કાર્ય 1.વેક્ટર્સ સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે કે કેમ તે શોધો. વેક્ટર્સની સિસ્ટમ સિસ્ટમના મેટ્રિક્સ દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવશે, જેના કૉલમમાં વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સનો સમાવેશ થાય છે.
.
ઉકેલ.રેખીય સંયોજન દો 
શૂન્ય બરાબર. આ સમાનતાને કોઓર્ડિનેટ્સમાં લખવાથી, આપણને મળે છે નીચેની સિસ્ટમસમીકરણો
.
સમીકરણોની આવી સિસ્ટમને ત્રિકોણાકાર કહેવામાં આવે છે. તેની પાસે એક જ ઉપાય છે 
. તેથી, વેક્ટર્સ 
રેખીય રીતે સ્વતંત્ર.
કાર્ય 2.વેક્ટર્સ સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે કે કેમ તે શોધો.
.
ઉકેલ.વેક્ટર્સ 
રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે (સમસ્યા 1 જુઓ). ચાલો સાબિત કરીએ કે વેક્ટર એ વેક્ટરનું રેખીય સંયોજન છે 
. વેક્ટર વિસ્તરણ ગુણાંક 
સમીકરણોની સિસ્ટમ પરથી નક્કી કરવામાં આવે છે
.
આ સિસ્ટમ, ત્રિકોણાકારની જેમ, એક અનન્ય ઉકેલ ધરાવે છે.
તેથી, વેક્ટર્સ સિસ્ટમ 
રેખીય રીતે નિર્ભર.
ટિપ્પણી. સમસ્યા 1 માં સમાન પ્રકારના મેટ્રિસિસ કહેવામાં આવે છે ત્રિકોણાકાર , અને સમસ્યા 2 માં - સ્ટેપ્ડ ત્રિકોણાકાર . જો આ વેક્ટરોના કોઓર્ડિનેટ્સનું બનેલું મેટ્રિક્સ સ્ટેપ ત્રિકોણાકાર હોય તો વેક્ટરની સિસ્ટમની રેખીય અવલંબનનો પ્રશ્ન સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે. જો મેટ્રિક્સ પાસે વિશિષ્ટ સ્વરૂપ નથી, તો પછી ઉપયોગ કરીને પ્રાથમિક શબ્દમાળા રૂપાંતરણો , સ્તંભો વચ્ચે રેખીય સંબંધો સાચવીને, તેને એક સ્ટેપ-ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકાય છે.
પ્રાથમિક સ્ટ્રિંગ રૂપાંતરણમેટ્રિક્સ (ઇપીએસ) મેટ્રિક્સ પર નીચેની કામગીરી કહેવામાં આવે છે:
1) રેખાઓનું પુન: ગોઠવણી;
2) બિન-શૂન્ય સંખ્યા દ્વારા શબ્દમાળાનો ગુણાકાર;
3) સ્ટ્રિંગમાં બીજી સ્ટ્રિંગ ઉમેરીને, મનસ્વી સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર.
કાર્ય 3.મહત્તમ રેખીય સ્વતંત્ર સબસિસ્ટમ શોધો અને વેક્ટર્સ સિસ્ટમના રેન્કની ગણતરી કરો
.
ઉકેલ.ચાલો EPS નો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમના મેટ્રિક્સને સ્ટેપ-ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડીએ. પ્રક્રિયાને સમજાવવા માટે, અમે પ્રતીક દ્વારા રૂપાંતરિત કરવા માટે મેટ્રિક્સની સંખ્યા સાથેની રેખા દર્શાવીએ છીએ. તીર પછીનો કૉલમ રૂપાંતરિત થઈ રહેલા મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ પરની ક્રિયાઓ સૂચવે છે જે નવા મેટ્રિક્સની પંક્તિઓ મેળવવા માટે થવી જોઈએ.
.
દેખીતી રીતે, પરિણામી મેટ્રિક્સના પ્રથમ બે કૉલમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, ત્રીજો કૉલમ તેમનું રેખીય સંયોજન છે, અને ચોથો પ્રથમ બે પર આધાર રાખતો નથી. વેક્ટર્સ 
મૂળભૂત કહેવાય છે. તેઓ સિસ્ટમની મહત્તમ રેખીય સ્વતંત્ર સબસિસ્ટમ બનાવે છે , અને સિસ્ટમનો ક્રમ ત્રણ છે.
આધાર, સંકલન
કાર્ય 4.આ આધારમાં વેક્ટર્સનો આધાર અને કોઓર્ડિનેટ્સ ભૌમિતિક વેક્ટરના સમૂહ પર શોધો જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સ્થિતિને સંતોષે છે. 
.
ઉકેલ. સમૂહ એ મૂળમાંથી પસાર થતું વિમાન છે. પ્લેન પર મનસ્વી ધોરણે બે નોન-કોલિનિયર વેક્ટરનો સમાવેશ થાય છે. પસંદ કરેલ આધારમાં વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ અનુરૂપ સિસ્ટમના ઉકેલ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે રેખીય સમીકરણો.
આ સમસ્યાને હલ કરવાની બીજી રીત છે, જ્યારે તમે કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને આધાર શોધી શકો છો.
કોઓર્ડિનેટ્સ 
જગ્યાઓ પ્લેન પર કોઓર્ડિનેટ્સ નથી, કારણ કે તે સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે 
, એટલે કે, તેઓ સ્વતંત્ર નથી. સ્વતંત્ર ચલો અને (તેમને ફ્રી કહેવામાં આવે છે) પ્લેન પરના વેક્ટરને વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે અને તેથી, તેમને કોઓર્ડિનેટ્સ તરીકે પસંદ કરી શકાય છે. પછી આધાર 
મુક્ત ચલોના સેટમાં પડેલા અને તેને અનુરૂપ વેક્ટરનો સમાવેશ થાય છે 
અને 
, એટલે કે .
કાર્ય 5.અવકાશમાંના તમામ વેક્ટરના સમૂહ પર આ આધારમાં વેક્ટરનો આધાર અને કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો કે જેમના વિષમ કોઓર્ડિનેટ્સ એકબીજા સાથે સમાન હોય.
ઉકેલ. ચાલો, અગાઉની સમસ્યાની જેમ, અવકાશમાં સંકલન પસંદ કરીએ.
કારણ કે 
, પછી મફત ચલો 
વિશિષ્ટ રીતે વેક્ટરને નિર્ધારિત કરે છે અને તેથી કોઓર્ડિનેટ્સ છે. અનુરૂપ આધારમાં વેક્ટર્સનો સમાવેશ થાય છે.
કાર્ય 6.ફોર્મના તમામ મેટ્રિસિસના સેટ પર આ આધારમાં વેક્ટરનો આધાર અને કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો 
, ક્યાં 
- મનસ્વી સંખ્યાઓ.
ઉકેલ. માંથી દરેક મેટ્રિક્સ ફોર્મમાં વિશિષ્ટ રીતે રજૂ કરી શકાય છે:
આ સંબંધ એ આધારના સંદર્ભમાં વેક્ટરનું વિસ્તરણ છે 
કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે 
.
કાર્ય 7.વેક્ટરની સિસ્ટમના રેખીય હલનું પરિમાણ અને આધાર શોધો
.
ઉકેલ. EPS નો ઉપયોગ કરીને, અમે મેટ્રિક્સને સિસ્ટમ વેક્ટર્સના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી સ્ટેપ-ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ.
.
કૉલમ 
છેલ્લા મેટ્રિસિસ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, અને કૉલમ 
તેમના દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત થાય છે. તેથી, વેક્ટર્સ 
એક આધાર બનાવે છે 
, અને 
.
