Ushbu muammo ulanishning yaqinlik ko'rsatkichlarini o'rganish orqali hal qilinadi. Bunday ko'rsatkichlar korrelyatsiya koeffitsientlari va korrelyatsiya koeffitsientlari hisoblanadi.
2. Effektiv va omil belgilari . Hodisaning ayrim belgilarining boshqalarga ta'sirini o'rganishda, ma'lum bir hodisani tavsiflovchi belgilar zanjiridan ikkitasi - omil belgilari (natijaga ta'sir qiluvchi) va natijaviy belgilar ajralib turadi. Xususiyatlarning qaysi biri omilli, qaysi biri samarali ekanligini aniqlash kerak. Bunga birinchi navbatda mantiqiy tahlil yordam beradi.
Misol. Ayrim korxonaning sanoat mahsulotlarining tannarxi ko'pgina omillarga, shu jumladan, ushbu korxonada ishlab chiqarish hajmiga bog'liq. Bunda ishlab chiqarish tannarxi samarali atribut, ishlab chiqarish hajmi esa faktor sifatida xizmat qiladi.
Yana bir misol. Yirik korxonalarning kichik korxonalarga nisbatan afzalliklarini baholash uchun biz yirik korxonalarda ishchilarning mehnat unumdorligi qanday oshishini ko'rib chiqishimiz va mehnat unumdorligining korxona hajmining oshishiga bog'liqligini aniqlashimiz mumkin.
3. Aloqa tenglamasi haqida tushuncha. Bu funksiyaning tenglamasi natijaviy va faktoriy xarakteristikalar o'rtasidagi bog'liqlik tenglamasi bo'ladi.
Usul yordamida ulanish tenglamasi topiladi eng kichik kvadratlar, bu ulanish tenglamasi asosida olingan qiymatlardan empirik qiymatlarning kvadrat og'ishlarining yig'indisi minimal bo'lishini talab qiladi.
Eng kichik kvadratlar usulidan foydalanish har bir ulanish turi uchun har xil bo'lgan oddiy tenglamalar tizimini echish orqali aloqa tenglamasining parametrlarini topishga imkon beradi.
Ikki xususiyat o'rtasidagi bog'liqlik o'rtacha bilan ifodalanganligini ta'kidlash uchun, munosabatlar tenglamasidan topilgan natijaviy xarakteristikaning qiymatlari belgilanadi. uf.
Munosabatlar tenglamasini bilib, qiymat paydo bo'lganda, olingan xarakteristikaning o'rtacha qiymatini oldindan hisoblashingiz mumkin. faktoriy xususiyati ma’lum. Demak, bog`lanish tenglamasi kuzatilayotgan statistik munosabatlarni umumlashtirish usuli, ularni o`rganish usulidir.
Birlashtiruvchi tenglama sifatida u yoki bu funktsiyadan foydalanish birlashmalarni shakliga ko'ra farqlaydi: chiziqli bog'lanish va egri chiziqli bog'lanish (parabolik, giperbolik va boshqalar).
At bir xarakteristikaga bog'liqliklar uchun ulanish tenglamalarini ko'rib chiqaylik turli shakllar ulanishlar, (chiziqli, egri chiziqli parabolik, giperbolik) va bir nechta ulanishlar uchun.
4. Xarakteristikalar orasidagi chiziqli munosabat. Ux==ao+a1x to'g'ri chiziq tenglamasi sifatida bog'lanish tenglamasi faktoriy atributning ortishi bilan samarali atributning bir xil o'sishida qo'llaniladi. Bunday bog'liqlik chiziqli (to'g'ri chiziqli) bog'liqlik bo'ladi.
ao va a1 to'g'ri chiziq tenglamasining parametrlari eng kichik kvadratlar usuli yordamida olingan normal tenglamalar tizimini yechish yo'li bilan topiladi:
Tenglama parametrlarini va Vx samarali xarakteristikasining o'rtacha qiymatlarini hisoblash misoli quyidagi jadval bo'lib, faktoriy xarakteristikalar bo'yicha guruhlash va o'rtacha qiymatlarni samarali xarakteristikalar bo'yicha hisoblash natijasidir.
Korxonalarni asosiy vositalar qiymati bo'yicha guruhlash va miqdorlarni hisoblash aloqa tenglamasi uchun zarurdir.
Jadvaldan topamiz: n==6; =18; =39,0; =71,5
132,0. Biz ikkita noma'lumli ikkita tenglamalar tizimini quramiz:
Ikkala tenglamadagi har bir atamani ao koeffitsientlariga bo'lib, biz quyidagilarni olamiz:
Ikkinchi tenglamadan birinchisini ayirish: 0,97a1=0,83; a1==0,86. a1 qiymatlarini birinchi tenglamaga ao+3*0,86 =6,5 almashtirsak, ao=6,5-2,58=+3,92 ni topamiz.
