બર્નૌલી સમીકરણ ઉકેલો. પ્રથમ ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણો અને બર્નૌલી સમીકરણ

બર્નૌલીનું વિભેદક સમીકરણ એ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે

જ્યાં n≠0, n≠1.

આ સમીકરણને અવેજીનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી ગોઠવી શકાય છે

વી રેખીય સમીકરણ

પ્રેક્ટિસ પર વિભેદક સમીકરણબર્નોલી સામાન્ય રીતે રેખીય સમીકરણ તરફ દોરી જતું નથી, પરંતુ રેખીય સમીકરણ જેવી જ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને તરત જ ઉકેલી શકાય છે - કાં તો બર્નોલી પદ્ધતિ અથવા મનસ્વી સ્થિરાંકના વિવિધતાની પદ્ધતિ.

ચાલો જોઈએ કે કેવી રીતે અવેજી y=uv (બર્નૌલીની પદ્ધતિ) નો ઉપયોગ કરીને બર્નૌલીના વિભેદક સમીકરણને હલ કરવું. ઉકેલ યોજના માટે સમાન છે.

ઉદાહરણો. સમીકરણો ઉકેલો:

1) y’x+y=-xy².

આ બર્નૌલીનું વિભેદક સમીકરણ છે. ચાલો તેને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવીએ. આ કરવા માટે, બંને ભાગોને x દ્વારા વિભાજીત કરો: y’+y/x=-y². અહીં p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. પરંતુ આપણે તેને હલ કરવાની જરૂર નથી પ્રમાણભૂત દૃશ્ય. અમે શરતમાં આપેલા રેકોર્ડિંગ ફોર્મ સાથે કામ કરીશું.

1) રિપ્લેસમેન્ટ y=uv, જ્યાં u=u(x) અને v=v(x) એ x ના કેટલાક નવા કાર્યો છે. પછી y’=(uv)’=u’v+v’u. અમે પરિણામી સમીકરણોને શરતમાં બદલીએ છીએ: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) ચાલો કૌંસ ખોલીએ: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². હવે ચાલો શબ્દોને v સાથે જૂથબદ્ધ કરીએ: v+v’ux=-xu²v² (I) (આપણે ડિગ્રી v સાથે શબ્દને સ્પર્શતા નથી, જે સમીકરણની જમણી બાજુએ છે). હવે આપણને જરૂરી છે કે કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ શૂન્યની બરાબર હોય: u’x+u=0. અને આ વિભાજિત ચલ u અને x સાથેનું સમીકરણ છે. તેને હલ કર્યા પછી, અમે તમને શોધીશું. અમે u=du/dx ને બદલીએ છીએ અને ચલોને અલગ કરીએ છીએ: x·du/dx=-u. આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને dx વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને xu≠0 વડે ભાગીએ છીએ:

(યુ સી શોધીએ ત્યારે આપણે તેને શૂન્યની બરાબર લઈએ છીએ).

3) સમીકરણ (I) માં આપણે =0 અને મળેલ ફંક્શન u=1/x બદલીએ છીએ. આપણી પાસે સમીકરણ છે: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². સરળીકરણ પછી: v’=-(1/x)·v². આ વિભાજિત ચલ v અને x સાથેનું સમીકરણ છે. અમે v’=dv/dx ને બદલીએ છીએ અને ચલોને અલગ કરીએ છીએ: dv/dx=-(1/x)·v². આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને dx વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને v²≠0 વડે ભાગીએ છીએ:

(બંને બાજુઓને -1 વડે ગુણાકાર કરીને, બાદબાકીથી છૂટકારો મેળવવા માટે અમે -C લીધો). તેથી, (-1) વડે ગુણાકાર કરો:

(કોઈ C નહીં, પરંતુ ln│C│ લઈ શકે છે, અને આ કિસ્સામાં તે v=1/ln│Cx│ હશે).

2) 2y’+2y=xy².

ચાલો ખાતરી કરીએ કે આ બર્નૌલીનું સમીકરણ છે. બંને ભાગોને 2 વડે ભાગતા, આપણને y’+y=(x/2) y² મળે છે. અહીં p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. અમે બર્નૌલીની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ.

1) રિપ્લેસમેન્ટ y=uv, y’=u’v+v’u. અમે આ સમીકરણોને મૂળ સ્થિતિમાં બદલીએ છીએ: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) કૌંસ ખોલો: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². હવે ચાલો v: +2v’u=xu²v² (II) ધરાવતા શબ્દોનું જૂથ કરીએ. અમને જરૂરી છે કે કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ શૂન્યની બરાબર હોય: 2u’+2u=0, તેથી u’+u=0. આ u અને x માટે અલગ કરી શકાય તેવું સમીકરણ છે. ચાલો તેને હલ કરીએ અને તમને શોધીએ. અમે u’=du/dx ને બદલીએ છીએ, જ્યાંથી du/dx=-u. સમીકરણની બંને બાજુઓને dx વડે ગુણાકાર કરીને અને u≠0 વડે ભાગાકાર કરવાથી, આપણને મળશે: du/u=-dx. ચાલો એકીકૃત કરીએ:

3) (II) =0 અને માં બદલો

હવે આપણે v’=dv/dx ને બદલીએ છીએ અને ચલોને અલગ કરીએ છીએ:

ચાલો એકીકૃત કરીએ:

સમાનતાની ડાબી બાજુ એક ટેબલ ઇન્ટિગ્રલ છે, જમણી બાજુનું ઇન્ટિગ્રલ ભાગો સૂત્ર દ્વારા એકીકરણનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે:

અમારી પાસે રહેલા ભાગો સૂત્ર દ્વારા સંકલનનો ઉપયોગ કરીને મળેલા v અને du ને બદલીને:

અને ત્યારથી

ચાલો C=-C બનાવીએ:

4) y=uv થી, અમે મળેલા ફંક્શન્સ u અને v ને બદલીએ છીએ:

3) સમીકરણ x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0 ને એકીકૃત કરો.

