ઘર સ્વચ્છતા §7. લાક્ષણિક સમસ્યાઓ હલ કરવાના ઉદાહરણો

સ્વચ્છતા

§7. લાક્ષણિક સમસ્યાઓ હલ કરવાના ઉદાહરણો

આ વિભાગમાં આપણે સાથે સંકળાયેલા કાર્યોને ધ્યાનમાં લઈશું વિવિધ સિસ્ટમોઆપેલ ગુણોત્તરમાં સેગમેન્ટને વિભાજીત કરીને સંકલન કરે છે.

બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ આપવામાં આવે છે: એ(4; 3), IN(7; 6), સાથે(2; 11). ચાલો સાબિત કરીએ કે ત્રિકોણ ABCલંબચોરસ

ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ શોધો ABC. આ હેતુ માટે, અમે એક સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ જે અમને પ્લેન પરના બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે:

બાજુઓની લંબાઈ સમાન હશે:

ધ્યાનમાં લેતા કે પાયથાગોરિયન પ્રમેય આ ત્રિકોણની બાજુઓ માટે ધરાવે છે

પછી ત્રિકોણ ABC- લંબચોરસ.

પોઈન્ટ આપવામાં આવે છે એ(2; 1) અને IN(8; 4). બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો એમ(એક્સ; ખાતે), જે સેગમેન્ટને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.

યાદ કરો કે બિંદુ એમ(એક્સ; ખાતે) સેગમેન્ટને વિભાજિત કરે છે એબી, ક્યાં એ(x એ , y એ), બી(x બી , y બી), λ: μ ના સંબંધમાં, જો તેના કોઓર્ડિનેટ્સ શરતોને સંતોષે છે:

,
.

ચાલો એક મુદ્દો શોધીએ એમઆપેલ સેગમેન્ટ માટે

,
.

તેથી બિંદુ એમ(6; 3) સેગમેન્ટને વિભાજિત કરે છે એબી 2:1 ના ગુણોત્તરમાં.

બિંદુના લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો એ(
3π/4), જો ધ્રુવ કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ સાથે એકરુપ હોય અને ધ્રુવીય અક્ષ એબ્સીસા અક્ષ સાથે નિર્દેશિત હોય.

ધ્રુવીયથી લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીઓમાં સંક્રમણ માટેના સૂત્રોને ધ્યાનમાં લેવું

x = આર cosφ, y = આર sinφ,

અમે મેળવીએ છીએ

લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ છે એ(–2; 2).

ચાલો નીચેના લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવતા બિંદુઓના ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ:

એ(
; 2),IN(–4; 4), સાથે(–7; 0).

અમે લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સથી ધ્રુવીય રાશિઓમાં સંક્રમણ માટે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

ચાલો બિંદુ માટે કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવીએ એ:

,
.

આમ એ(4; π/6) – ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ (ફિગ. 15).

એક બિંદુ માટે IN(ફિગ. 16) અમારી પાસે છે

,
.

તેથી, બિંદુના ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ IN(
, 3π/4).

મુદ્દાને ધ્યાનમાં લો સાથે(–7; 0) (ફિગ. 17). આ બાબતે

,
.

તમે બિંદુના ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સ લખી શકો છો સાથે(7; π).

ચાલો વેક્ટરની લંબાઈ શોધીએ a = 20i + 30j – 60k અને તેની દિશા કોસાઇન્સ.

યાદ કરો કે દિશા કોસાઇન્સ એ કોણના કોસાઇન્સ છે જે વેક્ટર છે a (a 1 , a 2 , a 3) સંકલન અક્ષો સાથેના સ્વરૂપો:

,
,
,

જ્યાં
.

આ સૂત્રોને આ વેક્ટર પર લાગુ કરવાથી, આપણને મળે છે

અમે વેક્ટરને સામાન્ય બનાવીએ છીએ a = 3i + 4j – 12k .

વેક્ટરને સામાન્ય બનાવવા માટે એકમ લંબાઈનો વેક્ટર શોધવાનો છે એ 0, આ વેક્ટરની જેમ જ નિર્દેશિત. મનસ્વી વેક્ટર માટે a (a 1 , a 2 , a 3) એકમ લંબાઈના અનુરૂપ વેક્ટરને ગુણાકાર કરીને શોધી શકાય છે a અપૂર્ણાંક માટે .

અમારા કિસ્સામાં, એકમ લંબાઈનો વેક્ટર:

ચાલો વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદન શોધીએ

a = 4i + 5j + 6k અને b = 3i – 4j + k .

વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદન શોધવા માટે, તમારે અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સનો ગુણાકાર કરવાની અને પરિણામી ઉત્પાદનો ઉમેરવાની જરૂર છે. તેથી, વેક્ટર્સ માટે a = a 1 i + a 2 j + a 3 k અને b = b 1 i + b 2 j + b 3 k સ્કેલર ઉત્પાદનનું સ્વરૂપ છે:

(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 .

આ વેક્ટર માટે આપણે મેળવીએ છીએ

(a , b ) = 4∙3 + 5∙(–4) + 6∙1 = 12 – 20 + 6 = –2.

ચાલો બતાવીએ કે વેક્ટર a = 2i – 3j + 5k અને b = i + 4j + 2k લંબ

બે વેક્ટર કાટખૂણે હોય છે જો તેમની ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોય.

ચાલો સ્કેલર ઉત્પાદન શોધીએ:

(a , b ) = 2∙1 + (–3)∙4 + 5∙2 = 2 – 12 + 10 = 0.

આમ, વેક્ટર્સ એ અને b લંબ

ચાલો જાણીએ કે પેરામીટરની કિંમત કેટલી છે mવેક્ટર a = 2i + 3j + mk અને b = 3i + mj – 2k લંબ

ચાલો વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદન શોધીએ એ અને b :

(a , b ) = 2∙3 + 3∙m – 2∙m = 6 + m.

વેક્ટર કાટખૂણે હોય છે જો તેમનું સ્કેલર ઉત્પાદન શૂન્ય હોય. અમે ઉત્પાદનને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ ( એ , b ):

6 + m = 0.

મુ m= – 6 વેક્ટર એ અને b લંબ

ઉદાહરણ 10.

ચાલો સ્કેલર ઉત્પાદન શોધીએ (3 એ + 4b , 2એ – 3b ), જો | a | = 2, |b | = 1 અને કોણ φ વચ્ચે એ અને b π/3 બરાબર.

ચાલો સ્કેલર ઉત્પાદનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ:

(α a , β b ) = αβ( a , b ),

(a + b , c ) = (a , c ) + (b , c ),

(a , b ) = (b , a )

(a , a ) = |a | 2 ,

તેમજ સ્કેલર પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા ( a , b ) = |a |∙|b |∙cosφ. ચાલો સ્કેલર પ્રોડક્ટને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ

(3a + 4b , 2a – 3b ) = 6(a , a ) – 9(a , b ) + 8(b , a ) – 12(b , b ) =

6|a | 2 – (a , b ) – 12|b | 2 = 6∙2 2 – 2∙1∙cos(π/3) – 12∙1 2 = 11.

ઉદાહરણ 11.

ચાલો વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ નક્કી કરીએ

a = i + 2j + 3k અને b = 6i + 4j – 2k .

કોણ શોધવા માટે, અમે બે વેક્ટરના સ્કેલર પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

(a , b ) = |a |∙|b |∙cosφ,

જ્યાં φ એ વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ છે એ અને b . ચાલો આ સૂત્રમાંથી cosφ વ્યક્ત કરીએ

તે ધ્યાનમાં લેતા ( એ , b ) = 1∙6 + 2∙4 + 3∙(–2) = 8,
,, અમને મળે છે:

આથી,
.

ઉદાહરણ 12.

a = 5i – 2j + 3k અને b = i + 2j – 4k .

તે જાણીતું છે કે વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન a = a 1 i + a 2 j + a 3 k અને b = b 1 i + b 2 j + b 3 k સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે

તેથી, આ વેક્ટર્સ માટે

2i + 23j + 12k .

ચાલો એક ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યાં, વેક્ટર ઉત્પાદનના મોડ્યુલસને શોધવા માટે, વેક્ટર ઉત્પાદનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરવામાં આવશે, અને તેને પરિબળોના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવશે નહીં, જેમ કે અગાઉના ઉદાહરણમાં કેસ હતો.

ઉદાહરણ 13.

ચાલો વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનનું મોડ્યુલસ શોધીએ એ + 2b અને 2 એ – 3b , જો | a | = 1, |b | = 2 અને વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ એ અને b 30° ની બરાબર.