Ulanish tenglamasi quyidagi ko'rinishda bo'ladi: yx=3,92+0,86x. Ushbu tenglamaga mos keladigan x ni almashtirib, biz korrelyatsiya bog'liqligi ko'rinishida y ning x ga o'rtacha bog'liqligini aks ettiruvchi natijaviy xarakteristikaning qiymatlarini olamiz.
E'tibor bering, tenglama bilan hisoblangan miqdorlar va haqiqiylar bir-biriga teng. Rasmda haqiqiy va hisoblangan qiymatlarning ko'rinishi. 4 bog'lanish tenglamasi o'rtacha kuzatilgan bog'liqlikni aks ettiradi.
5. Belgilar orasidagi parabolik bog`liqlik . 2-tartibli parabola yx = ao + a1x + a2x 2 tenglamasi bilan ifodalangan parabolik bog'liqlik faktoriy atributning bir xil ortishi bilan birgalikda samarali atributning tezlashtirilgan ortishi yoki kamayishi bilan yuzaga keladi.
Parabola tenglama parametrlari ao; a1; a2, 3 ta normal tenglamalar tizimini yechish orqali hisoblanadi:
Misol tariqasida qaramlikni olaylik. oylik masala mahsulotlar (y) asosiy vositalar qiymatidan (x). Ikkala raqam ham eng yaqin million rublga yaxlitlangan. Kerakli miqdorlarni hisoblash jadvalda keltirilgan. 5.
Jadvaldagi ma'lumotlarga asoslanib, biz tenglamalar tizimini yaratamiz:
6. Giperbola tenglamasi. Fikr-mulohaza faktorialning ortishi bilan samarali atributning pasayishini ko'rsatadi. Bu a1 ning manfiy qiymati bilan chiziqli munosabatdir. Bir qator boshqa hollarda mulohazalarni giperbola tenglamasi bilan ifodalash mumkin
Ao va a1 giperbola tenglamasining parametrlari normal tenglamalar sistemasidan topiladi:
7. Korrelyatsiya jadvali. Kuzatishlarning katta hajmi bilan, o'zaro bog'langan juftliklar soni ko'p bo'lsa, juftlashtirilgan ma'lumotlar ko'p sonli sonlarni ifodalashning eng qulay shakli bo'lgan korrelyatsiya jadvalida osongina joylashishi mumkin.
Korrelyatsiya jadvalida bitta xarakteristika satrlarda, ikkinchisi esa jadval ustunlarida joylashgan. Grafik va ustunning kesishmasidagi katakchada joylashgan raqam natijaviy xarakteristikaning berilgan qiymati faktorial xarakteristikaning berilgan qiymati bilan qanchalik tez-tez sodir bo'lishini ko'rsatadi.
Hisoblashni soddalashtirish uchun biz 20 ta korxonada bir ishchiga o'rtacha oylik ishlab chiqarish (ming rubl) va asosiy ishlab chiqarish fondlarining qiymati (million rubl) bo'yicha oz sonli kuzatuvlarni olamiz.
Oddiy juftlashtirilgan jadvalda bu ma'lumotlar quyidagicha joylashtirilgan:
y qatorlar yig'indisi nyu xarakteristikaning chastotasini, x ustunining yig'indisi nx xarakteristikasining chastotasini ko'rsatadi. Korrelyatsiya jadvalining katakchalaridagi raqamlar ikkala xarakteristikaga tegishli chastotalar bo'lib, nxy bilan belgilanadi.
Korrelyatsiya jadvali, hatto yuzaki tanish bo'lsa ham, beradi umumiy fikr to'g'ri chiziq haqida va fikr-mulohaza. Agar chastotalar diagonal pastga o'ngga joylashgan bo'lsa, u holda xarakteristikalar o'rtasidagi bog'liqlik to'g'ridan-to'g'ri bo'ladi (satr va ustunlardagi xarakteristikaning qiymatlari ortib borishi bilan). Agar chastotalar diagonal yuqoriga o'ngga joylashgan bo'lsa, u holda ulanish teskari bo'ladi.
8. Korrelyatsiya munosabati. Agar hodisa ikkita xususiyat bilan o'lchanadigan bo'lsa, unda omiliy xarakteristikaning bir xil qiymatlari uchun olingan xarakteristikaga ko'ra dispersiya o'lchovlarini (asosan dispersiyani) topish mumkin.
Masalan, ikkita o'zaro bog'liq qatorning korrelyatsiya jadvali berilgan bo'lib, unda soddaligi uchun qo'llaniladigan o'g'it miqdorining (x) faktoriy xarakteristikasining faqat uchta qiymati va natijada olingan xarakteristika - hosil (y) mavjud. - sezilarli darajada o'zgarib turadi. 16-jadval
Hosildorligi har xil bo‘lgan uchastkalarning har bir guruhiga har xil miqdorda o‘g‘it kiritildi. Demak, turli maydonlarda 20 g/hosilda o‘g‘it berilganda teng bo‘lgan: bir maydonda 0,8 t, ikki maydonda 0,9, uchtada 1,0 va bittada 1,1 t bo‘lgan.O‘rtacha hosildorlikni topamiz va ushbu guruh uchastkalari uchun hosilning tarqalishi.