ટિપ્પણી. માં આધાર અસ્પષ્ટ રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, વેક્ટર 
પણ એક આધાર બનાવે છે 
.
રેખીય અવલંબન અને રેખીય સ્વતંત્રતાવેક્ટર
વેક્ટર્સનો આધાર. Affine કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ
ઓડિટોરિયમમાં ચોકલેટ્સ સાથેનું એક કાર્ટ છે, અને આજે દરેક મુલાકાતીને એક મીઠી દંપતી મળશે - રેખીય બીજગણિત સાથે વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ. આ લેખ ઉચ્ચ ગણિતના બે વિભાગોને એકસાથે સ્પર્શ કરશે, અને અમે જોઈશું કે તેઓ એક રેપરમાં કેવી રીતે સહઅસ્તિત્વ ધરાવે છે. વિરામ લો, ટ્વિક્સ ખાઓ! ...અરે, શું બકવાસ છે. જો કે, ઠીક છે, હું સ્કોર નહીં કરીશ, અંતે, તમારે અભ્યાસ પ્રત્યે સકારાત્મક વલણ રાખવું જોઈએ.
વેક્ટર્સની રેખીય અવલંબન, રેખીય વેક્ટર સ્વતંત્રતા, વેક્ટરનો આધારઅને અન્ય શબ્દોમાં માત્ર ભૌમિતિક અર્થઘટન નથી, પરંતુ, સૌથી ઉપર, બીજગણિત અર્થ. રેખીય બીજગણિતના દૃષ્ટિકોણથી "વેક્ટર" ની ખૂબ જ ખ્યાલ હંમેશા "સામાન્ય" વેક્ટર નથી જેને આપણે પ્લેન અથવા અવકાશમાં દર્શાવી શકીએ. તમારે પુરાવા માટે દૂર જોવાની જરૂર નથી, પાંચ-પરિમાણીય જગ્યાના વેક્ટરને દોરવાનો પ્રયાસ કરો 
. અથવા હવામાન વેક્ટર, જેના માટે હું હમણાં જ ગિસ્મેટિયો ગયો હતો: – તાપમાન અને વાતાવરણીય દબાણઅનુક્રમે ઉદાહરણ, અલબત્ત, વેક્ટર સ્પેસના ગુણધર્મોના દૃષ્ટિકોણથી ખોટું છે, પરંતુ, તેમ છતાં, કોઈ પણ આ પરિમાણોને વેક્ટર તરીકે ઔપચારિક બનાવવાની મનાઈ કરતું નથી. પાનખરનો શ્વાસ...
ના, હું તમને થિયરી, રેખીય વેક્ટર સ્પેસથી કંટાળીશ નહીં, કાર્ય એ છે સમજવુંવ્યાખ્યાઓ અને પ્રમેય. નવી શરતો (રેખીય અવલંબન, સ્વતંત્રતા, રેખીય સંયોજન, આધાર, વગેરે) બધાને લાગુ પડે છે બીજગણિતીય દૃષ્ટિકોણથી વેક્ટર, પરંતુ ભૌમિતિક ઉદાહરણો આપવામાં આવશે. આમ, બધું સરળ, સુલભ અને સ્પષ્ટ છે. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ સમસ્યાઓ ઉપરાંત, અમે કેટલાક લાક્ષણિક કાર્યોને પણ ધ્યાનમાં લઈશું બીજગણિત. સામગ્રીમાં નિપુણતા મેળવવા માટે, પાઠ સાથે પોતાને પરિચિત કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે ડમી માટે વેક્ટર્સ અને નિર્ણાયકની ગણતરી કેવી રીતે કરવી?
પ્લેન વેક્ટર્સની રેખીય અવલંબન અને સ્વતંત્રતા.
પ્લેન બેઝિસ અને એફાઈન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ
ચાલો તમારા કમ્પ્યુટર ડેસ્કના પ્લેનને ધ્યાનમાં લઈએ (ફક્ત એક ટેબલ, બેડસાઇડ ટેબલ, ફ્લોર, છત, તમને ગમે તે). કાર્ય હશે આગળનાં પગલાં:
1) પ્લેન આધાર પસંદ કરો. સામાન્ય રીતે કહીએ તો, ટેબલટોપની લંબાઈ અને પહોળાઈ હોય છે, તેથી તે સાહજિક છે કે આધાર બાંધવા માટે બે વેક્ટરની જરૂર પડશે. એક વેક્ટર સ્પષ્ટપણે પૂરતું નથી, ત્રણ વેક્ટર ખૂબ વધારે છે.
2) પસંદ કરેલ આધાર પર આધારિત છે સંકલન સિસ્ટમ સેટ કરો(કોઓર્ડિનેટ ગ્રીડ) ટેબલ પરના તમામ ઑબ્જેક્ટને કોઓર્ડિનેટ્સ સોંપવા માટે.
આશ્ચર્ય પામશો નહીં, શરૂઆતમાં સ્પષ્ટતા આંગળીઓ પર હશે. તદુપરાંત, તમારા પર. કૃપા કરીને મૂકો તર્જનીડાબો હાથટેબલટોપની ધાર પર જેથી તે મોનિટર તરફ જુએ. આ વેક્ટર હશે. હવે સ્થાન નાની આંગળી જમણો હાથ
તે જ રીતે ટેબલની ધાર પર - જેથી તે મોનિટર સ્ક્રીન પર નિર્દેશિત થાય. આ વેક્ટર હશે. સ્મિત, તમે મહાન જુઓ! વેક્ટર વિશે આપણે શું કહી શકીએ? ડેટા વેક્ટર સમરેખા, જેનો અર્થ થાય છે રેખીયએકબીજા દ્વારા વ્યક્ત:
, સારું, અથવા ઊલટું: , જ્યાં અમુક સંખ્યા શૂન્યથી અલગ હોય છે.
તમે વર્ગમાં આ ક્રિયાનું ચિત્ર જોઈ શકો છો. ડમી માટે વેક્ટર્સ , જ્યાં મેં વેક્ટરને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાનો નિયમ સમજાવ્યો.
શું તમારી આંગળીઓ કમ્પ્યુટર ડેસ્કના પ્લેન પર આધાર સેટ કરશે? દેખીતી રીતે નથી. કોલિનિયર વેક્ટર આગળ અને પાછળ ફરે છે એકલાદિશા, અને પ્લેન લંબાઈ અને પહોળાઈ ધરાવે છે.
આવા વેક્ટર કહેવામાં આવે છે રેખીય રીતે નિર્ભર.
સંદર્ભ: "રેખીય", "રેખીય" શબ્દો એ હકીકતને દર્શાવે છે કે ગાણિતિક સમીકરણો અને અભિવ્યક્તિઓમાં કોઈ ચોરસ, સમઘન, અન્ય શક્તિઓ, લઘુગણક, સાઈન વગેરે નથી. ત્યાં માત્ર રેખીય (1લી ડિગ્રી) અભિવ્યક્તિઓ અને અવલંબન છે.
બે પ્લેન વેક્ટર રેખીય રીતે નિર્ભર પછી અને માત્ર ત્યારે જજ્યારે તેઓ સમરેખા હોય છે.
