Тема 1. Матрицы и системы
Понятие матрицы
Определение 1. Матрицей
.
Здесь, a i j (i =1,2,...,m ; j =1,2,...n ) - элементы матрицы, i - номер строки, j m=n матрица называется квадратной матрицей порядка n.
i¹j равны нулю, называется диагональной :
единичной
нулевой и обозначается θ.
- матрица строка
; - матрица столбец
.
определитель (или детерминант ).
Определители 2-го порядка
Определение 2
.
Определителем второго порядка
матрицы 
, то есть
. (3)
Другие обозначения: , .
Таким образом, понятие определителя предполагает одновременно и способ его вычисления. Числа называются элементами определителя. Диагональ, образованная элементами , называется главной, а элементами - побочной.
Пример 1. Определитель матрицы равен
.
Определители 3-го порядка
Определение 2 . Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом
,
и определяемое равенством
Числа - элементы определителя. Элементы образуют главную диагональ, элементы - побочную .
При вычислении определителя чтобы запомнить, какие слагаемые в правой части равенства (4) берутся со знаком «+», а какие со знаком «-», пользуются символическим правилом треугольников (правилом Саррюса):
Со знаком «+» берутся произведения элементов главной диагонали и элементов, находящихся в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали; сл знаком «-» – произведения элементов побочной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными побочной диагонали.
Вычисление определителя по правилу приписывания столбцов.
1. Приписываем справа от определителя последовательно первый и второй столбцы.
2. Вычисляем произведения трех элементов по диагонали слева - направо, сверху - вниз от а 11 до а 13 и берем их со знаком «+». Затем вычисляем произведения трех элементов по диагонали слева - направо, снизу вверх от а 31 до а 13 и берем их со знаком «-».
(-) (-) (-) (+) (+) (+)
Пример 2 . Вычислить определитель по правилу приписывания столбцов.
3. Определители n -ого порядка. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей разложением по строке (столбцу).
Рассмотрим понятие определителя n- ного порядка. Определителем n- ного порядка называется число, сопоставляемое матрице n- ного порядка и вычисляемое по определенному закону.
,
здесь - элементы определителя. Чтобы показать правило, по которому раскрывается определитель n -ного порядка, рассмотрим некоторые понятия.
Определение 4. Минором элемента определителя n -го порядка называется определитель (n - 1) порядка, полученный вычеркиванием строки и столбца определителя, на пересечении которых расположен этот элемент.
Определение
5. Алгебраическим дополнением
некоторого элемента определителя n
-го порядка называется минор этого элемента, умноженный на , то есть 
.
В определителе третьего порядка можно рассмотреть, например,
, .
, .
Определение 6.Определителем n- ного порядка называется число, равное сумме произведений элементов первой строки определителя, умноженных на их алгебраические дополнения.
Это правило вычисления определителя называется разложением по первой строке .
Теорема (о разложении определителя). Определитель можно вычислить разложением по любой строке или столбцу.
– сумма произведений элементов 1-го столбца на алгебраические дополнения 2-го столбца.
Пример 3
. Вычислить определитель четвертого порядка 
.
Решение. Умножаем третью строку на (-1) и прибавляем ее к четвертой, затем раскладываем определитель по четвертой строке:
Определитель третьего порядка разложили по первой строке.
Метод Гаусса.
Метод Гаусса заключается в том, что исходную систему путем исключения неизвестный преобразуют к ступенчатому виду. При этом преобразования выполняются над строками в расширенной матрице, так как преобразования, исключающие неизвестные эквивалентны элементарным преобразованиям строк матрицы.
Метод Гаусса состоит из прямого хода и обратного хода. Прямым ходом метода Гаусса является приведение расширенной матрицы системы (1) к ступенчатому виду путем элементарных преобразований над строками. После чего происходит исследование системы на совместность и определенность. Затем по ступенчатой матрице восстанавливается система уравнений. Решение этой ступенчатой системы уравнений является обратным ходом метода Гаусса, в котором, начиная с последнего уравнения, последовательно вычисляются неизвестные с большим порядковым номером, и их значения подставляются в предыдущее уравнение системы.
Исследование системы в конце прямого хода происходим по теореме Кронекера-Капелли сравнением рангов матрицы системы А и расширенной матрицы А´. При этом возможны следующие случаи.
1) Если 
, то система несовместна (по теореме Кронекера-Капелли).
2) Если , то система (1) является определенной, и наоборот (без доказательства).
3) Если , то система (1) является неопределенной, и наоборот (без доказательства).
Неравенство 
не имеет места, так как матрица А является частью матрицы А´, неравенство не имеет места, так как число столбцов матрицы А равно п
. Кроме того, для системы с квадратной матрицей, то есть если п
= т
, равенства равносильны тому, что .
Если система является неопределенной, то есть выполняется , то некоторые ее неизвестные объявляются свободными, а остальные через них выражаются. Количество свободных неизвестных равно 
. При выполнении обратного хода метода Гаусса, если в очередном уравнении после подстановки найденных ранее переменных, неизвестных осталось более одного, то свободными неизвестными объявляются любые неизвестные, кроме одного.
Рассмотрим реализацию метода Гаусса на примерах.
Пример
4. Решить систему уравнений 
Решение. Решим систему методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк (прямой ход).
~ 
~ 
~
~ 
~ 
.
Поэтому система совместна и имеет единственное решение, т.е. является определенной.
Составим систему ступенчатого вида и решим ее (обратный ход).
Проверку легко сделать подстановкой.
Ответ : .
Тема 2. Векторная алгебра.
Проекция вектора на ось.
Определение 2. Проекцией вектора на ось l называется число равное длине отрезка АВ этой оси, заключенного между проекциями начала и конца вектора , взятое со знаком «+», если отрезок АВ ориентирован (считая от А к В ) в положительную сторону оси l и знаком «-» – в противном случае (см. рис.2).
Обозначение: .
Теорема 1. Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и положительным направлением оси (рис. 3):
. (1)
 
Рис.3. Рис.4.
|
Доказательство . Из (рис. 3) получаем . Направление отрезка совпадает с положительным направлением оси , поэтому справедливо равенство . В случае противоположной ориентации (рис.4) имеем . Теорема доказана.
Рассмотрим свойства проекций.
Свойство 1. Проекция суммы двух векторов и на ось равна сумме их проекций на ту же ось, то есть .
Рис.5.
|
Доказательство в случае одного из возможных расположений векторов следует из рисунка 5. Действительно, по определению 2
Свойство 1 справедливо для любого конечного числа слагаемых векторов.
Свойство 2. При умножении вектора на число l его проекция умножается на это число
. (2)
Докажем равенство (2). При векторы и образуют с осью один и тот же угол. По теореме 1
При векторы и образуют с осью соответственно углы и . Потеореме 1
При , получаем очевидное равенство
Следствие из свойств 1 и 2. Проекция линейной комбинации векторов равна такой же линейной комбинации проекций этих векторов, т.е.
Тема 1. Матрицы и системы
Понятие матрицы
Определение 1. Матрицей размером называется прямоугольная таблица чисел или буквенных выражений , записанных в виде
.
Здесь, a i j (i =1,2,...,m ; j =1,2,...n ) - элементы матрицы, i - номер строки, j - номер столбца. Матрицы обычно обозначаются большими буквами латинского алфавита A, B, Cи т.д., а также или . При m=n матрица называется квадратной матрицей порядка n.
Квадратная матрица, у которой все элементы с неравными индексами i¹j равны нулю, называется диагональной :
Если все отличные от нуля элементы диагональной матрицы равны единице, то матрица называется единичной . Единичную матрицу принято обозначать буквой E.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается θ.
Существуют также матрицы, состоящие из одной строки или из одного столбца.
- матрица строка
; - матрица столбец
.
Числовой характеристикой квадратной матрицы является определитель (или детерминант ).
Определители 2-го порядка и 3-го порядка, их свойства.
Определители 2-го порядка
Определение 2
.
Определителем второго порядка
матрицы (или просто определителем второго порядка) называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством , то есть
. (3)
Другие обозначения: , .
Чтобы найти определитель матрицы нужно воспользоваться формулами, которые действительны для определителей 2 и 3 порядка.
Формула
Пусть задана матрица второго порядка $ A = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{pmatrix} $. Тогда её определитель вычисляется по формуле:
$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}\cdot a_{22} - a_{12}\cdot a_{21} $$
Из произведения элементов, стоящих на главной диагонали $ a_{11}\cdot a_{22} $, вычитается произведение элементов, расположенных на побочной диагонали $ a_{12}\cdot a_{21} $. Это правило верно только (!) для определителя 2-го порядка.
Если дана матрица третьего порядка $ A = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} $, то вычислить её определитель следует по формуле:
$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} = $$
$$ = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13} - a_{13}a_{22}a_{31}-a_{23}a_{32}a_{11}-a_{12}a_{21}a_{33} $$
Примеры решений
| Пример 1 |
| Пусть задана матрица $ A = \begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix} $ Вычислить её определитель. |
| Решение |
|
Как найти определитель матрицы? Обратим внимание на то что матрица квадратная второго порядка, то есть количество столбцов равно количеству строк и они содержат по 2 элемента. Поэтому применим первую формулу. Перемножим элементы, стоящие на главной диагонали и вычтем из них произведение элементов, стоящих на побочной диагонали: $$ \Delta = \begin{vmatrix} 1&2\\3&4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4-6 = -2 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \Delta = -2 $$ |
| Пример 2 |
| Дана матрица $ A = \begin{pmatrix} 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end{pmatrix} $. Требуется вычислить определитель. |
| Решение |
|
Так как в задаче квадратная матрица 3-го порядка, то найти определитель следует по второй формуле. Для простоты решения задачи достаточно подставить вместо $ a_{ij} $ переменных, стоящих в формуле значения из матрицы нашей задачи: $$ \Delta = \begin{vmatrix} 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end{vmatrix} = $$ $$ = 2\cdot (-3) \cdot (-2) + 2\cdot (-1) \cdot 3 + 1\cdot 4\cdot 1 - $$ $$ - 1\cdot (-3)\cdot 3 - (-1)\cdot 4\cdot 2 - 2\cdot 1\cdot (-2) = $$ $$ = 12 - 6 + 4 + 9 + 8 + 4 = 31 $$ Стоит отметить когда мы находим произведения элементов на побочной диагонали и подобных её, то перед произведениями ставится знак минус. |
| Ответ |
| $$ \Delta = 31 $$ |
Определение 6 . Определителем третьего порядка, соответствующим матрице системы (1.4), назовем число D , равное
Для того, чтобы вычислить определитель третьего порядка применяют две вычислительные схемы, позволяющие вычислять определители третьего порядка без особых хлопот. Эти схемы известны как " правило треугольника " (или "правило звездочки") и " правило Саррюса ".
По правилу треугольника сначала перемножаются и складываются элементы, соединенными на схеме линиями
т.е. получаем сумму произведений: a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32 .
Обратите внимание, что перемножаются элементы, соединенные одной линией, прямой или ломанной, а потом полученные произведения складываются.
Затем перемножаются и складываются элементы, соединенные на схеме
т.е. получаем другую сумму произведений a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32 . И, наконец, чтобы вычислить определитель , из первой суммы вычитают вторую. Тогда окончательно получаем формулу вычисления определителя третьего порядка:
D=(a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32)-(a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32).
По правилу Саррюса к определителю справа дописывают два первых столбца, а затем считают сумму произведений элементов определителя в одном направлении и из нее вычитают сумму произведений элементов в другом направлении (см. схему):
Можно убедиться, что результат будет таким же, что и при вычислении определителя по правилу треугольника.
Пример . Вычислить определитель
Решение . Вычислим определитель по правилу звездочки
И по правилу Саррюса
Т.е. получаем одинаковый результат для обеих вычислительных схем, как и ожидалось.
Заметим, что все свойства, сформулированные для определителей второго порядка, справедливы для определителей третьего порядка, в чем можно убедиться самостоятельно. На основании этих свойств сформулируем общие свойства для определителей любого порядка.
Определителем квадратной матрицы называется число, которое вычисляется следующим образом:
а) Если порядок квадратной матрицы равен 1, т.е. она состоит из 1 числа, то определитель равен этому числу;
б)Если порядок квадратной матрицы равен 2, т.е. она состоит из 4 чисел, то определитель равен разности произведения элементов главной диагонали и произведения элементов побочной диагонали;
в)Если порядок квадратной матрицы равен 3, т.е. она состоит из 9 чисел, то определитель равен сумме произведений элементов главной диагонали и двух треугольников параллельных этой диагонали, из которой вычли сумму произведений элементов побочной диагонали и двух треугольников параллельных этой диагонали.
Примеры
Свойства определителей
1. Определитель не изменится, если строки заменить столбцами, а столбцы – строками
- Определитель, имеющий 2 одинаковых ряда, равен нулю
- Общий множитель какого – либо ряда (строки или столбца) определителя можно вынести за знак определителя
4. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак на противоположный
5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей
6. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число
Минор элемента определителя и его алгебраическое дополнение
Минором элемента a IJ определителя n-го порядка называется определитель n-1 порядка, полученный из исходного с помощью вычеркивания i-той строки и j-того столбца
Алгебраическое дополнение элемента a IJ определителя – это его минор, умноженный на (-1) i+ j
Пример
Обратная матрица
Матрица называется невырожденной , если ее определитель не равен нулю, в противном случае, матрицу называют вырожденной
Матрица называется союзной , если она состоит из соответствующих алгебраических дополнений и транспонирована
Матрица называется обратной к данной матрице, если их произведение равно единичной матрице того же порядка, что и данная матрица
Теорема о существовании обратной матрицы
Любая невырожденная матрица имеет обратную, равную союзной матрице, деленной на определитель данной матрицы
Алгоритм нахождения обратной матрицы А
- Вычислить определитель
- Транспонировать матрицу
- Составить союзную матрицу, вычислить все алгебраические дополнения транспонированной матрицы
- Воспользоваться формулой:
Минором матрицы называется определитель, состоящий из элементов, находящихся на пересечении выделенных k строк и k столбцов данной матрицы размера mxn
Рангом матрицы называется наибольший порядок того минора матрицы, который отличен от нуля
Обозначение r(A), rangA
Ранг равен количеству ненулевых строк ступенчатой матрицы.
Пример
Системы линейных уравнений.
Системой линейных уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида
где числа a IJ - коэффициенты системы,числа b i - свободные члены
Матричная форма записи системы линейных уравнений
Решением системы называются n значений неизвестных c 1 , c 2 ,…, c n , при подстановке которых в систему все уравнения системы обращаются в верные равенства. Решение системы можно записать в виде вектор – столбца.
Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если решений не имеет.
Теорема Кронекера – Капелли
Система ЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной
Методы решения системы ЛУ
1. Метод Гаусса (расширенную матрицу с помощью элементарных преобразований свести к ступенчатой, а потом к канонической)
К элементарным преобразованиям относятся:
Перестановка строк (столбцов)
Прибавление к одной строке (столбцу) другой, умноженной на число, отличное от 0.
Составим расширенную матрицу:
Выберем ведущий элемент, стоящий в первом столбце и первой строке, элемент 1., назовем его ведущим. Строка, в которой находится ведущий элемент меняться не будет. Обнулим элементы под главной диагональю. Для этого прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2). Прибавим к третьей строке первую, умноженную на (-1), получим:
Поменяем вторую и третью строки местами. Мысленно вычеркиваем первый столбец и первую строку и продолжаем алгоритм для оставшейся матрицы. К третьей строке прибавляем 2-ю, умноженную на 5.
Привели расширенную матрицу к ступенчатому виду. Возвращаясь к уравнениям системы, начиная с последней строки и двигаясь вверх, поочередно определяем неизвестные.
2. Матричный метод (AX=B, A -1 AX=A -1 B, X=A -1 B; матрицу, обратную к основной матрице умножить на столбец свободных членов)
3. Метод Крамера.
Решение системы находится по формуле:
Где -определитель измененной основной матрицы, в которой i-й столбец изменен на столбец свободных членов, а - главный определитель, состоящий из коэффициентов при неизвестных.
Векторы.
Вектор – это направленный отрезок
Любой вектор задается длиной (модулем) и направлением.
Обозначение: или
где А – начало вектора, В – конец вектора, – длина вектора.
Классификация векторов
Нулевой вектор – это вектор, длина которого равна нулю
Единичный вектор – это вектор, длина которого равна единице
Равные векторы – это два вектора, у которых совпадают длина и направление
Противоположные векторы – это два вектора, у которых длины равны, а направления – противоположные
Коллинеарные векторы – это два вектора, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых
Сонаправленные векторы – это два коллинеарных вектора с одинаковым направлением
Противоположно направленные векторы– это два коллинеарных вектора с противоположным направлением
Компланарные векторы – это три вектора, которые лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях
Прямоугольная система координат на плоскости – это две взаимно перпендикулярные прямые с выбранным направлением и началом отсчета, при этом горизонтальная прямая называется осью абсцисс, а вертикальная – осью ординат
Каждой точке в прямоугольной системе координат поставим в соответствие два числа: абсциссу и ординату
Прямоугольная система координат в пространстве – это три взаимно перпендикулярные прямые с выбранным направлением и началом отсчета, при этом горизонтальная прямая, направленная на нас, называется осью абсцисс, горизонтальная прямая, направленная вправо от нас - осью ординат, а вертикальная прямая, направленная вверх – осью аппликат
Каждой точке в прямоугольной системе координат поставим в соответствие три числа: абсциссу, ординату и аппликату