30,0 g qo'llaniladigan o'g'it miqdori bo'lgan uchastkalar guruhi uchun o'rtacha hosildorlik quyidagicha bo'ladi:
Keling, bir guruh hududlar uchun o'xshash xususiyatlarni hisoblaylik. 40 tonna o‘g‘it oldi:
Ushbu ma'lumotlardan, shuningdek, qo'llaniladigan o'g'it miqdoridan qat'i nazar, barcha 20 ta uchastkaning o'rtacha hosildorligini aniqlashingiz mumkin, ya'ni umumiy o'rtacha:
va umumiy o'rtacha atrofidagi guruhlarning o'rtacha hosildorligining o'zgaruvchanligi (tarqalishi) o'lchovi. Bu dispersiya guruhlararo dispersiya deb ataladi va b 2 bilan belgilanadi
bu erda yi - qo'llaniladigan o'g'it miqdori bilan farq qiluvchi uchastkalar guruhlari uchun o'rtacha hosildorlik; m1,m2,m3,-guruhlar soni. Ushbu misol uchun guruhlar orasidagi farq:
Guruhlar orasidagi dispersiya omil atributi tufayli yuzaga keladigan dispersiyani ko'rsatadi. Bu misolda Y = == 0,01&247 qo'llaniladigan o'g'it miqdoridagi farqdan kelib chiqadigan hosil dispersiyasining ko'rsatkichidir.
Biroq, guruhlararo dispersiyadan tashqari, dispersiyani boshqa omillar (agar siz o'g'itlardan tashqari barcha boshqa omillarni shunday deb atasangiz) tufayli dispersiya ko'rsatkichi sifatida ham hisoblash mumkin. Bu ko'rsatkich saytlar guruhlari uchun dispersiya ko'rsatkichlarining (diferansiyalarning) o'rtacha (vaznli) qiymati bo'ladi.
Bu amalda qo'llaniladigan o'g'it miqdori bo'yicha farq qiluvchi uchastkalar guruhlari uchun vositalar va farqlar to'g'risida ma'lumot mavjud bo'lsa, barcha 20 ta uchastka uchun umumiy dispersiya (tarqalish) o'lchovini olish mumkinligini anglatadi. Shunday qilib, 20 ta uchastka uchun umumiy hosilning farqi bo'ladi;
Guruhlararo va o'rtacha guruhlar dispersiyasini hisoblash formulalarini quyidagicha qisqartirish mumkin:
Umumiy dispersiyani, guruh ichidagi va guruhlararo dispersiyani hisoblash faktorial atributning samarali atributning o'zgaruvchanligiga ta'sir darajasi haqida ba'zi xulosalar chiqarishga imkon beradi. Ushbu ta'sir o'lchovi korrelyatsiya munosabati yordamida topiladi:
Demak, er uchastkasi hosildorligining oʻzgaruvchanligining 78% qoʻllanilgan oʻgʻit miqdorining oʻzgaruvchanligiga bogʻliq.
Chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti
Bir-biriga bog'liq bo'lgan ikkita qator o'rtasidagi munosabatlarning yaqinligini o'rganishda chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti qo'llaniladi, bu ushbu qatorlar o'rtasidagi bog'liqlik mavjudligi yoki qanchalik kuchli ekanligini ko'rsatadi. U -1 dan +1 gacha bo'lgan qiymatlarni qabul qilishi mumkin.
10.Kumulyativ korrelyatsiya koeffitsienti :
,
Qayerda r- chiziqli korrelyatsiya koeffitsientlari va pastki belgilar qaysi xususiyatlar orasida hisoblanganligini ko'rsatadi.
1) Chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti -1 dan +1 gacha bo'lgan qiymatlarni olishi mumkin.
2) Agar , u holda xarakteristikalar orasidagi bog'lanish funksional bo'ladi, ya'ni samarali xarakteristikaga faqat ko'rib chiqilayotgan omil xarakteristikasi ta'sir qiladi va boshqa hech narsa ta'sir qilmaydi, agar r = 0 bo'lsa, u holda xarakteristikalar o'rtasida hech qanday bog'liqlik yo'q.
3) Agar r> 0, u holda xarakteristikalar o'rtasidagi bog'liqlik to'g'ridan-to'g'ri, agar r< 0, то связь – обратная.
4) Quyidagi intervallarni ajrating r:
belgilar o'rtasida deyarli hech qanday aloqa yo'q;
aloqa zaif;
ulanish o'rtacha;
aloqa kuchli.
