Tasodifiy qiymat - tajriba natijasida avval noma'lum qiymatni qabul qiladigan miqdor.

Ma'ruzada qatnashgan talabalar soni.

Joriy oyda foydalanishga topshirilgan uylar soni.

Atrof-muhit harorati.

Portlovchi qobiq bo'lagining og'irligi.

Tasodifiy o'zgaruvchilar diskret va uzluksiz bo'linadi.

Diskret (uzluksiz) bir-biridan ajratilgan, ma'lum ehtimollar bilan alohida qiymatlarni qabul qiluvchi tasodifiy o'zgaruvchi deb ataladi.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari soni chekli yoki sanab o'tiladigan bo'lishi mumkin.

Davomiy ba'zi bir chekli yoki cheksiz oraliqdan istalgan qiymatni qabul qila oladigan tasodifiy miqdor deb ataladi.

Shubhasiz, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari soni cheksizdir.

Berilgan misollarda: 1 va 2 diskret tasodifiy miqdorlar, 3 va 4 uzluksiz tasodifiy miqdorlar.

Kelajakda "tasodifiy o'zgaruvchi" so'zlari o'rniga biz tez-tez c qisqartmasidan foydalanamiz. V.

Qoida tariqasida, tasodifiy o'zgaruvchilar bosh harflar bilan belgilanadi va ularning mumkin bo'lgan qiymatlar- kichik.

Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalarini to‘plam-nazariy talqinida X tasodifiy miqdor elementar hodisaning funksiyasi hisoblanadi: X =ph(ō), bunda ō Ō (ō  Ō) fazoga tegishli elementar hodisadir. Bunday holda, c ning mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami. V. X ph(ō) funksiyasi oladigan barcha qiymatlardan iborat.

Tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni tasodifiy o'zgaruvchi bilan bog'liq bo'lgan barcha turdagi hodisalarning ehtimolliklarini topishga imkon beruvchi har qanday qoida (jadval, funktsiya) (masalan, uning ma'lum bir qiymat olishi yoki ma'lum bir intervalgacha tushishi ehtimoli).

Tasodifiy miqdorlarning taqsimlanish qonuniyatlarini ko'rsatish shakllari. Tarqatish seriyasi.

Bu jadvalning yuqori qatorida X tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari o'sish tartibida keltirilgan: x 1, x 2, ..., x n va pastki qatorda - bu qiymatlarning ehtimolliklari: p 1, p 2, ..., p n, bu erda p i = R(X = x i ).

(X = x 1 ), (X = x 2 ), ... hodisalari bir-biriga mos kelmaydigan va to'liq guruhni tashkil qilganligi sababli, taqsimot qatorining pastki qatoridagi barcha ehtimollar yig'indisi birga teng.

Taqsimot qatori faqat diskret tasodifiy miqdorlarning taqsimot qonunini belgilash uchun ishlatiladi.

Tarqatish poligoni

Tarqatish qatorining grafik tasviri taqsimot poligoni deyiladi. U shunday tuzilgan: c ning har bir mumkin bo'lgan qiymati uchun. V. x o'qiga perpendikulyar tiklanadi, unga berilgan c qiymatining ehtimolligi chiziladi. V. Aniqlik uchun (va faqat ravshanlik uchun!), Olingan nuqtalar tekis segmentlar bilan bog'langan.

Kümülatif taqsimot funktsiyasi (yoki oddiygina taqsimlash funktsiyasi).

Bu x argumentining har bir qiymati uchun  tasodifiy o'zgaruvchining x argumenti qiymatidan kichik bo'lish ehtimoliga son jihatdan teng bo'lgan funksiyadir.

Tarqatish funksiyasi F(x) bilan belgilanadi: F(x) = P (X  x).

Endi siz ko'proq narsani berishingiz mumkin aniq ta'rif uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi: tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot funksiyasi uzluksiz hosila bilan uzluksiz, bo'lak-bo'lak differensiallanuvchi funksiya bo'lsa, u uzluksiz deyiladi.

Tarqatish funktsiyasi c ni belgilashning eng universal shaklidir. v., bu diskret va uzluksiz s uchun taqsimot qonunlarini belgilash uchun ishlatilishi mumkin. V.

Muammo 14. Naqd pul lotereyasida 1 000 000 rubllik 1 yutuq, 100 000 rubllik 10 yutuq o'ynaladi. va har biri 1000 rubldan 100 ta yutuq. umumiy chiptalar soni 10 000 ta tasodifiy yutuqni taqsimlash qonunini toping X bitta lotereya chiptasi egasi uchun.

Yechim. uchun mumkin bo'lgan qiymatlar X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;

X 4 = 1000000. Ularning ehtimolliklari mos ravishda teng: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Shuning uchun yutuqni taqsimlash qonuni X quyidagi jadval orqali keltirilishi mumkin:

Tarqatish poligonini tuzing.

Yechim. Keling, to'rtburchaklar koordinatalar tizimini quramiz va biz abscissa o'qi bo'ylab mumkin bo'lgan qiymatlarni chizamiz. x i, va ordinata o'qi bo'ylab - mos keladigan ehtimollar p i. Keling, nuqtalarni chizamiz M 1 (1;0,2), M 2 (3;0,1), M 3 (6;0,4) va M 4 (8;0,3). Ushbu nuqtalarni to'g'ri chiziq segmentlari bilan bog'lab, biz kerakli taqsimot ko'pburchagini olamiz.

§2. Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari

Tasodifiy o'zgaruvchi to'liq taqsimot qonuni bilan tavsiflanadi. Tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha tavsifini uning raqamli xarakteristikalari yordamida olish mumkin

2.1. Kutilgan qiymat. Dispersiya.

Tasodifiy o'zgaruvchi mos ravishda ehtimollik bilan qiymatlarni qabul qilsin.

Ta'rif. Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va mos keladigan ehtimolliklarning mahsuloti yig'indisidir:

.

Matematik kutishning xossalari.

Tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymat atrofida tarqalishi dispersiya va standart og'ish bilan tavsiflanadi.

Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi - bu tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan kvadrat og'ishining matematik kutilishi:

Hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaniladi

Dispersiya xossalari.

2. , bu yerda o‘zaro mustaqil tasodifiy miqdorlar.

3. Standart og'ish .

Muammo 16. Tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping Z = X+ 2Y, agar tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik taxminlari ma'lum bo'lsa X Va Y: M(X) = 5, M(Y) = 3.

Yechim. Biz matematik kutishning xususiyatlaridan foydalanamiz. Keyin biz olamiz:

M(X+ 2Y)= M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Muammo 17. Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi X 3 ga teng. Tasodifiy miqdorlarning dispersiyasini toping: a) –3 X; b) 4 X + 3.

Yechim. Dispersiyaning 3, 4 va 2 xossalarini qo'llaymiz. Bizda ... bor:

A) D(–3X) = (–3) 2 D(X) = 9D(X) = 9 . 3 = 27;

b) D(4X+ 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = 16 . 3 = 48.

Muammo 18. Mustaqil tasodifiy miqdor berilgan Y– otish paytida tushgan ochkolar soni zar. Tarqatish qonunini, matematik kutilmani, dispersiyani va o'rtachani toping standart og'ish tasodifiy o'zgaruvchi Y.

Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchan taqsimot jadvali Y shaklga ega:

Y
R	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Keyin M(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

D(Y) = (1 – 3,5) 2 1/6 +(2 – 3,5) 2 /6 + (3 – 3,5) 2 1/6 + (4 – 3,5) 2/6 +(5 – –3,5) 2 1/6 + (6 – 3,5) 2. 1/6 = 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.

Javob: Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqing X mumkin bo'lgan qiymatlar bilan. Ushbu qiymatlarning har biri mumkin, ammo aniq emas va qiymat X ularning har birini qandaydir ehtimol bilan qabul qilishi mumkin. Tajriba natijasida, qiymat X ushbu qiymatlardan birini oladi, ya'ni mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhidan biri sodir bo'ladi:

Keling, bu hodisalarning ehtimolini harflar bilan belgilaylik R tegishli indekslar bilan:

Ya'ni, turli qiymatlarning ehtimollik taqsimoti taqsimot jadvali bilan aniqlanishi mumkin, unda berilgan diskret tasodifiy o'zgaruvchi tomonidan olingan barcha qiymatlar yuqori qatorda ko'rsatilgan va mos keladigan qiymatlarning ehtimolligi. pastki qatorda ko'rsatilgan. Mos kelmaydigan hodisalar (3.1) to'liq guruhni tashkil qilganligi sababli, ya'ni tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarining ehtimollik yig'indisi bittaga teng. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarning ehtimollik taqsimotini jadval shaklida taqdim etib bo'lmaydi, chunki bunday tasodifiy o'zgaruvchilarning qiymatlari soni cheklangan oraliqda ham cheksizdir. Bundan tashqari, har qanday ma'lum qiymatni olish ehtimoli nolga teng. Tasodifiy o'zgaruvchi, agar biz ushbu taqsimotni aniqlasak, ehtimollik nuqtai nazaridan to'liq tavsiflanadi, ya'ni har bir hodisaning qanday ehtimoli borligini aniq ko'rsatamiz. Shu bilan biz tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni deb ataladigan qonunni o'rnatamiz. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonuni - bu tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari va mos keladigan ehtimolliklar o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatadigan har qanday munosabat. Tasodifiy o'zgaruvchi haqida aytamizki, u berilgan taqsimot qonuniga bo'ysunadi. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni ko'rsatilishi mumkin bo'lgan shaklni o'rnatamiz X. Eng oddiy shakl Ushbu qonunning ta'rifi tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari va mos keladigan ehtimolliklarni sanab o'tgan jadvaldir:

x i	x 1	x 2	× × ×	x n
p i	p 1	p 2	× × ×	p n

Bunday jadvalni tasodifiy o'zgaruvchining taqsimotlari qatori deb ataymiz X.

Guruch. 3.1

Tarqatish seriyasiga yanada vizual ko'rinish berish uchun ular ko'pincha uning grafik tasviriga murojaat qilishadi: tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari abscissa o'qi bo'ylab chiziladi va bu qiymatlarning ehtimolliklari ordinat o'qi bo'ylab chiziladi. Aniqlik uchun olingan nuqtalar to'g'ri segmentlar bilan bog'langan. Bunday ko'rsatkich taqsimot ko'pburchagi deb ataladi (3.1-rasm). Tarqatish poligoni, shuningdek, taqsimot qatori tasodifiy miqdorni to'liq tavsiflaydi. taqsimot qonunining shakllaridan biri hisoblanadi. Ba'zan tarqatish seriyasining "mexanik" talqini qulaydir. Tasavvur qilaylik, birlikka teng bo'lgan ma'lum bir massa abscissa o'qi bo'ylab taqsimlanadi, shunda n massalar mos ravishda alohida nuqtalarda to'plangan . Keyin taqsimot qatori abscissa o'qida joylashgan ba'zi massalarga ega bo'lgan moddiy nuqtalar tizimi sifatida talqin qilinadi.

Tajriba - bu o'rganilayotgan tasodifiy hodisa kuzatiladigan muayyan shartlar va harakatlarning har qanday amalga oshirilishi. Tajribalarni sifat va miqdor jihatdan tavsiflash mumkin. Tasodifiy miqdor - tajriba natijasida u yoki bu qiymatni qabul qilishi mumkin bo'lgan va qaysi biri oldindan ma'lum bo'lmagan miqdor.

Tasodifiy o'zgaruvchilar odatda (X, Y, Z) va tegishli qiymatlar (x, y, z) bilan belgilanadi.

Diskret - bu haddan tashqari baholanishi mumkin bo'lgan bir-biridan ajratilgan individual qiymatlarni oladigan tasodifiy o'zgaruvchilar. Doimiy miqdorlar mumkin bo'lgan qiymatlari doimiy ravishda ma'lum bir diapazonni to'ldiradi. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonuni - bu tasodifiy o'zgaruvchilarning mumkin bo'lgan qiymatlari va mos keladigan ehtimolliklar o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatadigan har qanday munosabat. Tarqatish qatori va ko'pburchak. Diskret miqdorning taqsimot qonunining eng oddiy shakli taqsimot qatoridir. Tarqatish qatorining grafik talqini taqsimot poligonidir.

Sizni qiziqtirgan ma'lumotlarni Otvety.Online ilmiy qidiruv tizimida ham topishingiz mumkin. Qidiruv formasidan foydalaning:

Mavzu bo'yicha batafsil 13. Diskret tasodifiy miqdor. Tarqatish poligoni. Tasodifiy o'zgaruvchilar bilan operatsiyalar, misol:

1. 13. Diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimlanish qonuni. Tarqatish poligoni. Tasodifiy o'zgaruvchilar bilan operatsiyalar. Misol.
2. "Tasodifiy o'zgaruvchi" tushunchasi va uning tavsifi. Diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimlanish qonuni (seriyasi). Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar. Misollar.
3. 14. Tasodifiy kattaliklar, ularning turlari. Diskret tasodifiy o'zgaruvchining (DRV) ehtimollik taqsimoti qonuni. Tasodifiy o'zgaruvchilarni (SV) qurish usullari.
4. 16. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni. Diskret tasodifiy miqdorning raqamli xarakteristikalari: matematik kutish, dispersiya va standart og'ish.
5. Diskret tasodifiy miqdorlar ustida matematik amallar va mustaqil X va Y tasodifiy miqdorlarning berilgan taqsimotlari asosida KX, X"1, X + K, XV uchun taqsimot qonunlarini qurish misollari.
6. Tasodifiy o'zgaruvchi tushunchasi. Diskret ishlarni taqsimlash qonuni. miqdorlar. Tasodifiy bo'yicha matematik operatsiyalar. miqdorlar.

2.1. Nisbiy chastota. Nisbiy chastota barqarorligi

2.2. Ehtimollikning klassik ta'rifining cheklovlari. Statistik ehtimollik

2.3. Geometrik ehtimollar

2.4. Ehtimollar qo‘shish teoremasi

2.5. To'liq tadbirlar guruhi

2.6. Qarama-qarshi hodisalar

2.7. Kutilmagan hodisalarning amaliy mumkin emasligi printsipi

2.8. Tadbirlarni ishlab chiqarish. Shartli ehtimollik

2.9. Ehtimollarni ko'paytirish teoremasi

2.10. Mustaqil hodisalar. Mustaqil hodisalar uchun ko'paytirish teoremasi

2.10. Kamida bitta voqea sodir bo'lish ehtimoli

3-ma'ruza Qo'shish va ko'paytirish teoremalarining xulosalari

3.1. Qo'shma hodisalar ehtimolini qo'shish teoremasi

3.2. Umumiy ehtimollik formulasi

3.3. Gipotezalarning ehtimolligi. Bayes formulalari

4. Testlarni takrorlash

4.1. Bernulli formulasi

4.2. Bernulli sxemasidagi limit teoremalari

4.3. Moivr-Laplasning lokal va integral teoremalari

4.3. Mustaqil sinovlarda doimiy ehtimollikdan nisbiy chastota og'ish ehtimoli

5. Tasodifiy o'zgaruvchilar

5.1. Tasodifiy o'zgaruvchi haqida tushuncha. Tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni

5.2. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni. Tarqatish poligoni

5.3. Binomiy taqsimot

5.4. Puasson taqsimoti

5.5. Geometrik taqsimot

5.6. Gipergeometrik taqsimot

6. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi

6.1. Diskret tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari

6.2. Diskret tasodifiy miqdorni kutish

6.3. Matematik kutishning ehtimollik ma'nosi

6.4. Matematik kutishning xossalari

6.5. Mustaqil sinovlarda hodisaning sodir bo'lish sonini matematik kutish

7. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi

7.1. Tasodifiy o'zgaruvchining tarqalishining raqamli xarakteristikasini kiritishning maqsadga muvofiqligi

7.2. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan chetga chiqishi

7.3. Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi

7.4. Dispersiyani hisoblash formulasi

7.5. Dispersiya xususiyatlari

7.6. Mustaqil sinovlarda hodisa ro'y berish sonining o'zgarishi

7.7. Standart og'ish

7.8. O'zaro mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining standart og'ishi

7.9. Xuddi shunday taqsimlangan o'zaro mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar

7.10. Boshlang'ich va markaziy nazariy nuqtalar

8. Katta sonlar qonuni

8.1. Dastlabki mulohazalar

8.2. Chebishev tengsizligi

8.3. Chebishev teoremasi

8.4. Chebishev teoremasining mohiyati

8.5. Chebishev teoremasining amaliyot uchun ahamiyati

8.6. Bernulli teoremasi

Tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti funksiyasi

9.1. Tarqatish funksiyasining ta’rifi

9.2. Tarqatish funksiyasining xossalari

9.3. Tarqatish funksiyasi grafigi

10. Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi

10.1. Tarqatish zichligini aniqlash

10.2. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining berilgan intervalga tushish ehtimoli

10.3. Yagona ehtimollik taqsimoti qonuni

11. Oddiy taqsimot

11.1. Uzluksiz tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari

11.2. Oddiy taqsimot

11.3. Oddiy egri chiziq

11.4. Oddiy taqsimot parametrlarining normal egri chiziq shakliga ta'siri

11.5. Oddiy tasodifiy miqdorning berilgan oralig'iga tushish ehtimoli

11.6. Berilgan chetlanish ehtimolini hisoblash

11.7. Uch sigma qoidasi

11.8. Lyapunov teoremasi haqida tushuncha. Markaziy chegara teoremasining bayoni

11.9. Nazariy taqsimotning normadan chetlanishini baholash. Egrilik va kurtoz

11.10. Bitta tasodifiy argumentning funksiyasi va uning taqsimlanishi

11.11. Bitta tasodifiy argumentning funksiyasini matematik kutish

11.12. Ikki tasodifiy argumentning funksiyasi. Mustaqil atamalar yig'indisining taqsimlanishi. Oddiy taqsimotning barqarorligi

11.13. Chi kvadrat taqsimoti

11.14. Talabalarni taqsimlash

11.15. Fischer-Snedecor f taqsimoti

12. Eksponensial taqsimot

12.1. Ko'rsatkichli taqsimotning ta'rifi

12.2. Eksponensial taqsimlangan tasodifiy miqdorning berilgan oralig'iga tushish ehtimoli

§ 3. Ko'rsatkichli taqsimotning son xarakteristikalari

12.4. Ishonchlilik funktsiyasi

12.5. Eksponensial ishonchlilik qonuni

12.6. Eksponensial ishonchlilik qonunining xarakterli xossasi

5.2. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni. Tarqatish poligoni

Bir qarashda, diskret tasodifiy o'zgaruvchini aniqlash uchun uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini sanab o'tish kifoyadek tuyulishi mumkin. Aslida, bu shunday emas: tasodifiy o'zgaruvchilar mumkin bo'lgan qiymatlarning bir xil ro'yxatiga ega bo'lishi mumkin, ammo ularning ehtimolliklari boshqacha bo'lishi mumkin. Shuning uchun, diskret tasodifiy o'zgaruvchini ko'rsatish uchun uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini sanab o'tishning o'zi etarli emas, shuningdek, ularning ehtimolliklarini ko'rsatish kerak;

Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni mumkin bo'lgan qiymatlar va ularning ehtimolliklari o'rtasidagi yozishmalarni chaqirish; uni jadvalli, analitik (formula shaklida) va grafik ko'rsatish mumkin.

Ta'rif. Ixtiyoriy hodisalarning ehtimolini topishga imkon beruvchi har qanday qoida (jadval, funksiya, grafik). A S (S- -fazodagi hodisalar algebrasi ), xususan, tasodifiy o'zgaruvchining individual qiymatlari yoki ushbu qiymatlar to'plamining ehtimolliklarini ko'rsatadigan, deyiladi. tasodifiy o'zgaruvchilar taqsimot qonuni(yoki oddiygina: tarqatish). s.v. haqida. ular "bu taqsimot qonuniga bo'ysunadi", deyishadi.

Mayli X– qiymatlarni qabul qiluvchi d.s.v X 1 , X 2 , …, x n,… (bu qiymatlar to'plami cheklangan yoki sanab o'tilgan) ba'zi bir ehtimollik bilan p i, Qayerda i = 1,2,…, n,… Tarqatish qonuni d.s.v. formuladan foydalanib sozlash qulay p i = P{X = x i)Qaerda i = 1,2,…, n,..., bu tajriba natijasida r.v. X qiymatini oladi x i. D.s.v uchun. X taqsimot qonuni shaklida berilishi mumkin tarqatish jadvallari:

				x n
				R n

Jadvalda diskret tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonunini belgilashda jadvalning birinchi qatorida mumkin bo'lgan qiymatlar, ikkinchisida - ularning ehtimolliklari mavjud. bunday jadval deyiladi yaqin tarqatish.

Bitta sinovda tasodifiy o'zgaruvchi bitta va faqat bitta mumkin bo'lgan qiymatni qabul qilishini hisobga olsak, biz hodisalar shunday degan xulosaga kelamiz. X = x 1 , X = x 2 , ..., X = x n to'liq guruhni shakllantirish; shuning uchun bu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisi, ya'ni. jadvalning ikkinchi qatori ehtimoli yig'indisi birga teng, ya'ni .

Agar mumkin bo'lgan qiymatlar to'plami bo'lsa X cheksiz (sanoqli), keyin qator R 1 + R 2 + ... yaqinlashadi va uning yig'indisi birga teng.

Misol. Pul lotereyasi uchun 100 ta chipta chiqarilgan. 50 rubllik bitta yutuq o'ynaladi. va 1 rubldan o'nta yutuq. Tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping X- bitta lotereya chiptasi egasi uchun mumkin bo'lgan yutuqning narxi.

Yechim. Keling, mumkin bo'lgan qiymatlarni yozamiz X: X 1 = 50, X 2 = 1, X 3 = 0. Ushbu mumkin bo'lgan qiymatlarning ehtimoli: R 1 = 0,01, R 2 = 0,01, R 3 = 1 – (R 1 + R 2)=0,89.

Kerakli taqsimot qonunini yozamiz:

Nazorat: 0,01 + 0,1 + 0,89 =1.

Misol. Idishda 8 ta shar bor, ulardan 5 tasi oq, qolganlari qora. Undan tasodifiy 3 ta to'p olinadi. Namunadagi oq sharlar sonining taqsimlanish qonunini toping.

Yechim. R.v ning mumkin bo'lgan qiymatlari. X– namunada oq sharlar soni bor X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = 2, X 4 = 3. Ularning ehtimolliklari mos ravishda bo'ladi

;
;
.

Taqsimot qonunini jadval shaklida yozamiz.

Boshqaruv:
.

Tarqatish qonuni d.s.v. Agar r.v ning mumkin bo'lgan qiymatlari abscissa o'qida chizilgan bo'lsa va bu qiymatlarning ehtimolliklari ordinat o'qi bo'yicha chizilgan bo'lsa, grafik ko'rsatilishi mumkin. nuqtalarni ketma-ket bog'laydigan siniq chiziq ( X 1 , R 1), (X 2 , R 2),... chaqirdi poligon(yoki poligon) tarqatish(5.1-rasmga qarang).

Guruch. 5.1. Tarqatish poligoni

Endi biz d.s.v ga aniqroq ta'rif berishimiz mumkin.

Ta'rif. Tasodifiy qiymat X diskretdir, agar sonli yoki sanaladigan sonlar toʻplami mavjud boʻlsa X 1 , X 2, ... shunday P{X = x i } = p i > 0 (i= 1,2,...) va p 1 + p 2 + R 3 +… = 1.

Diskret r.v ustidagi matematik amallarni belgilaylik.

Ta'rif.Miqdori (farq, ish) d.s.v. X, qiymatlarni olish x i ehtimolliklar bilan p i = P{X = x i }, i = 1, 2, …, n, va d.s.v. Y, qiymatlarni olish y j ehtimolliklar bilan p j = P{Y = y j }, j = 1, 2, …, m, d.s.v deb ataladi. Z = X + Y (Z = X – Y, Z = X Y), qiymatlarni olish z ij = x i + y j (z ij = x i – y j , z ij = x i  y j) ehtimollar bilan p ij = P{X = x i , Y = y j) barcha belgilangan qiymatlar uchun i Va j. Agar ba'zi miqdorlar mos kelsa x i + y j (farqlar x i – y j, ishlaydi x i  y j) mos keladigan ehtimollar qo'shiladi.

Ta'rif.Ish d.s.v. yoqilgan soni s d.s.v deb nomlangan. cX, qiymatlarni olish Bilanx i ehtimolliklar bilan p i = P{X = x i }.

Ta'rif. Ikki d.s.v. X Va Y chaqiriladi mustaqil, agar voqealar ( X = x i } = A i Va ( Y = y j } = B j har kim uchun mustaqil i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m, ya'ni

Aks holda r.v. chaqirdi qaram. Bir necha r.v. Agar ularning birortasining taqsimot qonuni boshqa miqdorlar qanday mumkin bo'lgan qiymatlarga bog'liq bo'lmasa, o'zaro mustaqil deb ataladi.

Keling, eng ko'p qo'llaniladigan bir nechta tarqatish qonunlarini ko'rib chiqaylik.