વેક્ટર ઉત્પાદનની વ્યાખ્યા પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે મનસ્વી વેક્ટર માટે એ અને b તેનું મોડ્યુલસ છે

|[a , b ] | = |a | ∙ |b | ∙ પાપ φ.

વેક્ટર ઉત્પાદનના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેવું

[a , b ] = – [b , a ],

[a , a ] = 0,

[α a + β b , c ] = α[ a , c ] + β[ b , c ],

અમે મેળવીએ છીએ

[a + 2b , 2a – 3b ] = 2[a , a ] – 3[a , b ] + 4[b , a ] – 6[b , b ] = –7[a , b ].

આનો અર્થ એ છે કે વેક્ટર ઉત્પાદનનું મોડ્યુલસ બરાબર છે

|[a + 2b , 2a – 3b ]| = |–7[a , b ]| = 7 ∙ |a | ∙ |b | ∙ પાપ 30° = 7∙1∙2∙0.5 = 7.

ઉદાહરણ 14.

ચાલો વેક્ટર પર બનેલા સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરીએ

a = 6i + 3j – 2k અને b = 3i – 2j + 6k .

તે જાણીતું છે કે બે વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનનું મોડ્યુલસ વિસ્તાર સમાનઆ વેક્ટર પર બનેલ સમાંતરગ્રામ. ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વેક્ટર ઉત્પાદન શોધીએ:

જ્યાં a = a 1 i + a 2 j + a 3 k અને b = b 1 i + b 2 j + b 3 k . પછી આપણે તેના મોડ્યુલસની ગણતરી કરીએ છીએ.

આ વેક્ટર માટે આપણે મેળવીએ છીએ

14i – 42j – 21k .

તેથી, સમાંતરગ્રામનો વિસ્તાર છે

એસ = |[a , b ]| = (ચો. એકમો).

ઉદાહરણ 15.

શિરોબિંદુઓ સાથે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો એ(1;2;1), IN(3;3;4), સાથે(2;1;3).

દેખીતી રીતે, ત્રિકોણનો વિસ્તાર ABCવેક્ટર પર બાંધવામાં આવેલા સમાંતરગ્રામના અડધા વિસ્તારની બરાબર
અને
.

બદલામાં, વેક્ટર પર બનેલ સમાંતરગ્રામનો વિસ્તાર
અને
, વેક્ટર ઉત્પાદનના મોડ્યુલસ સમાન છે [
]. આમ

|[
]|.

ચાલો વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ
અને
, વેક્ટરના અંતના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી શરૂઆતના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ બાદ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ

= (3 – 1)i + (3 – 2)j + (4 – 1)k = 2i + j + 3k ,

= (2 – 1)i + (1 – 2)j + (3 – 1)k = i – j + 2k .

ચાલો વેક્ટર ઉત્પાદન શોધીએ:

[
,
] =

5i – j – 3k .

ચાલો વેક્ટર ઉત્પાદનનું મોડ્યુલ શોધીએ:

|[
]| = .

તેથી, આપણે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મેળવી શકીએ છીએ:

(ચો. એકમો).

ઉદાહરણ 16.

ચાલો વેક્ટર પર બનેલા સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરીએ a + 3b અને 3 a – b , જો | a | = 2, |b | = 1 અને વચ્ચેનો ખૂણો એ અને b 30° ની બરાબર.

ચાલો વેક્ટર ઉત્પાદનના મોડ્યુલસને તેની વ્યાખ્યા અને ઉદાહરણ 13 માં ઉલ્લેખિત ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ, આપણને મળે છે

[a + 3b , 3a – b ] = 3[a , a ] – [a , b ] + 9[b , a ] – 3[b , b ] = –10[a , b ].

આનો અર્થ એ થાય કે જરૂરી વિસ્તાર બરાબર છે

એસ = |[a + 3b , 3a – b ]| = |–10[a , b ]| = 10 ∙ |a | ∙ |b | ∙ પાપ 30° =

10∙2∙1∙0.5 = 10 (ચોરસ એકમો).

નીચેના ઉદાહરણોમાં વેક્ટરના મિશ્ર ઉત્પાદનનો ઉપયોગ સામેલ હશે.

ઉદાહરણ 17.

