MAVZU: Ballarni baholash matematik kutish. Dispersiyaning nuqtaviy baholari. Voqea sodir bo'lish ehtimolini nuqtali baholash. Yagona taqsimot parametrlarining nuqtali bahosi.
1-band.Matematik kutishning nuqtali baholari.
Faraz qilaylik, tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi p noma'lum parametrga bog'liq θ : P (p th;).
Agar x 1 , x 2 …., x n- umumiy populyatsiyadan namuna tasodifiy o'zgaruvchi p, keyin parametrni baholash orqali θ namunaviy qiymatlarning ixtiyoriy funktsiyasidir
Taxminning qiymati namunadan namunaga o'zgaradi va shuning uchun tasodifiy o'zgaruvchidir. Aksariyat tajribalarda bu tasodifiy o'zgaruvchining qiymati baholanayotgan parametr qiymatiga yaqin bo'lsa, har qanday qiymat uchun qiymatning matematik kutilishi parametrning haqiqiy qiymatiga teng bo'lsa, u holda shartni qanoatlantiradigan taxminlar deyiladi; xolis. Xolis baholash, baholashning tizimli xatosiga yo'l qo'yilmasligini anglatadi.
Baholash izchil parametr bahosi deb ataladi θ , agar har qanday p>0 uchun bu to'g'ri bo'lsa
Shunday qilib, namuna hajmi oshgani sayin, natijaning aniqligi ortadi.
Mayli x 1
,
x 2
…
x n
– noma’lum matematik kutilma va ma’lum dispersiya Dl=s 2 bo‘lgan tasodifiy o‘zgaruvchiga mos keladigan umumiy to‘plamdan olingan namuna. Noma'lum parametrning bir nechta taxminlarini tuzamiz. Agar, keyin 
, ya'ni. ko'rib chiqilayotgan baholovchi xolis baholovchi hisoblanadi. Biroq, qiymat tanlama hajmi n ga umuman bog'liq emasligi sababli, taxmin haqiqiy emas.
Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishining samarali bahosi bu taxmindir
Bundan buyon tasodifiy o'zgaruvchining noma'lum matematik kutishini baholash uchun biz o'rtacha tanlamadan foydalanamiz, ya'ni.
Noma'lum taqsimot parametrlarini baholashning standart (muntazam) usullari mavjud. Ulardan eng mashhurlari: daqiqalar usuli, maksimal ehtimollik usuli Va eng kichik kvadrat usuli.
p.2 Dispersiyaning nuqtaviy baholari.
Tasodifiy kattalikning s 2 dispersiyasi uchun ξ Quyidagi baholashni taklif qilish mumkin:
namuna o'rtacha qaerda.
Bu taxmin haqiqiy ekanligi isbotlangan, lekin ko'chirilgan.
Farqning doimiy xolis bahosi sifatida qiymatdan foydalaning
Aynan bahoning xolisligi s 2 unga ko'proq tushuntiradi tez-tez foydalanish kattaligi taxmini sifatida Dξ.
E'tibor bering, Mathcad dispersiyani baholash uchun qiymatni taklif qiladi , s 2 emas: funktsiya var(x) qiymatni hisoblab chiqadi
Qayerda anglatadi (x) - namunaviy o'rtacha.
6.5-VAZIFA
Μξ va dispersiya Dξ tasodifiy o'zgaruvchisi p topshiriqda berilgan namunaviy qiymatlarga asoslangan.
Vazifani bajarish tartibi
Diskdan namunaviy qiymatlarni o'z ichiga olgan faylni o'qing yoki klaviaturadan belgilangan namunani kiriting.
Ballar taxminlarini hisoblash Μξ Va Dξ.
Vazifani bajarishga misol
Matematik kutishning izchil xolis baholarini toping Μξ va dispersiya Dξ tasodifiy o'zgaruvchi ξ quyidagi jadvalda berilgan namunaviy qiymatlarga muvofiq.
Ushbu turdagi jadval bilan aniqlangan namuna uchun (namuna qiymati va bu qiymat namunada necha marta sodir bo'lishini ko'rsatadigan raqam berilgan), kutish va dispersiyani izchil xolis baholash formulalari:
,
,
Qayerda k - jadvaldagi qiymatlar soni; n i - qiymatlar soni x i namunada; n- namuna hajmi.
Mathcad ishchi qog'ozining bir parchasi ball baholari hisob-kitoblari bilan quyida keltirilgan.
Yuqoridagi hisob-kitoblardan ko'rinib turibdiki, noxolis baho dispersiya bahosini kam baholaydi.
3-band. Hodisa ehtimolining nuqtali bahosi
Aytaylik, qandaydir tajribada voqea sodir bo'ldi A(sinovning ijobiy natijasi) ehtimollik bilan yuzaga keladi p va ehtimollik bilan sodir bo'lmaydi q = 1 - R. Vazifa noma'lum taqsimot parametrining taxminini olishdir p ketma-ket natijalarga asoslanadi n tasodifiy tajribalar. Belgilangan miqdordagi testlar uchun n ijobiy natijalar soni m bir qator testlarda - Bernoulli taqsimotiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi. Keling, uni harf bilan belgilaymiz μ.
Agar voqea A qatorida n mustaqil sinovlar o'tkazildi
m marta, keyin qiymatni taxmin qilish p formuladan foydalanib hisoblash taklif etiladi
Keling, taklif qilingan bahoning xususiyatlarini bilib olaylik. Tasodifiy o'zgaruvchidan beri μ u holda Bernulli taqsimotiga ega Μμ= n.p. VaM = M = p, ya'ni. xolis baho mavjud.
Bernulli testlari uchun Bernulli teoremasi o'rinli, unga ko'ra 
, ya'ni. daraja p
badavlat.
Bu bahoning samarali ekanligi isbotlangan, chunki u boshqa barcha narsalar teng bo'lsa, minimal dispersiyaga ega.
Mathcad-da Bernulli taqsimoti bilan tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari namunasini simulyatsiya qilish uchun rbinom (fc,ķ,r) funktsiyasi mo'ljallangan bo'lib, u vektor hosil qiladi. Kimga tasodifiy raqamlar, κα ι ularning har biri ē mustaqil sinovlar seriyasidagi muvaffaqiyatlar soniga, har birida r muvaffaqiyatga erishish ehtimoliga teng.
6.6-VAZIFA
Bernoulli taqsimotiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining bir nechta namunalarini berilgan parametr qiymati bilan taqlid qiling R. Har bir namuna uchun parametr bahosini hisoblang p va belgilangan qiymat bilan solishtiring. Hisoblash natijalarini grafik tarzda taqdim eting.
Vazifani bajarish tartibi
1. rbinom funksiyasidan foydalanish(1, n, p), Bernoulli taqsimotiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari ketma-ketligini tavsiflang va yarating. p Va n Uchun n = 10, 20, ..., Ν, namuna hajmining funktsiyasi sifatida P.
2. Har bir qiymat uchun hisoblang n nuqta ehtimolini baholash R.
Vazifani bajarishga misol
Hajm namunalarining nuqta baholarini olish misoli n= 10, 20,..., m tasodifiy o'zgaruvchining 200 qiymatlari parametrli Bernulli taqsimotiga ega p= 0,3, quyida berilgan.
Eslatma. Chunki funktsiyaning qiymati vektor, ketma-ket muvaffaqiyatlar soni n muvaffaqiyat ehtimoli bilan mustaqil sinovlar p Har bir sinovda rbinom vektorining birinchi komponentida mavjud (1, n, p), ya'ni. muvaffaqiyatlar soni rbinom (1, n, p). Yuqoridagi parchada k- I vektor komponenti Ρ 10-seriyadagi muvaffaqiyatlar sonini o'z ichiga oladi k uchun mustaqil testlar k = 1,2,..., 200.
4-band. Yagona taqsimlanish parametrlarining nuqtaviy bahosi
Keling, yana bir ibratli misolni ko'rib chiqaylik. Noma'lum parametrli segmentda bir xil taqsimotga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchiga mos keladigan umumiy populyatsiyadan namuna bo'lsin. θ . Bizning vazifamiz bu noma'lum parametrni baholashdir.
Keling, ulardan birini ko'rib chiqaylik mumkin bo'lgan usullar zarur smetasini tuzish. Agar ξ segmentida bir xil taqsimotga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchidir Μ ξ = . Kattalik taxminidan beri M ma'lum Μξ =, keyin parametrlarni baholash uchun θ siz taxmin qilishingiz mumkin
Baholashning xolisligi aniq:
Dispersiyani va D chegarasini n →∞ sifatida hisoblab, biz taxminning muvofiqligini tekshiramiz:
Boshqa parametr bahosini olish uchun θ Keling, boshqa statistik ma'lumotlarni ko'rib chiqaylik. Keling, = maksimal). Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimotini topamiz:
Keyin tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasi
tarqatish bilan 
mos ravishda teng:
;
bular. baholash izchil, lekin bir tomonlama. Biroq, agar = max) o'rniga biz = max) deb hisoblaymiz, keyin 
, va shuning uchun taxmin izchil va xolis.
Shu bilan birga, beri
baholashdan sezilarli darajada samaraliroq
Misol uchun, n = 97 bilan, th ^ smetasining tarqalishi taxminning tarqalishidan 33 rala kam.
Oxirgi misol yana bir bor noma'lum taqsimot parametrining statistik bahosini tanlash muhim va ahamiyatsiz vazifa ekanligini ko'rsatadi.
Mathcad-da [a, b] oralig'ida bir xil taqsimotga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari namunasini simulyatsiya qilish uchun runif (fc, o, b) funktsiyasi mo'ljallangan bo'lib, u vektor hosil qiladi. Kimga tasodifiy sonlar, ularning har biri [a, 6] oralig'ida bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining qiymati.
Tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin X matematik kutish bilan m va dispersiya D, bu ikkala parametr ham noma'lum. Qiymatdan yuqori X ishlab chiqarilgan N mustaqil tajribalar, buning natijasida majmui N raqamli natijalar x 1 , x 2 , …, x N. Matematik taxminni baholash uchun kuzatilgan qiymatlarning o'rtacha arifmetik qiymatini taklif qilish tabiiydir.
| (1) |
Bu yerda sifatida x i natijasida olingan aniq qiymatlar (raqamlar) hisobga olinadi N tajribalar. Agar biz boshqalarni olsak (avvalgilaridan mustaqil ravishda) N tajribalar, keyin biz boshqa qiymatga ega bo'lamiz. Agar ko'proq olsangiz N tajribalar, keyin biz yana bir yangi qiymatga ega bo'lamiz. bilan belgilaymiz X i natijasida kelib chiqadigan tasodifiy o'zgaruvchi i th tajriba, keyin amalga oshirish X i bu tajribalardan olingan raqamlar bo'ladi. Shubhasiz, tasodifiy o'zgaruvchi X i asl tasodifiy miqdor bilan bir xil ehtimollik zichligi funksiyasiga ega bo'ladi X. Biz tasodifiy o'zgaruvchilarga ham ishonamiz X i Va Xj qachon mustaqildirlar i, teng emas j(bir-biridan mustaqil bo'lgan turli xil tajribalar). Shuning uchun (1) formulani boshqa (statistik) shaklda qayta yozamiz:
| (2) |
Keling, bahoning xolis ekanligini ko'rsataylik:
Shunday qilib, o'rtacha tanlanmaning matematik kutilishi tasodifiy o'zgaruvchining haqiqiy matematik kutishiga teng. m. Bu juda bashorat qilinadigan va tushunarli fakt. Binobarin, tanlanma o'rtacha (2) tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini baholash sifatida qabul qilinishi mumkin. Endi savol tug'iladi: tajribalar soni ortib borishi bilan matematik kutish bahosining dispersiyasi nima bo'ladi? Analitik hisob-kitoblar shuni ko‘rsatadi
bu yerda matematik kutish bahosining dispersiyasi (2) va D- tasodifiy miqdorning haqiqiy dispersiyasi X.
Yuqoridagilardan kelib chiqadiki, ortib boradi N(tajribalar soni) smetaning dispersiyasi kamayadi, ya'ni. Biz mustaqil amalga oshirishni qanchalik ko'p jamlasak, matematik taxminga shunchalik yaqinroq bo'lamiz.
Matematik dispersiyani baholash
Bir qarashda, eng tabiiy baholash bo'lib tuyuladi
| (3) |
bu erda formula (2) yordamida hisoblanadi. Keling, bahoning xolis yoki yo'qligini tekshirib ko'ramiz. Formula (3) quyidagicha yozilishi mumkin:
(2) ifodani ushbu formulaga almashtiramiz:
Dispersiyani baholashning matematik kutilmasini topamiz:
| (4) |
Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi qanday bo'lishiga bog'liq emasligi sababli, 0 ga teng bo'lgan matematik kutishni olaylik, ya'ni. m = 0.
| (5) | |
| da . | (6) |
Tasodifiy miqdorning eng muhim raqamli xarakteristikalari X u matematik kutish m x =M va dispersiya s 2 x = D[x] = M[(X – m x) 2 ] = M –. Raqam m x kattaliklarning qiymatlari atrofida tarqalgan tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati X, bu tarqalishning o'lchovi dispersiyadir D[x] Va standart og'ish:
s x =(1.11)
Kuzatish mumkin bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchini o'rganish uchun muhim muammoni ko'rib chiqamiz. Bir oz namuna bo'lsin (biz uni belgilaymiz S) tasodifiy o'zgaruvchi X. Mavjud namuna bo'yicha taxmin qilish kerak noma'lum qiymatlar m x Va .
Turli parametrlarni baholash nazariyasi egallaydi matematik statistika muhim joy. Shuning uchun, birinchi navbatda, ko'rib chiqaylik umumiy vazifa. Ba'zi parametrlarni taxmin qilish kerak bo'lsin a namuna bo'yicha S. Har bir bunday baholash a* qandaydir funktsiyadir a*=a*(S) namuna qiymatlaridan. Namuna qiymatlari tasodifiy, shuning uchun taxminning o'zi a* tasodifiy o‘zgaruvchidir. Ko'p qurish mumkin turli taxminlar(masalan, funktsiyalar) a*, lekin ayni paytda qaysidir ma'noda "yaxshi" yoki hatto "eng yaxshi" ga ega bo'lish maqsadga muvofiqdir. Quyidagi uchta tabiiy talab odatda baholashga qo'yiladi.
1. Ko‘chirilmagan. Baholashning matematik kutilishi a* parametrning aniq qiymatiga teng bo'lishi kerak: M = a. Boshqacha aytganda, ball a* tizimli xatolikka yo'l qo'ymaslik kerak.
2. Boylik. Namuna hajmining cheksiz o'sishi bilan, taxmin a* aniq qiymatga yaqinlashishi kerak, ya'ni kuzatishlar soni ortib borishi bilan baholash xatosi nolga intiladi.
3. Samaradorlik. Baho a* xolis bo'lsa va xatolik farqi eng kichik bo'lsa samarali deb aytiladi. Bunday holda, hisob-kitoblarning tarqalishi minimaldir a* aniq qiymatga nisbatan va taxmin ma'lum ma'noda "eng aniq" hisoblanadi.
Afsuski, har doim ham uchta talabni bir vaqtning o'zida qondiradigan baholashni qurish mumkin emas.
Matematik kutishni baholash uchun ko'pincha taxmin ishlatiladi.
= , (1.12)
ya'ni namunaning o'rtacha arifmetik qiymati. Agar tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa X cheklanganga ega m x Va s x, keyin taxmin (1.12) noxolis va izchil emas. Bu taxmin samarali, masalan, agar X normal taqsimotga ega (1.4-rasm, 1-ilova). Boshqa tarqatishlar uchun u samarali bo'lmasligi mumkin. Masalan, bir xil taqsimlanganda (1.1-rasm, 1-ilova) xolis, izchil baho bo'ladi.
(1.13)
Shu bilan birga, normal taqsimot uchun baho (1.13) na izchil va na samarali bo'ladi va hatto namuna hajmining oshishi bilan yomonlashadi.
Shunday qilib, tasodifiy miqdorni taqsimlashning har bir turi uchun X siz matematik taxminni taxmin qilishingiz kerak. Biroq, bizning vaziyatimizda tarqatish turi faqat taxminiy ma'lum bo'lishi mumkin. Shuning uchun biz smetadan (1.12) foydalanamiz, bu juda oddiy va eng ko'p muhim xususiyatlar xolislik va izchillik.
Guruhlangan namuna uchun matematik taxminni baholash uchun quyidagi formuladan foydalaniladi:
= , (1.14)
Agar hamma narsani ko'rib chiqsak, avvalgisidan olinishi mumkin m i namuna qiymatlari kiritilgan i-nchi interval vakilga teng z i bu interval. Bu taxmin, tabiiyki, qo'polroq, lekin sezilarli darajada kamroq hisoblashni talab qiladi, ayniqsa katta namuna hajmi bilan.
Farqni baholash uchun eng ko'p qo'llaniladigan smeta:
= 
, (1.15)
Ushbu taxmin bir tomonlama emas va har qanday tasodifiy o'zgaruvchi uchun amal qiladi X, to'rtinchi tartibni o'z ichiga olgan holda chekli momentlarga ega.
Guruhlangan namunada quyidagi taxmin qo'llaniladi:
= 
(1.16)
(1.14) va (1.16) baholar, qoida tariqasida, noxolis va asossizdir, chunki ularning matematik taxminlari va yaqinlashish chegaralari bir-biridan farq qiladi. m x va kiritilgan barcha namunaviy qiymatlarni almashtirish tufayli i-th interval, har bir interval vakili z i.
E'tibor bering, kattalar uchun n, koeffitsienti n/(n – 1)(1.15) va (1.16) ifodalarda birlikka yaqin, shuning uchun uni tashlab yuborish mumkin.
Intervalli taxminlar.
Mayli aniq qiymat ba'zi parametrlar teng a va uning taxmini topildi a*(S) namuna bo'yicha S. Baholash a* raqamli o'qdagi nuqtaga to'g'ri keladi (1.5-rasm), shuning uchun bu taxmin deyiladi nuqta. Oldingi paragrafda muhokama qilingan barcha hisob-kitoblar nuqtali taxminlardir. Deyarli har doim, tasodif tufayli
a* ¹ a, va biz faqat bu nuqtaga umid qilishimiz mumkin a* yaqin joyda joylashgan a. Lekin qanchalik yaqin? Boshqa har qanday ball bahosi bir xil kamchilikka ega bo'ladi - natijaning ishonchliligi o'lchovining yo'qligi.
1.5-rasm. Nuqta parametrini baholash.
Bu borada aniqroq intervalli taxminlar. Interval ball intervalni ifodalaydi I b = (a, b), unda taxminiy parametrning aniq qiymati berilgan ehtimollik bilan topiladi b. Interval men b chaqirdi ishonch oralig'i, va ehtimollik b chaqirdi ishonch ehtimoli va deb hisoblash mumkin baholashning ishonchliligi.
Ishonch oralig'i mavjud namunaga asoslanadi S, uning chegaralari tasodifiy bo'lishi ma'nosida tasodifiydir a(S) Va b(S), biz (tasodifiy) namunadan hisoblaymiz. Shunung uchun b tasodifiy oraliq ehtimoli bor men b tasodifiy bo'lmagan nuqtani qamrab oladi a. Shaklda. 1.6. interval men b nuqtani qamrab oldi a, A Ib*- Yo'q. Shuning uchun bunday deyish mutlaqo to'g'ri emas a ""oraliq" ga tushadi.
Ishonch ehtimoli bo'lsa b katta (masalan, b = 0,999), keyin deyarli har doim aniq qiymat a tuzilgan interval ichida joylashgan.
 |
1.6-rasm. Parametrning ishonch oraliqlari a turli namunalar uchun.
Keling, qurilish usulini ko'rib chiqaylik ishonch oralig'i tasodifiy o'zgaruvchini matematik kutish uchun X, asoslangan markaziy chegara teoremasi.
Tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin X noma'lum matematik kutishga ega m x Va ma'lum dispersiya. U holda, markaziy chegara teoremasiga ko'ra, o'rtacha arifmetik:
= , (1.17)
natijalar n mustaqil testlar miqdorlar X tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, uning taqsimlanishi keng tarqalgan n, ga yaqin normal taqsimot o'rtacha bilan m x va standart og'ish. Shuning uchun tasodifiy o'zgaruvchi
(1.18)
ko'rib chiqilishi mumkin bo'lgan ehtimollik taqsimotiga ega standart normal tarqatish zichligi bilan j(t), uning grafigi 1.7-rasmda ko'rsatilgan (shuningdek, 1.4-rasm, 1-ilovada).
 |
1.7-rasm. Tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik zichligi taqsimoti t.
Ishonch ehtimoli berilsin b Va t b - tenglamani qanoatlantiruvchi raqam
b = F 0 (t b) – F 0 (-t b) = 2 F 0 (t b),(1.19)
Qayerda 
- Laplas funktsiyasi. Keyin intervalga tushish ehtimoli (-t b, t b) 1.7-rasmdagi soyaliga teng bo'ladi. maydoni, va (1.19) ifodasi bo'yicha ga teng b. Shuning uchun
b = P(-t b< < t b) = P( –tb< m x < + t b ) =
= P( –tb< m x < + t b).(1.20)
Shunday qilib, ishonch oralig'i sifatida biz intervalni olishimiz mumkin
I b = ( – t b ; + st ) , (1.21)
chunki (1.20) ifoda noma'lum aniq qiymatni bildiradi m x ichida joylashgan men b berilgan ishonch ehtimoli bilan b. Qurilish uchun men b belgilanganidek kerak b toping t b(1.19) tenglamadan. Keling, bir nechta qiymatlarni beraylik t b kelajakda kerak :
t 0,9 = 1,645; t 0,95 = 1,96; t 0,99 = 2,58; t 0,999 = 3,3.
(1.21) ifodasini olishda standart og'ishning aniq qiymati ma'lum deb taxmin qilingan. s x. Biroq, bu har doim ham ma'lum emas. Shunday qilib, keling, uning bahosidan (1.15) foydalanamiz va quyidagilarni olamiz:
I b = ( – t b ; +tb). (1.22)
Shunga ko'ra, guruhlangan namunadagi taxminlar va olingan natijalar ishonch oralig'i uchun quyidagi formulani beradi:
I b = ( – t b ; +tb). (1.23)
MA'RUZA MAQSADI: noma'lum taqsimot parametrini baholash tushunchasini kiritish va bunday baholarning tasnifini berish; matematik kutish va dispersiyaning nuqta va intervalli baholarini olish.
Amalda, aksariyat hollarda tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni noma'lum va kuzatishlar natijalariga ko'ra 
raqamli xususiyatlarni (masalan, matematik kutish, dispersiya yoki boshqa momentlar) yoki noma'lum parametrni baholash kerak 
, bu taqsimot qonunini belgilaydi (tarqatish zichligi) 
o'rganilayotgan tasodifiy o'zgaruvchi. Shunday qilib, eksponensial taqsimot yoki Puasson taqsimoti uchun bitta parametrni baholash kifoya, ammo normal taqsimot uchun ikkita parametrni baholash kerak - matematik kutish va dispersiya.
Baholash turlari
Tasodifiy qiymat 
ehtimollik zichligiga ega 
, Qayerda 
- noma'lum taqsimot parametri. Tajriba natijasida ushbu tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari olindi: 
. Baholash asosan tasodifiy o'zgaruvchining namunaviy qiymatlari ma'lum bir parametr qiymati bilan bog'lanishi kerakligini anglatadi. 
, ya'ni kuzatish natijalarining ba'zi funksiyalarini yaratish 
, uning qiymati taxmin sifatida qabul qilinadi 
parametr 
. Indeks 
bajarilgan tajribalar sonini ko'rsatadi.
Kuzatish natijalariga bog'liq bo'lgan har qanday funktsiya deyiladi statistika. Kuzatish natijalari tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lganligi sababli, statistika ham tasodifiy o'zgaruvchi bo'ladi. Shuning uchun, baholash 
noma'lum parametr 
tasodifiy o'zgaruvchi sifatida ko'rib chiqilishi kerak va uning qiymati, hajmdagi eksperimental ma'lumotlardan hisoblanadi 
, - bu tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlaridan biri sifatida.
Tarqatish parametrlarining baholari (tasodifiy miqdorning raqamli xarakteristikalari) nuqta va intervalga bo'linadi. Ballarni baholash parametr 
bitta raqam bilan belgilanadi 
, va uning to'g'riligi taxminning o'zgarishi bilan tavsiflanadi. Intervalni baholash ikki raqam bilan belgilanadigan ball deb ataladi, 
Va 
– taxminiy parametrni qamrab oluvchi intervalning oxirlari 
berilgan ishonch ehtimoli bilan.
Nuqtali baholarning tasnifi
Noma'lum parametrning nuqta bahosi uchun 
aniqlik nuqtai nazaridan eng yaxshisi, u izchil, xolis va samarali bo'lishi kerak.
Boy baholash deb ataladi 
parametr 
, agar u taxmin qilingan parametrga ehtimollik bilan yaqinlashsa, ya'ni.
. (8.8)
Chebishev tengsizligidan kelib chiqib shuni ko'rsatish mumkin etarli shart(8.8) munosabatning bajarilishi tenglikdir
.
Muvofiqlik - bu da taxminning asimptotik xarakteristikasi 
.
Xolis baholash deb ataladi 
(tizimli xatosiz hisob-kitob), matematik kutish taxminiy parametrga teng, ya'ni.
. (8.9)
Agar tenglik (8.9) qoniqtirilmasa, u holda baho noaniq deb ataladi. Farq 
tarafkashlik yoki baholashda tizimli xato deb ataladi. Agar tenglik (8.9) faqat uchun bajarilsa 
, keyin mos keladigan baho asimptotik xolis deb ataladi.
Shuni ta'kidlash kerakki, agar izchillik amalda qo'llaniladigan barcha hisob-kitoblar uchun deyarli majburiy shart bo'lsa (mos kelmaydigan baholar juda kam qo'llaniladi), unda xolislik xususiyati faqat ma'qul bo'ladi. Ko'p tez-tez ishlatiladigan hisob-kitoblar xolis xususiyatga ega emas.
IN umumiy holat ba'zi parametrlarni baholashning aniqligi 
, eksperimental ma'lumotlar asosida olingan 
, o'rtacha kvadrat xatosi bilan tavsiflanadi
,
shaklga qisqartirish mumkin
,
farq qayerda, 
- kvadratik taxminiy noto'g'ri.
Agar taxmin xolis bo'lsa, unda
Cheklanganda 
taxminlar o'rtacha kvadratik xato bilan farq qilishi mumkin 
. Tabiiyki, bu xato qanchalik kichik bo'lsa, baholash qiymatlari taxminiy parametr atrofida shunchalik yaqinroq guruhlanadi. Shuning uchun har doim baholash xatosi imkon qadar kichik bo'lishi maqsadga muvofiqdir, ya'ni shart qondiriladi.
. (8.10)
Baholash 
, qanoatlantiruvchi shart (8.10), minimal kvadrat xatosi bo'lgan taxmin deyiladi.
Samarali baholash deb ataladi 
, buning uchun o'rtacha kvadrat xato boshqa har qanday bahoning o'rtacha kvadrat xatosidan katta emas, ya'ni.
Qayerda 
- har qanday boshqa parametrlarni baholash 
.
Ma'lumki, bitta parametrning har qanday xolis bahosining dispersiyasi 
Kramer-Rao tengsizligini qanoatlantiradi
,
Qayerda 
- parametrning haqiqiy qiymatida tasodifiy o'zgaruvchining olingan qiymatlarining shartli ehtimollik zichligi taqsimoti 
.
Shunday qilib, xolis baho 
, buning uchun Kramer-Rao tengsizligi tenglikka aylanadi, samarali bo'ladi, ya'ni bunday baho minimal dispersiyaga ega.
Kutish va tafovutning nuqtaviy baholari
Agar tasodifiy o'zgaruvchi hisobga olinsa 
, bu matematik kutishga ega 
va dispersiya 
, keyin bu parametrlarning ikkalasi ham noma'lum deb hisoblanadi. Shuning uchun, tasodifiy o'zgaruvchi ustida 
ishlab chiqarilgan 
natijalarni beradigan mustaqil tajribalar: 
. Noma'lum parametrlarning izchil va xolis baholarini topish kerak 
Va 
.
Taxminlar sifatida 
Va 
Odatda statistik (namuna) o'rtacha va statistik (namuna) dispersiya mos ravishda tanlanadi:
; (8.11)
. (8.12)
Matematik kutishning bahosi (8.11) katta sonlar qonuniga muvofiq (Chebishev teoremasi):
.
Tasodifiy o'zgaruvchini kutish 
.
Shuning uchun, taxmin 
xolisdir.
Matematik kutish taxminining tarqalishi:
Agar tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa 
oddiy qonun bo'yicha taqsimlanadi, keyin smeta 
ham samarali hisoblanadi.
Tafovutni taxmin qilish 
Xuddi shu vaqtda
.
Chunki 
, A 
, keyin olamiz
. (8.13)
Shunday qilib, 
- noxolis baholash, garchi u izchil va samarali bo'lsa.
(8.13) formuladan xolis baho olish uchun shunday xulosa kelib chiqadi 
namunaviy dispersiya (8.12) quyidagicha o'zgartirilishi kerak:
bu taxminiy (8.12) bilan solishtirganda "yaxshiroq" deb hisoblanadi, garchi umuman olganda 
bu taxminlar deyarli bir-biriga teng.
Tarqatish parametrlarining baholarini olish usullari
Ko'pincha amaliyotda tasodifiy o'zgaruvchini yaratuvchi jismoniy mexanizmni tahlil qilish asosida 
, bu tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni haqida xulosa chiqarishimiz mumkin. Biroq, bu taqsimotning parametrlari noma'lum va odatda cheklangan namuna ko'rinishida taqdim etilgan eksperimental natijalar asosida baholanishi kerak. 
. Ushbu muammoni hal qilish uchun ko'pincha ikkita usul qo'llaniladi: momentlar usuli va maksimal ehtimollik usuli.
Lahzalar usuli. Usul nazariy momentlarni bir xil tartibdagi tegishli empirik momentlar bilan tenglashtirishdan iborat.
Empirik boshlang'ich nuqtalar 
-chi tartib formulalar bilan aniqlanadi:
,
va tegishli nazariy boshlang'ich momentlar 
--tartib - formulalar:
diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun,
uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun,
Qayerda 
– taxminiy taqsimot parametri.
Ikki noma'lum parametrni o'z ichiga olgan taqsimot parametrlarining taxminlarini olish 
Va 
, ikkita tenglamalar sistemasi tuzilgan
Qayerda 
Va 
– ikkinchi darajali nazariy va empirik markaziy momentlar.
Tenglamalar sistemasining yechimi hisoblardir 
Va 
noma'lum tarqatish parametrlari 
Va 
.
Birinchi tartibning nazariy va empirik boshlang'ich momentlarini tenglashtirib, biz tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini taxmin qilish orqali erishamiz. 
, ixtiyoriy taqsimotga ega bo'lgan holda, namunaviy o'rtacha bo'ladi, ya'ni. 
. Keyin, ikkinchi tartibli nazariy va empirik markaziy momentlarni tenglashtirib, tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasini baholashga erishamiz. 
ixtiyoriy taqsimotga ega bo'lgan , formula bilan aniqlanadi
.
Xuddi shunday, har qanday tartibning nazariy momentlarini taxmin qilish mumkin.
Momentlar usuli oddiy va murakkab hisob-kitoblarni talab qilmaydi, ammo bu usul bilan olingan hisob-kitoblar ko'pincha samarasizdir.
Maksimal ehtimollik usuli. Noma'lum taqsimot parametrlarini nuqtali baholashning maksimal ehtimollik usuli bir yoki bir nechta taxmin qilingan parametrlarning maksimal funktsiyasini topishga to'g'ri keladi.
Mayli 
uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, natijada 
testlar qiymatlarni oldi 
. Noma'lum parametrning taxminini olish uchun 
bunday qiymatni topish kerak 
, bunda olingan namunani amalga oshirish ehtimoli maksimal bo'ladi. Chunki 
bir xil ehtimollik zichligiga ega o'zaro mustaqil kattaliklarni ifodalaydi 
, Bu ehtimollik funksiyasi argument funksiyasini chaqiring 
:
Parametrning maksimal ehtimolini baholash 
bu qiymat deyiladi 
, bunda ehtimollik funksiyasi maksimalga etadi, ya'ni tenglamaning yechimi hisoblanadi.
,
Bu aniq sinov natijalariga bog'liq 
.
Funktsiyalardan beri 
Va 
bir xil qiymatlarda maksimal darajaga etadi 
, keyin hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun ular ko'pincha logarifmik ehtimollik funksiyasidan foydalanadilar va tegishli tenglamaning ildizini qidiradilar.
,
qaysi deyiladi ehtimollik tenglamasi.
Agar siz bir nechta parametrlarni baholashingiz kerak bo'lsa 
tarqatish 
, keyin ehtimollik funksiyasi ushbu parametrlarga bog'liq bo'ladi. Hisob-kitoblarni topish uchun 
tarqatish parametrlarini tizimni hal qilish kerak 
ehtimollik tenglamalari
.
Maksimal ehtimollik usuli izchil va asimptotik jihatdan samarali baholarni beradi. Biroq, maksimal ehtimollik usuli bilan olingan hisob-kitoblar noaniqdir va bundan tashqari, taxminlarni topish uchun ko'pincha juda murakkab tenglamalar tizimini echish kerak bo'ladi.
Intervalli parametrlarni baholash
Nuqtalarni baholashning aniqligi ularning dispersiyasi bilan tavsiflanadi. Biroq, olingan baholar parametrlarning haqiqiy qiymatlariga qanchalik yaqin ekanligi haqida ma'lumot yo'q. Bir qator vazifalarda siz nafaqat parametrni topishingiz kerak 
tegishli raqamli qiymat, balki uning aniqligi va ishonchliligini baholash uchun. Parametrni almashtirishda qanday xatolarga olib kelishi mumkinligini bilib olishingiz kerak 
uning taxminiy nuqtasi 
va bu xatolar ma'lum chegaralardan oshmasligini qanday ishonch bilan kutishimiz kerak.
Bunday vazifalar, ayniqsa, kam sonli tajribalar mavjud bo'lganda dolzarbdir. 
, nuqta taxmin qilinganda 
asosan tasodifiy va taxminiy almashtirish 
yoqilgan 
muhim xatolarga olib kelishi mumkin.
To'liqroq va ishonchli yo'l taqsimot parametrlarini baholash bitta nuqta qiymatini emas, balki ma'lum bir ehtimollik bilan taxmin qilingan parametrning haqiqiy qiymatini qoplaydigan intervalni aniqlashdan iborat.
Natijalarga ko'ra ruxsat bering 
tajribalar natijasida xolis baho olindi 
parametr 
. Mumkin bo'lgan xatoni baholash kerak. Ba'zi etarlicha katta ehtimollik tanlangan 
(masalan, bunday ehtimolga ega bo'lgan hodisani amalda aniq hodisa deb hisoblash mumkin va bunday qiymat topiladi. 
, buning uchun
. (8.15)
Bunday holda, almashtirish paytida yuzaga keladigan xatoning amalda mumkin bo'lgan qiymatlari oralig'i 
yoqilgan 
, bo'ladi 
, va kattalari mutlaq qiymat xatolar faqat past ehtimollik bilan paydo bo'ladi 
.