Guruch. 2. Grafikdagi nuqtalarning joylashuvi va korrelyatsiya koeffitsienti qiymatlariga misollar
Uchun chiziqli korrelyatsiya koeffitsientining ahamiyatini baholash r foydalanish t- Talaba testi. Bunda korrelyatsiya koeffitsienti nolga teng degan gipoteza ilgari suriladi.
Gipotezani tekshirish:
1. Haqiqiy qiymatlarni hisoblang t- uchun mezon r:
(bu formula kichik namuna hajmi uchun ishlatiladi).
2. Jadvalga muvofiq t- Qabul qilingan ahamiyat darajasi yoki erkinlik darajalari sonini hisobga olgan holda talabalar taqsimoti aniqlanadi.
3. Agar bo'lsa, u holda gipoteza rad etiladi, bu korrelyatsiya koeffitsientining ahamiyatini ko'rsatadi.
Korrelyatsiya munosabati formulalar bilan aniqlanadi:
η = yoki η = ,
omil belgisi ta'sirida yuzaga kelgan belgining guruhlararo dispersiyasi qayerda;
– natijaviy atributning umumiy dispersiyasi;
- natijada paydo bo'lgan belgining guruh ichidagi farqlarining o'rtacha qiymati.
Korrelyatsiya munosabatini hisoblash juda katta hajmdagi ma'lumotni talab qiladi, ular guruh jadvali yoki korrelyatsiya jadvali shaklida taqdim etilishi kerak, ya'ni. shart atribut-omil bo'yicha ma'lumotlarni guruhlashdir.
Guruhlanmagan ma'lumotlar uchun empirik korrelyatsiya nisbati quyidagi formula yordamida hisoblanishi mumkin:
.
bu erda y - natijada olingan xususiyatning empirik (haqiqiy) qiymatlari;
– samarali xarakteristikaning o‘rtacha qiymati;
– analitik tenglama yordamida hisoblangan natijaviy xarakteristikaning tenglashtirilgan qiymatlari.
Korrelyatsiya koeffitsienti kvadrat () va juftlik munosabati uchun chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti kvadrat () deyiladi. aniqlash koeffitsienti (kauzallik), u umumiy dispersiyadagi omillar dispersiyasining ulushini aks ettiradi.
Aniqlash koeffitsienti (D) hosil bo’lgan xarakteristikaning o’rtacha qiymatining necha foizga o’zgarishi ushbu omil xarakteristikasi ta’sirida aniqlanishini ko’rsatadi.
Amalda, aloqaning yaqinlik darajasini aniqlash uchun boshqa ko'rsatkichlardan foydalanish mumkin.
Ulanishning yaqinlik darajasining elementar xarakteristikasi hisoblanadi Fechner koeffitsienti :
,
Qayerda n a- omil xarakteristikasining individual qiymatlarining og'ish belgilarining tasodifiy soni X va natija belgisi da ularning arifmetik o'rtacha qiymatidan (masalan, "ortiqcha" va "ortiqcha", "minus" va "minus", "burilish yo'q" va "burilish yo'q");
n b- xarakteristikalar individual qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatidan og'ish belgilaridagi nomuvofiqliklar soni.
Fexner koeffitsienti dastlabki ma'lumotlarning miqdori kichik bo'lganda qo'llaniladi. U -1 dan 1 gacha o'zgaradi.
Miqdoriy va sifat ko'rsatkichlari o'rtasidagi bog'liqlikning yaqinligini aniqlash uchun, agar ushbu xususiyatlarning qiymatlarini o'sish yoki kamayish tartibida tartiblash mumkin bo'lsa, u ishlatiladi. Spearmanning darajali korrelyatsiya koeffitsienti :
,
Qayerda d i- omil xarakteristikasining daraja qiymatlari va natijaviy xususiyat o'rtasidagi farq;
n– o‘rganilayotgan qator ko‘rsatkichlari (darajalari) soni.
U -1 dan 1 gacha o'zgaradi.
Ishning oxiri -
Ushbu mavzu bo'limga tegishli:
Statistika
Vyatka davlat gumanitar universiteti.. m a kunilova o o antonenko..
Agar sizga ushbu mavzu bo'yicha qo'shimcha material kerak bo'lsa yoki siz qidirayotgan narsangizni topa olmagan bo'lsangiz, bizning ishlar ma'lumotlar bazasida qidiruvdan foydalanishni tavsiya etamiz:
Qabul qilingan material bilan nima qilamiz:
Agar ushbu material siz uchun foydali bo'lsa, uni ijtimoiy tarmoqlardagi sahifangizga saqlashingiz mumkin:
| Tvit |
Ushbu bo'limdagi barcha mavzular:
Fisherning F testining kritik qiymatlari
k1 k2 Muhimlik darajasi
Mikro va makro darajadagi turli iqtisodiy hodisalar mustaqil emas, balki bir-biri bilan bog'liq (mahsulot narxi va unga bo'lgan talab, ishlab chiqarish hajmi va kompaniya foydasi va boshqalar).