તે વેક્ટર્સ બતાવો a = i + 2j – k , b = 3i + k અને સાથે = 5i + 4j – k કોપ્લાનર

વેક્ટર કોપ્લાનર હોય છે જો તેમનું મિશ્ર ઉત્પાદન શૂન્ય હોય. મનસ્વી વેક્ટર માટે

a = a 1 i + a 2 j + a 3 k , b = b 1 i + b 2 j + b 3 k , c = c 1 i + c 2 j + c 3 k

અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મિશ્ર ઉત્પાદન શોધીએ છીએ:

આ વેક્ટર માટે આપણે મેળવીએ છીએ

આમ, આ વેક્ટર કોપ્લાનર છે.

શિરોબિંદુઓ સાથે ત્રિકોણાકાર પિરામિડનું કદ શોધો એ(1;1;1), IN(3;2;1), સાથે(2;4;3), ડી(5;2;4).

ચાલો વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ
,
અને
, પિરામિડની કિનારીઓ સાથે એકરુપ. વેક્ટરના અંતના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી શરૂઆતના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સને બાદ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ

= 2i + 3j ,

= i + 3j + 2k ,

= 4i + j + 3k .

તે જાણીતું છે કે પિરામિડનું વોલ્યુમ વેક્ટર પર બાંધવામાં આવેલા સમાંતર પાઇપના વોલ્યુમના 1/6 જેટલું છે.
,
અને
. આમ,

બદલામાં, સમાંતર પાઇપનું પ્રમાણ મિશ્રિત ઉત્પાદનના મોડ્યુલસ જેટલું છે

વી પેરલ = |(
,
,
)|.

ચાલો મિશ્ર ઉત્પાદન શોધીએ

(
,
,
) =
.

તેથી, પિરામિડનું પ્રમાણ છે

(ઘન એકમો).

નીચેના ઉદાહરણોમાં આપણે વેક્ટર બીજગણિતના સંભવિત કાર્યક્રમો બતાવીશું.

ઉદાહરણ 19.

ચાલો તપાસ કરીએ કે વેક્ટર 2 સમરેખા છે કે કેમ એ + b અને એ – 3b , ક્યાં a = 2i + j – 3k અને b = i + 2j + 4k .

ચાલો વેક્ટર 2 ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ એ + b અને એ – 3b :

2એ + b = 2(2i + j – 3k ) + i + 2j + 4k = 5i + 4j – 2k ,

એ – 3b = 2i + j – 3k – 3(i + 2j + 4k ) = –i – 5j – 15k .

તે જાણીતું છે કે કોલિનિયર વેક્ટરમાં પ્રમાણસર કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે. તે ધ્યાનમાં લેતા

આપણે શોધીએ છીએ કે ત્યાં 2 વેક્ટર છે એ + b અને એ – 3b બિન-કોલિનિયર.

આ સમસ્યા બીજી રીતે ઉકેલી શકાઈ હોત. વેક્ટરની સમકક્ષતા માટેનો માપદંડ એ વેક્ટર ઉત્પાદનની શૂન્યની સમાનતા છે:

2[a , a ] – 6[a , b ] + [b , a ] – 3[b , b ] = –7[a , b ].

ચાલો વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન શોધીએ એ અને b :

10i – 11j + 3k ≠ 0.

આથી,

= –7[a , b ] ≠ 0

અને વેક્ટર 2 એ + b અને એ – 3b બિન-કોલિનિયર.

ઉદાહરણ 20.

ચાલો બળનું કામ શોધીએ એફ (3; 2; 1), જ્યારે તેની અરજીનો મુદ્દો એ(2; 4;–6), સચોટ રીતે આગળ વધવું, બિંદુ તરફ ખસે છે IN(5; 2; 3).

તે જાણીતું છે કે બળનું કાર્ય બળનું સ્કેલર ઉત્પાદન છે એફ વિસ્થાપન વેક્ટર માટે
.

ચાલો વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ
:

= 3i – 2j + 9k .

તેથી, બળનું કામ એફ એક બિંદુ ખસેડીને એબરાબર INસ્કેલર ઉત્પાદન સમાન હશે

(એફ ,
) = 3∙3 + 2∙(–2) + 1∙9 = 9 – 4 + 9 = 14.

ઉદાહરણ 21.

બળ મે એફ (2;3;–1) બિંદુ પર લાગુ થાય છે એ(4;2;3). બળ હેઠળ એફ બિંદુ એએક બિંદુ પર ખસે છે IN(3;1;2). ચાલો બળની ક્ષણનું મોડ્યુલસ શોધીએ એફ બિંદુ સંબંધિત IN.

તે જાણીતું છે કે બળની ક્ષણ બળ અને વિસ્થાપનના વેક્ટર ઉત્પાદન સમાન છે. ચાલો વિસ્થાપન વેક્ટર શોધીએ
:

= (3 – 4)i + (1 – 2)j + (2 – 3)k = – i – j – k .

ચાલો વેક્ટર ઉત્પાદન તરીકે બળની ક્ષણ શોધીએ:

= – 4i + 3j + k .

તેથી, બળના ક્ષણનું મોડ્યુલસ વેક્ટર ઉત્પાદનના મોડ્યુલસ જેટલું છે:

|[એફ ,
]| = .

60) વેક્ટરની સિસ્ટમ આપેલ છે a =(1, 2, 5), b =(4, 0, -1), c =(0, 0, 0). તેના પર અન્વેષણ કરો રેખીય અવલંબન.

a) વેક્ટરની સિસ્ટમ રેખીય રીતે આધારિત છે;

b) વેક્ટરની સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે;

c) કોઈ સાચો જવાબ નથી.

61) વેક્ટર સિસ્ટમનું અન્વેષણ કરો

a =(1, -1, 2, 0), b =(1, 5, -2, ), c =(3, -3, 6, 0) એક રેખીય સંબંધ માટે.

a) વેક્ટર્સ સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે;

b) વેક્ટર્સ સિસ્ટમ રેખીય રીતે આધારિત છે;

c) કોઈ સાચો જવાબ નથી.

62) વેક્ટર સિસ્ટમ છે a =(1, 2), b =(7, ), c =(0, ), d =(, 1) રેખીય રીતે આશ્રિત?

a) ના, તે નથી;

b) હા, તે છે.

63) એક વેક્ટર વ્યક્ત થાય છે b =(2, -1, 3) વેક્ટર સિસ્ટમ દ્વારા = (1, 0, 2), = (-1, 1, 1), = (0, 1, 3), = (1, 1, 5)

a) ના, વ્યક્ત નથી;

b) હા, તે વ્યક્ત થાય છે.

64) રેખીય અવલંબન માટે વેક્ટરની સિસ્ટમની તપાસ કરો

a = , b = , c = .

એ) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર;

b) રેખીય રીતે આશ્રિત;

c) કોઈ સાચો જવાબ નથી.

65) રેખીય અવલંબન માટે વેક્ટરની સિસ્ટમની તપાસ કરો

a = , b = , c =

એ) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર;

b) રેખીય રીતે આશ્રિત;

c) કોઈ સાચો જવાબ નથી.

66) શું વેક્ટર્સ સિસ્ટમ રેખીય રીતે આધારિત છે?

= (2, 0, 6, 0), = (2, 1, 0, 1), = (3, 1, 0, 1), = (3, 0, 4, 0).

એ) રેખીય રીતે આશ્રિત;

b) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર;

c) કોઈ સાચો જવાબ નથી.

67) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર મેટ્રિક્સ પંક્તિઓની સંખ્યા m ની બરાબર થવા દો, અને રેખીય સ્વતંત્ર મેટ્રિક્સ કૉલમની સંખ્યા n ની બરાબર છે. યોગ્ય વિધાન પસંદ કરો.

d) જવાબ મેટ્રિક્સ પર આધાર રાખે છે.

68) રેખીય જગ્યાના આધાર વેક્ટર છે

એ) રેખીય રીતે આશ્રિત;

b) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર;

c) જવાબ ચોક્કસ આધાર પર આધાર રાખે છે.

69) વેક્ટર શું છે?

a) આ એક કિરણ છે જે ચળવળની દિશા બતાવે છે

b) આ એક નિર્દેશિત સેગમેન્ટ છે જેની શરૂઆત બિંદુ A અને અંત B પર છે, જેને પોતાની સમાંતર ખસેડી શકાય છે

c) આ એક આકૃતિ છે જેમાં એકબીજાથી સમાન અંતર ધરાવતા ઘણા બિંદુઓ હોય છે.

d) આ બિંદુ A થી શરૂઆત અને બિંદુ B પર અંત સાથેનો એક સેગમેન્ટ છે, જેને પોતાની સાથે સમાંતર ખસેડી શકાતો નથી

70) જો રેખીય સંયોજન 1 + 2 +….+ƛ આરજ્યારે સંખ્યાઓ વચ્ચે હોય ત્યારે શૂન્ય વેક્ટરનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે ƛ 1 ,ƛ 2 ,…,ƛ આરત્યાં ઓછામાં ઓછું એક બિન-શૂન્ય છે, પછી વેક્ટરની સિસ્ટમ a 1, a 2,…., a pકહેવાય છે:

એ) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર;

b) રેખીય રીતે આશ્રિત;

c) તુચ્છ;

ડી) બિન-તુચ્છ.

71) જો એક રેખીય સંયોજન 1 + 2 +….+ƛ આરજ્યારે બધી સંખ્યાઓ હોય ત્યારે જ શૂન્ય વેક્ટરનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે ƛ 1 ,ƛ 2 ,…,ƛ આરશૂન્યની બરાબર છે, પછી વેક્ટરની સિસ્ટમ a 1, a 2,…., a pકહેવાય છે:

એ) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર;

b) રેખીય રીતે આશ્રિત;

c) તુચ્છ;

ડી) બિન-તુચ્છ.

72) વેક્ટર સ્પેસનો આધાર એ વેક્ટર્સની આવી સિસ્ટમ છે જે ચોક્કસ ક્રમમાં ઉલ્લેખિત છે અને શરતોને સંતોષે છે:

એ) સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે;

b) અવકાશનો કોઈપણ વેક્ટર એ આપેલ સિસ્ટમનું રેખીય સંયોજન છે;

c) બંને સાચા છે;

ડી) બંને ખોટા છે.

73) સ્પેસ R n નો સબસેટ કે જે સંખ્યાઓ દ્વારા સરવાળો અને ગુણાકારની ક્રિયાઓના સંદર્ભમાં બંધ રહેવાની મિલકત ધરાવે છે તેને કહેવામાં આવે છે:

a) જગ્યા Rn ની રેખીય પ્રીસ્પેસ;

b) જગ્યા R n નું પ્રક્ષેપણ;

c) જગ્યા Rn ની રેખીય સબસ્પેસ;

ડી) કોઈ સાચો જવાબ નથી.

74) જો વેક્ટર્સની મર્યાદિત સિસ્ટમમાં રેખીય રીતે આધારિત સબસિસ્ટમ હોય, તો તે:

એ) લીનિયરલી આશ્રિત;

b) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર;

75) જો સિસ્ટમ રેખીય હોય આશ્રિત વેક્ટરએક અથવા વધુ વેક્ટર ઉમેરો, પરિણામી સિસ્ટમ આ હશે:

એ) લીનિયરલી આશ્રિત;

b) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર;

c) ન તો રેખીય રીતે આશ્રિત કે ન તો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર.

76) ત્રણ વેક્ટરને કોપ્લાનર કહેવામાં આવે છે જો તેઓ:

એ) તેઓ સમાંતર રેખાઓ પર આવેલા છે;

b) તેઓ સમાન સીધી રેખા પર આવેલા છે;

c) લીનિયરલી સ્વતંત્ર;

ડી) તેઓ સમાંતર વિમાનોમાં આવેલા છે;

77) બે વેક્ટરને કોલિનિયર કહેવામાં આવે છે જો તેઓ:

એ) તેઓ એક જ પ્લેનમાં આવેલા છે;

b) તેઓ સમાંતર વિમાનોમાં આવેલા છે;

c) લીનિયરલી સ્વતંત્ર;

ડી) તેઓ સમાંતર રેખાઓ પર આવેલા છે;

78) બે વેક્ટર્સ રેખીય રીતે આશ્રિત રહેવા માટે, તે જરૂરી છે કે તેઓ હોય:

a) કોલેટરલ;

b) કોપ્લાનર;

c) લીનિયરલી સ્વતંત્ર;

ડી) કોઈ સાચો વિકલ્પ નથી.

79) વેક્ટરનું ઉત્પાદન a=(a 1 ,a 2 ,a 3) સંખ્યાને વેક્ટર કહેવામાં આવે છે b, સમાન

એ) ( a 1 , a 2 , a 3)

b) ( + a 1 , +a 2 , +a 3)

વી) ( /a 1 , /a 2 , /a 3)

80) જો બે વેક્ટર એક જ રેખા પર આવેલા હોય, તો આવા વેક્ટર છે

એ) સમાન

b) સહ-નિર્દેશિત

c) કોલિનિયર

ડી) વિરુદ્ધ નિર્દેશિત

81) વેક્ટરનું સ્કેલર ઉત્પાદન બરાબર છે

a) તેમની લંબાઈનું ઉત્પાદન;

b) તેમની વચ્ચેના કોણના કોસાઇન દ્વારા તેમની લંબાઈનું ઉત્પાદન;

c) તેમની વચ્ચેના કોણની સાઈન દ્વારા તેમની લંબાઈનું ઉત્પાદન;

d) તેમની વચ્ચેના ખૂણાના સ્પર્શક દ્વારા તેમની લંબાઈનું ઉત્પાદન;

82) વેક્ટરનું ઉત્પાદન એપોતાને બોલાવ્યો

a) વેક્ટર લંબાઈ એ

b) વેક્ટરનો સ્કેલર ચોરસ એ

c) વેક્ટર દિશા એ

ડી) કોઈ સાચો જવાબ નથી

83) જો વેક્ટરનું ઉત્પાદન 0 ની બરાબર હોય, તો આવા વેક્ટર કહેવામાં આવે છે

એ) કોલિનિયર

b) સહ-નિર્દેશિત

c) ઓર્થોગોનલ

ડી) સમાંતર

84) વેક્ટરની લંબાઈ છે

એ) તેનો સ્કેલર ચોરસ

b) તેના સ્કેલર ચોરસનું મૂળ

c) તેના કોઓર્ડિનેટ્સનો સરવાળો

d) વેક્ટરના અંત અને શરૂઆતના કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેનો તફાવત

85) વેક્ટરનો સરવાળો શોધવાના નિયમો શું છે (બહુવિધ જવાબો)

a) ત્રિકોણ નિયમ

b) વર્તુળનો નિયમ

c) સમાંતરગ્રામ નિયમ

ડી) ગૌસનો નિયમ

e) બહુકોણ નિયમ

f) લંબચોરસ નિયમ

86) જો બિંદુ એબિંદુ સાથે મેળ ખાય છે IN, પછી વેક્ટર કહેવાય છે

a) એકમ વેક્ટર

c) શૂન્ય વેક્ટર

ડી) તુચ્છ વેક્ટર

87) બે વેક્ટર સમરેખા હોવા માટે, તે જરૂરી છે

a) તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન હતા

b) તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ પ્રમાણસર હતા

c) તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ વિરુદ્ધ હતા

d) તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ 0 ની બરાબર હતા

88) બે વેક્ટર a=2m+4n અને b=m-n આપવામાં આવ્યા છે, જ્યાં m અને n એ એકમ વેક્ટર છે જે 120 0 નો ખૂણો બનાવે છે. વેક્ટર a અને b વચ્ચેનો કોણ શોધો.

89) પ્લેનમાં બે એકમ વેક્ટર m અને n આપવામાં આવ્યા છે. તે જાણીતું છે કે તેમની વચ્ચેનો કોણ 60 ડિગ્રી છે. a=m+2n વેક્ટરની લંબાઈ શોધો (0.1 ના જવાબની ગોળાકાર)

90) a=-4k અને b=2i+j વેક્ટર પર બનેલા સમાંતરગ્રામના કર્ણ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો

91) વેક્ટરની લંબાઈ |a|=2, |b|=3, |a-b|=1 આપેલ છે. |a+b| વ્યાખ્યાયિત કરો

92) ત્રણ વેક્ટર આપવામાં આવ્યા છે: a=(2;-2), b=(2;-1), c=(2;4). વેક્ટર p=2a-b+c ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો.

93) a=2i+3j-6k વેક્ટરની લંબાઈ શોધો.

94) a=λi-3j+2k અને b=i+2j-λk લંબરૂપ વેક્ટર λ ની કેટલી કિંમતે છે?

95) આપેલ વેક્ટર a=6i-4j+k અને b=2i-4j+k. દ્વારા રચાયેલ કોણ શોધો વેક્ટર a-bઓઝ અક્ષ સાથે.

96) આપેલ વેક્ટર = (4; –2; –6) અને = (–3; 4; –12). વેક્ટરનું પ્રક્ષેપણ શોધો aવેક્ટર અક્ષ સુધી b.

97) કોણ શોધો એશિરોબિંદુઓ સાથે ત્રિકોણ એ (–1; 3; 2), IN(3; 5; -2) અને

સાથે(3; 3; -1). તમારો જવાબ 15cos તરીકે દાખલ કરો એ.

98) વેક્ટરનું ચોરસ મોડ્યુલસ શોધો , ક્યાં અને એકમ વેક્ટર 60 o નો કોણ બનાવે છે.