ઘર મૌખિક પોલાણ સામાન્ય ઉકેલ શોધો અને તેને fsr ના સંદર્ભમાં લખો. સિસ્ટમ અને fsr નો સામાન્ય ઉકેલ શોધો

મૌખિક પોલાણ

સામાન્ય ઉકેલ શોધો અને તેને fsr ના સંદર્ભમાં લખો. સિસ્ટમ અને fsr નો સામાન્ય ઉકેલ શોધો

સજાતીય સિસ્ટમ રેખીય સમીકરણોમેદાનની ઉપર

વ્યાખ્યા. સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ (1) એ તેના ઉકેલોની બિન-ખાલી રેખીય સ્વતંત્ર સિસ્ટમ છે, જેનો રેખીય ગાળો સિસ્ટમ (1) ના તમામ ઉકેલોના સમૂહ સાથે એકરુપ છે.

નોંધ કરો કે રેખીય સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલી કે જેમાં માત્ર શૂન્ય સોલ્યુશન હોય તેમાં ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ હોતી નથી.

દરખાસ્ત 3.11. રેખીય સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીના ઉકેલોની કોઈપણ બે મૂળભૂત પ્રણાલીઓમાં સમાન સંખ્યામાં ઉકેલો હોય છે.

પુરાવો. વાસ્તવમાં, સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીના ઉકેલોની કોઈપણ બે મૂળભૂત પ્રણાલીઓ (1) સમકક્ષ અને રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. તેથી, દરખાસ્ત 1.12 દ્વારા, તેમની રેન્ક સમાન છે. તેથી, ઉકેલોની સંખ્યા એકમાં શામેલ છે મૂળભૂત સિસ્ટમ, ઉકેલોની અન્ય કોઈપણ મૂળભૂત સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ ઉકેલોની સંખ્યા જેટલી છે.

જો સમીકરણો (1) ની સજાતીય પ્રણાલીનો મુખ્ય મેટ્રિક્સ A શૂન્ય હોય, તો માંથી કોઈપણ વેક્ટર સિસ્ટમ (1) માટે ઉકેલ છે; આ કિસ્સામાં, કોઈપણ સંગ્રહ રેખીય છે સ્વતંત્ર વેક્ટરના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ છે. જો મેટ્રિક્સ A ની કૉલમ રેન્ક બરાબર છે, તો સિસ્ટમ (1) પાસે માત્ર એક જ ઉકેલ છે - શૂન્ય; તેથી, આ કિસ્સામાં, સમીકરણોની સિસ્ટમ (1) પાસે ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ નથી.

પ્રમેય 3.12. જો રેખીય સમીકરણો (1) ની સજાતીય પ્રણાલીના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ ચલોની સંખ્યા કરતા ઓછો હોય, તો સિસ્ટમ (1) પાસે ઉકેલોનો સમાવેશ કરતી મૂળભૂત સોલ્યુશન સિસ્ટમ હોય છે.

પુરાવો. જો સજાતીય સિસ્ટમ (1) ના મુખ્ય મેટ્રિક્સ A નો ક્રમ શૂન્ય અથવા ની બરાબર હોય, તો તે ઉપર દર્શાવવામાં આવ્યું હતું કે પ્રમેય સાચું છે. તેથી, નીચે એવું માનવામાં આવે છે કે ધારી રહ્યા છીએ, અમે ધારીશું કે મેટ્રિક્સ A ના પ્રથમ કૉલમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. આ કિસ્સામાં, મેટ્રિક્સ A એ ઘટાડેલા સ્ટેપવાઇઝ મેટ્રિક્સની પંક્તિ પ્રમાણે સમકક્ષ છે, અને સિસ્ટમ (1) સમીકરણોની નીચેની ઘટાડેલી સ્ટેપવાઇઝ સિસ્ટમની સમકક્ષ છે:

તે તપાસવું સરળ છે કે મફત મૂલ્યોની કોઈપણ સિસ્ટમ સિસ્ટમ ચલો(2) સિસ્ટમ (2) અને તેથી, સિસ્ટમ (1) માટે એક અને માત્ર એક જ ઉકેલને અનુરૂપ છે. ખાસ કરીને, સિસ્ટમ (2) અને સિસ્ટમ (1) નું માત્ર શૂન્ય સોલ્યુશન શૂન્ય મૂલ્યોની સિસ્ટમને અનુરૂપ છે.

સિસ્ટમ (2) માં અમે એક મફત સોંપીશું ચલ મૂલ્ય, 1 ની બરાબર છે, અને બાકીના ચલોમાં શૂન્ય મૂલ્યો છે. પરિણામે, અમે સમીકરણો (2) ની સિસ્ટમના ઉકેલો મેળવીએ છીએ, જે આપણે નીચેના મેટ્રિક્સ C ની પંક્તિઓના સ્વરૂપમાં લખીએ છીએ:

આ મેટ્રિક્સની પંક્તિ સિસ્ટમ રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. ખરેખર, સમાનતામાંથી કોઈપણ સ્કેલર્સ માટે

સમાનતા અનુસરે છે

અને તેથી, સમાનતા

ચાલો સાબિત કરીએ કે મેટ્રિક્સ C ની પંક્તિઓની સિસ્ટમનો રેખીય ગાળો સિસ્ટમ (1) ના તમામ ઉકેલોના સમૂહ સાથે એકરુપ છે.

સિસ્ટમનો મનસ્વી ઉકેલ (1). પછી વેક્ટર

સિસ્ટમનો ઉકેલ પણ છે (1), અને

તમે તમારી સમસ્યાનો વિગતવાર ઉકેલ ઓર્ડર કરી શકો છો!!!

તે શું છે તે સમજવા માટે મૂળભૂત નિર્ણય સિસ્ટમતમે ક્લિક કરીને સમાન ઉદાહરણ માટે વિડિઓ ટ્યુટોરીયલ જોઈ શકો છો. હવે આખાના વર્ણન તરફ આગળ વધીએ જરૂરી કામ. આ તમને આ મુદ્દાના સારને વધુ વિગતવાર સમજવામાં મદદ કરશે.

રેખીય સમીકરણના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ કેવી રીતે શોધવી?

ચાલો ઉદાહરણ તરીકે રેખીય સમીકરણોની નીચેની સિસ્ટમ લઈએ:

ચાલો સમીકરણોની આ રેખીય પદ્ધતિનો ઉકેલ શોધીએ. સાથે શરૂ કરવા માટે, અમે તમારે સિસ્ટમના ગુણાંક મેટ્રિક્સ લખવાની જરૂર છે.

ચાલો આ મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકારમાં પરિવર્તિત કરીએ.અમે ફેરફારો વિના પ્રથમ લીટી ફરીથી લખીએ છીએ. અને તમામ ઘટકો કે જે $a_(11)$ હેઠળ છે તે શૂન્ય બનાવવું આવશ્યક છે. તત્વ $a_(21)$ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે બીજી લીટીમાંથી પ્રથમ બાદબાકી કરવાની અને બીજી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે. તત્વ $a_(31)$ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે ત્રીજી લીટીમાંથી પ્રથમ બાદબાકી કરવાની અને ત્રીજી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે. તત્વ $a_(41)$ ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે ચોથી લીટીમાંથી 2 વડે પ્રથમ ગુણાકાર બાદબાકી કરવાની અને ચોથી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે. તત્વ $a_(31)$ ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે પાંચમી લીટીમાંથી 2 વડે પ્રથમ ગુણાકાર બાદબાકી કરવાની અને પાંચમી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે.

અમે ફેરફારો વિના પ્રથમ અને બીજી લાઇન ફરીથી લખીએ છીએ. અને તમામ ઘટકો કે જે $a_(22)$ હેઠળ છે તે શૂન્ય બનાવવું આવશ્યક છે. તત્વ $a_(32)$ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે ત્રીજી લીટીમાંથી 2 વડે ગુણાકાર કરેલ બીજાને બાદબાકી કરવાની અને ત્રીજી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે. તત્વ $a_(42)$ ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે ચોથી લીટીમાંથી બીજા ગુણાકારને 2 બાદબાકી કરવાની અને ચોથી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે. $a_(52)$ તત્વની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે પાંચમી લીટીમાંથી 3 વડે ગુણાકાર કરેલ બીજાને બાદબાકી કરવાની અને પાંચમી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે.

તે આપણે જોઈએ છીએ છેલ્લી ત્રણ લીટીઓ સમાન છે, તેથી જો તમે ચોથા અને પાંચમામાંથી ત્રીજાને બાદ કરશો, તો તેઓ શૂન્ય થઈ જશે.

આ મેટ્રિક્સ અનુસાર લખો નવી સિસ્ટમસમીકરણો.

આપણે જોઈએ છીએ કે આપણી પાસે ફક્ત ત્રણ રેખીય સ્વતંત્ર સમીકરણો છે, અને પાંચ અજાણ્યા છે, તેથી ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમમાં બે વેક્ટર હશે. તેથી અમે આપણે છેલ્લા બે અજાણ્યાઓને જમણી તરફ ખસેડવાની જરૂર છે.

હવે, અમે ડાબી બાજુએ રહેલા અજાણ્યાઓને જમણી બાજુના લોકો દ્વારા વ્યક્ત કરવાનું શરૂ કરીએ છીએ. અમે છેલ્લા સમીકરણથી શરૂઆત કરીએ છીએ, પહેલા અમે $x_3$ વ્યક્ત કરીએ છીએ, પછી અમે પરિણામી પરિણામને બીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ અને $x_2$ વ્યક્ત કરીએ છીએ, અને પછી પ્રથમ સમીકરણમાં અને અહીં અમે $x_1$ વ્યક્ત કરીએ છીએ. આમ, અમે ડાબી બાજુના તમામ અજાણ્યાઓને જમણી બાજુના અજાણ્યાઓ દ્વારા વ્યક્ત કર્યા.

પછી, $x_4$ અને $x_5$ ને બદલે, અમે કોઈપણ સંખ્યાઓને બદલી શકીએ છીએ અને $x_1$, $x_2$ અને $x_3$ શોધી શકીએ છીએ. આ દરેક પાંચ સંખ્યાઓ આપણી મૂળ સમીકરણોની સિસ્ટમના મૂળ હશે. જેમાં સમાવવામાં આવેલ છે તે વેક્ટર શોધવા માટે FSRઆપણે $x_4$ ને બદલે 1, અને $x_5$ ને બદલે 0 ને બદલવાની જરૂર છે, $x_1$, $x_2$ અને $x_3$ શોધો, અને પછી ઊલટું $x_4=0$ અને $x_5=1$.

અમે અમારી ટેક્નોલોજીને પોલિશ કરવાનું ચાલુ રાખીશું પ્રાથમિક પરિવર્તનોચાલુ રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ.
પ્રથમ ફકરાઓના આધારે, સામગ્રી કંટાળાજનક અને સામાન્ય લાગે છે, પરંતુ આ છાપ ભ્રામક છે. તકનીકી તકનીકોના વધુ વિકાસ ઉપરાંત, ત્યાં ઘણા હશે નવી માહિતી, તેથી કૃપા કરીને આ લેખમાંના ઉદાહરણોની અવગણના ન કરવાનો પ્રયાસ કરો.

રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ શું છે?

જવાબ પોતે સૂચવે છે. જો ફ્રી ટર્મ હોય તો રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ સજાતીય હોય છે દરેક વ્યક્તિસિસ્ટમનું સમીકરણ શૂન્ય છે. દાખ્લા તરીકે:

તે બિલકુલ સ્પષ્ટ છે સજાતીય સિસ્ટમ હંમેશા સુસંગત હોય છે, એટલે કે, તેની પાસે હંમેશા ઉકેલ હોય છે. અને, સૌ પ્રથમ, જે તમારી આંખને પકડે છે તે કહેવાતા છે તુચ્છઉકેલ . તુચ્છ, જેઓ વિશેષણનો અર્થ બિલકુલ સમજી શકતા નથી, તેનો અર્થ શો-ઓફ વિના થાય છે. શૈક્ષણિક નથી, અલબત્ત, પરંતુ સમજી શકાય તેવું =) ...શા માટે ઝાડની આસપાસ હરાવ્યું, ચાલો શોધીએ કે આ સિસ્ટમમાં અન્ય કોઈ ઉકેલો છે કે કેમ:

ઉદાહરણ 1

ઉકેલ: સજાતીય સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે લખવું જરૂરી છે સિસ્ટમ મેટ્રિક્સઅને પ્રાથમિક રૂપાંતરણોની મદદથી તેને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં લાવો. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અહીં વર્ટિકલ બાર અને ફ્રી ટર્મ્સની શૂન્ય કૉલમ લખવાની જરૂર નથી - છેવટે, તમે શૂન્ય સાથે શું કરો છો, તે શૂન્ય જ રહેશે:

(1) પ્રથમ લીટી બીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –2 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો. પ્રથમ લીટી ત્રીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –3 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો.

(2) બીજી લીટી ત્રીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –1 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો.

ત્રીજી લીટીને 3 વડે વિભાજિત કરવાનો બહુ અર્થ નથી.

પ્રાથમિક રૂપાંતરણોના પરિણામે, સમકક્ષ સજાતીય સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થાય છે , અને, અરજી કરવી રિવર્સ સ્ટ્રોકગૌસની પદ્ધતિ, તે ચકાસવું સરળ છે કે ઉકેલ અનન્ય છે.

જવાબ આપો:

ચાલો એક સ્પષ્ટ માપદંડ ઘડીએ: રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ છે માત્ર એક તુચ્છ ઉકેલ, જો સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ રેન્ક(વી આ બાબતે 3) ચલોની સંખ્યા સમાન (આ કિસ્સામાં - 3 ટુકડાઓ).

ચાલો ગરમ થઈએ અને અમારા રેડિયોને પ્રાથમિક પરિવર્તનની તરંગો સાથે ટ્યુન કરીએ:

ઉદાહરણ 2

રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ ઉકેલો

આખરે અલ્ગોરિધમને એકીકૃત કરવા માટે, ચાલો અંતિમ કાર્યનું વિશ્લેષણ કરીએ:

ઉદાહરણ 7

સજાતીય સિસ્ટમ ઉકેલો, વેક્ટર સ્વરૂપમાં જવાબ લખો.

ઉકેલ: ચાલો સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ લખીએ અને પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને તેને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં લાવીએ:

(1) પ્રથમ લીટીનું ચિહ્ન બદલાઈ ગયું છે. ફરી એકવાર હું એવી તકનીક તરફ ધ્યાન દોરું છું જેનો ઘણી વખત સામનો કરવામાં આવ્યો છે, જે તમને આગલી ક્રિયાને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવવા દે છે.

(1) પ્રથમ લાઇન 2જી અને 3જી લાઇનમાં ઉમેરવામાં આવી હતી. પ્રથમ લીટી, 2 વડે ગુણાકાર, 4 થી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી.

(3) છેલ્લી ત્રણ રેખાઓ પ્રમાણસર છે, તેમાંથી બે દૂર કરવામાં આવી છે.

પરિણામે, પ્રમાણભૂત સ્ટેપ મેટ્રિક્સ પ્રાપ્ત થાય છે, અને સોલ્યુશન ગાંઠવાળા ટ્રેક સાથે ચાલુ રહે છે:

- મૂળભૂત ચલો;
- મફત ચલો.

ચાલો મૂળભૂત ચલોને મુક્ત ચલોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરીએ. 2જી સમીકરણમાંથી:

- 1લા સમીકરણમાં બદલો:

આમ, સામાન્ય નિર્ણય:

વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં ત્રણ મુક્ત ચલો હોવાથી, મૂળભૂત સિસ્ટમમાં ત્રણ વેક્ટર છે.

ચાલો મૂલ્યોના ટ્રિપલને બદલીએ સામાન્ય ઉકેલમાં અને એક વેક્ટર મેળવો જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સજાતીય સિસ્ટમના દરેક સમીકરણને સંતોષે છે. અને ફરીથી, હું પુનરાવર્તન કરું છું કે દરેક પ્રાપ્ત વેક્ટરને તપાસવું ખૂબ જ સલાહભર્યું છે - તે વધુ સમય લેશે નહીં, પરંતુ તે તમને ભૂલોથી સંપૂર્ણપણે સુરક્ષિત કરશે.

મૂલ્યોના ત્રિવિધ માટે વેક્ટર શોધો

અને છેવટે ત્રણ માટે આપણને ત્રીજો વેક્ટર મળે છે:

જવાબ આપો:, ક્યાં

જેઓ અપૂર્ણાંક મૂલ્યોને ટાળવા માંગતા હોય તેઓ ત્રિપુટીને ધ્યાનમાં લઈ શકે છે અને સમકક્ષ સ્વરૂપમાં જવાબ મેળવી શકે છે:

અપૂર્ણાંક બોલતા. ચાલો સમસ્યામાં મેળવેલ મેટ્રિક્સ જોઈએ અને ચાલો આપણે આપણી જાતને પૂછીએ: શું આગળના ઉકેલને સરળ બનાવવું શક્ય છે? છેવટે, અહીં આપણે પ્રથમ અપૂર્ણાંક દ્વારા મૂળભૂત ચલ વ્યક્ત કર્યું, પછી અપૂર્ણાંક દ્વારા મૂળભૂત ચલ, અને, મારે કહેવું જ જોઇએ, આ પ્રક્રિયા સૌથી સરળ અને સૌથી સુખદ ન હતી.

બીજો ઉકેલ:

પ્રયાસ કરવાનો વિચાર છે અન્ય આધાર ચલો પસંદ કરો. ચાલો મેટ્રિક્સ જોઈએ અને ત્રીજા સ્તંભમાં બે મુદ્દાઓ પર ધ્યાન આપીએ. તો શા માટે ટોચ પર શૂન્ય નથી? ચાલો એક વધુ પ્રાથમિક પરિવર્તન કરીએ:

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ જેમાં તમામ મુક્ત પદો શૂન્ય સમાન હોય છે તેને કહેવામાં આવે છે સમાન :

કોઈપણ સજાતીય સિસ્ટમ હંમેશા સુસંગત હોય છે, કારણ કે તે હંમેશા હોય છે શૂન્ય (તુચ્છ ) ઉકેલ. પ્રશ્ન એ ઊભો થાય છે કે સજાતીય પ્રણાલીમાં કઈ પરિસ્થિતિઓમાં બિન-તુચ્છ ઉકેલ હશે.

પ્રમેય 5.2.એકસમાન પ્રણાલીમાં બિન-તુચ્છ ઉકેલ હોય છે જો અને માત્ર જો અંતર્ગત મેટ્રિક્સનો ક્રમ તેના અજાણ્યાઓની સંખ્યા કરતા ઓછો હોય.

પરિણામ. એક ચોરસ સજાતીય સિસ્ટમમાં બિન-તુચ્છ ઉકેલ હોય છે જો અને માત્ર જો સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર ન હોય.

ઉદાહરણ 5.6.પેરામીટર l ના મૂલ્યો નક્કી કરો કે જેના પર સિસ્ટમ પાસે બિન-તુચ્છ ઉકેલો છે, અને આ ઉકેલો શોધો:

ઉકેલ. જ્યારે મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર હોય ત્યારે આ સિસ્ટમમાં બિન-તુચ્છ ઉકેલ હશે:

આમ, જ્યારે l=3 અથવા l=2 હોય ત્યારે સિસ્ટમ બિન-તુચ્છ છે. l=3 માટે, સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ 1 છે. પછી, માત્ર એક સમીકરણ છોડીને અને ધારી રહ્યા છીએ કે y=aઅને z=b, અમને મળે છે x=b-a, એટલે કે

l=2 માટે, સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ 2 છે. પછી, આધાર તરીકે નાનાને પસંદ કરી રહ્યા છીએ:

અમને એક સરળ સિસ્ટમ મળે છે

અહીંથી આપણે તે શોધીએ છીએ x=z/4, y=z/2. માનતા z=4a, અમને મળે છે

સજાતીય સિસ્ટમના તમામ ઉકેલોનો સમૂહ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે રેખીય મિલકત : જો કૉલમ X 1 અને એક્સ 2 - સજાતીય સિસ્ટમના ઉકેલો AX = 0, પછી તેમાંથી કોઈપણ રેખીય સંયોજન a એક્સ 1 + b એક્સ 2 આ સિસ્ટમનો ઉકેલ પણ હશે. ખરેખર, ત્યારથી AX 1 = 0 અને AX 2 = 0 , તે એ(એ એક્સ 1 + b એક્સ 2) = એ AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. તે આ ગુણધર્મને કારણે છે કે જો રેખીય પ્રણાલીમાં એક કરતાં વધુ ઉકેલો હોય, તો આ ઉકેલોની અસંખ્ય સંખ્યા હશે.

રેખીય રીતે સ્વતંત્ર કૉલમ ઇ 1 , ઇ 2 , એક, જે સજાતીય સિસ્ટમના ઉકેલો છે, કહેવામાં આવે છે ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ જો આ સિસ્ટમના સામાન્ય ઉકેલને આ કૉલમના રેખીય સંયોજન તરીકે લખી શકાય:

જો સજાતીય સિસ્ટમ હોય nચલ, અને સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ બરાબર છે આર, તે k = n-r.

ઉદાહરણ 5.7.ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ શોધો આગામી સિસ્ટમરેખીય સમીકરણો:

ઉકેલ. ચાલો સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધીએ:

આમ, સમીકરણોની આ સિસ્ટમના ઉકેલોનો સમૂહ પરિમાણની રેખીય સબસ્પેસ બનાવે છે n-r= 5 - 2 = 3. ચાલો નાનાને આધાર તરીકે પસંદ કરીએ

પછી, ફક્ત મૂળભૂત સમીકરણો (બાકીના આ સમીકરણોનું રેખીય સંયોજન હશે) અને મૂળભૂત ચલો (અમે બાકીના, કહેવાતા મુક્ત ચલોને જમણી તરફ ખસેડીએ છીએ) ને છોડીને, અમે સમીકરણોની એક સરળ સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

માનતા x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, અમે શોધીએ છીએ

, .

માનતા a= 1, b = c= 0, અમે પ્રથમ મૂળભૂત ઉકેલ મેળવીએ છીએ; માનતા b= 1, a = c= 0, અમે બીજો મૂળભૂત ઉકેલ મેળવીએ છીએ; માનતા c= 1, a = b= 0, અમે ત્રીજો મૂળભૂત ઉકેલ મેળવીએ છીએ. પરિણામે, ઉકેલોની સામાન્ય મૂળભૂત સિસ્ટમ સ્વરૂપ લેશે

મૂળભૂત સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરીને, સજાતીય સિસ્ટમના સામાન્ય ઉકેલને આ રીતે લખી શકાય છે

એક્સ = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

ચાલો રેખીય સમીકરણોની અસંગત પ્રણાલીના ઉકેલોના કેટલાક ગુણધર્મો નોંધીએ AX=Bઅને સમીકરણોની અનુરૂપ સજાતીય પ્રણાલી સાથેનો તેમનો સંબંધ AX = 0.

અસંગત સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલઅનુરૂપ સજાતીય પ્રણાલી AX = 0 ના સામાન્ય ઉકેલના સરવાળો અને અસંગત પ્રણાલીના મનસ્વી વિશિષ્ટ ઉકેલના સરવાળા સમાન છે. ખરેખર, દો વાય 0 એ અસંગત પ્રણાલીનું મનસ્વી વિશિષ્ટ ઉકેલ છે, એટલે કે. એવાય 0 = બી, અને વાય- વિજાતીય સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ, એટલે કે. AY=B. એક સમાનતાને બીજીમાંથી બાદ કરીએ તો આપણને મળે છે
એ(Y-Y 0) = 0, એટલે કે. Y-Y 0 એ અનુરૂપ સજાતીય પ્રણાલીનો સામાન્ય ઉકેલ છે AX=0. આથી, Y-Y 0 = એક્સ, અથવા Y=Y 0 + એક્સ. Q.E.D.

અસંગત પ્રણાલીમાં AX = B સ્વરૂપ રહેવા દો 1 + બી 2 . પછી આવી સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ X = X તરીકે લખી શકાય 1 + એક્સ 2 , જ્યાં AX 1 = બી 1 અને AX 2 = બી 2. આ મિલકત કોઈપણની સાર્વત્રિક મિલકતને વ્યક્ત કરે છે રેખીય સિસ્ટમો(બીજગણિત, વિભેદક, કાર્યાત્મક, વગેરે). ભૌતિકશાસ્ત્રમાં આ ગુણધર્મ કહેવાય છે સુપરપોઝિશન સિદ્ધાંત, ઇલેક્ટ્રિકલ અને રેડિયો એન્જિનિયરિંગમાં - સુપરપોઝિશનનો સિદ્ધાંત. ઉદાહરણ તરીકે, રેખીય વિદ્યુત સર્કિટના સિદ્ધાંતમાં, કોઈપણ સર્કિટમાં વર્તમાન દરેક ઉર્જા સ્ત્રોત દ્વારા અલગથી થતા પ્રવાહોના બીજગણિત સરવાળા તરીકે મેળવી શકાય છે.

સજાતીય સિસ્ટમ હંમેશા સુસંગત હોય છે અને તેમાં તુચ્છ ઉકેલ હોય છે
. બિન-તુચ્છ ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે તે માટે, તે જરૂરી છે કે મેટ્રિક્સનો ક્રમ અજાણ્યાઓની સંખ્યા કરતાં ઓછી હતી:

ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ સજાતીય સિસ્ટમ
કૉલમ વેક્ટરના સ્વરૂપમાં ઉકેલોની સિસ્ટમને કૉલ કરો
, જે કેનોનિકલ આધારને અનુરૂપ છે, એટલે કે. જેના આધારે મનસ્વી સ્થિરાંકો
વૈકલ્પિક રીતે એકની બરાબર સેટ કરો, જ્યારે બાકીનાને શૂન્યની બરાબર સેટ કરો.

પછી સજાતીય પ્રણાલીના સામાન્ય ઉકેલમાં આ સ્વરૂપ છે:

જ્યાં
- મનસ્વી સ્થિરાંકો. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એકંદર ઉકેલ એ ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમનું રેખીય સંયોજન છે.

આમ, સામાન્ય ઉકેલોમાંથી મૂળભૂત ઉકેલો મેળવી શકાય છે જો મુક્ત અજાણ્યાઓને બદલામાં એકનું મૂલ્ય આપવામાં આવે, બાકીના બધાને શૂન્યની બરાબર સેટ કરવામાં આવે.

ઉદાહરણ. ચાલો સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધીએ

ચાલો સ્વીકારીએ, પછી આપણને ફોર્મમાં ઉકેલ મળે છે:

ચાલો હવે ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવીએ:

સામાન્ય ઉકેલ આ રીતે લખવામાં આવશે:

સજાતીય રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલોમાં નીચેના ગુણધર્મો છે:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સજાતીય પ્રણાલીમાં ઉકેલોનું કોઈપણ રેખીય સંયોજન એ ફરીથી ઉકેલ છે.

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી

રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓ ઉકેલવામાં ગણિતશાસ્ત્રીઓને ઘણી સદીઓથી રસ છે. પ્રથમ પરિણામો 18 મી સદીમાં પ્રાપ્ત થયા હતા. 1750 માં, જી. ક્રેમર (1704-1752) એ ચોરસ મેટ્રિક્સના નિર્ધારકો પર તેમની રચનાઓ પ્રકાશિત કરી અને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે અલ્ગોરિધમનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો. 1809 માં, ગૌસે એક નવી ઉકેલ પદ્ધતિની રૂપરેખા આપી જે દૂર કરવાની પદ્ધતિ તરીકે ઓળખાય છે.

ગૌસીયન પદ્ધતિ, અથવા અજાણ્યાઓને ક્રમિક દૂર કરવાની પદ્ધતિ, એ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ છે કે, પ્રારંભિક પરિવર્તનની મદદથી, સમીકરણોની સિસ્ટમને એક પગલા (અથવા ત્રિકોણાકાર) સ્વરૂપની સમકક્ષ સિસ્ટમમાં ઘટાડવામાં આવે છે. આવી સિસ્ટમો ચોક્કસ ક્રમમાં તમામ અજાણ્યાઓને ક્રમિક રીતે શોધવાનું શક્ય બનાવે છે.

ચાલો ધારીએ કે સિસ્ટમમાં (1)
(જે હંમેશા શક્ય છે).

(1)

કહેવાતા દ્વારા પ્રથમ સમીકરણનો એક પછી એક ગુણાકાર યોગ્ય સંખ્યાઓ

અને સિસ્ટમના અનુરૂપ સમીકરણો સાથે ગુણાકારનું પરિણામ ઉમેરીને, અમે એક સમકક્ષ સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ જેમાં પ્રથમ સિવાયના તમામ સમીકરણોમાં કોઈ અજ્ઞાત હશે નહીં એક્સ 1

(2)

ચાલો હવે સિસ્ટમ (2) ના બીજા સમીકરણને યોગ્ય સંખ્યાઓ વડે ગુણાકાર કરીએ, એમ ધારીએ

અને તેને નીચલા રાશિઓ સાથે ઉમેરીને, અમે વેરીએબલને દૂર કરીએ છીએ બધા સમીકરણોમાંથી, ત્રીજાથી શરૂ કરીને.

આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખવી, પછી
પગલું આપણે મેળવીએ છીએ:

(3)

જો ઓછામાં ઓછા એક નંબરો
શૂન્યની બરાબર નથી, તો અનુરૂપ સમાનતા વિરોધાભાસી છે અને સિસ્ટમ (1) અસંગત છે. તેનાથી વિપરીત, કોઈપણ સંયુક્ત નંબર સિસ્ટમ માટે
શૂન્ય સમાન છે. નંબર સિસ્ટમ (1) ના મેટ્રિક્સના ક્રમ કરતાં વધુ કંઈ નથી.