વ્યાખ્યાનમાં, LNDE નો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે - રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણો. સામાન્ય સોલ્યુશનનું માળખું ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, મનસ્વી સ્થિરાંકોની વિવિધતાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને LPDE નું સોલ્યુશન, સાથે LPDE નું સોલ્યુશન સતત ગુણાંકઅને ખાસ પ્રકારની જમણી બાજુ. વિચારણા હેઠળના મુદ્દાઓનો ઉપયોગ ભૌતિકશાસ્ત્ર, વિદ્યુત ઇજનેરી અને ઇલેક્ટ્રોનિક્સમાં ફરજિયાત ઓસિલેશનના અભ્યાસમાં અને સ્વચાલિત નિયંત્રણના સિદ્ધાંતમાં થાય છે.
1. 2જી ક્રમના રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલનું માળખું.
ચાલો પહેલા મનસ્વી હુકમના રેખીય અસંગત સમીકરણને ધ્યાનમાં લઈએ:
નોટેશનને ધ્યાનમાં રાખીને, અમે લખી શકીએ છીએ:
આ કિસ્સામાં, અમે ધારીશું કે ગુણાંક અને આ સમીકરણની જમણી બાજુ ચોક્કસ અંતરાલ પર સતત છે.
પ્રમેય. ચોક્કસ ડોમેનમાં રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ એ તેના કોઈપણ ઉકેલોનો સરવાળો અને અનુરૂપ રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ છે.
પુરાવો. Y ને એક અસંગત સમીકરણનો ઉકેલ બનવા દો.
પછી, જ્યારે આ ઉકેલને મૂળ સમીકરણમાં બદલીએ છીએ, ત્યારે આપણે ઓળખ મેળવીએ છીએ:
દો 
- મૂળભૂત સિસ્ટમરેખીય સજાતીય સમીકરણના ઉકેલો 
. પછી સામાન્ય નિર્ણયસજાતીય સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય છે:
ખાસ કરીને, 2જી ક્રમના રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણ માટે, સામાન્ય ઉકેલની રચનાનું સ્વરૂપ છે:
જ્યાં 
અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ છે, અને 
- એક અસંગત સમીકરણનો કોઈ ચોક્કસ ઉકેલ.
આમ, રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણને ઉકેલવા માટે, અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધવો અને કોઈક રીતે એક ચોક્કસ ઉકેલ શોધવો જરૂરી છે. અસંગત સમીકરણ. સામાન્ય રીતે તે પસંદગી દ્વારા જોવા મળે છે. અમે નીચેના પ્રશ્નોમાં ખાનગી ઉકેલ પસંદ કરવાની પદ્ધતિઓનો વિચાર કરીશું.
2. વિવિધતા પદ્ધતિ
વ્યવહારમાં, વિવિધ મનસ્વી સ્થિરાંકોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે.
આ કરવા માટે, પ્રથમ ફોર્મમાં અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો:
પછી, ગુણાંક મૂકે છે સી iથી કાર્યો એક્સ, અસંગત સમીકરણનો ઉકેલ માંગવામાં આવે છે:
તે સાબિત કરી શકાય છે કે કાર્યો શોધવા માટે સી i (x) આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરવાની જરૂર છે:
ઉદાહરણ.સમીકરણ ઉકેલો 
રેખીય સજાતીય સમીકરણ ઉકેલવું 
અસંગત સમીકરણના ઉકેલમાં આ સ્વરૂપ હશે:
ચાલો સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ:
ચાલો આ સિસ્ટમને હલ કરીએ:
સંબંધમાંથી આપણે કાર્ય શોધીએ છીએ ઓહ).
હવે આપણે શોધીએ છીએ B(x).
અમે મેળવેલ મૂલ્યોને અસંગત સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલ માટે સૂત્રમાં બદલીએ છીએ:
અંતિમ જવાબ: 
સામાન્ય રીતે કહીએ તો, મનસ્વી સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિ કોઈપણ રેખીય અસંગત સમીકરણના ઉકેલો શોધવા માટે યોગ્ય છે. પણ કારણકે અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણોના ઉકેલોની મૂળભૂત પ્રણાલી શોધવી એ ખૂબ મુશ્કેલ કાર્ય હોઈ શકે છે; આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે સતત ગુણાંક સાથેના અસંગત સમીકરણો માટે થાય છે.
3. વિશિષ્ટ સ્વરૂપની જમણી બાજુ સાથેના સમીકરણો
અસંગત સમીકરણની જમણી બાજુના પ્રકારને આધારે ચોક્કસ ઉકેલના પ્રકારની કલ્પના કરવી શક્ય લાગે છે.
નીચેના કેસોને અલગ પાડવામાં આવે છે:
I. રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણની જમણી બાજુનું સ્વરૂપ છે:
ડિગ્રીની બહુપદી ક્યાં છે m.
પછી ફોર્મમાં ચોક્કસ ઉકેલ માંગવામાં આવે છે:
અહીં પ્ર(x) - સમાન ડિગ્રીનો બહુપદી પી(x) , નાક અનિશ્ચિત ગુણાંક, એ આર– અનુરૂપ રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણ માટે સંખ્યા એ લાક્ષણિક સમીકરણનું મૂળ છે તે દર્શાવતી સંખ્યા.
ઉદાહરણ.સમીકરણ ઉકેલો 
.
ચાલો અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ હલ કરીએ: 
હવે મૂળ અસંગત સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધીએ.
ચાલો ઉપર ચર્ચા કરેલ જમણી બાજુના સ્વરૂપ સાથે સમીકરણની જમણી બાજુની તુલના કરીએ.
અમે ફોર્મમાં ચોક્કસ ઉકેલ શોધીએ છીએ: 
, ક્યાં
તે. 
ચાલો હવે અજાણ્યા ગુણાંક નક્કી કરીએ એઅને IN.
ચાલો આપણે વિશિષ્ટ ઉકેલને સામાન્ય સ્વરૂપમાં મૂળ અસંગત વિભેદક સમીકરણમાં બદલીએ.
કુલ, ખાનગી ઉકેલ: 
પછી રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ છે:
II. રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણની જમણી બાજુનું સ્વરૂપ છે:
અહીં આર 1 (X)અને આર 2 (X)- ડિગ્રીના બહુપદી m 1 અને m 2 અનુક્રમે
પછી અસંગત સમીકરણના ચોક્કસ ઉકેલનું સ્વરૂપ હશે:
નંબર ક્યાં છે આરસંખ્યા કેટલી વખત બતાવે છે 
અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ માટે લાક્ષણિક સમીકરણનું મૂળ છે, અને પ્ર 1
(x)
અને
પ્ર 2
(x)
- ડિગ્રીના બહુપદીઓ કરતાં વધુ નહીં m, ક્યાં m- ડિગ્રીઓમાં સૌથી મોટી m 1
અને m 2
.