ટેબલ પર તમારી આંગળીઓને ક્રોસ કરો જેથી તેમની વચ્ચે 0 અથવા 180 ડિગ્રી સિવાયનો કોઈ ખૂણો હોય. બે પ્લેન વેક્ટરરેખીય નથીનિર્ભર જો અને માત્ર જો તેઓ સમકક્ષ ન હોય. તેથી, આધાર પ્રાપ્ત થાય છે. શરમ અનુભવવાની જરૂર નથી કે આધાર વિવિધ લંબાઈના બિન-લંબ વેક્ટર્સ સાથે "ત્રાંસી" હોવાનું બહાર આવ્યું છે. ખૂબ જ ટૂંક સમયમાં આપણે જોઈશું કે તેના બાંધકામ માટે માત્ર 90 ડિગ્રીનો ખૂણો જ યોગ્ય નથી, અને માત્ર સમાન લંબાઈના એકમ વેક્ટર જ નહીં.
કોઈપણપ્લેન વેક્ટર એકમાત્ર રસ્તોઆધાર અનુસાર વિસ્તરણ કરવામાં આવે છે: 
, ક્યાં - વાસ્તવિક સંખ્યાઓ. નંબરો કહેવામાં આવે છે વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સઆ આધાર પર.
એવું પણ કહેવાય છે વેક્ટરતરીકે રજૂ કર્યું રેખીય સંયોજનઆધાર વેક્ટર. એટલે કે અભિવ્યક્તિ કહેવાય છે વેક્ટર વિઘટનઆધાર દ્વારાઅથવા રેખીય સંયોજનઆધાર વેક્ટર.
ઉદાહરણ તરીકે, આપણે કહી શકીએ કે વેક્ટર પ્લેનના ઓર્થોનોર્મલ આધાર સાથે વિઘટિત થાય છે, અથવા આપણે કહી શકીએ કે તે વેક્ટરના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ થાય છે.
ચાલો ઘડીએ આધારની વ્યાખ્યાઔપચારિક રીતે: પ્લેનનો આધારરેખીય રીતે સ્વતંત્ર (નોન-કોલિનિયર) વેક્ટરની જોડી કહેવાય છે, , જ્યારે કોઈપણપ્લેન વેક્ટર એ બેઝિસ વેક્ટરનું રેખીય સંયોજન છે.
વ્યાખ્યાનો એક આવશ્યક મુદ્દો એ હકીકત છે કે વેક્ટર્સ લેવામાં આવે છે ચોક્કસ ક્રમમાં. પાયા 
- આ બે સંપૂર્ણપણે અલગ પાયા છે! જેમ તેઓ કહે છે, તમે તમારા જમણા હાથની નાની આંગળીની જગ્યાએ તમારા ડાબા હાથની નાની આંગળીને બદલી શકતા નથી.
અમે આધાર શોધી કાઢ્યો છે, પરંતુ તમારા કમ્પ્યુટર ડેસ્ક પરની દરેક આઇટમને કોઓર્ડિનેટ ગ્રીડ સેટ કરવા અને કોઓર્ડિનેટ્સ સોંપવા માટે તે પૂરતું નથી. શા માટે તે પૂરતું નથી? વેક્ટર્સ મુક્ત છે અને સમગ્ર વિમાનમાં ભટકતા રહે છે. તો તમે જંગલી સપ્તાહના અંતે બચેલા ટેબલ પરના તે નાના ગંદા સ્થળોને કોઓર્ડિનેટ્સ કેવી રીતે સોંપશો? એક પ્રારંભિક બિંદુ જરૂરી છે. અને આવા સીમાચિહ્ન એ દરેક માટે પરિચિત બિંદુ છે - કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ. ચાલો કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સમજીએ:
હું "શાળા" સિસ્ટમથી શરૂઆત કરીશ. પહેલેથી જ પ્રારંભિક પાઠમાં ડમી માટે વેક્ટર્સ મેં લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ અને ઓર્થોનોર્મલ આધાર વચ્ચેના કેટલાક તફાવતો પ્રકાશિત કર્યા છે. અહીં પ્રમાણભૂત ચિત્ર છે:
જ્યારે તેઓ વિશે વાત કરે છે લંબચોરસ સંકલન સિસ્ટમ, તો મોટાભાગે તેનો અર્થ મૂળ, સંકલન અક્ષો અને અક્ષો સાથે સ્કેલ થાય છે. સર્ચ એન્જિનમાં "લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ" ટાઈપ કરવાનો પ્રયાસ કરો, અને તમે જોશો કે ઘણા સ્ત્રોતો તમને 5 થી 6ઠ્ઠા ધોરણથી પરિચિત કોઓર્ડિનેટ એક્સેસ અને પ્લેનમાં પોઈન્ટ કેવી રીતે બનાવવું તે વિશે જણાવશે.
બીજી બાજુ, એવું લાગે છે કે લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીને ઓર્થોનોર્મલ આધારની દ્રષ્ટિએ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. અને તે લગભગ સાચું છે. શબ્દરચના નીચે મુજબ છે.
મૂળ, અને ઓર્થોનોર્મલઆધાર સુયોજિત છે કાર્ટેશિયન લંબચોરસ પ્લેન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ . એટલે કે, લંબચોરસ સંકલન સિસ્ટમ ચોક્કસપણેએક બિંદુ અને બે એકમ ઓર્થોગોનલ વેક્ટર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી જ મેં ઉપર આપેલું ડ્રોઈંગ તમે જુઓ છો - ભૌમિતિક સમસ્યાઓમાં, વેક્ટર અને કોઓર્ડિનેટ અક્ષ બંને ઘણીવાર (પરંતુ હંમેશા નહીં) દોરવામાં આવે છે.
મને લાગે છે કે દરેક વ્યક્તિ સમજે છે કે બિંદુ (મૂળ) અને ઓર્થોનોર્મલ આધારનો ઉપયોગ કરીને પ્લેનમાં કોઈપણ પોઈન્ટ અને પ્લેનમાં કોઈપણ વેક્ટરકોઓર્ડિનેટ્સ સોંપી શકાય છે. અલંકારિક રીતે કહીએ તો, "પ્લેન પરની દરેક વસ્તુને ક્રમાંકિત કરી શકાય છે."
શું સંકલન વેક્ટર એકમ હોવું જરૂરી છે? ના, તેઓ મનસ્વી બિન-શૂન્ય લંબાઈ ધરાવી શકે છે. મનસ્વી બિન-શૂન્ય લંબાઈના એક બિંદુ અને બે ઓર્થોગોનલ વેક્ટરને ધ્યાનમાં લો:
આવા આધાર કહેવાય છે ઓર્થોગોનલ. વેક્ટર સાથેના કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ કોઓર્ડિનેટ ગ્રીડ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને પ્લેન પરના કોઈપણ બિંદુ, કોઈપણ વેક્ટર આપેલ આધારે તેના કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અથવા. સ્પષ્ટ અસુવિધા એ છે કે સંકલન વેક્ટર વી સામાન્ય કેસ
એકતા સિવાયની વિવિધ લંબાઈ ધરાવે છે. જો લંબાઈ એકતા સમાન હોય, તો સામાન્ય ઓર્થોનોર્મલ આધાર પ્રાપ્ત થાય છે.
! નોંધ : ઓર્થોગોનલ ધોરણે, તેમજ પ્લેન અને સ્પેસના સંલગ્ન પાયામાં નીચે, અક્ષો સાથેના એકમો ગણવામાં આવે છે શરતી. ઉદાહરણ તરીકે, એક્સ-અક્ષ સાથેના એક એકમમાં 4 સે.મી., ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથેના એક એકમમાં 2 સે.મી.નો સમાવેશ થાય છે, જો જરૂરી હોય તો, "બિન-માનક" કોઓર્ડિનેટને "અમારા સામાન્ય સેન્ટિમીટર"માં રૂપાંતરિત કરવા માટે આ માહિતી પૂરતી છે.
અને બીજો પ્રશ્ન, જેનો વાસ્તવમાં જવાબ આપવામાં આવ્યો છે, તે છે કે શું આધાર વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ 90 ડિગ્રી જેટલો હોવો જોઈએ? ના! વ્યાખ્યા જણાવે છે તેમ, આધાર વેક્ટર હોવા જોઈએ માત્ર બિન-કોલિનિયર. તદનુસાર, કોણ 0 અને 180 ડિગ્રી સિવાય કંઈપણ હોઈ શકે છે.
પ્લેન પર એક બિંદુ કહેવાય છે મૂળ, અને બિન-કોલિનિયરવેક્ટર , સેટ એફાઇન પ્લેન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ :
કેટલીકવાર આવી સંકલન સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે ત્રાંસુસિસ્ટમ ઉદાહરણ તરીકે, ડ્રોઇંગ પોઈન્ટ અને વેક્ટર દર્શાવે છે: 
જેમ તમે સમજો છો, એફિન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ પણ ઓછી અનુકૂળ છે વેક્ટર અને સેગમેન્ટની લંબાઈ માટેના સૂત્રો, જેની આપણે પાઠના બીજા ભાગમાં ચર્ચા કરી છે, તેમાં કામ કરતું નથી; ડમી માટે વેક્ટર્સ , સંબંધિત ઘણા સ્વાદિષ્ટ સૂત્રો વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદન . પરંતુ વેક્ટર ઉમેરવા અને વેક્ટરને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાના નિયમો માન્ય છે, આ સંદર્ભે સેગમેન્ટને વિભાજીત કરવા માટેના સૂત્રો, તેમજ કેટલીક અન્ય પ્રકારની સમસ્યાઓ કે જે અમે ટૂંક સમયમાં જોઈશું.
અને નિષ્કર્ષ એ છે કે એફાઈન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમનો સૌથી અનુકૂળ વિશેષ કેસ કાર્ટેશિયન લંબચોરસ સિસ્ટમ છે. તેથી જ તમારે મોટાભાગે તેણીને જોવાની જરૂર છે, મારા પ્રિય. ...જો કે, આ જીવનની દરેક વસ્તુ સાપેક્ષ છે - એવી ઘણી પરિસ્થિતિઓ છે જેમાં ત્રાંસી કોણ (અથવા કોઈ અન્ય, ઉદાહરણ તરીકે, ધ્રુવીય) સંકલન સિસ્ટમ. અને હ્યુમનૉઇડ્સને આવી સિસ્ટમ્સ ગમશે =)
ચાલો વ્યવહારુ ભાગ તરફ આગળ વધીએ. આ પાઠમાંની તમામ સમસ્યાઓ લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલી અને સામાન્ય અફિન કેસ બંને માટે માન્ય છે. અહીં કંઈ જટિલ નથી; શાળાના બાળક માટે પણ તમામ સામગ્રી સુલભ છે.
પ્લેન વેક્ટરની સમકક્ષતા કેવી રીતે નક્કી કરવી?
લાક્ષણિક વસ્તુ. બે પ્લેન વેક્ટર માટે ક્રમમાં 
સમરેખા હતા, તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે કે તેમના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ પ્રમાણસર હોયઆવશ્યકપણે, આ સ્પષ્ટ સંબંધની સંકલન-દ્વારા-સંકલન વિગતો છે.
ઉદાહરણ 1
a) ચકાસો કે શું વેક્ટર સમરેખા છે 
.
b) શું વેક્ટર આધાર બનાવે છે? 
?
ઉકેલ:
a) ચાલો શોધી કાઢીએ કે ત્યાં વેક્ટર્સ છે કે કેમ 
પ્રમાણસરતા ગુણાંક, જેમ કે સમાનતાઓ સંતુષ્ટ થાય છે: 
હું તમને "ફોપિશ" પ્રકારની એપ્લિકેશન વિશે ચોક્કસપણે કહીશ આ નિયમની, જે વ્યવહારમાં ખૂબ સારી રીતે કામ કરે છે. વિચાર એ છે કે તરત જ પ્રમાણ બનાવો અને જુઓ કે તે સાચું છે કે નહીં:
ચાલો વેક્ટરના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સના ગુણોત્તરમાંથી પ્રમાણ બનાવીએ:
ચાલો ટૂંકું કરીએ:
, આમ અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ પ્રમાણસર છે, તેથી,
સંબંધને બીજી રીતે બનાવી શકાય છે આ એક સમાન વિકલ્પ છે:
સ્વ-પરીક્ષણ માટે, તમે એ હકીકતનો ઉપયોગ કરી શકો છો કે કોલિનિયર વેક્ટર એકબીજા દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત થાય છે. IN આ કિસ્સામાંસમાનતાઓ છે 
. તેમની માન્યતા વેક્ટર સાથે પ્રાથમિક કામગીરી દ્વારા સરળતાથી ચકાસી શકાય છે: 
b) બે પ્લેન વેક્ટર એક આધાર બનાવે છે જો તેઓ સમકક્ષ (રેખીય રીતે સ્વતંત્ર) ન હોય. અમે સમન્વય માટે વેક્ટર્સનું પરીક્ષણ કરીએ છીએ 
. ચાલો એક સિસ્ટમ બનાવીએ: 
પ્રથમ સમીકરણથી તે અનુસરે છે , બીજા સમીકરણથી તે અનુસરે છે , જેનો અર્થ થાય છે સિસ્ટમ અસંગત છે (કોઈ ઉકેલો નથી). આમ, વેક્ટરના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ પ્રમાણસર નથી.
નિષ્કર્ષ: વેક્ટર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે અને એક આધાર બનાવે છે.
સોલ્યુશનનું સરળ સંસ્કરણ આના જેવું લાગે છે:
ચાલો વેક્ટરના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી પ્રમાણ બનાવીએ 
:
, જેનો અર્થ છે કે આ વેક્ટર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે અને એક આધાર બનાવે છે.
સામાન્ય રીતે, આ વિકલ્પ સમીક્ષકો દ્વારા નકારવામાં આવતો નથી, પરંતુ કેટલાક કોઓર્ડિનેટ્સ શૂન્ય સમાન હોય તેવા કિસ્સામાં સમસ્યા ઊભી થાય છે. આની જેમ: 
. અથવા આની જેમ: 
. અથવા આની જેમ: 
. અહીં પ્રમાણ દ્વારા કેવી રીતે કાર્ય કરવું? (ખરેખર, તમે શૂન્ય વડે ભાગી શકતા નથી). તે આ કારણોસર છે કે મેં સરળ ઉકેલને "ફોપિશ" કહ્યો.
જવાબ: a) , b) ફોર્મ.
માટે થોડું સર્જનાત્મક ઉદાહરણ સ્વતંત્ર નિર્ણય:
ઉદાહરણ 2
પરિમાણના કયા મૂલ્ય પર વેક્ટર છે 
શું તેઓ સમરેખા હશે?
નમૂનાના ઉકેલમાં, પરિમાણ પ્રમાણ દ્વારા જોવા મળે છે.
સમન્વય માટે વેક્ટર તપાસવાની એક ભવ્ય બીજગણિત રીત છે, ચાલો આપણા જ્ઞાનને વ્યવસ્થિત કરીએ અને તેને પાંચમા બિંદુ તરીકે ઉમેરીએ:
બે પ્લેન વેક્ટર માટે નીચેના વિધાન સમકક્ષ છે:
2) વેક્ટર એક આધાર બનાવે છે;
3) વેક્ટર સમરેખા નથી;
+ 5) આ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સનો બનેલો નિર્ણાયક બિનશૂન્ય છે.
