ಗುರಿಗಳು:
- ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿ: ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳು.
- ಹಲವಾರು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಬಗೆ ಅಥವಾ ಪರಿಹಾರದ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯವಿಲ್ಲ.
- ಗಣಿತದ ಹೊಸ ಅಧ್ಯಾಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನದ ಮೂಲಕ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದ ಮೂಲಕ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಸಂಸ್ಕೃತಿಯನ್ನು ಪೋಷಿಸುವುದು.
ಪಾಠದ ಪ್ರಕಾರ: ಸಂಯೋಜಿತ.
ಉಪಕರಣ:ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟರ್.
ಗೋಚರತೆ:ಟೇಬಲ್ "ವಿಯೆಟ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯ".
ತರಗತಿಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ
1. ಮೌಖಿಕ ಎಣಿಕೆ
a) ದ್ವಿಪದ x-a ನಿಂದ ಬಹುಪದದ p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 ವಿಭಜನೆಯ ಉಳಿದ ಭಾಗ ಯಾವುದು?
b) ಘನ ಸಮೀಕರಣವು ಎಷ್ಟು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು?
ಸಿ) ನಾವು ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ?
d) ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ b ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, D ಮತ್ತು x 1 ರ ಮೌಲ್ಯ ಏನು;
2. ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸ (ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ)
ಬೇರುಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ (ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಕೋಡ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ) “ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯ” ಬಳಸಲಾಗಿದೆ
1 ಗುಂಪು
ಬೇರುಗಳು: x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6
ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮಾಡಿ:
ಬಿ=1 -2-3+6=2; b=-2
c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23
d=6-12+36-18=12; d= -12
ಇ=1(-2)(-3)6=36
x 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಂತರ ಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಗುಂಪು 2 ರಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ)
ಪರಿಹಾರ . 36 ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಾಜಕಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ.
р = ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6 ...
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ =1 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಹಾರ್ನರ್ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ
p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36
ಪು 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2
ಪು 2 (x) = x 2 -3x -18=0
x 3 = -3, x 4 =6
ಉತ್ತರ: 1;-2;-3;6 ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತ 2 (ಪಿ)
2 ನೇ ಗುಂಪು
ಬೇರುಗಳು: x 1 = -1; x 2 = x 3 =2; x 4 =5
ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮಾಡಿ:
ಬಿ=-1+2+2+5-8; b= -8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15
D=-4-10+20-10= -4; d=4
ಇ=2(-1)2*5=-20;ಇ=-20
8+15+4x-20=0 (ಗುಂಪು 3 ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ)
р = ± 1; ± 2; ± 4; ± 5; ± 10; ± 20.
ಪು 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20
ಪು 3 (2) = 8 -36+48 -20=0
p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 =2; x 2 =5
ಉತ್ತರ: -1;2;2;5 ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತ 8(ಪಿ)
3 ಗುಂಪು
ಬೇರುಗಳು: x 1 = -1; x 2 =1; x 3 = -2; x 4 =3
ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮಾಡಿ:
В=-1+1-2+3=1;В=-1
с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
ಇ=-1*1*(-2)*3=6
x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(ಗುಂಪು 4 ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಂತರ ಮಂಡಳಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ)
ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆ 6 ರ ವಿಭಾಜಕಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ.
р = ± 1; ± 2; ± 3; ± 6
ಪು 4 (1)=1-1-7+1+6=0
p 3 (x) = x 3 - 7x -6
р 3 (-1) = -1+7-6=0
p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 =3
ಉತ್ತರ: -1;1;-2;3 ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತ 1(O)
4 ಗುಂಪು
ಬೇರುಗಳು: x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3
ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮಾಡಿ:
ಬಿ=-2-2-3+3=-4; b=4
c=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36
x 4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಂತರ ಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಗುಂಪು 5 ರಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ)
ಪರಿಹಾರ. -36 ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಾಜಕಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ
р = ± 1; ± 2; ± 3…
p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
ಪು 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0
ಪು 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0
ಪು 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3
ಉತ್ತರ: -2; -2; -3; 3 ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತ-4 (ಎಫ್)
5 ಗುಂಪು
ಬೇರುಗಳು: x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4
ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ
x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಂತರ ಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಗುಂಪು 6 ರಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ)
ಪರಿಹಾರ . 24 ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಾಜಕಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ.
р = ± 1; ± 2; ± 3
ಪು 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0
p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O
p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0
ಉತ್ತರ: -1;-2;-3;-4 ಮೊತ್ತ-10 (I)
6 ಗುಂಪು
ಬೇರುಗಳು: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8
ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ
B=1+1-3+8=7;b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24= -43; d=43
x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43X - 24 = 0 (ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಂತರ ಬೋರ್ಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಗುಂಪು 1 ರಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ)
ಪರಿಹಾರ . -24 ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಾಜಕಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ.
ಪು 4 (1)=1-7-13+43-24=0
ಪು 3 (1)=1-6-19+24=0
ಪು 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0
x 3 =-3, x 4 =8
ಉತ್ತರ: 1;1;-3;8 ಮೊತ್ತ 7 (L)
3. ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು
1. x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ; ಒಂದು ಬೇರು (-1) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ
ಉತ್ತರವನ್ನು ಆರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ
R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ x 1 = - 1; D=1+15=16
P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0
x 2 = -1-4 = -5;
x 3 = -1 + 4 = 3;
ಉತ್ತರ: - 1; -5; 3
ಆರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ: -5;-1;3. (ಬಿ ಎನ್ ಎಸ್)
2. ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6 ನ ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ದ್ವಿಪದಗಳಾಗಿ x-1 ಮತ್ತು x +2 ಆಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಶೇಷಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ.
ಪರಿಹಾರ: R=P 3 (1) = P 3 (-2)
P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a
P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a
x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18
x 2 (x-3)-6(x-3) = 0
(x-3)(x 2 -6) = 0
3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x 2 =0; x 4 =0
a=0; x=0; x=1
a>0; x=1; x=a ± √a
2. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ
1 ಗುಂಪು. ಬೇರುಗಳು: -4; -2; 1; 7;
2 ನೇ ಗುಂಪು. ಬೇರುಗಳು: -3; -2; 1; 2;
3 ಗುಂಪು. ಬೇರುಗಳು: -1; 2; 6; 10;
4 ಗುಂಪು. ಬೇರುಗಳು: -3; 2; 2; 5;
5 ಗುಂಪು. ಬೇರುಗಳು: -5; -2; 2; 4;
6 ಗುಂಪು. ಬೇರುಗಳು: -8; -2; 6; 7.
ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ದ್ವಿಚಕ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಯುತ್ತೇವೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬೈಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?
ಎಲ್ಲಾ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಆಹ್ 4 +
bx
2
+
ಸಿ
= 0
, ಎಲ್ಲಿ a ≠ 0, ಇದು x 2 ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಚೌಕಾಕಾರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬೈಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಸಮೀಕರಣಗಳು. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಈ ನಮೂದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರವೇಶಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸಿದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದ್ವಿಚಕ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.
ನಾವು ಮಾತ್ರ ಹೊಸ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ x 2 ಮತ್ತೊಂದು ವೇರಿಯಬಲ್, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಟಿ (ಅಥವಾ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಅಕ್ಷರ).
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ x 4 + 4x 2 - 5 = 0.
ಸೂಚಿಸೋಣ x 2
ಮೂಲಕ ನಲ್ಲಿ
(x 2 = y
) ಮತ್ತು ನಾವು y 2 + 4y - 5 = 0 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ನಿಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ.
ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:
D = 4 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.
y 1 = (‒ 4 – 6)/2= - 10 /2 = ‒ 5,
y 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2/2 = 1.
ನಮ್ಮ ವೇರಿಯಬಲ್ x ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ.
x 2 = - 5 ಮತ್ತು x 2 = 1 ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.
ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ: x 1 = 1 ಮತ್ತು x 2 = ‒1. ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೂಲವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದಂತೆ ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಿ (ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅವರು x = 1 ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸರಿಯಾಗಿಲ್ಲ).
ಉತ್ತರ:- 1 ಮತ್ತು 1.
ವಿಷಯವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ 1.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 2x 4 - 5 x 2 + 3 = 0.
x 2 = y ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ 2y 2 - 5y + 3 = 0.
D = (- 5) 2 – 4 2 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.
y 1 = (5 – 1)/(2 2) = 4 /4 =1, y 2 = (5 + 1)/(2 2) = 6 /4 =1.5.
ನಂತರ x 2 = 1 ಮತ್ತು x 2 = 1.5.
ನಾವು x 1 = ‒1, x 2 = 1, x 3 = - √1.5, x 4 = √1.5 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಉತ್ತರ: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.
ಉದಾಹರಣೆ 2.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 2x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.
2y 2 + 5y + 2 =0.
D = 5 2 – 4 2 2 = 25 - 16 = 9, √D = √9 = 3.
y 1 = (- 5 – 3)/(2 2) = ‒ 8 /4 = -2, y 2 = (-5 + 3)/(2 2) = - 2/4 = ‒ 0.5.
ನಂತರ x 2 = - 2 ಮತ್ತು x 2 = - 0.5. ಈ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ.
ಉತ್ತರ:ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.
ಅಪೂರ್ಣ ದ್ವಿಚಕ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳು- ಅದು ಯಾವಾಗ ಬಿ = 0 (ಕೊಡಲಿ 4 + ಸಿ = 0) ಅಥವಾ ಸಿ = 0
(ax 4 + bx 2 = 0) ಅಪೂರ್ಣ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಂತೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 3.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ x 4 - 25x 2 = 0
ನಾವು ಅಪವರ್ತನಗೊಳಿಸೋಣ, ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ x 2 ಅನ್ನು ಹಾಕಿ ಮತ್ತು ನಂತರ x 2 (x 2 ‒ 25) = 0.
ನಾವು x 2 = 0 ಅಥವಾ x 2 - 25 = 0, x 2 = 25 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ನಂತರ ನಾವು 0 ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ; 5 ಮತ್ತು - 5.
ಉತ್ತರ: 0; 5; – 5.
ಉದಾಹರಣೆ 4.ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ 5x 4 - 45 = 0.
x 2 = ‒ √9 (ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ)
x 2 = √9, x 1 = - 3, x 2 = 3.
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ನೀವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದರೆ, ನೀವು ದ್ವಿಚಕ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.
ನೀವು ಇನ್ನೂ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನನ್ನ ಪಾಠಗಳಿಗೆ ಸೈನ್ ಅಪ್ ಮಾಡಿ. ಬೋಧಕ ವ್ಯಾಲೆಂಟಿನಾ ಗಲಿನೆವ್ಸ್ಕಯಾ.
ವೆಬ್‌ಸೈಟ್, ವಿಷಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲಿಸುವಾಗ, ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.
ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು 7 ನೇ ತರಗತಿಯ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ರೂಪುಗೊಂಡಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವುಗಳನ್ನು ಮೇಲ್ನೋಟಕ್ಕೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆ.
ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸದಿರಲು ಇದು ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. "ನೈಸರ್ಗಿಕ ಅಥವಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ" ನಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಗಮನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರವೇಶ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಟಿಕೆಟ್‌ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂತಹ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ.
ಯಾವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ?
xy = 8, 7x + 3y = 13 ಅಥವಾ x 2 + y = 7 ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ.
x – 4y = 16 ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. x = 4 ಮತ್ತು y = -3 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಈ ಜೋಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.
ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗಿನ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (x; y) ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ (ಅದನ್ನು ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ).
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಹುಡುಕುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: xy – 4 = 4x – y.
ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನೀವು ಅಪವರ್ತನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಗುಂಪು ಮಾಡಬೇಕು ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು:
xy - 4 = 4x - y;
xy – 4 – 4x + y = 0;
(xy + y) - (4x + 4) = 0;
y(x + 1) – 4(x + 1) = 0;
(x + 1)(y - 4) = 0.
ಉತ್ತರ: ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿಗಳು (x; 4), ಇಲ್ಲಿ x ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು (-1; y), ಅಲ್ಲಿ y ಯಾವುದೇ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ.