ખાનગી ઉકેલોના પ્રકારોનું સારાંશ કોષ્ટક
વિવિધ પ્રકારની જમણી બાજુઓ માટે
|
વિભેદક સમીકરણની જમણી બાજુ |
લાક્ષણિક સમીકરણ |
ખાનગી પ્રકારો |
|
|
|
1. સંખ્યા એ લાક્ષણિક સમીકરણનું મૂળ નથી |
|
|
|
2. સંખ્યા એ ગુણાકારના લાક્ષણિક સમીકરણનું મૂળ છે |
|
||
|
|
1. સંખ્યા |
|
|
|
2. સંખ્યા |
|
||
|
1. સંખ્યાઓ |
|
||
|
2. સંખ્યાઓ |
|
||
|
1. સંખ્યાઓ | |||
|
2. સંખ્યાઓ |
લાક્ષણિક સમીકરણનું મૂળ નથી
ગુણાકારના લાક્ષણિક સમીકરણનું મૂળ છે 
ગુણાકારના લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ છે 
લાક્ષણિકતા ગુણાકાર સમીકરણના મૂળ નથી 
ગુણાકારના લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ છે 
નોંધ કરો કે જો સમીકરણની જમણી બાજુ એ ઉપરોક્ત ધ્યાનમાં લીધેલ પ્રકારનાં અભિવ્યક્તિઓનું સંયોજન છે, તો ઉકેલ એ સહાયક સમીકરણોના ઉકેલોના સંયોજન તરીકે જોવા મળે છે, જેમાંના દરેક સમીકરણને અનુરૂપ સમીકરણને અનુરૂપ જમણી બાજુ ધરાવે છે. સંયોજનમાં.
તે. જો સમીકરણ છે: 
, તો પછી આ સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ આવશે 
જ્યાં ખાતે 1
અને ખાતે 2
- સહાયક સમીકરણોના ચોક્કસ ઉકેલો
અને 
સમજાવવા માટે, ચાલો ઉપરના ઉદાહરણને અલગ રીતે હલ કરીએ.
ઉદાહરણ.સમીકરણ ઉકેલો 
ચાલો વિભેદક સમીકરણની જમણી બાજુને બે કાર્યોના સરવાળા તરીકે રજૂ કરીએ f 1 (x) + f 2 (x) = x + (- પાપ x).
ચાલો લાક્ષણિક સમીકરણ કંપોઝ કરીએ અને હલ કરીએ:
અમને મળે છે: એટલે કે. 
કુલ: 
તે. જરૂરી ચોક્કસ સોલ્યુશન ફોર્મ ધરાવે છે: 
બિન-સમાન વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ:
ચાલો વર્ણવેલ પદ્ધતિઓના ઉપયોગના ઉદાહરણો જોઈએ.
ઉદાહરણ 1..સમીકરણ ઉકેલો 
ચાલો અનુરૂપ રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણ માટે લાક્ષણિક સમીકરણ બનાવીએ:
હવે ફોર્મમાં અસંગત સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધીએ:
ચાલો અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ.
મૂળ સમીકરણમાં અવેજીમાં, આપણને મળે છે:
ચોક્કસ સોલ્યુશનનું સ્વરૂપ છે: 
રેખીય અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ: 
ઉદાહરણ.સમીકરણ ઉકેલો 
લાક્ષણિક સમીકરણ:
સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ: 
અસંગત સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ: 
.
અમે વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ અને તેમને મૂળ અસંગત સમીકરણમાં બદલીએ છીએ:
અમે અસંગત વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવીએ છીએ:
સતત ગુણાંક (PC) સાથે રેખીય અસંગત બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણો (LNDE-2) ઉકેલવાના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો
સ્થિર ગુણાંક $p$ અને $q$ સાથેનો 2જી ક્રમ LDDE $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ ધરાવે છે, જ્યાં $f\left(x \right)$ એ સતત કાર્ય છે.
PC સાથે LNDU 2 ના સંદર્ભમાં, નીચેના બે નિવેદનો સાચા છે.
ચાલો ધારીએ કે અમુક ફંક્શન $U$ એ અસંગત વિભેદક સમીકરણનું મનસ્વી આંશિક ઉકેલ છે. ચાલો આપણે એમ પણ માની લઈએ કે અમુક ફંક્શન $Y$ એ અનુરૂપ રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણ (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ નો સામાન્ય ઉકેલ (GS) છે. પછી GR LHDE-2 એ દર્શાવેલ ખાનગી અને સામાન્ય ઉકેલોના સરવાળાની બરાબર છે, એટલે કે, $y=U+Y$.
જો 2જી ક્રમની LMDE ની જમણી બાજુ એ કાર્યોનો સરવાળો છે, એટલે કે, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, પછી પહેલા આપણે PDs $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ શોધી શકીએ છીએ જે અનુરૂપ છે દરેક ફંકશન માટે $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, અને તે પછી $U=U_(1) +U_(2) +...U_(r) $ સ્વરૂપમાં CR LNDU-2 લખો.
પીસી સાથે 2જી ઓર્ડર LPDE નું સોલ્યુશન
તે સ્પષ્ટ છે કે આપેલ LNDU-2 ના એક અથવા બીજા PD $U$ નો પ્રકાર તેની જમણી બાજુના $f\left(x\right)$ ના વિશિષ્ટ સ્વરૂપ પર આધારિત છે. PD LNDU-2 શોધવાના સૌથી સરળ કિસ્સાઓ નીચેના ચાર નિયમોના સ્વરૂપમાં ઘડવામાં આવ્યા છે.
નિયમ નંબર 1.
LNDU-2 ની જમણી બાજુ $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ છે, જ્યાં $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, એટલે કે, તેને a કહેવાય છે ડિગ્રી $n$ નો બહુપદી. પછી તેનું PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ સ્વરૂપે માંગવામાં આવે છે, જ્યાં $Q_(n) \left(x\right)$ બીજું છે $P_(n) \left(x\right)$ સમાન ડિગ્રીનો બહુપદી, અને $r$ એ મૂળની સંખ્યા છે લાક્ષણિક સમીકરણ LOD-2 ને અનુરૂપ, શૂન્યની બરાબર. બહુપદી $Q_(n) \left(x\right)$ ના ગુણાંક અનિશ્ચિત ગુણાંક (UK) ની પદ્ધતિ દ્વારા જોવા મળે છે.
નિયમ નંબર 2.