અનુક્રમે, નીચેના વિરોધી નિવેદનો સમકક્ષ છે:
1) વેક્ટર્સ રેખીય રીતે આધારિત છે;
2) વેક્ટર આધાર બનાવતા નથી;
3) વેક્ટર સમરેખા છે;
4) વેક્ટર એકબીજા દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે;
+ 5) આ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સથી બનેલો નિર્ણાયક શૂન્ય બરાબર છે.
હું ખરેખર, ખરેખર આશા રાખું છું આ ક્ષણેતમે આવો છો તે તમામ નિયમો અને નિવેદનો તમે પહેલેથી જ સમજો છો.
ચાલો નવા, પાંચમા મુદ્દા પર નજીકથી નજર કરીએ: બે પ્લેન વેક્ટર 
જો અને માત્ર જો આપેલ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સથી બનેલો નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન હોય:. ઉપયોગ માટે આ લાક્ષણિકતાસ્વાભાવિક રીતે, તમારે સક્ષમ બનવાની જરૂર છે નિર્ધારકો શોધો
.
ચાલો નક્કી કરીએબીજી રીતે ઉદાહરણ 1:
a) ચાલો વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સથી બનેલા નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ 
:
, જેનો અર્થ છે કે આ વેક્ટર સમરેખા છે.
b) બે પ્લેન વેક્ટર એક આધાર બનાવે છે જો તેઓ સમકક્ષ (રેખીય રીતે સ્વતંત્ર) ન હોય. ચાલો વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સથી બનેલા નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ 
:
, જેનો અર્થ છે કે વેક્ટર્સ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે અને એક આધાર બનાવે છે.
જવાબ: a) , b) ફોર્મ.
તે પ્રમાણ સાથે ઉકેલ કરતાં વધુ કોમ્પેક્ટ અને સુંદર લાગે છે.
ધ્યાનમાં લેવાયેલી સામગ્રીની મદદથી, માત્ર વેક્ટર્સની સમન્વયતા સ્થાપિત કરવી શક્ય છે, પણ વિભાગો અને સીધી રેખાઓની સમાનતા સાબિત કરવી પણ શક્ય છે. ચાલો ચોક્કસ ભૌમિતિક આકારો સાથેની કેટલીક સમસ્યાઓનો વિચાર કરીએ.
ઉદાહરણ 3
ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ આપવામાં આવે છે. સાબિત કરો કે ચતુષ્કોણ એ સમાંતરગ્રામ છે.
પુરાવો: સમસ્યામાં ડ્રોઇંગ બનાવવાની જરૂર નથી, કારણ કે ઉકેલ સંપૂર્ણ રીતે વિશ્લેષણાત્મક હશે. ચાલો સમાંતરગ્રામની વ્યાખ્યા યાદ કરીએ:
સમાંતરગ્રામ
ચતુર્ભુજ જેની વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડીમાં સમાંતર હોય તેને કહેવામાં આવે છે.
તેથી, તે સાબિત કરવું જરૂરી છે:
1) વિરુદ્ધ બાજુઓની સમાંતરતા અને;
2) વિરુદ્ધ બાજુઓની સમાંતરતા અને.
અમે સાબિત કરીએ છીએ:
1) વેક્ટર્સ શોધો: 
2) વેક્ટર્સ શોધો: 
પરિણામ એ જ વેક્ટર છે ("શાળા અનુસાર" - સમાન વેક્ટર). સમકક્ષતા એકદમ સ્પષ્ટ છે, પરંતુ વ્યવસ્થા સાથે, સ્પષ્ટપણે નિર્ણયને ઔપચારિક બનાવવો વધુ સારું છે. ચાલો વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સથી બનેલા નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ: 
, જેનો અર્થ છે કે આ વેક્ટર સમરેખા છે, અને .
નિષ્કર્ષ: ચતુષ્કોણની વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડીમાં સમાંતર હોય છે, જેનો અર્થ છે કે તે વ્યાખ્યા દ્વારા સમાંતરગ્રામ છે. Q.E.D.
વધુ સારા અને અલગ આકૃતિઓ:
ઉદાહરણ 4
ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ આપવામાં આવે છે. સાબિત કરો કે ચતુર્ભુજ એક ટ્રેપેઝોઇડ છે.
પુરાવાની વધુ સખત રચના માટે, ટ્રેપેઝોઇડની વ્યાખ્યા મેળવવી તે વધુ સારું છે, પરંતુ તે કેવું દેખાય છે તે યાદ રાખવા માટે તે પૂરતું છે.
આ તમારા માટે એક કાર્ય છે જે તમે તમારા પોતાના પર હલ કરી શકો છો. સંપૂર્ણ ઉકેલપાઠના અંતે.
અને હવે ધીમે ધીમે પ્લેનમાંથી અવકાશમાં જવાનો સમય છે:
અવકાશ વેક્ટરની સમકક્ષતા કેવી રીતે નક્કી કરવી?
નિયમ ખૂબ સમાન છે. બે અવકાશ વેક્ટર સમરેખા હોય તે માટે, જરૂરી અને પર્યાપ્ત, જેથી તેમના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ પ્રમાણસર હોય.
ઉદાહરણ 5
નીચેના સ્પેસ વેક્ટર સમરેખા છે કે કેમ તે શોધો:
એ);
b)
વી) 
ઉકેલ:
a) ચાલો તપાસીએ કે વેક્ટરના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ માટે પ્રમાણસરતાનો ગુણાંક છે કે કેમ:
સિસ્ટમ પાસે કોઈ સોલ્યુશન નથી, જેનો અર્થ છે કે વેક્ટર કોલિનિયર નથી.
પ્રમાણ તપાસીને "સરળ" ઔપચારિક કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં:
- અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સ પ્રમાણસર નથી, જેનો અર્થ છે કે વેક્ટર સમરેખા નથી.
જવાબ:વેક્ટર સમરેખા નથી.
b-c) આ સ્વતંત્ર નિર્ણય માટેના મુદ્દા છે. તેને બે રીતે અજમાવી જુઓ.
તૃતીય-ક્રમ નિર્ણાયક દ્વારા સમકક્ષતા માટે અવકાશી વેક્ટરને તપાસવાની એક પદ્ધતિ છે, આ પદ્ધતિલેખમાં આવરી લેવામાં આવ્યું છે વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન .
પ્લેન કેસની જેમ જ, ધ્યાનમાં લેવાયેલા સાધનોનો ઉપયોગ અવકાશી સેગમેન્ટ્સ અને સીધી રેખાઓની સમાનતાનો અભ્યાસ કરવા માટે થઈ શકે છે.
બીજા વિભાગમાં આપનું સ્વાગત છે:
ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં વેક્ટર્સની રેખીય અવલંબન અને સ્વતંત્રતા.
અવકાશી આધાર અને એફિન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ
અમે પ્લેનમાં તપાસેલી ઘણી પેટર્ન જગ્યા માટે માન્ય હશે. હું કારણ કે સિદ્ધાંત નોંધો ઘટાડવા પ્રયાસ કર્યો સિંહનો હિસ્સોમાહિતી પહેલેથી જ ચાવવામાં આવી છે. જો કે, હું ભલામણ કરું છું કે તમે પ્રારંભિક ભાગ કાળજીપૂર્વક વાંચો, કારણ કે નવા નિયમો અને વિભાવનાઓ દેખાશે.