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને x²(x-1)≠0 વડે વિભાજીત કરીએ અને y² સાથેના શબ્દને જમણી બાજુએ ખસેડીએ:

આ બર્નૌલીનું સમીકરણ છે

1) રિપ્લેસમેન્ટ y=uv, y’=u’v+v’u. હંમેશની જેમ, અમે આ અભિવ્યક્તિઓને મૂળ સ્થિતિમાં બદલીએ છીએ: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) તેથી x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². અમે v (v² - સ્પર્શ કરશો નહીં):

v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). હવે આપણને જરૂરી છે કે કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ શૂન્યની બરાબર હોય: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, તેથી x²(x-1)u’=x(x-2)u. સમીકરણમાં આપણે u અને x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u ને અલગ કરીએ છીએ. આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને dx વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને x²(x-1)u≠0 વડે ભાગીએ છીએ:

સમીકરણની ડાબી બાજુએ ટેબ્યુલર ઇન્ટિગ્રલ છે. તર્કસંગત અપૂર્ણાંકજમણી બાજુએ તમારે સરળ અપૂર્ણાંકમાં વિઘટન કરવાની જરૂર છે:

જ્યારે x=1: 1-2=A·0+B·1, જ્યાંથી B=-1.

x=0 પર: 0-2=A(0-1)+B·0, જ્યાંથી A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. લઘુગણકના ગુણધર્મો અનુસાર: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, જ્યાંથી u=x²/(x-1).

3) સમાનતા (III) માં આપણે =0 અને u=x²/(x-1) ને બદલીએ છીએ. અમને મળે છે: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,

v’=dv/dx, અવેજી:

C ને બદલે, અમે - C લઈએ છીએ, જેથી, બંને ભાગોને (-1) વડે ગુણાકાર કરીને, આપણે બાદબાકીથી છૂટકારો મેળવીએ:

ચાલો હવે જમણી બાજુના સમીકરણોને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીએ અને v શોધીએ:

4) y=uv થી, મળેલ ફંક્શન્સ u અને v ને બદલે, આપણને મળે છે:

સ્વ-પરીક્ષણ ઉદાહરણો:

1) ચાલો ખાતરી કરીએ કે આ બર્નૌલીનું સમીકરણ છે. બંને બાજુઓને x દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ, આપણી પાસે છે:

1) રિપ્લેસમેન્ટ y=uv, જ્યાંથી y’=u’v+v’u. અમે આ y અને y ને મૂળ સ્થિતિમાં બદલીએ છીએ:

2) v સાથે શરતોનું જૂથ બનાવો:

હવે આપણને જરૂરી છે કે કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ શૂન્યની બરાબર હોય અને આ સ્થિતિમાંથી u શોધો:

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરીએ:

3) સમીકરણ (*) માં આપણે =0 અને u=1/x² બદલીએ છીએ:

ચાલો પરિણામી સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરીએ.

ફોર્મ y' + P(x)y = Q(x), જ્યાં P(x) અને Q(x) એ x ના જાણીતા ફંક્શન છે, ફંક્શન y અને તેના ડેરિવેટિવ y'ના સંદર્ભમાં રેખીય છે, તેને કહેવામાં આવે છે પ્રથમ-ક્રમનું રેખીય વિભેદક સમીકરણ.

જો q(x)=0 હોય, તો સમીકરણને રેખીય સજાતીય સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. q(x)=0 – રેખીય અસંગત સમીકરણ.

એક રેખીય સમીકરણ y = u*v અવેજીનો ઉપયોગ કરીને વિભાજિત ચલ સાથેના બે સમીકરણોમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે, જ્યાં u = u(x) અને v = v(x) કેટલાક સહાયક સતત કાર્યો છે.

તેથી, y = u*v, y' = u'*v + u * v' (1),

પછી આપણે મૂળ સમીકરણને ફોર્મમાં ફરીથી લખીશું: u’*v + u * v’ + P(x)*v = Q(x) (2).

અજ્ઞાત ફંક્શન y એ બે ફંક્શનના ઉત્પાદન તરીકે માંગવામાં આવ્યું હોવાથી, તેમાંથી એકને મનસ્વી રીતે પસંદ કરી શકાય છે, અન્ય સમીકરણ (2) દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે.

ચાલો પસંદ કરીએ જેથી v’ + P(x)*v = 0 (3). આ માટે, તે પૂરતું છે કે v(x) સમીકરણ (3) (C = 0 પર) નો આંશિક ઉકેલ હોય. ચાલો આ ઉપાય શોધીએ:

V*P(x); = -;ln |v| = -;v = (4)

ફંક્શન (4) ને સમીકરણ (2) માં બદલીને, આપણે વિભાજિત ચલ સાથે બીજું સમીકરણ મેળવીએ છીએ, જેમાંથી આપણે ફંક્શન u(x) શોધીએ છીએ:

u’ * = Q(x) ; du = Q(x) *; u = +C (5)

છેલ્લે આપણને મળે છે:

y(x) = u(x)*v(x) = *( +C)

બર્નૌલીનું સમીકરણ:y’ + y = x* y 3

આ સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: y’ + P(x)*y = y’’ * Q(x), જ્યાં P(x) અને Q(x) સતત કાર્યો છે.