Bu bog'liqlik qat'iy funktsional (deterministik) va statistik bo'lishi mumkin.
va o'rtasidagi bog'liqlik, agar bir belgining har bir qiymati boshqa xarakteristikaning bitta qiymatiga mos kelsa, funktsional deyiladi. (Bunday o'ziga xos munosabatlarga misol - aylananing maydonining radiusga bog'liqligi.)
Haqiqatda, hodisalar o'rtasidagi boshqa bog'liqlik ko'proq uchraydi, agar bitta xususiyatning har bir qiymati boshqasining bir nechta qiymatiga mos kelishi mumkin (masalan, bolalar yoshi va ularning bo'yi o'rtasidagi bog'liqlik).
Bir yoki bir nechta o'zaro bog'liq ko'rsatkichlar (omillar) boshqa ko'rsatkichga (natijaga) aniq emas, balki ma'lum darajada ehtimollik bilan ta'sir qiladigan bog'lanish shakli statistik deyiladi. Xususan, kattaliklardan biri o‘zgarganda ikkinchisining o‘rtacha qiymati o‘zgarsa, bu holda statistik bog‘liqlik korrelyatsiya deb ataladi.
Modelga kiritilgan omillar soniga qarab, juftlik korrelyatsiyasi (ikki o'zgaruvchi o'rtasidagi munosabat) va ko'p korrelyatsiya (natijaning bir nechta omillarga bog'liqligi) o'rtasida farqlanadi.
Korrelyatsiya tahlili belgilashdan iborat yo'nalishlari, shakllari va darajalari ikki (bir nechta) tasodifiy xarakteristikalar orasidagi bog'lanishlar (yaqinlik) va.
Yo'nalish bo'yicha korrelyatsiya ijobiy (to'g'ridan-to'g'ri) bo'ladi, agar bir o'zgaruvchining qiymatlari oshgani sayin, boshqasining qiymati oshsa va salbiy (teskari), agar bir o'zgaruvchining qiymatlari oshgani sayin, boshqasining qiymati kamaysa. .
Shaklda korrelyatsiya munosabatlari chiziqli (to'g'ri chiziqli), agar bir xarakteristikaning qiymatlarining o'zgarishi boshqasining bir xil o'zgarishiga olib kelsa (to'g'ri chiziq tenglamasi bilan matematik tasvirlangan) va egri chiziqli bo'lishi mumkin. bir xarakteristikaning qiymatlarining o'zgarishi boshqasida teng bo'lmagan o'zgarishlarga olib keladi (matematik jihatdan u egri chiziqlar tenglamalari bilan tavsiflanadi, masalan, giperbolalar, parabolalar va boshqalar).
O'zgaruvchilar orasidagi bog'liqlikning eng oddiy shakli chiziqli bog'liqlikdir. Va bunday qaramlikning mavjudligini tekshirish, uning ko'rsatkichlari va parametrlarini baholash ekonometrikaning eng muhim yo'nalishlaridan biridir.
Maxsus statistik usullar va shunga mos ravishda ko'rsatkichlar mavjud bo'lib, ularning qiymatlari ma'lum bir tarzda o'zgaruvchilar o'rtasida chiziqli munosabatlar mavjudligi yoki yo'qligini ko'rsatadi.
Chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti
Korrelyatsiyalarni aniqlashning eng oddiy, taxminiy usuli grafikdir.
Kichik namuna o'lchami bilan eksperimental ma'lumotlar bir-biriga bog'langan ikki qator qiymatlar shaklida taqdim etiladi va. Agar har bir juft tekislikdagi nuqta sifatida ifodalansa, u holda korrelyatsiya maydoni deb ataladigan maydon olinadi (1-rasm).
Agar korrelyatsiya maydoni ellips bo'lib, uning o'qi chapdan o'ngga va pastdan yuqoriga (1c-rasm) joylashgan bo'lsa, u holda xarakteristikalar o'rtasida chiziqli musbat bog'liqlik bor deb taxmin qilish mumkin.
Agar korrelyatsiya maydoni o'q bo'ylab chapdan o'ngga va yuqoridan pastga cho'zilgan bo'lsa (1d-rasm), unda chiziqli manfiy bog'lanish mavjudligini taxmin qilishimiz mumkin.
Agar kuzatish nuqtalari tekislikda xaotik joylashgan bo'lsa, ya'ni korrelyatsiya maydoni aylana hosil qilsa (1a-rasm), u holda bu xarakteristikalar o'rtasidagi bog'liqlik yo'qligidan dalolat beradi.
1b-rasmda qat'iy chiziqli funktsional munosabatlar ko'rsatilgan.
