ಒಬ್ಬ ಗಣಿತಜ್ಞ, ಒಬ್ಬ ಕಲಾವಿದ ಅಥವಾ ಕವಿಯಂತೆ, ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತಾನೆ. ಮತ್ತು ಅವನ ಮಾದರಿಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕಲ್ಪನೆಗಳಿಂದ ಕೂಡಿರುವುದರಿಂದ ಮಾತ್ರ ... ಒಬ್ಬ ಕಲಾವಿದ ಅಥವಾ ಕವಿಯ ಮಾದರಿಗಳಂತೆ ಗಣಿತಜ್ಞನ ಮಾದರಿಗಳು ಸುಂದರವಾಗಿರಬೇಕು; ಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಬಣ್ಣಗಳು ಅಥವಾ ಪದಗಳಂತೆಯೇ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿರಬೇಕು. ಸೌಂದರ್ಯವು ಮೊದಲ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಾಗಿದೆ: ಕೊಳಕು ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳವಿಲ್ಲ».
ಜಿ.ಎಚ್.ಹಾರ್ಡಿ
ಮೊದಲ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರಾಚೀನತೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಇದನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗಗಳು ಅಗಾಧವಾದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಈ ವರ್ಗದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸೇರಿವೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಎರಡು ಬೀಜಗಣಿತ ಬಹುಪದಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ.
2.1.1. ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳು
ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಾಗ(ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕಾರ್ಯ) ಅನ್ನು ಎರಡು ಬೀಜಗಣಿತ ಬಹುಪದಗಳ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಹುಪದಗಳು.
ಅದನ್ನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸೋಣ ಬಹುಪದೀಯ (ಬಹುಪದೀಯ, ಸಂಪೂರ್ಣ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯ) ಎನ್ನೇ ಪದವಿರೂಪದ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
ಎಲ್ಲಿ 
- ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,
- ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ;
- ನಾಲ್ಕನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದ, ಇತ್ಯಾದಿ.
ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗವನ್ನು (2.1.1) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಿಯಾದ, ಪದವಿಯು ಪದವಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. ಎನ್<ಮೀ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಭಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ತಪ್ಪು.
ಯಾವುದೇ ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗವನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ (ಇಡೀ ಭಾಗ) ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಭಾಗ (ಭಾಗಶಃ ಭಾಗ) ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯನ್ನು "ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ" ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಮಾಡಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆ 2.1.1.ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ:
ಎ) 
, ಬಿ) 
.
ಪರಿಹಾರ . ಎ) "ಕಾರ್ನರ್" ಡಿವಿಷನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
.
ಬಿ) ಇಲ್ಲಿ ನಾವು "ಮೂಲೆ" ವಿಭಾಗ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
.
ಸಾರಾಂಶ ಮಾಡೋಣ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಹುಪದದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಬಹುಪದಗಳ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.
2.1.2. ಸರಳವಾದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಏಕೀಕರಣ
ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಾಲ್ಕು ವಿಧಗಳಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಸರಳವಾದ (ಪ್ರಾಥಮಿಕ) ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು:
|
3) |
4) |
,
,ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ, 
, ಅಂದರೆ ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿ 
ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
1 ನೇ ಮತ್ತು 2 ನೇ ವಿಧಗಳ ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಯಾವುದೇ ದೊಡ್ಡ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ:
, (2.1.3)
. (2.1.4)
ಈಗ ನಾವು 3 ನೇ ವಿಧದ ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಆದರೆ ನಾವು 4 ನೇ ವಿಧದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ.
ಫಾರ್ಮ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ
.
ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಪೂರ್ಣ ಚೌಕಛೇದದಲ್ಲಿ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಟೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ
ಅಥವಾ 
.
ಉದಾಹರಣೆ 2.1.2.ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:
ಎ) 
, ಬಿ) 
.
ಪರಿಹಾರ . a) ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್‌ನಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ:
ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
ಬಿ) ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಟ್ರಿನೊಮಿಯಲ್‌ನಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಹೀಗಾಗಿ,
.
ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು
ನೀವು ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಛೇದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು: ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಪರ್ಯಾಯದ ಮೂಲಕ 
ನೋಟಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ
,
ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು - ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಒಂದಕ್ಕೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 2.1.3.ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:
.
ಪರಿಹಾರ
. ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸು 
. ನಾವು ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಛೇದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ:
ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ 
:
ಎರಡನೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ
ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
2.1.3. ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗ ವಿಸ್ತರಣೆ
ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ
ಯಾವುದೇ ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗ 
ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಅನನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಛೇದವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸಬೇಕು. ಉನ್ನತ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ಇದು ನಿಜವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ
ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವು ರೂಪದ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಬಹುಪದಗಳು ಅಥವಾ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 1. ಹಂತ 2.
.
ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಈ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಅವು ಇತರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿವೆ:
ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ನ ಅಂಶವನ್ನು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು x ನ ಅದೇ ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಂದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ:
.
ನಾವು ಎಲ್ಲಾ x ಗಳನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ಹೀಗಾಗಿ, ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಅಂತಿಮ ವಿಸ್ತರಣೆ:
.
ಉದಾಹರಣೆ 2. ಹಂತ 2.ಹಂತ 1 ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೂಲ ಭಾಗದ ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:
.
ಈಗ ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ ಪಡೆದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಈಗ ನೀವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಪದವಿಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು:
ನಾವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಆದ್ದರಿಂದ, ಇಲ್ಲಿಂದ
.
ಉದಾಹರಣೆ 3. ಹಂತ 2.ಹಂತ 1 ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೂಲ ಭಾಗದ ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:
ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ ಪಡೆದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಂತೆ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ:
ನಾವು x ಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ನಾವು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಅಂತಿಮ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ಉದಾಹರಣೆ 4. ಹಂತ 2.ಹಂತ 1 ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೂಲ ಭಾಗದ ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:
.
ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ವಿಭಜಿಸಿ ಈ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತಂದ ನಂತರ ಪಡೆದ ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುವುದು ಎಂದು ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿಯಂತ್ರಣ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ನಾವು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:
ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ನಾವು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಅಂತಿಮ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ಉದಾಹರಣೆ 5. ಹಂತ 2.ಹಂತ 1 ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೂಲ ಭಾಗದ ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:
.
ನಾವು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಈ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅಂಶವನ್ನು ಮೂಲ ಭಾಗದ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು:
ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ನಾವು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಅಂತಿಮ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ಉದಾಹರಣೆ 6. ಹಂತ 2.ಹಂತ 1 ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೂಲ ಭಾಗದ ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:
ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಂತೆಯೇ ನಾವು ಈ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು:
ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ನಾವು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಅಂತಿಮ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ಉದಾಹರಣೆ 7. ಹಂತ 2.ಹಂತ 1 ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೂಲ ಭಾಗದ ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:
.
ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ನಂತರ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು:
ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಅನಿಶ್ಚಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
ನಾವು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಅಂತಿಮ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.
ಉದಾಹರಣೆ 8. ಹಂತ 2.ಹಂತ 1 ರಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮೂಲ ಭಾಗದ ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:
.
ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತತೆಗೆ ತರಲಾದ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಕೆಲವು ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡೋಣ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅನಗತ್ಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುವ ಕೃತಕ ತಂತ್ರವಿದೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತರುವುದು, ನಾವು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅಂಶವನ್ನು ಮೂಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ವಿಷಯ: ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಏಕೀಕರಣ.
ಗಮನ! ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ: ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಏಕೀಕರಣ, ಕಠಿಣವಾದ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು ಸಂಕೀರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು.
ಸರಳ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಏಕೀಕರಣ.
ಒಂದು ವೇಳೆ ಪ(z) ಮತ್ತು ಪ್ರ(z) ಸಂಕೀರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ, ನಂತರ ಅವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿವೆ. ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಿಯಾದ, ಪದವಿ ವೇಳೆ ಪ(z) ಕಡಿಮೆ ಪದವಿ ಪ್ರ(z) , ಮತ್ತು ತಪ್ಪು, ಪದವಿ ವೇಳೆ ಆರ್ ಪದವಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿಲ್ಲ ಪ್ರ.
ಯಾವುದೇ ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: 
,
P(z) = Q(z) S(z) + R(z),
ಎ ಆರ್(z) – ಪದವಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಪ್ರ(z).
ಹೀಗಾಗಿ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಏಕೀಕರಣವು ಬಹುಪದಗಳ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ವಿದ್ಯುತ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಸರಿಯಾದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5. ಸರಳವಾದ (ಅಥವಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ) ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿವೆ:
1) , 2) , 3) , 4) 
.
ಅವರು ಹೇಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
3) 
(ಹಿಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ).
ಪ್ರಮೇಯ 5. ಪ್ರತಿ ಸರಿಯಾದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು (ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲದೆ).
ಫಲಿತಾಂಶ 1. ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಬಹುಪದದ ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ನೈಜ ಬೇರುಗಳಿದ್ದರೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ವಿಭಜಿಸುವಾಗ 1 ನೇ ವಿಧದ ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತವೆ:
ಉದಾಹರಣೆ 1.
ಫಲಿತಾಂಶ 2. ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬಹುಪದದ ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಬಹು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ವಿಭಜಿಸುವಾಗ 1 ಮತ್ತು 2 ನೇ ವಿಧಗಳ ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತವೆ. :
ಉದಾಹರಣೆ 2.
ಫಲಿತಾಂಶ 3. ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬಹುಪದದ ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ಬೇರುಗಳಿದ್ದರೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ವಿಭಜಿಸುವಾಗ 3 ನೇ ವಿಧದ ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತವೆ:
ಉದಾಹರಣೆ 3.
ಫಲಿತಾಂಶ 4. ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬಹುಪದದ ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಬಹು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಿತ ಬೇರುಗಳು ಮಾತ್ರ ಇದ್ದರೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ವಿಭಜಿಸುವಾಗ 3 ಮತ್ತು 4 ರ ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತವೆ. ರೀತಿಯ:
ನೀಡಿರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ. ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
1. X ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ (ಭಾಗಶಃ ಮೌಲ್ಯ ವಿಧಾನ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮೀ ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.
2. ಗುಣಾಂಕಗಳು X ನ ಅದೇ ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ (ವಿಧಾನ ಅನಿಶ್ಚಿತ ಗುಣಾಂಕಗಳು) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, m - m - unknowns ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.
3. ಸಂಯೋಜಿತ ವಿಧಾನ.
ಉದಾಹರಣೆ 5. ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ 
ಸರಳಕ್ಕೆ.
ಪರಿಹಾರ:
ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.
ವಿಧಾನ 1 - ಖಾಸಗಿ ಮೌಲ್ಯ ವಿಧಾನ:
ವಿಧಾನ 2 - ನಿರ್ಧರಿಸದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿಧಾನ:
ಉತ್ತರ: 
ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು.
ಪ್ರಮೇಯ 6. ಅದರ ಛೇದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರದ ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಂತರದ ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್ಟಜೆಂಟ್‌ಗಳು.
ಪುರಾವೆ.
ರೂಪದಲ್ಲಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಾಗವನ್ನು ಊಹಿಸೋಣ: 
. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೊನೆಯ ಪದವು ಸರಿಯಾದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯ 5 ರ ಪ್ರಕಾರ ಇದನ್ನು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಾಗದ ಏಕೀಕರಣವು ಬಹುಪದದ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಸ್(X)
ಮತ್ತು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು, ಅದರ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ಗಳು, ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.
ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ತೊಂದರೆ ಎಂದರೆ ಛೇದದ ಅಪವರ್ತನ, ಅಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳ ಹುಡುಕಾಟ.
ಉದಾಹರಣೆ 1. ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಮೂಲಭೂತ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.
1. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಾಗವು ಅಸಮರ್ಪಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಬಹುಪದದ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 2 ನೋಡಿ).
ಇದು ಅಸಮರ್ಪಕ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗದ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಬಹುಪದ ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗದ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
2. ಸರಿಯಾದ ಭಾಗದ ಛೇದವನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸಿ.
3. ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗವು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗದ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ 1. ಹುಡುಕಿ .
ಪರಿಹಾರ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕೆಳಗೆ ಅನುಚಿತ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾಗವನ್ನು ಆರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಆದ್ದರಿಂದ,
ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ
ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಿಗೆ:
(ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ (18)). ಅದಕ್ಕೇ
ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
ಉದಾಹರಣೆ 2. ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ. ಸಮಗ್ರತೆಯ ಕೆಳಗೆ ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗವಿದೆ.
ಅದನ್ನು ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು (ಸೂತ್ರವನ್ನು (16) ನೋಡಿ), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ವಸ್ತುವು "ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ (ಸರಳ) ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು" ಎಂಬ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಓದುವುದಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಮೊದಲು ನೀವು ಕನಿಷ್ಟ ಈ ವಿಷಯದ ಮೂಲಕ ಹೋಗಬೇಕೆಂದು ನಾನು ಹೆಚ್ಚು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನಮಗೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಟೇಬಲ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.
ನಾನು ನಿಮಗೆ ಒಂದೆರಡು ಪದಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇಲ್ಲಿ ನಾನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ನನ್ನನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತೇನೆ.
ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಿಯಾದ, $n ವೇಳೆ< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется ತಪ್ಪು.
ಪ್ರಾಥಮಿಕ (ಸರಳ) ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ನಾಲ್ಕು ವಿಧಗಳ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿವೆ:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
ಗಮನಿಸಿ (ಪಠ್ಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ತಿಳುವಳಿಕೆಗೆ ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯ): ತೋರಿಸು\ ಮರೆಮಾಡಿ
$p^2-4q ಷರತ್ತು ಏಕೆ ಬೇಕು?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $x^2+5x+10$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. $p^2-4q=-15 ರಿಂದ< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
ಅಂದಹಾಗೆ, ಈ ಪರಿಶೀಲನೆಗಾಗಿ $x^2$ ಮೊದಲು ಗುಣಾಂಕ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $5x^2+7x-3=0$ ಗೆ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109. $D > 0$ ರಿಂದ, $5x^2+7x-3$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಅಪವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ.
ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು (ಸರಿಯಾದ ಮತ್ತು ಅನುಚಿತ), ಹಾಗೆಯೇ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅವರ ಏಕೀಕರಣದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಏಕೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲಿನ ನಾಲ್ಕು ವಿಧದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. (2) ಮತ್ತು (4) ಪ್ರಕಾರಗಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವಾಗ, $n=2,3,4,\ldots$ ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ. ಸೂತ್ರಗಳು (3) ಮತ್ತು (4) $p^2-4q ಷರತ್ತು ಪೂರೈಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ< 0$.
\begin(ಸಮೀಕರಣ) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(ಸಮೀಕರಣ) \begin(ಸಮೀಕರಣ) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(ಸಮೀಕರಣ) \begin(ಸಮೀಕರಣ) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(ಸಮೀಕರಣ)
$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ ಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ $t=x+\frac(p)(2)$ ಅನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮಧ್ಯಂತರ ಎರಡಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ
\begin(ಸಮೀಕರಣ) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\end(ಸಮೀಕರಣ)
ಅಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 7 ರಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ (ಮೂರನೇ ಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ).
ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಯೋಜನೆ (ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು):
- ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ (1)-(4).
- ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ, ತದನಂತರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (1)-(4) ಬಳಸಿ ಸಂಯೋಜಿಸಿ.
ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಮೇಲಿನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗದ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ - ಇದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿದೆ. ಆ. ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಬಳಸಿ ನೀವು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು ಯಾವುದಾದರುತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಾಗ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ (ಯೂಲರ್, ಚೆಬಿಶೇವ್, ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಪರ್ಯಾಯ) ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಈ ಬದಲಾವಣೆಯ ನಂತರ ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ತದನಂತರ ಅದಕ್ಕೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ. ಸಣ್ಣ ಟಿಪ್ಪಣಿಯನ್ನು ಮಾಡಿದ ನಂತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ನೇರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ನಾವು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಸೂತ್ರದ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಅನ್ವಯವಿಲ್ಲದೆ ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಸುಲಭ. ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವಾದ $7$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು $dx=d(x+9)$ ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
ವಿವರವಾದ ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ, ವಿಷಯವನ್ನು ನೋಡಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲಕ, ಸೂತ್ರವನ್ನು "ಕೈಯಾರೆ" ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಅದೇ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
2) ಮತ್ತೆ, ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ: ಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಅಥವಾ ಅದು ಇಲ್ಲದೆ. ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, $x$ (ಸಂಖ್ಯೆ 4) ರ ಮುಂದೆ ಇರುವ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಈ ನಾಲ್ಕನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸರಳವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\ಬಲ)\ಬಲ)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\ಎಡ(x+\frac(19)(4)\ಬಲ)^8). $$
ಈಗ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಮಯ:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\ಎಡ(x+\frac(19)(4)\ಬಲ)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\ಎಡ(x+\frac(19)(4) \ಬಲ)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+ಸಿ. $$
ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸದೆಯೇ ಮಾಡಬಹುದು. ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸ್ಥಿರವಾದ $4$ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದೆಯೂ ಸಹ. ನಾವು $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
ಅಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು "ಬದಲಿಯಿಂದ ಏಕೀಕರಣ (ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯ)" ಎಂಬ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.
3) ನಾವು $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ ಭಾಗವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈ ಭಾಗವು $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಮೂರನೇ ವಿಧದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು $p^2-4q ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
ಅದೇ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ, ಆದರೆ ಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸದೆ. ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಛೇದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಇದರ ಅರ್ಥ ಏನು? $(x^2+10x+34)"=2x+10$ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಇದು $2x+10$ ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಾವು ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಅಂಶವು ಕೇವಲ $4x+7$ ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಕಾಲ ಉಳಿಯುವುದಿಲ್ಲ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:
$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$
ಈಗ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ $2x+10$ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ. ಸರಿ, ಮತ್ತು, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಹ "ವಿಭಜಿಸಲಾಗಿದೆ":
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \ಬಲಕ್ಕೆ)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಬಗ್ಗೆ ಮೊದಲು ಮಾತನಾಡೋಣ, ಅಂದರೆ. ಸುಮಾರು $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, ನಂತರ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್‌ನ ಅಂಶವು ಛೇದದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಬದಲಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ $(2x+10)dx$ ನಾವು $d(x^2+10x+34)$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಈಗ ಎರಡನೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಹೇಳೋಣ. ಛೇದದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ನಾವು $dx=d(x+5)$ ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ನಾವು ಮೊದಲು ಪಡೆದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9) $$
ನಾವು ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ $u=x^2+10x+34$ ಅನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮಾಡಿದರೆ, ಅದು $\int\frac(du)(u)$ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಬಳಸಲು ಸುಲಭನಿಂದ ಎರಡನೇ ಸೂತ್ರ. ಎರಡನೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, $u=x+5$ ಬದಲಾವಣೆಯು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದು $\int\frac(du)(u^2+9)$ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಶುದ್ಧ ನೀರುಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಹನ್ನೊಂದನೇ ಸೂತ್ರ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಾಗ ನಾವು ಅದೇ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಬಳಸಿದ ಅದೇ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗಮನಿಸುವ ಓದುಗರು ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಎಂದು ನಾನು ನಂಬುತ್ತೇನೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾನು ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇನೆ:
ಪ್ರಶ್ನೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1
ನಾವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ ಗೆ ಎರಡನೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಏಕೆ ಇರಲಿಲ್ಲ?
ಪ್ರಶ್ನೆ #1 ಗೆ ಉತ್ತರ
ಪ್ರಶ್ನೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಹಜ. ಯಾವುದೇ $x\ in R$ ಗಾಗಿ $x^2+10x+34$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವುದರಿಂದ ಮಾತ್ರ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಕಾಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಹಲವಾರು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ಮತ್ತು $(x+5)^2 ≥ 0$, ನಂತರ $(x+5)^2+9 > 0$ . ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕದ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಬಳಸದೆಯೇ ನೀವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಯೋಚಿಸಬಹುದು. $10^2-4\cdot 34=-16 ರಿಂದ< 0$, то $x^2+10x+34 >R$ ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ $x ಗೆ 0$ (ಇದಾದರೆ ತಾರ್ಕಿಕ ಸರಪಳಿಇದು ಅದ್ಭುತವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿಧಾನಚತುರ್ಭುಜ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳು). ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, $x^2+10x+34 > 0$ ರಿಂದ, ನಂತರ $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, ಅಂದರೆ. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಬದಲಿಗೆ, ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆವರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ.
ಉತ್ತರ:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+ಸಿ $.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2
ಅವಿಭಾಜ್ಯ $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ, ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಭಾಗ $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ಮೂರನೇ ವಿಧದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ಮೂಲಕ. $x^2$ ಮುಂದೆ $3$ನ ಗುಣಾಂಕ ಮಾತ್ರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ (ಅದನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರಗಿಡಿ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಹೋಲಿಕೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ಭಾಗಕ್ಕೆ $p^2-4q ಷರತ್ತು ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿದೆ< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
$x^2$ ಮೊದಲು ನಮ್ಮ ಗುಣಾಂಕ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ $p^2-4q ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ$x^2+px+q=0$. ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, $x^2+px+q$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಮ್ಮ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವ ಬಹುಪದದ $3x^2-5x-2$ನ ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. ಆದ್ದರಿಂದ, $D > 0$, ಆದ್ದರಿಂದ $3x^2-5x-2$ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅಪವರ್ತನೀಯಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ಮೂರನೇ ವಿಧದ ಧಾತುರೂಪದ ಭಾಗವಲ್ಲ, ಮತ್ತು $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) ಅವಿಭಾಜ್ಯ 5x-2)dx$ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಸರಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಭಾಗವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕು. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಜಾಡು ಲಾಭ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ವಿವರವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಛೇದವನ್ನು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\ end(aligned)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$
ನಾವು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಉಪವಿಭಾಗದ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\ಬಲ)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\ಎಡ(x+\frac(1)(3)\ಬಲ)(x-2)). $$
ಈಗ ನಾವು $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ ಅನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\ಎಡ(x+\frac(1)(3)\ಬಲ)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\ಬಲ))(\ಎಡ(x+) \frac(1)(3)\ಬಲ)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\ಬಲ). $$
ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು $A$ ಮತ್ತು $B$ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ: ನಿರ್ಧರಿಸದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ. $x=2$ ಮತ್ತು ನಂತರ $x=-\frac(1)(3)$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ಭಾಗಶಃ ಮೌಲ್ಯದ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\ಬಲ); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\ಬಲ)+B\ಎಡ (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\ಬಲ); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
ಗುಣಾಂಕಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಮುಗಿದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\ಎಡ(x+\frac(1)(3)\ಬಲ)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ನೀವು ಈ ನಮೂದನ್ನು ಬಿಡಬಹುದು, ಆದರೆ ನಾನು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತೇನೆ:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\ಎಡ(x+\frac(1)(3)\ಬಲ)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
ಮೂಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ, ನಾವು ಅದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಹೊರಗೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಇರಿಸಲು ನಾನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ:
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\ಬಲ|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
ಉತ್ತರ: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\ಬಲ| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3
ಅವಿಭಾಜ್ಯ $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
ನಾವು $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ ಭಾಗವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಅಂಶವು ಎರಡನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಛೇದವು ಮೂರನೇ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದದ ಪದವಿಯು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯ ಪದವಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂದರೆ. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$
ನಾವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮೂರು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಹೊರಗೆ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಇರಿಸಲು ನಾನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ:
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
ಉತ್ತರ: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
ಈ ವಿಷಯದ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮುಂದುವರಿಕೆ ಎರಡನೇ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇದೆ.
