В этой статье мы рассмотрим произведение, которое написал А. С. Пушкин в 1836 году: опишем его краткое содержание и проведем анализ. "Капитанская дочка" по жанру - историческая повесть. Напомним краткое содержание произведения.
В нем повествование ведется от лица Петра Андреевича Гринева, 50-летнего человека. Он вспоминает время, когда он повстречал предводителя восстания крестьян.
Происхождение и детство Петра Гринева
Петр родился и вырос в семье одного небогатого дворянина. Мальчик практически не получил образования - он лишь к 12 годам с помощью Савельича выучился грамоте. Петр вел до 16 лет жизнь типичного недоросля. Он играл с мальчишками из деревни и мечтал о веселой жизни в Петербурге, поскольку был записан в сержантом, еще когда находился в чреве матери.
Однако отец его решил иначе - он отправил Петрушу, 17-летнего юношу, в армию, а не в Петербург, чтобы тот "понюхал пороху". Прощаясь, он дал наставление Петру, которое вынесено в эпиграф "Капитанской дочки": "Береги честь смолоду". Так Гринев оказался в Оренбургской крепости. Вместе с Петром отправился сюда и Савельич, его воспитатель.
Путь в крепость
Савельич с Петром на подъезде к городу заблудились, попав в буран. Их спасла лишь помощь незнакомца, который вывел героев на дорогу к жилью. Петруша в благодарность за свое спасение подарил этому незнакомцу заячий тулуп, а также угостил его вином.
Знакомство с Белогорской крепостью
Вот Петр приезжает в Белгородскую крепость на службу. Она не была похожа на укрепленное сооружение. Лишь несколько "инвалидов" составляет войско, единственное ее орудие - пушка. Миронов Иван Кузьмич управляет крепостью. Это честный и хотя и не отличающийся образованностью. Все дела ведет в крепости Василиса Егоровна, его жена. Гринев сходится довольно близко с семейством коменданта. Он проводит много времени с ним.
Взаимоотношения Гринева со Швабриным
Его другом поначалу становится также офицер Швабрин, который служит в этой крепости. Однако вскоре они ссорятся из-за того, что Швабрин нелестно отозвался о Маше, дочери Миронова, которая нравится Гриневу (образ капитанской дочки будет рассмотрен ниже). Петр вызывает на дуэль Швабрина и получает ранение. Маша, ухаживая за ним, рассказывает Гриневу, что Швабрин когда-то просил ее руки, но она ему отказала. Гринев решает жениться на этой девушке и пишет отцу письмо, прося благословения. Но тот не согласен на такой брак, поскольку бесприданницей является капитанская дочка. Главные герои произведения, таким образом, не могут пожениться. Маша не хочет заключать брак без отцовского благословения.
Пугачевцы в Белогорской крепости
В 1773 году, в октябре, Миронов получает письмо. В нем сообщается о Пугачеве, который выдает себя за погибшего Петра III. Он уже собрал большое войско, состоящее из крестьян, смог захватить несколько крепостей. Готовится встретить Пугачева и Комендант собирается свою дочь отправить в Оренбург, но сделать это не успевает - пугачевцы уже здесь. Жители деревни хлебом-солью встречают захватчиков. Все те, кто служит в крепости, взяты в плен. Они должны присягнуть на верность Пугачеву. Однако комендант принести присягу отказывается, его вешают. Жена его также погибает. А вот Гринев оказывается неожиданно на свободе. Савельич говорит ему, что Пугачев и есть тот незнакомец, которому когда-то подарил Гринев заячий тулуп.
Судьба Маши после прибытия в крепость Пугачева
Несмотря на то что главный герой открыто оказывается присягнуть Емельяну, тот его отпускает. Гринев уезжает из крепости, но в ней остается капитанская дочка. Главные герои, любящие друг друга, не могут воссоединиться. Девушка больна и скрывается под видом племянницы местной попадьи. Швабрин назначен комендантом крепости. Он присягнул Пугачеву. Это беспокоит Гринева. В Оренбурге главный герой просит помощи, но не находит ее. Он получает вскоре от Маши письмо. Девушка пишет, что Швабрин вынуждает ее выйти за него замуж. В случае отказа он обещает рассказать людям Пугачева, что она - капитанская дочка. Описание всех этих событий в произведении дается подробно - мы выделили лишь основные моменты.
Пугачев освобождает Машу
В Белогорскую крепость едут Гринев с Савельичем. Но они попадают по дороге в плен к пугачевцам и встречаются вновь с их предводителем.
Петр честно рассказывает Емельяну, куда он едет и зачем; и неожиданно для Гринева Пугачев решает ему помочь "наказать обидчика сироты". Пугачев в крепости освобождает Машу. Его не останавливает даже рассказ Швабрина о том, кто она такая на самом деле.
Помилование Гринева императрицей
Историческая повесть "Капитанская дочка" заканчивается следующими событиями. Гринев отвозит девушку к своим родителям. Сам же он возвращается в армию. Проваливается выступление Пугачева, но Гринева арестовывают, так как Швабрин на суде говорит, что Петр - шпион Пугачева. Главного героя приговаривают к ссылке в Сибирь, и лишь визит к императрице, который совершает Маша, помогает добиться помилования Гринева. А вот Швабрина отправляют на каторгу.
Тематика произведения "Капитанская дочка"
Проблемы, рассмотренные в произведении, весьма многочисленны. Наиболее важной из них, конечно, является проблема чести. Вообще по широте охвата действительности, значительности темы, поставленной автором, художественному совершенству произведения повесть "Капитанская дочка" - вершинное достижение, шедевр, созданный Пушкиным-реалистом. Она была закончена за 3 месяца до смерти автора. Таким образом, стала последним крупным его произведением "Капитанская дочка".
Проблемы, поставленные автором, во многом касаются очень важной темы для того времени - темы крестьянской войны, крестьянского восстания. Пушкину изучение истории пугачевского восстания дало возможность правдиво и точно рассказать об изображенных в повести событиях. Смысл "Капитанской дочки" заключался, в частности, в том, чтобы показать психологию его участников.
Отец Петра, Гринев Андрей Петрович
Гринев Андрей Петрович отрицательно относился к бесчестным и легким способам делать при дворе карьеру. Поэтому он не захотел отправить в Петербург на службу в гвардию своего сына Петра. Он желал, чтобы тот "понюхал пороху" и стал солдатом, а не бездельником. Именно он произносит слова, которые вынесены в эпиграф "Капитанской дочки": "Береги честь смолоду".
Гринев-отец не лишен присущих представителю того времени отрицательных черт. Вспомним, например, его суровое обращение с безропотной и любящей женой, матерью Петра, учиненную им расправу над учителем-французом, возмутительно грубый тон письма к Савельичу, в котором тот называет его "старым псом". Перед нами в этих эпизодах предстает типичный дворянин-крепостник. Однако есть и у Гринева-отца. Это сила характера, прямолинейность, черты и вызывают естественную и невольную симпатию к нему читателя - к этому строгому к другим и к самому себе суровому человеку.
Характер Петра Гринева
Характер Петра Гринева, 16-летнего юноши, показан автором в движении, развитии, которое произошло под влиянием жизненных условий, в которых он оказался. Петруша поначалу - легкомысленный и беспечный помещичий сынок, недоросль-бездельник, практически фонвизинский Митрофанушка. Он мечтает об исполненной удовольствий легкой жизни гвардейского офицера в столице.
В Петре Гриневе соединились любящее, доброе сердце его матери со смелостью, прямотой, честностью, присущими его отцу. Эти качества Гринев-отец укрепил в нем в твердом напутствии верно служить, слушаться начальников и, самое главное, беречь честь смолоду.
Доброта главного героя проявилась в щедром подарке "мужичку", указавшему ему дорогу во время бурана и сыгравшему в дальнейшей судьбе героя решающую роль. И после, рискуя всем, Гринев бросился на выручку Савельичу, захваченному в плен. Глубина его натуры сказалась в чистом и большом чувстве, которое возникло в нем к Маше Мироновой.
Честь в "Капитанской дочке" - очень важная характеристика личности. И Петр Гринев своим поведением доказал верность отцовским заветам, не изменил тому, что считал своей честью и своим долгом. Хорошие задатки и черты, свойственные ему, закалились, окрепли и восторжествовали окончательно под воздействием суровой школы жизни, в которую отец отдал его, послав в глухую степную окраину вместо Петербурга. Крупные события истории, участником которых стал Гринев, не позволили ему после личного огорчения (отец не дал согласие на брак с Машей) опуститься и пасть духом, сообщили душе юноши "сильное и благое потрясение".
Швабрин Алексей Иванович
"Капитанская дочка" - книга, в которой среди главных героев мы найдем и Швабрина Алексея Ивановича, соперника Гринева - полную противоположность прямому и честному Петру. Автор и этого персонажа не лишает положительных черт. Он наблюдателен, умен, образован, интересный собеседник, остер на язык. Однако ради личных целей Алексей готов совершить бесчестный поступок. Он оклеветал Машу Миронову, бросает тень также и на ее мать. Швабрин наносит вероломный удар Гриневу на дуэли и пишет вдобавок лживый донос на Петра его отцу. Алексей Иванович не по идейным убеждениям переходит на сторону Пугачева: он рассчитывает тем самым сохранить себе жизнь, а в случае успеха надеется сделать при Емельяне карьеру. Но главное, он жаждет расправиться с Гриневым и жениться насильно на Маше, которая не любит его.
Семья Мироновых и Иван Игнатьевич
Познакомимся вкратце и с характерами других персонажей, которые создал Пушкин в произведении "Капитанская дочка". Герои, о которых пойдет речь, принадлежат к рядовому офицерству, как и Швабрин. Они тесно связаны с солдатской массой. Речь идет об Иване Игнатьевиче, кривом гарнизонном поручике, и самом капитане Миронове, который по происхождению не был даже дворянином - он вышел из солдатских детей в офицеры. И Василиса Егоровна, его жена, и сам капитан, и кривой поручик из призведения "Капитанская дочка" - герои эти были необразованными людьми, с ограниченным кругозором, не дававшим им возможности разобраться в целях и причинах народного восстания.
Они были не лишены недостатков, типичных для того времени. Вспомним хотя бы "правосудие" капитанши. Она говорит, что не разберешь, кто прав, кто виноват - Прохор или Устинья. Следует наказать обоих. Однако Мироновы были добрыми и простыми людьми, преданными долгу, готовыми бесстрашно умереть за "святыню своей совести".
Образ Маши Мироновой
Продолжим анализ. Капитанская дочка (в честь которой и было названо интересующее нас произведение) - очень яркая героиня. Пушкин с особой теплотой и симпатией создает образ Маши Мироновой. В ней таятся под нежностью внешнего облика сила и стойкость, раскрывающиеся в любви к Гриневу, сопротивлении Швабрину, ее поездке в Петербург к императрице ради спасения своего жениха. Такова в произведении, которое создал Пушкин, капитанская дочка. Анализируя поступки этой героини, Александр Сергеевич ей явно симпатизирует.
Савельич, дядька Гринева
Автор очень правдиво показывает образ Савельича, дядьки Гринева, Его преданность господам далека от простой рабской принадлежности, как показывает проведенный нами анализ. "Капитанская дочка" - повесть, в которой Савельич показан не как унижающийся перед господами слуга. Так, в ответ на несправедливые и грубые упреки Гринева-отца он в своем письме называет себя "верный ваш слуга", "раб", как это было принято в то время при обращении к господам крепостных. Однако тон письма этого героя проникнут чувством человеческого достоинства. Душевное богатство, внутреннее благородство его натуры полностью раскрывается в глубоко человеческой и совершенно бескорыстной привязанности одинокого, бедного старика к своему питомцу.
Образ Емельяна Пугачева в произведении
Пушкин ("Капитанская дочка") анализировал образ Емельяна Пугачева. В 1830 годы он усиленно изучал историю его восстания. Образ Емельяна, созданный в интересующем нас произведении, резко отличается от предшествующих изображений Пугачева. Без всяких прикрас показал Пушкин этого вождя народного бунта. Его образ дан во всей суровой реальности, иногда жестокой.
В изображении автора Емельян отличается "сметливостью" - мятежным и вольным духом, ясностью ума, героической удалью и хладнокровием, широтой натуры. Он рассказывает Гриневу сказку о вороне и орле. Ее смысл состоит в том, что миг яркой и вольной жизни лучше долгих лет прозябания. Пугачев говорит о себе, что его обычай - "казнить так казнить, миловать так миловать".
Композиционный параллелизм
Александр Сергеевич назвал повестью "Капитанскую дочку". Мы в последней главе произведения вновь переносимся в дворянское имение Гриневых, в ту же обстановку. Такой параллелизм начала и конца композиции повести придает законченность и стройность. Однако Пушкин добавляет новые штрихи в описание обстановки. Так, Гринев-отец свой календарь перелистывает рассеянно, мать не варит на этот раз медового варенья, а вяжет фуфайку для Петруши, которого должны сослать на вечное поселение в Сибирь. Тяжелой семейной драмой сменилась семейная идиллия.
Языковые особенности
Язык, которым написано произведение, является замечательной стороной повести. Каждое действующее лицо Пушкин наделяет особой языковой манерой, которая соответствует уровню его развития, умственному кругозору, характеру, общественному положению. Поэтому из реплик персонажей, их высказываний перед читателями возникают необыкновенно живые и выпуклые человеческие образы. В них обобщены характерные стороны жизни русского общества того времени.
На этом завершаем анализ. "Капитанская дочка" - произведение, писать о котором можно очень долго. Его, как выразился Н. В. Гоголь, характеризует "чистота и безыскусственность", возведенные в такую степень, что действительность кажется карикатурной и искусственной перед ним. Гоголь отметил, что все русские повести и романы кажутся всего лишь "приторной размазнею" перед произведением "Капитанская дочка", описание которого было представлено в этой статье.
В 30-е годы Пушкин обратился к Смутным временам XVIII и. к восстанию Пугачева (1773 - 1774). Писатель изучал документы, а в 1833 г. совершил поездку в те места, где 60 лет назад бушевало восстание. Он побывал в Нижнем Новгороде, Казани, Симбирске, Оренбурге, Уральске, Бердской слободе — столице Пугачёва. В течение нескольких месяцев Пушкин читал новые документы, встречался с людьми, помнившими Пугачёва. Своё исследование писатель завершил созданием исторического очерка «История Пугачёва».
Государю, который был личным цензором поэта, труд Пушкина показался интересным, но он внёс 23 поправки и предложил назвать его «История пугачёвского бунта». Пушкин согласился с поправкой: «...Царское название, признаемся, точнее», — говорил он.
В 1834 г. «История...» увидела свет. А в 1836 г. была напечатана повесть «Капитанская дочка», анализ которой мы проведем.
Оба произведения написаны на одном историческом материале. Но если в «Истории...» исследуется такое понятие, как «пугачевщина», то в «Капитанской дочке» в центре внимания судьбы людей, попавших в водоворот кровавого бунта.
Задумав произведение о пугачёвских временах, Александр Сергеевич хотел сделать главным героем офицера, который перешел на сторону Пугачёва. Но изучив документы и свидетельства очевидцев, понял, что такой поступок был нетипичен для дворян.
Пропасть между двумя Россиями
Бунт Пугачева, по сути дела обозначил пропасть между двумя Россиями - дворянской и крестьянской (народной). У каждой из них оказалась своя правда.
Народный лагерь возглавил Пугачёв, назвавший себя государем Петром III. В повести «Капитанская дочка» Пушкина изображено, что он, как и положено «царю», живёт во «дворце» - простой крестьянской избе, только оклеенной золотой бумагой. Окружение у него тоже «царское» — «господа енаралы», которые на самом деле были простыми мужиками и казаками. Поверх крестьянских тулупов у них голубые ленты (голубые ленты свидетельствовали о получении ордена Св. Андрея Первозванного - высшего ордена Российской империи). Весь этот маскарад лучше любых слов говорил, что и сам «государь» Пугачёв и его «енаралы» - совсем не те, за кого себя выдают.
Народный царь к дворянам безжалостен. Он с необычайной лёгкостью («махнул белым платком») отправляет их на виселицу. Именно так он расправился с капитаном Мироновым. Но в тоже время Пугачев считает своим долгом защищать (как всякий царь в народной сказке) слабых и обиженных. Он берёт под своё покровительство даже Машу Миронову, дочь своего врага...
И сам Пугачёв и весь его мятежный лагерь — плоть от плоти народа. Особенно явно это проявлялось в их речах, песнях. Речь Пугачёва пересыпана пословицами, поговорками, народными выражениями: «казнить так казнить, жаловать так жаловать», «ступай на все четыре стороны», «долг платежом красен», «милую тебя на сей раз».
Пугачёвцам противостоит дворянский лагерь. В повести это «старинные люди» — Гринёвы, Мироновы, Савельич, обитатели Белогорской крепости. Пушкин описывает их с симпатией и сочувствием.
И вот между этими социальными слоями разразился конфликт... В той борьбе, что они ведут, не остаётся места для личной доброты — её поглощает сословная ненависть.
Судьбы героев, композиция «Капитанской дочки»
На фоне кровавых событий крестьянской войны раскрываются судьбы простых людей — Гринёвых и Мироновых. И прежде всего юного Петруши Гринёва. Возмужание этого беспечного мальчишки происходит стремительно.
Испытания и злоключения, выпавшие на долю героя, составляют сюжет повести. Экспозиция произведения — сведения о Гринёвых. Мы узнаём, что Петруша из провинциальных дворян, образование получил у Бопре, парикмахера из Франции, а воспитание - у стремянного Савельича, до семнадцати лет гонял голубей. А потом отец отправляет его на службу в армию. По пути к месту службы судьба сводит Гринёва с беглым казаком, который впоследствии окажется Пугачевым. Встреча с ним - завязка действия . А дальше идёт его развитие : Пётр Гринёв приехал в Белогорскую крепость, влюбился в дочь коменданта крепости Миронова. Захват пугачёвцами Белогорской крепости и казнь офицеров - это кульминация сюжета . Здесь каждый из героев проявляет себя в истинном свете. Один из офицеров — Швабрин - оказался предателем. Гринёв был помилован Пугачёвым, который вспомнил, что в первую встречу Пётр подарил ему заячий тулупчик, спасая от зимнего холода. В этой ситуации Пугачев, конечно, отступает от своих правил и действует по сердцу. Несмотря на милость Емельяна, Гринёв отказывается перейти на сторону бунтовщиков, что указывает на его внутреннюю силу и непоколебимость нравственных принципов.
Петр живёт по закону народной мудрости, внушенной отцом: «Береги честь смолоду». Молодой офицер дважды отказывается от предложений своего спасителя, но Пугачёв, проявляя великодушие, спасает Машу Миронову от преследований Швабрина и отпускает с Гринёвым.
Казалось бы, вот он конек всем ужасам — герои спасены. Но не тут-то было. Жизнь, сдвинутая с места таким страшным по своей силе и беспощадности явлением, как народный бунт, не может быстро войти в свои прежние рамки. Поэтому Гринёву предстояло пройти ещё через одно страшное испытание — арест и обвинение в сообществе с Пугачёвым.
Он мог бы оправдаться, но его честь и достоинство не позволяют ему упоминать в этой истории имя Маши Мироновой. Оберегая её от возможных подозрений, Гринёв практически признаёт себя без вины виновным.
Пётр спасает честь и жизнь Маши Мироновой. Она тоже спасает его, когда обращается к императрице Екатерине II с просьбой помиловать Гринёва. Зеркальность поступков Петра Гринёва и Маши Мироновой говорит об общности их нравственных принципов. Несмотря на жуткие потрясения в обществе, они остались у них непоколебимыми.
Царица милует Гринёва. То есть она, как когда-то и Пугачёв, поступает не по закону, а по сердцу.
Развязка сюжета и завершение повести - семейное счастье Петра Андреевича Гринёва и Марии Ивановны Мироновой и казнь Пугачёва. Таким финалом Пушкин выразил свою веру в спасительную силу правды, милосердия и любви в «жестокий век», как для отдельного человека, так и общества в целом.
Четырёхугольник - многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.
Сегодня рассмотрим геометрическую фигуру - четырехугольник. Из названия этой фигуры уже становится понятно, что у этой фигуры есть четыре угла. А вот остальные характеристики и свойства этой фигуры мы рассмотрим ниже.
Что такое четырех угольник
Четырёхугольник - многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Площадь четырехугольника равна полупроизведению его диагоналей и угла между ними.
Четырехугольник - это многоугольник с четырьмя вершинами, три из которых не лежат на одной прямой.
Виды четырехугольников
- Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
- Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие − нет, называется трапецией.
- Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.
- Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.
- Четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом.
Четырехугольник может быть:
Самопересекающимся
Невыпуклым
Выпуклым
Самопересекающийся четырехугольник - это четырехугольник, у которого любые из его сторон имеют точку пересечения (на рисунке синим цветом).
Невыпуклый четырехугольник - это четырехугольник, в котором один из внутренних углов более 180 градусов (на рисунке обозначен оранжевым цветом).
Сумма углов любого четырехугольника, который не является самоперсекающимся всегда равна 360 градусов.
Особые виды четырехугольников
Четырехугольники могут обладать дополнительными свойствами, образуя особые виды геометрических фигур:
- Параллелограмм
- Прямоугольник
- Квадрат
- Трапеция
- Дельтоид
- Контрпараллелограмм
Четырехугольник и окружность
Четырехугольник, описанный вокруг окружности (окружность, вписанная в четырехугольник).
Главное свойство описанного четырехугольника:
Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.
Четырехугольник, вписанный в окружность (окружность, описанная вокруг четырехугольника)
Главное свойство вписанного четырехугольника:
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180 градусов.
Свойства длин сторон четырехугольника
Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других его сторон.
|a - b| ≤ c + d
|a - c| ≤ b + d
|a - d| ≤ b + c
|b - c| ≤ a + d
|b - d| ≤ a + b
|c - d| ≤ a + b
Важно . Неравенство верно для любой комбинации сторон четырехугольника. Рисунок приведен исключительно для облегчения восприятия.
В любом четырёхугольнике сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны .
Важно . При решении задач в пределах школьной программы можно использовать строгое неравенство (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Тема урока
- Определение четырехугольника.
Цели урока
- Образовательные – повторение, обобщение и проверка знаний по теме: “Четырехугольника”; выработка основных навыков.
- Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
- Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
Задачи урока
- Формировать навыки в построении четырехугольника с помощью масштабной линейки и чертежного треугольника.
- Проверить умение учащихся решать задачи.
План урока
- Историческая справка. Неевклидова геометрия.
- Четырёхугольник.
- Виды четырёхугольников.
Неевклидова геометрия
Неевклидова геометрия, геометрия, сходная с геометрией Евклида в том, что в ней определено движение фигур, но отличающаяся от евклидовой геометрии тем, что один из пяти ее постулатов (второй или пятый) заменен его отрицанием. Отрицание одного из евклидовых постулатов (1825) явилось значительным событием в истории мысли, ибо послужило первым шагом на пути ктеории относительности.
Второй постулат Евклида утверждает, что любой отрезок прямой можно неограниченно продолжить
. Евклид, по-видимому, считал, что этот постулат содержит в себе и утверждение, что прямая имеет бесконечную длину. Однако в «эллиптической» геометрии любая прямая конечна и, подобно окружности, замкнута.
Пятый постулат утверждает, что если прямая пересекает две данные прямые так, что два внутренних угла по одну сторону от нее в сумме меньше двух прямых углов, то эти две прямые, если продолжить их неограниченно, пересекутся с той стороны, где сумма этих углов меньше суммы двух прямых. Но в «гиперболической» геометрии может существовать прямая CB (см. рис.), перпендикулярная в точке С к заданной прямой r и пересекающая другую прямую s под острым углом в точке B, но, тем не менее бесконечные прямые r и s никогда не пересекутся.
Из этих пересмотренных постулатов следовало, что сумма углов треугольника, равная 180° в евклидовой геометрии, больше 180° в эллиптической геометрии и меньше 180° в гиперболической геометрии.
Четырёхугольник
Предмети > Математика > Математика 8 классТеорема: Четырехугольник является параллелограммом, если:
- противоположные его углы равны;
- противоположные его стороны попарно равны;
- его диагонали точкой пересечения делятся пополам;
- две его противоположные стороны параллельны и равны.
Доказательство:
A. Пусть в четырехугольнике KLMN углы К и М равны друг другу и равны а, пусть также равны друг другу и равны р углы L и N (рисунок). Учитывая, что сумма углов четырехугольника равна 360°, получаем, что 2α + 2β = 360°, или α + β = 180°. Учитывая, что углы К и L, равные соответственно аир, являются внутренними односторонними углами при прямых KN и LM, пересеченных прямой KL, заключаем, что стороны KN и LM параллельны. Также по углам К и N заключаем, что стороны KL и NM параллельны. Теперь по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник KLMN - параллелограмм.
B. Пусть в четырехугольнике CDEF стороны CD и FE, а также CF и DE попарно равны (рисунок). Проведем одну из диагоналей четырехугольника, например СЕ. Треугольники CDE и EFC равны по трем сторонам. Поэтому углы DEC и FCE равны. Поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых DE и CF, пересеченных прямой СЕ, то стороны DE и CF параллельны. Также из равенства углов DCE и FEC получаем, что стороны CD и FE параллельны. Теперь по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник CDEF - параллелограмм.
C. Пусть точка В пересечения диагоналей IL и КМ четырехугольника IKLM делит эти диагонали пополам: IB = BL и KB = ВМ (рисунок). Тогда треугольники KBL и MBI равны по двум сторонам и углу между ними. Это позволяет утверждать, что углы 1MB и LKB равны, а значит, стороны IM и KL параллельны. Аналогично из равенства треугольников KBI и MBL делаем вывод о параллельности сторон IK и LM. Теперь по определению параллелограмма можем утверждать, что четырехугольник IKLM - параллелограмм. Очень часто это надо знать при решении олимпиадных задачах на школьных олимпиадах.
D. Пусть в четырехугольнике OPQR противоположные стороны ОР и RQ параллельны и равны (рисунок). Проведем диагональ OQ. Полученные углы POQ и RQO равны, так как они являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых ОР и RQ, пересеченных прямой OQ. Поэтому треугольники OPQ и RQO равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, их соответствующие углы PQO и ROQ равны.
А поскольку они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых PQ и OR, пересеченных прямой OQ, то стороны PQ и OR параллельны. Учитывая параллельность сторон ОР и RQ, по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник OPQR - параллелограмм.
