Домой Полость рта Вычисление пути, пройденного точкой.

Полость рта

Вычисление пути, пройденного точкой.

Задача 1.6. Найти графическим способом перемещение и путь, пройденный за t 1 = 5 с материальной точкой, движение которой вдоль оси ОХ описывается уравнением х = 6 – 4t + t 2 , где все величины выражены в единицах СИ.

Решение. В задаче 1.5 мы нашли (4) проекцию скорости на ось ОХ :

Соответствующий этому выражению график скорости изображен на рисунке 1.6. Проекция перемещения на ось ОХ равна алгебраической сумме площадей треугольников АОВ и BCD . Поскольку проекция скорости на первом участке отрицательная, то площадь треугольника АОВ берем со знаком минус; а проекция скорости на втором участке положительная, то площадь треугольника BCD берем со знаком плюс:

Поскольку путь – это длина траектории и не может убывать, то чтобы найти его, сложим площади этих треугольников, считая при этом положительной площадь не только треугольника BCD , но и треугольника АОВ :

Ранее (см. задачу 1.5) мы нашли этот путь другим способом – аналитически.

Задача 1.7. На рис. 1.7, a изображен график зависимости координаты некоторого тела, движущегося прямолинейно вдоль оси ОХ , от времени. Криволинейные участки графика являются частями парабол. Построить графики зависимости скорости и ускорения от времени.

Решение. Чтобы построить графики скорости и ускорения, установим по данному графику (рис. 1.7, а ) характер движения тела в разные промежутки времени.

В промежутке 0 – t 1 график координаты представляет собой часть параболы, ветви которой направлены вверх. Следовательно, в уравнении

выражающем в общем виде зависимость координаты х от времени t , коэффициент перед t 2 положительный, т.е. а х > 0. А так как парабола смещена вправо, то это означает, что v 0x < 0, т.е. тело имело начальную скорость, направленную противоположно направлению оси ОХ. В течение промежутка 0 – t 1 модуль скорости тела сначала уменьшается до нуля, а затем скорость меняет направление на противоположное и ее модуль увеличивается до некоторого значения v 1 . График скорости на этом участке – отрезок прямой, проходящей под некоторым углом к оси t (рис. 1.7, б ), а график ускорения – отрезок горизонтальной прямой, лежащей выше оси времени (рис. 1.7, в ). Вершина параболы на рис. 1.7, а соответствует значению v 0x = 0 на рис. 1.7, б .

В промежутке времени t 1 – t 2 тело двигалось равномерно со скоростью v 1 .

В промежутке t 2 – t 3 график координаты – часть параболы, ветви которой направлены вниз. Следовательно, здесь а х < 0, скорость тела убывает до нуля к моменту времени t 3 , а в промежутке времени t 3 – t 4 тело покоится. Затем в течение промежутка времени t 4 – t 5 тело движется равномерно со скоростью v 2 в обратную сторону. В момент времени t 5 оно достигает точки начала отсчета координат и останавливается.

Учитывая характер движения тела, построим соответствующие графики проекций скорости и ускорения (рис. 1.7, б, в ).

Задача 1.8. Пусть график скорости имеет вид, изображенный на рис. 1.8. Исходя из этого графика, нарисуйте график зависимости пути от времени.

Решение. Разделим весь рассматриваемый промежуток времени на три участка: 1, 2, 3. На участке 1 тело движется равноускоренно без начальной скорости. Формула пути для этого участка имеет вид

где а – ускорение тела.

Ускорение есть отношение изменения скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло. Оно равно отношению отрезков .

На участке 2 тело движется равномерно со скоростью v , приобретенной к концу участка 1. Равномерное движение началось не в начальный момент времени, а в момент t 1 . К этому моменту тело уже прошло путь . Зависимость пути от времени имеет для участка 2 следующий вид:

На участке 3 – движение равнозамедленное. Формула пути для этого участка выглядит следующим образом:

где а 1 – ускорение на участке 3. Оно вдвое меньше ускорения а на участке 1, поскольку участок 3 вдвое длиннее участка 1.

Сделаем выводы. На участке 1 график пути имеет вид параболы, на участке 2 – прямой линии, на участке 3 – тоже параболы, но перевернутой (с выпуклостью, обращенной вверх) (см. рис. 1.9).

График пути не должен иметь изломов, он изображается плавной линией, т. е. параболы сопрягаются с прямой линией. Это объясняется тем, что тангенс угла наклона касательной к оси времени определяет значение скорости в момент времени t , т.е. по наклону касательных к графику пути можно найти скорость тела в тот или иной момент времени. А поскольку график скорости непрерывен, то из этого следует, что график пути не имеет изломов.

Кроме того, вершина перевернутой параболы должна соответствовать моменту времени t 3 . Вершины парабол должны соответствовать моментам 0 и t 3 , так как в эти моменты скорость тела равна нулю и касательные к графику пути должны быть для этих точек горизонтальными.

Путь, пройденный телом за время t 2 , численно равен площади фигуры ОАБГ , образуемой графиком скорости на промежутке Оt 2 .

Задача 1.9. На рис. 1.10 изображен график зависимости проекции скорости некоторого тела, движущегося прямолинейно вдоль оси ОХ , от времени. Построить графики зависимости ускорения, координаты и пути от времени. В начальный момент времени тело находилось в точке х 0 = –3 м. Все величины заданы в единицах СИ.

Решение. Чтобы построить график зависимости ускорения а х (t ), определим по графику v х (t ) характер движения тела в разные промежутки времени. Вспомним, что по определению

где проекция скорости , .

В промежутке времени c:

На этом участке и (знаки одинаковые), т.е. тело движется равноускоренно.

В промежутке времени c:

т.е. и (знаки проекций противоположные) – движение равнозамедленное.

На участке c проекция скорости , т.е. движение происходит в положительном направлении оси ОХ .

На участке c проекция скорости – тело покоится (и ).

На участке c:

И (знаки одинаковые) – движение равноускоренное, но т.к. , то тело движется против оси ОХ .

После шестой секунды , тело движется равномерно () против оси ОХ . выглядит, как представлено на рис. 1.11, г .

Рассмотрим решение следующих задач.

1. Через участок тела животного проходит импульс тока, который изменяется со временем по закону мА. Длительность импульса 0,1 с. Определить работу, совершаемую током за это время, если сопротивление участка равно 20 кОм.

За малый интервал времени dt , когда ток практически не меняется, на сопротивлении R совершается работа . За время всего импульса будет совершена работа

Подставляя в полученное выражение значение тока, получим.

2. Скорость точки равна (м/с). Найти путь S , пройденный точкой за время t =4с, прошедшее от начала движения.

Найдем путь , пройденный точкой за бесконечно малый промежуток времени . Так как в течение этого времени скорость можно считать постоянной, то . Интегрируя, имеем

3. Найти силу давления жидкости на вертикальную треугольную пластину с основанием a и высотой h , погруженную в жидкость так, что ее вершина лежит на поверхности.

Систему координат расположим, как показано на рис. 5.

Рассмотрим горизонтальную бесконечно малую полоску толщиной dx , находящуюся на произвольной глубине x . Принимая эту полоску за прямоугольник, найдем ее основание EF . Из подобия треугольников ABC и AEF получаем

Тогда площадь полоски равна

Так как сила P давления жидкости на площадку S , глубина погружения которой r , по закону Паскаля равна

где r- плотность жидкости, g - ускорение силы тяжести, то искомая сила давления на рассматриваемую площадку dS вычисляется по формуле

Следовательно, сила давления P жидкости на площадку ABC

Решить задачи .

5.41 Скорость движения точки определяется уравнением см/с. Найти путь, пройденный точкой за время t =5с, протекшее от начала движения.

5.42 Скорость тела выражается формулой м/с. Найти путь, пройденный телом за первые три секунды после начала движения.

5.43 Скорость движения тела определяется уравнением см/с. Какой путь пройдет тело за третью секунду движения?

5.44 Два тела начинают двигаться одновременно из одной и той же точки: одно со скоростью (м/мин), а другое со скоростью (м/мин). На каком расстоянии друг от друга они будут через 10 мин, если двигаются по одной линии в одном направлении?

5.45 На тело массой 5 г, движущееся прямолинейно, действует сила (дин). Найти расстояние, пройденное телом в течение третьей секунды движения.

5.46 Скорость колеблющейся точки изменяется по закону (см/с). Определить смещение точки через 0,1 с после начала движения.

5.47 Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на 0,06 м, если сила в 1Н растягивает ее на 0,01 м?

5.48 Скорость колеблющейся точки изменяется по закону (м/с). Определить путь, пройденный точкой за с от начала движения.

5.49 Азот, масса которого 7 г, расширяется при неизменной температуре, равной 300°К так, что его объем увеличивается вдвое. Определить работу, совершаемую газом. Универсальная газовая постоянная Дж/кмоль.

5.50 Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину длиной в 25 см до длины в 35 см, если известно, что коэффициент жесткости пружины равен 400 Н/м?

5.51 Через тело животного проходит импульс тока, который изменяется со временем по закону (мА). Длительность импульса равна 0,1с. Определить заряд, протекающий через тело животного.

5.52 Какая работа совершается при растяжении мышцы на l мм, если известно, что при нагрузке P 0 мышца растягивается на l 0 мм? Считать, что сила, необходимая для растяжения мышц, пропорциональна ее удлинению.

5.53 Тело двигается в некоторой среде прямолинейно по закону . Сопротивление среды пропорционально квадрату скорости . Найти работу, произведенную силой сопротивления среды при передвижении тела от S =0 до S =a метров.

где x и y – в см, а t – в с. Определить траекторию движения точки , скорость и ускорение в моменты времени t 0 =0 с, t 1 =1 с и t 2 =5 с , а также путь, пройденный точкой за 5 с.

Решение

Расчет траектории

Определяем траекторию точки. Умножаем первое заданное уравнение на 3, второе – на (-4), а затем складываем их левые и правые части:

3x=6t 2 +6
-4y=-6t 2 -4
————
3x-4y=2

Получилось уравнение первой степени – уравнение прямой линии, значит движение точки – прямолинейное (рисунок 1.5).

