В предыдущих главах рассматривались пять действий над рациональными числами: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.
В настоящей главе будем рассматривать алгебраические выражения, составленные с помощью этих пяти действий. Все такие выражения называются рациональными.
Определение 1. Алгебраические выражения, составленные из чисел, обозначенных цифрами и буквами, с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень, называются рациональными.
Примеры рациональных выражений.
2. Целые и дробные выражения.
Рассмотрим следующие рациональные выражения:
При рассмотрении различных выражений в алгебре обращают главное внимание на действия, которые надо произвести над числами, обозначенными буквами.
Первое и второе из этих выражений совсем не содержат действия деления на числа, обозначенные буквами. Такие выражения называются целыми.
Второе выражение содержит действие деления на число 4, обозначенное цифрой. Но мы можем, разделив сначала 5 на 4, записать это второе выражение так:
Выражение
также является целым; его можно представить в виде
Наконец, третье выражение содержит деление на число, записанное буквой. (Говорят также, что это выражение имеет буквенный делитель.) Такие выражения называются дробными.
Ещё примеры дробных выражений:
Определение 2. Рациональное выражение называется целым, если оно не содержит деления на буквенное выражение.
Определение 3. Рациональное выражение называется дробным, если оно содержит деление на буквенное выражение.
Можно короче сказать: рациональное алгебраическое выражение называется целым или дробным, смотря по тому, имеет или не имеет оно буквенного делителя.
3. Одночлен.
Из целых выражений наиболее простыми считаются такие, которые содержат только действия умножения и возведения в степень, например:
Такие выражения называются одночленами.
Определение 4. Алгебраическое выражение, которое содержит только действия умножения и возведения в степень, называется одночленом.
Таким образом, одночлен представляет собой произведение числового множителя и букв, каждая из которых взята в определённой степени.
Примечание. Так как возведение в степень есть частный случай умножения (мы можем, например, записать в виде то можно сказать, что одночлен содержит только одно действие - умножение.
Выражение, состоящее только из одной буквы, также считается одночленом.
Одночленом считается и всякое отдельное число, записанное цифрами.
Выражение вида тоже считается одночленом, так как хотя оно и содержит деление, но делитель 4 мы можем отнести к числовому множителю и записать выражение так:
4. Многочлен.
Несколько одночленов, соединённых знаками сложения и вычитания, образуют новое алгебраическое выражение, которое называется многочленом.
Например:
Мы уже знаем, что всегда вычитание можно заменить сложением, и всякое выражение, в которое входят сложение и вычитание, представляет собой алгебраическую сумму. Например, приведённое выше выражение можно записать так:
Определение 5. Алгебраическая сумма нескольких одночленов называется многочленом.
Каждый одночлен, входящий в состав многочлена, называется его членом.
Многочлен, состоящий из двух членов, называется также двучленом; многочлен, состоящий из трёх членов, называется трёхчленом и т. д.
Примеры двучленов:
Примеры трёхчленов:
Одночлен считается частным случаем многочлена: это многочлен, состоящий из одного члена.
Примечание. Изучив действия над одночленами и многочленами, мы сможем любое целое алгебраическое выражение представить в виде алгебраической суммы одночленов (в частности, может получиться одночлен). Поэтому всякое целое выражение, как например
считается многочленом. Алгебраическая сумма одночленов есть так называемый нормальный (обычный), простейший вид целого алгебраического выражения. С этого простейшего вида мы и начнём изучать многочлены.
Дробные рациональные выражения, как например
19. Возьмем формулу
мы ее читали так: «разность числе a и b». Мы можем в этой формуле число a заменить нулем; тогда она обратится в
0 – b или просто в –b.
Из нуля вычесть b значит, согласно тому, что мы знаем о вычитании относительных чисел, к нулю приписать число b, взятое с обратным знаком. Поэтому выражение –b должно понимать, как число, обратное по знаку числу b. Если, напр., b = +5, то –b = –5; если b = –4, то –b = +4 и т. п. Если мы напишем выражение +a, то его надо понимать, как число, равное числу a. Если a = +5, то +a = +5; если a = –4, то +a = 4 и т. п.
Поэтому формулу
мы можем понимать, без различия результата, или в смысле
или в смысле
Таким образом мы всегда можем заменять вычитание сложением и всякую разность понимать, как сумму двух чисел:
a – b есть сумма чисел a и (–b)
x – y есть сумма чисел x и (–y)
–a – b есть сумма чисел (–a) и (–b) и т. п.
Те формулы, где, с точки зрения арифметики, имеют место несколько сложений и вычитаний, напр.,
a – b + c + d – e – f,
мы можем теперь, с точки зрения алгебры, понимать только, как сумму, а именно:
a – b + c + d – e – f = (+a) + (–b) + (+c) + (+d) + (–e) + (–f).
Поэтому принято подобные выражения называть именем «алгебраическая сумма».
20. Возьмем какую-нибудь алгебраическую сумму
a – b – c или –3bc² + 2ab – 4a²b и т. п.
Принято называть эти выражения именем многочлен , причем это слово заменяет собою слово «сумма» или название «алгебраическая сумма». Мы знаем что
a – b – c = (+a) + (–b) + (–c)
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) и т. п.
Отдельно каждое слагаемое называют именем член многочлена.
Первый многочлен,
состоит из трех членов: (+a), (–b) и (+c).
Второй многочлен,
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b,
состоит из четырех членов: (–abc), (–3bc²), (+2ab) и (–4a²b).
Слагаемые суммы можно переставлять в любом порядке:
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) =
= (+2ab) + (–3bc²) + (–4a²b) + (–abc) = 2ab – 3bc² – 4a²b – abc.
Это свойство суммы теперь можно выразить иначе: члены многочлена можно переставлять в любом порядке. Это и сделано выше для многочлена –abc – 3bc² + 2ab – 4a²b, притом так, что впереди теперь оказался член (+2ab). Это позволило несколько упростить выражение: впереди знак + можно не писать. Конечно, надо подобные перестановки делать сразу, не заключая предварительно (как выше) каждое слагаемое в скобки.
Еще пример:
1 – 3a + 2a² – a³ + 3a 4 = 3a 4 – a³ + 2a² – 3a + 1.
Первый член этого многочлена был первоначально (+1) – знак + подразумевался перед единицею; когда мы переносим этот член на другое, кроме первого, место (выше мы перенесли его на последнее место), то уже этот знак + пропускать нельзя.
Мы можем заметить, что в предыдущем примере мы перестановкою членов многочлена достигли некоторого порядка: на первом месте стоит член с буквою a в 4-ой степени, на следующем – член с буквою a в 3-ей степени, потом идет член с буквою a во 2-ой степени, потом – a в 1-ой степени и, наконец, член, где буквы a вовсе нет.
Подобное расположение членов многочлена выражают словами «многочлен расположен по нисходящим степеням буквы a».
Вот еще примеры подобного расположения:
3x 5 – 2ax 3 + b (по нисходящим степеням буквы x)
a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4 (по нисходящим степеням буквы a)
3ab 5 – 4a 3 b 3 + 5a 4 b 2 – 2a 6 (по нисходящим степеням буквы b)
4x 4 – 3x 3 + 2x 3 (по нисходящим степеням буквы x).
Употребляют часто и обратное «по восходящим степеням» расположение, при котором степень избранной буквы постепенно повышается, причем в 1-м члене или вовсе этой буквы нет, или она имеет здесь наименьшую степень сравнительно с другими членами. О втором из предыдущих примеров мы могли бы сказать, что здесь многочлен расположен по восходящим степеням буквы b. Вот примеры:
3 – 2a + 3a 2 – 4a 3 (по восходящим степеням буквы a
);
–x + x 2 – 3x 3 – 4x 4 (по восходящим степеням буквы х
);
ax 2 – bx 3 + cx 5 – dx 6 (по восходящим степеням буквы x
);
a 3 – 2ab + b 2 (по восходящим степеням буквы b
или по нисходящим степеням буквы a);
3x 5 – 4yx 4 – 5y 3 x 2 – 6y 4 x (по нисходящим степеням буквы x или по восходящим степеням буквы y
).
21. Многочлен о двух членах называется двучленом (напр., 3a + 2b), о трех членах – трехчленом (напр., 2a² – 3ab + 4b²) и т. д. Возможно говорить о сумму из одного слагаемого (другое слагаемое равно нулю), или о многочлене об одном члене. Тогда уже, конечно, название «многочлен» неуместно и употребляется название «одночлен». Каждый член любого многочлена, взятый в отдельности, является одночленом. Вот примеры простейших одночленов:
2; –3a; a²; 4x³; –5x4; ab; ab²; –3abc; и т. д.
Почти все одночлены из выше написанных являются произведениями двух или более множителей, причем у большинства из них имеются и числовой множитель и буквенные. Напр., в одночлене –3abc имеется числовой множитель –3 и буквенные множители a, b и c; в одночлене 4x³ имеется числовой множитель +4 (знак + подразумевается) и буквенный множитель x³ и т. д. Если бы мы написали одночлен с несколькими числовыми множителями (а также и с буквенными), вроде следующего
,
то удобнее, переставив множителей так, чтобы числовые множители оказались рядом, т. е.
,
эти числовые множители перемножить – получим
–4a²bc² (точки, знаки умножения пропускаем).
Принято также, в громадном большинстве случаев, числовой множитель писать впереди. Пишут:
4a, а не a 4
–3a²b, а не a²(–3)b
Числовой множитель одночлена называется коэффициентом.
Если в одночлене не написан числовой множитель, например, ab, то можно всегда его подразумевать. В самом деле
a = (+1) ∙ a; ab = (+1)ab;
–a = (–1) ∙ a; a³ = (–1) ∙ a³ и т. п.
Итак, у одночленов a², ab, ab² подразумевается, у каждого, коэффициент 1 (точнее: +1). Если напишем одночлены –ab, –a², –ab² и т. п., то у них должно подразумевать коэффициент –1.
22. Более сложные примеры многочленов и одночленов.
(a + b)² + 3(a – b)² … эта формула выражает сумму двух слагаемых: первым является квадрат суммы чисел a и b, а вторым – произведение числа 3 на квадрат разности тех же чисел. Поэтому эту формулу должно признать двучленом: первый член есть (a + b)² и второй 3(a – b)². Если взять выражение (a + b)² отдельно, то в силу предыдущего, его надо считать одночленом, причем его коэффициент = +1.
a(b – 1) – b(a – 1) – (a – 1)(b – 1) … должно признать за трехчлен (сумма трех слагаемых): первый член есть a(b – 1) и его коэффициент = +1, второй член –b(a – 1), его коэффициент = –1, третий член –(a – 1)(b – 1), его коэффициент = – 1.
Иногда искусственно уменьшают число членов многочлена. Так трехчлен
можно, например, рассматривать за двухчлен, причем a + b, например, считают за один член (за одно слагаемое). Чтобы это яснее отметить, пользуются скобками:
Тогда у члена (a + b) подразумевается коэффициент +1
[в самом деле (a + b) = (+1)(a + b)].
Одночлен – это произведение двух или нескольких сомножителей, каждый из которых либо число, либо буква, либо степень буквы.
Например, 3 a 2 b 4 , b d 3 , – 17 a b c - одночлены.
Единственное число или единственная буква также могут считаться одночленом. Любой множитель в одночлене называется коэффициентом. Часто коэффициентом называют лишь числовой множитель. Одночлены называются подобными , если они одинаковы или отличаются лишь коэффициентами. Поэтому, если два или несколько одночленов имеют одинаковые буквы или их степени, они также подобны.
Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех его букв.
Сложение одночленов. Если среди суммы одночленов есть подобные, то сумма может быть приведена к более простому виду:
a x 3 y 2 – 5 b 3 x 3 y 2 + c 5 x 3 y 2 = (a – 5 b 3 + c 5 ) x 3 y 2 .
Эта операция называется приведением подобных членов . Выполненное здесь действие называется также вынесением за скобки .
Умножение одночленов . Произведение нескольких одночленов можно упростить, если только оно содержит степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатели степеней складываются, а числовые коэффициенты перемножаются.
П р и м е р: 5 a x 3 z 8 (– 7 a 3 x 3 y 2 ) = – 35 a 4 x 6 y 2 z 8 .
Деление одночленов . Частное двух одночленов можно упростить, если делимое и делитель имеют некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого, а числовой коэффициент делимого делится на числовой коэффициент делителя.
П р и м е р: 35 a 4 x 3 z 9: 7 a x 2 z 6 = 5 a 3 x z 3 .
Многочлен - это алгебраическая сумма одночленов . Степень многочлена есть наибольшая из степеней одночленов, входящих в данный многочлен.
Многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом, а из трех членов - трехчленом . Одночлены принято рассматривать как частный случай многочленов - считают, что это многочлены, состоящие из одного члена.
Если все члены многочлена являются одночленами стандартного вида и среди них нет подобных членов, то такой многочлен называют многочленом стандартного вида.
Представим в стандартном виде многочлен Заb-а 2 +b-2аb + 5b.
Для этого достаточно привести подобные слагаемые, т. е. подобные члены этого многочлена: Заb – а 2 + b - 2аb + 5b_ = аb - а 2 + 6b.
Если многочлен стандартного вида содержит одну переменную, то его члены обычно располагают в порядке убывания ее степеней. При этом свободный член многочлена, т. е. член, не содержащий буквы, помещают на последнем месте.
Например, многочлен 5х 2 + 1 - х 3 + 4х записывают так: -х 3 + 5х 2 + 4х - 1.
Наибольший показатель степени, в которой переменная входит в этот многочлен, равен 3. Говорят, что -х 3 +- 5х 2 + 4х - 1 - многочлен третьей степени .
Умножение сумм и многочленов. Произведение суммы двух или нескольких выражений на любое выражение равно сумме произведений каждого из слагаемых на это выражение.
В 7-м классе школьникам в рамках курса алгебры предстоит знакомство с новыми понятиями и темами. Для них открываются новые двери в увлекательном лабиринте под названием математика. В том числе начинается изучение одночленов и многочленов, а так же их применение.
Что это такое?
Для начала разберемся в понятиях. В математике есть много специфических выражений, многие из которых имеют свои закрепившиеся названия. Одно из таких слов — одночлен . Это математический термин, состоящий из произведения чисел, переменных, каждая из которых может входить в произведение в некоторой степени. Многочлен, согласно определению, это алгебраическое выражение, представляющее собой сумму одночленов. Часто возникает необходимость привести одночлен к его стандартному виду. Для этого нужно перемножить все числовые множители, присутствующие в одночлене, и поставить получившееся число на первое место. Потом перемножить все степени, у которых одинаковые буквенные основания. Многочлен так же приводят к стандартному виду, он являет собой произведение, составленное из числового множителя и степеней различных переменных.
Подводные камни
Казалось бы, ничего, на первый взгляд, фатально сложного, но для современных школьников существует ряд обстоятельств, которые могут омрачить картину. Большое количество предметов школьной программы, тотальная нехватка учебных часов, гуманитарный склад ума у многих детей, а также элементарная усталость могут сильно затруднить усвоение нового материала. Нередко случается так, что ребенок, не поняв что-то, стесняется или боится спросить учителя, а самостоятельно осилить тему у него не получается, и начинаются сложности.
Решаем проблему
Чтобы избежать этих «подводных камней», существует несколько способов. Во-первых, родителям школьников стоит обращать внимание на то, как их ребенок справляется с программой в целом и с пройденными темами в частности. Это не должно иметь форму жесткого надзора или контроля над ребенком, но целью нужно ставить формирование ответственного и серьезного подхода к учебе. Залогом этого есть доверительные отношения, но никак не страх.
Довольно распространенная ситуация в школе, когда ребенок, не понял новую тему до конца, боится насмешек одноклассников и неодобрения учителя, поэтому предпочитает молчать о своей заминке. Отношения с педагогами ведь тоже бывают разными, к сожалению, не всем учителям удается найти подход к детям, как показывает практика. И тут есть несколько вариантов выхода:
- посещение дополнительных занятий в школе, если таковые есть;
- уроки с репетитором;
- обучение через Интернет с помощью специальных учебных ресурсов.
В первых двух случаях есть недостатки, которые заключаются во временных и денежных ресурсах, особенно это касается репетиторства. Третий же удобен тем, что такой вариант обучения:
- бесплатный;
- можно учиться в любое удобное время;
- нет психологического дискомфорта для ученика, боязни насмешек, и т.д.
- всегда можно просмотреть видеоурок еще раз, если с первого раза что-то непонятно.
Несомненно, положительных сторон здесь больше, поэтому родителям стоит взять на заметку, что ребенку можно предложить именно такой вариант дополнительных занятий. Вполне возможно, что сначала школьник не воспримет с энтузиазмом это предложение, но, попробовав, он оценит его плюсы. Из года в год нагрузка по предметам в школе возрастает, в 7-м классе она уже вовсе нешуточная.
На нашем интернет-ресурсе ребенок легко сможет найти урок по теме, которая возможно представляет для него трудности, к примеру, «Многочлен. Приведение к стандартному виду». Разобравшись в нем, дальнейший материал он сможет понимать и осваивать гораздо проще и легче.
- многочленами . В этой статье мы изложим все начальные и необходимые сведения о многочленах. К ним, во-первых, относится определение многочлена с сопутствующими определениями членов многочлена, в частности, свободного члена и подобных членов. Во-вторых, остановимся на многочленах стандартного вида, дадим соответствующее определение и приведем их примеры. Наконец, введем определение степени многочлена, разберемся, как ее найти, и скажем про коэффициенты членов многочлена.
Навигация по странице.
Многочлен и его члены – определения и примеры
В 7 классе многочлены изучаются сразу после одночленов, это и понятно, так как определение многочлена дается через одночлены. Дадим это определение, объясняющее что такое многочлен.
Определение.
Многочлен – это сумма одночленов; одночлен считается частным случаем многочлена.
Записанное определение позволяет привести сколько угодно примеров многочленов. Любой из одночленов 5 , 0 , −1 , x , 5·a·b 3 , x 2 ·0,6·x·(−2)·y 12 , и т.п. является многочленом. Также по определению 1+x , a 2 +b 2 и - это многочлены.
Для удобства описания многочленов вводится определение члена многочлена.
Определение.
Члены многочлена – это составляющие многочлен одночлены.
Например, многочлен 3·x 4 −2·x·y+3−y 3 состоит из четырех членов: 3·x 4 , −2·x·y , 3 и −y 3 . Одночлен считается многочленом, состоящим из одного члена.
Определение.
Многочлены, которые состоят из двух и трех членов, имеют специальные названия – двучлен и трехчлен соответственно.
Так x+y – это двучлен, а 2·x 3 ·q−q·x·x+7·b – трехчлен.
В школе наиболее часто приходится работать с линейным двучленом
a·x+b
, где a
и b
– некоторые числа, а x
– переменная, а также с квадратным трехчленом
a·x 2 +b·x+c
, где a
, b
и c
– некоторые числа, а x
– переменная. Вот примеры линейных двучленов: x+1
, x·7,2−4
, а вот примеры квадратных трехчленов: x 2 +3·x−5
и 
.
Многочлены в своей записи могут иметь подобные слагаемые . Например, в многочлене 1+5·x−3+y+2·x подобными слагаемыми являются 1 и −3 , а также 5·x и 2·x . Они имеют свое особое название – подобные члены многочлена.
Определение.
Подобными членами многочлена называются подобные слагаемые в многочлене.
В предыдущем примере 1 и −3 , как и пара 5·x и 2·x , являются подобными членами многочлена. В многочленах, имеющих подобные члены, можно для упрощения их вида выполнять приведение подобных членов .
Многочлен стандартного вида
Для многочленов, как и для одночленов, существует так называемый стандартный вид. Озвучим соответствующее определение.
Исходя из данного определения, можно привести примеры многочленов стандартного вида. Так многочлены 3·x 2 −x·y+1
и 
записаны в стандартном виде. А выражения 5+3·x 2 −x 2 +2·x·z
и x+x·y 3 ·x·z 2 +3·z
не являются многочленами стандартного вида, так как в первом из них содержатся подобные члены 3·x 2
и −x 2
, а во втором – одночлен x·y 3 ·x·z 2
, вид которого отличен от стандартного.
Заметим, что при необходимости всегда можно привести многочлен к стандартному виду .
К многочленам стандартного вида относится еще одно понятие – понятие свободного члена многочлена.
Определение.
Свободным членом многочлена называют член многочлена стандартного вида без буквенной части.
Иными словами, если в записи многочлена стандартного вида есть число, то его называют свободным членом. Например, 5 – это свободный член многочлена x 2 ·z+5 , а многочлен 7·a+4·a·b+b 3 не имеет свободного члена.
Степень многочлена – как ее найти?
Еще одним важным сопутствующим определением является определение степени многочлена. Сначала определим степень многочлена стандартного вида, это определение базируется на степенях одночленов , находящихся в его составе.
Определение.
Степень многочлена стандартного вида – это наибольшая из степеней входящих в его запись одночленов.
Приведем примеры. Степень многочлена 5·x 3 −4 равна 3 , так как входящие в его состав одночлены 5·x 3 и −4 имеют степени 3 и 0 соответственно, наибольшее из этих чисел есть 3 , оно и является степенью многочлена по определению. А степень многочлена 4·x 2 ·y 3 −5·x 4 ·y+6·x равна наибольшему из чисел 2+3=5 , 4+1=5 и 1 , то есть, 5 .
Теперь выясним, как найти степень многочлена произвольного вида.
Определение.
Степенью многочлена произвольного вида называют степень соответствующего ему многочлена стандартного вида.
Итак, если многочлен записан не в стандартном виде, и требуется найти его степень, то нужно привести исходный многочлен к стандартному виду, и найти степень полученного многочлена – она и будет искомой. Рассмотрим решение примера.
Пример.
Найдите степень многочлена 3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 .
Решение.
Сначала нужно представить многочлен в стандартном виде:
3·a 12 −2·a·b·c·a·c·b+y 2 ·z 2 −2·a 12 −a 12 =
=(3·a 12 −2·a 12 −a 12)−
2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 =
=−2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2
.
В полученный многочлен стандартного вида входят два одночлена −2·a 2 ·b 2 ·c 2 и y 2 ·z 2 . Найдем их степени: 2+2+2=6 и 2+2=4 . Очевидно, наибольшая из этих степеней равна 6 , она по определению является степенью многочлена стандартного вида −2·a 2 ·b 2 ·c 2 +y 2 ·z 2 , а значит, и степенью исходного многочлена. , 3·x и 7 многочлена 2·x−0,5·x·y+3·x+7 .
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