હવે, કમ્પ્યુટર ડેસ્કના પ્લેનને બદલે, અમે ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાનું અન્વેષણ કરીએ છીએ. પ્રથમ, ચાલો તેનો આધાર બનાવીએ. કોઈ હવે ઘરની અંદર છે, કોઈ બહાર છે, પરંતુ કોઈ પણ સંજોગોમાં, આપણે ત્રણ પરિમાણોથી છટકી શકતા નથી: પહોળાઈ, લંબાઈ અને ઊંચાઈ. તેથી, આધાર બનાવવા માટે, ત્રણ અવકાશી વેક્ટરની જરૂર પડશે. એક કે બે વેક્ટર પૂરતા નથી, ચોથો અનાવશ્યક છે.
અને ફરીથી અમે અમારી આંગળીઓ પર ગરમ કરીએ છીએ. કૃપા કરીને તમારો હાથ ઊંચો કરો અને તેને જુદી જુદી દિશામાં ફેલાવો અંગૂઠો, અનુક્રમણિકા અને મધ્યમ આંગળી . આ વેક્ટર્સ હશે, તેઓ જુદી જુદી દિશામાં જુએ છે, જુદી જુદી લંબાઈ ધરાવે છે અને તેમની વચ્ચે અલગ-અલગ ખૂણા હોય છે. અભિનંદન, ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાનો આધાર તૈયાર છે! માર્ગ દ્વારા, શિક્ષકોને આ દર્શાવવાની કોઈ જરૂર નથી, પછી ભલે તમે તમારી આંગળીઓને ગમે તેટલી વળાંક આપો, પરંતુ વ્યાખ્યાઓમાંથી કોઈ છટકી શકતું નથી =)
આગળ, ચાલો પૂછીએ મહત્વપૂર્ણ મુદ્દો, કોઈપણ ત્રણ વેક્ટર આધાર બનાવે છે ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા ? કૃપા કરીને કમ્પ્યુટર ડેસ્કની ટોચ પર ત્રણ આંગળીઓને મજબૂત રીતે દબાવો. શું થયું? ત્રણ વેક્ટર એક જ પ્લેનમાં સ્થિત છે, અને, આશરે કહીએ તો, આપણે એક પરિમાણ ગુમાવ્યું છે - ઊંચાઈ. આવા વેક્ટર છે કોપ્લાનરઅને, તે તદ્દન સ્પષ્ટ છે કે ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાનો આધાર બનાવવામાં આવ્યો નથી.
એ નોંધવું જોઈએ કે કોપ્લાનર વેક્ટર્સને સમાન વિમાનમાં સૂવું જરૂરી નથી, તેઓ સમાંતર વિમાનોમાં હોઈ શકે છે (માત્ર તમારી આંગળીઓથી આ ન કરો, ફક્ત સાલ્વાડોર ડાલીએ આ કર્યું =)).
વ્યાખ્યા: વેક્ટર કહેવાય છે કોપ્લાનર, જો ત્યાં કોઈ પ્લેન હોય કે જેની તેઓ સમાંતર હોય. અહીં ઉમેરવું તાર્કિક છે કે જો આવા પ્લેન અસ્તિત્વમાં ન હોય, તો વેક્ટર કોપ્લાનર નહીં હોય.
ત્રણ કોપ્લાનર વેક્ટર હંમેશા રેખીય રીતે આધારિત હોય છે, એટલે કે, તેઓ એકબીજા દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત થાય છે. સરળતા માટે, ચાલો ફરીથી કલ્પના કરીએ કે તેઓ એક જ વિમાનમાં આવેલા છે. સૌપ્રથમ, વેક્ટર માત્ર કોપ્લાનર જ નથી, તે કોલિનિયર પણ હોઈ શકે છે, પછી કોઈપણ વેક્ટર કોઈપણ વેક્ટર દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે. બીજા કિસ્સામાં, જો, ઉદાહરણ તરીકે, વેક્ટર સમરેખા ન હોય, તો ત્રીજો વેક્ટર તેમના દ્વારા અનન્ય રીતે વ્યક્ત થાય છે: 
(અને શા માટે અગાઉના વિભાગમાંની સામગ્રી પરથી અનુમાન લગાવવું સરળ છે).
વાતચીત પણ સાચી છે: ત્રણ નોન-કોપ્લાનર વેક્ટર હંમેશા રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોય છે, એટલે કે, તેઓ કોઈપણ રીતે એકબીજા દ્વારા વ્યક્ત થતા નથી. અને, દેખીતી રીતે, આવા વેક્ટર જ ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાનો આધાર બનાવી શકે છે.
વ્યાખ્યા: ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાનો આધારરેખીય રીતે સ્વતંત્ર (નોન-કોપ્લાનર) વેક્ટરનો ટ્રિપલ કહેવાય છે, ચોક્કસ ક્રમમાં લેવામાં આવે છે, અને અવકાશના કોઈપણ વેક્ટર એકમાત્ર રસ્તોઆપેલ આધાર પર વિઘટન થાય છે, આ આધારમાં વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ ક્યાં છે
ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે આપણે એમ પણ કહી શકીએ કે વેક્ટર ફોર્મમાં રજૂ થાય છે રેખીય સંયોજનઆધાર વેક્ટર.
કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમનો ખ્યાલ બરાબર એ જ રીતે રજૂ કરવામાં આવ્યો છે જે રીતે પ્લેન કેસ માટે અને કોઈપણ ત્રણ રેખીય સ્વતંત્ર વેક્ટર પૂરતા છે:
મૂળ, અને નોન-કોપ્લાનરવેક્ટર ચોક્કસ ક્રમમાં લેવામાં આવે છે, સેટ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશની affine કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ
:
અલબત્ત, કોઓર્ડિનેટ ગ્રીડ "ત્રાંસી" અને અસુવિધાજનક છે, પરંતુ, તેમ છતાં, બાંધવામાં આવેલ સંકલન સિસ્ટમ અમને પરવાનગી આપે છે ચોક્કસપણેકોઈપણ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ અને અવકાશમાં કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો. પ્લેનની જેમ, કેટલાક સૂત્રો કે જેનો મેં પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કર્યો છે તે અવકાશની અફિન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં કામ કરશે નહીં.
એફાઈન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમનો સૌથી પરિચિત અને અનુકૂળ વિશેષ કેસ, જેમ કે દરેક વ્યક્તિ અનુમાન કરે છે, તે છે લંબચોરસ જગ્યા સંકલન સિસ્ટમ:
અવકાશમાં એક બિંદુ કહેવાય છે મૂળ, અને ઓર્થોનોર્મલઆધાર સુયોજિત છે કાર્ટેશિયન લંબચોરસ જગ્યા સંકલન સિસ્ટમ
. પરિચિત ચિત્ર: 
વ્યવહારુ કાર્યો તરફ આગળ વધતા પહેલા, ચાલો ફરીથી માહિતીને વ્યવસ્થિત કરીએ:
ત્રણ અવકાશ વેક્ટર માટે નીચેના વિધાન સમકક્ષ છે:
1) વેક્ટર્સ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે;
2) વેક્ટર એક આધાર બનાવે છે;
3) વેક્ટર કોપ્લાનર નથી;
4) વેક્ટર એકબીજા દ્વારા રેખીય રીતે વ્યક્ત કરી શકાતા નથી;
5) નિર્ણાયક, આ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સથી બનેલો, શૂન્યથી અલગ છે.
મને લાગે છે કે વિરોધી નિવેદનો સમજી શકાય તેવા છે.