Ikki miqdor o'rtasidagi yaqin bog'liqlik deganda ular orasidagi konjugatsiya darajasi tushuniladi, bu o'rganilayotgan miqdorlarning o'zgarishi bilan aniqlanadi. Agar har bir berilgan qiymat bir-biriga yaqin qiymatlarga mos kelsa, u holda munosabatlar yaqin (kuchli) hisoblanadi; agar qiymatlar keng tarqalgan bo'lsa, u holda munosabatlar kamroq yaqin deb hisoblanadi. Yaqin korrelyatsiya aloqasi bilan korrelyatsiya maydoni ko'proq yoki kamroq siqilgan ellipsdir.
Chiziqli munosabatlarning yo'nalishi va qattiqligining miqdoriy mezoni koeffitsientdir chiziqli korrelyatsiya.
Namuna ma'lumotlaridan aniqlangan korrelyatsiya koeffitsienti namunaviy korrelyatsiya koeffitsienti deb ataladi. U quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
qaerda, xususiyatlarning joriy qiymatlari va; va xarakteristikalarning o'rtacha arifmetik qiymatlari; -variant ko‘paytmalarining o‘rtacha arifmetik qiymati va bu belgilarning standart og‘ishlari; namuna hajmi.
Korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash uchun tasodifiy xususiyatlar orasidagi chiziqli bog'liqlik farazini qabul qilish kifoya. Keyin hisoblangan korrelyatsiya koeffitsienti ushbu chiziqli munosabatlarning o'lchovi bo'ladi.
Chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti qat'iy chiziqli manfiy munosabatda?1 dan, qat'iy chiziqli holda +1 ga teng qiymatlarni oladi. ijobiy aloqa(bular.). Korrelyatsiya koeffitsientining 0 ga yaqinligi yo'qligini ko'rsatadi chiziqli xususiyatlar o'rtasidagi aloqalar, lekin ular o'rtasidagi aloqalarning umuman yo'qligi haqida emas.
Korrelyatsiya koeffitsientiga aniq grafik talqin berilishi mumkin.
Agar, u holda xarakteristikalar o'rtasida tipning chiziqli funktsional bog'liqligi mavjud bo'lsa, bu xususiyatlarning to'liq korrelyatsiyasini bildiradi. Qachon, to'g'ri chiziq o'qqa nisbatan musbat qiyalikka ega va salbiy (1b-rasm).
Agar nuqtalar hududda bo'lsa cheklangan chiziq, ellipsga o'xshaydi. Korrelyatsiya koeffitsienti qanchalik yaqin bo'lsa, ellips shunchalik torayadi va nuqtalar to'g'ri chiziqqa yaqinroq to'planadi. Ijobiy korrelyatsiya borligini aytishganda. Bunday holda, qiymatlar ortib borishi bilan ortib boradi (1c-rasm). Ular salbiy korrelyatsiya haqida gapirganda; qiymatlar o'sish bilan pasayish tendentsiyasiga ega (1d-rasm).
Agar, u holda nuqtalar aylana bilan chegaralangan maydonda joylashgan. Bu tasodifiy xususiyatlar o'rtasida hech qanday bog'liqlik yo'qligini anglatadi va bunday xususiyatlar korrelyatsiyasiz deb ataladi (1a-rasm).
Shuningdek, xarakteristikalar o'rtasida bog'liqlik mavjud bo'lganda chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti nolga yaqin (teng) bo'lishi mumkin, lekin u chiziqli emas (2-rasm).
Ulanishning zichligini baholashda siz quyidagi shartli jadvaldan foydalanishingiz mumkin:
E'tibor bering, kattaliklarning namunaviy chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti formulasining numeratori va bilan ularning kovariatsiya ko'rsatkichini o'z ichiga oladi:
Bu ko'rsatkich korrelyatsiya koeffitsienti kabi va miqdorlar orasidagi chiziqli bog'lanish darajasini tavsiflaydi. Agar u noldan katta bo'lsa, kattaliklar orasidagi bog'liqlik ijobiy, agar u noldan kichik bo'lsa, unda manfiy munosabat, nolga teng bo'lsa, chiziqli bog'liqlik bo'lmaydi.
Korrelyatsiya koeffitsientidan farqli o'laroq, kovariatsiya ko'rsatkichi normallashtiriladi - u o'lchovga ega va uning qiymati o'lchov birliklariga bog'liq va. Statistik tahlilda kovariatsiya ko'rsatkichi odatda chiziqli korrelyatsiya koeffitsientini hisoblashda oraliq element sifatida ishlatiladi. Bu. namunaviy korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash formulasi quyidagi shaklni oladi:
Korrelyatsiya koeffitsientining ahamiyatini (ishonchliligini) baholash
Shuni ta'kidlash kerakki, o'zgaruvchilar orasidagi chiziqli munosabatlar darajasining haqiqiy ko'rsatkichi nazariy korrelyatsiya koeffitsienti bo'lib, u butun populyatsiyadan olingan ma'lumotlar (ya'ni, barcha mumkin bo'lgan qiymatlar ko'rsatkichlar):
deb hisoblanadigan nazariy kovariatsiya indeksi qayerda kutilgan qiymat SV ning og'ish mahsulotlari va ularning matematik taxminlaridan.
Qoida tariqasida, biz nazariy korrelyatsiya koeffitsientini hisoblay olmaymiz. Biroq, tanlov koeffitsienti nolga teng emasligidan, nazariy koeffitsient ham (ya'ni, ko'rsatkichlar chiziqli mustaqil bo'lishi mumkin) degan xulosaga kelmaydi. Bu. Tasodifiy tanlab olish ma'lumotlariga asoslanib, ko'rsatkichlar o'rtasida bog'liqlik mavjudligini aytib bo'lmaydi.
Namuna korrelyatsiya koeffitsienti nazariy koeffitsientning taxminidir, chunki u faqat o'zgaruvchan qiymatlarning bir qismi uchun hisoblanadi.
Korrelyatsiya koeffitsientida har doim xatolik mavjud. Ushbu xato - tanlanma hajmining korrelyatsiya koeffitsienti va umumiy populyatsiya uchun korrelyatsiya koeffitsienti o'rtasidagi tafovut quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
da; va da.
Chiziqli korrelyatsiya koeffitsientining ahamiyatini tekshirish namunaviy ma'lumotlarga qanchalik ishonishimiz mumkinligini tekshirishni anglatadi.
Shu maqsadda populyatsiya uchun korrelyatsiya koeffitsientining qiymati nolga teng bo'lgan nol gipoteza tekshiriladi, ya'ni. populyatsiyada o'zaro bog'liqlik yo'q. Alternativ - bu gipoteza.
Ushbu gipotezani tekshirish uchun talabalar statistikasi (-kriteriya) hisoblanadi:
Erkinlik darajasi bilan talabalar taqsimotiga ega. Talabalarni taqsimlash jadvallari yordamida aniqlanadi kritik qiymat. Agar mezonning hisoblangan qiymati bo'lsa, u holda nol gipoteza rad etiladi, ya'ni hisoblangan korrelyatsiya koeffitsienti ehtimollik bilan noldan sezilarli darajada farq qiladi.
Agar bo'lsa, nol gipotezani rad etib bo'lmaydi. Bunday holda, korrelyatsiya koeffitsientining haqiqiy qiymati nolga teng bo'lishi mumkin, ya'ni. ko'rsatkichlar o'rtasidagi munosabatni statistik jihatdan ahamiyatsiz deb hisoblash mumkin.
Misol 1. Jadvalda jami daromadlar va yakuniy iste'mol xarajatlari bo'yicha 8 yillik ma'lumotlar ko'rsatilgan.
Berilgan ko'rsatkichlar orasidagi bog'liqlikni o'rganish va o'lchash.
Korrelyatsiya tahlili ikkalasi o'rtasidagi bog'liqlik darajasi bilan shug'ullanadi tasodifiy o'zgaruvchilar X va Y.
Ikki tasodifiy o'zgaruvchi uchun eksperimental ma'lumotlarning korrelyatsiya tahlili quyidagi asosiy usullarni o'z ichiga oladi:
1. Tanlangan korrelyatsiya koeffitsientlarini hisoblash.
2. Korrelyatsiya jadvalini tuzish.
3. Tekshirish statistik gipoteza bog'lanishning ahamiyati.
TA'RIF. X va Y tasodifiy miqdorlar orasidagi korrelyatsiya bog'liqligi, agar f(x) va ph(x) regressiya funksiyalarining ikkalasi ham chiziqli bo'lsa, chiziqli korrelyatsiya deyiladi. Bunday holda, ikkala regressiya chizig'i ham to'g'ri; ular regressiya chiziqlari deb ataladi.
Etarlicha to'liq tavsif miqdorlar o'rtasidagi korrelyatsiya bog'liqligining xususiyatlari, bu bog'liqlik shaklini aniqlashning o'zi etarli emas va holatda chiziqli bog'liqlik uning kuchini regressiya koeffitsienti qiymati bilan baholang. Masalan, o'rta maktab o'quvchilarining Y yoshining o'qishning X sinfiga korrelyatsion bog'liqligi, qoida tariqasida, oliy o'quv yurtlari talabalari yoshining o'xshash bog'liqligiga qaraganda yaqinroq ekanligi aniq. ta'lim muassasasi o'qish yiliga qarab, chunki universitetda o'sha yili o'qigan talabalar orasida odatda bir sinfdagi maktab o'quvchilariga qaraganda ko'proq yosh taqsimoti mavjud.