Ifoda (8.15) ehtimollik bilan degan ma'noni anglatadi 
noma'lum parametr qiymati 
intervalga tushadi
. (8.16)
Ehtimollik 
chaqirdi ishonch ehtimoli, va interval 
, ehtimollik bilan qoplash 
parametrning haqiqiy qiymati deyiladi ishonch oralig'i. E'tibor bering, parametr qiymati ehtimollik bilan ishonch oralig'ida joylashgan deb aytish noto'g'ri 
. Amaldagi formula (qoplama) shuni anglatadiki, hisoblanayotgan parametr noma'lum bo'lsa-da, u doimiy qiymatga ega va shuning uchun u tasodifiy o'zgaruvchi emasligi sababli tarqalishi yo'q.
Kutish - tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti
Matematik kutish, ta'rif, diskret va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik kutilishi, namuna, shartli kutish, hisoblash, xossalar, masalalar, kutilishni baholash, dispersiya, taqsimot funktsiyasi, formulalar, hisoblash misollari.
Tarkibni kengaytirish
Kontentni yig'ish
Matematik kutish - bu ta'rif
Matematik statistika va ehtimollar nazariyasidagi eng muhim tushunchalardan biri, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari yoki ehtimolliklarining taqsimlanishini tavsiflovchi. Odatda tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan parametrlarining o'rtacha og'irligi sifatida ifodalanadi. Texnik tahlilda, raqamlar qatorlarini o'rganishda, uzluksiz va uzoq muddatli jarayonlarni o'rganishda keng qo'llaniladi. Unda bor muhim moliyaviy bozorlarda savdo qilishda risklarni baholashda, narx ko'rsatkichlarini bashorat qilishda qimor o'yinlari nazariyasida o'yin taktikasi strategiyalari va usullarini ishlab chiqishda qo'llaniladi.
Matematik kutish tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati, tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti ehtimollar nazariyasida ko'rib chiqiladi.
Matematik kutish ehtimollik nazariyasidagi tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymatining o'lchovi. Tasodifiy o'zgaruvchini kutish x bilan belgilanadi M(x).
Matematik kutish
Matematik kutish ehtimollik nazariyasida tasodifiy o'zgaruvchi qabul qilishi mumkin bo'lgan barcha mumkin bo'lgan qiymatlarning o'rtacha og'irligi.
Matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari mahsuloti yig'indisi va bu qiymatlarning ehtimolliklari.
Matematik kutish ma'lum bir qarordan o'rtacha foyda, agar bunday qaror katta sonlar va uzoq masofalar nazariyasi doirasida ko'rib chiqilishi mumkin.
Matematik kutish qimor nazariyasida, har bir tikish uchun o'yinchi olishi yoki yo'qotishi mumkin bo'lgan yutuq miqdori. Qimor tili bilan aytganda, buni ba'zan "o'yinchining chekkasi" (agar u o'yinchi uchun ijobiy bo'lsa) yoki "uyning chekkasi" (agar o'yinchi uchun salbiy bo'lsa) deb ataladi.
Matematik kutish o'rtacha foyda bilan ko'paytiriladi g'alaba boshiga foyda foizi, minus o'rtacha yo'qotish ko'paytiriladi yo'qotish ehtimoli.
In tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi matematik nazariya
Tasodifiy o'zgaruvchining muhim raqamli xususiyatlaridan biri uning matematik kutilishidir. Keling, tasodifiy o'zgaruvchilar tizimi tushunchasini kiritamiz. Keling, bir xil tasodifiy tajriba natijalari bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilar to'plamini ko'rib chiqaylik. Agar tizimning mumkin bo'lgan qiymatlaridan biri bo'lsa, hodisa Kolmogorov aksiomalarini qondiradigan ma'lum bir ehtimolga mos keladi. Tasodifiy o'zgaruvchilarning har qanday mumkin bo'lgan qiymatlari uchun aniqlangan funktsiya qo'shma taqsimot qonuni deb ataladi. Bu funksiya har qanday hodisaning ehtimolini hisoblash imkonini beradi. Xususan, to'plamdan qiymatlarni oladigan va tasodifiy o'zgaruvchilarning qo'shma taqsimot qonuni ehtimollar bilan beriladi.
"Matematik kutish" atamasi Per Simon Markiz de Laplas (1795) tomonidan kiritilgan va birinchi marta 17-asrda qimor o'yinlari nazariyasida Blez Paskal va Kristianning asarlarida paydo bo'lgan "yutuqning kutilayotgan qiymati" tushunchasidan kelib chiqqan. Gyuygens. Biroq, bu kontseptsiyani birinchi to'liq nazariy tushunish va baholashni Pafnuty Lvovich Chebyshev (19-asr o'rtalari) bergan.
Tasodifiy sonli o'zgaruvchilarning taqsimot qonuni (tarqatish funksiyasi va taqsimot qatori yoki ehtimollik zichligi) tasodifiy o'zgaruvchining harakatini to'liq tavsiflaydi. Ammo bir qator masalalarda o'rganilayotgan miqdorning ba'zi sonli xususiyatlarini bilish kifoya (masalan, uning o'rtacha qiymati va mumkin bo'lgan og'ish undan) berilgan savolga javob berish. Tasodifiy o'zgaruvchilarning asosiy raqamli xarakteristikalari matematik kutish, dispersiya, rejim va mediandir.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning mumkin bo'lgan qiymatlari va ularga mos keladigan ehtimolliklarning mahsuloti yig'indisidir. Ba'zida matematik kutish o'rtacha og'irlik deb ataladi, chunki u ko'p sonli tajribalarda tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatiga teng. Matematik kutishning ta'rifidan kelib chiqadiki, uning qiymati tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan eng kichik qiymatidan kam emas va eng kattasidan ko'p emas. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tasodifiy bo'lmagan (doimiy) o'zgaruvchidir.
Matematik kutish oddiy narsaga ega jismoniy ma'no: agar siz birlik massani to'g'ri chiziqqa joylashtirsangiz, ba'zi bir massani ba'zi nuqtalarga joylashtirsangiz (uchun diskret taqsimot) yoki uni ma'lum bir zichlik bilan (mutlaq uzluksiz taqsimlash uchun) "yog'lash" dan keyin matematik kutishga mos keladigan nuqta chiziqning "og'irlik markazi" ning koordinatasi bo'ladi.
Tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati - bu uning "vakili" bo'lgan ma'lum bir raqam va uni taxminan taxminiy hisob-kitoblarda almashtiradi. Biz: "chiroqning o'rtacha ishlash muddati 100 soat" yoki "o'rtacha ta'sir nuqtasi nishonga nisbatan 2 m o'ngga siljiydi" deganda, biz tasodifiy o'zgaruvchining joylashishini tavsiflovchi ma'lum bir raqamli xarakteristikani ko'rsatamiz. raqamli o'qda, ya'ni. "pozitsiya xususiyatlari".
Ehtimollar nazariyasidagi pozitsiya xususiyatlaridan muhim rol tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutishini o'ynaydi, bu ba'zan tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati deb ataladi.
Tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing X, mumkin bo'lgan qiymatlarga ega x1, x2, …, xn ehtimolliklar bilan p1, p2, …, pn. Ushbu qiymatlarning turli xil ehtimolliklarga ega ekanligini hisobga olgan holda, biz tasodifiy o'zgaruvchi qiymatlarining x o'qidagi o'rnini qandaydir raqam bilan tavsiflashimiz kerak. Shu maqsadda qiymatlarning "o'rtacha og'irligi" deb ataladigan qiymatdan foydalanish tabiiydir xi, va o'rtacha hisoblash paytida har bir xi qiymati ushbu qiymatning ehtimoliga mutanosib "og'irlik" bilan hisobga olinishi kerak. Shunday qilib, biz tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatini hisoblaymiz X, biz belgilaymiz M |X|:
Ushbu vaznli o'rtacha tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi deb ataladi. Shunday qilib, biz ehtimollik nazariyasining eng muhim tushunchalaridan biri - matematik kutish tushunchasini e'tiborga oldik. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi - bu tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ushbu qiymatlarning ehtimolliklari mahsuloti yig'indisi.
X ko'p sonli tajribalarda tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatiga o'ziga xos bog'liqlik bilan bog'liq. Bu bog'liqlik chastota va ehtimollik o'rtasidagi bog'liqlik bilan bir xil, ya'ni: ko'p sonli tajribalar bilan tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati uning matematik kutilishiga yaqinlashadi (ehtimolda yaqinlashadi). Chastota va ehtimollik o'rtasidagi bog'liqlikdan kelib chiqib, natijada o'rtacha arifmetik va matematik kutish o'rtasida o'xshash bog'liqlik mavjudligini xulosa qilish mumkin. Haqiqatan ham, tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing X, tarqatish seriyasi bilan tavsiflanadi:
Ishlab chiqarilsin N mustaqil tajribalar, ularning har birida qiymat X ma'lum bir qiymatni oladi. Faraz qilaylik, qiymat x1 paydo bo'ldi m1 marta, qiymat x2 paydo bo'ldi m2 bir marta, umumiy ma'noda xi marta paydo bo'ldi. Keling, matematik kutishdan farqli o'laroq, X qiymatining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatini hisoblaylik. M|X| belgilaymiz M*|X|:
Tajribalar sonining ko'payishi bilan N chastotalar pi mos keladigan ehtimollarga yaqinlashadi (ehtimolda yaqinlashadi). Shunday qilib, tasodifiy o'zgaruvchining kuzatilgan qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati M|X| eksperimentlar sonining ko'payishi bilan u o'zining matematik kutishiga yaqinlashadi (ehtimollik bilan). Yuqorida ifodalangan o'rtacha arifmetik va matematik kutish o'rtasidagi bog'liqlik katta sonlar qonuni shakllaridan birining mazmunini tashkil qiladi.
Bizga allaqachon ma'lumki, katta sonlar qonunining barcha shakllari ko'p sonli tajribalar davomida ba'zi o'rtacha qiymatlarning barqarorligini bildiradi. Bu yerda gap bir xil kattalikdagi bir qator kuzatishlardan olingan o‘rtacha arifmetik qiymatning barqarorligi haqida ketmoqda. Kam miqdordagi tajribalar bilan ularning natijalarining arifmetik o'rtacha qiymati tasodifiydir; tajribalar sonining etarli darajada ko'payishi bilan u "deyarli tasodifiy bo'lmagan" bo'lib qoladi va barqarorlashib, doimiy qiymatga - matematik kutishga yaqinlashadi.
Ko'p sonli tajribalarda o'rtacha ko'rsatkichlarning barqarorligini eksperimental tarzda osongina tekshirish mumkin. Masalan, laboratoriyada jismni aniq tarozida tortishda tortish natijasida har safar yangi qiymat olamiz; Kuzatish xatosini kamaytirish uchun tanani bir necha marta tortamiz va olingan qiymatlarning o'rtacha arifmetik qiymatidan foydalanamiz. Ko'rinib turibdiki, tajribalar (tortishishlar) sonining yanada ko'payishi bilan o'rtacha arifmetik bu o'sishga kamroq va kamroq ta'sir qiladi va etarlicha ko'p tajribalar bilan amalda o'zgarishni to'xtatadi.
Shuni ta'kidlash kerak eng muhim xususiyat tasodifiy o'zgaruvchining pozitsiyasi - matematik kutish - hamma tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mavjud emas. Matematik kutish mavjud bo'lmagan bunday tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar tuzish mumkin, chunki tegishli yig'indi yoki integral ajralib chiqadi. Biroq, bunday holatlar amaliyot uchun katta qiziqish uyg'otmaydi. Odatda, biz bilan shug'ullanadigan tasodifiy o'zgaruvchilar cheklangan qiymat diapazoniga ega va, albatta, matematik taxminlarga ega.
Tasodifiy o'zgaruvchining pozitsiyasining eng muhim xarakteristikalari - matematik kutishdan tashqari, amalda ba'zida pozitsiyaning boshqa xarakteristikalari, xususan, tasodifiy o'zgaruvchining rejimi va medianasi qo'llaniladi.
Tasodifiy o'zgaruvchining rejimi uning eng ehtimoliy qiymati hisoblanadi. "Eng ehtimoliy qiymat" atamasi faqat uzluksiz miqdorlarga nisbatan qo'llaniladi; Uchun doimiy qiymat Rejim - ehtimollik zichligi maksimal bo'lgan qiymat. Raqamlar mos ravishda uzluksiz va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar rejimini ko'rsatadi.
Agar taqsimot poligoni (tarqatish egri chizig'i) birdan ortiq maksimalga ega bo'lsa, taqsimot "multimodal" deb ataladi.
Ba'zida maksimal emas, balki o'rtada minimal bo'lgan taqsimotlar mavjud. Bunday taqsimotlar "anti-modal" deb ataladi.
Umumiy holatda tasodifiy o'zgaruvchining rejimi va matematik kutilishi mos kelmaydi. Muayyan holatda, taqsimot simmetrik va modal bo'lsa (ya'ni rejimga ega) va matematik kutish mavjud bo'lsa, u taqsimotning simmetriya rejimi va markaziga to'g'ri keladi.
Yana bir pozitsiya xarakteristikasi tez-tez ishlatiladi - tasodifiy o'zgaruvchining medianasi. Bu xarakteristika odatda faqat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ishlatiladi, garchi uni uzluksiz o'zgaruvchi uchun rasmiy ravishda aniqlash mumkin. Geometrik jihatdan mediana taqsimot egri chizig'i bilan o'ralgan maydon yarmiga bo'lingan nuqtaning abscissasidir.
Simmetrik modal taqsimotda median matematik kutish va rejimga to'g'ri keladi.
Matematik kutish tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati - tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimotining raqamli xarakteristikasi. Eng umumiy tarzda, tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi X(w) ehtimollik o'lchoviga nisbatan Lebeg integrali sifatida aniqlanadi R asl ehtimollik maydonida:
Matematik kutishni Lebeg integrali sifatida ham hisoblash mumkin X ehtimollik taqsimoti bo'yicha px miqdorlar X:
Cheksiz matematik kutish bilan tasodifiy o'zgaruvchi tushunchasi tabiiy tarzda aniqlanishi mumkin. Oddiy misol ba'zi tasodifiy yurishlarda qaytish vaqtlari sifatida xizmat qiladi.
Matematik kutish yordami bilan ko'p sonli va funktsional xususiyatlar taqsimotlar (tasodifiy o'zgaruvchidan mos keladigan funktsiyalarni matematik kutish kabi), masalan, hosil qiluvchi funktsiya, xarakterli funktsiya, har qanday tartibli momentlar, xususan dispersiya, kovariatsiya.
Matematik kutish tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining joylashuvining xarakteristikasi (uning taqsimotining o'rtacha qiymati). Bunday holda, matematik kutish qandaydir "odatiy" taqsimot parametri bo'lib xizmat qiladi va uning roli mexanikada statik moment - massa taqsimotining og'irlik markazining koordinatasi roliga o'xshaydi. Yordamida taqsimot umumiy ma'noda tasvirlangan joylashuvning boshqa xususiyatlaridan - medianlar, rejimlar, matematik kutish u va tegishli tarqalish xarakteristikasi - dispersiya - ehtimollar nazariyasining chegara teoremalarida ega bo'lgan kattaroq qiymat bilan farqlanadi. Matematik kutishning ma'nosi katta sonlar qonuni (Chebishev tengsizligi) va katta sonlarning mustahkamlangan qonuni bilan to'liq ochib beriladi.
Diskret tasodifiy miqdorni kutish
Bir nechta raqamli qiymatlardan birini olishi mumkin bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin (masalan, zar otishda ballar soni 1, 2, 3, 4, 5 yoki 6 bo'lishi mumkin). Ko'pincha amalda bunday qiymat uchun savol tug'iladi: ko'p sonli testlar bilan "o'rtacha" qanday qiymatni oladi? Xavfli operatsiyalarning har biridan bizning o'rtacha daromadimiz (yoki zararimiz) qanday bo'ladi?
Aytaylik, qandaydir lotereya bor. Biz unda ishtirok etish (yoki hatto qayta-qayta, muntazam ravishda ishtirok etish) foydali yoki yo'qligini tushunishni istaymiz. Aytaylik, har to'rtinchi chipta g'olib bo'ladi, sovrin 300 rublni, har qanday chiptaning narxi esa 100 rublni tashkil qiladi. Cheksiz ko'p sonli ishtiroklar bilan bu sodir bo'ladi. Ishlarning to'rtdan uch qismida biz yo'qotamiz, har uchta yo'qotish 300 rublni tashkil qiladi. Har to'rtinchi holatda biz 200 rubl yutib olamiz. (sovrin minus qiymati), ya'ni to'rtta ishtirok uchun biz o'rtacha 100 rubl, bittasi uchun - o'rtacha 25 rubl yo'qotamiz. Umuman olganda, bizning xarobamizning o'rtacha narxi chipta uchun 25 rublni tashkil qiladi.
Biz tashlaymiz zar. Agar u aldamasa (og'irlik markazini o'zgartirmasdan va hokazo), unda biz bir vaqtning o'zida o'rtacha qancha ballga ega bo'lamiz? Har bir variant bir xil ehtimolga ega bo'lganligi sababli, biz oddiygina arifmetik o'rtachani olamiz va 3,5 ni olamiz. Bu O'RTA bo'lgani uchun, hech qanday maxsus rulon 3,5 ball bermasligidan g'azablanishning hojati yo'q - yaxshi, bu kubning bunday raqamga ega yuzi yo'q!
Endi misollarimizni umumlashtiramiz:
Keling, hozirgina berilgan rasmga qaraylik. Chap tomonda tasodifiy miqdorni taqsimlash jadvali mavjud. X qiymati n ta mumkin bo'lgan qiymatlardan birini qabul qilishi mumkin (yuqori satrda ko'rsatilgan). Boshqa ma'nolar bo'lishi mumkin emas. Har birining ostida mumkin bo'lgan ma'no Uning ehtimoli quyida yozilgan. O'ng tomonda formula mavjud, bu erda M (X) matematik kutish deb ataladi. Ushbu qiymatning ma'nosi shundaki, ko'p sonli testlar (katta namuna bilan) bilan o'rtacha qiymat xuddi shu matematik kutishga moyil bo'ladi.
Keling, yana bir xil o'yin kubiga qaytaylik. Otish paytida ballar sonining matematik kutilishi 3,5 ni tashkil qiladi (agar menga ishonmasangiz, formuladan foydalanib o'zingiz hisoblang). Aytaylik, siz uni bir necha marta tashladingiz. Natijalar 4 va 6. O'rtacha 5 ni tashkil etdi, bu 3,5 dan uzoqdir. Ular yana bir marta tashladilar, ular 3 ni olishdi, ya'ni o'rtacha (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333 ... Matematik kutishdan qandaydir uzoqda. Endi aqldan ozgan tajriba qiling - kubni 1000 marta aylantiring! Va agar o'rtacha ko'rsatkich aniq 3,5 bo'lmasa ham, bu unga yaqin bo'ladi.
Keling, yuqorida tavsiflangan lotereya uchun matematik kutishni hisoblaylik. Plita quyidagicha ko'rinadi:
Keyin yuqorida belgilaganimizdek, matematik kutish bo'ladi:
Yana bir narsa, agar ko'proq variant bo'lsa, formulasiz "barmoqlarda" qilish qiyin bo'ladi. Aytaylik, 75% yo'qotilgan chiptalar, 20% yutuqli chiptalar va 5% ayniqsa yutuqlilar bo'ladi.
Endi matematik kutishning ba'zi xususiyatlari.
Buni isbotlash oson:
Doimiy omilni matematik kutish belgisi sifatida chiqarish mumkin, ya'ni:
Bu matematik kutishning chiziqlilik xususiyatining alohida holatidir.
Matematik kutishning chiziqliligining yana bir natijasi:
ya'ni tasodifiy miqdorlar yig'indisining matematik kutilishi tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik kutishlari yig'indisiga teng.
X, Y mustaqil tasodifiy miqdorlar bo'lsin, Keyin:
Buni isbotlash ham oson) Ishlang XY o'zi tasodifiy o'zgaruvchidir va agar boshlang'ich qiymatlar olishi mumkin bo'lsa n Va m qiymatlari shunga ko'ra, keyin XY nm qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Har bir qiymatning ehtimoli mustaqil hodisalarning ehtimolini ko'paytirishga asoslangan holda hisoblanadi. Natijada biz quyidagilarni olamiz:
Uzluksiz tasodifiy miqdorni kutish
Uzluksiz tasodifiy miqdorlar taqsimot zichligi (ehtimollik zichligi) kabi xususiyatga ega. Bu tasodifiy o'zgaruvchining haqiqiy sonlar to'plamidan ba'zi qiymatlarni tez-tez, ba'zilari esa kamroq qabul qiladigan vaziyatni xarakterlaydi. Masalan, ushbu grafikni ko'rib chiqing:
Bu yerga X- haqiqiy tasodifiy o'zgaruvchi, f(x)- tarqatish zichligi. Ushbu grafikga ko'ra, tajribalar davomida qiymat X ko'pincha nolga yaqin raqam bo'ladi. Imkoniyatlar oshib ketdi 3 yoki kichikroq bo'ling -3 anchagina nazariy.
Masalan, bir xil taqsimot bo'lsin:
Bu intuitiv tushunishga juda mos keladi. Aytaylik, agar erishsak yagona taqsimlash ko'plab tasodifiy haqiqiy sonlar, har biri segmentdan |0; 1| , keyin arifmetik o'rtacha taxminan 0,5 bo'lishi kerak.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun qo'llaniladigan matematik kutish xususiyatlari - chiziqlilik va boshqalar bu erda ham qo'llaniladi.
Matematik kutish va boshqa statistik ko'rsatkichlar o'rtasidagi bog'liqlik
Statistik tahlilda matematik kutish bilan bir qatorda hodisalarning bir xilligi va jarayonlarning barqarorligini aks ettiruvchi o'zaro bog'liq ko'rsatkichlar tizimi mavjud. Variatsiya ko'rsatkichlari ko'pincha mustaqil ma'noga ega emas va keyingi ma'lumotlarni tahlil qilish uchun ishlatiladi. Istisno - bu qimmatli statistik tavsif bo'lgan ma'lumotlarning bir xilligini tavsiflovchi o'zgaruvchanlik koeffitsienti.
Statistikada jarayonlarning o'zgaruvchanligi yoki barqarorligi darajasini bir nechta ko'rsatkichlar yordamida o'lchash mumkin.
Ko'pchilik muhim ko'rsatkich, tasodifiy miqdorning o'zgaruvchanligini tavsiflovchi, hisoblanadi Dispersiya, bu matematik kutish bilan eng yaqin va bevosita bog'liqdir. Ushbu parametr statistik tahlilning boshqa turlarida (gipotezani tekshirish, sabab-natija munosabatlarini tahlil qilish va boshqalar) faol qo'llaniladi. O'rtacha chiziqli og'ish kabi, dispersiya ham o'rtacha qiymat atrofida ma'lumotlarning tarqalish darajasini aks ettiradi.
Belgilar tilini so'zlar tiliga tarjima qilish foydalidir. Ma'lum bo'lishicha, dispersiya og'ishlarning o'rtacha kvadratidir. Ya'ni, avval o'rtacha qiymat hisoblanadi, so'ngra har bir asl va o'rtacha qiymat o'rtasidagi farq olinadi, kvadratga olinadi, qo'shiladi va keyin populyatsiyadagi qiymatlar soniga bo'linadi. Shaxsiy qiymat va o'rtacha qiymat o'rtasidagi farq og'ish o'lchovini aks ettiradi. Barcha og'ishlar faqat musbat raqamlarga aylanishi va ularni jamlashda ijobiy va salbiy og'ishlarning o'zaro yo'q qilinishiga yo'l qo'ymaslik uchun kvadratga aylantiriladi. Keyin, kvadrat og'ishlarni hisobga olgan holda, biz oddiygina arifmetik o'rtachani hisoblaymiz. O'rtacha - kvadrat - og'ishlar. Og'ishlar kvadratga bo'linadi va o'rtacha hisoblanadi. Sehrli "tarqalish" so'ziga javob faqat uchta so'zda yotadi.
Biroq, ichida sof shakl, masalan, o'rtacha arifmetik yoki indeks, dispersiya ishlatilmaydi. Bu statistik tahlilning boshqa turlari uchun qo'llaniladigan yordamchi va oraliq ko'rsatkichdir. Uning oddiy o'lchov birligi ham yo'q. Formulaga ko'ra, bu asl ma'lumotlarning o'lchov birligining kvadratidir.
Keling, tasodifiy o'zgaruvchini o'lchaymiz N marta, masalan, biz shamol tezligini o'n marta o'lchaymiz va o'rtacha qiymatni topmoqchimiz. O'rtacha qiymat taqsimot funktsiyasi bilan qanday bog'liq?
Yoki biz zarlarni ko'p marta tashlaymiz. Har bir otishda zarda paydo bo'ladigan ballar soni tasodifiy o'zgaruvchidir va 1 dan 6 gacha bo'lgan har qanday tabiiy qiymatni olishi mumkin. Barcha zarlar uchun hisoblangan tushgan ballarning o'rtacha arifmetik qiymati ham tasodifiy o'zgaruvchidir, lekin katta zar uchun N u juda aniq raqamga - matematik kutishga intiladi Mx. IN Ushbu holatda Mx = 3,5.
Bu qiymatni qanday oldingiz? Ichkariga ruxsat bering N testlar n1 1 ball olganingizdan keyin, n2 bir marta - 2 ball va boshqalar. Keyin bitta nuqta tushgan natijalar soni:
Xuddi shunday, 2, 3, 4, 5 va 6 ball olingan natijalar uchun.
Keling, biz x tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonunini bilamiz deb faraz qilaylik, ya'ni x tasodifiy o'zgaruvchisi p1, p2, ..., ehtimolliklari bilan x1, x2, ..., xk qiymatlarini olishi mumkinligini bilamiz. pk.
X tasodifiy o'zgaruvchining Mx matematik kutilishi quyidagilarga teng:
Matematik kutish har doim ham ba'zi tasodifiy o'zgaruvchilarning oqilona bahosi emas. Shunday qilib, o'rtacha hisoblash uchun ish haqi Median kontseptsiyasidan foydalanish mantiqan to'g'ri keladi, ya'ni maosh oladigan odamlarning soni medianadan pastroq va undan kattaroq biriga to'g'ri keladigan qiymat.
X tasodifiy o'zgaruvchisi x1/2 dan kichik bo'lishi ehtimoli p1 va x tasodifiy o'zgaruvchisi x1/2 dan katta bo'lishi p2 ehtimolligi bir xil va 1/2 ga teng. Median barcha taqsimotlar uchun yagona aniqlanmaydi.
Standart yoki standart og'ish statistikada kuzatish ma'lumotlari yoki to'plamlarning O'RTA qiymatdan chetlanish darajasi deyiladi. S yoki s harflari bilan belgilanadi. Kichik standart og'ish ma'lumotlarning o'rtacha atrofida to'planishini ko'rsatadi, katta standart og'ish esa dastlabki ma'lumotlar undan uzoqda joylashganligini ko'rsatadi. Standart og'ish teng kvadrat ildiz miqdor dispersiya deb ataladi. Bu o'rtacha qiymatdan chetga chiqqan dastlabki ma'lumotlarning kvadratik farqlari yig'indisining o'rtacha qiymati. Tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishi dispersiyaning kvadrat ildizidir:
Misol. Sinov sharoitida nishonga otish paytida tasodifiy o'zgaruvchining tarqalishi va standart og'ishini hisoblang:
Variatsiya- xarakteristikaning qiymatining populyatsiya birliklari orasida o'zgarishi, o'zgaruvchanligi. Alohida raqamli qiymatlar o'rganilayotgan populyatsiyada topilgan belgilar ma'no variantlari deyiladi. uchun oʻrtacha qiymat yetarli emas to'liq xususiyatlar populyatsiya bizni o'rtacha qiymatlarni o'rganilayotgan xususiyatning o'zgaruvchanligini (variatsiyasini) o'lchash orqali ushbu o'rtacha ko'rsatkichlarning tipikligini baholashga imkon beradigan ko'rsatkichlar bilan to'ldirishga majbur qiladi. O'zgaruvchanlik koeffitsienti quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
Variatsiya diapazoni(R) o'rganilayotgan populyatsiyadagi atributning maksimal va minimal qiymatlari o'rtasidagi farqni ifodalaydi. Bu ko'rsatkich eng ko'p beradi umumiy fikr o'rganilayotgan xarakteristikaning o'zgaruvchanligi haqida, chunki u faqat variantlarning cheklovchi qiymatlari orasidagi farqni ko'rsatadi. Xarakteristikaning ekstremal qiymatlariga bog'liqlik o'zgaruvchanlik doirasiga beqaror, tasodifiy belgi beradi.
O'rtacha chiziqli og'ish tahlil qilinayotgan populyatsiyaning barcha qiymatlarining o'rtacha qiymatidan mutlaq (modul) og'ishlarining o'rtacha arifmetik qiymatini ifodalaydi:
Qimor nazariyasida matematik kutish
Matematik kutish Qimorboz berilgan garovda yutishi yoki yo'qotishi mumkin bo'lgan o'rtacha pul miqdori. Bu o'yinchi uchun juda muhim tushunchadir, chunki u ko'pchilik o'yin vaziyatlarini baholash uchun asosdir. Matematik kutish, shuningdek, asosiy karta tartiblari va o'yin holatlarini tahlil qilish uchun optimal vositadir.
Aytaylik, siz do'stingiz bilan tanga o'ynayapsiz, nima bo'lishidan qat'i nazar, har safar 1 dollardan teng pul tikasiz. Quyruqlar g'alaba qozonishingizni anglatadi, boshlar yutqazishingizni anglatadi. Koeffitsientlar birdan yuqori bo'ladi, shuning uchun siz 1 dollardan 1 dollargacha pul tikasiz. Shunday qilib, sizning matematik kutishingiz nolga teng, chunki Matematik nuqtai nazardan, siz ikkita otishdan keyin yoki 200 dan keyin etakchi bo'lishingiz yoki yutqazishingizni bilolmaysiz.
Sizning soatlik daromadingiz nolga teng. Soatlik yutuq - bu bir soat ichida yutib olishni kutgan pul miqdori. Bir soat ichida siz 500 marta tanga tashlashingiz mumkin, lekin siz g'alaba qozonmaysiz yoki yutqazmaysiz, chunki ... sizning imkoniyatingiz ijobiy ham, salbiy ham emas. Agar siz jiddiy o'yinchi nuqtai nazaridan qarasangiz, bu pul tikish tizimi yomon emas. Lekin bu shunchaki vaqtni behuda sarflash.
Aytaylik, kimdir xuddi shu o'yinda sizning 1 dollaringizga 2 dollar tikishni xohlaydi. Shunda siz darhol har bir tikishdan 50 sent miqdorida ijobiy umidga ega bo'lasiz. Nega 50 sent? O'rtacha, siz bitta garovda g'alaba qozonasiz va ikkinchisini yo'qotasiz. Birinchi dollarni tikib, 1 dollarni yo'qotib, ikkinchisiga pul tikib, 2 dollar yutib oling; Siz ikki marta 1 dollar tikasiz va 1 dollarga oldindasiz. Shunday qilib, bir dollarlik tikishingizning har biri sizga 50 sent berdi.
Agar tanga bir soat ichida 500 marta paydo bo'lsa, sizning soatlik yutuqlaringiz allaqachon $250 bo'ladi, chunki... O'rtacha hisobda siz bir dollarni 250 marta yo'qotdingiz va ikki dollarni 250 marta yutgansiz. $ 500 minus $ 250 $ 250 ga teng, bu umumiy yutuqdir. E'tibor bering, kutilgan qiymat, ya'ni har bir tikish uchun yutgan o'rtacha miqdor 50 sent. Siz bir dollarga 500 marta tikish orqali 250 dollar yutib oldingiz, bu har bir tikish uchun 50 sentga teng.
Matematik kutishning qisqa muddatli natijalar bilan hech qanday aloqasi yo'q. Sizga qarshi $2 tikishga qaror qilgan raqibingiz sizni ketma-ket birinchi o'nta rolikda mag'lub etishi mumkin edi, lekin siz 2 dan 1 gacha tikish ustunligiga ega bo'lib, qolgan barcha narsalar teng bo'lsa, har bir $1 garovdan 50 sent ishlab olasiz. holatlar. Xarajatlarni bemalol qoplash uchun naqd pulingiz yetarli bo'lsa, bitta garovda yoki bir nechta garovda g'alaba qozonasizmi yoki yo'qotasizmi, farqi yo'q. Agar siz xuddi shu tarzda pul tikishni davom ettirsangiz, u holda uzoq muddat Vaqt o'tishi bilan sizning yutuqlaringiz individual rulonlarda kutilgan qiymatlar yig'indisiga yaqinlashadi.
Har safar eng yaxshi garov qilganingizda (uzoq muddatda foydali bo'lishi mumkin bo'lgan garov), koeffitsientlar sizning foydangizga bo'lsa, uni yo'qotishingiz yoki yo'qotmasligingizdan qat'i nazar, siz u bilan nimadir yutib olishingiz shart. qo'l berdi. Aksincha, agar siz koeffitsientlar sizga qarshi bo'lganida underdog tikish (uzoq muddatda foydasiz bo'lgan garov) qilsangiz, g'alaba qozonishingiz yoki qo'lni yo'qotishingizdan qat'i nazar, siz biror narsani yo'qotasiz.
Agar kutganingiz ijobiy bo'lsa, eng yaxshi natijaga ega bo'lgan pul tikasiz va koeffitsientlar siz tomonda bo'lsa, bu ijobiy bo'ladi. Agar siz eng yomon natijaga ega bo'lgan garov qo'yganingizda, sizda salbiy umid bor, bu koeffitsientlar sizga qarshi bo'lganda sodir bo'ladi. Jiddiy o'yinchilar faqat eng yaxshi natijaga pul tikadilar, agar eng yomoni sodir bo'lsa, ular katlanadilar. Imkoniyatlar sizning foydangizga nimani anglatadi? Oxir-oqibat, siz haqiqiy imkoniyatlardan ko'ra ko'proq g'alaba qozonishingiz mumkin. Qo'nish boshlarining haqiqiy koeffitsienti 1 ga 1 ni tashkil qiladi, ammo siz koeffitsient nisbati tufayli 2 dan 1 gacha olasiz. Bunday holda, koeffitsientlar sizning foydangizga. Har bir tikish uchun 50 tsent ijobiy kutish bilan siz, albatta, eng yaxshi natijaga erishasiz.
Bu erda matematik kutishning yanada murakkab misoli. Do'stingiz birdan beshgacha raqamlarni yozib qo'yadi va sizning 1 dollaringizga 5 dollar tikadi, siz bu raqamni bilmaysiz. Bunday garovga rozi bo'lishingiz kerakmi? Bu erda nimani kutish mumkin?
O'rtacha to'rt marta xato qilasiz. Bunga asoslanib, bu raqamni taxmin qilishingizga qarshi koeffitsient 4 ga 1. Bir urinishda dollarni yo'qotishingizga qarshi koeffitsient. Biroq, siz 5: 1 hisobida g'alaba qozonasiz, 4: 1 hisobida mag'lub bo'lish ehtimoli bor. Demak, koeffitsientlar sizning foydangizga, siz tikishingiz va eng yaxshi natijaga umid qilishingiz mumkin. Agar siz ushbu garovni besh marta qilsangiz, o'rtacha hisobda siz to'rt marta 1 dollar yo'qotasiz va bir marta 5 dollar yutib olasiz. Shunga asoslanib, barcha beshta urinish uchun siz har bir tikish uchun 20 tsentlik ijobiy matematik kutish bilan 1 dollar ishlab olasiz.
Yuqoridagi misoldagi kabi tikganidan ko'ra ko'proq g'alaba qozonishni kutgan o'yinchi tavakkal qiladi. Aksincha, u tikilganidan kamroq g'alaba qozonishni kutsa, o'z imkoniyatlarini buzadi. Gamblingchi ijobiy yoki salbiy kutishga ega bo'lishi mumkin, bu uning g'alaba qozonishi yoki koeffitsientni yo'q qilishiga bog'liq.
Agar siz 4 ga 1 g'alaba qozonish imkoniyati bilan 10 dollar yutish uchun 50 dollar tiksangiz, siz 2 dollarlik salbiy kutilasiz, chunki... O'rtacha hisobda siz to'rt marta 10 dollar yutib, bir marta 50 dollar yo'qotasiz, bu esa har bir tikish uchun yo'qotish 10 dollar bo'lishini ko'rsatadi. Ammo agar siz 10 dollar yutib olish uchun 30 dollar tiksangiz, 4 ga 1 yutish koeffitsienti bir xil bo'lsa, bu holda sizda 2 dollar ijobiy kutilasiz, chunki siz yana g'alaba $10 to'rt marta va yo'qotish $30 bir marta, foyda uchun $10. Bu misollar birinchi tikish yomon, ikkinchisi esa yaxshi ekanligini ko'rsatadi.
Matematik kutish har qanday o'yin vaziyatining markazidir. Bukmeker konserni futbol muxlislarini 10 dollar yutib olish uchun 11 dollar tikishga undasa, u har 10 dollar uchun 50 sentdan ijobiy kutadi. Agar kazino crapsdagi o'tish chizig'idan hatto pul to'lasa, u holda kazinoning ijobiy kutishi har 100 dollar uchun taxminan 1,40 dollarni tashkil qiladi, chunki Ushbu o'yin shunday tuzilganki, kim bu chiziqqa pul tiksa, o'rtacha 50,7% yutqazadi va umumiy vaqtning 49,3% yutadi. Shubhasiz, bu dunyo bo'ylab qimorxona egalariga katta foyda keltiradigan minimal ijobiy kutishdir. Vegas World kazino egasi Bob Stupak ta'kidlaganidek, "etarlicha uzoq masofada bir foiz salbiy ehtimollikning mingdan bir qismi halokatga olib keladi. eng boy odam dunyoda".
Poker o'ynashda kutish
Poker o'yini matematik kutish nazariyasi va xususiyatlaridan foydalanish nuqtai nazaridan eng yorqin va yorqin misoldir.
Pokerda kutilgan qiymat - bu muayyan qarordan o'rtacha foyda, agar bunday qaror katta raqamlar va uzoq masofalar nazariyasi doirasida ko'rib chiqilishi mumkin. Muvaffaqiyatli poker o'yini har doim ijobiy kutilgan qiymatga ega harakatlarni qabul qilishdir.
Poker o'ynashda matematik kutishning matematik ma'nosi shundaki, biz qaror qabul qilishda ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchilarga duch kelamiz (biz raqibning qo'lida qanday kartalar borligini, tikishning keyingi bosqichlarida qanday kartalar kelishini bilmaymiz). Yechimlarning har birini katta sonlar nazariyasi nuqtai nazaridan ko'rib chiqishimiz kerak, ya'ni etarlicha katta tanlama bilan tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati uning matematik kutilishiga moyil bo'ladi.
Matematik kutishni hisoblash uchun maxsus formulalar orasida quyidagilar pokerda eng ko'p qo'llaniladi:
Poker o'ynaganda, kutilgan qiymatni ham tikish, ham qo'ng'iroqlar uchun hisoblash mumkin. Birinchi holda, o'z kapitalini, ikkinchidan, bankning o'z imkoniyatlarini hisobga olish kerak. Muayyan harakatning matematik kutilishini baholashda, katlama har doim nolga teng kutishga ega ekanligini yodda tutishingiz kerak. Shunday qilib, kartalardan voz kechish har doim har qanday salbiy harakatdan ko'ra foydaliroq qaror bo'ladi.
Kutish, siz xavf ostiga qo'ygan har bir dollar uchun nimani kutishingiz mumkinligini (foyda yoki zarar) aytadi. Kazinolar pul ishlashadi, chunki ularda o'ynaladigan barcha o'yinlarning matematik kutilishi kazino foydasiga. Etarlicha uzun o'yinlar seriyasi bilan siz mijoz o'z pulini yo'qotishini kutishingiz mumkin, chunki "ko'rsatkichlar" kazino foydasiga. Biroq, professional kazino o'yinchilari o'z o'yinlarini qisqa vaqt oralig'ida cheklaydilar va shu bilan o'z foydasiga koeffitsientlarni oshiradilar. Xuddi shu narsa investitsiya qilish uchun ham amal qiladi. Agar kutganingiz ijobiy bo'lsa, qisqa vaqt ichida ko'plab savdolarni amalga oshirish orqali ko'proq pul ishlashingiz mumkin. Kutish - bu har bir g'alabadan olingan foydaning o'rtacha daromadga ko'paytirilishi, minus yo'qotish ehtimolining o'rtacha yo'qotish bilan ko'paytirilishi.
Pokerni matematik kutish nuqtai nazaridan ham ko'rib chiqish mumkin. Siz ma'lum bir harakatni foydali deb hisoblashingiz mumkin, lekin ba'zi hollarda u eng yaxshisi bo'lmasligi mumkin, chunki boshqa harakat foydaliroq. Aytaylik, siz beshta kartadan iborat pokerda to'liq uyni urdingiz. Sizning raqibingiz pul tikadi. Bilasizmi, agar siz pul tiksangiz, u javob beradi. Shuning uchun, ko'tarish eng yaxshi taktika bo'lib tuyuladi. Ammo agar siz tikishni ko'tarsangiz, qolgan ikki o'yinchi albatta buklanadi. Lekin qo'ng'iroq qilsangiz, orqangizdagi qolgan ikki futbolchi ham shunday qilishiga to'liq ishonchingiz komil. Tikishni ko'targaningizda, siz bitta birlik olasiz va faqat qo'ng'iroq qilganingizda ikkita olasiz. Shunday qilib, qo'ng'iroq qilish sizga yuqori ijobiy kutilgan qiymatni beradi va eng yaxshi taktika bo'ladi.
Matematik kutish, shuningdek, qaysi poker taktikasi kamroq foydali va qaysi biri foydaliroq ekanligi haqida fikr berishi mumkin. Misol uchun, agar siz ma'lum bir qo'lni o'ynasangiz va sizning yo'qotishingiz ante bilan birga o'rtacha 75 tsentni tashkil qiladi deb o'ylasangiz, bu qo'lni o'ynashingiz kerak, chunki bu ante $1 bo'lganda katlamadan yaxshiroqdir.
Boshqa muhim sabab Matematik kutishning mohiyatini tushunish shundan iboratki, bu siz garovda g'alaba qozonasizmi yoki yo'qmi, bu sizga tinchlik hissi beradi: agar siz yaxshi garov o'tkazgan bo'lsangiz yoki to'g'ri vaqtda buklangan bo'lsangiz, ma'lum miqdorda pul ishlab topganingizni yoki saqlab qolganingizni bilib olasiz. kuchsizroq o'yinchi tejashga qodir bo'lmagan pul. Agar siz xafa bo'lsangiz, raqibingiz kuchliroq qo'lni tortib olgani uchun buklanish ancha qiyin. Bularning barchasi bilan tikish o'rniga o'ynamaslik orqali tejagan pulingiz tungi yoki oylik yutuqlaringizga qo'shiladi.
Shuni yodda tutingki, agar siz qo'llaringizni almashtirsangiz, raqibingiz sizni chaqirgan bo'lardi va Pokerning asosiy teoremasi maqolasida ko'rib turganingizdek, bu sizning afzalliklaringizdan biridir. Bu sodir bo'lganda xursand bo'lishingiz kerak. Siz hatto qo'lingizni yo'qotishdan zavqlanishni o'rganishingiz mumkin, chunki sizning pozitsiyangizdagi boshqa o'yinchilar ko'proq yo'qotishlarini bilasiz.
Boshidagi tanga o'yini misolida muhokama qilinganidek, daromadning soatlik darajasi matematik kutish bilan bog'liq va bu tushuncha professional futbolchilar uchun ayniqsa muhimdir. Poker o'ynashga borganingizda, bir soatlik o'yinda qancha yutib olishingiz mumkinligini aqlan hisoblashingiz kerak. Aksariyat hollarda siz sezgi va tajribangizga tayanishingiz kerak bo'ladi, lekin siz matematikadan ham foydalanishingiz mumkin. Misol uchun, siz lotereya o'yinini o'ynayapsiz va siz uchta o'yinchining 10 dollar pul tikishini va keyin ikkita kartani almashishini ko'rasiz, bu juda yomon taktika, ular har safar 10 dollar tikishganda, ular taxminan 2 dollar yo'qotishlarini tushunishingiz mumkin. Ularning har biri buni soatiga sakkiz marta qiladi, ya'ni ularning uchtasi ham soatiga taxminan 48 dollar yo'qotadi. Siz taxminan teng bo'lgan qolgan to'rt o'yinchidan birisiz, shuning uchun bu to'rtta o'yinchi (va siz ular orasida) 48 dollarni bo'lishlari kerak, har biri soatiga 12 dollardan foyda oladi. Bu holda sizning soatlik koeffitsientingiz bir soat ichida uchta yomon o'yinchi tomonidan yo'qotilgan pul miqdoridagi ulushingizga teng.
Uzoq vaqt davomida o'yinchining umumiy yutug'i uning individual qo'llaridagi matematik taxminlarining yig'indisidir. Qanchalik ko'p qo'llar ijobiy kutish bilan o'ynasangiz, shuncha ko'p g'alaba qozonasiz va aksincha, salbiy kutish bilan qancha qo'l o'ynasangiz, shuncha ko'p yo'qotasiz. Natijada, siz soatlik yutuqni maksimal darajada oshirishingiz uchun ijobiy kutishingizni maksimal darajada oshiradigan yoki salbiy kutishingizni inkor etadigan o'yinni tanlashingiz kerak.
O'yin strategiyasida ijobiy matematik kutish
Agar siz kartalarni qanday hisoblashni bilsangiz, ular sezmay, sizni tashqariga chiqarib tashlamaguncha, siz kazinoda ustunlikka ega bo'lishingiz mumkin. Kazinolar mast o'yinchilarni yaxshi ko'radilar va kartalarni sanash o'yinchilariga toqat qilmaydilar. Afzallik vaqt o'tishi bilan g'alaba qozonish imkonini beradi. kattaroq raqam yo'qotishdan ko'ra marta. Yaxshi boshqaruv kutilayotgan qiymat hisob-kitoblaridan foydalanganda kapital sizning afzalliklaringizdan ko'proq foyda olishga va yo'qotishlaringizni kamaytirishga yordam beradi. Imtiyozsiz, pulni xayriyaga berganingiz ma'qul. Birjadagi o'yinda afzallik o'yin tizimi tomonidan beriladi, bu esa yo'qotishlardan, narxlardagi farqlardan va komissiyalardan ko'ra ko'proq foyda keltiradi. Hech qanday pul boshqaruvi yomon o'yin tizimini qutqara olmaydi.
Ijobiy kutish noldan katta qiymat sifatida aniqlanadi. Bu raqam qanchalik katta bo'lsa, statistik kutish shunchalik kuchli bo'ladi. Agar qiymat noldan kichik bo'lsa, matematik kutish ham manfiy bo'ladi. Salbiy qiymat moduli qanchalik katta bo'lsa, vaziyat shunchalik yomon bo'ladi. Agar natija nolga teng bo'lsa, kutish zararsizdir. Siz faqat ijobiy matematik kutish va oqilona o'yin tizimiga ega bo'lganingizda g'alaba qozonishingiz mumkin. Sezgi bilan o'ynash falokatga olib keladi.
Matematik kutish va birja savdosi
Matematik kutish moliyaviy bozorlarda birja savdolarini amalga oshirishda juda keng qo'llaniladigan va mashhur statistik ko'rsatkichdir. Avvalo, bu parametr savdo muvaffaqiyatini tahlil qilish uchun ishlatiladi. Bu qiymat qanchalik baland bo'lsa, o'rganilayotgan savdoni muvaffaqiyatli deb hisoblash uchun ko'proq sabablar borligini taxmin qilish qiyin emas. Albatta, treyderning ishini tahlil qilish faqat ushbu parametr yordamida amalga oshirilmaydi. Biroq, hisoblangan qiymat ish sifatini baholashning boshqa usullari bilan birgalikda tahlilning aniqligini sezilarli darajada oshirishi mumkin.
Matematik kutish tez-tez depozit bo'yicha amalga oshirilgan ishlarni tezda baholash imkonini beruvchi savdo hisobini monitoring qilish xizmatlarida hisoblab chiqiladi. Istisnolar "o'tirish" foydasiz savdolardan foydalanadigan strategiyalarni o'z ichiga oladi. Treyder bir muncha vaqt omadli bo'lishi mumkin va shuning uchun uning ishida umuman yo'qotishlar bo'lmasligi mumkin. Bunday holda, faqat matematik kutish bilan boshqarilishi mumkin bo'lmaydi, chunki ishda ishlatiladigan xavflar hisobga olinmaydi.
Bozor savdosida matematik kutish ko'pincha har qanday savdo strategiyasining rentabelligini bashorat qilishda yoki treyderning oldingi savdosidagi statistik ma'lumotlarga asoslangan daromadini bashorat qilishda qo'llaniladi.
Pulni boshqarishga kelsak, salbiy taxminlar bilan savdo qilishda, albatta, yuqori daromad keltiradigan pulni boshqarish sxemasi yo'qligini tushunish juda muhimdir. Agar siz ushbu shartlar ostida fond bozorida o'ynashda davom etsangiz, pulingizni qanday boshqarishingizdan qat'i nazar, boshida qanchalik katta bo'lishidan qat'i nazar, butun hisobingizni yo'qotasiz.
Bu aksioma nafaqat salbiy kutilgan o'yinlar yoki savdolar uchun, balki teng imkoniyatlarga ega o'yinlar uchun ham amal qiladi. Shuning uchun, uzoq muddatda foyda olish imkoniyatiga ega bo'lgan yagona vaqt, agar siz ijobiy kutilgan qiymat bilan savdo qilsangiz.
Salbiy kutish va ijobiy kutish o'rtasidagi farq hayot va o'lim o'rtasidagi farqdir. Kutish qanchalik ijobiy yoki salbiy bo'lishi muhim emas; Muhimi, bu ijobiy yoki salbiy. Shuning uchun, pulni boshqarishni ko'rib chiqishdan oldin, siz ijobiy kutilgan o'yinni topishingiz kerak.
Agar sizda bu o'yin bo'lmasa, unda dunyodagi barcha pul boshqaruvi sizni qutqarmaydi. Boshqa tomondan, agar sizda ijobiy umid bo'lsa, siz pulni to'g'ri boshqarish orqali uni eksponent o'sish funktsiyasiga aylantira olasiz. Ijobiy kutish qanchalik kichik bo'lishi muhim emas! Boshqacha qilib aytganda, bitta shartnomaga asoslangan savdo tizimi qanchalik foydali ekanligi muhim emas. Agar sizda har bir shartnoma uchun 10 dollar yutib oladigan tizimingiz bo'lsa (komissiyalar va sirpanishdan so'ng), har bir savdo uchun o'rtacha 1000 dollarni tashkil etadigan tizimdan ko'ra (komissiya to'lovlari va sirpanishlar chegirib tashlanganidan keyin) daromadliroq qilish uchun pulni boshqarish usullaridan foydalanishingiz mumkin.
Muhimi, tizim qanchalik foydali bo'lganligi emas, balki kelajakda tizim hech bo'lmaganda minimal foyda ko'rsatishini qanchalik aniq aytish mumkin. Shuning uchun, treyder amalga oshirishi mumkin bo'lgan eng muhim tayyorgarlik, tizim kelajakda kutilgan ijobiy qiymatni ko'rsatishini ta'minlashdir.
Kelajakda kutilgan ijobiy qiymatga ega bo'lish uchun tizimingizning erkinlik darajasini cheklamaslik juda muhimdir. Bunga nafaqat optimallashtiriladigan parametrlar sonini yo'q qilish yoki kamaytirish, balki imkon qadar ko'proq tizim qoidalarini kamaytirish orqali erishiladi. Siz qo'shadigan har bir parametr, siz kiritgan har bir qoida, tizimga kiritilgan har bir kichik o'zgarish erkinlik darajalari sonini kamaytiradi. Ideal holda, siz juda ibtidoiy va qurishingiz kerak oddiy tizim, bu deyarli har qanday bozorda doimiy ravishda kichik daromad keltiradi. Shunga qaramay, tizim qanchalik foydali bo'lishi muhim emasligini tushunishingiz kerak, agar u foydali bo'lsa. Savdodan olgan pulingiz orqali olinadi samarali boshqaruv pul.
Savdo tizimi shunchaki pul boshqaruvidan foydalanishingiz uchun sizga ijobiy kutilgan qiymatni beruvchi vositadir. Faqat bir yoki bir nechta bozorlarda ishlaydigan (hech bo'lmaganda minimal foydani ko'rsatadigan) yoki turli bozorlar uchun turli qoidalar yoki parametrlarga ega bo'lgan tizimlar real vaqtda uzoq vaqt ishlamaydi. Ko'pgina texnik yo'naltirilgan treyderlarning muammosi shundaki, ular optimallashtirish uchun juda ko'p vaqt va kuch sarflashadi turli qoidalar va savdo tizimi parametrlarining qiymatlari. Bu butunlay qarama-qarshi natijalar beradi. Savdo tizimining foydasini oshirish uchun energiya va kompyuter vaqtini behuda sarflashning o'rniga, kuchingizni minimal foyda olishning ishonchlilik darajasini oshirishga yo'naltiring.
Pulni boshqarish faqat ijobiy umidlardan foydalanishni talab qiladigan raqamlar o'yini ekanligini bilib, treyder birja savdosining "muqaddas grailini" qidirishni to'xtatishi mumkin. Buning o'rniga, u o'zining savdo usulini sinab ko'rishni boshlashi mumkin, bu usul qanchalik mantiqiy ekanligini va bu ijobiy umidlarni beradimi yoki yo'qligini bilib oladi. To'g'ri usullar har qanday, hatto juda o'rtacha savdo usullarida qo'llaniladigan pul boshqaruvi, qolgan ishni o'zlari bajaradi.
Har qanday treyder o'z ishida muvaffaqiyat qozonishi uchun u eng ko'p uchtasini hal qilishi kerak muhim vazifalar: . Muvaffaqiyatli bitimlar soni muqarrar xatolar va noto'g'ri hisob-kitoblardan oshib ketishini ta'minlash; Savdo tizimingizni imkon qadar tez-tez pul ishlash imkoniyatiga ega bo'lishingiz uchun sozlang; Operatsiyalaringizdan barqaror ijobiy natijalarga erishing.
Va bu erda, biz ishlaydigan treyderlar uchun matematik kutish katta yordam berishi mumkin. Bu atama ehtimollik nazariyasidagi asosiy atamalardan biridir. Uning yordami bilan siz tasodifiy qiymatning o'rtacha bahosini berishingiz mumkin. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tortishish markaziga o'xshaydi, agar siz barcha mumkin bo'lgan ehtimolliklarni turli massali nuqtalar sifatida tasavvur qilsangiz.
Savdo strategiyasiga kelsak, uning samaradorligini baholash uchun ko'pincha foyda (yoki zarar) ning matematik kutilishi qo'llaniladi. Ushbu parametr foyda va zararning berilgan darajalari mahsulotlarining yig'indisi va ularning paydo bo'lish ehtimoli sifatida aniqlanadi. Misol uchun, ishlab chiqilgan savdo strategiyasi barcha bitimlarning 37% foyda keltiradi, qolgan qismi - 63% - foydasiz bo'lishini nazarda tutadi. Shu bilan birga, muvaffaqiyatli bitimdan o'rtacha daromad $7, o'rtacha yo'qotish $1,4 bo'ladi. Keling, ushbu tizim yordamida savdoning matematik taxminini hisoblaylik:
Bu raqam nimani anglatadi? Unda aytilishicha, ushbu tizim qoidalariga rioya qilgan holda, biz har bir yopiq bitimdan o'rtacha 1708 dollar olamiz. Olingan samaradorlik darajasi noldan katta bo'lganligi sababli, bunday tizim haqiqiy ish uchun ishlatilishi mumkin. Agar hisob-kitob natijasida matematik kutish salbiy bo'lib chiqsa, bu allaqachon o'rtacha yo'qotishni ko'rsatadi va bunday savdo halokatga olib keladi.
Bitim bo'yicha foyda miqdori nisbiy qiymat sifatida % shaklida ham ifodalanishi mumkin. Masalan:
– 1 tranzaksiya uchun daromad ulushi - 5%;
– muvaffaqiyatli savdo operatsiyalari ulushi - 62%;
– 1 tranzaksiya bo'yicha yo'qotish foizi - 3%;
– muvaffaqiyatsiz bitimlar ulushi - 38%;
Ya'ni, o'rtacha savdo 1,96% olib keladi.
Zararli savdolarning ustunligiga qaramay, beradigan tizimni ishlab chiqish mumkin ijobiy natija, chunki uning MO>0.
Biroq, yolg'iz kutish etarli emas. Tizim juda kam savdo signallarini bersa, pul ishlash qiyin. Bunday holda, uning rentabelligi bank foizlari bilan taqqoslanadi. Har bir operatsiya o'rtacha atigi 0,5 dollar ishlab chiqarsin, lekin tizim yiliga 1000 ta operatsiyani o'z ichiga olsa-chi? Bu nisbatan qisqa vaqt ichida juda muhim miqdor bo'ladi. Bundan mantiqan kelib chiqadiki, yaxshi savdo tizimining yana bir o'ziga xos xususiyatini ko'rib chiqish mumkin qisqa muddatga lavozimlarni egallash.
Manbalar va havolalar
dic.academic.ru - akademik onlayn lug'at
mathematics.ru - matematika bo'yicha o'quv veb-sayti
nsu.ru - Novosibirskning ta'lim sayti davlat universiteti
webmath.ru - ta'lim portali talabalar, abituriyentlar va maktab o'quvchilari uchun.
exponenta.ru o'quv matematik sayti
ru.tradimo.com - bepul onlayn savdo maktabi
crypto.hut2.ru - ko'p tarmoqli axborot resursi
poker-wiki.ru - bepul poker ensiklopediyasi
sernam.ru - Ilmiy kutubxona tanlangan tabiiy fanlar nashrlari
reshim.su – veb-sayt BIZ test kurslari muammolarini HELAMIZ
unfx.ru – UNFX-da Forex: trening, savdo signallari, ishonchli boshqaruv
slovopedia.com - Katta ensiklopedik lug'at Slovopediya
pokermansion.3dn.ru - Poker dunyosidagi sizning qo'llanma
statanaliz.info - "Statistik ma'lumotlarni tahlil qilish" axborot blogi
forex-trader.rf – Forex-Trader portali
megafx.ru – joriy Forex tahlillari
fx-by.com - treyder uchun hamma narsa