સ્પેસ વેક્ટર્સની રેખીય અવલંબન/સ્વતંત્રતા પરંપરાગત રીતે નિર્ણાયક (બિંદુ 5) નો ઉપયોગ કરીને તપાસવામાં આવે છે. બાકી વ્યવહારુ કાર્યોએક ઉચ્ચારણ બીજગણિતીય અક્ષર હશે. ભૂમિતિની લાકડીને લટકાવવાનો અને રેખીય બીજગણિતના બેઝબોલ બેટને ચલાવવાનો આ સમય છે:
અવકાશના ત્રણ વેક્ટરકોપ્લાનર છે જો અને માત્ર જો આપેલ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સથી બનેલો નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન હોય: 
.
હું તમારું ધ્યાન એક નાના તરફ દોરું છું તકનીકી સૂક્ષ્મતા: વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ ફક્ત કૉલમમાં જ નહીં, પણ પંક્તિઓમાં પણ લખી શકાય છે (નિર્ધારકની કિંમત આનાથી બદલાશે નહીં - જુઓ. નિર્ધારકોના ગુણધર્મો). પરંતુ તે કૉલમમાં વધુ સારું છે, કારણ કે તે કેટલીક વ્યવહારુ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે વધુ ફાયદાકારક છે.
તે વાચકો માટે કે જેઓ નિર્ણાયકોની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિઓ થોડી ભૂલી ગયા છે, અથવા કદાચ તેમને બિલકુલ સમજ નથી, હું મારા સૌથી જૂના પાઠમાંથી એકની ભલામણ કરું છું: નિર્ણાયકની ગણતરી કેવી રીતે કરવી?
ઉદાહરણ 6
તપાસો કે શું નીચેના વેક્ટર ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાનો આધાર બનાવે છે:
ઉકેલ: હકીકતમાં, સમગ્ર ઉકેલ નિર્ણાયકની ગણતરીમાં આવે છે.
a) ચાલો વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સથી બનેલા નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ (નિર્ધારક પ્રથમ લીટીમાં પ્રગટ થાય છે): 
, જેનો અર્થ છે કે વેક્ટર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે (કોપ્લાનર નથી) અને ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાનો આધાર બનાવે છે.
જવાબ આપો: આ વેક્ટર આધાર બનાવે છે
b) આ સ્વતંત્ર નિર્ણય લેવાનો મુદ્દો છે. પાઠના અંતે સંપૂર્ણ ઉકેલ અને જવાબ.
સર્જનાત્મક કાર્યો પણ છે:
ઉદાહરણ 7
પરિમાણના કયા મૂલ્ય પર વેક્ટર કોપ્લાનર હશે?
ઉકેલ: વેક્ટર કોપ્લાનર હોય છે જો અને માત્ર જો આ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સથી બનેલો નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન હોય: 
આવશ્યકપણે, તમારે નિર્ણાયક સાથે સમીકરણ ઉકેલવાની જરૂર છે. અમે જર્બોઆસ પરના પતંગની જેમ શૂન્ય પર ઝૂકીએ છીએ - બીજી લાઇનમાં નિર્ણાયકને ખોલવું અને તરત જ ગેરફાયદાથી છુટકારો મેળવવો શ્રેષ્ઠ છે: 
અમે વધુ સરળીકરણો હાથ ધરીએ છીએ અને બાબતને સરળ રેખીય સમીકરણમાં ઘટાડીએ છીએ: 
જવાબ આપો: ખાતે
અહીં તપાસ કરવી સરળ છે; આ કરવા માટે, તમારે પરિણામી મૂલ્યને મૂળ નિર્ણાયકમાં બદલવાની જરૂર છે અને તેની ખાતરી કરો 
, તેને ફરીથી ખોલીને.
નિષ્કર્ષમાં, ચાલો એક વધુ જોઈએ લાક્ષણિક કાર્ય, જે પ્રકૃતિમાં વધુ બીજગણિતીય છે અને પરંપરાગત રીતે રેખીય બીજગણિતના અભ્યાસક્રમમાં સમાવિષ્ટ છે. તે એટલું સામાન્ય છે કે તે તેના પોતાના વિષયને પાત્ર છે:
સાબિત કરો કે 3 વેક્ટર ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાનો આધાર બનાવે છે
અને આ આધારમાં 4થા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો
ઉદાહરણ 8
વેક્ટર આપવામાં આવે છે. બતાવો કે વેક્ટર ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં આધાર બનાવે છે અને આ આધારમાં વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધે છે.
ઉકેલ: પ્રથમ, ચાલો શરત સાથે વ્યવહાર કરીએ. શરત પ્રમાણે, ચાર વેક્ટર આપવામાં આવ્યા છે, અને, જેમ તમે જોઈ શકો છો, તેમની પાસે પહેલાથી જ અમુક ધોરણે કોઓર્ડિનેટ્સ છે. આ આધાર શું છે તે અમને રસ નથી. અને નીચેની વસ્તુ રસપ્રદ છે: ત્રણ વેક્ટર સારી રીતે રચી શકે છે નવો આધાર. અને પ્રથમ તબક્કો ઉદાહરણ 6 ના ઉકેલ સાથે સંપૂર્ણપણે એકરુપ છે તે તપાસવું જરૂરી છે કે શું વેક્ટર્સ ખરેખર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે:
ચાલો વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સથી બનેલા નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ: 
, જેનો અર્થ છે કે વેક્ટર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે અને ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાનો આધાર બનાવે છે.
! મહત્વપૂર્ણ : વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ આવશ્યકપણેલખો કૉલમમાંનિર્ણાયક, શબ્દમાળામાં નહીં. નહિંતર, આગળના ઉકેલ અલ્ગોરિધમમાં મૂંઝવણ હશે.
વ્યાખ્યા. વેક્ટર્સનું રેખીય સંયોજન a 1, ..., a n ગુણાંક સાથે x 1, ..., x n એ વેક્ટર કહેવાય છે
x 1 a 1 + ... + x n a n .
તુચ્છ, જો બધા ગુણાંક x 1 , ..., x n શૂન્ય સમાન હોય.
વ્યાખ્યા. રેખીય સંયોજન x 1 a 1 + ... + x n a n કહેવાય છે બિન-તુચ્છ, જો ઓછામાં ઓછા એક ગુણાંક x 1, ..., x n શૂન્યની બરાબર નથી.
રેખીય રીતે સ્વતંત્ર, જો શૂન્ય વેક્ટર સમાન આ વેક્ટરનું કોઈ બિન-તુચ્છ સંયોજન ન હોય.
એટલે કે, વેક્ટર a 1, ..., a n રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે જો x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 જો અને માત્ર જો x 1 = 0, ..., x n = 0 હોય.
વ્યાખ્યા. વેક્ટર a 1, ..., a n કહેવાય છે રેખીય રીતે નિર્ભર, જો શૂન્ય વેક્ટર સમાન આ વેક્ટરનું બિન-તુચ્છ સંયોજન હોય.
રેખીય રીતે આશ્રિત વેક્ટરના ગુણધર્મો:
n-પરિમાણીય વેક્ટર માટે.
n + 1 વેક્ટર હંમેશા રેખીય રીતે આધારિત હોય છે.
2 અને 3 પરિમાણીય વેક્ટર માટે.
બે રેખીય આશ્રિત વેક્ટર સમરેખા છે. (કોલિનિયર વેક્ટર રેખીય રીતે આધારિત છે.)
3-પરિમાણીય વેક્ટર માટે.
ત્રણ રેખીય આશ્રિત વેક્ટર કોપ્લાનર છે. (ત્રણ કોપ્લાનર વેક્ટર રેખીય રીતે આધારિત છે.)
રેખીય અવલંબન અને વેક્ટર્સની રેખીય સ્વતંત્રતા પર સમસ્યાઓના ઉદાહરણો:
ઉદાહરણ 1. તપાસો કે વેક્ટર a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે કે કેમ .
ઉકેલ:
વેક્ટર્સ રેખીય રીતે આધારિત હશે, કારણ કે વેક્ટરનું પરિમાણ વેક્ટરની સંખ્યા કરતા ઓછું છે.
ઉદાહરણ 2. તપાસો કે વેક્ટર a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે.
ઉકેલ:
| x 1 + x 2 = 0 | |
| x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
| x 1 + x 3 = 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 1 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 1 | 0 |
પ્રથમ લીટીમાંથી બીજાને બાદ કરો; ત્રીજી લાઇનમાં બીજી લાઇન ઉમેરો:
| ~ | 1 - 0 | 1 - 1 | 0 - (-1) | 0 - 0 | ~ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
| 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | ||||||
| 0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 + 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
આ સોલ્યુશન દર્શાવે છે કે સિસ્ટમમાં ઘણા ઉકેલો છે, એટલે કે, x 1, x 2, x 3 સંખ્યાઓના મૂલ્યોનું બિન-શૂન્ય સંયોજન છે જેમ કે a, b, c વેક્ટરનું રેખીય સંયોજન સમાન છે. શૂન્ય વેક્ટર, ઉદાહરણ તરીકે:
A + b + c = 0
અને આનો અર્થ એ છે કે વેક્ટર a, b, c રેખીય રીતે આધારિત છે.
જવાબ:વેક્ટર a, b, c રેખીય રીતે આધારિત છે.
ઉદાહરણ 3. તપાસો કે વેક્ટર a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે.
ઉકેલ:ચાલો આપણે ગુણાંકના મૂલ્યો શોધીએ કે જેના પર આ વેક્ટરનું રેખીય સંયોજન શૂન્ય વેક્ટર જેટલું હશે.
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0આ વેક્ટર સમીકરણ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ તરીકે લખી શકાય છે
| x 1 + x 2 = 0 | |
| x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
| x 1 + 2x 3 = 0 |
ચાલો ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ સિસ્ટમને હલ કરીએ
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 2 | 0 |
બીજી લાઇનમાંથી પ્રથમ બાદબાકી કરો; ત્રીજી લાઇનમાંથી પ્રથમ બાદબાકી કરો:
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 2 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 2 | 0 |
પ્રથમ લીટીમાંથી બીજાને બાદ કરો; ત્રીજી લાઇનમાં સેકન્ડ ઉમેરો.
દો એલએક મનસ્વી રેખીય જગ્યા છે, a i Î એલ,- તેના તત્વો (વેક્ટર).
વ્યાખ્યા 3.3.1.અભિવ્યક્તિ , ક્યાં , - મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, જેને રેખીય સંયોજન કહેવાય છે વેક્ટર a 1 , a 2 ,…, a n.
જો વેક્ટર આર = , પછી તેઓ કહે છે કે આર વેક્ટરમાં વિઘટિત a 1 , a 2 ,…, a n.
વ્યાખ્યા 3.3.2.વેક્ટર્સનું રેખીય સંયોજન કહેવામાં આવે છે બિન-તુચ્છ, જો સંખ્યાઓ વચ્ચે ઓછામાં ઓછું એક બિન-શૂન્ય હોય. નહિંતર, રેખીય સંયોજન કહેવામાં આવે છે તુચ્છ.
વ્યાખ્યા 3.3.3 . વેક્ટર a 1 , a 2 ,…, a nરેખીય રીતે આશ્રિત કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં તેમના જેવા બિન-તુચ્છ રેખીય સંયોજન અસ્તિત્વમાં હોય
= 0 .
વ્યાખ્યા 3.3.4. વેક્ટર a 1,a 2,…, a nજો સમાનતા હોય તો તેને રેખીય રીતે સ્વતંત્ર કહેવામાં આવે છે = 0 જ્યારે બધી સંખ્યાઓ હોય ત્યારે જ શક્ય છે l 1, l 2,…, એલ એનએક સાથે શૂન્ય સમાન છે.
નોંધ કરો કે કોઈપણ બિન-શૂન્ય તત્વ a 1 ને લીનિયરલી સ્વતંત્ર સિસ્ટમ તરીકે ગણી શકાય, કારણ કે સમાનતા l a 1 = 0 શક્ય હોય તો જ l= 0.
પ્રમેય 3.3.1.જરૂરી અને પૂરતી સ્થિતિરેખીય અવલંબન a 1, a 2,…, a nઆમાંના ઓછામાં ઓછા એક તત્વોને બાકીનામાં વિઘટન કરવાની શક્યતા છે.
પુરાવો. આવશ્યકતા. તત્વોને a 1 , a 2 ,…, a nરેખીય રીતે નિર્ભર. આનો અર્થ એ છે કે = 0 , અને ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા l 1, l 2,…, એલ એનશૂન્યથી અલગ. નિશ્ચિતતા માટે દો l 1 ¹ 0. પછી
એટલે કે તત્વ a 1 એ તત્વો a 2, a 3, …, a માં વિઘટિત થાય છે. n.
પર્યાપ્તતા. તત્વ a 1 ને તત્વો a 2 , a 3 , …, a માં વિઘટિત થવા દો n, એટલે કે a 1 = . પછી 
= 0
, તેથી, એક 1 , a 2 ,…, a વેક્ટર્સનું બિન-તુચ્છ રેખીય સંયોજન છે n, સમાન 0
, તેથી તેઓ રેખીય રીતે આશ્રિત છે .
પ્રમેય 3.3.2. જો ઘટકોમાંથી ઓછામાં ઓછું એક 1 , a 2 ,…, a nશૂન્ય, તો આ વેક્ટર રેખીય રીતે નિર્ભર છે.
પુરાવો . દો a n= 0 , પછી = 0 , જેનો અર્થ થાય છે આ તત્વોની રેખીય અવલંબન.
પ્રમેય 3.3.3. જો n વેક્ટર્સ વચ્ચે કોઈ p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.
પુરાવો. ચાલો, નિશ્ચિતતા માટે, તત્વો a 1 , a 2 ,…, a પીરેખીય રીતે નિર્ભર. આનો અર્થ એ છે કે એક બિન-તુચ્છ રેખીય સંયોજન છે જેમ કે = 0 . જો આપણે તેના બંને ભાગોમાં તત્વ ઉમેરીશું તો ઉલ્લેખિત સમાનતા સાચવવામાં આવશે. પછી + = 0 , અને ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા l 1, l 2,…, એલપીશૂન્યથી અલગ. તેથી, વેક્ટર a 1 , a 2 ,…, a nરેખીય રીતે નિર્ભર છે.
કોરોલરી 3.3.1.જો n તત્વો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, તો તેમાંથી કોઈપણ k રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે (k< n).
પ્રમેય 3.3.4. જો વેક્ટર્સ a 1, a 2,…, a n- 1 રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, અને તત્વો a 1, a 2,…, a n- 1, એ n એ રેખીય રીતે નિર્ભર છે, પછી વેક્ટર a n ને વેક્ટરમાં વિસ્તૃત કરી શકાય છે a 1, a 2,…, a n- 1 .
પુરાવો.શરત દ્વારા 1, એ 2 ,…, એ n- 1, એ n રેખીય રીતે આશ્રિત હોય છે, તો પછી તેમની વચ્ચે બિન-તુચ્છ રેખીય સંયોજન હોય છે = 0 , અને (અન્યથા, વેક્ટર a 1 , a 2 ,…, a રેખીય રીતે આશ્રિત બનશે n- 1). પરંતુ પછી વેક્ટર
,
Q.E.D.