LNDU-2 ની જમણી બાજુ $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ છે, જ્યાં $P_(n) \left( x\right)$ એ ડિગ્રી $n$ નો બહુપદી છે. પછી તેનું PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ સ્વરૂપે માંગવામાં આવે છે, જ્યાં $Q_(n) ) \ left(x\right)$ એ $P_(n) \left(x\right)$ સમાન ડિગ્રીનો બીજો બહુપદી છે, અને $r$ એ અનુરૂપ LODE-2 ના લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળની સંખ્યા છે. $\alpha $ ની બરાબર. બહુપદી $Q_(n) \left(x\right)$ ના ગુણાંક NC પદ્ધતિ દ્વારા જોવા મળે છે.
નિયમ નંબર 3.
LNDU-2 ની જમણી બાજુ $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) સ્વરૂપ ધરાવે છે \right) $, જ્યાં $a$, $b$ અને $\beta$ છે જાણીતી સંખ્યાઓ. પછી તેનું PD $U$ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) સ્વરૂપે માંગવામાં આવે છે. \right )\cdot x^(r) $, જ્યાં $A$ અને $B$ અજ્ઞાત ગુણાંક છે, અને $r$ એ અનુરૂપ LODE-2 ના લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળની સંખ્યા છે, જે $i\cdot ની બરાબર છે. \બીટા $. ગુણાંક $A$ અને $B$ બિન-વિનાશક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે.
નિયમ નંબર 4.
LNDU-2 ની જમણી બાજુ $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ છે, જ્યાં $P_(n) \left(x\right)$ છે ડિગ્રી $n$, અને $P_(m) \left(x\right)$ એ ડિગ્રી $m$ નો બહુપદી છે. પછી તેનું PD $U$ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $માં માંગવામાં આવે છે, જ્યાં $Q_(s) \left(x\right)$ અને $R_(s) \left(x\right)$ એ ડિગ્રી $s$ ના બહુપદી છે, $s$ એ બે સંખ્યાઓની મહત્તમ $n$ અને $m$ છે, અને $r$ એ મૂળની સંખ્યા છે અનુરૂપ LODE-2 ના લાક્ષણિક સમીકરણનું, $\alpha +i\cdot \beta $ જેટલું. બહુપદી $Q_(s) \left(x\right)$ અને $R_(s) \left(x\right)$ ના ગુણાંક NC પદ્ધતિ દ્વારા જોવા મળે છે.
NK પદ્ધતિમાં નીચેના નિયમને લાગુ કરવાનો સમાવેશ થાય છે. અસંગત વિભેદક સમીકરણ LNDU-2 ના આંશિક ઉકેલનો ભાગ છે તેવા બહુપદીના અજાણ્યા ગુણાંક શોધવા માટે, તે જરૂરી છે:
- PD $U$, સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખાયેલ, માં બદલો ડાબી બાજુ LNDU-2;
- LNDU-2 ની ડાબી બાજુએ, સમાન શક્તિઓ સાથે સરળીકરણ અને જૂથ શબ્દો કરો $x$;
- પરિણામી ઓળખમાં, ડાબી અને જમણી બાજુઓની સમાન શક્તિઓ $x$ સાથે શરતોના ગુણાંકને સમાન બનાવો;
- પરિણામી સિસ્ટમ ઉકેલો રેખીય સમીકરણોઅજાણ્યા ગુણાંકને સંબંધિત.
ઉદાહરણ 1
કાર્ય: શોધો અથવા LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. PD પણ શોધો , $x=0$ માટે $y=6$ અને $x=0$ માટે $y"=1$ પ્રારંભિક શરતોને સંતોષે છે.
અમે અનુરૂપ LOD-2 લખીએ છીએ: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
લાક્ષણિક સમીકરણ: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ છે: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. આ મૂળ માન્ય અને અલગ છે. આમ, અનુરૂપ LODE-2 નું OR ફોર્મ ધરાવે છે: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
આ LNDU-2 ની જમણી બાજુ $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ છે. ઘાતાંક $\alpha =3$ ના ગુણાંકને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે. આ ગુણાંક લાક્ષણિક સમીકરણના કોઈપણ મૂળ સાથે મેળ ખાતો નથી. તેથી, આ LNDU-2 ના PD પાસે $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ છે.
અમે NC પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને $A$, $B$ ગુણાંક શોધીશું.
અમે ચેક રિપબ્લિકનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
અમને ચેક રિપબ્લિકનું બીજું વ્યુત્પન્ન મળે છે:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
અમે આપેલ NLDE-2 $y""-3\cdot y" માં $y""$, $y"$ અને $y$ ને બદલે $U""$, $U"$ અને $U$ ને બદલીએ છીએ. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ વધુમાં, કારણ કે ઘાતાંક $e^(3\cdot x)$ એક પરિબળ તરીકે સમાવવામાં આવેલ છે. બધા ઘટકોમાં, પછી તેને અવગણી શકાય છે. અમને મળે છે:
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\જમણે)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
અમે પરિણામી સમાનતાની ડાબી બાજુએ ક્રિયાઓ કરીએ છીએ:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
અમે NDT પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અમે બે અજાણ્યા સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
આ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે: $A=-2$, $B=-1$.
અમારી સમસ્યા માટે PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ આના જેવો દેખાય છે: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.
અમારી સમસ્યા માટે OR $y=Y+U$ આના જેવો દેખાય છે: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
આપેલ પ્રારંભિક શરતોને સંતોષતા PD શોધવા માટે, અમે OP નું વ્યુત્પન્ન $y"$ શોધીએ છીએ:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
અમે $y$ અને $y"$ માં બદલીએ છીએ પ્રારંભિક શરતો $y=6$ માટે $x=0$ અને $y"=1$ $x=0$ માટે:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
અમને સમીકરણોની સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થઈ છે:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
ચાલો તેને હલ કરીએ. અમે ક્રેમરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $C_(1) $ શોધીએ છીએ, અને $C_(2) $ અમે પ્રથમ સમીકરણ પરથી નક્કી કરીએ છીએ:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ બિગિન(એરે)(સીસી) (1) અને (1) \\ (-3) અને (6) \ એન્ડ(એરે)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\જમણે)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
આમ, આ વિભેદક સમીકરણના PDનું સ્વરૂપ છે: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.