જો n = 0 હોય, તો બર્નૌલીનું સમીકરણ રેખીય વિભેદક સમીકરણ બને છે. જો n = 1 હોય, તો સમીકરણ એક અલગ કરી શકાય તેવું સમીકરણ બની જાય છે.

સામાન્ય રીતે, જ્યારે n ≠ 0, 1, eq. બર્નૌલીને અવેજીનો ઉપયોગ કરીને રેખીય વિભેદક સમીકરણમાં ઘટાડવામાં આવે છે: z = y 1- n

ફંક્શન z(x) માટેના નવા વિભેદક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: z" + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) અને રેખીય વિભેદકોની જેમ જ ઉકેલી શકાય છે. 1 લી ક્રમ સમીકરણો.

20. ઉચ્ચ ઓર્ડરના વિભેદક સમીકરણો.

ચાલો તે સમીકરણને ધ્યાનમાં લઈએ જેમાં સ્પષ્ટપણે ફંક્શન શામેલ નથી:

આ સમીકરણનો ક્રમ અવેજીનો ઉપયોગ કરીને એક દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે:

ખરેખર, પછી:

અને અમને એક સમીકરણ મળે છે જેમાં ક્રમ એકથી ઘટે છે:

ડિફ. બીજા કરતા ઉંચા ક્રમના સમીકરણો ફોર્મ અને , જ્યાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અને કાર્ય હોય છે f(x)એકીકરણ અંતરાલ પર સતત એક્સ.

આવા સમીકરણોને વિશ્લેષણાત્મક રીતે ઉકેલવા હંમેશા શક્ય નથી અને સામાન્ય રીતે અંદાજિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. જો કે, કેટલાક કિસ્સાઓમાં તે શોધવાનું શક્ય છે સામાન્ય નિર્ણય.

પ્રમેય.

સામાન્ય ઉકેલ y 0 અંતરાલ પર રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણ એક્સચાલુ ગુણાંક સાથે એક્સએક રેખીય સંયોજન છે n LODE ના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર આંશિક ઉકેલો મનસ્વી સાથે સતત ગુણાંક , તે જ .

પ્રમેય.

સામાન્ય નિર્ણય yરેખીય અસંગત વિભેદક

અંતરાલ પરના સમીકરણો એક્સતે જ પર સતત રાશિઓ સાથે

વચ્ચે એક્સગુણાંક અને કાર્ય f(x)રકમ રજૂ કરે છે

જ્યાં y 0 અનુરૂપ LODE નો સામાન્ય ઉકેલ છે, અને તે મૂળ LODE નો અમુક ચોક્કસ ઉકેલ છે.

આમ, સ્થિરાંકો સાથે રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણનું સામાન્ય ઉકેલ

ફોર્મમાં ગુણાંક શોધી રહ્યા છીએ, જ્યાં - કેટલાક

તેનો ખાનગી ઉકેલ, અને - અનુરૂપ સજાતીય વિભેદકનું સામાન્ય ઉકેલ

સમીકરણો

21. ટેસ્ટ અને ઘટનાઓ. ઘટનાઓના પ્રકાર. ઉદાહરણો.

પરીક્ષણ એ ઘટનાઓની ઘટના માટે ચોક્કસ શરતોની રચના છે. ઉદાહરણ: ડાઇસ ફેંકવું

ઘટના - એક અથવા બીજા પરીક્ષણ પરિણામની ઘટના/બિન-ઘટના; પરીક્ષણ પરિણામ. ઉદાહરણ: નંબર 2 રોલિંગ

અવ્યવસ્થિત ઘટના એ એક એવી ઘટના છે જે આપેલ કસોટી દરમિયાન બની શકે કે ન પણ બની શકે. ઉદાહરણ: 5 કરતા મોટી સંખ્યાને રોલ કરવી

વિશ્વસનીય - એક ઘટના જે આપેલ પરીક્ષણ દરમિયાન અનિવાર્યપણે થાય છે. ઉદાહરણ: 1 કરતા મોટી અથવા સમાન સંખ્યાને રોલ કરવી

શક્ય - એક ઘટના જે આપેલ પરીક્ષણ દરમિયાન બની શકે છે. ઉદાહરણ: નંબર 6 રોલિંગ

ઇમ્પોસિબલ - આપેલ કસોટી દરમિયાન ન થઇ શકે તેવી ઘટના. ઉદાહરણ: નંબર 7 રોલિંગ

A ને કોઈ ઘટના બનવા દો. તેની વિરુદ્ધની ઘટના દ્વારા, અમે ઘટના A ના ઘટનામાં સમાવિષ્ટ ઘટનાને સમજીશું. હોદ્દો: Ᾱ. ઉદાહરણ: A – નંબર 2 રોલ કરવામાં આવે છે, Ᾱ – અન્ય કોઈપણ નંબર રોલ કરવામાં આવે છે

ઘટનાઓ A અને B અસંગત છે જો તેમાંથી એકની ઘટના એ જ અજમાયશમાં બીજી ઘટનાને બાકાત રાખે છે. ઉદાહરણ: એક રોલમાં નંબર 1 અને 3 મેળવવો.

ઘટનાઓ A અને Bને સંયુક્ત કહેવામાં આવે છે જો તે એક અજમાયશમાં થઈ શકે. ઉદાહરણ: સમાન રોલ પર 2 થી મોટી સંખ્યા અને નંબર 4 મેળવવો.

22. ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ. ઉદાહરણો.

ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ - ઘટનાઓ A, B, C, D, ..., L, જે ફક્ત સંભવિત માનવામાં આવે છે જો, દરેક પરીક્ષણના પરિણામે, તેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક ચોક્કસપણે થશે. ઉદાહરણ: નંબર 1, નંબર 2, 3, 4, 5, 6 ડાઇસ પર દેખાય છે.

23. ઘટના આવર્તન. સંભાવનાની આંકડાકીય વ્યાખ્યા.

n પરીક્ષણો હાથ ધરવા દો, અને ઘટના A m વખત થાય છે. આ m:n ગુણોત્તર એ ઘટના A ની ઘટનાની આવૃત્તિ છે.

ડેફ. અવ્યવસ્થિત ઘટનાની સંભાવના એ આપેલ ઘટના સાથે સંકળાયેલ સ્થિર સંખ્યા છે, જેની આસપાસ આ ઘટનાની ઘટનાની આવૃત્તિ પરીક્ષણોની લાંબી શ્રેણીમાં વધઘટ થાય છે.

પ્રયોગ પહેલા સંભાવનાની ગણતરી કરવામાં આવે છે અને તે પછી આવર્તન.

24. સંભાવનાની ઉત્તમ વ્યાખ્યા. ઘટનાની સંભાવનાના ગુણધર્મો.

ઇવેન્ટ x ની સંભાવના એ ઘટના A ને અનુકુળ પરિણામોની સંખ્યા અને પ્રયોગના અસંગત અને અનન્ય રીતે શક્ય પરિણામોની સમાન રીતે શક્ય જોડી પ્રમાણેની કુલ સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે. P(A) =

ઘટનાની સંભાવના ગુણધર્મો:

કોઈપણ ઘટના A 0 માટે<=m<=n

દરેક પદને n વડે ભાગતા, આપણે કોઈપણ ઘટના A: 0 ની સંભાવના માટે મેળવીએ છીએ<=Р(А) <=1

જો m=0, તો ઘટના અશક્ય છે: P(A)=0

જો m=n, તો ઘટના વિશ્વસનીય છે: P(A)=1

જો એમ

25. સંભાવનાની ભૌમિતિક વ્યાખ્યા. ઉદાહરણો.

સંભાવનાની શાસ્ત્રીય વ્યાખ્યા માટે પ્રાથમિક પરિણામોની મર્યાદિત સંખ્યા અને સમાન રીતે શક્ય પરિણામોની વિચારણા જરૂરી છે. પરંતુ વ્યવહારમાં ઘણીવાર એવા પરીક્ષણો હોય છે જેમાં સંભવિત પરિણામોની સંખ્યા અનંત હોય છે.

ઓડીએ. જો કોઈ બિંદુ રેન્ડમલી માપ S ના એક-પરિમાણીય, દ્વિ-પરિમાણીય અથવા ત્રિ-પરિમાણીય પ્રદેશમાં દેખાય છે (માપ તેની લંબાઈ, વિસ્તાર અથવા વોલ્યુમ છે), તો માપ S ના આ ક્ષેત્રના ભાગમાં તેના દેખાવની સંભાવના સમાન છે. પ્રતિ

જ્યાં S એ કુલ સંખ્યા દર્શાવતું ભૌમિતિક માપ છે બધા શક્ય અને સમાન રીતે શક્યઆ પરીક્ષણના પરિણામો અને એસ i- ઘટના A ને અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા દર્શાવતું માપ.

ઉદાહરણ 1.ત્રિજ્યા R ના વર્તુળને ત્રિજ્યા r ના નાના વર્તુળમાં મૂકવામાં આવે છે કે મોટા વર્તુળમાં રેન્ડમ પર ફેંકવામાં આવેલ બિંદુ પણ નાના વર્તુળમાં આવે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉદાહરણ 2.લંબાઈ l ના સેગમેન્ટને લંબાઈ L ના સેગમેન્ટમાં સમાવવા દો. ઘટના A ની સંભાવના શોધો "એક રેન્ડમલી ફેંકવામાં આવેલ બિંદુ લંબાઈ l ના સેગમેન્ટ પર પડે છે."

ઉદાહરણ 3. વર્તુળમાં એક બિંદુ રેન્ડમલી પસંદ થયેલ છે. વર્તુળના કેન્દ્રમાં તેનું અંતર અડધા કરતા વધારે હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

ઉદાહરણ 4.બંને વ્યક્તિઓ બપોરે બે થી ત્રણ વાગ્યાની વચ્ચે ચોક્કસ સ્થળે મળવા માટે સંમત થયા હતા. આવનાર પ્રથમ વ્યક્તિ 10 મિનિટ સુધી બીજી વ્યક્તિની રાહ જુએ છે અને પછી જતી રહે છે. આ વ્યક્તિઓ મળવાની સંભાવના કેટલી છે જો તેમાંથી દરેક નિર્દિષ્ટ કલાક દરમિયાન ગમે ત્યારે આવી શકે, બીજાને ધ્યાનમાં લીધા વગર?

26. સંયોજનશાસ્ત્રના તત્વો: પ્લેસમેન્ટ, ક્રમચય, સંયોજનો.

1) ક્રમચયમર્યાદિત સમૂહમાં સ્થાપિત ક્રમ કહેવાય છે.

તમામ વિવિધ ક્રમચયોની સંખ્યા સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે

2) પ્લેસમેન્ટથી nદ્વારા તત્વો mકંઈપણ કહેવાય વ્યવસ્થિત m તત્વો ધરાવતા મુખ્ય સમૂહનો સબસેટ.

3) સંયોજનથી nદ્વારા તત્વો mકંઈપણ કહેવાય અવ્યવસ્થિત ઘટકો ધરાવતા મુખ્ય સમૂહનો સબસેટ.

વિભેદક સમીકરણ y" +a 0 (x)y=b(x)y n કહેવાય છે બર્નૌલીનું સમીકરણ.
કારણ કે n=0 સાથે એક રેખીય સમીકરણ પ્રાપ્ત થાય છે, અને n=1 સાથે - અલગ કરી શકાય તેવા ચલ સાથે, અમે ધારીએ છીએ કે n ≠ 0 અને n ≠ 1. (1) ની બંને બાજુઓને y n વડે વિભાજીત કરો. પછી, મૂકીને, અમારી પાસે છે. આ અભિવ્યક્તિને બદલે, આપણે મેળવીએ છીએ , અથવા, જે સમાન વસ્તુ છે, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). આ એક રેખીય સમીકરણ છે જેને આપણે કેવી રીતે હલ કરવું તે જાણીએ છીએ.

સેવાનો હેતુ. ઉકેલ તપાસવા માટે ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરી શકાય છે બર્નૌલી વિભેદક સમીકરણો.

=

ઉદાહરણ 1. y સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો " + 4xz = 4x. આર્બિટરી કોન્સ્ટન્ટના ભિન્નતાની પદ્ધતિ દ્વારા આ સમીકરણ ઉકેલવાથી, આપણે મેળવીએ છીએ જ્યાં અથવા, સમાન શું છે, .

ઉદાહરણ 2. y"+y+y 2 =0
y"+y = -y 2

y 2 વડે ભાગાકાર કરો
y"/y 2 + 1/y = -1

અમે રિપ્લેસમેન્ટ કરીએ છીએ:
z=1/y n-1 , એટલે કે z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z"= -y"/y 2

આપણને મળે છે: -z" + z = -1 અથવા z" - z = 1

ઉદાહરણ 3. xy’+2y+x 5 y 3 e x =0
ઉકેલ.
a) બર્નોલી સમીકરણ દ્વારા ઉકેલ.
ચાલો તેને ફોર્મમાં રજૂ કરીએ: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . n=3 માટે આ બર્નૌલીનું સમીકરણ છે. સમીકરણની બંને બાજુઓને y 3 વડે ભાગવાથી આપણને મળે છે: xy"/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x. આપણે બદલીએ છીએ: z=1/y 2. પછી z"=-2/y 3 અને તેથી સમીકરણ ફોર્મમાં ફરીથી લખાય છે: -xz"/2+2z=-x 5 e x. આ બિન-સમાન સમીકરણ છે. અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણને ધ્યાનમાં લો: -xz"/2+2z=0
1. તેને ઉકેલવાથી, આપણને મળે છે: z"=4z/x

સંકલન, અમને મળે છે:
ln(z) = 4ln(z)
z=x4. હવે આપણે મૂળ સમીકરણનો ઉકેલ આ સ્વરૂપમાં શોધીએ છીએ: y(x) = C(x)x 4 , y"(x) = C(x)"x 4 + C(x)(x 4)"
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x અથવા C(x)" = 2e x . એકીકરણ કરવાથી, આપણને મળે છે: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
y(x)=C(x)y શરતમાંથી, આપણે મેળવીએ છીએ: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) અથવા y = Cx 4 +2x 4 e x. z=1/y 2 થી, આપણને મળે છે: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x

બર્નૌલીનું સમીકરણસૌથી પ્રખ્યાત પૈકી એક છે પ્રથમ ક્રમના બિનરેખીય વિભેદક સમીકરણો. તે ફોર્મમાં લખાયેલ છે

જ્યાં a(x) અને b(x) સતત કાર્યો છે. જો m= 0, તો બર્નૌલીનું સમીકરણ રેખીય વિભેદક સમીકરણ બને છે. કિસ્સામાં જ્યારે m= 1, સમીકરણ એક અલગ કરી શકાય તેવું સમીકરણ બની જાય છે. સામાન્ય રીતે, જ્યારે m≠ 0.1, બર્નૌલીનું સમીકરણ અવેજીનો ઉપયોગ કરીને રેખીય વિભેદક સમીકરણમાં ઘટાડી દેવામાં આવ્યું છે

કાર્ય માટે નવું વિભેદક સમીકરણ z(x) ફોર્મ ધરાવે છે

અને પૃષ્ઠ પર વર્ણવેલ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે પ્રથમ-ક્રમ રેખીય વિભેદક સમીકરણો.

બર્નોલી પદ્ધતિ.

વિચારણા હેઠળના સમીકરણને બર્નૌલીની પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલી શકાય છે. આ કરવા માટે, અમે બે કાર્યોના ઉત્પાદનના સ્વરૂપમાં મૂળ સમીકરણનો ઉકેલ શોધીએ છીએ: જ્યાં u, v- થી કાર્યો x. તફાવત કરો: મૂળ સમીકરણ (1) માં અવેજી કરો: (2) તરીકે વિચાલો સમીકરણનો કોઈપણ બિન-શૂન્ય ઉકેલ લઈએ: (3) સમીકરણ (3) એ વિભાજિત ચલો સાથેનું સમીકરણ છે. અમે તેનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધી કાઢ્યા પછી v = v(x), તેને (2) માં બદલો. કારણ કે તે સમીકરણ (3) ને સંતોષે છે, કૌંસમાં અભિવ્યક્તિ શૂન્ય બની જાય છે. અમને મળે છે: આ પણ એક અલગ કરી શકાય તેવું સમીકરણ છે. આપણે તેનો સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ, અને તેની સાથે મૂળ સમીકરણનો ઉકેલ શોધીએ છીએ y = uv.

64. કુલ તફાવતમાં સમીકરણ. એકીકૃત પરિબળ. ઉકેલ પદ્ધતિઓ

ફોર્મનું પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણ

કહેવાય છે કુલ તફાવતમાં સમીકરણ, જો તેની ડાબી બાજુ અમુક કાર્યના કુલ વિભેદકને રજૂ કરે છે, એટલે કે.

પ્રમેય.સમીકરણ (1) કુલ ભિન્નતાઓમાં સમીકરણ બનવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે ચલોના પરિવર્તનના કેટલાક સરળ રીતે જોડાયેલા ડોમેનમાં સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે.

સમીકરણ (1) નું સામાન્ય અભિન્ન સ્વરૂપ અથવા

ઉદાહરણ 1. વિભેદક સમીકરણ ઉકેલો.

ઉકેલ. ચાલો તપાસીએ કે આ સમીકરણ કુલ વિભેદક સમીકરણ છે:

તેથી તે છે શરત (2) સંતુષ્ટ છે. આમ, આ સમીકરણ એ કુલ ભિન્નતાઓમાં સમીકરણ છે અને

તેથી, જ્યાં હજુ પણ અવ્યાખ્યાયિત કાર્ય છે.

સંકલન, અમને મળે છે. મળેલ ફંક્શનનું આંશિક વ્યુત્પન્ન સમાન હોવું જોઈએ, જે ક્યાંથી આપે છે જેથી આમ,.

મૂળ વિભેદક સમીકરણનું સામાન્ય અભિન્ન અંગ.

કેટલાક વિભેદક સમીકરણોને એકીકૃત કરતી વખતે, શરતોને એવી રીતે જૂથબદ્ધ કરી શકાય છે કે સરળતાથી સંકલન કરી શકાય તેવા સંયોજનો પ્રાપ્ત થાય.

65. ઉચ્ચ ઓર્ડરના સામાન્ય વિભેદક રેખીય સમીકરણો: સજાતીય અને અસંગત. રેખીય વિભેદક ઓપરેટર, તેના ગુણધર્મો (સાબિતી સાથે).

રેખીય વિભેદક ઓપરેટર અને તેના ગુણધર્મો.અંતરાલ પરના કાર્યોનો સમૂહ ( a , b ) ઓછું નહિ n ડેરિવેટિવ્ઝ, એક રેખીય જગ્યા બનાવે છે. ઓપરેટરનો વિચાર કરો એલ n (y ), જે કાર્ય દર્શાવે છે y (x ), ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવતાં, ફંક્શન ધરાવતાં k - n ડેરિવેટિવ્ઝ

પ્રથમ ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણ એ એક સમીકરણ છે જે અજાણ્યા કાર્ય અને તેના વ્યુત્પન્નના સંદર્ભમાં રેખીય છે. એવું લાગે છે

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

જ્યાં p(x) અને q(x) ને x ના ફંક્શન આપવામાં આવે છે, તે પ્રદેશમાં સતત જેમાં સમીકરણ (1) ને એકીકૃત કરવાની જરૂર છે.

જો q(x)\equiv0 હોય, તો સમીકરણ (1) કહેવાય છે રેખીય સજાતીય. તે એક અલગ કરી શકાય તેવું સમીકરણ છે અને તેનો સામાન્ય ઉકેલ છે

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\જમણે)\!,

અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધી શકાય છે મનસ્વી સ્થિરાંકના વિવિધતાની પદ્ધતિ, જેમાં એ હકીકત છે કે સમીકરણ (1) નો ઉકેલ ફોર્મમાં માંગવામાં આવ્યો છે

Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\જમણે), જ્યાં C(x) એ xનું નવું અજ્ઞાત કાર્ય છે.

ઉદાહરણ 1.સમીકરણ y"+2xy=2xe^(-x^2) ઉકેલો.

ઉકેલ.ચાલો સતત ભિન્નતા પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ. સજાતીય સમીકરણ y"+2xy=0 ને ધ્યાનમાં લો, જે આ અસંગત સમીકરણને અનુરૂપ છે. આ વિભાજિત ચલો સાથેનું સમીકરણ છે. તેના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ y=Ce^(-x^2) છે.

અમે y=C(x)e^(-x^2) સ્વરૂપમાં અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ, જ્યાં C(x) એ xનું અજ્ઞાત કાર્ય છે. અવેજીમાં, આપણને C"(x)=2x મળે છે, જ્યાંથી C(x)=x^2+C. તેથી, અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ y=(x^2+C)e^(-x^) હશે. 2) , જ્યાં C - એકીકરણનો સતત.

ટિપ્પણી.તે બહાર આવી શકે છે કે વિભેદક સમીકરણ y ના કાર્ય તરીકે x માં રેખીય છે. આવા સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ છે

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

ઉદાહરણ 2.સમીકરણ ઉકેલો \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

ઉકેલ.જો આપણે x ને y ના કાર્ય તરીકે ગણીએ તો આ સમીકરણ રેખીય છે:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

આપણે મનસ્વી સ્થિરાંકની વિવિધતાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પ્રથમ આપણે અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

જે અલગ કરી શકાય તેવા ચલો સાથેનું સમીકરણ છે. તેના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

અમે x=C(y)e^(\sin(y)) સ્વરૂપમાં સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ, જ્યાં C(y) એ y નું અજ્ઞાત કાર્ય છે. અવેજીમાં, અમને મળે છે

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yઅથવા C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

અહીંથી, ભાગો દ્વારા સંકલન, અમારી પાસે છે

\begin(સંરેખિત)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y)\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y)\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(સંરેખિત)

તેથી,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

આ સમીકરણને x=C(y)e^(\sin(y)) માં બદલીને, આપણે મૂળ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવીએ છીએ, અને તેથી આ સમીકરણ માટે:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

મૂળ સમીકરણ પણ નીચે પ્રમાણે એકીકૃત કરી શકાય છે. અમે માનીએ છીએ

Y=u(x)v(x),

જ્યાં u(x) અને v(x) x ના અજાણ્યા કાર્યો છે, જેમાંથી એક, ઉદાહરણ તરીકે v(x), મનસ્વી રીતે પસંદ કરી શકાય છે.

y=u(x)v(x) ને બદલીને, રૂપાંતર પછી આપણને મળે છે

Vu"+(pv+v")u=q(x).

v"+pv=0 શરતમાંથી v(x) નિર્ધારિત કરીને, પછી આપણે vu"+(pv+v")u=q(x) ફંક્શન u(x) માંથી શોધીએ છીએ અને પરિણામે, ઉકેલ y=uv સમીકરણ \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). v(x) તરીકે આપણે સમીકરણનો કોઈપણ વારંવાર ઉકેલ લઈ શકીએ છીએ v"+pv=0, ~v\not\equiv0.

ઉદાહરણ 3.કોચી સમસ્યા હલ કરો: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

ઉકેલ.અમે y=u(x)v(x) સ્વરૂપમાં સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધી રહ્યા છીએ; આપણી પાસે y"=u"v+uv છે. મૂળ સમીકરણમાં y અને y" ની અભિવ્યક્તિને બદલે, આપણી પાસે હશે

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)અથવા x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

આપણે x(x-1)v"+v=0 શરતમાંથી v=v(x) ફંક્શન શોધીએ છીએ. છેલ્લા સમીકરણનો કોઈ ચોક્કસ ઉકેલ લેતા, ઉદાહરણ તરીકે v=\frac(x)(x-1) અને તેને બદલીને, આપણને સમીકરણ u"=2x-1 મળે છે, જેમાંથી આપણને u(x)=x^2-x+C ફંક્શન મળે છે. તેથી, સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)કરશે

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),અથવા y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

પ્રારંભિક સ્થિતિ y|_(x=2)=4 નો ઉપયોગ કરીને, આપણે C શોધવા માટે સમીકરણ મેળવીએ છીએ 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, જ્યાંથી C=0 ; તેથી જણાવેલ કોચી સમસ્યાનો ઉકેલ y=x^2 ફંક્શન હશે.

ઉદાહરણ 4.તે જાણીતું છે કે પ્રતિકાર R અને સ્વ-ઇન્ડક્ટન્સ L ધરાવતા સર્કિટમાં વર્તમાન i અને ઇલેક્ટ્રોમોટિવ બળ E વચ્ચે સંબંધ છે. E=Ri+L\frac(di)(dt), જ્યાં R અને L અચલ છે. જો આપણે E ને સમય t નું કાર્ય ગણીએ, તો આપણે વર્તમાન તાકાત i માટે રેખીય અસંગત સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

જ્યારે કેસ માટે વર્તમાન તાકાત i(t) શોધો E=E_0=\text(const)અને i(0)=I_0 .

ઉકેલ.અમારી પાસે \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. આ સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). પ્રારંભિક સ્થિતિ (13) નો ઉપયોગ કરીને, અમે આમાંથી મેળવીએ છીએ C=I_0-\frac(E_0)(R), તેથી ઇચ્છિત ઉકેલ હશે

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\જમણે)\!e^(-(R/L)t).

આ બતાવે છે કે t\to+\infty પર વર્તમાન તાકાત i(t) સ્થિર મૂલ્ય \frac(E_0)(R) તરફ વલણ ધરાવે છે.

ઉદાહરણ 5.રેખીય અસંગત સમીકરણ y"+p(x)y=q(x) ના અભિન્ન વણાંકોનો એક કુટુંબ C_\આલ્ફા આપવામાં આવે છે.

બતાવો કે રેખીય સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વળાંક C_\alpha ને અનુરૂપ બિંદુઓ પરના સ્પર્શકો એક બિંદુ પર છેદે છે (ફિગ. 13).

ઉકેલ.બિંદુ M(x,y) પર કોઈપણ વળાંક C_\alpha માટે સ્પર્શકને ધ્યાનમાં લો M(x,y) બિંદુ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ સ્વરૂપ ધરાવે છે

\eta-q(x)(\xi-x)=y, જ્યાં \xi,\eta એ સ્પર્શ બિંદુના વર્તમાન કોઓર્ડિનેટ્સ છે.

વ્યાખ્યા પ્રમાણે, અનુરૂપ બિંદુઓ પર x સ્થિર છે અને y ચલ છે. કોઈપણ બે સ્પર્શકને અનુરૂપ બિંદુઓ પર C_\alpha રેખાઓ પર લઈ જવાથી, તેમના આંતરછેદના બિંદુ S ના કોઓર્ડિનેટ્સ માટે, આપણે મેળવીએ છીએ

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

આ બતાવે છે કે અનુરૂપ બિંદુઓ (x નિશ્ચિત છે) પર વક્ર C_\આલ્ફાના તમામ સ્પર્શક એક જ બિંદુ પર છેદે છે

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\જમણે).

સિસ્ટમમાં દલીલ x ને દૂર કરીને, આપણે બિંદુઓના સ્થાનનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ S\colon f(\xi,\eta)=0.

ઉદાહરણ 6.સમીકરણનો ઉકેલ શોધો y"-y=\cos(x)-\sin(x), શરત સંતોષે છે: y y\to+\infty પર મર્યાદિત છે.

ઉકેલ.આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ y=Ce^x+\sin(x) છે. C\ne0 માટેના સામાન્ય ઉકેલમાંથી મેળવેલ સમીકરણનો કોઈપણ ઉકેલ અનબાઉન્ડ હશે, કારણ કે x\to+\infty માટે ફંક્શન \sin(x) બાઉન્ડેડ છે અને e^x\to+\infty. તે અનુસરે છે કે આ સમીકરણમાં એક અનન્ય ઉકેલ y=\sin(x) છે, જે x\to+\infty પર બંધાયેલ છે, જે C=0 પરના સામાન્ય ઉકેલમાંથી મેળવવામાં આવે છે.

બર્નૌલીનું સમીકરણ

બર્નૌલીનું વિભેદક સમીકરણજેવો દેખાય છે

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, જ્યાં n\ne0;1 (n=0 અને n=1 માટે આ સમીકરણ રેખીય છે).

વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટનો ઉપયોગ z=\frac(1)(y^(n-1))બર્નૌલીના સમીકરણને રેખીય સમીકરણમાં ઘટાડી અને એક રેખીય સમીકરણ તરીકે સંકલિત કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 7.બર્નૌલીનું સમીકરણ y"-xy=-xy^3 ઉકેલો.

ઉકેલ.સમીકરણની બંને બાજુઓને y^3 વડે વિભાજીત કરો:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

પરિવર્તનશીલ ફેરફાર કરી રહ્યા છીએ \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", ક્યાં \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). અવેજી પછી, છેલ્લું સમીકરણ રેખીય સમીકરણમાં ફેરવાય છે

-\frac(z")(2)-xz=-xઅથવા z"+2xz=2x, જેનો સામાન્ય ઉકેલ z=1+Ce^(-x^2) છે.

અહીંથી આપણે આ સમીકરણનો સામાન્ય અભિન્ન ભાગ મેળવીએ છીએ

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)અથવા y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

ટિપ્પણી.બર્નૌલીના સમીકરણને રેખીય સમીકરણની જેમ, સ્થિરાંકના ભિન્નતાની પદ્ધતિ દ્વારા અને અવેજી y(x)=u(x)v(x) નો ઉપયોગ કરીને પણ એકીકૃત કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ 8.બર્નૌલીનું સમીકરણ xy"+y=y^2\ln(x) ઉકેલો.

ઉકેલ.ચાલો આપણે મનસ્વી સ્થિરાંકની વિવિધતાની પદ્ધતિ લાગુ કરીએ. અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ xy"+y=0 ના સામાન્ય ઉકેલમાં y=\frac(C)(x) સ્વરૂપ છે. અમે y=\frac(C(x)) સ્વરૂપમાં સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ. (x) , જ્યાં C(x) - નવું અજ્ઞાત ફંક્શન મૂળ સમીકરણમાં બદલાઈ રહ્યું છે

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

ફંક્શન C(x) શોધવા માટે, આપણે અલગ કરી શકાય તેવા ચલ સાથેનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ, જેમાંથી, ચલોને અલગ કરીને અને એકીકરણ કરીને, આપણે શોધીએ છીએ

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

તેથી, મૂળ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

ચલોના સફળતાપૂર્વક મળેલા ફેરફારનો ઉપયોગ કરીને કેટલાક પ્રથમ ક્રમના બિનરેખીય સમીકરણોને રેખીય સમીકરણો અથવા બર્નૌલી સમીકરણોમાં ઘટાડી શકાય છે.

ઉદાહરણ 9.સમીકરણ ઉકેલો y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

ઉકેલ.ચાલો આ સમીકરણ ફોર્મમાં લખીએ y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

દ્વારા સમીકરણની બંને બાજુઓનું વિભાજન 2\cos^2\frac(y)(2), અમને મળે છે \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\operatorname(tg)\frac(y)(2)+x=0.

બદલી \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))આ સમીકરણને રેખીય સુધી ઘટાડે છે \frac(dz)(dx)+z=-x, જેનો સામાન્ય ઉકેલ z=1-x+Ce^(-x) છે.

z ને y ની દ્રષ્ટિએ તેની અભિવ્યક્તિ દ્વારા બદલીને, આપણે આ સમીકરણનો સામાન્ય અભિન્ન ભાગ મેળવીએ છીએ \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

કેટલાક સમીકરણોમાં, ઇચ્છિત કાર્ય y(x) અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળ હોઈ શકે છે. આ કિસ્સાઓમાં, ભિન્નતા દ્વારા આ સમીકરણને વિભેદક સમીકરણમાં ઘટાડી શકાય છે.

ઉદાહરણ 10.સમીકરણ ઉકેલો x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

ઉકેલ. x ના સંદર્ભમાં આ સમીકરણની બંને બાજુઓને અલગ પાડવાથી, આપણને મળે છે

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x)અથવા માહિતીનો સ્ત્રોત