Для того, чтобы определить координаты начального положения точки A 0 , подставим в заданные уравнения значения t 0 =0 ; из первого уравнения получим x 0 =2 см , из второго y 0 =1 см . При любом другом значении t координаты x и y движущейся точки только возрастают, поэтому траекторией точки служит полупрямая 3x-4y=2 с началом в точке A 0 (2; 1).

Рисунок 1.5

Расчет скорости

Определяем , найдя сначала ее проекции на оси координат :

При t 0 =0с скорость точки v 0 =0 , при t 1 =1с – v 1 =5 см/с , при t 2 =5с – v 2 =25см/с .

Расчет ускорения

Определяем ускорение точки . Его проекции на оси координат:

Проекции ускорения не зависят от времени движения,

т.е. движение точки равноускоренное, векторы скорости и ускорения совпадают с траекторией точки и направлены вдоль нее.

С другой стороны, поскольку движение точки прямолинейное, то модуль ускорения можно определить путем непосредственного дифференцирования уравнения скорости.

ЕН 01 МАТЕМАТИКА

Сборник заданий для внеаудиторной самостоятельной работы по теме: «Применение определённого интеграла для решения физических задач».

для специальности:

100126 Сервис домашнего и коммунального хозяйства

Вологда 2013

Математика: Сборник заданий для внеаудиторной самостоятельной работы по теме: «Применение определённого интеграла для решения физических задач» для специальности: 100126 Сервис домашнего и коммунального хозяйства

Данный сборник заданий для внеаудиторной самостоятельной работы по теме: «Применение определённого интеграла для решения физических задач» представляет собой учебно-методическое пособие по организации самостоятельной внеаудиторной работы студентов.

Содержит задания для самостоятельной внеаудиторной работы для шести вариантов и критерии оценки выполнения самостоятельной работы.

Комплект призван помочь студентам систематизировать и закрепить полученные на аудиторных занятиях по математике теоретический материал, сформировать практические навыки.

Составитель: Е. А. Севалёва – преподаватель математики высшей категории БОУ СПО ВО «Вологодский строительный колледж»

1. Пояснительная записка.

2. Самостоятельная работа.

3. Критерии оценки.

4. Литература.

Пояснительная записка

Данная работа представляет собой учебно-методическое пособие по организации самостоятельной внеаудиторной работы студентов по дисциплине ЕН 01 «Математика» для специальности 100126 Сервис домашнего и коммунального хозяйства.

Цель методических указаний состоит в обеспечении эффективности самостоятельной работы, определении ее содержания, установления требований к оформлению и результатам самостоятельной работы.

Целями самостоятельной работы студентов по дисциплине ЕН 01 «Математика» являются:

· систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических навыков;

· углубление и расширение теоретических знаний;

· формирование умений использовать справочную и дополнительную литературу;

· развитие познавательных способностей и активности студентов, творческой инициативы, самостоятельности и самоорганизации;

· активизации учебно-познавательной деятельности будущих специалистов.

Самостоятельные работы выполняются индивидуально в свободное от занятий время.

Студент обязан:

перед выполнением самостоятельной работы, повторить теоретический материал, пройденный на аудиторных занятиях;
выполнить работу согласно заданию;
по каждой самостоятельной работе представить преподавателю отчет в виде письменной работы.

Самостоятельная работа по теме:

«Применение определённого интеграла для решения физических задач»

Цель: научиться применять определённый интеграл для решения физических задач.

Теория.

Вычисление пути, пройденного точкой.

Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью а промежуток времени от до , вычисляется по формуле

…… (1)

Пример 1. м/с . Найти путь, пройденный точкой за 10 с от начала движения.

Решение: Согласно условию , , .

По формуле (1) находим:

Ответ: .

Пример 2. Скорость движения точки изменяется по закону м/с . Найти путь, пройденный точкой за 4-ую секунду.

Решение: Согласно условию , ,

Следовательно:

Ответ: .

Пример 3. Скорость движения точки изменяется по закону м/с . Найти путь, пройденный точкой от начала движения до её остановки.

Решение:

· Скорость точки равна 0 в момент начала движения и в момент остановки.

· Определим, в какой момент времени точка остановится, для этого решим уравнение:

То есть , .

· По формуле (1) находим:

Ответ: .

Вычисление работы силы.

Работа, произведённая переменной силой при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х = , находится по формуле:

…… (2)

При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Гука : ……(3), где

Сила (Н );

х – абсолютное удлинение (сжатие) пружины, вызванное силой (м );

Коэффициент пропорциональности (Н/м ).

Пример 4. Вычислить работу силы при сжатии пружины на 0,04 м , если для сжатия её на 0,01 м нужна сила 10 Н .

Решение:

· Так как х = 0,01 м при силе =10 Н

, находим , т.е. .

Ответ: Дж .

Пример 5. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м . Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м . Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину от 0,22 м до 0,32 м ?

Решение:

· Так как х = 0,01 при силе =50 Н , то, подставляя эти значения в равенство (3): , получим: