Домой Полость рта Натуральные числа. Делимость натуральных чисел

Полость рта

Натуральные числа. Делимость натуральных чисел

Материалом этой статьи начинается теория делимости целых чисел . Здесь мы введем понятие делимости и укажем принятые термины и обозначения. Это нам позволит перечислить и обосновать основные свойства делимости.

Навигация по странице.

Понятие делимости

Понятие делимости – это одно из основных понятий арифметики и теории чисел. Мы будем говорить о делимости и в частных случаях - о делимости . Итак, дадим представление о делимости на множестве целых чисел.

Целое число a делится на целое число b , которое отлично от нуля, если существует такое целое число (обозначим его q ), что справедливо равенство a=b·q . В этом случае также говорят, что b делит a . При этом целое число b называется делителем числа a , целое число a называется кратным числа b (для получения более детальной информации о делителях и кратных обращайтесь к статье делители и кратные), а целое число q называют частным .

Если целое число a делится на целое число b в указанном выше смысле, то можно сказать, что a делится на b нацело . Слово «нацело» в этом случае дополнительно подчеркивает, что частное от деления целого числа a на целое число b является целым числом.

В некоторых случаях для данных целых чисел a и b не существует такого целого числа q , при котором справедливо равенство a=b·q . В таких случаях говорят, что целое число a не делится на целое число b (при этом имеется в виду, что a не делится на b нацело). Однако в этих случаях прибегают к .

Разберемся с понятием делимости на примерах.

Любое целое число a делится на число a , на число −a , a , на единицу и на число −1 .

Докажем это свойство делимости.

Для любого целого числа a справедливы равенства a=a·1 и a=1·a , из которых следует, что a делится на a , причем частное равно единице, и что a делится на 1 , причем частное равно a . Для любого целого числа a также справедливы равенства a=(−a)·(−1) и a=(−1)·(−a) , из которых следует делимость a на число, противоположное числу a , а также делимость a на минус единицу.

Отметим, что свойство делимости целого числа a на себя называют свойством рефлексивности.

Следующее свойство делимости утверждает, что нуль делится на любое целое число b .

Действительно, так как 0=b·0 для любого целого числа b , то нуль делится на любое целое число.

В частности, нуль делится и на нуль. Это подтверждает равенство 0=0·q , где q – любое целое число. Из этого равенства вытекает, что частным от деления нуля на нуль является любое целое число.

Также нужно отметить, что на 0 не делится никакое другое целое число a , отличное нуля. Поясним это. Если бы нуль делил целое число a , отличное от нуля, то должно было бы быть справедливо равенство a=0·q , где q – некоторое целое число, а последнее равенство возможно только при a=0 .

Если целое число a делится на целое число b и a меньше модуля числа b , то a равно нулю. В буквенном виде это свойство делимости записывается так: если ab и , то a=0 .

Доказательство.

Так как a делится на b , то существует целое число q , при котором верно равенство a=b·q . Тогда должно быть справедливо и равенство , а в силу должно быть справедливо и равенство вида . Если q не равно нулю, то , откуда следует, что . Учитывая полученное неравенство, из равенства следует, что . Но это противоречит условию . Таким образом, q может быть равно только нулю, при этом получим a=b·q=b·0=0 , что и требовалось доказать.

Если целое число a отлично от нуля и делится на целое число b , то модуль числа a не меньше модуля числа b . То есть, если a≠0 и ab , то . Это свойство делимости непосредственно вытекает из предыдущего.

Делителями единицы являются только целые числа 1 и −1 .

Во-первых, покажем, что единица делится на 1 и на −1 . Это следует из равенств 1=1·1 и 1=(−1)·(−1) .

Осталось доказать, что никакое другое целое число не является делителем единицы.

Предположим, что целое число b , отличное от 1 и −1 , является делителем единицы. Так как единица делится на b , то в силу предыдущего свойства делимости должно выполняться неравенство , которое равносильно неравенству . Этому неравенству удовлетворяют только три целых числа: 1 , 0 , и −1 . Так как мы приняли, что b отлично от 1 и −1 , то остается лишь b=0 . Но b=0 не может быть делителем единицы (что мы показали при описании второго свойства делимости). Этим доказано, что никакие числа, отличные от 1 и −1 , не являются делителями единицы.

Чтобы целое число a делилось на целое число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на модуль числа b .

Докажем сначала необходимость.

Пусть a делится на b , тогда существует такое целое число q , что a=b·q . Тогда . Так как является целым числом, то из равенства следует делимость модуля числа a на модуль числа b .

Теперь достаточность.

Пусть модуль числа a делится на модуль числа b , тогда существует такое целое число q , что . Если числа a и b положительные, то справедливо равенство a=b·q , которое доказывает делимость a на b . Если a и b отрицательные, то верно равенство −a=(−b)·q , которое можно переписать как a=b·q . Если a – отрицательное число, а b – положительное, то имеем −a=b·q , это равенство равносильно равенству a=b·(−q) . Если a – положительное, а b – отрицательное, то имеем a=(−b)·q , и a=b·(−q) . Так как и q и −q являются целыми числами, то полученные равенства доказывают, что a делится на b .

Следствие 1.

Если целое число a делится на целое число b , то a также делится на число −b , противоположное числу b .

Следствие 2.

Если целое число a делится на целое число b , то и −a делится на b .

Важность только что рассмотренного свойства делимости сложно переоценить - теорию делимости можно описывать на множестве целых положительных чисел, а это свойства делимости распространяет ее и на целые отрицательные числа.

Делимость обладает свойством транзитивности: если целое число a делится на некоторое целое число m , а число m в свою очередь делится на некоторое целое число b , то a делится на b . То есть, если am и mb , то ab .

Приведем доказательство этого свойства делимости.

Так как a делится на m , то существует некоторое целое число a 1 такое, что a=m·a 1 . Аналогично, так как m делится на b , то существует некоторое целое число m 1 такое, что m=b·m 1 . Тогда a=m·a 1 =(b·m 1)·a 1 =b·(m 1 ·a 1) . Так как произведение двух целых чисел является целым числом, то m 1 ·a 1 - это некоторое целое число. Обозначив его q , приходим к равенству a=b·q , которое доказывает рассматриваемое свойство делимости.

Делимость обладает свойством антисимметричности, то есть, если a делится на b и одновременно b делится на a , то равны либо целые числа a и b , либо числа a и −b .

Из делимости a на b и b на a можно говорить о существовании целых чисел q 1 и q 2 таких, что a=b·q 1 и b=a·q 2 . Подставив во второе равенство b·q 1 вместо a , или подставив в первое равенство a·q 2 вместо b , получим, что q 1 ·q 2 =1 , а учитывая, что q 1 и q 2 – целые, это возможно лишь при q 1 =q 2 =1 или при q 1 =q 2 =−1 . Отсюда следует, что a=b или a=−b (или, что то же самое, b=a или b=−a ).

Для любого целого и отличного от нуля числа b найдется такое целое число a , не равное b , которое делится на b .

Таким числом будет любое из чисел a=b·q , где q – любое целое число, не равное единице. Можно переходить к следующему свойству делимости.

Если каждое из двух целых слагаемых a и b делится на целое число c , то сумма a+b также делится на c .

Так как a и b делятся на c , то можно записать a=c·q 1 и b=c·q 2 . Тогда a+b=c·q 1 +c·q 2 =c·(q 1 +q 2) (последний переход возможен в силу ). Так как сумма двух целых чисел является целым числом, то равенство a+b=c·(q 1 +q 2) доказывает делимость суммы a+b на c .

Это свойство можно распространить на сумму трех, четырех и большего количества слагаемых.

Если еще вспомнить, что вычитание из целого числа a целого числа b представляет собой сложение числа a с числом −b (смотрите ), то данное свойство делимости справедливо и для разности чисел. Например, если целые числа a и b делятся на c , то разность a−b также делится на с .

Если известно, что в равенстве вида k+l+…+n=p+q+…+s все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .

Допустим, этим членом является p (мы можем взять любой из членов равенства, что не повлияет на рассуждения). Тогда p=k+l+…+n−q−…−s . Выражение, получившееся в правой части равенства, делится на b в силу предыдущего свойства. Следовательно, число p также делится на b .

Если целое число a делится на целое число b , то произведение a·k , где k – произвольное целое число, делится на b .

Так как a делится на b , то справедливо равенство a=b·q , где q – некоторое целое число. Тогда a·k=(b·q)·k=b·(q·k) (последний переход осуществлен в силу ). Так как произведение двух целых чисел есть целое число, то равенство a·k=b·(q·k) доказывает делимость произведения a·k на b .

Следствие: если целое число a делится на целое число b , то произведение a·k 1 ·k 2 ·…·k n , где k 1 , k 2 , …, k n – некоторые целые числа, делится на b .

Если целые числа a и b делятся на c , то сумма произведений a·u и b·v вида a·u+b·v , где u и v – произвольные целые числа, делится на c .

Доказательство этого свойства делимости аналогично двум предыдущим. Из условия имеем a=c·q 1 и b=c·q 2 . Тогда a·u+b·v=(c·q 1)·u+(c·q 2)·v=c·(q 1 ·u+q 2 ·v) . Так как сумма q 1 ·u+q 2 ·v является целым числом, то равенство вида a·u+b·v=c·(q 1 ·u+q 2 ·v) доказывает, что a·u+b·v делится на c .

На этом закончим обзор основных свойств делимости.

Список литературы.

Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
Виноградов И.М. Основы теории чисел.
Михелович Ш.Х. Теория чисел.
Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Называют числа, используемые для счета. Каждому количеству предметов счета соответствует некоторое натуральное число. Если предметов для счета нет, то используется число 0, но при счете предметов мы никогда не начинают с 0, и соответственно число 0 нельзя отнести к натуральным. Понятно, что наименьшим натуральное число является единица. Наибольшего натурального числа не существует, потому что каким бы большим не было число, всегда можно прибавить к нему 1 и записать следующее натуральное число.

Разберем простейший пример деления: разделим число 30 на число 5 (остаток при делении числа 30 на число 5 равен 0), по- сколку 30 = 5 . 6. Значит число 30 делится нацело на число 5. Число 5 - делитель числа 30, а число 30 — кратно числу 5.

Натуральное число k n , если найдётся такое натуральное число m , для которого справедливо равенство k = n . m .

Или другими словами, чтобы разделить одно число на другое, надо найти такое трете число, которое при умножении на второе дает первое

Если натуральное число k делится нацело на натуральное число n , то число k называют кратным числа ,

число n — делителем числа k .

Числа 1, 2, 3, 6, 10, 15, 30 также являются делителями числа 30, а число 30 является кратным каждого из этих чисел. Заметим, что число 30 не делится нацело, например, на число 7. Поэтому число 7 не является делителем числа 30, а число 30 не кратно числу 7.

Выполнив действия по делению говорят: «Число k делится нацело на число n », «Число n является делителем числа k », «Число k кратно числу n », «Число k является кратным числа n ».

Легко записать все делители числа 6. Это числа 1, 2, 3 и 6. А можно ли перечислить все числа, кратные числу 6? Числа 6. 1, 6. 2, 6. 3, 6. 4, 6. 5 и т. д. кратны числу 6. Получаем, что чисел, кратных числу 6, — бесконечно много. Поэтому перечислить их все невозможно.

Вообще, для любого натурального числа k каждое из чисел

k . 1, k . 2, k . 3, k . 4 , ...

является кратным числа k .

Наименьшим делителем любого натурального чис-ла k является число 1, а наибольшим делителем — само число k .

Среди чисел, кратных числу k , наибольшего нет, а наименьшее есть — это само число k .

Каждое из чисел 21 и 36 делится нацело на число 3, и их сумма, число 57, также делится нацело на число 3. Вообще, если каждое из чисел k и n делится нацело на число m , то и сумма k + n также делится нацело на число m .

Каждое из чисел 4 и 8 не делится нацело на число 3, а их сумма, число 12, делится нацело на число 3. Каждое из чисел 9 и 7 не делится нацело на число 5, и их сумма, число 16, не делится нацело на число 5. Вообще, если ни число k , ни число n не делятся нацело на число m , то сумма k + n может делиться, а может и не делиться нацело на число m.

Число 35 делится без остатка на число 7, а число 17 на число 7 нацело не делится. Сумма 35 + 17 нацело на число 7 также не делится. Вообще, если число k делится нацело на число m и число n не делится нацело на число m , то сумма k + n не делится нацело на число m.

Районная научно-исследовательская конференция школьников Лахденпохского муниципального района

«Шаг в будущее»

Проект по математике на тему:

Выполнила: Галкина Наталья

ученица 7 класса

МКОУ «Элисенваарской СОШ»

Руководитель: Васильева

Лариса Владимировна

учитель математики

МКОУ «Элисенваарской СОШ»

Введение 3 стр.

Из истории математики 4 стр.

Основные понятия 4 стр.

Классификация признаков делимости: 5 стр.

Делимость чисел определяется по последней(им) цифре(ам) 5 – 6 стр.
Делимость чисел определяется по сумме цифр числа: 6 стр.
Делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа 6 - 9 стр.
Для определения делимости числа используются другие признаки 9 – 10 стр.

Применение признаков делимости на практике 10 – 11 стр.

Заключение 11 стр.

Библиографический список 12 стр.

Введение

Актуальность исследования : Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов. При изучении на уроках математики темы «Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость. Было предположено, что если можно определить делимость чисел на эти числа, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел и на другие числа. В некоторых случаях, для того, чтобы узнать делится ли какое-либо натуральное число a на натуральное число b без остатка, не обязательно делить данные числа. Достаточно знать некоторые признаки делимости.

Гипотеза – если существуют признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, то существуют и другие признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел.

Цель исследования – дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изучаемые в школе и систематизировать эти признаки делимости.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

Самостоятельно исследовать делимость чисел.

Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.

Объединить и обобщить признаки из разных источников.

Сделать вывод.

Объект исследования – изучение всевозможных признаков делимости.

Предмет исследования – признаки делимости.

Методы исследования – сбор материала, обработка данных, сравнение, анализ, обобщение.

Новизна: в ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.

Из истории математики

Блез Паскаль (родился в 1623 году) - один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскальумер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем названы единица давления (паскаль) и весьма популярный сегодня язык программирования. Блез Паскаль нашёл общий

Признак Паскаля - метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Своего рода «универсальный признак делимости».

Признак делимости Паскаля: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b , делится на это число.

Например : число 2814 делится на 7, так как 2·6+8·2+1·3+4=35 делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

Основные понятия

Вспомним некоторые математические понятия, которые нам будут необходимы при изучении данной темы.

Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое.

Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.

Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя.

Составными называются числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме 1 и самого себя.

Признаки делимости

Все рассмотренные мною в данной работе признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

Рассмотрим более подробно каждую из этих групп.

Делимость чисел определяется по последней (им) цифре (ам)

К первой группе рассмотренных мною признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 и разрядные единицы 10, 100 и т.д.

Признак делимости на 2 : число делится на 2 тогда, когда последняя цифра этого числа делится на 2 (т.е. последняя цифра является чётным числом).

Например : 32217864 : 2

Признак делимости на 4 : число делится на 4 тогда, когда две его последние цифры – нули, либо когда двузначное число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Например , 35324 : 4; 6600 : 4

Признак делимости на 5 : число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра - 5 или 0.

Например : 36780 : 5 или 123265 : 5

Признак делимости на 8: число делится на 8 тогда, когда на 8 делится трехзначное число, образованное из трех последних цифр этого числа.

Например : 432240 : 8

Признак делимости на 20: число делится на 20 тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20. (Другая формулировка: число делится на 20 тогда, когда последняя цифра числа - 0, а предпоследняя - чётная).

Например : 59640 : 20

Признак делимости на 25: на 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, которое делится на 25.

Например : 667975 : 25 или 7768900 : 25

Признак делимости на 50: число делится на 50 тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.

Например : 564350 :50 или 554300 :50

Признак делимости на 125: число делится на 125, если три его последние цифры нули или образуют число, которое делится на 125.

Например : 32157000 :125 или 3216250 :125

на разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы.

Например , 12 000 делится на 10, 100 и 1000.

Делимость чисел определяется по сумме цифр числа

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся рассмотренные мною признаки делимости на 3, 9, 11.

Признак делимости на 3: число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3.

Например : 5421: 3 т.к. 5+4+2+1=12, (12:3)

Признак делимости на 9: число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Например : 653022: 9 т.к. 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

Признак делимости на 11: на 11 делятся те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, кратное 11.

Например : 865948732:11 т.к. 8+5+4+7+2=26 и 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 т.к. 8+5+4+7+2=26 и 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

Делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами этого числа

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 101

Признак делимости на 6:

Признак 1 : число делится на 6 тогда, когда результат вычитания удвоенного числа сотен из числа, стоящего после сотен делится на 6.

Например, 138: 6 т.к. 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 т.к. 44 – 7·2=30, (30:6)

Признак 2 : число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6.

Например, 768:6 т.к. 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

Признаки делимости на 7:

Признак 1 : число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.

Например, число 154:7, т.к. на 7 делятся 15·3 + 4 = 49 (49:7)

Признак 2 : число делится на 7 тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7.

Например , 138689257:7, т.к. ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Признаки делимости на 11:

Признак 1 : число делится на 11 тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.

Например , 9163627:11, т.к. ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

Признак 2 : число делится на 11 тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например , 103785:11, т.к. 10+37+85=132 и 01+32=33 (33:11)

Признаки делимости на 13:

Признак 1 : число делится на 13 тогда, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.

Например , 845:13, т.к. 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

Признак 2 : число делится на 13 тогда, когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13.

Например , 845:13, т.к. 84-5·9=39 (39:13)

Признак делимости на 17: число делится на 17 тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.

Например , 221:17, т.к. ǀ22-5·1ǀ=17

Признаки делимости на 19: число делится на 19 тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Например , 646:19, т.к. 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

Признаки делимости на 23:

Признак 1 : число делится на 23 тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

Например , 28842:23, т.к. 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

Признак 2 : число делится на 23 тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23.

Например , 391:23, т.к. 3 9+7·1=46 (46:23)

Признак 3 : число делится на 23 тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.

Например , 391:23, т.к. 3+7·9+3·1=69 (69:23)

Признак делимости на 27: число делится на 27 тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Например , 2705427:27 т.к. 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Признак делимости на 29: число делится на 29 тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.

Например , 261:29, т.к. 26+3·1=29 (29:29)

Признак делимости на 31: число делится на 31 тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31.

Например , 217:31, т.к. ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Признаки делимости на 33: если сумма, составленная при разбивании числа справа налево на группы по две цифры, делится на 33, то и число делится на 33.

Например , 396:33, т.к. 96+3=99 (99:33)

Признаки делимости на 37:

Признак 1 : число делится на 37 тогда, когда при разбиении числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

Например , число 100048:37, т.к. 100+048=148, (148:37)

Признак 2 : число делится на 37 тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь.

Например , число 481:37, так как на 37 делится ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37

Признаки делимости на 41:

Признак 1 : число делится на 41 тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41.

Например, 369:41, т.к. ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

Признак 2 : чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на группы по 5 цифр в каждой. Затем в каждой группе первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью - на 18, четвёртую - на 16, пятую - на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и само число будет делиться на 41.

Признак делимости на 59: число делится на 59 тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59.

Например , 767:59, т.к. 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

Признак делимости на 79: число делится на 79 тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79.

Например , 711:79, т.к. 71+8·1=79, (79:79)

Признак делимости на 99: число делится на 99 тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например , 12573:99, т.к. 1+25+73=99, (99:99)

Признак делимости на 101: число делится на 101 тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «–» делится на 101.

Например

Для определения делимости числа используются другие признаки делимости

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60 и т.д. Эти все числа - составные. Признаки делимости составных чисел строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число.

Признак делимости на 6:

Признак 1 : число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть, если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

Например , 768:6, т.к. 7+6+8=21 (21:3) и последняя цифра в числе 768 – четная.

Признак делимости на 12 : число делится на 12, тогда, когда оно одновременно делится на 3 и на 4.

Например, 408:12, т.к. 4+0+8=12 (12:3) и две последние цифры делятся на 4 (08:4)

Признак делимости на 14: число делится на 14 тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Например, число 45612:14 т. к. оно делится и на 2 и на 7 , значит, оно делится и на 14.

Признак делимости на 15: число делится на 15 тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Например, 1146795:15 т.к. это число делится и на 3 и на 5.

Признаки делимости на 27: число делится на 27 тогда, когда оно делится на 3 и на 9.

Например , 511704:27 т.к. 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 и 18:9)

Признаки делимости на 30: число делится на 30 тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.

Например , 510:30 т.к. 5+1+0=6 (6:3) и в числе 510 (последняя цифра 0)

Признаки делимости на 60: для того, чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4, на 3, на 5.

Например , 1620:60 т.к. 1+6+2+0=9 (9:3), число 1620 заканчивается 0, т.е. делится на 5 и 1620: 4 т.к. две последние цифры 20:4

Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать школьники и взрослые при решении реальных ситуаций; учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятий на повторение.

Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. А также будет полезно и для учеников, целью которых стали высокие места на городских олимпиадах.

Задача № 1 . Можно ли, используя только цифры 3 и 4, записать:

число, которое делиться на 10;

четное число;

число, кратное 5;

нечетное число

Задача № 2

Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 1.

Напишите наибольшее из таких чисел.

Напишите наименьшее из таких чисел.

Ответ: 987652413; 102347586

Задача № 3

Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Ответ: 8910

Задача № 4

Оля задумала простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: только на 7. Есть 4 числа удовлетворяющие условию задачи: 167, 257, 347, 527

Задача № 5

В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?

Решение: В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное количество детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).

Задача № 6

В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, ½ - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких рабо

Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 неуспевающий. Математические отношение отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.

Ответ: 1 работа.

Заключение :

В результате выполнения данной работы я узнала, что кроме известных мне признаков делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще и другие признаки делимости натуральных чисел. Полученные знания значительно ускоряет решение многих задач. И я смогу использовать эти знания в своей учебной деятельности, как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях. Следует так же отметить, что формулировки некоторых признаков делимости сложные. Может быть, поэтому они не изучаются в школе. Предполагаю и в дальнейшем продолжить работу по изучению признаков делимости натуральных чисел.

Энциклопедический словарь юного математика. Савин А.П. Москва «Педагогика» 1989.

Математика. Дополнительные материалы к уроку математики 5-11 классы. Рязановский А.Р., Зайцев Е.А. Москва «Дрофа» 2002.

За страницами учебника математики. Виленкин Н.Я., Депман И.Я. М.: Просвещение, 1989.

Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва. «Просвещение» 1984 г. В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь.

«1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний» Москва. «Мир книги» 2004.

Факультативный курс по математике. Никольская И.Л. – Москва. Просвещение 1991.

Олимпиадные задачи по математике и методы их решения. Фарков А. В. - Москва. 2003г.

Интернет ресурсы.

Просмотр содержимого презентации
«Признаки делимости натуральных чисел»

Районная научно-исследовательская конференция школьников

Лахденпохского муниципального района «Шаг в будущее»

«Признаки делимости натуральных чисел»

Выполнила: Галкина Наталья

ученица 7 класса

МКОУ «Элисенваарской СОШ»

Руководитель: Васильева Лариса Владимировна

учитель математики МКОУ «Элисенваарской СОШ»

2014 г.

Актуальность исследования : Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов. При изучении на уроках математики темы «Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость. Было предположено, что если можно определить делимость чисел на эти числа, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел и на другие числа. В некоторых случаях, для того, чтобы узнать делится ли какое-либо натуральное число a на натуральное число b без остатка, не обязательно делить данные числа. Достаточно знать некоторые признаки делимости. Гипотеза – если существуют признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, то существуют и другие признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел. Цель исследования – дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изучаемые в школе и систематизировать эти признаки делимости. Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

Самостоятельно исследовать делимость чисел.
Изучить дополнительную литературу с целью ознакомления с другими признаками делимости.
Объединить и обобщить признаки из разных источников.
Сделать вывод. Объект исследования – делимость натуральных чисел. Предмет исследования – признаки делимости. Методы исследования – сбор материала, обработка данных, сравнение, анализ, обобщение. Новизна : в ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.

Из истории математики

Блез Паскаль (родился в 1623 году) - один из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль умер, когда ему было 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем названы единица давления (паскаль) и весьма популярный сегодня язык программирования. Блез Паскаль нашёл общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число.

Признак делимости Паскаля: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Например : число 2814 делится на 7, так как 2·6+8·2+1·3+4=35 делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

Основные понятия

Вспомним некоторые математические понятия, которые нам будут необходимы при изучении данной темы:

Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно установить, делится ли одно число на другое.

Делителем натурального числа а называют натуральное число b , на которое а делится без остатка.

Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя.

Составными называются числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме 1 и самого себя.

Признаки делимости

Все рассмотренные мною в данной работе признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

I . Делимость чисел определяется по последней (им) цифре (ам)

Признак делимости на 2 : число делится на 2 тогда, когда последняя цифра этого числа делится на 2 (т.е. последняя цифра является чётным числом).

Например : 3221786 4 : 2

Признак делимости на 4 : число делится на 4 тогда, когда две его последние цифры – нули, либо когда двузначное число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Например: 353 24 : 4; 66 00 : 4

Признак делимости на 5 : число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра - 5 или 0.

Например: 3678 0 : 5 или 12326 5 : 5

Признак делимости на 8: число делится на 8 тогда, когда на 8 делится трехзначное число, образованное из трех последних цифр этого числа.

Например: 432 240 : 8

Признак делимости на 20: число делится на 20 тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20. (Другая формулировка: число делится на 20 тогда, когда последняя цифра числа - 0, а предпоследняя - чётная).

Например: 596 40 : 20

Признак делимости на 25: на 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, которое делится на 25.

Например: 6679 75 : 25 или 77689 00 : 25

Признак делимости на 50: число делится на 50 тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.

Например : 5643 50 : 50 или 5543 00 : 50

Признак делимости на 125: число делится на 125, если три его последние цифры нули или образуют число, которое делится на 125.

Например: 32157 000 : 125 или 3216 250 : 125

Признаки делимости на разрядную единицу 10, 100, 1000 и т.д.: на разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы.

Например, 12 000 делится на 10, 100 и 1000

II . Делимость чисел определяется по сумме цифр числа

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся рассмотренные мною признаки делимости на 3, 9, 11

Признак делимости на 3: число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3.

Например: 5421: 3 т.к. 5+4+2+1=12, (12:3)

Признак делимости на 9: число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Например: 653022: 9 т.к. 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

Признак делимости на 11: на 11 делятся те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, кратное 11.

Например: 865948732:11 т.к. 8+5+4+7+2=26 и 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 т.к. 8+5+4+7+2=26 и 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

III . Делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий

над цифрами этого числа

К этой группе признаков делимости натуральных чисел относятся признаки делимости на: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 99, 101

Признак делимости на 6:

Признак 1: число делится на 6 тогда, когда результат вычитания удвоенного числа сотен из числа, стоящего после сотен делится на 6.

Например: 138: 6 т.к. 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 т.к. 44 – 7·2=30, (30:6)

Признак 2: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6.

Например: 768:6 т.к. 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

Признаки делимости на 7:

Признак 1: число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.

Например: число 154:7, т.к. на 7 делятся 15·3 + 4 = 49 (49:7)

Признак 2: число делится на 7 тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7.

Например, 138689257:7, т.к. ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Признаки делимости на 11:

Признак 1: число делится на 11 тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.

Например, 9163627:11, т.к. ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

Признак 2: число делится на 11 тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, 103785:11, т.к. 10+37+85=132 и 01+32=33 (33:11)

Признаки делимости на 13:

Признак 1: число делится на 13 тогда, когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13

Например, 845:13, т.к. 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

Признак 2: число делится на 13 тогда, когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13.

Например, 845:13, т.к. 84-5·9=39 (39:13)

Признак делимости на 17: число делится на 17 тогда, когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.

Например, 221:17, т.к. ǀ22-5·1ǀ=17

Признаки делимости на 19: число делится на 19 тогда, когда число десятков, с ложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Например, 646:19, т.к. 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

Признаки делимости на 23:

Признак 1: число делится на 23 тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

Например, 28842:23, т.к. 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

Признак 2: число делится на 23 тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23.

Например, 391:23, т.к. 39+7·1=46 (46:23)

Признак 3: число делится на 23 тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.

Например, 391:23, т.к. 3+7·9+3·1=69 (69:23)

Признак делимости на 27: число делится на 27 тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Например, 2705427:27 т.к. 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Признак делимости на 29: число делится на 29 тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29

Например, 261:29, т.к. 26+3·1=29 (29:29)

Признак делимости на 31: число делится на 31 тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31.

Например, 217:31, т.к. ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Признаки делимости на 33: если сумма, составленная при разбивании числа справа налево на группы по две цифры, делится на 33, то и число делится на 33.

Например, 396:33, т.к. 96+3=99 (99:33)

Признаки делимости на 37:

Признак 1 : число делится на 37 тогда, когда при разбиении числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

Например , число 100048:37, т.к. 100+048=148, (148:37)

Признак 2: число делится на 37 тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь.

Например, число 481:37, так как на 37 делится ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37

Признаки делимости на 41:

Признак 1: число делится на 41 тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41.

Например, 369:41, т.к. ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на группы по 5 цифр в каждой. Затем в каждой группе первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью - на 18, четвёртую - на 16, пятую - на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и само число будет делиться на 41.

Признак делимости на 59: число делится на 59 тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59.

Например, 767:59, т.к. 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

Признак делимости на 79: число делится на 79 тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79.

Например, 711:79, т.к. 71+8·1=79, (79:79)

Признак делимости на 99: число делится на 99 тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, 12573:99, т.к. 1+25+73=99, (99:99)

Признак делимости на 101: число делится на 101 тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «–» делится на 101.

Например , 590547:101, т.к. ǀ59-5+47ǀ=101, (101:101)

IV . Для определения делимости числа используются другие признаки делимости

Признак делимости на 6: число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3, то есть, если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

Например, 768:6, т.к. 7+6+8=21 (21:3) и последняя цифра в числе 768 – четная.

Признак делимости на 12 : число делится на 12, тогда, когда оно одновременно делится на 3 и на 4.

Например, 408:12, т.к. 4+0+8=12 (12:3) и две последние цифры делятся на 4 (08:4)

Признак делимости на 14: число делится на 14 тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Например, число 45612:14 т. к. оно делится и на 2 и на 7 , значит, оно делится и на 14

Признак делимости на 15: число делится на 15 тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Например, 1146795:15 т.к. это число делится и на 3 и на 5

Признаки делимости на 27: число делится на 27 тогда, когда оно делится на 3 и на 9. Например, 511704:27 т.к. 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 и 18:9)

Признаки делимости на 30: число делится на 30 тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.

Например, 510:30 т.к. 5+1+0=6 (6:3) и в числе 510 (последняя цифра 0)

Признаки делимости на 60: для того, чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4, на 3, на 5.

Например, 1620:60 т.к. 1+6+2+0=9 (9:3), число 1620 заканчивается 0, т.е. делится на 5 и 1620: 4 т.к. две последние цифры 20:4

Применение признаков делимости на практике

Задача № 1 . Можно ли, используя только цифры 3 и 4, записать:

число, которое делиться на 10;
четное число;
число, кратное 5;
нечетное число

Задача № 3 : Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Ответ: 8910

Задача № 4: Оля задумала простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Ответ: только на 7. Есть 4 числа удовлетворяющие условию задачи: 167, 257, 347, 527

Задача № 5 : В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?

Решение: В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное количество детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).

Задача № 6 : В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, ½ - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?

Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 неуспевающий. Математические отношение отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.

Ответ: 1 работа.

Заключение:

В результате выполнения данной работы я узнала, что кроме известных мне признаков делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще и другие признаки делимости натуральных чисел. Полученные знания значительно ускоряют решение многих задач. И я смогу использовать эти знания в своей учебной деятельности, как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях. Следует так же отметить, что формулировки некоторых признаков делимости сложные. Может быть, поэтому они не изучаются в школе. Предполагаю и в дальнейшем продолжить работу по изучению признаков делимости натуральных чисел.

Энциклопедический словарь юного математика. Савин А.П. Москва «Педагогика» 1989.
Математика. Дополнительные материалы к уроку математики 5-11 классы. Рязановский А.Р., Зайцев Е.А. Москва «Дрофа» 2002.
За страницами учебника математики. Виленкин Н.Я., Депман И.Я. М.: Просвещение, 1989.
Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. Москва. «Просвещение» 1984 г. В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь.
«1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний» Москва. «Мир книги» 2004.
Факультативный курс по математике. Никольская И.Л. – Москва. Просвещение 1991.
Олимпиадные задачи по математике и методы их решения. Фарков А. В. - Москва. 2003г.
Интернет ресурсы.

Натуральные числа

Множество натуральных чисел, используемых для счета или перечисления.

Формально множество натуральных чисел можно задать с помощью системы аксиом Пеано.

С истема аксиом Пеано

1. Единица - натуральное число, которое не следует ни за каким числом.

2. Для любого натурального числа существует единственное число
которое непосредственно следует за .

3. Каждое натуральное число
следует непосредственно лишь за одним числом.

4. Если некоторое множество
содержит и вместе с каждым натуральным числом содержит непосредственно следующее за ним число то
(аксиома индукции).

Операции на множестве

Умножение

Вычитание :

Свойства вычитания: Если
то

Если
то

Делимость натуральных чисел

Деление : делится на
такое, что

Свойства операций:

1. Если
делятся на то
делится на

2. Если
и
делятся на то
делится на

3. Если
и делятся на то делится на

4. Если делится на то
делится на

5. Если
делятся на а не делятся на то то
не делится на

6. Если или делятся на то
делится на

7. Если делится на
то делится на и делится на

Теорема о делении с остатком Для любых натуральных чисел
существуют и единственные положительные числа
такие, что
причем

Доказательство . Пусть
Рассмотрим следующий алгоритм:

Если

Если
то сделаем еще одно вычитание

Продолжаем процесс вычитания до тех пор, пока остаток не будет меньше числа

Существует число такое, что

Сложим все строки данного алгоритма и получим требуемое выражение, где

Единственность представления будем доказывать методом "от противного".

Предположим, что существует два представления

и
Вычтем одно выражение из другого причем
Последнее равенство в целых числах возможно только в случае так как
при
□

Следствие 1 . Всякое натуральное число можно представить в виде:
или или

Следствие 2 . Если
подряд стоящих натуральных чисел, то одно из них делится на

Следствие 3 . Если
два последовательных четных числа, то одно из них делится на

Определение. Натуральное число называется простым, если оно не имеет делителей, кроме единицы и самого себя.

Следствие 4. Всякое простое число имеет вид
или

Действительно, всякое число можно представить в виде однако все числа этого ряда, кроме
точно являются составными. □

Следствие 5 . Если
простое число, то
делится на

Действительно,
три подрядстоящих натуральных числа, причем,
четные, а
нечетное простое. Следовательно, одно из четных чисел
и
делится на 4, а одно – еще и на □

Пример 2 . Справедливы следующие утверждения:

1.Квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток

2. Ни при каком натуральном n число n 2 +1 не делится на 3.

3. Используя только цифры 2, 3, 7, 8 (возможно, по несколько раз), нельзя составить квадрат натурального числа.

Доказательство 1. Всякое нечетное число можно представить в виде
или
Возведем каждое из этих чисел в квадрат и получим требуемое утверждение.

Доказательство 2. Всякое натуральное число можно представить в виде
Тогда выражение
будет равно одному из выражений
которые не делятся на

Доказательство 3. Действительно, последняя цифра квадрата натурального числа не может заканчиваться ни на одну из этих цифр.

Признаки делимости

Определение. Десятичным представлением натурального числа называется представление числа в виде

Сокращенная запись

Признаки делимости на

Утв.6 Пусть
десятичное представление числа числа Тогда:

1. Число делится на
когда цифра - четная;

2. Число делится на когда двузначное число
делится на

3. Число делится на когда
либо

4. Число делится на
когда

5. Число делится на
когда двузначное число
- делится на

6. Число делится на

7. Число делится на когда сумма цифр числа делится на

8. Число делится на
когда сумма цифр числа с чередующимися знаками делится на

Доказательство. Доказательство признаков 1)-5) легко получается из десятичной записи числа Докажем 6) и 7). Действительно,

Отсюда следует, что если делится (или
то сумма цифр числа тоже делится на

Докажем 11). Пусть делится на Представим число в виде

Так как все слагаемые суммы делятся на
то сумма тоже делится на □

Пример 3 . Найдите все пятизначные числа вида
, которые делятся на 45.

Доказательство.
Поэтомучисло делится на 5, и последняя цифра у него равна 0 или 5, т.е.
или
Исходное число делится и на 9, поэтому делится на 9, т.е.
или делится на 9, т.е.

Ответ:

Признак делимости на и

Утв.7 Пусть десятичное представление числа числа Число делится на
когда разность между числом без трех последних знаков и числом, составленным из трех последних знаков, делится на

Доказательство. Представим в виде Так как число
делится на и
то
делится на и □

Пример 4 . Пусть
Тогда
делится на и, следовательно, число
делится на

Пусть
Тогда

делится на Тогда число
делится на

Простые числа

Решето Эратосфена

(Простой алгоритм получения всех простые чисел)

Алгоритм. Выписываем все числа от 1 до 100 и вычеркиваем сначала все четные. Затем, из оставшихся вычеркиваем делящиеся на 3, 5, 7 и т.д. В результате останутся только простые числа.

Теорема Евклида . Число простых чисел бесконечно.

Доказательство "от противного". Пусть число простых чисел конечно -
Рассмотрим число
Вопрос: число - простое или составное?

Если - составное число, то оно делится на некоторое простое число и, следовательно, единица делится на это простое число. Противоречие.

Если - простое число, то оно больше любого простого числа
а все простые числа мы выписали и пронумеровали. Опять противоречие. □

Утв.8 Если число является составным, то оно имеет простой делитель такой, что

Доказательство. Если - наименьший простой делитель составного числа
то

Следствие. Чтобы определить является ли число простым, надо определить имеет ли оно простые делители

Пример 5 . Пусть
Чтобы проверить, является ли число
простым, надо проверить, делится ли на простые числа Ответ: число
простое.

Генераторы простых чисел

Гипотеза: Все числа вида
простые.

При
- это простые числа
для
вручную и с помощью компьютера доказано, что все числа составные.

Например, (Эйлер)

Гипотеза: Все числа вида
простые.

При
это так, а
делится на 17.

Гипотеза : Все числа вида
простые.

При
это так, а

Гипотеза: Все числа вида простые. При
это так, а

Теорема. (Метод Ферма выделения множителей) Целое нечетное число не является простым
существуют натуральные числа и такие, что
Доказательство.

□

Пример 6 . Разложить на простые сомножители числа

Пример 7 . Разложить на множители число
Это число делится на 3
Далее, по методу выделения множителей,

Пример 8 . При каких целых число

простое?

Заметим, что Так как
простое, то либо
либо
Ответ:

Утв. 10 Натуральное число имеет нечетное число делителей когда оно является полным квадратом?

Доказательство. Если
делитель числа
то имеет две различные пары делителей
и
а при
обе пары будут равны.

Пример 9 . Числа имеют ровно по 99 делителей. Может ли число иметь ровно 100 делителей?

Ответ: нет. Действительно по предыдущему свойству и - полные квадраты, а их произведение – нет.

Пример 10 . Числа
простые. Найти

Решение. Всякое число можно представить в виде
Если
то получаются три простых числа
удовлетворяющих условию задачи. Если
то
составное. Если
то число
делится на а если
то число
делится на Таким образом, во всех рассмотренных вариантах три простых числа не получается. Ответ:

Определение. Число называется наибольшим общим делителем чисел и если оно делит и и является наибольшим из таких чисел.

Обозначение:

Определение . Числа и называются взаимно простыми, если

Пример 1 2 . Решить в натуральных числах уравнение

Решение. Пусть

Следовательно, уравнение имеет вид Ответ: Решений нет.

О сновная теорема арифметики

Теорема. Любое натуральное число больше либо является простым числом, либо может быть записано в виде произведения простых чисел, причем это произведение единственно с точностью до порядка сомножителей.

Следствие 1. Пусть

Тогда
равен произведению всех общих простых сомножителей с наименьшими степенями.

Следствие 2. Пусть
Тогда
равно произведению всех различных простых сомножителей с наибольшими степенями. делится на

10. Найдите последнюю цифру числа 7 2011 + 9 2011 .

11. Найдите все натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить ноль.

12.К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получилось число в 23 раза больше первоначального. Найдите это число.

Вопросы по теории или упражнениям можно задать Валерию Петровичу Чувакову

chv @ uriit . ru

Дополнительная литература

1. Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. –М.: Просвещение, 2008.

2. Севрюков П.Ф. Подготовка к решению олимпиадных задач по матемаике. –М.: Илекса, 2009.

3. Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К. Как решают нестандартные задачи. –М. МЦНМО, 2009.

4. Агаханов Н.А., Подлипский О.К. Математические олимпиады Московской области. –М.: Физматкнига, 2006

5. Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных заадач, –М.:МЦНМО, 2004

Лекция

Конспект лекций по курсу «теория чисел»

Лекция

Следующие разделы теории чисел : теория делимости , простые и составные... Теорема. Пусть x>0, xR, dN. Количество натуральных чисел , кратных d и не превосходящих x, равно... Лекция 12 13 Лекция 13 15 Литература. 17 Конспект лекций по курсу «Теории чисел» ...

Конспект лекций по к ультурологии

Конспект

Павлюченков Конспект лекций по культурологии... неравномерно и существовали в рамках натурального хозяйства. Именно в полисе... исследования бесконечно малых чисел во многом завершили создание... то время как материальные делимы до бесконечности. Духовные...

Д А Шадрин Логика конспект лекций

Конспект

Представляет собой конспект лекций по дисциплине «Логика». Конспект лекций составлен в... этого служит определение натуральных чисел . Так, если 1 - натуральное число и n - натуральное число, то 1 ... исчерпывают весь объем делимого понятия, поэтому...