Геометрические приложения определенного интеграла. Приложения определенного интеграла

Лекции 8. Приложения определенного интеграла.

Приложение интеграла к физическим задачам основано на свойстве аддитивности интеграла по множеству. Поэтому с помощью интеграла могут вычисляться такие величины, которые сами аддитивны по множеству. Например, площадь фигуры равна сумме площадей ее частей Длина дуги, площадь поверхности, объем тела, масса тела обладают тем же свойством. Поэтому все эти величины можно вычислять с помощью определенного интеграла.

Можно использовать два метода решения задач: метод интегральных сумм и метод дифференциалов.

Метод интегральных сумм повторяет конструкцию определенного интеграла: строится разбиение, отмечаются точки, в них вычисляется функция, вычисляется интегральная сумма, производится предельный переход. В этом методе основная трудность – доказать, что в пределе получится именно то, что нужно в задаче.

Метод дифференциалов использует неопределенный интеграл и формулу Ньютона – Лейбница. Вычисляют дифференциал величины, которую надо определить, а затем, интегрируя этот дифференциал, по формуле Ньютона – Лейбница получают требуемую величину. В этом методе основная трудность – доказать, что вычислен именно дифференциал нужной величины, а не что-либо иное.

Вычисление площадей плоских фигур.

1. Фигура ограничена графиком функции, заданной в декартовой системе координат.

Мы пришли к понятию определенного интеграла от задачи о площади криволинейной трапеции (фактически, используя метод интегральных сумм). Если функция принимает только неотрицательные значения, то площадь под графиком функции на отрезке может быть вычислена с помощью определенного интеграла . Заметим, что поэтому здесь можно увидеть и метод дифференциалов.

Но функция может на некотором отрезке принимать и отрицательные значения, тогда интеграл по этому отрезку будет давать отрицательную площадь, что противоречит определению площади.

Можно вычислять площадь по формуле S =. Это равносильно изменению знака функции в тех областях, в которых она принимает отрицательные значения.

Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции , а снизу графиком функции , то можно пользоваться формулой S = , так как .

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми x=0, x=2 и графиками функций y=x 2 , y=x 3 .

Заметим, что на интервале (0,1) выполнено неравенство x 2 > x 3 , а при x >1 выполнено неравенство x 3 > x 2 . Поэтому

2. Фигура ограничена графиком функции, заданной в полярной системе координат.

Пусть график функции задан в полярной системе координат и мы хотим вычислить площадь криволинейного сектора, ограниченного двумя лучами и графиком функции в полярной системе координат.

Здесь можно использовать метод интегральных сумм, вычисляя площадь криволинейного сектора как предел суммы площадей элементарных секторов, в которых график функции заменен дугой окружности .

Можно использовать и метод дифференциалов: .

Рассуждать можно так. Заменяя элементарный криволинейный сектор, соответствующий центральному углу круговым сектором, имеем пропорцию . Отсюда . Интегрируя и используя формулу Ньютона – Лейбница, получаем .

Пример. Вычислим площадь круга (проверим формулу). Полагаем . Площадь круга равна .

Пример. Вычислим площадь, ограниченную кардиоидой .

3 Фигура ограничена графиком функции, заданной параметрически.

Функция может быть задана параметрически в виде . Используем формулу S = , подставляя в нее и пределы интегрирования по новой переменной . . Обычно при вычислении интеграла выделяют те области, где подинтегральная функция имеет определенный знак и учитывают соответствующую площадь с тем или иным знаком.

Пример. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом .

Используем симметрию эллипса, вычислим площадь четверти эллипса, находящуюся в первом квадранте. В этом квадранте . Поэтому .

Вычисление объемов тел.

1. Вычисление объемов тел по площадям параллельных сечений.

Пусть требуется вычислить объем некоторого тела V по известным площадям сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными прямой OX, проведенными через любую точку x отрезка прямой OX.

Применим метод дифференциалов. Считая элементарный объем , над отрезком объемом прямого кругового цилиндра с площадью основания и высотой , получим . Интегрируя и применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим

2. Вычисление объемов тел вращения.

Пусть требуется вычислить OX .

Тогда .

Аналогично, объем тела вращения вокруг оси OY , если функция задана в виде , можно вычислить по формуле .

Если функция задана в виде и требуется определить объем тела вращения вокруг оси OY , то формулу для вычисления объема можно получить следующим образом.

Переходя к дифференциалу и пренебрегая квадратичными членами, имеем . Интегрируя и применяя формулу Ньютона – Лейбница, имеем .

Пример. Вычислить объем шара .

Пример. Вычислить объем прямого кругового конуса, ограниченного поверхностью и плоскостью .

Вычислим объем, как объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси OZ прямоугольного треугольника в плоскости OXZ, катеты которого лежат на оси OZ и прямой z = H , а гипотенуза лежит на прямой .

Выражая x через z, получим .

Вычисление длины дуги.

Для того, чтобы получить формулы для вычисления длины дуги, вспомним выведенные в 1 семестре формулы для дифференциала длины дуги.

Если дуга представляет собой график непрерывно дифференцируемой функции , дифференциал длины дуги можно вычислить по формуле

. Поэтому

Если гладкая дуга задана параметрически , то

. Поэтому .

Если дуга задана в полярной системе координат , то

. Поэтому .

Пример. Вычислить длину дуги графика функции, . .

Приведем некоторые приложения определенного интеграла.

Вычисление площади плоской фигуры

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой (где
), прямыми
,
и отрезком
оси
, вычисляется по формуле

.

Площадь фигуры, ограниченной кривыми
и
(где
) прямыми
и
вычисляется по формуле

.

Если кривая задана параметрическими уравнениями
, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми
,
и отрезком
оси
, вычисляется по формуле

,

где иопределяются из уравнений
,
, а
при
.

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением
и двумя полярными радиусами
,
(
), находится по формуле

.

Пример 1.27. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
и прямой
(рис 1.1).

	Решение. Найдем точки пересечения прямой и параболы. Для этого решим уравнение , . Откуда , . Тогда по формуле (1.6) имеем .

Вычисление длины дуги плоской кривой

Если кривая
на отрезке
- гладкая (то есть производная
непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле

.

При параметрическом задании кривой
(
- непрерывно дифференцируемые функции) длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметраотдо, вычисляется по формуле

Пример 1.28. Вычислить длину дуги кривой
,
,
.

Решение. Найдем производные по параметру :
,
. Тогда по формуле (1.7) получаем

.

2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Пусть каждой упорядоченной паре чисел
из некоторой области
соответствует определенной число
. Тогданазываетсяфункцией двух переменных и,
-независимыми переменными или аргументами ,
-областью определения функции, а множество всех значений функции -областью ее значений и обозначают
.

Геометрически область определения функции обычно представляет собой некоторую часть плоскости
, ограниченную линиями, которые могут принадлежать или не принадлежать этой области.

Пример 2.1. Найти область определения
функции
.

Решение. Данная функция определена в тех точках плоскости , в которых , или . Точки плоскости, для которых , образуют границу области . Уравнение задает параболу (рис. 2.1; поскольку парабола не принадлежит области , то она изображена пунктирной линией). Далее, легко проверить непосредственно, что точки, для которых , расположены выше параболы. Область является открытой и ее можно задать с помощью системы неравенств:

Если переменной дать некоторое приращение
, аоставить постоянной, то функция
получит приращение
, называемоечастным приращением функции по переменной :

Аналогично, если переменная получает приращение
, а остается постоянной, то функция
получит приращение
, называемоечастным приращением функции по переменной :

Если существуют пределы:

,

,

они называются частными производными функции
по переменными соответственно.

Замечание 2.1. Аналогично определяются частные производные функций любого числе независимых переменных.

Замечание 2.2. Так как частная производная по любой переменной является производной по этой переменной при условии, что остальные переменные – постоянны, то все правила дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных функций любого числа переменных.

Пример 2.2.
.

Решение . Находим:

,

.

Пример 2.3. Найти частные производные функции
.

Решение . Находим:

,

,

.

Полным приращением функции
называется разность

Главная часть полного приращения функции
, линейно зависящая от приращений независимых переменных
и
,называется полным дифференциалом функции и обозначается
. Если функция имеет непрерывные частные производные, то полный дифференциал существует и равен

,

где
,
- произвольные приращения независимых переменных, называемые их дифференциалами.

Аналогично, для функции трех переменных
полный дифференциал определяется выражением

.

Пусть функция
имеет в точке
частные производные первого порядка по всем переменным. Тогда векторназываетсяградиентом функции
в точке
и обозначается
или
.

Замечание 2.3. Символ
называется оператором Гамильтона и произносится “намбла”.

Пример 2.4. Найти градиент функции в точке
.

Решение . Найдем частные производные:

,
,

и вычислим их значения в точке
:

,
,
.

Следовательно,
.

Производной функции
в точке
по направлению вектора
называют предел отношения
при
:

, где
.

Если функция
дифференцируема, то производная в данном направлении вычисляется по формуле:

,

где ,- углы, который векторобразует с осями
и
соответственно.

В случае функции трех переменных
производная по направлению определяется аналогично. Соответствующая формула имеет вид

,

где
- направляющие косинусы вектора.

Пример 2.5. Найти производную функции
в точке
в направлении вектора
, где
.

Решение . Найдем вектор
и его направляющие косинусы:

,
,
,
.

Вычислим значения частных производных в точке
:

,
,
;
,
,
.

Подставляя в (2.1), получаем

.

Частными производными второго порядка называют частные производные, взятые от частных производных первого порядка:

,

,

,

Частные производные
,
называютсясмешанными . Значения смешанных производных равны в тех точках, в которых эти производные непрерывны.

Пример 2.6. Найти частные производные второго порядка функции
.

Решение . Вычислим предварительно частные производные первого порядка:

,
.

Продифференцировав их еще раз, получим:

,
,

,
.

Сравнивая последние выражения, видим, что
.

Пример 2.7. Доказать, что функция
удовлетворяет уравнению Лапласа

.

Решение . Находим:

,
.

,
.

.

Точка
называетсяточкой локального максимума (минимума ) функции
, если для всех точек
, отличных от
и принадлежащих достаточно малой ее окрестности, выполняется неравенство

(
).

Максимум или минимум функции называется ее экстремумом . Точка, в которой достигается экстремум функции, называется точкой экстремума функции .

Теорема 2.1 (Необходимые условия экстремума ). Если точка
является точкой экстремум функции
, тоили хотя бы одна из этих производных не существует.

Точки, для которых эти условия выполнены, называются стационарными или критическими . Точки экстремума всегда являются стационарными, но стационарная точка может и не быть точкой экстремума. Чтобы стационарная точка была точкой экстремума, должны выполняться достаточные условия экстремума.

Введем предварительно следующие обозначения:

,
,
,
.

Теорема 2.2 (Достаточные условия экстремума ). Пусть функция
дважды дифференцируема в окрестности точки
и точка
является стационарной для функции
. Тогда:

1. Если
, то точка
является экстремумом функции, причем
будет точкой максимума при
(
) и точкой минимума при
(
).

2. Если
, то в точке

экстремума нет.

3. Если
, то экстремум может быть, а может и не быть.

Пример 2.8. Исследовать на экстремум функцию
.

Решение . Так как в данном случае частные производные первого порядка всегда существуют, то для нахождения стационарных (критических) точек решим систему:

,
,

откуда
,
,
,
. Таким образом, получили две стационарные точки:
,
.

,
,
.

Для точки
получаем:, то есть в этой точке экстремума нет. Для точки
получаем:и
, следовательно

в этой точке данная функция достигает локального минимума: .

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x) , слева и справа - прямыми x=a и x=b соответственно, снизу - осью Ox , вычисляется по формуле

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной справа графиком функции x=φ(y) , сверху и снизу - прямыми y=d и y=c соответственно, слева - осью Oy :

Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции y 2 =f 2 (x) , снизу - графиком функции y 1 =f 1 (x) , слева и справа - прямыми x=a и x=b :

Площадь криволинейной фигуры, ограниченной слева и справа графиками функций x 1 =φ 1 (y) и x 2 =φ 2 (y) , сверху и снизу - прямыми y=d и y=c соответственно:

Рассмотрим случай, когда линия, ограничивающая криволинейную трапецию сверху, задана параметрическими уравнениями x = φ 1 (t) , y = φ 2 (t) , где α ≤ t ≤ β , φ 1 (α)=a , φ 1 (β)=b . Эти уравнения определяют некоторую функцию y=f(x) на отрезке [a, b ]. Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле

Перейдем к новой переменной x = φ 1 (t) , тогда dx = φ" 1 (t) dt , а y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t) , следовательно, \begin{displaymath}

Площадь в полярных координатах

Рассмотрим криволинейный сектор OAB , ограниченный линией, заданной уравнением ρ=ρ(φ) в полярных координатах, двумя лучами OA и OB , для которых φ=α , φ=β .

Сектор разобьем на элементарные секторы OM k-1 M k (k=1, …, n , M 0 =A , M n =B ). Обозначим через Δφ k угол между лучами OM k-1 и OM k , образующими с полярной осью углы φ k-1 и φ k соответственно. Каждый из элементарных секторов OM k-1 M k заменим круговым сектором с радиусом ρ k =ρ(φ" k) , где φ" k - значение угла φ из промежутка [φ k-1 , φ k ], и центральным углом Δφ k . Площадь последнего сектора выражается формулой .

выражает площадь "ступенчатого" сектора, приближенно заменяющего данный сектор OAB .

Площадью сектора OAB называется предел площади "ступенчатого" сектора при n → ∞ и λ=max Δφ k → 0 :

Так как , то

Длина дуги кривой

Пусть на отрезке [a, b ] задана дифференцируемая функция y=f(x) , графиком которой является дуга . Отрезок [a,b ] разобьем на n частей точками x 1 , x 2 , …, x n-1 . Этим точкам будут соответствовать точки M 1 , M 2 , …, M n-1 дуги , соединим их ломаной линией, которую называют ломаной, вписанной в дугу . Периметр данной ломаной обозначим через s n , то есть

Определение . Длиной дуги линии называется предел периметра вписанной в нее ломаной, когда число звеньев M k-1 M k неограничено возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю:

где λ - длина наибольшего звена.

Будем отсчитывать длину дуги от некоторой ее точки, например, A . Пусть в точке M(x,y) длина дуги равна s , а в точке M"(x+Δ x,y+Δy) длина дуги равна s+Δs , где,i>Δs - длина дуги . Из треугольника MNM" находим длину хорды : .

Из геометрических соображений следует, что

то есть бесконечно малая дуга линии и стягивающая ее хорда эквивалентны.

Преобразуем формулу, выражающую длину хорды :

Переходя к пределу в этом равенстве, получим формулу для производной функции s=s(x) :

из которой находим

Эта формула выражает дифференциал дуги плоской кривой и имеет простой геометрический смысл : выражает теорему Пифагора для бесконечно малого треугольника MTN (ds=MT , ).

Дифференциал дуги пространственной кривой определяется формулой

Рассмотрим дугу пространственной линии, заданной параметрическими уравнениями

где α ≤ t ≤ β , φ i (t) (i=1, 2, 3 ) - дифференцируемые функции аргумента t , то

Интегрируя это равенство по промежутку [α, β ], получаем формулу для вычисления длины этой дуги линии

Если линия лежит в плоскости Oxy , то z=0 при всех t∈[α, β] , поэтому

В случае, когда плоская линия задана уравнением y=f(x) (a≤x≤b ), где f(x) - дифференцируемая функция, последняя формула принимает вид

Пусть плоская линия задана уравнением ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) в полярных координатах. В этом случае имеем параметрические уравнения линии x=ρ(φ) cos φ , y=ρ(φ) sin φ , где в качестве параметра берется полярный угол φ . Поскольку

то формула, выражающая длину дуги линии ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) в полярных координатах, имеет вид

Объем тела

Найдем объем тела, если известна площадь любого поперечного сечения этого тела, перпендикулярного некоторому направлению.

Разобьем данное тело на элементарные слои плоскостями, перпендикулярными оси Ox и определяемыми уравнениями x=const . Для любого фиксированного x∈ известна площадь S=S(x) поперечного сечения данного тела.

Элементарный слой, отсеченный плоскостями x=x k-1 , x=x k (k=1, …, n , x 0 =a , x n =b ), заменим цилиндром с высотой Δx k =x k -x k-1 и площадью основания S(ξ k) , ξ k ∈ .

Объем указанного элементарного цилиндра выражается формулой Δv k =E(ξ k)Δx k . Составим сумму всех таких произведений

являющуюся интегральной суммой для данной функции S=S(x) на отрезке [a, b ]. Она выражает объем ступенчатого тела, состоящего из элементарных цилиндров и приближенно заменяющего данное тело.

Объемом данного тела называют предел объема указанного ступенчатого тела при λ→0 , где λ - длина наибольшего из элементарных отрезков Δx k . Обозначим через V объем данного тела, тогда по определению

С другой стороны,

Следовательно, объем тела по заданным поперечным сечениям вычисляется по формуле

Если тело образовано вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху дугой непрерывной линии y=f(x) , где a≤x≤b , то S(x)=πf 2 (x) и последняя формула принимает вид:

Замечание . Объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной справа графиком функции x=φ(y) (c ≤ x ≤ d ), вокруг оси Oy вычисляется по формуле

Площадь поверхности вращения

Рассмотрим поверхность, полученную вращением дуги линии y=f(x) (a≤x≤b ) вокруг оси Ox (предположим, что функция y=f(x) имеет непрерывную производную). Фиксируем значение x∈ , аргументу функции придадим приращение dx , которому соответствует "элементарное кольцо", полученное вращением элементарной дуги Δl . Это "кольцо" заменим цилиндрическим кольцом - боковой поверхностью тела, образованного вращением прямоугольника с основанием, равным дифференциалу дуги dl , и высотой h=f(x) . Разрезав последнее кольцо и развернув его, получим полоску шириной dl и длиной 2πy , где y=f(x) .

Следовательно, дифференциал площади поверхности выразится формулой

Эта формула выражает площадь поверхности, полученной вращением дуги линии y=f(x) (a≤x≤b ) вокруг оси Ox .