Namuna kuzatuvlari natijalariga ko'ra X va Y qiymatlari o'rtasidagi chiziqli korrelyatsiyalarning yaqinligini baholash uchun quyidagi formula bilan aniqlangan namunaviy chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti tushunchasi kiritiladi:
Bu erda s X va s Y - X va Y qiymatlarining namunaviy standart og'ishlari, ular formulalar yordamida hisoblanadi:
Shuni ta'kidlash kerakki, tanlanma chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti r B ning asosiy ma'nosi shundaki, u tegishli umumiy chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti r ning empirik (ya'ni, X va Y qiymatlarini kuzatish natijalaridan topilgan) bahosini ifodalaydi: r=. r B (9)
Formulalarni hisobga olgan holda:
namuna olish tenglamasini ko'ramiz chiziqli regressiya Y by X quyidagicha ko'rinadi:
(10)
Qayerda. X va Y ning chiziqli regressiya tenglamalari namunasi haqida ham shunday deyish mumkin:
(11)
Namuna chiziqli korrelyatsiya koeffitsientining asosiy xususiyatlari:
1. Chiziqli korrelyatsiya bilan bog'lanmagan ikki miqdorning korrelyatsiya koeffitsienti nolga teng.
2. Chiziqli korrelyatsiya bog'liqligi bilan bog'liq bo'lgan ikki miqdorning korrelyatsiya koeffitsienti ortib borayotgan bog'liqlik holatida 1 ga, bog'liqlik kamaygan holda -1 ga teng.
3. Mutlaq qiymat chiziqli korrelyatsiya bog'liqligi bilan bog'liq bo'lgan ikki miqdorning korrelyatsiya koeffitsienti 0 tengsizlikni qanoatlantiradi<|r|<1. При этом коэффициент корреляции положителен, если корреляционная зависимость возрастающая, и отрицателен, если корреляционная зависимость убывающая.
4. |r| qanchalik yaqin bo'lsa 1 ga, Y va X qiymatlari o'rtasidagi chiziqli korrelyatsiya qanchalik yaqin bo'lsa.
O'z tabiatiga ko'ra korrelyatsiya to'g'ridan-to'g'ri yoki teskari bo'lishi mumkin, kuchliligi bo'yicha esa - kuchli, o'rta, zaif. Bundan tashqari, ulanish yo'q yoki to'liq bo'lishi mumkin.
Parametrlar orasidagi munosabatlarning kuchi va tabiati
4-misol. Ikki miqdor Y va X o‘rtasidagi bog‘liqlik o‘rganildi.Kuzatish natijalari jadvalda 11-jildning ikki o‘lchovli namunasi ko‘rinishida keltirilgan:
| X | 68 | 37 | 50 | 53 | 75 | 66 | 52 | 65 | 74 | 65 | 54 |
| Y | 114 | 149 | 146 | 141 | 114 | 112 | 124 | 105 | 141 | 120 | 124 |
Majburiy:
1) Tanlangan korrelyatsiya koeffitsientini hisoblang;
2) Korrelyatsiyaning tabiati va mustahkamligini baholash;
3) X da Y uchun chiziqli regressiya tenglamasini yozing.
Yechim. Taniqli formulalar bo'yicha:
Demak, (7) va (8) ga muvofiq:
Shunday qilib, X va Y qiymatlari o'rtasidagi ko'rib chiqilayotgan korrelyatsiya bog'liqligi tabiatan teskari va o'rtacha kuchga ega degan xulosaga kelish kerak.
3) Y ning X dagi chiziqli regressiya tenglamasi:
Misol 5. Y (%) sifati va X miqdori (dona) o'rtasidagi bog'liqlik o'rganildi. Kuzatish natijalari korrelyatsiya jadvali shaklida taqdim etiladi:
| Y\X | 18 | 22 | 26 | 30 | n y |
| 70 | 5 | 5 | |||
| 75 | 7 | 46 | 1 | 54 | |
| 80 | 29 | 72 | 101 | ||
| 85 | 29 | 8 | |||
| 90 | 3 | 3 | |||
| n x | 12 | 75 | 102 | 11 | 200 |
Y ning X ga bog'liqligining namunaviy chiziqli korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash talab qilinadi.
Yechim. Hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun h 1 =4, h 2 =5, x 0 =26, y 0 =80 bo'lgan (*) (§3) formulalaridan foydalanib, yangi o'zgaruvchilarga - shartli variantlarga (u i, v i) o'tamiz. Qulaylik uchun biz ushbu jadvalni yangi yozuvda qayta yozamiz:
| u\v | -2 | -1 | 0 | 1 | nv |
| -2 | 5 | 5 | |||
| -1 | 7 | 46 | 1 | 54 | |
| 0 | 29 | 72 | 101 | ||
| 1 | 29 | 8 | |||
| 2 | 3 | 3 | |||
| n u | 12 | 75 | 102 | 11 | 200 |
Bizda x i =u i va y j =v j uchun:
Shunday qilib:
Bu yerdan, 
Xulosa: X va Y qiymatlari o'rtasidagi bog'liqlik to'g'ridan-to'g'ri va kuchli.
