ಅರ್ಧ ವಿಭಜನೆ ವಿಧಾನ(ಇತರ ಹೆಸರುಗಳು: ವಿಭಜನಾ ವಿಧಾನ, ದ್ವಿಗುಣ ವಿಧಾನ) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು f(x) = 0 ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯೋಣ
[ಎ, ಬಿ] ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ನಂತರ ಮೂಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ( ಎ, ಬಿ) ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾವು ಅರ್ಧವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಾವು ಮತ್ತೆ ಈ ಹೊಸ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಂದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ದೋಷ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವವರೆಗೆ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ವಿಭಜನಾ ವಿಧಾನಕ್ಕಾಗಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಹೆಚ್ಚು ಕಠಿಣವಾದ ಪ್ರಸ್ತುತಿ:
1) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ x = (ಎ+ ಬಿ)/2; ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ f(x);
2) ವೇಳೆ f(x) = 0, ನಂತರ ಹಂತ 5 ಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ;
3) ವೇಳೆ f(x)∙f(ಎ) < 0, то ಬಿ = x, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಎ = x;
4) ವೇಳೆ | ಬಿ – ಎ| > ε, ಪಾಯಿಂಟ್ 1 ಗೆ ಹೋಗಿ;
5) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಔಟ್ಪುಟ್ ಮಾಡಿ x;
ಉದಾಹರಣೆ 2.4.ವಿಭಜನಾ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಸಂಸ್ಕರಿಸಿ ( x– 1) 3 = 0, ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ .
ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಎಕ್ಸೆಲ್:
1) ಜೀವಕೋಶಗಳಲ್ಲಿ ಎ 1:ಎಫ್ 4 ಕೋಷ್ಟಕ 2.3 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ನಾವು ಸಂಕೇತ, ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ.
2) ಪ್ರತಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹತ್ತನೇ ಸಾಲಿನವರೆಗೆ ಫಿಲ್ ಮಾರ್ಕರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಶಗಳಿಗೆ ನಕಲಿಸಿ, ಅಂದರೆ. ಬಿ 4 - ವರೆಗೆ ಬಿ 10, ಸಿ 4 - ವರೆಗೆ ಸಿ 10, ಡಿ 3 - ವರೆಗೆ ಡಿ 10, ಇ 4 - ವರೆಗೆ ಇ 10, ಎಫ್ 3 - ವರೆಗೆ ಎಫ್ 10.
ಕೋಷ್ಟಕ 2.3
| ಎ | ಬಿ | ಸಿ | ಡಿ | ಇ | ಎಫ್ | |
| f(a)= | =(1-B3)^3 | |||||
| ಕೆ | ಎ | x | f(x) | ಬಿ | ಬಿ-ಎ | |
| 0,95 | =(B3+E3)/2 | =(1-C3)^3 | 1,1 | =E3-B3 | ||
| =IF(D3=0,C3; IF(C$1*D3<0;B3;C3)) | =IF(C$1*D3>0; E3;C3) |
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. 2.4 ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಎಫ್ಮಧ್ಯಂತರ ಉದ್ದದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಬಿ – ಎ. ಮೌಲ್ಯವು 0.01 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ನಿಗದಿತ ದೋಷದೊಂದಿಗೆ ರೂಟ್ನ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವು ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಅಗತ್ಯವಿರುವ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಇದು 5 ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿತು. ಮೂರು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ ಪೂರ್ತಿಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ 0.01 ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ರೂಟ್ನ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವು 1.0015625 ≈ 1.00 ಆಗಿದೆ.
ಕೋಷ್ಟಕ 2.4
| ಎ | ಬಿ | ಸಿ | ಡಿ | ಇ | ಎಫ್ | |
| f(a)= | 0,000125 | |||||
| ಕೆ | ಎ | x | f(x) | ಬಿ | ಬಿ-ಎ | |
| 0,95 | 1,025 | -2E-05 | 1,1 | 0,15 | ||
| 0,95 | 0,9875 | 2E-06 | 1,025 | 0,075 | ||
| 0,9875 | 1,00625 | -2E-07 | 1,025 | 0,0375 | ||
| 0,9875 | 0,996875 | 3.1E-08 | 1,00625 | 0,0187 | ||
| 0,996875 | 1,0015625 | -4E-09 | 1,00625 | 0,0094 | ||
| 0,996875 | 0,9992188 | 4.8E-10 | 1,0015625 | 0,0047 | ||
| 0,99921875 | 1,0003906 | -6E-11 | 1,0015625 | 0,0023 | ||
| 0,99921875 | 0,9998047 | 7.5E-12 | 1,000390625 | 0,0012 |
ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣ"ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಡೆಯುವುದು", ಅಂದರೆ. ಸಮಾನತೆ f(x) ಮುಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ. ಉದಾಹರಣೆ 2.3 ರಲ್ಲಿ ನಾವು ವಿಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೂಲವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ x= 1. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕೋಶದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ ಬಿ 3 ಮೌಲ್ಯ 0.9. ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವು ರೂಪ 2.5 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಕೇವಲ 2 ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ).
ಕೋಷ್ಟಕ 2.5
| ಎ | ಬಿ | ಸಿ | ಡಿ | ಇ | ಎಫ್ | |
| f(a)= | 0,001 | |||||
| ಕೆ | ಎ | x | f(x) | ಬಿ | ಬಿ-ಎ | |
| 0,9 | 1,1 | 0,2 | ||||
ಅದನ್ನು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ರಚಿಸೋಣ ಎಕ್ಸೆಲ್ಅಂತರ್ನಿರ್ಮಿತ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೈಸೆಕ್ಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಸ್ಟಮ್ ಕಾರ್ಯಗಳು f(x) ಮತ್ತು ಬೈಸೆಕ್ಟ್(a, b, eps) ವಿಷುಯಲ್ ಬೇಸಿಕ್. ಅವರ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:
ಫಂಕ್ಷನ್ f(ಬೈವಲ್ x)
ಫಂಕ್ಷನ್ ಬೈಸೆಕ್ಟ್(ಎ, ಬಿ, ಇಪಿಎಸ್)
1 x = (a + b) / 2
f(x) = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ GoTo 5
f(x) * f(a) ಆಗಿದ್ದರೆ< 0 Then
Abs(a - b) > eps ಆಗಿದ್ದರೆ GoTo 1
ಎಫ್ (x) ಕಾರ್ಯವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಎಡಭಾಗಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ
ಬೈಸೆಕ್ಟ್(ಎ, ಬಿ, ಇಪಿಎಸ್) ಬೈಸೆಕ್ಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ f(x) = 0. ಫಂಕ್ಷನ್ ಬೈಸೆಕ್ಟ್(a, b, eps) f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗೆ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಕಸ್ಟಮ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಇಲ್ಲಿದೆ:
1) ಮೆನು ಆಜ್ಞೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಿ “ಪರಿಕರಗಳು - ಮ್ಯಾಕ್ರೋ - ಸಂಪಾದಕ ವಿಷುಯಲ್ ಬೇಸಿಕ್" ಕಿಟಕಿ " ಮೈಕ್ರೋಸಾಫ್ಟ್ ವಿಷುಯಲ್ ಬೇಸಿಕ್" ಒಳಗೆ ಇದ್ದರೆ ಈ ಫೈಲ್ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳು ಎಕ್ಸೆಲ್ಮ್ಯಾಕ್ರೋಗಳು ಅಥವಾ ಬಳಕೆದಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಇನ್ನೂ ರಚಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಈ ವಿಂಡೋವು ಚಿತ್ರ 2.4 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ.
2) "ಇನ್ಸರ್ಟ್ - ಮಾಡ್ಯೂಲ್" ಮೆನು ಆಜ್ಞೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಂಜೂರ 2.5 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪಠ್ಯಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ.
ಈಗ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಶೀಟ್ ಕೋಶಗಳಲ್ಲಿ ಎಕ್ಸೆಲ್ನೀವು ರಚಿಸಿದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಕೋಶಕ್ಕೆ ಪ್ರವೇಶಿಸೋಣ ಡಿ 18 ಸೂತ್ರ
ಬೈಸೆಕ್ಟ್(0.95;1;0.00001),
ನಂತರ ನಾವು 0.999993896 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಮತ್ತೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು (ಬೇರೆ ಎಡಭಾಗದೊಂದಿಗೆ) ನೀವು "ಪರಿಕರಗಳು - ಮ್ಯಾಕ್ರೋ - ಸಂಪಾದಕ" ಆಜ್ಞೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಪಾದಕ ವಿಂಡೋಗೆ ಹೋಗಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಷುಯಲ್ ಬೇಸಿಕ್” ಮತ್ತು f(x) ಕಾರ್ಯದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಿರಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 0.001 ರ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ, sin5 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. x + x 2 - 1 = 0, ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ (0.4; 0.5). ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಕಾರ್ಯದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ
ಹೊಸ ವಿವರಣೆಗಾಗಿ
f = ಪಾಪ(5 * x) + x^2 - 1
ನಂತರ ಕೋಶದಲ್ಲಿ ಡಿ 18 ನಾವು 0.441009521 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆ 2.3 ರಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಮಧ್ಯಂತರ (0.4; 0.5) ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ!).
ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ ವಿಭಾಗ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮಠಕಾಡ್ಸಬ್ರುಟೀನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಬೈಸೆಕ್(f, ಎ, ಬಿ, ε), ಅಲ್ಲಿ:
f-ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಸರು f(x) = 0;
ಎ, ಬಿ- ವಿಭಾಗದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ತುದಿಗಳು [ ಎ, ಬಿ];
ε - ರೂಟ್ನ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯದ ನಿಖರತೆ.
ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಯ ಪರಿಹಾರ ಮಠಕಾಡ್:
1) ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಮಠಕಾಡ್.ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ ಬೈಸೆಕ್(f, ಎ, ಬಿ, ε). ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಕೀಬೋರ್ಡ್ ಮತ್ತು "ಗ್ರೀಕ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು" ಟೂಲ್ಬಾರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ಟೈಪ್ ಮಾಡಿ ಬೈಸೆಕ್(f, ಎ, ಬಿ, ε):=. “ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್” ಟೂಲ್‌ಬಾರ್‌ನಲ್ಲಿ “:=” ನಿಯೋಜನೆ ಚಿಹ್ನೆಯ ನಂತರ, “ಸಾಲು ಸೇರಿಸಿ” ಎಡ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಲು ಮೌಸ್ ಪಾಯಿಂಟರ್ ಬಳಸಿ. ನಿಯೋಜನೆ ಚಿಹ್ನೆಯ ನಂತರ ಲಂಬ ರೇಖೆಯು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, "←" ಚಿಹ್ನೆ, ಲೂಪ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ನಮೂದಿಸಲು "ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್" ಟೂಲ್ಬಾರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಪಠ್ಯವನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಆಪರೇಟರ್ ಬ್ರೇಕ್ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಆಪರೇಟರ್ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ.
2) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ f(x):=sin(5*x)+x^2–1, ತದನಂತರ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೂಟ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಬೈಸೆಕ್ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ:
ಬೈಸೆಕ್(f, –0.8,–0.7,0.0001)=. “=” ಚಿಹ್ನೆಯ ನಂತರ, ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ –0.7266601563 ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯವು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ. ಉಳಿದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.
ಕೆಳಗೆ ಹಾಳೆ ಇದೆ ಮಠಕಾಡ್ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಬೈಸೆಕ್(f, ಎ, ಬಿ, ε) ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು:
ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮ ನೀಡೋಣ ಸಿಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ++ f(x) = 0 ಅರ್ಧ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನದಿಂದ:
#ಸೇರಿಸು
#ಸೇರಿಸು
ಡಬಲ್ ಎಫ್ (ಡಬಲ್ ಎಕ್ಸ್);
ಟೈಪ್ಡೆಫ್ ಡಬಲ್ (*ಪಿಎಫ್)(ಡಬಲ್);
ಡಬಲ್ ಬೈಸೆಕ್ (ಪಿಎಫ್ ಎಫ್, ಡಬಲ್ ಎ, ಡಬಲ್ ಬಿ, ಡಬಲ್ ಇಪಿಎಸ್);
ಡಬಲ್ a, b, x, eps;PF pf;
ಕೌಟ್<< "\n a = "; cin >>a;
ಕೌಟ್<< "\n b = "; cin >> ಬಿ;
ಕೌಟ್<< "\n eps = "; cin >> ಇಪಿಎಸ್;
x = ಬೈಸೆಕ್(pf,a,b,eps); ಕೌಟ್<< "\n x = " << x;
ಕೌಟ್<< "\n Press any key & Enter "; cin >>a;
ಡಬಲ್ ಎಫ್(ಡಬಲ್ ಎಕ್ಸ್)(
ಆರ್ = ಪಾಪ(5*x)+x*x-1;
ಡಬಲ್ ಬೈಸೆಕ್ (ಪಿಎಫ್ ಎಫ್, ಡಬಲ್ ಎ, ಡಬಲ್ ಬಿ, ಡಬಲ್ ಇಪಿಎಸ್)(
ಮಾಡು( x = (a + b)/2;
ವೇಳೆ (f(x) == 0) ಬ್ರೇಕ್;
ವೇಳೆ (f(x)*f(a)<0) b = x;
)ಆದರೆ (fabs(b-a) > eps);
ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ f(x) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ
ಪಾಪ5 x + x 2 – 1 = 0
ಉದಾಹರಣೆ 2.3 ರಿಂದ. 0.00001 ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮಧ್ಯಂತರದ ಮೂಲವನ್ನು (0.4; 0.5) ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ (ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪರದೆ):
ಯಾವುದೇ ಕೀಲಿಯನ್ನು ಒತ್ತಿ ಮತ್ತು ನಮೂದಿಸಿ
ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಲು ವಿರಾಮವನ್ನು ಆಯೋಜಿಸಲು ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.
ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು 2 ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು - ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳುಕೇವಲ ಬೀಜಗಣಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು (ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ತರ್ಕಬದ್ಧ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ) ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬಹುಪದವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು (ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ, ಘಾತೀಯ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್, ಇತ್ಯಾದಿ) ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅತೀಂದ್ರಿಯ.
ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
- ನಿಖರವಾದ ವಿಧಾನಗಳು ;
- ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಗಳು .
ನಿಖರವಾದ ವಿಧಾನಗಳು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಸಂಬಂಧದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ (ಸೂತ್ರ).
ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಅನೇಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ನಾಲ್ಕಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪದವಿಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅದು ಅಂದಾಜು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಗಳುನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟದ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ.
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡೋಣ
- ಕಾರ್ಯ f(x) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ [ a, b] ಅದರ 1ನೇ ಮತ್ತು 2ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ.
- ಮೌಲ್ಯಗಳು f(x) ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ( f(ಎ) * f(ಬಿ) < 0).
- ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು f"(x) ಮತ್ತು f""(x) ಇಡೀ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.
ಷರತ್ತುಗಳು 1) ಮತ್ತು 2) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ [ a, ಬಿ] ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಮೂಲವಿದೆ, ಮತ್ತು 3 ರಿಂದ) ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ f(x) ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಏಕತಾನತೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲವು ಅನನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (1) ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಇದು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ, ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಬೇರುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದರ್ಥ.
ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯ f(x) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ, ಅಂದರೆ. ಅಂತಹ:
ಎಂದು ಕರೆದರು ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣಗಳು(1) ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯಕಾರ್ಯಗಳು f(x).
ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆ f(xಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ) = 0 ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:
- ಮೂಲ ಬೇರ್ಪಡಿಕೆ - ಮೂಲ ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು;
- ಅಂದಾಜು ಬೇರುಗಳ ಪರಿಷ್ಕರಣೆ - ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಟ್ಟದ ನಿಖರತೆಗೆ ತರುವುದು.
ಮೂಲ ಬೇರ್ಪಡಿಕೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕಾರ್ಯದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ f(x) ಗಡಿಯಲ್ಲಿ x=ಎಮತ್ತು x=ಬಿಅದರ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳು.
ಉದಾಹರಣೆ 1 . ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ:
|
f( x) є x 3 - 6x + 2 = 0. |
ಅಂದಾಜು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣ (2) ಮೂರು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ [-3, -1] ಮತ್ತು .
ಬೇರುಗಳ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಗಳು ( ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜುಗಳು) ಸಮಸ್ಯೆಯ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥದಿಂದಲೂ ತಿಳಿಯಬಹುದು, ವಿಭಿನ್ನ ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾದೊಂದಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದರಿಂದ ಅಥವಾ ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.
ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಅಭ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿಧಾನಅಂದಾಜು ಬೇರುಗಳ ನಿರ್ಣಯ.
ಸಮೀಕರಣದ ನೈಜ ಬೇರುಗಳು (1) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ f(x) x- ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಯೋಜಿಸಲು ಸಾಕು f(x) ಮತ್ತು ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ f(x) ಅಚ್ಚು ಜೊತೆ ಓಹ್,ಅಥವಾ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಗುರುತು ಮಾಡಿ ಓಹ್ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಾಗಗಳು. ಸಮೀಕರಣ (1) ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಸಮಾನಅವನು ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ:
ಸಮೀಕರಣ (4) ಅನ್ನು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:
ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು (4) ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕರ್ವ್ನ ಛೇದನ ಬಿಂದುಗಳ ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ಗಳಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಇದರಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ವೈ= ಲಾಗ್ xಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲ್ಸ್ ವೈ = . ಈ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮೀಕರಣದ ಏಕೈಕ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ (4) ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜಿನ ಅನುಕ್ರಮ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ X 0 ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆ. ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಂದಾಜು ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ X 1 , X 2 , ..., xnಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇದ್ದರೆ ಎನ್ಮೂಲದ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿ, ನಂತರ ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.
ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ (1) ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು [ a, ಬಿ], ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸಿ. ಒಂದು ವೇಳೆ f= 0, ನಂತರ x = ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ f 0 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಇದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ), ನಂತರ ನಾವು ಅರ್ಧಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ f(x) ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೊಸ ಕಿರಿದಾದ ವಿಭಾಗ [ ಎ 1 , ಬಿ 1] ಮತ್ತೆ ಅರ್ಧ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದೇ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ.
ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ವಿಧಾನವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಧಾನವು ಸರಳ ಮತ್ತು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 3. ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಅರ್ಧವಿಧಗೊಳಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ
f( x) = x 4 + 2 x 3 - x - 1 = 0
ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿದ್ದಿರುವುದು [0, 1] .
ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
f(0) = - 1; f(1) = 1; f(0,5) = 0,06 + 0,25 - 0,5 - 1 = - 1,19;
f(0.75) = 0.32 + 0.84 - 0.75 - 1 = - 0.59;
f(0.875) = 0.59 + 1.34 - 0.88 - 1 = + 0.05;
f(0.8125) = 0.436 + 1.072 - 0.812 - 1 = - 0.304;
f(0.8438) = 0.507 + 1.202 - 0.844 - 1 = - 0.135;
f(0.8594) = 0.546 + 1.270 - 0.859 - 1 = - 0.043, ಇತ್ಯಾದಿ.
ಸ್ವೀಕರಿಸಬಹುದು
x = (0.859 + 0.875) = 0.867
ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಅಂದಾಜುಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (1): X 1 , ಎಕ್ಸ್ 2 , ..., x nಸ್ವರಮೇಳದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳು ಎಬಿ x-ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ (ಚಿತ್ರ 3). ಮೊದಲು ನಾವು ಸ್ವರಮೇಳದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಬಿ:
.
ಸ್ವರಮೇಳದ ಛೇದನ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಎಬಿ x-ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ( x = x 1 ,y = 0) ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಖಚಿತತೆಗಾಗಿ ಬಿಡಿ f""(x) > 0 ನಲ್ಲಿ ಒಂದು x ಬಿ(ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ f""(x) < ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆದರೆ 0 ನಮ್ಮದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ - f(x) = 0) ನಂತರ ವಕ್ರರೇಖೆ ನಲ್ಲಿ = f(x) ಕೆಳಮುಖವಾಗಿ ಪೀನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಸ್ವರಮೇಳದ ಕೆಳಗೆ ಇದೆ ಎಬಿ. ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ: 1) f(ಎ) > 0 (ಚಿತ್ರ 3, ಎ) ಮತ್ತು 2) f(ಬಿ) < 0 (Рисунок 3, ಬಿ).
ಚಿತ್ರ 3, a, b.
ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಂತ್ಯ ಎಚಲನರಹಿತ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮ ಅಂದಾಜುಗಳು: x 0 = ಬಿ;x, ಅಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ f (X) ಅದರ ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ f""(X).
ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ
| x i - x i - 1 |< e ,
ಇಲ್ಲಿ e ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೋಷವಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 4. ಸಮೀಕರಣದ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
f( x) = x 3 - 0,2 x 2 - 0,2 X - 1,2 = 0
ಇ = 0.01 ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ.
ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಾವು ಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ. ಏಕೆಂದರೆ
f(1) = -0.6< 0 и f (2) = 5,6 > 0,
ನಂತರ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ರೂಟ್ x ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮಧ್ಯಂತರವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ. ಏಕೆಂದರೆ
f (1.5) = 1.425 > 0, ನಂತರ 1< x < 1,5.
ಏಕೆಂದರೆ f""(x) = 6 x- 1 ನಲ್ಲಿ 0.4 > 0< X < 1,5 и f(1.5) > 0, ನಂತರ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು (5) ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
= 1,15;
| x 1- x 0 |
= 0.15 > ಇ,
ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ; X 1) = -0,173;
= 1,190;
f ( 2- x|x
f (X 2) = -0,036;
= 1,198;
| x 3- x 2 | = 0,008 < e .
1 |
= 0.04 > ಇ,
ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು e = 0.01 ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ x = 1.198 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. f(x) ಸಮೀಕರಣದ ನಿಖರವಾದ ಮೂಲವು x = 1.2 ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಎ; ಬಿ], .
ಅವಕಾಶ
ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು e = 0.01 ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ x = 1.198 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. f(x)
- ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯ [ ಎ;
ಬಿ],
,
ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನ (ಸ್ಪರ್ಶ ವಿಧಾನ) 
ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಾರಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ [ ಎ;
ಬಿ].
ಮತ್ತು 
ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಡಿ [ 
ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನ (ಸ್ಪರ್ಶ ವಿಧಾನ) 
ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸೋಣ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಇರುವ ವಿಭಾಗದ ಅಂತ್ಯಹೊಂದಾಣಿಕೆ. ನಿಖರವಾದ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಅನುಕ್ರಮ ಅಂದಾಜುಗಳು
ಸಿ 
.
ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ 
ಫಾರ್
ನಂತರ 
ಸಮೀಕರಣದ ನಿಖರವಾದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ (1). ε
ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವಾಗ ನಿಲ್ಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿಖರತೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ
. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಖಾತರಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಭರವಸೆಗಾಗಿ, ಈ ವಿಭಾಗದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದಂತೆ ನೀವು ನಿಖರತೆಯ ಪರಿಶೀಲನೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸದಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. 
ಸೆಕೆಂಟ್ ವಿಧಾನ 
ಕೆಲವು ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜು ಇರಲಿ . ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಅಂಕವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಎಲ್ಲಿ 
ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನ (ಸ್ಪರ್ಶ ವಿಧಾನ) 
ಗಂ 
ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನ (ಸ್ಪರ್ಶ ವಿಧಾನ) 
- ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಾವು ವಿಧಾನದ ಹಲವಾರು ಹಂತಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
,
ನಿಖರವಾದ ಮೂಲಕ್ಕೆ (ಆರಂಭಿಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಇದು
) ನಂತರ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮುಂದಿನ ಅಂದಾಜನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿರುವ ಅದೇ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ. 
ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನ 
ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು (1) ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ 
,
. ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ 
. ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಅಂದಾಜು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ 
ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿರುವ ಅದೇ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ನಿಲ್ಲುತ್ತದೆ. ವಿಧಾನವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಮಿತಿ
ಅಸಮಾನತೆಯು ಬೇರಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಬೇರಿನ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ.
ವಿಧಾನಗಳ ಅನುಕೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಅನಾನುಕೂಲಗಳು
,
ವಿಭಜನಾ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಮೂಲವನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹಲವು ಬಾರಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬೇಕು. ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವುದು ಖಾತರಿಯಾಗಿದೆ. ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಇರುವ ವಿಭಾಗದ ಅಂತ್ಯನ್ಯೂಟನ್ರರ ವಿಧಾನವು ಅತ್ಯಂತ ವೇಗದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್), ಅಂದರೆ. ಎಲ್ಲಿ- ಮೂಲದ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯ;
ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸಲು, ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸದೆಯೇ ನೀವು ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನಂತರ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಗಮನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನದ ಒಮ್ಮುಖ ದರಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಮೃದುವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಸೆಕೆಂಟ್ ವಿಧಾನವು ಒಮ್ಮುಖ ದರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವನ್ನು ಮೂಲದಿಂದ ದೂರ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನವು ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಒಮ್ಮುಖ ದರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದಾಜು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ 
ಕೆಲವು ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜು ಇರಲಿ 
- ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, 
,
;ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಇರುವ ವಿಭಾಗದ ಅಂತ್ಯ- ಮೂಲದ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯ. ಪ್ರಮಾಣಗಳು ಎಲ್ಲಿ,
qಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ. ಒಂದು ವೇಳೆ 
1 ರ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿದೆ, ನಂತರ q 1 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಧಾನದ ಒಮ್ಮುಖವು ನಿಧಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸದೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು 
ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿಧಾನ (ಸ್ಪರ್ಶ ವಿಧಾನ) 
. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಬಹುದು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.
ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದವುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಹಲವು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. MATHCAD ನಲ್ಲಿ, ಮೂಲ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿದೆ 
ಸೆಕೆಂಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಬಯಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮುಲ್ಲರ್ ವಿಧಾನ. ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ, ಸೆಕೆಂಟ್ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಮುಂದಿನ ಅಂದಾಜಿನಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎತ್ತು. ಫಾರ್ಮ್ಯಾಟ್ ರೂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ರೂಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನಲ್ಲಿ( f(x),
x,
ಎ,
ಬಿ) ರಿಡ್ಡರ್ ಮತ್ತು ಬ್ರೆಂಟ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. MATHCAD ನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು, ಲಾಗೆರೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ದ್ವಿಗುಣ ವಿಧಾನಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಪದದಿಂದ ಅದರ ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದರರ್ಥ ಎರಡಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಈ ವಿಧಾನವು ಎರಡನೇ ಹೆಸರನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ: ಅರ್ಧದಷ್ಟು ವಿಧಾನ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. "ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಿ" ಆಟವನ್ನು ಆಡುತ್ತಿರುವುದಾಗಿ ಹೇಳೋಣ, ಅಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬ ಆಟಗಾರನು 1 ರಿಂದ 100 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಬ್ಬನು ಅದನ್ನು "ಹೆಚ್ಚು" ಅಥವಾ "ಕಡಿಮೆ" ಸುಳಿವುಗಳಿಂದ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾನೆ. ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 50 ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವುದು ಎಂದು ಊಹಿಸಲು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಅದು ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ - 25, ಅದು ಹೆಚ್ಚು ಇದ್ದರೆ - 75. ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ (ಪುನರಾವರ್ತನೆ) ಅಜ್ಞಾತ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯು 2 ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆ. ವಿಶ್ವದ ಅತ್ಯಂತ ದುರದೃಷ್ಟಕರ ವ್ಯಕ್ತಿ ಕೂಡ 100 ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಬದಲಿಗೆ 7 ಊಹೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ಗುಪ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತಾರೆ.