|
સતત ગુણાંક સાથે અસંગત બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણો |
|
સામાન્ય ઉકેલની રચના આ પ્રકારના રેખીય અસંગત સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: જ્યાં પી, q- સતત સંખ્યાઓ (જે વાસ્તવિક અથવા જટિલ હોઈ શકે છે). આવા દરેક સમીકરણ માટે આપણે અનુરૂપ લખી શકીએ છીએ સજાતીય સમીકરણ:
પ્રમેય: અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ એ સામાન્ય ઉકેલનો સરવાળો છે y 0 (x) અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ અને ચોક્કસ ઉકેલ y 1 (x) અસંગત સમીકરણ:
નીચે આપણે અસંગત વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવાની બે રીતો પર વિચાર કરીશું. સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિ જો સામાન્ય ઉકેલ yસંબંધિત સજાતીય સમીકરણમાંથી 0 જાણીતું છે, તો પછી અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ આનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે સતત વિવિધતા પદ્ધતિ. સજાતીય બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણના સામાન્ય સોલ્યુશનને આ સ્વરૂપ આપવા દો: તેના બદલે કાયમી સી 1 અને સી 2 અમે સહાયક કાર્યોને ધ્યાનમાં લઈશું સી 1 (x) અને સી 2 (x). અમે આ કાર્યોને શોધીશું કે ઉકેલ જમણી બાજુથી અસંગત સમીકરણને સંતુષ્ટ કર્યું f(x). અજાણ્યા કાર્યો સી 1 (x) અને સી 2 (x) બે સમીકરણોની સિસ્ટમમાંથી નક્કી કરવામાં આવે છે:
અનિશ્ચિત ગુણાંક પદ્ધતિ જમણો ભાગ f(x) એક અસંગત વિભેદક સમીકરણનું ઘણીવાર બહુપદી, ઘાતાંકીય અથવા ત્રિકોણમિતિ કાર્ય અથવા આ કાર્યોનું અમુક સંયોજન હોય છે. આ કિસ્સામાં, તેનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ શોધવાનું વધુ અનુકૂળ છે અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ. ચાલો તેના પર ભાર મૂકીએ આ પદ્ધતિજમણી બાજુના ફંક્શનના મર્યાદિત વર્ગ માટે જ કામ કરે છે, જેમ કે  બંને કિસ્સાઓમાં, ચોક્કસ ઉકેલની પસંદગી અસંગત વિભેદક સમીકરણની જમણી બાજુની રચનાને અનુરૂપ હોવી જોઈએ. કિસ્સામાં 1, જો નંબર α વી ઘાતાંકીય કાર્યલાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ સાથે એકરુપ છે, તો ચોક્કસ ઉકેલમાં વધારાનું પરિબળ હશે x s, ક્યાં s- રુટ ગુણાકાર α લાક્ષણિક સમીકરણમાં. કિસ્સામાં 2, જો સંખ્યા α + βiલાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ સાથે મેળ ખાય છે, તો પછી ચોક્કસ ઉકેલ માટેની અભિવ્યક્તિમાં વધારાનું પરિબળ હશે x. અજ્ઞાત ગુણાંક મૂળ અસંગત વિભેદક સમીકરણમાં ચોક્કસ ઉકેલ માટે મળેલ અભિવ્યક્તિને બદલીને નિર્ધારિત કરી શકાય છે. સુપરપોઝિશન સિદ્ધાંત જો inhomogeneous સમીકરણની જમણી બાજુ હોય રકમફોર્મના કેટલાક કાર્યો પછી વિભેદક સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ જમણી બાજુએ દરેક પદ માટે અલગથી બાંધવામાં આવેલા આંશિક ઉકેલોનો સરવાળો પણ હશે. |
|
ઉદાહરણ 1 |
|
વિભેદક સમીકરણ ઉકેલો y"" + y= પાપ (2 x). ઉકેલ. પ્રથમ આપણે અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ y"" + y= 0.વી આ બાબતેલાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ સંપૂર્ણપણે કાલ્પનિક છે: પરિણામે, સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ અભિવ્યક્તિ દ્વારા આપવામાં આવે છે ચાલો ફરીથી અસંગત સમીકરણ પર પાછા ફરીએ. અમે ફોર્મમાં તેનો ઉકેલ શોધીશું સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને. કાર્યો સી 1 (x) અને સી 2 (x) પરથી મળી શકે છે આગામી સિસ્ટમસમીકરણો
ચાલો વ્યુત્પન્ન વ્યક્ત કરીએ સી 1 " (x) પ્રથમ સમીકરણમાંથી:
બીજા સમીકરણમાં અવેજીમાં, આપણે વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ સી 2 " (x):
તે તેને અનુસરે છે ડેરિવેટિવ્ઝ માટે અભિવ્યક્તિઓનું એકીકરણ સી 1 " (x) અને સી 2 " (x), અમને મળે છે: જ્યાં એ 1 , એ 2 - એકીકરણના સ્થિરાંકો. હવે આપણે મળેલા કાર્યોને બદલીએ સી 1 (x) અને સી 2 (x) માટે સૂત્રમાં y 1 (x) અને અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ લખો:
|
|
ઉદાહરણ 2 |
|
સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો y"" + y" −6y = 36x. ઉકેલ. ચાલો અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ. આપેલ સમીકરણની જમણી બાજુ છે રેખીય કાર્ય f(x)= કુહાડી + બી. તેથી, અમે ફોર્મમાં ચોક્કસ ઉકેલ શોધીશું ડેરિવેટિવ્ઝ સમાન છે:
આને વિભેદક સમીકરણમાં બદલીને, આપણને મળે છે:
છેલ્લું સમીકરણ એક ઓળખ છે, એટલે કે, તે બધા માટે માન્ય છે x, તેથી આપણે સમાન ડિગ્રી સાથે પદોના ગુણાંકને સમાન કરીએ છીએ xડાબી અને જમણી બાજુએ: પરિણામી સિસ્ટમમાંથી આપણે શોધીએ છીએ: એ = −6, બી= −1. પરિણામે, ચોક્કસ ઉકેલ ફોર્મમાં લખવામાં આવે છે હવે ચાલો સજાતીય વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ. ચાલો સહાયક લાક્ષણિકતા સમીકરણના મૂળની ગણતરી કરીએ: તેથી, અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે: તેથી, મૂળ અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત થાય છે |
DE નું સામાન્ય અભિન્ન અંગ.
વિભેદક સમીકરણ ઉકેલો
પરંતુ સૌથી મજાની વાત એ છે કે જવાબ પહેલેથી જ જાણીતો છે: , વધુ સ્પષ્ટ રીતે, આપણે એક સ્થિરાંક પણ ઉમેરવો જોઈએ: સામાન્ય અભિન્ન એ વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ છે.