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ: 4x 2 + y 2 + 2 = 2(2x - y).
ಮೊದಲ ಹಂತವು ಗುಂಪು ಮಾಡುವುದು.
4x 2 + y 2 + 2 = 4x - 2y;
4x 2 + y 2 + 1 - 4x + 2y + 1 = 0;
(4x 2 – 4x +1) + (y 2 + 2y + 1) = 0.
ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
(2x - 1) 2 + (y + 1) 2 = 0.
ಎರಡು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿದಾಗ, ಶೂನ್ಯವು 2x – 1 = 0 ಮತ್ತು y + 1 = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ: x = ½ ಮತ್ತು y = -1.
ಉತ್ತರ: (1/2; -1).
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ (x 2 – 6x + 10)(y 2 + 10y + 29) = 4.
ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡುವ, ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಇದು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ.
((x - 3) 2 + 1)((y + 5) 2 + 4) = 4.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (x - 3) 2 + 1 ≥ 1, ಮತ್ತು (y + 5) 2 + 4 ≥ 4. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗವು ಯಾವಾಗಲೂ ಕನಿಷ್ಠ 4 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆ ಸಾಧ್ಯ
(x - 3) 2 + 1 = 1 ಮತ್ತು (y + 5) 2 + 4 = 4. ಆದ್ದರಿಂದ, x = 3, y = -5.
ಉತ್ತರ: (3; -5).
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಿ: x 2 + 10y 2 = 15x + 3.
ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
x 2 = -10y 2 + 15x + 3. ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗವನ್ನು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ನಂತರ 3 ಶೇಷವಾಗಿರುತ್ತದೆ. x 2 ಅನ್ನು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವು 1 ಅಥವಾ 4 ರ ಶೇಷವನ್ನು ಬಿಡಬೇಕು ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
ಉತ್ತರ: ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲ.
ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಷ್ಟದಿಂದ ನಿರುತ್ಸಾಹಗೊಳಿಸಬೇಡಿ. ಪರಿಶ್ರಮ ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಫಲ ನೀಡುತ್ತದೆ.
ನಾವು ನಿಮಗೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಉಚಿತವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಆನ್ಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್.ಸ್ಪಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.
ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ, ಮೊದಲು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ತನ್ನಿ:
ಕೊಡಲಿ 2 + ಬಿಎಕ್ಸ್ + ಸಿ = 0
ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಫಾರ್ಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಭರ್ತಿ ಮಾಡಿ:
ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು
| ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು: | ಬೇರುಗಳ ವಿಧಗಳು: |
|
1.
ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸಿ: ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ Аx 2 +Bx+C=0 ಉದಾಹರಣೆ: 3x - 2x 2 +1=-1 -2x 2 +3x+2=0 ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ 2.
ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಡಿ. 3.
ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. |
1.
ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳು. ಮೇಲಾಗಿ. x1 x2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ D>0 ಮತ್ತು A 0 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. 2.
ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ. x1 ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ x2 3.
ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳು. x1=d+ei, x2=d-ei, ಅಲ್ಲಿ i=-(1) 1/2 5.
ಸಮೀಕರಣವು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. 6.
ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. |
ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸಲು, ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಇಲ್ಲಿವೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.
ಉದಾಹರಣೆ 1. ವಿಭಿನ್ನ ನೈಜ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.
x 2 + 3x -10 = 0
ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
ನಾವು ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು 1/2 ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5
ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ನಾವು ಬದಲಿಸೋಣ:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10
ಉದಾಹರಣೆ 2. ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.
x 2 – 8x + 16 = 0
A=1, B = -8, C=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4
ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16
ಉದಾಹರಣೆ 3. ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು.
13x 2 – 4x + 1 = 0
A=1, B = -4, C=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
ತಾರತಮ್ಯವು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ - ಬೇರುಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ.
X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, ಅಲ್ಲಿ ನಾನು -1 ರ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ
ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ.
ನಮ್ಮದು ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ ಆನ್ಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ನಿಮಗೆ ತುಂಬಾ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ವಸ್ತುವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು