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ ವಿಭಜನೆಯ ವಿಧಾನ
ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮೂಲವಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅರ್ಧದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣದ ಸರಿಯಾದ ಪರಿಹಾರವು ಸಾಧ್ಯ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮಾತ್ರ ದ್ವಿಮುಖ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದೆಂದು ಇದರ ಅರ್ಥವಲ್ಲ. ಬೈಸೆಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬೇಕು.< 0.
ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯ f"(x)=0 ಮತ್ತು f""(x)=0 ಗೆ ಸಮೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, f(x) ಚಿಹ್ನೆಗಳು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮತ್ತು ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ |a,b|, ಅಲ್ಲಿ f(a)*f(b)
ಡಿಕೋಟಮಿ ವಿಧಾನದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್
ಡಿಕೋಟಮಿ ವಿಧಾನದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ |a,b| ಅದರೊಳಗೆ ಒಂದು ರೂಟ್ x 1 ಇರುತ್ತದೆ
ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, x 0 =(a+b)/2 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ< 0, то , если наоборот, то ,т.е происходит сужение интервала. Таким образом в результате формируется последовательность x i , где i - номер иттерации.
ಮುಂದೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: f(x 0)
ಬಿ-ಎ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ದೋಷಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ನಿಲ್ಲುತ್ತವೆ.
ಅರ್ಧ ವಿಭಜನೆ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ನಾವು x 3 -3*x+1=0 ಸಮೀಕರಣದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ 10 -3 ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.< 10 -3
ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ಮೂಲವು 0.347 ಆಗಿದೆ. ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 10. ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಸ್ಥಿತಿ: a-b=0.0009ಅರ್ಧ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ದ್ವಿಗುಣ ವಿಧಾನ
ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸರಳವಾಗಿದೆ.
ಡೌನ್‌ಲೋಡ್:
ದ್ವಿಗುಣ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು - ಪಾಸ್ಕಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಬೈಸೆಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.
ಇದನ್ನು ಡಿಕೋಟಮಿ ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನವು ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಷರತ್ತಿನ ನೆರವೇರಿಕೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಿಭಜನಾ ವಿಧಾನವು ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ f(x), ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಅಲ್ಲದವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ.
ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸಿ. (ಇದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ: ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ (Fig. 3.8), ಅಥವಾ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ (Fig. 3.9) f(x) ಬದಲಾವಣೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲೂ ಕಾರ್ಯವು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಭಾಗವನ್ನು ತಲುಪಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 4. 5x - 6x -3 = 0 ಸಮೀಕರಣವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅರ್ಧ ವಿಭಾಗ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.ಪರಿಹಾರ
: ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು:
ಫಂಕ್ಷನ್ f(x: real): real;
f:=exp(x*ln(5))-6*x-3;
a, b, e, c, x: ನಿಜವಾದ;
abs(b-a)>e do ಮಾಡುವಾಗ<0 then
f(a)*f(c) ಆಗಿದ್ದರೆ
writeln("x=",x:3:3," f(x)=",f(x):4:4);
e=0.001 x=1.562 f(x)=-0.0047
20.ಹಾಲ್ವ್ಸ್ ಡಿವಿಷನ್ ವಿಧಾನದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್.
1.ಹೊಸ ಮೂಲ ಅಂದಾಜನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ Xವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ [a,b]: x=(a+b)/2.
2. ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಎಮತ್ತು X: ಎಫ್(ಎ)ಮತ್ತು F(x).
3. ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ F(a)*F(x)< 0 . ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ನಂತರ ಮೂಲವು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ [ಓಹ್] ಬಿಬಿಂದುವಿಗೆ ಸರಿಸಿ x (b=x). ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸದಿದ್ದರೆ, ಮೂಲವು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ [x,b]. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಿಮಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದು ಬೇಕು ಎಬಿಂದುವಿಗೆ ಸರಿಸಿ x (a=x).
4. ಹಂತ 1 ಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸಿ. ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವವರೆಗೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ /F(x)/< e (ನಿಗದಿತ ನಿಖರತೆ).
21. ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ವಿಧಾನ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.
ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು f(x)=0 ಅನ್ನು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ರೂಪಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, x=φ(x), ಇಲ್ಲಿ φ(x) ಎಂಬುದು ಮೂಲ ಫಂಕ್ಷನ್ f ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. (x) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯುವ ಈ ರೂಪವು ಆರಂಭಿಕ ಅಂದಾಜು x 0 ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಮುಂದಿನ, ಮೊದಲ ಅಂದಾಜು x 1 =φ(x 0), ನಂತರ ಎರಡನೇ ಅಂದಾಜು x 2 =φ(x 1) ಮತ್ತು x n +1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. =φ(x n)… . ಅನುಕ್ರಮ (x n )= x 0, x 1, x 2, ..., x n,… ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯ x 0 ನೊಂದಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಅಥವಾ ಅಂದಾಜುಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. φ(x) ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಿತಿ ಇರುತ್ತದೆ ξ = lim x n n→∞, ನಂತರ, ಸಮಾನತೆ x n +1 =φ(x n) ನಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ನಾವು n→ ∞ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: lim x n +1 =lim φ(x n)=φ(lim x n ), ಅಂದರೆ, ξ=φ(ξ) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅಂದಾಜುಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಕ್ಕೆ (2) ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣ (1). ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಒಮ್ಮುಖದಿಂದಾಗಿ, ಈ ಮೂಲವನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಎನ್ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮವು (x n) ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಎರಡು ನೆರೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳ ದೋಷಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯೋಣ - ε n ಮತ್ತು ε n +1: x n =ξ+ε n, x n +1 =ξ+ε n +1. ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು x n +1 =φ(x n) ಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ರೂಟ್ನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ:ξ+ε n +1 =φ(ξ+ε n)=φ(ξ)+ε n φ'(ξ)+ (ε n 2 /2!)φ''(η), ಅಲ್ಲಿ η О [ξ; ξ+ε n ] М ξ ಒಂದು ಮೂಲವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ξ=φ(ξ) , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ε n +1 =ε n φ'(ξ)+(φ''(η)/2)ε n 2. ε ರಿಂದ<1, то ε n 2 <<ε n . Поэтому если φ’(ξ) ¹ 0,то основной вклад в погрешность дает первое слагаемое, а слагаемым (φ’’(η)/2)ε n 2 можно пренебречь, то есть ε n +1 » ε n φ’(ξ).Это означает, что погрешность будет уменьшаться на каждом последующем шаге, если |φ’(ξ)|<1, тогда для любого ಎನ್|ε n +1 |<|ε n |. Сформулируем теорему о сходимости метода простых итераций, дающую достаточные условия сходимости.
ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನದ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರಮೇಯ.ξ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಲಿ x=φ(x), φ(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು x О ಗಾಗಿ φ (x) О ಕಾರ್ಯದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು. ನಂತರ, ಅಂತಹ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ q<1, что при x Î выполняется неравенство |φ’(ξ)|≤q<1, то на отрезке уравнение x=φ(x) имеет единственный корень x=ξ и процесс итераций, выраженный формулой x n +1 =φ(x n), где n=1,2,3… , сходится к этому корню независимо от выбора начального приближения x 0 Î .Таким образом, последовательность {x n },начинающаяся с любого x 0 Î , сходится к корню ξ со скоростью геометрической прогрессии, причем скорость сходимости тем выше, чем меньше величина q Î (1;0).Если функция φ(х) монотонно возрастает и 0<φ’(х)<1, то все приближения лежат по одну сторону от корня - такую сходимость называют монотонной (или ступенчатой) – рис.1. Если функция φ(х) монотонно убывает и 0>φ'(x)>-1, ನಂತರ ನೆರೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳು ಮೂಲದ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ - ಅಂತಹ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಎರಡು-ಮಾರ್ಗ (ಅಥವಾ ಸುರುಳಿ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - ಚಿತ್ರ 2. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೂಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ತುದಿಗಳು ನೆರೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳಾಗಿವೆ – ξÎ(x n ,x n +1), ನಂತರ ಷರತ್ತಿನ ನೆರವೇರಿಕೆ |x n +1 -x n |<ε обеспечивает выполнение условия |ξ-x n +1 |<ε.
ಒಮ್ಮುಖ ವೇಗದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ:
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1:ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮ (x n) ಗೆ ξ ನ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ರೇಖೀಯ(ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ), ಒಂದು ಸ್ಥಿರವಾದ CО(0,1) ಮತ್ತು n 0 ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ ಅಂತಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳು |ξ-x n +1 |≤C|ξ-x n | n≥n 0 ಗಾಗಿ.
ಮೊದಲು ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ದೋಷಗಳಿಗೆ ಇದರರ್ಥ |ε n+1 |≤C|ε n |. ಸರಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರವಾದ C ಎಂಬುದು q ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ವಿಧಾನವು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2:ಅಂದಾಜುಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು (x n ) ಕನಿಷ್ಠ ξ ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್ನೇ ಆದೇಶ (ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ ಪು-ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕ), ಅಂತಹ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿದ್ದರೆ C>0, ಪು≥1 ಮತ್ತು n 0 , ಎಲ್ಲಾ n≥n 0 ಗೆ ಷರತ್ತುಗಳು |ξ-x n +1 |≤C|ξ-x n | p (ಅಥವಾ ಇತರ ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ |ε n+1 |≤C|ε n | p).