મનસ્વી સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિ. ઉકેલોના ઉદાહરણો
મનસ્વી સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ અસંગત વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટે થાય છે. આ પાઠ એવા વિદ્યાર્થીઓ માટે બનાવાયેલ છે જેઓ પહેલાથી જ આ વિષયમાં વધુ કે ઓછા વાકેફ છે. જો તમે હમણાં જ રિમોટ કંટ્રોલથી પરિચિત થવાનું શરૂ કરી રહ્યાં છો, એટલે કે. જો તમે ચાદાની છો, તો હું પ્રથમ પાઠથી પ્રારંભ કરવાની ભલામણ કરું છું: પ્રથમ ક્રમ વિભેદક સમીકરણો. ઉકેલોના ઉદાહરણો. અને જો તમે પહેલાથી જ સમાપ્ત કરી રહ્યાં છો, તો કૃપા કરીને સંભવિત પૂર્વધારણાને કાઢી નાખો કે પદ્ધતિ મુશ્કેલ છે. કારણ કે તે સરળ છે.
કયા કિસ્સાઓમાં મનસ્વી સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે?
1) આર્બિટરી કોન્સ્ટન્ટના ભિન્નતાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ ઉકેલવા માટે કરી શકાય છે 1લી ક્રમની રેખીય અસંગત DE. સમીકરણ પ્રથમ ક્રમનું હોવાથી, પછી સ્થિરાંક પણ એક છે.
2) મનસ્વી સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કેટલાક ઉકેલવા માટે થાય છે રેખીય અસંગત બીજા ક્રમના સમીકરણો. અહીં બે સ્થિરાંકો બદલાય છે.
તે ધારવું તાર્કિક છે કે પાઠમાં બે ફકરાઓનો સમાવેશ થશે... તેથી મેં આ વાક્ય લખ્યું, અને લગભગ 10 મિનિટ સુધી હું પીડાદાયક રીતે વિચારી રહ્યો હતો કે વ્યવહારુ ઉદાહરણોમાં સરળ સંક્રમણ માટે હું અન્ય કઈ હોંશિયાર વાહિયાત ઉમેરી શકું. પરંતુ કેટલાક કારણોસર રજાઓ પછી મારા મનમાં કોઈ વિચાર નથી, જો કે મેં કંઈપણ દુરુપયોગ કર્યો હોય તેવું લાગતું નથી. તેથી, ચાલો સીધા પ્રથમ ફકરા પર જઈએ.
મનસ્વી સ્થિરાંકના વિવિધતાની પદ્ધતિ પ્રથમ ક્રમના રેખીય અસંગત સમીકરણ માટે
મનસ્વી સ્થિરાંકની વિવિધતાની પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લેતા પહેલા, લેખથી પરિચિત થવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. પ્રથમ ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણો. એ પાઠમાં અમે પ્રેક્ટિસ કરી પ્રથમ ઉકેલઅસંગત 1 લી ઓર્ડર DE. આ પ્રથમ ઉકેલ, હું તમને યાદ કરાવું છું, કહેવાય છે રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિઅથવા બર્નૌલી પદ્ધતિ(સાથે મૂંઝવણમાં ન આવે બર્નૌલીનું સમીકરણ!!!)
હવે આપણે જોઈશું બીજો ઉકેલ- મનસ્વી સ્થિરાંકના વિવિધતાની પદ્ધતિ. હું ફક્ત ત્રણ ઉદાહરણો આપીશ, અને હું તેમને ઉપરોક્ત પાઠમાંથી લઈશ. શા માટે આટલા ઓછા? કારણ કે વાસ્તવમાં, બીજી રીતે સોલ્યુશન પ્રથમ રીતે સોલ્યુશન જેવું જ હશે. વધુમાં, મારા અવલોકનો અનુસાર, મનસ્વી સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિ રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિ કરતાં ઓછી વાર વપરાય છે.
ઉદાહરણ 1
વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો (પાઠના ઉદાહરણ નંબર 2 માંથી તફાવત 1લા ક્રમના રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણો)
ઉકેલ:આ સમીકરણ રેખીય અસંગત છે અને તેનું એક પરિચિત સ્વરૂપ છે:
પ્રથમ તબક્કે, એક સરળ સમીકરણ હલ કરવું જરૂરી છે: એટલે કે, અમે મૂર્ખતાપૂર્વક જમણી બાજુ શૂન્ય પર ફરીથી સેટ કરીએ છીએ - તેના બદલે શૂન્ય લખો. હું સમીકરણ કહીશ સહાયક સમીકરણ.
આ ઉદાહરણમાં, તમારે નીચેના સહાયક સમીકરણને હલ કરવાની જરૂર છે:
અમારા પહેલાં અલગ કરી શકાય તેવું સમીકરણ, જેનો ઉકેલ (હું આશા રાખું છું) તમારા માટે હવે મુશ્કેલ નથી:
આમ: - સહાયક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ.
બીજા પગલા પર અમે બદલીશુંકેટલાક સતત હમણાં માટેઅજ્ઞાત કાર્ય કે જે "x" પર આધાર રાખે છે:
તેથી પદ્ધતિનું નામ - અમે સતત બદલાય છે. વૈકલ્પિક રીતે, અચલ એ અમુક કાર્ય હોઈ શકે છે જે આપણે હવે શોધવાનું છે.
IN મૂળઅસંગત સમીકરણમાં આપણે રિપ્લેસમેન્ટ કરીએ છીએ:
ચાલો સમીકરણમાં બદલીએ:
નિયંત્રણ બિંદુ - ડાબી બાજુના બે શબ્દો રદ થાય છે. જો આવું ન થાય, તો તમારે ઉપરની ભૂલ શોધવી જોઈએ.
રિપ્લેસમેન્ટના પરિણામે, વિભાજિત ચલો સાથેનું સમીકરણ પ્રાપ્ત થયું. અમે ચલોને અલગ કરીએ છીએ અને એકીકૃત કરીએ છીએ.
શું આશીર્વાદ છે, ઘાત પણ રદ કરે છે:
અમે મળેલ કાર્યમાં "સામાન્ય" સ્થિરાંક ઉમેરીએ છીએ:
અંતિમ તબક્કે, અમને અમારી બદલી વિશે યાદ છે:
ફંક્શન હમણાં જ મળી ગયું છે!
તેથી સામાન્ય ઉકેલ છે:
જવાબ:સામાન્ય નિર્ણય: 
જો તમે બે ઉકેલો છાપો છો, તો તમે સહેલાઈથી નોંધ કરશો કે બંને કિસ્સાઓમાં અમને સમાન પૂર્ણાંકો મળ્યાં છે. એકમાત્ર તફાવત ઉકેલના અલ્ગોરિધમનો છે.
હવે કંઈક વધુ જટિલ માટે, હું બીજા ઉદાહરણ પર પણ ટિપ્પણી કરીશ:
ઉદાહરણ 2
વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો (પાઠના ઉદાહરણ નંબર 8માંથી તફાવત 1લા ક્રમના રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણો)
ઉકેલ:ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ લાવીએ:
ચાલો જમણી બાજુ રીસેટ કરીએ અને સહાયક સમીકરણ હલ કરીએ:
અમે ચલોને અલગ કરીએ છીએ અને એકીકૃત કરીએ છીએ: સહાયક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ:
અસંગત સમીકરણમાં આપણે રિપ્લેસમેન્ટ કરીએ છીએ:
ઉત્પાદન ભિન્નતાના નિયમ અનુસાર:
ચાલો મૂળ અસંગત સમીકરણમાં બદલીએ:
ડાબી બાજુના બે શબ્દો રદ કરે છે, જેનો અર્થ છે કે આપણે સાચા માર્ગ પર છીએ: 
ચાલો ભાગો દ્વારા એકીકૃત કરીએ. ભાગોના સૂત્ર દ્વારા સંકલનનો સ્વાદિષ્ટ અક્ષર પહેલેથી જ ઉકેલમાં સામેલ છે, તેથી અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે, "a" અને "be" અક્ષરો:
આખરે:
હવે ચાલો બદલીને યાદ કરીએ:
જવાબ:સામાન્ય નિર્ણય:
મનસ્વી સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિ રેખીય અસંગત બીજા ક્રમ સમીકરણ માટે સતત ગુણાંક સાથે
મેં ઘણી વાર એવો અભિપ્રાય સાંભળ્યો છે કે બીજા ક્રમના સમીકરણ માટે મનસ્વી સ્થિરાંકો બદલવાની પદ્ધતિ સરળ નથી. પરંતુ હું નીચે મુજબ ધારું છું: સંભવતઃ, પદ્ધતિ ઘણાને મુશ્કેલ લાગે છે કારણ કે તે ઘણી વાર થતી નથી. પરંતુ વાસ્તવમાં ત્યાં કોઈ ખાસ મુશ્કેલીઓ નથી - નિર્ણયનો માર્ગ સ્પષ્ટ, પારદર્શક અને સમજી શકાય તેવું છે. અને સુંદર.
પદ્ધતિમાં નિપુણતા મેળવવા માટે, જમણી બાજુના સ્વરૂપના આધારે ચોક્કસ ઉકેલ પસંદ કરીને અસંગત બીજા-ક્રમના સમીકરણોને હલ કરવામાં સક્ષમ થવું ઇચ્છનીય છે. આ પદ્ધતિલેખમાં વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે અસંગત 2જી ક્રમ DEs. અમે યાદ કરીએ છીએ કે સતત ગુણાંક સાથે બીજા ક્રમના રેખીય અસંગત સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:
પસંદગીની પદ્ધતિ, જેની ઉપરોક્ત પાઠમાં ચર્ચા કરવામાં આવી હતી, તે માત્ર ત્યારે જ મર્યાદિત સંખ્યામાં કામ કરે છે જ્યારે જમણી બાજુએ બહુપદી, ઘાતાંકીય, સાઈન અને કોસાઈન હોય. પરંતુ જ્યારે જમણી બાજુએ, ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક, લઘુગણક, સ્પર્શક હોય ત્યારે શું કરવું? આવી સ્થિતિમાં, સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિ બચાવમાં આવે છે.
ઉદાહરણ 4
બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો 
ઉકેલ:આ સમીકરણની જમણી બાજુએ એક અપૂર્ણાંક છે, તેથી આપણે તરત જ કહી શકીએ કે ચોક્કસ ઉકેલ પસંદ કરવાની પદ્ધતિ કામ કરતી નથી. આપણે મનસ્વી સ્થિરાંકોની વિવિધતાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
વાવાઝોડાના કોઈ ચિહ્નો નથી; ઉકેલની શરૂઆત સંપૂર્ણપણે સામાન્ય છે:
અમે શોધીશું સામાન્ય નિર્ણયયોગ્ય સમાનસમીકરણો
ચાલો લાક્ષણિક સમીકરણ કંપોઝ કરીએ અને હલ કરીએ: 
- સંયુક્ત જટિલ મૂળ મેળવવામાં આવે છે, તેથી સામાન્ય ઉકેલ છે:
સામાન્ય ઉકેલના રેકોર્ડ પર ધ્યાન આપો - જો ત્યાં કૌંસ હોય, તો તેને ખોલો.
હવે આપણે ફર્સ્ટ-ઓર્ડર સમીકરણ માટે લગભગ સમાન યુક્તિ કરીએ છીએ: અમે સ્થિરાંકોને બદલીએ છીએ, તેમને અજાણ્યા કાર્યો સાથે બદલીએ છીએ. તે જ, અસંગતનું સામાન્ય સોલ્યુશનઆપણે ફોર્મમાં સમીકરણો શોધીશું:
ક્યાં - હમણાં માટેઅજાણ્યા કાર્યો.
લેન્ડફિલ જેવું લાગે છે ઘર નો કચરોં, પરંતુ હવે અમે બધું ગોઠવીશું.
અજ્ઞાત એ કાર્યોના વ્યુત્પન્ન છે. અમારો ધ્યેય ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાનો છે, અને મળેલા ડેરિવેટિવ્ઝે સિસ્ટમના પ્રથમ અને બીજા બંને સમીકરણોને સંતોષવા જોઈએ.
"ગ્રીક" ક્યાંથી આવે છે? સ્ટોર્ક તેમને લાવે છે. અમે અગાઉ મેળવેલા સામાન્ય ઉકેલને જોઈએ છીએ અને લખીએ છીએ:
ચાલો ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ:
ડાબા ભાગો સાથે વ્યવહાર કરવામાં આવ્યો છે. જમણી બાજુ શું છે?
- આ જમણી બાજુ છે મૂળ સમીકરણ, આ બાબતે:
આ લેખ સતત ગુણાંક સાથે રેખીય અસંગત બીજા-ક્રમના વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવાના મુદ્દાને સંબોધિત કરે છે. આપેલ સમસ્યાઓના ઉદાહરણો સાથે સિદ્ધાંતની ચર્ચા કરવામાં આવશે. અગમ્ય શબ્દોને સમજવા માટે, વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ અને ખ્યાલોના વિષયનો સંદર્ભ લેવો જરૂરી છે.
ચાલો બીજા ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણ (LDE) ને y "" + p · y " + q · y = f (x) સ્વરૂપના સતત ગુણાંક સાથે ધ્યાનમાં લઈએ, જ્યાં p અને q એ મનસ્વી સંખ્યાઓ છે, અને હાલનું કાર્ય f (x) એકીકરણ અંતરાલ x પર સતત છે.
ચાલો LNDE ના સામાન્ય ઉકેલ માટે પ્રમેયની રચના તરફ આગળ વધીએ.
Yandex.RTB R-A-339285-1
LDNU માટે સામાન્ય ઉકેલ પ્રમેય
પ્રમેય 1y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + ફોર્મના અસંગત વિભેદક સમીકરણના અંતરાલ x પર સ્થિત સામાન્ય ઉકેલ. . . + f 0 (x) · y = f (x) x અંતરાલ પર સતત એકીકરણ ગુણાંક સાથે f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) અને સતત કાર્ય f(x) એ સામાન્ય ઉકેલ y 0 ના સરવાળા સમાન છે, જે LOD અને અમુક ચોક્કસ ઉકેલ y ~ ને અનુરૂપ છે, જ્યાં મૂળ અસંગત સમીકરણ y = y 0 + y ~ છે.
આ બતાવે છે કે આવા બીજા-ક્રમના સમીકરણના ઉકેલનું સ્વરૂપ y = y 0 + y ~ છે. y 0 શોધવા માટેના અલ્ગોરિધમની ચર્ચા સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણો પરના લેખમાં કરવામાં આવી છે. જે પછી આપણે y ~ ની વ્યાખ્યા તરફ આગળ વધવું જોઈએ.
LPDE માટે ચોક્કસ ઉકેલની પસંદગી સમીકરણની જમણી બાજુએ ઉપલબ્ધ ફંક્શન f (x) ના પ્રકાર પર આધારિત છે. આ કરવા માટે, સતત ગુણાંક સાથે રેખીય અસંગત બીજા-ક્રમના વિભેદક સમીકરણોના ઉકેલોને અલગથી ધ્યાનમાં લેવા જરૂરી છે.
જ્યારે f (x) ને nth ડિગ્રી f (x) = P n (x) નો બહુપદી ગણવામાં આવે છે, ત્યારે તે અનુસરે છે કે LPDE નું ચોક્કસ સોલ્યુશન ફોર્મ y ~ = Q n (x) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે. ) x γ, જ્યાં Q n ( x) એ ડિગ્રી n નો બહુપદી છે, r એ લાક્ષણિક સમીકરણના શૂન્ય મૂળની સંખ્યા છે. મૂલ્ય y ~ એ ચોક્કસ ઉકેલ y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) છે, પછી ઉપલબ્ધ ગુણાંક કે જે બહુપદી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે
Q n (x), અમે સમાનતા y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) માંથી અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ છીએ.
ઉદાહરણ 1
કોચીના પ્રમેય y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો.
ઉકેલ
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સતત ગુણાંક y "" - 2 y" = x 2 + 1 સાથે બીજા ક્રમના રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણના ચોક્કસ ઉકેલ તરફ આગળ વધવું જરૂરી છે, જે આપેલ શરતો y (0) ને સંતોષશે. = 2, y " (0) = 1 4 .
રેખીય અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ એ સામાન્ય ઉકેલનો સરવાળો છે, જે સમીકરણ y 0 અથવા અસંગત સમીકરણ y ~, એટલે કે, y = y 0 + y ~ ના ચોક્કસ ઉકેલને અનુરૂપ છે.
પ્રથમ, અમે LNDU માટે સામાન્ય ઉકેલ શોધીશું, અને પછી કોઈ ચોક્કસ.
ચાલો y 0 શોધવા તરફ આગળ વધીએ. લાક્ષણિક સમીકરણ લખવાથી તમને મૂળ શોધવામાં મદદ મળશે. અમે તે મેળવીએ છીએ
k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2
અમે જોયું કે મૂળ અલગ અને વાસ્તવિક છે. તેથી, ચાલો લખીએ
y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.
ચાલો y ~ શોધીએ. તે જોઈ શકાય છે કે આપેલ સમીકરણની જમણી બાજુ બીજી ડિગ્રીની બહુપદી છે, પછી મૂળમાંથી એક શૂન્ય બરાબર છે. આમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ કે y ~ માટે ચોક્કસ ઉકેલ હશે
y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, જ્યાં A, B, C ના મૂલ્યો અનિર્ધારિત ગુણાંક લે છે.
ચાલો તેમને y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 ફોર્મની સમાનતામાંથી શોધીએ.
પછી આપણને તે મળે છે:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
x ના સમાન ઘાતાંક સાથે ગુણાંકને સમાન કરીને, આપણે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. કોઈપણ પદ્ધતિ દ્વારા હલ કરતી વખતે, આપણે ગુણાંક શોધીશું અને લખીશું: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 અને y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .
આ એન્ટ્રીને મૂળ રેખીય અસંગત બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણનું સામાન્ય ઉકેલ કહેવામાં આવે છે જેમાં સ્થિર ગુણાંક હોય છે.
y (0) = 2, y "(0) = 1 4 શરતોને સંતોષતા ચોક્કસ ઉકેલ શોધવા માટે, મૂલ્યો નક્કી કરવા જરૂરી છે. સી 1અને સી 2, y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x ફોર્મની સમાનતાના આધારે.
અમને તે મળે છે:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
અમે C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 ફોર્મના સમીકરણોની પરિણામી સિસ્ટમ સાથે કામ કરીએ છીએ, જ્યાં C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.
કોચીના પ્રમેયને લાગુ પાડીને, આપણી પાસે તે છે
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
જવાબ: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
જ્યારે ફંક્શન f (x) એ ડિગ્રી n અને ઘાતાંક f (x) = P n (x) · e a x સાથે બહુપદીના ગુણાંક તરીકે રજૂ થાય છે, ત્યારે આપણે મેળવીએ છીએ કે બીજા-ક્રમના LPDE નો ચોક્કસ ઉકેલ એ હશે. ફોર્મનું સમીકરણ y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ, જ્યાં Q n (x) એ nમી ડિગ્રીની બહુપદી છે, અને r એ α ની સમાન લાક્ષણિકતા સમીકરણના મૂળની સંખ્યા છે.
Q n (x) થી સંબંધિત ગુણાંક સમાનતા y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) દ્વારા જોવા મળે છે.
ઉદાહરણ 2
y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x ફોર્મના વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો.
ઉકેલ
સમીકરણ સામાન્ય દૃશ્ય y = y 0 + y ~ . સૂચવેલ સમીકરણ LOD y "" - 2 y " = 0 ને અનુરૂપ છે. અગાઉના ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે તેના મૂળ સમાન છે k 1 = 0અને k 2 = 2 અને y 0 = C 1 + C 2 e 2 x લાક્ષણિક સમીકરણ દ્વારા.
તે જોઈ શકાય છે કે સમીકરણની જમણી બાજુ x 2 + 1 · e x છે. અહીંથી LPDE એ y ~ = e a x · Q n (x) · x γ દ્વારા જોવા મળે છે, જ્યાં Q n (x) એ બીજી ડિગ્રીની બહુપદી છે, જ્યાં α = 1 અને r = 0, કારણ કે લાક્ષણિકતા સમીકરણ નથી 1 ની બરાબર રુટ છે. અહીંથી આપણે તે મેળવીએ છીએ
y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .
A, B, C એ અજાણ્યા ગુણાંક છે જે સમાનતા y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x દ્વારા શોધી શકાય છે.
સમજાયું
y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
અમે સમાન ગુણાંક સાથે સૂચકાંકોને સમાન કરીએ છીએ અને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ. અહીંથી આપણે A, B, C શોધીએ છીએ:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
જવાબ:તે સ્પષ્ટ છે કે y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 એ LNDDE નો ચોક્કસ ઉકેલ છે, અને y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - બીજા ક્રમના અસંગત તફાવત સમીકરણ માટે સામાન્ય ઉકેલ.
જ્યારે ફંક્શનને f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x તરીકે લખવામાં આવે છે, અને એ 1અને 1 માંસંખ્યાઓ છે, તો પછી LPDE ના આંશિક ઉકેલને y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ સ્વરૂપનું સમીકરણ માનવામાં આવે છે, જ્યાં A અને B એ અનિર્ધારિત ગુણાંક ગણવામાં આવે છે, અને r એ સંખ્યા છે. લાક્ષણિક સમીકરણ સાથે સંબંધિત જટિલ સંયોજક મૂળ, ± i β ની બરાબર. આ કિસ્સામાં, ગુણાંકની શોધ સમાનતા y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) નો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ 3
ફોર્મ y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ના વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો.
ઉકેલ
લાક્ષણિક સમીકરણ લખતા પહેલા, આપણે y 0 શોધીએ છીએ. પછી
k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i
અમારી પાસે જટિલ સંયોજક મૂળની જોડી છે. ચાલો પરિવર્તન કરીએ અને મેળવીએ:
y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળને સંયોજક જોડી ± 2 i, પછી f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ગણવામાં આવે છે. આ બતાવે છે કે y ~ ની શોધ y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x માંથી કરવામાં આવશે. અજ્ઞાત આપણે y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ફોર્મની સમાનતામાંથી A અને B ગુણાંક શોધીશું.
ચાલો કન્વર્ટ કરીએ:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
ત્યારે સ્પષ્ટ થાય છે કે
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)
સાઈન અને કોસાઈન્સના ગુણાંકને સમાન કરવા જરૂરી છે. અમને ફોર્મની સિસ્ટમ મળે છે:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
તે અનુસરે છે કે y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.
જવાબ:સતત ગુણાંક સાથે મૂળ બીજા-ક્રમના LDDE નો સામાન્ય ઉકેલ ગણવામાં આવે છે
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
જ્યારે f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), તો y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. આપણી પાસે છે કે r એ લાક્ષણિક સમીકરણ સાથે સંબંધિત મૂળના જટિલ સંયોજક જોડીની સંખ્યા છે, જે α ± i β ની બરાબર છે, જ્યાં P n (x), Q k (x), L m (x) અને Nm(x)ડિગ્રી n, k, m, m, જ્યાં બહુપદી છે m = m a x (n, k). ગુણાંક શોધવી Lm(x)અને Nm(x)સમાનતા y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ના આધારે બનાવવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ 4
સામાન્ય ઉકેલ y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) શોધો.
ઉકેલ
શરત મુજબ તે સ્પષ્ટ છે
α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1
પછી m = m a x (n, k) = 1. આપણે પ્રથમ ફોર્મનું લાક્ષણિક સમીકરણ લખીને y 0 શોધીએ છીએ:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2
અમે જોયું કે મૂળ વાસ્તવિક અને અલગ છે. આથી y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. આગળ, ફોર્મના અસંગત સમીકરણ y ~ પર આધારિત સામાન્ય ઉકેલ શોધવાનું જરૂરી છે.
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) પાપ (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
તે જાણીતું છે કે A, B, C ગુણાંક છે, r = 0, કારણ કે α ± i β = 3 ± 5 · i સાથે લાક્ષણિકતા સમીકરણ સાથે સંબંધિત સંયોજક મૂળની કોઈ જોડી નથી. અમે પરિણામી સમાનતામાંથી આ ગુણાંક શોધીએ છીએ:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + ડી) પાપ (5 x))) = - e 3 x (38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
વ્યુત્પન્ન અને સમાન શબ્દો શોધવાથી મળે છે
E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))
ગુણાંક સમાન કર્યા પછી, અમે ફોર્મની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 ડી = 1
દરેક વસ્તુમાંથી તે તેને અનુસરે છે
y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) પાપ (5 x))
જવાબ:હવે આપણે આપેલ રેખીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવ્યો છે:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
LDNU ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ
વ્યાખ્યા 1સોલ્યુશન માટે અન્ય કોઈપણ પ્રકારના ફંક્શન f(x) માટે સોલ્યુશન અલ્ગોરિધમનું પાલન જરૂરી છે:
- અનુરૂપ રેખીય સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધવો, જ્યાં y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, જ્યાં y 1અને y 2 LODE ના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર આંશિક ઉકેલો છે, સી 1અને સી 2મનસ્વી સ્થિરાંકો ગણવામાં આવે છે;
- LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ના સામાન્ય ઉકેલ તરીકે અપનાવવું;
- ફોર્મ C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1" ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , અને કાર્યો શોધો C 1 (x)અને C 2 (x) એકીકરણ દ્વારા.
ઉદાહરણ 5
y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x માટે સામાન્ય ઉકેલ શોધો.
ઉકેલ
અમે અગાઉ y 0, y "" + 36 y = 0 લખીને લાક્ષણિક સમીકરણ લખવા આગળ વધીએ છીએ. ચાલો લખીએ અને હલ કરીએ:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = પાપ (6 x)
આપણી પાસે છે કે આપેલ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) તરીકે લખવામાં આવશે. વ્યુત્પન્ન કાર્યોની વ્યાખ્યા તરફ આગળ વધવું જરૂરી છે C 1 (x)અને C2(x)સમીકરણો સાથેની સિસ્ટમ અનુસાર:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
અંગે નિર્ણય લેવાની જરૂર છે C 1" (x)અને C 2" (x)કોઈપણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને. પછી અમે લખીએ છીએ:
C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
દરેક સમીકરણો એકીકૃત હોવા જોઈએ. પછી આપણે પરિણામી સમીકરણો લખીએ છીએ:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4
તે નીચે મુજબ છે કે સામાન્ય ઉકેલમાં ફોર્મ હશે:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 પાપ (6 x)
જવાબ: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો
